Magnetismo nella materia Diamagnetismo. Paramagnetismo Teoria macroscopica del ...ragusa/2018-2019/elettromagnetismo... · 2019-04-29 · Prof. Francesco Ragusa Università degli

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2018/2019

Elettromagnetismo

Magnetismo nella materiaDiamagnetismo. Paramagnetismo

Teoria macroscopica del magnetismonella materia

Lezione n. 29 – 30.04.2019

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 289

Modello qualitativo del diamagnetismo• Supponiamo di avere una particella di massa M e carica q che compie un moto circolare uniforme in un'orbita di raggio r• La forza centripeta è fornita da una fune• La tensione della fune è F0, la velocità v0

• Inizialmente B = 0• Supponiamo adesso di stabilire nella regioneun campo magnetico B1 diretto come in figura• Naturalmente dobbiamo passare da B = 0 a B1

• Avremo una campo magnetico variabile nel tempo• Avremo anche un campo elettrico indotto• La variazione del flusso sull'orbita determina

la circuitazione del campo elettrico indotto• Trascuriamo il segno che fisseremo alla fine con la legge di Lenz

20

0

vF M

r=

2d dBr

dt dtπ

Φ= =E 2

C

d rEπ= ⋅ =∫ E lE 22dB

rE rdt

π π=

2r dB

Edt

=

1B

E

F

v

0F

0vq

M

r


Modello qualitativo del diamagnetismo• Il campo elettrico indotto accelera l'elettrone

• L'equazione si integra facilmente

• La velocità è aumentata • Se la velocità aumenta deve aumentare anche la forza centripeta

• Nei casi di interesse Δv v0

2r dB

Edt

=dv

M qEdt

=2

dv r dBM qdt dt

=

2r

Mdv qdB=1

02

v v B

v

rdv q dB

M

+Δ

=∫ ∫

12qr

v BM

Δ =

( )200 1

v vF F M

r

+ Δ→ = ( )

220 02v v v

M M O vr r

Δ≈ + + Δ

FB

Ev

1F1B

0 + Δv v


Modello qualitativo del diamagnetismo• Oltre alla tensione della fune abbiamo anche la forza di Lorentz: F1 = F0 + Fm

• Trascuriamo ancora una volta i termini in Δv2

• Confrontiamo con il risultato della diapositiva precedente

• Vediamo l'interessante circostanza che il campo magnetico fornisce anche la necessaria forza centripeta aggiuntiva• Necessaria per mantenere il raggio dell'orbita costante• La tensione della fune non è cambiata• Non dipende dal tipo di forza che lega la particella• Funziona allo stesso modo con la legge di Coulomb

m q= ×F v B ( )m 0 1F q v v B= + Δ12

qrv B

MΔ =

1

2M vqB

rΔ

=

( )m 0

2M vF v v

rΔ

= + Δ

0m

2Mv vF

rΔ

=

20 0

1

2v v vF M M

r rΔ

≈ +


Modello qualitativo del diamagnetismo• Veniamo al segno della forza elettromotrice• In linea di principio Δv potrebbe essere negativa

indicando una decelerazione della carica• Utilizziamo la legge di Lenz• La variazione velocità deve generare una variazione

di flusso che si oppone alla variazione del flusso di B1• Se q > 0 la variazione di velocità deve essere positiva: Δv > 0• In termini di momento di dipolo magnetico • Inizialmente il momento di dipolo è (vedi diapositiva )

• Dopo l'accelerazione il momento è aumentato

• Dalle diapositive precedenti

0 02qr

m v=0m

0vq

Δm

Δv

0 0→ + Δm m m

2 2

14q rM

Δ =m B

2qr

m vΔ = Δ

12qr

v BM

Δ =2 2

14q r

m BM

Δ =

1F1B

0 + Δv v

952283


Modello qualitativo del diamagnetismo• Vediamo pertanto che l'elettrone acquista unmomento di dipolo magnetico aggiuntivo• L'aumento Δm è anti-parallelo al campo applicato B1

• Il momento di dipolo aggiuntivo è nel verso opposto a quello di B1 anche quando l'elettrone ruota in senso inverso• Succede per la legge di Lenz• Per la legge di Lenz la variazione di velocitàdeve generare una variazione di flusso oppostaa quella causata da B1

• Δv e Δm come nel caso precedente• Concludiamo che per entrambi i versi della velocitàdell'elettrone c'è un momento di dipolo aggiuntivo• Anche per un atomo con due elettroni con due

orbite percorse in senso opposto• Un atomo che inizialmente ha momento angolare e momento magnetico nulli

• Acquista un momento di dipolo magnetico pari a 2 Δm• Analogo all'atomo sferico che si deforma e acquista un dipolo elettrico

0m

0vq

Δm

Δv

2 2

14q rM

Δ = −m B

0v

Δm

Δv0m

2 2

14q rM

Δ = −m B

0 + Δv v

1B


Modello qualitativo del diamagnetismo• Abbandoniamo l'ipotesi che l'orbita sia perpendicolare al campo magnetico• La proiezione del campo magnetico sull'asse perpendicolare al piano dell'orbita è Bcosθ

• Nella somma dei momenti magnetici aggiuntivi rimane solo la componente z di Δm

• La grandezza r cosθ è la proiezione del raggio dell'orbita sul piano x−y• Mediando su tanti atomi

• D'altro canto

• Utilizzando questo risultato

2 2

cos4q r

mM

θΔ = B

2 2

6q rM

Δ = −m B

θ

z

B θ

z

BΔm

coszm m θΔ = Δ2 2

2cos4q rM

θ= B

2 2 2 2cosr x yθ = + 2 2x y= +

2 2 2 2r x y z= + + 2 2 2x y z= = 2 23r x=2

2

3r

x =

2 2 2cos 2r xθ = 2 2 22cos3

r rθ =


Modello qualitativo del diamagnetismo• Infine consideriamo un atomo in cui ci sono Z elettroni (q = e, M = me)• Il momento magnetico che l'atomo acquista è

• Possiamo adesso calcolare il momento magnetico che acquista un volume V di materia che contiene n atomi per unità di volume• Il numero di atomi è

• Il momento magnetico è

• Ricordiamo che la forza su un momento magnetico m è ( diapositiva )

• Notiamo che il verso della forza dipende dal segno di m⋅B

1

Z

k

k=

Δ = Δ∑m m2 2

16

Z

k

ek

e rm

=

= −∑ B2

2

16

Z

ke k

er

m=

= − ∑B2 2

0

6 e

e ZR

m= − B

2 20

1

1Z

k

k

R rZ

=

= ∑

Avn NAρ

=

N nV= AvN VAρ

= Av

MN

A= M è la massa del volume V in g

N= Δm m2 2

0

6Ave

e ZRMN

A m= − B

2 201

2 6Ave

e RMN

m= −m B

12

ZA

≈

1178115

( )= ⋅F m B∇


Modello qualitativo del diamagnetismo• Calcoliamo la forza per le sostanze citate nella diapositiva

• Osserviamo che• La forza è proporzionale alla massa e a B2

• Il gradiente del campo è negativo, la forza è diretta lungo il verso positivo dell'asse z• È una forza repulsiva

• Calcoliamo il modulo

• Riproduce molto bene l'ordine di grandezza delle forze• Per valori più accurati occorre il valore esatto di R0

( )= ⋅F m B∇2 201

2 6Ave

e RMN

m= −m B

2 2201

2 6Ave

e RMN B

m⋅ = −m B

945278

2 20

6z Ave

e R BF MN B

m z∂

= −∂

1KgM =

1.8TB =

18T/mBz

∂=

∂

191.6 10 Ce −= ×236.02 10AvN = ×319.1 10 Kgem

−= ×

100 0.53 10 mR −= ×

3 23 2 38 2 20

31

10 6.02 10 1.6 10 0.53 10 1.8 176 9.1 10zF

− −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅2 2

16.02 1.6 0.53 1.8 1710

6 9.1zF−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅

1132.410

54.6−= 0.24N=

0Bz

∂<

∂


Teoria di Langevin del diamagnetismo• La teoria del diamagnetismo descritta è adottata in molti testi• È adottata da Purcell ma non da Mazzoldi• Mazzoldi presenta la teoria classica di Langevin

basata sulla precessione del momento angolare L• Il momento della forza sull'elettrone orbitante ne fa precessare il momento angolare

• La rotazione aggiuntiva genera una corrente Δi

• L'atomo acquista un momento magnetico aggiuntivo Δm

• Osserviamo che in entrambi i casi si tratta di teorie qualitative che mostrano una serie di inconsistenze dinatura termodinamica• Una teoria rigorosa richiede la meccanica quantistica

2L

em

= Bω

2L

Li ef eωπ

Δ = − = −

2m i rπΔ = Δ 2

2Le r

ωπ

π= 21

2 2e

e r Bm

=2 2

4e rm

Δ = −m B


Paramagnetismo• Abbiamo descritto l'effetto del campo magnetico legato al moto orbitale degli elettroni• Abbiamo notato che quasi tutte le sostanze (molecole) hanno un momento

angolare orbitale nullo• Abbiamo inoltre notato che gli elettroni posseggono un momento angolare

intrinseco (spin) la cui proiezione lungo un asse assume due soli valori: ± /2• Il momento magnetico intrinseco dell'elettrone è

• Per il principio di esclusione di Pauli gli elettroni tendonoa disporsi in coppie con momento angolare nullo• Anche il momento magnetico sarà nullo

• In alcune molecole il numero di elettroni è dispari (ad es. NO) oppure la configurazione elettronica è tale da non avere la cancellazione dello spin per due elettroni (O2) • In queste sostanze un campo magnetico esterno può allineare i momenti

magnetici e far comparire un momento di dipolo• Nello stesso verso del campo magnetico applicato• Nel verso opposto rispetto al diamagnetismo

2 e

em

m= ± Bμ= ± μB magnetone di Bohr249.3 10 J/TBμ

−= ×


Paramagnetismo• Abbiamo visto che un dipolo magnetico in un campo magnetico B possiede un'energia potenziale data da

• In meccanica quantistica avviene la stessa cosa, ad esempio per lo spin di un elettrone atomico • La proiezione del momento magnetico lungo B può avere solo 2 valori: m = ±μB

• In un materiale a temperatura T gli elettroni hanno un'energia di agitazione termica ∼KT• Il numero di elettroni che hanno un determinato valore

del momento magnetico si calcola utilizzando la statistica di Boltzmann

• Introducendo le energie dalla tabella

• a si determina imponendo che il numero totale di elettroni sia N

U = − ⋅m B

B

U

0

BU Bμ= ±

2zj = +

2zj = −

exp /n a U kT⎡ ⎤= −⎣ ⎦

jz m U

up + /2 −μB

μBB

down − /2 +μB

−μBB

�

down exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= +⎣ ⎦up exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= −⎣ ⎦

up downn n N+ =


Paramagnetismo

• Calcoliamo la costante a

• Il momento magnetico degli N elettroni si calcola con la somma

up exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ down exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= +⎣ ⎦

up downn n N+ = ( )/ /B BB kT B kTa e e Nμ μ− ++ =

/ /B BB kT B kT

Nae eμ μ− +

=+

up up down downm n m n m= +

jz m U

up + /2 −μB

μBB

down − /2 +μB

−μBB

�

( ) ( )up downB Bn nμ μ= − + +

/ /

/ /

B B

B B

B kT B kT

b B kT B kT

e em N

e e

μ μ

μ μμ

+ −

− +

−=

+

tanh Bb

Bm N

kTμ

μ=BBkTμ

0 1 2 3 4

BNμ

0

m


Paramagnetismo• La formula che abbiamo trovato fornisceil momento magnetico di un blocco dimateria con N elettroni• Ricordiamo che il momento magnetico

degli elettroni era "quantizzato" nelladirezione del campo magnetico B• È nello stesso verso di B

• Osserviamo che per campi B molto elevati o temperature basse il momento magneticoindotto satura• Tutti i momenti degli spin si allineano nello stesso senso di B

• Per campi magnetici dell'ordine di 1T e temperatura ambiente

• Questo è il risultato che si ottiene se si assume che il dipolo magnetico può assumere tutti i valori di energia fra −μBB e +μBB

tanh Bb

Bm N

kTμ

μ=

BBkTμ

0 1 2 3 4

BNμ

0

m

up exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 0→ tanh 1BBkTμ

→

0.02BBkTμ

∼ tanh B BB BkT kTμ μ

≈2BN B

mkTμ

≈

2 e

egm−

=m SNB


Paramagnetismo• La teoria descritta può essere estesa anche ad atomi e molecole con configurazioni di momento angolare più complicate• Il grafico mostra l'accordo fra calcoli teorici

basati sui concetti descritti e dati sperimentali• Per atomi con momento angolare

J = 3/2, 5/2, 7/2• Va sottolineato che la teoria che abbiamo

discusso descrive i concetti fondamentalinecessari per descrivere il paramagnetismo• Tuttavia per una trattazione rigorosache riproduca esattamente i dati sperimentalioccorre esaminare in maggiore dettaglioil momento angolare delle sostanze che si vogliono descrivere

• Analisi del genere sono al di là degli obbiettivi del corso• Il ferromagnetismo è un fenomeno legato anch'esso allo spin dell'elettrone• La descrizione microscopica del fenomeno è molto complicata• Daremo dei cenni dopo la trattazione fenomenologica del magnetismo nella

materia

BT

B

mμ


Magnetizzazione e suscettività• Abbiamo visto che in presenza di campi magnetici esterni nella materia vengono indotti momenti di dipolo magnetico• Possono essere paralleli (paramagnetismo, ferromagnetismo) oppure

anti-paralleli (diamagnetismo)• Come nel caso del campo elettrico, per descrivere il magnetismo nella materia si introducono delle quantità macroscopiche• Le quantità macroscopiche si calcolano a partire dalle corrispondenti quantità

microscopiche realizzando delle medie spaziali• Su volumi grandi se confrontati con i volumi atomici• Su volumi piccoli se confrontati con i volumi tipici del sistema macroscopico

• La prima quantità importante (Magnetizzazione) viene introdotta per descrivere il momento magnetico indotto in un volume ΔV di materia• Si definisce magnetizzazione il momento magnetico totale per unità di volume• Il momento magnetico dovuto ai dipoli atomici

• Nel caso generale la magnetizzazione è una funzione della posizione: M(r)• Le unità di misura

1k

kV

=Δ ∑M m

2Am⎡ ⎤ =⎣ ⎦m 1Am−⎡ ⎤ =⎣ ⎦M1JT−= 1 3JT m− −=


Magnetizzazione e suscettività• Consideriamo adesso materiali diamagnetici o paramagnetici • A temperature non troppo basse e campi magnetici non troppo intensi• Abbiamo visto che in entrambi i casi i momenti di dipolo magnetico indotti

dipendono linearmente dal campo B

• Se nelle formule precedenti N diventa unadensità di elettroni per unita di volume leespressioni danno la magnetizzazione• Si definisce suscettività magnetica χm

di una sostanza

• La definizione precedenteè quella "logica" ma èdifferente da quella realein funzione del campo H• Lo vedremo in seguito

BBkTμ

0 1 2 3 4

BNμ

0

m

tanh BB

Bm N

kTμ

μ=2BNkTBμ

≈2 2

0

6 e

e ZRNm

= −m B

m0

χμ

=B

M


Densità di corrente superficiali• Richiamiamo la definizione di densità di corrente superficiale (vedi diapositiva )• Per definizione la corrente è il flusso della

densità di corrente

• Supponiamo per semplicità che il conduttore sia un parallelepipedo orientato come in figura• Per semplicità supponiamo che la densità

di corrente J non vari nella direzione y• Il flusso di J attraverso la faccia rettangolare L×d posta a y = y0 è dato da

• Definiamo la densità superficiale di corrente K

• La corrente trasportata dal conduttore è pertanto

( ) ˆS

I da= ⋅∫ J r nx

y

z

0yd

L

( ) ˆ,S

I x z da= ⋅∫ J n ( )0 0

ˆ,L d

dx x z dz⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ J n

( ) ( )0

,d

x x z dz= ∫K J

( )0

ˆL

I x dx= ⋅∫ K n

113334

n̂

Se K non dipende da x I KL=


Densità di corrente superficiali• Riscriviamo la formula per il potenziale vettore in funzione della densità superficiale di corrente (vedi diapositiva )

• L'integrale è esteso a tutto lo spazio• Ovviamente contribuiscono solo le regioni in cui J ≠ 0• Se il conduttore è molto sottile, al limite infinitesimo è conveniente

utilizzare la densità superficiale di corrente

• Per completezza diamo anche la formula del potenziale vettore nel caso di una corrente trasportata da un conduttore di sezione infinitesima ( L → 0 )

79379

( ) ( )0

4dV

μπ

′′=

′−∫J r

A rr r

x

y

z

d

L

( ) ( )0

,d

x x z dz= ∫K J ( ) ( )0

4da

μπ

′′=

′−∫K r

A rr r

da dx dy′ ′ ′=

( )S

da= ∫I J r ( ) ( )0

4dl

μπ

′′=

′−∫I r

A rr r

0

4I dμπ

′=

′−∫ lr r


i

Campo B da materia magnetizzata• Consideriamo un blocco di materia uniformementemagnetizzato• Per semplicità supponiamo che la magnetizzazione M

sia diretta lungo l'asse z• Non ci preoccupiamo di come la magnetizzazione

sia causata o mantenuta• Ricordiamo che la magnetizzazione M è la somma dei contributi di tutti i dipoli magnetici elementari contenuti nel blocco di materia

• Suddividiamo adesso il blocco in "fette" di spessore dz e perpendicolari a M• Possiamo ulteriormente suddividere la fetta in

tanti piccoli "cubetti"• Il momento di dipolo del cubetto è

• Sappiamo che ogni momento di dipolo è equivalentead una spira di area da e corrente i

• Da cui otteniamo

M

M

dz

da

dzm

dV=m M dadz= M

m ida= ( )Mdz da=i Mdz=


Campo B da materia magnetizzata• Osserviamo che, dato che la magnetizzazione

M è costante, tutte le correnti delle piccolespire sono uguali fra di loro

• Inoltre osserviamo che nella parte interna della "fetta" le correnti delle piccole spire si elidono• Tuttavia le correnti ai bordi non si elidono• Per la discontinuità del materiale• In definitiva l'intera "fetta" di materiale

genera lo stesso momento magnetico diun "nastro" di corrente superficiale i

• L'intero blocco è equivalente ad una densitàsuperficiale di corrente

i Mdz=

i

0

L

I Mdz= ∫L

=K M0

L

I Kdz= ∫ =K M


Campo B da materia magnetizzata• Il campo magnetico generato dal materialemagnetizzato all'esterno del blocco è

• Si tratta di un campo macroscopico• Non bisogna andare molto vicini alla superficie• Molto vicino significa a distanze dell'ordine delle dimensioni atomiche

• Consideriamo adesso il campo all'interno del blocco• Si tratta di una discussione analoga a quella del campo

elettrico all'interno del dielettrico (diapositiva 272, I parte)• In quel caso avevamo utilizzato il fatto che il campo elettrostatico è conservativo

• Si potrebbe dimostrare che il campo B generato dalla corrente superficiale Kè uguale alla media del campo microscopico B′ all'interno del blocco• Il campo B′ è quello generato dai dipoli magnetici atomici• È un campo con forti variazioni spaziali all'interno della materia• A livello macroscopico è importante la media spaziale• Per questa dimostrazione si utilizza il fatto che B è solenoidale

K M=( ) ( )

0

4da

μπ

′′=

′−∫K r

A rr r

= ×B A∇


Correnti di magnetizzazione• Abbiamo visto che gli effetti della magnetizzazione possono essere descritti introducendo una densità superficiale di corrente K = M• Dimostreremo che questo risultato si può

esprimere in generale come

• Il versore n è la normale alla superficie• È facile verificare che per M costante la formula riproduce il risultato che abbiamo utilizzato fino ad ora

• Se la magnetizzazione non è uniforme compaiono anche correnti all'interno del volume della materia magnetizzata• Per dimostrarlo consideriamo un blocco di

materiale suddiviso in tanti blocchetti• La magnetizzazione può essere consideratauniforme in ogni blocchetto• Assumiamo che sia diretta lungo l'asse z•M varia spostandosi lungo l'asse y

K M=

ˆ= ×K M n

y

x

z

zΔyΔ

n̂n̂

M


Correnti di magnetizzazione• Ogni blocchetto può essere sostituito da una spira percorsa da una corrente

• La corrente nella prima spira è

• La corrente nella seconda spira è

• La differenza fra le correnti delle spire genera una corrente Δi lungo x

• Analogamente una componente della magnetizzazione lungo y che varia lungo z genera un altro contributo di corrente lungo x

y

x

z

zΔyΔ

zi M z= Δ

( ) ( )zi y M y z= Δ

( ) ( )zi y y M y y z+ Δ = + Δ Δ ( ) zz

MM y z y z

y∂

≈ Δ + Δ Δ∂

( ) ( )i i y y i yΔ = + Δ −

iΔ

( ) ( )zz z

MM y z y z M y z

y∂

= Δ + Δ Δ − Δ∂

zMi y zy

∂Δ = Δ Δ

∂

yMi y zz

∂Δ = − Δ Δ

∂


Correnti di magnetizzazione• Riassumiamo il risultato

• Sappiamo che una corrente è il risultato del flusso di una densità di corrente attraverso una superficie• La corrente che abbiamo calcolato è nella direzione x• Perpendicolare alla superficie ΔyΔz• Definisce la componente x del vettore densità di corrente

• Occorre osservare che questa corrente è il risultato dell'orientamento dei dipoli atomici• Una situazione analoga a quanto avveniva in elettrostaticaper le cariche di volume ρP = −∇⋅P• A volte si usa anche l'aggettivo legato (bound)

yzMM

i y z y zy z

∂∂Δ = Δ Δ − Δ Δ

∂ ∂

yzMM

i y zy z

⎛ ⎞∂∂ ⎟⎜ ⎟Δ = − Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠xJ y z= Δ Δ yz

x

MMJ

y z

∂∂= −

∂ ∂

M× =M J∇

× = bM J∇


Campo B da materia magnetizzata• Anche nel caso appena descritto il campo magnetico generato dalla magnetizzazione si può calcolare utilizzando le formule introdotte per il campo magnetico generato da correnti reali• Ricaviamo adesso in modo più formale (matematico) le relazioni che abbiamo ricavato con ragionamenti fisici• Supponiamo di avere un blocco di materia magnetizzata

caratterizzata con un vettore di magnetizzazione M(r)• Consideriamo un elemento di volume dv′• Ha un momento magnetico

• Ricordiamo il potenziale vettore di un dipolonell'approssimazione di grande distanza (diapositiva )

• Il potenziale vettore di tutto il corpo si calcola integrando

( )d dv′ ′=m M r

80696

x

y

z ′rr

dv ′

03

( )4 r

μπ

= ×r

A r m

03

( )4

dμπ

′−= ×

′−∫ r rA r m

r r0

3( )

4dv

μπ

′−′ ′= ×′−∫ r r

M rr r

03

( )4

d dμπ

′−= ×

′−

r rA r m

r rDipolo nell'origine Dipolo in r′


Campo B da materia magnetizzata

• Utilizziamo la relazione• L'operatore ∇′ agisce sulla variabile r′

• Utilizziamo la identità (vedi diapositiva )

• Il primo integrale permette di introdurre JM

03

( ) ( )4

dvμπ

′−′ ′= ×′−∫ r r

A r M rr r

3

1′− ′=′−′−

r rr rr r

∇

0 1( ) ( )

4dv

μπ

′ ′ ′= ×′−∫A r M r

r r∇

( )( )0 1( )

4dv

μπ

′ ′ ′= ×′−∫A r M r

r r∇

113655

( ) ( ) ( )f f f× = × − ×C C C∇ ∇ ∇ ( ) ( ) ( )f f f× = × − ×C C C∇ ∇ ∇

0 ( )

4dv

μπ

′′ ′− ×

′−∫ M rr r

∇

( )( ) M( )1dv dv

′′ ′ ′ ′× =

′ ′− −∫ ∫J r

M rr r r r

∇M× =M J∇


Campo B da materia magnetizzata

• Per il secondo integrale utilizziamo la relazione

• Otteniamo

• Definiamo

• Otteniamo infine

0 ( )

4dv

μπ

′′ ′− ×

′−∫ M rr r

∇0 M( )( )4

dvμπ

′′=

′−∫J r

A rr r

S

dv da′× = ×∫ ∫A n A∇

0 0( ) ( )

4 4 S

dv daμ μπ π

′ ′ ′×′ ′ ′− × =′ ′− −∫ ∫M r M r n

r r r r∇

( ) ( )′ ′ ′= ×K r M r n

0 M 0( ) ( )( )

4 4 S

dv daμ μπ π

′ ′′ ′= +

′ ′− −∫ ∫J r K r

A rr r r r

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