==Magnetostatique

Magnétostatique J.J. Herstain

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MagnétostatiqueMagnétostatiqueMagnétostatiqueMagnétostatique

Par Jean-Jacques HERSTAIN 02/10/2011

Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes) Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver

Dans tout ce chapitre, on travaille dans un référentiel galiléen et aucune grandeur ne varie au cours du temps.

11 PPrr oopprr iiééttééss dduu cchhaammpp mmaaggnnéétt iiqquuee

1.1 Théorème d’Ampère

L’équation de Maxwell Ampère rot o o

EB µ j

tε

∂= + ∂

��

devient en statique rot oB µ j=��

.

(Aucune grandeur ne dépend du temps) Elle est intégrée sur la surface S entourée par le contour Γ

rot o

S S

B dS j dSµ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫��

Le flux du vecteur densité de courant à travers la surface S, est l’intensité algébrique ie à travers S (ici 1 2ei i i= − ). On dit que ie est le courant enlacé par le contour Γ. D’après le Théorème de Stokes :

o eB dl µ iΓ

⋅ =∫��

� **

Théorème d’Ampère : La circulation du champ magnétique sur une courbe Γ fermée est égale au produit de la perméabilité du vide par l’intensité algébrique du courant traversant une surface (orientée) s’appuyant sur le contour Γ. Ce courant est appelé courant enlacé. La circulation du champ magnétique n’est conservative que sur un contour n’enlaçant aucun courant. Application: Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant permanent i. Tout plan passant par le fil est plan de symétrie. B

��

est un vecteur axial, il est donc perpendiculaire à ce plan : B��

est orthoradial. La symétrie axiale fait queB

��

ne dépend pas de θ.

D’où la circulation de B��

: 2B dl B dl rBπΓ Γ

⋅ = ⋅ =∫ ∫��

� �


2

Théorème d’Ampère : 2 o erB µ iπ = ie = i 2

oµ iB u

r θπ=��

(en remarquant que le courant traverse la surface portée par la spire dans le sens positif) avec i =1A, r =10cm, 74 10 . . .oµ U S Iπ −= B=2.10-6 T

(l’unité T : Tesla est définie plus loin, mais à titre de comparaison, le champ magnétique terrestre a pour ordre de grandeur 10-4 T ) ici le fil a été supposé infiniment fin, si on suppose maintenant qu’il s’agit d’un cylindre de rayon a et infiniment long, le raisonnement reste le même en un point situé à l’extérieur du cylindre.

A l’intérieur en revanche et si on suppose le courant uniformément réparti ( j�

uniforme) le

courant enlacé n’est plus que j.S c’est à dire 2

2e

ri i

a

ππ

= , la circulation est toujours 2 rBπ

On en déduit 22oµ r i

B ua θπ

=��

On note que le champ s’annule sur l’axe.

Remarque importante : D’une manière plus générale, le théorème d’Ampère permet de calculer un champ dans les deux cas suivants :

• Le problème est à symétrie cylindrique : Il y a invariance lors d’une rotation autour de l’axe de symétrie.

• Le problème est à symétrie plane. Il y a invariance lors d’une translation parallèlement au plan de symétrie.

Dans tout autre cas, il reste évidemment vrai, mais la circulation ne pouvant se calculer de manière simple, il est inadapté pour calculer le champ.

1.2 Flux du champ magnétique

1.2.1 flux conservatif

L’équation de Maxwell div 0B =��

On l’intègre sur le volume τ entouré par la surface fermée S.

div 0B dτ

τ⋅ =∫∫∫��

Théorème d’Ostrogradsky : 0S

B dS⋅ =∫∫��

�

Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul : le champ magnétique est à flux conservatif. ** Notamment, le flux du champ magnétique à travers un tube de champ est constant.


3

1.2.2 Potentiel vecteur

div 0B =��

implique rotB A=��

**

A��

est appelé potentiel vecteur Le flux de B

��

à travers la surface S limitée par le contour Γ est :

rotS S

B dS A dS⋅ = ⋅∫∫ ∫∫��

et d’après le théorème de Stokes :

S

B dS A dlΓ

⋅ = ⋅∫∫ ∫��

� **

Le flux de B��

à travers une surface S est égal à la circulation du potentiel vecteur sur le contour orienté limitant S. Remarque : dS��

est un vecteur axial, donc B dS⋅��

est un scalaire. A dl⋅��

est donc également un scalaire et le

potentiel vecteur A��

est un vecteur polaire comme dl��

.

1.2.3 Jauge de Coulomb

Les propriétés magnétiques de l’espace peuvent être décrites de manière équivalente par le

champ B��

ou par le champ A��

puisque rotB A=��

Supposons 1A A=��

connu en tout point du référentiel R

On en déduit B��

en tout point : 1 1rotB B A= =��

Considérons une fonction d’espace (champ de scalaires) ( ), ,x y zϕ arbitraire mais dérivable en

tout point.

Appelons 2 1 gradA A ϕ= +��

un nouveau potentiel vecteur et 2 2rotB A=��

le champ magnétique qui s’en déduit.

Alors 2 1B rot A rot gradϕ= +��

or 0rot gradϕ =��

donc 2 1B B=��

On peut donc ajouter le gradient de n’importe quelle fonction d’espace au potentiel vecteur A��

sans modifier la valeur du champ magnétique B

��

qui s’en déduit. Le potentiel vecteur est défini au gradient d’une fonction quelconque près. Par ailleurs :

2 1div div divA A gradϕ= +��

2 1div divA A ϕ= + ∆��

On peut choisir la fonction ϕ de sorte à ce que 1div Aϕ∆ = −��


4On fait alors un choix de potentiel vecteurs parmi une infinité qui décrivent de la même manière les propriétés magnétiques de l’espace.

Alors 2div 0A =��

C’est la condition de jauge de Coulomb div 0A =��

Elle sera adoptée dans toute la suite de la magnétostatique et est l’analogue de l’annulation de la constante dans le potentiel électrostatique. Signification de la jauge de Coulomb :

Le flux du potentiel vecteur est conservatif 0A dS⋅ =∫∫��

�

1.2.4 Exemple

A l’intérieur d’un cylindre de rayon a et de hauteur infinie, le champ B��

est uniforme et parallèle à l’axe du cylindre. A l’extérieur il est nul partout. En déduire le potentiel vecteur à une distance r de l’axe, à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre. B��

est un vecteur axial ; tout plan passant par l’axe du cylindre est donc un plan d’antisymétrie. A

��

est un vecteur polaire, il est donc normal à ce plan. A

��

est donc orthoradial et les lignes de champ de A��

sont circulaires. La circulation de A

��

sur un cercle C ayant même axe que le cylindre est égale au flux de B

��

à travers un disque limité par C :

si r<a 22 rA r Bπ π= 2

rA Buθ=��

si r>a 22 rA a Bπ π= 2

2

aA Bu

rθ=

��

1.2.5 Expression du potentiel vecteur

En statique rot oB µ j=��

comme rotB A=��

il vient ( )rot rot oA µ j=��

Calculons la composante de ( )rot rot A��

sur l’axe Ox d’un repère cartésien.

( )rot rot y x x z

x

A A A AA

y x y z z x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

��

( )2 2 2

2 2 2rot rot yx x x x z

x

AA A A A AA

y z x x x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − − − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

��


5On a utilisé le fait que les variables x, y, z sont indépendantes, l’ordre des dérivations peut donc être permuté.

( )rot rot divxx

A A Ax

∂ = −∆ + ∂

��

Des expressions analogues seraient obtenues sur Oy et sur Oz

d’où ( )rot rot grad divA A A= −∆ +��

**

formule mathématique qui pourra servir en d’autres occasions.

avec la jauge de Coulomb : div 0A =��

d’où oA µ j∆ = −��

Equation de Poisson de la magnétostatique

Projeté sur l’axe Ox : x o xA µ j∆ = −

à comparer à o

Vρε

∆ = − équation différentielle dont la solution est 4 oespace

dV

r

ρ τπε

= ∫∫∫

En remplaçant V par Ax, ρ par jx, et 1

par oo

εµ

on obtient :

4o x

x

espace

µ j dA

r

τπ

= ∫∫∫ Donc 4o

espace

µ jdA

r

τπ

= ∫∫∫�

��

r étant la distance entre l’élément de volume dτ et le point où on calcule le potentiel vecteur.

• Si j�

provient d’un courant dans un circuit filiforme de section s : alors d s dlτ = ⋅ , dl étant

un élément de longueur du circuit et ( )jd j s dl jsdl idlτ = ⋅ = =� � ��

d’où

4

oµ i dlA

rπ= ∫

��

**

• Si j�

provient d’un déplacement à la vitesse v�

de particules chargées :

Comme j vρ=� �

ρ étant la densité volumique de charges mobiles

alors jd vd dqvτ ρ τ= =� � �

4

oµ dqvA

rπ= ∫

��

ou 4

o i i

i i

µ q vA

rπ= ∑

��

ou pour une seule particule 4

oµ qvA

rπ=

��

1.2.6 Formule de Biot et Savart

Calculons au point M, dB��

la contribution au champ magnétique B��

de

l’élément de volume dτ contenant un vecteur densité de courant j�

.

rotdB dA=��

4 4yo oz

x

j dµ µj ddB

y r z r

ττπ π

∂ ∂ = − ∂ ∂

dττττ

A

j r


61 1

4o

x z y

µdB j j d

y r z rτ

π ∂ ∂ = − ∂ ∂

( j�

sort de la dérivée car il ne dépend pas de x, y, z coordonnées du point M)

et en remarquant que 1 1

gradyy r r

∂ = ∂

��

1 1

grad grad4

ox z y

y z

µdB j j d

r rτ

π = −

��

soit 1

grad4

ox

x

µdB j d

rτ

π = − ∧

� ��

et par un raisonnement analogue sur les deux autres composantes : 1

grad4

oµdB j d

rτ

π = − ∧

��

par ailleurs : ( )1

23 3

1grad ² ² ²

x x

x rx y z

r x r r

− ∂ = + + = − = − ∂

��

d’où 2

1grad du

r rτ= −��

��

du

τ

��

vecteur unitaire dirigé de l’élément de volume dτ vers le point M où on calcule le champ.

24o dµ j u

dB dr

τ τπ

∧=� ��

��

et en intégrant : 24o d

espace

µ j uB d

rτ τ

π∧= ∫∫∫� ��

��

• Si le circuit est filiforme

24o dlµ i dl u

Brπ∧= ∫��

��

** ( jd idlτ =� ��

)

• Si des charges sont en mouvement

24dqo

dq v uµB

rπ⋅ ∧

= ∫

��

( jd dqvτ =� �

)

• Une charge en mouvement

24qo

qv uµB

rπ∧

=

� ��

(pour plus de détails, voir paragraphe 1.2.5)

1.3 Exemples de circuits

1.3.1 Spire circulaire

Une spire circulaire de rayon a est parcourue par un courant i. Calculer le champ magnétique en un point de l’axe de la spire repéré par l’angle α sous lequel on voit un rayon de la spire.

24oµ i dl u

dBrπ∧=��

��

sina

rα= et udl

��

sont orthogonaux


7Tout plan passant par l’axe Ox est plan d’antisymétrie. Le champ B

��

appartient donc à l’axe.

dB��

décrit un cône de révolution d’axe Ox et d’angle 2

π α−

22

sin cos4 2

ox

µ i dldB

a

πα απ

= ⋅ −

3

2

sin2

4oµ i

B a xa

α ππ

=��

3sin

2oµ i

B xa

α=��

** résultat qu’il est bon de retenir.

1.3.2 Solénoïde

Un solénoïde de rayon a, constitué de N spires très serrées réparties régulièrement sur une longueur h est parcouru par un courant i. Un point O est repéré par les angles 1α et 2α sous lesquels sont vus les rayons aux extrémités du solénoïde.

On appelle N

nh

= le nombre de spires par unité de longueur.

Sur une longueur dx, on compte dN = ndx spires. tana

xα =

2sin

addx

αα

= −

Le champ magnétique créé par une spire (porté par l’axe) a une valeur algébrique 3

1 sin2

oµ iB

aα= soit sur la longueur dx : 1dB B ndx=

d’où 1

2

sin2oµ ni

B a da

α

α

α α= − ⋅∫ ( )1 2cos cos2oµ ni

B xα α= −��

*

(on intègre dans le sens où dx est positif, donc de α2 à α1 : dα<0 car dN doit rester positif)

Si le solénoïde est de longueur infinie 1 20 et α α π= = oB µ ni x=��

*

Ordre de grandeur : si i=10A, h=10cm et N=1000spires B=0,12 T Pour un solénoïde infini, on peut calculer le champ en dehors de l’axe : Le solénoïde étant infini, tout plan perpendiculaire à l’axe est plan de symétrie. Le champ magnétique est donc parallèle à l’axe. De plus le problème est invariant par translation parallèlement à l’axe. On calcule la circulation du champ magnétique sur le rectangle Γ ayant un côté (de longueur L) sur l’axe et l’autre de longueur r.

• si r<a le rectangle n’enlace aucun courant et la circulation sur Γ est nulle B(0)L–B(r)L=0 . On en déduit que le champ magnétique est uniforme

à l’intérieur du solénoïde et vaut oB µ ni x=��

• si r>a le courant enlacé par Γ est égal à +nLi. En appelant B1 la valeur algébrique du champ magnétique à l’extérieur, la circulation est C= BL–B1L. Le théorème d’Ampère permet donc d’écrire : BL–B1L=µonLi et comme B=µoni, on en déduit que B1=0. Le champ magnétique est nul à l’extérieur du solénoïde. Le potentiel vecteur correspond à l’application 1.2.4


8

22 II nntteerr aacctt iioonnss éélleeccttrr oommaaggnnéétt iiqquueess

2.1 Loi de Laplace

Une particule de charge q se déplaçant à la vitesse V��

dans un référentiel R subit une force de Lorentz en l’absence de champ électrique :

F qV B= ∧��

où B��

est le champ magnétique en un point où se trouve la particule.

Si la charge est élémentaire : dF dqV B= ∧��

Si la distribution de charges est continue, ρ étant la densité volumique de charges mobiles et

dτ un élément de volume :dF V Bdρ τ= ∧��

et comme le vecteur densité de courant j Vρ=� ��

dF j Bdτ= ∧��

soit F j Bdτ= ∧∫∫∫��

Si les charges se déplacent dans un circuit filiforme de section s : j d j sdl idlτ⋅ = ⋅ =� � ��

dl��

étant un élément de longueur du circuit orienté dans le sens du courant. Cela permet de calculer la force qui s’exerce sur une portion de circuit filiforme parcouru par un courant i :

C’est la loi de Laplace F idl B= ∧∫��

**

2.2 Définition légale de l’Ampère L’ampère est l’intensité d’un courant qui circulant dans deux fils rectilignes infinis, parallèles, distants de un mètre provoque une force d’interaction entre les fils de 2.10-7 Newton par mètre de longueur de fil. Les deux fils étant éloignés d’une distance d, le champ créé par un fil, en un point de l’autre est

2oµ i

B ud θπ

=��

. Ce champ est orthogonal au fil, il crée donc sur une hauteur h, une force

2

2 2o o

z r

µ i µ iF ihu u hu

d dθπ π= ∧ = −��

donc si i =1A, d=1m, h=1m avec 74 10 . . .oµ u S Iπ −= F=2.10-7 N

2.3 Effet Hall Un semi-conducteur ayant la forme d’un parallélépipède rectangle possède n porteurs de charge q par unité de volume. Il est parcouru par un courant i et se trouve dans une région où règne un champ magnétique uniforme perpendiculaire à la direction du courant. On mesure la différence de potentiel VH entre les deux faces horizontales sur la figure. Les porteurs de charge se déplacent à la vitesse V telle que i=jS avec j= nqV et S=bc

La force s’exerçant sur un porteur de charge :F qVB z=��

soit Bi

F znbc

=��


9

i

x O B(x) B(x+dx)

h

dx

M N P Q

z

Cette force va dévier les porteurs de charge et il va y avoir une accumulation de charges sur les faces horizontales. Par conséquent un champ électrique va apparaître, et lorsque le régime permanent sera établi, la force magnétique et la force électrostatique vont se compenser.

'F qE=��

' 0F F+ =��

En négligeant les effets de bord, on peut admettre que le champ électrostatique est uniforme. Il s’ensuit qu’il est lié à la tension VH par la relation VH=−cE (circulation du champ)

On obtient finalement HBi qV

nbc c= et donc H

BiV

qnb=

Cette tension proportionnelle au champ magnétique est appelée tension Hall et permet de mesurer le champ magnétique. Si le champ magnétique est connu, elle permet de connaître la valeur de n, nombre de porteurs de charge par unité de volume.

2.4 Dipôle magnétique

C’est un circuit plan parcouru par un courant i . La surface s'appuyant sur ce circuit est notée S.

Le vecteur S��

est porté par un vecteur unitaire perpendiculaire à la surface du circuit.

On appelle moment magnétique M iS=��

L’unité S.I. est l’Ampère mètre carré : 1Am² On se limite dans ce qui suit à un circuit rectangulaire, mais les résultats sont généralisables à n'importe quelle forme de circuit, et notamment aux électrons qui « tournent » autour des noyaux des atomes : chaque atome possède un moment magnétique et si des propriétés cristallines font que tous ces moments s’orientent dans la même direction, on obtient alors un matériaux qui possède un moment magnétique macroscopique ; on a alors un aimant caractérisé par son moment magnétique M

��

, somme des moments magnétiques de chaque atome.

2.4.1 Force subie par un dipôle

Un petit dipôle de moment magnétique M M z=��

est placé dans un champ magnétique

( )B B x z=��

non uniforme et perpendiculaire à son plan.

A partir de la loi de Laplace :

( )MPF ihB x x= −��

( )QNF ihB x dx x= +��

et PQ NMF F= −��

D'où la force sur le dipôle :

( ) ( )F ih B x dx B x x= + − ��

soit dB

F ih dx xdx

= ⋅��

M = i h.dx

et finalement : dB

F M xdx

= ⋅��

* On montre que dans le cas général : ( )F M grad B= ⋅��


102.4.2 Énergie d'un dipôle

Lorsqu'on déplace le dipôle précédent sur l'axe Ox, depuis une région de l'espace où le champ magnétique est nul jusqu'à l'abscisse x où le champ magnétique vaut B, on lui fournit un

travail : dT = –F.dx et donc x

T F dx∞

= − ⋅∫

(le signe – est dû au fait que la force de l'opérateur doit être égale et opposée à la force magnétique F pour que le mouvement soit lent et ne mette pas en jeu d'énergie cinétique. dτ = F.dx serait le travail des forces magnétiques) En appelant EM l’énergie magnétique : dEM = dT . Si on suppose que dans une région de l'espace où le champ magnétique est nul, l'énergie du dipôle est nulle, on obtient l'énergie

magnétique du dipôle : EM = T et x

M

dBE M dx

dx∞

= −∫ : finalement ME M B= − ⋅

On peut généraliser ce résultat à tout dipôle (c’est à dire quelle que soit sa forme) :

ME M B= − ⋅��

** ou encore ME i S B= − ⋅��

Si le dipôle est suffisamment petit pour qu’on puisse considérer le champ magnétique uniforme dans son voisinage, alors le flux Φ du champ magnétique à travers la surface du dipôle

est : ( )/B S B SΦ = Φ = ⋅��

et ME i= − Φ *

Ce résultat est généralisable à tout circuit et explique que spontanément un circuit a tendance à évoluer vers la position qui rendra son énergie minimum et donc à embrasser un flux maximum. Cette relation permet de définir l’unité de flux magnétique : Un Weber, noté Wb, est donc le flux à travers un circuit dont l’énergie est un Joule lorsqu’il est parcouru par un courant de un Ampère : 1 Wb=1JA-1 Et l’unité de champ magnétique est définie à partir du flux. Un Tesla, noté T, est donc le champ magnétique uniforme normal à une surface de un mètre carré, traversé par un flux de un Weber : 1 Tesla= 1 Weber.mètre-2 ou encore 1T = 1 JA-1m-2 A l’échelle humaine, un champ magnétique de 1 Tesla est assez intense. Le champ magnétique terrestre est de l’ordre de 10-4 T et les champs les plus intenses que l’on sait réaliser sont inférieurs à 100 T.

2.4.3 Moment subi par un dipôle Le dipôle est placé dans une région où règne un champ magnétique uniforme. Son moment magnétique est

( )M i QR QP= ∧��

On cherche le moment Γ

��

par rapport au point O, centre du dipôle, des forces électromagnétiques s'exerçant sur le dipôle.

On remarque que NP QRF F= −��

et PQ RNF F F= = −��


11

En utilisant la loi de Laplace, on constate queNPF��

et QRF��

sont portés par Oz, leur moment par rapport à O est donc nul.

PQ RNOQ F OR FΓ = ∧ + ∧��

soit ( )OQ OR FΓ = − ∧��

donc RQ FΓ = ∧��

où PQF F i PQ B= = ⋅ ∧��

( )RQ i PQ BΓ = ∧ ⋅ ∧��

soit ( ) ( ). .i RQ B PQ i RQ PQ BΓ = ⋅ −��

et ( ).i RQ B PQΓ = ⋅��

Puis en remarquant que

( ) ( ) ( )M B i QR QP B i QR B QP i QP B QR∧ = ∧ ∧ = ⋅ − ⋅��

et donc

( )M B i RQ B PQ∧ = ⋅��

finalement : M BΓ = ∧��

** Le dipôle a tendance à s’orienter dans le sens du champ. Ici encore, ce résultat peut être généralisé à un dipôle de n’importe quelle forme.

33 II nntteerr ffaaccee eennttrr ee ddeeuuxx mmii ll iieeuuxx mmaaggnnéétt iiqquueess Les atomes sont des dipôles magnétiques et en présence d’un champ magnétique, ils s’orientent dans la direction de ce champ. Ils ajoutent ainsi le champ qu’ils créent au champ initial.

Certains milieux sont linéaires, de sorte que rot oB µ j=��

devient rotB

jµ

=��

��

µ est la perméabilité absolue.

o rµ µ µ= rµ est la perméabilité relative (sans dimension)

Dans un milieu magnétique de perméabilité µ, toutes les relations vues précédemment restent

valables en remplaçant µo par µ. Notamment le théorème d’Ampère devient : e

Bdl i

µΓ

⋅ =∫��

�

3.1 Continuité de la composante normale du champ ma gnétique Deux milieux magnétiques de perméabilité µ1 et µ2 sont séparés par une surface S.

Un cylindre forme une surface fermée à cheval sur la surface de séparation S. Le flux du champ magnétique est conservatif :

21 1 2 2 0B dS B dS δ φ⋅ + ⋅ + =��

Lorsque la hauteur e du cylindre tend vers zéro, 2δ φ le flux à travers la

surface latérale du cylindre tend vers zéro, 1dS dS→��

et 2dS dS→ −��

On en déduit : 1 2 0N NB dS B dS− =

NB étant la composante normale à la surface S du champ magnétique.

Finalement : 1 2N NB B= *

Il y a continuité de la composante normale du champ magnétique à la traversée de la surface de séparation de deux milieux magnétiques.


123.2 Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique

Un plan sépare deux milieux magnétiques de perméabilité µ1 et µ2 ; une distribution surfacique

de courant caractérise ce plan : le vecteur densité de courant surfacique sj��

est supposé

localement uniforme.

sj��

est contenu dans un plan de symétrie orthogonal au plan ; il en résulte que le champ

magnétique au voisinage du plan est perpendiculaire à sj��

.

L’équation de Maxwell-Ampère dans la matière est : rotB E

jµ t

ε ∂= +∂

��

En l’intégrant sur une surface s’appuyant sur un

contour fermé orthogonal à sj��

, formant un rectangle

à cheval sur la surface de séparation des deux

milieux : B E

dl j dS dSµ t

ε ∂⋅ = ⋅ +∂∫ ∫∫ ∫∫

��

�

21 1 2 2

1 2S

B dl B dlC i E dS

µ µ tδ δ ε⋅ ⋅ ∂+ + = + ⋅

∂ ∫∫��

��

• δ2C est la circulation du champ magnétique

sur la largeur du rectangle et tend vers zéro quand e tend vers zéro. • δ iS est le courant traversant le rectangle et dans le cas où on a choisi ce rectangle

perpendiculaire au vecteur densité de courant surfacique sj��

on a s si j dlδ =

• E dS⋅∫∫��

tend vers zéro quand e tend vers zéro

1 2

1 2

T Ts

B Bdl dl j dl

µ µ− = soit 1 2

1 2

T Ts

B Bj

µ µ− =

BT étant la composante du champ magnétique tangentielle à la surface de séparation des deux

milieux et dans la direction perpendiculaire au vecteur sj��

Si js =0 1 1

2 2

T

T

B µ

B µ=

3.3 Réfraction des lignes de champ

11

1

22

2

tan

tan

T

N

T

N

B

B

B

B

α

α

= =

1 1

2 2

tan

tan

µ

µ

αα

=

Si l’une des deux perméabilités est très grande devant l’autre (interface air/fer par exemple µfer=800) les lignes de champs dans l’air sont quasiment normales à la surface du matériaux.


13

TTTTTTTTaaaaaaaabbbbbbbblllllllleeeeeeee ddddddddeeeeeeeessssssss mmmmmmmmaaaaaaaattttttttiiiiiiiièèèèèèèèrrrrrrrreeeeeeeessssssss

11 PPrr oopprr iiééttééss dduu cchhaammpp mmaaggnnéétt iiqquuee .................................................................................................................................................................................................................. 11 1.1 Théorème d’Ampère ................................. ....................................................................................................... 1 1.2 Flux du champ magnétique .......................... .................................................................................................. 2 1.2.1 flux conservatif ....................................................................................................................................................................................... 2 1.2.2 Potentiel vecteur ..................................................................................................................................................................................... 3 1.2.3 Jauge de Coulomb .................................................................................................................................................................................. 3 1.2.4 Exemple.................................................................................................................................................................................................. 4 1.2.5 Expression du potentiel vecteur .............................................................................................................................................................. 4 1.2.6 Formule de Biot et Savart ....................................................................................................................................................................... 5 1.3 Exemples de circuits .............................. ......................................................................................................... 6 1.3.1 Spire circulaire ....................................................................................................................................................................................... 6 1.3.2 Solénoïde ................................................................................................................................................................................................ 7 22 II nntteerr aacctt iioonnss éélleeccttrr oommaaggnnéétt iiqquueess ...................................................................................................................................................................................................................... 88 2.1 Loi de Laplace .................................... .............................................................................................................. 8 2.2 Définition légale de l’Ampère ..................... .................................................................................................... 8 2.3 Effet Hall ........................................ ................................................................................................................... 8 2.4 Dipôle magnétique ................................. .......................................................................................................... 9 2.4.1 Force subie par un dipôle ....................................................................................................................................................................... 9 2.4.2 Energie d'un dipôle ............................................................................................................................................................................... 10 2.4.3 Moment subi par un dipôle ................................................................................................................................................................... 10 33 II nntteerr ffaaccee eennttrr ee ddeeuuxx mmii ll iieeuuxx mmaaggnnéétt iiqquueess .................................................................................................................................................................................. 1111 3.1 Continuité de la composante normale du champ magnét ique .............................................. ................... 11 3.2 Discontinuité de la composante tangentielle du cham p magnétique ...................................... ................ 12 3.3 Réfraction des lignes de champ .................... ............................................................................................... 12

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==Magnetostatique