Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studijmatematike

Mirela Duvnjak

Magicni kvadrat

Zavrsni rad

Osijek, 2013.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studijmatematike

Mirela Duvnjak

Magicni kvadrat

Zavrsni rad

Mentor: prof. dr. sc. Antoaneta Klobucar

Osijek, 2013.

Sazetak

Magicni kvadrat prvi put se spominje u drevnoj Kini u legendi o Lo Shu, magicnomkvadratu, koji je zapazen na ledima misticne kornjace. Iz Kine se prosirio prvo u Ja-pan, pa Indiju, Egipat i dalje. U Europi se magicni kvadrat prvi put spominje u 13.stoljecu, a najpoznatiji je magicni kvadrat 4. reda s magicnom sumom 34 koji se nalazina bakrorezu Melancolia I njemackog umjetnika Albrechta Durera.Uobicajena definicija magicnog kvadrata: ”Magicni kvadrat stranice duljine n je kva-drat s nizom brojeva 1, 2,...,n2, takav da je zbroj brojeva u svakom retku, svakomstupcu i u dvije dijagonale uvijek isti.” Taj zbroj naziva se magicna suma ili magicnakonstanta.Posebnom tehnikom izrade kao i rotacijom i zrcaljenjem mozemo dobiti razlicite i novemagicne kvadrate parnog i neparnog reda.

Kljucne rijeci: magicni kvadrat, Lo Shu, magicna suma, tehnika izrade, rotacija,zrcaljenje

Abstract:

Magic square was first mentioned in ancient China in the of Lo Shu magic squarelegend that was first seen on the back of a mystical turtle. From China it first expendedin Japan, then India, Egypt and even further. In Europe it was first mentioned in the13th century. The most famous is the 4th order magic square with magical sum of 34that can be found on the engraving Melancolia I of Albrechta Durera, german artist.The usual definition of magic square is: ”Magic square with side length n is a squarewith a series of numbers 1, 2,...,n2, such that the sum of the numbers in each row, eachcolumn and two diagonals is always the same.” This sum is called the magic sum ormagic constant.By a special technique of making new squares as well as rotation and mirroring we canobtain a variety of new magic squares with even and odd rows.

Keywords: magic square, Lo Shu, magical sum, making technique, rotation, mir-roring

3

Uvod

Magicni kvadrat je kvadratna tablica u koju upisujemo zadane brojeve tako da u sva-kom retku, svakom stupcu i na svakoj dijagonali zbroj upisanih brojeva bude jed-nak. Taj broj nazivamo magicnim brojem ili magicnom sumom. Prema vrsti sadrzajamagicni kvadrati dijele se na brojevne, slovne i znakovne, a prema rasporedu i nacinucitanja sadrzaja na nesimetricne, simetricne i pandijagonalne.

Definicija brojevnog magicnog kvadrata uglavnom se ne odnosi na simetrican raspo-red brojeva u njemu nego na rezultat koji se dobije zbrajanjem svih brojeva u jednomredu, stupcu i dijagonali. Takav kvadrat ne moze se sastaviti od bilo kojih brojeva,nego oni moraju ciniti odredeni aritmeticki niz u kojem je razlika izmedu dva broja unizu uvijek ista vrijednost.Magicni kvadrat reda n je skup n2 brojeva, obicno jedinstvenih cijelih brojeva, u kva-dratu, takvih da n brojeva u svim redovima, stupcima i u obje dijagonale ima kons-tantan zbroj. Normalan magicni kvadrat se sastoji od cijelih brojeva od 1 do n2.

Zasto bas magicni?Magicni kvadrati su otkriveni jos u drevnoj Kini. Prema legendi o kineskom caru Yukoji je ugledao kornjacu koja na ledima ima tzv. Lo Shu magicni kvadrat. Magicnikvadrati su se iz Kine prosirili prema Japanu, Indiji, Egiptu, a nesto kasnije i premaEuropi. Neobicno lijepom rasporedu brojeva ljudi su pripisivali magicna svojstva. Vje-rovali su da ih magicni kvadrat stiti od nesrece, nosili su ga oko vrata, urezivali iznadkucnih pragova i cak ih prepisivali kao lijek protiv bolesti. Otuda im i naziv ”magicni”.

4

Poglavlje 1

Povijest magicnog kvadrata

Pojava i znacenje magicnog kvadrata stoljecima je zanimalo matematicare i povjesnicare.Iako povjesnicari imaju tragove o postojanju magicnih kvadrata tek od 4. stoljeca prijeKrista, u Kini postoji legenda od otprilike 650. g. prije Krista. Legenda kaze da jecar Yu otkrio magicni kvadrat setajuci uz Zutu rijeku (Huang Ho ili Lo) gdje je vidiomisticnu kornjacu za koju se smatralo da je spasila grad od silnih poplava (slika 1).

Slika 1. Yuova misticna kornjaca

Misticna kornjaca je na svom oklopu imala zagonetno rasporedene tocke unutarkvadrata. Proucavajuci kornjacu car je otkrio da je zbroj tocaka u bilo kojem retku,stupcu i dijagonali uvijek jednak i iznosi 15 (slika 2).

5

Povijest magicnog kvadrata 6

Slika 2. Detalj s leda Yuove kornjace

Broj 15 je oznacavao broj dana u svakom od 24 perioda kineske suncane godine itako je pomogao ljudima kontrolirati rijeku.Detalj s leda Yuove kornjace prozvan je Lo Shu (Lo-rijeka, Shu-knjiga). Kvadrat LoShu je jedinstven pravi magicni kvadrat treceg reda i svaki drugi magicni kvadrat trecegreda mozemo dobiti iz ovoga rotacijom ili refleksijom. Magicni kvadrati bili su vazni ukineskoj numerolgiji, koristili su se kao baza za proricanje buducnosti i horoskop.Iz Kine su se prosirili u Japan, Indiju i Egipat. Egipcani i Indijci vjerovali su da ihmagicni kvadrat stiti od nesrece, nosili su ga oko vrata, urezivali iznad kucnih pragovai cak ih prepisivali kao lijek protiv bolesti. Otuda mu i naziv ” magicni”. StarimEgipcanima magicni su kvadrati bili simboli reda i kaosa. Kvadrati viseg reda koristilisu se u starom Egiptu u astrologiji i predstavljali su planete.

Magicni kvadrati zainteresirali su i Europljane. Prvi poznati pisac o njima bio jeGrk Emanuel Moschopoulus koji je zivio oko 1300. g. Vjerovao je da je pronasaodvije metode za konstrukciju magicnih kvadrata, no neki matematicari toga vremenasmatrali su da je metoda koju je Moschopoulus objasnio mozda potekla od Perzijanacai povezana je s onom koju je iznio Ahmed al-Buni. On je 1225. g. pokazao kakokonstruirati magicni kvadrat koristeci jednostavnu ”rubnu tehniku”.Talijan Fra Bartolomeo Luca de Pacioli (1445.-1517.) matematicar, suradnik Leonardada Vincija i jedan od prvih tvoraca modernog racunovodstva godinam je proucavaomagicne kvadrate i sakupio je veliki broj primjera.Njemacki fizicar, astrolog i katolicki teolog Heinrich Cornelius Agrippa oko 1500. g.napiso je De Occulta Philosophia osvrcuci se na rad Marsilia Ficinoe i Picoa della Mi-randola. Konstruirao je kvadrate 3., 4., 5., 6., 7., 8. i 9. reda koje je povezao sa sedampoznatih astroloskih planeta: Saturnom, Jupiterom, Marsom, Suncem, Venerom, Mer-kurom i Mjesecom. Vjerovao je da magicni kvadrat prvog reda , odnosno onaj koji imasamo brojku jedan, predstavlja Bozju vjecnu savrsenost. Smatrao je, zajedno sa svojimkolegama, da je tuzno otkrice da magicni kvadrat drugog reda ne moze biti konstruirandokazom nesavrsenosti cetiri elemenata: zraka, zemlje, vatre i vode. Drugi su vjerovalida je nepostojanje 2 × 2 magicnih kvadrata rezultat covjekovog Istocnog grijeha.

Povijest magicnog kvadrata 7

Veliki njemacki slikar i kipar Albrecht Durer (1471.-1528.) napravio je 1514. godinebakrorez Melencolia I (slika 3).

Slika 3. Bakrorez Albrechta Durera i magicni kvadrat

Rezbarije Albrechta Durera su enigme, viseslojna umjetnicka djela koja pulsirajudrugacije sadrzaje, nudeci nekoliko mogucih interpretacija u isto vrijeme. Jedan sim-bol koji je vrlo jasan i zaokuplja promatracevu pozornost na Melancoliji I je matricabrojeva od 1 do 16 postavljenih na zidu iza andela. Matrica 4 × 4 naziva se magicnikvadrat jer svaki red, svaki stupac i obje dijagonale u zbroju daju isti broj 34. To jetakoder i magicni kvadrat kojemu sva cetiri kvadrata 2× 2 imaju zbroj 34, cetiri brojau kutevima daju zboj 34, kao i rotacija u desno ili lijevo za jedno mjesto takoder dajezbroj 34. Srednji kvadrat 2 × 2 ima zbroj 34. Zbroj brojeva 15 i 14 u zadnjem redu te3 i 2 u prvom redu je 34, kao i zbroj brojeva 5 i 9 u prvom stupcu, te 8 i 12 u zadnjemstupcu, itd.Kako god da se zbroji uvijek se dobije broj 34 !Zanimljivo je jos da je Durer u donjem redu magicnog kvadrata, osim godine kada ga jeosmislio (1514), dodao i redne brojeve abecede pocetnih slova svoga imena i prezimena(4=D) i (1=A).

Prvi detaljniji rad na temu magicnih kvadrata objavio je francuski matematicar F.Bernard de Bessy 1693. godine. On je pokazao da postoji 880 magicnih kvadrata 4.reda i sve ih je ispisao.Magicnim kvadratima bavili su se iz hobija i mnogi uglednici. Jedan od njih je Benja-min Franklin, koji se 1737. godine ”zabavljao” konstrukcijom magicnih kvadrata, te jeu svojim radovima objavio dva magicna kvadrata 8. reda.Zanimljivo je da je najveci ”rucno” izracunati magicni kvadrat dimenzije 1111× 1111,a izracunao ga je njemac Norbert Behnke.Pojavom racunala magicni kvadrati vise nisu ”nerijesena misterija”, iako se jos uvijekne moze tocno odrediti koliko ih je za svaki n.Pomocu racunala pronadeni su sljedeci magicni kvadrati:

• 105 × 105, Richard Suntag (SAD), 1975. god.;

• 501 × 501, Gerolf Lenz (Njemacka), 1979. god.;

• 1000 × 1000, Christian Schaller (Njemacka), 1988. god.;

• 2121 × 2121, Ralf Laue (Njemacka), 1991. god.;

• 3001 × 3001, Louis Caya (Kanada), 1994. god.;

Poglavlje 2

Definicija i tehnike izrade magicnogkvadrata

2.1 Definicija magicnog kvadrata

Magicni kvadrat je kvadrat stranice n, podjeljen na n2 jedinicnih kvadrata u kojima suupisani prirodni brojevi od 1 do n2 tako da je zbroj brojeva u svakom stupcu, svakomretku i u obje dijagonale jednak.

Broj n naziva se red (ili dimenzija) magicnog kvadrata. Za n = 1, magicni kva-drat je trivijalan. Magicni kvadrat 2. reda ne postoji, dok magicni kvadrat 3. redaima zbroj u svakom stupcu, svakom retku i u obje dijagonale jednak 15 (slika 4).

Slika 4. Magicni kvadrat 3. reda

8

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 9

Za magicni kvadrat 4. reda zbroj je 34, a za magicni kvadrat 5. reda zbroj je 65.Taj zbroj naziva se magicna suma ili magicna konstanta i racuna se po sljedecojformuli:

S(n) =1

n(1 + 2 + ... + n2)

=1

n

n2∑k=1

k =1

n

n2(1 + n2)

2

=n(1 + n2)

2

Ovako definirani kvadrati nazivaju se normalni magicni kvadrati. Normalni magicnikvadrati su reda n ≥ 1, bez reda 2., iako u slucaju reda 1 imamo trivijalni magicni kva-drat od jednog polja koji sadrzi samo broj 1. Osim normalnih kvadrata danas imamo iopce magicne kvadrate. To su kvadrati u kojima su upisani bilo koji prirodni brojevitakvi da je zbroj u svakom retku, svakom stupcu i u objema dijagonalama jednak i tadase magicna konstanta ne moze izracunati po gornjoj formuli. Na primjer, u magicnikvadrat mogu biti poslozeni clanovi rastuceg aritmetickog niza. Neka je a njegov prviclan, a d razlika izmedu svakih dvaju clanova, tada cemo magicnu konstantu racunatina sljedeci nacin:

S(n; a, d) =1

2n[2a + d(n2 − 1)]

Normalni i opci magicni kvadrati sastoje se od brojeva, ali postoje i kvadrati u koje supostavljena slova i njih nazivamo rijecni kvadrati. To je vrsta zagonetke koja se sastojiu tome da se polja kvadratnog dijagrama popunjavaju slovima ili slogovima tako da uvodoravnim i uspravnim nizovima nastaju uvijek iste rijeci.

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 10

2.2 Svojstva magicnog kvadrata

Razni magicni kvadrati imaju razlicita zanimljiva svojstva. Magicni kvadrati mogubiti:

• simetricni

• ultramagicni

• pandijagonalni

• savrseni

• bimagicni

• koncentricni ...

Svaki par centralno simetricnih elemenata kvadrata koji u zbroju daje n2+1, nazivase simetricni magicni kvadrat. Lo Shu magicni kvadrat je simetrican, odnosno broju8 centralno je simetrican broj 2, broju 1 broj 9 itd.Ako se svaki broj u normalnom magicnom kvadratu oduzme od n2 + 1, dobije se novimagicni kvadrat koji se naziva komplement polaznog magicnog kvadrata. Ako jekomplement magicnog kvadrata jednak polaznom tj. pripada istoj grupi s obzirom narotaciju i refleksiju, kaze se da je polazni magicni kvadrat samo-komplementan. Akoje pri tome jos i simetrican, tada se kaze da je ultra-magican.Ako je zbroj na svim dijagonalama konstantan, ukljucujuci i zbroj clanova na spored-nim, ”izlomljenim” dijagonalama, zove se pandijagonalan magicni kvadrat. Pandi-jagonalan magicni kvadrat 5. reda na svakoj od 8 rastucih i 8 padajucih izlomljenihdijagonala ima zbroj jednak kao i na glavnim dijagonalama i on iznosi 65.Ako je red magicnog kvadrata dvostruko paran, odnosno n = 4k, ako je zbroj eleme-nata u svaka 2 × 2 podkvadrata jednak 2(n2 + 1) i ako svaki dijagonalan par brojevamedusobno udaljen n

2mjesta u zbroju daje 2(n2 + 1), kazemo da je magicni kvadrat

savrsen.Ako u magicnom kvadratu svaki njego clan ni kvadriramo i kao rezultat dobijemo novimagicni kvadrat, kazemo da je on biomagican. Ako je kvadrat magican za ni, n2

i ,n3i ,..., tada imamo triomagican, tj. multimagican kvadrat.

Kvadrat reda m · n je slozen ako se moze razbiti na m2 magicnih podkvadrata redan, odnosno to je magicni kvadrat koji u sebi skriva podkvadrate koji su sami za sebeopet magicni.Magicni kvadrat je koncentrican ili obrubljen ako nakon brisanja gornjeg i donjegreda, te lijevog i desnog stupca dobijemo opet magicni kvadrat. Drugi uvjet je da svibrojevi na rubu budu iz skupa (1, 2, ..., 2n− 2) i (n2 − 2n + 3, ..., n2) (slika 5).

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 11

Slika 5. Koncentrican magicni kvadrat

Uocite na slici 5. unutarnji magicni kvadrat 4. reda kojeg okruzuje 10 ”malih”brojeva izmedu 1 i 10 koje smo dobili iz skupa (1, 2, ..., 2n − 2) i 10 ”velikih” brojevaizmedu 27 i 36 koje smo dobili iz (n2 − 2n + 3, ..., n2).

2.3 Konstrukcija magicnog kvadrata

Pri sastavljanju kvadrata koriste se dva niza brojeva. Prvi niz je 1, 2, ..., n, a drugi nizje 0, n, 2n, ..., n(n− 1). Razlikujemo sljedeca cetiri slucaja:

• n je neparan i djeljiv s 3

• n je neparan i nije djeljiv s 3

• n je djeljiv s 4

• n je paran i nije djeljiv s 4

Primjeri ce biti pokazani na magicnim kvadratima reda 3, 5, 4 i 6.

Neparan red djeljiv s 3

Postupak za rjesavanje ovog problema mozemo poopciti na proizvoljni kvadrat 3 × 3.Kvadrat 3. reda podjelimo na 9 jednakih kvadrata, te u svaki upisemo brojeve od 1 do9 na nacin da je zbroj brojeva u svakom redu, stupcu i dijagonali bude jednak 15.Ako na sredisnju poziciju kvadrata stavimo broj 9, onda nam suma preostala dva brojamora biti 6. Izbor ta dva broja trebao bi se postici medusobno razlicitim brojevimana cetiri razlicita nacina. U ovom slucaju s devetkom u sredini moguca su samo dvanacina: 1+5 i 2+4. Stoga mozemo zakljuciti kako broj 9 ne moze biti na sredisnjemmjestu. Analogno, zakljucujemo kako ni broj 8 ne moze biti na sredisnjem mjestu jerbi suma prostala dva broja trebala iznositi 7, a to se moze postici samo na tri nacina:1+6, 2+5 i 3+4. Broj 7 takoder ne moze stajati na sredisnjoj poziciji jer suma pre-ostala dva broja mora biti 8, a to se moze postici samo na dva nacina: 2+6 i 3+5.Isto tako ni broj 6 ne moze stajati na sredisnjem mjestu jer suma preostala dva broja

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 12

mora iznositi 9, a to je moguce samo na tri nacina: 1+8, 3+6 i 4+5. Sredisnju pozicijune moze zauzimati ni broj 4 jer suma preostala dva broja treba biti 11, a to je opetmoguce samo na tri nacina: 2+9, 3+8 i 5+6. Broj 3 takoder nije kandidat za sredisnjemjesto jer suma preostala dva broja mora biti 12, a to je moguce samo na dva nacina:4+8 i 5+7. Niti broj dva nije kandidat za centralnu poziciju jer zbroj ostala dva brojamora biti 13, a to moze opet samo na tri nacina: 4+9, 5+8 i 6+7. Idealan kandidat zacentralnu poziciju nije ni broj 1 jer suma brojeva mora biti 14, a to je moguce samona dva nacina: 5+9 i 6+8. Iz toga mozemo zakljuciti da je idealan kandidat za cen-tralnu poziciju broj 5. Provedenom analizom utvrdeno je kako se parni brojevi (2, 4,6 i 8) pojavljuju u tri razlicite sume, pa ih mozemo postaviti u uglove kvadrata, dokse neparni brojevi (1, 3, 5 i 9) pojavljuju u samo dvije razlicite sume, te ih mozemopostaviti na sredine stranica kvadrata.

Popunjavanje kvadrata tada provodimo na slijedeci nacin:

1. Broj 5 stavimo na sredisnju poziciju, a proizvoljni element iz skupa 2, 4, 6, 8 ujedan od kuteva.

2. Potom s drugim odgovarajucim brojevima iz navedenog skupa popunjavamo pre-ostale kutove, pazeci pritom da je suma uvijek 15.

3. Nakon toga elementima iz skupa 1, 3, 7, 9 popunjavamo prazna mjesta u redovima(odnosno stupcima) pazeci da je suma uvijek 15.

Buduci da prvi kutni broj mozemo odabrati na cetiri nacina, njegov dijagonalnielement samo na jedan nacin, a ostala dva kutna elementa na dva simetricna nacina,mozemo zakljuciti kako postoji osam nacina za upisivanje ovih brojeva u magicni kva-drat tako da zadovoljavaju trazene uvjete. Rotacijom oko sredista kvadrata ili simetri-jom u odnosu na jednu od cetiri osi simetrije kvadrata mozemo dobiti sve kombinacije.Od jednog magicnog kvadrata mozemo napraviti puno magicnih kvadrata mnozeci svebrojeve u njemu istim brojem.Ako devet brojeva tvori aritmeticki niz (razlika izmedu bilo kojeg clana i njegova pret-hodnika stalan je broj) od njih takoder mozemo napraviti magicni kvadrat. Prvi clanniza oznacimo s I, drugi s II, i tako redom, problem se svodi na problem magicnogkvadrata s brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. I u ovom slucaju takoder postoji osamrazlicitih nacina za njegovo popunjavanje.Opisan je najlaksi problem magicnog kvadrata, te ce u daljnjem tekstu biti prikazantezi problem koji je interesantniji ukoliko je magicni kvadrat viseg reda.

Neparan red i nije djeljiv s 3

Prilikom sastavljanja magicnog kvadrat 5. reda tvorimo dva niza brojeva. To su1, 2, 3, 4, 5 i 0, 5, 10, 15, 20. Sada tvorimo dva pomocna magicna kvadrata petog reda.U prvi red prvog kvadrata upisemo prvih pet prirodnih brojeva u bilo kojem poretku.Tada u drugi red pisemo iste brojve, ali pocinjuci s brojem koji se nalazi iza srednjegbroja u prvom redu. Jednako tako postupimo i za treci, cetvrti i zadnji red. Tako dobi-vamo magicni kvadrat cija je suma jednaka 15. Nakon toga u prvi red drugog kvadrata

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 13

upisemo brojeve iz niza 0, 5, 10, 15, 20 takoder u bilo kojem poretku. Drugi kvadratpopunjavamo isto kao i prvi samo sto pocinjemo od srednjeg elementa. Na taj nacindobivamo drugi pomocni kvadrat cija je suma jednaka 50. U treci kvadrat upisujemosumu odgovarajucih polja dva pomocna kvadrata te dobivamo magicni kvadrat 5. reda(slika 6).

Slika 6. Konstrukcija magicnog kvadrata 5. reda

Paran red djeljiv s 4

Jedan od nacina konstruiranja magicnih kvadrata parnog reda djeljivog s cetiri je tajda u prvi red prvog kvadrata upisemo brojeve 1, 2, 3 i 4, ali tako da zbroj prvog izadnjeg broja bude jednak zbroju dva slijedeca broja. U drugi red kvadrata upisemoiste brojeve, ali u obrnutom poretku. Druga polovina kvadrata simetricna je prvoj sobzirom na duzinu koja ih razdvaja. Brojeve drugog niza 0, 4, 8 i 12 slicnim postup-kom upisujemo u drugi kvadrat, samo sto ih rasporedujemo po stupcima umjesto poretcima. Zbrajanjem ova dva kvadrata dobijemo magicni kvadrat 4. reda (slika 7).

Slika 7. Konstrukcija magicnog kvadrata 4. reda

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 14

Paran red i nije djeljiv s 4

Sastavimo li kvadrat istim postupkom kao da je red djeljiv s 4, no elemente nadijagonalama treba ostaviti na svojim mjestima. Zatim treba primijeniti:

1. U prvom retku treba zamijeniti drugi element s drugim od kraja, treci s trecimod kraja i tako sve dok ne zamijenimo i srednje elemente, te isti postupak primi-jenimo i na prvi stupac.

2. Zamijenimo srednje elemente u drugom i zadnjem retku te drugom i zadnjemstupcu.

3. Zamijenimo i rubne elemente u srednjem redu (bilo kojem) i srednjem stupcu(bilo kojem).

Pomocu ovih transformacija dobijemo magicni kvadrat 6. reda (slika 8).

Slika 8. Konstrukcija magicnog kvadrata 6. reda

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 15

2.4 Operacije s magicnim kvadratom

Magicni kvadrat ima svojstvo rotacije i simetrije. Mozemo ga rotirati za 90, 180 i270 stupnjeva i njegove elemente mozemo zrcalno preslikati oko bilo koje od cetiri osisimetrije. Za rezulata cemo dobiti magicni kvadrat u kojem su isti brojevi poredanidrugacijim redom. Kompozicijom ovih dviju operacija ponovno mozemo dobiti magicnikvadrat s istim elementima. Stoga se kod prebrojavanja magicnih kvadrata ne broje onikoji se dobiju rotacijom i/ili refleksijom nekog magicnog kvadrata. Za primjer rotacijei simetrije promotrit cemo poznati magicni kvadrat 3. reda Lo Shu (slika 9).

Slika 9. Lo Shu magicni kvadrat 3. reda

Ako na ovaj magicni kvadrat primjenimo svojstvo simetrije dobit cemo nove magicnekvadrate (sika 10). Na slici vidimo samo cetiri osi simetrije i to nisu sve osi simetrijekoje ce ocuvati magicnost kvadrata, ima ih jos. Pomocu ovog primjera pokazali smokako je simetricna slika magicnog kvadrata opet magicni kvadrat.

Slika 10. Simetrija magicnih kvadrata

Rotacijom magicnog kvadrata Lo Shu za 90, 180 i 270 stupnjeva dobivamo tri novamagicna kvadrata 3. reda, dok naravno rotacijom za 360 stupnjeva dobivamo istipocetni magicni kvadrat (slika 11).

Slika 11. Rotacija magicnih kvadrata

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 16

Rotaciju i zrcaljenje magicnog kvadrata mozemo izvoditi jedno za drugim. Izvodenjemta dva svojstva zajedno cini nam se kako dobivamo mnogo novih kvadrata, no to basi nije tako. Zrcaljenjem pa rotacijom Lo Shu magicnog kvadrata dobivamo nove kva-drate (slika 12), ali zanimljivo je da se svi dobiveni magicni kvadrati mogu dobiti samozrcaljenjem. Slicne rezultate dobijemo ako prvo rotiramo, pa zrcalimo kvadrat (slika13). Primjetimo da redoslijed operacija ipak ima veliku ulogu, te ce stvoriti razlicitekvadrate. Na primjer, zrcaljenje u odnosu na vodoravnu os i rotacija za 90 stupnjevastvorit ce razliciti magicni kvadrat od onog nastalog rotacijom za 90 stupnjeva pazrcaljenjem. Kombinacijom rotacije i zrcaljenja nismo dobili vise od osam razlicitihmagicnih kvadrata i to se u matematici zove zatvorena grupa transformacija.

Slika 12. Zrcaljenje i rotacija magicnih kvadrata

Slika 13. Rotacija i zrcaljenje magicnih kvadrata

Definicija i tehnike izrade magicnog kvadrata 17

Ipak, od svakog magicnog kvadrata mozemo dobiti novi magicni kvadrat i to ko-risteci neka od ovih pravila:

1. Ako svim clanovima magicnog kvadrata dodamo (ili oduzmemo) isti broj, po-novno dobivamo magicni kvadrat. Primjerice, imamo magicni kvadrat 5 × 5,magicne konstante 65, u kojemu su smjesteni prirodni brojevi od 1 do 25. Doda-vanjem broja 6 dobivamo magicni kvadrat magicne konstante 95 (slika 14).

Slika 14. Dodavanje clana magicnom kvadratu

2. Ako sve clanove magicnog kvadrata s magicnom konstantom S pomnozimo istimbrojem k, dobit cemo magicni kvadrat s magicnom konstantom k · S. Primje-rice, imamo magicni kvadrat magicne konstante 34. Mnozenjem svakog clanamagicnog kvadrata brojem tri dobivamo novi magicni kvadrat magicne kons-tante 102 (slika 15).

Slika 15. Mnozenje magicnog kvadrata istim brojem

3. Ako sve clanove magicnog kvadrata pomnozimo nekim faktorom i dodamo nekukonstantu, dobivamo novi magicni kvadrat.

4. Zbroj (ili razlika) dvaju magicnih kvadrata istog reda opet je magicni kvadrat.Zbrajaju (ili oduzimaju) se clanovi na istim odgovarajucim mjestima. Primjerice,imamo razliku magicnih kvadrata 3× 3, magicnih konstanti 42 i 15. Razlika imamagicnu konstantu 27 (slika 16).

Slika 16. Razlika magicnih kvadrata

Bibliografija

[1] D. E. Smith: History of Mathematics Volume II; Special Topics of ElementaryMathemics, Dover Publications Inc., New York, 1958.

[2] A. Klobucar: Magicni kvadrat; Matka 4, br. 16, Osijek, 1995./1996., 179-182

[3] J. Delac Klepac: Magicni kvadrati; Matka 11, br. 42, Zagreb, 2002./2003.,96-99

[4] T. Debelec, S. Gracan: Magicni kvadrati-carolija u brojevima; Matematika iskola, godina VI., br. 26, Zagreb, 2004., 33-39

[5] http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html

[6] http://de.wikipedia.org/wiki/MagischesQuadrat

18