Maggio 2006Maggio 2006 Anna ColzatoAnna Colzato

Il secondo criterio di Il secondo criterio di congruenza dei triangolicongruenza dei triangoli

……dimostriamolo per assurdo!!!dimostriamolo per assurdo!!!

Maggio 2006Maggio 2006 Anna ColzatoAnna Colzato

Enunciato:Enunciato:

““se due triangoli hanno rispettivamente se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato fra congruenti due angoli e il lato fra loro compreso, essi sono congruenti”loro compreso, essi sono congruenti”

… … prima di iniziare con la dimostrazione, visualizziamo prima di iniziare con la dimostrazione, visualizziamo l’enunciato …l’enunciato …

Maggio 2006Maggio 2006 Anna ColzatoAnna Colzato

Per ipotesi abbiamo: Per ipotesi abbiamo:

AB AB ~ A'B'~ A'B'

^CAB ~ ^C'A'B' ^CAB ~ ^C'A'B'

^ABC ~ ^A^ABC ~ ^A''BB''CC''C

A B

C’

A’ B’

Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi …

Maggio 2006Maggio 2006 Anna ColzatoAnna Colzato

……supponiamo quindi che i due triangoli non siano supponiamo quindi che i due triangoli non siano

congruenti congruenti => => AC ≠ A'C'.AC ≠ A'C'.

Ad esempio sia Ad esempio sia AC > A'C'AC > A'C' => esisterà su => esisterà su ACAC un un punto punto DD tale che tale che AD ~ A'C'AD ~ A'C' … …

D

C

A B

C’

A’ B’

Maggio 2006Maggio 2006 Anna ColzatoAnna Colzato

Consideriamo i triangoli Consideriamo i triangoli ABDABD e e AA''BB''CC''

C

A B

C’

A’ B’

Essi hanno:

^A ~ ^A' per ipotesi

AD ~ A'C' per costruzione

AB ~ A'B' per ipotesi

I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio, in particolare risulta

^ABD ~ ^A'B'C'

D

…MA…

Maggio 2006Maggio 2006 Anna ColzatoAnna Colzato

……ricordiamo che per ipotesi ricordiamo che per ipotesi ^A'B'C' ~ ^ABC^A'B'C' ~ ^ABC

C

A B

C’

A’ B’

…dalla diapositiva precedente risulta

che ^ABD ~ ^A'B'C'

…quindi per la proprietà transitiva si ha

^ABD ~ ^ABC

D

Maggio 2006Maggio 2006 Anna ColzatoAnna Colzato

……ma affermare che ma affermare che ^ABD ~ ^ABC, è assurdo, perchè

^ABD è una parte di ^ABC, in quanto, per costruzione, la semiretta BD, di origine B, è interna all’angolo ^ABC.

C

A B

C’

A’ B’

D

Maggio 2006Maggio 2006 Anna ColzatoAnna Colzato

Siamo giunti ad una Siamo giunti ad una contraddizione!!!!!contraddizione!!!!!

……dobbiamo quindi concludere che non è dobbiamo quindi concludere che non è possibile negare la tesi, che quindi risulta possibile negare la tesi, che quindi risulta essere necessariamente vera…essere necessariamente vera…

I due triangoli I due triangoli ^ABC^ABC e e ^A'B'C'^A'B'C' sono congruenti!!! sono congruenti!!!