elettromagnetismo 2 (2019-2020);4ragusa/2019-2020/elettromagnetismo... · 2020-05-04 · Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 321 Paramagnetismo • Abbiamo visto che un dipolo

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2019/2020

Elettromagnetismo

Paramagnetismo. Campo B della materia magnetizzata

Discontinuità del campo magneticoIl campo H. Suscettività magnetica

Ferromagnetismo

Lezione n. 34 – 4.05.2020

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 320

Paramagnetismo• Abbiamo descritto l'effetto del campo magnetico legato al moto orbitale degli elettroni• Abbiamo notato che quasi tutte le sostanze (molecole) hanno un momento

angolare orbitale nullo• Abbiamo inoltre notato che gli elettroni posseggono un momento angolare

intrinseco (spin) la cui proiezione lungo un asse assume due soli valori: ± /2• Il momento magnetico intrinseco dell'elettrone è

• Per il principio di esclusione di Pauli gli elettroni tendonoa disporsi in coppie con momento angolare nullo• Anche il momento magnetico sarà nullo

• In alcune molecole il numero di elettroni è dispari (ad es. NO) oppure la configurazione elettronica è tale da non avere la cancellazione dello spin per due elettroni (O2) • In queste sostanze un campo magnetico esterno può allineare i momenti

magnetici e far comparire un momento di dipolo• Nello stesso verso del campo magnetico applicato• Nel verso opposto rispetto al diamagnetismo

2 e

em

m= ± Bμ= ± μB magnetone di Bohr249.3 10 J/TBμ

−= ×


Paramagnetismo• Abbiamo visto che un dipolo magnetico in un campo magnetico B possiede un'energia potenziale data da

• In meccanica quantistica avviene la stessa cosa, ad esempio per lo spin di un elettrone atomico • La proiezione del momento magnetico lungo B può avere solo 2 valori: m = ±μB

• In un materiale a temperatura T gli elettroni hanno un'energia di agitazione termica ∼KT• Il numero di elettroni che hanno un determinato valore

del momento magnetico si calcola utilizzando la statistica di Boltzmann

• Introducendo le energie dalla tabella

• a si determina imponendo che il numero totale di elettroni sia N

U = − ⋅m B

B

U

0

BU Bμ= ±

2zj = +

2zj = −

exp /n a U kT⎡ ⎤= −⎣ ⎦

jz m U

up + /2 −μB

μBB

down − /2 +μB

−μBB

�

down exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= +⎣ ⎦up exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= −⎣ ⎦

up downn n N+ =


Paramagnetismo

• Calcoliamo la costante a

• Il momento magnetico degli N elettroni si calcola con la somma

up exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ down exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= +⎣ ⎦

up downn n N+ = ( )/ /B BB kT B kTa e e Nμ μ− ++ =

/ /B BB kT B kT

Nae eμ μ− +

=+

up up down downm n m n m= +

jz m U

up + /2 −μB

μBB

down − /2 +μB

−μBB

�

( ) ( )up downB Bn nμ μ= − + +

/ /

/ /

B B

B B

B kT B kT

b B kT B kT

e em N

e e

μ μ

μ μμ

+ −

− +

−=

+

tanh Bb

Bm N

kTμ

μ=BBkTμ

0 1 2 3 4

BNμ

0

m


Paramagnetismo• La formula che abbiamo trovato fornisceil momento magnetico di un blocco dimateria con N elettroni• Ricordiamo che il momento magnetico

degli elettroni era "quantizzato" nelladirezione del campo magnetico B• È nello stesso verso di B

• Osserviamo che per campi B molto elevati o temperature basse il momento magneticoindotto satura• Tutti i momenti degli spin si allineano nello stesso senso di B

• Per campi magnetici dell'ordine di 1T e temperatura ambiente

• Questo è il risultato che si ottiene se si assume che il dipolo magnetico può assumere tutti i valori di energia fra −μBB e +μBB

tanh Bb

Bm N

kTμ

μ=

BBkTμ

0 1 2 3 4

BNμ

0

m

up exp /Bn a B kTμ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 0→ tanh 1BBkTμ

→

0.02BBkTμ

∼ tanh B BB BkT kTμ μ

≈2BN B

mkTμ

≈

2 e

egm−

=m SNB


Paramagnetismo• La teoria descritta può essere estesa anche ad atomi e molecole con configurazioni di momento angolare più complicate• Il grafico mostra l'accordo fra calcoli teorici

basati sui concetti descritti e dati sperimentali• Per atomi con momento angolare

J = 3/2, 5/2, 7/2• Va sottolineato che la teoria che abbiamo

discusso descrive i concetti fondamentalinecessari per descrivere il paramagnetismo• Tuttavia per una trattazione rigorosache riproduca esattamente i dati sperimentalioccorre esaminare in maggiore dettaglioil momento angolare delle sostanze che si vogliono descrivere

• Analisi del genere sono al di là degli obbiettivi del corso• Il ferromagnetismo è un fenomeno legato anch'esso allo spin dell'elettrone• La descrizione microscopica del fenomeno è molto complicata• Daremo dei cenni dopo la trattazione fenomenologica del magnetismo nella

materia

BT

B

mμ


Magnetizzazione e suscettività• Abbiamo visto che in presenza di campi magnetici esterni nella materia vengono indotti momenti di dipolo magnetico• Possono essere paralleli (paramagnetismo, ferromagnetismo) oppure

anti-paralleli (diamagnetismo)• Come nel caso del campo elettrico, per descrivere il magnetismo nella materia si introducono delle quantità macroscopiche• Le quantità macroscopiche si calcolano a partire dalle corrispondenti quantità

microscopiche realizzando delle medie spaziali• Su volumi grandi se confrontati con i volumi atomici• Su volumi piccoli se confrontati con i volumi tipici del sistema macroscopico

• La prima quantità importante (Magnetizzazione) viene introdotta per descrivere il momento magnetico indotto in un volume ΔV di materia• Si definisce magnetizzazione il momento magnetico totale per unità di volume• Il momento magnetico dovuto ai dipoli atomici

• Nel caso generale la magnetizzazione è una funzione della posizione: M(r)• Le unità di misura

1k

kV

=Δ ∑M m

2Am⎡ ⎤ =⎣ ⎦m 1Am−⎡ ⎤ =⎣ ⎦M1JT−= 1 3JT m− −=


Magnetizzazione e suscettività• Consideriamo adesso materiali diamagnetici o paramagnetici • A temperature non troppo basse e campi magnetici non troppo intensi• Abbiamo visto che in entrambi i casi i momenti di dipolo magnetico indotti

dipendono linearmente dal campo B

• Se nelle formule precedenti N diventa unadensità di elettroni per unita di volume leespressioni danno la magnetizzazione• Si definisce suscettività magnetica χm

di una sostanza

• La definizione precedenteè quella "logica" ma èdifferente da quella realein funzione del campo H• Lo vedremo in seguito

BBkTμ

0 1 2 3 4

BNμ

0

m

tanh BB

Bm N

kTμ

μ=2BNkTBμ

≈2 2

0

6 e

e ZRNm

= −m B

m0

χμ

=B

M


Densità di corrente superficiali• Richiamiamo la definizione di densità di corrente superficiale (vedi diapositiva )• Per definizione la corrente è il flusso della

densità di corrente

• Supponiamo per semplicità che il conduttore sia un parallelepipedo orientato come in figura• Per semplicità supponiamo che la densità

di corrente J non vari nella direzione y• Il flusso di J attraverso la faccia rettangolare L×d posta a y = y0 è dato da

• Definiamo la densità superficiale di corrente K

• La corrente trasportata dal conduttore è pertanto

( ) ˆS

I da= ⋅∫ J r nx

y

z

0yd

L

( ) ˆ,S

I x z da= ⋅∫ J n ( )0 0

ˆ,L d

dx x z dz⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ J n

( ) ( )0

,d

x x z dz= ∫K J

( )0

ˆL

I x dx= ⋅∫ K n

113334

n

Se K non dipende da x I KL=


Densità di corrente superficiali• Riscriviamo la formula per il potenziale vettore in funzione della densità superficiale di corrente (vedi diapositiva )

• L'integrale è esteso a tutto lo spazio• Ovviamente contribuiscono solo le regioni in cui J ≠ 0• Se il conduttore è molto sottile, al limite infinitesimo è conveniente

utilizzare la densità superficiale di corrente

• Per completezza diamo anche la formula del potenziale vettore nel caso di una corrente trasportata da un conduttore di sezione infinitesima ( L → 0 )

79389

( ) ( )0

4dV

μπ

′′=

′−∫J r

A rr r

x

y

z

d

L

( ) ( )0

,d

x x z dz= ∫K J ( ) ( )0

4da

μπ

′′=

′−∫K r

A rr r

da dx dy′ ′ ′=

( )S

da= ∫I J r ( ) ( )0

4dl

μπ

′′=

′−∫I r

A rr r

0

4I dμπ

′=

′−∫ lr r


i

Campo B da materia magnetizzata• Consideriamo un blocco di materia uniformementemagnetizzato• Per semplicità supponiamo che la magnetizzazione M

sia diretta lungo l'asse z• Non ci preoccupiamo di come la magnetizzazione

sia causata o mantenuta• Ricordiamo che la magnetizzazione M è la somma dei contributi di tutti i dipoli magnetici elementari contenuti nel blocco di materia

• Suddividiamo adesso il blocco in "fette" di spessore dz e perpendicolari a M• Possiamo ulteriormente suddividere la fetta in

tanti piccoli "cubetti"• Il momento di dipolo del cubetto è

• Sappiamo che ogni momento di dipolo è equivalentead una spira di area da e corrente i

• Da cui otteniamo

M

M

dz

da

dzm

dV=m M dadz= M

m ida= ( )Mdz da=i Mdz=


Campo B da materia magnetizzata• Osserviamo che, dato che la magnetizzazione

M è costante, tutte le correnti delle piccolespire sono uguali fra di loro

• Inoltre osserviamo che nella parte interna della "fetta" le correnti delle piccole spire si elidono• Tuttavia le correnti ai bordi non si elidono• Per la discontinuità del materiale• In definitiva l'intera "fetta" di materiale

genera lo stesso momento magnetico diun "nastro" di corrente superficiale i

• L'intero blocco è equivalente ad una densitàsuperficiale di corrente

i Mdz=

i

0

L

I Mdz= ∫L

=K M0

L

I Kdz= ∫ =K M


Campo B da materia magnetizzata• Il campo magnetico generato dal materialemagnetizzato all'esterno del blocco è

• Si tratta di un campo macroscopico• Non bisogna andare molto vicini alla superficie• Molto vicino significa a distanze dell'ordine delle dimensioni atomiche

• Consideriamo adesso il campo all'interno del blocco• Si tratta di una discussione analoga a quella del campo

elettrico all'interno del dielettrico (diapositiva 272, I parte)• In quel caso avevamo utilizzato il fatto che il campo elettrostatico è conservativo

• Si potrebbe dimostrare che il campo B generato dalla corrente superficiale Kè uguale alla media del campo microscopico B′ all'interno del blocco• Il campo B′ è quello generato dai dipoli magnetici atomici• È un campo con forti variazioni spaziali all'interno della materia• A livello macroscopico è importante la media spaziale• Per questa dimostrazione si utilizza il fatto che B è solenoidale

K M=( ) ( )

0

4da

μπ

′′=

′−∫K r

A rr r

= ×B A∇


Correnti di magnetizzazione• Abbiamo visto che gli effetti della magnetizzazione possono essere descritti introducendo una densità superficiale di corrente K = M• Dimostreremo che questo risultato si può

esprimere in generale come

• Il versore n è la normale alla superficie• È facile verificare che per M costante la formula riproduce il risultato che abbiamo utilizzato fino ad ora

• Se la magnetizzazione non è uniforme compaiono anche correnti all'interno del volume della materia magnetizzata• Per dimostrarlo consideriamo un blocco di

materiale suddiviso in tanti blocchetti• La magnetizzazione può essere consideratauniforme in ogni blocchetto• Assumiamo che sia diretta lungo l'asse z•M varia spostandosi lungo l'asse y

K M=

ˆ= ×K M n

y

x

z

zΔyΔ

nn

M


Correnti di magnetizzazione• Ogni blocchetto può essere sostituito da una spira percorsa da una corrente

• La corrente nella prima spira è

• La corrente nella seconda spira è

• La differenza fra le correnti delle spire genera una corrente Δi lungo x

• Analogamente una componente della magnetizzazione lungo y che varia lungo z genera un altro contributo di corrente lungo x

y

x

z

zΔyΔ

zi M z= Δ

( ) ( )zi y M y z= Δ

( ) ( )zi y y M y y z+ Δ = + Δ Δ ( ) zz

MM y z y z

y∂

≈ Δ + Δ Δ∂

( ) ( )i i y y i yΔ = + Δ −

iΔ

( ) ( )zz z

MM y z y z M y z

y∂

= Δ + Δ Δ − Δ∂

zMi y zy

∂Δ = Δ Δ

∂

yMi y zz

∂Δ = − Δ Δ

∂


Correnti di magnetizzazione• Riassumiamo il risultato

• Sappiamo che una corrente è il risultato del flusso di una densità di corrente attraverso una superficie• La corrente che abbiamo calcolato è nella direzione x• Perpendicolare alla superficie ΔyΔz• Definisce la componente x del vettore densità di corrente

• Occorre osservare che questa corrente è il risultato dell'orientamento dei dipoli atomici• Una situazione analoga a quanto avveniva in elettrostaticaper le cariche di volume ρP = −∇⋅P• A volte si usa anche l'aggettivo legato (bound)

yzMM

i y z y zy z

∂∂Δ = Δ Δ − Δ Δ

∂ ∂

yzMM

i y zy z

⎛ ⎞∂∂ ⎟⎜ ⎟Δ = − Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠xJ y z= Δ Δ yz

x

MMJ

y z

∂∂= −

∂ ∂

M× =M J∇

× = bM J∇


Campo B da materia magnetizzata• Anche nel caso appena descritto il campo magnetico generato dalla magnetizzazione si può calcolare utilizzando le formule introdotte per il campo magnetico generato da correnti reali• Ricaviamo adesso in modo più formale (matematico) le relazioni che abbiamo ricavato con ragionamenti fisici• Supponiamo di avere un blocco di materia magnetizzata

caratterizzata con un vettore di magnetizzazione M(r)• Consideriamo un elemento di volume dv′• Ha un momento magnetico

• Ricordiamo il potenziale vettore di un dipolo nellaapprossimazione di grande distanza (dia. )

• Il potenziale vettore di tutto il corpo si calcola integrando

( )d dv′ ′=m M r

806100x

y

z ′rr

dv ′

03

( )4 r

μπ

= ×r

A r m

03

( )4

dμπ

′−= ×

′−∫ r rA r m

r r0

3( )

4dv

μπ

′−′ ′= ×′−∫ r r

M rr r

03

( )4

d dμπ

′−= ×

′−

r rA r m

r rDipolo nell'origine Dipolo in r′


Campo B da materia magnetizzata

• Utilizziamo la relazione• L'operatore ∇′ agisce sulla variabile r′

• Utilizziamo la identità (vedi diapositiva )

• La forma del primo integrale suggerisce di introdurre• Ha la forma del potenziale vettore generato da unadensità di corrente volumica

• Otteniamo

03

( ) ( )4

dvμπ

′−′ ′= ×′−∫ r r

A r M rr r

3

1′− ′=′−′−

r rr rr r

∇

0 1( ) ( )

4dv

μπ

′ ′ ′= ×′−∫A r M r

r r∇

( )( )0 1( )

4dv

μπ

′ ′ ′= ×′−∫A r M r

r r∇

113655

( ) ( ) ( )f f f× = × − ×C C C∇ ∇ ∇ ( ) ( ) ( )f f f× = × − ×C C C∇ ∇ ∇

0 ( )4

dvμπ

′′ ′− ×

′−∫ M rr r

∇

( )( ) M( )1dv dv

′′ ′ ′ ′× =

′ ′− −∫ ∫J r

M rr r r r

∇

M = ×J M∇


Campo B da materia magnetizzata

• Per il secondo integrale utilizziamo la relazione†

• Otteniamo

• Ha la forma del potenziale A generato da una densità di corrente superficiale• Definiamo

• Otteniamo infine

• †Vedi Griffiths D. – Introduction to electrodynamics, 3° ed. – esercizio 1.60b

0 ( )

4dv

μπ

′′ ′− ×

′−∫ M rr r

∇0 M( )( )4

dvμπ

′′=

′−∫J r

A rr r

S

dv da′× = ×∫ ∫A n A∇

0 0( ) ( )

4 4 S

dv daμ μπ π

′ ′ ′×′ ′ ′− × =′ ′− −∫ ∫M r M r n

r r r r∇

( ) ( )′ ′ ′= ×K r M r n

0 M 0( ) ( )( )

4 4 S

dv daμ μπ π

′ ′′ ′= +

′ ′− −∫ ∫J r K r

A rr r r r


Discontinuità del campo magnetico• Nello studio del campo elettrico avevamo osservato che il campo elettrico è discontinuo quando si attraversa una densità superficiale di carica σ• La componente normale del campo è discontinua: E1n – E2n = σ/ε0

• Anche il campo magnetico è discontinuo quando si attraversa una densità superficiale di corrente• Per il campo magnetico la discontinuità riguarda la componente tangenziale• Consideriamo una densità di corrente superficiale K• Consideriamo il cammino chiuso in figura• Il senso di percorrenza del cammino eil verso di K sono legati dalla regoladella vite destrorsa

• Applichiamo la legge di Ampère

• Assumiamo che il tratto verticale sia di lunghezza trascurabile

• Otteniamo pertanto

0C S

d dμ⋅ = ⋅∫ ∫B l J a

1t 2tC

d B L B L⋅ = −∫ B l inoltre0

L

Sd Kdl⋅ =∫ ∫J a KL=

1t 2t 0B L B L KLμ− = 1t 2t 0B B Kμ− =

K

L

1B

2B


Discontinuità del campo magnetico• Studiamo adesso il comportamento della componente normale• Dimostriamo che la componente normale si conserva• Ricordiamo che nel caso del campo elettrostatico era la componente tangenziale che si conservava

• Consideriamo ancora una volta una densità di corrente superficiale K• In questo caso consideriamo la superficie chiusa indicata in figura• Utilizziamo la proprietà che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è nullo

• Assumiamo che il contributo dellasuperficie laterale sia trascurabile

• Le due condizioni che abbiamo visto possono essere sintetizzate in un'unica relazione vettoriale

• Osserviamo che non ha componente normale alla superficie• La componente normale di B è continua

0Sd⋅ =∫ B a

1n 2n 0B A B A− =

K

A1B

2B

1n 2nB B=

sopra sotto 0ˆμ− = ×B B K n Il verso di definisce "sopra" e "sotto"

ˆ×K n

n

ˆ ˆ( ) 0× ⋅ =K n n


Discontinuità del campo magnetico• Illustriamo la relazione che lega la discontinuità alla eventuale densità di corrente superficiale

• Possiamo costruire localmente una terna di versori• La normale alla superficie• La direzione dell'eventuale corrente superficiale• Il versore perpendicolare agli altri due• Il prodotto

è nella direzione del versore• La componente tangenziale Bt è inquesta direzione

• Nella differenza Bsopra – Bsotto le componenti normali si elidono• Sono uguali (continue)• L'eventuale discontinuità di B è

nella componente tangenziale• È determinata dalla densitàdi corrente superficiale K

BnB

tB

n

p s

ˆK=K s

sopra sotto 0ˆμ− = ×B B K n

p

ns

ˆ ˆ ˆK× = ×K n s np

K

A1B

2B


Discontinuità del campo magnetico• Come per il campo elettrico anche per il campo magnetico si ha che il potenziale vettore è continuo• In realtà c'è un'arbitrarietà• Infatti abbiamo visto che il potenziale vettore A non è univocamente determinato• La sostituzione A → A + ∇f dà lo stesso campo B• Utilizzando questa arbitrarietà si può sempre richiedere che ∇⋅A = 0• In questo caso si dimostra facilmente

che la componente normale è continua• Anche la componente tangenziale è continua • Infatti per il teorema di Stokes

• Se l'altezza del rettangolo scelto come cammino è infinitesima allora Φ = 0

• Si dimostra come di consueto che• Per finire si può dimostrare che

1 2=n nA A

K

1A

2A

Cd⋅∫ A l

Sd= × ⋅∫ A a∇

Sd= ⋅∫ B a

K

L

1A

2A

= Φ

1t 2t=A A

1 20n n

μ∂ ∂

− = −∂ ∂A A

K


Boundary conditions su A• Illustriamo l'ultima condizione sulla derivata normale• Il vettore A può essere scomposto lungo tre direzioni perpendicolari• La normale alla superficie• Due direzioni tangenti alla superficie• La direzione di una eventuale densità superficiale di corrente K• La direzione perpendicolare a e

• Il vettore A ha tre componenti: An, As e Ap

• La condizione enunciata nella diapositivaprecedente dice che • Le derivate normali di An e Ap sono continue• La derivata normale di Aè discontinua e nella direzione s• È la direzione della densità di

corrente superficiale K• Si ha pertanto

AnA

sApA

n

p sˆK=K s

n

sp n s

1s 2s0

A AK

n nμ

∂ ∂− = −

∂ ∂


Esempio: campo B del solenoide• Verifichiamo le condizioni di discontinuità appena enunciate per un solenoide• Consideriamo un solenoide infinito• Ci sono n spire per unità di lunghezza• La corrente di una spira I• Il campo di induzione magnetica B è nullo all'esterno• All'interno vale• La corrente trasportata dalle spire può essere considerata una corrente superficiale parallela alla superficie del cilindro• La normale alla superficie è il versore• Abbiamo pertanto

• La componente di B perpendicolare alla superficie è nulla: Bρ = 0• È nulla sia all'interno che all'esterno: è continua• La componente di B parallela alla superficie è Bz

• È nulla all'esterno (Bz = 0) e vale Bz = μ0nI all'interno

• Verso positivo di indica "sopra"• Abbiamo pertanto verificato che

0 ˆznIμ=B e

xyz

ˆnI φ=K e

ˆρe

ˆ ˆ ˆnI φ ρ× = ×K n e e ˆznI= − e

ext int 0z zB B nIμ− = −

sopra sotto 0ˆμ− = ×B B K n

n


Il campo M è discontinuo• Il formalismo che abbiamo sviluppato fino ad ora permette di calcolare il campo magnetico quando si conosce la magnetizzazione M di un corpo

• In questa espressione l'integrale di superficie è calcolato sulla superficie del materiale magnetizzato• La magnetizzazione M(r) è diversa da zero all'interno del corpo• Nella derivazione avremmo potuto estendere l'integrale a tutto lo spazio• In particolare in regioni in cui M(r) = 0• In questo caso l'integrale di superficie è nullo• La formula diventa

• Osserviamo che in questo caso l'integrando non è sempre continuo• Sulla superficie dei corpi magnetizzati la magnetizzazione M è discontinua• Le derivate di una funzione discontinua producono delle funzioni singolari

(δ di Dirac) che riproducono il contributo delle correnti superficiali

0 M 0( ) ( )( )

4 4V S

dv daμ μπ π

′ ′′ ′= +

′ ′− −∫ ∫J r K r

A rr r r r M× =M J∇ ( ) ( )′ ′ ′= ×K r M r n

0 M( )( )4

dvμπ

′′=

′−∫J r

A rr r

0 ( )

4dv

μπ

′ ′× ′=′−∫ M r

r r∇


Il campo H• Il campo generato dalla magnetizzazione ha la stessa espressione matematica del campo generato da una corrente reale (vedi diapositiva )

• Possiamo pertanto includere il contributo della magnetizzazione nell'equazione di Maxwell che lega il campo alle correnti libere

• Abbiamo aggiunto il suffisso "f" per esplicitare quali sono le correnti dovute ad un reale trasposto di carica elettrica• Introducendo l'espressione per JM otteniamo

• Definiamo il campo H

• Notiamo che H non ha le dimensioni di B• Ha le dimensioni della magnetizzazione ( A m−1)

0 M( )( )4

dvμπ

′′=

′−∫J r

A rr r

79389

M = ×J M∇

0 fμ× =B J∇ ( )0 f Mμ× = +B J J∇

f0

1μ

× = + ×B J M∇ ∇ f0μ

× − × =B

M J∇ ∇ f0μ

⎛ ⎞⎟⎜× − =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠B

M J∇

0μ= −

BH M f× =H J∇


Il campo H• Il campo H ha nomi diversi in letteratura• Viene anche chiamato "campo magnetico"• Nel nostro corso abbiamo sempre chiamato campo magnetico il campo B• Chiameremo il nuovo campo "campo H"• Il campo H è analogo al campo D introdotto in elettrostatica• Lega il campo alle sorgenti esterne eliminando la dipendenza

esplicita dalle sorgenti indotte• A differenza del campo D il campo H è molto utile ed è usato nelle

applicazioni e nel lavoro sperimentale• La ragione sta nel fatto che la grandezza fisica che si controlla per generare un campo magnetico è la corrente

• Nel caso elettrostatico la grandezza fisica che si controlla sono le tensioni sui conduttori• Il campo D è invece legato alle densità di carica reali che non sono

facilmente controllabili

f× =H J∇ fC

i=∫ H

fρ⋅ =D∇


Il campo H• Come nel caso del campo elettrostatico anche adesso bisogna sottolineare che il campo H non può sostituire B• Per determinare completamente un campo vettoriale è necessario

definirne sia il rotore sia la divergenza• In generale la divergenza di H non è definita • Dipende dalla magnetizzazione

• Pertanto le equazioni necessarie per risolvere il problema sono

• Inoltre le opportune condizioni al contorno• Se nel problema sono presenti più materiali occorre imporre le discontinuità dei campi alle superfici di passaggio da un materiale all'altro

• Ricaviamo le condizioni per il campo H• Le condizioni per il campo B sono state ricavate utilizzando le equazioni

• Il rotore di H è formalmente identico al rotore di B e porterà a condizioni sulla componente tangenziale di H analoghe a quelle di B

• Abbiamo bisogno della divergenza di H

f× =H J∇ 0⋅ =B∇ ( )=B f H

0μ× =B J∇ 0⋅ =B∇


Suscettività e permeabilità magnetica• Per risolvere il problema abbiamo pertanto bisogno di conoscere una relazione fra B e H• Abbiamo visto la relazione che permette di trovare M in funzione di B• Abbiamo preannunciato (diapositiva ) che la relazione corretta è

• Ricordiamo la definizione di H

• Definiamo la permeabilità magnetica del materiale μ = μ0(1 + χm) = μ0μr

• Otteniamo

• Se μ è indipendente dalla posizione il mezzo è omogeneo• Se μ è indipendente da H il mezzo è lineare• Se il mezzo è diamagnetico μ/μ0 < 1, χm < 0• Se il mezzo è paramagnetico μ/μ0 > 1, χm > 0• Per i materiali ferromagnetici μ = μ(H)

977326

m0

χμ

=B

M mχ=M HNO!

0μ= −

BH M 0 0μ μ= +B H M 0 0 mμ μ χ= +H H ( )0 m1μ χ= + H

μ=B H


Il campo H• Calcoliamo la divergenza di H

• Otteniamo

• La condizione sulla componente tangenziale si ottiene come nel caso di B

• Per la componente normale calcoliamo il flusso di Hattraverso la superficie di un cilindro di altezza trascurabile• Abbiamo

• Contribuiscono solo le superfici circolari A

0μ= −

BH M

0μ⋅

⋅ = − ⋅B

H M∇∇ ∇

⋅ = − ⋅H M∇ ∇

fK

L

1H

2H

fC S

d d⋅ = ⋅∫ ∫H l J a

1t 2t fH H K− =

f× =H J∇

fK

A1H

2H

⋅ = − ⋅H M∇ ∇ ˆ ˆS S

da da⋅ = − ⋅∫ ∫H n M n

( )sopra sotto sopra sotto⊥ ⊥ ⊥ ⊥− = − −H H M M

1M

2M


Esempio: solenoide con nucleo• Consideriamo un lungo solenoide avvolto su un materiale lineare con suscettività χm

• Le spire per unità di lunghezza sono n• La corrente è I• Per la simmetria del problema le linee delcampo H sono parallele all'asse del cilindro• Il campo è nullo all'esterno• Utilizzando la legge di Ampère con il camminoin figura (la corrente esce dal piano)

• Usando la permeabilità del mezzo• Osserviamo che nel vuoto si ha B = μ0nI• L'effetto del mezzo è di generare un campo della stessa forma dovuto a una corrente χmnI

• La magnetizzazione è• Pertanto la corrente di magnetizzazione genera il campo magnetico aggiuntivo• Se il materiale è paramagnetico il campo è più intenso• Se il materiale e diamagnetico il campo è meno intenso

fC

i=∫ H

l

nlI= H l= H nI=

H

( )0 m1B Hμ χ= + ( )0 m1 nIμ χ= +

mχ=M H ˆ= ×K M n mK nIχ=

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