Management Sanitario per il corso di Laurea Magistrale ...or/medicina/slide_2a_lezione12-13.pdf · I Selezione di “buone” soluzioni I (ottimizzazione e/o simulazione) I Validazione

Approccio modellistico IL problema di assegnamento Applicazioni economico gestionali

Management Sanitarioper il corso di Laurea Magistrale SCIENZE RIABILITATIVE DELLE PROFESSIONI SANITARIE

Modulo di Ricerca Operativa

Prof. Laura Palagihttp://www.dis.uniroma1.it/∼palagi

Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. Ruberti

Sapienza Universita di Roma - Via Ariosto 25

https://groups.google.com/a/dis.uniroma1.it/d/forum/ricerca operativa medicina

2a lezione modulo RO L. Palagi


Cosa e un modello

Il termine modello e usato per definire ”una rappresentazione diun oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosamodellata per il fatto di riprodurne alcune caratteristiche ocomportamenti fondamentali” (wikipedia), di solito usato perevidenziare proprieta specifiche di oggetti reali.

I modelli concreti: ad esempio i prototipi (di aerei oautomobili),

I modelli matematici costruiti usando il linguaggio e glistrumenti della matematica.



Cosa e un modello

Il termine modello e usato per definire ”una rappresentazione diun oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosamodellata per il fatto di riprodurne alcune caratteristiche ocomportamenti fondamentali” (wikipedia), di solito usato perevidenziare proprieta specifiche di oggetti reali.

I modelli concreti: ad esempio i prototipi (di aerei oautomobili),

I modelli matematici costruiti usando il linguaggio e glistrumenti della matematica.



In alcuni casi le situazioni in esame sono talmente complesse ele dimensioni talmente elevate da rendere difficile o troppocostoso l’uso di modelli analitici.

I modello di simulazione utilizzo di un calcolatore percostruire un modello che permetta di replicare lecaratteristiche del problema reale in esame.

Questi modelli hanno la differenza fondamentale rispetto aimodelli analitici di utilizzare il calcolatore non solo comestrumento di calcolo, ma anche come strumento perrappresentare le realta.

Non li tratteremo in questo corso.



I modelli matematiciRappresentano la realta attraverso variabili e relazioni logico -matematiche e descrivono in modo semplificato, ma rigoroso, ifenomeni del mondo reale che si vogliono considerare.

Perche un modello matematico ?

I obbligo ad un analisi per cogliere gli aspetti essenziali esignificativi di un problema

I deduzione analitica di proprieta strutturaliI possibilita effettuare un’analisi di tipo What if...? e quindi di

valutare fuori linea leffetto delle scelteI possibilita di individuare la miglior soluzione anche quando

le possibili scelte sono molte



Programmazione MatematicaTra i modelli ”base” piu comunemente usati ci sono i problemi diProgrammazione Matematica.

In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con

I un solo decisore,I un solo criterio di sceltaI deterministici.




In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.

I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con





In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con




Programmazione matematica

Sono modelli con una struttura di questo tipo

Ottimizza obiettivorestrizione− 1restrizione− 2...restrizione−m

in cui obiettivo e restrizione-i sono rappresentatimediante relazioni matematiche che legano i parametri delproblema con le possibili scelte decisionali.Ottimizza significa individuare la scelta che definisce il valoremassimo o minimo dell’obiettivo (funzione obiettivo).



Ma algoritmo che vuol dire ?

Una volta ottenuto un modello matematico, la RO si dedica alladefinizione di metodi matematici efficienti (algoritmi disoluzione) per determinare una soluzione.

Un insieme di istruzioni elementari che eseguite (sucalcolatore) consentono di determinare la soluzione di unproblema in un tempo finito

Il piu famoso nella RO e il metodo del simplesso che consentedi determinare la soluzione ottima di un problema diprogrammazione lineare.



Approccio modellistico ai problemi di decisione

I Descrizione e Analisi del problema

I individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi

I Costruzione del modello

I descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del

mondo reale (relazioni tecnologiche, leggi fisiche, vincoli di mercato, etc.) e relazioni matematiche

(equazioni, disequazioni, dipendenze logiche, etc.)

I Analisi del modello

I deduzione per via analitica di alcune importanti proprieta, quali esistenza, unicita, stabilita ecc.

I Selezione di “buone” soluzioni

I (ottimizzazione e/o simulazione)

I Validazione del modello

I verifica che i risultati ottenuti siano congruenti con il problema




I Descrizione e Analisi del problemaI individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi

I Costruzione del modello

I descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del













I Costruzione del modelloI descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del
















I Analisi del modelloI deduzione per via analitica di alcune importanti proprieta, quali esistenza, unicita, stabilita ecc.













I Selezione di “buone” soluzioniI (ottimizzazione e/o simulazione)











I Selezione di “buone” soluzioniI (ottimizzazione e/o simulazione)

I Validazione del modelloI verifica che i risultati ottenuti siano congruenti con il problema



Assegnamento: definizione del problemaUn’azienda deve decidere come assegnare i suoi 3 dipendentia 3 differenti attivita da svolgere.

Ciascun dipendente puo esprimere una preferenza

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 0,9 0,8 1dip]2 0,7 0,5 1dip]3 0,8 0,4 1

I ciascun dipendente deve essere assegnato ad un solaattivita ;

I ciascuna attivita deve essere svolta esattamente da undipendente.

Supponiamo che l’azienda voglia massimizzare il”soddisfacimento” medio.



Assegnamento: definizione del problemaUn’azienda deve decidere come assegnare i suoi 3 dipendentia 3 differenti attivita da svolgere.Ciascun dipendente puo esprimere una preferenza

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 0,9 0,8 1dip]2 0,7 0,5 1dip]3 0,8 0,4 1



Supponiamo che l’azienda voglia massimizzare il”soddisfacimento” medio.



Assegnamento dipendenti - attivita

dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #3



Analisi del problema

I un numero n = 3 di dipendenti/attivita .I un insieme D di dipendenti {1,2, . . . ,n},I un insieme A di attivita {1,2, . . . ,n},I ad ogni coppia (dipendente]i , attivita ]j) e associato un

valore Vij ;

Le preferenze dunque sono rappresentate da una tabella

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 V11 V12 V13dip]2 V21 V22 V23dip]3 V31 V32 V33



Enumeriamo tutte le possibilitaElenchiamo tutte le possibilta che soddisfano le restrizioni ecalcoliamo il valore di ogni scelta.

{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},V11 + V22 + V33 = 0, 9 + 0, 5 + 1 = 2, 4{(1, 1), (2, 3), (3, 2)},V11 + V23 + V32 = 0, 9 + 1 + 0, 4 = 2, 3{(1, 2), (2, 1), (3, 3)},V12 + V21 + V33 = 2, 5{(1, 2), (2, 3), (3, 1)},V12 + V23 + V31 = 2, 6{(1, 3), (2, 2), (3, 1)},V13 + V22 + V31 = 2, 4{(1, 3), (2, 1), (3, 2)},V13 + V21 + V32 = 2, 3 La scelta migliorecorrisponde a {(1,2), (2,3), (3,1)},dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #3



Enumeriamo tutte le possibilitaElenchiamo tutte le possibilta che soddisfano le restrizioni ecalcoliamo il valore di ogni scelta.{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},V11 + V22 + V33 = 0, 9 + 0, 5 + 1 = 2, 4

{(1, 1), (2, 3), (3, 2)},V11 + V23 + V32 = 0, 9 + 1 + 0, 4 = 2, 3{(1, 2), (2, 1), (3, 3)},V12 + V21 + V33 = 2, 5{(1, 2), (2, 3), (3, 1)},V12 + V23 + V31 = 2, 6{(1, 3), (2, 2), (3, 1)},V13 + V22 + V31 = 2, 4{(1, 3), (2, 1), (3, 2)},V13 + V21 + V32 = 2, 3 La scelta migliorecorrisponde a {(1,2), (2,3), (3,1)},dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #3



Enumeriamo tutte le possibilitaElenchiamo tutte le possibilta che soddisfano le restrizioni ecalcoliamo il valore di ogni scelta.{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},V11 + V22 + V33 = 0, 9 + 0, 5 + 1 = 2, 4{(1, 1), (2, 3), (3, 2)},V11 + V23 + V32 = 0, 9 + 1 + 0, 4 = 2, 3

{(1, 2), (2, 1), (3, 3)},V12 + V21 + V33 = 2, 5{(1, 2), (2, 3), (3, 1)},V12 + V23 + V31 = 2, 6{(1, 3), (2, 2), (3, 1)},V13 + V22 + V31 = 2, 4{(1, 3), (2, 1), (3, 2)},V13 + V21 + V32 = 2, 3 La scelta migliorecorrisponde a {(1,2), (2,3), (3,1)},dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #3



Enumeriamo tutte le possibilitaElenchiamo tutte le possibilta che soddisfano le restrizioni ecalcoliamo il valore di ogni scelta.{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},V11 + V22 + V33 = 0, 9 + 0, 5 + 1 = 2, 4{(1, 1), (2, 3), (3, 2)},V11 + V23 + V32 = 0, 9 + 1 + 0, 4 = 2, 3{(1, 2), (2, 1), (3, 3)},V12 + V21 + V33 = 2, 5

{(1, 2), (2, 3), (3, 1)},V12 + V23 + V31 = 2, 6{(1, 3), (2, 2), (3, 1)},V13 + V22 + V31 = 2, 4{(1, 3), (2, 1), (3, 2)},V13 + V21 + V32 = 2, 3 La scelta migliorecorrisponde a {(1,2), (2,3), (3,1)},dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #3



Enumeriamo tutte le possibilitaElenchiamo tutte le possibilta che soddisfano le restrizioni ecalcoliamo il valore di ogni scelta.{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},V11 + V22 + V33 = 0, 9 + 0, 5 + 1 = 2, 4{(1, 1), (2, 3), (3, 2)},V11 + V23 + V32 = 0, 9 + 1 + 0, 4 = 2, 3{(1, 2), (2, 1), (3, 3)},V12 + V21 + V33 = 2, 5{(1, 2), (2, 3), (3, 1)},V12 + V23 + V31 = 2, 6

{(1, 3), (2, 2), (3, 1)},V13 + V22 + V31 = 2, 4{(1, 3), (2, 1), (3, 2)},V13 + V21 + V32 = 2, 3 La scelta migliorecorrisponde a {(1,2), (2,3), (3,1)},dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #3



Enumeriamo tutte le possibilitaElenchiamo tutte le possibilta che soddisfano le restrizioni ecalcoliamo il valore di ogni scelta.{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},V11 + V22 + V33 = 0, 9 + 0, 5 + 1 = 2, 4{(1, 1), (2, 3), (3, 2)},V11 + V23 + V32 = 0, 9 + 1 + 0, 4 = 2, 3{(1, 2), (2, 1), (3, 3)},V12 + V21 + V33 = 2, 5{(1, 2), (2, 3), (3, 1)},V12 + V23 + V31 = 2, 6{(1, 3), (2, 2), (3, 1)},V13 + V22 + V31 = 2, 4

{(1, 3), (2, 1), (3, 2)},V13 + V21 + V32 = 2, 3 La scelta migliorecorrisponde a {(1,2), (2,3), (3,1)},dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #3



Enumeriamo tutte le possibilitaElenchiamo tutte le possibilta che soddisfano le restrizioni ecalcoliamo il valore di ogni scelta.{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},V11 + V22 + V33 = 0, 9 + 0, 5 + 1 = 2, 4{(1, 1), (2, 3), (3, 2)},V11 + V23 + V32 = 0, 9 + 1 + 0, 4 = 2, 3{(1, 2), (2, 1), (3, 3)},V12 + V21 + V33 = 2, 5{(1, 2), (2, 3), (3, 1)},V12 + V23 + V31 = 2, 6{(1, 3), (2, 2), (3, 1)},V13 + V22 + V31 = 2, 4{(1, 3), (2, 1), (3, 2)},V13 + V21 + V32 = 2, 3

La scelta migliorecorrisponde a {(1,2), (2,3), (3,1)},dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #3



Enumeriamo tutte le possibilitaElenchiamo tutte le possibilta che soddisfano le restrizioni ecalcoliamo il valore di ogni scelta.{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},V11 + V22 + V33 = 0, 9 + 0, 5 + 1 = 2, 4{(1, 1), (2, 3), (3, 2)},V11 + V23 + V32 = 0, 9 + 1 + 0, 4 = 2, 3{(1, 2), (2, 1), (3, 3)},V12 + V21 + V33 = 2, 5{(1, 2), (2, 3), (3, 1)},V12 + V23 + V31 = 2, 6{(1, 3), (2, 2), (3, 1)},V13 + V22 + V31 = 2, 4{(1, 3), (2, 1), (3, 2)},V13 + V21 + V32 = 2, 3 La scelta migliorecorrisponde a {(1,2), (2,3), (3,1)},dipendente #1

dipendente #2

dipendente #3

attivita #1

attivita #2

attivita #32a lezione modulo RO L. Palagi


Un modello sbagliato ?

I e esaustivo; dunque si puo definire solo per valori di npiccoli

I e dipendente dai valori: se cambiano devo ricalcolare



Un modello di programmazione matematica

Formalizzazione matematica del problema di assegnamento

Individuiamo le scelte decisionali=variabili di decisione

dip]i assegnato alla att]j =

{VEROFALSO

=

{©×

=

{10

Dunque una scelta decisionale puo essere rappresentata come

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 1 0 0dip]2 0 1 0dip]3 0 0 1



Variabili di decisione

Per semplificare la scrittura indichiamo le variabili di decisionecome xij (ma si tratta di un nome !) che puo assumere solo duevalori {0,1} e sono n2 = 9

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 x11 x12 x13dip]2 x21 x22 x23dip]3 x31 x32 x33



La funzione obiettivo

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 x11 x12 x13

dip]2 x21 x22 x23

dip]3 x31 x32 x33

dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 V11 V12 V13

dip]2 V21 V22 V23

dip]3 V31 V32 V33

{(1,1), (2,2), (3,3)},V11x11 + V22x22 + V33x33 =0,9 + 0,5 + 1 = 2,4

n∑i=1

n∑j=1

Vijxij



Le restrizioni

Le restrizioni=vincoli richiedono che



dipendenti att]1 att]2 att]3

→

dip]1 1 0 0

→

dip]2 0 1 0

x21 + x22 + x23 = 1→

dip]3 0 0 1

↑ ↑ ↑x12 + x22 + x32 = 1



Le restrizioni




dipendenti att]1 att]2 att]3→ dip]1 1 0 0→ dip]2 0 1 0 x21 + x22 + x23 = 1→ dip]3 0 0 1

↑ ↑ ↑x12 + x22 + x32 = 1



Le restrizioni




dipendenti att]1 att]2 att]3

→

dip]1 1 0 0

→

dip]2 0 1 0

x21 + x22 + x23 = 1→

dip]3 0 0 1↑ ↑ ↑

x12 + x22 + x32 = 1



I vincoli

x11 + x12 + x13 = 1 dipendente 1 assegnato esattamente ad una attivitax21 + x22 + x23 = 1x31 + x32 + x33 = 1

x11 + x21 + x31 = 1 attivita 1 assegnata esattamente ad un dipendentex12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1

Sono 2 · n = 6



Un modello di programmazione matematica

maxn∑

i=1

n∑j=1

Vijxij

n∑i=1

xij = 1 per ogni j = 1, . . . ,n

n∑j=1

xij = 1 per ogni i = 1, . . . ,n

xij ∈ {0,1} i = 1, . . . ,n j = 1, . . . ,n



Alcuni esempi applicativi economico gestionaliI pianificazione della produzione: determinare i livelli di

produzione e/o lutilizzazione di risorse; ad es. allocazioneottima di risorse = distribuzione di risorse limitate traalternative concorrenti in modo da minimizzare il costo omassimizzare il guadagno

1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazione

I gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.

1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieriI localizzazione e dimensionamento di impianti: decidere

dove installare impianti di produzione in modo da rifornirein modo ottimale aree distribuite su un territorio





1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazioneI gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,

durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.

1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieri

I localizzazione e dimensionamento di impianti: decideredove installare impianti di produzione in modo da rifornirein modo ottimale aree distribuite su un territorio





1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazioneI gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,

durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.

1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieriI localizzazione e dimensionamento di impianti: decidere

dove installare impianti di produzione in modo da rifornirein modo ottimale aree distribuite su un territorio



I progettazione di reti e loro gestione: definire i collegamentie dimensionare le capacita di una rete stradale, ditelecomunicazione, di trasmissione dati, di circuiti, in mododa garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni eminimizzare il costo complessivo;

1. Nurse path

I determinazione dei turni del personale: coprire una seriedi servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi

I manutenzione di beni: decidere quando e se effettuare lamanutenzione di alcuni oggetti soggetti ad usura, in mododa minimizzare il costo complessivo.




1. Nurse pathI determinazione dei turni del personale: coprire una serie

di servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi





1. Nurse pathI determinazione dei turni del personale: coprire una serie

di servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi




I instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devonoseguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezziadibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodottiad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanzacomplessiva percorsa;

1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezziche prelevano i pazienti che devono subire dei trattamentimedici

I project planning: decidere come gestire le risorse e comesequenziare le molteplici attivita di un progetto.

1. programmazione delle sale chirurgiche



I instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devonoseguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezziadibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodottiad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanzacomplessiva percorsa;

1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezziche prelevano i pazienti che devono subire dei trattamentimedici

I project planning: decidere come gestire le risorse e comesequenziare le molteplici attivita di un progetto.

1. programmazione delle sale chirurgiche



I Problemi di economia e finanza scelta di investimenti:scegliere fra un vasto numero di possibilita di investimentorispettando i vincoli imposti da un budget finanziario emassimizzando il guadagno;

I composizione di un portafoglio: decidere quali titoli e conquali quote investire capitali in modo da massimizzare ilricavo o minimizzare il rischio;

I Problemi di revenue management (lett. ”Gestione delritorno economico”)

1. in una azienda caratterizzata da varieta di servizi e diprezzi, domanda variabile nel tempo, stabilire quanti e qualiservizi vendere avendo incertezza sulla domanda futura,allo scopo di massimizzare il profitto globale.

2. compagnie di trasporto aereo, ferroviario, marittimo, catenealberghiere e di noleggio auto.
















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