GUÍA DE EJERCICIOS Nº 16
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
1. Dos triángulos isósceles que tienen bases de igual longitud, son siempre congruentes
si
A) la altura de los 2 triángulos mide lo mismo.
B) sus ángulos basales son agudos.
C) el ortocentro de cada uno, queda en el interior del triángulo.
D) sus bases son de menor medida que sus lados congruentes.
E) los ángulos basales de ambos triángulos miden lo mismo.
2. En el triángulo ABC de la figura 1, BD es bisectriz del ABC. Si CAB = 70º y
BCA = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 30º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) 100º
3. ¿Cuál(es) de los siguientes par(es) de triángulo(s) es (son) siempre congruente(s)?
I) II) III)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
A B
C
D x
fig. 1
60° 60°
60° 8 8
8
10
37°
10
53°
5 5
6
5
3
4
C u r s o : Matemática
Material N° 16-E
2
4. En el triángulo ABC de la figura 2, rectángulo en C,CD es transversal de gravedad. Si
CAD = 60º, entonces el ángulo BCD mide
A) 45º
B) 40º
C) 30º
D) 25º
E) 20º
5. Si en un triángulo ABC, isósceles y rectángulo en C, se traza CD AB , entonces ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) BAC BCD
B) ADC BDC
C) AD DB
D) AD CA
E) AC BC
6. En el ABC de la figura 3, ED y FE son medianas, entonces es FALSO
A) FEC DBE
B) ADF FEC
C) CFE DEF
D) AEC AEB
E) FDE ECF
7. En la figura 4, los puntos A, B y D son colineales, ABC DBE, = 36º y CBE = 20º,
¿cuánto mide el DEB?
A) 20º
B) 36º
C) 64º
D) 108º
E) 116º
A B
C
D
E
fig. 4
A B D
C
fig. 2
A B
C
D
E F
fig. 3
3
8. El PQR de la figura 5, es isósceles de base PQ . Si el PRQ = 80º, PS bisectriz del
QPR y TQ es altura, entonces el valor de x es
A) 160º
B) 125º
C) 115º
D) 90º
E) 40º
9. En la figura 6, el ABC AED, si BAF = 70º y CAF = 10º, entonces el AED es
A) 10º
B) 45º
C) 55º
D) 70º
E) 80º
10. En la figura 7, ABC rectángulo en C, trazo AD bisectriz del CAB y DB // AC ,
entonces si el ángulo BEA = 110º, el ángulo CBA mide
A) 90º
B) 70º
C) 50º
D) 40º
E) 20º
11. En el triángulo ABC, de la figura 8 es rectángulo en C y ABCD , AE es bisectriz del
BAC. Si EFC = 57º, entonces la medida del ABC es
A) 24º
B) 26º
C) 28º
D) 34º
E) 57º
R
P Q
S
fig. 5
T
x
A B
E
C
D fig. 6
F
fig. 7
A C
E
B D
110°
B
E
A D
C
fig. 8
F
x
57°
4
12. En la figura 9, si el ángulo = 60º, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) y son ángulos suplementarios.
II) = 1
5
III) = – 3β
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
13. En el ABC de la figura 10, CAB = 12º y ABC = 132º. Si AD es bisectriz del EAB y
los puntos E, A y C son colineales, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es
verdadera?
A) AD = BD
B) AD = AC
C) AD = AB
D) AB = BC
E) AB = BE
14. En el ABC de la figura 11, BD y AD son bisectrices de ABC y EAC respectivamente.
Si ACB = , entonces ADB en función de es
A) 2
B) α
C) 2α
D) 90º – α
E) ninguna de las anteriores.
fig. 9
C
B A
C
fig.10
10
A
E
B
D
B
fig. 11
A E
D C
5
15. En el triángulo ABC de la figura 12, el punto I es el incentro del ABC, si DAE = 25º y
AIE = 80º, entonces la medida del ángulo EBD es
A) 20º
B) 23º
C) 30º
D) 37º
E) 53º
16. En la figura 13, si el ABC es rectángulo en C y CD es altura, ¿cuáles de las
afirmaciones siguientes nos permiten asegurar que ADC BDC?
I) ABC isósceles.
II) AD DC
III) D punto medio de AB .
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
17. Según la información de la figura 14, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I) ACB DFE
II) EFAB
III) BCA FED
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
fig. 14
A B
C
16 10º
15
140º
D E
F
16
30º
140º
fig. 12
A E
C
D
I
B
C
A D B
fig. 13
6
18. Desde el vértice C del triángulo ABC de la figura 15, se han trazado la altura CD y la
bisectriz CE del ACB. Entonces, el DCE mide
A) 25º
B) 20º
C) 15º
D) 10º
E) 5º
19. El PQR de la figura 16, es rectángulo en P y ED es simetral del lado QR . Si
QRP = 70º, ¿cuál es la medida del EDP?
A) 70º
B) 50º
C) 30º
D) 20º
E) 10º
20. En el ΔABC de la figura 17, AB BC y el triángulo AEC es isósceles de base AC . Si
ACB = 15º y AD es bisectriz del BAE, entonces la medida del ADB es
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
21. El ABC de la figura 18, es equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I) EPD = 120º
II) P es punto medio de AB .
III) Si CE CD , entonces EP PD .
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
fig. 15
A B D
C
30° 40°
E
A C
B
E D fig. 17
C
A B
D
fig. 18
E
P
R Q
P
D
E fig. 16
7
22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son
congruentes.
B) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.
C) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos congruentes, son congruentes.
D) Si dos triángulos rectángulos tienen dos catetos congruentes, son congruentes.
E) Todas las anteriores son correctas.
23. En la figura 19, PTR SVQ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I) TR // VQ
II) PR // SQ
III) PT SV
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
24. En el ABC de la figura 20, PQ y ST son alturas del APB y SCB respectivamente, Si
APQ SCT, entonces la medida del x + y es
A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 80º
E) 100º
25. En el ABC de la figura 21, BC AD y CD DE , entonces 3 =
A) 75º
B) 60º
C) 45º
D) 30º
E) 15º
fig. 19
Q
S
V
P
T R
B
C
A
115º
E
D
fig. 21
A
fig. 20
P S C
B
T Q
80° x
y
8
26. En el ABC de la figura 22, AE y BD son alturas, M es punto medio de AB y el MDE
mide 70º. Entonces, la medida del DME es
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 70º
27. En la figura 23, el ABC es rectángulo en C, DE es mediana, EF BE y BAC = 20º. El
valor del x es
A) 70º
B) 40º
C) 35º
D) 55º
E) 20º
28. El ABC de la figura 24, BD y AE son bisectrices de los CAB y ABC,
respectivamente. Si el ACB = , entonces el AFB es igual a
A) 90º –
B) 180º – 2
C) 90º – 2
D) 90º +2
E) 90º + 2
29. En la figura 25, se cumple que los APR BQT, y que los ángulos en D y en C son
rectos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) ATD BRC
II) DFA CEB
III) GRT es isósceles
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
fig. 22
A M B
D E
C
B A
C F
D
fig. 23
E
x
fig. 25
B A
D C
G
P Q
H
F E
T R
fig. 24
A
D
C
F E
B
9
30. En la figura 26, ABCD es un rectángulo y EDC es un triángulo rectángulo en D. Se
puede determinar que el EDC CBA, si:
(1) CD es altura del EAC.
(2) ED DA
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
31. En el MNP de la figura 27, se puede afirmar que RON ROP, si:
(1) R punto medio de NP .
(2) MOP equilátero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
32. En el triángulo PQR de la figura 28, S es punto medio de PQ . Se puede determinar que
el PQR es isósceles, si:
(1) RS PQ
(2)
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
M N O
P fig. 27
R
E
C
B A
D
fig. 26
R
55º
P
Q
S
fig. 28
10
33. En el ABC de la figura 29, se puede asegurar que ADF CEF, si:
(1) CD AB y AE BC
(2) ABC es equilátero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
34. En el ABC de la figura 30, se tiene que ADC BEC. El DEC es equilátero, si:
(1) CAD = 30º
(2) ADC = 120º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
35. El ABC de la figura 31 es rectángulo, si:
(1) CAB = ABC
(2) BFA = 135º; AD y BE son bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
fig. 30
A D E B
C
fig. 31
A B
E D
C
F
C
E
A B
fig. 29
D
F
11
CLAVES
DMQMA16-E
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1. E 6. D 11. A 16. D 21. C 26. C 31. D
2. E 7. C 12. E 17. A 22. D 27. C 32. D
3. B 8. C 13. C 18. E 23. E 28. D 33. C
4. C 9. B 14. A 19. B 24. E 29. E 34. B
5. D 10. C 15. A 20. E 25. C 30. B 35. B