MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)

8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)

1/32

Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data

Data-data yang dikumpulkan dari suatu percobaan atau penelitian, analisis statistic akan dimintauntuk merinkas sifat-sifat dari rangkaian data. Hal ini memungkinkan seorang analis untuk

memeriksa sifat dari data tersebut. Dua sifat yang paling sering digunakan untuk menjelaskan

sifat dari suatu rangkaian data adalah sifat memusat (kecenderunagan) dan variabelitas.

Pentingnya parameter-parameter ini dan metode-metode ini yang digunakan untuk

menjabarkannya secara matematis akan dibahas dalam makalah ini.

2.1. Pengukuran Kecenderungan Memusat

Estimasi sifat memusat dari data mungkin merupakan perhitungan statistic yang paling umum

digunakan oleh sebagian besar pelajar. hususnya, sifat memusat dari data dapat dijelaskan

dengan mudah melalui sejumlah metode dan istilah, meliputi rerata (misalnya, rerata aritmatika,

rerata berbobot), median dan modus. !stilah-istilah tersebut, perhitungannya dan dasar

penggunaannya diuraikan pada bagian ini.

2.1.1 Rerata aritmatika

"ebagian besar pembaca pasti mengenal istilah (‘avarage’ atau, seperti yang digunakan oleh

para ahli statistic, mean). #erata merupakan metode yang paling terkenal untuk menjelaskan

sifat memusat data, dan berkenaan dengan pusat distribusi data. $entu saja, penggunaan

rerata paling sesuai ketika data terdistribusi secara simetris di sekitar nilai rerata, yaitu

distribusi %aussian. "ecara matematis, rerata aritmatika digambarkan sebagai berikut&

∑ j=1 N

N

X j

Dengan ' merupakan notasi untuk jumlah, j mengacu pada semua data dari nilai j*

sampai j+ dan + merupakan jumlah data yang masuk dalam perhitungan.


2/32

ntuk menggambarkan suatu perhitungan rerata aritmatika, perhatikan contoh berikut.

CONTOH .* Penurunan tekanan darah (mmHg) dari 6 pasien 4 jam setelah pemberian

satu dosis baku suatu obat anti hipertensi baru ditunjukkan pada table 2. Hitunglah rerata

penurunan tekanan darah dari 6 pasien tersebut.

Dengan memasukkan nilai-nilai dari $able .* kedalam persamaan untuk rerata

aritmatika, kita akan mendapatkan hasil

∑ j=1 N

N

X j= (20+25+21+34+41+37 )

6=178

6=29,67mmHg

"ecara khusus, dalam hal ini, istilah /rerata aritmatika0 disingkat menjadi /rerata0 dan

dilambangkan dengan simbol (rerata sampel) atau 1 (rerata populasi).

2.1.2 Rerata (aritmatika) berbbt

#erata (aritmatika) berbobot (2ighted mean) merupakan suatu contoh khusus dari rerata

ketika tiap datum dalam distribusi tidak memberikan konstribusi yang sama kepada

perhitungan keseluruhan rerata.dalam perhitungan rerata yang dijelaskan di atas, penurunan

tekanan darah yang ditunjukkan oleh tiap pasien memberikan kontribusi yang sama terhadap

keseluruhan perhitungan, artinya tiap pasien memberikan kontribusi yang sama. 3leh karena

itu, rerata berbobot sering digunakan ketika data dibagi dalam kelompok-kelompok, tiap

kelompok memiliki bobot (yaitu, kepemtingan) yang berbeda. Penggunaan dan perhitungan

rerata berbobot dicontohkan dalam 4ontoh ..

CONTOH . !fek suatu dosis tertentu dari obat analgesi" #ang etrsedia di pasaran untuk

menekan rasa n#eri setelah pemberian rangsangan n#eri di$


3/32

Tabe! 2.1 Efek suatu obat antihipertensi terhadap penurunan teknan darah dari 5 pasien

+omor pasien Penurunan tekanan darah (mmHg)

*

6

7

8

5

9

8

*

67

7*

6:

Tabe! 2.2 penilaian rasa sakit yang dicatat dari 9 sukarela2an setelah pemberian analgesic

yang ada di pasaran dan pemaparan pada rangsangan nyeri.

;umlah sukarela2an Penilaian rasa sakit menurut para sukarela2an

*

5

6 (sangat nyeri)

(cukup nyeri)

* (sedikit nyeri)

!valuasi pada 2% sukarela&an menggunakan skala analog visual. Hasiln#a disajikan dalam

'abel 2.2. Hitunglah rerata penilaian rasa n#eri menurut 2% sukarela&an

Dalam contoh klinis ini, ketiga subkelompok tersebut menjelaskan efek-efek klinis yang

berbeda dan karenanya tidak sama besarnya (pembobotannya). Perhitungan rerata berbobot

dilakukan menggunakan persamaan berikut.

#


4/32

Dengan j merupakan semua data dari j * sampai j +, + adalah data yang memberikan

kontribusi pada perhitungan dan 2 j adalah pemberatan (frekuensi) dari tiap kelompok atau

rangkaian. 3leh karena itu, rerata (berbobot) dari contoh di atas dihitung sebagai berikut.

#

dalam komponen ujian dan tugas dalam sebuah hasil, mata kuliah ini tidak memberikan

kontribusi yang sama terhadap nilai akhir, misalnya masing-masing berbobot ?9> dan 9>

dalam contoh ini nilai akhir (rerata berbobot) yang diperoleh oleh mahasis2a tersebut

dihitung sebagai berikut.

#


5/32

alternatif untuk menjelaskan sifat memusat dari data yang relati@e tidak terpengaruh oleh

sifat dari sebaran data. "ecara sederhana, median merupakan nilai tengah atau rerata dari dua

nilai tengah, dari serangkaian data yang diatur berurutan besarnya. Perhitungan median dan

perbandingannya dengan rerata dari satu rangkaian data asimetris (data yang terdistribusi

secara tidak merata di sekitar rerata) dijelaskan dalam contoh .6

CONTOH 2." perlekatan patogen "andida albi"ans opertunistik pada % sel epitelial bukal

(!) se"ara in vitro diperiksa dan datan#a ditunjukkan dalam tabel 2.*. hitunglah nilai

rerata dan median untuk profil perlekatan patogen ini.

'ahap perhitungan rerata

#


6/32

*

6

7

8

5

:

?

A

*9

9

9

5

7

7

A

5

*

9

$ahap 6 kesimpulan

Deskripsi sifat memusat data menggunakan rerata dan median dapat menghasilkan hasil-

hasil numerik yang berbeda. Hal ini disebabkan oleh nilai-nilai ekstrim dalam satu rangkaian

data tertentu.


7/32

5

:

?

A

*9

**

59

6*

8

89

:8

699

Pengukuran ke"enderungan memusat dan variasi data

4ondong, yaitu distribusi yang mempunyai nilai-nilai ekstrim dalam hal ini, nilai rerata

menyimpang dalam batas yang tidak diterima, sementara nilai median relatif tidak

terpengaruh.

2.1.# Mdus


8/32

#angkaian data mungkin mempunyai lebih dari satu modus. ;ika dua modus terdapat dalam

satu rangkaian data, data tersebut disebut bimodal. ;adi, dalam rangkaian data berikut ini &

9, , 6, 8, 8, 8, 8, ?, A, A, 69, 6*, 6*, 6*, 6*, 6*, 66

$erdapat dua modus & 6* ( disebut modus ma#or ) dan 8 (disebut modus minor ) . distribusi

ketika tiap pengamatan terdapat dengan frekuensi yang sama dianggap tidak memiliki

modus. Dalam distribusi asimetris, sebuah hubungan empiris antara rerata, median dan

modus

#erata-modus 6 (rerata-median)

Tabe! 2.% konsentrasi suatu obat dalam *9 @ial produk yang tersedia secara komersial.

+omor @ial onsentrasi obat (mgBml)

*

6

7

8

5

:

?

A

*9

99

98

98

9*

*AA

*A8

9

98

98

9:

Dibandingkan rerata dan median modus jarang digunakan untuk menjelaskan sifat memusat data.

+amun, modus dapat berguna untuk menjelaskan jumlah modus dalam suatu distribusi,

khususnya bila terdapat lebih dari * modus.

nilai-nilai tersebut ada dalam rangkaian data indi@idu, simpangan baku rangkaian tersebut akan

meningkat. "ebaliknya, besarnya rerata secara relatif tidak dipengaruhi oleh masuknya data

ekstrim. edua efek ini ditunjukkan dalam tabel .*. kita dapat melihat bah2a rerata menekan


9/32

efek nilai ekstrim dan akibatnya, simpangan baku dari suatu rangkaian dengan rerata tersebut

akan menjadi lebih rendah&

#


10/32

$abel .* #angkaian data hipotesis, menggambarkan efek dari nilai-nilai ekstrim pada

simpangan baku dan rerata

2.2.%.1 uraian umum mengenai sim&angan baku dan kesa!a$an baku rerata

Pada tahap ini pembaca seharusnya telah mengidentifikasi perbedaan-perbedaan utama antara

simpangan baku dan simpangan (kesalahan) baku rerata. arakteristik-karakteristik&

• "impangan baku sampel yang berasal dari populasi digunakan sebagai suatu perkiraan

@ariabelitas populasi. Ckibatnya, nilai dari simpangan baku tidak diharapkan menurun

jika jumlah pengamatan dalam sampel meningkat.

• "impangan baku rerata merupakan ukuran @ariabilitas (presisi) dari perkiraan suatu

parameter populasi yang ditentukan, yaitu rerata. +ilai numerik dari kesalahn baku rerata

tergantung pada jumlah pengamatan yang dimasukkan dalam perhitungannya. "ecara

khusus, jika ukuran sampel meningkat untuk meningkatkan presisi pengukuran, besarnya

kesalahan baku rerata menurun. Hal ini ditunjukkan dengan penggunaan notasi √ N

dalam penyebut pada persamaan untuk menghitung parameter ini.

oefisien @ariasi ("oeffi"ient of variation, 4) adalah suatu istilah statistic yang menun

jukkan @ariabilitas suatu rangkaian data dan didefinisikan sebagai perbandingan antara

simpangan baku (s) dengan rerata rangkaian data ( ´ X ).

#umus

#angkaian data C #angkaian data = #angkaian data 4

8

:

?

A

*8

´ X ?,?

ˢ 6,?

8

:

?

A

*

´ X *9.9

ˢ 5,6

8

:

?

A

*

´ X *5.9

ˢ *A,5


11/32

+ (>) s

´ X *99

;ika rerata kurang dari simpangan baku dari dua rangkaian data adalah (C)899 kurang dari

*8 dan (=)89 kurang 68, sekilas seseorang dapat salah mengira bah2a @ariasi dari rangkaian

data = (simpangan baku 68) kurang dari rangkaian data =(simpang baku *8). Ckan

tetapi, berbandingan tersebut tidak berarti dan menyesatkan karena besarnya nilai rerata dari

kedua kelompok belum dipertimbangkan .koe@isien @ariasi dari kedua rangkaian data

tersebut adalah &

#umus

#angkaian data C& + (>) s

´ X *99 125

2500 ×100 8>

#angkaian data =& + (>) s

´ X *99 35

50×100 :9>

3leh karena itu, koefisien @ariasi dari rangkaian data C jelas lebih kecil daripada rangkaian

=. Hal ini menggambarkan @ariabilitas yang lebih besar pada data =. =esarnya koefisien

@ariasi tergantung pada sifat data terkait.

2." 'kurasi dan Presisi

!stilah akurasi dan presisi sering digunakan untuk menjelaskan sifat dan @ariabilitas data.

Penggunaan khusus istilah tersebut dan aspek-aspek tertentu dari ilmu farmasi, misalnya

analisis farmasi, pada tahap ini istilah istilah ini, akan dibandingkan dan di bedakan serta

dijelaskan penerapan penerapannya.

2.".1 'kurasi

Ckurasi didefinisikan dengan tepat sebagai kedekatan suatu nilai terukur dengan nilai

sebenarnya yaitu nilai yang diharapkan tanpa adanya kesalahan. Dalam analisis farmasi,

akurasi dari suatu metode analitis umumnya dijelaskan sebagai kedekatan nilai yang diamati


12/32

(dianalisis) dengan nilai yang diharapkan. "ejumlah metode dapat digunakan untuk

menjelaskan perbedaan anatara nilai yang diamati dan nilai yang diharapkan, dan beberapa

diantaranya dijelaskan diba2ah ini &

.6.*.* esalahan


13/32

"pektroskopi

fluoresens

,*A ,89 -9,6*

oleh besarnya pengukuran. ;adi, dalam contoh diatas, metode spektroskopi fluoresens dapat

dianggap relatif akurat (,*A dibandingkan dengan ,89 mgBml), dengan nilai kesalahan

mutlak sebesar-9,6* mgBml. namun, pertimbangkan suatu contoh dengan konsentrasi

kuininsulfat dalam larutan kedua adalah 9,8 mgBml dan konsentrasi larutan yang diukur

dengan spektroskopi fluoresens adalah 9,*A mgBml.

.6.*. esalahan relati@e

!stilsh ini dikembangkan untuk mengatasi masalah yang dijelaskan dalam paragraph

sebelumnya dan menggambarkan kesalahan sebagai bagian dari nilai sebenarnya

(diharapkan) dalam perhitungan, tanda perbedaan (positif dan negati@e) diabaikan sehingga,

#


14/32

2.".2 Presisi

Presisi adalah suatu istilah statistic yang menejelaskan sebaran (@ariabilitas) dari satu

rangkaian pengukuran. $etapi, tidak seperti akurasi. Presisi tidak memberikan indikasi

kedekatan suatu pengamatan dengan kuantitas ter-

$C=EF .*7

$entu yang diharapkan. "ecara khusus secara khusus, presisi yang tinggi berhubungan

dengan sebaran yang rendah dari nilai-nilai disekitar nilai tengah dengna kata lain,

simpangan baku yang rendah. Perbedaan-perbedaan presisi dan akurasi dijelaskan dalam

contoh berikut, yang menggambarkan @olume pengisian akhir dari suatu suspense antasida

(@olume nominal, yaitu yang diharapkan, sebesar 89 ml).

esalahan relati@e sampel C identik dengan kesalahan relati@e sampel = dan karenanya

kedua sampel dianggap sebagai pengukuran yang sama akurat terhadap @olume pengisian

sebenarnya (diharapkan). "ebaliknya, akurasi dari rerata @olume pengisian sampel 4 tidak

baik (kesalahan relati@e 76,5 >), oleh karena itu, ini dianggap menjadi gambaran yang jelek

dari @olume pengisian yang sebenarnya.

#angkaian data yang berhubungan dengan sampel C mempunyai simpangan baku yang

rendah (dan juga koefisien @ariasi yang rendah, yaitu 6,6>), halk ini menunjukan tingkat

penyebaran yang kecil dari rangkaian data rerata. 3leh karena itu rangkaian data ini

dikatakan presisi. Data yang berhubungan dengan sampel 4, data ini mempunyai simpangan

baku yang rendah (dan koefisien @ariasi yang rendah, yaitu 5,7>), dan juga dianggap presisi.

"ebaliknya simpangan baku data yang terdapat dalam sampel = tinggi menunjukan

@ariabilitas yang besar disekitar rerata) koefisien @ariasi sebesar 6,>, dan

$C=EF .*8

arenanya rangkaian data ini dianggap tidak presisi atau menunjukan presisi yang rendah.

esimpulannya &

• "ampel C menunjukan akurasi tinggi dan presisi tinggi

• "ampel = menunjukan akurasi tinggi dan presisi rendah

• "ampel 4 menunjukan akurasi rendah dan presisi tinggi


15/32

4ontoh ini menggambarkan perbedaan utama antara akurasi dan presisi dan juga

menunjukan bah2a suatu sampel dapat memiliki akurasi tinggi dan presisi rendah dan

sebaliknya.

.7 esimpulan

Dalam makalah ini telah dijelaskan berbagai metode yang digunakan untuk

menggambarkan kecenderungan memusat dan @ariasi dari suatu rangkaian data atau

suatu populasi. kuran-ukuran ini disebut sebagai statistic deskriptif dan membentuk

sebagian terpadu baik dari deskripsi data atau populasi maupun dari analisis data yang

menggunakan metode statistic parametrik.

2.2. Pengukuran Variasi Data

Tambahan pengetahuan tentang sifat memusat data, sangat diperlukan

adanya pengkuran variabilitas atau dispers data. Informasi tersebut

memberikan suatu ukuran kedekatan relatif dari rangkaian data. Konsep ini

dapat djelaskan melalui perbandingan dua rangkaian data yang ada pada

Tabel 2.6. Dengan hanya melihat sifat memusat nilai tengah! dari tiap

rangkaian data, seseorang bisa menganggap bah"a kedua rangkaian data

tersebut sama. #kan tetapi, sangat jelas terlihat dari Tabel 2.6 bah"a

rangkaian$rangkaian data tersebut tidak sama. %leh sebab itu, dalam

statistik biasanya sifat memusat dari hasil disajikanbersama dengan suatu

ukuran variasi data. &agian$bagian selanjutnya akan menguraikan

berma'am$ma'am metode untuk menghitung dan menampilkan variasi

data.

2.2.1.

Kisaran dapat dide(nisikan sebagai perbedaan antara nilai terbesar dan

terke'il dari satu rangkaian hasil pengukuran. Kisaran dari rangkaian

data # dan & dalam Tabel 2.6 adalah sebagai berikut)

*angkaian data #) Kisaran + -$-+2-


16/32

*angkaian data &) Kisaran + -$2/+2

Tabel 2.6

Rangkaian data A Rangkaian data B

-

2-

-

2-

-

0ilai tengah + -

2/

21

-

21

2/

0ilai tengah + -

enggunaan kisaran untuk menjelaskan variasi data se'ara akurat

sangatlah terbatas karena perhitungannya hanya melibatkan dua ukuran

dari rangkaian data yaitu titik tertinggi dan terendah dari data!. %leh

karena itu, kisaran tidak benar$benar menejelaskan variasi dari

keseluruhan rangkaian data. 3elanjutnya, dalam estimasi variabilitas

populasi dari data sampel, kisaran dianggap tidak sesuai karena ke'il

kemungkinan suatu sampel akan mengandung nilai tertinggi dan juga

nilai terendah dalam suatu populasi. Dengan demikian, kisaran sampeldianggap sebagai estimasi yang lemah yaitu penaksiran rendah! dari

kisaran suatu populasi. enggunaan utama dari kisaran adalah untuk

mende(nisikan variabiitas yang berhubungan dengan data yang tidak

terdistribusi se'ara normal.

2.2.2 Simpangan Rerata

3impangan rerata mean deviation, 4D! umumnya diistilahkan momen

mutlak pertama adalah suatu ukura variasi data yang dihitung sebagai

simpangan rata$rata dari rerata. 4engetahui kegunaan rerata sebgaia

ukuran ke'enderungan memusat, suatu istilah yang menjelaskan


17/32

simpangan di sekitar parameter pusat ini dapat merupakan relevansi

statistik langsung.

Dalam istilah matematis, simpangan rerata dituliskan sebagai berikut)

X j− ´ X ¿∑¿

MD=¿

dengan (X j- ´ X ) adalah nilai mutlak dari simpangan perbedaan! nilai$

nilai dalam rangkaian data dari rerata rangkaian data dan N adalah

jumlah pengamatan dalam rangkaian data.

5ontoh berikut menguraikan perhitungan simpangan rerata.

CONTOH 2.6 Suatu larutan tetrasiklin hidroklorida telah dikirim ke

laboratorium pengedalian mutu pada sebuah perusahaan farmasi untuk

dianalisis. Kandungan obat dari alikuot larutan ini diukur menggunakan

spektroskopi ultraiolet dan hasiln!a disajikan dalam "abel #.$. %itunglah

simpangan rerata kandungan obat larutan.

Table 2.7. Kandungan tetrasiklin hidroklorida dalam enam alikuot suatu

larutan

Nomor alikuot Kandungan tetrasiklin hidrklorida

(mg&ml)

2

--,6

1/,

1/,1


18/32

7

6

17,

-,7

-7,7

Tahap 4enghitungan rerata

*8483

∑ j=1 N

N

X j=¿ (100,6+98,3+98,9+95,1+104,5+105,5)

6=100,5mg

∑ j=1 N

N

X j

+(251+255+250+245+265+260+231+225+250+275+300)

11 + 277,2 mg

Tahap 2 4engitung perbedaan rerata

*8483

X

X j−¿́¿∑¿

MD=¿

+

[ (100,6−1005 )+(98,3−100,5 )+(98,9−100,5 )+(95,1−100,5 )+(104,5−100,5 )+(105,5−100,5 )]6

[ (0,1 )+ (2,2 )+ (1,6 )+(5,4 )+ (4,0 )+ (5,0 )]6

=3,1mg /ml

3impangan rerata dihitung menggunakan nilai$nilai mutlak dari

perbedaan antara hasil pengukuran rerata yaitu tanpa tanda aljabar.


19/32

Karna penggunanan nilai mutak dai perhitungan simpangan rerata ini,

beberapa engarang mengusulkan bah"a istilah simpangan mutlak rerata

merupakan terminalogi yang lebih sesuai untuk parameter$parameter

statistik ini. Dapat dinyatakan bah"a istilah simpangan median juga

sesuai dan dide(nisikan sebagai jumlah dari simpangan mutlak dari

median.

2.2.3 Varians

Dalam perhitungan rerata tanda aljabar diabaikan untuk memeberikan

hasil numerik yang positif. 3atu metode lebih lanjut yang dapat

digunakan untuk menghindari muatan aljabar yang dihasilkan dari

pengulangan rerata dari hasil pengukuran tertentu adalah dengan

mengkuadratkan perbedaan simpangan! tersebut. enjumlahan

perbedaan yang dikuadratkan se'ara berturut$turut menghasilkan suatu

istilah statistik dasar, yaitu jumlah kuadrat . 3e'ara matematis jumlah

kuadrat sum of s'uares SS! diuraikan sebagai

33+9 X - X)2 dengan X dan X mempunyai de(nisi yang sama seperti

sebelumnya.

:arians sering disebut sebgai rerata jumlah kuadrat dan dituliskan

sebagai

*8483

SS * + (X j - X

¿́ ¿

Dengan σ 2 adalah varians dari suatu populasi, ; j adalah nilai numerik

dari tiap hasil pengukuran, μ adalah nilai rerata populasi dan


20/32

3elanjutnya, varians sampel S#! , yaitu estimasi varians populasi ( σ # ),

yang paling sesuai digambarkan dengan)

*umus

S# *

X j−¿ ´ X ¿2

N −1∑¿¿

Dengan ´ X adalah rerata data sampel dan 0 adalah jumlah

pengamatan dalam sampel.

engertian dari persamaan yang menyatakan varians harus

diperhatikan.

• ertama, penulisan varians σ 2 $ atau s# tergantung dari

apakah data populasi atau sampel yang sedang digunakan.• Kedua, persamaan$persamaan yang menggambarkan varians

data populasi dan sampel pada dasarnya berbeda pada

penyebutnya,yakni 0 untk varian populasi dan 0$ untuk varias

sempel.#lasan utama adanya perbedaan antara kedua persamaan ini

berhubungan dengan ketidakakuratan relatif terhadap estimasi

varians populasi dari varians sampel ketika persamaan untuk

sampel hanya meiputi 0,jumlah pengamatan sebagai penyebut.

Dalam situasi ini, varias sampel dianggap menjadi perkiraan

yang bias dari vrians populasi, dan penulisam 0$! digunakan

untuk menghilangkan bias ini.ada tahap ini, pemba'a disarankan untuk memperhaikan

hubungan antara varians sampel dengan varians populasi.

Tidak seperti varians populasi, varians simpel adalah ukuran

variabel. %leh karena itu, jika suatu sampl a'ak diambil dari

suatu populasi misalnya jika -- tablet diambil dari suatu bets


21/32

berisi ------ tablet populasi! dan berat tiap tablet

ditimang.varians sampel kelompok -- tablet! tidak akan tepat

sama dengan varians populasi. Tentu saja, jika sampel berulag

diambil dari bets berisi juta tablet dan varians berat dari tiap

rangkaian sampel tersebut diukur,varians dari tiap$tiap sampel

yang berbeda ini akan sedikit berbeda. erbedaan$perbedaan

ini merupkan akibat langsung dari sifat variabel dari varians

sampel,yang disebabkan oleh faktor$faktor yang dijelaskan

dalam bab pertama 'ontohnya perbedaan dalam berat tiap

bets, variabilitas yang disebabkan ketidakakuratan timbang,

ketidakakuratan operator, dll!. #kan tetapi jik sampel$sampel

sebanyak 4 diambil se'ara a'ak berulang dari populasi dan

varians$variansnya ditentukan menggunakan 0$ sebagai

penyebut!, rerata dari semua varians sampel terhitung akan

sama dengan varians populasi.#nggaplah suatu populasi tersusun dari tiga titik data yaitu ,7,

dan =. Dari informasi ini, varians populasi dapat diperoleh

mengunakan persamaan berikut.

*8483

σ # *

X j−¿µ¿2

N

∑¿¿

0ilai$nilai individu ( X j) X j−µ ( X j−µ)

$2 7 - -= >2

%leh karena itu)*8483


22/32

σ # *

X j−¿ µ¿2

N =(4+0+4)

3=2,67

∑¿¿

Dari popuasi diatas, sembilan sampel individu, masing$masing

tersusun dari dua nilai, diambil dengan 'ara pengambilan

sampel berulang. ada tiap pengambilan, sampel$sampel

dikembalikan sebelum dilakukan pengambilan sampel kembali

sehingga menjamin bah"a tiap nilai individu mempunyai

kesempatan yang sama untuk dipilih. ?asil dari pengambilan

sampel, yaitu berbagai pasangan data yang dapat diperoleh,

adalah sebagai berikut*8483

Sampel Nilai (, j - ´ x )# X j−´ x¿2

∑¿

&N-

S#

, $ ¿2

+-

$ ¿2

+-

->-!@ -

2 7,7 7$7 ¿2

+-

7$7 ¿2

+-

->-!@ -

=,= =$= ¿2

+-

=$7

¿¿2 +-

->-!@ -

,7 $ ¿2

+-

7$ ¿2

+-

>!@ 2

7 7,= 7$6 ¿2

+-

=$6 ¿2

+-

>!@ 2

6 7, 7$ ¿2

+-

$ ¿2

+-

>!@ 2

= =,7 =$6 ¿2

+-

7$6 ¿2

+-

>!@ 2


23/32

/ ,= $7 ¿2

+-

=$5

¿¿2 +-

>!@ /

1 =, =$7 ¿2

+-

$7 ¿2

+-

>!@ /

:arians sampel rerata kemudian dapat dihitung)*erata s2 + ->->->2>2>2>2>/>/!@1 +2,6=

2.2.! Simpangan bakuSimpangan baku merupakan suatu ukuran dispersi data yang

umum digunakan dari dide(nisikan sebagai akar kuadrat positif

dari varians. 3impagan baku dapat ditulis se'ara matematis

sebagai berikut.3impangan baku dari suatu populasi*8483

σ *

X j−¿µ¿2

N

∑¿¿√ ¿

3impangan baku dari suatu sampel*8483

s *

X j−¿ ´ X ¿2

N

∑¿¿√ ¿

3ekali lagi, penyebut yang digunakan dalam perhitungan

simpangan baku populasi dan sampel berturut$turut adalah N

dan 0 A !8ntuk mempermudah perhitungan$perhitungan manual seperti

itu, metode$metode yang lebih singkat tersedia untukperhitungan simpangan baku dan juga varians!. 4etode$

metode yang dimodi(kasi untuk perhitungan simpangan baku

didasarkan pada persamaan$persamaan berikut*8483


24/32

9; j $´ X ¿2 + 9;2 $

∑X ¿2

¿¿¿

?al ini mengarah pada pengembangan$pengembangan berikut

untuk simpangan baku)3impangan baku suatu populasi*8483 X

j−¿µ¿2

N ¿

∑x¿2/ N ¿¿

∑x2−¿¿∑ ¿¿

σ =√ ¿

3impangan baku suatu sampel*8483 X

j−¿ ´ X ¿2

N −1¿

∑x¿2/ N ¿¿

∑x2−¿¿∑ ¿¿

s=√ ¿

Tabel 2./ "aktu yang dibutuhkan untuk disolusi 7-B masa a"al

obat dari 7 tablet bolus yang berasal dari satu bets tunggal.tabel

0omor bolus 7-B jam!

2-,2

2 2,6

2,7

2/,6

7 22,6


25/32

6 2,-

= 2,1

/ 22,-

1 26,

- 27, 2,

2 2-,

2,7

2,-

7 27,1

salah satu sifat tablet bolus yang harus diukur adalah "aktu

yang dibutuhkan untuk pelepasan 7-B muatan a"al obat

dalam bolus t7-B! menggunakan uji disolusi yang dijelaskan

dalam the &ritish harma'opoeia 11/!. Tabel 2./ menunjukan nilai t7-B dari 7 bolus yang disampel

se'ara a'ak dari bets tersebut. ?itunglah rerata dan simpangan

baku dari "aktu yang dibutuhkan untuk pelepasan 7-B muatan

a"al obat dari bolus. Tahap menghitung rerata*8483; +

(20,2+21,6+24,5+28,6+22,6+24,0+21,9+22,0+26,1+25,3+23,4+20,1+24,0+25,9)15

Tahap 2 menghitung simpangan baku sampel*8483

s +

∑x¿2/ N ¿¿

∑x2−¿¿√ ¿

; ;2

2-,2 -/,-


26/32

2,6 66,6

2,7 6--,

2/,6 //,-

22,6 7-,/

2,- 7=6,-

2,1 =6,6

22,- /,-

26, 6/,2

27, 6-,

2, 7=,6

2-, -,-

2,7 772,

2,- 7=6,-

27,1 6=-,/

9; + 7,= jam 9;2 + /7, jam2

3ehingga

*8483

3 +

∑x¿2/ N ¿¿

∑x2−¿¿√ ¿

+

(353,7 ¿

2 ❑15 )

¿8415,3−¿

¿√ ¿

Cadi rerata dan simpang baku dari t7-B sampel yang diambil dari

suatu bets tablet bolus adalah 2,6 2, jam.

3atu titik praktis dalam perhitungan seperti itu adalah

hubungan numerik anatara simpangan baku dan kisaran.

&iasanya, simpangan baku bernilai senilai seperlima samapai

seperenam dari nilai numerik kisaran. ?al ini dianggap sebagai

suatu hubungan aturan ibu jari dan harus diingat kapan saja

pemba'a sedang memeriksa perhitungan.


27/32

2.2.!.1 "raian umum mengenai Simpangan #aku3impangan baku merupakan ukuran dispersi data yang paling

sering digunakan kaena ini dapat berhubungan dengan

probabilitas dari ukuran yang terjadi dalam "ilayah tertentu

pada distribusi frekuensi. Cadi dalam distribusi normal 3imetris!

dan tentunya dalam distribusi 'ukup 'ondong #simetris! )*8483

• 6/B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran numerik

yang dinyatakan dengan´ X > s dan

´ X A s, yaitu satu

simpangan baku disekitar rerata• 17B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran nuymerik

yang dinyatakan dengan ´ X > 2s dan ´ X $ 2s, yaitu

dua simpangan baku disekitar rerata• 17B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran nuymerik

yang dinyatakan dengan´ X > s dan

´ X $ s, yaitu

dua simpangan baku disekitar rerataDalam 'ontoh yang digambarkan diatas mengenai "aktu yang

dibutuhkan untuk pelepasan 7-B muatan a"al obat, rerata dan

simpangan baku dihitug sebesar 2,6 2, jam oleh karenaitu )

*8483• 6/,2=B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran numerik

yang dinyatakan dengan 2, jam yaitu, 2,6 A 2, jam!

sampai 27,1 jam yaitu 2,6 > 2, jam!. 4aka, pada

'ontoh ini, 2- dari 7 nilai terdistribusi dalam kisaran ini• 17,7B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran numerik

yang dinyatakan dengan 1,- jam yaitu, 2,6 A 2, jam!

sampai 2/,2 jam yaitu 2,6 > ,6 jam!. 4aka, pada

'ontoh ini, dari 7 nilai terdistribusi dalam kisaran ini


28/32

• 11,=B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran numerik

yang dinyatakan dengan 6,= jam yaitu, 2,6 A 6,1 jam!

sampai -,7 jam yaitu 2,6 > 6,1 jam!. 4aka, pada

'ontoh ini, semua nilai terdistribusi dalam kisaran ini

5ontoh 2.1Konsentrasi antibiotik penisilin (mg& ml) dalam botol

suspensi untuk anak-anak telah diperiksa menggunakan teknik

iodometri. %itunglah rerata dan simpangan baku serta

pertimbangan kontribusi tiap pengamatan arians sampel. Tabel 2.1 konsentrasi antibiotik penisilin dalam masing$masing

dari 7 botol suspensi untuk anak$anak. Tabel

0omor botol Konsentrasi penisilin

27

2 2

2

2

7 6

Tahap menghitung rerata*8483125+124+121+123+16

¿¿

´ X =¿

Tahap 2 menghitung varians*8483

s# *

X j− ´ X ¿2

¿∑¿

¿

* /

16,0−101,8 ¿2

124,0−101,8 ¿2+…+¿125,0−101,8 ¿2+¿

¿¿

* #01#$ (mg& m2 ¿2


29/32

Tahap menghitung simpangan bakuDengan mengingat bah"a simpangan baku adalah akar kuadrat

dari varians, simpangan baku dapat dengan mudah dihitung

sebagai E 2-2, = + /,- mg@ 7 ml.

Tahap mempertimbangkan kontribusi tiap pengamatanterhadap varians sampelKontribusi dari tiap pengamatan terhadap varians keseluruhan

botol ,2,,,7! dan juga simpangan baku, dapat dihitung

dengan mudah menggunakan rumus baku.*8483

s# *

X j− ´ X ¿2

¿∑¿¿

5ontohnya dalam botol konsentrasi penisilin ter'atat adalah

27 mg@7 ml.*8483

125−101,8¿2

¿mg/5mL

¿s12=¿

Cadi kita mempunyai data yang ditunjukan dalam tabel 2.- Tabel 2.- konsentrasi antibiotik penisilin dalam masing$masing

dari 7 botol suspensi untuk anak$anak, menjelaskan kontribusi$

kontribusi masing$masing vial terhadap varians total.

Tabel

0omor botol Konsentrasi

penisilin mg@7mF!

Kontribusi terhadap

varians

keseluruhan 27 ,7

2 2 2,2

2 12,2

2 2,


30/32

7 6 /-,

s2 + 2-2,= mg@7

mF!

3emakin suatu nilai individu menyimpang lebih jauh dari rerata

sampel, pengaruhnya pada varians akan semakin besar

dibandingkan nilai$nilai dengna penyimpangan yang tidak

terlalu men'olok. %leh sebab itu, pada beberapa data,

simpangan baku yang besar dapat dihubungkan dengan satu

atau lebih nilai sampel eksterm pen'ilan!. Dalam 'ontoh

diatas, konsentrasi penisilin dalam botol ke 7 menunjukan suatu

pen'ilan, dan dapat mengindikasikan adanya permasalahan

baik pada bets yang dibuat mapun metode analitis.3eperti yang disebutkan sebelumnya, distribusi ketika rerata

seara numerik lebih besar daripada median disebut 'ondong

positif. Data yang disajikan diatas memperlihatkan distribusi

seperti itu rerata+2, mg@ 7 mlG median 2 mg@7 ml!.

2.2.$ Simpangan #aku %kesala&an' rerata3impangan baku rerata, terkadang disebut sebagai kesalahan

baku rerata merupakan istilah yang uum digunakan dalamstatistik. 3ebagai akibat dari penggunaan dan penyalahgunaan

ini, mahasis"a statistik harus sangat memahami istilah ini.

8ntuk mendapatkan pemahaman yang sesuai mengenai 3H4,

pertama$tama sebaiknya kita membandingkan dan

membedakan pengertian simpangan baku rerata dan

simpangan baku, seperti yang diuraikan dalam bagian 2.2..

seperti yang dikemukakan sebelumnya simpangan baku

menejlaskan variabilitas dari serangkaian data disekitar nilai

tengah, dan suatu perkiraan dari variabilitas data dalam suatu

populasi yang dapat berasal darinya. 3ementara itu, simpangan

baku rerata adalah suatu ukuran variabilitas dari suatu

rangkaian nilai rerata yang dihitung dari kelompok$kelompok


31/32

ukuran individu yang berasal dari populasi. erbedaan$

perbedaan antara kedua istilah ini digambarkan dalam 'ontoh

berikut.5%0T%? 2.- Suatu bets suspensi amoksisilin trihidrat untuk

anak-anak telah diproduksi. Sebelum pengisian pabrik ingin

memastikan keseragaman konsentrasi obat !ang tersuspensi

dalam bets. 3ntuk memeriksan!a alikuot indiidual (11ml)

diambil dan konsentrasi tiap alikuot ditentukan kali

menggunakan metode kromatogra4. %asiln!a ditampilkan

dalam tabel #.. hitunglah kesalahan baku rerata dari

rangkaian.Kesalahan baku rerata dihitung menggunakan nilai rerata tiap

alikuot seperti berikut.*8483

s *

∑X ¿2/ N ¿

¿ N −1¿

119,9¿2 /5¿¿

2875,59−¿¿

∑X 2

−¿¿√ ¿

%leh karena itu rerata dan simpangan baku tiap alikuot dapat

dihitung dengan mudah, menghasilkan ukurn variabilitas dari

tiap alikuot individu. 0amun, pada beberapa keadaan, variasi

yang berhubungan dengan nilai rerata individu lebih

mendapatkan perhatian daripada variabilitas dari nilai$nilai

individu yang menyusun tiap sampel. 4aka, keseluruhan rerata

dan simpangan baku dari kelima alikuot yang dijelaskan diatas

dapat dihitung menggunakan rumus untuk simpangan baku.

Dalam 'ontoh diatas, rerata dan simpangan baku dapat

dihitung sebesar 2,- -, mg@ml. simpangan baku yang


32/32

dihitung selanjutnya disebut sebagai simpangan baku rerata

dan dapat dianggap sebagai ukuran dari presisi rerata. Tabel 2. Konsentrasi amoksisilin dalam 7 alikuot yang diambil

dari sebuah bets untuk tujuan pengendalian mutu.

T#&HF

Konsentrasi amoksilin trihidrat mg@4l$!#likuot #likuot 2 #likuot #likuot #likuot 727, 2=,6 2, 2,1 27,=27, 27,7 26, 2,1 2,72,1 27,6 27, 26, 2,22,7 27,- 2=, 2=,- 27,=2, 2,2 27,- 27,2 2,´ X =¿

2,-s +,7

´ X =¿

2,2s + ,

´ X =¿

2,s + ,

´ X =23,9

s + ,2

´ X =23,5

s + ,-

Documents

MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)