SVEUCILIŠTE U ZAGREBUPRIRODOSLOVNO-MATEMATICKI FAKULTET

MATEMATICKI ODSJEK

Seminar iz Metodike nastave matematike 2

PostotciKristina Nikicic, Elena Petek, Barbara Polic i Danijela Protega

Zagreb, svibanj 2017.

SADRŽAJ

1. Uvod 1

2. Postotci 22.1. Postotak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Uvježbavanje postotaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3. Racunanje s postotcima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1. Aktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Primjena postotaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5. Prikazivanje i analiza podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6. Igre za uvježbavanje postotaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.1. Memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.2. Domino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.3. Bingo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.4. Spajalica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.5. Križaljka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6.6. Online igrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Zakljucak 19

4. Literatura 20

ii

1. Uvod

Tema ovog seminarskog rada su Postotci s kojima se ucenici, kao nastavnom temom, prvi put su-

srecu u sedmom razredu osnovne škole. Poucavaju se u prvom polugodištu nakon nastavne cjeline

Proporcionalnost i obrnuta proporcionalnost, a prije nastavnih tema Jednostavi kamatni racun i

Analiza podataka i vjerojatnost.

Prema [4] sedmi razred osnovne škole cini treci obrazovno – odgojni ciklus, zajedno s osmim

razredom. Predznanje [3] koje se ocekuje od ucenika nakon završetka drugog ciklusa, odnosno šes-

tog razreda osnovne škole, a koje je potrebno za razumijevanje i usvajanje znanja o postotcima je

proširivanje i skracivanje razlomka, pretvaranje decimalnog broja u decimalni razlomak, razlomak,

mješoviti broj i obratno. U [5] spominje se još pojednostavljivanje dvojnog razlomka i racunanje

postotnog iznosa zadane osnovne vrijednosti.

Postotci se pojavljuju i u srednjim školama [5]. U trogodišnjoj srednjoj školi s 1 i 2 sata mate-

matike tjedno kao i u cetverogodišnjoj s 2 sata matematike tjedno u trecem razredu se primjenjuje

postotni racun za obracun poreza, carine, promjene i izracuna cijena, opise udjela, izracun neto

place i druge svakodnevne situacije. U cetverogodišnjim srednjim školama sa 105, 140, 175 i 210

sati godišnje u prvom razredu se primjenjuje postotni racun.

Osnovna literatura koju smo koristili su školski udžbenici [1], [6], [10], [7], [2], [8], [9] i Na-

cionalni okvirni kurikulum, Nastavni plan i program za osnovnu školu te prijedlog Nacionalnog

kurikuluma nastavnog predmeta matematika.

U nastavku seminara opisat cemo razlicite pristupe uvodenja i uvježbavanja postotaka te dati

nekoliko motivacijskih primjera. Pokazat cemo kako se na zanimljiv nacin može provesti uvježba-

vanje postotaka i to aktivnostima poput igre memory, domino, spajalica, bingo, križaljka i slicno.

1

2. Postotci

2.1. Postotak

U mnogim svakodnevnim situacijama susrecemo rijec postotak, kao naprimjer u dnevnom tisku

citamo naslove: „Cijena benzina porasla je za 8%“, „Ovo ljeto ocekujemo 25% više turista nego

prošle sezone“, „Zimska rasprodaja do 70% na sve vrtne alate“, „Radnici metalurške tvornice Celje

traže povecanje osnovice place za 10%“ i slicno.

Ucenici sedmog razreda osnovne škole s takvim recenicama susreli su se mnogo puta, a pritom

ne pitajuci se što to zapravo znaci, ni koje je znacenje postotka. Upravo zbog toga dobro je ucenike

osvjestiti gdje se sve rijec postotak upotrebljava u svakodnevici i time ih uvesti u novo nastavno

poglavlje.

Prije same definicije promotrit cemo jedan motivacijski primjer.

Primjer 1. Promotrimo kvadrat na slici 2.1.

Slika 2.1: Motivacijski primjer 1.

Vidimo da je kvadrat djelomicno obojen. Ucenicima postavljamo pitanje koliki je dio kvadrata

obojen u crvenu boju. Ucenici zakljucuju da je ukupno obojeno 19 kvadratica. Buduci da polazni

kvadrat sadrži 100 manjih kvadratica, ucenici daju odgovor da je obojeno 19100

velikog kvadrata.

To je dobro mjesto za definiciju postotka.

Definicija 2.1.1 Razlomak s nazivnikom 100 naziva se postotak i zapisuje se na sljedeci nacin:p

100= p%.

2

Sada se ucenici vracaju na primjer i zakljucuju da je obojeno 19 % velikog kvadrata što mogu

zapisati kao 19100

ili 0.19.

Slijedi nekoliko primjera koji su pogodni za uvodenje postotaka.

Primjer 2. Na sljedecim crtežima redom je obojen jedan cijeli krug, 12

kruga, 14

te 34

kruga.

Buduci da je obojen cijeli krug, onda je 1 = 100100

, a to je 100 % pa kažemo da je na prvom crtežu

obojano 100 % kruga. Nadalje, imamo 12= 50

100= 50%, 1

4= 25

100= 25% i 3

4= 75

100= 75%. Tako

redom dajemo odgovor da je obojano 50%, 25% i 75% kruga.

Primjer 3. Povežimo neke svakodnevne izaze s pojmom postotka.

Kažemo: Znaci:

1. Izgorjelo je 100 % svijece.

2. Bartol je potrošio 50 % svoga džeparca.

3. U paketu caša, 25 % caša je razbijeno.

4. Voce cini 75 % vocnog soka.

Izgorjela je cijela svijeca.

Bartol je potrošio polovinu svog džeparca.

U paketu caša, cetvrtina caša je razbijena.

Voce cini tri cetvrtine vocnog soka.

Uz još nekoliko pitanja dolazimo do znacenja nekih postotaka.

1. Ako je svijeca duljine 20 cm, kolika je duljina 100 % svijece?

Kako smo povezali 100 % svijece s cijelom svijecom, lako dolazimo do rješenja da je 100 %

svijece duljine 20 cm.

2. Ako je Bartol imao 200 kuna džeparca, koliko je kuna 50 % njegovog džeparca?

Kao i ranije, na temelju poveznice 50 % s 12, rješenje ce biti polovina Bartolovog džeparca,

tj. 2002

= 100 kuna.

3. Paket sadrži 20 caša. Koliko je caša razbijeno ako je 25 % takvih?

Analogno kao i prije, dobivamo rješenje 14· 20 = 5. Znaci, 25 % caša je 5 caša, odnosno

razbijeno je njih 5.

2.2. Uvježbavanje postotaka

Zadatak 1. Sljedece postotke izrazite u obliku decimalnih brojeva:

a) 7 % b) 5.6 % c) 145 % d) 0.3 %

3

Rješenje.

a) 7% = 7100

= 0.07 ili krace 7% = 0.07.

b) 5.6% = 5.6100

= 0.056 ili krace 5.6% = 0.056, tj. decimalnu tocku treba pomaknuti za dva

mjesta ulijevo.

c) 145% = 145100

= 1.45 ili krace 145% = 1.45.

d) 0.3% = 0.3100

=310

100= 3

1000= 0.003.

Zadatak 2. Sljedece decimalne brojeve izrazite u obliku postotaka:

a) 0.45 b) 0.07 c) 3.07 d) 7

Rješenje.

a) 0.45 = 45100

= 45% ili krace 0.45 = 45%, to jest decimalnu tocku treba pomaknuti za dva

mjesta udesno.

b) 0.07 = 7100

= 7% ili krace 0.07 = 7%.

c) 3.07 = 307100

= 307%.

d) 7 = 700100

= 700%.

Zadatak 3. Sljedece postotke izrazite u obliku neskrativih razlomaka:

a) 25 % b) 10 % c) 3.5 % d) 413

%

Rješenje.

a) 25% = 25100

= 14

b) 10% = 10100

= 110

c) 3.5% = 350100

= 72

d) 413% =

4 13

100=

133

1001

= 13300

Zadatak 4. Sljedece razlomke izrazite kao postotke:

a) 925

b) 135

c) 78

d) 13

Rješenje.

a) 925

= 9·425·4 = 36

100= 36% ili krace 9

25= 9 : 25 = 0.36 = 36%

4

b) 135= 13·20

5·20 = 260100

= 260% ili krace 135= 13 : 5 = 2.6 = 260%

c) 78= 7·125

8·125 = 8751000

= 87.5100

= 87.5% ili krace 78= 7 : 8 = 0.875 = 87.5%

d) Ne postoji dekadski razlomak koji je jednak 13. No, imamo 1

3= 33

99≈ 33

100= 33%, tj.

13≈ 33%. Možemo i na kraci nacin: 1

3= 1 : 3 ≈ 0.33 = 33%

Zadaci za vježbu

Zadatak 5. Popuni sljedece tablice.

Zadatak 6. Promatrajte sat s kazaljkama i zapišite razlomkom i postotkom koliki dio sata pred-

stavlja:

a) 10 minuta b) 15 minuta c) 30 minuta d) 45 minuta e) 60 minuta

2.3. Racunanje s postotcima

Primjer 1. Koliko je 1 % od 100 kuna?

Rješenje.

1 % od necega racunamo prema sljedecoj formuli:

y = 1% · x = 1100

· x = x100

Dakle, u našem primjeru 1% · 100 kn = 1100

· 100 kn = 1 kn.

Analogno bi racunali 2 %, 3 % itd. od 100 kn.

2% · 100 kn = 2 · 1% · 100 kn = 2 · 1100

· 100 kn = 2 · 1 kn = 2kn.

5

3% · 100 kn = 3 · 1% · 100 kn = 3 · 1100

· 100 kn = 3 · 1 kn = 3kn.

Primjer 2. Marko je otišao s majkom kupiti nove tenisice. Kada su došli u trgovinu sportske

obuce vidjeli su natpis „30 % sniženje na cijeli asortiman“. Tenisice koje je Marko odabrao imale

su etiketu na kojoj je pisalo 500 kn. Pomozi Marku i njegovoj majci izracunati koliko ce kuna

uštedjeti.

Rješenje.

Kako bi pomogli Marku i njegovoj majci, trebamo izracunati koliko je 30 % od 500. Prisjetimo se

da „od“ znaci „puta“. Sada traženu vrijednost možemo izracunati na sljedeci nacin:

Prvo zapišemo postotak kao razlomak, zatim taj razlomak množimo s 500.

Pogledajmo:

30 % od 500 = 30% · 500 = 30100

· 500 = 150

Dakle, Marko i njegova majka kupnjom odabranih tenisica uštedjet ce 150 kuna.

U prethodnom primjeru uštedeni iznos oznacit cemo s y, a pocetnu cijenu tenisica od koje ra-

cunamo postotak oznacit cemo s x.

Definicija 2.3.1 Velicinu od koje racunamo postotak nazivamo osnovna vrijednost. Izracunati

postotak osnovne vrijednosti nazivamo postotni iznos.

Definicija 2.3.2 Omjer postotnog iznosa y i osnovne vrijednosti x jednak je postotku pisanom u

obliku razlomka, yx= p

100, tj. y : x = p : 100.

Krace pišemo:

y : x = p %, tj. y = p% · x, odnosno y = p·x100

.

Proporcija y : x = p : 100 ili y = p% · x, koristi se u zadacima s postotcima.

Formulu y = p% · x iskazujemo rijecima: „y je p % od x“ ili „p % od x je y“.

Primjer 3. Odredimo osnovnu vrijednost ako je 60 % te vrijednosti 72.

Rješenje.

Trebamo izracunati osnovnu vrijednost x. Znamo da je 60 % od x jednako 72. To zapravo

znaci:

60% · x = 72

0.6 · x = 72

x = 72 : 0.6

x = 120

Dakle, osnovna vrijednost jest 120.

6

2.3.1. Aktivnost

Jedan dan

Cilj Racun postotka i primjena na situacije iz stvarnog života

Potrebni materijal nastavni listic, olovka, bojice

Oblik rada individualni rad

Metode rada Rad s tekstom

Opis aktivnosti Ucenici ce popuniti tablicu „Koliko vremena u jednom danu potrošimo

na odredene aktivnosti?“ Tablica se sastoji od dva stupca. U prvom

stupcu moraju procijeniti vrijeme koje utroše na razne svakodnevne

aktivnosti. U drugom stupcu racunaju postotke. Rezultate iz drugog

stupca prikazuju na kružnom dijagramu prema predlošku.

Potrebno vrijeme 20 minuta

Aktivnosti Vrijeme (h) Koliko je to posto (%) od 24h?Spavanje

Vrijeme potrošeno na higijenu

Spremanje sobe i cišcenje

Dorucak/rucak/vecera

Putovanje u školu i kuci

Vrijeme provedeno u školi

Pisanje domace zadace

Vrijeme provedeno na mobitelu/racunalu

Ostalo

Ukupno

Tablica 2.1: Koliko vremena u jednom danu potrošimo na odredene aktivnosti?

7

Aktivnosti Vrijeme (h) Koliko je to posto (%) od 24h?Spavanje 7.5 31.25 %

Vrijeme potrošeno na higijenu 2 8.3 %

Spremanje sobe i cišcenje 0.5 2 %

Dorucak/rucak/vecera 1 4.1 %

Putovanje u školu i kuci 2 8.3 %

Vrijeme provedeno u školi 4 16.6 %

Pisanje domace zadace 4 16.6 %

Vrijeme provedeno na mobitelu/racunalu 1 4.1 %

Ostalo 2 8.3 %

Ukupno 24 100 %

Tablica 2.2: Primjer izvršene aktivnosti

Slika 2.2: Kružni dijagram primjera izvršene aktivnosti

2.4. Primjena postotaka

Primjer 1. Iva je u subotu ujutro u 8:00 h krenula na izlet sa svojim razredom. U autobusu

je shvatila da nije ponijela punjac za mobitel. Na mobitelu je pisalo da je stanje baterije 95 %.

Ako znamo da se u fazi mirovanja baterija prazni 2 % po satu, hoce li Iva imati ukljucen mobitel

u nedjelju u 22:00 h kako bi se mogla javiti roditeljima da dodu po nju na autobusni kolodvor?

Hoce li Iva imati dovoljno baterije da snimi odredena mjesta na izletu ako se baterija troši 10 % pri

15-minutnom snimanju te koliko ce moci snimiti?

8

Rješenje.

Prvo trebamo izracunati koliko je vremena Iva provela na izletu. Krenula je u subotu u 8:00 h.

Taj dan je bila na izletu 16 h (24 − 8). U nedjelju je bila na izletu do 22 h, tj. punih 22 h. Dakle,

Iva je bila na izletu 16 + 22 = 38 sati. Ako se u jednom satu baterija potroši 2 %, tada ce se za 38

sati baterija isprazniti 38 · 2% = 38 · 0.02 = 0.76 = 76, odnostno 76 %. Buduci da je baterija na

pocetku izleta bila na 96 %, slijedi da ce pri kraju izleta baterija biti na 96− 76 = 20, tj. 20 %.

Zakljucujemo, Iva ce pri kraju izleta imati ukljucen mobitel te ce moci nazvati svoje roditelje.

Drugi dio. Ostaje nam 20 % neiskorištene baterije. Iva ce moci snimiti odredena mjesta na izletu i

to 2 puta po 15 minuta, tj. 30 minuta.

Primjer 2. U vikend akciji policija je na podrucju Splitu zaustavila 1200 vozaca od kojih je 23 %

napravilo prekršaj u prometu. Koliko je vozaca napravilo prekršaj?

Rješenje.

Broj vozaca koji su napravili prekršaj jest 23 % od 1200 vozaca. No, 23 % od 1200 je

= 23% · 1200 = 0.23 · 1200 = 276.

Dakle, prekršaj je napravilo 276 vozaca.

Primjer 3. Prema deklaraciji o održavanju materijala, rukav duljine 72 cm nakon pranja se

skracuje za 2 % po duljini. Kolika ce biti duljina rukava nakon pranja?

Rješenje.

Zadani su osnovni iznos i postotak, tj. x = 72, p = 2 % (skracenje). Pitamo se koliko iznosi y.

y = p% · xy = 2

100· 72

y = 144 : 100

y = 1.44cm.

Kako je rijec o umanjenju, osnovnom cemo iznosu oduzeti postotni iznost ili osnovni iznos cemo

umanjiti za postotni iznos. Nova duljina rukava je razlika 72− 1.44 = 70.56.

Ovaj primjer možemo riješiti i na sljedeci nacin:

nova duljina rukava je (100 − 2)% = 98% prvotne duljine od 72 cm. Sada imamo x = 72 cm i

p = 98. Tražimo y.

y = p · xy = 98

100· 72

y = 7056 : 100

y = 70.56cm,

a to je upravo nova duljuna rukava. Primijetimo sljedece:

9

Ako je rijec o povecanju, osnovni i postotni iznos zbrajamo.Ako je rijec o umanjenju, tada osnovni iznos umanjujemo za postotni iznos.Isti racun možemo provesti promjenom na postotku: ako je rijec o povecanju, postotak uvecavamo;

ako je rijec o umanjenju, postotak umanjujemo.

Primjer 4. Voda zamrzavanjem povecava volumen za 9 %. Koliki ce volumen imati voda u boci

od 1.5 L nakon zamrzavanja? Ima li zbog toga kakvih posljedica u zamrzivacu?

Rješenje.

Zadano nam je postotno povecanje od 9 % i osnovni iznos x = 1.5. Želimo izracunati y.

y = p% · xy = 0.09 · 1.5y = 0.135.

Kako u primjeru piše da je rijec o uvecanju, osnovni iznos zbrojit cemo s postotnim iznosom.

Dobivamo da je volumen vode nakon zamrzavanja jednak 1.5 + 0.135 = 1.635 L.

Kao u prethodnom primjeru, i ovaj primjer smo mogli riješiti na dva nacina. Pogledajmo drugi

nacin.

Zadani su nam x = 1.5 i p = (100 + 9) = 109, a tražimo y.

y = p% · xy = 1.09 · 1.5y = 1.635.

Kako ce volumen smrznute vode biti 1.635 L, boca ce prsnuti ako je bila napunjena do vrha.

Zadaci za vježbu

Zadatak 5. Broj ucenika koji pjevaju u školskom zboru najprije je smanjen za 12 %, a nakon nekog

vremena povecan za 10 %. Je li se krajnji broj ucenika u zboru povecao ili smanjio s obzirom na

pocetni broj i za koji postotak?

Zadatak 6. Hotel „Star“ prošle je godine ostvario 3200 nocenja u jednom mjesecu. Ove je godine

broj nocenja povecan za 15 %. Koliko je nocenja bilo u hotelu ove godine?

Zadatak 7. Za koliko se promijeni površina pravokutnika ako se stranica a duljine 28 cm smanji

15 %, a stranica b duljine 25 cm poveca 14 %?

2.5. Prikazivanje i analiza podataka

U ovoj nastavnoj temi bavit cemo se sakupljanjem, prikazivanjem i analizom podataka. Ono što nas

zanima, njacešce su podatci o nekom skupu objekata, poput ucenika u razredu. To može biti sport

10

koji je najdraži ucenicima, njihova ocjena na kraju polugodišta iz nekog predmeta i slicno. To su

razlicita obilježja tog skupa. Dio matematike koji se bavi obradom podataka naziva se statistika.

Skup cija obilježja promatramo naziva se skup objekata ili populacija. Ucenicima jednog sedmog

razreda postavljeno je pitanje: „Koji ti je sport najdraži?“ Odgovori su sakupljeni tako da je za svaki

sport crticom zabilježeno kada ga je netko odabrao kao najdraži. Tako su dobiveni sljedeci podatci.

Slika 2.3: Najdraži sport ucenika 7. razreda [10]

U ovom slucaju obilježje koje ispitujemo je najdraži sport. Vrijednosti su tog obilježja vrste

sportova: rukomet, nogomet, košarka, tenis i skijanje. Skup objekata na kojem ispitujemo to

obilježje cine ucenici sedmog razreda. Broj ucenika koji imaju odredeno obilježje (u ovom slucaju,

isti najdraži sport) zove se frekvencija tog obilježja (frekvencija tog sporta).

Sakupljene podatke prikazujemo u tablici frekvencija.

Slika 2.4: Tablica frekvencija sakupljenih podataka [10]

Vidimo da je frekvencija rukometa 5, nogometa 14 itd. Uocimo da je zbroj svih frekvencija

jednak ukupnom broju ucenika koje ispitujemo, a on je upravo 36.

Iste podatke možemo zornije prikazati stupcastim dijagramom frekvencija. Stupcasti dijagram

frekvencija sastoji se od medusobno jedanko udaljenih pravokutnika. Pravokutnika ima onoliko

koliko ima razlicitih vrijednosti obilježja. Širine tih pravokutnika jednake su, a visina im je jednaka

frekvenciji pojedine vrijednosti obilježja. Vrijednost obilježja nanosimo vodoravno, a frekvencije

okomito.

11

Slika 2.5: Stupcasti dijagram frekvencija [10]

Iz prethodnog dijagrama lako je ocitati koji sport ima najmanju frekvenciju, a koji najvecu.

Još je zanimljivo izracunati i koliki dio svih ucenika najviše voli neki sport. Naprimjer, nogomet

najviše voli 14 od ukupno 36 ucenika. To je 1436

svih ucenika. Kažemo da je 1436

relativna frekvencijanogometa kao najdražeg sporta.

Tablica frekvencija i relativnih frekvencija najdražih sportova u sedmom razredu izgleda kao na

slici 2.6.

Slika 2.6: Tablica frekvencija i relativnih frekvencija najdražih sportova [10]

Opcenito vrijedi: relativnafrekvencija = frekvencijazbrojfrekvencija

.

Relativne frekvencije cesto izražavamo postotcima. Kao npr.

rukomet: 536

= 0.138... ≈ 0.14 = 14%

nogomet: 1436

= 0.388... ≈ 0.39 = 39%

košarka: 836

= 0.222... ≈ 0.22 = 22%

tenis: 336

= 0.083... ≈ 0.08 = 8%

skijanje: 636

= 0.166... ≈ 0.17 = 17%.

Dakle, tablica u kojoj su relativne frekvencije izražene postotcima prikazana je na slici 2.7.

12

Slika 2.7: Tablica frekvencija i relativnih frekvencija izraženih postotcima [10]

Relativne frekvencije možemo prikazati stupcastim dijagramom. No, cešce se upotrebljava

kružni dijagram. U takvom dijagramu krug dijelimo na kružne isjecke tako da svakoj relativnoj

frekvenciji pridružimo odgovarajuci kružni isjecak. Tako u našem primjeru relativnoj frekvenciji

rukometa, koja je 536

, pridružimo 536

kruga, tj. kružni isjecak kojem odgovara središnji kut od 536

punog kuta i tako radimo za sve relativne frekvencije sportova.

Prvo trebamo izracunati središnje kutove za svaki od isjecaka:

rukomet: 536

od 360° = 536

· 360° = 50°

nogomet: 1436

od 360° = 1436

· 360° = 140°

košarka: 836

od 360° = 836

· 360° = 80°

tenis: 336

od 360° = 336

· 360° = 30°

skijanje: 636

od 360° = 636

· 360° = 60°

Sada kada smo izracunali kutove lako uz pomoc kutomjera konstruiramo kružni dijagram. Medu-

tim, iznose tih kutova obicno ne upisujemo u dijagram. U dijagram najcešce upisujemo relativne

frekvencije izražene u postotcima. Kada kutomjerom konstruiramo izracunate isjecke i nacrtamo

kružni dijagram, on ce izgledati kao na slici 2.8.

Slika 2.8: Kružni dijagram relativnih frekvencija najdražih sportova [10]

Primjer 1. 60 djelatnika jedne firme poslano je na kontrolu vida. Nakon pregleda kod ocnog

lijecnika dobivena je tablica razdiobe promatranog obilježja (vid) na tom skupu od 60 osoba.

Obilježje (vid) Broj djelatnikaNormalan vid 36

Kratkovidnost 15

Dalekovidnost 9

13

Prikažite podatke kružnim dijagramom.

Rješenje.

Pitamo se koliko posto djelatnika ima normalan vid, tj. koliko posto je 36 od 60. Možemo

racunati pomocu formule y = p% · x, gdje je 60 osnovna vrijednost, tj. x, a 36 postotni iznos, tj. y.

Dakle, 36 = p% ·60, tj. p% = 3660

= 35= 3

5· 2020

= 60100

= 60%. Dakle, 60 % djelatnika ima normalan

vid.

Na isti nacin racunamo koliko posto djelatnika ima kratkovidnost i dalekovidnost.

Djelatnici koji imaju kratkovidnost:

15 = p% · 60p% = 15

60= 1

4= 1

4· 2525

= 25100

= 25%.

Dakle, 25 % djelatnika ima kratkovidnost.

Djelatnici koji imaju dalekovidnost:

9 = p% · 60p% = 9

60= 3

20= 3

20· 44= 15

100= 15%.

Dakle, 15 % djelatnika ima dalekovidnost.

Ucenicima možemo pokazati i jednostavniji nacin racunanja zadnjeg koraka. Jednostavno možemo

zbrojiti sve dobivene postotke i oduzeti od 100 %:

100%− (60%− 25%) = 15%.

Tako dobivene postotke prikažimo kružnim dijagramom.

Primjer 2. U bistrou Dobra kapljica u protekloj godini prodali su 700 L razlicitih napitaka, kao

što je prikazano kružnim dijagramom. Koliko su litara pojedinog napitka prodali?

14

Rješenje.

Ucenici iz kružnog dijagrama ocitavaju koliki je postotak pojedinog prodanog napitka:

Sokovi: 22 %

Koktel: 37 %

Mlijeko: 13 %

Caj: 4 %

Kava: 24 %

Znamo da je prodano ukupno 700 L napitka. To je osnovna vrijednost. Racunamo koliko litara

odredenog napitka je prodano po formuli y = p% · x.

Sokovi: y = 22% · 700 = 154

Koktel: y = 37% · 700 = 259

Mlijeko: y = 13% · 700 = 91

Caj: y = 4% · 700 = 28

Kava: y = 24% · 700 = 168

Dakle, prodano je 154 L soka, 259 L koktela, 91 L mlijeka, 28 L caja i 168 L kave.

2.6. Igre za uvježbavanje postotaka

Postoje razne društvene igre koje možemo koristiti u nastavi matematike kako bismo ucenike zain-

teresirali za odredeno matematicko gradivo. U nastavku cemo izdvojiti nekoliko takvih igara.

2.6.1. Memory

Ucenike možemo podijeliti u parove ili u grupe. Više se preporucuje dijeljenje u parove. Igra

Memory ima parni broj kartica. Na svakoj kartici piše odredeni broj u postotku ili u razlomku.

Svaka kartica ima svog para, tj. karticu na kojoj se nalazi isti broj kao na prvoj kartici, ali zapisan

u drugacijem obliku. Cilj ove igre je da ucenici pronadu što više takvih parova. Na pocetku

igre kartice dobro promiješamo te ih postavimo na stol jednu do druge tako da vidimo poledinu

kartice. Takoder, preporuca se da se kartice poslože tako da cine jedan kvadrat. Prvi ucenik okrece

dvije kartice. Ako nisu iste, tj. ako ne predstavljaju jedan par, ucenik vraca kartice. Ako kartice

predstavljaju par, onda taj ucenik uzima te dvije kartice i njemu se pripisuje jedan bod. Zatim

otvara drugi ucenik koji može okrenuti bilo koje kartice bez obzira jesu li vec prije bile okrenute.

Ucenici se tako izmjenjuju tijekom cijele igre. Pobjednik je onaj ucenik koji osvoji najviše bodova,

tj. koji pronade najviše parova.

15

2.6.2. Domino

Ova igra je istovjetna klasicnom dominu. Razlika je u tome što se na dijelovima domina umjesto

tockica nalaze brojevi zapisani u postotku, razlomku ili decimalnom broju. Igra se sastoji od par-

nog broja plocica, tj. domina. Ucenike podijelimo u parove te im podijelimo po 7 domina, a ostatak

ostavimo „sa strane“. Prvi krece onaj ucenik koji ima dominu s najvecim brojem i postavlja je na

stol. Drugi ucenik uzima svoju dominu (koja ima barem jedan broj jednak broju kao i na postavlje-

noj domini) te je postavlja ispod ili iznad onog dijela postavljene domine s jednakim brojem. Ako

ucenik nema pravovaljanu dominu, tada uzima jednu od onih koje su ostale „sa strane“. Tako se

ucenici tijekom igre izmjenjuju. Pobjednik je onaj ucenik koji prvi ostane bez domino plocica.

2.6.3. Bingo

Igra je namijenjena sudjelovanju cijelog razreda. Potrebni su listici (broj listica jednak je broju

ucenika) na kojem pišu brojevi izraženi u postotcima. Prije pocetka igre svaki ucenik dobije jedan

listic. Nastavnik tada govori brojeve u decimalnom prikazu ili razlomku. Ucenik „križa“ broj na

svom listicu kada nastavnik kaže taj isti broj (samo u drugacijem prikazu). Cilj igre je prekrižiti

sve brojeve na nastavnom listicu. Pobjednik je onaj ucenik koji prvi prekriži sve brojeve.

2.6.4. Spajalica

Igra je namijenjena samostalanom radu. Ucenicima podijelimo nastavni listic na kojem se nalaze

brojevi u dva stupca. U jednom stupcu su brojevi zapisani u postotcima, a u drugom brojevi zapisani

u razlomcima. Cilj igre je da ucenik spoji brojeve iz prvog stupca s brojevima iz drugog stupca koji

predstavljaju isti taj broj samo zapisan u obliku razlomka. Ucenik pobjeduje kada pronade sve

takve parove brojeva.

Slika 2.9: Primjer igre spajalica [6]

16

2.6.5. Križaljka

Igra je namijenjena samostalnom radu.

Slika 2.10: Primjer križaljke [6]

Vodoravno:

1. 15 % od 160

3. Omiljeni film gospode Tucalo trajao je 2 sata

i 5 minuta. Od toga su 10 minuta trajale

reklame koje su izludivale gospodu Tucalo. U

postotcima izrazi vrijeme predvideno za

reklame.

4. U sedmim razredima OŠ Sesvete ima 168

ucenika. 25 % ih ima krvnu grupu A. Koliko

ucenika ima krvnu grupu A?

5. 1 % od 500

6. Za pranje automobila u autopraonici gospodi

Finjakitic su zaracunali 43.92 kn s PDV-om.

Koliko je trebala platiti bez PDV-a ako je PDV

25 %?

7. Nakon poskupljenja od 20 % sportska

oprema košta 789.60 kn. Kolika je bila cijena

sportske opreme prije poskupljenja?

Okomito:

1. Nakon pojeftinjenja od 10 %, cijena

televizora iznosi 2246.40 kuna. Kolika je bila

cijena prije pojeftinjenja?

2. Odredi x ako je 10.5 = 25 % od x.

3. Pri kupnji udžbenika i bilježnica za svoju

kcer majka je za jednu ratu platila 256.80 kn što

je 30 % ukupne cijene. Kolika je ukupna cijena

udžbenika i bilježnica?

6. Svaki ucenik koji sudjeluje na državnom

natjecanju iz matematike ima pri narudžbi pizze

40 % popusta te za pizzu placa 22 kune i 80

lipa. Koliko košta pizza bez popusta?

2.6.6. Online igrice

Postoje razne igrice na Internetu koje ucenici mogu igrati kod kuce te tako uvježbavati postotke i u

slobodno vrijeme. Neke od njih su:

Invazija postotakaNiz ekran padaju meteori koji na sebi nose rješenje zadatka s postotkom. Meteori se uništa-

17

vaju kada pucamo iz topa na onaj meteor koji nosi rješenje zadatka. Igra je dostupna na linku

https : //sites.google.com/site/amvukovicmatematika/7 − razred/7 − razred − postoci −invazija− postotaka .

Percentage GameKvadrat je podijeljen na 100 kvadratica. Cilj igre je obojati onoliki dio kvadrata koliki je postotak

zadan. http : //www.softschools.com/math/percent/games/

Shopping at Troy’s ToysU trgovini se nalaze stvari koje imaju svoju cijenu. Jedan dan je u trgovini sve sniženo za neki

p %. Pri dolasku na blagajnu potrebno je odrediti koju cijenu cemo platiti za odabrane artikle.

http : //www.mathplayground.com/percent_shopping.html

18

3. Zakljucak

Nakon upoznavanja s racionalnim brojevima, prirodno se javlja potreba uvodenja postotnog racuna

u 7. razredu osnovne škole. Ma koliko se nama danas taj isti postotni racun cinio jednostav-

nim, prezentirati ga ucenicima 7. razreda nije lako, a cesto im je i teško razumljiv. Možda je to

iz razloga jer se javlja nova oznaka, možda zbog zadataka rijecima kojih u ovoj nastavnoj temi

ima puno više nego su oni naviknuli, a možda je tako jer se ucenici susrecu s nešto drugacijim i

kompleksnijim nacinom razmišljanja. Sve to uzrokuje brojne poteškoce pri racunu s postotcima,

primjeni postotaka u drugim predmetima te kasnije u analizi razlicitih podataka. S obzirom da su

te poteškoce prepoznate od strane nastavnika, suvremeni nastavnici cesto pri prezetiranju sadržaja

nastavne teme „Postotni racun“ posežu za tehnologijom. S druge strane, oni, kojima suvremene

tehnologije nisu dostupne, tj. kojima škola nije dobro opremljena, posežu za društvenim igrama

koje preoblikuju na adekvatan nacin. Za kojim god sredstvima i pomagalima posegnuli, uocava se

veca aktivnost ucenika na satu, a ujedno su i ucenici zadovoljniji buduci da se oni „samo“ igraju, a

zapravo kroz tu igru uce. Dolaskom u srednju školu, ucenici ponavljaju postotni racun te ga vecina

tada i primjenjuje u drugim strucnim predmetima kao i u svakodnevnom životu.

19

4. Literatura

[1] A. B. Boroš, P. Brkic, A. H. Bijukovic, M. Karlo, M. Kuliš. Matematika 7. Školska knjiga,

Zagreb, 2014.

[2] B. Jagodic, N. Sarapa. Matematika 7. Školska knjiga, Zagreb, 2007.

[3] RH MZOŠ. Nastavni plan i program za osnovnu školu, 2006. URL https:

//www.google.hr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&

cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwj-mL392PLTAhUEIJoKHZ90BDMQFgggMAA&

url=http%3A%2F%2Fpublic.mzos.hr%2Ffgs.axd%3Fid%

3D14181&usg=AFQjCNHMLjY8tYJIv5rm62zBoouGKPe-QA&sig2=

rwAQW0LpH42esXPSKn5yMg.

[4] RH MZOŠ. Nacionalni okvirni kurikulum za predškolski odgoj i obrazovanje te opce

obvezno i srednjoškolsko obrazovanje, 2010. URL http://mzos.hr/datoteke/

Nacionalni_okvirni_kurikulum.pdf.

[5] RH MZOŠ. Nacionalni kurikulum nastavnog predmeta matematika - prijedlog, 2016. URL

http://mzos.hr/datoteke/6-Predmetni_kurikulum-Matematika.pdf.

[6] G. Paic, Ž. Bošnjak, B. Culina. Matematicki izazovi 7. Alfa, Zagreb, 2009.

[7] R. Svedrec, N. Radovic, T. Soucie, I. Kokic. Tajni zadatak 007. Školska knjiga, Zagreb, 2006.

[8] S. Varošanec. Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred trogodišnjih strukovnih

škola. Element, Zagreb, 2001.

[9] S. Varošanec. Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred trgovackih i slicnih

škola. Element, Zagreb, 2001.

[10] Z. Šikic, I. G. Jakopovic, M. Vukovic, L. Krnic. Matematika 7. Profil, Zagreb, 2009.

20