MAKALAH KELOMPOK 6

FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN, DIFERENSIAL TOTAL,

ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH, DAN FUNGSI IMPLISIT

MAKALAH

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2010

Dosen Pengampu: Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd

BAB I

PENDAHULUANA. Deskripsi

Makalah ini akan menyajikan materi tentang keterdiferensialan dan diferensial total fungsi skalar, aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit. Dalam keterdiferensialkan akan dibahas 6 masalah beserta penyelesaiannya.

Makalah ini akan membahas secara detail materi- materi yang disebutkan diatas. Tidak hanya definisi atau penjelasannya saja yang akan dibahas, tetapi makalah ini juga akan memberikan beberapa contoh dan penyelesaiannya serta beberapa latihan sehingga pembaca dapat paham betul tentang materi tersebut.B. Prasyarat

Materi prasyarat yang dibutuhkan agar dapat memahami makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Kalkulus 1

2. Kalkulus 2

3. Aljabar Linear Elementer

4. Geometi Dasar

C. Kompetensi dan Indikator

Kompetensi :

1. Memahami konsep dan penyelesaian masalah pada keterdiferensialan serta diferensial total fungsi skalar.

2. Memahami konsep aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit.

3. Mengidentifikasi matriks jacobi.

Indikator :

1. Dapat menjelaskan kembali tentang konsep keterdiferensialan dan diferensial total fungsi skalar.

2. Dapat menjelaskan kembali konsep aturan rantai,turunan berarah, dan turunan fungsi implisit.

3. Dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan keterdiferensialan, diferensial total, aturan rantai, matriks jacobi, turunan berarah, dan turunan fungsi implisit.

D. Tujuan Pembelajaran

1. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali definisi serta konsep keterdiferensialan dan diferensial total fungsi skalar.

2. Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan keterdiferensialan dan diferensial total fungsi skalar.

3. Mahasiswa mampu menjelaskan dan mendefinisikan konsep aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit.

BAB IIPEMBAHASANFUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN DAN DIFERENSIAL TOTALA. PENGANTARDalam kalkulus, kita ingat kembali bahwa fungsi real yang terdefinisi pada selang buka yang memuat disebut terdeferensialkan di jika ada.Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai Dengan menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya diperoleh,

Kita akan menyajikan konsep turunan secara lain, untuk itu tulislah maka diperoleh dengan .

Situasi fungsi satu peubah yang terdeferensialkan di satu titik diperlihatkan pada gambar 1.

Y

f

f(x)=f(a +)

(a)

f (a)

g

s

X

a a +

x- aDengan cara mengganti oleh , yang mengakibatkan dapat diganti oleh , diperoleh bahwa fungsi real terdeferensialkan di jika .

Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai .

Dengan menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya, diperoleh .

Kemudian dengan menuliskan maka diperoleh dengan . Dari analisis di atas, kita sampai pada suatu kesimpulan berikut yang dapat juga digunakan sebagai definisi keterdeferensialan dari satu peubah. Definisi 3.2.1Misalkan fungsi satu peubah real terdefinisi pada selang terbuka yang memuat .

1. Fungsi dikatakan terdeferensialkan di jika ada dan terdapat sehingga memenuhi dengan . Di sini, diferensial fungsi f di a didefinisikan sebagai .

2. Fungsi dikatakan terdeferensialkan di jika ada dan terdapat yang memenuhi dengan . Di sini diferensial fungsi di didefinisikan sebagai .

Pada konsep diferensial fungsi satu peubah, kita telah mempelajari bahwa untuk yang cukup kecil, diferensial merupakan suatu hampiran yang cukup baik untuk , hal ini disebabkan karena . B. FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN

Pada pasal ini akan diperkenalkan konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan di satu titik pada suatu daerah. Kemudian, konsep keterdiferensialkan fungsi skalar dengan dengan peubah di QUOTE dibahas sebagai perumuman dari hasil yang diperoleh. Kita mempunyai fungsi dua peubah real QUOTE yang terdefinisi pada daerah QUOTE dengan fungsi turunan parsial pertama dan QUOTE kontinu di titik QUOTE . Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata (TNR) untuk turunan fungsi real, pertambahan QUOTE dari peubah tak bebasnya dapat dituliskan dalam bentuk

Dimana dan besarnya bergantung pada QUOTE Selanjutnya, kekontinuan fungsi di (a,b) mengakibatkan QUOTE Misalkan dan QUOTE , maka , sehingga Atau

QUOTE Kemudian sebutlah , maka QUOTE dengan . Dengan cara yang sama kekontinuan fungsi QUOTE mengakibatkan adanya yang memenuhi dengan .Kita tuliskan kesimpulan dari proses ini dalam rumus berikut, yang dikenal sebagai rumus dasar pertambahan.

Teorema (3.2.2) Rumus Dasar Pertambahan

Jika fungsi mempunyai turunan parsial pertamayang kontinu di titik pada daerah QUOTE , maka pertambahan . Dapat ditulis dalam bentuk

Dengan .

Hasil ini memberikan gagasan pada rancangan keterdeferensialan fungsi dua peubah di satu titik dan pada suatu daerah yang lengkapnya sebagai berikut. Definisi

Misalkan fungsi dua peubah mempunyai turunan parsial pertama di titik QUOTE yang terletak pada daerah .

Fungsi dikatakan keterdeferensialan di QUOTE jika terdapat fungsi QUOTE dan QUOTE sehingga pertambahan QUOTE dapat ditulis sebagai

QUOTE dengan. 1. Fungsi

dikatakan terdiferensialkan pada daerah

jika fungsi

terdeferensialkan di setiap titik pada daerah .

2. Fungsi

dikatakan terdiferensialkan secara kontinu di

fungsi

terdeferensialkan di

dengan fungsi turunan parsial dan kontinu di titik itu.

3. Fungsi dikatakan terdiferensialkan secara kontinu pada daerah

jika fungsi

terdeferensialkan secara kontinu di setiap titik pada daerah .

Dari proses diperolehnya rumus dasar pertambahan dan definisi keterdiferensialan fungsi dua peubah di

kita mempunyai rumus penting berikut.

Teorema 3.2.4

Jika fungsi

mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di titik

pada daerah

, maka fungsi

terdiferensialkan secara kontinu di titik

.

Selanjutnya kita dapat menuliskan definisi fungsi dua peubah yang terdiferensialkan tanpa notasi QUOTE , untuk itu tulislah maka fungsi

terdiferensialkan di jika pertambahan QUOTE dapat dituliskan sebagai QUOTE di mana

dan

dari

dengan . QUOTE Syarat terakhir dapat ditulis dalam bentuk dengan

dan

mendekati nol untuk

.

Perhatikan bahwa pada bentuk ini adalah persamaan bidang singgung di titik QUOTE pada permukaan

. Hasil ini merupakan perumuman dari situasi serupa untuk fungsi satu peubah yang terdiferensialkan di , yaitu QUOTE dengan mendekati nol untuk

mendekati a. Di sini QUOTE adalah persamaan garis singgung pada kurva QUOTE di titik (a,f(a)).

Seperti pada fungsi real, setiap fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di suatu titik itu. Berikut ini adalah rumus penting tersebut beserta pembuktiannya.

Teorema 3.2.5

Jika fungsi dua peubah

terdiferensialkan di

pada daerah , maka fungsi kontinu di

.

Bukti:

Karena fungsi QUOTE terdiferensialkan di titik , maka QUOTE dengan QUOTE dan QUOTE . Ini mengakibatkan QUOTE Karena QUOTE maka dari bentuk limit ini diperoleh QUOTE yang langsung membawa kita sampai pada hasil QUOTE .

Ini berarti bahwa fungsi kontinu di , dengan demikian terbuktilah yang diinginkan.

Catatan Kebalikan Teorema 3.2.5 tidak benar lagi, sebagai contoh pengangkal, fungsi = kontinu di tetapi tidak terdiferensialkan di titik itu karena f

dan f

tidak ada.

Ikhtisar keterdiferensialan fungsi dua peubah yang didasarkan pada Rumus Dasar Pertambahan diberikan dalam diagram berikut.

Fungsi u = f(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di (a,b) yang terletak pada daerah D .

SHAPE \* MERGEFORMAT

dan

Dan

RDP: Rumus Dasar PertambahanC. KETERDIFERENSIALAN FUNGSI VEKTOR DI RMKonsep keterdiferensialan fungsi dua peubah yang telah dibahas dapat diperumum untuk fungsi skalar u = f (X), X suatu titik pada daerah D Rm. Keterdiferensialan fungsi tiga peubah u = f (x,y,z) yang mempunyai turunan parsial di titik (a,b,c) pada daerah D R3 didefinisikan sebagai berikut. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan di (a,b,c) jika terdapat fungsi skalar

sehingga pertambahan

Dapat ditulis sebagai

dengan

Keterdiferensialan fungsi skalar u = f (X), X = (x1,x2,,xm) yang mempunyai turunan parsial di A = (a1,a2,,am) pada daerah D Rm didefinisikan sebagai berikut. fungsi f dikatakan terdiferensialkan di A D jika terdapat fungsi skalar

sehingga perubahan

)

dapat ditulis sebagai

dengan memenuhi

Sifat keterdiferensialan fungsi dua peubah berlaku juga untuk fungsi skalar yang umum. pada fungsi skalar u = f(X), X D Rm, D suatu daerah di Rm kita juga mempunyai sifat bahwa setiap fungsi skalar yang terdiferensialkan secara kontinu di suatu titik akan terdiferensialkan di titik itu dan setiap fungsi skalar yang terdiferensialkan di suatu titik akan kontinu di titik itu.Masalah I

Keterdeferensialan fungsi langsung dari definisinya.

Contoh 3.10. Selidiki keterdeferensialan fungsi f(x,y) = x+ y pada D= langsung dengan menggunakan definisinya.

JAWAB

Di sini D= dan fungsi f kontinu pada D (jelaskan mengapa!). misalkan (a,b) titik sebarang pada D , akan diselidiki apakan fungsi f terdeferensialkan di (a,b). Untuk fungsi ini, turunan parsial pertama dan nilainya di (a,b) adalah

f (x,y) = 2x, f (a,b) = 2a dan f (x,y) = -2y , f (a,b) = -2bsehinggan pertambahannya adalah

u= f (a+x,b+y) f(a,b) = ((a+x)-(b+y)) (a-b)

= 2ax 2by + x - y

Selanjutnya akan dicari = (x,y) dan = (x,y) yang memenuhi

u = f (a,b)x + f (a,b) y + (x,y)x + (x,y)y

dengan

(x,y) = 0 dan (x,y) = 0

Gantikan hasil yang diperoleh sebelumnya pada bentuk pertambahan u, diperoleh

2ax 2by + x - y= 2ax 2by + (x,y)x + (x,y)y

sehingga

(x,y)x + (x,y)y = (x)x + (-y)y

Ambillah

(x,y) =x dan (x,y) = -y

maka dan memenuhi rumus dasar pertambahan dengan

(x,y) = x = 0

dan

(x,y) = (-y) = 0

Jadi fungsi f terdiferensialkan di (a,b) D= ; dan karena (a,b) sebarang pada D, maka fungsi f terdiferensialkan pada D.

Masalah 2

Keterdeferensialan fungsi dari kekontinuan

turunan parsial pertamanya

Contoh 3.11. Selidiki apakah fungsi

(a) f (,x,y) = tanxy (b) g(x,y) = e

terdeferensialkan pada daerah definisinya.

JAWAB

(a) Fungsi f kontinu pada D= (jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial pertamanya terhadap x dan y adalah

f (x,y) = dan f (x,y) =

Karena fungsi f dan f kontinu pada (jelaskan mengapa), maka fungsi f terdiferensialkan pada .

(b) Fungsi g kontinu pada D= (jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial pertamanya terhadap x dan y adalah

g(x,y) = e

dan g(x,y) = 2ye

Karena fungsi g dan g kontinu pada (jelaskan mengapa), maka fungsi g terdiferensialkan pada .

Masalah 3

Ketak-terdeferensilan fungsi di suatu titik dari

ketak-kontinuan fungsinya di titik itu

Contoh 3.12. Tunjukkan fungsi

f(x,y) =

EMBED Equation.3 tidak terdeferensialkan di (0,0).

JAWAB

Fungsi f terdefinisi pada D= dengan (0,0) suatu titik-titik dari D. Kita akan menyelidiki kekontinuan fungsi f di titik itu.

Misalkan (x,y) (0,0) sepanjang sumbu Y (garis x = 0), maka

f(0,y) = = 0

sehingga di sepanjang garis ini

f(x,y) =

=0 = 0

Misalkan (x,y)(0,0) sepanjang kurva x = y, maka

f(y,y) = = =

sehingga di sepanjang garis ini

f(x,y) =

=

=

Karena sepanjang garis x = 0 dan sepenjang kurva x = y limit fungsi f untuk (x,y) (0,0) berbeda, maka

f(x,y) tidak ada

Jadi fungsi f tidak kontinu di (0,0), karena itu berdasarkan kontra posisi teorema 3.2.5, fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0).

Masalah 4

Ketak-tederferensialkan fungsi di suatu titik dari

titik terdapatnya turunan parsial di titik itu

Contoh 3.13. Tunjukkan fungsi f(x,y) = (y-1) tidak terdeferensialkan di (0,0).

JAWAB

Fungsi f pada D= karena merupakan perkalian dari dua fungsi kontinu, yaitu g(x,y) = dan h(x,y) = y-1 . Pada situasi ini, f(0,0) harus ditentukan dari definisi turunan parsial karena aturan

= (y-1)( ) = (y-1)

tidak menjangkau (0,0). Turunan parsial fungsi f terhadap y adalah f(x,y), sehingga

Karena

=

=

dengan limit terakhir tidak ada (jelaskan mengapa), maka fungsi f tidak terdeferensialkan di (0,0).

Masalah 5

Ketak-terdeferensialkan fungsi kontinu di suatu titik

langsung dari definisinya


f(x,y) =

kontinu dan mempunyai turunan parsial di (0,0) tetapi tidak terdeferensialkan di titik itu.

JAWAB

Fungsi f terdefinisi pada D= dengan (0,0) suatu titik-limit dari D, akan ditunjukkan f(x,y) = f(0,0).Karena

0

dengan

0 = 0 =

maka berdasarkan prinsip apit,

= 0

Dari sini diperoleh

f(x,y) =

= 0 = f(0,0)

Ini mengakibatkan fungsi f kontinu di (0,0).

Turunan parsial pertama dari fungsi f di (0,0) adalah

f(0,0) =

=

=0 = 0

f (0,0) =

=

=0 = 0

Ini berarti bahwa fungsi f mempunyai turunan parsial di (0,0).

Kita tinggal menunjukkan bahwa fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0) dengan cara kontradiksi. Andaikan fungsi f terdiferensialkan di (0,0), maka terdapat fungsi

=() dan =()

yang memenuhi

dengan

dan

Jika kita mempunyai fungsi

Khususnya untuk diperoleh fungsi

Tetapi menurut definisi fungsi f yang diketahui,

Dari kedua hasil terakhir kita sampai pada kesamaan

Karena dan , maka

yang merupakan suatu kontradiksi. Kontradiksi ini disebabkan oleh pengandaian bahwa suatu fungsi f terdeferensialkan di (0,0). Dengan demikian kesimpulannya haruslah fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0).

Masalah 6

Keterdiferensialan fungsi di suatu titik tetapi tidak

terdiferensialkan secara kontinu di titik itu


terdiferensialkan di titik (0,0), tetapi tidak terdiferensialkan secara kontinu di titik itu. (Fungsi turunan parsial pertama dan tidak kontinu di titik (0,0)).

JAWAB

Fungsi f terdefinisi pada yang memuat (0,0). Turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap x dan y di (0,0) adalah

dan

Kita akan menunjukkan fungsi f terdiferensialkan di (0,0) dengan cara mencari dan sehingga memenuhi rumus dasar pertambahan

dengan

dan

Gantikan semua informasi yang diketahui pada rumus dasar pertambahan, diperoleh

Ini mengakibatkan

Ambillah

kemudian tunjukkan

Dari ketaksamaan

dengan

Maka berdasarkan prinsip apit diperoleh

QUOTE

Akibatnya,

Secara otomatis, karena , maka

Jadi rumus dasar pertambahan untuk fungsi f di (0,0) dipenuhi; dengan demikian kita telah menunjukkan bahwa fungzi f terdiferensialkan di (0,0).

Sekarang kita tunjukkan bahwa fungsi turunan parsial pertama fx dan fy tidak kontinu di titik (0,0), tentukan dahulu persamaan fungsinya kemudian tunjukkan bahwa limitnya di (0,0) tidak ada. Setelah bentuk fungsi turunan parsial pertamanya disederhanakan diperoleh

dan

Kita tunjukkan bahwa fungsi fx dan fy keduanya tidak mempunyai limit di (0,0).

Sepanjang garis x = 0:

Sepanjang garis y = 0:

Limit di sepanjang garis y = 0 ini tidak (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi fx tidak kontinu di (0,0).

Sepanjang garis x = 0

Sepanjang garis y = x:

Limit di sepanjanggaris y = 0 ini tidak ada (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi fx tidak kontinu di (0,0).

D. DIFERENSIAL TOTAL FUNGSI SKALARKita akan mempelajari konsep diferensial dari fungsi dua peubah, yang dikenal sebagai diferensial total. Untuk ini perhatikan kembali konsep garis singgung pada fungsi real yang terdiferensialkan secara kontinu di titik pada selang terbuka D. konsep ini menyatakan bahwa persamaan garis singgung di titik pada kurva adalah

Pada situasi ini diferensial dari fungsi f di didefinisikan sebagai

dan Atau dan

Berdasarkan definisi kita menuliskan

Dengan untuk . Karena

maka merupakan suatu hampiran yang cukup baik untuk pertambahan bila cukup kecil. Gagasan konsep diferensial fungsi real adalah penghampiran nilai fungsi atau oleh nilai fungsinya pada garis singgung di titik . Dengan perkataan lain, kurva f di sekitar dihampiri oleh garis lurus yang menyinggung kurvanya di titik .

Konsep diferensial fungsi dua peubah real dirancang dengan cara yang sama dan hasilnya dapat diperumum untuk fungsi skalar lainnya. Kita ingat kembali persamaan bidang singgung pada permukaan di titik , fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik adalah dan

atau dalam bentuk komponennya

Tulislah dan , maka persamaan bidang singgung pada permukaan S di titik adalah

Bandingkan hasil ini dengan syarat keterdiferensialan secara kontinu dari fungsi di titik pada daerah ,

dan kontinu di dandengan

dan Keterdiferensialan secara kontinu menjamin adanya bidang singgung pada permukaan S di titik . Di sini kita melihat bahwa ruas kanan persamaan bidang singgung merupakan suatu hampiran yang cukup baik untuk f karena pada rumus dasar pertambahan berlaku

untuk . Berdasarkan kenyataan ini kita mendefinisikan konsep diferensial total fungsi dua peubah sebagai berikut: Definisi

Misalkan fungsi dua peubah

terdiferensialkan secara kontinu di titik pada daerah

.

1. Diferensial dari peubah bebas dan , ditulis dan , didefinisikan sebagai dan .

2. Diferensial (diferensial total) dari peubah tak bebas u, ditulis atau , didefinisikan sebagai

Pada definisi ini, diferensial total dari fungsi f di titik

adalah

atau disingkat

Dari konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan secara kontinu di titik (x,y) pada daerah D, diperoleh dengan QUOTE untuk . Ini berarti bahwa df merupakan suatu penaksir yang baik untuk

.Konsep diferensial total dari fungsi dua peubah dapat diperumum untuk fungsi scalar yang terdiferensialkan secara kontinu pada daerah D. diferensial total dari fungsi tiga peubah u = f(x,y,z) yang terdiferensialkan secara kontinu di titik pada daerah D didefinisikan sebagai

Pada contoh berikut dibahas beberapa contoh tentang diferensial total dari fungsi dua peubah dan diferensial total sebagai suatu hampiran.

Contoh : Diketahui fungsi QUOTE (a). Hitunglah f dan df.

(b). Hitunglah f dan df di (4,3) dengan x = 0,01 dan y = 0,02.

(c). Tanpa menghitungnya secara langsung, taksirlah f (5,12;6,85) dengan diferensial kemudian bandingkan dengan nilai eksaknya.

JAWAB

(a). Fungsi f terdefinisi pada R2, fungsi turunan parsial pertama dari f terhadap peubah x dan y adalah

dan

Karena fungsi turunan parsial pertama fx dan fy kontinu pada R2 maka fungsi f terdiferensialkan secara kontinu pada R2.

Pertambahan dari fungsi fdi titik (x,y) R2 adalah

Diferensial total dari fungsi f di titik (x,y) R2 adalah

QUOTE (b). Untuk x=4, y=3,x=-0,01 dan y=0,02 diperoleh

= dan

Perhatikan bahwa di sini df merupakan suatu hampiran untuk karena dan QUOTE cukup kecil.

(c). Kita akan menentukan nilaiuntuk dan. Pilihlahdan maka nilai taksiran dari dengan konsep diferensial adalah

Nilai eksak di titik

E. MATRIKS JACOBI

Kita akan menyajikan konsep keterdiferensialan fungsi skalar dengan menggunakan transformasi linear, hasil yang diperoleh akan diperumum untuk membahas konsep keterdiferensialan fungsi vektor dengan peubah vektor. Untuk ini perhatikan kembali konsep keterdiferensialan fungsi skalar di satu titik pada suatu daerah.

Fungsi skalar yang mempunyai turunan parsial di pada daerah dikatakan terdiferensialkan di A jika terdapat fungsi , sehingga pertambahan dapat ditulis sebagai

dengan bila

Kita tuliskan syarat keterdiferensialan ini dengan notasi vektor. Misalkan , maka, sehingga syaratnya dapat dituliskan dalam bentuk

dengan

bila

syarat keterdiferensialan terakhir dapat diganti dengan syarat yang lebih kuat, yaitu mengambil dan mengganti oleh , sehingga diperoleh

dengan

Perhatikan bahwa syarat yang terakhir selalu mengakibatkan syarat yang di atasnya juga berlaku. Jadi sekarang kita sampai pada hasil berikut.

DefinisiFungsi skalar daerah dikatakan terdiferensialkan di jika terdapat vektor V dan suatu fungsi skalar yang memenuhi

dengan

Pada definisi ini vektor V adalah gradien dari fungsi f di A, yaitu

Dengan menggunakan sifat aljabar linear, maka untuk vektor V yang diketahui terdapat suatu transformasi linear L sehingga . Jadi konsep keterdiferensialan fungsi skalar di satu titik pada suatu daerah dapat ditampilkan dalam bentuk berikut.

DefinisiFungsi skalar daerah dikatakan terdiferensialkan di jika terdapat transformasi linier dan suatu fungsi skalar yang memenuhi

dengan

Pada definisi ini matriks transformasi linear L yang mempunyai ukuran adalah vektor gradiennya. Jadi L dapat ditulis dala bentuk

Transformasi linear L dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lainnya seringkali ditulis tanpa kurung, yaitu ditulis . Dengan cara penulisan seperti ini, syarat keterdiferensialan dari fungsi skalar menjadi

dengan

Bentuk terakhir dapat ditulis sebagai

dengan atau,

dengan

Dalam penulisan seperti ini, atau dinamakan turunan fungsi skalar f di A.

Perumuman dari hasil yang sedang kita pelajari akan digunakan untuk memperkenalkan konsep keterdiferensialan dari fungsi vektor dengan peubah vektor yang didefinisikan sebagai berikut.

DefinisiFungsi vektor dengan peubah vektor daerah , dikatakan terdiferensialkan di jika terdapat transformasi linear dan suatu fungsi vektor yang memenuhi

dengan

Seperti halnya pada fungsi scalar, jika terdapat tranformasi linear yang berkaitan dengan fungsi F di A, maka kita menyatakan tranformasi tersebut dengan DF(A) atau F(A). dengan cara penulisan ini syarat keterdiferensialan dari fungsi vector dengan peubah vector dapat ditampilkan dalam bentuk

dengan atau,

dengan

Pada situasi ini, vektor F(A+H), F(A) dan E(H) dapat dipandang sebagai matriks berukuran n X 1, matrika transformasi L berukuran n X m dan vector H sebagai matriks berukuran m X 1. baris ke-i dari matriks tranformasi L adalah vektor gradien dari komponen fungsi fi(x) di A, yaitu. Dalam bentuk matriks, syarat keterdiferensialan untuk fungsi vektor dengan peubah vektor dapat ditulis sebagai

nX1 nX1

nXm

mX1

nX1

matriks tranformasi L

Matriks transformasi L dinamakan matriks Jacobi dari fungsi F dan ditulis dengan lambang JF(A). Jadi matriks Jacobi dari fungsi F adalah

Perhatikan beberapa contoh berikut tentang menentukan matriks Jacobi dari suatu fungsi vektor dengan peubah vektor.

Contoh : Tentukan matriks Jacobi dari fungsi vektor dengan peubah vector

di titik (1,1).JAWAB : Komponen fungsi vektor dari F adalah dan

Matriks Jacobi dari fungsi F di titik (x,y) adalah

Sehingga matriks Jacobi dari fungsi F di titik (1,1) adalah

SOAL LATIHAN 1

1. Selidiki apakah terdiferensialkan pada daerah definisinya!2. Tunjukkan bahwa dapat didiferensialkan dimanapun

3. Tentukan , dan jika dan temukan pula differensial totalnya.

ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH DAN FUNGSI IMPLISITA. PENGANTAR Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua pembaca. Jika , dengan dan keduanya fungsi yang dapat dideferensialkan, maka

.B. ATURAN RANTAI

Teorema Aturan Rantai I

Jika fungsi x=x(t) dan y=y(t) terdiferensialkan di dan fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)=(x(t),y(t)), maka fungsi z=g(t)=f(x(t), y(t)) juga terdiferensialkan di t dengan aturan :

dimana dihitung di (x,y)= (x(t),y(t)). Aturan rantai I dapat ditampilkan dalam bentuk diagram pohon berikut

x

t

2 peubah

Bukti : Karena fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)Df, maka :

Dimana

EMBED Equation.3 , dengan

dan

untuk berlaku ,

karena dan maka

Akibatnya dan adalah fungsi dari dengan

dan

Juga untuk , diperoleh

dan .

Dengan menggunakan semua hasil ini pada bentuk

diperoleh ..terbukti

Pada rumus di atas, z dipandang sebagai fungsi satu peubah terhadap t untuk dan dipandang sebagai fungsi duua peubah terhadap x dan y untuk dan .

Teorema aturan rantai I dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks

Jika dimisalkan

Maka aturan rantai I dapat ditulis sebagai

sama dengan bentuk aturan rantai pada fungsi real.

Contoh : Andaikan z=x3y, dimana x=2t dan y=t2 tentukan QUOTE ! Dengan menggunakan aturan rantai I diperoleh :

=(3x2y)(2)+(x3)(2t)

=3(2t)2(t2)2+(2t)32t

=24t4+16t4=40t4 Aturan rantai I untuk 3 peubah

Jika fungsi x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) terdiferensialkan di t pada daerah D dan fungsi u=f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t))Df maka u sebagai fungsi dari t.

u=g(t)=f(x(t),y(t),z(t)) terdiferensialkan di t D dengan aturan :

. Contoh : Andaikan w=x2y+y+xz dimana x=cos t, y= sin t dan z=

. Tentukan !Penyelesaian : Jelas QUOTE

Teorema Aturan Rantai 2

Jika fungsi dan terdiferensialkan di titik pada daerah Df

dan fungsi terdiferensialkan di pada daerah Df

dengan dan , maka fungsi terdiferensialkan di titik dengan aturan :

Dalam bentuk diagram pohon dapat digambarkan, sebagai berikut:

QUOTE x

u

y

QUOTE

QUOTE

QUOTE

Bukti : Untuk z terhadap x.

Buatlah y tetap, tulis y=yo, maka u dan v hanyalah fungsi dari x, yaitu u=u(x,yo) dan v=v(x,yo). Dipunyai fungsi u dan v terdiferensialkan di xo dengan aturan

Gantikan hasil ini pada fungsi z=g(x,y) yang diketahui kemudian gunakan aturan rantai 1 di titik dan maka diperoleh :

dan

QUOTE

( Terbukti )Dalam bentuk perkalian matriks, aturan rantai 2 dapat ditulis

Misalkan

,maka :

Sehingga

Bentuk ini persis sama dengan aturan rantai pada fungsi real.

Contoh :

Jika dimana x=st, y=s-t, dan z=s+2t, tentukan ! ( purcel jilid 2, hal: 282 )

Penyelesaian :

Dipunyai

Jelas

Jelas

Jadi dan

( purcel jilid 2, hal: 282 )

Teorema Aturan Rantai 3

Misalkan , D daerah di dan , E daerah di sehungga Jika fungsi F terdiferensialkan di dan fungsi G terdiferensialkan di maka fungsi komposisi terdiferensialkan di X dengan aturan

() dimana,

.

Dalam bentuk matriks Jacobi, rumus terakhir ditulis sebagai

Diagram panah dari komposisi

Dengan cara seperti aturan rantai 1 dan 2 , kita dapat menyajikan aturan rantai ini dalam diagram pohon, yang penggunaanya cukup praktis.

Bukti:

Karena fungsi F terdiferensialkan di maka terdapat suatu transformasi linear dari ke dari fungsi vektor yang memenuhiF(X+H)= F (X) + F (X)H+

Karena fungsi G terdiferensialkan di , maka terdapat suatu transformasi linear dari ke dan fungsi vektor E(H) yang memenuhi

Kita akan menentukan suatu transformasi linear dari ke dan suatu fungsi vektor E(H) yang memenuhi

Misalkan : , maka

Dengan menggunakan G(F(X)) linear kita sampai pada kesimpulan

Ambillah

,dan

Kemudian buktikan QUOTE Dengan menggunakan lemma 3-3-3 yang berbunyi:

Jika L: suatu transsformasi Linear maka Diperoleh

Karena QUOTE , maka QUOTE Dari kedua hasil diperoleh QUOTE , QUOTE Dari definisi K=K(H) diperoleh QUOTE , akibatnya terbatas. Ini berarti QUOTE yang mengakibatkan .Dari sini diperoleh QUOTE , sehingga kita sampai pada ini memberikan QUOTE . Kemudian, karena maka Karena itu,

Dengan demikian terdapat transformasi linear dan fungsi skalar E(H) sehingga memenuhi

dengan

Ini membuktikan bahwa terdiferensialkan di X dan

( Terbukti ).

C. TURUNAN BERARAH

Definisi 3.3.5:

Misalkan fungsi terdefinisi pada daerah dan suatu vektor satuan di R2. Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u ditulis

. atau

didefinisikan sebagai bila limit ini ada.

Catatan :

1. Jika vektor satuan ditulis dalam bentuk

,

maka turunan berarah dari di dalam arah vektor satuan u dapat didefinisikan sebagai :

.

2. Jika , maka sehingga turunan berarah dari fungsi di dalam arah vektor satuan dapat didefinisikan sebagai:

.

3. Sesuai dengan definisi 3.3.5, turunan berarah dari fungsi di pada daerah dalam arah vektor satuan u didefinisikan sebagai

, bila limit ada.4. Konsep turunan berarah didesain dengan menggunakan limit fungsi satu peubah.

Cara menghitung turunan berarah

Turunan berarah dari fungsi di titik pada suatu daerah D dalam arah vektor satuan dapat dihitung dengan salah satu cara berikut :

a. Misal, g(t)=(x+tu,y+tv), maka

, bila limit ini ada.

b. Dalam kasus fungsi f terdefinisikan di titik

, aturan rantai dengan r = r(t )= x + tu dan s = s(t) = y + tv memberikan

.karena untuk t = 0 berlaku r = x dan s = y, maka

2.. Teorema 3.3.6 Menghitung Turunan Berarah dengan Vektor Gradien Jika fungsi terdiferensialkan di titik pada daerah maka turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u di titik :

QUOTE dimana

3. QUOTE Turunan berarah dan bidang singgung permukaan

Syarat terdapatnya bidang singgung pada permukaan di titik memuat . Syarat ini memberikan terdapatnya turunan berarah di titik untuk sebarang vektor satuan u.4. Turunan berarah sepanjang suatu kurva

Definisi 3.3.7

Misal fungsi z=f(x,y) terdefinisi pada daerah yang memuat titik A. Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva yang melalui A didefinisikan sebagai turunan berarah di A dalam arah vektor singgung satuannya.

Berdasarkan definisi ini, turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C yang melalui A adalah , dimana u vektor singgung satuan dari kurva C di titik A.

5. Turunan berarah dari fungsi scalar lainnya

Definisi 3.3.8

1. Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah dan u=(u,v,w) vektor satuan di R3, turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u, ditulis

didefinisikan sebagai

bila limit ini ada.

2. Misalkan fungsi skalar w=f(x), X= terdefinisi pada daerah dan vektor satuan di R3

Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u ditulis , didefinisikan

bila limit ada.

3. Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah yang memuat A dan kurva C di R3 melalui A. Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai , dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.

4. Misalkan fungsi skalar w=f(x), X= terdefinisi pada daerah yang memuat titik dan kurva C di Rm melalui titik A.

Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai , dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.

Teorema 3.3.9 Menghitung turunan berarah dari fungsi skalar dengan vektor gradien.

Jika fungsi skalar fungsi skalar w=f(x), X= terdiferensialkan di titik X pada daerah dan vektor satuan di Um, maka turunan berarah dari fungsi f di titik dalam arah vektor satuan u adalah

.

Arti Geometri Turunan Berarah

Arti geometri dari turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di A=(a,b) dalam arah vektor satuan u adalah gradient garis singgung di titik P(a,b,f(a,b)) pada kurva C yang merupakan perpotongan antara permukaan s=z=f(x,y) dengan bidang r yang dibentang oleh garis (k,u) dan melalui titik P.

Contoh soal :

Tentukan turunan bararah dari fungsi dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut dengan sumbu X positif di titik (x,y) dan di titik (1,-1)!

Penyelesaian : Vektor satuan :

Cara kedua :

Turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap peubah x dan y adalah

Berdasarkan teorema 3.3.6 diperoleh turunan bararah dari fungsi f di (x,y) adalah

Sehingga turunan berarah dari fungsi f di (1,-1) adalah

D. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Dipunyai persamaan berbentuk f(x,y)=0, menyatakan :

y sebagai fungsi implisit dari x, dan

x sebagai fungsi implisit dari y. Fungsi yang disajikan dengan y=f(x), variabel x dan y terpisah di ruas yang berbeda. Fungsi yang disajikan seperti ini disebut fungsi eksplisit. Fungsi yang tidak demikian disebut fungsi implisit.

y sebagai fungsi implisit dari x Bila fungsinya dituliskan sebagai y=f(x), maka diperoleh F(x,f(x)) = 0. Fungsi F terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh

x sebagai fungsi implisit dari yBila fungsinya dituliskan sebagai x=g(y), maka diperoleh F(g(y),y) = 0. Fungsi F terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh

Atau melalui diferensial total

F(x,y)=0 maka d F(x,y)=0

Turunan fungsi implisit dari fungsi 2 peubah termuat secara implisit dalam fungsi 3 peubah.

Misalkan u=F(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z) pada , dan diketahui F(x,y,z)=0, maka ada tiga kasus.

1). Kasus z = f(x,y)

Diperoleh persamaan F(x,y,f(x,y)) = 0 diperoleh

dan

Atau dapat dituliskan

dengan

2). Kasus y = f(x,z)

Diperoleh persamaan F(x, f(x,z),z) = 0 diperoleh

dan


dengan

3). Kasus x = f(y,z)

Diperoleh persamaan F(f(y,z),y,z) = 0 diperoleh

dan


dengan

Contoh Soal

Jika persamaan secara implicit mendefinisikan fungsi z=f(x,y) , y=g(x,z) , dan x=h(y,z). tentukan turunan parsial fx, fy, gx, gz, hy, hz!

turunan parsial pertama dari fungsi F terhadap peubah x, y, dan z adalah

fx (x,y,z) = 24x2+6y2+2z4fy (x,y,z) = 27y2+12xy

fz (x,y,z) = 12z3+8xz3untuk fungsi yang mendefinisikan z=f(x,y), maka

untuk fungsi yang mendefinisikan y=g(x,z) , maka

untuk fungsi yang mendefinisikan x=h(y,z), maka

SOAL LATIHAN 2

1. Dipunyai . tentukan dan

2. tentukan turunan berarah dari pada titik (1,1,1) dalam arah ke (5,-3,3).

3. jika persamaan mendefinisikan secara implisit fungsi . Tentukan turunan parsial dan

DAFTAR PUSTAKA

Martono, Koko.1992. Kalkulus Lanjut 1. Bandung: ITB.

Purcell J, dkk. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama.Purcell J, dkk. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama.KELOMPOK 6

AULIA SYARIFAH4111410037

ANGELA HARDITHASARI 4111410016

SAMUEL DEFRI NUGROHO 4111410042

Fungsi Skalar TerdiferensialkanKelompok 6





f

terdiferensialkan

di D

f

terdiferensialkan

di (a,b)

EMBED Equation.3 ada

di (a,b)

EMBED Equation.3 ada

di (a,b)

f kontinu

pada D

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 kontinu

di (a,b)

RDP

f

terdiferensialkan

secara kontinu di D

f

terdiferensialkan

secara kontinu di (a,b)

EMBED Equation.3

kontinu

di (a,b)

EMBED Equation.3

kontinu

di (a,b)


Diferensial TotalKelompok 6








EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

t

z

Aturan RantaiKelompok 6



EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

z

x

v




EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

G(F(X))

F(X)

X



Turunan BerarahKelompok 6




Turunan Fungsi ImplisitKelompok 6





12

_1349262784.unknown

_1349669071.unknown

_1349669135.unknown

_1349669199.unknown

_1349669231.unknown

_1349669247.unknown

_1349669264.unknown

_1349669272.unknown

_1349669280.unknown

_1349669284.unknown

_1349672312.unknown

_1349672314.unknown

_1349672316.unknown

_1349672317.unknown

_1349672318.unknown

_1349672315.unknown

_1349672313.unknown

_1349669286.unknown

_1349669287.unknown

_1349669285.unknown

_1349669282.unknown

_1349669283.unknown

_1349669281.unknown

_1349669276.unknown

_1349669278.unknown

_1349669279.unknown

_1349669277.unknown

_1349669274.unknown

_1349669275.unknown

_1349669273.unknown

_1349669268.unknown

_1349669270.unknown

_1349669271.unknown

_1349669269.unknown

_1349669266.unknown

_1349669267.unknown

_1349669265.unknown

_1349669256.unknown

_1349669260.unknown

_1349669262.unknown

_1349669263.unknown

_1349669261.unknown

_1349669258.unknown

_1349669259.unknown

_1349669257.unknown

_1349669251.unknown

_1349669253.unknown

_1349669255.unknown

_1349669252.unknown

_1349669249.unknown

_1349669250.unknown

_1349669248.unknown

_1349669239.unknown

_1349669243.unknown

_1349669245.unknown

_1349669246.unknown

_1349669244.unknown

_1349669241.unknown

_1349669242.unknown

_1349669240.unknown

_1349669235.unknown

_1349669237.unknown

_1349669238.unknown

_1349669236.unknown

_1349669233.unknown

_1349669234.unknown

_1349669232.unknown

_1349669215.unknown

_1349669223.unknown

_1349669227.unknown

_1349669229.unknown

_1349669230.unknown

_1349669228.unknown

_1349669225.unknown

_1349669226.unknown

_1349669224.unknown

_1349669219.unknown

_1349669221.unknown

_1349669222.unknown

_1349669220.unknown

_1349669217.unknown

_1349669218.unknown

_1349669216.unknown

_1349669207.unknown

_1349669211.unknown

_1349669213.unknown

_1349669214.unknown

_1349669212.unknown

_1349669209.unknown

_1349669210.unknown

_1349669208.unknown

_1349669203.unknown

_1349669205.unknown

_1349669206.unknown

_1349669204.unknown

_1349669201.unknown

_1349669202.unknown

_1349669200.unknown

_1349669167.unknown

_1349669183.unknown

_1349669191.unknown

_1349669195.unknown

_1349669197.unknown

_1349669198.unknown

_1349669196.unknown

_1349669193.unknown

_1349669194.unknown

_1349669192.unknown

_1349669187.unknown

_1349669189.unknown

_1349669190.unknown

_1349669188.unknown

_1349669185.unknown

_1349669186.unknown

_1349669184.unknown

_1349669175.unknown

_1349669179.unknown

_1349669181.unknown

_1349669182.unknown

_1349669180.unknown

_1349669177.unknown

_1349669178.unknown

_1349669176.unknown

_1349669171.unknown

_1349669173.unknown

_1349669174.unknown

_1349669172.unknown

_1349669169.unknown

_1349669170.unknown

_1349669168.unknown

_1349669151.unknown

_1349669159.unknown

_1349669163.unknown

_1349669165.unknown

_1349669166.unknown

_1349669164.unknown

_1349669161.unknown

_1349669162.unknown

_1349669160.unknown

_1349669155.unknown

_1349669157.unknown

_1349669158.unknown

_1349669156.unknown

_1349669153.unknown

_1349669154.unknown

_1349669152.unknown

_1349669143.unknown

_1349669147.unknown

_1349669149.unknown

_1349669150.unknown

_1349669148.unknown

_1349669145.unknown

_1349669146.unknown

_1349669144.unknown

_1349669139.unknown

_1349669141.unknown

_1349669142.unknown

_1349669140.unknown

_1349669137.unknown

_1349669138.unknown

_1349669136.unknown

_1349669103.unknown

_1349669119.unknown

_1349669127.unknown

_1349669131.unknown

_1349669133.unknown

_1349669134.unknown

_1349669132.unknown

_1349669129.unknown

_1349669130.unknown

_1349669128.unknown

_1349669123.unknown

_1349669125.unknown

_1349669126.unknown

_1349669124.unknown

_1349669121.unknown

_1349669122.unknown

_1349669120.unknown

_1349669111.unknown

_1349669115.unknown

_1349669117.unknown

_1349669118.unknown

_1349669116.unknown

_1349669113.unknown

_1349669114.unknown

_1349669112.unknown

_1349669107.unknown

_1349669109.unknown

_1349669110.unknown

_1349669108.unknown

_1349669105.unknown

_1349669106.unknown

_1349669104.unknown

_1349669087.unknown

_1349669095.unknown

_1349669099.unknown

_1349669101.unknown

_1349669102.unknown

_1349669100.unknown

_1349669097.unknown

_1349669098.unknown

_1349669096.unknown

_1349669091.unknown

_1349669093.unknown

_1349669094.unknown

_1349669092.unknown

_1349669089.unknown

_1349669090.unknown

_1349669088.unknown

_1349669079.unknown

_1349669083.unknown

_1349669085.unknown

_1349669086.unknown

_1349669084.unknown

_1349669081.unknown

_1349669082.unknown

_1349669080.unknown

_1349669075.unknown

_1349669077.unknown

_1349669078.unknown

_1349669076.unknown

_1349669073.unknown

_1349669074.unknown

_1349669072.unknown

_1349266726.unknown

_1349266759.unknown

_1349669055.unknown

_1349669063.unknown

_1349669067.unknown

_1349669069.unknown

_1349669070.unknown

_1349669068.unknown

_1349669065.unknown

_1349669066.unknown

_1349669064.unknown

_1349669059.unknown

_1349669061.unknown

_1349669062.unknown

_1349669060.unknown

_1349669057.unknown

_1349669058.unknown

_1349669056.unknown

_1349266775.unknown

_1349266783.unknown

_1349669051.unknown

_1349669053.unknown

_1349669054.unknown

_1349669052.unknown

_1349614210.unknown

_1349669049.unknown

_1349669050.unknown

_1349614246.unknown

_1349614270.unknown

_1349266785.unknown

_1349267374.unknown

_1349266784.unknown

_1349266779.unknown

_1349266781.unknown

_1349266782.unknown

_1349266780.unknown

_1349266777.unknown

_1349266778.unknown

_1349266776.unknown

_1349266767.unknown

_1349266771.unknown

_1349266773.unknown

_1349266774.unknown

_1349266772.unknown

_1349266769.unknown

_1349266770.unknown

_1349266768.unknown

_1349266763.unknown

_1349266765.unknown

_1349266766.unknown

_1349266764.unknown

_1349266761.unknown

_1349266762.unknown

_1349266760.unknown

_1349266743.unknown

_1349266751.unknown

_1349266755.unknown

_1349266757.unknown

_1349266758.unknown

_1349266756.unknown

_1349266753.unknown

_1349266754.unknown

_1349266752.unknown

_1349266747.unknown

_1349266749.unknown

_1349266750.unknown

_1349266748.unknown

_1349266745.unknown

_1349266746.unknown

_1349266744.unknown

_1349266735.unknown

_1349266739.unknown

_1349266741.unknown

_1349266742.unknown

_1349266740.unknown

_1349266737.unknown

_1349266738.unknown

_1349266736.unknown

_1349266730.unknown

_1349266732.unknown

_1349266734.unknown

_1349266731.unknown

_1349266728.unknown

_1349266729.unknown

_1349266727.unknown

_1349262848.unknown

_1349262881.unknown

_1349266709.unknown

_1349266718.unknown

_1349266722.unknown

_1349266724.unknown

_1349266725.unknown

_1349266723.unknown

_1349266720.unknown

_1349266721.unknown

_1349266719.unknown

_1349266714.unknown

_1349266716.unknown

_1349266717.unknown

_1349266715.unknown

_1349266711.unknown

_1349266713.unknown

_1349266710.unknown

_1349266701.unknown

_1349266705.unknown

_1349266707.unknown

_1349266708.unknown

_1349266706.unknown

_1349266703.unknown

_1349266704.unknown

_1349266702.unknown

_1349266697.unknown

_1349266699.unknown

_1349266700.unknown

_1349266698.unknown

_1349262885.unknown

_1349263356.unknown

_1349263357.unknown

_1349262887.unknown

_1349263355.unknown

_1349262886.unknown

_1349262883.unknown

_1349262884.unknown

_1349262882.unknown

_1349262865.unknown

_1349262873.unknown

_1349262877.unknown

_1349262879.unknown

_1349262880.unknown

_1349262878.unknown

_1349262875.unknown

_1349262876.unknown

_1349262874.unknown

_1349262869.unknown

_1349262871.unknown

_1349262872.unknown

_1349262870.unknown

_1349262867.unknown

_1349262868.unknown

_1349262866.unknown

_1349262856.unknown

_1349262860.unknown

_1349262862.unknown

_1349262864.unknown

_1349262861.unknown

_1349262858.unknown

_1349262859.unknown

_1349262857.unknown

_1349262852.unknown

_1349262854.unknown

_1349262855.unknown

_1349262853.unknown

_1349262850.unknown

_1349262851.unknown

_1349262849.unknown

_1349262816.unknown

_1349262832.unknown

_1349262840.unknown

_1349262844.unknown

_1349262846.unknown

_1349262847.unknown

_1349262845.unknown

_1349262842.unknown

_1349262843.unknown

_1349262841.unknown

_1349262836.unknown

_1349262838.unknown

_1349262839.unknown

_1349262837.unknown

_1349262834.unknown

_1349262835.unknown

_1349262833.unknown

_1349262824.unknown

_1349262828.unknown

_1349262830.unknown

_1349262831.unknown

_1349262829.unknown

_1349262826.unknown

_1349262827.unknown

_1349262825.unknown

_1349262820.unknown

_1349262822.unknown

_1349262823.unknown

_1349262821.unknown

_1349262818.unknown

_1349262819.unknown

_1349262817.unknown

_1349262800.unknown

_1349262808.unknown

_1349262812.unknown

_1349262814.unknown

_1349262815.unknown

_1349262813.unknown

_1349262810.unknown

_1349262811.unknown

_1349262809.unknown

_1349262804.unknown

_1349262806.unknown

_1349262807.unknown

_1349262805.unknown

_1349262802.unknown

_1349262803.unknown

_1349262801.unknown

_1349262792.unknown

_1349262796.unknown

_1349262798.unknown

_1349262799.unknown

_1349262797.unknown

_1349262794.unknown

_1349262795.unknown

_1349262793.unknown

_1349262788.unknown

_1349262790.unknown

_1349262791.unknown

_1349262789.unknown

_1349262786.unknown

_1349262787.unknown

_1349262785.unknown

_1349262571.unknown

_1349262705.unknown

_1349262745.unknown

_1349262768.unknown

_1349262776.unknown

_1349262780.unknown

_1349262782.unknown

_1349262783.unknown

_1349262781.unknown

_1349262778.unknown

_1349262779.unknown

_1349262777.unknown

_1349262772.unknown

_1349262774.unknown

_1349262775.unknown

_1349262773.unknown

_1349262770.unknown

_1349262771.unknown

_1349262769.unknown

_1349262753.unknown

_1349262764.unknown

_1349262766.unknown

_1349262767.unknown

_1349262765.unknown

_1349262759.unknown

_1349262761.unknown

_1349262762.unknown

_1349262763.unknown

_1349262760.unknown

_1349262755.unknown

_1349262756.unknown

_1349262754.unknown

_1349262749.unknown

_1349262751.unknown

_1349262752.unknown

_1349262750.unknown

_1349262747.unknown

_1349262748.unknown

_1349262746.unknown

_1349262723.unknown

_1349262733.unknown

_1349262741.unknown

_1349262743.unknown

_1349262744.unknown

_1349262742.unknown

_1349262735.unknown

_1349262738.unknown

_1349262739.unknown

_1349262740.unknown

_1349262737.unknown

_1349262734.unknown

_1349262729.unknown

_1349262731.unknown

_1349262732.unknown

_1349262730.unknown

_1349262725.unknown

_1349262726.unknown

_1349262724.unknown

_1349262713.unknown

_1349262717.unknown

_1349262719.unknown

_1349262720.unknown

_1349262718.unknown

_1349262715.unknown

_1349262716.unknown

_1349262714.unknown

_1349262709.unknown

_1349262711.unknown

_1349262712.unknown

_1349262710.unknown

_1349262707.unknown

_1349262708.unknown

_1349262706.unknown

_1349262607.unknown

_1349262685.unknown

_1349262697.unknown

_1349262701.unknown

_1349262703.unknown

_1349262704.unknown

_1349262702.unknown

_1349262699.unknown

_1349262700.unknown

_1349262698.unknown

_1349262693.unknown

_1349262695.unknown

_1349262696.unknown

_1349262694.unknown

_1349262687.unknown

_1349262689.unknown

_1349262691.unknown

_1349262692.unknown

_1349262690.unknown

_1349262688.unknown

_1349262686.unknown

_1349262677.unknown

_1349262681.unknown

_1349262683.unknown

_1349262684.unknown

_1349262682.unknown

_1349262679.unknown

_1349262680.unknown

_1349262678.unknown

_1349262673.unknown

_1349262675.unknown

_1349262676.unknown

_1349262674.unknown

_1349262609.unknown

_1349262610.unknown

_1349262608.unknown

_1349262587.unknown

_1349262599.unknown

_1349262603.unknown

_1349262605.unknown

_1349262606.unknown

_1349262604.unknown

_1349262601.unknown

_1349262602.unknown

_1349262600.unknown

_1349262595.unknown

_1349262597.unknown

_1349262598.unknown

_1349262596.unknown

_1349262593.unknown

_1349262594.unknown

_1349262588.unknown

_1349262579.unknown

_1349262583.unknown

_1349262585.unknown

_1349262586.unknown

_1349262584.unknown

_1349262581.unknown

_1349262582.unknown

_1349262580.unknown

_1349262575.unknown

_1349262577.unknown

_1349262578.unknown

_1349262576.unknown

_1349262573.unknown

_1349262574.unknown

_1349262572.unknown

_1349262501.unknown

_1349262533.unknown

_1349262555.unknown

_1349262563.unknown

_1349262567.unknown

_1349262569.unknown

_1349262570.unknown

_1349262568.unknown

_1349262565.unknown

_1349262566.unknown

_1349262564.unknown

_1349262559.unknown

_1349262561.unknown

_1349262562.unknown

_1349262560.unknown

_1349262557.unknown

_1349262558.unknown

_1349262556.unknown

_1349262547.unknown

_1349262551.unknown

_1349262553.unknown

_1349262554.unknown

_1349262552.unknown

_1349262549.unknown

_1349262550.unknown

_1349262548.unknown

_1349262537.unknown

_1349262541.unknown

_1349262543.unknown

_1349262545.unknown

_1349262546.unknown

_1349262544.unknown

_1349262542.unknown

_1349262539.unknown

_1349262540.unknown

_1349262538.unknown

_1349262535.unknown

_1349262536.unknown

_1349262534.unknown

_1349262517.unknown

_1349262525.unknown

_1349262529.unknown

_1349262531.unknown

_1349262532.unknown

_1349262530.unknown

_1349262527.unknown

_1349262528.unknown

_1349262526.unknown

_1349262521.unknown

_1349262523.unknown

_1349262524.unknown

_1349262522.unknown

_1349262519.unknown

_1349262520.unknown

_1349262518.unknown

_1349262509.unknown

_1349262513.unknown

_1349262515.unknown

_1349262516.unknown

_1349262514.unknown

_1349262511.unknown

_1349262512.unknown

_1349262510.unknown

_1349262505.unknown

_1349262507.unknown

_1349262508.unknown

_1349262506.unknown

_1349262503.unknown

_1349262504.unknown

_1349262502.unknown

_1349262469.unknown

_1349262485.unknown

_1349262493.unknown

_1349262497.unknown

_1349262499.unknown

_1349262500.unknown

_1349262498.unknown

_1349262495.unknown

_1349262496.unknown

_1349262494.unknown

_1349262489.unknown

_1349262491.unknown

_1349262492.unknown

_1349262490.unknown

_1349262487.unknown

_1349262488.unknown

_1349262486.unknown

_1349262477.unknown

_1349262481.unknown

_1349262483.unknown

_1349262484.unknown

_1349262482.unknown

_1349262479.unknown

_1349262480.unknown

_1349262478.unknown

_1349262473.unknown

_1349262475.unknown

_1349262476.unknown

_1349262474.unknown

_1349262471.unknown

_1349262472.unknown

_1349262470.unknown

_1349262453.unknown

_1349262461.unknown

_1349262465.unknown

_1349262467.unknown

_1349262468.unknown

_1349262466.unknown

_1349262463.unknown

_1349262464.unknown

_1349262462.unknown

_1349262457.unknown

_1349262459.unknown

_1349262460.unknown

_1349262458.unknown

_1349262455.unknown

_1349262456.unknown

_1349262454.unknown

_1349262444.unknown

_1349262449.unknown

_1349262451.unknown

_1349262452.unknown

_1349262450.unknown

_1349262446.unknown

_1349262447.unknown

_1349262445.unknown

_1349262440.unknown

_1349262442.unknown

_1349262443.unknown

_1349262441.unknown

_1322201294.unknown

_1322202128.unknown

_1349262438.unknown

_1349262439.unknown

_1349262437.unknown

_1322202155.unknown

_1322202017.unknown

_1322202095.unknown

_1322201484.unknown

_1322201166.unknown

_1322201267.unknown

_1319643398.unknown

Documents

MAKALAH KELOMPOK 6