Upload
dev-saez-ayala
View
240
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
7/28/2019 Manual de Aritmetica
1/31
PRIMERA SEPARATA DE ARITMTICA
CICLO: REPASO UNI 2006
RAZONES Y PROPORCIONES
Razn:
Es la comparacin de 2 cantidades mediante una
sustraccin o una divisin.
Si la comparacin es mediante una sustraccin
se llama Razn Aritmtica y si la comparacin
es mediante una divisin se llama Razn
Geomtrica.
Luego:
Dadas las cantidades a y b.
Razn
Aritmti
ca
Razn
Geomtric
a
ba =k
b
a=
Donde:
a es el antecedente
b es el consecuente
r es el valor de la razn
aritmtica
k es el valor de la razn
geomtrica
Ejemplo:
En un aula A hay 60 alumnos y en otra B
hay 20 alumnos y se observa que:
a. El nmero de alumnos del aula A excede a la de
B en 40, porque:
260
es la razn aritmtica de 60 y 20.
b. El nmero de alumnos del aula A es 3 veces el
de B, porque:
2
6
es la razn geomtrica de 60 y 20.
Nota: Siendo la razn geomtrica de mayor uso
se le conoce tambin como razn o relacin.
Del ejemplo anterior:
Si tomamos como referencia a un grupo de 20
alumnos, se tiene que:
60 = 3 x 20
20 = 1 x 20.
Entonces se puede afirmar que:
60 es como 3 y
20 es como 1
Tambin que:
60 y 20 estn en la misma relacin que 3 y 1
60 y 20 son entre si como 3 es a 1
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
2/31
Cel: 054-9561777 2Aritmtica Repaso - UNI 2006
Aplicaciones
1. Si la razn aritmtica de los cuadrados de 2
nmeros enteros es 15. Calcule la razn
geomtrica de dichos nmeros si no son
consecutivos.
2. En una fiesta hay 60 hombres y 40 mujeres.
Cuntas parejas deben retirarse para que haya 9
hombres por cada 5 mujeres?
3. En un recipiente hay una mezcla de 45 litros de
vino y 30 litros de agua. Si se extraen 20 litros y
se reemplazan con agua. En que relacin seencontrarn las cantidades de vino y agua?
4. Las edades de 2 personas estn en la relacin de
3 a 1 Hace 8 aos estaban en la relacin de 4 a 1.
Calcule la razn aritmtica de sus edades.
Proporcin.-
Es la igualdad de 2 razones de la misma clase yvalor, puede ser:
A) Proporcin Aritmtica .- Si las razones son
aritmticas
Ejemplos:
Las razones aritmticas:
12 7 = 5 y
8 3 = 5
forman la proporcin aritmtica
712
Donde: 12, 7 , 8 y 3 (en ese orden)
son los trminos 1, 2, 3, 4, de la proporcin
Adems:
12 y 3 son los extremos
7 y 8 son los medios
Cumplindose que:
312+
Suma de Suma deExtremos medios
B) Proporcin Geomtrica .- Si las razones songeomtricas.
Ejemplo:
Las razones geomtricas: 34
12= y
3
7
21=
forman la proporcin geomtrica:
4
12
Donde: 12, 4, 21 y 7 (en ese orden)
son los trminos 1, 2, 3, y 4 de la proporcin
Adems: 12 y 7 son los extremos
4 y 21 son los medios
Cumplindose que:
7x12
Producto de Producto deExtremos medios
Nota: Un Proporcin es discreta si sus trminos medios
son diferentes.
Una proporcin es contina si sus trminosmedios son iguales.
As tenemos:
Proporcin Aritmtica Proporcin Geomtrica
Discreta(Medios
Diferentes)dcba =
qp
nm =
q es la cuarta
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
3/31
Cel: 054-9561777 3Aritmtica Repaso - UNI 2006
d es la cuarta
diferencial de
a, b y c
proporcin de m, n y p
Continua(MediosIguales)
tssr =
s es la mediadiferencial de r y t
t es la terceradiferencial de r y s
z
y
y
x=
y es la mediaproporcional de x y z.
z es terceraproporcional de x e y
Aplicaciones
5. Si se sabe que:* La cuarta proporcional de 20, 5 y 24 es a
* La tercera diferencial de 30 y 24 es b.
* La media proporcional de 9 y 25 es c
Calcule la 4ta diferencial de b, a y c.
6. En una proporcin geomtrica continua, la sumade extremos es 34 y su diferencia es 16. Calcule
la media proporcional.
7. En una proporcin geomtrica discreta la sumade los cuadrados de sus trminos es 65. Calcule
la suma de dichos trminos, si los trminos y la
constante son enteros positivos.
8. En una proporcin geomtrica cuya razn es
equivalente a5
3; los antecedentes estn en la
relacin de 1 a 2. Si el mayor de los trminos es
30. Calcule la suma de todos los trminos.
SERIE DE RAZONES GEOMTRICASEQUIVALENTES
Es un grupo de razones geomtricas que tienen
el mismo valor llamado constante de
proporcionalidad.
Ejemplo:
* 34
12= , * 3
7
21= , *
36
18=
Forman la serie de 3 razones geomtricas
equivalentes:
36
18
7
21
4
12=== constante de
proporcionalidad
y se lee:
Los antecedentes 12, 21 y 18 son proporcionales
(en la misma relacin) a los consecuentes 4, 7 y
6.
Observndose que:
I) * 317
51
674
182112==
++
++
* 311
33
74
2112==
+
+
* 313
39
67
1821==
+
+*
310
30
64
1812==
+
+
* 33
9
47
1221==
*
32
6
46
1218==
II) *33
6x7x4
18x21x12=
*23
7x4
21x12=
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
4/31
Cel: 054-9561777 4Aritmtica Repaso - UNI 2006
En General:
Dado la S.R.G.E:
cc
ba =
Se cumple que:
b
a
f
e
d
c
b
a===
d.b
.c.a
Tambin:
d
dc
b
ba=
=
e
c
dc
a
ba=
=
e
e
dc
dc
ba
ba
=
+
=
+
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
5/31
Cel: 054-9561777 5Aritmtica Repaso - UNI 2006
Aplicaciones
9. Sabiendo que.
f
e
d
c
b
a==
Adems: 64eca =++ y
102fdb =++
Calcule:f.bd.b
e.ac.a
++
10. Si:
pnm
cba
12
b
4a
c
a
36
b
27
++
++==
==
Calcule m + n + p
11. Dado:14
d
c
15
70
b
a
27===
Adems: b d = 24
Calcula a + b + c + d
12. Si:f
e
d
c
b
a==
Adems: b a = 20
d c = 18
f e = 8Calcule a + c + e sabiendo que d x f = 900
PROBLEMAS
1. Dos ciudades A y B distan P km. Dos
vehculos salen simultneamente uno al
encuentro del otro de ambas ciudades con
velocidades de 40km/h y 50km/h de A y B
respectivamente, encontrndose en C. A partir de
dicho punto el que sali de A se demora 9 horas
ms que el que sali de B en llegar a su destino.
Calcule P.
Rpta.: ...................................................................
2. Las edades actuales de Henry y Amelia son entre
s como 7 es a 4. hace K aos estaban en la
relacin de 5 a 2 y dentro de aos la relacin
ser de 5 a 3, tiempo en el cual sus edades
sumaran 48 aos. Qu edad tendr Amelia
dentro de K + aos.
Rpta.: ...................................................................
3. Para dibujar una pequea habitacin rectangular
Oscar emplea la escala 1/25. la diferencia del
largo y ancho en el dibujo es 8cm, adems el
permetro de la habitacin es 20 metros. En qu
relacin se encuentran el largo y ancho?
Rpta.: ...................................................................
4. En una proporcin aritmtica discreta los
trminos extremos estn en la relacin de 5 a 3 y
los trminos medios estn en la relacin de 4 a 3.
si la suma de todos los trminos es 224. calcule
la diferencia de los medios.
Rpta.: ...................................................................
5. En una proporcin geomtrica continua; los
trminos extremos estn en la relacin de 9 a 25;
adems el menor de los trminos es la cuarta
diferencial de 80, 70 y 75.Calcule la suma de los trminos de la proporcin
geomtrica.
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
6/31
7/28/2019 Manual de Aritmetica
7/31
Cel: 054-9561777 7Aritmtica Repaso - UNI 2006
y ( ) ( )cpcp1ba 22 +=++ .
Calcule: p 1
Rpta.: ...................................................................
14. En la clausura del ao escolar de un colegio
asisten 400 persona. En un determinado
momento se retiran un grupo de personas
observndose que:
De los adultos varones: por cada 6
asistentes se quedan 5.
De la mujeres adultas: por cada 5 que se
retiran, 7 se quedan.
Cada adulto varn que se retira se lleva 2
nios y cada mujer adulta se lleva 1 nio.
Si no queda ningn nio. cuntos nios haban?
Rpta.: ...................................................................
15. En una fabrica de botellas se tienen 3 mquinas
A, B y C. Por cada 5 botellas que produce la
maquina A, las restantes producen juntas 4
botellas; por cada 4 botellas que produce la
maquina B, las restantes producen juntas 11
botellas. Si un da la maquina B produjo 200
botellas ms que C. Cuntas botellas produjo la
maquina B ese da?
Rpta.: ...................................................................
16. Si:
d
9
9b
18a
5
cb
15b
a=
+
=
=
Calcule: (a + c) (b + d)
Rpta.: ...................................................................
17. De las cantidades de tizas blancas, rojas y azules
que contienen una caja se observa que la primera
es dos veces la segunda y esta dos veces ms que
la tercera. Luego se extrae tanto como la mitad
de lo que no se extrae y de esta ltima qued 2
tizas blancas ms por cada 5 rojas. Halle la
relacin entre la cantidad de tizas blancas y rojas
que fueron extradas si de las otras se sac un
tercio de lo que haba.
Rpta.: ...................................................................
18. Halle la razn aritmtica entre la cantidad de
manzanas y naranjas que se compraron si luego
de vender una docena de manzanas por cada dos
decenas de naranjas qued tres manzanas ms
por cada cuatro naranjas, adems al final qued
385 frutas y al inicio haba 9 manzanas ms por
cada 4 decenas de naranjas.
Rpta.: ...................................................................
19. Si:a81
c9
b3
a9
b
d
c
a===
Adems: b + d = 36
Calcule la razn aritmtica entre la suma de
consecuentes y la suma de antecedentes.
Rpta.: ...................................................................
20. Si:
tr180
r180
i30
i30
c15
c15=
+
=+
=+
Adems: c + i + r + 1 = t2
Calcule el producto de la cifras de t.
Rpta.: ...................................................................
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
8/31
Cel: 054-9561777 8Aritmtica Repaso - UNI 2006
21. La suma; diferencia y producto de 2 nmeros
estn en la relacin de 10; 8 y 27. Calcule el
mayor de los nmeros
Rpta.: ...................................................................
22. Se tiene una mezcla de vino, gaseosa y agua en
cantidades proporcionales a 4, 3 y 5
respectivamente. Al extraer la mitad de dicha
mezcla; se observa que hay 10 ms de agua que
de gaseosa. cul sera la relacin entre las
cantidades de vino y agua si luego extraemos 8
de cada uno?
Rpta.: ...................................................................
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MagnitudEs todo aquello susceptible (capaz de modificar)
al aumento o disminucin, es decir est sujeto a
cambios.
Cantidad
Es el valor que toma cualquier magnitud en
un momento dado. Se le representa mediante un
nmero y una unidad caracterstica referente a
la magnitud.
Ejemplo:
M
ag
nit
ud
Ca
nti
da
d
Relacin entre Dos Magnitudes
Dos magnitudes son proporcionales
cuando al variar una de ellas, entonces la otra
tambin vara en la misma proporcin. Se
pueden relacionar de dos maneras.
I. Magnitudes Directamente Proporcionales(D.P).- Dos magnitudes son D.P si al aumentar odisminuir el valor de una de ellas; el valor de la
otra magnitud tambin aumenta disminuye, en
la misma proporcin respectivamente;
cumplindose que el cociente de sus valores
correspondientes permanecen constantes.
Ejemplo Inductivo:
Frank sale a pasear en su auto y se desplaza conM.R.U, a una rapidez de 80km/h. Analizamos
como varia el valor de la distancia que recorre
cuando el valor del tiempo vare:
Distancia
(km)
8 4 2 7 144
0
Tiempo
(h)1 6 3 9 18
(distancia) D.P (tiempo)
Se observa:
( )( )
ctetiempo
ciatandis=====
Debemos tener en cuenta que el relacionar
dos magnitudes, las dems no deben variar. Del
ejemplo anterior la rapidez no vara; permanece
constante.
En general:
Para dos magnitudes A y B se cumple:
((valval
B.P.D.A
* Del ejemplo inductivo, representando sus
valores grficamente:
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
9/31
Cel: 054-9561777 9Aritmtica Repaso - UNI 2006
Se observa que:
i) La grfica de dos magnitudes D.P. son
puntos que pertenece a una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
ii) En cualquier punto de la grfica (excepto el
origen de coordenadas) el cociente de cada par devalores correspondientes resulta una constante.
Aplicaciones:
1. Las magnitudes A y B2 son D.P. Calcule El valor deA cuando B = 12; si cuando A = 32 entonces B =
576.
2. El sueldo de un obrero es D.P al cuadrado de laedad que tiene. Si actualmente tiene 18 aos; dentro
de cuantos aos cuadruplicar su sueldo.
II. Magnitudes inversamente proporcionales(IP).- Dos magnitudes son I.P. si al aumentar odisminuir el valor de una de ellos; el valor de la
otra magnitud tambin disminuye aumenta; en
la misma proporcin respectivamente;
cumplindose que el producto de sus valores
correspondientes permanecen constantes.
Ejemplo Inductivo:
Cuatro automviles con MRU y rapideces de
100km/h; 200km/h; 600 km/h y 300km/h
recorren una misma distancia de 1200km.
Analicemos como varia el valor de la rapidez y
el valor del tiempo respectivamente.
Rapidez(k
m/h)
1
0
0
2
0
0
3 4
tiempo
(h)
1
26 2 4
(rapidez) IP (tiempo)
Se observa:
= = = = ..............
...... = (velocidad) (tiempo) = cte
Debemos tener en cuenta que al relacionar
dos magnitudes, las dems no deben variar; del
ejemplo anterior la distancia no vara, permanece
constante.
En general:
Para dos magnitudes A y B se cumple:
v)(Adevalor(BIPA
Del ejemplo inductivo; representando sus
valores grficamente:
Se observa que:
i) La grfica de dos magnitudes I.P; son puntos
que pertenecen a una rama de una hiprbole
equiltera.
ii) El cualquier punto de la grfica; el producto
de cada par de valores correspondientes
resulta una constante.
Aplicaciones:
3. Si las magnitudes A y 3 B son I.P. Calcule el
valor de B cuando A = 12; si cuando A = 33
entonces B = 64
4. Un grupo de obreros pueden terminar una obra en
15 das, pero debido a que 3 obreros abandonan eltrabajo, lo terminan en 24 das. Cuntos obreros
trabajaron.
* Propiedades1.- Para 2 magnitudes A y B se cumple:
A D.P. B A I.P.B
1
A I.P. B A D.P.B
1
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
10/31
Cel: 054-9561777 10Aritmtica Repaso - UNI 2006
2.- Si consideramos 3 magnitudes A, B y C
donde:
A D.P. B (C es constante)
A D.P. C (B es constante)
A D.P. (B
x C)
3.- Sean las magnitudes A; B; C; D y E:
Valor(
)(AdeValor(
E.P.IA
D.P.DA
C.P.IA
B.P.DA
Observacin: Cuando relacionamos los valores
de dos magnitudes, entonces los valores de las
otras magnitudes permanecen constantes.
Aplicaciones:
5. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple: A IP B (C es constante)
A DP C2 (B es constante)Si A aumenta en su tercera parte
disminuye en su mitad, que ocurre con la
magnitud B
6. El precio de un auto varia en forma D.P. a su
peso en toneladas e I.P. al nmero de aos de
uso. Si un auto que tiene 5 aos de uso pesa 3
toneladas y cuesta S/.15000. Cunto costar un
auto que pesa 5000kg y que tiene el doble de
aos de uso y que tiene el doble de aos de uso
que el anterior.
7. Halle la relacin de proporcionalidad para cada
conjunto de magnitudes.
A) Nmero de obreros; nmero de das,
trabajados, nmero de horas diarias de
trabajo, eficiencia de los obreros, cantidad
de obra realizada y dificultad de la obra.
B) Capital impuesto, tiempo de imposicin del
mismo y sus ganancia.
PROBLEMAS
1. Si un pintor cobra S/.40 por pintar una
pared de 2m. de alto y 5m. de largo. Cuanto
cobrar por pintar una pared de 1m. de alto y 1m
de largo.
2. Con 36 obreros de puede hacer una obra en
40 das. Con 20 obreros 4 veces ms rpidos que
los anteriores, En cuntos das hace la misma
obra?
3. Se tiene el siguiente cuadro de valores delas magnitudes A y B
A 3
3
7
5
1
9
2
n6
B 1 m 4 3 6
Determine la relacin entre A y B; adems
calcule m +n.
4. Luego de culminar la construccin de una obra;
el dueo desea repartir una bonificacin de
S/.1885 entre tres obreros y para ello considera
los siguientes datos:
N
o
m
b
r
e
N de
ladrillos
colocados
N de
ladrillos
rotos
O
s
c
a
r
1200 18
M
a
rt
n
1440 9
I
v
1050 12
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
11/31
Cel: 054-9561777 11Aritmtica Repaso - UNI 2006
a
n
Determine cunto recibe de ms Martn
con respecto de Ivan?
5. Se sabe que 2 magnitudes A y B son D.P.
para valores de B menores o iguales a 12;
adems A IP B para valores de B mayores o
iguales a 12 pero menores o iguales a 24.
Cuando B toma valores mayores o iguales a 24,
resulta que A DP B2. Calcule el valor de A.
Cuando B = 36; si cuando A = 12 entonces B =
4.
6. Se contrata una cuadrilla de 15 obreros
para realizar una obra en 30 das trabajando
10h/d. Despus de 8 das de trabajo se informa
que la obra debe ser entregada 12 das antes del
plazo fijado. Cuntos obreros ms se debe
contratar en ese momento para cumplir con lo
ltimo; si se increment en 1 hora ms el trabajo
diario?
7. 15 obreros pueden acabar un trabajo en 20
das trabajando 7h/d. Despus de trabajar 8 das,
7 obreros son dados de baja y no son
reemplazados sino al cabo de 5 das y a partir de
entonces trabajan 2 horas menos por da. Calcule
cuntos obreros se contrataron para acabar la
obra en el plazo fijado.
8. Una guarnicin de 600 soldados tienen
vveres para 50 das. Pasadas 6 das se retiran
cierto nmero de ellos. Luego de 15 das ms los
que se fueron reemplazados. Si los vveres
alcanzaron para 2 das ms. Cuntos soldados se
fueron.
9. Oscar dispuso que el da que falleciera se
entregar a 3 sobrinos suyos cierta cantidad de
dinero para repartirlo proporcionalmente a las
edades de cada uno de ellos. El da que falleci,las edades eran 24, 20 y 16 aos. El menor de
ellos renunci a su parte; siendo la diferencia de
lo recibido por los otros dos S/.75. Calcule la
cantidad de dinero que rechaz el menor.
10. Una rueda A de 30 dientes esta unida
mediante un eje con la rueda B y este a su vez
engendra con otra rueda C. Sabiendo que B
y C tienen respectivamente 28 y 42 dientes. Si
A da 360 vueltas en 1 minuto. Cuanto tiempo
empleara la rueda C en dar 8160 vueltas?
11. Se reparte 2500 proporcionalmente a tres
nmeros impares A, B y C que suman 25. Si lo
que teca a C menos lo de B es 3 veces la
diferencia entre lo de B y A. Calcule cuantole corresponde a B.
12. Tres socios, cuando ha sido disuelto su
sociedad han retirado su capital y su ganancia. El
primero S/. 39400, el segundo S/. 32320 y el
tercero S/. 13640. Sabiendo que la ganancia
ha sido S/. 10670. Calcule el capital que
no es mayor ni menor.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Se ha repartido la cantidad de 119700 D.P.
a 21 nmeros consecutivos, si la diferencia entre
la mayor y la menor parte es S/. 5700. Calcule
la parte central.
Rpta: 20
2. El salario de un obrero de D.P a sus aos
de servicio e I.P. al cuadrado de su coeficiente
intelectual. Si Juan que trabaja hace 8 aos y
tiene un coeficiente intelectual de 100 gana
S/.400. Cual es el coeficiente intelectual de
Carlos que trabaja hace 20 aos y gana S/.640?
Rpta: 125
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
12/31
Cel: 054-9561777 12Aritmtica Repaso - UNI 2006
3. Tres amigos compraron un billete de lotera
de S/. 100, a un canillita. El primero contribuy
con S/. 34; el segundo con S/. 50 y el tercero con
el resto. El billete sali premiado con S/.
500000 y dieron al canillita los 3/25 del premio.
Cuando le corresponde al primero de los amigos.
Rpta: 149600
4. Dos personas forman una empresa
aportando el primero S/. 3000 y el segundo
S/.1800. Despus de 3 meses aceptan a un tercer
socio que aporta un capital de S/.4000, 5 meses
despus se retira la primera persona. Cunto
gan el primer socio, si la utilidad total es de
S/.3400 y la empresa dur 1 ao?
Rpta: S/ 1000
5. Se reparte una cantidad proporcionalmente
a : 1, 2 y 3 pero luego se decide hacerlo
proporcionalmente a 2; 3 y 4.
Rpta: S/.1360
6. Un buey atado a un poste mediante una
cuerda de 6 metros de largo puede comer el
pasto que le rodea en 9 das, si la cuerda fuera 2
metros ms de largo. En cuantos das comer el
pasto que le rodea?
Rpta: 16 das
7. 10 peones se demoran 15 das de 7h/d de
trabajo en sembrar 50m2. Cuntos das de 8h/d
de trabajo se demorarn en sembrar 80m2; 15
peones doblemente giles?
Rpta: 7 das
8. Una familia de 8 miembros tienen vveres
para 30 das; luego de n recibieron la visita de
una familia de 4 miembros, terminando as los
vveres 8 das antes de lo establecido. Halle n.
Rpta: 6
Es parte de la Aritmtica que se encarga del estudio delos nmero y de su correcta formacin y
representacin.
NUMERACIN
NUMERO
Es un ente matemtico que nos da la idea de cantidad
NUMERAL
Es la representacin mediante smbolos figuras del
nmero.
Ejemplo: , V, , 5
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIN
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
13/31
Cel: 054-9561777 13Aritmtica Repaso - UNI 2006
Es el conjunto de reglas y principios que nos permite
formar y representar correctamente a los nmeros;usando convencionalmente para ellos smbolos
denominados cifras o dgitos.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
I. DEL ORDEN
Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa
un orden y lugar determinado.
Ejemplo.
Dado el numeral 56798
4 3 2 1 0 Ordenes
5 6 7 9 8
Lugares 1 2 3 4 5
Aplicaciones
1. Cuntas cifras tiene un nmero si la cifrade tercer orden ocupa el quinto lugar?
2. Cuntas cifras tiene como mnimo unnumeral si la cifra de orden 3n ocupa ellugar n/3 y la cifra de orden 5k ocupa
el lugar 5k?. Si se sabe adems que: n
k = 8
II. DE LA BASE
La base de un sistema de numeracin es un
nmero entero mayor que la unidad; el cualindica la cantidad de unidades de un orden
cualquiera necesarios para formar una unidad delorden inmediato superior.
Ejemplo:
Representar diecisis unidades en los sistemasde base 10, 12, 8 y 4
Conclusiones:
1. Las cifras que forman parte de un numeral
son nmeros enteros no negativos menoresque la base; por lo que si un numeral est
expresado en base n; las cifras que seforman pueden ser:
)1n(.......;;3;2;1;0
cifras"n"
Luego, se puede afirmar que:
en el sistema de base n con n cifras
distintas se pueden representar a todos losnmeros
Nota:Las cifras significativas son aquellas
mayores que cero.
2. En una igualdad de numerales:
El mayor numeral aparente est
representado en la menor base y el menornumeral aparente est representado en la
mayor base.
Ejemplo:
)y()x( 138243 =
Como: 243 > 139
Entonces: x < y
.
Aplicaciones
3. Corregir los siguientes numerales:
A) )3(541
B) )7(9)1(23 C) )4(42)2(6
4. Si:
6n 103124 =
Calcule: n
5. Calcule el mnimo valor de n en:
n(AEARITMETICELCIRCULOD
Si cada letra diferente representa cifra
diferente
ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIN
Base Nombre elsistema
Cifras que se
utilizan
2 Binario 0,1
3 Ternario 0,1,2
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
14/31
Cel: 054-9561777 14Aritmtica Repaso - UNI 2006
4 Cuaternario 0,1,2,3
5 Quinario 0,1,2,3,4
6 Senario 0,1,2,3,4,5
7 Heptanario 0,1,2,3,4,5,68 Octanario 0,1,2,3,4,5,6,7
9 Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,8
10 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
11 Undecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10)
12 Duodecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10), (11)
Observacin:
Si la base es mayor que 10:
Cifra 10 < > (10) < > A < >
Cifra 11 < > (11) < > B < >
Cifra 12 < > (12) < > C < >
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ejemplo:
* )13()13( 4)12(22124 *
1()13()13( 424C24)12(2 ==
III. DEL VALOR DE LA CIFRA
Toda cifra que forma parte de un numeral tiene
dos clases de valores:
A) Valor Absoluto(V.A.).- Es el valor de lacifra segn la figura o smbolo que
representa.
B) Valor relativo(V.R). Es el valor de la cifrasegn el orden que ocupa en el numeral.
Ejemplo:
Dado N = 3215
VA(3) = 3
VA(2) = 2
VA(1) = 1
VA(5) = 5
N = 3 2 1 5
VR(5) = 5
VR(1) = 1x 101
VR(2) = 2x102
VR(3) = 3x103
Observacin
N = 3215 = VR(3) + VR(2) + VR(1) + 5
Representacin Literal de un nmero
Cuando no se conoce el valor de las cifras de unnumeral, dichas cifras se representan mediante
letras minsculas considerando que:
1. Letras diferentes no necesariamente
representan cifras diferentes; excepto si lo
indican.
2. Toda expresin entre parntesis
representan una cifra.
3. La primera cifra es diferente de cero
4. Si por lo menos una cifra es desconocida
en el numeral; se debe colocar una raya
encima del numeral.
Ejemplos.
Un numeral de 2 cifras en base 10:
ab {10; 11; 12; .....; 98; 99}
Un numeral de 3 cifras en base 7:
{7777
6......;;12;11;10ab
Un numeral de 3 cifras en base 5:
......;101;101;100{mnp5555
Aplicacin
6. Si el siguiente numeral est correctamenteescrito Cules son los valores que pueden
asumir a, b y c?
c)3c(3
b)3a()a2(
+
NUMERALES CAPICAS
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
15/31
Cel: 054-9561777 15Aritmtica Repaso - UNI 2006
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son
iguales.
Ejemplos:
* }99.....;;33;22;11{aa
*
}999....;;121;111;101{ana
*
....;;1221;1111;1001{abba
Aplicacin
7. Si:
a)(3b)(1c)(2b)(3a( ++, es un numeral capica. Calcule: a + b + c
DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UNNUMERAL
Descomponer polinmicamente un numeral es
expresarlo como la suma de los valores relativos desus cifras.
Ejemplos:*
VR)b(VR)a(VRabcd)n(
++=
* Si: dcnbnaabcd23
)n(+++=
* 56.36.22352
)6(++=
* 6n4n.220400635
)n(++=
Aplicacin:
8. Calcule: a + m + n + p
Si
mn)1a)(3a(1p )a(2
=
9. Expresar:.98.38.12N 3 +=
En base 8 y dar como respuesta la suma de
sus cifras.
DESCOMPOSICIN POR BLOQUES
Ejemplos:
*
3710.373737003737 2 +=+=
*
10.134134134000134134 3=+=
*
2)7()7()7()7( 7.434343004343 +=+=
*
)6()6()6()6( 6.132132132000132132 =+=
* )n(2
)n()n( den.abcabcde +=
* )n(3
)n()n( cden.ababcde +=
Aplicacin
10. Si: 407abab )n( =
Calcule: a + b + n
CAMBIOS DE BASE
I. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10
Se aplica Descomposicin Polinmica.
Ejercicio: exprese
* 81347 en base 10
* 12)10(34 en base 10
II. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10Se aplica divisiones sucesivas.
Ejercicio: exprese
* 183 en base 5
* 3942 en base 11
Aplicaciones:
11. Calcule: a + b + n
Si: )n()7( b105an5 =
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
16/31
Cel: 054-9561777 16Aritmtica Repaso - UNI 2006
12. Calcule: a + m + n + p + q
Si:
)8( mnpq)1a(a)6a( =
CASOS ESPECIALES
1) Numeral de cifras mximas
* 1109 1= *
176 17 =
* 11099 2 = *
1766 27 =* 110999 3 =
* 17666 37 =
Luego:
n(....)1n()1n()1n(
cifras"k"
2) * dnd1 n +=*
cdnc1nd1
++=
*bcdn
nd1
c1b1 ++=
*bcdn
nd1
c1b1
a1 ++=
Luego: ......an
nx1...d1
c1b1
a1
Tambin:a.kn
na1...a1
a1a1
=
CUATRO OPERACIONES
En el conjunto de los nmeros naturales
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .....}
ADICIN
Dados dos nmeros naturales cuales quiera llamados
sumandos, se obtiene un tercer nmero llamado suma
o suma total.
a + b = S
Donde:
a y b Sumandos
S Suma total
Ejemplo:
Halle la suma de 8475 y 8245 .
2 1 0 Orden4 7 58 +
2 4 58
7 4 28
* En el orden 0 * En el orden 1
8121055 ==+ 7 + 4 + 1
= 12 = 148
* En el orden 2
4 + 2 + 1 =7
Aplicaciones
13. Halle: a + b +c
Si:
.........m3mm2mm1m +++
14. Si se sabe que: x + y + z = 8
Calcule:
555 zxyyzxxyzM ++=
SUSTRACCIN
Operacin inversa a la adicin que dados dos nmerosnaturales llamados minuendo y sustraendo, se obtiene
un tercer nmero llamado diferencia, de modo que alsumar el sustraendo y la diferencia se obtiene el
minuendo.
M S = DS + D = M
Donde:
Humanizando al hombre con la educacin
k veces
7/28/2019 Manual de Aritmetica
17/31
7/28/2019 Manual de Aritmetica
18/31
Cel: 054-9561777 18Aritmtica Repaso - UNI 2006
Pa.....aaan.a
veces"n"
=+++=
Donde:
aMultiplicando
n Multiplicador
p Producto o Producto Total
Observacin:
a y b se llaman tambin factores
Ejemplo: Halle el producto de multiplicar 726 y 36.
2 1 0 OrdenMultiplicando 7 2 6 xMultiplicador 3 5ProductosParciales
3 6 3 0
2 1 7 8
Producto Total 2 5 4 1 0
Aplicaciones
20. Si: 4987.....53xabcd =Calcule: a + b + c + d
21. Al multiplica mnp por 243, se tieneque la suma de productos parciales es
6705. Calcule: m . n . p
DIVISIN
Es la operacin matemtica inversa a lamultiplicacin.
D d Donde:
r q D Dividendo
d Divisor
q cociente
r Residuo
Adems: D = dq + r
CLASES DE DIVISIN
1) Divisin Exacta (residuo = 0)
Ejemplo:
24 8 D d
0 3 0 q
24 = 8(3) D = dq
2) Divisin Inexacta (residuo 0)
2.1. Por defecto
Ejemplo:
77 12 D d
5 6 rd q
77 = 12(6) + 5 D = dq + rd
2.2. Por exceso
Ejemplo:
77 12 D d
7 7 re (q+1)
77 = 12(7) 7 D = d(q+1) re
Propiedades de la Divisin Inexacta
1) 0 < r < d
2) rmn = 1
rmx = d 1
3) rd + re = d
Aplicaciones
22. Si: N x 41 = 5555
Calcule la suma de cifras de N; si es
lo menor posible
23. Halle un nmero que al dividirse entre62 genera un cociente igual al residuo
por defecto; siendo ste igual al residuopor exceso
24.
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
19/31
Cel: 054-9561777 19Aritmtica Repaso - UNI 2006
PREGUNTAS
1. Si: )c()5( babdabcd =
Adems todas las cifras son significativas y aletra diferente le corresponde cifra diferente.
Calcule:
a.b + c.d
Rpta.: ...................................................................
.
2. Si:)9(
)n(a1c)1a(72ab =
Calcule: a + b + c; si c es una cifra
significativa menor que 4.
Rpta.: ...................................................................
.
3. Al expresar el menor numeral de 4 cifras de labase n-1 en la base n+1; resulta un numeral
cuya suma de cifras es n+19. Calcule n.
Rpta.: ...................................................................
.
4. Se desea repartir S/.25324 entre cierto nmerode personas de tal modo que les correspondan:
S/.1; S/.5; S/.25; S/.125; ..........
Y que no ms de 4 personas reciban la misma
suma. Determine cuantos fueron los
beneficiados.
Rpta.: ...................................................................
.
5. En cuantos sistemas de numeracin se escribecon cifras mximas el mayor numeral de 8
cifras de la base 8.
Rpta.: ....................................................................
6. Si:4xy
n16...13
1211
aa
Adems n es mnimo. Calcule: a + n + x + y
Rpta.: ...................................................................
.
7. Si:
)n()2a(a
)1a(aaa
a)1a(a
+
+
+
Calcule: a.x.y
Rpta.: ...................................................................
.
8. Halle el C.A. de la suma de los C.A. de losnmeros capicas de 3 cifras cuya cifra de lugar
par es 7.
Rpta.: ...................................................................
.
9. Un billete de lotera consta de 6 cifras y escapica. Si a la primera cifra se le multiplica por
11; se le aade la segunda cifra; luego todo se
multiplica por 11 y finalmente aadimos la
tercer cifra; obtenindose 985. Calcule la suma
de cifras del nmero del billete de lotera.
Rpta.: ...................................................................
.
10. Sabiendo que:
1656p649n583m =++ .
Calcule en cuantos sistemas de numeracin
mnp se representa con cuatro cifras.
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
20/31
Cel: 054-9561777 20Aritmtica Repaso - UNI 2006
Rpta.: ...................................................................
.
11. Si el C.A. de y7x es igual al producto de suscifras de mayor y menor orden.
Calcule: CA )yxxy( +
Rpta.: ...................................................................
.
12. Al realizar una sustraccin el minuendo es
b2a y la diferencia result 411. Si hubo un
error y el verdadero minuendo era a2b y la
verdadera diferencia 213. Calcule el sustraendo
si el minuendo tiene como suma de cifras 14.
Rpta.: ...................................................................
.
13. Si:
* 6)2b(72aN28 +=
* 6b72)2a(N43 +=
Adems: mnpqN=
Calcule:
mqmp
mnmmE
=
Rpta.: ...................................................................
.
14. Calcule: qpnm +++
Si:
74531131
7666x
)7(mnpq
=
Rpta.: ...................................................................
.
15. Cuntos numerales de 4 cifras que comienzany terminan en 5 existen tales que al dividirlos
entre 17 se obtiene residuo mximo?
Rpta.: ...................................................................
.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si:
)8(0a
2
a
2
a
)n3(bc)a2(a
=
Calcule: a + b + c + n
Rpta. 10
2. Un numeral de 3 cifras iguales en el sistemanonario se expresa en base cinco; observndose
que la cifra que ocupa el menor orden no es
significativa. Halle la suma de cifras del
numeral de la base 5.
Rpta.: 7
3. Como se expresa en base 3n el mayornumeral de 2 cifras en base 4n que es igual al
mayor numeral de 3 cifras en base 2n
Rpta.: 143
4. Si
1n(1n)4n)(1n)(1n)(1n( =
Calcule: n
Humanizando al hombre con la educacin
49 veces
7/28/2019 Manual de Aritmetica
21/31
Cel: 054-9561777 21Aritmtica Repaso - UNI 2006
Rpta.: 4
5. Cuantos valores puede tomar el dividendo enuna divisin inexacta; si el divisor es 18 y el
residuo por defecto es 2 veces ms el valor del
cociente por exceso
Rpta.: 4
TEORA DE LA DIVISIBILIDAD
Es parte de la teora de los nmeros que se encargadel Estudio de las condiciones que debe cumplir unnmero para ser dividido exactamente por otro entero
positivo llamado mdulo, y de las aplicaciones que segeneran.
DIVISIBILIDAD:Un nmero entero es divisible por otro entero
positivo (mdulo) si al dividir el primero entre elsegundo, la divisin entera es exacta.
Ejemplo1:57 19 entonces
0 3
57 es divisible por 1919 es divisor de 57
Ejemplo2:-51 17 entonces
0 -3
-51 es divisible por 1717 es divisor de 51
En general: Sean los nmeros: A , B +yK si:
A B0 K
Entonces:A es divisible por BB es divisor de A
MULTIPLICIDAD:Un nmero entero es mltiplo de otro entero positivo(mdulo) si podemos obtener dicho entero almultiplicar el mdulo por cualquier otro entero.Ejemplo:
57 es mltiplo de 19, pues 57 = 19 x 3-38 es mltiplo de 19, pues 38 = 19 x (
2)0 es mltiplo de 19, pues 0 = 19 x 0
En general: Sean los nmeros enteros A y B (enteropositivo).
Si: A = BK A es mltiplo de B
Se denota: A = oB ; A = mB;
Se lee: A es mltiplo de B; B es factor de AObservaciones:* Al dividir todo entero entre la unidad la divisin
resulta exacta, la unidad es divisor de todo entero.
* Se considera al cero como el mltiplo universalpor ser mltiplo de cualquier mdulo, es decir:
Si N+ 0 = N x 0
* El conjunto de los mltiplos de un mdulo esinfinito.
Ejemplo:A = {Los mltiplos de 5}A = {5K/K} = {... (3)5; -2(5); -5; o; 5; 2x5;
}
* Todo nmero entero positivo es mltiplo y divisorde s mismo. Sea N+
N N N = N x 10 1
* Desde que:35 7 35 = 7 (5)0 5
35 es divisible entre 7 35 es mltiplo de 7.Los trminos de divisibilidad y multiplicidad sonequivalentes.
Aplicacin 1: (Examen UNMSM 1992 Preg. 54)cuntos nmeros mltiplos de 5 existen de modo quesus cudruplos sean mayores que 80 y menores que180?
Aplicacin 2: Cuantos nmeros de 3 cifras son:i) mltiplos de 3ii) mltiplos de 7iii) mltiplos de 3 pero no de 7
iv) mltiplos de 3 o 7 pero no de ambos
ESTUDIO DE LOS NO MLTIPLOSSi al dividir un nmero entre otro entero positivo. Ladivisin entera no resulta exacta dicho nmero podrexpresarse segn :Ejemplo: POR DEFECTO POR EXCESO
37 5 37 52 7 3 8
37 = 5 . 7 + 2 37 = 5 . 8 3
37 =o5 + 2 37 =
o5 - 3
Donde: 2 + 3 = 5
Luego si:A B A B
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
22/31
Cel: 054-9561777 22Aritmtica Repaso - UNI 2006
rd q re qe
A =oB + rd A =
oB
+ re
donde, rd + re = BEjemplos:
2757Aoo=+=
+==oo11311abc 8
4
ooab19719mnp =+=
a + b = .......
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
I. De las operaciones entre mdulos
* Si un nmero divide a un conjunto denmeros, divide tambin a su suma.
Ejemplos:
o
11
11x4
44
+
Luego:oooonSSn..........nn ==++
* Si un nmero divide a otros 2; divide a sudiferencia.
o7
7x5
53
Luego:ooonDDnn ==
* Ejemplo:
39(5) = 195 = 3(65)
o3
o3
* Ejemplo:
123= 12 x 12 x 12 =o6
3
o
6
=
o6
Luego: Dado n, K+ si A=on AK =
on
Nota: Dado: A =on
B = on
B
A: no siempre resulta en
on
II. Si un nmero A es mltiplo de otro nmeroentero positivo B; A ser mltiplo de tododivisor de B.
Ejemplo:o
1A = A = 18 x 1 = 9 x 2 = 6 x 3 = 3 x 6 = 2x9
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
23/31
Cel: 054-9561777 23Aritmtica Repaso - UNI 2006
A =oooooo18,9,9,6,3;2
Aplicacin: Que divisores tendr el numeral :abca independientemente de los valores
de a, b y c.
III. Si un entero es mltiplo de comn de variosnmeros, entonces ser mltiplo del menorentero que contiene a dichos mdulos:
Aplicacin: (Ex UNMSM 96) Un nmero queal ser dividido por 5, 6 y 7 da por residuos losnmeros 3, 4 y 0, respectivamente, encuentredicho nmero sabiendo que el doble de la sumade sus cocientes es igual al nmero disminuidoen 2.
Aplicacin: En una reunin deportiva, en ciertoinstante el nmero de personas se encontrabaentre 1500 y 2000. Se sabe que 2/7 de elloshabra llevado polo blanco, 3/8 utilizaban lentes,5/9 eran mujeres, Cuntos varones eran en eseinstante?
Nota: Se cumple.
r)c,b,a(MCMN
rc
rb
ra
N o
o
o
o
=
=
Aplicacin: Un judo cuenta sus monedasagrupndolos de 7 en 7 pero le sobra 6, de 8 en8 y sobran 7; de 9 en 9 y sobran 8. Cuntas
tena el Judo si dicha cantidad oscila entre 5200y 600?
PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
Si A x B =on y A no posee factores comunes con n
salvo la unidad entonces:
B =on
Ejemplos:
5A =o
3 A =
o
3As mismo se puede aplicar en:
4B =o7 + 1
6C =o9 + 3
3N + 7 = o1
APLICACION AL BINOMIO DE NEWTON DELA TEORA DE LA DIVISIBILIDAD
Ejemplo: 2o
2o
25)25( +=+
2o
2o
35)35( +=
3o
3o
25)25( +=+
3o
3o
35)35( +=
Luego: Dado: {n, a, K } +
1er Caso:
Ko
Ko
an)an( +=+
2do Caso:
paresKsi,an Ko
+
Ko
an
imparesKsi,an Ko
Aplicacin: calcular el resto de dividir:200CIRCULO62 entre 9
Observaciones:
1. abcncnbnanoooo+=
+
+
+
Ejemplo: * 673727oo
+=
+
+
*
811111411211oooo
+=
+
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
24/31
Cel: 054-9561777 24Aritmtica Repaso - UNI 2006
2.
( )
( ) ( )
n
o
3.n
3
n
o
2.nn
o
.n
bcdnbcdna
cdncdnababcd
dndnabc
+=+
+=+
+=+
2
Ejemplo:
*
5
o
5
o
5
o
321251
212524321A
15
+
+=
+
Aplicacin: En que cifra termina 3728 al expresarloen base 7
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Sea el numeral N = abcdef
Mdulo Criterio
2 N =o2 + f
22 N =o4 + ef
23 def8No+=
5 f5No
+=
52 ,25,00(:ef25No+=
53 def125No+=
9 edcba9No
+++++=
3 edcba3No
+++++=
7 d2e3f17No
+++=
13 d4e3f113No
+=
11 cdef11No
++=
Observacin:Como:
( ) 13x11x7xabc1001abcabcabc ==
=o
o
o
13
11
7
abcabc
EJERCICIOcalcule..............356356N
ifrasc452
=
El resto de dividirlo entre 13.
PROBLEMAS
1. En el sistema de base 5 las 2 ltimas cifras de
657143 son ab. Calcule el resto de dividir a
dicho nmero entre a x b.
Rpta.: ...................................................................
.
2. Al convertir N al sistema de base 8. Cul es lacifra de las unidades sabiendo que:
N = 52n + 94n + 136n + .............. 24131206n n+
Rpta.: ...................................................................
.
3. Calcule el resto de dividir:1x16 + 2x162+3x163 + ........... 100x16100 entre 7
Rpta.: ....................................................................
4. Si al dividir 03ab5a entre 7, la divisin es
exacta y c3aca es un mltiplo de 11.Calcule a+b
Rpta.: ...................................................................
.
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
25/31
Cel: 054-9561777 25Aritmtica Repaso - UNI 2006
5. Si 129abab y 12bbba9 se divide
entre 11 y 13 respectivamente se obtienen los
residuos mnimo y mximo respectivamente.Calcule el residuo de dividir
)ab2()ba(ba)ba( + entre 9.
Rpta.: ....................................................................
6. Si al dividir c1b1a entre 7 se obtuvo 3 de
residuo. Calcular el residuo obtenido al dividir
62c5b3a entre 7.
Rpta.: ....................................................................
7. Sabiendo que.o13mcdu=
)2mc(3du +=
Calcular los valores que puede tener N =
mcd
Rpta.: ...................................................................
.
8. Cuntos nmeros de la siguiente secuencia:72x40; 72x41; 72x42 ...... 72 x 300
Dan como resto 5 al ser divididos entre 13
Rpta.: ...................................................................
.
9. Si el numeral c726b53a es divisiblepor 8, adems al ser dividirlo entre 11 y 9 los
residuos obtenidos por exceso son 1 y 7
respectivamente. Calcular a + b + c
Rpta.: ...................................................................
.
10. Calcule la suma de cifras de un numeralcomprendido entre 70000 y 80000 que sea igual
a 45 veces el producto de sus cifras.
Rpta.: ...................................................................
.
11. Si se cumple que el numeral
( ) 174....444o
ab
cifras61
+=
Calcular cuantos valores puede tomarab.
Rpta.: ...................................................................
.
12. Una persona en cierta empresa trabaja 8 dasseguidos y descansa el noveno. Si en un
determinado ao el 1er de Enero fue domingo y
la persona empieza a trabajar el lunes 2 deenero, se desea saber cuantos das descans el
domingo durante ese ao.
Rpta.: ...................................................................
.
13. Un vendedor compra la misma cantidad dejuguetes cada semana, la compra por docenas y
recibe 1 de regalo por cada docena, los vende
por medias docenas obsequiando 1 por cadaventa. Cierta semana el vendedor empaqueta los
juguetes para la venta de 8 en 8, sobrando 3.
De cuntas maneras pudo comprar
semanalmente los juguetes, si la cantidad de
juguetes que recibe semanalmente est
comprendida entre 1500 y 7300?
Rpta.: ...................................................................
.
RADICACIN - POTENCIACIN
1. a. Cuntos nmeros de 3 cifras cumplen que
al sumarle su quinceaba parte se obtiene
un cuadrado perfecto?
Rpta:..........................................................
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
26/31
Cel: 054-9561777 26Aritmtica Repaso - UNI 2006
b. Cuntos divisores tiene a + b si
6abb11 tiene 9 divisores?
Rpta:..........................................................
c. Se sabe que el numeral de la forma
( )( )( ) ( )a2a1a21a2a2 esun cuadrado perfecto. Halle la raz
cuadrada.
Rpta:..........................................................
2. Sabiendo que el nmero 2abcde es uncuadrado perfecto divisible por 42. Cuntos
nmeros de esa forma existen?
Rpta:..........................................................
3. Cuntos nmeros que terminan en 7
comprendidos entre 360 y 45370 cumplen que
al extraer su raz cuadrada se obtienen residuos
mximos?
Rpta:..........................................................
4. Un nmero de 4 cifras en la base 7, al extraerle
la raz cuadrada y cbica se obtienen residuos
mximos. Hallar dicho nmero en la base 3.
Rpta:..........................................................
5. Determinar un nmero par de 4 cifras, cuyaasuma de cifras es 25. Indicar la cantidad de
divisores de dicho nmero sabiendo que es
impar.
Rpta:..........................................................
6. Se desea formar parcelar cuadradas de 50m delado en un terreno cuadrado. Si el terreno
tuviera 150 metros menos por cada lado se
utilizaran 231 parcelas menos. Determinar elrea del terreno.
Rpta:..........................................................
7. Al extraer la raz cuadrada de un nmero, seobtuvo 30 de residuo, pero si se le suma 294
unidades su raz aumenta en 4 y su residuo sehace mximo. Calcular la raz del nmero.
Rpta:..........................................................
8. Calcule a + b, si aab es un cuadrado
perfecto.
Rpta:..........................................................
9. Al extraer la raz cbica a 2ab405 se
obtuvo como residuo ( )b1aa + , calcular a+ b
Rpta:..........................................................
10. Calcular cuntos trminos de la siguiente
sucesin:
12.15, 12.16, 12.17, .... 12.1500son cuadrados perfectos.
Rpta:..........................................................
11. Al extraer la raz cuadrada de un nmero, seobtuvo 77 de residuo, pero si se le suma 162
unidades su raz aumenta en 7 y su residuo se
hace mximo. Calcular la raz del nmero.
Rpta:..........................................................
12. Al extraer la raz cbica de ab se obtieneK de raz y 37 de residuo. Al extraer la raz
cbica de cb . Se obtiene (K + 1) de raz y45 de residuo. Hallar a + b + c.
Rpta:..........................................................
13. Si: 62mnpabc =+ , ab ymn tienen una cantidad impar de divisores.
Hallar : 0mnpabc >
Rpta:..........................................................
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
27/31
Cel: 054-9561777 27Aritmtica Repaso - UNI 2006
14. Si el numeral de la forma a0ab esmltiplo de un nmero primo absoluto
comprendido entre 30 y 50, tal que la suma de
sus cifras es 7. Calcular el valor del residuo pordefecto al extraer la raz cuadrada de aba ,si a es par.
Rpta:..........................................................
15. Cuntos numerales de 4 cifras cuadradas
perfectos son 27o+ ?
Rpta:..........................................................
16. Diga si es V o F las siguientes afirmaciones:- Un nmero que tiene 2n divisores puede ser
cuadrado perfecto (n 0; n N)- La raz cuadrada del producto de dos
nmeros que difieren en 2 unidades, es el
menor de ellas.
- La suma de los residuos por exceso y por
defecto de una raz cuadrada es igual a la raz
por defecto.- Un cubo perfecto no puede terminar en 75.
- El M.C.M. de tres nmeros consecutivos
puede ser igual al producto de dichos
nmeros.
Rpta:..........................................................
17. En una raz cuadrada inexacta, al residuo porexceso le falta 19 unidades para ser igual al
residuo por defecto y a ste le falta 20 unidadespara ser mximo. Hallar el radicando.
Rpta:..........................................................
18. Al extraer la raz cuadrada a un nmero seobtuvo un residuo menor en 34 unidades al
mximo posible. Si se le resta 78 unidades a
dicho nmero se tendra como raz cuadrada 2
unidades menos que la anterior y un residuo
mximo.
Rpta:..........................................................
19. Hallar el menor nmero sabiendo que la sumade los residuos que se obtiene al extraer la raz
cbica es igual a 397.
Rpta:..........................................................
20. Hallar la suma de las cifras del residuo de la razcuadrada de 5ab4 , sabiendo que esmximo dicho residuo. (a y b son cifras
significativas)
Rpta:..........................................................
21. Cul es el menor nmero que al sumarle su
quinta parte, su tercera parte y su cincosptimos del resto, se obtiene un cuadrado
perfecto par de 4 cifras?
Rpta:..........................................................
22. Calcule el menor nmero impar que deje comoresiduo al menor mltiplo de 7 que tiene 8
divisores tanto al extraer su raz cuadrada como
cbica. De cmo respuesta la cifra de menor
orden.
Rpta:..........................................................
23. Dado un nmero de 4 cifras, significativasconsecutivas y crecientes. Halle la suma de sus
cifras, si despus de permutar las dos primeras
cifras resulta un cuadrado perfecto.
Rpta:
MCM Y MCD
1. Halle la cantidad de divisores que posee
MCM [ ])1b(a,)1a(b + , si:MCD
[ ] a)6b2(b,)3b2(b,)b2(b =++
Rpta: ...............................................................
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
28/31
Cel: 054-9561777 28Aritmtica Repaso - UNI 2006
2. Si MCM(N,B) = MCM(N,11B), halle
MCM (N,N+59) , si es el menor3 .
Rpta: ...............................................................
3. Si A y B son P.E.SI y:
MCD[2(A2B2),2A]=3
14
adems: MCM [A, (A-B)] =6.
Calcule AxB.
Rpta: ...............................................................
4. Si MCD 32
5n,
3
2n5 =
+
;
calcule cuntos nmeros existen tal que su
MCM es n+1, sabiendo que n es el menor
entero positivo.
Rpta: ...............................................................
5. Si:
( ) 135mnmn,4aboabMCD = ,y
( ) 4)5mnmn,4aboabMCMCalcule: a + b + m + n
Rpta: ...............................................................
6. Calcule la suma de cifras de N, tal que
al dividir 3999;5585 y 6378 entre N dejan el
mismo residuo r.
Rpta: ...............................................................
7. El:
MCM(A,B,C)=1182, el MCD(A,B)=197,
MCD(B,C)=591 y el MCD(A,C)=394. Calcule
A+B+C.
Rpta: ...............................................................
8. Calcule el menor entero que es el MCM
de un total de 4O nmeros no pares, entre loscuales hay mltiplos de 125 pero no de 625.
Rpta: ...............................................................
9. El MCD de 3600 y un nmero es 144 si el
MCM de ellos est comprendido entre 50000 y
60000, calcule la suma de todos los valores que
puede tomar el nmero desconocido.
Rpta: ...............................................................
10. La suma de dos nmeros enteros positivos
es 5760 y tienen 21 divisores comunes.
Cuntas parejas de nmeros cumplen dicha
condicin?
Rpta: ...............................................................
11. El MCD de dos nmeros es 5 y la suma desus cuadrados es 90325, si su diferencia es
menor que 5, halle su MCM.
Rpta: ...............................................................
12. Halle en que cifra termina el MCM de los
nmeros 7862-1 y 7293-1.
Rpta: ...............................................................
13. Si el MCM de
)3c)(2b)(1a(yabc +++ es
1148, calcule el valor de a+b+c.
Rpta: ...............................................................
14. El MCD de un nmero de 2 cifras y el que
resulta de invertir el orden de sus cifras es la
suma de las cifras. Cuntos nmeros cumplen
con esa condicin?.
Rpta: ...............................................................
15. Dos nmeros A y B tienen 16 mltiplos
comunes menores que 10000. si el MCM de A
y B tiene 18 divisores y es divisible entre 34.
Calcule A+B, si se sabe que A y B tienen 9
divisores comunes.
Rpta: ...............................................................
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
29/31
Cel: 054-9561777 29Aritmtica Repaso - UNI 2006
16. Tres ciclistas A, B y C parten de un
mismo punto de una pista circular de 360m de
circunferencia con velocidades de 60,45 y
40m/s, terminan cuando los tres llegan al mismo
tiempo al punto de partida cuntas veces A
alcanz a C en el transcurso de la carrera?.
Rpta: ...............................................................
17. Al calcular el MCD de cbayabc
(a>c) si obtuvo como cocientes sucesivos b, c y
)C2(b . Calcule a+b+c, si la suma de los
residuos sucesivos es )1C2(bx3 + .
Rpta: ...............................................................
18. Para que un objeto que pesa ms de 2Kg
complete los 10Kg se puede utilizar un nmero
exacto de pesitas de 40 , 50, 60 y
70 gramos. Cul es el peso exacto del objeto?
Rpta: ...............................................................
19. La distancia entre 2 lneas de una vereda
es 1,2m. Si se empieza a caminar pisando una
raya con una velocidad de 3m/s y 0,75m de
longitud de cada paso, cunto tiempo estuvo
caminando.
Rpta: ...............................................................
20. Un comerciante desea distribuir 120 litros
de aceite Capri, 150 de Primor y 180 litros de
Sao entre sus clientes. Cul es el nmero de
litros que le corresponde a cada cliente para que
no sobre aceite y cul es el nmero de clientes?
Rpta: ...............................................................
21. Un terreno en forma rectangular de 952m
de largo y 544 de ancho se le quiere cercar con
un alambre sujeto a postes equidistantes de
modo que disten entre 30 y 40m. Adems debe
haber un poste en cada vrtice y otros en los
puntos medios de los lados del rectngulo.
Cuntos postes se necesitaran?.
Rpta: ...............................................................
22. Determine el menor nmero entero que es
de MCM de 27 nmeros enteros diferentes, que
no sean mltiplos de tres y tengan raz cuadrada
exacta.
Rpta: ...............................................................
FRACCIONES
1. Determine una fraccin equivalente a11/18 sabiendo que si el trmino menor le
sumamos 66; para que el valor de la fraccin nose altere, entonces el otro trmino debe
triplicarse.
2. Cuntas fracciones irreductibles existen dela siguiente forma:
132ab
abf+
=
3. Cuntas fracciones equivalentes a1510
cumplen que la suma de sus trminos es menor
que 500 y el producto de sus trminos es
divisible por 49 y la diferencia de los mismos es
divisible por 5.
4. Calcule: a+b+c+d
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
30/31
Cel: 054-9561777 30Aritmtica Repaso - UNI 2006
Si:)1a(60a
dbacf+
= ; es equivalente a:
4339
5. Halle las fracciones irreductibles
dcy
ba
cuya suma es 6 y la suma de sus
numeradores es el menor nmero5 que tiene
8 divisores. D cmo respuesta la suma devalores de c, sabiendo que la fraccin
"b
c" es propia.
6. Olga tiene m soles y jugando en eltragamonedas pierde los 3/5 de lo que no pierde,
si luego juega en el bingo y pierde la mitad de
lo que le quedaba; despus juega en el Royal
y recupera la quinta parte de lo que le quedaba;
observando que si gana S/. 40 ms recuperar
todo lo perdido. Halle el valor de m.
7. Un estanque se puede llenar por los caosA, B y C. El cao A puede llenarlo en 4
horas, B en 6 horas y C en 8 horas. Si
estando vaco se abre el primer cao y luego de
120 minutos se abren tambin los otros dos
durante 1 hora, se observa que se rebalsan 7
litros. Halle la capacidad del estanque.
8. Halle las 3 ltimas cifras del perodo que
genera la fraccin734
; d como respuesta la
suma de sus cifras.
9. Cuantas fracciones propias irreductiblescon denominador menor que 60, originan un
decimal peridico mixto con 1 cifra en la parte
no peridica y 2 cifras en la parte peridica.
10. Los dos trminos de una fraccin propiairreductible, tiene por diferencia 10878.
Determine esta fraccin, sabiendo que reducida
a decimal da una peridica mixta que tiene 3
cifras en la parte no peridica y 6 cifras en la
parte peridica. D la suma de cifras del
numerador.
11. Halle (a+b+c+d) si:
cifrasabcdcifrasabcd
7bcd...bb,0aa...aaaa
13 =
12. Si se cumple:
2a)b3(,cbaab=
Halle (a+b+c)
13. Calcule la suma de cifras del numeral que
dividido entre 74 origine el decimal.
)2/1m)(m2)(1m2(,)2/1m( +++
14. Si la fraccin irreductible:
)1n(1)1q(),1p(pqmn +=
Adems: pqy 15 son pesi
Calcule m+n+p+q
15. En qu sistema de numeracin el nmero
0,555...(7) se escribe como 0,919191...
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si n Z+ tal que2n
n16n7 2
+
es un
Z+. Calcule la suma de todos los valores de n
si es impar.
Rpta: 17
Humanizando al hombre con la educacin
7/28/2019 Manual de Aritmetica
31/31
Cel: 054-9561777 31Aritmtica Repaso - UNI 2006
2. Cuntos valores puede tomar n si:
n18
es menor que 7/3 y adems es una
fraccin impropia y reductible.
Rpta: 3
3. Si la suma de las fracciones propias
n20;...;
n12;
n11;
n10
es un
nmero entero. Calcule n para obtener la
mayor suma posible.
Rpta: 33
4. Carlos y Renato hacen una bora en 7 das;
Carlos y Alex hacen la misma obra en 5 das y
Renato y Alex hacen la misma obra en 4 das.
En qu tiempo hace la obra Alex solo.
Rpta: da62243
5. De un recipiente lleno de vino se extrae
31
y luego se completa con agua, a
continuacin se extrae sus 7
4y se completa
nuevamente con agua, finalmente de la nueva
mezcla se extrae sus8867
, quedando al final
slo 41 litros de agua. Calcule la capacidad del
recipiente.
Rpta: 44H
6. Si:
422
1...437
1
285
1
165
1
77
1f ++++=
Halle la suma de los trminos de f si es una
fraccin irreductible.
Rpta: 484
7. Al dividir un nmero entre 27; 81 y 2 seobtiene un entero, un decimal peridico puro y
un decimal exacto respectivamente. Despus de
dividir dicho nmero entre 972. Qu decimal
se obtiene si el numero es menor que 972?
Rpta: Un decimal de la forma cab,0
8. Determine el valor de n si:
cba;caab,0275
n+==
Rpta: 207
9. Si la fraccin generatrizab1 genera el
decimal 0,0(a-1)b. Cul es el valor de a+b?
Rpta: 10
10. Calcule: a + b + c
Si: 89177,011
c
7
b
3
a=++
Rpta: 6