MA1CPA Material Didactico

Matemticas IParte A

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Introduccin

La asignatura de Matemticas I parte A, te permitir utilizar distintosprocedimientos algebraicos para representar relaciones entre magnitudesconstantes y variables.

Adems, este curso te ayudar a resolver diferentes tipos de problemas, porejemplo, de variacin proporcional como la determinacin de tiempos de trabajoen equipo, pago de salarios, determinacin de edades, reparticin de bienes,etc.

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SimbologaLa siguiente iconografa te permitir identificar los momentos en que est dividido tuproceso de aprendizaje dentro del material didctico.

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El alumno al trmino del curso de Matemticas I Parte A:

Representa expresiones aritmticas y algebraicas, magnitudes constantes y variables, para resolverproblemas concernientes a la vida cotidiana.

Construye modelos aritmticos, algebraicos y grficos aplicando las diferentes representaciones delos nmeros reales para la resolucin de situaciones que le ayudan a explicar y describir su realidad.

Identifica datos caractersticos en tablas, grficas o textos, provenientes de situaciones cotidianastraducindolos en lenguaje aritmtico y/o algebraico.

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Al trmino del curso de Matemticas I Parte A, sers capaz de:

Establecer expresiones aritmticas y algebraicas concernientes a la vida real mediante unplanteamiento adecuado.

Desarrollar y resolver modelos matemticos a partir de las distintas representaciones de losnmeros reales, la jerarquizacin de operaciones, factorizacin y simplificacin.

Interpretar expresiones aritmticas y algebraicas provenientes de situaciones cotidianas a travs detablas y grficas.

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Lenguaje Algebraico

Expresin Algebraica Operaciones Fundamentales

Notacin y clasificacin Representacin algebraica

de expresiones en lenguaje comn

Interpretacin de expresiones algebraicas

Evaluacin numrica de expresiones algebraicas

Operaciones aritmticas Leyes de los exponentes Productos notables Factorizacin Simplificacin

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Gua de EstudiosMatemticas I Parte A

Objetiv o General: Establecer expresionesaritmticasy algebraicasconcernientesa la vida real mediante un planteamiento adecuado. Desarrollar y resolver modelos matemticos mediante las distintas representaciones de los nmeros reales, la jerarquizacin de

operaciones, factorizacin y simplificacin. Interpretar expresionesaritmticasy algebraicasprovenientesde situacionescotidianasa travsde tablasy grficas.

Semana 1Bloque I. Resuelve problemas aritmticos y algebraicos Unidad de Competencia: Construye e interpreta modelos aritmticos y algebraicos aplicando las propiedades de los nmeros positivos y expresiones aritmticas y

algebraicas, empleando las literales, para la representacin y resolucin de situaciones y/o problemas aritmticos y algebraicos,concernientesa su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.

Identifica las caractersticas presentes en tablas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmtico y/oalgebraico.

Calendario de Estudio

Da Temas Ev idencia de aprendizaje

Lunes

1. Los nmeros positiv os1. 1. Representacin de nmeros positiv os

1.1.1. Fracciones1.1.2. Decimales1.1.3. Porcentajes1.1.4. Conversiones entre distintas

representaciones

Opera diferentesrepresentacionesde nmerospositivos.

Martes

1. 2. Jerarquizacin de operaciones numricas1. 3. Planteamiento de una expresin algebraica

1.3.1. Procedimiento para el planteamiento de una ecuacin

Emplea la calculadora como instrumento de exploracin yverificacin de resultados.

Plantea y resuelve expresiones aritmticas y algebraicas de suentorno. 9

Bloque II: Utiliza magnitudes y nmeros reales Unidad de Competencia: Construye e interpreta modelos aritmticos, algebraicos aplicando las propiedades de los nmeros reales y expresiones aritmticas y

algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representacin y resolucin de situaciones y/oproblemasaritmticosy algebraicos, concernientesa su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.

Identifica las caractersticas presentes en tablas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmtico y/oalgebraico.



Mircoles

2. Uso de los nmeros reales y las v ariables algebraicas

2.1. El conjunto de los nmeros reales y sus subconjuntos

2.2. Nmeros simtricos, v alor absoluto y relaciones de orden2.2.1. Simtrico de un nmero real2.2.2. Valor absoluto de un nmero real2.2.3. Relaciones de orden

Opera diferentesrepresentacionesde nmerosreales.

Juev es

2.3. Comparacin y relacin entre nmeros reales2.3.1. Razones2.3.2. Tasas2.3.3. Proporciones2.3.4. Variaciones

Usa la calculadora como herramienta de apoyo en su trabajo.

Emplea expresiones numricas para representar relacionesentre magnitudesvariablesy constantes.

Viernes Examen semana 1Rev isa la opcin de proyecto modular 1 Realiza el examen de semana 1.

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Semana 1 / Sesin 1 / Lunes

1. Los nmeros positivos

1.1. Representacin de nmeros positivos

1.1.1. Fracciones1.1.2. Decimales1.1.3. Porcentajes1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones

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Al finalizar la sesin 1, sers capaz de:

Distinguir nmeros positivos a travs de sus distintas formas de representacin (enteros, decimales, fracciones y porcentajes).

Escribir cantidades numricas de distintas maneras mediante conversiones entre los distintos tipos de representacin.

Semana 1 / Sesin 1 / Lunes 12


Recuerda:

La aritmtica es la ms antigua y elemental rama de las matemticas que se ocupa del estudio delos nmeros y las operaciones que pueden realizarse con ellas.

Las siete operaciones bsicas de la aritmtica son:

Suma:

Resta:

Multiplicacin:

Divisin:

Potencias:

Races:

Logaritmos:

77204512 =++

409684 =

651681 =

594)3)(33)(6( =

97.1435524 =

981 =

2

2 2424log ==

Recuerda queCalcular la raz cuadrada de un nmero esla operacin inversa de calcular el cuadradodel nmero. Por ejemplo: si el cuadrado de 5es 25; la raz cuadrada de 25 es 5.

Recuerda que

log b x = n x = bn

Recuerda quean = a x x a

Por ejemplo: 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16n

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Instrucciones: resuelve las siguientes operaciones aritmticas y verifica con la calculadora siestn correctas. En este ejercicio solo se repasarn las primeras 4 operaciones bsicas (suma,resta, multiplicacin y divisin) ya que son las que utilizars en esta sesin.


1) 32 + 89 + 111

2) 156 25 40 + 33

3) (13)(54) (46)(4)

4) 79 24 + 6 / (3)(12)

5) 57 + 32 x 15 - 71

6) (43)(8) + (6)(14)

7) 81 / 9 + 8 4 + 14

8) 125 75 16

9) 89 + 61 57

10) 20 x 12 + 46 - 31

Respuestas: 1) 232, 2) 124, 3)518, 4) 79, 5) 466, 6) 428, 7) 27, 8) 34, 9) 91, 10) 255

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El INEGI te invita a conocer la seccin Lo ms y lo menos en Mxico:

http://www.cuentame.inegi.org.mx/SabiasQue/default.aspx?tema=S

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Si en el Segundo Conteo de Poblacin y Vivienda 2005 realizado por el INEGI se contaron103263,388 habitantes en Mxico en una extensin territorial de 1964,375 Km2 :

Cmo le haras para saber cuantos habitantes tena el Estado de Mxico?Qu necesitas hacer para saber la porcin del territorio nacional representado porel estado de Chihuahua?

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Las opciones que mencionaste para responder las preguntas del Explora anterior, seguramente tienenalguna relacin con las diferentes formas en que se pueden representar los nmeros positivos en lavida cotidiana, adems de las conversiones que se realizan entre ellas. Ms adelante se resolver elproblema despus de que veas algunos conceptos importantes.

1. Los nmeros positivos

1.1. Representacin de nmeros positivosLos nmeros surgieron de la necesidad de representar cantidades; es decir, relacionar un smbolo conuna magnitud. Los primeros nmeros creados tenan la intencin de contar, estableciendo un ordenpara indicar cul era mayor y cul menor.El 1 es el menor de todos, el 2 es el que le sigue etc., pero tambin el 4 es mayor que el 3, el 3 mayorque el 2 y as sucesivamente. As fue como surgi la recta numrica y aparecieron operaciones comola suma y multiplicacin, con la restriccin de que el resultado de ellas debe ser un nmero de estemismo conjunto. Por ejemplo:

Pero, cmo representaras la ausencia de cantidad? La respuesta es anexar el nmero cero ycolocarlo en la recta como el primer nmero o el menor de todos:

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 L

Nmeros Naturales ( N )

Nmeros Enteros ( Z ), incluido el cero

675

,

83

,

210

A partir de ese momento se puede contar desde el cero hasta donde se desee, no hay lmite; es decir,el conjunto de nmeros es infinito y se denominan nmeros positivos.

A su vez el conjunto de los nmeros positivos se puede clasificar como se muestra en la siguienteimagen:

Los nmeros positivos pueden representarse de tres maneras:

Como fracciones, por ejemplo:

Como decimales, por ejemplo: 9.81, 16.15, 0.00013

Como porcentajes, por ejemplo: 2%, 46.8%, 77%

Recuerda queLas fracciones se leen dela siguiente manera:Diezmedios

Tresoctavos

Setenta y cincosextos

2

10

8

3

6

75

18


1.1.1. Fracciones

Las fracciones constan de dos nmeros: el superior llamado numerador y el inferior llamadodenominador.

Una fraccin describe una parte de un todo. Por ejemplo, si un pastel se divide endoce partes iguales y ocho de las rebanadas se reparten entre los asistentes deuna fiesta, la fraccin que representa lo anterior es:

Nmero de rebanadas repartidas entre los asistentesNmero total de rebanadas del pastel

Al cociente o divisin de dos nmeros enteros se le llama nmero racional o fraccionario y eseconjunto de nmeros se representa por Q. Se debe tener cuidado de que el denominador no sea cero.Algunos ejemplos son:

Se observa que las primeras dos fracciones en realidad son dos nmeros enteros divididos entre launidad; as, un nmero natural es al mismo tiempo entero y por tanto, racional.

todo unparte una

128

=

12

9

7

56

1

12

1

5

0 con rdenominado

numerador= b

b

a,

Sabas queAl dividir cualquier nmero entre 0 el resultadoes infinito, por ejemplo 5/0 = infinito ().

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1.1.2. DecimalesLos nmeros positivos pueden tener una representacin decimal de tres tipos:

Decimal exacto: la parte decimal tiene un nmero finito de cifras. Por ejemplo:

Decimal peridico puro: la parte decimal completa se repite indefinidamente, la cual puedeser representada con una lnea encima de los dgitos que representan al periodo. Ejemplo:

Decimal peridico mixto: al principio de la parte decimal hay una parte que no se repite yotra que si se repite. Por ejemplo:

1.1.3. PorcentajesEs una manera de expresar un nmero positivo como una parte de 100 yse representa por el smbolo %. Se puede pensar como el numerador deuna fraccin que tiene un denominador de 100:

25.041

=

25.325252525.3 =L

2512.312252525.3 =L

%56100

56

100==

numerador

20


1.1.4. Conversiones entre distintas representacionesConversin de fraccin a:a) Decimal.

Se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo:

b) Porcentaje.Se convierte a decimal y se multiplica por 100%. Por ejemplo:

Conversin de porcentaje a:a) Fraccin.

Se quita el smbolo de porcentaje y se coloca la cantidad en el numerador.Siempre se utiliza como denominador el nmero100. Se debe simplificar la fraccin en caso deser posible:

b) Decimal.Se quita el smbolo de porcentaje y se recorre el punto decimal dos cifras hacia la izquierda. Seagrega el cero como parte entera. La razn por la cual se recorre el punto dos cifras a laizquierda es porque esta operacin es equivalente a dividir el nmero entre 100, y estas doscifras representan los dos ceros que contiene el nmero 100. Por ejemplo:

%25%10025.025.041

==

625.085

=

5039

10078%78 =

1562.0100

62.15

26510%62.15

=

21


Conversin de decimal a:a) Fraccin.

i) Nmero con parte entera igual a cero y parte decimal peridica pura.El numerador ser igual a la parte peridica y el denominadorser igual a tantos nueves como dgitos contenga el periodo:

ii) Nmero con parte entera distinta a cero y parte decimal peridica pura.Ser igual a la parte entera ms un racional que tendr como numerador la parteperidica y como denominador tantos nueves como dgitos contenga el periodo:

iii) Nmero con parte entera distinto de cero y parte decimal peridica mixta.Ser igual a la parte entera ms un racional que tendr como numerador la parte noperidica seguida de la parte peridica menos la parte no peridica, y comodenominador tantos nueves como dgitos contenga el periodo y tantos ceros comodgitos contenga la parte no peridica:

b) Porcentaje.Multiplicar por 100% o recorrer el punto decimal de la cantidad dos lugares hacia laderecha y agregar el smbolo %. Por ejemplo:

%41.26%1002641.02641.0 =%41.2614620

Caso Descripcin EjemploNmero con parte entera

igual a cero y parte decimal peridica pura

El numerador ser igual a la parte peridica y el denominador serigual a tantosnuevescomo dgitoscontenga el periodo

Nmero con parte entera distinta a cero y parte

decimal peridica pura

Ser igual a la parte entera ms un racional que tendr comonumerador la parte peridica y como denominador tantos nuevescomo dgitoscontenga el periodo

Nmero con parte entera distinto de cero y parte decimal peridica mixta

Ser igual a la parte entera ms un racional que tendr comonumerador la parte no peridica seguida de la parte peridicamenos la parte no peridica, y como denominador tantos nuevescomo dgitos contenga el periodo y tantos ceros como dgitoscontenga la parte no peridica

31

933.0 ==

99

236

99

38

99

198

99

38238.2

=+

=+=

9900

30913

9900

1213

9900

29700

9900

12133

9900

1212253

2512.3

=+

=+

=

+

=

Recuerda quePara sumar cantidades enteras y fraccionesse realiza lo siguiente:

c

bacc

ba

+=+

22


Ejemplo 1:En una parada de camiones se encuentran 4 personas. Entonces se puede afirmar que el nmero 4:

a) Es un nmero natural (N) debido a que lo utilizamos para contar (1 persona, 2 personas, )

b) Es una cantidad que se puede expresar como un nmero decimal, ya que es equivalente a 4.0.

c) Puede ser representado como una fraccin, puesto que la expresin es equivalente a 4.

d) Desde el punto de vista de los porcentajes, representa el 400%; es decir, partiendo de que launidad es equivalente al 100%.

e) Es un decimal peridico debido a que es posible hacer notar el punto decimal y agregar infinitosceros a la derecha del punto, es decir: .

14

0.4000000.4 =L

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Ejemplo 2:

El nmero :

a) No es un nmero natural (N) porque no se puede contar.

b) Como nmero decimal se escribe como

c) En la forma fraccionaria se representa por:

d) La cantidad como porcentaje, se representa aproximadamente por al ser multiplicado por 100.

28.7

L28282828.7

99

721

99

28693

99

28728.7 =

+=+=

28.7 %28.728

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Ejemplo 3:

En el Explora que se te present al principio de la sesin se te inform que en el segundo conteo depoblacin y vivienda del 2005, realizado por el INEGI, se contaron 103, 263, 388 habitantes en Mxico.Tambin se te pregunt qu haras para saber cuntos habitantes tena el Estado de Mxico en eseao, si el 13.5% del territorio nacional estaba en ese estado.

La respuesta es muy fcil!

Lo nico que necesitas hacer es multiplicar el total de habitantes, por el porcentaje dado (en forma dedecimal):

As, en el 2005 haba aproximadamente 13 940, 557 habitantes en el Estado de Mxico.

.3813,940,557=100

5.13388,263,103

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El nmero 13.5% presentado en el Explora:

a) No es un nmero natural (N), debido a que no es utilizado propiamente para contar los elementosde un conjunto.

b) Como nmero decimal se escribe como 0.135.

c) En la forma de fraccin representa ; para llegar a esta forma se consideran dos caminos:

1. El 13.5% representa 135 partes de 1000; es decir,

2. La cantidad 0.135 se lee y vale 135 milsimos; que representa lo mismo que ;el proceso para llegar a 27/200 es semejante al descrito anteriormente.

Por lo tanto, 27 de cada 200 habitantes de Mxico, viva en el Estado de Mxico en el 2005.

d) Es un decimal peridico debido a que puede expresarse de manera equivalente con ceros infinitosa la derecha del punto, es decir:

1000135

20027

1000135

=

1000135

0135.013500000.0 =L

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Ejemplo 4:La segunda pregunta que se te haca en el Explora fue qu necesitas hacer para saber elporcentaje del territorio nacional representado por el estado de Chihuahua?, si la extensinterritorial de Mxico es de 1,964,375 Km2 .

Entonces el nmero :

a) No es un nmero natural (N) debido a que no se utiliza para contar.

b) Su representacin decimal se obtiene al realizar la divisin, obteniendo

d) Como porcentaje, representa 12.5%.

Si tu respuesta fue dividir la extensin territorial de Mxico, entre la extensin de Chihuahua, te felicito!, estuviste en lo correcto:

Y multiplicando por 100%:

Por lo tanto, Chihuahua representa aproximadamente el 12.5% del territorio nacional.

125192.01964375245925

=

%5192.12%100125192.0 =

1964375245925

125192.0

27


Un resumen de las distintas representaciones de los nmerospositivos descritos en los cuatro ejemplos anteriores se muestraen la tabla siguiente:

Natural (N) Decimal Decimal Peridico Fraccin Porcentaje

4 4.0 400%

No es natural 7.282828 728.28%.

No es natural 0.135 13.5%

No es natural 0.125192 No aplica 12.5%

0.414

1964375245925

0135.0

28.7 99721

20027

1000135

=

28


*

* VD: valor diario recomendado 29


La imagen anterior muestra los ingredientes para realizar una torta de chocolate. Adems contiene latabla nutricional del postre por porcin.

Si observas, tanto en los ingredientes como en la tabla nutricional se utilizan distintasrepresentaciones numricas, ya sean enteros, fracciones o porcentajes.

Dichas cantidades se pueden convertir a otra representacin. Por ejemplo:

a) Si representas los 40 miligramos de sodio en gramos, cul es la cantidad obtenida?b) Si representas la media taza de harina en forma decimal, cmo quedara?c) Si te piden representar los tres cuartos de taza de mantequilla como un porcentaje, cul es la

cantidad que daras?d) Qu fraccin representa cada cuadrito de chocolate semiamargo BAKERS Bittersweet?

La porcin tendr 0.04 gramos de sodio, el pastel tendr 0.5 taza de harina y el 75% de una taza demantequilla sin sal. Cada cuadrito representa del paquete de chocolate semiamargo.

Con este ejercicio te puedes dar cuenta que las cantidades numricas se comprenden mejor representndolas en distintas formas, como decimales, enteros, fracciones o porcentajes.

Receta completa:http://www.comidakraft.com/sp/recipes/torta-de-chocolate-55674.aspx

6

1

30


Actividad 1

Instrucciones: tu tutor desea que practiques las diferentes maneras de representacin de losnmeros positivos. Para lograrlo, te pide que completes el cuadro siguiente:

Natural Decimal Decimal Peridico Fraccin Porcentaje

75%

3.4444

3.1

78

28.10

32.4

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Actividad 2

Instrucciones: resuelve el siguiente problema y contesta lo que se te pide.Un anciano millonario dej una herencia para repartir entre su nico hijo y el asilo donde pas susltimos das. La reparticin fue la siguiente: 3/4 para su hijo y el resto para el asilo.

1. Si el hijo recibi 63 millones. Cunto dinero recibi el asilo?

2. Representa la cantidad anterior como:a) porcentaje.b) fraccin.

3. Cunto dinero dej de herencia el anciano?

32


ba

2318

13.0 ba

ba

Actividad 3

Instrucciones: para que practiques las diferentes representaciones de los nmeros positivos, tu tutor te pide que realices lo siguiente.

1. Escribe como un nmero de la forma .

2. El 7 exprsalo como un decimal peridico.

3. El valor equivalente a en porcentaje.

4. Encuentra el valor que expresa como una fraccin de la forma .

5. Determina la forma equivalente del nmero 9.2222

36.14

33


Actividad 4

Instrucciones: realiza en tu casa la siguiente ensalada de frutas, con los siguientes ingredientes: papaya 3 pltanos kg de queso rayado 4/3 manzanas

2/4 kg de guanbana kg de uvas

Procedimiento:

Divide la papaya en 12 partes iguales. Cmo se llama cada trozo de papaya? Divide cada pltano en octavos. Cuntos octavos reuniste en total? Divide cada tercio de manzana en 4 partes iguales. Cuntas partes resultaron en total? Cuenta cuntas uvas hay en un cuarto de kilo. A qu fraccin de kilo corresponde cada uva?

Luego de este divertido anlisis, distribuye los trocitos de papaya, pltano y manzana en unabandeja. Coloca los trocitos de guanbana encima, espolvorea el queso rayado sobre la frutay decora con uvas. Aade unas gotitas de miel al gusto y buen provecho!

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Semana 1 / Sesin 2 / Martes

1. 2. Jerarquizacin de operaciones numricas

1.3. Planteamiento de una expresin algebraica

1.3.1. Procedimiento para el planteamiento de una ecuacin

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Resolver expresiones numricas mediante la jerarquizacin de operaciones y el uso de la calculadora.

Plantear y resolver expresiones algebraicas a partir de una situacin dada.

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Recuerda:

Los nmeros positivos los puedes representar como enteros, decimales, fracciones yporcentajes.

Instrucciones: relaciona las columnas que a continuacin se muestran, de manera que coloques laletra del inciso en el parntesis que indica el nmero equivalente.

Respuestas: 5/8 = 62.5%, 3.242424= 321/99, 7/9 = 0.7, 85% = 17/20, = 50%

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Lee el siguiente enunciado y responde lo que se indica.

Javier reconoce que su salud est en peligro debido a que tienesobrepeso de 10 Kg con respecto a la recomendacin de su mdico,por lo que ha decidido utilizar su caminadora que registra loskilmetros que ejercita.

El lunes recorre Km; martes y mircoles Km; el jueves 4 Km,

viernes y sbado Km y el domingo de Km.511

312

533

34

Cmo determinas los kilmetros recorridos por Javier en esa semana?

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Si tu respuesta fue sumar todas las cantidades, ests en lo correcto!, pero ten en cuenta que primerodebes jerarquizar las operaciones a realizar, pues debes trabajar las fracciones de modo que tenganel mismo denominador. Ms adelante se presenta la solucin, pero antes conoce las reglas parajerarquizar.1.2. Jerarquizacin de operaciones numricas

En matemticas como ciencia formal, existe una jerarqua u orden en las operaciones para procedera resolverlas, as como tambin existen leyes que rigen el despeje de las expresiones, y los elementosde un conjunto deben escribirse en una forma especfica para tener sentido matemtico.

En las operaciones numricas se sigue un orden cuando enuna expresin aparecen varios operadores:1 Se deben efectuar aquellas que indiquen potenciacin, es

decir, potencias ( ) y races ( ).2 Se realizan las multiplicaciones ( ) y

las divisiones ( ).3 Por ltimo se realizan las adiciones o sumas

( ) y las sustracciones o restas ( ).

nxxx ,, 32 144,25,9( ) 25*7,955,183

545

,20/60,321

92,825 ++ 29,1425

En ocasiones se deben expresar operaciones en la que el orden que se ha establecido se rompe; porejemplo, se desea realizar primero una adicin para despus multiplicar su resultado por un nmero.Para expresar este tipo de operaciones se utilizan los smbolos de agrupacin: parntesis ( ),corchetes [ ] y llaves { }.

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Ejemplo 1: tu escuela te seleccion para ir a concursar a la Olimpiada Mexicana de Matemticasque se realiza cada ao y tu tutor te da la siguiente expresin, indicando paso a paso comoresolverla mediante el buen uso de las reglas de jerarquizacin.

( )[ ]17871481534 2 ++( )[ ]{ }12330871481534 2 ++

( )[ ]1171481534 2 ++( )171481534 2 ++( )1281534 2 ++381534 2 +

381594 +

39594 +

39454 +

3454 +

46

Se realiza la resta dentro del parntesis. Observa que el corchete ahora se escribe como parntesis y las llaves se reasignan como

corchetes.

Se restan de nuevo los elementos del parntesis.

Se efecta la multiplicacin indicada en el parntesis. Nuevamente los corchetes se escriben como parntesis.

Se realiza la divisin indicada dentro del parntesis.

Se suman los elementos dentro del parntesis.

Como ya no existen smbolos de agrupacin, se deben efectuar las potencias y races. En este caso se realiza primero la

potencia.

Se efecta la raz.

En este punto se deben realizar las multiplicaciones y divisiones. En este caso primero la multiplicacin.

Ahora la divisin.

Por ltimo se realizan las sumas o restas que pudieran aparecer para llegar a la solucin final.

40


Ejemplo 2: utilizando la calculadora se puedellegar a la solucin de la expresin del ejemploanterior.

Antes que nada debes familiarizarte con tucalculadora. Identifica las teclas que representan alos parntesis, as como las teclas para lasoperaciones bsicas como suma, resta,multiplicacin y divisin, incluyendo la raz y lapotencia.

Si utilizas una calculadora cientfica Casio como laque se muestra en la imagen, puedes escribir laecuacin de la siguiente manera:

( )[ ]{ }12330871481534 2 ++

4 + 3 2X 5 81 ( 14 7 ( 8 ( 30 23 ) ) + 1 ) ANS

El resultado en el display o pantalla de la calculadora debe ser 46.

41


Se te recomienda comprar una calculadoracientfica debido a que la seguirs utilizandoen tus siguientes cursos de matemticas.

Pero, si por el momento no tienes una,tambin puedes resolver operaciones en lacalculadora de tu computadora, como la queofrece Microsoft Windows (ver figura 1). Tenen cuenta que no tiene teclas para la raz nipara introducir fracciones, por lo que aqu esun poco mas complicado introducir lasecuaciones.

La forma como debes introducir la ecuacin

en esta calculadora es la siguiente. Elresultado que debe mostrar el display es 46.

Figura 1. Calculadora cientfica de MicrosoftWindows

+*

( 1 / 2 )2^x yx ^ / ( 14 /7

*( 8 ( 30 23 ) ) + 1 ) =

81534

( )[ ]{ }12330871481534 2 ++Recuerda queUna raz puede repre-sentarse como:

Por ejemplo:2

32 3 99 =

ac

a c bb =Raz cuadrada de 81

42

Ejemplo 3: en el explora se te pidi que determinaras la cantidad final de kilmetros recorridospor Javier en una semana dado que el lunes recorri Km; el martes y el mircoles Km; eljueves 4 Km, el viernes y el sbado Km y el domingo de Km.

La expresin que representa la informacin del problema es:

La descripcin de los pasos que debes realizar para llegar ala solucin se listan a continuacin.

511 3

12

533

34

Cada fraccin mixta convirtela en una fraccin:

Realiza las multiplicaciones de los parntesis:


34

51824

372

56

+

++

+

34

5364

314

56

++++

34

53324

3122

511 +

++

+

( )( )5

175

253523 =+=

Recuerda queUna fraccin mixtaes aquella fraccin que tiene una parte entera y otra fraccionaria. Para convertirla en una fraccin comn, debes multiplicar la cantidad entera por el denominador y sumarla al numerador. Por ejemplo:

34

53324

3122

511 +

++

+

43


415216

+

1560

15216

+

15276

5218

4.18

Suma las fracciones con igual denominador:

Obtn comn denominador para las dos fracciones:

Realiza la suma del numerador:

Representa al entero como una fraccin, poniendo como comn denominador al 15:

Suma las fracciones:

Si es posible simplifica la fraccin:

Escribe la fraccin como decimal:

As pues, Javier recorri esa semana 18.4 km en la caminadora.

43

18542

++

415

90126+

+

44


Ejemplo 4: resuelve con la calculadora la ecuacin del ejercicio anterior.

La forma como debes escribir la ecuacin es la siguiente:

En el display o pantalla aparecer 18 2 5, presiona el botn y te aparecer 18.4.

La forma como debes introducir la ecuacin en la calculadora de Windows es:

25

ANS

1 1 + ( 312 ) +4 + 3 5 32 ( 3 ) + 4Tecla que indica fraccin

34

53324

3122

511 +

++

+

+*

1 /( )

=

5 1 5 + 2*

( ( +*

2

/)

3

1 3 ) + 2*

( ( +*

3

/)5

3 5 )+ 4

+ ( 4 / 3 )

Fraccin mixta

45


1.3. Planteamiento de una expresin algebraica

Para resolver problemas o modelar situaciones por medio del lenguaje del lgebra, lo primeroque debes hacer es traducir del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Las operacionesbsicas en matemticas se caracterizan por smbolos como .

En el lenguaje comn, dichas operaciones pueden expresarse de diferentes formas:+ ,,,

46


Ejemplo 1: la siguiente tabla muestra algunas operaciones expresadas en lenguaje comn y surepresentacin en lenguaje algebraico.

47

En el ejemplo anterior se utilizaron las letras minsculas para representar dosnmeros cualesquiera. Esas letras, as como cualquier otra letra minscula que se utilicepara representar algn nmero, se conocen como literales y en matemticas se utilizancomnmente para expresar variables, las cuales dependiendo de la situacin que se deseamodelar, pueden representar:a) un valor especfico (cuando se utilizan en ecuaciones), y se les denominan

incgnitas.b) un rango especfico de valores delimitado por una condicin (cuando se ubican en una

relacin funcional o funcin), y se les denominan variables.c) cualquier valor y se les denominan nmeros generales.

Ejemplo 2: traduce el siguiente enunciado al lenguaje algebraico.Encuentra un nmero que sumado a 10 es 25

Lo primero que debes hacer es asignar letras o literales a las cantidades desconocidas:Encuentra un nmero que sumado a 10 es 25

Una vez que se ha hecho la traduccin de las cantidades desconocidas, entonces se traducen losoperadores (signos) involucrados en el enunciado:

Encuentra un nmero que sumado a 10 es 25

La traduccin completa del enunciado es:Semana 1 / Sesin 2 / Martes

""y"" ba

n

n + 10 = 25n + 10 = 25

48

Ejemplo 3: plantea la expresin algebraica del siguiente enunciado:10 menos el doble del nmero es tres veces el doble del nmero menos 5

Asignando literales y traduciendo operadores se tiene que:10 menos el doble del nmero es tres veces el doble del nmero menos 5

La traduccin final es:

Algunos problemas relacionan dos nmeros de tal manera que uno se expresa con base en otro.Entonces si el primero se expresa con una variable, el otro se expresa con una expresin quecontiene dicha variable.Ejemplo 4: representa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico.

x- 2 =10 3 ( 2 x - 5 )10 - 2x = 3(2x - 5)

Semana 1 / Sesin 2 / Martes 49


1.3.1 Procedimiento para el planteamiento de una ecuacin

Un procedimiento general para plantear la ecuacin de un problema expresado en lenguajecomn es el siguiente:1. Lee cuidadosamente el problema hasta comprender la situacin que plantea.2. Identifica y establece las cantidades conocidas en el problema.3. Anota una de las cantidades desconocidas con una variable, por ejemplo x.4. Forma la ecuacin que relacione las cantidades desconocidas con las conocidas.

Ejemplo 1: Luis tiene el doble de CDs que t, y entre ambos tienen 15. Cuntos posee cadauno?

Primero lee el problema y entindelo. Despus identifica y subraya todos los datos que te da elproblema:

Luis tiene el doble de CDs que t, y entre ambos tienen 15

Anota las preguntas del problema: Discos compactos que tengo yo: x Discos compactos que tiene Luis: 2x

Forma la ecuacin: x + 2x = 15

50


Ejemplo 2: Gerardo, Carlos y Alex ganan entre los tres $1200 en un trabajo. Carlos gan $200 menosque Gerardo y Alex gan el doble que Carlos. Indica lo que gan cada uno de ellos.

Primero lee el problema y entindelo. Despus identifica y subraya todos los datos que te da elproblema:

Gerardo, Carlos y Alex ganan entre los tres $1200 en un trabajo. Carlos gan $200 menos que Gerardo y Alex gan el doble que Carlos.

Anota las preguntas del problema: Lo que gan Gerardo: x Lo que gan Carlos: x 200 Lo que gan Alex: 2(x-200)

Forma la ecuacin: x + (x - 200) + 2(x - 200) = 1200

Ejemplo 3: hace 10 aos la edad de Juan era 4 veces mayor que la de Pedro y, hoy en da, la edad deJuan es solamente el doble que la de Pedro. Encuentra las edades actuales de ambos.

Edad actual de Juan: 2x Edad actual de Pedro: x Edad hace 10 aos de Juan : 2x 10 Edad hace 10 aos de Pedro: x 10

La ecuacin es: 2x 10 = 4 (x 10)51


El registro que se muestra en la figura indica lalectura del gas en un conjunto residencial deMadrid Espaa (en euros) durante el 2005. El importe que debe pagarse es de 62.10

euros (encerrado en el elipse). Cul es laecuacin mediante la cual se obtienedicha cantidad?

Uno de los cinco conceptos desglosadosen el recuadro omite una regla dejerarquizacin. Indcala y corrgela paraobtener el resultado registrado por lacompaa elctrica.

[ ][ ] 10.62)09.0*373()51.1*2*5.5(16.0

)66.0*2()05113.1*)09.0*373()51.1*2*5.5(*04864.0(

)09.0*373()51.1*2*5.5(

++

+

++

+

La ecuacin que obtiene el importe es: La regla que se omiti se encuentra en el IVA (16%),pues es necesario que un parntesis encierre a lasdos cantidades antes de multiplicarlas por el 16%:

Ahora sabes que despus de plantear unaecuacin, necesitas jerarquizar operaciones paraobtener el resultado deseado!

03.8)57.3361.16(*16.0 +

52


Actividad 5

Instrucciones: plantea y resuelve la ecuacin del siguiente enunciado.Si a un nmero le restas 38, se reduce a su tercera parte. Cul es ese nmero?

Actividad 6

Instrucciones: resuelve el siguiente problema utilizando la calculadora.

Se te pide para el da de maana que numeres las 100 pginas de unalibreta profesional.

Cuntos dgitos (nmeros del 0 al 9) utilizars? Toma en cuenta que enla pgina 1 se utiliza un dgito, en la 2 tambin, en la pgina 10 se utilizandos dgitos (1 y 0) y en la pgina 100 se utilizan tres dgitos (1, 0 y 0).

53


Actividad 7

Instrucciones: resuelve el siguiente problema utilizando la calculadora.Si el profesor tambin numer una libreta profesional empezando por el 1 y utiliz 363 dgitos,

cuntas pginas tena su libreta?

Actividad 8

Instrucciones: plantea y resuelve la ecuacin del siguiente enunciado.La suma de tres nmeros naturales consecutivos es igual al cudruple del menor. De qu

nmeros se trata?

54

Semana 1 / Sesin 3 / Mircoles

2. Uso de los nmeros reales y las variables algebraicas

2.1. El conjunto de los nmeros reales y sus subconjuntos

2.2. Nmeros simtricos, valor absoluto y relaciones de orden

2.2.1. Simtrico de un nmero real2.2.2. Valor absoluto de un nmero real2.2.3. Relaciones de orden

55



Establecer y resolver expresiones algebraicas mediante las propiedades del conjunto de losnmeros reales.

Ordenar cantidades numricas de acuerdo a las relaciones de orden.

56


Recuerda:Cuando necesites resolver una ecuacin debes seguir las reglas de jerarquizacin: Inicia resolviendo las operaciones que se encuentran dentro de los smbolos de agrupacin

(llaves, corchetes y/o parntesis). En segundo trmino realiza las operaciones con logaritmos, races y potencias. Despus haz todas las operaciones con divisiones y multiplicaciones. Por ltimo, realiza las sumas y restas en la ecuacin.

Instrucciones: realiza lo que se te pide.a) Piensa un nmerob) Smale 10c) Rstale 6d) Multiplcalo por 2e) Rstale 4f) Divdelo entre 2g) Rstale 2.

1) Tienen algo en comn el nmero que pensaste y tu resultado? Aqu se debe esto?2) Representa lo anterior como una ecuacin algebraica.3) Si utilizas un nmero negativo o un nmero fraccionario se cumple la ecuacin?

Respuestas: por ejemplo (No. 5) 5 + 10 = 15 6 = 9 X 2 = 18 4 = 14 / 2 = 7 2 = 51) Es el mismo nmero debido a que todos los trminos se eliminan.2)

3) Si se cumple con cualquier nmero.

57

Observa la imagen. Como te dars cuentase trata de un buzo que se encuentra a 55metros bajo el nivel del mar, adems seencuentra una gaviota a 25 metros sobre elnivel del mar y un pulpo a 65 metros bajo elnivel del mar.

Cmo le haras para saber a cuantosmetros de distancia se encuentra elbuzo del pulpo?

Semana 1 / Sesin 3 / Mircoles 58

Retomando la pregunta que se te plante en el Explora, si tu respuesta fue realizar sumar y restar lasdistancias, ests en lo correcto, pues ests trabajando con el conjunto de los nmeros reales, ycuando se habla de metros bajo el nivel del mar pudiera parecer que se habla de nmeros negativos.

2. Uso de los nmeros reales y las variables algebraicas2.1. El conjunto de los nmeros reales y sus subconjuntos

En la sesin anterior conociste los nmeros positivos entre ellos los enteros, los naturales y losracionales. Una representacin que se tiene acerca de esos nmeros es la recta numrica teniendocomo referencia al cero u origen.

El cero representa la ausencia total de cantidad. Los enteros positivos (Z+) se ubican a laderecha del cero y representan cantidades completas, es decir, cantidades que son enterasque se utilizan para contar. Los enteros negativos (Z- ) se ubican a la izquierda del cero y consigno negativo.


Ejemplo 1. Los nmeros enteros negativos aparecen en muchas situaciones de lavida cotidiana:a) Sealar el nmero de piso de un edificio en el elevador.b) Medir altitudes. Se considera cero el nivel del mar.c) Medir temperaturas en grados centgrados, considerando que se congela el

agua en el grado cero.59

Ejemplo 2. Siguiendo con la seccin Explora, para sabera cuantos metros de distancia se encuentra el buzo delpulpo se realiza lo siguiente.

La distancia entre el pulpo y el buzo la obtienes restandosus distancias:

As pues, existen 10 metros de distancia entre el pulpoy el buzo.

Ejemplo 3. Ahora, si la gaviota se tira en picada en labsqueda de un pez y desciende 1 metro bajo el niveldel mar, cmo sabras los metros que recorri?

La gaviota recorre 26 metros para cazar un pez.


distanciadel pulpo

distancia del buzo- = 105565 =

distancia de la gaviota

1 m de descenso+ = 26125 =+

60

El conjunto de los nmeros reales est formado por varios subconjuntos:1. Los nmeros naturales: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , }2. Los nmeros enteros positivos: Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , }3. Los nmeros enteros negativos: Z- ={ , , -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1}4. El conjunto que contiene al cero: {0}

Algunos smbolos importantes para utilizar conjuntos son:1. El smbolo que significa unin de conjuntos. Se deben tomar en cuenta todos los elementos

de los conjuntos a unir.2. El smbolo indica que un conjunto es un subconjunto de un conjunto mayor. Su contraparte

es el smbolo indica que no es subconjunto de otro.3. El de pertenencia que indica si un elemento est dentro de un conjunto. El que niega que un

elemento pertenezca a un conjunto es .De acuerdo a lo anterior, los nmeros enteros se forman de los nmeros enteros negativos ypositivos y se representan por Z:


{ }{ }0=+ NZ

+= ZZZ

61

Existen ms nmeros que no se representan comonaturales, enteros o racionales, ejemplos son elnmero (pi), o .A estas cantidades se les denomina nmerosirracionales y se representa por . La parte decimalde un nmero racional carece de un periodo repetitivo.En notacin de conjuntos se tiene que:

Ejemplo 4: identifica a que conjunto pertenecen los siguientesnmeros.

a) El -5 es un nmero: entero negativo y real.

b) El es un nmero: racional y por lo tanto real.

c) El es un nmero: irracional y real.

d) El 90 es un nmero: natural y por lo tanto real.Semana 1 / Sesin 3 / Mircoles

Otro conjunto que pertenece a los reales son los nmeros racionales, que son los que sepueden obtener a partir de una fraccin y se representan por la letra Q. As, en notacin deconjuntos se tiene que: QZ

pi 3,2 y

QR =

Irracionales

IIrracionales

I43

2pi

62

2.2. Nmeros simtricos, valor absoluto y relaciones de orden

Existen algunas relaciones entre los nmeros reales que son importantes: el simtrico de un real, elvalor absoluto y las relaciones de orden.

2.2.1. Simtrico de un nmero real

A los reales negativos que estn a la misma distancia del cero que los positivos, se lesllaman nmeros simtricos o nmeros opuestos.

Ejemplo 1. El -3 es el simtrico de 3:


Ejemplo 2. Si viajas a algn lugar en el hemisferio Norte en los das del invierno,por ejemplo, Canad, puedes llegar a observar temperaturas muy fras, como -7grados centgrados y - 20 C. Otra forma de hablar de dichas cantidades seradecir: hay temperaturas fras, como 7 y 20 grados bajo cero; y con esa indicacinse dice que son temperaturas por debajo de cero grados centgrados. Observa quetanto el 7 y -7, as como el 20 y -20 son cantidades simtricas.

63

2.2.2. Valor absoluto de un nmero real

El valor absoluto de un nmero representa la distancia de ste al origen. El smbolo que lorepresenta son dos barras verticales entre las cuales se encierra el nmero. Por ejemplo:

se lee el valor absoluto de -15 es igual a 15.

En el valor absoluto no importa en que lado de la recta est el nmero. Podrs ver que: Si el nmero es positivo entonces el valor absoluto del nmero es l mismo. Por ejemplo: 9=9 Si el nmero es negativo, su valor absoluto es el nmero sin el signo. Por ejemplo: -21=21

En general, se puede decir que el valor absoluto de un nmero es el valor numrico sin tener encuenta si el signo es positivo o negativo.

En una recta numrica es la distancia entre el nmero y el cero.


1515 =

64


Ejemplo 1. Indica los valores absolutos de las siguientes cantidades:a)

b)

c)

d)

Ejemplo 2. En matemticas existe un concepto llamado desigualdades.

Las desigualdades sugieren que cuando existe una ecuacin con valor absoluto se puederesolver omitiendo el valor absoluto:

5.235.23 =

5.05.0 =

3.1523.152 =

11 =

53 =x

53 =x

35 +=x

8=x65


2.2.3. Relaciones de orden

Antecesor y Sucesor de un nmero enteroEl conjunto de los nmeros enteros tiene una caracterstica especial: cada uno de sus elementos tieneantecesor y sucesor. El antecesor de un nmero es el que se ubica inmediatamente a la izquierdade l; el sucesor es el que est inmediatamente a su derecha. Por ejemplo:

Ejemplo 1. Observa los sucesores y antecesores de los siguientes nmeros:

66

Relaciones Mayor que y Menor que

Los nmeros reales son un conjunto ordenado, es decir, hay nmeros realesmayores o menores que otros. Un nmero real es menor que otro (), cuandoest a su derecha.

Ejemplo 1. Observa la siguiente recta numrica:

En este caso, el nmero -7 es el menor de todos porque est ms a la izquierda, mientras que el 6 esel mayor de todos porque es el que est ms a la derecha. As pues:

Ejemplo 2. Contesta la siguiente pregunta: cunto es x+3, si sabes que x es mayor que 1?

Si te estn diciendo que x es mayor que 1, eso se representa como: x > 1 , es decir , toma valores de 2 en adelante. Entonces la ecuacin que contesta la pregunta es:


6317


La historia ha conservado pocos rasgos biogrficos de Diofanto de Alejandra, notablematemtico de la antigedad. Todo lo que se conoce acerca de l ha sido tomado de ladedicatoria que figura en su sepulcro, inscripcin compuesta en forma de ejercicio matemtico:

Caminante! Aqu fueron sepultados los restos de Diofanto. Y losnmeros pueden mostrar, oh milagro!, cun larga fue su vida,cuya sexta parte constituy su infancia.Haba transcurrido adems una duodcima parte de su vida, cuandode vello cubrise su barbilla.Y la sptima parte de su existencia transcurri en un matrimonio estril.Pas un quinquenio ms y le hizo dichoso el nacimiento de suprecioso primognito, que entreg su cuerpo, su hermosa existencia,que dur tan slo la mitad de la de su padre a la tierra.Y con profunda pena descendi a la sepultura, habiendo sobrevividocuatro aos al deceso de su hijo

Cul era la edad de Diofanto cuando muri? A qu edad se cas? Cuntos aos tenacuando fue padre? Aqu edad perdi a su hijo?

68


La ecuacin que representa el texto anterior es:

Sumando los enteros:

Simplificando y :

Simplificando y :

Simplificando y :

Despejando el 9:

Realizando la suma de fracciones:

Despejando x:

927126

++++=xxxx

x

97126

4+++=

xxxx

9712

9++=

xxx

984

75+=

xx

984

75=

xx

9849

=x

9756

8499

==x

6x 2x

6)4( x 12x

12)9( x 7x

42

57126

+++++=xxxx

x

c

bac

c

ba

+=+

Recuerda quePara sumar cantidades enteras yfracciones se realiza lo siguiente:

69

84=x

As pues, Diofanto

tena 84 aos cuando muri:

se cas a los 21 aos:

fue padre a los 38 aos:

y perdi a su hijo a los 80 aos.

Como puedes observar, problemas de la vida cotidiana se pueden representar y resolver utilizando las propiedades de los nmeros reales.

217141284

684

126=+=+=+

xx

3851271457

841284

6845

7126=+++=+++=+++

xxx

80425127142

8457

841284

684

25

7126=++++=++++=++++

xxxx

Semana 1 / Sesin 3 / Mircoles 70

Actividad 9

Instrucciones: realiza lo que se te pide.1. Identifica a qu conjunto pertenecen los siguientes nmeros colocando la letra que le

corresponda (N: naturales, Z+ : enteros positivos, Z : enteros negativos, Q : racionales,I: irracionales, R: reales). Si un nmero pertenece a ms de un conjunto, indcalos.a) El es ________________ b) El -125 es __________________

2. Indica el valor absoluto de las siguientes cantidades:a) b)

3. Encuentra el opuesto o simtrico, el antecesor y el sucesor de los siguientes nmeros:a) -36 b) 81

4. Establece la relacin correcta entre los siguientes pares de nmeros utilizando los smbolos > y

Actividad 10

Instrucciones: resuelve los siguientes problemas.1. Identifica a qu conjunto pertenecen los siguientes nmeros colocando la letra que le

corresponda: N, Z+, Z, Q, I, R. Si un nmero pertenece a ms de un conjunto, indcalos.a) El 56 es __________________ b) El es __________________

2. Representa lo que sigue con valores absolutos: Supn que ingresas a un elevador en el stano 2,bajas dos pisos, subes cuatro, bajas tres, bajas uno y subes cuatro. En qu piso te encuentrasahora?

3. Encuentra el opuesto o simtrico, el antecesor y el sucesor de los siguientes nmeros:a) 6833 b) -792

4. Establece la relacin correcta entre los siguientes pares de nmeros utilizando los smbolos > y

Semana 1 / Sesin 4 / Jueves

2.3. Comparacin y relacin entre nmeros reales

2.3.1. Razones2.3.2. Tasas2.3.3. Proporciones2.3.4. Variaciones

73



Representar relaciones numricas entre magnitudes constantes y variables mediante tasas,razones o proporciones.

Resolver problemas aritmticos y algebraicos que involucran variaciones mediante los modelos devariacin proporcional directa o inversa.

74


Recuerda:

El conjunto de los nmeros reales R, se conforma de los conjuntos de nmeros irracionales I,racionales Q, enteros Z y naturales N.

Los nmeros negativos u opuestos estn a la misma distancia del cero que los positivos, y elvalor absoluto de un nmero es el valor numrico sin tener en cuenta si el signo es positivo onegativo.

El antecesor de un nmero es el que se ubica inmediatamente a la izquierda de l y el sucesores el que est inmediatamente a su derecha.

Un nmero real es menor que otro (), cuando est a su derecha.

75


Instrucciones:realizaloquesetepide.

1.Ordenademenoramayorlossiguientesnmeros:a)b)

2.Escribeelopuesto,elvalorabsoluto,elantecesoryelsucesordecadaunodelossiguientesnmeros:a)-4b)18c)0d)-25

3.Cul de las siguientes expresiones es correcta?a) Rb) Rc) Z

-

Z

{} 58 , 22 , 85 , 41 , 18 , 35 , 8 , 5 {}5 ,1, 12 , 0, 10 , 11 , 25 , 58

95

Respuestas: 1. a) {-58, -41, -8, 5, 18, 22, 35, 85} b) {-58, -25, -10, -5, 0, 1, 11, 12}2. -4: Opuesto = 4, Valor Absoluto = 4, Antecesor = -5, Sucesor = -3

18: Opuesto = -18, Valor Absoluto = 18, Antecesor = 17, Sucesor = 190: Opuesto = no tiene, Valor Absoluto = 0, Antecesor = -1, Sucesor = 1

-25: Opuesto = 25, Valor Absoluto = 25, Antecesor = -26, Sucesor = -243. a) Correcta, b) Correcta, c) Incorrecta

76


Un gegrafo desea determinar la distanciaentre dos municipios del estado deAguascalientes.

Para ello utiliza un mapa y se percata quela escala utilizada es de 1:500,000, esdecir, un centmetro en el mapa representa5 kilmetros en la realidad (500,000 cm).

Luego de medir con una regla la distanciaentre los dos municipios, obtiene unamedida de 3 centmetros.

Escala1:500,000

Divisin Poltica del Estado de Aguascalientes

Cmo podras calcular la distancia real entre los dos municipios?

77

As como en la situacin planteada en el Explora, en la vida real te puedes encontrar con situacionesen las que tengas que determinar alguna cantidad en base a algunos datos representativos. En estasesin aprenders a realizar este tipo de problemas por medio de una correcta comprensin de losdatos que se te proporcionen.

2.3 Comparacin y relacin entre nmeros reales2.3.1 Razones

Es el cociente de dos nmeros o dos cantidades que tienen las mismas unidades.Con ellas se pueden comparar cantidades numricas. Existen tres formas de escribir una razn:1) Como fraccin, donde el numerador se llama antecedente y el denominador consecuente.2) Como dos nmeros separados por la letra a.3) Como dos nmeros separados por dos puntos.

Ejemplo 1: representa las cantidades de las tres formas que existen para escribir una fraccin.

Semana 1 / Sesin 4 / Jueves 78

Ejemplo 2: las aerolneas permiten a los pasajeros llevar una pieza de equipaje slo si cabe en elmaletero que se encuentra encima de su asiento.

Si la longitud del espacio del equipaje de mano es de 24 pulgadas y su ancho es de 10 pulgadas.Cul es la razn del largo del espacio a su ancho?

La razn de la longitud al ancho es:

Ejemplo 3: en las narraciones deportivas el uso de estadsticas tiene como propsito analizar elcomportamiento de los equipos; es frecuente leer en la pantalla del televisor la efectividad de unequipo de basquetbol de la siguiente manera.

En el caso de tiros de campo acertaron 17 de 28 intentos realizados,y en los tiros libres acertaron 11 de 16 intentos.


5

12

pulgadas10

pulgadas24=

Accin Razn

Tiros de campo 17 de 28

Tiros libres 11 de 16

79

Ejemplo 4: recordando la situacin planteada en el Explora, para calcular la distancia queexiste entre los dos municipios se realiza lo siguiente.

Escala1:5000

Divisin Poltica del Estado de Aguascalientes


es lo mismo que

Como existen 3 cm de distancia en el mapa:

es lo mismo que

Si en realidad cada centmetro representa 5kilmetros, entonces, existen 15 kilmetros dedistancia entre los dos municipios de Aguascalientes.

000,500:1 000,5001

1,500,0003

33

000,5001

=

000,500,1:3000,500,13

80

2.3.2. Tasas

Es un cociente de dos cantidades con distintas unidades. Se escribe como fraccin.

Ejemplo 1: en la etiqueta de una lata de pintura se lee Cobertura: Un cuartocubre 200 pies cuadrados. Escribe lo anterior como una tasa.

Cuando escribas una tasa siempre incluye las unidades de las mediciones.

Ejemplo 2: en un peridico local se ley lo siguiente: La lluvia ocurri cerca de las 23 horas del sbado, cayendo en total 190 milmetros en tan slo 5 horas, cantidad record para Chihuahua, loque ocasion el derrumbamiento de una cantidad an no especificada de viviendas y negocios. Indica cual fue la tasa de cada del agua.

Primero compara la cantidad de agua con el tiempo transcurrido y simplifica la fraccin:

Esto quiere decir que la tasa fue de 38 mm en una hora. A este ltimo clculo se le llama tasaunitaria ya que tiene denominador 1.


cuadradospiescuarto

2001

hrmm

hrmm

138

5190

=

81


2.3.3. Proporciones

Es una afirmacin de la igualdad de dos razones o tasas y se expresa matemticamentecomo:

donde b y d deben ser distintos de cero. A los trminos a y d se les llama extremosy a los trminos b y c se les nombra medios.

Ejemplo 1: un sastre compr 5 metros de tela y pag por ella $25. Si necesita 8 metros de lamisma tela, cunto deber pagar?

Aplicando el concepto de proporciones:

A esta expresin generalmente se le llama regla de tres simple y para resolverla se emplea unprocedimiento sencillo, ya que se multiplican los datos que se conocen como medios y se divideentre el dato extremo que se conoce:

Realizando las operaciones, el sastre deber pagar $40 por los 8 metros de tela que le faltan.

dc

ba

=

x

mm 825$

5=

405

825=

=x

82

Ejemplo 2: determina si las 2 razones siguientes son una proporcin:

Si calculas el producto de los extremos y el de los medios y los comparas, podrs saber si lo son:

El producto de los extremos es 5(56)=280

El producto de los medios es (35)8 = 280

Como los productos son iguales: 280=280, la ecuacin dada si es unaproporcin, es decir, los pares de nmeros (5,8) y (35,56) son proporcionales.


5635

85

=

Propiedad fundamental de las proporciones. En cualquier proporcin elproducto de los extremos es igual al producto de los medios. Con estapropiedad se puede comprobar si dos razones dadas son una proporcin o no.Aesto se le llama productos cruzados:

83

Ejemplo 3: una compaa supervisora de obra requiere comprobar la altura de una torre de la CFE. Lasombra que arroja la torre sobre el piso mide 19 metros. Al colocar una varilla de 3 metros de alturajunto a la torre, sta arroja una sombra que mide 3.5 metros. Cul es la altura de la torre?

Varilla

Torre de la CFE

19 m

3.5 m

3 m

h

Varilla

Torre de la CFE

19 m

3.5 m

3 m

h


Para resolver este problemabasmonos en el teorema desemejanza de tringulos que visteen secundaria, el cual enuncia:

Si dos tringulos tienen sus ladoscorrespondientes proporcionales,entonces, esos tringulos sonsemejantes.Es decir, si tienes dos tringuloscomo los de la Figura 2, entonces:

Figura 2

DFAC

EFBC

DEAB

==

Donde representa el segmento o distancia entrelos puntos A y B.

AB

Figura 1

84


Varilla

Torre de la CFE

19 m

3.5 m

3 m

h

Varilla

Torre de la CFE

19 m

3.5 m

3 m

h

Recuerda que

Un teorema es unaafirmacin que puedeser demostrada comoverdadera dentro deun marco lgico; esdecir, es una verdadno evidente, perodemostrable.

As pues, para el problema de la altura de la torre se tiene que:

AB = h: Altura de la torre (m).BC = 19: Longitud de la sombra de la torre (m).DE = 3: Altura de la varilla (m).EF = 3.5: Longitud de la sombra de la varilla (m).

Por lo tanto:

La altura de la torre es de16.29 metros aproximadamente.

EFBC

DEAB

=

5.319

3h

=

( )35.3

19h =

29.16h =

85

2.3.4. Variaciones

Variacin directa. Cuando dos variables x, y estn relacionadas de tal manera que la raznno cambia; es decir, es igual a una constante, entonces se dice que y vara directamente con x.Lo anterior se expresa matemticamente como:

y vara directamente con x, significa que = constante = k

donde k se llama constante de proporcionalidad y debe ser diferente de cero.

Dicho lo anterior, si despejas y, entonces y = kx tambin representa una variacin directa.En una variacin directa si una de las magnitudes aumenta, la otra tambin

Ejemplo 1: Jos quiere repartir de forma directamente proporcional a la edad de sus hijos, lacantidad de $15,000. Sus hijos Carlos, Juana y Mario tienen 15, 12 y 10 aos respectivamente.Primero, debes expresar las variaciones en forma de proporcin:

x

y

x

y



Utilizando una regla de tres:

AMario le corresponde:

AJuana le toca:

ACarlos le corresponde:

Ejemplo 2: para alimentar 8 camellos se necesitan 74 kg de alimento. Cuntos kg de alimento senecesitan para alimentar 15 camellos?

Realizando una regla de tres:

Por lo tanto, se necesitan 138.75 kg para alimentar a 15 camellos.

;151210zyx

== 000,15=++ zyx

edadcantidadzyx

=

++

++

151210

05.405437

)10(150001037

===++

xxzyx

86.486437

)12(150001237

===++ yyzyx

08.608137

)15(150001537

===++

zzzyx

75.1388

)74(1515748

=== xx

87


x

kx

ky == 1

xyk =

;

151

121

101

zyx== 000,15=++ zyx

1800450

000,15

151

121

101 =

++

++ zyx

6000

180

4510

1000,15

10

1

180

45

000,15

==

=

x

x

5000

180

45

12

1000,15

12

1

180

45

000,15

==

=

y

y

4000

180

45

15

1000,15

15

1

180

45

000,15

==

=

z

z

Variacin inversa. Tiene como caracterstica principal que si una de las magnitudes relacionadasaumenta, la otra disminuye; y si disminuye, la otra aumenta. Matemticamente se dice que las doscantidades son inversamente proporcionales o tienen una variacin inversa si:

donde . Si una magnitud vara inversa y proporcionalmente con otra, entonces la primera esigual al producto de una constante por el recproco de la segunda.Ejemplo 1: Jos quiere repartir de forma inversamente proporcional a la edad de sus hijos, lacantidad de $15,000. Sus hijos Carlos, Juan y Mario tienen 15, 12 y 10 aos respectivamente.Primero, se expresan las variaciones en forma de proporcin:

Sustituyendo y factorizando el denominador :

A Mario le corresponde: A Juan le toca: A Carlos le corresponde:

Recproco de x

88


Ejemplo 2: si 12 albailes construyen una obra en 5 das, en cuntos das la realizarn 20albailes?Expresando el enunciado como una variacin:

Despejando x se tiene queSi se cuenta con 20 albailes, el trabajo quedar terminado en 3 das.

Variacin compuesta. Un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o msmagnitudes. Al intervenir ms de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de lasmagnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B, y C, la relacinproporcional entre A y B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo, dichode otra manera, se presenta una combinacin de proporciones directas e inversas.

Combinacin de dos proporciones directasEjemplo 1: cuatro costureras producen en 10 das 320 vestidos. Cuntos vestidos sernproducidos por 10 costureras en 16 das?Colocando los datos en una tabla:

5151

2012 x

x

==

320

)5(12==x

89


Representado lo anterior como proporcin:

Despejando x de las magnitudes A y B:

La produccin de 10 costureras en 10 das es de 800 vestidos.

Sustituyendo x=800 en las magnitudes B y C:

Despejando nuevamente x:

La produccin es de 1,280 piezas en 16 das por 10 costureras.

1610320

104

==

x

4)10(320

=x

800=x

A B C

1610800

=

x

10)16(800

=x

1280=x

90


Combinacin de dos proporciones inversasEjemplo 2: nueve pintores trabajando 8 horas diarias pintan un edificio en 12 das. Cuntos dasdemorarn 18 pintores en pintar el mismo edificio trabajando 6 horas diarias?Mostrando la informacin en una tabla:

Representando lo anterior como proporcin inversa:

Despejando x de las magnitudes A y C:

Los 18 pintores tardaran 6 horas en pintar el edificio trabajando 8 horas diarias.

Sustituyendo x=6 en las magnitudes B y C:

Despejando nuevamente x:

Tardarn 8 das en pintar el mismo edificio 18 pintores trabajando 6 horas diarias.

x

112

1

6

8

18

9==

A B C

618

)9(12121

121

189

==== xx

x

x

161

68

=

86

)6(866

8=== x

x

91

Combinacin de una proporcin directa y una inversaEjemplo 3: 18 operarios le dan servicio a 20 mquinas de coser en 60 das, cuntas mquinas pueden ser atendidas por 12 operarios trabajando 36 das?Mostrando la informacin en una tabla:

La primera parte es variacin inversa y la segunda es directa, as que resolvamos por partes. Primero la parte inversa:

Despejando x:

sta es la cantidad de mquinas de coser que atenderan 18 operariosen el mismo tiempo.

Ahora, calcular cuntas atenderan en 36 das:

Por lo tanto, doce operarios darn servicio a 18 mquinas de coser en 36 das.

201218

1201

1218 x

x

==

3012

)20(18==x

=366030

x18

60)36(30

==x



Instrucciones: contesta lo que se te pide.

Un ganadero tiene forraje suficiente paraalimentar 220 vacas durante 45 das.

Al ganadero le interesa saber cuntos daspodr alimentar con la misma cantidad deforraje a 450 vacas.Qu haras para contestar su pregunta?

93

Se observa que con el mismo forraje, si el nmero de vacas se duplica, tendr para la mitadde das; triplicando el nmero de vacas, ser la tercera parte de das, etc. Por tanto sonmagnitudes inversamente proporcionales. Mostrando la informacin en una tabla:Si x = nmero de das para el que tendrn comida las 450 vacas.

Representando los datos de la tabla como una proporcin inversa, se tiene que:

despejando x:

Por lo tanto, 450 vacas podrn comer la misma cantidad de forraje durante 22 das.Si te das cuenta, las distintas formas de comparacin y relacin se pueden resolver

utilizando tasas, razones, proporciones o variaciones.Semana 1 / Sesin 4 / Jueves

45450220

1451

450220 x

x

==

22450

)45(220==x cb

da

dcba

=

Recuerda quePara dividir dos fracciones se deberealizar lo siguiente:

94


Actividad 11

Instrucciones: resuelve matemticamente y contesta lo que se te pide.

1) Un vehculo recorre 305 kilmetros con 30 litros de gasolina.Cuntos kilmetros recorre con un litro de gasolina?

2) Si en la construccin de una calle se emplearon 10 obreros y setermin en 20 das, en cuantos das hubieran realizado 40obreros la misma construccin?

95


Actividad 12

Instrucciones: resuelve los siguientes ejercicios y contesta lo que se te pide.

1) Si la mitad de un tanque contiene 4,300 litros, cuntos litros contiene la quinta parte de ese tanque?

2) Un grupo de excursionistas llevan provisiones para 15 das. Sial momento de partir, el grupo aumenta a 24 excursionistas,cuntos das les podrn durar las provisiones?

96

Proyecto ModularOpcin 1

98

Debe contener en esencia los siguientes puntos:

a) Presentacin.Limpieza, orden y estructura.

b) Investigacin.Informacin actual y real, empleo de fuentes seguras.

c) Procedimientos.Resolver los ejercicios personalmente.

99

Ejemplo de portada para cada una de las actividades:

Universidad CNCI de Mxico, S.C.

Plantel Ajusco

El proceso de la comunicacin

Taller de lectura y redaccin II

Leticia Gmez Rodrguez

Grupo: 205

Mdulo 3

Maestra: Nora Montes Martnez

Mxico D.F., 28 de Enero 2010

Nombre de la escuelaLogo de la Universidad

Nombre del tema en el que se va a trabajarNombre de la asignatura (materia)

Nombre del alumno, grupo y mdulo en que se encuentra.

Nombre del maestro (a)

Fecha de entrega100

Proyecto modular 1Problemas algebraicos

Requisitos para la entrega:

Realizarlas en hojas blancas, tamao carta.

Anexar portada a cada una de las actividades, para su identificacin.

Distinguir con colores los ejercicios y el procedimiento de los mismos.

Las actividades se anexarn en un flder para su entrega.

101

Actividad 1

Instrucciones: resuelve el siguiente caso.

La estudiantina de la secundaria

Israel se encuentra actualmente estudiando la secundaria. Cuando inici su segundo ao deestudios tuvo la inquietud de ingresar a la estudiantina de la secundaria, ya que deseaba aprender atocar la guitarra. Antes de iniciar con la prctica del instrumento, el maestro le pidi que investigara lainformacin referente a las notas musicales con el objetivo de que conociera primero la teora ydespus la prctica.

Israel realiz lo que su maestro le pidi y encontr lo siguiente:

Los sonidos musicales deben tener una duracin para que sea posible la msica, y quienesdeterminan la duracin de los sonidos son las figuras de valor, las cuales son las siguientes:redonda, blanca, negra, corchea y semicorchea, fusa y semifusa. La msica se escribe colocandoestas figuras o notas musicales en un pentagrama.

Pentagrama

Comps

102

Dado lo anterior, ayuda a Israel a complementar su trabajo respondiendo y realizando lo siguiente:

a) De acuerdo al tiempo de duracin, cules son los valores de las notas musicales (redonda,blanca, negra, corchea y semicorchea, fusa y semifusa) expresados como fracciones?

b) Si un pentagrama representa un comps de 4/4, dibuja en cada comps del pentagrama almenos 3 notas de tal forma que sumen 4/4. Por ejemplo: un comps que incluya cuatro notasmusicales negras

c) Qu dificultad tuviste al completar los 3 compases que se te pidieron?4

4

4

1

4

1

4

1

4

1=+++

103

Investiga la altura de la torre Eiffel (con todo y antena) y contesta lo que se te pide.

De acuerdo a la altura que encontraste, cul ser la longitud de la sombra de la torre Eiffel? si unturista de 1.75 m genera una sombra de 3 metros.

Actividad 2

Instrucciones: resuelve el siguiente ejercicio.

104

GlosarioSemana 1

105

Semana 1

lgebra. Rama de las matemticas que emplea nmeros, letras y signos para generalizar las distintasoperaciones aritmticas. El trmino proviene del latn, que deriva de un vocablo rabe que significareduccin o cotejo.

Antecedente. Nmero que se encuentra en el numerador de una razn.

Antecesor. Nmero entero anterior a otro, de acuerdo con la relacin de orden de los nmerosenteros.

Aritmtica. Rama de las matemticas que estudia ciertas operaciones con los nmeros y suspropiedades elementales.

Cero. Nmero que representa la ausencia de cantidad.

Consecuente. Nmero que se encuentra en el denominador de una razn.

Decimal Exacto. La parte decimal de un nmero tiene una cantidad finita de cifras.

Decimal Peridico Mixto. Al principio de la parte decimal de un nmero hay una parte que no se repite y otra que si se repite.

Decimal Peridico Puro. La parte decimal completa de un nmero se repite indefinidamente.

106

Semana 1

Decimal. Una de las diez partes iguales en las que se divide una cantidad o nmero.

Denominador. Nmero que en las fracciones expresa las partes iguales en que se considera dividida la unidad: en 2/4, el denominador es 4.

Divisin. Se representa por o / . Operacin aritmtica que consiste en averiguar cuntas vecesun nmero est contenido en otro nmero.

Ecuacin. Es toda igualdad que slo es cierta para algn o algunos valores de la variable o variablesque intervienen en ella, las cuales son llamadas incgnitas.

Fraccin. Nmero que se obtiene de dividir dos nmeros: el numerador y el denominador.

Incgnita. Que no est determinada. Literal cuyo valor es desconocido en una ecuacin. Paraconocer su valor se debe resolver la ecuacin.

Jerarqua. Clasificacin u orden por grados o clases de alguna cosa.

Literales. Letras o smbolos que se emplean en expresiones matemticas para representar unnmero.

Mayor que (>). Smbolo matemtico el cual representa que una cantidad es mayor que otra.

Menor que (

Multiplicacin. Se representa por , * , . Operacin aritmtica que consiste en sumarreiteradamente la primera cantidad tantas veces como indica la segunda.

Numerador. Elemento que expresa el nmero de partes iguales de la unidad, que contiene unafraccin: en 2/4, el numerador es 2.

Nmeros Enteros Negativos. Se representan por Z - . Conjunto de nmeros que incluyen todos losenteros negativos y al cero.

Nmeros Enteros Positivos. Se representan por Z + . Conjunto de nmeros que incluyen todos losenteros positivos y al cero.

Nmeros Enteros. Se representan por Z . Conjunto de nmeros que incluye al cero. Se divide endos: enteros positivos y enteros negativos.

Nmeros Irracionales. Se representan por . Conjunto de nmeros que no pueden expresarsecomo cociente de dos nmeros enteros. La parte decimal de un nmero racional carece de un periodorepetitivo.

Nmeros Naturales. Se representan por N . Conjunto de nmeros enteros positivos sin incluir alcero.

Nmeros opuestos. Tambin llamados simtricos. Nmeros que respecto al cero tienen la mismadistancia. Un nmero ser positivo y otro negativo.

Semana 1 108

Semana 1

Nmeros Positivos. Conjunto de nmeros que se utilizan para contar. Es un conjunto de nmerosinfinito.

Nmeros Racionales. Se representan por Q . Conjunto de nmeros que se obtienen de uncociente o divisin de dos nmeros enteros (el denominador debe ser diferente de cero).

Nmeros Reales. Se representan por R . Conjunto de nmeros que pueden ser expresados por unnmero entero o decimal, esto es, abarcan a los nmeros racionales y los nmeros irracionales.

Nmeros simtricos. Tambin llamados opuestos. Nmeros que respecto al cero tienen la mismadistancia. Un nmero ser positivo y otro negativo.

Operadores. Aquellos que realizan las operaciones de adiccin, sustraccin, multiplicacin, divisin,potencias y races.

Periodo. Cifras que se repiten indefinidamente en su representacin decimal.

Pertenencia. Se representa por . Se utiliza para indicar que un elemento pertenece a algnconjunto. El smbolo indica que un elemento no pertenece al conjunto en cuestin.

Porcentaje. Forma de expresar un nmero como una parte de 100. Se representa por el smbolo %.Se obtiene dividiendo una cantidad entre 100.

109

Potencia. Producto que resulta de multiplicar una cantidad por s misma tantas veces como indique suexponente.

Productos Cruzados. Multiplicar el numerador de una fraccin por el denominador de la otra fraccin,que por lo general se aplica en proporciones. Si a/b = c/d, entonces tenemos que ad = bc.

Proporcin. Es la igualdad de dos razones o tasas. Los denominadores deben ser diferentes de cero.Al numerador de la primera razn y al denominador de la segunda se le conocen como extremos. Losmedios son el numerador de la segunda razn y el denominador de la primera.

Proporcionalidad. Es cuando una razn se iguala a otra, es decir, para tener una relacinproporcional, se necesita tener dos razones que sean equivalentes. Existen dos tipos deproporcionalidad: directa e inversa.

Raz. Nmero que elevado a la potencia n da nuevamente el nmero original.

Razn. Relacin que existe entre dos cantidades que tienen las mismas unidades. Por lo regularrepresenta el nmero de veces que una cantidad est contenida en otra. Se puede representar pordos puntos o un cociente.

Recta Numrica. Representacin grfica de relaciones numricas.

Regla de tres. Forma de resolucin de problemas de proporcionalidad entre tres o ms valoresconocidos y una incgnita.

Semana 1 110

Resta. Se representa por ( ). Operacin matemtica que consiste en, dada cierta cantidad, eliminaruna parte de ella.

Smbolos de agrupacin. En aritmtica se utilizan para establecer orden entre las distintasoperaciones. Se pueden representar por parntesis, corchetes o llaves.

Simplificar. Reducir una fraccin a su forma ms breve o menos compleja.

Subconjunto. Se representa por . Conjunto de elementos que pertenecen a otro conjunto superior.Su contraparte es el smbolo que indica que un elemento no es subconjunto de otro.

Sucesor. Nmero entero siguiente a otro.

Suma. Se representa por +. Operacin matemtica que consiste en combinar o aadir dos nmeros oms para obtener una cantidad final o total.

Tasa Unitaria. Es una tasa con denominador 1.

Tasa. Es un cociente de dos cantidades con distintas unidades. Se escribe como fraccin.

Unin. Se representa por . En conjuntos, operacin que agrupa dos conjuntos formando un sloconjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a cada conjunto o a ambos.

Semana 1 111

Semana 1

Valor Absoluto. Se representa por . Es el valor de un nmero sin su signo. Es la distancia desde elcero hasta el nmero en cuestin.

Variable. Todo smbolo algebraico que puede representar mltiples valores. En una ecuacin tambinse le llama incgnita. Se representa generalmente por las ltimas letras del alfabeto.

Variacin Compuesta. Intervienen tres o ms magnitudes iguales o distintas, es decir la relacionesproporcionales pueden ser directas o inversas.

Variacin Directa. Relacin entre dos variables de manera que los valores de ambas variablesaumentan o disminuyen al mismo tiempo a una razn constante.

Variacin Inversa. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una,disminuye la otra en la misma proporcin.

112

Semana 2Bloque III: Realiza sumas y sucesiones de nmeros Unidad de Competencia: Identifica e interpreta sucesionesy seriesaritmticasy geomtricas. Aplica lasfrmulascorrespondientespara el manejo de sucesionesaritmticasy geomtricas. Identifica lascaractersticasgeneralesde grficasque representan relacionesvariacionalesde sucesionesaritmticasy geomtricas.



Lunes3. Sucesiones y sumas numricas

3.1 Sucesiones Aplica la frmula del trmino general, para obtener el n-simotrmino de una sucesin particular.

Martes

3.2. Sucesiones y series aritmticas3.2.1. Sucesiones aritmticas3.2.2. Series aritmticas

Identifica si los trminos de una sucesin aritmtica mantienenuna diferencia constante.

Utiliza la frmula de la sucesin particular para obtenertrminosdesconocidosde una sucesin aritmtica.

Utiliza las frmulas de las sucesiones y series aritmticas paramodelar y solucionar situacionesdiversas.


114



Mircoles

3.2.3. Representacin grfica de una sucesin aritmtica

3.3. Sucesiones y series geomtricas3.3.1. Sucesiones geomtricas

Elabora grficas de sucesiones aritmticas y describe sucomportamiento.

Identifica si los trminos de una sucesin geomtricamantienen una razn constante.

Utiliza la frmula de la sucesin particular para obtenertrminosdesconocidosde una sucesin geomtrica.

Juev es

3.3.2. Series geomtricas3.3.3. Representacin grfica de una sucesin

geomtrica

Utiliza las frmulas de las sucesiones y series geomtricaspara modelar y solucionar situacionesdiversas.

Elabora grficas de sucesiones geomtricas y describe sucomportamiento.

Viernes Examen de medio trminoRev isa la opcin de proyecto modular 2 Realiza el examen de medio trmino


Semana 2

115

3. Sucesiones y sumas numricas

3.1. Sucesiones



Obtener el n-simo trmino de una sucesin particular mediante la frmula del trmino general.


Recuerda:

A diferencia de la aritmtica, en donde slo se usan los nmeros y sus operacionesaritmticas (como +, , , ), en lgebra los nmeros son representados por smbolos(usualmente a, b, c, x, y, z), llamados variables.

Los signos que se utilizan en la aritmtica tambin se usan en lgebra:

Signos de operacin.Suma (+), resta (-), multiplicacin (), divisin (), potenciacin (pequeo nmero oliteral arriba y a la derecha de una cantidad o variable) y radicacin ( ).

Signos de relacin.Igual a (=), mayor que (>) y menor que (

Ejemplo: plantea y resuelve el siguiente problema algebraico.

Por un videojuego, un cmic y un helado, Andrs ha pagado 130 pesos.El videojuego es cinco veces ms caro que el cmic, y ste cuesta eldoble que el helado. Cul es el precio de cada artculo?

Helado = xCmic = 2(helado) = 2x

Videojuego =5(cmic) = 5(2x)


Instrucciones: plantea y resuelve el siguiente problema algebraico.

La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 146 aos. Elpadre es 4 aos mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos alos 21 aos. Cul es la edad de cada uno?

++= )2(52130 xxx= x13130 10

13130

==x

Por lo tanto, el helado cuesta 10 pesos, el cmic cuesta 20 pesos y el videojuego 100 pesos.

Respuestas:Gemelos = 25 aosMadre = 46 aosPadre = 50 aos

119

Cmo podras saber el nmero de sillas que tendrla ltima fila?

Se organizar un evento en el patio de tuescuela y te piden que coloques sillas para elpblico invitado.

La propuesta es que inicies la primera fila con20 sillas y aumentes una de cada lado de lasfilas siguientes hasta completar 41 filas.


3. Sumas y sucesiones numricas

Seguramente al intentar resolver la pregunta del Explora anterior, lo primero que vino a tu mente fuerealizar un dibujo para representar las sillas y la forma en que se acomodaran para cumplir con losrequisitos mencionados. En esta sesin aprenders a resolver este tipo de problemas mediantesencillas frmulas, lo cual te permitir ahorrar tiempo.

3.1. Sucesiones Una sucesin es un conjunto de nmeros reales escritos en un orden especfico, de talmanera que sea claro saber cul es el primer trmino, el segundo y todos los trminossucesivos mediante una frmula que permite obtener cualquiera de ellos.

La notacin de una sucesin es

donde el subndice indica el lugar del trmino de la sucesin:


{ }LL ,,,,, 321 naaaa

na

a

a

a

3

2

1 es el primer trminoes el segundo trminoes el tercer trminoes el n-simo trmino. El valor de n debe ser un nmero natural, es decir: 1, 2, 3, 4, etc.

121

El trmino n-simo o trmino general de unasucesin, es el trmino que ocupa el lugar n ygeneralmente se expresa mediante una frmula.


Sucesin de fases de la luna

Ejemplo 1: clasifica las siguientes sucesiones como convergentes o divergentes.a) El problema de las sillas que se present en la seccin Explora. Sucesin convergenteb) Los nmeros pares. Sucesin divergentec) Los aos en los que se han jugado los mundiales de ftbol hasta hoy. Sucesin convergente

Las sucesiones se clasifican de la siguiente manera:

Sucesiones convergentes: son las que tienen lmite porque son finitas o contables.

Sucesiones divergentes: son las que no tienen lmite finito, es decir, no se sabedonde terminan.

{ }naaaa ,,,, 321 L

{ }LL ,,,,, 321 naaaa

122


Sabas que Puedes expresar dos nmeros consecutivos mediante las frmulas n y n+1,y puedes expresar dos nmeros pares consecutivos con las frmulas 2n y 2n+2.

Ejemplo 2: completa las siguientes sucesiones:3, 6, 9, 12, 15, , 21, 24, , 30,

1, 3, , 7, 9, 11, , 15, 17, , 21,

3, 5, 7, , 11, 13, , 17, 19,

Observa que en la ltima sucesin el n-simo trmino est dado por 2n+1 ya que:

L

L

L

M M M

123

Ejemplo 3: analiza las siguientes sucesiones y contesta lo que se te pregunta.


Si se conoce la frmula para el n-simo trmino es posible determinar el valor decualquier trmino de la sucesin dndole valores a n.

124

Ejemplo 4: obtn la frmula para calcular el n-simo trmino de las siguientessucesiones y utilzala para calcular el trmino a50 y a100.

a) b) c)

Para encontrar la frmula de cada sucesin primero es necesario saber que se est representando:a) Los nmeros en los denominadores representan al conjunto de los nmeros naturales.b) Cada nmero es el cuadrado del conjunto de los nmeros naturales.c) Los numeradores representan el conjunto de los nmeros naturales, los denominadores

representan los nmeros impares iniciando en 3.

De acuerdo a lo anterior, trata de obtener la frmula (recuerda que los valores que puede tomar nson los nmeros naturales, es decir, n = 1, 2, 3, 4, )a) b) c)

Los trminos a50 y a100 para cada sucesin son:

a) b) c)


L,41

,

31

,

21

,1 L,16,9,4,1 L,94

,

73

,

52

,

,31

nan

1=

2nan = 12 +=

n

nan

1001

501

100

50

=

=

a

a

000,10100250050

2100

250

==

==

a

a

201100

1)100(2100

10150

1)50(250

100

50

=

+=

=

+=

a

a

125

Ejemplo 5: en el Explora se te pidi que colocaras sillas para el pblico invitado a un evento en elpatio de tu escuela. La propuesta era que iniciaras la primera fila con 20 sillas y fueras aumentandouna de cada lado hasta completar 41 filas. Cuntas sillas colocars en la ltima fila?

Con lo que acabas de aprender del tema de sucesiones sabes que la sucesin de este problemase puede escribir como:

Ahora, para contestar la pregunta de cuntas sillas habren la ltima fila, lo nico que debes hacer es obtener elvalor de a41:

As pues, colocars 100 sillas en la ltima fila.


182 += nan

182 += nan

18)41(241 +=a100188241 =+=a

126


En el Gran Templo de Benars en la India, bajo el domo que marca elcentro del mundo, descansa un plato de bronce, en el cual se encuentrantres agujas de diamantes, cada una con un cubit de alto (aprox. 50 cm), ytan grueso como el cuerpo de una abeja. Dios coloc 64 discos de oropuro, el disco ms grande descansa en el fondo del plato de bronce y losotros se ordenan de mayor a menor hasta llegar a la cima. A sta se leconoce como la Torre de Brahma.

Torre de Hanoi

Da y noche sin cesar, el sacerdote responsable debe transferir los discos de una aguja de diamante aotra, bajo las leyes fijadas e inmutables de Brahma, en donde el Sacerdote slo puede mover un discoa la vez, y debe colocar estos discos en la aguja, de tal manera que un disco pequeo nunca debeestar debajo de uno ms grande.Cuando los 64 discos hayan sido transferidos de la aguja en la cual, durante la creacin Dios loscoloc, a una de las otras aguja

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