MAKALAH KELOMPOK 7

METODE NUMERIK“Metode Lelaran Untuk Menyelesaikan SPL”

Oleh:Ayu Puji Lestari 13051008

Fitri Rezky Hamzani 13051032

Kiki Rapika Dewi Hasibuan 13051022

Lisda Mayanti 13051026

Roudhotuz Zahro 13051010

Dosen Pembimbing : Hari Sumardi, S.Pd., M.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS ASAHAN

KISARAN2015

i

KATA PENGANTAR

Asslamualaikum Wr.Wb

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah Yang Maha Esa karena berkat

rahmat dan hidayahnya, tugas ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu.

Dan dengan tidak mengurangi rasa hormat kami, kami ucapkan banyak terima kasih

kepada Bapak Dosen Metode Numerik : Bapak Hari Sumardi, S.Pd., M.Si yang telah

memberikan izin kepada kami untuk menyusun makalah ini.

Tugas ini di susun dalam rangka memenuhi tugas mata kuliah Metode

Numerik. Tugas ini juga disusun agar pembaca dapat memahami penggunaan metode

yang tepat dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear, seperti metode lelaran

Jacobi dan metode lelaran Gauss-Seidel.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Untuk

itu, penulis sangat mengharapkan adanya kritik dan saran dari semua pihak demi

perbaikan makalah ini pada masa mendatang. Semoga makalah ini dapat bermanfaat

dan menambah ilmu tidak hanya untuk penulis tetapi juga untuk para pembaca.

Wassalamualaikum Wr.Wb

Kisaran, 28 Desember 2015

Penulis

i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar.................................................................................................. i

Daftar Isi........................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN............................................................................... 1

1.1 Latar Belakang.................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah............................................................................... 2

1.3 Tujuan ................................................................................................ 2

BAB II PEMBAHASAN................................................................................. 3

2.1 Metode Lelaran Untuk Menyelesaikan SPL....................................... 3

2.2 Metode Lelaran Jacobi........................................................................ 5

2.3 Metode Lelaran Gauss- Seidel............................................................ 7

BAB III PENUTUP......................................................................................... 10

3.1 Kesimpulan.......................................................................................... 10

3.2 Saran………........................................................................................ 10

DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 11

ii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sistem persamaan linear merupakan salah satu model dan masalah

matematika yang banyak dijumpai didalam berbagai disiplin, termasuk

matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu sosial teknik dan bisnis. Sistem-

sistem persamaan linear muncul secara langsung dari masalah-masalah nyata, dan

merupakan bagian dari proses penyelesaian masalah-masalah lain, misalnya

penyelesaian sistem persamaan non linear simultan.

Suatu sistem persamaan linear terdiri atas sejumlah behingga persamaan

linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan

linear adalah mencari nilai-nilai variabel tersebut yang memenuhi semua

persamaan linear yang diberikan.

Pada dasarnya terdapat dua kelompok metode yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Metode pertama dikenal sebagai

metode langsung yaitu metode yang mencari penyelesaian suatu sistem persamaan

linear dalam langkah berhingga. Metode-metode ini dijamin berhasil dan

disarankan untuk pemakaian secara umum. Kelompok kedua dikenal sebagai

metode tak langsung atau metode iteratif (lelaran), yang bermula dari suatu

hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran

dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode lelaran terdiri dari

metode lelaran jacobi dan metode lelaran gauss-seidel.

Metode Lelaran Untuk Menyelesaikan SPL Page 1

2.1 Rumusan Masalah

1. Bagaimana cara menyelesaikan SPL dengan menggunakan metode lelaran?

2. Bagaimana cara menyelesaikan SPL menggunakan metode lelaran jacobi?

3. Bagaimana cara menyelesaikan SPL menggunakan metode lelaran Gauss-

Seidel?

3.1 Tujuan

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk :

1. Mengetahui cara menyelesaikan SPL dengan menggunakan metode lelaran.

2. Mengetahui cara menyelesaikan SPL menggunakan metode lelaran jacobi.

3. Mengetahui cara menyelesaikan SPL menggunakan metode lelaran Gauss-

Seidel.


BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Metode Lelaran Untuk Menyelesaikan SPL

Metode eliminasi Gauss melibatkan banyak galat pembulatan. Galat pembulatan

yang terjadi pada eliminasi Gauss (maupun eliminasi Gauss-Jordan) dapat menyebabkan

solusi yang diperoleh “jauh” dari solusi sebenarnya. Gagasan metoda lelaran pada

pencarian akar persamaan nirlanjar dapat juga diterapkan untuk menyelesaikan SPL.

Dengan metode lelaran, galat pembulatan dapat diperkecil, karena kita dapat meneruskan

lelaran sampai solusinya seteliti mungkin, sesuai dengan batas galat yang kita

perbolehkan. Dengan kata lain, besar galat dapat dikendalikan sampai batas yang

diterima.

Jika metode eliminasi Gauss dan variasi-variasinya serta metode dekomposisi LU

dinamakan metode langsung (direct), karena solusi SPL diperoleh tanpa lelaran maka

metode lelaran dinamakan metode tidak langsung (indirect) atau metode iteratif.

Tinjau kembali sistem persamaan lanjar

a11 x1+a12 x2+…+a1 n xn=b1

a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2

:

an1 x1+an 2 x2+…+ann xn=bn

Dengan syarat akk≠ 0 , k=1,2 ,…,n, maka persamaan lelarannya dapat ditulis sebagai

x1(k +1)=

b1−a12 x2k …−a1n xn

k

a11

x2(k +1)=

b2−a21 x1k−a23 x3

k …−a2n xnk

a22

:

xn(k +1)=

bn−an2 x1k−an2 x2

k−…−ann−1 xn−1k

ann

Dengan k = 0, 1, 2, ...

Lelaran dimulai dengan memberikan tebakan awal untuk x,

x0=[x1( 0)

x2( 0)

⋮xn

( 0) ]Metode Lelaran Untuk Menyelesaikan SPL Page 3

Sebagai kondisi berhenti lelarannya, dapat digunakan pendekatan galat relatif

|x i(k+1 )−x i

(k )

xi(k+1 ) |<εuntuk semua i=1 ,2 , 3 , …, n

Syarat cukup agar lelarannya konvergen adalah sistem dominan secara diagonal .

|aij|> ∑j=1 , j≠ i

n

|a ij|, i=1 , 2,3 , …,n

Syarat cukup ini berarti bahwa agar lelarannya konvergen, cukup dipenuhi syarat

itu. Jika syarat tersebut dipenuhi, kekonvergenan dijamin. Meskipun sistem tidak

dominan secara diagonal, lelarannya masih mungkin konvergen.

Sebagai contoh, SPL berikut

3 x1+x2−x3=1

2 x1+4 x2+x3=5

−x1+5x2+8 x3=5

Dominan secara diagonal, karena

|3|>|1|+|−1|

|4|>|2|+|1|

|8|>|−1|+|5|

Karena itu lelarannya pasti konvergen.

Ada dua metode lelaran yang akan kita bahas disini:

1. Metode lelaran Jacobi

2. Metode lelaran Gauss-Seidel

2.2 Metode Lelaran Jacobi

Persamaan lelarannya adalah seperti yang ditulis diatas. Misalkan diberikan

tebakan awal x (0 ) :

x (0 )=(x1( 0) , x2

(0 ) ,…, xn(0 ))T

Prosedur lelaran untuk lelaran pertama, kedua, dan seterusnya adalah sebagai

berikut:

Lelaran pertama:

x1(1 )=

b1−a12 x2(0)−a13 x3

(0 )−…−a1 n xn(0)

a11

x2(1 )=

b2−a21 x1(0)−a23 x3

(0 )−…−a2 n xn(0)

a22


⋮

xn(1 )=

bn−an 1 xn(0)−an 2 x2

(0)−…−ann−1 xn−1(0)

ann

Lelaran kedua :

x1(2 )=

b1−a12 x2(1)−a13 x3

(1)−…−a1 n xn(1)

a11

x2(2 )=

b2−a21 x1(1)−a23 x3

(1)−…−a2 n xn(1 )

a22

⋮

xn(2 )=

bn−an 1 xn(1)−an 2 x2

(1 )−…−ann−1 xn−1(1)

ann

Rumus umum:

x i(k +1)=

b1− ∑j=1 , j≠ i

n

aij x j(k)

a11, k=0,1,2 , …

2.3 Metode Lelaran Gauss-Seidel

Kecepatan konvergen pada lelaran Jacobi dapat dipercepat bila setiap harga xi

yang baru dihasilkan segera dipakai pada persamaan berikutnya untuk menentukan harga

x i+1 yang lainnya.

Lelaran pertama:

x1(1 )=

b1−a12 x2(0)−a13 x3

(0 )−a14 x4(0)

a11

x2(1 )=

b1−a21 x1(1)−a23 x3

(0)−a2 4 x4(0)

a22

x3(1 )=

b3−a31 x1(1)−a3 2 x2

(1)−a34 x4(0)

a33

x4(1 )=

b4−a41 x1(1)−a42 x2

(1)−a43 x3(1)

a44

Lelaran kedua:


x1(2 )=

b1−a12 x2(1)−a13 x3

(1)−a14 x4(1)

a11

x2(2 )=

b1−a21 x1(2)−a23 x3

(1)−a24 x4(1)

a22

x3(2 )=

b3−a31 x1(2)−a32 x2

(2)−a34 x4(1)

a33

x4(2 )=

b4−a41 x1(2)−a42 x2

(2)−a43 x3(2)

a44

Rumus umum:

x i(k +1)=b1−

∑j=1

n

aij x j(k+1)−¿ ∑

j=i+1

n

aij x j(k)

aii, k=0,1,2 ,…¿

Contoh :

Tentukan solusi SPL

4 x− y+z=7

4 x−8 y+z=−21

−2 x+ y+5 z=15

Dengan nilai awal P0=( x0 , y0 , z0 )=(1,2,2 ) .

(Solusi sejatinya adalah (2, 4, 3))

Penyelesaian:

a) Metode lelaran Jacobi

Persamaan lelarannya:

xr+1=7+ yr−zr

4

yr+1=21+4 xr+zr

8

zr+1=15+2 xr− yr

5

Lelarannya:

x1=7+2−2

4=1.75

y1=21+4 (1 )+2

4=3.375


z1=15+2(1)−2

5=3.000

x2=7+3.375−3.00

4=1.84375

y2=21+4 (1.75 )+3.00

8=3.875

z2=15+2(1.75)−3.375

5=3.025

...

x19=2.00000000

y19=4.00000000

z19=3.00000000

Jika menggunakan tabel lelaran:

r x y z0 1,00000000 2,00000000 2,000000001 1,75000000 3,37500000 3,000000002 1,84375000 3,87500000 3,025000003 1,96250000 3,92500000 2,962500004 1,99062500 3,97656250 3,000000005 1,99414063 3,99531250 3,000937506 1,99859375 3,99718750 2,998593757 1,99964844 3,99912109 3,000000008 1,99978027 3,99982422 3,000035169 1,99994727 3,99989453 2,9999472710 1,99998682 3,99996704 3,0000000011 1,99999176 3,99999341 3,0000013212 1,99999802 3,99999604 2,9999980213 1,99999951 3,99999876 3,0000000014 1,99999969 3,99999975 3,0000000515 1,99999993 3,99999985 2,9999999316 1,99999998 3,99999995 3,0000000017 1,99999999 3,99999999 3,0000000018 2,00000000 3,99999999 3,0000000019 2,00000000 4,00000000 3,00000000

b) Metode lelaran Gauss-Seidel

Persamaan lelarannya,


xr+1=7+ yr−zr

4

yr+1=21+4 xr+zr

8

zr+1=15+2 xr− yr

5

Lelarannya,

x1=7+2−2

4=1.75

y1=21+4 (1.75 )+2

4=3.75

z1=15+2(1.75)−3.75

5=2.95

x2=7+3.375−2.95

4=1.95

y2=21+4 (1.95 )+2.95

8=3.96875

z2=15+2(1.9 5)−3. 96875

5=2.98625

...

x1 0=2.00000000

y1 0=4.00000000

z10=3.00000000

Jika menggunakan tabel lelaran:

r x y z0 1,00000000 2,00000000 2,000000001 1,75000000 3,75000000 2,950000002 1,95000000 3,96875000 2,986250003 1,99562500 3,99609375 2,999031254 1,99926563 3,99951172 2,999803915 1,99992695 3,99993896 2,999982996 1,99998899 3,99999237 2,999997127 1,99999881 3,99999905 2,999999728 1,99999983 3,99999988 2,999999969 1,99999998 3,99999999 3,0000000010 2,00000000 4,00000000 3,00000000

Jadi, solusi SPL adalah x = 2.00000000, y = 4.00000000, z = 3.00000000


BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dua metode lelaran yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL adalah Metode

lelaran Jacobi dan metode lelaran Gauss-Seidel.

Rumus metode lelaran Jacobi:

x i(k +1)=

b1− ∑j=1 , j≠ i

n

aij x j(k)

a11, k=0,1,2 , …

Rumus metode lelaran Gauss-Seidel:

x i

(k +1)=b1−∑j=1

n

aij x j(k+1)−¿ ∑

j=i+1

n

aij x j(k)

aii, k=0,1,2 ,…¿

Pada metode lelaran Gauss-Seidel kecepatan konvergen lebih cepat dari pada lelaran

Jacobi, karena pada metode tersebut setiap harga xi yang baru dihasilkan segera

dipakai pada persamaan berikutnya untuk menentukan harga x i+1 yang lainnya.

3.2 Saran

Untuk mendapatkan solusi SPL dengan lebih cepat, pembaca dapat menggunakan

metode lelaran Gauss-Seidel dan untuk mendapatkan solusi dengan lebih cepat dan efektif,

perhitungan dapat dilakukan menggunakan teknologi komputer seperti Microsoft Excel.

.


DAFTAR PUSTAKA

Munir, Rinaldi. 2013. Metode Numerik. Revisi Ketiga. Bandung : Informatika.

https://mfatwah.files.wordpress.com/2011/04/metode-numerik.pdf (diunduh pada

tanggal 27 Desember 2015 pukul 02.26 wib)

http://elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST044-

4/2011/10/20111010_04Metode%20Jacobi.pdf (diunduh pada tanggal 27 Desember 2015

pukul 02.29 wib)

https://kuliah-elektro-ustj.googlecode.com/files/MetodeIterasiGauss%20Seidell.pdf

(diunduh pada tanggal 27 Desember 2015 pukul 02.30 wib)

https://muntohar.files.wordpress.com/2012/10/lect-5-gauss-siedel.pdf (diunduh pada

tanggal 27 Desember 2015 pukul 02.31)


Documents

MAKALAH KELOMPOK 7