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Magnetostatica Campo B nei materiali
niB 00 Inseriamo un materiale
nel solenoide
Solenoide ideale
mB
B
0
m
niBB mm 00
0 m
Permeabilità magnetica relativa
Permeabilità magnetica assoluta
niB
Magnetostatica
Tutte le leggi della magnetostatica
valgono anche nei materiali
Solenoide ideale in presenza di un materiale
niB
Campo B nei materiali
r
usd
π
μiB r
2
ˆ
4
u
πR
μiB filo
ˆ2
econcatenatisdB
0
<<<<
<<<<
<<<<
<
<<<<<<<<
<<<<<<<
Magnetostatica
Suscettività magnetica
La variazione di campo dovuta alla presenza del mezzo è:
00 1)-( BBBB mm
Campo B nei materiali
1)-( mm
000 BBBBB mm
niniB m 00
Possiamo riscrivere il campo totale come:
Contributo della corrente
di conduzione
Contributo del mezzo
Magnetostatica Campo B nei materiali
nim0
E’ come se….
0ni
…. si sviluppassero delle correnti aggiuntive
nel materiale (correnti amperiane)
Campo magnetico.
Dipende dalla corrente di conduzione
ni H
Campo di magnetizzazione.
Dipende dal materiale
nim M
)(0 MHB
Magnetostatica Sostanze diamagnetiche
1m 0m1
0
B
B Il campo totale diminuisce
Correnti amperiane opposte alla
corrente di conduzione
Il materiale sente una
forza verso destraH
B
M
Magnetostatica Levitazione magnetica
Fg
Fm
N
S
N
S
Magnetostatica Sostanze paramagnetiche
1m 0m1
0
B
BIl campo totale aumenta
Correnti amperiane concordi
alla corrente di conduzione
Il materiale sente una forza
verso sinistraH
B
M
Magnetostatica Sostanze ferromagnetiche
1m dipende dal campo
)(0 MHB
HB
M 0
H
B
M
Anche se si spengono le correnti, resta
una magnetizzazione residua e quindi
un campo omagnetico
Magnetostatica Sostanze ferromagnetiche
Ciclo di isteresi
Magneti
permanenti
Elettromagneti
Magnetostatica Schermo magnetico
Magnetostatica Il vettore magnetizzazione
Materiale magnetizzato
E’ come se fosse costituito da
tanti piccoli dipoli magnetici
HM m
Materiale magnetizzato
E’ come la superficie del
materiale fosse percorsa da una
corrente di magnetizzazione im
mi
Magnetostatica Campi B ed H
condisdH
)(0 magcond iisdB
condisdH
condisdB 0
La circuitazione del vettore H
dipende solo dalle correnti di
conduzione
condisdB Nel vuoto Nel materiale
HB
0 HB
HM m
Elettrostatica e Magnetostatica Campi E/D e B/H
0 sdE
0
int
qdE
0
dB
isdB 0
Nel vuoto Nel materiale
lqdD
condisdH
Induzione MagneticaUna spira percorsa da corrente e immersa in un campomagnetico è soggetta ad un momento torcente.
una spira (senza corrente) soggetta a momentotorcente ed immersa in campo magnetico. Quando simuove che succede?
Comparirà una corrente nella spira. Il teorema che spiega questa situazione è descritto dalla Legge di Faraday.
I due esperimenti che saranno alla base della legge di Faraday sono i seguenti:
Abbiamo una spira collegata ad un
amperometro ed un magnete permanente.
Se entrambi sono fermi non si osserva
nessun passaggio di corrente. Tuttavia
appena avviciniamo il magnete alla spira (o
lo allontaniamo) compare una corrente.
I° ESPERIMENTO
Le osservazioni stabiliscono che:
C’è corrente solo se c'e un moto relativo
tra spira e magnete. La corrente
scompare se il moto relativo cessa
un movimento più veloce fornisce una
corrente più intensa
il verso della corrente dipende anche dal
segno del polo magnetico che si muove
Questa corrente che compare nellaspira si chiama indotta e attribuiamola corrente ad una f.e.m. nel circuitoche chiameremo f.e.m. indotta
I° ESPERIMENTO
II° ESPERIMENTO
Consideriamo due spire vicine tra loro unadelle quali e collegata ad un generatore dif.e.m. tramite un interruttore.
Appena colleghiamo la spira, se la corrente e
variabile con il tempo si osserva una f.e.m.
indotta sull'altra spira. Viceversa se la corrente
e stazionaria non c'e f.e.m indotta.
La legge di Faraday spiega le precedenti osservazioni mettendo in relazione la
quantità di linee di campo (ovvero il flusso) che attraversano la spira e in
particolare la variazione nel tempo di questa quantità con la f.e.m. indotta.
Legge dell'induzione di Faraday
Definiamo il flusso del campo magnetico
attraverso una superficie di area A (che è
quella della spira) AdBB
Legge dell'induzione di Faraday II
AdBB
Il flusso si misura in Weber
2mTWb
La f.e.m. indotta in una spira è uguale alla derivata temporale cambiata di segno del flusso magnetico
attraverso la spira
dt
d BE Da moltiplicare per N se abbiamo N spire sovrapposte
Questa variazione si può ottenere in diversi modi che producono sempreuna variazione di flusso nel tempo:
o B varia con il tempo;
o Varia l'area della spira o la parte di area
immersa nel campo magnetico;
o Varia l'orientazione della spira rispetto al
campo magnetico
o Varia l'area della spira o la parte di area
immersa nel campo magnetico
Legge di Lenz
La legge di Lenz è quella che motiva il segno meno, ed è dovuta al principio di conservazione dell'energia.
dt
d BE
La corrente indotta dalla spira ha un verso tale che il campo magnetico generato dalla stessa corrente indotta si oppone
alla variazione di campo magnetico che l'ha prodotta.
Se per assurdo non fosse così (ovvero la corrente indotta fosse favorevole)allora il campo magnetico dovuto alla corrente indotta sarebbe esattamenteparallelo al centro della spira a quello esterno.
Una spira percorsa da corrente èequivalente ad un dipolo magnetico, quindi inquesto caso la spira attirerebbe a se ilmagnete accelerandolo e quindi con unaumento di energia cinetica.
Se così fosse avremmo una violazione della conservazione dell'energia
Legge di Lenz II
Quindi se il flusso del campo magnetico attraverso la spira aumenta
Si genera una corrente nella spira tale che il campomagnetico prodotto da questa corrente genera unflusso attraverso la spira tale da opporsi allavariazione di flusso iniziale
Induzione e trasferimento di energia
Una spira (di resistenza equivalente R) viene estratta da una regione concampo magnetico B uniforme. Determiniamo la f.e.m. e la corrente i indottanella spira, ed il verso di percorrenza di i.
F.e.m. indotta (Faraday)
La corrente ha verso orario nella spira: ilflusso di B diminuisce, la legge di Lenzrichiede che la corrente indotta crei uncampo B’ che rafforzi BPotenza dissipata
R
BLviP
2
E
Chi compie lavoro? Vi è una forza efficace con verso dovuta alla corrente.
iLBBLiF
R
BLvviLBFvvFP
2)()(
La potenza in ingresso uguaglia lapotenza dissipata dalla resistenza
R
BLv
Ri
E
vBLdt
dxBL
dt
d B
E
Campi elettrici indottiCome possiamo interpretare la Legge di Faraday?
Consideriamo una qualunque spira (ad es. circolare) su cui un campo elettricocompia un lavoro sulle cariche. Il lavoro compiuto per far percorrere lungo uncircuito una carica q e’:
E qsdEqsdF
Se e’ una variazione del flusso del campo magnetico a fornire la forzaelettromotrice, allora il lavoro per unità di carica e’ esattamente:
dt
dsdE B
EUn campo magnetico variabile produce un campo elettrico!
L'affermazione vale anche se la spira conduttrice non c'e(la spira serve solo a manifestare la corrente) in quanto icampi permeano tutto la regione di spazio.
Attenzione: il campo elettrico prodotto dalla variazione di B ha caratterecompletamente differente dai campi elettrostatici. Quelli sono infatticonservativi, ossia godono della proprietà:
0 A
B
statico
B
A
staticostatico sdEsdEsdE
Campi elettrici indotti II
Tuttavia a differenza dei campi elettrostatici questi campi indotti hanno linee di campo circolari che si avvolgono attorno a B. Di conseguenza non partono da cariche ma si chiudono su se stesse.
dt
dsdE B
E
Il potenziale elettrico ha significato soltanto per i campi elettrici che sonoprodotti da cariche statiche; esso non ha alcun significato per i campi elettriciche sono prodotti da induzione
Mentre nel caso di campi elettrici indotti:
Campi variabili nel tempo Legge di Faraday Lentz
dt
Bdi
)(
Forza elettromotrice indotta
dBB)(
ii sdE
Campo elettrico indotto non conservativo
dt
Bd
RRi i )(1
dB
dt
d
dt
BdsdEi
)(
Campi variabili nel tempo Legge di Felici
dt
Bd
RRi i )(1
Rd
Rdttiq
t
t
21
2
1
2
1
1)(
q
Campi variabili nel tempo Generatori di corrente
Una spira rettangolare di lato b ruota con velocità angolare w costante attorno
ad un asse verticale, in un campo magnetico B uniforme e costante orizzontale,
perpendicolare all’asse di rotazione.
BvqFMN
BvqFPQ
Campi variabili nel tempo Generatori di corrente
vBbseni 2 tBsentBbsenb
i wwww 2
2
vBbsensdBvsdEN
M
N
M
iMN
)(
vBbsensdBvsdEN
M
Q
P
iPQ
)(
tsenR
Bi w
w
iMN EqBvqF
Campi variabili nel tempo Generatori di corrente
cos)(
BdBB
tBsendt
di ww
tsenR
εiεP i w2
2
max
Bε wmax
R
εP
2
2
max
P
P
Generatore Elettrico
Induttori ed InduttanzeIl dispositivo che produce un campo magnetico e immagazzina energiasotto forma di campo magnetico è detto induttore. Un prototipo di questoè il solenoide ed il simbolo dell'induttore (o induttanza) ricorda ilsolenoide
Se stabiliamo una corrente nell'induttore compare un campo magnetico al suo interno e di conseguenza un flusso di campo magnetico su se stesso. Definiamo come induttanza il rapporto i
NL B
Induttanza del Solenoide
Per il solenoide inB 0 ed è diretto secondo l’asse quindi
AinnlNBAN B 0)( AlnL 2
0
l
A è la sezione del solenoide
Auto-induzioneUna corrente indotta da un campo B variabile in un circuitopuò perturbare anche il circuito primario stesso (fenomenodi autoinduzione):
Per cui si ha:
LiB dt
d B -Ee
dt
diL-E
Di conseguenza se nel circuito cambia perqualche motivo la corrente esso autogenerauna f.e.m. che si oppone alla variazione.
Campi variabili nel tempo Toroide
r
NiB
20
)ln(22
2
00
R
bRaiNadr
r
NiN
bR
R
)ln(2
2
0
R
bRaNL
Campi variabili nel tempo Cavo coassiale
Fra i due conduttori πr
iμrB
2)( 0
ldrπr
iμBldrd
20
b
ar
dr
π
ilμ
20
a
b
π
ilμln
20
a
b
π
μL ln
20 Per unità di lunghezza
Circuiti RLConsideriamo il circuito in figura e supponiamo che, inizialmente ildeviatore si trovi nella posizione centrale. Supponiamo poi che a uncerto istante, t = 0, il deviatore venga commutato nella posizione a.
Come varia nel tempo la corrente i che scorre nel circuito? Comevariano nel tempo le differenze di potenziale ΔVL ?
dt
diLEL
Se all’istante t = 0 il circuito ècollegato in “a” si ha i (0) = 0.
Dalla Legge di Faraday deriva che se in una bobina varia l’intensità di corrente, si genera in essa un f.e.m. indotta (autoinduzione). Il coefficiente L varia con la geometria del circuito: L può venir fatta divenire grande (ad es., utilizzando una bobina), o resa piccola ma in generale non è mai nulla
Rappresentazione
grafica di L in un
circuito
Circuiti RL IIAnche un semplice circuito con una sola resistenza ha in realtà unapiccola autoinduttanza L, che genera una sorta di forza contro-elettromotrice. Applicando la Legge delle maglie::
0 LR VVE
Operando in maniera analoga al caso del circuito RC si ottiene:
L
Rt
eR
ti 1)(E
0dt
diLRiE
tL
R
R -eRiV 1E
tL
R
L edt
diLV
E
RL /
Prende il nome di Costante di Tempo induttiva del Circuito
Circuiti RL III
tL
R
tL
R
L
tL
R
R
eR
ti
etV
etV
1)(
)(
1)(
E
E
E
Ricapitolando:
Rti
tV
tV
t
tL
tR
E
E
)(
0)(
)(
Si noti che la caduta di potenziale ai capi dell’induttanza diminuisce nel tempo tendendo a 0.
Un’induttanza all’inizio si comporta in modo da contrastare la variazione di corrente che la
attraversa. Dopo un certo tempo di comporta come un conduttore di resistenza nulla (condizione di
corto circuito)
Avremo l’equazione :
Circuiti RL IV
0 RL VV 0 Ridt
diL
Operando in maniera analoga al caso del circuito RC si ottiene:
L
Rt
eR
ti
E
)(t
L
R
R eRiV
E
Supponiamo ora che, inizialmente, il deviatore si trovi nella posizionea. Ad un certo istante, t = 0, il deviatore venga commutato nellaposizione b , si ha Ri /)0( E
tL
R
tL
R
R
eR
ti
etV
E
E
)(
)(
0)(
0)(
t
tR
ti
tV
Ricapitolando:
Energia immagazzinata in B
2
02
1B
Ah
U
V
Uu
Mutua induttanzaAnalogamente all'auto induzione due spire vicine generano l'una sull'altra una f.e.m. indotta e viceversa.
Consideriamo due circuiti vicini. Se la corrente i1 nella bobina 1 varia col tempo,
nella seconda compare una corrente indotta i2.:
dt
dNadB
dt
dN
ondario
12
sec
2
E
Definiamo la mutua induttanza della
bobina 2 rispetto alla bobina 1:
1
21221
i
NM
212121 NiM
Quindi derivando rispetto al tempo di ricava:
221
21
21 E
dt
dN
dt
diM In maniera analoga Se la corrente i2 nella bobina 2
varia col tempo, nella bobina 1 compare una
corrente indotta i1 ed una forza elettromotrice:
dt
diM 2
121 E1221 MM
Coefficiente di mutua induzione
Trasduttori Elettromagnetici
Campi variabili nel tempo Breve sommario
0 sdE
0
int
qdE
0
dB
isdB 0
Condizioni stazionarie
0
int
qdE
0
dB
?????
Condizioni non stazionarie
dB
tsdE
Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell
Ricordiamo la Legge di Ampere
dJisdB 00
0
dJin condizioni stazionarie
La corrente netta attraverso una superficie chiusa è nulla
Legge di Ampere è valida solo in condizioni stazionarie, mentre nelle
condizioni “non stazionarie” la legge di Ampere sembra non valere.
dt
dqdSnJi
S
0
qdSnE
S
42
SS
dSnJdSndt
Ed
dt
dq
0
Legge di Ampere-Maxwell
00
S
dSndt
EdJ
Il vettore sTot JJdt
EdJJ
0
dt
EdJ s
0 Densità di corrente di spostamento
SS
ss dSndt
dEdSnJi
0 Corrente di spostamento
SS
Tot dSndt
dEJdSnJldB
000
In condizioni “non stazionarie” si ha quindi
43
Equazioni di Maxwell
S
dSndt
dEJldB
00 dSuB
dt
dldE
S
ni
0
qdSuE
S
n
0 dSuBS
n
Leggi di Gauss
Legge di Faraday-Henry Legge di Ampere-Maxwell
Campi magnetici variabili
generano campi elettriciCampi elettrici variabili
generano campi magnetici
