Machten en logaritmen

•Eerst was er het bepalen van de som.

•Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil.

•Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product.

•Dat vroeg om het principe van verdeel.

•Vervolgens ging het om de macht.

•Die riep de wortel over zich uit.

•Maar moest ook zijn gelijke vinden in de logaritme. 38log

28

82

2

3

3

Een stukje geschiedenis

Rekenregels voor machten en logaritmen

9.1

Vergelijkingen van de vorm glog(A) = glog(B)

• glog(A) = B geeft A = gB

• gA = B geeft A = glog(B)• glog(A) = glog(B) geeft A = B• gA = gB geeft A = B

AB = AC geeft A = 0 ⋁ B = C of een substitutie.

Controleer bij logaritmische vergelijkingen of de logaritmen van de oorspronkelijke vergelijking gedefinieerd zijn voor de gevonden waarden.

9.1

Voorbeeldopgaven

)27log(2)3log(3

)7log(2

)5log(4

34

2

1

3

)64

27log(

)4log()27log(

4)27log(

)9log(2)3log(3

)28

1log(

)7log()2

1log(

)405log(

)5log()81log(

)5log()3log(

4

444

4

34

2

1

2

12

2

1

3

33

343

)log()log( ba gg

g)log(

)log(

b

a

g

g

g

g

)log(b

ag

g

b

a

Opgave 5

)log(bn g

g nbg

g )( )log(

nb

)log( ng bg

opgave 9a

5log(x) = 2 + ½ · 5log(3)

5log(x) = 5log(52) + 5log(3½)

5log(x) = 5log(25) + 5log(√3)5log(x) = 5log(25√3)

x = 25√3

voldoet

opgave 9b

3log(x + 4) + 1 = 2 · 3log(x - 2)

3log(x + 4) + 3log(3) = 3log((x – 2)2)

3log(3(x + 4)) = 3log((x – 2)2)3log(3x + 12) = 3log((x - 2)2)

3x + 12 = x2 – 4x + 4

x2 – 7x – 8 = 0

(x – 8)(x + 1) = 0

x = 8 ⋁ x = -1

voldoet voldoet niet

Vergelijkingen met logaritmen

9.1

opgave 14a

3x · 2log(x + 1) = ½log(x + 1)

3x · 2log(x + 1) = -2log(x + 1)

3x = -1 ⋁ 2log(x + 1)

x = -⅓ ⋁ x + 1 = 1

x = -⅓ ⋁ x = 0

voldoet voldoet

opgave 19a

3x+2 + 3x = 600

32 · 3x + 3x = 600

9 · 3x + 3x = 600

10 · 3x = 600

3x = 60

x = 3log(60)

De standaardgrafiek y = gx

Ox

y

Ox

yg > 1 0 < g < 1

11

domein ℝ

bereik 〈 0, 〉

de x-as is asymptoot

Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt.

9.2

De standaardgrafiek y = glog(x)

Ox

y

Ox

yg > 1

1 1

1stijgend

dalend

1

0 < g < 1

domein 〈 0, 〉

bereik ℝ

de y-as is asymptoot

9.2

Transformaties toepassen op exponentiele en logaritmische standaardfuncties.

9.2Opgave 23

opgave 27

f(x) = 3x - 1 – 2 en g(x) = 4 – 3x

a f(x) = g(x)3x - 1 – 2 = 4 – 3x

3x · 3-1 – 2 = 4 – 3x

⅓ · 3x – 2 = 4 – 3x

1⅓ · 3x = 63x = 4½x = 3log(4½)

yA = g(3log(4½)) = 4 – 4½ = -½

Dus A(3log(4½)), -½).

b f(p) – g(p) = 63p - 1 – 2 – (4 – 3p) = 63p · 3-1 – 2 – 4 + 3p = 61⅓ · 3p = 123p = 9p = 2 9.2

opgave 311

2( ) log(2 )f x x1

2( ) 2 log( 2)g x x 1

( ) ( 1 )8

f p g p q 1( ) ( 1 )

8g p f p q

1 1

2 21

log(2 ) 2 log( 1 2)8

p p 1 1

2 21

2 log( 2) log(2( 1 ))8

p p 1 1 1

2 2 21 1

log(2 ) log( ) log( 3 )4 8

p p 1 1

2 21 25

log(2 ) log( )4 32

p p

1 1 1

2 2 21 1

log( ) log( 2) log(2 2 )4 4

p p 1 1

2 21 1 1

log( ) log(2 2 )4 2 4

p p

1 1 12 2

4 2 4p p

1 252

4 32p p

64 8 25p p

56 25p 25

56p

2 8 9p p

7 7p

1p

25

56p

1

225 25

( ) ( ) log( )56 28

q f p f 1

2( ) ( 1) 2 log(1) 2q f p g 1p

en

⋁

⋁

⋁

⋁

⋁

⋁

⋁

⋁

geeft

geeft

voldoet voldoet

opgave 37a

f(x) = 2log(x) en g(x) = 2log(x – 3)

Stel xB = p, dan is xC = 3p.

f(p) = g(3p) = q geeft2log(p) = 2log(3p – 3)p = 3p – 3-2p = -3p = 1½q = f(p) = f(1½) = 2log(1½)

opgave 37b

yB = 2 · yE , dus f(r) = 2 · g(r)

f(r) = 2 · g(r) geeft

2log(r) = 2 · 2log(r – 3)

2log(r) = 2log((r – 3)2)

r = (r – 3)2

r = r2 – 6r + 9

r2 – 7r + 9 = 0

D = 49 – 4 · 1 · 9 = 13

7 13 7 135,303

2 2r r

voldoet niet voldoet

De afgeleide van f(x) = ax

f(x) = ax geeft f’(x) = f’(0) · ax

Het getal e

In opgave 42 heb je gezien dat

dus voor a ≈ 2,718 geldt[ax]’ = 1 · ax. f(x) = ex geeft f’(x) = ex

1

0lim( 1) 2,718h

hh

Zo gelden voor e ook de rekenregels voor machten

9.3

Functies met e-machten differentiëren

9.3

opgave 51

f(x) = (x2 – 3)ex

a f(x) = 0 geeft(x2 – 3)ex = 0x2 – 3 = 0 e⋁ x = 0x2 = 3 geen opl.⋁x = √3 ⋁ x = -√3De nulpunten zijn √3 en -√3.

b f(x) = (x2 – 3)ex geeft f’(x) = 2xex + (x2 – 3)ex = (x2 + 2x – 3)ex

f’(x) = 0 geeft(x2 + 2x – 3)ex = 0x2 + 2x – 3 = 0 e⋁ x = 0(x + 3)(x – 1) = 0x = -3 ⋁ x = 1max. is f(-3) = 6e-3 =min. is f(1) = -2e

c Als x heel klein is, dan is ex ≈ 0, dus is de functiewaarde vrijwel 0,dus y = 0 is horizontale asymptoot.

d f(x) = p heeft precies twee oplossingen voorp = ⋁ -2e < p ≤ 0.

3

6

e

3

6

e

opgave 56a

f(x) =

y = = eu met u = ¼x2 – 2x + 2

f’(x) = = eu · (½x – 2) = (½x – 2)

f’(x) = 0 geeft

(½x – 2) = 0½x – 2 = 0 = 0⋁x = 4 geen opl.

min. is f(4) = e4 – 8 + 2 = e-2 =

Bf =

212 2

4x x

e

212 2

4x x

e

212 2

4x x

e

212 2

4x x

e

212 2

4x x

e

2

1

e

2

1,

e

dy dy du

dx du dx

9.3

opgave 56b

O = OP · PQ = p · f(p) =

½p2 – 2p + 1 = 0

D = 4 – 4 · ½ · 1 = 2

De oppervlakte is maximaal voor

212 2

4p p

pe

2 21 12 2 2 2

4 41

1 ( 2)2

p p p pdOe p p e

dp

212 22 4

1( 2 1)2

p pp p e

0dO

dp

212 22 4

1( 2 1) 02

p pp p e

2 2 2 2

1 1p p

2 2 2 2p p

2 2p

geeft

Logaritmen met grondtal e

De natuurlijke logaritme van een getal a is de logaritme van a met grondtal e,dus ln(a) = elog(a)

Voor de natuurlijke logaritme gelden de rekenregels voor logaritmen.

9.4

opgave 64

a 3x ln(x) = 2 ln(x)3x = 2 ln(⋁ x) = 0x = ⋁ x = 1vold. vold.

b ln2(x) – ln(x) = 0Stel ln(x) = pp2 – p = 0p(p – 1) = 0p = 0 ⋁ p = 1ln(x) = 0 ln(⋁ x) = 1x = 1 ⋁ x = e

c x2 ln(x + 1) = 4 ln(x + 1)x2 = 4 ln(⋁ x + 1) = 0 x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x + 1 = 1x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x = 0vold. vold.niet vold.

2

3

Exponentiële en logaritmische functies differentiëren

9.4

opgave 66a

f(x) = 22x – 2x

f’(x) = 2 · 22x · ln(2) – 2x · ln(2)= (2 · 22x – 2x)ln(2)= (22x + 1 – 2x)ln(2)

f’(x) = 0 geeft(22x + 1 – 2x)ln(2) = 022x + 1 – 2x = 022x + 1 = 2x

2x + 1 = xx = -1

f(-1) = 2-2 – 2-1 = ¼ - ½ = - ¼ Bf = [- ¼ , 〉

9.4

opgave 66b

f’(0) = (20 + 1 – 20) · ln(2)= (2 – 1)ln(2)= ln(2)

Kijkend naar de grafiek wordt het antwoord

0 < a < ln(2) ⋁ a > ln(2)

geeft

f(x) = 0 geeft

10 ln(x) = 0ln(x) = 0x = 1

Dus A(1, 0).

Stel k: y = ax + bmet a = f’(1) =

k: y = 10x + bdoor A(1, 0)

Dus k: y = 10x - 10

opgave 75a

10ln( )( )

xf x

x

2

1010ln( ) 1

'( )x x

xf xx

2

10 10ln( )x

x

10ln( )0

x

x

2

10 10 ln(1)10

1

0 = 10 + b-10 = b

9.4

opgave 75b

f’(x) = 0 geeft

10 – 10ln(x) = 0ln(x) = 1x = e

max. is f(e) =

2

10 10ln( )0

x

x

10ln( ) 10e

e e

opgave 75c

Stel xB = p, dan is xC = 2p.

f(p) = f(2p) = q geeft

10ln(p) = 5ln(2p)2ln(p) = ln(2p)ln(p2) = ln(2p)p2 = 2pp2 – 2p = 0p(p – 2) = 0p = 0 ⋁ p = 2vold.niet vold.

q = f(p) = f(2) =

10ln( ) 10ln(2 )

2

p p

p p

10ln(2)5ln(2)

2