1
Kaynaklar:
Makina Dinamii Yldz Teknik niversitesi Yayn, Prof.Necati Tahral Prof.Dr.Faris Kaya Y.Do.Dr.smail Yksek Y.Do.Dr.Rahmi Gl.Mekanik Titreimler Ders Notlar, Prof.Dr.zgr Turhan.Mekanik Titreimler Birsen Kitabevi Yaynlar, Prof.Dr.Tuncer Toprak.Vibration Engineering West Publishing Co., Andrew D. Dimarogonas.Theory Of Vibration With Application Chapman &Hall, William T. Thomson.
2
Genel Bilgiler
GiriTitreimlerin SebepleriTitreimlerin SonularSistemlerin Titreim AnaliziTitreim ve nsan
3
Titreimle lgili Terimler
Titreim nedir?
Bir sistemin denge konumu civarnda yapm olduu salnm hareketine titreim denir.
Eer yaplan salnm hareketi T saniyede kendini tekrar ediyorsa byle hareketlere peryodik hareket denir. En basit peryodik hareket harmonik hareket adn alr.
x(t)=x(t+nT)x=Yerdeitirme m, rad
t=Zaman s
T=Peryod s
n=Peryod says adet
4
Titreim Sistemlerinin Elemanlar
Ktle
Yay
Snm
Kuvvet
x
x
5
Serbestlik Derecesi
Hareket halindeki bir sistemin elemanlarnn durum ve konumlarn belirleyen parametrelere koordinat denir.
Bir sistemin btn paralarnn her hangi bir zamanda konumlarnn tamamen belirli olmas iin gerekli birbirinden bamsz minimum koordinat saysna serbestlik derecesi denir.
6
Tek Serbestlik Dereceli Sistemler
x
x
x
7
ki Serbestlik Dereceli Sistemler
x1
x2
1
2
1 2
x
8
Ayrk ve Srekli Sistemler
Sonlu sayda serbestlik dereceli sistemlere ayrk sistemdenir.
Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere srekli sistemdenir.
Srekli sistem
9
SI Birim Sistemi
sim Birim SembolUzunluk Metre mKtle Kilogram kgZaman Saniye sKuvvet Newton N (kg.m/s2)Gerilme Pascal Pa (N/m2) Joule J (N.m)G Watt W (J/s)Frekans Hertz Hz (1/s)Moment M N.mKtlesel Atalet Momenti J kg.m2Kesit Atalet Momenti I m4
10
Harmonik Hareket
tx=A sin 2T
x=Yerdeitirme (m,rad)
A=Genlik (m,rad)
t=Zaman (s)
T=Peryot (s)
t
x
A
T
11
Daire zerinde Hareketli Bir Noktann Harmonik Gsterimi
2 2
2 = =2 fT
x=A sin tx= A cos t= A sin(t-/2)x=- Asint= Asin(t+)
O
PA A
x2
t
t sinA
12
Harmonik Harekette Yerdeitirme Hz ve vme Vektrlerinin Gsterimi
AA
2A
t
x
x
x
x
t90
180
13
Euler Denklemi Yardm ile Dner Bir Vektrn Gsterimi
i e =cos +i sin Euler Denklemi
Ai tz=A e
i t i z=A e =A ez=A cos t + i A sin tz=x + iy
2 2
-1
A= x +yy=tanx
= t
14
m 1 2 = - vuru frekans veya modlasyon frekans
1 2 +=2
tayc frekans
m1 2
2T = -
vuru peryodu
1 2
4T= +
tayc peryodu
m 1 2
1 2
T +n =T 2 ( - )
Tmvuru peryodunda gerekleecek titreim says
Vuru Titreim Parametreleri
15
cleart=0:0.01:30;x1=100*exp(i*2*pi*t);x2=50*exp(i*2.2*pi*t);x=x1+x2;plot(t,x)
i 2 t 1
i 2.2 t 2
x (t)=100 e
x (t)=50 ex(t)=?
t
x
X 1+
X 2X 1
+X 2
|X1-
X 2|
|X1-
X 2|
Tm
T )t(X~
)t(x
Vuru Olay
16
Yay Elemanlar
Helisel Yaylar
17
Yaprak Yaylar
18
Yay Karakteristikleri
F (N)
X (m)
F (N)
X (m)
Lineer (dorusal) yay karakteristii
Non-Lineer (dorusal olmayan) yay karakteristii
19
Yay Katsays
Fk=tan = (N/m)x
Kuvvet
Yerdeitirme
20
Yay Katsays TablosuE Ik=L
E Ak=L
4
3
G dk=64 n R
3
3EIk=L
pG Ik=L
21
L/2
3
48 E Ik=L
L/2
3
192 E Ik=L
L/2
3
768 E Ik=7 L
22
a b
x
y ( )2 2 2x2 23 E I L P b xk= y = L -x -b
a b 6 E I L
EI L3
12E I k=L
23
( ) 23E Ik=
L+a a
L a
( )224E Ik=
a 3L+8 a
L a
24
Yaylarn Paralel Balanmas
k1 k2
m
ke
m xx
n
e 1 2 3 n ni=1
k =k +k +k +......+k = k
25
Yaylarn Seri Balanmas
m x
ke
m x
k1k2
n
i=1e 1 2 3 n i
1 1 1 1 1 1= + + +.....+ =k k k k k k
26
DEV 6:
k1 k2
k3
k4
m x
Yandaki sistemin edeer yay katsaysn hesaplaynz.
27
DEV 7:
k1
k2
k1
k2
m x
Yandaki sistemin edeer yay katsaysn hesaplaynz.
28
Snm Elemanlar
Viskoz snmCoulumb (kuru srtnme) snmMalzeme (histeresiz) snmSktrlm ya (squeeze-film) damperiElekro-manyetik damperElektro-viskoz damperPiezo-elektrik damper
29
Snmsz Serbest TitreimDey konumda ktle-yay sisteminin hareket denklemi:
Statik denge konumu
x
x
t
L0
stk
k
k
30
stk
G m.g=
Serbest cisim diyagram
Statik denge konumu: yF =0 st2n
st
nst
G=m.g=k.k g= =m
k g = =m
Burada, n sistemin tabii frekansdr.
31
Newtonun 2. kanunu uygularsak,
( )stF m.a m x -k x G = = + +
stG=m.g=k. olduundan,
m x+k x=0 bulunur.
x
stk( x) +
G m.g=
xm
32
Yatay konumda ktle-yay sisteminin hareket denklemi:
Newtonun 2. kanunu uygularsak,
F=m.a
x
km
x
xm
xkm
m x -k x m x k x 0= + =
bulunur.
33
Snmsz Serbest Titreim Hareket Denkleminin Bulunmas
m x k x 0+ =Bu diferansiyel denklemin zmnn
s tx A e=biiminde olduunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. zm kabuln tretirsek,
s t
2 s t
x s A ex s A e=
=
Bulunur. Bunlar yukardaki diferansiyel denklemde yerine konursa,
34
( )2 stm s k A e 0+ =Burada,
s tA , e 0 dr.
2m s k 0+ =
Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. Karakteristik denklemin kkleri,
1,2 nks i m
= =
dir.
35
Bu durumda, hareket denklemi:
1 2 n ns t s t i t i t1 2 1 2x(t) A e A e A e A e
= + = +
A1 ve A2 balang artlarndan bulunacak katsaylardr.
i te cos .t i.sin .t = eitlii kullanlrsa,
( ) ( )( ) ( )
1 n n 2 n n
1 2 n 1 2 n
x(t) A cos t i sin t A cos t i sin t
x(t) A A cos t i A A sin t
= + +
= +
( )1 1 2B A A= + ve ( )2 1 2B A A= olmak zere,
36
1 n 2 nx(t)=B cos t+B sin t olur.
Balang artlar
0
0
x(0) xt 0
x(0) x
== =
olsun.
Bu durumda, 1 0B =x ,0
2n
xB =
bulunur.
Buradan balang artlarna bal hareket denklemi aadaki ekilde bulunur.
00 n n
n
xx(t)=x cos t+ sin t
37
Problem: Aadaki sarkacn diferansiyel denklemini karnz. Tabii frekansn ve periyodunu hesaplaynz.
L uzunluunda arlksz bir ipin ucuna m ktlesi aslmtr.
zm:
g m
J L
38
Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,
TopM J =
J -m g.L sin =2J m L= 0 sin
39
Problem: Aada denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini karp tabii frekansn hesaplaynz.
m,L
M
k
40
zm:
Sistemin denge konumunu bir miktar bozalm ve oluan kuvvetleri gsterelim.
x.k
g.M
g.m
mJ
MJ
41
TopM J =Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,
m MLJ J m g. sin -M g.L sin -k x.L cos 2
+ =
0 sin cos 1
42
2 2m M
1J m L , J M L 3
= = dir.
sadeletirme yaplrsa,
1 1m M L m g M g k L 03 2
+ + + + =
n
1 m g M g k Lk 21m m M L3
+ +
= = +
43
Problem: Aada denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini karp tabii frekansn hesaplaynz
k
M x
m,r
44
zm:
xkM x
mJ
xM
45
Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,
TopM J =
mJ M x.r -k x.r+ =
x r.sin r x r x r
= ===
0 sin cos 1
46
dzenleme yaplrsa,
21 m r M x.r -k x.r2
+ =
2 2 21 m r M r k r 021 m M k 02
+ + = + + =
nk k 2 k
1m m 2 Mm M2
= = =++
rad/s
47
Lineerletirme
Yapsal nonlineerlik (Malzeme nonlineerlii)
Geometrik nonlineerlik- Arlk kuvveti- Merkezka kuvveti- Srtnme kuvveti
48
Tek serbestlik dereceli bir sistemin diferansiyel denklemi aadaki gibidir.
( )m x f x 0+ =
Burada yay fonksiyonudur.( )f x
lineer olmayan bir formda ortaya km olsun.( )f xKoordinat balangcn, denge konumunda seelim, x 0=
olsun bu durumda fonksiyonunu civarnda kuvvet serisine aalm.yani; ( )f 0 0= ( )f x x 0=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 k
2 3 k2 3 k
k 0
df 0 d f 0 d f 0 d f 01 1 1f x f 0 x x x xdx 2 ! dx 3 ! dx k ! dx
=
= + + + + =
49
Elde edilen lineerletirilmi yay fonksiyonu dif. denklemde
yerine konulursa, lineerletirilmi dif. denklem elde
edilir.
( )f x k xm x k x 0+ =
1
( )df 0kdx
=
0
f(x)
x
2 3x x , x
50
Problem: Aada denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini karp tabii frekansn hesaplaynz
x
y
m1
m2
L1
L2
k
51
zm:
gm1
2L cos 2L sin
1L sin
1J 2J
x
y
2k L sin
52
Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,
TM J =
( ) ( )1 2 1 1 2 2
2 2 21 1 2 2 2 1 1
J J m g L sin -k L sin L cos
m L m L k L cos m g L sin 0
+ =
+ + =
Burada, dir.
f(x) fonksiyonunu lineerletirmek amacyla seriye aarsak
( ) ( )22 1 1f k L cos m g L sin =
( ) ( )2 2 22 2 1 10
0
22 1 1
dfk k L sin k L cos m g L cos
d
k k L m g L
==
= = +
=
53
Kk titreimler iin lineerletirilmi diferansiyel denklem aadaki gibi elde edilir.
( ) ( )2 2 21 1 2 2 2 1 1
22 1 1
n 2 21 1 2 2
m L m L k L m g L 0
k k L m g L m m L m L
+ + =
= =
+rad/s
54
Snml Serbest Titreim Hareket Denkleminin Bulunmas
Bu diferansiyel denklemin zmnn
s tx A e=biiminde olduunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. zm kabuln tretirsek,
s t
2 s t
x s A ex s A e=
=
Bulunur. Bunlar yukardaki diferansiyel denklemde yerine konurda,
m x c x k x 0+ + =
55
( )2 stm s c s k A e 0+ + =Burada,
s tA , e 0 dr.
2m s c s k 0+ + =
Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. Karakteristik denklemin kkleri,
dir.
22
1,2c c 4mk c c ks
2m 2m 2m m = =
56
Sistemin birbirinden bamsz iki gerek kk vardr. Bu durumda, hareket denklemi:
1 2s t s t1 2x(t) A e A e= +
A1 ve A2 balang artlarndan bulunacak katsaylardr.
57
Kritik Snm Katsays ve Snm Oran
Kritik snm katsays ckr aadaki gibi tanmlanr.
2krc k 0
2m m =
kr nkc 2m 2 k m 2mm
= = =
Snm oran ise,
kr
cc
= olarak tanmlanr.
58
Eer karakteristik denklem,
2m s c s k 0+ + =
n ve cinsinden yazlrsa,
2n n
2 2 2n n
2
c ks s 0 s 2 s 0m m
+ + = + + =
denklemin kkleri aadaki gibi bulunur.
( ) ( ) ( )2 2
n n1 t 1 t
1 2x t A e A e +
= +
59
1.Durum: Zayf Snml Sistem
Kritik alt snml sistemlerde negatif olur. Bu durumda,( )2 1
( )( )
21 n
22 n
s i 1
s i 1
= +
=
olur. Sistemin bir ift elenik kompleks kk olduundan,
mk
2mc ,cc , 1 kr
60
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
n
n
1 2
n
n
t 2 21 n n
2 22 n n
t 2 21 2 n 1 2 n
B B
- t 2n
- t
x t e A cos 1 t i sin 1- t
A cos 1 t i sin 1- t
x t e A A cos 1- t i A A sin 1- t
x t X e sin 1 t
x t X e cos 1
= + +
= + +
= +
= ( )2 nt
61
2 21 2
1 2
1
X B BBtanB
= + =
olarak yazlabilir.
Balang artlar,0t 0
0t 0
x x
x x=
=
= =ise,
1 0
0 n 02 2
n
B xx xB
1
=
+=
olarak bulunur. Bu durumda, ( )x t
62
( ) ( ) ( )n t 0 n 00 d d2n
x xx t e x cos t sin t1
+ = +
olarak bulunur.
( ) ( ) ( )n t 2 20 n 00 n n2n
x xx t e x cos 1 t sin 1 t1
+ = +
2d n1 = dir.
63
( )x t
t
X
dd
2T
=
ntX e
ntX e
( )dsin t +
0x
10tan x
=
64
2.Durum: Kritik Snml Sistem
mk
2mc ,cc , 1 kr ===
Katl kk olduundan, kr1 2 ncs s2m
= = =
m x c x k x 0+ + = denklemin zm:
( ) ( ) n- t1 2x t A A t e = + formunda olacaktr.
Balang artlar,0t 0
0t 0
x x
x x=
=
= =
ise,
1 0
2 0 n 0
A x
A x x
=
= +
olarak bulunur ve zm:
65
( ) ( ) n- t0 0 n 0x t x x x e = + + bulunur. Dikkat edilirse, n- tt e 0
t
( )x t
0x 0>
0x 0=
0x 0
66
3.Durum: Ar Snml Sistem
krc k1 , c c ,
2m m> > >
m x c x k x 0+ + =Diferansiyel denkleminin karakteristik denklemi,
2m s cs k 0+ + = in kkleri:
( )21,2 ns 1 = dir.eer, olur. 21 1 0 > >
Bu durumda, kkler reel ve ayrk olacaktr. Denklemin zm:
( ) ( ) ( )2 2
n n1 t 1 t
1 2x t A e A e +
= +
67
Balang artlar,0t 0
0t 0
x x
x x=
=
= =
ise,
( )
( )
20 n 0
1 2n
20 n 0
2 2n
x 1 xA
2 1
x 1 xA
2 1
+ +=
=
68
( )2 n1 t1A e
+
( )2 n1 t2A e
( )x t
t
1A
2A
69
Logaritmik Azalma
( )x t
t
1x2x
70
Problem: Aada denge konumundaki sistemin verilen deer ve balang artlarna bal olarak 5 s iin hareketini inceleyiniz.
mk
cM,L
71
zm:
mgx
y
kx
yc2
x L x L x LL L Ly y y2 2 2
1 J ML3
= = =
= = =
=MJ
mJ
Mg
72
Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,
m M
22 2 2
M JLJ J cy kx L mg x Mg y2
1 L LmL ML c kL mgL Mg 03 4 2
12 5 12000 0
=
+ =
+ + + + + =
+ + =
73
3m 10 kg M 6 kg L 1 m c 5 Ns/m k 12 10 N/m= = = = =
0 0
0 0
10x rad180t 0 5x rad / s180
= == = =
74
kr
n
2 2d n
c c 5 0.0065c 2 km 2 12000 12
k 12000 10.065 rad/sm 12
1 10.065 1 0.0065 10.065
= = = =
= = =
= =
( ) ( ) ( )n t 0 n 00 d d2n
t e cos t sin t1
+ = +
( ) ( ) ( ){ }0.2055tt e 0.1745cos 10.065 t 0.00389sin 10.065 t = +
75
76
Snmsz Zorlanm Titreim
Zorlayc kuvvet tipleri:
Zorlayc d kuvvetler.
Dengelenmemi ktlelerin oluturduu kuvvetler.
Zeminden gelen kuvvetler.
Eer, zorlayc kuvvet harmonik ise;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i t0 0 0F t F e , F t F cos t , F t F sin t += = + = +
formunda olabilir.
77
Hareketin diferansiyel denkleminin bulunmas:
Newtonun 2. kanununa gre,
F m a m x k x F m x k x F = = + + =
m x
k
( )0F F cos t=
m
xm
xk
( )0F F cos t=
78
Snmsz Zorlanm Titreim Hareket Denkleminin Bulunmas
En genel halde harmonik bir d kuvvet olsun.( )0F F cos t=Hareketin diferansiyel denklemi:
( )0mx kx F cos t+ =Hareket denkleminin genel zm:
( ) ( ) ( ) ( )g h x t x t x t x t= = +Homojen zm:
( ) ( ) ( )h 1 n 2 nx t A cos t A sin t = +Uyarc kuvvet harmonik olduu iin zel zm de harmonik ve ayn frekansna sahip olacaktr.
( )F t ( )x t( ) ( )x t Xcos t=
1
2
3
4
79
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
x t X cos t
x t Xsin t
x t X cos t
=
=
=
5
5 1in iine konulursa;
6
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
20
2 00 2
m X cos t k cos t F cos tFk m X cos t F cos t X
k-m
+ =
= =
Genel zm:
( ) ( ) ( ) ( )01 n 2 n 2Fx t A cos t A sin t cos t
k m
= + +
7
80
Balang artlar,0t 0
0t 0
x x
x x=
=
= =
ise,
olarak bulunur ve genel zm:
01 0 2
02
n
FA xk m
xA
=
=
( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 n n2 2n
F x Fx t x cos t sin t cos tk m k m
= + +
81
n
X
in ile deiimi
2n
0 0 0
02 2 22
2 0
n n
F F FF X k 1k k kX X mk m F1- 1 1 1kk
m
= = = = =
Genlik oran veya bytme faktr.0
X kRF
=
82
1.Durum: ise;
n
0 1
<
84
( ) ( )0F t F cos t=
t
t
( )x t
3.Durum: ise;
n
1
=
85
Problem: Aada denge konumundaki sistemin verilen deer ve balang artlarna bal olarak 2 s iin hareketini inceleyiniz.
L ,mcubuk
2m,e,
x
k
M
86
zm:
2cubuk
x L x L x L1J m L3
= = =
=
J
kx
x xM
0
2
F
F me cos t =
87
Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,
2 2 2 2cubuk
M JJ Mx L kx L F L
1 m L ML kL me Lcos t3
=+ = +
+ + =
88
cubuk
3
0 0
0 0
m 30 kg M 300 kg m 0.5 kg
e 1 m n 2000 d/d L 2 m k 50 10 N/m5x180t 0 8x180
= = =
= = = = = == = =
89
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0M
n
0 0 00 n n2 2
n-
n 2000 66.66 rad/s30 30
1240 200000 43856cos 66.66 t
k 200000 4.042 rad/sm 1240
M Mt cos t sin t cos tk m k m
t 0.0881cos 4.042 t 0.011sin 4.042 t 8.0943 10
= = =
+ =
= = =
= + +
= + ( )4 cos 66.66 t
90
Problem: Aadaki sistemin titreim hareketini 4 s iin iziniz.
m
k
x
1F 1200cos20 t=2F 2500sin 20 t=
91
zm:
2F 2500sin 20 t=
m
kx
xxm
1F 1200cos 20 t=
92
Newtonun 2. kanunu uygulanrsa,
( )
1 2
1 2
1
2 20
F mamx kx F Fmx kx F F120x 25000x 1200cos 20 t 2500sin 20 t
2500tan 64.351200
F 1200 2500 2773 N
120x 25000x 2773cos 20 t-64.35
== + +
+ = +
+ = +
= =
= + =
+ =
93
0
0
m 120 kg k 25000 N/m
x 0.01 mt 0
x 0.2 m/s
= =
== =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n
0 0 00 n n2 2
n
k 25000 4.59 rad/s 20m 120
F x Fx t x cos t sin t cos tk m k m
x t 0.0162cos 4.59 t 0.0139sin 4.59 t 0.0062cos 20 t 64.35
= = = =
= + +
= +
94
Snml Zorlanm TitreimHareketin diferansiyel denkleminin bulunmas:
Newtonun 2. kanununa gre,
F m a m x -c x-k x F m x c x k x F = = + + + =
m x
k c
( )0F F cos t=
m
xm
xk x c
( )0F F cos t=
95
Snml Zorlanm Titreim Hareket Denkleminin Bulunmas
En genel halde harmonik bir d kuvvet olsun.( )0F F cos t=Hareketin diferansiyel denklemi:
Hareket denkleminin genel zm:
( ) ( ) ( ) ( )g h x t x t x t x t= = +Homojen zm:
( ) ( ) ( )h 1 n 2 nx t A cos t A sin t = +Uyarc kuvvet harmonik olduu iin zel zm de harmonik ve ayn frekansna sahip olacaktr.
( )F t ( )x t
1
2
3
4
( )0mx cx kx F cos t+ + =
( ) ( )x t X cos t =
96
5
5 1in iine konulursa;
6
Aadaki trigonometrik bantlar kullanlarak;
7
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
x t X cos t
x t X sin t
x t X cos t
=
=
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20
20
m Xcos t c Xsin t k cos t F cos t
k m cos t c sin t X F cos t
+ =
=
( )( )
cos t cos t cos sin t sin
sin t sin t cos cos t sin
=
=
97
7 nolu eitlik 6 denklemine konulursa;
( ) ( ) ( )2 0X k m cos t cos sin t sin c sin t cos cos t sin F cos t + =
( )( )
20
2
X k m cos c sin F
X k m sin c cos 0
+ = =
ve nin katsaylarn eitlersek;tsin tcos 8
9
Bu iki denklemin karelerini alalm:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2 2 20
2 22 2 2 2 2
X k m cos c sin 2 k m c cos sin F
X k m sin c cos 2 k m c cos sin 0
+ + = =
10
ve taraf tarafa toplayalm;
98
( ) ( )( ) ( )
2 22 2 2 00 2 22
FX k m c F Xk m c
+ = = +11
9 nolu denklemden;
( )2 -1 20
cX k m sin c cos 0 tank m
=
= = 12
Genel zm:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )01 n 2 n 2 22Fx t A cos t A sin t cos t
k m c
= + +
+
13