Manual 2014-I 01 Matemática I (0619)

Matemática I

Gestión

2

CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC

MATEMÁTICA I 3

CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES

ÍNDICE

Página

Presentación 4

Red de contenidos 5

Unidad de aprendizaje 1

1.1 Tema 1 : FRACCIONES

1.1.1

1.1.2

1.1.3

: Definición

Operaciones con fracciones

Aplicaciones

8

10

13

1.2 Tema 2 : TANTO POR CIENTO

1.2.1 : Definición de tanto por ciento 16

1.2.2 : Descuentos y aumentos sucesivos 18

1.2.3 : Aplicaciones comerciales del tanto por ciento 19


2.1 Tema 3 : TEORÍA DE EXPONENTES

2.1.1 : Potenciación : propiedades 28

2.1.2 : Radicación: propiedades 31

2.1.3 : Aplicaciones 32

2.2 Tema 4 : PRODUCTOS NOTABLES

2.2.1

2.2.2

:

:

Binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados, suma y

diferencia de cubos.

Aplicaciones

38

43

2.3 Tema 5 : FACTORIZACIÓN

2.3.1

2.3.2

2.3.3

2.3.4

2.3.5

: Factor común

Por agrupación

Por productos notables

Aspa simple

Ruffini

45

45

45

47

47


3.1 Tema 6 : ECUACIONES

3.1.1 : Ecuaciones lineales 56

3.1.2 : Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 :Método de eliminación 59

3.1.3 : Ecuaciones de segundo grado

Métodos de resolución

65

4


PRESENTACIÓN

Matemática I pertenece a la línea formativa y se dicta en todas las carreras de la

Escuela de Gestión y Negocios de la institución. Todo aquel que se dedique a los

negocios necesita contar con ciertas herramientas que le permita efectuar cálculos

con rapidez y eficiencia. Por ello, el curso de Matemática I pretende que el estudiante

maneje los conceptos básicos y fundamentales, así como los procesos aritméticos y

algebraicos resolviendo problemas aplicativos, además de ecuaciones e inecuaciones

de modelos matemáticos que les permitirán, en ciclos superiores, un mayor dominio

en la resolución de problemas asociados al área de gestión y negocios.

El manual para el curso ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de

aprendizaje, las que se desarrollan durante un periodo determinado. En cada una de

ellas, se hallarán los logros que debe alcanzar el alumno al final de la unidad; el tema

tratado, el cual será ampliamente desarrollado; y los contenidos que deben

desarrollar, es decir, los subtemas. Por último, se encuentran las actividades que

deberá desarrollar en cada sesión, lo cual le permitirán reforzar lo aprendido en la

clase.

El curso es teórico – práctico. En tal sentido, en cada sesión, se ha contemplado la

teoría necesaria para la aplicación en la solución de los ejercicios propuestos, y como

modelo encontrará varios ejercicios resueltos que le servirá de guía.

La solución de ejercicios, en algunos casos, la realizará solamente el profesor quien

demostrará las definiciones, propiedades, teoremas, etcétera, que intervienen en la

solución del caso; en otros, el profesor los resolverá con los alumnos. Sin embargo,

con la práctica directa e indirecta, los alumnos estarán en condiciones de

desarrollarlos por cuenta propia. Asimismo, hallará preguntas de prácticas y/o

exámenes propuestos en ciclos pasados relacionados con la sesión que se está

desarrollando, las mismas que permitirán la autoevaluación y preparación antes de

asistir a las evaluaciones calificadas.

MATEMÁTICA I 5


RED DE CONTENIDO

Mat

emat

ica

I

Primera Unidad de Aprendizaje

Fracciones

Tanto por ciento

Segunda Unidad de Aprendizaje

Exponentes

Productos Notables

Factorización

Tercera Unidad de Aprendizaje

Ecuaciones Lineales

Sistema de 2 Ecuaciones

Ecuaciones de 2do Grado

6


MATEMÁTICA I 7


FRACCIONES Y TANTO POR CIENTO

LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad, el alumno, resuelve problemas relacionados a la venta de bienes

aplicando las propiedades de fracciones y tanto por ciento

TEMA 1

TEMA 2

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Los alumnos aplican los conceptos de fracciones.

Observan la aplicación de las consideraciones generales al tanto por ciento de

acuerdo con los ejercicios resueltos por el profesor, y los aplican en Finanzas.

Resuelven los ejercicios y problemas propuestos bajo la asesoría del profesor.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

1

Fracciones

Regla del tanto por ciento

Descuentos y aumentos sucesivos

Precio de venta, de costo, de lista,

Ganancia y Pérdida.

8


TEMA 1: FRACCIONES

1.1.1 Fracciones, clases; operaciones y comparación

Definición: es una expresión de la forma:

Donde: a y b son números enteros positivos y dicha división no es exacta. Ejemplos :

¡TEN PRESENTE! Las fracciones mayores que la unidad se pueden escribir como NÚMEROS MIXTOS.

¡IMPORTANTE!

b

a

b

a

b

a

Ejemplo: 3

2

3

2

3

2

MATEMÁTICA I 9


Clasificación:

a) Fracción irreductible: será irreductible MCD (a, b) es 1.

Ejemplos: ;16

135 ;

7

5 ;

3

10 Ya no se les puede sacar mitad,

tercia o quinta a la vez. b) Fracciones reductibles: Su el MCD (a, b) es diferente a 1. Ejemplos:

;165

135 ;

27

15 ;

8

10

c) Fracciones homogéneas: Son aquellas fracciones que tienen igual denominador. Ejemplos:

5

2 ,

5

23 ,

5

8 ,

5

3

d) Fracciones heterogéneas: Son aquellas fracciones que tienen al menos un

denominador diferente a los demás Ejemplos:

37

21 ,

6

1 ;

7

3 ,

5

2

9

8 ,

5

7 ;

2

5 ,

4

3

6

25 ,

6

13 ;

6

5 ,

6

1

10


Clasificación de los números racionales según su expresión decimal:

Nombre

Ejemplos

Cálculo de la fracción generatriz

Decimales exactos

0,16

25

4

100

1616,0

Decimales periódicos

0,363636…

2,252525…

2,3444…

entera parte menos cifras las Todas

período el tenga cifras como nueves Tantos 99

03636,0

99

223

99

222525 ,2

2,34 = 2,3 + 0,0444…

90

211

90

4

90

207

90

4

10

23

1.1.2 OPERACIONES CON FRACCIONES: a) Adición y sustracción de fracciones

1er

caso: Con fracciones homogéneas:

Ejemplos:

5

9

5

3741

5

3

5

7

5

4

5

1

13

6

13

6

13

120105

13

1

13

20

13

10

13

5

2° caso: Con fracciones heterogéneas: En forma general se saca el MCM de los denominadores.

Ejemplos:

a) Resolver: 20

87

20

159012

4

3

2

9

5

3

MATEMÁTICA I 11


b) Resolver:

1) 4

5

7

3

2) 5

26

4

35

3

23

3) 4

1

7

4

5

3

b) Multiplicación y división de fracciones

En una multiplicación de fracciones, se multiplican los numeradores y también los denominadores.

Ejemplos:

7

6

)2( )7( )5(

)5( )4( )3(

2

5x

7

4x

5

3

36

5

)12( )9( )4(

)5( )4( )3(

12

5x

9

4x

4

3

En la división, el procedimiento es el siguiente:

(c) (b)

)d( )a(

c

dx

b

a

d

c

b

a

O también

d

cb

a

bc

ad

d

cb

a

¡OBSERVACIONES!

Es conveniente simplificar antes de hacer las operaciones.

Aplicar la regla de los signos

cuando hay números negativos

Producto de extremos

Producto de medios

12


Ejemplos: a) Calcular:

35

32

)7(

)8(x

)5(

)4(

8

7

5

4

o también:

35

32

)7(

)8(x

)5(

)4(

8

75

4

b) Calcular:

1) 5

22x

4

5x

3

13

2) 45

70x

15

21x

18

30

3) 35

16

5

44

Comparación de fracciones

Su las fracciones son homogéneas es mayor aquella que tenga mayor numerador

Si las fracciones son heterogéneas, se debe convertirlas en homogéneas Ejemplos: Ordene de menor a mayor las fracciones:

a) 7

6

7

5

7

3

7

1

7

6,

7

5,

7

1,

7

3

b) 10

8,

40

21,

12

7,

5

3

12x10

12x8,

3x40

3x21,

10x12

10x7,

24x5

24x3

120

96,

120

63,

120

70,

120

72

10

8

5

3

12

7

40

21

MATEMÁTICA I 13


1.1.3 APLICACIONES PRIMER BLOQUE DE APLICACIONES:

1. Calcula qué fracción de un total representa:

La mitad de la mitad.

La mitad de la tercera parte.

La tercera parte de la mitad.

La mitad de la cuarta parte.

2. Para preparar un pastel, se necesita:

1/3 de un paquete de 750 g de azúcar.

3/4 de un paquete de harina de kilo.

3/5 de una barra de mantequilla de 200 g.

Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel.

3. Un depósito contiene 150 l de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan?

4. De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo

restante?

5. Una familia ha consumido en un día de verano:

Dos botellas de litro y medio de agua.

4 botes de 1/3 de litro de zumo.

5 limonadas de 1/4 de litro.

¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.

6. ¿Cuántos tercios de litro hay en 4 l?

7. Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las 5/6 partes del

cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo?

8. Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.

¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?

¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?

jordy

Resaltado

jordy

Resaltado

jordy

Resaltado

jordy

Resaltado

jordy

Resaltado

jordy

Resaltado

jordy

Resaltado

14


9. Ana ha recorrido 600 m, que son los 3/4 del camino de su casa al instituto. ¿Qué

distancia hay de su casa al instituto?

10. Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva

recorrido los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de

los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?

SEGUNDO BLOQUE DE APLIC ACIONES :

11. La corporación Graña y Montero de su presupuesto total destino los 3/7 en una de

sus unidades de negocio ¿Cuánto es dicho presupuesto total? , si las otras

unidades de negocio recibieron un total de 42 000 soles

12. Una empresa destina los 2/9 de su presupuesto total al área de Marketing, los 3/5

del resto al área de RRHH. Si el área de Finanzas recibió el resto que es de 28 000

soles. Halle el presupuesto total.

13. Pedro reparte su dinero entre sus tres hijos Juan, Pedro y María :

Juan recibe la tercera parte del dinero.

Pedro recibe los 2/5 del dinero restante

María recibe lo que queda

Si lo que reciben Juan y María suman 1100 soles ¿Cuánto es lo que le tocó a

Pedro?

14. Si pierdo 3/7 de mi dinero y recupero los 2/5 de lo perdido tendría ahora 520 soles

¿Cuánto tenía al inicio?

15. Una empresa obtiene una ganancia equivalente a los 2/3 de lo invertido, luego

invierte el monto perdiendo sus ¾ partes. Si después de ciertas medidas

jordy

Resaltado

jordy

Resaltado

MATEMÁTICA I 15


adoptadas por la gerencia adquieren un préstamo equivalente a los 2/5 de lo que le

quedaba, tendrían 7000 soles ¿Cuánto fue lo que se invirtió en un inicio?.

16. Una corporación invierte los doce quinceavos de su presupuesto en una de sus

unidades de negocio y el resto del presupuesto que asciende a 96000 soles para

sus otras unidades de negocio. Halle el presupuesto asignado por esta corporación.

17. La corporación Graña y Montero asigna los tres séptimos de su presupuesto a su

unidad de negocio de construcción, los dos novenos del resto lo destina a su otra

unidad que es petróleos y de lo que queda asigna su cuarta parte para gastos

extras. Halle el presupuesto total de esta corporación si lo que destino a su primera

unidad de negocio y lo que asigno a gastos extras asciende a 34 000 dólares.

18. En un negocio el primer día se pierde los dos quintos del dinero que se invirtió, el

segundo día se perdió los dos séptimos de lo que quedaba de la inversión. Si al

siguiente día se recuperó la mitad de lo que se perdió el primer día, se tendrá en

total 4400 soles ¿Cuánto dinero se invirtió en un inicio?

19. Una persona gasta su dinero de la siguiente manera: los 2/3 en alimentos, los 3/7

del resto en pasajes; los 8/35 del resto en ropa y lo que queda, que es 54 nuevos

soles los ahorra. Determinar qué cantidad de su dinero destina para los alimentos.

20. Lolo reparte su fortuna entre sus 4 hijos, al mayor le da la mitad, al segundo le da

1/3 del resto, al tercero le da 1/4 de lo que queda. Si el último de los hijos recibió 600

nuevos soles, ¿Cuánto recibió el segundo de los hijos?

21. Un granjero reparte su herencia entre sus 4 hijos. El primero recibe un tercio de la

herencia, el segundo la mitad del resto, el tercero recibe un sexto de la herencia y al

cuarto hijo le correspondió $50 000.00. ¿Cuánto recibió el 2do hijo? Y, ¿Cuánto fue

el monto de la herencia?

16


TEMA 2: TANTO POR CIENTO

1.2.1 Definición: Es el número de partes que se consideran de las cien partes en que ha

sido dividida una cantidad.

Ejemplo:

Si se toma 7 partes de las 100 partes en que se dividió una cantidad equivale a decir que se

ha tomado el 7 por ciento del total y se denota: 7% del total

EQUIVALENCIAS NOTABLES

Ejemplo:

Si de un presupuesto que asciende a 40000 soles se ha gastado 10000 soles

equivale a decir que se ha gastado la cuarta parte del total, es decir el 25%.

Si un depósito se tiene 205 litros de una mezcla y resulta que uno de sus

ingredientes consta de 41 litros equivale a decir que este ingrediente es la quinta

parte del total es decir el 20%.

MATEMÁTICA I 17


A la pregunta ¿A qué tanto por ciento de B es? la respuesta se obtiene de la siguiente

forma:

Ejemplo : ¿20 que tanto por ciento es de 160? Respuesta

Ejemplo: Hallar el 25% del 30% del 60% de 2600.

Resolución: Las palabras de y del se reemplazan por la multiplicación. Se tiene:

OPERACIONES CON PORCENTAJES:

Halla: 20%A + 30%A + 48%A

Resolución: Podemos observar que se trabaja sobre una misma cantidad (A) en este caso

se puede sumar los tanto por ciento:

( )

Nota: Si se trabajaba sobre cantidades diferentes no se podría sumar los tantos por cientos

PRIMER BLOQUE DE APLICACIONES:

1. Halle : 35% 480 + 25% 120 – 60% 225

2. ¿120 que tanto por ciento de 400 es?

3. ¿el 30% de 1450 es?

18


4. Halle el 25% del 10% del 75% de 32000

5. Halle el 30% del 60% del 10% de 12000.

6. La cantidad de azúcar en una mezcla es de 180g. Si el tanto por ciento de azúcar en

dicha mezcla es del 40% determine el peso total de la mezcla

7. Si a un número se le aumenta 1/3 de su valor y luego 1/5 del nuevo valor. ¿Qué

tanto por ciento del total aumentó?

8. De los 400 estudiantes que rindieron un examen de matemáticas, 140 lo reprueban.

¿Cuál es el tanto por ciento de estudiantes que aprobó dicho examen?

9. Pedrito piensa y dice: Si gasto el 60% del dinero que tengo y gano el 40%de lo que

me quedaría, perdería 132 nuevos soles ¿Cuánto dinero tengo?

10. Tres personas se reparten una herencia del modo siguiente: el primero hereda el

45%; el segundo, el equivalente al 60% del primero; el tercero, el equivalente a 1/3

del segundo. Si quedó un saldo de S/. 38 000, halle la herencia

1.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos Es cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento o aumento, por lo cual se puede utilizar la siguiente fórmula: Descuento: Aumento:

%100

100

...1001001001

321

n

AAAAu

Donde: A1, A2, A3,… Son los aumentos sucesivos n: Es el número total de aumentos Au: Es el aumento único equivalente a

todos los aumentos realizados.

%100

100

...1001001001

321

n

DDDDu

Donde: D1, D2, D3,… Son los descuentos sucesivos

n: Es el número total de descuentos Du: Es el descuento único equivalente a

todos los descuentos realizados.

MATEMÁTICA I 19


NÚMEROS RACIONALES Ejemplos:

Por ejemplo:

1. Roberto compra un refrigerador y le hacen 3 descuentos sucesivos del 20%, 20% y

30%. En lugar de estos tres descuentos, pudieron haberle hecho uno solo. ¿De cuánto

sería este descuento?

Solución:

%100100

30100201002010013

Du

Du = [ 44,8 – 100 ]% = -55,2 %

El descuento único sería de 55,2 %.

2. El director del programa académico de Cibertec le dice a un profesor de la carrera de

Computación: “Por tu esfuerzo, durante el año pasado, voy a sugerir que te otorguen

tres aumentos sucesivos del 30%, 10% y 20% en el presente año”. ¿A qué aumento

único equivale?

Solución:

%6,71%1006,171

%100100

20100101003010013

Au

Au

El aumento único equivale 71,6 %.

1.2.3 Aplicaciones comerciales: precio de venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia

a. Precio de lista ( PL )

Es la cantidad de dinero que el vendedor deseaba obtener b. Precio de venta (PV)

Dos descuentos sucesivos del 40% y 20% equivalen a un descuento único de:

%52

%10048

%100100

8060

%100100

201004010012

Du

Du

Du

Du

Nota: El signo (-) nos indica el descuento, por lo que

los descuentos sucesivos del 40% y 20%

equivalen a una descuento único de 52%.

Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de:

%56

%100156

%100100

130120

%100100

301002010012

Au

Au

Au

Au

El signo (+) nos indica aumento, por lo que los

aumentos sucesivos del 30% y 20% equivalen a

un aumento único del 56%.

20


Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es:

c. Precio de costo (PC)

Es el precio por la compra de una mercancía. .

d. Ganancia y pérdida (G y P)

i. Ganancia.- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio. ii. Pérdida.- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.

Relación entre los precios:

Nota:

Generalmente las ganancias y pérdidas se expresan como un tanto por ciento del precio de costo

Generalmente los aumentos y descuentos se expresan como un tanto por ciento del precio de lista

Problemas de refuerzo teórico:

1. Si al vender uno de mis libros de matemática a S/.35.00, gano S/.10.00, ¿cuál es el

porcentaje de ganancia?

Resolución:

(i) Según fórmula: GPcPv , entonces : 35 = Pc + 10,

Luego Pc = S/.25

(ii) Como G está en función de Pc, luego: 4.025

10% G ;

por tanto %G = 40 %

2. Calcule el precio de venta de un Televisor LCD, si costó S/.4 000 y al vender se

perdió el 20%.

Resolución:

MATEMÁTICA I 21


(i) Calculamos la pérdida: 20%(4 000) = S/.800.00

(ii) Según fórmula: PePcPv , se tiene: Pv = 4000 – 800

Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 3 200.00

3. ¿A cuánto asciende la venta de un departamento que costó $60 000.00, si se quiere

ganar el 25%?

Resolución

(i) Calculamos la ganancia: 25%(60 000) = S/.15 000.00

(ii) Según fórmula: GPcPv , se tiene: Pv = 60 000 + 15 000

Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 75 000.00

4. Determine el porcentaje de utilidad o pérdida, conociendo el precio de costo e

importe de la venta, si en el 2007 la empresa ATAJA obtuvo una utilidad de S/.50

000.00 y, al año siguiente, su utilidad se incrementó a S/. 80 000.00. ¿Cuánto fue el

porcentaje de incremento?

Resolución:

Como el incremento es de S/. 30 000.00, entonces:

%Incremento = 375,080000

30000

Por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 37.5%.

5. Calcule el costo de un artículo que se vendió en S/. 6 000.00, con un 20% de utilidad

(ganancia)

Sol:

(i) Según fórmula: GPcPv , entonces : 6 000 = Pc + (20% Pc)

(ii) Resolviendo: Pc = S/. 5 000.00

22


6. Si el precio de lista de un perfume de Ebel es de S/.65.00, calcule el precio de venta

si el perfume tuvo un descuento del 30%.

Resolución:

(i) Como: DPvPl , entonces: 65 = Pv + (30% Pv)

(ii) Resolviendo: Pv = S/. 50.00

Problemas propuestos para la

clase

1. Compré un artículo a $54. ¿A cómo debo

vender para ganar el 30% del precio de

costo más el 10% del precio de venta?

2. Vendiendo un libro por $1.44 se gana el

20% del costo. ¿Cuánto costó el libro?

3. Un señor vendió dos casas en $15000 cada

una. En la primera ganó el 25% y en la

segunda perdió el 25%. ¿En este negocio

ganó o perdió?

4. Carmen quiere vender su escritorio que le

costó $270 y ganar el 20% del precio de

costo más el 10% del precio de venta más

$81.

MATEMÁTICA I 23


5. ¿A cómo debo vender mi computadora que

me costó $ 2 700 para ganar el 20% del

precio de costo, más el 10% del precio de

venta, más $180?

6. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que

costó $420 para que aún descontando el

20% se gane el 40%?


casa

1) No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella $3840, con lo cual hubiera

ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750 ¿Qué

porcentaje del costo gané al hacer la venta?

2) Compré un auto a $10 000. ¿A cómo debo vender para ganar el 25% del precio de

costo más el 10% del precio de venta, más $1 200 en trámites documentarios?

3) ¿A cómo debo vender un televisor LCD que me costó S/. 840 para ganar el 20 % del

precio de costo, más 10 % del precio de venta, más S/ 64 por gastos administrativos?

4) Un vendedor le hace a un cliente descuentos sucesivos del 15% y 20% sobre un

producto de $200. ¿Cuánto pagó dicho cliente por su compra? Por motivos económicos,

decide vender el producto ganando el 25%, más $16. ¿A cuánto debería venderlo?

5) Gabriel desea comprar un auto usado y reclama un descuento. La tienda accede a su

pedido y le otorga 3 descuentos sucesivos sobre el precio de venta del 20%, 10% y 5%.

24


Él observa que el descuento efectivo ha sido de $ 474. ¿Cuál será el precio de venta de

dicho auto?

6) ¿Cuál es el precio de lista de un artículo, que tuvo un descuento del 10% al venderlo, si

el costo del artículo es de $28 y la ganancia es el 20% del precio de compra más el 20%

del precio de venta?

7) Julio compró un objeto que vendió después a 300 nuevos soles y obtuvo una ganancia

igual al 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuánto costó el

objeto?

8) Se venden dos caballos en $9,600 c/u. En uno de ellos se gana el 20% y en el otro se

pierde el 20%. ¿Se ganó o se perdió, y cuánto?

9) Un comerciante compra un artículo consiguiendo un descuento de 30% del precio de

lista, ¿cuál es el porcentaje del precio de venta con respecto al precio de lista si el

comerciante gana el 20% del precio de costo?

10) ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 1 450 para ganar el 20% del

precio de costo, más el 10% del precio de venta, más $110 por gastos administrativos?

Para cualquier consulta sobre el tema, puede revisar las siguientes páginas Web:

http://mevytenlinea.inea.gob.mx/puel/cursos/fracciones/modulo/curso.htm Aquí encontrará un curso práctico aplicativo de fracciones, porcentajes y magnitudes proporcionales.

http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1&tp=7

Aquí hallará ejercicios y problemas relativos al tema.

http://mevytenlinea.inea.gob.mx/puel/cursos/fracciones/modulo/curso.htm

MATEMÁTICA I 25


Resumen

Fracciones:

numerador

0) (br denominado

b

aF

Propiedad fundamental sobre porcentajes

Todos los problemas de porcentajes pueden, al final, reducirse a una expresión como:

Precio de venta.- Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o

servicios que recibe. Su fórmula es:

GPcPv

Precio de costo.- Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos

clases:

Ganancia y pérdida

Ganancia.- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio.

Pérdida.- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.

Precio de Lista.- Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un bien y/o

servicio. Su fórmula es:

DPvPl

P% de N = R

26


MATEMÁTICA I 27


FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA BÁSICA


Al término de la unidad, el alumno, simplifica expresiones algebraicas aplicando la teoría

de exponentes, los productos notables y los métodos de factorización en los problemas

planteados, utilizando el método de solución más adecuado que le permita reducir la

expresión

TEMARIO

* Teoría de exponentes

- Potenciación

- Radicación

* Productos notables

- Propiedades

* Factorización

- Factor común

- Agrupando términos

- Evaluación binómica


Los alumnos aplican las leyes del álgebra básica

Los alumnos identifican qué ley van a utilizar y explican cada paso realizado.

Por equipos, trabajan los ejercicios y se comprueban los resultados obtenidos.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2

28


2.1 TEMA 3: TEORíA DE EXPONENTES

2.1.1 POTENCIACIÓN: Propiedades

bn = veces"n"

b..........bbbb

Kbn = veces"K"

nnnn b..........bbb

Leyes de potenciación:

1. a0 = 1 , a R , a 0 ,

2. a

m . a

n = a

m + n

3. 0a,aa

a nm

n

m

4. a- n

= na

1 , a 0

5. 0b,0a,a

b

b

ann

6. (a . b )

n = a

n . b

n

7. 0b,b

a

b

a

n

nn

8. (a

m )

n = a

m n = (a

n )

m

MATEMÁTICA I 29


Ejemplos:

30


Ejercicios propuestos para la

clase

1) a) Simplifica :

6054

294

336

1630.14.15

80.35.21

M

b) Simplifica: 2

523

2.4

2.42

23

22

x

xx

x

xx

P

2) a) Calcula:

6.06.0 832E

b) Halla:

2

11123

10

1

23

4

5

2

3

1R

3) Efectúa: (a)

3

1

31

53

21

213

6432.2222

21223240

xx

xxx

S

(b) Calcula el valor de:

)2(6)2(422

)2(3621145

24

xxxx

xx

M

MATEMÁTICA I 31


4) Simplifica:

( )

5) Simplifica::

( )

( ) √

2.1.2 RADICACIÓN: Propiedades

n: índice a: radicando b: raíz

: operador

Leyes de Radicación:

9. nn aa

1

10. n

m

n m aa 11.

nnn b.aab

12. 0b,b

a

b

a

n

nn

13. mnm n aa

ban

32


Potenciación Radicación

base

exponente

potencia

índice

radicando

raíz

2.1.3 APLICACIONES

1) Halla X + M si:

14775

3004812

X M = 3/1

3/15/36432

2) ( a ) Simplifica :

√

√

√

√

√

( b ) Si yx 75 , Calcule el valor de: 11

23

57

75

xy

yx

3) Calcula:

12

133

1319)

4

nnn

a

MATEMÁTICA I 33


b) 2

1

5

4

32

13

2

27

1

4) Halle P

55357

5357

x

xx

xxP

34



casa

1) Simplifique la siguiente expresión:

12

3312/1

123

2439

263

11

4

5

2

3

1

x

xx

xx

2) Halle el valor de A si

5.15

535

054165

n

nnA

3) Reduzca la siguiente expresión:

3

1

31

53

2/16

3/1

8 643264

05249

4) Calcule B si:

07249

2

323

125.22

222

n

nn

B

5) Reduzca:

xxx

xx

aa

aaa

4669

13892333

5532

6) Calcule el valor de E + F, si:

MATEMÁTICA I 35


...333,08

25072 92 1253

E

7) Simplifique:

1

502

22/1

4

2

3

2121

2

2224

44.2

4.24.2

x

xx

xxxx

E

8) Halle K, si :

2

22

221225

2035

122149

1

32x

xx

xx

K

36


Resumen de Potenciación y

Radicación

Potenciación Radicación

a0 = 1 , a R , a 0 , am . an = am + n

0a,aa

a nm

n

m

a- n = na

1 , a 0

0b,0a,a

b

b

ann

(a . b )n = an . bn

0b,b

a

b

a

n

nn

(am )n = am n = (an )m

nn aa

1

n

m

n m aa

n pnnp baba ..

nnn b.aab

0b,b

a

b

a

n

nn

mnm n aa

Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes

páginas. http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

Aquí encontrará información de la Teoría de Exponentes.

www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps En esta página, encontrará ejercicios sobre potenciación, radicación y

racionalización.

http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

MATEMÁTICA I 37


Problemas variados de tanto por ciento y teoría de exponentes

Problemas de tanto por ciento

1. En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, y quedan 164. ¿Cuántos

han muerto?

2. Un banco prestó a otro 300.000 euros al 18 % mensual. La cantidad devuelta ha sido de

462 700 euros ¿Cuánto tiempo ha tardado el segundo banco en devolver el préstamo?

3. Una impresora cuesta 215 euros sin IVA y 249,40 euros con IVA. ¿Qué porcentaje de

IVA presenta?

4. En la última subida de precios del autobús, el billete sencillo ha pasado de 1,10 euros a

1,16 euros y el bonobús de diez viajes ha pasado de 4,70 euros a 4,91 euros. ¿Qué

tanto por ciento de subida han sufrido el billete sencillo y el bonobús?

5. Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la

cantidad que hay al principio de cada año, ¿qué ganancia obtendremos al cabo de un

año? ¿Y después de 4 años?

6. Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros.

¿Cuánto costaba antes de la subida?

7. Un póster costaba 4,80 euros. Tras una subida, este precio es el 80 % del precio final.

¿Cuál es el precio final del póster?

8. Una mercancía se encareció en un 10 % y luego se abarató también un 10 %. ¿Cuándo

vale menos: antes o después de todo el proceso?

Teoría de exponentes y radicación

1.- Calcule el valor de: MN

)2(6)2(422

)2(3621145

24

xxxx

xx

M

xxx

xx

N4669

13892

2.- Encuentre A+B

A =

2/1123

11

4

5

2

3

1

B = 55

555

1

305416

n

nn

38


3.- Halle K

Si

2

22

221225

2035

122149

1

32x

xx

xx

K

4.- Si :

1135

24

2624222

2362

xxxx

xx

A y

nn n

n

B2

1

44

2

Halle AB

5.- Halle el valor de M si:

1312416

120112

27

116

24381,

M

2.2 TEMA 4: PRODUCTOS NOTABLES

1. BINOMIO AL CUADRADO (SUMA)

EJEMPLOS:

1. 49x14x7)7()x(2x7x 2222

2. 25

4x

5

12x9

5

2

5

2)x3(2)x3(

5

2x3 2

22

2

3. 32

x324

x2

)3()3()2

x(22

)2

x(2

32

x

222bab2aba

MATEMÁTICA I 39


EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO

Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto.

1. 4

1xx 22

2. 2x22x 22

2. BINOMIO AL CUADRADO (DIFERENCIA)

EJEMPLOS:

1. 1x2x1)1()x(2x1x 222

2. 4

1yy

2

1

2

1)y(2y

2

1y 2

22

2

3. 7x72x77x2)x(7x 24222222

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto:

1. 3x32x22

2. 9

4x

3

4x 22

3. 2

1x2x 22

3. PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR LA

DIFERENCIA DE LOS MISMOS TÉRMINOS (DIFERENCIA DE

CUADRADOS)

22 ba)ba()ba(

222bab2aba

40


EJEMPLOS:

64x8x8x 2

6x6x6x 2

462323 yx3616)yx64()yx64(

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO: Observe y escriba directamente el producto de los binomios

1. 2.0y2.0y

2. 3y3y

3. 1yx31yx3 22

4. PRODUCTO DE BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO

COMÚN

EJEMPLOS:

1. 63x16x9x7x 2

2. 30x11x5x6x 2

3. 6y5y6y1y 32333

6y5y 36

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Observe y escriba directamente el producto de los binomios: (x – 1) (x + 8) = _______________________________ (x – 5) (x – 2) = _______________________________

5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

bcacbacaba 2

a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)

MATEMÁTICA I 41


Suma de cubos Diferencia de cubos

EJEMPLOS:

)4y2y)(2y(8y

)9x3x)(3x(27x

23

23

a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

42



clase

I. Efectúe:

____________________________________)yxyx)(yx(.4

___________________________________________)1yy)(1y(.3

_______________________________________________________)27y(.2

_______________________________________________________)125x(.1

3 233 233

33 23

12

6

2. Efectúe:

a) 5 1025 102 . nmmnmmR

b) (x + y)² (x² - xy + y²) – (x – y)² (x² + xy + y²)²

a) (a + 2) (a – 2) (a² - 2a + 4) (a² + 2a + 4)

2. Si 12 x calcule:

22

2

1

22

1

2

xxA

3. Simplifique: 2

222

2))((

10)23()23(

bbaba

ababa

4. Si x + y = xy = 4; calcule x² + y²

MATEMÁTICA I 43


APLICACIONES

1. Siendo x = 2 + 3 ; y = 2 - 3

Calcule: A = (x – y) (x² + xy + y²) + y(3x² + 3xy + 2y²)

2. Sabiendo que: 2x

y

y

x calcule: yx

yx

yx

yx

2

3

3. Simplifique:

22

33

babababa

babaE

4. Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, halle la suma de sus cubos.

5. Si: 2a y 8b , halla el valor de:

44

2233

ba

]baba[babaM

6. Determine el valor deE , si 2a .

3

13222 1111 aaaaE

7. Reduzca: 43215522 xxxxxx

44


8. Simplifique: 2

33

23

3

22

22

22

4

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

P

Resumen de productos notables

Productos Notables: Rcba ,,

I. 222bab2aba

II. 222bab2aba

III. 22 ba)ba()ba(

IV. 333 b 3ab² 3a²b a ) b (a

V. 333 b - 3ab² 3a²b - a ) b - (a

VI. bc2ac2ab2cbacba 2222

VII. a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)

VIII. a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

IX. bababa

babbaaba 3 233 233 .

X. Legendre:

2222 2)()( bababa

abbaba 4)( 22

Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas. http://www.sectormatematica.cl/ppt/Productos%20notables.ppt

Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

MATEMÁTICA I 45


2.3 TEMA 5: FACTORIZACIÓN

Definición.

Es un procedimiento por el cual se transforma un polinomio dado en un producto indicado de sus factores.

Casos:

2.3.1 FACTOR COMÚN:

Ejemplo: Factorice: 3x3 y + 9x² y² + 6 xy3

Sol:

caso. otro esfactorizar puede Se

22

ComúnFactor

233 yyxxyx

2.3.2 POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS:

Ejemplo: Factorice: abc2bcabcaaccbba 222222

Sol : = (a² b + b² a ) + (c² a + c² b ) + c (a² + 2 ab + b² ) * = a b ( a + b ) + c² (a + b ) + c ( a + b ) (a + b )

= ( a + b )

bcaccba 2

= (a + b ) [ a ( b + c ) + c ( b + c ) ] = (a + b ) ( b + c ) ( a + c )

2.3.3 POR IDENTIDADES O POR PRODUCTOS NOTABLES EN FORMA INVERSA: Ejemplos : a) ( a² + 2 a b + b² ) = ( a + b)² = (a + b ) ( a + b )

b) (a - b ) ( a² + a b + b²) = a3 - b3

c) 2224422 xxxxx

d) 3322 yxyxyxyx

e) 164²4² 4 yyy

46



clase

1) Factorice: a) 3x2y2-6x2y =

b) (3a – b) (a – b – 1) + (a + b) (a – b – 1) – (2c – 3b) (a – b – 1) =

c) 2p (p – 1) + q(1 – p) + 2 (p – 1) =

2) Factorice:

a) xa2 + y2b + y2a2 + xb =

b) 4xz + 2yz – 2xp – yp =

c) x3 – 4x2 + x – 4 =

3) Factorice:

a) x2 + 10xy + 25y2 = b) 4y2 – 9x2 = c) 8x3 – 27y3 = d) 9m2 + 6m + 1 = e) 4x2 – 12xy + 9y2 =

MATEMÁTICA I 47


2.3.4 POR ASPA SIMPLE:

Trinomio de la forma x2n + bxn + c = (xn + k1) (xn + k2) n N

donde:

Ejemplo: Factorice x² - 6x + 5 = 0

x

x

5

1 Vemos que:

(-5) (-1) = 5 ok (-5) + (-1) = -6 ok

x² - 6x + 5 = 0 (x - 5 ) ( x - 1) = 0

NOTA: Este trinomio se puede factorizar sólo cuando su Discriminante (D) es un cuadrado perfecto (ie, tiene raíz cuadrada exacta)

Trinomio de la forma ax2n + bxn + c = (a1 xn + k1 ) (a2 x

n + k2 ) donde : Ejemplo: Factorice:12 x² - xy - 6y² = 0

3 2

4 3

x y

x y

Vemos que:

( 3 ) ( 4 ) = 12 ; ( 2 ) (-3 ) = - 6 ; (3x) (-3y) + (4x) (2y) = -9xy + 8xy = -xy

12x² - xy - 6y² = 0 (3x + 2y ) (4x - 3y) = 0

2.3.5 POR DIVISIÓN DE BINOMIOS (RUFFINI):

Permite factorizar polinomios en una sola variable. Consiste en formar una

serie de binomios que admitan como término común a la variable y como

k1 . k2 = c k1 + k2= b

k1 + k2 = b

a1 . a2 = a k1 . k2 = c

a1 k2 + a2 k1= b

48


40

segundos términos a los divisores del término independiente. De dichos

binomios se tomarán aquellos que den división exacta empleando RUFFINI.

Ejemplo: Factorice: x4 + 6x3 - 5x² - 42x + 40

Posibles factores: divisores de:

(x 1) (x 2) (x 4) (x 5) (x 8) ….….. 1 …………………………………………… + 2 …………………………………………… +4

5

8

10

20

40 En forma práctica: Ruffini

1 6 -5 -42 40

1 1 7 2 -40 1 7 2 -40 0

2 2 18 40 1 9 20 0

x² + 9x + 20

x

x

5

4 (x - 1) (x - 2) (x + 5) (x + 4)

MATEMÁTICA I 49



clase

1) Factorice: a) x2+5x-6

b) x2-5x-14

c) 3x2-21x+18 d) 45x2-38xy+8y2

2) Factorice:

a) x2-2xy+y2+3x-3y+2 b) y2-4xy+4x2-3y+6x

c) x2-y2+2yz-z2-8x+16

3) Factorice:

a) t3-6t2+11t-6 b) x4-6x3-x2+54x-72 c) 2x5-17x4+51x3-58x2+4x+24

50


EJEMPLOS DIVERSOS DE FACTORIZACIÓN

EJERCICIOS DESARROLLADOS COMPLEMENTARIOS

Simplifique:

1) E =

y

x

xy

xxsol

yxy

x

4

12

124

1212

48

14 2

2)

111

11

11

11

yx

xyEsol

yx

yxE

Efectúe:

3)

25

42

25

313

25

313

25

3

25

13

x

x

x

xx

x

xxEsol

x

x

x

xE

4) E =xy2x

yxy2x.

xyx

y2xy2

22

2

2

Sol: E =

2

22

x

yxy

y2xxyxx

yxy2xy

y2xx

yx.

yxx

y2xy

MATEMÁTICA I 51


Problemas propuestos para la casa

Efectúe:

1) 3x2x

6y2

3y

xx2

2

2) 2

223

m

25x

x5x5

mm

3)

8x2

6x6x

4x

36x2

4) 22

4p

m2

16p8p

m10m6

5) 10m5

m

4m

1m

1m

m2m2

2

6) 25

m

m

10x

50x5

m 4

3

10

7) Factorice: E = (x + 3) (x + 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 1) + (x + 1)

8) Factorice:

a) x8 - 82x4 + 81 b) (x2 - y2)9 - (x + y)7 (x - y)11 9) Factorice: E = ( x + y )9 ( x - y )5 - (x2 - y2)7

10) Factorice: a) E = 64 x12 y3 - 68 x8y7 + 4x4y11 b) x3 + (2a + b)x2 + (a2 + 2ab ) x + a2b 11) Factorice: a) x8 - y8

b) x6 - y6

52


Problemas variados

1. Simplifica:

( )[ ( ) ( ) ]

2. Simplifica

( )( ) ( )( )

3. Simplifica:

( )( ) ( )( )

4. Simplificar

[( ) ( ) ] ( )

( ) (√ √ )(√ √ )

5. Simplificar:

6. Simplifica :

yxyx

yxyxyyxyxxE

2

4444 42233224

7. Halle E:

E =

3x1a

6xxa6xaxa

22

1

22

1

2

22222

44

8. Simplificar :

2

2510

352

7

9

6 2

22

2

a

aa

aa

a

a

aaE

MATEMÁTICA I 53


Resumen

Factorizar.- Es modificar un polinomio a productos de factores. Clases:

1. Factor común.- Cuando los términos de un polinomio tienen algo en común.

2. Por Agrupación.- Esta técnica va de la mano con factor común. Consiste en juntar 2 o más términos con algo en común.

3. Por identidades.- Es lo mismo que productos notables. Ejemplo: Un trinomio cuadrado perfecto se convierte a un binomio cuadrado.

4. Por aspa simple o doble.- Será por aspa simple en todos los casos cuando la suma de sus coeficientes del polinomio da cero; y por aspa doble lo ideal es que necesitan seis términos; pero se puede utilizar con cinco, por que se debe completar con cero.

5. Ruffini.- Sirve para factorizar polinomios de grado tres o mayor. Para usarla, se debe tener presente que el polinomio debe ser ordenado y completo.


páginas. http://sipan.inictel.gob.pe/av/

Aquí encontrará casos de factorización y otros.

http://www.matematicastyt.cl/Algebra/Polinomios/Factorizacion/pag1.htm

Aquí encontrará ejercicios desarrollados de factorización y otros.

54


MATEMÁTICA I 55


ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS


Al término de la unidad, el alumno resuelve ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones lineales, con dos incógnitas, aplicando propiedades y métodos algebraicos

TEMARIO

Ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Ecuaciones de segundo grado


Los alumnos desarrollan, por equipos de tres integrantes, los ejercicios propuestos en el manual.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3

56


3.1 TEMA 6: ECUACIONES

3.1.1 ECUACIONES LINEALES

Forma general: ax + b = 0 ; a 0

Solución: x = - b/a Tipos:

a) Ecuaciones lineales o enteros: Ejemplo: Halle el valor de x:

a) 5x - (4x + 3) = 7x - (2 + 3x) + 25 Solución: 5x - 4x - 3 = 7x - 2 - 3x + 25

5x - 4x - 7x + 3x = 3 - 2 + 25 - 3 x = 26

x = 26/-3

b) 7x² + 15 = (5x - 2) (3x + 7) - (4x - 1) (2x + 11)

x = - 18/13

b) Ecuaciones fraccionarias: Se obtiene el MCM cuidando que el denominador

nunca sea cero.

Ejemplo: Halle el valor de x:

a) Resuelva: 6

1x2)1x3(

3

21x2

2

3

Resolución: M.C.M = 6

Divide el MCM entre cada denominador y su resultado multiplica a su

respectivo numerador:

- 9 (2x + 1) - 4(3x - 1) = 12x + 1 - 18x - 9 - 12x + 4 = 12x + 1 - 18x - 12x - 12x = 9 - 4 + 1

- 42 x = 6 x = - 1/7

b) b54

xb4

7

bx

5

xb23

Resolución: M C M = 140

x = 8 b Problemas desarrollados:

MATEMÁTICA I 57


a) A un alumno le preguntaron la hora y responde “son los 5/7 de lo que falta

para terminar el día”. ¿Qué hora es?

Resolución:

b) Las edades de una madre y 2 hijos suman 60 años. Halle la edad del menor de los hijos, sabiendo que el mayor tiene 3 veces la

edad del menor y la madre el doble de la suma de sus hijos.

Resolución:

Madre = M Hijo mayor = H1 M + H1 + H2 = 60 Hijo menor = H2

H2 = 5 años

c) Una persona tiene S/ 20 000 y otra S/ 7 500. Cada una ahorra anualmente S/. 500. ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda?

Resolución: Sea “x” el de años que ahorra cada persona.

- Ahorro total de cada persona 500x - capital + ahorro de la 1ra persona: 20 000 + 500x - capital + ahorro de la 2da persona: 7 500 + 500x Entonces 20 000 + 500x = 2 [7 500+500x] 20 000 + 500x = 15 000 + 1000x 5 000 = 500x 10 años = x

a.m. 10 las son10x

120x12

120x5x7

)24(7

5x

7

5x

x247

5x

58



clase

1) Resuelva los siguientes ejercicios:

a) 5x – (7x – 4) – 2 = 5 – (3x + 2)

b) 3

14

2

1

4

232

xxxx

2) Resuelva

18

54

3

275

12

543

4

532

xxxx

3) Un profesor le dice a su alumno: el doble de mi edad, aumentado su mitad, en sus 2/5, en sus 3/10 y en 40, suma 200 años. ¿Cuántos años tengo?

4) Resuelva la ecuación:

64632532726355 xxxxxx

5) Resuelva la ecuación:

103

23

2

1

166

8

6416

42

2

6422

4

2

232

xx

x

x

x

xx

xx

xx

xxx

x

x.

MATEMÁTICA I 59


x = 1

3.1.2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2

Sistema: Se llama así a un conjunto de ecuaciones que se verifican para un mismo

valor de las incógnitas. Ejemplo: x + 3y = 10 ... (I) 4x - y = 1 ... (II) Métodos de resolución: a) Por eliminación (Adición algebraica) Ejemplo: Resuelva el sistema:

x + 3y = 10 …………….

4x - y = 1 ……….……

Resolución: La ecuación queda igual : x + 3y = 10

a ecuación por 3 : 12x - 3y = 3 13x = 13

Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones.

Así, en : 1 + 3y = 10 3y = 9

b) Por sustitución: Se despeja cualquier variable de una de las ecuaciones y se reemplaza en el otro.

Ejemplo: Resuelva el sistema:

x + 3y = 10 ……………..

4x - y = 1 …..………….

Resolución: De la ecuación : x = 10 - 3y en

4 (10 - 3y) - y = 1 40 - 12y - y = 1

- 13y = - 39

y = 3 en la ecuación

Así, x + 3 (3) = 10

x + 9 = 10

c) Por igualación: Consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego se igualan (pueden ser también constantes).

x = 1

y = 3

60


Ejemplo: Resuelva el sistema:

x + 3y = 10 ……………

4x - y = 1……………….

Resolución: De x = 10 - 3y

De 4x = 1 + y Son iguales

x = 4

y1

10 - 3y = 4

y1

40 - 12y = 1 + y

- 13y = - 39

y = 13

39

en : x + 3 (3) = 10

Nota: Al resolver, por cualquiera de los 3 métodos, el resultado no cambia.

Ejercicios desarrollados: 1. Juan ahorra en billetes de S/. 50 y S/. 100. Para hacer un obsequio a su madre por su

cumpleaños, abre la alcancía y logra contar 200 billetes que hacen un total de S/. 14 000, suma con la cual compra el presente. Después de agradecer la madre tan noble gesto, le pregunta: Juanito, ¿cuántos billetes de S/. 50 y cuántos de S/. 100 ahorraste?

Resolución: a) Representación

Número de billetes de S/. 50 : x Número de billetes de S/. 100 : y x + y = 200 Sistema 50x + 100y = 14 000

b) Solución del sistema: Valor de y:

-100x – 100y = -20 000 50x + 100y = 14 000 x + y = 200

-50x = - 6 000 120 + y = 200 x = 120 y = 80

Respuesta:

x = 1

y = 3

MATEMÁTICA I 61


Ahorró 120 billetes de S/. 50 y 80 billetes de S/. 100. 2. El resultado de una prueba escrita de Matemática Discreta I es como sigue: los 2/3 de

alumnos aprobados son igual al triple de los desaprobados más 4. Si al número de aprobados se quita el quíntuplo de desaprobados, resulta 2. ¿Cuántos alumnos aprobaron la prueba y cuántos desaprobaron?

Resolución: a) Representación

Número de alumnos aprobados : x Número de alumnos desaprobados : y 2/3x = 3y + 4 Sistema x – 5y = 2

b) Resolución del sistema: Valor de x:

2x = 9y + 12

x – 5y = 2 ..................... () 2x – 9y = 12

-2x + 10y = -4 y = 8

en (): x – 5 (8) = 2 x = 40 + 2 x = 42

Respuesta: Aprobaron 42 alumnos y desaprobaron 8.

Problema propuesto

1. Por ventas del día de una bodega, se contabilizó 160 billetes por un monto de 5000 soles entre billetes de S/.10, S/.50 y S/.100. Si la mitad del número de billetes de S/.10, más la cuarta parte del número de billetes de 100 es igual a los 11/8 del número de billetes de 50, ¿cuántos billetes de cada denominación se contabilizó?

Respuesta: 100 de S/.10, 40 de S/.50, 20 de S/.100.

62



clase

1) Resolver el siguiente sistema

2) Resolver el siguiente sistema

2x + 3y = 7 5x - 7y = 3

.34

.4

14

3

11

yx

yx

3) Resuelva los siguientes sistemas determinados en x e y:

a)

x5

2y4

3

5x2

y6

3y

4

5x3

b) b5ay2x3

ab5y3x2

4) Resuelva:

byx

1

yx

1

ayx

1

yx

1

4) Resuelva:

.11

3

1

5

.121

2

1

31

yx

yx

6) El perímetro de un rectángulo es 56 m. Si el largo disminuye en 2 m. y el ancho aumenta en 2 m, la figura se convierte en un cuadrado. Halle el lado mayor.

7) Juan dice a Pedro: “Dame S/ 18 000 y así tendré el doble de dinero que tú”. Y Pedro le contesta: “Más justo es que tú me des S/ 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad”. ¿Cuánto tenía Pedro?

MATEMÁTICA I 63


8) Divida el número 1000 en dos partes, tales que si de los 5/6 de la primera se resta de la segunda, se obtiene 10. Calcule la segunda parte.

64



casa

I. Resuelva:

1) 4

1

5

4

3

25

13

24

7

x

3) n

mxx

mxmx

3

2

2

2) 6

25

3

2

1

2

1

xx

x

x

4) xmnm

nx

nm

mx

22

5) El numerador de una fracción es dos unidades menor que el denominador. Si añadimos

una unidad a cada elemento de la fracción, la nueva fracción excede en 1/15 a la original.

¿Cuál es dicha fracción original?

6) Se debía repartir 1 800 soles entre cierto número de personas: cuatro de ellas

renunciaron a su parte con lo cual a cada una de las restantes le tocó 15 soles más.

¿Cuántas personas eran originalmente?

II. En cada caso, resuelva el sistema

a) 1

245

yx

yx d)

023

7295

yx

yx

b) 8310

754

yx

yx

21

79

3

2

7

4172)

yx

yxe

c)

xy

yx

3

52

753

17

f)

2

1105,42

723522

yxyx

yxyx

III. PROBLEMAS a) La suma de dos números es 191. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 4

y el residuo es 16. La diferencia de dichos números es:

MATEMÁTICA I 65


b) Un padre le dice a su hijo: “Hace 8 años, mi edad era el cuádruplo de la edad que tú

tenías, pero dentro de 8 años sólo será el doble”. ¿Qué edad tiene el hijo?

3.1.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Forma general es: ax² + bx + c = 0 donde a, b, c son constantes y a 0.

Ejemplo: 2x² + 3x - 5 = 0 ; vemos que a = 2 b = 3 c = -5 Además, toda ecuación de segundo grado tiene 2 raíces o soluciones. Métodos para hallar dichas raíces: M1) Fórmula general: Para ver si las raíces o soluciones son reales o imaginarias, se analiza el

DISCRIMINANTE ( = b² - 4ac) Casos:

1. Si > 0 ; las raíces serán reales y diferentes.

Así; ;

2. Si = 0 ; las raíces serán reales e iguales. Así;

3. Si < 0 ; las raíces serán complejas conjugadas. (No tienen solución real)

Ejemplos desarrollados: Resuelva: 2x² + 3x - 5 = 0

Solución: a = 2 , b = 3 , c = -5

Analizando discriminante ()

a2

ac4bbx,x

2

soluciones o raices

21

a2

ac4bbx

2

1

a2

ac4bbx

2

2

a2

bxx 21

66


= b2 - 4ac

= 3² - 4(2) (-5)

= 49

estamos en el primer caso.

14

73

)2(2

493x1

2

5

4

73

22

493x2

El conjunto solución es { ( 1, -5/2) }

M.2) Por factorización: Método ya conocido Ejemplo: Resuelva: 2 x² + 3x - 5 = 0 Sol.

2 x² + 3x - 5

2

5x05x2

1x01x

0)5x2)(1x(5x2

1x

M.3) Completando cuadrados: Para aplicar este método, el coeficiente de x² siempre debe ser UNO.

Ejemplo: Resuelva: x² + 4x - 6 = 0

Solución: 062

4

2

4x4x

222

0642x 2

102x

102x102x102x

2

12

> 0

MATEMÁTICA I 67



clase

1) Resuelva empleando la fórmula general. a) x2+ 5x + 7 = 0

b) 25x2 - 10x + 2 = 0

2) Resuelva empleando factorización. a) 4x2- 12x + 9 = 0

b) 7x2+ 6x = 16

3) Resuelva completando cuadrados:

a) x2- 8x - 7 = 0

b) 2x2- 12x + 5 = 0

68


4) Resuelva :

(

)

( )

Resuelva:

( ) ( ) ( )( )

Propiedades de las raíces

Dada la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, con raíces x1, x2 se tiene las siguientes

propiedades de sus RAÍCES:

axxDIFERENCIA

a

cxxPRODUCTO

a

bxxSUMA

21.3

2.

1.2

21.1

Ejemplos: Dada la ecuación: x² + 9x + 8 = 0 Halle: a) Suma de raíces

b) Diferencia de raíces

c) Producto de raíces

Solución:

Donde: *) x1, x2 son raíces *) a, b, c son coeficientes

*) es el discriminante

MATEMÁTICA I 69


81

8

71

)8)(1(49

91

9

2

a

cPRODUCTO

aDIFERENCIA

a

bSUMA

70



clase

1) En la ecuación: ax² - (a - 5)x + 1 = 0, el producto de las raíces es igual a la

diferencia de las mismas. Halle la mayor raíz. Resolución

2) Dada la ecuación 3x2 - 5x + k - 1 = 0

Con raíces x1 y x2 que cumplen: .2x

1

x

1

21

Calcule k = ?

Resolución

3) Halle m de 3x2 + mx + 2 = 0, de modo que la ecuación cuadrática tenga en su

conjunto solución que una raíz sea el triple de la otra. Resolución

4) Halla la suma de raíces de :

5) En la ecuación: 2ax2 - (a - 1)x + 1 = 0 El producto de las raíces es igual a la diferencia de las mismas. Halle la raíz menor. Resolución

MATEMÁTICA I 71



casa

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resuelva:

1) 12

5

5x3x

4x2x

2) (3x - 1) (3x + 1) = x²

3) 5x² + 3x = 0

4) 6x (x + 1) = 5 (x² + x)

5) Resuelva empleando la fórmula general.

a) x² + 5x + 2 = 0

b) 3x² + 7x + 2 = 0

c) 4x² - 20x + 25 = 0

d) (a - 1) x² + 2ax + (a + 1) = 0

e) ax² + (a + 1) x + 1 = 0

6) I. Resuelva x factorización. II. Resuelva completando cuadrados.

a) x² - 8x – 9 = 0 a) x2+6x-8 = 0

b) x² + 3x + 2 = 0 b) 4x2-5x-1=0

c) 2x² - 5x + 2 = 0 c) 3x2-6x-1=0

d) 4x² - 12x + 9 = 0 d) 3x2+5x+1=0

e) 3x² + 19x + 6 = 0 e) 3

x

16

3x82

7) ¿Qué valores debe tomar <<k>> para que las raíces de la ecuación

(k-1)x2 - (k+3)x + 2m + 1 = 0 difieran en 3?

72


Resumen

Ecuación Lineal.- Es un polinomio de grado uno y, por lo tanto, tiene una

sola respuesta o raíz. Esta puede ser:

a) Entera.- Cuando los términos no tienen denominadores b) Fraccionaria.- Cuando los términos tienen denominadores iguales o

diferentes. Para resolverlas se halla el MCM. Ecuaciones de segundo grado.- Es un polinomio de grado dos; por lo tanto,

tiene dos soluciones o raíces. Las forma de resolverlas son las siguientes:

a) Por fórmula general.- Esta resuelve cualquier trinomio de grado dos,

está dado por: a2

ac4bbx,x

2

soluciones o raices

21

b) Por Factorización.- Cuando el Discriminante es un cuadrado perfecto.

c) Completando cuadrado.- Se utiliza cuando el coeficiente de la variable de mayor grado es UNO. Consiste en sacar la mitad del coeficiente del término lineal y a éste resultado elevarlo al cuadrado. En todos los casos, primero se agrega y luego se quita. Por esta razón, algunos autores a este método lo llaman “pon y quita”.

Propiedades de la raíces.- Están dadas por la relación existente entre las

raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Esta son las siguientes: Dada la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, con raíces x1, x2 se tiene

axx

a

cxx

a

bxx

21

21

21

.3

..2

.1


páginas. http://www.portalplanetasedna.com.ar/Ec2Grado.htm

Aquí encontrará información sobre ecuaciones de 2do grado.

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/p_e.html En esta página encontrará información relativa al tema.

Donde: *) x1, x2 son raíces *) a, b, c son coeficientes

*) es el discriminante

http://www.portalplanetasedna.com.ar/Ec2Grado.htm

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/p_e.html

Documents

Manual 2014-I 01 Matemática I (0619)