Upload
annisa-edriani
View
151
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 1/37
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang diajarkan pada setiap
jenjang pendidikan, mulai dari tingkat Sekolah Dasar, Sekolah Menengah sampai
pada tingkat perguruan tinggi. Hal ini menunjukkan betapa pentingnya ilmu
matematika. Pada setiap jenjang pendidikan terdapat beberapa materi yang susah
untuk dipahami siswa, hal ini dapat diketahui berdasarkan hasil wawancara yang
dilakukan ke pihak guru yang mengajar Matematika di beberapa sekolah.
Sebagaimana yang telah disebutkan di atas, berdasarkan hasil wawancara
yang telah dilakukan pada guru matematika kelas IX di beberapa Sekolah Menengah
Pertama di kota engkulu, dapat disimpulkan bahwa materi yang susah untuk
dipahami siswa kelas IX adalah materi tentang !"esebangunan dan Himpunan
"osong#. erdasarkan pada hal tersebut, penulis beserta kelompok menuliskan
makalah ini yang berisikan materi$materi tentang "esebangunan dan Himpunan
"osong dengan pemaparan yang mudah untuk dipahami oleh siswa.
1.2. Rumusan Masalah
%. &pakah pengertian dari kesebangunan '(. agaimana menyelesaikan soal cerita pada materi kesebangunan '
). &pakah pengertian dari himpunan '
*. &pakah pengertian himpunan kosong '+. agaimana menngetahui himpunan kosong '
1.3. Tujuan
%. Mempelajari materi kesebangunan dengan mudah.
(. Mempelajari materi himpunan dengan mudah.
BAB II
TINAUAN PU!TA"A
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 2/37
2.1. HIMPUNAN
2.1.1. Pengert#an H#m$unan
Dalam kehidupan sehari$hari, kita sering mendengar atau menggunakan
istilah$istilah kelompok, kumpulan, kelas, atau gugus untuk mengungkapkan suatu
kumpulan objek atau benda tertentu. Istilah kelompok, kumpulan, kelas, atau gugus
dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan. "onsep tentang himpunan
pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan erman, yaitu
-eorg antor yang hidup antara tahun %/*+$%0%/.
Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan (diberi
batasan ) dengan jelas.
Dalam hal ini yang di maksud dide1inisikan dngan jelas adlah dapat
ditentukan dengan tegas, benda apa saja yang termasuk dan yang tidak termasuk
dalam suatu himunanyang diketahui. enda$benda yang termasuk dalam suatu
himpunan disebut elemen,anggota,atau unsur dari suatu himpunan. 2ntuk selanjutnya
dipergunakan istilah anggota atau elemen.
erdasarkan de1inisi di atas,maka suatu himpunan atau kelompok benda
belum tentu merupakan suatu himpunan.
ontoh 3
"umpulan hewan berkaki empat. 4ang merupakan anggota, misalnya3 kerbau, sapi,
kuda. 4ang bukan anggota, misalnya3 ayam, itik. adi, kumpulan tersebut adalah
himpunan, karena jelas batasannya.
2.1.2. Lam%ang &an "eangg'taan !uatu H#m$unan
a. Pengert#an Angg'ta H#m$unan
Dalam bahasan pengertian himpunan, telah dibicarakan tetang
keanggotaan suatu himpunan. Setiap benda yang masuk dalam suatu himpunan
disebut anggota, elemen, atau unsur.
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 3/37
Misalkan, diatas piring terdapat buah$buahan yaitu + buah pisang, / buah
apel, ) buah belimbing, dan ( buah mangga. Dengan demikian dapat dikatakan
bahwa3
•
Pisang termasuk dalam kelompok buah$buahan dalam piring.• &pel termasuk dalam kelompok buah$buahan dalam piring.
• Mangga termasuk dalam kelompok buah$buahan dalam piring.
• elimbing termasuk dalam kelompok buah$buahan dalam piring.
Meskipun diatas piring terdapat + buah pisang, / buah apel, ) buah
belimbing, dan ( buah mangga, tapi pada penulisan keanggotaan himpunan, untuk
tiap$tiap kelompok buah itu hanya di tulis satu anggota saja. adi, anggota yang sama
hanya ditulis satu kali.
Himpunan dapat dinyatakan dengan menggunan tanda kurung kurawal,dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huru1 kapital, misalkan &, , , D,
dan seterusnya sampai 5.
Misalkan himpunan buah$buahan diatas piring tadi diberi nama , maka 3
B ( )$#sang* a$el* mangga* %el#m%#ng+
Dengan demikian, dapat dinyatakan sebagai berikut3
%. "arena pisang trmasuk dalam himpunan , maka pisang anggota himpunan .
(. "arena &pel termasuk dalam himpunan , maka apel anggota himpunan .). "arena mangga trmasuk dalam himpunan , maka mangga anggota himpunan
*. "arena belimbing trmasuk dalam himpunan , maka belimbing anggota
himpunan .
Dalam suatu himpunan, masing$masing anggota berbeda dengan anggota lainnya.
2ntuk menyatakan suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan
digunakan bilangan ϵ dan untuk menyatakan benda yang bukan anggota suatu
himpunan digunakan lambang∉
.
%. Men,atakan Ban,ak Angg'ta !uatu H#m$unan
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 4/37
anyak anggota himpunan & dapat dinyatakan dengan notasi n6&7. adi,
notasi n67 artinya banyak anggota pada himpunan , dan n67 artinya banyak
anggota pada himpunan .
ontoh3
Diketahui M 8 9m, a, t, h:.
anyak anggota himpunan M adalah * buah.
Ditulis 3 n6M7 8 *.
-. Mengenal Be%era$a H#m$unan B#langan
;erdapat beberapa macam himpunan bilangan yang sering digunakan,diantaranya himpunan$himpunan berikut 3
1. Himpunan bilangan bulat, biasanya diberi nama .
8 9...,$),$(,$%,<,%,(,),*,..:
2. Himpunan bilangan asli, biasanya diberi nama &.
& 8 9%,(,),*,+,..:
3. Himpunan bilangan cacah , biasanya diberi nama . 8 9<,%,(,),*,..:
. Himpunan bilangan cacah ganjil, yaitu 9%,),+,=,0,..:
/. Himpunan bilangan cacah genap, yaitu 9(,*,>,/,..:
0. Himpunan bilangan prima, yaitu 9(,),+,=,%%,..:
ilangan prima adalah bilangan yang memepunyai tepat dua 1aktor yang berbeda,
atau bilangan yang hanya habis dibagi oleh % dan bilangan itu sendiri 6kecuali %7.
. Himpunan bilangan cacah kuadrat, yaitu 9<,%,*,0,%>,..:
. Himpunan bilangan komposit, yaitu 9*,>,/,0,%<,..:
ilangan komposit 6tersusun7 adalah bilangan cacah yang mempunyai lebih dari (
1aktor.
2.1.3. Men,atakan !uatu H#m$unan
a. Men,atakan H#m$unan &engan "ata"ata atau !#4at "eangg'taan
Menyatakan himpunan dengan kata$kata atau si1at keanggotaan himpunan
sangat berman1aat untuk himpunan yang memilki anggota sangat banyak dan tak
beraturan, karena kita akan mengalami kesulitan ketika harus menuliskan semua
anggota$anggotanya satu demi satu.
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 5/37
2ntuk menyatakan himpunan dengan kata$kata, perhatikan kesamaan si1at yang
dimiliki angota$anggota himpunan tersebut.
ontoh 3
& 8 9senin, selasa, sabtu:
Penulisan dengan kata$kata atau si1at keanggotaan himpuna adalah 3
& 8 9nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan huru1 S:
%. Men,atakan H#m$unan &engan N'tas# Pem%entuk H#m$unan
Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah
menyatakan suatu himpunan dengan syarat keanggotaan himpunan, yang dalam penilisannya menggunakan bentuk !9? @ ? ...:.#
ontoh3
Ayatakan himpunan 8 9a, b, c, d: dengan notasi pembentuk himpunanB
awab3
8 9 p @ p empat huru1 pertama dalam abjad :
-. Men,atakan H#m$unan &engan Men&a4tar Angg'taAngg'tan,a
Dengan cara ini, anggota$anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal, dan
dipisahkan dengan tanda koma 6 , 7. Pada penulisan himpunan dengan cara menda1tar
anggota$anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh
diabaikan.
ontoh 3
P 8 9nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huru1 :.Penulisan dengan menda1tar anggota$anggotanya adalah sebagai berikut.
P 8 9anuari, uni, uli: atau P 8 9uni, anuari, uli:
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 6/37
ika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak, dan memiliki pola
tertentu, maka penulisannya dapat dilakukuan dengan menggunakan tiga buah titik,
dibaca !dan seterusnya#.
ontoh 3
& 8 9bilangan asli: dapat kita tuliskan sebagai3
& 8 9%,(,),*,...:
2.1.. H#m$unan "'s'ng
Himpuna kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. 2ntuk
memahami pengertian himpunan kosong, ikuti uraian berikut 3
Misal, didalam keranjang terdapat isolati1, stapler, tip$e?, dan stabilo sehingga
terbentuk 9 isolati1, stapler, tip$e?, stabilo:. "emudian, pertama tip$e? yang ada di
dalam keranjang kita ambil, himpunannya menjadi 9isolati1, stapler, stabilo, ke$(
stabilo yang ada di dalam keranjang kita ambil, himpunannya menjadi 9solati1,
stapler, ke$) solati1 yang ada di dalam keranjang kita ambil, himpunannya menjadi
9stapler, ke$* stapler yang ada di dalam keranjang kita ambil, himpunannya menjadi
himpunan yang tidak mempunyai anggota yang disebut himpunan kosong, ditulis
dengan notasi 9 : atau∅
.
ontoh 3
Di kelas & terdapat %< orang siswa yang sedang belajar, mereka adalah Aurul, Ciky,
Satrio, &rmita, Aadya, Indry, Dhani, Cahma, Sinta dan Eajar. Sehingga terbentuk
sebuah himpuan & dengan anggota Aurul, Ciky, Satrio, &rmita, Aadya, Indry, Dhani,
Cahma, Sinta dan Eajar. & 8 9Aurul, Ciky, Satrio, &rmita, Aadya, Indry, Dhani,
Cahma, Sinta dan Eajar:. Dan pada hari Minggu mereka semua tidak berada di kelasdikarenakan libur. adi kelas itu kosong pada hari Minggu. "elas yang kosong
tersebut disebut himpunan kosong, karena tidak ada anggota di dalamnya.
Himpunannya menjadi & 8 9 ∅ :.
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 7/37
2.2. "ese%angunan
"esebangunan adalah sesuatu benda F bangun datar yang memiliki bentuk yang
sama tetapi memiliki ukuran yang berbeda. 4ang mana berguna juga untuk
menghitung tinggi suatu benda yang sulit diukur secara langsung.
2.2.1. !,arat "ese%angunan Dua Bangun Datar
a. !,arat Dua Bangun ,ang !ama &an !e%angun 5 "'ngruen6
Dua buah bangun datar yang tepat saling menutupi atau tepat saling berimpit disebut
dua bangun yang sama dan sebangun atau kongruen.
%. !,arat Dua Bangun ,ang !e%angun
Dua buah bangun datar yang mempunyai bentuk yang sama, tetapi ukuran atau
besarnya berlainan disebut bangun$bangun yang sebangun.
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 8/37
adi, Perbandingan bagian$bagian yang bersesuain adalah sama, yaitu
GE 3 & 8 GH 3 &D 8 ) 3 %.
2kuran sudut$sudut yang bersesuain juga sama, yaitu3
∠ A 8 ∠ E=90 °
∠B=∠ F =90°
∠C =∠G=90 °
∠ D=∠ H =90 °
adi, persegi panjang &D dan GE-H !e%angun dan keduanya memiliki si1at$si1at
berikut3
1. Pasangan sisi yang bersesuain sebanding dan
2. Sudut-sudut yang bersesuain sama besar.
-. Menentukan Panjang !#s#
-.1. Menentukan Panjang !#s# $a&a Dua Bangun ,ang !ama &an !e%angun
2ntuk menentukan panjang sisi pada dua bangunan yang sama dan sebangun ,
gunakan ketentuan yang sudah dibahas. 4aitu3
ika dua bangun sama dan sebangun maka 31. Pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang dan
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
ontoh3
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 9/37
Pada gambar diatas,∆ ABC dan ∆≝¿
sama dan sebangun. ika diketahui panjang
& 8 / cm, & 8 > cm, dan DE 8 = cm. ;entukan panjang DG, GE, dan B
awab3
"arena,
∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun. Maka 3
& 8 DG, jadi DG 8 / cm
& 8 G, jadi GE 8 > cm
8 D, jadi 8 = cm
-.2. Menentukan Panjang !#s# $a&a Dua Bangun ,ang !e%angun
2ntuk menentukan panjang sisi pada dua bangun yang sebangun , gunakan
ketentuan yang telah dibahas.
ika dua bangun sebangun maka 31. Sisi yang bersesuain sebanding.
2. Sudut-sudut yang bersesuain sama besar.
ontoh3
-ambar dibawah ini menunjukkan dua bangun yang sebangun. Hitunglah 3
a. Panjang & b. Panjang C
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 10/37
awab3
leh karena bangun &D dan PCS sebangun, maka sisi yang bersesuain
sebanding.
a.
AB
PQ
= DC
SR
AB
12=6
9
0& 8 %( ? >
0& 8 =(
& 8 =(F0& 8 /
adi panjang & 8 / cm.
b.
AD
QR = DC
SR
4
QR=6
9
>C 8 * ? 0
>C 8 )>C 8 )>F>
C 8 > cm
adi panjang C8 > cm
2.2.2. !eg#t#ga!eg#t#ga !ama Dan !e%angun
a. !,arat Dua !eg#t#ga !ama Dan !e%angun
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 11/37
Pada cermin datar, bangun asli dengan bayangannya merupakan bangun$
bangun yang sama dan sebangun, demikian juga segitiga dan bayangannya adalah
bangun$bangun yang sama dan sebangub atau kongruen.
Perhatikan gambar 3
ika∆ ABC
dire1leksikan 6dicerminkan7 terhadap garis X4, maka bayangannya
adalah ∆ A ' B ' c . adi, J& dan J&KKK sama dan sebangun.
Selanjutnya J&KKK ditranslasikan 6digeser7 kekanan, maka akan berimpit atau tepat
menutupi JDGE. maka J&KKK dan JDGE sama dan sebangun.
"arena ∆ ABC sama dan sebangun dengan J&KKK, dan sama dan sebangun
dengan JDGE, maka ∆ ABC sama dan sebangun dengan JDGE.
"arena∆ ABC
dan JDGE sama dan sebangun, maka
∠ A 8 ∠ E
∠B
8
∠ D
∠C 8 ∠ F
& 8 GD
8 DE
& 8 GE
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa 3
Jika dua buah segitiga sama dan sebangun, maka
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 12/37
%. !#4at!#4at Dua !eg#t#ga !ama &an !e%angun
Dua buah bangun yang sama bentuk maupun ukurannya dikatakan dua bagun
yang sama dan sebangun. adi, jika dua byah bangun yang sama dan sebangun
diimpitkan maka kedua bangun tersebut akan tepat saling menutupi atau bagian$
bagian yang bersesuaian akan saling menempati dengann tepat.
Demikian halnya dengan segitiga, dua buah segitiga dikatakan sama dan
sebangun apabila ketiga segitiga itu diimpitkan maka keduanya akan tepat saling
menutupi atau bagian$bagian yang bersesuaian saling menempati dengan tepat.
Perhatikan gambar berikut 3
ika J& diimpitkan pada JDGE, maka
∠ A ↔∠ D sebab ∠ A=∠ D
∠B ↔∠ E sebab
∠B=∠ E
∠C ↔∠ F sebab ∠C =∠ F
&↔
DG sebab & 8 DG
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 13/37
&↔
DE sebab & 8 DE
↔ DE sebab 8 DE
adi J&↔
JDGE, berarti J& dan JDGE sama dan sebangun 6kongruen7.
2ntuk menentukan dua segitiga yang sama dan sebangun, dapat dilakukan
berdasarkan unsure$unsur pada segitiga, yaitu panjang sisi dan besar sudut. Dengan
demikian, berdasarkan pada panjang sisi dan besar sudutlah kita dapat menyelidiki
apakah dua segitiga sama dan sebangun atau tidak seperti berikut 3
%.1. "et#ga !#s# ,ang Bersesua#an !ama Panjang 5s#s#* s#s#* s#s#6.
Dari gambar, jika J& diimpitkan pada JPC maka
& ↔ P sebab & 8 P
&↔
PC sebab & 8 PC
↔ C sebab 8 C
adi, J& dan JPC saling menempati denagn tepat, sehingga J& dan
JPC sama dan sebangun.
Dari uraian diatas dapat disimpulkan sebagai berikut 3
ontoh3
Jika dua buah segitiga memiliki sisi bersesuaian yang sama panjangmaka kedua segitiga itu sama dan sebangun
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 14/37
Perhatikan gambar berikutB
a7 uktikan bahwa J& dan J"LM sama dan sebangunB
b7 Sebutkan pasangan sudut yang sama besarB
awab 3
a7 Perhatikan J& dan J"LM
& 8 L"
& 8 LM
8 "M
"arena ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang, maka J& dan J"LM sama
dan sebangun 6sisi, sisi, sisi7.
b7
Pasangan sudut yang sama besar adalah
∠ A=∠ L ∠B=∠ K ∠C =∠ M
Sudut$sudut yang sama besar dapat juga ditentukan dengan cara berikutAC = LM
∠B menghadap
AC
∠ K menghadap
A = L!
∠C menghadap
A
∠ M menghadap
C = !M
∠ A menghadap
C
∠ L menghadap
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 15/37
%.2. "et#ga !u&ut ,ang Bersesua#an !ama Besar 5s&* s&* s&6
Pada gambar,∠ K =∠ R
sehingga kaki∠ K
dan kaki∠ R
dapat berimpit,
tetapi belum tentu tepat saling menutupi, sebab tidak diketahui apakah "L 8 CS atau
"M 8 C;.
Demikian juga untuk ∠ L=∠S dan ∠ M =∠T , belum tentu LM 8 S;. oleh
karena J"LM dan JCS; belum tentu tepat saling menutupi, maka J"LM dan JCS;
belum tentu sam dan sebangun.
%.3. Dua !#s# !ama Panjang &an !u&ut ,ang D#a$#t !ama Besar 5s#s#* su&ut* s#s#6
Catatan" sudut-sudut yang sama besar menghadap pada sisi-sisi
Jika dua buah segitiga memiliki sudut-sudut yangbersesuaian sama besar maka kedua segitiga itu belum
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 16/37
ontoh3
Perhatikan gambar
%7 uktikan bahwa JPC dan J4X5 sama dan sebangunB
(7 Sebutkan pasangan sudut yang sama besarB
awab 3
%7 Perhatikan JPC dan J4X5P 8 4X∠ P=∠Y
PC 8 45
JPC dan J4X5 mempunyai dua sisi yang bersesuaian yang sama panjang dan
satu sudut apit yang sama besar.
adi, JPC dan J4X5 sama dan sebangun 6sisi, sudut, sisi7.
(7 Pasangan sudut yang sama besar adalah 3∠ P
=∠Y
,∠Q
=∠ X
, dan∠ R
=∠Z
%.. !atu !#s# &an Dua !u&ut 5s&* s&* s#s#6* 5s&* s#s#* s&6* atau 5s#s#* s&* s&6
ontoh 3
Perhatikan gambarB
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 17/37
%7 uktikan bahwa JPC dan J;S2 sama dan sebangunB(7 Sebutkan pasangan sisi yang sama panjangB
awab3
%7 Perhatikan JPC dan J;S2
P 8 ;S 8 +cm∠Q=∠S=40°
∠ R=∠U =85°
adi, JPC dan J;S2 sama dan sebangun 6sisi, sudut, sisi7
(7 Pasangan sisi yang sama panjang adalahP 8 ;S PC 8 ;2 C 8 S2
-. Menentukan Panjang !#s# &an Besar !u&ut $a&a !eg#t#ga ,ang !ama &an!e%angun
2ntuk menentukan panjang sisi atau besar sudut dari segitiga$segitiga yang sam
dan sebangun, terlebih dahulu tentukan sudut$sudut yang sama besar atau sisi$sisi
yang sama panjang. ika segitiga$segitiganya belum diketahui sama dan sebangun,
terlebih dahulu harus diperiksa apakah segitiga$segitiga tersebut sama dan sebangun
atau tidak.
ontoh3
Pada gambar berikut diketahui J& dan JPC sama dan sebangun. ;entukan besar
∠ R B
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 18/37
awab3
& dan JPC sama dan sebangun, maka
∠B=∠Q=50 °
∠ R ( %/< ° 60< N ∠Q 7
8 %/< °
60< °
N +< °
7
8 %/< ° %*< °
8 *< °
2.2.3. !eg#t#gaseg#t#ga ,ang !e%angun
a. !,arat &ua seg#t#ga ,ang se%angun
a.1. !eg#t#ga se%angun %er&asarkan su&utsu&ut %ersesua#an
Perhatikan segitiga & dan Segitiga DGE pada gambar di atasB
∠ A=∠ D(karena e!ada")
∠B=∠ E (karena e!ada")
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 19/37
∠C =∠ F (karena ked#a #d#$ %an&a(n a)a)
adi, * ABC dan *≝¿ sama sudut 6 sudut$sudut bersesuaian sama besar7.
"ita periksa perbandingan sisi yang bersesuaian.
& 3 DG 8 ) 3 *
& 3 DE 8 ) 3 *
3 GE 8 ) 3 *
adi, sisi$ sisi yang bersesuaian pada
* ABC
dan
*≝¿sebanding
Selanjutnya perhatikan, * ABC dan * PQR B
∠ A=∠ P(karena e!ada")
∠B=∠Q(karena e!ada")
∠C =∠ R(karena ked#a #d#$ %an&a(n a)a)
adi, * ABC dan * PQR sama sudut 6 sudut$sudut bersesuaian sama besar7.
"ita periksa perbandingan sisi yang bersesuaian.
& 3 P 8 ) 3 > 8 % 3 (
& 3 PC 8 ) 3 > 8 % 3 (
3 C 8 ) 3 > 8 % 3 (
adi, sisi$ sisi yang bersesuaian pada * ABC
dan * PQR
sebanding.
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 20/37
Dari hasil$hasil di atas dapat disimpulkan sebagai berikut 3
ontoh 3
%. Dalam * ABC dan * PQR diketahui besar ∠BAC =60° +∠ ABC =40 ° +
∠QRP=60 °+dan∠ PRQ=80 ° .
elaskan mengapa kedua segitiga itu sebangun' "emudian sebutkan pasangan sisi
bersesuaian yang sebandingB
awab 7
Pada * ABC
3 Pada * PQR
3
Jika sudut-sudut yng bersesuaian pada dua buah segitiga sama
besar maka sisi-sisi yang bersesuaian adalah sebanding.
Jadi, jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga
sama besar maka kedua segitiga itu pasti sebangun
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 21/37
∠BAC =60° ∠QPR=60°
∠ ABC =40 ° ∠ PRQ=80 °
∠ ACB=180°−(60°+40°) ∠ PQR=180°−(60°+80°)
¿180°−100°
¿180°−140°
¿80 °
¿40 °
∠BAC =∠QPR=60°
∠ ABC =¿ ∠ PQR=40 °
∠ ACB=∠ PRQ=80°
adi, * ABC
dan * PQR
sebangun karena sudut$sudut yang bersesuaian sama
besar.
Pasangan sisi bersesuaian yang sebanding adalah 3
AB
PQ=
AC
PR =
BC
QR
!#s# ,ang %ersesua#an &a$at &#tentukan &engan -ara %er#kut #n#
∠ ABC =∠ PQR
∠ ACB=¿
∠ PRQ
∠BAC =∠QPR
∠ ACB=¿
∠ PRQ
∠BAC =∠QPR
∠ ABC =¿
∠ PQR
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 22/37
a.(. !eg#t#ga !e%angun Ber&asarkan !#s#!#s# ,ang Bersesua#an
Perhatikan gambar berikutB
Pada gambar di atas, * ABC
dan *≝¿ memiliki sudut$sudut
bersesuaian yang sama besar yaitu ∠ A=∠ D +∠B=∠ E + dan∠C =∠ F . Panjang sisi$
sisi pada *≝¿
adalah ( kali panjang sisi$sisi pada * ABC
yang bersesuaian,
maka 3
& 3 DG 8 % 3 (
& 3 DE 8 % 3 ( 3 C 8 % 3 (
adi, * ABC dan *≝¿ memiliki sisi$sisi bersesuaian yang sebanding.
Hal ini berarti bahwa, * ABC
dan *≝¿
sebangun.
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut 3
ontoh 3
Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada dua buah segitiga
sebanding atau memiliki perbandingan yang sama maka
sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Jadi, jika sisi-sisi yang bersesuaian pda dua buah segitiga
sebanding maka kedua segitiga itu sebangun.
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 23/37
%. Dalam * ABC
dan * PQR diketahui panjang sisi &8 / cm, 8 > cm,
& 8 %< cm, P 8 %( cm, C 8 0 cm, dan PC 8 %+ cm. elaskan mengapa kedua
segitiga itu sebangun' "emudian sebutkan pasangan sudut$sudut yang sama
besarB
awab 3
Pada * ABC 3 Pada * PQR 3
& 8 / cm P 8 %( cm
8 > cm C 8 0 cm
& 8 %< cm PC 8 %+ cm
& 3 P 8 / cm 3 %( cm & 3 PC 8 %< cm 3 %+ cm
8 ( 3 )
3 C 8 > cm 3 0 cm
8 ( 3 )
adi, * ABC
dan * PQR
sebangun, karena sisi$sisi yang bersesuaian
sebanding.
Pasangan sudut yang sama besar adalah 3
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 24/37
∠ A=∠ P
∠B=∠Q
∠C =∠ R
a.3. !eg#t#ga !e%angun Ber&asarkan !atu !u&ut &an Dua !#s# ,ang Menga$#t
!u&ut
ontoh 3
Pada gambar di atas, diketahui besar∠ A=40°
, panjang & 8 ) cm, & 8 (,+ cm ,
DG 8 > cm, dan DE 8 + cm
Maka 3
∠ A=∠ D=40°
& 3 DG 8 ) 3 > 8 % 3 (
& 3 DE 8 (,+ 3 + 8 % 3 (
adi, pada * ABC
dan *≝¿ tersebut diketahui sebuah sudut sama besar dan
dua sisi bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding.
&pakah * ABC sebangun dengan *≝¿ ' 2ntuk membuktikannya, lakukan
langkah O langkah berikut iniB
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 25/37
%. ;entukan ∠B +∠C +∠ E +∠ F dengan menggunakan busur derajat secara teliti
(. Dengan menggunakan penggaris, tentukan panjang dan GE, kemudian buatlah
perbandingannya dalam bentuk sederhana
). Pasangkanlah sudut$sudut bersesuaian yang sama besar dan sisi O sisi bersesuaianyang sebanding.
Dari hasil jawaban di atas dapat disimpulkan, jika dua segitiga memiliki satu sudut
sama besar dan dua sisi bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding maka dua
segitiga itu sebangun
2.2.. !eg#t#ga!eg#t#ga $a&a !eg#t#ga !#ku!#ku &an !eg#t#ga &engan 8ar#s
!ejajar
a. !eg#t#ga !#ku!#ku !e%angun $a&a !eg#t#ga !#ku!#ku &engan 8ar#s T#ngg#
ke !#s# M#r#ng
Perhatikan gambar B
Segitiga & pada gambar siku$siku di & dan &D adlah garis tinggi ke sisi
miring . Dengan memperhatikan sudut$sudutnya, maka terdapat tiga segitiga
sebangun, yaitu J&D, J&D, dan J&.
erdasarkan pasangan segitiga yang sebangun, maka dapat ditentukan rumus$
rumus berikut ini.
%. Perhatikan gambar
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 26/37
J&D dan J&D sebangun, maka 3
AD
CD 8BD
AD
&D ? &D 8 D ? D
&D( 8 D ? D
(. Perhatikan gambarB
J&D dan J& sebangun, maka
ABBC 8
BD
AB
& ? & 8 D ? &( 8 D ?
). Perhatikan gambar
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 27/37
JD& dan J& sebangun maka
AC
CB 8CD
AC
& ? & 8 D ? &( 8 D ?
2ntuk lebih mengingat rumus tersebut, perhatikan arah garis berpanah pada
masing$masing gambar berikut ini.
ontoh3
Segitiga & disamping siku$siku di &. Panjang 8 (< cm dan D 8 / cm.
;entukan panjang &DB
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 28/37
awab3
8 (< cm
D 8 / cm
D 8 (< O /
8 %( cm
&D( 8 D X D
&D( 8 / X%(
&D( 8 0>
&D 8 √ 96
atau
&D 8 √ 16 , 6
8 * √ 6
adi panjang &D 8 √ 96 atau * √ 6 cm
%. !eg#t#ga !e%angun $a&a !eg#t#ga &engan 8ar#s8ar#s !ejajar
Dalam J&, DG FF &.
Perhatikan JDG dan J&B
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 29/37
∠CDE 8 ∠CAB 6sehadapan7
∠CED 8 ∠CBA 6sehadapan7
∠ DCE 8 ∠ ACB 6sehadapan7
adi, JDG dan J& sebangun karena sudut yang bersesuaian sama bessar, seingga
diperoleh rumus berikut ini.
2ntuk gambar di atas, berlaku rumus berikut3
CDCA 8 CECB 8 DE AB
&tau
a
a+- 8c
c+d 8e
.
2ntuk selanjutnya, perbandingan garis di atas dapat digunakan dalam prhitungan
tanpa membuktikan segitiga$segitiga sebangun.
ontoh3
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 30/37
Dalam J&, DG FF &. Panjang DG 8 / cm, & 8 %( cm, &D 8 * cm, dan G 8 %<
cm.
Hitunglah3
a. Panjang D, b. panjang G
awab3
a.CD
CA 8 DE
AB
CD
CD+4 88
12
%( D 8 /6DN*7%(D 8 /D N )(
%(D O /D 8 )(
*D 8 )(
D 832
4
D 8 /
adi, D 8 / cm
b.CE
CB 8 DE
AB
10
CB 88
12
/ 8 %< ? %(
/ 8 %(<
8120
8
8 %+
adi, G 8 O G
8 6%+ O %<7 cm
8 + cm
Selanjutnya, perhatikan gambar untuk uraian berikut.
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 31/37
a
a+- 8c
c+d
a6c N d7 8 c 6a N b7 6perkalian silang7
ac N ad 8 ac N bc
ac N ad O ac 8 bc
ad 8 bca
- 8c
d
a
c 8-
d
erdasarkan penjelasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut 3
ontoh3
Dari JPC disamping, P FF S;, CS 8 > cm, CP 8 / cm, dan C; 8 0cm.
erapakah panjang ;'
awab3
erlaku rumus
a
- =c
d ataua
c
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 32/37
RS
SR 8 RT
TQ
6
2 89
TQ atau
>; 8 ( ? 0
>; 8 %/
; 8 %/F>
; 8 )
adi, panjang ; 8 ) cm
RS
RT 8SP
TQ
6
9 82
TQ
>; 8 ( ? 0
>; 8 %/
; 8 %/F>
; 8 )
2.2./. Penera$an "ese%angunan $a&a !'al 9er#ta
2ntuk menyelesaikan soal cerita, dapat di bantu dengan membuat sketsa atau gambar.
Dari gambar itu, kita dapat menyelesaikan soal cerita berdasarkan kesebangunan.
ontoh3
Pada gambar dibawah ini, tongkat bdan pohon berturut$turut mempunyai panjang
bayangan + m dan (< m. jika tinggi tongkat adalah *m, hitunglah tinggi pohon 6t7B
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 33/37
awab3
4
$ 85
20
+ ? t 8 * ? (<
+t 8 /<
t 8 /< F +
t 8 %>
adi, tinggi pohon 8 %> meter.
BAB III
PEMBAHA!AN
3.1. !'al &an Pem%ahasan
3.1.1. H#m$unan "'s'ng
%. uatlah soal tentang himpunan kosongB
3.1.2. "ese%angunan
%. Menghitung salah satu sisi yang belum diketahui.
Perhatikan gambarB
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 34/37
ika diketahui & 8 > cm
& 8 0 cm
D 8 ) cm
Maka panjang DG 8 'Perbandingannya adalah
AB
DE 8 AC
DC
6 DE 8
93
0DG 8 > / )
DG 8 ( cm
(. Hitung tinggi tiang bendera dengan memperbandingkan tinggi anak terhadap
tinggi tiang bendera dan panjang bayangan anak terhadap panjang bayangan tiang
bendera. Sketsanya seperti di bawah ini.
Penyelesaian
AB
DE 8BC
DC
AB
165 82000
350
& 82000 , 165
330
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 35/37
& 8 %<<< cm 8 %< m
adi, tinggi tiang bendera adalah %< m.
). Perhatikan gambar trapesium di bawahB
ika &G 81
3 AD
Hitung panjang GE
Penyelesaian3
AE=1
3 AD
AE=1danDE=2
EF = AB/ DE / AE / DC
AE+ ED
EF =4c)/2+1/10c)
1+2
EF =6,33c)
BAB I:
PENUTUP
.1. "es#m$ulan
Dua buah bangun datar yang btepat saling menutupi atau saling berimpit disebut dua
bangun yang sama dan sebangun. Sedangkan dua buah bangun datar yang
mempunyai bentuk sama tetapi ukuran atau besarnya berlainan disebut bangun yang
sebangun. Dan benda O benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota,
elemen atau unsur dari suatu himpunan.
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 36/37
.2. !aran
Diharapkan dengan mempelajari materi kesebangunan dan himpunan kosong siswa
tidak hanya mampu secara teori melainkan mampu mengaplikasikannya dalam
kehidupan.
DA;TAR PU!TA"A
holik, M &dinawan.Matematika untuk SMPFM;s "elas QII Semester
%.akarta3Grlangga.(<%).
7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 37/37