29장. 자기장 (Magnetic field)

29.1 자기장과 자기력 29.2 균일한 자기장 내에서 대전 입자의 운동 29.3 자기장 내에서 대전 입자 운동의 응용 29.4 전류가 흐르는 도체에 작용하는 자기력 29.5 균일한 자기장 내에서 전류 고리가 받는 토크 29.6 홀 효과

rF ˆ2

21

r

qqkee

EF qe q

eFE

→

o Magnetic Fields의 정의

sinqvBqB BvFqv

BFB

→

cf) 전기장과 자기장의 비교

cf) 점전하 q : 전기장 을 형성하고 이 전기장내에 전하 q가 놓이면 Coulomb Force

→ 움직이는 전하 (전류)는 자기장을 형성, 이 자기장내에 다른 움직이는 전하나 전류가 놓이면 힘을 작용하게 된다

- Similar to Electric Fields :

rΕ ˆ2r

qke

o 자기에 관한 역사적 배경 : - 기원전 13세기 중국에서 나침반 사용 - B.C. 800년경, 그리스 사람들은 자철광(magnetite, Fe3O4) 이라는 돌이 쇳조각을 끌어당긴다는 사실을 발견. - 페레그리누스(Petrus Peregrinus de Maricourt) : 1296년에 공 모양의 천연 자석을 이용하여 공의 표면에 놓인 바늘들이 가리키는 방향을 그림으로 그려서 이 방향들을 연결하면 공을 둘러싸는 선이 되며, 이 선은 자석의 극이라고 불리는 두 곳에서 만난다는 것을 발견. - 길버트(William Gilbert; 1540∼1603) : 나침반의 바늘이 일정한 방향으로 편향되는 사실을 이용하여 지구 자체도 하나의 커다란 영구 자석임을 제안. - 1750년에 실험가들은 자극이 서로 끌어당기거나 미는 힘을 조사하기 위해 비틀림 저울을 사용하여, 이 힘은 거리의 제곱에 반비례함을 확인. - 외르스테드(Hans Oersted) : 강의 실험 중에, 도선에 전류가 흐를 때 도선 가까이 있는 나침반의 바늘이 편향됨을 발견.

29.1 자기장과 자기력 (Magnetic Fields and Forces)

- 움직이는 전하의 주위에는 전기장과 더불어 자기장이 생성된다. 어떤 점에서 자기장 B 의 방향은 그 지점에 놓인 나침반의 N 극이 가리키는 방향이다.

o 자기장 내에서 운동하는 여러 대전 입자의 운동에 대한 실험 결과는 다음과 같다.

- 입자에 작용하는 자기력의 크기 FB 는 전하 q 와 입자의 속력 v 에 비례한다.

- 대전 입자가 자기장 벡터와 평행한 방향으로 운동할 때, 입자에 작용하는 자기력은 영(0)이다.

o 지구 자기장 (The Magnetic Field of the Earth) :

- 지자기의 S 극은 지리적 북극 근처에 위치하고 지자기의 N 극은 지리적 남극 근처에 위치한다.

- 지리적 북극으로 정의되는 실제 북극과 나침반이 가리키는 자기적 N 극 사이의 차이는 지구상의 위치에 따라 변하는데, 이 차이를 자기 편각이라 한다.

- 입자의 속도 벡터가 자기장과 각 θ를 이룰 때, 자기력은 v 와 B 모두에 수직인 방향으로 작용한다. 즉, FB 는 v 와 B 가 이루는 평면에 수직이다.

- 양전하에 작용하는 자기력은 똑같은 방향으로 운동하는 음전하에 작용하는 힘과 반대 방향이다.

- 입자의 속도 벡터가 자기장 B 와 각도 θ 를 이루면, 운동하는 입자에 작용하는 자기력의 크기는 sinθ 에 비례한다.

sinvBqFB

- 대전 입자에 작용하는 자기력의 크기

BvF qB

0)( dtd vFsF

- 전기력과 자기력 사이의 중요한 차이점:

△ 전기력의 방향은 항상 전기장의 방향과 같은 반면에, 자기력은 자기장의 방향과 수직이다.

△ 대전 입자에 작용하는 전기력은 입자의 속도와 무관하지만, 자기력은 입자가 운동할 때만 작용한다.

△ 전기력은 대전 입자의 변위에 대하여 일을 하는 반면에, 일정한 자기장으로부터의 자기력은 입자가 변위 될 때 일을 하지 않는다. 왜냐하면 힘이 변위에 수직이기 때문이다. - 자기장 B 의 단위 : T (tesla; T)

GT 4101

21

/11

m

Wb

mA

N

smC

NT

)( BvF qB

G : Gauss, Wb : Weber

29.2 균일한 자기장 내에서 대전 입자의 운동 (Motion of a Charged Particle in a Uniform Magnetic Field)

- 균일한 자기장 내에서 자기장에 수직인 방향으로 움직이는 양(+)전하를 생각해보자.

- 자기력은 운동방향에 수직하게 작용하므로, 양(+)전하의 운동 방향을 편향시켜서 원운동을 하게 한다.

qvBqB BvF Bv

r

mvFC

2

- 원궤도의 반지름 : B

rqB

mvr

1

- 주기 (Period) :

qB

m

qB

mv

v

v

rT

22

22

(구심력)

- 각속력 (angular speed) :

m

qBf 2

“cyclotron frequency”

☆

자기장 내에서의 전자 운동 예제 29.1

한 전자가 x축을 따라서 8.0×106m/s의 속력으로 운동한다. 이 전자가 xy 평면에서 x축과 60°를 이루는 0.025T의 자기장으로 들어간다. 전자에 작용하는 자기력을 구하라.

풀이

N

TsmC

vBqFB

14

619

108.2

)60)(sin025.0)(/100.8)(106.1(

sin

전자빔의 휘어짐 예제 29.3

그림에서와 같이, 코일 다발에 의해서 발생하는 균일한 자기장의 크기를 측정하는 실험이 있다. 전자는 정지 상태에서 전위차 350V에 의해서 가속된 후, 자기장 내에서 원운동을 하며, 전자들이 이루는 전자 빔의 반지름은 7.5cm가 된다. 자기장이 빔과 수직하다고 가정할 때, (A) 자기장의 크기를 구하라. (B) 전자의 각속력을 구하라.

풀이 (A)

(B) 전자의 각속력을 구하라.

(B)

2/,0 2mvKK fi

sm

kg

VC

m

Vev

Vevm

e

e

/1011.1

1011.9

)50.3)(1060.1(22

7

31

19

2

21

T

mC

smkg

re

vmB e

4

19

731

104.8

)075.0)(1060.1(

)/1011.1)(1011.9(

sradm

sm

r

v/105.1

075.0

/1011.1 87

◎ Motion of a Particle, General

ㆍHelical Motion :

ㆍIf a charged particle moves in a magnetic field at some arbitrary angle with respect to the field, its path is a helix

ㆍIn Equation : cf ) Helical Motion (Captured from Mr. Popper's Penguins)

0,22

zyx vvvv

o Motion of Particles in a Nonuniform Magnetic Field

ㆍ The motion is complex

ㆍ With Strong B-Field, the particles can oscillate back and forth between two positions””

ㆍ”Magnetic Bottle” : cf ) Artificial Sun

cf ) KSTAR in NFRI

ㆍ NFRI : National Fusion Research Center

ㆍ KSTAR : Artificial Sun in Korea

ㆍ 10 Seconds in H-Mode in 2012

ㆍ 300 Seconds in H-Mode in 2017

ㆍ H-Mode : High Efficiency Nuclear Fusion Mode → Output Energy = 20 x Input Energy

o Magnetic Field of Earth

o Van Allen Radiation Belts :

ㆍ The particles are trapped by the Earth’s magnetic field (B=0.5Gauss)

ㆍ The particles spiral from pole to pole - May result in Auroras (a Curtain of Light) - Prevent Microwaves from the Sun

o Solar Sails

ㆍalso called Light Sails or Photon Sails

ㆍa form of spacecraft propulsion using the radiation pressure (also called solar pressure) of light from a star (Sun)

ㆍUse large ultra-thin mirrors of Solar Cells offer the possibility of low-cost operations combined with long operating lifetimes

o Solar Wind

ㆍa stream of charged particles ejected from the upper atmosphere of the Sun

ㆍconsists of Electrons and Protons with energies usually between 1.5 and 10 keV

ㆍparticles can escape the Sun's gravity because of their high kinetic energy and the high temperature of the corona

ㆍ The stream of particles varies in temperature and speed over time

o (Geo)Magnetic Strom

ㆍWhen a large Solar Flare shoots additional energetic electrons and protons into the radiation belts.

ㆍa temporary disturbance of the Earth's Magnetosphere caused by a disturbance in the interplanetary medium

ㆍa major component of Space Weather

ㆍThis year we expect Big Sun Spots that will derive large Solar Flares cf ) a motive of the apocalypse movie “2013”

BvEFFF qqme

29.3 자기장 내에서 대전 입자 운동의 응용 (Applicaton Involving Charged Particles Moving in a Magnetic Field)

◎ 로렌츠 힘(Lorentz force) :

- 전기장과 자기장이 모두 존재하는 영역에서 운동하는 대전 입자가 받는 힘

o 전자의 발견 :

- 1897년 J.J. Thomson (1856 ~ 1940)

- 음극선관 (방전관, CRT (Cathode Ray Tube))

- 자기장 B 와 전기장 E 를 작용하면 :

- 자기장에 의한 힘 :

(where q=e=-1.9×10-19C)

- 균일한 자기장 B 에 의해 원운동이 유도 :

qvBqm BvF

r

mvFC

2

rB

v

m

e

m

qFF Cm

B

Ev

qvBF

qEF

m

e

KgCrB

v

rB

v

m

e

m

q/1076.1 11

2

▒ 속도 선택기 (Velocity Selector)

- 오른쪽 그림과 같은 장치에서, 양(+)으로 대전된 입자는 전기력의 크기와 자기력의 크기가 같은 입자만이 직선으로 움직이게 된다.

⇒ 전기장 E 와 자기장 B 를 작용하여 전하(q)가 직선으로 움직이게 하면

이보다 큰 속력을 갖는 입자들은 왼쪽 방향으로 편향되고, 이보다 작은 속력을 갖는 입자들은 오른쪽 방향으로 편향된다.

cf ) 톰슨(J. J. Thomson ; 1856∼1940)의 전자의 비전하 측정 :

→ 전자의 개념 인식! : 1906년 노벨물리학상(기체의 전기전도율 측정)

"-" sign : 전자는 음전하

2

2

1mvKE

qVUPE e

m

qVv

2

qvBFm r

mvFC

2

V

xqBm

8

22

▒ 질량 분석기 (The Mass Spectrometer)

Aside) o Type 1 ⇒ E + B

- Charge q 가 전위차 V 에 의해 가속

- 가속된 전하는 B-field에 의해서 회전운동

q

mV

Bm

qV

qB

m

qB

mvr

212

q

mV

Brx

222

∴ 전하 or Ion의 질량 :

E

rqBB

v

rqBm 00

0qvBFm r

mvFC

2

B

Ev

cf ) 만일 같은 물질이 서로 다른 회전 반경을 가진다면

→ 서로의 질량이 다르다

⇒ "Isotope" (동위원소)

o Type 2 : 베인브리지 질량 분석기 (Bainbridge mass spectrometer)

⇒ 속도 선택기 (E, B ) + 균일한 B '

- 속도 선택기 통과 후 : 속도

- 균일한 자기장 B '에 의한 원운동

▒ 사이클로트론 (The Cyclotron)

- 사이클로트론(cyclotron): 대전 입자를 매우 빠른 속력으로 가속시킬 수 있는 장치. 핵 반응의 연구와 진료와 치료 목적으로 방사능 물질을 만들기 위하여 사용.

- 1934년 U.C. Berkeley 의 E.O. Lawrence 와 M.S. Livingstone 이 개발

- E 에 의한 가속 + B 에 의한 회전운동 → 입자의 운동이 가속 (Accelerator)

- Oscillator에서 변화하는 전압 (교류(RF) 전압) 을 사용 전하를 가속 → 변화하는 E-Field 작용

- 이때의 교류 주파수

= 전하의 원운동시의 (각)진동수

“cyclotron frequency”

m

qBf 2

m

RBq

m

qBRmmvKE

22

1

2

1 2222

2

0qvBFm R

mvFC

2

m

qBRv →

o Cyclotron에서의 운동에너지

- 반경 R, 자기장 B → 양성자(p) 가속시 가속양성자의 KE :

ㆍ Cyclotron 내부에서의 원운동 :

)(qB

mvr

Aside Ex) Cyclotron : 반경 r=0.5m, 자기장 B =1.7T → 양성자(p) 가속

i) 양성자의 KE : (mp=1.67 × 10-27㎏)

JeV 19106.11

MeVeVJ

JKg

TC

m

RBqKE

58.3410458.3106.1

1054.5

1054.51067.12

5.0)7.1()106.1(

2

7

19

12

12

27

22219222

HzKg

TC

m

qBf

p

8

27

19

1063.11067.1

7.1106.12

ii) Cyclotron Frequency :

iii) 사용해야 할 교류의 주파수 : cf ) 가정용 교류 주파수는 약 60Hz → RF 기술의 중요성

MHzHzHz

f 26106.22

1063.1

2

78

m

qBf 2

m

qBf

2

Aside) ◎ Syncrotron = Synchro Cyclotron - Synchronize B and E Field

or

- 큰 입자를 가속하려면 : m → 大 ⇒ f → 小

cf ) 상대론에 의하면 : - 즉 v → 大 ⇒ m → 大

⇒ f 를 보정하기 위하여 B 를 Synchronize 해야 한다

- Fermi Lab : (Illinois USA)

r =1㎞ → 원주 : 2πr ≒ 6.3㎞

⇒ Energy : 1 TeV (=1012eV ) 의 proton beam 생성

- CERN : 500GeV → 1.5T with r =1.1㎞

2

2

0

1c

v

mm

nALq dB )( BvF

이므로AnqvI d BLF IB

29.4 전류가 흐르는 도체에 작용하는 자기력 (Magnetic Force Acting on a Current-Carrying Conductor)

전류는 운동하는 많은 대전 입자들의 집합이므로, 전류가 흐르는 도선이 자기장 내에 놓여 있다면, 자기력이 도선에 작용하게 된다. 자기장이 도선에 작용하는 전체 힘은 전류를 구성하는 모든 대전 입자에 작용하는 각각의 힘을 벡터적으로 합한 것이다.

전하 하나가 받는 자기력

n : 단위 부피당 전하의 수, AL: 시료의 부피

L 은 전류 I 방향으로의 길이 벡터이며, 크기는 시료의 길이 L 과 같다.

i

FB max

BsF Idd B b

aB dI BsF

◎ Oersted's Law

o Oersted's Jumping Wire Experiments

cf ) 자기장 B 의 방향 : 나침반의 N극 방향

cf ) 오른손의 법칙 : 엄지 → 전 손가락 → 자 손바닥 → 력

- By Oersted's Jumping Wire Experiments

- FB ∝ iℓB sinθ

- 비례계수 → 1 - 자기장 내에 놓인 임의의 모양의 도선을 생각해 보자. 도선의 매우 작은 길이에 작용하는 자기력은

BBF

iziB )ˆ(sin

BiF max

◎ The Force Exerted by a Magnetic Field (Oersted의 법칙 보충)

Find B-Field Aside Ex

BdIBIdFd

BIdFd

BdIFd

cf )

for Constant B-Field, Varying ℓ for Constant ℓ , Varying B-Field

- Constant B-Field, Varying ℓ 의 예제 - B (⊙) 지면위로 올라오는 방향 - ℓ =10 ㎝ , i = 0.2A, F = 4 ×10-2N (j) - B =?

cf) B⊥ℓ → Fa와 Fb는 크기가 같고 반대방향

⇒ ↓방향의 힘만 작용

Tm

N

I

FB 0.2

101024.0

1042

2

)( BiBIdF

반원형 도선에 작용하는 힘 예제 29.4

반지름 R 인 반원의 폐회로를 구성하고 있는 도선에 전류 I 가 흐른다. 회로는 xy 평면에 놓여 있고, 균일한 자기장이 ＋y 방향을 따라 작용한다. 도선의 직선 부분과 곡선 부분에 작용하는 자기력을 구하라.

Sol IRBILBF 21

IRBdIRBBRdIF 2sinsin)(00

2

b

aB dI BsF

Circular Arc 환선의 경우 Aside Ex

- 반경 R 인 환선모양, 전류 i, 자기장 B (ⓧ) - 직선부분 ↑↓ 에서는 서로 상쇄된다 - 환선부분 : 미소길이 dℓ=dS=Rdφ

☆

직선 부분에 작용하는 힘 곡선 부분에 작용하는 힘

(+z 방향)

(“－” Sign →－z 방향)

Aside ◎ Oersted's Law .vs. B-Lorentz force

o 자기장 내에서의 전하 입자의 움직임

- 자기장내에서 도선에 흐르는 전류에서 전자 입자의 운동 고려

- by Oerested : F =i ℓ ×B

- 도선이 받는 힘은 결국 전하 입자가 받는 힘에서 기인

- 한 점 P를 t초 동안 통과하는 전하(전자)의 양이 n개라면

(∵ 총 전하량 Q =Nq) - 전하가 자기장 내에서 움직인 시간이 t초라면, ℓ 은 전하가 t초 동안 속도 v 로 움직인 거리 o for A Charge :

- if v ⊥B : Fmax = qvB, if v //B : F = 0

t

Nq

t

Qi

tvd

BvNqBtvt

NqBIF ddm

BvF qB

qv

FB B

"Drift Velocity" vd : 도체 내에서 전하(전자)입자의 실제 움직이는 속도

"Lorentz (Magnetic) Force"

29.5 균일한 자기장 내에서 전류 고리가 받는 토크 (Torque on a Current Loop in a Uniform Magnetic Field)

,2 IaBF IaBF 4

IabBb

IaBb

IaBb

Fb

F 2

)(2

)(22

42max

0F

IAB max

◎ DC 전동기

- 전류가 흐르는 도체 고리가 균일한 자기장 내에 놓일 때 전류 고리가 받는 알짜 자기력은 영(0)이다.

- 이때 자기력은 전류가 흐르는 고리에 토크를 작용하게 된다.

- 길이 b 인 변 ①과 ③은 자기장에 평행하기 때문에, 이 변에 작용하는 힘은 영(0)이다.

- 길이 a 인 변 ②와 ④는 자기장에 수직이기 때문에 자기력이 작용한다.

But,

sin

sinsin2

sin2

sin2

sin2

42

IAB

IabBb

IaBb

IaB

bF

bF

BAτ I

Aμ I

Aμ NIcoil

Bμτ Bμ U

- 균일한 자기장 내에서 전류 I가 흐르는 사각형 고리에서, 자기장이 고리 평면에 수직인 방향과 각 θ 를 이룬다고 가정하자.

; 자기장 내에서 전류가 흐르는 고리에 작용하는 토크

o 고리의 자기 (쌍극자) 모멘트(magnetic dipole moment) μ

(단위: A·m2)

- 같은 면적에 코일이 N번 감겨 있는 경우 :

EpU

,Ep

cf ) for E-Dipole :

☆

Aside ◎ 검류계 (Galvanometer)

- 전류와 자기장에 의한 Torque의 응용

- Spring 이 받는 Torque : τs =kφ k : spring 상수, φ : Angle

- 전류 i, 도선 사각형의 면적 A 에 의한 Torque : τB=niAB sinθ - τs = τB :

cf) sinθ 에 따라 각을 나누기가 복잡하다 o θ-independent model

- 전류 도선(Coil)에 작용하는 B-field의 방향은 항상 수직

- B ⊥n → sinθ =1

cf ) B-field 내에서 coil을 돌리면 current i 발생 ⇒ 발전기 (유도 전류)

sink

niAB

iniABk

1

- 전류가 흐르는 도체가 자기장 안에 있으면, 전류와 자기장 방향과 모두 수직인 방향으로 전위차가 발생한다.

- 전하 운반자의 종류(+, -)에 따라 z-축 방향으로 발생하는 전위차의 부호가 달라지므로 시료 내의 전하 운반자 종류를 판별할 수 있다.

- 평형 상태 (FB = FE ) 에서 : "Hall Voltage"

qEBqvd

BvE d

BdvdEV d

29.6 홀 효과 (1879년 Edwin Hall; 1855-1938) (The Hall Effect)

nqA

Ivd

nqt

IB

nqA

IBdV

t

IBR

nqt

IBV

n

R

nqR K

1

t

IBR

nqt

IBV

807.258122e

hRK

- 단위 부피당 전하 운반자 (Charge Carrier) 수(혹은 전하 밀도) n은 시료에 흐르는 전류를 측정함으로써 알 수 있다. ( I =nqvdA : 혈류 속도 측정에 사용)

◎ The Quantum Hall Effect

RH : 홀 계수 (Hall Coefficient)

- 1980년 Klaus von Klitzing : Low T, High B-Field에서 Quantized 현상 발견 (Nobel Prize)

where n = 1, 2, 3 Quantization

RK : von Klitzing Constant (h : Plank Constant)

∴ ΔVH ∝ B

(Here, A=dt )

t : 두께

구리에서의 홀 효과 예제 29.6

폭 1.5cm, 두께 0.10cm의 직사각형 구리 띠에 5.0A의 전류가 흐르고 있다. 1.2T의 자기장이 띠와 수직으로 걸려 있을 때, 홀 전압을 구하라.

풀이

V

mCm

TA

nqt

IBV

44.0

)1010.0)(106.1)(1046.8(

)2.1)(0.5(219328

☆

cf) From Ex 27-1)

3

312.7

/92.8

5.63cm

cmg

gmV

- 구리 1 mol의 부피 :

328

3

36

3

23

0 /1046.81

1000.1

12.7

1002.6m

m

cm

cmV

Nn 전자

전자