BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Apa yang terjadi jika ada dua gelombang berjalan dengan frekuensi dan amplitudo

sama tetapi arah berbeda bergabung menjadi satu? Hasil gabungan itulah yang dapat

membentuk gelombang baru. Gelombang baru ini akan memiliki amplitudo yang

berubah-ubah tergantung pada posisinya dan dinamakan gelombang stasioner.Pada proses

pantulan gelombang, terjadi gelombang pantul yang mempunyai amplitudo dan frekuensi

yang sama dengan gelombang datangnya, hanya saja arah rambatannya yang berlawanan.

Hasil interferensi (perpaduan) dari kedua gelombang tersebut disebut Gelombang

Stasioner Atau Gelombang Diam. Gelombang stasioner dapat dibentuk dari pemantulan

suatu gelombang. Contohnya pada gelombang tali. Tali dapat digetarkan di salah satu

ujungnya dan ujung lain diletakkan pada pemantul. Berdasarkan ujung pemantulnya dapat

dibagi dua yaitu ujung terikat dan ujung bebas. Gelombang stasioner adalah gelombang

hasil superposisi dua gelombang berjalan yang : amplitudo sama, frekuensi sama dan arah

berlawanan.

Anda telah mengetahui bahwa jika salah satu ujung tali digetarkan harmonik naik-

turun maka gelombang sinusoidal akan merambat sepanjang tali. Apa yang terjadi ketika

gelombang telah sampai pada ujung lainnya. Gelombang datang ini akan dipantulkan

sehingga terjadilah gelombang pantul. Dengan demikian pada setiap titik sepanjang tali,

bertemu dua gelombang yaitu gelombang datang dan gelombang pantul, yang keduanya

memiliki amplitudo dan frekuensi yang sama. Superposisi kedua gelombang yang

berlawanan arah inilah yang menghasilkan gelombang berdiri.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa pengertian gelombang berdiri (stasioner) ?

2. Bagaimana persamaan umum gelombang berdiri (stasioner) ?

3. Bagaimana superposisi gelombang berdiri dari dua gelombang

berjalan ?

4. Bagaimana energi dalam suatu gelombang ?

5. Bagaimana gelombang berdiri sebagai mode normal dari getar

dawai ?

Standing Wave 1

6. Bagaimana energi dari getaran dawai?

7. Bagaimana nilai amplitude dari mode normalnya?

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Gelombang Berdiri (Stasioner)

Gelombang berdiri adalah gelombang yang memiliki amplitudo

yang berubah-ubah antara nol sampai nilai maksimum tertentu.

Gelombang stasioner dibagi menjadi dua, yaitu gelombang stasioner

akibat pemantulan pada ujung terikat dan gelombang stasioner pada

ujung bebas.

Dua gelombang yang berinterferensi dengan frekuesi tertentu

secara kontinu akan menghasilkan gelombang berdiri dengan

amplitude besar. Gelombang ini disebut gelombang berdiri karena

tampak tidak merambat, tali hanya berosilasi ke atas dan ke bawah

dengan pola tetap. Titik interferensi destruktif, dimana tali tetap diam

disebut simpul sedangkan titik-titik interferensi konstruktif dimana tali

berosilasi dengan aplitudo maksimum disebut perut. Simpul dan perut

tetap di posisi tertentu untuk frekuensi tertentu.

Gelombang berdiri dapat terjadi pada lebih dari satu frekuensi.

Frekuensi getaran paling rendah yang menghasilkan gelombang

berdiri menghasilkan pola seperti pada gambar di atas. Gambar c dan

d dihasilkan tepat pada dua atau tiga kali frekuensi terendah dengan

Standing Wave 2

menganggap tegangan tali sama. Tali juga dapat bergetar dengan

empat loop pada empat kali frekuensi terendah dan seterusnya.

Frekuensi dimana gelombang berdiri dihasilkan adalah frekuensi

alami atau frekuensi resonan tali. Walaupun gelombang berdiri

merupakan hasil dari interferensi dua gelombang yang merambat

kearah yang berlawanan, ia juga merupakan contoh benda yang

bergetar pada resonansi. Pada saat gelombang berdiri terjadi pada

tali, maka tali itu akan bergetar pada tempatnya, dan pada saat

frekuensi sama dengan frekuensi resonansi maka hanya memerlukan

sedikit usaha untuk menghasilkan amplitudo besar.

2.1.2Gelombang Berdiri pada Dawai

Kita akan menjelaskan karakteristik fisik gelombang berdiri oleh

gelombang yang berjalan pada sebuah lintasan senar dawai.Dawai

diregangkan di antara dua titik tetap, Yangmana kita mengambil pada

x =0 dan x = L , berkelanjutan.pergerakan gelombang yang berjalan

oleh dawai searah pada arah sumbu y.

Salah satu contoh gelombang berdiri ini diilustrasikan pada

gambar 6.1.gambar dari dawai yang berurutan dari waktu dapat

ditunjukan pada gambar 6.1(a)-(e), ketika gambar6.1(f) menunjukkan

gambar ini pada sekumpulan pada kampak.pergerakan garisy selalu

nol padax =0 dan x = L karenadawai digenggam tetap pada titik

tersebut. Bagaimanapun, disaat tengahperjalanan diantara

ketetapanyang terakhir dapat dilihat bahwa perpindahan pada dawai

juga berkali kali 0. Titik ini dapat disebut simpul.Di pertengahan antara

node ini dan pada jangkauan pergeseran maksimum gelombang tiap

titik akhir antisimpul

Standing Wave 3

Gambar 6.1 Satu contoh dari satu gelombang berdiri pada satu dawai penuh. (a ) –

(e ) gambar dari dawai pada gelombang tiba tiba berurutan dari waktu, sementara (f

) menunjukkan gambar individu ini pada setelan tunggal dari axes. Perpindahan y

selalu nol pada x = 0 dan x = L , karena dawai digenggam tetap pada titik tersebut.

Dipertengahan antara simpul dan tiap tiik akhir pergeseran gelombang yang

maksimum dapat disenut anti simpul

Posisi pada titik maksimum dan minimum tidak ada

pergerakkan sepanjang x -poros denan waktu dan maka dari itu

dinamakan gelomnang berdiri atau gelomabng stasioner Ketika dawai

bergetar, semua partikel dari dawai bergetar pada frekuensi yang

sama. Lebih dari itu dapat lakukan pada SHM(Simple Harmonic

Modulation) tentang keseimbanganposisi,, yang mana garis sepanjang

dawai terlewati ketika pada posisi diam. Bagaimanapun, seperti yang

diperlihatkan pada Gambar 6.1, getaran dari amplitudo dari partikel

yang membedakan sepanjang panjang dari dawai. karakteristik

perpindahan y dapat direpresentasikan oleh

y(x, t) = f (x) cos(ωt + φ).

Fungsi f (x) menjelaskan variasi dari amplitude getaran sepanjang

poros x. Pada fungsi cos(ωt + φ). Menjelaskan SHM pada setiap

partikel yang menjalani dawai. Jika kita pilih pergeseran maksimum

dari partikel yang terjadi pada saat t=0, maka fase sudut adalah nol

dan

y(x, t) = f (x) cos ωt.

Standing Wave 4

(pada kondisi fase sudut=0 adalah persamaan pada awal saat t=0,

kecepatan dawai adalah 0, i.e dari persamaan (6.1)

Dengan fase sudut=0) penting untuk diketahui bahwa, kita akan

menulis pergeseran y seperti pada hasil dua fungsi pada

persamaan(6.2) hal itu anya bergantung pada x dan t. Kita sekarang

mensubstitusikan penyelesaian ini ke dalam persamaan gelombang

satu dimensi

Dideferensialkan persamaan (6.2) dua kali terhadap t dan x, maka

didapatkan

Dan substitusikan pernyataan ini kedalam persamaan gelombang satu

dimensi , maka

Kita dapat bandingkan dengan persamaan pada SHM:

Yang mana penyelesaian umumnya

Persamaan (6.4) dan (1.6) mempunyai bentuk yang sama kecuali

variable t pada persamaan(1.6) adalah menggantikan variable x pada

persamaan (6.4) dan x menggantikan f(x).Ini adalah kelanjutan dari

penyelesain umum pada persamaan (6.4) adalah

Standing Wave 5

Dimana A dan B adalah konstanta untuk menentukan batas kondisi.

Pada kasus nin, batas kondisi f(x)=0 pada x=0 dan x=L.kondisi

pertama diberikan B= 0.Pada konsisi kedua diberikan

Dimana n= 1,2,3,.. (karena kita tidak menarik penyelesaian yang

gampang f(x)=0, kita keluarkan nilai n=0),maka , nilai dari omega

harus mengambil 1 pada nilai pada persamaan (6.7) maka kita akan

menulis seperti

Dimana untuk setiap nilai pada n mempunyai hubungan omega n .

Substitusikan omega=omega n pada persamaan (6.5) dan ingat

kembali B=0, maka

Persamaan ini menjelaskan gelombang berdiri pada dawai, dimana

setiap nilai dari n dapat disamakan pada sebuah perbedaan pola

gelombang berdiri. Pola gelombang berdiri sering disebut modes dari

getaran dawai. Seperti yang kitalihat pada bagian 6.4 itu adalah

modes normal dari getaran dawai

Fungsi untuk n=1 ke 4 diplot pada gambar

6.2(a)-(d) berturut turut.Untuk tujuan gambar amplitude dari 4

gelomnang yang berdiri diambil sama. Untuk n=1 kita punya

Yang mana variasi amplitude yang ditunjukakan pada gambar

6.2(a). ini adalah mode dasar atau 1 harmonik pada dawai; n=2 dapat

disamakan pada harmonic ke2 ,, dsb.. Kita lihat bahwa angka

antinodes pada n harmonic adalah persamaan pada n. persamaan

Standing Wave 6

frekuensi sudut pada gelombang berdiri diberikan oleh persamaan

(6.8) danphi frekuensi sudut /L dan berturut turut.

Waktu periode T untuk pola gelombang berdiri kecuali untuk membuat

bentuk, diberi oleh

Gambar 6.2 4 harmonik pertama untuk gelombang berdiri pada

tegangan dawai.harmonik pertama dapat juga disebut

dasar.gelombang berdiri ni menjelaskan oleh fungsi fn (x) =An sin

(nπx / L) dengan n = 1 - 4. Jumlah titik perut di setiap gelombang

berdiri sama dengannilai masing-masing n.

Kami lagi menentukan λ panjang gelombang dari gelombang berdiri

sebagai jarak mengulangpola gelombang. Karena v = νλ dan ω = 2πν,

kita dapat menggantikan v dan ω dalam Persamaan (6.11) untuk

mendapatkan

Standing Wave 7

(6.12)

mana λn adalah panjang gelombang dari gelombang berdiri n. Jika kita

menulis persamaan ini sebagai

(6.13)

kita melihat bahwa kita akan mendapatkan gelombang berdiri hanya

jika jumlah integral setengah panjang gelombang cocok antara kedua

ujung tetap string, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.2. Setiap

gelombang berdiri dengan panjang gelombang λn memiliki kn

wavenumber, yangdari Persamaan ( 5.13 ) diberikan oleh

Karena λn = 2L / n , persamaan ( 6.13 ) , kami juga memiliki

. ( 6.14 )

Menggunakan hubungan terakhir ini kita dapat menulis persamaan

( 6.10 ) sebagai

( 6.15 )

yang merupakan ekspresi alternatif untuk gelombang berdiri .

Frekuensi sudut fundamental , dengan n = 1 , adalah

( 6.16 )

dan frekuensi , ν1 = ω1/2π , adalah

. ( 6.17 )

Karena kecepatan gelombang pada tali tegang diberikan oleh

( 5.32 )

Persamaan ( 6.17 ) memberikan

Standing Wave 8

. ( 6.18 )

Persamaan ini menunjukkan bagaimana frekuensi fundamental string

tegang tergantung pada perusahaanpanjang L , T ketegangan dalam

string dan massa per satuan panjang μ . Kita bisa dengan mudah

berhubungan hasil ini untuk instrumen senar . Misalnya, gitar memiliki

enam senar panjang yang sama dan ini diselenggarakan di bawah

sekitar ketegangan yang sama .Namun , string memiliki nilai yang

berbeda dari massa per satuan panjang dan sangat mendasar mereka

frekuensi yang berbeda: semakin besar massa per satuan panjang

yang lebih rendah catatan. Setiap string disetel dengan sedikit

memvariasikan ketegangan dalam dawai .itu musisi kemudian

memainkan catatan yang berbeda dengan menekan senar terhadap

frets pada fingerboard untuk bervariasi panjang dari string bergetar .

Jelas ukuran alat musik mempengaruhi frekuensi atau pitch suara

yang dihasilkannya .ini sangat jelas dari keluarga biola : biola , viola ,

cello dan double bass . ini instrumen terus bertambah besar dan

menghasilkan catatan lapangan semakin rendah . Dalam cara analog

pipa dari organ terus bertambah besar untuk menghasilkan catatan

frekuensi yang lebih rendah .

Seperti yang kita lihat dari Persamaan ( 6.8 ) , frekuensi semua

harmonik dari dawai yang keras merupakan kelipatan tepat dari

frekuensi dasar dan membentuk deret harmonik . Untuk kebanyakan

sistem bergetar ini tidak terjadi . Ini juga akan bergetar pada

serangkaian frekuensi yang lebih tinggi di samping frekuensi dasar .Ini

frekuensi yang lebih tinggi disebut nada . Namun, secaraumum ,

frekuensi nada tersebut tidak akan tepat beberapa fundamental :

mereka tidak harmonis. Lonceng ,misalnya , akan memiliki nada yang

frekuensi tidak kelipatan tepat dari

fundamental . Ketika bel dipukul , frekuensi nada akan terdengar di

samping fundamental. Keterampilan pembuat lonceng adalah untuk

memastikan bahwa kombinasi fundamental dan nuansa menghasilkan

Standing Wave 9

suara yang tidak sumbang di telinga .( Tentu saja, nada panjang juga

dapat diterapkan pada kencang string tetapi dalam kasus ini nuansa

yang harmonis. )

Kami telah menggunakan contoh dawai yang kencang untuk

mengeksplorasi karakteristik fisikberdiri gelombang . Namun,

gelombang berdiri terjadi dalam berbagai fisik yang berbeda

situasi dan ide-ide kita telah membahas yang penting bagi berbagai

fenomena fisik . Dalam oven microwave , gelombang elektromagnetik

mencerminkan dari dinding oven untuk membentuk pola gelombang

berdiri di kompartemen oven . iniberarti bahwa pasti akan ada tempat

di kompartemen di mana intensitas dari radiasi gelombang mikro

berkurang dan makanan tidak akan dimasak dengan benar .

untukmengurangi dampak dari ' titik-titik dingin ' makanan

ditempatkan pada meja putar berputar . dilaser , cahaya membentuk

gelombang berdiri di antara dua cermin ditempatkan di ujungdari

tabung laser. Dengan cara ini panjang gelombang sinar laser

didefinisikan dengan baik , yaitu monokromatik . Dalam contoh yang

sangat berbeda , di ranah mekanika kuantum ,tingkat energi diskrit

atom dapat dianggap sebagai solusi gelombang berdiri dari

persamaan schrodinger.

2.2 Gelombang Berdiri sebagai Superposisi dari Dua

Gelombang Berjalan

Jika ada dua gelombang yang merambat pada medium yang

sama, gelombang-gelombang tersebut akan datang di suatu titik pada

saat yang sama sehingga terjadilah superposisi gelombang . Artinya,

simpangan gelombang – gelombang tersebut disetiap titik dapat

dijumlahkan sehingga menghasilkan sebuah gelombang baru.

Pada persamaan 5.3 kita dapat melihat persamaan umum

gelombang berjalan sebagai berikut :

y = f (x − vt) + g(x + vt). (5.4)

untuk contoh spesifiknya, dengan k = 2π/λ dan besar sudutnya ω =

kv, maka :

Standing Wave 10

y = A/2sin2π/λ(x − vt) + Al2 sin2π/λ(x + vt)

y = A/2 sin (kx-wt) + Al2 sin (kx-wt)

pada persamaan di atas persamaan gelombangnya dapat di

gambarkan dengan gelombang sinusoida dengan besar Amplitude A/2

yang kekanan mempunyai arah positif, dan yang ke kiri akan

mempunyai arah negatif. Dan keduanya mempunyai frekuensi sudut

yang sama. Dan kita gunakan rumus identitas untuk gelombang

tersebut :

sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sinα cos β

maka kita dapatkan :

y =A/2sin(kx − ωt) +A/2sin(kx + ωt) = Asin kx cos ωt

pada persamaan (6.22) mempunyai kesamaan dengan persamaan

(6.15), yang mana kita telah mendapatkan nilai gelombang berdiri

pada sebuah dawai. Dan kita juga mendapatkan hasil yang sangat

penting bahwa gelombang berdiri merupakan superposisi dari dua

gelombang berjalan yang mempunyai frekuensi serta amplitudo yang

sama saat arahnya berlawanan. Hal ini di ilustrasikan pada gambar

(6.3) yaitu dua gelombang berjalan yang berurutan dengan waktu

yang berbeda yaitu T/8, T adalah nilai periodenya. Gelombang berjalan

yang arahnya kekanan di gambarkan dengan kurva yang tipis, dan

untuk gelombang yang aranya ke kiri di gambarkan dengan kurva

yang terputus. Sedangkan kurva yang tebal merupakan jumlah dari

keduannya atau superposisi dari dua gelombang berjalan. Bentuk

keseluruhan dari gelombang tersebut seperti

Standing Wave 11

Gambar 6.3

Pada gelombang berdiri pada harmonik ke-4 pada gambar (6.2). ketika waktu di

tingkatkan maka hasil gelombang berdirinya juga akan meningkat seperti pada

gambar (6.3).

Dua gelombang sinosoida dapat dibagi untuk menentukan jarak

pada kedua arahnya (dengan menggunakan prinsip x = +-∞). Sebuah

dawai yang direntangkan diantara dua dinding mempunyai panjang

yang tidak terhingga, itulah yang mendukung terbentuknya

gelombang berdiri. Dan menyebabkan refleksi pada dua dinding dan

menghasilkan dua gelombang berjalan yang berlawanan arah. Hali ini

di tunjukkan pada gambar (6.4)

Standing Wave 12

Gambar 6.4

2.3 Energi dari Getran Dawai

Di Bagian 6.3 kita mempertimbangkan satu dawai bergetar di

mode normal tunggal, diberikan Oleh

yn(x, t) = An sin( nπ/ L x) cos ωn t

(6.10)

dan kita memperoleh daya En dari dawai bergetar di mode ini:

En = 1/4 µ LA 2/n ω 2/n(sin2ωnt +cos2ωnt) = ¼ µ LA 2/n ω 2/n

(6.27)

Kita sekarang memperoleh daya e dawai bergetar ketika di situ

adalah beberapa hadiah mode. Impit-gabung umum dari mode normal

diberikan oleh

y(x, t) = ∑n yn (x, t) = ∑n An sin (nπ/Lx) cos ωnt

(6.29)

dan kita harus mempergunakan ekspresi ini, dari pada Penyamaan (6.

10), untuk menghitung energi E dari gelombang dari Penyamaan (5.

37):

E = 1/2µ ∫ ab dx [(∂y/∂t)2+v2(∂y/∂x)2]

(5.37)

Standing Wave 13

Ekspresi untuk turunan ∂y/∂t dan ∂y/∂x diperlukan di Penyamaan (5.

37) sekarang tidak terdiri dari kondisi lajang seperti di Penyamaan (6.

23) untuk mode tunggal, tapi dari penjumlahan dari kondisi n modes:

∂y/∂t = − ∑n Anωnsin(nπ/Lx) sinωnt

dengan satu penjumlahan serupa berlalu mode untuk ∂y/∂t Ini adalah

kuadrat dari persamaan ini yang terjadi di Penyamaan (5. 37), dan

mengudratkan, seperti di

(∂y/∂t)2 = [ -∑m Amωmsin(mπ/Lx) cosωmt] [-∑n

Anωnsin(nπ/Lx )cosωnt

dengan

sin(mπ/Lx) sin(nπ/Lx) , cos(mπ/Lx) cos(nπ/Lx)

(6.40)

dengan m ≠ n. [Istilah silang mengandung produk cosinus berasal dari

(∂y/∂x)2]

Sebagai satu konsekwensi, ekspresi untuk energyEwill

mengandung integral berlalu ini kondisi produk, Penyamaan (6. 40),

sebagai tambahan terhadap kondisi kwadrat yang mana terjadi di

Penyamaan (6. 24) untuk mode tunggal kasus. Bagaimanapun,

integral melibatkan menyeberangi kondisi yang punya nilai memasuki,

karena bagi m ≠ n

∫0L dx sin (mπ/Lx) sin(nπ/Lx) = ∫0

L dx cos (mπ/Lx) cos (nπ/Lx) =

0. (6.41)

Yang pertama hasil ini diperoleh di Penyamaan (6. 34), dan detik

diperoleh persis cara yang sama mempergunakan identitas

trigonometric

Standing Wave 14

cosαcosβ=1/2[cos(α−β)+cos(α+β)]

(6.42)

dari pada Penyamaan (6. 35). Karenanya kondisi seberang

dengan m = n lenyap pada inte gration dan penjumlahan energi E

adalah memberikan oleh satu penjumlahan kondisi seperti Penyamaan

(6. 27):

E = 1/4µL∑n A2n ω2

n(sin2ωnt +cos2ωnt) = 1/4µL∑n A2nω2

n

(6.34)

Fitur yang paling penarik perhatian dari hasil ini adalah itu

masing-masing mode normal menyokong satu Daya

En=1/4µLA2nω2

n

(6.44)

sangat dengan mandiri dari mode normal yang lain. Ini adalah

sangat khas dengan normal mode saat kita mendiskusikan di Bab 4.

Mereka adalah bebas tak terikat dari satu sama lain dan di situ adalah

tidak ada memasangkan di antara mereka. Alhasil daya mereka

adalah zat tambahan. [Secara matematis, ini hasil dari Persamaan (6.41) yang

menjamin bahwa tidak ada 'istilah lintas' yang melibatkan produk dari amplitudo Am An,

dengan m ≠ n.] Satu hasil analogis diperoleh di Bagian 4.3 untuk daya

dari dua ayunan ratah dipasangkan oleh satu bersemi. Dalam kaitan

dengan posisi koordinat xa dan xb, gerak mereka dipasangkan, tapi

dalam kaitan dengan normal mereka koordinat q1 dan q2

melaksanakan SHM dengan mandiri dari satu sama lain.

2.3 Gelombang Berdiri sebagai Mode Normal dari Getaran

Dawai

2.3.1Prinsip Superposisi

Standing Wave 15

Untuk membahas apa yang terjadi jika ada dua atau lebih

gelombang yang sejenis menjalar dalam medium yang sama dapat

dimisalkan dengan dua gelombang bunyi yang sama – sama berada di

udara. Untuk mudahnya di pandang lebih dahulu dua gelombang

pada tali. Satu gelombang datang dari sebelah kiri, dan satu

gelombang lain datang dari sebelah kanan, seperti

Gambar 2.4. Dua gelombang pada tali A dan B bertemu dan

melanjutkan perjalanan

masing-masing tanpa ada perubahan bentuk.

Pada gambar 2.4 digambarkan apa yang terjadi setelah kedua

gelombang ini bertemu. Kedua gelombang meneruskan penjalaran

mereka tanpa ada perubahan bentuk. Jadi kedua gelombang itu tidak

saling mempengaruhi. Juga ditunjukkan pada waktu kedua gelombang

bertemu, simpangan total setiap titik pada tali merupakan jumlah

simpangan yang disebabkan oleh kedua gelombang tersebut. Gambar

tersebut juga menujukkan posisi gelombang dan simpangan tali pada

beberapa saat. Jadi, jika ada dua gelombang menjalar dalam suatu

medium, maka gangguan total pada medium adalah jumlah gangguan

oleh masing – masing gelombang. Sifat ini dikenal sebagai prinsip

superposisi. Prinsip ini berlaku untuk semua jenis gelombang, selama

gangguan yang disebabkan oleh gelombang tidak terlalu besar.

Dua atau lebih gelombang yang saling tumpang tindih dalam

ruang selama perjalanannya mempunyai perpindahan total yang

merupakan jumlah vektor dari perpindahan individual masing-masing

gelombang pada titik itu.

Standing Wave 16

Yr(x,t) = y1(x,t)+y2(x,t)+…+yn(x,t)

Gelombang yang memenuhi prinsip ini disebut “linear waves.”

Sedangkan yang tidak memenuhi disebut “nonlinear waves.”

Gelombang yang merambat ke kanan dengan laju v dapat

dinyatakan denga fungsi gelombang berikut:

Gelombang yang merambat ke kiri dengan laju v dapat

dinyatakan denga fungsi gelombang berikut:

Pada persamaan menggambarkan

perambatan gelombang dengan kecepatan dalam ruang satu dimensi.

Prinsip superposisi menyatakan bahwa, jika y1 (x, t) dan y2 (x, t)

adalah dua solusi dari persamaan gelombang, kemudian kombinasi

linear

dimana A1 dan A2 adalah konstanta sembarang. Hasil ini

linearitas persamaan gelombang , yaitu setiap istilah dalam

persamaan gelombang proporsional dengan y atau salah satu dari

turunannya: tidak mengandung istilah kuadrat atau lebih tinggi daya

atau istilah produk seperti y (∂ y / ∂ x). (Persamaan jenis ini dikenal

sebagai persamaan linear.) Kita bisa melihat ini sebagai berikut.

Mengalikan dari persamaan berikut

oleh A1 dan kedua oleh A2, dan menambahkan yang dihasilkan

persamaan memberikan

Standing Wave 17

y= y (x , t )= f ( x−vt )

y= y (x , t )= f ( x+vt )

Setelah itu menjadi

maka bahwa linier superposisi y (x, t), persamaan (6.28), juga

merupakan solusi dari persamaan gelombang (5.23). Hasil ini jelas

generalises ke superposisi beberapa solusi dari persamaan

gelombang. Ini dapat berupa solusi: mereka tidak harus mode normal.

Namun, untuk alasan yang akan menjadi jelas dalam proses diskusi

berikut kita sekarang memilih superposisi umum mode normal.

2.3.2Superposisi dari mode yang normal

Syarat batas untuk menentukan panjang gelombang y = 0, pada x =

0 dan x = L untuk semua t.

sin(kL) = 0

kn = np/L untuk n = 1, 2, 3, …

Karena k = 2p/l, maka

ln = 2p/ kn

= 2L/n untuk n = 1, 2, 3, …

Persamaan ini menggambarkan gelombang berdiri pada string, di

mana setiap nilai

n sesuai dengan pola gelombang berdiri yang berbeda. Pola

gelombang berdiri

adalah alternatif disebut mode getaran dari string. Secara umum,

gerakan string akan menjadi superposisi mode biasa diberikan oleh

Di mana ωn = nπv / L. Contoh ini disajikan pada Gambar 6.5,

yang menunjukkan superposisi dari mode normal ketiga dengan

amplitudo relatif 1,0 dan modus normal ketiga belas dengan amplitudo

Standing Wave 18

relatif 0,5. (Kita memilih seperti mode normal tinggi untuk

menunjukkan superposisi gelombang lebih jelas.) Modus normal ketiga

adalah

Gambar 6.5 (a) Snapshot dari y3 harmonik ketiga (x, 0) dari string kencang

pada t = 0. (b) Snapshot dari Y13 harmonik ketiga belas (x, 0) dari string kencang

pada t = 0 dimana amplitudo gelombang sama dengan satu setengah dari (a). (c)

superposisi dari dua harmonik untuk memberikan bentuk yang dihasilkan dari string

pada t = 0 dan mode normal ketiga belas adalah

Snapshots dari kedua mode normal pada t = 0, yaitu y3 (x, 0)

dan Y13 (x, 0), ditunjukkan dalam Gambar 6.5 (a) dan (b), masing-

masing. Superposisi dari dua mode normal diberikan oleh

dan menggambarkan gerakan dari string bergetar. Ini

diilustrasikan pada Gambar 6.5 (c) yang lagi merupakan sebuah

snapshot dari string pada t = 0. Seperti waktu meningkatkan bentuk

string berkembang sesuai dengan Persamaan (6.30). Secara khusus

itu akan mengambil 13 periode lengkap dari tinggi ω13 frekuensi

sebelum bentuk yang tepat ditunjukkan pada Gambar 6.5 (c) diulang.

Untuk merangsang dua mode normal dalam cara ini, kita akan

entah bagaimana harus membatasi bentuk string seperti pada Gambar

6.5 (c) dan kemudian melepaskannya pada waktu t = 0. Tentu saja, itu

tidak praktis untuk melakukan ini dan dalam prakteknya kita memetik

string untuk menyebabkannya bergetar. Tindakan memetik string

Standing Wave 19

diilustrasikan pada Gambar 6.6 (a). Dalam contoh ini string pengungsi

jarak d pada seperempat dari panjangnya. Awalnya, string memiliki

bentuk segitiga dan bentuk ini jelas tidak cocok dengan salah satu

bentuk dari mode yang normal ditunjukkan pada Gambar 6.2. Untuk

satu hal segitiga memiliki sudut yang tajam sedangkan bentuk

sinusoidal dari mode yang normal bervariasi lancar.

Gambar 6.6 (a) Tindakan memetik string diilustrasikan mana string tersebut

dipindahkan jarak d pada seperempat dari panjangnya. (b) Yang pertama tiga

modus yang normal bersemangat string. Amplitudo dari mode normal diberikan

dalam teks. (c) superposisi dari tiga mode yang normal memberikan reproduksi baik

dari bentuk segitiga awal string kecuali di sudut tajam. Untuk semua kasus di atas, t

= 0.

Yang luar biasa adalah, bagaimanapun, bahwa adalah mungkin

untuk mereproduksi bentuk segitiga ini dengan menambahkan

bersama mode normal string dengan tepat ampli-tudes. Hal ini

diilustrasikan oleh Gambar 6.6. Dalam Gambar 6.6 (b) tiga pertama

yang normal mode y1 (x, 0), y2 (x, 0) dan y3 (x, 0) yang akan

ditampilkan. Ini diberikan oleh Persamaan (6.10) dengan t = 0.

Amplitudo mereka adalah A, A / 2 √ 2 dan A / 9, masing-masing, di

manaA = 32d/3π2. (Prosedur umum untuk menemukan nilai-nilai dari

amplitudo dikembangkan dalam Bagian 6.4.3.) Gambar 6.6 (c)

menunjukkan superposisi dari tiga mode normal, yaitu

y(x, 0) = y1 (x, 0) + y2 (x, 0) + y3 (x, 0)

dan memungkinkan perbandingan dengan bentuk awal string. Bahkan

hanya menggunakan tiga mode biasa kita mendapatkan mengejutkan

Standing Wave 20

baik cocok dengan bentuk segitiga. Dengan menambahkan mode lebih

normal, kami akan mencapai kesepakatan yang lebih baik, terutama

berkenaan dengan sudut tajam. Frekuensi yang sesuai dari mode

normal diberikan oleh ekspresi ωn biasa = (nπv / L), Persamaan (6.8).

Jadi ketika kita memetik string kita merangsang banyak mode normal

dan gerakan berikutnya dari string yang diberikan oleh superposisi

dari mode normal sesuai Persamaan (6.29). Sebuah cara hidup untuk

mewakili komposisi mode normal adalah membuat plot amplitudo

mereka terhadap frekuensi mereka yang memberikan spektrum

frekuensi. Spektrum frekuensi untuk contoh Gambar 6.6 ditunjukkan

pada Gambar 6.7.

Gambar 6.7 Spektrum frekuensi menunjukkan empat pertama

harmonisa dari memetik senar ditunjukkan pada Gambar 6.6, di mana

amplitudo dari mode normal diplot terhadap modus angka. Amplitudo

n = 4 mode normal adalah nol.

Bahkan sebelum kita melihat bagaimana untuk mengevaluasi

amplitudo dari mode biasa bersemangat (Bagian 6.4.3 ) , kita dapat

mengatakan sesuatu tentang eksitasi dari mode normal keempat

dalam contoh di atas . Mode ini normal memiliki simpul di seperempat

panjang string . Oleh karena itu , mencabut string pada saat itu tidak

menggairahkan bahwa modus karena yang hilang dari superposisi

sebagai konsisten dengan spektrum frekuensi pada Gambar 6.7 .

Contoh superposisi dari mode normal dari suara yang dihasilkan oleh

alat musik . Catatan A dimainkan pada oboe terdengar jelas berbeda

dengan catatan yang sama dimainkan di seruling , meskipun

keduanya adalah instrumen angin . Dalam setiap kasus , frekuensi

dasar atau pitch catatan adalah sama . Namun, jumlah relatif dari

mode normal yang berbeda ( harmonik ) yang diproduksi oleh dua

Standing Wave 21

instrumen yang berbeda . Inilah komposisi harmonik yang

mempengaruhi kualitas musik atau timbre dari catatan . Klarinet kaya

harmonik sementara suling memiliki konten kurang harmonis. Bahkan

instrumen yang berbeda dari jenis yang sama mungkin menunjukkan

isi harmonik yang berbeda dan jadi terdengar agak berbeda . Sebagai

contoh, isi harmonik yang dihasilkan oleh sebuah biola Stradivarius

merupakan salah satu faktor yang membuat instrumen yang sangat

diinginkan . Kita dapat mengubah situasi ini sekitar dan mensintesis

alat musik . Untuk ini kita menggunakan satu set osilator

menghasilkan gelombang sinusoidal dengan frekuensi semua

harmonik kita ingin untuk memasukkan . Kami kemudian

menambahkan ini bersama-sama dengan amplitudo relatif tepat untuk

mensintesis alat musik pilihan .

2.4 Energi dalam Gelombang berdiri

Gelombang dalam perjalanan membawa energi, antara gelombang satu dengan

gelombang yang lain tingkat energinya berbeda, suatu bukti yang bisa kita jumpai

gelombang membawa energy adalah ketika ada suara yang sangat keras kemudian kita

melihat ke kaca candela maka pada kaca akan bergetar, kejadian ini merupakan contoh

kecil dari perambatan energi yang melewati kaca. Scara umum persamaan energy pada

gelombang dapat di tuliskan :

……. ( 1 )

Kemudian persamaan gelombang umum dalah :

………( 2 )

Persamaan diatas jika di turunkan terhadap X dan t akan menjadi :

……( 3 )

……..( 4 )

Standing Wave 22

Persamaan ( 3 ) dan ( 4 ) di masukan ke persamaan gelombang umum menjadi :

Ingat!

Maka persamaan energi dapat di tuliskan :

Dan dapat disederhanakan menjadi :

2.5 Amplitudo dari Mode Normal dan Analisis Fourier

Dalam Bagian 6.4.2 kita melihat bahwa gerak umum string

bergetar adalah super- posisi mode normal, persamaan (6.10). Secara

khusus, bentuk awal dari String f (x), ieatt = 0, adalah dari Persamaan

(6.29) yang diberikan oleh

Kita sekarang menyatakan hasil yang luar biasa: setiap bentuk f

(x) dari string dengan ujung tetap poin [f (0) = f (L) = 0] dapat ditulis

sebagai superposisi dari fungsi-fungsi sinus dengan nilai-nilai yang

sesuai untuk koefisien A1, A2, ..., Yaitu berupa:

Standing Wave 23

Hasil ini disebabkan Fourier. Perluasan (6.32) dikenal sebagai

deret Fourier dan amplitudo A1 , A2, ... sebagai koefisien Fourier. Ide

bahwa pada dasarnya fungsi sembarang f (x) dapat diperluas dalam

serangkaian Fourier dapat digeneralisasi dan sangat penting dalam

banyak teori fisika dan teknologi.

Fourier teorema ekspansi, Persamaan (6.32), melibatkan

beberapa mathematika sulit dan kami hanya akan menganggap

validitasnya. Sebaliknya, penerapannya dalam praktek cukup mudah.

Mengingat f (x), yaitu bentuk string, amplitudo An (n = 1, 2, ...) mudah

ditemukan. Inilah yang membuat analisis Fourier seperti kuat alat.

Penentuan amplitudo tergantung pada dua integral yang melibatkan

fungsi sinus:

di mana m dan n adalah bilangan bulat seluruh. Yang pertama

dari hasil ini kami memperoleh sebelumnya, Persamaan (6.25). Untuk

kedua, kita menggunakan identitas trignometric

maka didapatkan

untuk m? = n, karena sinNπ = 0 untuk N = ± 1, ± 2, ....

Mengalikan Persamaan (6.32) dengan sin(mπx / L) dan

mengintegrasikan hasil persamaan terhadap x selama rentang x = 0

sampai x = L memberikan

Ini mengikuti dari Persamaan (6.34) bahwa, dari istilah dalam

seri di kanan sisi Persamaan (6.36), hanya panjang dengan m = n

berbeda dari nol, dan rekening Persamaan (6.33) memiliki nilai L / 2.

Standing Wave 24

Dengan cara ini kita mendapatkan akhir ekspresi untuk amplitudo

Fourier

Persamaan (6.32) dan (6.37) adalah hasil akhir kita: sebuah

pernyataan dari teorema Fourier. Untuk setiap fungsi spesifik f (x),

yaitu bentuk string pada t = 0, Persamaan (6.37) memberikan kita

Fourier amplitudo A1, A2, .... Menggantikan ini amplitudo dalam

Persamaan (6.32) memberikan kita bentuk awal string, dinyatakan

dalam Fourier komponen dan, dari Persamaan (6.29), bentuk dari

string pada waktu berikutnya.

Situasi ini telah dijelaskan di sini pada dasarnya adalah bahwa

mekanika klasik. Untuk memecahkan persamaan gerak Newton untuk

sistem partikel, kita harus menentukan posisi awal mereka dan

kecepatan. Untuk string kita memiliki kontinum partikel, dan kondisi

awal menjadi posisi awal dan kecepatan awal masing-masing titik

pada string. Kami telah diperlakukan kasus tertentu string yang

awalnya di Sisanya, [∂ y (x, t) / ∂ t] t= 0, lih. Persamaan (6.3), dan

dengan bentuk awal y (x, 0) = f (x). Kondisi awal lain yang mungkin

mengarah ke bentuk yang berbeda dari seri Fourier. Kami

menggambarkan analisis Fourier dengan cara berikut bekerja

misalnya.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Gelombang berdiri adalah gelombang yang memiliki amplitudo

yang berubah-ubah antara nol sampai nilai maksimum tertentu.

Gelombang ini dapat membentuk superposisi dari dua gelombang

berjalan. Dan energi dari tiap gelombang ini ditentukan dari panjang

dawai.

Gelombang stasioner dapat dibentuk dari pemantulan suatu gelombang. Contohnya

pada gelombang tali. Tali dapat digetarkan di salah satu ujungnya dan ujung lain

Standing Wave 25

diletakkan pada pemantul. Berdasarkan ujung pemantulnya dapat dibagi dua yaitu ujung

terikat dan ujung bebas. Gelombang stasioner adalah gelombang hasil superposisi dua

gelombang berjalan yang : amplitudo sama, frekuensi sama dan arah berlawanan.

Gambar 1.11

3.2 Saran

Penyusun menyadari masih banyak kekurangan dalam makalah

ini, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat kami harap kan

untuk lebih menyempurnakan makalah ini .

DAFTAR PUSTAKA

Beiser, Arthur. 1999. Konsep Fisika Modern (terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Budikase, E, dkk, 1987. Fisika Untuk SMU . Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.

Foster, Bob. 2004. Fisika SMA Jilid 3A untuk Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Lala,Brigitta.2008.Gelombangelektromagnetik.(http://brigittalala.wordpress.com, diakses 7 November 2009).

Supriyono. 2006. Fisika untuk SMA/MA Jilid Xb. Surabaya: Sagufindo Kinarya.

Standing Wave 26

Standing Wave 27