MAKALAH STATISTIK 1

Nama Dosen : Nanda Aula Rumana

Sesi : 12

Disusun oleh :

KELOMPOK 04

Adam Maulana I ( 2014-66-085 )

Arif Maududi A ( 2014-66-110 )

Hariyanto ( 2014-66-060 )

Meiliantha ( 2015-66-025 )

Risky Asdamayanti ( 2014-66-102 )

Selvy Royna Ginting ( 2014-66-021 )

Siti Halimah ( 2014-66-107 )

Silvester Sule ( 2014-66-015 )

Tito Wicaksono ( 2014-66-137 )

UNIVERSITAS ESA UNGGUL

JAKARTA

2016

Pengukuran penyimpangan

A. Pengertian :

Pengukuran penyimpangan merupakan suatu pengukuran yang menunjukan besar

kecilnya perbedaan antara data dengan rata-ratanya. Disamping itu karena pengukuran

penyimpangan menggambarkan berpancarnya data kuantitatif, maka disebut juga ukuran variasi.

Ada beberapa cara pengukuran yaitu :

- Rentang/range/jangkauan

- Deviasi rata-rata ( mean deviation )

- Deviasi standar ( standard deviation )

- Deviasi kuartil ( quartile deviation )

- Rentang antar kuartil

- Varians

- Koefisien variasi

- Koefisien variasi kuartil

B. Rentang ( Range )

Sudah dijelaskan pada bab II tentang distribusi frekuensi bahwa rentang diperoleh dengan

selisih antara data terbesar dan data terkecil. Cara ini sangatlah mudah dalam melakukan

perhitungan. Sebab hanya melibatkan dua data yaitu data terbesar dan data terkecil walaupun

sebenarnya tidak hanya kedua data tersebut. Akan tetapi kemungkinan masih lebih banyak lagi.

Namun pengukuran penyimpangan mempergunakan cara range/rentang mengabaikan data lain

selain kedua data itu. Sehingga karena sifatnya yang mengabaikan data yang lain inilah maka

dikatakan pengukuran penyimpangan “kasar” dibandingkan ukuran penyimpangan yang lain.1

Contoh : 1 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.91-92

Ada dua merk lampu yaitu merk Terang dan merk Cemerlang masing-masing diambil lima lampu sebagai sampel untuk diketahui daya nyalanya. Hasilnya sebagai berikut:

Lmpu merk Terang mempunyai daya nyala ( dalam hari ).

12,14,20,25,29.

Lampu merk Cemerlang mempunyai daya nyala ( dalam hari )

5,15,20,25,35.

Dari data diatas dihitung penyimpangan dan rata-ratanya merk Terang:

R = 29 – 12 = 17

Hlm.91-92

Rata-rata =20

Merk Cemerlang :

R = 35 – 5 = 30

Rata-rata = =200

Jika dilihat penyimpangannya, lampu merk Cemerlang lebih besar daripada lampu merk Terang yaitu 30:17. Berarti daya nyala lampu merk Cemerlang lebih bervariasi atau mempunyai perbedaan yang lebih besar antara daya nyala lampu yang satu dengan yang lain. Karena lebih bervariasi atau perbedaan yang relative besar ini dapat dikatakan bahwa daya nyala lampu merk Cemerlang relative heterogen bila dibandingkan dengan lampu merk Terang, dan lampu merk Terang daya nyalanya relative Homogen. Semakin besar penyimpangan semakin besar perbedaan dan bersifat heterogen. Sebaliknya semakin kecil penyimpangan yang terjadi semakin kecil perbedaan dan bersifat Homogen. Walaupun dilihat dari rata-rata daya nyala lampu kedu merk tersebut sama.

C. Deviasi Rata-rata ( Mean Deviation )

Deviasi rata-rata adalah merupakan rata-rata dari harga mutlak semua penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata kelompok ( mean group ). Dalam perhitungan deviasi rata-rata tidak memandang nilai negative sebagai pengurangan, semua dianggap positif. Tanda negative hanya menandakan nilai suatu data lebih kecil daripada rata-rata kelompok.2

1. Data yang tidak dikelompokkan Misalkan kita mempunyai data : X1,X2,X3,X4,……, Xn kemudian dihitung rata-rata kelompoknyaterdiri semua data.

2 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.93

= atau : =

Setelah rata-rata diketahui, deviasi rata dengan harga mutlak dapat dicari sebagai berikut:DR = Dimana : n = banyak dataSebagai contoh diambil data daya nyala lampu merk Cemerlang dan merk Terang untuk dihitung deviasi rata-ratanya.Merk TerangDR = DR = DR = = 5,6Berarti daya nyala lampu merk Terang mempunyai penyimpangan rata-rata sebesar 5,6 hari. Maksudnya seluruh populasi merk lampu Terang jika dipakai, lama secara antara daya nyala terendah dengan daya nyala terlama secara rata-rata mempunyai perbedaan 5,6 hari untuk tidak nyala.Merk Cemerlang :DR = DR = DR = 40/5 = 8Data nyala lampu merk Cemerlang mempunyai penyimpangan rata-rata sebesar 8 hari. Maksudny seluruh populasi lampu merk Cemerlang jika dipakai antara daya nyala terpendek dengan daya nyala terlama secara rata-rata mempunyai perbedaan 8 hari untuk tidak nyala. Dapat dibandingkan hasil tersebut bahwa daya nyala lampu merk Terang lebih baik daripada lampu merk Cemerlang. Disamping itu lampu merk Terang mempunyai kecenderungan kualitas yang sama antara lampu yang satu dengan yang lain dan lebih baik.3

2. Data yang dikelompokkanPengukuran deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan memerlukan table distribusi

frekuensi guna dipakai mengetahui frekuensi dan titik tengah kelas interval

(midpoint=M ) serta rata-rata.

Misal diketahui:

Frekuensi : F1,F2,F3,…….Fn

Titik tengah : M1,M2,M3,………Mn

Rata-rata yang dikelompokkan : X3 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.94-95.

Maka formulasinya :

DR =

Disederhanakn :

DR =

Contoh :Berikut ini table distribusi frekuensi untuk produksi Tempe merk Gurih dari 20 karyawan yang bekerja secara borongan perhari:

Produk ( U ) 1000-1499 1500-1999 2000-2499 2500-2999 3000-3499Jumlah

karyawan2 5 10 2 1

Tentukan deviasi rata-ratanya !Jawab:

Sebelum dilakukan penghitungan deviasi rata-ratanya terlebih dulu menghitung rata-rata. 4

Produk ( U ) Jml.Kry.( Fi ) Mi FiMi Fi(Mi-X )1000-14991500-19992000-24992500-29993000-3499

251021

1.249,51.749,52.249,92.749,53.249,5

2.998.747,522.4955.499

3.249,5

1-1.75011-1.875111.250111.250111.1251

Jumlah 20 - 42.490 7,250

D. Deviasi Standard an Varians

Di dalam perhitungan, penyimpangan baku atau deviasi standar yang paling banyak digunakan,

dan merupakan penyempurnaan dari deviasi rata-rata yang mengabaikan tanda negative. Hal ini

kemudian oleh karl pearson dijadikan positif semua dengan cara dikuadratkan lalu diakarkan.

Symbol deviasi standar bagi sampel adalah [s] sedangkan populasi [baca:to]. Kemudian variasi

merupakan kuadrat deviasi standar [s kuadrat, Kuadrat ].

1. Data yang tidak dikelompokkanMisalkan ada data: X1,X2,X3,…………….Xn dengan rata-rata () dapat diformulasikan :S =

4 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.95-96.

Disederhanakan :

S = atau

n-1 digunakan jika datanya relative kecil/sedikit, biasanya dibawah atau sama dengan 100

data. Sedangkan n digunakan jika datanya relative sangat banyak/besar, biasanya diatas

100 data [˃100˃]. Mengapa demikian? Karena data yang banyak atau lebih dari 100,

hasil dari pembagi n-1 dan n perbedaannya sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

Disamping fomulasi diatas ada fomulasi lain yang dapat dipergunakan untuk menghitung

deviasi standar.

S =

Varians = deviasi standar kuadrat =

Contoh :

Diambil data daya nyala lampu merk Terang di atas yaitu : 12,14,20,25,29 [hari] dengan rata-rata

20 hari. Perhitungan deviasi standar :5

N X12345

1214202529

[12-20]=64[14-20]=36[20-20]=0[25-20]=25[29-20]=81

144196400625841

Jumlah 100 206 2.206S = = = 7,18

Atau

S =

S = =7,18

Varians = = = 51,5524

Berarti bahwa daya nyala lampu merk Terang mempunyai perbedaan satu sama lain secara rata-

5 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.96-97.

rata 7,18 hari untuk tidak nyala. 6

2. Data yang dikelompokkan Seperti pengukuran yang lainnya pada data yang dikelompokkan ini diperlukan table distribusi frekuensi.Frekuensi : F1,F2,F3,……….FnTitik tengah : M1,M2,M3,………..MnFormulasinya :S =

S =[

Atau

S = -

Varians = S2hh

Contoh :

Diambil data dari table distribusi frekuensi produksi tempe merk Gurih dan menghitung deviasi standar :

Produksi (u) Fi Mi Mf FiMi FiMi2

1000 – 1499 2 1.249,5 1.561.250,25 2.499 3.122.500,51500 – 1999 5 1.749,5 3.060.750,25 8.747,5 15.303.751,252000 - 2499 10 2.249,9 5.060.250,25 22.495 50.602.502,52500 – 2999 2 2.749,5 7.559.750,25 5.499 15.119.500,53000 – 3499 1 3.249,5 10.559.250,25 3.249,5 10.559.250,25

Jumlah 20 - - 42.490 94.707.505

S = 2

S= 4.735.375,25 4.513.500,25

S = 471,03 ………………… Varians = S2 [471.03]2 = 221.874,75

Disamping formulasi diatas, ada formula lain merupakan usaha pengembangan dari yang sudah ada yaitu :

S = …………………………………………………………………... F1

6 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.98.

S = - 2 …………………………………………………. F2

S = C1 n <100 ………………………….. F3

S = C1 / n n > 100 ……………… F4

Contoh :

Karena banyaknya data diatas kurang dari 100 data (n < 100 ) maka digunakan alternative ketiga:7

Karyawan [Fi] Mi Ui Ui2 FiUi2 FiUi

2 1.249,5 - 2 4 8 -45 1.749,5 - 1 1 5 -510 2.249,5 0 0 0 02 2.749,5 1 1 2 21 3.249,5 2 2 4 2

Jumlah - - - 19 -5Terjadinya selisih [ 483,27 – 471,03 = 12,24 ] disebabkan akibat pembulatan angka pada cara pertama.

E. Deviasi Kuartil (Quartil Deviation)

Deviasi kuartil mengukur data dari nilai kuartil satu sampai dengan nilai kuartil tiga.

25 % 25% 25% 25%

I I I I I

K1 K2 K3

50%

Berarti hanya 50% yang diperhitungkan dari keseluruhan data. [K3 – K1] = [75% - 25%] = 50% disebut rentang antar kuartil, dan mengabaikan 25% nilai terendah dan 25% nilai tertinggi suatu data. Tetapi hal ini merupakan kelemahan deviasi kuartil. Untuk menghitung besar deviasi kuartil ialah nilai tengah dari rentang antar kuartil dibagi dua. Formulasinya sebagai berikut :

Deviasi Kuartil =

=

Karena merupakan nilai tengah deviasi kuartil disebut juga rentang semi antar kuartil. Baik data yang tidak dikelompokkan maupun data yang dikelompokkan dalam menentukan 7Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.99.

deviasi kuartil memakai formulasi yang sama. Selain deviasi kuartil dapat ditentukan pula koefisien variasi kuartil, yaitu: 8

V =

Untuk median dapat dicari dengan cara melibatkan langsung nilai kuartil dua :

Median = K2

Didapatkan formulasi koefisien varian kuartil sebagai berikut : V =

Contoh :

Hitunglah deviasi kuartil dan koefisien variasi kuartil dari data produksi tempe merk Gurih :

Produksi [U] 1000 – 1499 1500 – 1999 2000 – 2499 2500 – 2999 3000 – 3499Karyawan [ F

] 2 5 10 2 1

Menentukan nilai kuartil :

Lk 1 = = 5

Terletak dikelas interval kedua. Melihatnya dari frekuensi komulatif kurang dari [FKKD].

K1 = TKB + Ci

K1 = 1.499,5 + [500]

K1 = 1.499,5 + [500]

K1 = 1.499,5 + 300

K1 = 1.799,5

LK 2 = = = 10, berarti terletak dikelas interval ketiga

K 2 = 1.999,5 + [500]

K 2 = 1.999,5 + 150 = 2.149,5

LK3 = = = 15, berarti terletak dikelas interval ketiga sama dengan letak kuartil 2

K 3 = 1.999,5 + [500]

K 3 = 1.999,5 + [500]

K 3 = 1.999,5 + 400

K 3 = 2.399,5

Pembuktian bahwa median = K2

8 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.100-101.

LK3 = = , berarti terletak di kelas interval ketiga sama dengan letak kuartil dua.9

Koefisien Variasi Kuartil :

V = = = 0,13957

Dalam persentase V = 0,13957 X 100% = 13,957%

Berarti variabilitas jumlah produksi tempe merk Gurih sebesar 13,957% antara yang dihasilkan karyawan yang satu dengan karyawan lainnya.

F. Koefisien Variasi

Formulasi Koefisien Variasi adalah :

KV = X 100%

Dimana :

S = Deviasi Standar

= Rata – Rata (Mean)

Koefisien variasi dinyatakan dalam persentase, maka ukuran ini dapat digunakan untuk perbandingan suatu data yang mempunyai satuan berbeda. Penerapan dalam bisnis, semakin besar koefisien variasi berarti semakin besar risiko penyimpangan. Sebaliknya jika koefisien variasi semakin kecil, maka semakin kecil pula tingkat risiko penyimpangan terjadi. Berarti dipilih tingkat risiko penyimpangan terkecil.

Contoh :

Seorang Mahasiswa melakukan pengukuran tingkat variabilitas terhadap daya nyala tiga merk lampu yang nantinya akan dipilih satu merk dijadikan langganan untuk dipasarkan yaitu merk Sinar, Pancam dan Terang, dimana masing – masing diambil 5 lampu sebagai sample. Hasil sebagai berikut :

Lampu Ke Daya Nyala (hari)Sinar Pancar Terang

1 25 15 312 20 21 253 35 30 194 31 42 17

9 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.102-103.

5 27 50 28Mahasiswa tersebut sebaiknya harus memilih merk yang mana untuk berlangganan guna dipasarkan?10

Jawab :

Merk Sinar :

= = = 27,6

S =

S = => S = = 5,73

KV = x 100% = x 100% = 20,76%

Merk Pancar

= = = 31,6

S =

S = => S = = 14,467

KV = x 100% = x 100% = 45,78%

Merk Terang11

= = = 24

S =

S = => S = = 5,916

KV = x 100% = x 100% = 24,65%

Perbandingan koefisien variasi lampu :

Merk sinar : merk pancar : merk terang = 20,76% : 45,78% : 24,65%.

10 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.103.11 Danang Suryoto, Statistic Ekonomi Dasar ( Yogyakarta: Amara Books, 2008 ), hlm.106.

Dengan demikian mahasiswa tersebut lebih baik memilih tingkat variabilitas yang terkecil yaitu

merk Sinar, karena daya nyalanya lebih merata dibandingkan lainnya. Tetapi jika pemilihan

merk lampu tersebut didasarkan pada rata – rata daya nyala, harus memilih lampu merk pancar,

sebab rata – rata daya nyala lampu terlama / terpanjang dibandingkan merk lain yaitu 31,6 hari. 12

Daftar Pustaka

Suryoto, Danang. 2008. Statistic Ekonomi Dasar. Yogyakarta: Amara Books.

Darmawan Syah, Darmawan, Supardi dan Hasibuan, Aziz. 2007. Pengantar Statistika Pendidikan. Jakarta: Gaung Persada Press.

Asra, Abuzar dan Rudiansyah. 2013. Statistic Terapan. Jakarta: In Media.

Najmah. 2011. Management dan Analisia Data Kesehatan: Kombinasi Teori dan Aplikasi SPSS.

12 Abuzar Asra dan Rudiansyah, statistic terapan (In Media,2013 ) hal 54.