MA3CPA Material Didactico

Matemticas IIIParte A

2

La asignatura de Matemticas III parte A, te permitir enlazar los contenidos dedos ramas de la matemtica que son la base del componente de formacinbsica, el lgebra y la geometra, esto, mediante la modelacin algebraica delas relaciones y formas geomtricas que has explorado desde otros puntos devista, as como identificar a partir de registros algebraicos formas geomtricascon las que has convivido desde tu infancia como son las rectas y lascircunferencias.

La presente asignatura tiene tendencia hacia el desarrollo de dos de lashabilidades matemticas clave que son la capacidad de abstraccin ygeneralizacin, as como a la valoracin del lenguaje algebraico como unapotente herramienta para representar de manera matemtica relaciones ypropiedades de lugares geomtricos.

Introduccin

3

SimbologaLa siguiente iconografa te permitir identificar los momentos en que est dividido tuproceso de aprendizaje dentro del material didctico.

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El alumno al trmino del curso de Matemticas III Parte A:

Identifica lugares geomtricos y resuelve problemas de la geometra plana con coordenadas.

Determina la ecuacin as como la representacin grfica de la recta y de la circunferencia en susdiferentes modalidades.

Representa los lugares geomtricos y los aplica en el desarrollo de ejercicios y modelosmatemticos.

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Al trmino del curso de Matemticas III Parte A, sers capaz de:

Resolver problemas del sistema de ejes coordenados mediante el anlisis de grficas en los quese representen coordenadas de un punto y lugares geomtricos.

Identificar las propiedades y las distintas modalidades de la ecuacin de la recta analticamente ymediante su interpretacin grfica.

Resolver problemas relativos a la circunferencia, a travs del anlisis descriptivo, aplicacin ycombinacin de sus propiedades, grficas y ecuaciones ordinarias y generales.

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Geometra Analtica

Sistemas Coordenados Lugares Geomtricos

Rectangulares

Puntos en el plano Distancia entre dos puntos Divisin de un segmento en una razn dada Punto medio Permetros y reas

La recta

CircunferenciaPropiedades Formas de la ecuacin de una recta y transformaciones Interseccin de rectas Relacin entre rectas

Propiedades Ecuaciones Condiciones geomtricas y analticas

Cnicas

7

Gua de EstudiosMatemticas III Parte A

Objetiv o General Resolver problemas del sistema de ejes coordenados mediante el anlisis de grficas en los que se representen coordenadas de un punto y

lugaresgeomtricos. Identificar laspropiedadesy lasdistintasmodalidadesde la ecuacin de la recta analticamente y mediante su interpretacin grfica. Resolver problemas relativos a la circunferencia a travs del anlisis descriptivo, aplicacin y combinacin de sus propiedades, grficas y

ecuacionesordinariasy generales.

Semana 1Bloque I: Reconoce lugares geomtricosUnidades de competencia: Analiza lasrelacionesentre lasvariablesque conforman lasparejasordenadasque determinan un lugar geomtrico. Interpreta la informacin contenida en tablas, grficas, mapas, diagramas, etc.; a partir de nocin de parejasordenadas. Argumenta la relacin inferida entre loselementosde conjuntosde parejasordenadaspara establecer que define un lugar geomtrico.

Calendario de Estudio

Da Temas Ev idencia de aprendizajeLunes 1 Sistemas coordenados rectangulares

1.1 Coordenadas cartesianas de un punto1.1.1 Ejes coordenados1.1.2 Parejas ordenadas1.1.3 Identidad de parejas ordenadas1.1.4 Punto en el plano

Identifica las coordenadas de un punto en el planocartesiano mediante el anlisisdel mismo.

Crea un sistema de ejes coordenados tomando un puntode referencia y asignando valores proporcionalmente alosejescoordenadosa travsde un mapa.Asocia parejas ordenadas con puntos en el planocartesiano mediante un problema real.

Martes 1.2 Lugares geomtricos1.2.1 Concepto de lugar geomtrico1.2.2 Tabulacin de valores1.2.3 Intersecciones con los ejes1.2.4 Simetras respecto al origen y los ejes

1.2.4.1 Simetra con respecto a los ejes1.2.4.2 Simetra con respecto al origen

Traza el lugar geomtrico a partir de la condicinexpresada en forma verbal o algebraica de ejercicios queinvolucran rectas, circunferencias o parbolas con vrticeen el origen.

Identifica en la grfica de una ecuacin su interseccincon los ejes y posibles simetras mediante su estudioanaltico y geomtrico.

9

Bloque II: Aplica las propiedades de segmentos rectilneos y polgonosUnidades de competencia: Construye e interpreta modelosrelacionadoscon segmentosy polgonos, al resolver problemasderivadosde situacionesrealeso tericas. Cuantifica y representa magnitudesen segmentosy polgonosidentificadosen situacionesreales, hipotticaso tericas. Interpreta diagramasy textoscon smbolospropiosde segmentosy polgonos.


Da Temas Ev idencia de aprendizajeMircoles 1.3 Segmentos rectilneos

1.3.1 Segmentos dirigidos y no dirigidos1.3.2 Longitud de un segmento1.3.3 Distancia entre dos puntos1.3.4 Divisin de un segmento en una razn dada1.3.5 Punto medio

Calcula la distancia y punto medio entre dos puntos en elplano cartesiano mediante la aplicacin de las frmulascorrespondientes.

Determina la razn en que se divide un segmentorectilneo a partir de las coordenadas de un punto en larecta.

Divide un segmento rectilneo de acuerdo con una razndada.

Juev es 1.4 Polgonos1.4.1 Permetros1.4.2 reas

Utiliza el clculo de distancias entre dos puntos paraobtener permetros y reas de polgonos en el planocartesiano.

Viernes Examen semana 1Rev isa la opcin de proyecto modular 1

Realiza el examen de la semana 1.

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1 Sistemas coordenados rectangulares

1.1 Coordenadas cartesianas de un punto1.1.1 Ejes coordenados1.1.2 Parejas ordenadas1.1.3 Identidad de parejas ordenadas1.1.4 Punto en el plano

Semana 1 / Sesin 1 / Lunes11

Al finalizar la sesin 1, sers capaz de:

Localizar un punto en el sistema de ejes coordenados rectangulares a partir de una pareja ordenada.

Identificar las coordenadas de un punto en el plano mediante el anlisis del mismo.


Recuerda:

Una de las propiedades de la lnea recta es la sucesin continua de puntos en una dimensin (longitud o extensin).

Dos o ms rectas se pueden clasificar en funcin de la posicin que existe entre ellas.

a) Paralelasb) Perpendicularesc) Secantes

Entre los nmeros reales existe un orden, ste puede ser representado en una recta, la cual se denomina recta numrica.

Los smbolos que se utilizan para mostrar la relacin entre dos nmeros se llaman smbolos de desigualdad.

a) Menor que < b) Mayor que > c) Diferencia

As, se puede usar el smbolo de desigualdad < para decir que 3 es menor que 12, (3 < 12).De la misma manera que 3 es mayor que 9, ( 3 > 9 )

Lnea Recta

a b c

0-1-2-3-4-5 1 2 3 54 6-6 7 8-8 -7


Instrucciones: resuelve los siguientes ejercicios.

1. Identifica rectas perpendiculares y mrcalas con un crculo en las siguientes figuras.

2. Coloca el signo de desigualdad segn corresponda:a) 7 ___ 24 b) 5 ___ 1 c) 13 ___ 2 d) 32 ___ 23 e) 1/2 ___ 3/5 2

3. Localiza y marca en la recta los siguientes nmeros: 3, 5, 4, 6, 5, 1.

Semana 1 / Sesin 1 / Lunes

0-1-2-3-4-5 1 2 3 54 6-6 7 8-8 -7

Respuestas:1.Ejemplo

2.a) , e) 90 y < 180

La recta decreceporque al aumentar los valores de x los de y disminuyen.

Pendiente positivangulo < 90

La recta crece porque al aumentar

los valores de x aumentan los de y.

La pendiente no est determinada

ngulo = 90

Pendiente = cerongulo = 0


x

y

y

x

y

x

y

x

119

Deforestacin en Mxico

Resuelve:

a) Interpreta grficamente el comportamiento de la informacin proporcionada en elrecuadro de la deforestacin en Mxico.

b) Determina la pendiente y ngulo de inclinacin de la recta en el plano cartesiano.c) Determina la razn de cambio y lo que representa, adems completa el recuadro.


Solucin:

a) Las parejas ordenadas proporcionadas para trazar la grfica son: (1990, 38 775) (2000, 34 825) y(2005, 32 850)

b) Toma dos de los tres puntos y sustityelos en lafrmula de la pendiente:

milm

m

xx

yym

39510

3950

19902000

775,38825,34

12

12

=

=

=

=

04.104

96.75180

180

96.75

)395(tan

tan

1

1

=

=

=

=

=

sumasle

negativoserpor

mil

m


Un

ida

des

por

1; 00

0, 0 0

0

01990 1995 2000 2005

31

Cantidad

Aos

32333435363738

(1990, 38, 775)

(2000, 34, 825)

(2005, 32, 850)

121

c) La razn de cambio en el periodo 1990 2000 es la siguiente:

Toma los puntos correspondientes a dicho periodo: (1990, 38 775) y (2000, 34 825)

Sustityelos en la frmula de la razn de cambio:

mily

x

xx

yy

y

x

39510

3950

19902000

775,38825,34

12

12

=

=

=

=

La razn de cambio en el periodo 2000 2005 es la siguiente:

Toma los puntos correspondientes a dicho periodo: (2000, 34 825) y (2005, 32 850)

Sustityelos en la frmula de la razn de cambio:

mily

x

xx

yy

y

x

3955

1950

20002005

825,34850,32

12

12

=

=

=

=

La razn de cambio representa una perdida anual de 395 mil hectreas de rea de bosques primariosen Mxico, del ao 1990 al 2005.


A travs de este ejemplo puedes observar como el comportamientogrfico y analtico del problema advierte la gravedad de la situacin.122

Actividad 10

Instrucciones: determina la pendiente y el ngulo de inclinacin de las siguientes rectas, utiliza unatabla de valores y asigna a la variable independiente cuatro valores obteniendo su respectivo valorde y.

1) 2y + 6x 4 = 0

2) 3x + 5 = y

3) 6x 2y = 9

4) x y = 2

5) 7x + y = 3

6) x 4y = 2

7) 3x 2y = 8


Actividad 11

Instrucciones: interpreta grficamente la siguiente tabla de valores y obtn la razn de cambio en elperiodo 2004-2009.

Tabla de Natalidad en Nuevo Len en la ltima dcada


2.1.4 Paralelismo entre rectas2.1.5 Perpendicularidad entre rectas

Semana 2 / Sesin 6 / Martes125


Establecer mediante la pendiente de las rectas si stas son paralelas o perpendiculares.


Recuerda:

En la actividad de repaso del bloque I identificaste las propiedades de las rectas en funcin de laposicin que existe entre ellas, por ejemplo:a) Rectas paralelas: rectas en el plano cartesiano que nunca se cortan entre s.b) Rectas perpendiculares: rectas en el plano cartesiano que se cortan y forman un ngulo de 90.c) Rectas secantes: rectas en el plano cartesiano que se cortan sin formar un ngulo de 90 entre

ellas.

ac

Instrucciones: grafica y compara si las rectas siguientes son paralelas, perpendiculares u oblicuas.

a) x + y 3 = 0 y 2x + 2y - 2 = 0b) 4x + y + 18 = 0 y 4x + y 2 = 0c) -3x + y 5 = 0 y 3x 4y 1 = 0

Semana 2 / Sesin 6 / Martes

b

Respuestas:Ejemploa) Rectas paralelas

127

La vialidad

Si los caminos fueran siempre curvas o si los caminos rectos no tuvieran un orden osecuencia, crees que sera posible tener una vialidad segura y rpida?

Va Appia, primera autopista del mundoconstruida por los romanos (312 a.C.)


2.1.4 Paralelismo entre rectas

Habrs identificado en las imgenes de la seccin Explora las lneas rectas que forman la Va Appia,las vas del tren y la pista para despegue, se caracterizan por los extremos siempre paralelos, ya quenunca se juntan y permiten una vialidad ptima.

Sabes que una caracterstica de las rectas paralelas es que nunca se cortan, qu otracaracterstica describe a las rectas paralelas?


En el ejemplo 1 y 2 de la sesin anterior las rectas nunca se cortan entre s, por lo tanto son paralelas, y si analizas tanto su pendiente como su ngulo de inclinacin descubres que ambas son iguales.

y

x0 1 2 3 4-1-2-31

2

3

5

4

-1

-2

-3

-4

-5

(-2, -4)

(3, 4)

(-2, -3.2)

(3, 4.8)

21

21

9946.57

6.1

==

== mm

5y = 8x 5y = 8x 4

De lo anterior concluyes que otra caracterstica de las rectas paralelas es que poseen el mismo ngulo de inclinacin y la misma pendiente.


Ejemplo 1:

Una manada de cebras por cada 20 minutos recorre 13 metros de distancia siempre en lnea recta, ypor su parte una manada de leones desea alimentarse de ellas por lo que tratan de mantener un ritmoms acelerado pero por un camino ms largo y siempre en lnea recta, los leones por cada horarecorren 39 metros, lograrn los leones interceptar a la cebras?


Para solucionar este ejercicio es necesario que encuentres las ecuaciones de la relacin tiempo-distancia que ejercen tanto las cebras como los leones y obtener sus pendientes respectivas.

Cebras: Leones:20x = 13y 60x = 39y

Despejas y y =20x / 13 Despejas y y = 60x/39Simplificas (divide entre 3) y = 20x/13

Pendiente: m1 = 20/13 m2 =20/13

Solucin:

Como las pendientes son iguales, las trayectorias de ambas manadas nunca logran interceptarse porque son paralelas.

131

Ejemplo 2:

Identifica y marca en la siguiente imagenlas rectas que son paralelas.


Solucin:

Las rectas paralelas son:

B, D y F

Ay G

C y M

Para verificar que lo anterior es correcto puedesapoyarte de un transportador y comparar losngulos de cada recta.

132

2.1.4 Perpendicularidad entre rectas

Sobre las vas del tren se encuentran los rieles y los durmientes, si observas bien, cada durmiente esperpendicular al riel ya que la posicin de los durmientes forma un ngulo recto (90) con respecto alos rieles.


En el ejemplo 1 y 3 de la sesin anterior, si empalmas las rectas en un mismo plano, forman un ngulo recto, por lo tanto son perpendiculares, y si analizas tanto su pendiente como su ngulo de inclinacin descubres que:

12

1

2

909946.57909946.147

1

6.1

1626.0

+=+==

===

mm

De lo anterior concluyes que otra caracterstica de las rectas perpendiculares es que la multiplicacin de sus pendientes es igual a 1.


9946.57

6.1

1

1

=

=

m

5y = 8x

8y = - 5x

9946.147

625.0

2

2

=

=

m

y

x0 1 2 3-1-2-31

2

3

5

4

-1

-2

-3

90

(-2, -3.2)

(3, 4.8)

(3, -1.875)

(-3, 1.875)

134

Ejemplo 1:

Dos automviles, uno rojo y otro amarillo, van conduciendo a baja velocidad, cada uno por distintascalles, ambos se dirigen al mismo sitio, al estudiar el movimiento de los coches, se encontr que elcarro rojo tiene una trayectoria que se representa mediante la ecuacin 6x y = 8 y el carro amarillosu trayectoria la describe la ecuacin 2x + y = 4. Qu ocurre con los carros si ambos continansiempre derecho? Cmo es la trayectoria de uno respecto de la del otro?


Obtn la pendiente de la ecuacin que describen ambos carros y al final compralas para determinar larelacin entre las trayectorias de ambos coches.

Carro rojo: Carro amarillo:6x y = 8 2x + 12y = 5

Despeja y y = 8 6x Despeja y 12y = 5 2xy = 6x 8 y = (5 2x)/12

y = 5/12 x/6

Pendiente: m1 = 6 m2 = 1/6

Solucin:

Por lo tanto los coches se cruzan y la trayectoria que hace uno es perpendicular a la trayectoria del otro.

135

Ejemplo 2:

Identifica y marca en la siguiente imagenlas rectas que son perpendiculares.


Solucin:

Las rectas paralelas son:

G y F

G y B

G y D

Ay B

Ay D

Ay F

Para verificar que lo anterior es correcto puedesapoyarte de un trasportador y comparar losngulos de cada recta.

136

Mapa de Aguascalientes

Resuelve:

1) Jorge vive en la calle Soleado cruz con Alborada, para ir de su casa a la escuela toma la varpida Arqueros, luego toma la calle 1821 hasta llegar a su destino. Esta maana al tomarJorge la Av. Arqueros se encontr con un embotellamiento. Qu va alterna puede tomar Jorgepara llegar temprano a su escuela?

2) Si se traza un sistema de ejes coordenados, qu relacin existe analticamente entre la vaalterna y la calle Arqueros?


Solucin:En la prctica, la calle alterna es aquella que tiene la misma direccin que la va rpida y que permitellegar sin desviarse mucho al punto de destino. Conforme al mapa la calle alterna de la Av. Arqueroses la calle Mariano Escobedo.

Para identificar la relacin entre las calles esnecesario conocer sus pendientes. En el planocartesiano se identifican los puntos que pertenecen acada una: Arqueros ( 3, 1.5) y (3.5, 3.5) Mariano Escobedo (-1, 2) y ( -1.5, 0)

45.0

2

35.3

5.15.3

12

12

==

=

=

a

a

a

m

m

xx

yym

45.0

2

)1(5.1

20

12

12

=

=

=

=

b

b

b

m

m

xx

yym

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5 6

1

2

3

5

4

6

-1x

Obtenidas las pendientes se comparan entre s para determinar la relacin existente entre las calles:La calle Arqueros y Mariano Escobedo son paralelas ya que sus pendientes son iguales.


A travs de este ejemplo se muestra una de tantas aplicaciones que existensobre la relacin que puede haber entre las rectas y las calles quediariamente usas. 138

Actividad 12

Mapa de Aguascalientes

Instrucciones: establece la relacin (paralelas o perpendiculares) entre las calles Aguascalientessur, Arqueros y Cenit mediante los puntos dados en el mapa de Aguascalientes, utiliza la frmula dela pendiente.


y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

x7

139


1) Identifica los puntos de interseccin de cadarecta.

2) Determina la ecuacin de cada recta.3) Obtn la pendiente de cada una de las

rectas.

4) Establece la relacin (paralelas operpendiculares) entre ellas a partir de suspendientes.

Actividad 13

Instrucciones: toma como referencia la siguiente imagen y realiza lo que se te pide.

140

Semana 2 / Sesin 7 / Mircoles

2.2 Formas de la ecuacin de la recta2.2.1 Ecuacin de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos2.2.2 Ecuacin de una recta conocidos dos de sus puntos

141


Determinar la ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente mediante un punto dado y supendiente.

Obtener la ecuacin de la recta a travs de dos de sus puntos.

Semana 2 / Sesin 7 / Mircoles142

Recuerda:

Para obtener la pendiente de una recta son necesarios dos de sus puntos, los cuales con facilidad puedes sustituir y obtener su resultado.

Ejemplo: Obtn la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (2, - 1) y ( 0, 4)Establece un orden entre las parejas ordenadas: (x1, y1) = ( 2, - 1 ) (x2, y2) = ( 0, 4)Identifica las ordenadas y abscisas respectivamente: x1 = 2 y y1 = - 1 x2 = 0 y y2 = 4Sustituye los valores en la frmula y se resuelve:


2

5

20

)1(4

12

12

=

=

=

m

m

xx

yym

Instrucciones: obtn la pendiente de la recta que pasa por los siguientes puntos.a) ( 5, - 3) y ( 0, -3)b) ( 6, 2) y ( 3, - 5)c) ( 4, 1) y ( - 3, 7) Respuestas: a) m = 0

b) m = 2.33c) m = -0.857

143

Pulmonas en Mazatln


Para realizar un detallado y preciso anlisis de los gastos generados al usar comotransporte las pulmonas en Mazatln, cmo crees que se pudiera representaranalticamente la relacin entre los kilmetros recorridos de las pulmonas y su costo?

144


2.2 Formas de la ecuacin de la recta

Como lo pudiste observar en la seccin Explora, el estudio analtico de eventos, situaciones,fenmenos, etc., es de suma importancia para establecer una interpretacin general del suceso yfacilitar su estudio y transmisin. A continuacin se presenta la determinacin de la lnea recta condistintos tipos de ecuaciones pero equivalentes.

2.2.1 Ecuacin de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos

Ya aprendiste a identificar algunas caractersticas de una recta segn su lugar geomtrico en el plano,conforme a eso puedes decir que una recta queda determinada a partir de dos condiciones; porejemplo: dos de sus puntos, un punto y su ngulo de inclinacin, y en este caso, de la pendiente y unode sus puntos.

145


Si analizas las condiciones de la recta por la pendiente y un punto dado, y consideras la frmula de lapendiente, obtienes la forma punto-pendiente de la ecuacin de la recta como se muestra acontinuacin:

1212

12

12

)( yymxx

xx

yym

=

=

)(11xxmyy =

Forma punto-pendiente

y

x

A(x , y )1 1

B(x , y )2 2

146

Ejemplo 1:

Si la pendiente est dada como m= 6 y la recta pasa por el punto (-2, -4), obtn la ecuacin de larecta.

Al tomar la ecuacin:

Sustituye la pendiente y el punto dado:


)( 11 xxmyy =Forma punto-pendiente

)2(64

)]2([6)4(

)(11

+=+

=

=

xy

xy

xxmyy

Resuelve:

Si la pendiente est dada por m= 2/5 y la recta pasa por el punto (-3, 0), obtn la ecuacin de la recta.

147

Ejemplo 2:

Gustavo desciende de una montaa en coche, la montaa tiene una pendiente negativa de 1/3, y tieneque pasar a recoger a su mam que se encuentra de la tienda de ropa en el punto (2, - 1), un pocoms abajo esperndolo, describe la trayectoria que tiene que hacer Gustavo para pasar a recoger a sumam y traza su grfica si la tienda de ropa est al origen.

Para obtener la ecuacin, slo tienes que sustituir los valores en la ecuacin punto-pendiente,recuerda que en el texto marca que la pendiente es negativa, resultndote lo siguiente:


)2(3

11

)2(3

1)1(

)( 11

=+

=

=

xy

xy

xxmyy

Solucin:

148

La grfica correspondiente a la trayectoria que hace Gustavo al bajar por la montaa e ir a recoger asu mam es la siguiente:



2.2.2 Ecuacin de una recta conocidos dos de sus puntos

Otra forma distinta de la ecuacin de la recta la puedes obtener a partir de dos puntos pertenecientesa la misma. Si conoces dos puntos de la recta y consideras tanto la frmula de la pendiente como laecuacin forma punto-pendiente, la ecuacin de la recta en su forma punto- punto quedadeterminada de la siguiente manera:


12

12

xx

yym

=12xx

Sustituye la frmula de la pendiente en la ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente y te resulta:

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

=

Forma punto-punto

12xx

y

x

A(x , y )1 1

B(x , y )2 2

150


Ejemplo 1:

Determina la ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente que pasa por los puntos: (-3, -5) y (0, 7)

De la ecuacin:

Sustituye los puntos dados:

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

=

Forma punto-punto

A( x1, y1) = (-3, -5) y B( x2, y2) = ( 0, 7)

)3(45

3

12

3

5

3

57

3

5

)3(0

)5(7

)3(

)5(

+=+

=

+

+

+=

+

+

=

xy

x

y

x

y

x

y

Resuelve: Determina la ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente dados sus puntos: (2, -4) y (6, 3)

151


Ejemplo:

Juan y Pedro juegan al baln pie en el patio de su casa, si respecto a la casa, Juan se encuentra en el punto (7, -5) y Pedro en el punto (-2, -4) respecto de la casa, cul es la trayectoria recta que tiene que hacer el baln para llegar de Pedro a Juan? Representa la trayectoria mediante una ecuacin.

Para obtener la ecuacin de la trayectoria recta que tiene que hacer el baln de ftbol, ya que los datos proporcionados son dos puntos tomando como punto de referencia la casa, utiliza la frmula de la recta en su forma punto punto y sustituye los puntos dados:

Solucin:

A( x1, y1) = (7, - 5) y B( x2, y2) = ( - 2, - 4)

)7()5(9

9

1

7

5

9

54

7

5

72

)5(4

7

)5(

=+

=

+

+=

+

=

xy

x

y

x

y

x

y

152

Torre Avalanz

En la Torre Avalanz se pretende cambiar el cable de uno de loselevadores del edificio. La torre mide 167 metros de altura y cuenta con43 pisos. La cantidad en metros del cable depende del nmero de pisos.Suponer c = 8p 4, donde c es la cantidad de cable en metros y p elnmero de pisos de la torre.

Presentado el proyecto de la Torre Avalanz:

a) Qu cantidad de cable se necesita para los 43 pisos?b) Y si slo hay 22 pisos en servicio, cunto cable se ocupa?c) Representa grficamente la relacin entre cantidad de cable y

nmero de pisosd) Encuentra la pendiente y el ngulo de inclinacin de la rectae) Cul es la razn de cambio entre el cable y los pisos?Qu

representa?


Solucin:

a) Qu cantidad de cable se necesita para los 43 pisos?

Si la relacin entre cantidad de cable y nmero de pisos est dada por la ecuacin lineal: c = 8p 4,se sustituye el nmero de pisos de la torre en la ecuacin y resulta: c = 8(43) 4 = 340. La cantidad decable es de 340 m.


0 2 4 6 108 12

2

4

6

10

8

12

-2

-4

-6

Pisos

(1, 4)

(2, 12)

Cabl

e

A( c1, p1)

B( c2, p2)

b) Y si slo hay 22 pisos en servicio, cunto cable se ocupa?

Se procede de la misma manera: c = 8(22) 4 = 172La cantidad de cable es de 172 m.

c) Representa grficamente la relacin entre cantidad de cable ynmero de pisos.

203

122

41

Nmero pisos

Ecuacin:c = 8p - 4

Cantidadcable

204 28 154


d) Encuentra la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta.

81

8

21

124

12

12

=

=

=

=

m

m

pp

ccm

87.82

)8(tan

tan1

1

=

=

=

m

e) Cul es la razn de cambio entre el cable y los pisos?

1

8

1

8

21

124

12

12=

=

=

=

pp

cc

p

c

La razn de cambio indica que por cada piso se ocupan 8 metros de cable.

Este ejemplo muestra la facilidad de manejar, a travs de una frmula, larelacin dependiente y cambiante de una variante con respecto a otra.

0 2 4 6 108 12

2

4

6

10

8

12

-2

-4

-6

Pisos

(1, 4)

(2, 12)

Cabl

e

A( c1, p1)

B( c2, p2)

155

Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios.

Obtn la ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente dados los datos que a continuacin se teproporcionan.

Representa en el plano cartesiano el lugar geomtrico de cada una de las ecuaciones de la rectaobtenidas en el punto anterior.

1) m = 2.5 y pasa por (3, -1)

2) Pasa por los puntos (2, -5) y (2, 2)

3) Pasa por (2, 9) y m = 4

4) Pasa por los puntos (0, 3) y (1, -3)

5) m = - 1.5 y pasa por (-4, 0)

6) Pasa por los puntos (4, 3) y (-2, -3)


Actividad 14

156



Obtn la ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente dados los datos que a continuacin se teproporcionan.

Representa en el plano cartesiano el lugar geomtrico de cada una de las ecuaciones de la rectaobtenidas en el punto anterior.

1) m = 1.3 y pasa por (2, -4)

2) Pasa por los puntos (2, -3) y (-1, 0)

3) Pasa por (3, 5) y m = 2

4) Pasa por los puntos (-1, -3) y (0, 6)

5) m = - 1.5 y pasa por (2, 1)

6) Pasa por los puntos (4, 1) y (-1, -1)

Actividad 15

157

Semana 2 / Sesin 8 / Jueves

2.2.3 Forma pendiente-ordenada al origen2.2.3.1 Interseccin de una recta con el eje y2.2.3.2 Ecuacin de una recta dada su pendiente y su interseccin con el eje y

2.2.4 Forma simtrica2.2.4.1 Intersecciones de una recta con los ejes coordenados2.2.4.2 Ecuacin de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados

158



Determinar la ecuacin de una recta en su forma pendiente-ordenada al origen mediante supendiente y su interseccin con el eje y y viceversa.

Obtener la ecuacin de la recta en su forma simtrica a travs de la grfica o de lasintersecciones con los ejes.

159

Recuerda:

La interseccin entre dos rectas es el punto de cruce de ambas, o de una recta con algn punto de los ejes coordenados. Por ejemplo:


y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x(-2, 0)

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

x

P(0, 3)

Q(-2, 0)Interseccin en el eje de las y

Interseccin en el eje de las x

160


Instrucciones: identifica y marca en la siguiente grfica los puntos de interseccin de las rectas entres y los puntos de interseccin de las rectas con los ejes coordenados.

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x

Respuesta:

161

En arquitectura, para una construccin es importante considerar un drenaje pluvial fluido a fin deevitar que el agua haga charco y se infiltre por la placa. Para lograr dicho objetivo han propuestodiferentes tipos de techo como los de la figura.


Cul crees que sea el tipo de techo ms eficaz para un ptimo drenaje pluvial? 162

2.2.3 Forma pendiente-ordenada al origen

Para resolver el problema de la seccin Explora es importante que conozcas algunas otrascaractersticas de la lnea recta que te ayudarn a resolver dicha cuestin, dentro de estascaractersticas se encuentra otra forma distinta de representar a una lnea recta y es a travs de supendiente y la interseccin de la misma con el eje de las y, este tipo de ecuacin es llamada tambinforma simplificada de la lnea recta. Es posible obtener la ecuacin bajo esta forma a travs de suinterpretacin grfica o determinados la pendiente y ordenada al origen de la misma.

Semana 2 / Sesin 8 / Jueves163

y0 1 2 3 54 6

1

2

3

5

4

6

x

0.08m En la sesin anterior clasificaste algunas rectas en funcinde sus caractersticas, y segn sus caractersticas era suecuacin. Ahora, al incluir la interseccin de la recta con eleje y se concluye que:

Cuando la recta pasa por el origen su ecuacin es de lasiguiente forma: y = mx

La ecuacin de la recta que no pasa por el origen es de laforma: y = mx + b, en donde b se le conoce como laordenada al origen ya que es la distancia desde el origenhasta la ordenada donde la recta corta al eje de las y.

2.2.3.1 Interseccin de una recta con el eje y

Si la casa de la figura mide 4 metros de ancho y 5 metros dealto, cmo encontrar la ecuacin de la recta del techo?

Sabas queEn los techos de tipo plano, el grado de inclinacin debe ser 2% proporcional al ancho de laconstruccin para un ptimo drenaje pluvial.Para calcular la inclinacin es necesario que establezcas un marco de referencia sobre laconstruccin y en funcin de los datos resolverlo.

Semana 2 / Sesin 8 / Jueves164

En los ejemplos 1 y 2 de la sesin 5, si analizas la ecuacin de la recta que no pasa por el origen,observars que la recta en el plano est recorrida del origen sobre el eje de las y (-4/5), dicho valorcorresponde al de la ordenada al origen (b) de la ecuacin.


Por lo tanto, para el tipo de recta que no pasa por el origen, concluyes que elpunto de interseccin con el eje de las y es la ordenada al origen b, y cuyacoordenada es (0, b)

En el caso del techo plano, a partir del sistema de ejes coordenados seubica el punto de interseccin del techo con el eje de las y y correspondeal punto (0, 5).

xy5

8=

5

4

5

8= xy

y

x0 1 2 3 4-1-2-31

2

3

5

4

-1

-2

-3

-4

-5

y

0 1 2 3 54 6

1

2

3

5

4

6

x

0.08m

165


2.2.3.2 Ecuacin de una recta dada su pendiente y su interseccin con el eje y

Otra manera distinta de obtener la ecuacin de la recta del techo de la construccin es a partir de la pendiente (m) de la recta y su interseccin con el eje de las y , la cual est dada bajo la forma pendiente-ordenada al origen: y = mx + b.

Para obtener su ecuacin correspondiente sustituye los valores en: y = mx + b.

Para representar la ecuacin en el plano cartesiano: 1) Toma el valor de la ordenada, la cual forma el punto (0,b) en el plano. 2) Dada la pendiente (y/x), considera por separado los valores de desplazamiento (x) y de

elevacin (y).3) A partir del punto (0, b) se desplaza (se traslada horizontalmente) hasta el valor (x). 4) Sobre tal posicin se eleva (se traslada verticalmente) el valor (y).5) El punto de trmino forma parte de la ecuacin de la recta.6) Traza la lnea recta sobre (0, b) y el punto de trmino de la operacin anterior.

Nota: si el valor de la pendiente es negativo, el signo se puede aplicar ya sea al numerador o al denominador.

166

Ejemplo:

Si la ordenada al origen es 4 y la pendiente de la recta es -2/3, cul es la ecuacin yrepresentacin grfica de la misma?


Al sustituir los valores de la ordenada al origen yde la pendiente en la ecuacin de la recta que nopasa por el origen queda: y = (-2/3) x + 4.

Para representar la recta en el plano, con b = 4obtienes la coordenada de interseccin con el ejey que es (0, 4) y la pendiente en este caso, conuna elevacin correspondiente de 2 ydesplazamiento de -3, el signo negativo se lepuede asignar ya sea al numerador odenominador.

A partir del punto de interseccin con el eje ydesplaza sobre el eje x el valor correspondientedado por la pendiente y sobre esta posicintraslada verticalmente el valor de elevacin dadopor la pendiente.

(-3, 6)y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

xy = (-2/3) x + 4

-3

2y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

xy = (-2/3) x + 4

(0, 4)-3

2

167


Para determinar la ecuacin de la recta del techo plano es necesario que conozcas otro punto paraobtener la pendiente.

Si la inclinacin del techo debe ser el 2% del ancho de la construccin, entonces, a esta casa hay quelevantarle el techo ese 2%, para resolverlo puedes usar la regla de tres:

4 m son 100%? son 2% cmm

mxm808.0

100

8

%100

%24===

El punto de elevacin en el plano es (4, 5.08)

Obtenidas las parejas ordenadas de la recta del techo: (0, 5) y (4, 5.08), calcula la pendiente.

Al encontrar los puntos y la pendiente, ambos los sustituyes en la ecuacin pendiente-ordenada alorigen.

50

102.0

4

08.0

04

508.5

12

12===

=

=

xx

yym

550

1+=+= xybmxy

168


2.2.4 Forma simtrica

Otra de las distintas formas de representar la lnea recta es a travs de su interseccin con los ejescoordenados x y y. Es posible obtener la ecuacin bajo esta forma a travs de su interpretacingrfica o determinadas las coordenadas de interseccin de la recta con los ejes, la abscisa al origen(a, 0) o la ordenada al origen (0, b).

169


En el bloque I analizaste la interseccin de una grfica con los ejes. Si una recta corta al eje de las yel punto de interseccin es (0, y) y si corta al eje de las x el punto de interseccin es (x, 0). A travsde estos datos es fcil que obtengas la forma de la ecuacin de la recta.

2.2.4.1 Intersecciones de una recta con los ejes coordenados

Ejemplo: grafica la recta de la ecuacin y = - 3x + 4

Sabes que cuando la recta se intersecta con el eje de las y, x=0,entonces, sustituyes en la ecuacin x = 0 para obtener el valor de laordenada y.

De: y = - 3x + 4 x = 0 entonces y = -3 (0) + 4= 0 + 4 = 4Por lo tanto, x=0 y y=4, la coordenada de interseccin en y es (0, 4)

De la misma manera, el punto de interseccin de la recta con el ejede las x es cuando y = 0, este valor lo sustituyes en la ecuacin yresulta:

De: y = - 3x + 4 y = 0 entonces 0 = -3 x + 4 -3x = - 4Por lo tanto, x = 4/3 y y = 0, la coordenada de interseccin en x es (4/3, 0)

y

0 1 2-1-2

1

2

3

5

4

-1

-2

-3

-4

x

170


2.2.4.2 Ecuacin de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados

Si una recta corta al eje de las y, el punto de interseccin es (0, y) y el punto de interseccin con eleje de las x es el punto (x, 0), al considerar la ecuacin punto-punto, la forma de la recta queda:

abbxay

bxabay

xbbya

a

b

x

by

a

b

x

by

xx

yy

xx

yy

=+

=

=

=

=

=

)()(

0

0

0

12

12

1

1

Al dividir la ecuacin entre ab queda:

Al sustituir los puntos en la ecuacin:

Se simplifica:

1=+

=+

b

y

a

x

ab

ab

ab

bx

ab

ay

Forma simtrica:

y

0 x

(x, 0) (0, y)

171

Ejemplo:

Si los puntos de interseccin con los ejes de una recta son (2, 0) y (0, 3), cul es su ecuacinsimtrica?


Con los datos proporcionados, se identifica que elvalor de a = 2 y el de b= 3. stos se sustituyen en laecuacin de la recta en su forma simtrica:

1=+b

y

a

x

Forma simtrica

132

132

=

=

+

yx

yx

y

x0 1 2 3-1-2-31

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

7

(0, -3)

-6

(-2, 0)

A (x , y )1 1

B (x , y )2 2

172

Para obtener la ecuacin en la forma simtrica del techo plano de la construccin hace falta el puntode interseccin de la recta con el eje de las x, recuerda que cuando esto ocurre el valor de y es 0,entonces en la ecuacin anterior se sustituye y = 0 y se obtiene el valor correspondiente de x.


250

2500

550

10

550

1

=

+=

+=

+=

x

x

x

xy

Ahora se sustituyen los valores a = -250 y b = 5 enla ecuacin de la forma simtrica:

15250

1

=+

=+

yx

b

y

a

x

y

0 1 2 3 54 6

1

2

3

5

4

6

x

0.08m

173


Informacin obtenida de la SIAP (Servicio de Informacin Agropecuario y Pesquera)Produccin de todos los tipos de grano de maz en Oaxaca, Mxico.

Sembrada (Ha)

Cosechada (Ha)

583,846 577,516 600,006 583,757 595,896 596,266 596,543 599,257 586,987 604,742 577,365 565,680 596,610 604,692

541,183 547,513 487,603 546,982 566,968 552,280 577,615 445,615 494,350 536,080 485,977 478,712 561,032 597,535

Ao 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

174


Con la informacin proporcionada resuelve lo siguiente:

a) Obtn el promedio de cosecha de maz en el periodo 2000 2005b) Calcula la razn de cambio en el mismo periodo. Qu representa respecto a la cosecha de

maz en dichos aos?c) Traza una lnea recta sobre los puntos extremos en dicho periodo, calcula su pendiente y

ngulo de inclinacin.d) Determina la ecuacin de la recta en dicho periodo en su forma punto-pendiente, pendiente-

ordenada al origen y en su forma simtrica.

a) Para obtener el promedio de la cosecha de maz en el periodo 2000 2005, suma las cantidadescosechadas y divdelas entre el nmero de aos transcurridos:

Sembrada (Ha)

Cosechada (Ha)

583,846 577,516 600,006 583,757 595,896 596,266 596,543 599,257 586,987 604,742 577,365 565,680 596,610 604,692

541,183 547,513 487,603 546,982 566,968 552,280 577,615 445,615 494,350 536,080 485,977 478,712 561,032 597,535

Ao 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

5.319,5156

977,485080,536350,494615,445615,577280,552=

+++++=Promedio

Solucin:

175


b) Calcula la razn de cambio en el mismo periodo. Qu representa respecto a la cosecha de mazen dichos aos?

La razn de cambio negativa indica que la cosechaen este periodo decreci 0.132 (Ha) por ao.

52.7

)132.0(tan

tan1

1

=

=

=

m

132.05

66.0

510

52.586.4

12

12=

=

=

=

xx

yy

x

y

Los puntos extremos en la grfica son: (5, 5.52) y (10, 4.86). Al sustituirlos en la frmula de la razn decambio obtienes:

c) Traza una lnea recta sobre los puntos extremos endicho periodo, calcula su pendiente y ngulo deinclinacin.

La pendiente corresponde con la razn de cambioobtenida en el inciso anterior. Dicha pendiente sesustituye en la frmula para obtener el ngulo deinclinacin:

030201009998 04 05 06 08079795 96x

CosechadaSembrada Aos

Hec

tre

as po

r 100

, 00

0

y

1

2

3

5

4

0

6

Para que el ngulo seapositivo le sumas 180.

=180 7.52 = 172.48176


d) Determina la ecuacin de la recta en dicho periodo en su forma punto-pendiente, pendiente-ordenada al origen y en su forma simtrica.

Para obtener la ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente, sustituye los valores de lapendiente y de cualquiera de los dos puntos extremos en la frmula.


Se toma el punto: (5, 5.52)y m = 0. 132

bmxy +=Forma pendiente-ordenada al origen

Para obtener el valor de la ordenada se calcula elpunto de interseccin de la recta con el eje de lasy, cuando x = 0. Sustituye x = 0 en la ecuacinde la forma punto-pendiente:

18.618.652.566.0

)50(132.052.5

0)5(132.052.5

==+=

=

==

yy

y

xxy)5(132.052.5

)( 11

=

=

xy

xxmyy

18.6132.0 +=

+=

xy

bmxy

1=+b

y

a

xForma simtrica

Se sustituye y = 0 en laecuacin punto-pendientepara obtener a:

82.46132.0

18.6

132.052.566.0

)5(132.052.50

0

)5(132.052.5

=

=

=

=

=

=

x

x

x

y

xy

118.682.46

=+yx

El ejemplo anterior ilustra muy bien que una misma situacin o fenmenopuede ser representado a conveniencia dependiendo de la naturaleza dela tarea que se tenga que realizar. 177


Instrucciones: determina la ecuacin de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen dados lossiguientes datos.

1) m = 3/5 y b = 4

2) m = 0 y b = 3

3) m = 1 y b = 8

Instrucciones: a partir de las ecuaciones dadas encuentra el valor de la pendiente, de la ordenada alorigen y realiza la grfica correspondiente.

1) y = 2 x 5

2) 4x 6y = 8

3) 7 + 2y = 3x

Actividad 16

Actividad 17

178


Instrucciones: obtn la ecuacin de la recta en su forma simtrica a partir de la interseccin de larecta con los ejes de las siguientes grficas.

Actividad 18

179

Proyecto ModularOpcin 2

181

Debe contener en esencia los siguientes puntos:

a) Presentacin.Limpieza, orden y estructura.

b) Investigacin.Informacin actual y real, empleo de fuentes seguras.

c) Procedimientos.Resolver los ejercicios personalmente.

182

Ejemplo de portada para cada una de las actividades:

Universidad CNCI de Mxico, S.C.

Plantel Ajusco

El proceso de la comunicacin

Taller de lectura y redaccin II

Leticia Gmez Rodrguez

Grupo: 205

Mdulo 3

Maestra: Nora Montes Martnez

Mxico D.F., a 28 de Enero 2010

Nombre de la escuelaLogo de la Universidad

Nombre del tema en el que se va a trabajarNombre de la asignatura (materia)

Nombre del alumno, grupo y mdulo en que se encuentra.

Nombre del maestro (a)

Fecha de entrega183

Requisitos para la entrega:

Realizarlas en hojas milimtricas, tamao carta.

Anexar portada a cada una de las actividades, para su identificacin.

Distinguir con colores los ejercicios y el procedimiento de los mismos.

Las actividades se anexarn en un flder para su entrega.

Proyecto modular 2Telfonos Peluche

184

Regularmente, la compaa de telfonos cobra una cuota fija mensualmente por la renta delservicio, adems se incrementa el cobro segn el plan que has contratado en tu casa, investiga lacuota fija que te cobra la compaa de telfonos y segn el plan que tienes contratado, el costo porllamada realizada y con esos datos resuelve lo siguiente:

1)Describe la ecuacin de la lnea recta del ejemplo

2)Encuentra su pendiente

3)Obtn su ngulo de inclinacin

4)Traza su grfica en el plano cartesiano

5)Convierte la ecuacin de la recta a su forma punto pendiente

6)Convierte la ecuacin de la recta a su forma punto punto

7)Convierte la ecuacin de la recta a su forma pendiente ordenada al origen

8)Convierte la ecuacin de la recta a su forma simtrica

Actividad 2

185

GlosarioSemana 2

186

Semana 2

Adyacente: que est contiguo.

ngulo recto: ngulo cuya medida angular es de 90.

Decrece (decreciente): Una funcin es decreciente cuando los valores de la variable dependienteaumentan si la variable independiente disminuye.

Denominador: expresa las partes iguales en que se considera dividida la unidad(a/b = numerador/denominador).

Drenaje pluvial: sistema de tubos para controlar el fluido del agua de la lluvia.

Grado uno: cuando el exponente de la variable es 1.

187

Semana 2

Inclinacin: es el ngulo positivo que forma la recta con respecto al eje x.

Numerador: seala el nmero de partes iguales de la unidad que contiene una fraccin(a/b = numerador/denominador).

ptimo: bueno, que no puede ser mejor.Proporcional: que aumenta o disminuye de igual forma o de manera inversa a otra que se relaciona.

Razn de cambio: es el cociente de cambio entre dos valores de una variable.

Razones Trigonomtricas: son las relaciones de razn que se obtienen al comparar la medida de loslados del tringulo rectngulo.

Regla de tres: es una manera de resolver los problemas a partir de la proporcionalidad entre tres oms valores conocidos y una incgnita.

188

Semana 3Bloque IV: Utiliza distintas formas de la ecuacin de la rectaUnidades de competencia: Construye e interpreta modelos auxilindose de distintas formas de la ecuacin de la recta al resolver problemas derivados de situaciones

reales, hipotticaso tericas. Interpreta tablas, grficasy expresionessimblicasrelacionadascon diferentesformasde la ecuacin de la recta. Argumenta la pertinencia de utilizar una forma especfica de la ecuacin de la recta, dependiendo de la naturaleza de la situacin bajo

estudio.


Da Temas Ev idencia de aprendizajeLunes 2.2.5 Forma general de la ecuacin de una recta

2.2.5.1 Conversin de la ecuacin de una recta de la forma simplificada a la forma general y viceversa

2.2.5.2 La lnea recta y la ecuacin general de primer grado

2.2.6 Forma normal de la ecuacin de la recta2.2.6.1 Obtencin de la ecuacin de una recta en

su forma normal a partir de su forma general

Obtiene la ecuacin de una recta en su forma general, apartir de la determinacin de la ecuacin de una recta ensu forma punto-pendiente, pendiente-ordenada al origen osimtrica.

Conv ierte la ecuacin de una recta en su forma normal apartir de la ecuacin en su forma general y viceversa.

Martes 2.3 Distancias que inv olucran la recta2.3.1 Distancia de una recta al origen2.3.2 Distancia entre una recta y un punto2.3.3 Distancia entre rectas paralelas

Calcula la distancia de una recta al origen y de una recta acualquier punto dado a partir de la frmula de la distancia.

Determina la distancia entre rectas paralelas a partir de unpunto dado de una de ellas.

Gua de EstudiosMatemticas III Parte A

190

Bloque V: Emplea la ecuacin de la circunferencia con centro en el origenUnidades de competencia: Construye e interpreta modelos sobre la circunferencia como lugar geomtrico al resolver problemas derivados de situaciones reales,

hipotticaso tericas. Interpreta tablas, grficasy expresionessimblicasrelacionadascon distintasrepresentacionesde la circunferencia.


Da Temas Ev idencia de aprendizajeMircoles 3 La circunferencia

3.1 Caracterizacin geomtrica3.1.1 Secciones cnicas3.1.2 La circunferencia como lugar geomtrico3.1.3 Elementos asociados con una circunferencia

Identifica tipos de secciones cnicas que se forman alrealizar cortes a un cono mediante un plano en suentorno.

Determina loselementosde la circunferencia.

Juev es 3.2 Circunferencia con centro en el origen3.2.1 Obtencin de la ecuacin de una circunferencia a

partir del centro y radio3.2.2 Obtencin del centro y del radio a partir de la

ecuacin.

Determina las coordenadas del centro y la longitud delradio de una circunferencia a partir de su ecuacin yviceversa.

Traza la grfica de una circunferencia a partir del radio ycentro de la misma.

Viernes Examen semana 3Rev isa la opcin de proyecto modular 3

Realiza el examen de la semana 3.

191

2.2.5 Forma general de la ecuacin de una recta2.2.5.1 Conversin de la ecuacin de una recta de la forma simplificada a la forma

general y viceversa.2.2.5.2 La lnea recta y la ecuacin general de primer grado.

2.2.6 Forma normal de la ecuacin de la recta.2.2.6.1 Obtencin de la ecuacin de una recta en su forma normal a partir de su

forma general.



Obtener la ecuacin de una recta en su forma general a partir de ecuaciones en su formapunto-pendiente, pendiente-ordenada al origen o simtrica.

Convertir la ecuacin de una recta en su forma normal a partir de la ecuacin en su formageneral y viceversa.


Una ecuacin lineal es una igualdad que involucra una o ms variables distintas de grado uno y lascuales estn relacionadas mediante sumas o restas.

Por ejemplo: 3x + 2y = 6, 7x 4y + 5 = 0. Las ecuaciones anteriores pueden ser representadasgrficamente otorgndole valores a la variable independiente x y obteniendo el valorcorrespondiente de y.

Recuerda:

En el bloque III revisaste las propiedades del tringulo rectngulo y la funcin trigonomtrica de latangente, para el aprendizaje actual es necesario conocer la funcin trigonomtrica del seno ycoseno.

c

asen

hipotenusa

opuestocsen

=

=

.

hipot

enus

a

cateto

opue

sto

cateto adyacente

a

b

c

A

B

C

c

b

hipotenusa

adyacentec

=

=

cos

.cos


Instrucciones: resuelve los siguientes ejercicios.

1. Dadas las siguientes ecuaciones, indica la figura que representan en el plano cartesiano (recta,circunferencia, parbola, elipse o alguna otra).

a) y = 4x 7 b) 2 + 4y =8x c) 4x + 2y = 0

2. Encuentra el seno y coseno de los siguientes tringulos rectngulos, recuerda que el ngulo ya loencontraste en el boque III. Utiliza las funciones trigonomtricas de tangente.

Semana 3 / Sesin 9 / Lunes Respuestas:1.Ejemplo, a) Recta

2.a) sen = 0.896, cos = 0.444b) sen = 0.538, cos = 0.842

a) b)

195

En Patulul, Guatemala, pasa algo aparentemente anormal. Avanzas en coche por una carretera yadviertes claramente que te encuentras subiendo por una colina. Si el coche se detiene en medio de lacarretera en punto muerto, qu ocurre?

Colinas misteriosas

Segn la descripcin anterior, el coche tendra que bajar por la pendiente; pero, en esta colina ocurre lo contrario. Por qu?


2.2.5 Forma general de la ecuacin de la recta.

Gracias al estudio de la recta y sus propiedades se descubre que la aparente subida es en realidaduna ligera pendiente descendente insertada en una gran pendiente de subida.

Siguiendo con el caso mencionado en la seccin Explora, unequipo de investigadores se comprometi a analizar estefenmeno a travs de un estudio topogrfico. La conclusinobtenida fue la siguiente ecuacin:

289.100197.0 += xy

La respuesta est en la ecuacin de la recta.


El Paso Misterioso, Guatemala197

Siguiendo con el anlisis de la ecuacin de la recta de la colina observas que se trata de una ecuacinlineal porque la variable independiente x es de grado uno.

Has aprendido que existen distintas maneras de representar la ecuacin de una recta, cul es laforma general de representarla e identificarla?

Es muy sencillo, slo tienes que igualar a cero la ecuacin y obtienes la ecuacin general dela recta. De tal manera que la ecuacin general de la lnea recta es del tipo: Ax + By + C = 0,donde A, B y C son nmeros constantes.


El engao se debe a una ilusin ptica pues el descenso es seguido de unagran pendiente de subida, para el observador es una referencia engaosa,el entorno favorece la percepcin distorsionada de la pendiente. Como lassiluetas de las personas en la imagen, segn las perspectivas del entornoparecen una ms pequea que otra cuando en realidad las tres son delmismo tamao.

198

A partir de la forma general de la ecuacin de la recta se analizan los posibles casos de ecuacionespara valores propios de las letras A ,B y C:

a) Cuando 000 CBA

B

Cb

B

Axm ==

0=++ CByAx

c) Cuando 000 = CBA

B

Cbm == 0

0

0)0(

0

0

=+

=++

=

=++

CBy

CByx

Asi

CByAx

b) Cuando 000 = CBA

0

0

0

=+

=

=++

ByAx

Csi

CByAx

0== bB

Axm

d) Cuando 000 == CBA

00

00

0

==

==

=++

yBy

CyAsi

CByAx

00 == bm

e) Cuando 000 = CBA

0)(

0)0(

0

0

=+

=++

=

=++

CxA

CyAx

Bsi

CByAx

f) Cuando 000 == CBA

0

00)0(

00

0

=

=++

==

=++

x

yAx

CyBsi

CByAx


Si la ecuacin de la carretera en la colina de Guatemala est dada por y = 0.00197x + 1.289, laecuacin en su forma general es:

0289.100197.0

289.100197.0

=+

+=

yx

xy

Los resultados cuantitativos obtenidos en el estudio topogrfico realizado en el tramo de carreteradenominado El Paso Misterioso indican que la cuesta desciende en forma constante en direccin SanLucas Tolimn-Patulul aunque visualmente se observe una inclinacin hacia arriba.


A partir de la forma simplificada de la ecuacin de la recta, para transformarla a la forma general seiguala a cero la ecuacin:

2.2.5.1 Conversin de la ecuacin de una recta de la forma simplificada a la forma general y viceversa.

Forma Simplificada: y = mx + b Forma General: Ax + By + C = 0

Ejemplo. Dada la pendiente de la recta m = 2/3 y la ordenada al origen b = - 2 se obtiene la formasimplificada de la recta a travs del siguiente procedimiento:

Se sustituyen los valores de la pendiente y de la ordenada al origen en la Forma simplificada de laecuacin de la recta:

y = mx + b = (2/3) x + (- 2)

De la forma simplificada a la forma general.

Se multiplica toda la ecuacin por 3

Se iguala a 0

Forma General de la Recta

Forma Simplificada de la Recta23

2= xy

623

)3(23

2

=

=

xy

xy

0632 = yxSemana 3 / Sesin 9 / Lunes

201

Ejemplo: dada la ecuacin general de la recta 4x 6y = 8, convertirla a la forma simplificada.

3

4

3

2= xy Forma Simplificada de la Recta

Se despeja y

3

24

0432

0864

=

=

=

xy

yx

yx

Se simplifica:

Forma General de la Recta

Entre 2:


En la vida diaria existen muchas situaciones en las que se usan las funciones, por ejemplo:

a) El salario de un empleado est en funcin del tiempo trabajado.b) El grado de inclinacin del volcn en funcin del desplazamiento.c) La fluidez del drenaje pluvial en funcin de la inclinacin del techo.d) La cantidad de maz cosechada en funcin del tiempo.e) Los chirridos de un grillo estn en funcin de la temperatura.

2.2.5.2 La lnea recta y la ecuacin general de primer grado.

De los ejemplos anteriores se puede decir que una funcin matemtica es una relacinentre dos conjuntos definida una regla de correspondencia en la que a cada elementodel primer conjunto (variable independiente) le corresponde un nico elemento delsegundo conjunto (variable dependiente).

Las letras con las que se representa una funcin son: f, g, h, y las variables se denotan con las letras t,p, x, y, z. Si la funcin se escribe de la forma: y = f(x), x es la variable independiente y y es lavariable dependiente.


La funcin f(x) es lineal si en su modelo algebraico expresa la relacin entre la variable independientex de grado (exponente) uno y la variable dependiente y.

La forma de la funcin lineal es: f(x) = mx + b m y b son nmeros constantes

La grfica de una funcin lineal esuna lnea recta, cuando la funcinse iguala a cero se obtiene unaecuacin lineal o ecuacin deprimer grado.

0m

Ejemplo:Graficar la funcin f(x)= 3x + 5 cuando y = 0 y cuando y = 1.

Si y = 0 0 = 3x + 5 x = 5 / 3Si y = 1 1 = 3x + 5 x = 4 / 3


En la seccin Explora habrs notado que la vegetacin sobre la carretera crece perpendicularmenterespecto a la superficie de la Tierra, esa lnea recta perpendicular a la superficie de la Tierra se llamarecta normal. Cul es la ecuacin de la recta normal correspondiente a la recta de inclinacinde la carretera? Para resolver esta cuestin es necesario hacer un anlisis sobre la lnea recta y sunormal.

Al considerar una recta L se traza su recta normal (N)correspondiente, que pase por el origen y perpendicular a L. Dichasrectas se intersectan en un punto P1(x1, y1), de tal manera que elsegmento de recta que se forma del origen al punto P1 es P, y elngulo formado por la recta normal N con respecto al eje de las x.

senmN

costan ==

2.2.6 Forma normal de la ecuacin de una recta.

De acuerdo con la grfica, la pendiente de la recta normal estdada por:

Por frmula trigonomtrica

sen

mL

cos=La pendiente de la recta L es:

Puesto que N y L son perpendiculares ya que forman un ngulo de 90 entre s, se concluye que:

y

0 x

N

L

P (x,

)1

1y1

x1

y1 90

P


[ ]

0cos

cos

1cos

)cos(cos

coscos

coscos

)cos(cos

22

22

22

22

=+

=+

=+

+=+

+=+

+=

=

Pysenx

Pxysen

sen

senPxysen

PPsenxysen

PxPsenysen

Pxsen

Pseny

Al tomar la ecuacin de la recta en su forma punto pendiente se determina lo siguiente:

Segn las funciones trigonomtricas vistas en la actividad de repaso:

P

ysen 1=

P

x1cos =

)(coscos

)( 1111 xxsen

yysen

msixxmyy L ===

(1)

En la ecuacin (1) se sustituye x1 y y1:

Al desarrollar:

Se simplifica:

Identidad Trigonomtrica

1yPsen = 1cos xP =

Forma normal de la recta

y

0 x

N

L

P (x,

)1

1y1

x1

y1 90

P


Traza la recta AB para los valores de P y que se indican y determina su ecuacin.

a) P = 5 y = 120Se sustituyen los valores en la ecuacin de la forma normal de la recta, y con la ayuda de la tabla de valores de las funciones trigonomtricas (ver material de apoyo) se realiza lo siguiente:

Resuelve:

Traza la recta AB para los valores de P = 4 y = 240 y determina su ecuacin.

0cos =+ Pysenx Forma normal de la recta

Ejemplo:

05866.05.0

05)866.0()5.0(

05)2

3()

2

1(

05)120()120cos(

=+

=+

=+

=+

yx

yx

yx

ysenx

y

0 x120

5A

B


Para obtener la ecuacin de la recta en su forma normal a partir de su forma general, hay que suponerla ecuacin de la recta en su forma general: Ax + By + C = 0 y la ecuacin de la misma recta en suforma normal: xcos + ysen + P = 0, como las ecuaciones determinan la misma recta sus coeficientesson proporcionales:

C

PK

B

senK

AK ===

cos

2.2.6.1 Obtencin de la ecuacin de la recta en su forma normal a partir de su forma general.

En donde K es la constante de proporcionalidad

A partir de lo anterior se tiene:

2222

222222

222

222

1

cos

cos

BKAK

BKAKsen

BKsen

AK

+=

+=+

=

=

Al elevar al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y al sumarlas se obtiene:

KCPKBsenKA === )3()2(cos)1(

Identidad Trigonomtrica1cos

22=+ sen


0222222

=

++

++

+ BAC

yBA

Bx

BA

A

Al despejar K de la ecuacin se tiene:

Obtenida K se sustituye en :

Por lo tanto la forma normal de la ecuacin Ax + By +C = 0 es:

22

22

2

222

1

1

)(1

BAK

BAK

BAK

+=

+=

+=

222222cos

)3()2(cos)1(

BA

CP

BA

Bsen

BA

A

KCPKBsenKA

+=

+=

+=

===

(4)


La ecuacin obtenida de la recta de su forma general convertida a su forma normal es mucho mssimple que la que depende de las funciones trigonomtricas. Qu diferencia encuentras entre laforma general de la ecuacin de una recta y la obtenida en su forma normal?

Al observar la ecuacin en la forma general de la recta y la ecuacin (4), lograste darte cuenta que lanica diferencia es el radical que divide a cada trmino de la ecuacin (4). Ese radical es clave paraobtener la conversin de la ecuacin de la recta de su forma general a su forma normal.

0222222

=

++

++

+ BAC

yBA

Bx

BA

AAx + By + C = 0

El signo del radical se determina mediante los siguientes criterios:

1) Si C 0 el radical es de signo contrario a C.

2) Si C=0 y B 0, el radical y B tienen el mismo signo.

3) Si C=B=0, el radical y A tienen el mismo signo.

22BA +

22 BA +

22 BA +


Ejemplo:Convertir a la forma normal la ecuacin: 2x + 8y 7 = 0

A = 2B= 8C= 7

68644)8()2( 2222 =+=+=+ BA

El signo del radical es positivo, ya que C est dado como negativo.

068

7

68

8

68

2=+ yx

Al dividir trmino a trmino de la ecuacin general de la recta se obtiene:


Chirridos del grillo

Los bilogos han observado que el nmero de chirridos de un grillo est dado en relacin con latemperatura y sta resulta casi lineal. Se sabe que a 21 C el grillo produce 113 chirridos por minuto yque a 27C producen 173 chirridos por minuto . Dado lo anterior:

a) Determina la ecuacin de la recta de la temperatura como funcin de la cantidad de chirridospor minuto que produce el grillo.

b) Grafica la ecuacin y calcula la pendiente y ngulo de inclinacin. Qu representa lapendiente?

c) Obtn la ecuacin en su forma punto pendiente, pendiente ordenada al origen, formageneral y reducirla a la forma normal.

Solucin:

a) Dada la relacin anterior se obtienen los puntos:(21, 113) y (27, 173) y con la frmula punto-puntose obtiene la ecuacin de la recta simplificada:

9710

11321010

)21(6

60113

)21(2127

113173113

)( 112

121

=

+=

=

=

=

xy

xy

xy

xy

xxxx

yyyy


c) Forma punto pendiente

b) Determinada la ecuacin de la recta se identifica la pendiente como m= 10. Indica que cuando la temperatura aumenta el grillo produce ms chirridos.

29.84

10tan

tan

1

1

=

=

=

mEl ngulo de la ecuacin es:

)21(10113

)( 11

=

=

xy

xxmyy

Forma pendiente ordenada al origen

9710

11321010

)21(10113

=

+=

=

xy

xy

xy


Forma Normal

113

1

10

=

=

=

C

B

A

1011100

)1()10( 22

22

=+

+

+ BA El signo del radical es positivo, ya que C est dado como negativo.

Forma General09710 = yx

0101

97

101

1

101

10= yx


A travs de este ejemplo puedes apreciar la importancia de la interpretacin de las diferentes modalidades de la lnea recta, as como su gran utilidad en fenmenos

naturales o problemas tericos.

214

Instrucciones: realiza lo que se te indica a continuacin.

A partir de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (-2, - 4.5), determina la ecuacin segn lassiguientes formas:

1) Punto pendiente; considera el punto (1, 6).2) Punto pendiente; considera el punto (-2, -4.5)3) Pendiente ordenada al origen

A partir de la ecuacin de la recta determinada en su forma pendiente-ordenada al origen en elejercicio anterior, realiza la siguiente conversin:

1) Asu forma general2) Asu forma simtrica3) Apartir de la ecuacin obtenida en su forma general, convirtela a su forma normal4) Traza la grfica


Actividad 19

215

Actividad 20



A partir de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 3) y (6, 10), determina la ecuacin segn lassiguientes formas:

1) Punto pendiente; considera el punto ( 7 , 3).2) Punto pendiente considera el punto (6, 10)3) Pendiente ordenada al origen

A partir de la ecuacin de la recta determinada en su forma pendiente-ordenada al origen en elejercicio anterior, realiza la siguiente conversin :

1) Asu forma general2) Asu forma simtrica3) Apartir de la ecuacin obtenida en su forma general, convirtela a su forma normal4) Traza la grfica

216

2.3 Distancias que involucran la recta2.3.1 Distancia de una recta al origen 2.3.2 Distancia entre una recta y un punto2.3.3 Distancia entre rectas paralelas



Calcular la distancia de una recta al origen y de una recta a cualquier punto dado a partir de lafrmula de la distancia.

Determinar la distancia entre dos rectas paralelas a partir de un punto dado de una de ellas.


Por ejemplo:| 3| = 3 | - 5| = 5 | 4 6 + 7 -1| = | 4| = 4

Recuerda:

El valor absoluto de un nmero, es la distancia al origen a partir de dicho nmero, cuyo valorsiempre es positivo. Se denota con las barras | |.

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y perpendiculares cuando una es lainversa negativa de la otra.

1

2

1

mm =

Rectas Perpendiculares

12 mm =

Rectas Paralelas


Determinar la relacin (paralelas o perpendiculares) entre los siguientes conjuntos de rectas a partir de la pendiente correspondiente a cada ecuacin:a) 3x y + 1 = 0 b) 2x + 2y 3 = 0 c) x + 3y 2 = 0

6x 2y 5 = 0 8x + 8y 12 = 0 9x + 3y + 15 = 0


Respuestas:a)Paralelasb)Paralelasc)Perpendiculares

219

Rectas?

Observa la imagen 1. Cmo son las rectas entre s?Paralelas o torcidas?

Observa la imagen 2. A cul punto entre A, B y C correspondela recta que sale del rectngulo del lado izquierdo?

Observa la imagen 3. Las rectas son paralelas,perpendiculares o torcidas?

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3


2.3.1 Distancia de una recta al origen.y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x

Los sentidos no son del todo precisos, ya has vistoalgunos ejemplos que lo demuestran. Cmo evitarcaer en el engao? Las matemticas aportancerteza al analizar cuantitativamente los posiblescasos ambiguos y al dar resultados precisos ycrebles.

En la imagen 3 de la seccin Explora, paradeterminar cmo son las rectas entre s, se toma unpunto de referencia y se traza un plano cartesiano.

Al analizar las rectas grises, se calcula la distanciade cada una de ellas al origen y si las distancias sonproporcionales, las rectas son paralelas.

Para calcular la distancia de la recta al origen seprocede de la siguiente manera:

2.3 Distancias que involucran la recta.En el bloque II aprendiste a calcular la distancia existente entre dos puntos, en esta sesin descubrirsun mtodo abreviado para calcular la distancia de una recta al origen, a un punto o a otra recta.


La recta intersecta al eje x en el punto A y al eje y en el punto B. La longitud del segmento OB = b, lalongitud del segmento OA = a. Segn la figura de la grfica, se forma un tringulo rectngulo OBA, concatetos a y b, y como hipotenusa el segmento AB.

Segn la frmula del Teorema de Pitgoras, lo anterior queda de la forma:

22 baAB +=

Una propiedad del tringulo rectngulo establece que el producto de sus catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura:

dABab =

Al juntar las dos ecuaciones se obtiene:

22

22

ba

abd

badab

dABab

+=

+=

=

Frmula de la distancia entre una recta y el origen


Para encontrar entonces la distancia de la recta de la imagen 3 de la seccin Explora al origen, bastasaber los puntos donde la recta corta con los ejes.

22 ba

abd

+=

y

0 3 54-1-2-3-4-5-6 6

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x

1

2

1 2

(2, 0)(0, 1)

Al sustituir los valores a= 2 y b= 1 en la ecuacinresulta que la distancia del origen a la recta es de:

8928.0

5

2

14

2

)1()2(

)1)(2(

22

=

=

+=

+=

d

d

d

d

Si otra recta cortara en los puntos(1, 0) y (0, 0.5), cul sera la distancia de la recta al origen?Semana 3 / Sesin 10 / Martes

223

Para determinar la relacin entre las rectas de la imagen 1 de la seccin Explora, se elige un puntode referencia y se traza un plano cartesiano sobre ste. Se elige una de las rectas y se crea una rectaparalela (L1) punteada a sta.

2.3.2 Distancia entre una recta y un punto.

p

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4 6

1

2

3

5

4

-1

-2

x

dA( x1, y1)

L

L1La ecuacin de la recta L est dada por:

0cos =+ pysenx

La ecuacin de la recta L1 est dada por:0)(cos =++ dpysenx

Como el punto A satisface la recta L1 entonces:

psenyxd

ddespejaral

dpsenyx

++=

=++

11

11

cos

0)(cos


Al sustituir en la ecuacin:

Se simplifica:

222222cos

BA

CP

BA

Bsen

BA

A

+=

+=

+=

Frmula para calcular la distancia entre una recta y un punto

22

11

22122122

11 cos

BA

CByAxd

BA

Cy

BA

Bx

BA

Ad

psenyxd

+

++=

++

++

+=

++=


Para facilitar la frmula de la distancia de un punto a una recta, se sustituyen las equivalenciasde las funciones trigonomtricas:

225

Distancia dirigida de una recta a un punto.

Si la distancia se calcula con la frmula obtenida, el signo del radical se determina a travs de lossiguientes criterios:

a) Ser positivo si el punto P1 est situado por encima de la recta y negativa si est por debajo deella. Es posible determinar lo anterior al considerar que el signo del radical es el mismo que tieneB, o sea, el coeficiente de la variable y.

Distancia no dirigida de una recta a un punto.

Si el signo de la distancia no es de inters entonces solamente se obtiene el valor absoluto de ladistancia entre el punto y la recta dada.

22BA

CByAxd

+++

=


Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, solamente se toma una de las dos ecuaciones, sehace cero una de las dos variables y se procede a calcular el valor correspondiente de la segundavariable, una vez obtenido el punto, se calcula la distancia entre un punto y una recta.

Para desengaarnos de la vista, se va acalcular la distancia entre las rectas M yN en dos puntos distintos.

Segn el plano cartesiano, la recta Mpasa por los puntos (-2, 1) y (1, 1), suecuacin est dada por: y = 1

Un punto de la recta N es (2, 3).

Al calcular la distancia entre la ecuacinde la recta M y=1 y el punto que pasa porN (2, 3) se tiene:

2.3.3 Distancia entre dos rectas paralelas.

Ejemplo: y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x

M

N

O


Otro punto de N es (-3, 3)

Distancia de la recta M a la recta N es: 31

3

)1()0(

0)3)(1()2)(0(

2222

11==

+

++=

+

++=

BA

CByAxd

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x

M

N

O

31

3

)1()0(

0)3)(1()3)(0(

2222

11==

+

++=

+

++=

BA

CByAxd

Por los resultados obtenidos se concluyeque las rectas M y N son paralelas.

Resuelve:

Obtn la distancia entre las rectas M y O,toma dos puntos diferentes por dondepasa la recta O y verifica si son paralelasM y O.


En el tabla de billar el ngulo conque choca una bola de billar contrael borde de la mesa y el ngulocon que se desva son iguales.

a) Traza la recta y encuentra la ecuacin de las bolas 5 y 7b) Traza la recta y encuentra la ecuacin de las bolas 1 y 8c) Calcula la distancia entre las rectas formadas por las bolas (5 y 7) y (1 y 8)d) Calcula la distancia de la bola blanca a la recta formada por las bolas 5 y 7. Si la bola blanca

golpea a la 7, entrar al hoyo?

Tabla de billar

Considerando lo anterior, toma elcentro de la tabla de billar comopunto de referencia y crea un planocartesiano. De acuerdo a lospuntos en los que se encuentranlocalizadas las bolas, realiza losiguiente:

1

6

2

34

5

78


a) Ecuacin de la rectaformada por las bolas5 y 7

[ ]

5.175.4

)4(5.45.0

)4()4(3

5.045.0

)( 112

121

=

+=

=

=

xy

xy

xy

xxxx

yyyy

Solucin:

1

6

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x

2

34

5

7

8(6, -3)

(5, 1.5)

(-3, -4)

(-4, 0.5)

b) Ecuacin de la rectaformada por las bolas1 y 8

245.4

)5(5.45.1

)5(56

5.135.1

)(1

12

121

+=

=

=

=

xy

xy

xy

xxxx

yyyy


c) Obtenidas las ecuaciones de las rectas, se identifica que las pendientes de las dos son iguales,por lo tanto son rectas paralelas. Para calcular la distancia entre las dos, se toma una ecuacin yse hace x = 0 para obtener el valor correspondiente de y:

5.17

1

5.4

05.175.4

5.175.4

=

=

=

=++

=

C

B

A

yx

xy

rectaLa

Un punto de la recta formada por las bolas 5 y 8 es (0, 24)

24

24)0(5.4

0

245.4

=

+=

=

+=

y

y

xsi

xy

94.864.4

5.41

5.21

5.41

)1()5.4(

)5.17()24)(1()0)(5.4(22

22

11

===

+

++=

+++

=

d

d

BA

CByAxd

Frmula para encontrar la distancia entre un punto y una recta:

d) La bola blanca se encuentra en el punto (- 3.5, -1) y la recta es 4.5x + y 24 = 0

78.864.4

75.40

5.21

24175.15

)1()5.4(

)24()1)(1()5.3)(5.4(2222

11

=

=

=

+

++=

+++

=

d

BA

CByAxd


Si la recta entra al hoyo o no se resuelve mediante el ngulo de la recta que forma el trayecto de labola blanca, y al considerar el dato sobre los ngulos en la tabla de billar, es posible resolver lacuestin.

Seguramente habrs descubierto con este ejercicio la presencia de la lnea recta y suspropiedades hasta en el juego, que aunque reclama algo de conocimientos matemticos yprctica, no le quita lo divertido.

1

6

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x

2

34

5

78

(6, -3)

(5, 1.5)

(-3, -4)

(-4, 0.5)



Calcula la distancia entre los siguiente elementos:

1) La recta -2x + y 11 = 0 y el origen .

2) La recta 2x 3y + 6 = 0 y un punto:(2, - 1).

3) Las rectas paralelas y = 4x 6 y y = 4x + 2

Grafica cada una de las rectas de los ejercicios anteriores.


Actividad 21

233


Actividad 22


Calcula la distancia entre los siguiente elementos:

1) La recta 9 3x 5y = 0 y el origen.

2) La recta y x + 7y = 6 y el punto (0, -4).

3) Las rectas paralelas 3x 2y + 6 = 0 y la recta que pasa por los puntos (0, - 5) y (2, 6).

Grafica cada una de las rectas de los ejercicios anteriores.

234

3 La circunferencia

3.1 Caracterizacin geomtrica3.1.1 Secciones cnicas3.1.2 La circunferencia como lugar geomtrico3.1.3 Elementos asociados con una circunferencia



Describir las curvas que se obtienen al realizar cortes en un cono mediante un plano.

Determinar los elementos asociados a una circunferencia a partir de cualquier objeto, fenmeno o grfica.


Recuerda:

El dimetro de una circunferencia corresponde al doble del radio, de tal manera que si rrepresenta al radio, y d al dimetro, d = 2r.

Al lugar geomtrico de cada figura obtenida a partir de un cono mediante un plano lecorresponde un tipo de ecuacin, la cual posee las caractersticas especificas de la grfica.

Para obtener la grfica de una ecuacin se le asignan valores a la variable independiente x yse obtiene su respectivo valor de y mediante una tabla de valores, cuyos puntos se localizanen el plano cartesiano.

Formas generales de las ecuaciones de algunas figuras cnicas:

Circunferencia x2+y2 = r2

Elipse x2 + y2 = 1 b2x2 + a2y2 = a2b2a2 b2

Parbola y = ax2 x = ay2

Instrucciones: obtn el lugar geomtrico de las siguientes ecuaciones.

a) 3x2 + 3y2 = 27 b) y2 = 4 x2


Respuestas:a)Circunferenciab)Circunferencia

237

El invento del tren de vapor fue degran utilidad en la RevolucinIndustrial porque poda transportarcargas pesadas y en grandescantidades, adems que con mayorvelocidad. Una de las velocidadesmximas alcanzadas fue de 200Km./h.

Locomotora

Para evitar el descarrilamiento de un tren es necesario verificar el desgaste de sus ruedas, si ste hahecho un recorrido superior a los 150,000 Km. Las ruedas son fundamentales para el funcionamientodel tren; pero, qu es lo que se inspecciona en una rueda de tren para garantizar la seguridad de suuso?


3.1.1 Secciones cnicas

Si las ruedas del tren se unen por medio de un fierro recto, con el movimiento de las ruedas, el fierrorecto forma un cono de dos mantos, ya que el cono se forma cuando rota una recta alrededor de uncrculo al girar sobre un punto fijo.

3.1 Caracterizacin GeomtricaEs preciso distinguir el crculo de la circunferencia. La circunferencia es el conjunto depuntos que se encuentran a la misma distancia de otro punto dado, mientras que el crculoes el rea encerrada por la circunferencia.


En el bloque II aprendiste de manerageneral las formas de algunas figurasgeomtricas y su lugar geomtrico en elplano cartesiano, ahora se analizan adetalle tanto propiedades comoelementos de cada una de ellas.


Las figuras que aprendiste aidentificar surgen de la interseccinde un plano con un cono circularrecto de dos mantos y se lesconoce como secciones cnicas.

240

Si el plano corta horizontalmente al cono, y forma un

ngulo recto con el eje, la interseccin

forma una circunferencia.

Circ

unf

ere

ncia

Eje

Elipse

Eje

Si el plano corta oblicuamente al cono, la interseccin forma

una elipse.

Eje

ParbolaSi el plano corta slo a

uno de los conos sin cruzarlo la interseccin

forma una parbola.

Eje

Hiprbola

Si el plano corta los dos mantos de un cono la

interseccin forma una hiprbola


3.1.2 La circunferencia como lugar geomtrico.

La silueta de la rueda del tren se puederepresentar en forma grfica y compararla conalguna figura geomtrica, en el bloque IIaprendiste lo que es un lugar geomtrico, es elconjunto de puntos en el plano con unapropiedad en comn.

La circunferencia tiene la particularidad deestar formada por un conjunto de puntos loscuales se encuentran a la misma distancia(equidistan) llamado centro de lacircunferencia y su lugar geomtrico en elplano se representa como sigue:

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

x


Al analizar la rueda del tren se observa que no est sola, varios elementos intervienen y se clasificande acuerdo a su posicin respecto a sta.

3.1.3 Elementos asociados con una circunferencia.

radiosecante

tangente

cuerda

cuerda

Las ruedas de los ferrocarriles se verifican geomtricamente; es decir, que haya proporcin enc

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MA3CPA Material Didactico