Makina Dinamigi Titresim

1

Kaynaklar:

Makina Dinamii Yldz Teknik niversitesi Yayn, Prof.Necati Tahral Prof.Dr.Faris Kaya Y.Do.Dr.smail Yksek Y.Do.Dr.Rahmi Gl.Mekanik Titreimler Ders Notlar, Prof.Dr.zgr Turhan.Mekanik Titreimler Birsen Kitabevi Yaynlar, Prof.Dr.Tuncer Toprak.Vibration Engineering West Publishing Co., Andrew D. Dimarogonas.Theory Of Vibration With Application Chapman &Hall, William T. Thomson.

2

Genel Bilgiler

GiriTitreimlerin SebepleriTitreimlerin SonularSistemlerin Titreim AnaliziTitreim ve nsan

3

Titreimle lgili Terimler

Titreim nedir?

Bir sistemin denge konumu civarnda yapm olduu salnm hareketine titreim denir.

Eer yaplan salnm hareketi T saniyede kendini tekrar ediyorsa byle hareketlere peryodik hareket denir. En basit peryodik hareket harmonik hareket adn alr.

x(t)=x(t+nT)x=Yerdeitirme m, rad

t=Zaman s

T=Peryod s

n=Peryod says adet

4

Titreim Sistemlerinin Elemanlar

Ktle

Yay

Snm

Kuvvet

x

x

5

Serbestlik Derecesi

Hareket halindeki bir sistemin elemanlarnn durum ve konumlarn belirleyen parametrelere koordinat denir.

Bir sistemin btn paralarnn her hangi bir zamanda konumlarnn tamamen belirli olmas iin gerekli birbirinden bamsz minimum koordinat saysna serbestlik derecesi denir.

6

Tek Serbestlik Dereceli Sistemler

x

x

x

7

ki Serbestlik Dereceli Sistemler

x1

x2

1

2

1 2

x

8

Ayrk ve Srekli Sistemler

Sonlu sayda serbestlik dereceli sistemlere ayrk sistemdenir.

Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere srekli sistemdenir.

Srekli sistem

9

SI Birim Sistemi

sim Birim SembolUzunluk Metre mKtle Kilogram kgZaman Saniye sKuvvet Newton N (kg.m/s2)Gerilme Pascal Pa (N/m2) Joule J (N.m)G Watt W (J/s)Frekans Hertz Hz (1/s)Moment M N.mKtlesel Atalet Momenti J kg.m2Kesit Atalet Momenti I m4

10

Harmonik Hareket

tx=A sin 2T

x=Yerdeitirme (m,rad)

A=Genlik (m,rad)

t=Zaman (s)

T=Peryot (s)

t

x

A

T

11

Daire zerinde Hareketli Bir Noktann Harmonik Gsterimi

2 2

2 = =2 fT

x=A sin tx= A cos t= A sin(t-/2)x=- Asint= Asin(t+)

O

PA A

x2

t

t sinA

12

Harmonik Harekette Yerdeitirme Hz ve vme Vektrlerinin Gsterimi

AA

2A

t

x

x

x

x

t90

180

13

Euler Denklemi Yardm ile Dner Bir Vektrn Gsterimi

i e =cos +i sin Euler Denklemi

Ai tz=A e

i t i z=A e =A ez=A cos t + i A sin tz=x + iy

2 2

-1

A= x +yy=tanx

= t

14

m 1 2 = - vuru frekans veya modlasyon frekans

1 2 +=2

tayc frekans

m1 2

2T = -

vuru peryodu

1 2

4T= +

tayc peryodu

m 1 2

1 2

T +n =T 2 ( - )

Tmvuru peryodunda gerekleecek titreim says

Vuru Titreim Parametreleri

15

cleart=0:0.01:30;x1=100*exp(i*2*pi*t);x2=50*exp(i*2.2*pi*t);x=x1+x2;plot(t,x)

i 2 t 1

i 2.2 t 2

x (t)=100 e

x (t)=50 ex(t)=?

t

x

X 1+

X 2X 1

+X 2

|X1-

X 2|

|X1-

X 2|

Tm

T )t(X~

)t(x

Vuru Olay

16

Yay Elemanlar

Helisel Yaylar

17

Yaprak Yaylar

18

Yay Karakteristikleri

F (N)

X (m)

F (N)

X (m)

Lineer (dorusal) yay karakteristii

Non-Lineer (dorusal olmayan) yay karakteristii

19

Yay Katsays

Fk=tan = (N/m)x

Kuvvet

Yerdeitirme

20

Yay Katsays TablosuE Ik=L

E Ak=L

4

3

G dk=64 n R

3

3EIk=L

pG Ik=L

21

L/2

3

48 E Ik=L

L/2

3

192 E Ik=L

L/2

3

768 E Ik=7 L

22

a b

x

y ( )2 2 2x2 23 E I L P b xk= y = L -x -b

a b 6 E I L

EI L3

12E I k=L

23

( ) 23E Ik=

L+a a

L a

( )224E Ik=

a 3L+8 a

L a

24

Yaylarn Paralel Balanmas

k1 k2

m

ke

m xx

n

e 1 2 3 n ni=1

k =k +k +k +......+k = k

25

Yaylarn Seri Balanmas

m x

ke

m x

k1k2

n

i=1e 1 2 3 n i

1 1 1 1 1 1= + + +.....+ =k k k k k k

26

DEV 6:

k1 k2

k3

k4

m x

Yandaki sistemin edeer yay katsaysn hesaplaynz.

27

DEV 7:

k1

k2

k1

k2

m x

Yandaki sistemin edeer yay katsaysn hesaplaynz.

28

Snm Elemanlar

Viskoz snmCoulumb (kuru srtnme) snmMalzeme (histeresiz) snmSktrlm ya (squeeze-film) damperiElekro-manyetik damperElektro-viskoz damperPiezo-elektrik damper

29

Snmsz Serbest TitreimDey konumda ktle-yay sisteminin hareket denklemi:

Statik denge konumu

x

x

t

L0

stk

k

k

30

stk

G m.g=

Serbest cisim diyagram

Statik denge konumu: yF =0 st2n

st

nst

G=m.g=k.k g= =m

k g = =m

Burada, n sistemin tabii frekansdr.

31

Newtonun 2. kanunu uygularsak,

( )stF m.a m x -k x G = = + +

stG=m.g=k. olduundan,

m x+k x=0 bulunur.

x

stk( x) +

G m.g=

xm

32

Yatay konumda ktle-yay sisteminin hareket denklemi:

Newtonun 2. kanunu uygularsak,

F=m.a

x

km

x

xm

xkm

m x -k x m x k x 0= + =

bulunur.

33

Snmsz Serbest Titreim Hareket Denkleminin Bulunmas

m x k x 0+ =Bu diferansiyel denklemin zmnn

s tx A e=biiminde olduunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. zm kabuln tretirsek,

s t

2 s t

x s A ex s A e=

=

Bulunur. Bunlar yukardaki diferansiyel denklemde yerine konursa,

34

( )2 stm s k A e 0+ =Burada,

s tA , e 0 dr.

2m s k 0+ =

Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. Karakteristik denklemin kkleri,

1,2 nks i m

= =

dir.

35

Bu durumda, hareket denklemi:

1 2 n ns t s t i t i t1 2 1 2x(t) A e A e A e A e

= + = +

A1 ve A2 balang artlarndan bulunacak katsaylardr.

i te cos .t i.sin .t = eitlii kullanlrsa,

( ) ( )( ) ( )

1 n n 2 n n

1 2 n 1 2 n

x(t) A cos t i sin t A cos t i sin t

x(t) A A cos t i A A sin t

= + +

= +

( )1 1 2B A A= + ve ( )2 1 2B A A= olmak zere,

36

1 n 2 nx(t)=B cos t+B sin t olur.

Balang artlar

0

0

x(0) xt 0

x(0) x

== =

olsun.

Bu durumda, 1 0B =x ,0

2n

xB =

bulunur.

Buradan balang artlarna bal hareket denklemi aadaki ekilde bulunur.

00 n n

n

xx(t)=x cos t+ sin t

37

Problem: Aadaki sarkacn diferansiyel denklemini karnz. Tabii frekansn ve periyodunu hesaplaynz.

L uzunluunda arlksz bir ipin ucuna m ktlesi aslmtr.

zm:

g m

J L

38

Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,

TopM J =

J -m g.L sin =2J m L= 0 sin

39

Problem: Aada denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini karp tabii frekansn hesaplaynz.

m,L

M

k

40

zm:

Sistemin denge konumunu bir miktar bozalm ve oluan kuvvetleri gsterelim.

x.k

g.M

g.m

mJ

MJ

41

TopM J =Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,

m MLJ J m g. sin -M g.L sin -k x.L cos 2

+ =

0 sin cos 1

42

2 2m M

1J m L , J M L 3

= = dir.

sadeletirme yaplrsa,

1 1m M L m g M g k L 03 2

+ + + + =

n

1 m g M g k Lk 21m m M L3

+ +

= = +

43

Problem: Aada denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini karp tabii frekansn hesaplaynz

k

M x

m,r

44

zm:

xkM x

mJ

xM

45


TopM J =

mJ M x.r -k x.r+ =

x r.sin r x r x r

= ===

0 sin cos 1

46

dzenleme yaplrsa,

21 m r M x.r -k x.r2

+ =

2 2 21 m r M r k r 021 m M k 02

+ + = + + =

nk k 2 k

1m m 2 Mm M2

= = =++

rad/s

47

Lineerletirme

Yapsal nonlineerlik (Malzeme nonlineerlii)

Geometrik nonlineerlik- Arlk kuvveti- Merkezka kuvveti- Srtnme kuvveti

48

Tek serbestlik dereceli bir sistemin diferansiyel denklemi aadaki gibidir.

( )m x f x 0+ =

Burada yay fonksiyonudur.( )f x

lineer olmayan bir formda ortaya km olsun.( )f xKoordinat balangcn, denge konumunda seelim, x 0=

olsun bu durumda fonksiyonunu civarnda kuvvet serisine aalm.yani; ( )f 0 0= ( )f x x 0=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 k

2 3 k2 3 k

k 0

df 0 d f 0 d f 0 d f 01 1 1f x f 0 x x x xdx 2 ! dx 3 ! dx k ! dx

=

= + + + + =

49

Elde edilen lineerletirilmi yay fonksiyonu dif. denklemde

yerine konulursa, lineerletirilmi dif. denklem elde

edilir.

( )f x k xm x k x 0+ =

1

( )df 0kdx

=

0

f(x)

x

2 3x x , x

50

Problem: Aada denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini karp tabii frekansn hesaplaynz

x

y

m1

m2

L1

L2

k

51

zm:

gm1

2L cos 2L sin

1L sin

1J 2J

x

y

2k L sin

52


TM J =

( ) ( )1 2 1 1 2 2

2 2 21 1 2 2 2 1 1

J J m g L sin -k L sin L cos

m L m L k L cos m g L sin 0

+ =

+ + =

Burada, dir.

f(x) fonksiyonunu lineerletirmek amacyla seriye aarsak

( ) ( )22 1 1f k L cos m g L sin =

( ) ( )2 2 22 2 1 10

0

22 1 1

dfk k L sin k L cos m g L cos

d

k k L m g L

==

= = +

=

53

Kk titreimler iin lineerletirilmi diferansiyel denklem aadaki gibi elde edilir.

( ) ( )2 2 21 1 2 2 2 1 1

22 1 1

n 2 21 1 2 2

m L m L k L m g L 0

k k L m g L m m L m L

+ + =

= =

+rad/s

54

Snml Serbest Titreim Hareket Denkleminin Bulunmas

Bu diferansiyel denklemin zmnn

s tx A e=biiminde olduunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. zm kabuln tretirsek,

s t

2 s t

x s A ex s A e=

=

Bulunur. Bunlar yukardaki diferansiyel denklemde yerine konurda,

m x c x k x 0+ + =

55

( )2 stm s c s k A e 0+ + =Burada,

s tA , e 0 dr.

2m s c s k 0+ + =

Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. Karakteristik denklemin kkleri,

dir.

22

1,2c c 4mk c c ks

2m 2m 2m m = =

56

Sistemin birbirinden bamsz iki gerek kk vardr. Bu durumda, hareket denklemi:

1 2s t s t1 2x(t) A e A e= +

A1 ve A2 balang artlarndan bulunacak katsaylardr.

57

Kritik Snm Katsays ve Snm Oran

Kritik snm katsays ckr aadaki gibi tanmlanr.

2krc k 0

2m m =

kr nkc 2m 2 k m 2mm

= = =

Snm oran ise,

kr

cc

= olarak tanmlanr.

58

Eer karakteristik denklem,

2m s c s k 0+ + =

n ve cinsinden yazlrsa,

2n n

2 2 2n n

2

c ks s 0 s 2 s 0m m

+ + = + + =

denklemin kkleri aadaki gibi bulunur.

( ) ( ) ( )2 2

n n1 t 1 t

1 2x t A e A e +

= +

59

1.Durum: Zayf Snml Sistem

Kritik alt snml sistemlerde negatif olur. Bu durumda,( )2 1

( )( )

21 n

22 n

s i 1

s i 1

= +

=

olur. Sistemin bir ift elenik kompleks kk olduundan,

mk

2mc ,cc , 1 kr

60

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

n

n

1 2

n

n

t 2 21 n n

2 22 n n

t 2 21 2 n 1 2 n

B B

- t 2n

- t

x t e A cos 1 t i sin 1- t

A cos 1 t i sin 1- t

x t e A A cos 1- t i A A sin 1- t

x t X e sin 1 t

x t X e cos 1

= + +

= + +

= +

= ( )2 nt

61

2 21 2

1 2

1

X B BBtanB

= + =

olarak yazlabilir.

Balang artlar,0t 0

0t 0

x x

x x=

=

= =ise,

1 0

0 n 02 2

n

B xx xB

1

=

+=

olarak bulunur. Bu durumda, ( )x t

62

( ) ( ) ( )n t 0 n 00 d d2n

x xx t e x cos t sin t1

+ = +

olarak bulunur.

( ) ( ) ( )n t 2 20 n 00 n n2n

x xx t e x cos 1 t sin 1 t1

+ = +

2d n1 = dir.

63

( )x t

t

X

dd

2T

=

ntX e

ntX e

( )dsin t +

0x

10tan x

=

64

2.Durum: Kritik Snml Sistem

mk

2mc ,cc , 1 kr ===

Katl kk olduundan, kr1 2 ncs s2m

= = =

m x c x k x 0+ + = denklemin zm:

( ) ( ) n- t1 2x t A A t e = + formunda olacaktr.

Balang artlar,0t 0

0t 0

x x

x x=

=

= =

ise,

1 0

2 0 n 0

A x

A x x

=

= +

olarak bulunur ve zm:

65

( ) ( ) n- t0 0 n 0x t x x x e = + + bulunur. Dikkat edilirse, n- tt e 0

t

( )x t

0x 0>

0x 0=

0x 0

66

3.Durum: Ar Snml Sistem

krc k1 , c c ,

2m m> > >

m x c x k x 0+ + =Diferansiyel denkleminin karakteristik denklemi,

2m s cs k 0+ + = in kkleri:

( )21,2 ns 1 = dir.eer, olur. 21 1 0 > >

Bu durumda, kkler reel ve ayrk olacaktr. Denklemin zm:

( ) ( ) ( )2 2

n n1 t 1 t

1 2x t A e A e +

= +

67

Balang artlar,0t 0

0t 0

x x

x x=

=

= =

ise,

( )

( )

20 n 0

1 2n

20 n 0

2 2n

x 1 xA

2 1

x 1 xA

2 1

+ +=

=

68

( )2 n1 t1A e

+

( )2 n1 t2A e

( )x t

t

1A

2A

69

Logaritmik Azalma

( )x t

t

1x2x

70

Problem: Aada denge konumundaki sistemin verilen deer ve balang artlarna bal olarak 5 s iin hareketini inceleyiniz.

mk

cM,L

71

zm:

mgx

y

kx

yc2

x L x L x LL L Ly y y2 2 2

1 J ML3

= = =

= = =

=MJ

mJ

Mg

72


m M

22 2 2

M JLJ J cy kx L mg x Mg y2

1 L LmL ML c kL mgL Mg 03 4 2

12 5 12000 0

=

+ =

+ + + + + =

+ + =

73

3m 10 kg M 6 kg L 1 m c 5 Ns/m k 12 10 N/m= = = = =

0 0

0 0

10x rad180t 0 5x rad / s180

= == = =

74

kr

n

2 2d n

c c 5 0.0065c 2 km 2 12000 12

k 12000 10.065 rad/sm 12

1 10.065 1 0.0065 10.065

= = = =

= = =

= =

( ) ( ) ( )n t 0 n 00 d d2n

t e cos t sin t1

+ = +

( ) ( ) ( ){ }0.2055tt e 0.1745cos 10.065 t 0.00389sin 10.065 t = +

76

Snmsz Zorlanm Titreim

Zorlayc kuvvet tipleri:

Zorlayc d kuvvetler.

Dengelenmemi ktlelerin oluturduu kuvvetler.

Zeminden gelen kuvvetler.

Eer, zorlayc kuvvet harmonik ise;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i t0 0 0F t F e , F t F cos t , F t F sin t += = + = +

formunda olabilir.

77

Hareketin diferansiyel denkleminin bulunmas:

Newtonun 2. kanununa gre,

F m a m x k x F m x k x F = = + + =

m x

k

( )0F F cos t=

m

xm

xk

( )0F F cos t=

78

Snmsz Zorlanm Titreim Hareket Denkleminin Bulunmas

En genel halde harmonik bir d kuvvet olsun.( )0F F cos t=Hareketin diferansiyel denklemi:

( )0mx kx F cos t+ =Hareket denkleminin genel zm:

( ) ( ) ( ) ( )g h x t x t x t x t= = +Homojen zm:

( ) ( ) ( )h 1 n 2 nx t A cos t A sin t = +Uyarc kuvvet harmonik olduu iin zel zm de harmonik ve ayn frekansna sahip olacaktr.

( )F t ( )x t( ) ( )x t Xcos t=

1

2

3

4

79

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

x t X cos t

x t Xsin t

x t X cos t

=

=

=

5

5 1in iine konulursa;

6

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

20

2 00 2

m X cos t k cos t F cos tFk m X cos t F cos t X

k-m

+ =

= =

Genel zm:

( ) ( ) ( ) ( )01 n 2 n 2Fx t A cos t A sin t cos t

k m

= + +

7

80

Balang artlar,0t 0

0t 0

x x

x x=

=

= =

ise,

olarak bulunur ve genel zm:

01 0 2

02

n

FA xk m

xA

=

=

( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 n n2 2n

F x Fx t x cos t sin t cos tk m k m

= + +

81

n

X

in ile deiimi

2n

0 0 0

02 2 22

2 0

n n

F F FF X k 1k k kX X mk m F1- 1 1 1kk

m

= = = = =

Genlik oran veya bytme faktr.0

X kRF

=

82

1.Durum: ise;

n

0 1

<

84

( ) ( )0F t F cos t=

t

t

( )x t

3.Durum: ise;

n

1

=

85

Problem: Aada denge konumundaki sistemin verilen deer ve balang artlarna bal olarak 2 s iin hareketini inceleyiniz.

L ,mcubuk

2m,e,

x

k

M

86

zm:

2cubuk

x L x L x L1J m L3

= = =

=

J

kx

x xM

0

2

F

F me cos t =

87


2 2 2 2cubuk

M JJ Mx L kx L F L

1 m L ML kL me Lcos t3

=+ = +

+ + =

88

cubuk

3

0 0

0 0

m 30 kg M 300 kg m 0.5 kg

e 1 m n 2000 d/d L 2 m k 50 10 N/m5x180t 0 8x180

= = =

= = = = = == = =

89

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0M

n

0 0 00 n n2 2

n-

n 2000 66.66 rad/s30 30

1240 200000 43856cos 66.66 t

k 200000 4.042 rad/sm 1240

M Mt cos t sin t cos tk m k m

t 0.0881cos 4.042 t 0.011sin 4.042 t 8.0943 10

= = =

+ =

= = =

= + +

= + ( )4 cos 66.66 t

90

Problem: Aadaki sistemin titreim hareketini 4 s iin iziniz.

m

k

x

1F 1200cos20 t=2F 2500sin 20 t=

91

zm:

2F 2500sin 20 t=

m

kx

xxm

1F 1200cos 20 t=

92


( )

1 2

1 2

1

2 20

F mamx kx F Fmx kx F F120x 25000x 1200cos 20 t 2500sin 20 t

2500tan 64.351200

F 1200 2500 2773 N

120x 25000x 2773cos 20 t-64.35

== + +

+ = +

+ = +

= =

= + =

+ =

93

0

0

m 120 kg k 25000 N/m

x 0.01 mt 0

x 0.2 m/s

= =

== =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n

0 0 00 n n2 2

n

k 25000 4.59 rad/s 20m 120

F x Fx t x cos t sin t cos tk m k m

x t 0.0162cos 4.59 t 0.0139sin 4.59 t 0.0062cos 20 t 64.35

= = = =

= + +

= +

94

Snml Zorlanm TitreimHareketin diferansiyel denkleminin bulunmas:

Newtonun 2. kanununa gre,

F m a m x -c x-k x F m x c x k x F = = + + + =

m x

k c

( )0F F cos t=

m

xm

xk x c

( )0F F cos t=

95

Snml Zorlanm Titreim Hareket Denkleminin Bulunmas

En genel halde harmonik bir d kuvvet olsun.( )0F F cos t=Hareketin diferansiyel denklemi:

Hareket denkleminin genel zm:

( ) ( ) ( ) ( )g h x t x t x t x t= = +Homojen zm:

( ) ( ) ( )h 1 n 2 nx t A cos t A sin t = +Uyarc kuvvet harmonik olduu iin zel zm de harmonik ve ayn frekansna sahip olacaktr.

( )F t ( )x t

1

2

3

4

( )0mx cx kx F cos t+ + =

( ) ( )x t X cos t =

96

5

5 1in iine konulursa;

6

Aadaki trigonometrik bantlar kullanlarak;

7

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

x t X cos t

x t X sin t

x t X cos t

=

=

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

20

20

m Xcos t c Xsin t k cos t F cos t

k m cos t c sin t X F cos t

+ =

=

( )( )

cos t cos t cos sin t sin

sin t sin t cos cos t sin

=

=

97

7 nolu eitlik 6 denklemine konulursa;

( ) ( ) ( )2 0X k m cos t cos sin t sin c sin t cos cos t sin F cos t + =

( )( )

20

2

X k m cos c sin F

X k m sin c cos 0

+ = =

ve nin katsaylarn eitlersek;tsin tcos 8

9

Bu iki denklemin karelerini alalm:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2 2 20

2 22 2 2 2 2

X k m cos c sin 2 k m c cos sin F

X k m sin c cos 2 k m c cos sin 0

+ + = =

10

ve taraf tarafa toplayalm;

98

( ) ( )( ) ( )

2 22 2 2 00 2 22

FX k m c F Xk m c

+ = = +11

9 nolu denklemden;

( )2 -1 20

cX k m sin c cos 0 tank m

=

= = 12

Genel zm:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )01 n 2 n 2 22Fx t A cos t A sin t cos t

k m c

= + +

+

13

Documents

Makina Dinamigi Titresim