Franka Miriam Brueckler4. svibnja 2011. (Nastavna sekcija HMD-a)

6 8 9 7

3 12

5 11

10

1 14

13

16

15

4 2

Što je zajedničko starim Kinezima, Majama, Babiloncima, špiljskim ljudima, Indijcima, Arapima i plemenu Hausa?

pogađate: magični kvadratilegenda o kineskom caru Yu-u oko 2200. g. pr. Kr. –

kornjača Lo Shu iz rijeke Lo (Žute rijeke)povijesno pouzdano: poznati od otprilike 4. st. pr.

Kr.u Europi od ca. 1300. A.D. (Emanuel

Moschopolous)renesansa: Luca Pacioli, Cornelius Agrippa,

Albrecht Dürerhttp://pballew.net/magsquar.html

Još neki poznati povijesni kvadratitemplarski kvadrat (Pompeji)arapski srednji vijekBenjamin Franklin, ca. 1770.

Definicijemagični kvadrat je

kvadratna tablica koja pokazuje određene pravilnosti obzirom na u njoj raspoređene brojeve ili druge objekte

tradicionalni magični kvadrat: prirodni brojevi od 1 do n2, zbrojevi stupaca, redaka i dvije glavne dijagonale su jednaki

kvadratna matrica A sa svojstvom

za sve j, k od 1 do niznos Mn se zove

magičnom sumom ili magičnom konstantom

komplementarni magični kvadrat:

(n2 + 1)E − A, gdje je E =[1]n×n

ni

inii

iil

kli

ij Maaaa ,

A sad malo Vi!Rasporedite prirodne brojeve od 1 do 16 na

stražnje strane post-it ceduljica i zalijepite ih na foliju tako da dobijete obostrani magični kvadrat (u oba kvadrata treba dodatno i svaki 2×2 kvadrat imati magičnu sumu)

13 12 7 2

3 6 9 16

10 15 4 5

8 1 14 11

6 3 13 12

15 10 8 1

4 5 11 14

9 16 2 7

http://nrich.maths.org/public/

13 (12)

12 (13)

7 (3) 2 (6)

3 (1) 6 (8) 9 (10)

16 (15)

10 (14)

15 (11)

4 (5) 5 (4)

8 (7) 1 (2) 14 (16)

11 (9)

O magičnoj sumiza tradicionalni

magični kvadrat iznosi

dokaz: zbroj svih brojeva u kvadratu je 1 + 2 + ... + n2 = n(n2 + 1)/2, što mora biti jednako nMn

iznosi su redom 1, *, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, ….

analogno, ako se magični kvadrat sastoji od brojeva koji čine aritmetički niz s početnim članom a i razlikom d, magična suma iznosi

2

)1( 2

nnM n

2

))1(2( 2

ndanM n

(Hunter&Madachy, 1975.)

Koliko ih je?poistovjećujemo magične kvadrate koji se jedan iz

drugog mogu konstruirati zrcaljenjem ili rotacijom

• Nije poznata opća ovisnost broja različitih magičnih kvadrata o redu kvadrata

• Reda 1 i 3 su jedinstveni i to je odavno poznato; reda 4 ih ima 880 (de Bessy, 1693.), reda 5 ih ima 275 305 224 (Schroeppel, 1973.); reda 6 ih ima reda veličine 1019 (Pinn &Wieczerkowski,1998., Monte Carlo simulacije i metode statističke mehanike)

a c

b d dcba

cbdabaca

~

Neke posebne vrstePolumagični : jedan ili oba zbroja dijagonala

nisu jednaki zbrojevima redaka i stupacaPovezani: zbrojevi centralno simetričnih polja

jednaki n2 + 1 (npr. Lo Shu)Panmagični (pandijagonalni, vražji, Nasik):

sve (uključivo i prelomljene) dijagonale imaju magičnu sumu – ne postoje reda 3 ni reda 4k + 2

Polu-Nasik: nasuprotne kratke dijagonale imaju magičnu sumu (14 + 4 + 11 + 5 = 34, 12 + 6 + 13 + 3 = 34)

panmagične kvadrate se može rasporediti u beskonačnu mrežu (popločamo ravninu s njima) i svaki podkvadrat veličine osnovnog bit će panmagičan

od 880 magičnih kvadrata reda 4, njih 448 su obični, tj. zadovoljavaju samo temeljna svojstva magičnosti, njih 48 su panmagični, a njih 384 su polu-Nasik (uključivo povezanih)

Još neke podvrstenajsavršeniji: panmagični

i svaki 2×2-podkvadrat ima isti zbroj (2n2 − 2) – svi panmagični reda 4 su takvi

antimagični: svi retci, stupci i dijagonale različitih suma i sume čine niz uzastopnih prirodnih brojeva

magični kvadrati temeljeni na oduzimanju, množenju ili dijeljenju

6 8 9 7

312

511

10

114

13

16

15

4 2

Zadaci za početnike...6

1

4 3 8

4

5 3

8

4 9 615

1

11

516

310

. .

. .. . .

. . .

. . .

. . .

. . . . .

23

6  19 

2 15 

10 

1 

5  9

4  12 

8

11 

7  3

9 4

310

13

8

714

može i s kartama!

Puno tog se može istraživati o njimakoliko iznosi magična konstanta ovog kvadrata?ovaj je kvadrat posebno magičan jer i neki 2 × 2

podkvadrati imaju isti zbroj – koliko takvih možeš naći?

kako pribrajanje broja 2 svim brojevima mijenja magičnu konstantu? udvostručavanje?

možeš li naći 4 × 4 magični kvadrat s magičnom konstantom 17? kako si to uspio/la? a s magičnom konstantom 38?

koje druge magične konstante do 100 možeš dobiti tako da kreneš od ovog kvadrata i sve brojeve promijeniš po istom pravilu? mogu li se neke postići na više načina? ima li nekih koje se ne mogu dobiti?

15

10

3 6

4 5 16

9

14

11

2 7

1 8 13

12

I još par zanimljivih...binarni Dürerov kvadratapokaliptični kvadrat

1111

0010

0001

1100

0100

1001

1010

0111

1000

0101

0110

1011

0011

1110

1101

0000

11110100 0010

1000 1001 00010011 0101 1010 1100

1110 0110 01111101 1011

00003

107

5131

109

311

7331

193

11 83 1

103

53 71 89151

199

113

61 97197

167

31

367

13173

59 17 37

73101

127

179

139

47

17 5 13 21 9

4 12 25 8 16

11 24 7 20 3

10 18 1 14 22

23 6 19 2 15

17 5 13 21 9

4 12 25 8 16

11 24 7 20 3

10 18 1 14 22

23 6 19 2 15

Generiranje magičnih kvadrataNema poznatog sustavnog postupka za

generiranje svih magičnih kvadrata proizvoljnog reda

Postoje razni poznati algoritmi za generiranje pojedinih magičnih kvadrata

Najlakše je generirati magične kvadrate neparnog reda

Nešto teže one parnog reda djeljivog s 4Najteže je konstruirati magične kvadrate parnog

reda nedjeljivog s 4 – za njih su poznate samo metode koje se dijelom temelje na pokušaju i pogrešci, npr. Strachey-eva metoda

De la Loubère-ova metoda

1

2

25

20

19

18

18

17 17

16

15

14

13

12

11

10

9

9

8

7

6

5

4 4

3

2

10 21

22

2323

24

25

neke druge poznate metode za generiranje magičnih kvadrata neparnog reda: Bachet-ova, de la Hire-ova, stepeničasta, Fults-ova, rompska, metoda konjićeva skoka ...

Dürer-ova metoda

neke druge metode za generiranje magičnih kvadrata reda 4k: de la Hire-ova, dijagonalna, ...

1 2

16151413

1211

8

59

15

765

3

43

2

108

912

14

Dopuni do magičnog kvadrata!

http://www.web-books.com/Classics/Books/B0/B873/Contents.htm

8

8 veselih zatvorenikani u kojem trenu u jednoj ćeliji ne

smiju biti dva zatvorenika veseli monarh im je za Badnjak

obećao posebno dobru hranu ako se, pridržavajući se tog načela, mogu rasporediti tako da im brojevi čine magični kvadrat

broj 7 je bio matematički nadaren pa je osmislio metodu kojom će to postići s ukupno najmanje hodanja

no, jedan tvrdoglavac je odbio sudjelovati i maknuti se iz ćelije

broj 7 je svejedno uspio rasporediti sviju u magični kvadrat s minimalnim šetanjem – kako? koji broj nosi tvrdoglavi zatvorenik?

4, 1, 2, 4, 1, 6, 7, 1, 5, 8, 1, 5, 6, 7, 5, 6, 4, 2, 7

7 2 3

4 8

5 6 1

1 2 3

4 5

6 7 8

Španjolska tamnicautvrda blizu Cadiza imala

je posebno neugodnu tamnicu od 16 ćelija

guverner je bio veselo biće i volio je logičke zadatke te je otišao i rekao zatvorenicima da će ih osloboditi ako riješe zadatak:

“Rasporedite se u 16 ćelija tako da vaši brojevi čin magični kvadrat. No, pritom ni u jednom trenu ne smiju biti dvojica istovremeno u jednoj ćeliji.”

15, 14, 10, 6, 7, 3, 2, 7, 6, 11, 3, 2, 7, 6, 11, 10, 14, 3, 2, 11, 10, 9, 5, 1, 6, 10, 9, 5, 1, 6, 10, 9, 5, 2, 12, 15, 3

1 2 3 4

5 6 7 8

910

11

12

13

14

15

10

9 7 4

6 511

8

1 212

15

13

14

3

Prosti magični kvadratiTrgovac voćem ima 9 košara sa šljivama, kao na

slici, u svakoj košari je drugi broj šljiva.Kad ih je rasporedio kao na slici, ti su brojevi činili magični kvadrat. Trgovac je jednom od svojih zaposlenika rekao da sadržaj jedne, bilo koje, košare rasporedi među nekom djecom, tako da svako dijete dobije jednako mnogo šljiva. Zaposlenik je utvrdio da je to nemoguće, neovisno o tome koliko je djece prisutno. Kako je to moguće?

Može i aritmetički niz!

83

29101

89

71 53

41

113

59

Idemo se igrati na domine...standardnih 28 domina se mogu rasporediti u 7

× 4 magični pravokutnik u kojem je u svakom stupcu broj točkica 24, a u svakom retku 42

s 25 domina koje ostanu kad maknemo (0-5), (0-6) i (1-6) može se složiti magični kvadrat s magičnom sumom 30, i to na mnogo različitih načina

koja je najmanja/najveća moguća magična suma s 18 pločica raspoređenih u 6 × 3 pravokutnik? može li se postići magična suma 18?

Geomagični kvadratitemeljna ideja: brojevi duljine dužina/površine/volumeniretci, stupci, dijagonale rastav na dužine/popločavanje

http://www.geomagicsquares.com/

Simetrije magičnih kvadrata

15

10

3 6

4 5 16

9

14

11

2 7

1 8 13

12

2 9 4

7 5 3

6 1 8

1 14

12

7

8 11

13

2

15

4 6 9

10

5 3 16

Franklinov kvadrat

Mogu li se 6 magičnih kvadrata tipa 4×4 rasporediti na strane kocke tako da su redovi koji se po bridovima dodiruju jednaki?

13 2 3 16

11 8 5 10

6 9 12 7

4 15 14 1

13 11 6 4 4 15 14 1 1 7 10 16

8 2 15 9 9 6 7 12 12 14 3 5

12 14 3 5 5 10 11 8 8 2 15 9

1 7 10 16 16 3 2 13 13 11 6 4

16 3 2 13

10 5 8 11

7 12 9 6

1 14 15 4

1 14 15 4

12 7 6 9

8 11 10 5

13 2 3 16

Magične kockeMagična suma n(n3+1)/2Izuzetak od magične sume su dijagonale

slojeva ako još i to: savršene magične kocke –

ne postoje reda 2,3,4; reda 7 i 9 poznate od kraja 19. stoljeća, a 2003. su Boyer i Trump našli savršene magične kocke redova 5 i 6

http://home.earthlink.net/~dwanecampbel/index.htmlhttp://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html

Ne postoji savršena magična kocka reda 3pretpostavimo suprotnoodaberimo neki njen slojmagična suma je 42, dakleC + X + D = A + X+ F = B + X + E = 42zbrojimo 3X + A + B + C + D + E + F = 126 A + B + C = D + E + F = 42zbrojimo A + B + C + D + E + F = 84stoga je 3X = 42, tj. X = 14 bi trebao biti u

sredini svakog sloja

A B C

X

D E F

26 1 15

4

Generiranje magičnih kocaka neparnog redadijagonalna metoda

3

13

14

17

18

19

20

21

25

27 2

5

12 23

22

8

9

7

11

10 24

6

16

Latinski kvadratin različitih objekata, po n kopija svakog,

raspoređenih u kvadratnu tablicu tako da se svaki pojavljuje točno po jednom u svakom stupcu i retku

reda 2 ih ima 2, reda 3 ih ima 12, reda 4 ih ima 576, ...

grčko-latinski (Eulerovi, ortogonalni latinski) kvadrati: još n različitih objekata s po n kopija svakog, u svakom polju po jedan objekt prve vrste i jedan druge, raspoređeni tako da objekti prve vrste čine latinski kvadrat, a tako i objekti druge vrste

Zadatak: složite Eulerov 4×4 kvadrat od karata A, B, D, K u četiri boje!

problem 8 topovaproblem 8 kraljicaProblem s 36 oficira (1779. Leonhard Euler):U šest brigada služi po šest oficira različitog

ranga. Mogu li se oni rasporediti u kvadratnu formaciju tako da u svakom retku i stupcu bude po jedan oficir iz svake brigade i po jedan svakog ranga?

Razreži trake u što manje dijelova, tako da se dobije magični kvadrat

Zabranjeno je izokretanje, tj. svi dijelovi moraju ležati u polaznoj orijentaciji

http://www.mathfair.com/sudokutype.html

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

Sudokuvrsta latinskih kvadratastandardnih ima6,670,903,752,021,072,936,960 =9! × 722 × 27 × 27,704,267,971(Felgenhauer&Jarvis,2005.)

http://www.geometer.org/mathcircles/sudoku.pdf

Magično V i WMagično V: složi brojeve 1 do 5 u njega tako da oba kraka imaju isti zbroj! Koliko ima različitih mogućnosti? Primjećuješ li kakvu pravilnost u rješenjima koje si našao/la? Možeš li objasniti što vidiš? Možeš li me uvjeriti da si našao/la sva rješenja? Što ako uzmeš brojeve 2 do 6? 12 do 16? 37 do 41? 103 do 107? Što ako bi kraci bili za jedan dulji i koristimo brojeve 1 do 7?1, 2, ...,9, raspoređeni tako da dijelovi a-b-c, c-d-e,

e-f-g i g-h-i imaju jednak zbrojKoji su magični zbrojevi mogući? Ako u danom magičnom W svaki broj zamijenimo s

10 minus taj broj, ponovno ćemo dobiti magično W. Koji mu je magični zbroj?

Dokaži da ne postoji magično W s magičnim zbrojem manjim od 13 niti s većim od 17.

Magični fleksagoni

http://www.flexagon.net/

http://www.recmath.com/Magic Squares/

http://www.mathematische-basteleien.de/magquadrat.htm

u višim dimenzijama!magična hiperkocka – konstruirana 1982.

(Berlekamp)magična suma je n(n4 + 1)/2najmanja savršena magična hiperkocka je

reda 16 (Hendricks, 1999.)poznate su n-dimenzionalne magične

hiperkocke reda 3 za n = 5, 6, 7, 8

I gdje je tome kraj?

It’s a kind of magic...http://www.youtube.com/watch?v=KLFZzInX

AWIClifford A. Pickover: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (Princeton Univ. Press, 2002.)

Royal Vale Heath: Mathemagic (Dover Publ., 1933./53.)

Henry Ernest Dudeney: Amusements in Mathematics (Dover Publ., 1958.)