Manual de Matematicas 2011-III[1]

1MATEMÁTICA I – Facultad de Administración y Negocios


Introducción

El presente Manual de Matemática I para el estudiante de la Facultad deAdministración y Negocios de la Universidad Tecnológica del Perú,representa uno de los objetivos de mejora continua que la DirecciónAcadémica y el Área de Coordinación del curso de Matemática vienerealizando.

Su elaboración está orientada a incrementar la calidad del procesoenseñanza-aprendizaje de la asignatura de Matemática I.

Es nuestra intención y propósito que la presente guía sea un instrumentobásico de trabajo para el estudiante del I ciclo.

Estamos convencidos que dicha guía conllevará a que el estudiantecontinúe investigando y profundizando textos de Matemática aplicados alárea de administración cuyos títulos se encuentran en la bibliografía delsilabo del curso.

Se agradece a las profesoras que elaboraron el presente manual: ElsaJacqueline Allende Macchiavello, Cecilia Pacheco Lima, Rocío Esther CoaMamani.

Dirección Académica


SEMANA 1

TEMA : INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS REALES

Número

Es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numerus yhace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signosen distintos grupos como por ejemplo los naturales, enteros, racionales, irracionales, reales.

Los números son entes abstractos desarrollados por el hombre como modelo que permite contar ymedir.

Clasificación:

Números Naturales Representación: N

El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el

número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4

representa a un conjunto formado por cuatro elementos.

El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4...} y se representan en una

semirrecta.

En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el

conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4 ...} (llamados también enteros no negativos)

Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjuntopuede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirseoperaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que,menor que).

Números enteros Representación: Z

OBJETIVOS:

Familiarizarse con los conjuntos, la clasificación de los números reales y la rectade los números reales.

Nombrar, ilustrar y relacionar las propiedades de los números reales en términosde sus operaciones.


Surge de la resta de números y de la necesidad de expresar cantidades negativas; como porejemplo temperatura bajo cero (puede ser -4°C).

De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los

elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye

como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Z.

Representación gráfica del conjunto Z.

LOS NÚMEROS RACIONALES Representación: Q

El concepto de fracción surge intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del

mismo tamaño (por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es una

parte fraccionaria de la unidad. Conceptualmente, el conjunto de los números enteros y los

fraccionarios así obtenidos conforma un conjunto más general, llamado de los números racionales.

Números fraccionarios

Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de números enteros (a, b), siendo a,

b Z, que se expresa también como , tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de

ser distinto de cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser:

Fracciones propias, cuando el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo:

etcétera.

Fracciones impropias, en caso contrario. Por ejemplo, etcétera.

Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos, constituidos por la suma de

un entero y una fracción propia. Por ejemplo, puede escribirse también como la suma de 1

y , que corresponde al número mixto 1 .


Si se considera a la fracción impropia como una división, el numerador es el dividendo (D) y el

denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto que la representa tendrá la forma genérica:

, siendo c el cociente y r el resto de la división.

Representación gráfica del conjunto Q

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el

denominador de su expresión fraccionaria y los números que se obtienen son:

Enteros: 326

Decimal exacto: 5,327

Decimal infinito periódico.

Periódico puro: ·····333333333,031 3,0

Periódico mixto:3089

= 2,96666666······· 69,2

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL

Entero:133

Decimal exacto:10021818,2 luego se ha de simplificar.

Decimal infinito periódico:

Periódico puro: x = 35,1100 x = 135,353535··········

x = 1,353535··········

99 x = 135 – 1 9 x = 13499

134x 99

13435,1

Periódico mixto: x = 183,11000 x = 1318,181818·········

10 x = 13,181818·········


990 x = 1318 – 13990 x = 1305990

1305x 990

1305183,1

Números irracionales Representación: I (QI)

En la resolución de problemas mediante ecuaciones cuadráticas con coeficientes enteros o

fraccionarios (racionales) aparecen continuamente soluciones que no son números racionales,

como las raíces de 2, 3, 5, etcétera. Estos números, llamados irracionales, que no pueden ser

representados por fracciones

La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los

números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto

son irracionales.

Hay muchos números irracionales, como: 2 ; 3 ; 5 ;.....; = 3,14159········, e = 2.71828·······

x

x x11líme

; ········6180,1

251

Números reales: Representación R

La unión de los números racionales y los irracionales conforma un conjunto denominado de los

números reales. Así, este conjunto engloba como subconjuntos a los de los números racionales e

irracionales. R=QUQI


Representación gráfica del conjunto R.

El conjunto R de los números reales se representa sobre una línea llamada recta real. Los números

reales llenan completamente esta recta.

En el conjunto R de los números reales se definen corrientemente dos operaciones o leyes decomposición, llamadas suma y producto, con respecto a las cuales verifica las propiedadesexpresadas en la siguiente tabla.

Propiedades de los números reales

Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma

Multiplicación

a+b = b+a

ab = ba

El orden al sumar omultiplicar reales noafecta el resultado.


Asociativa Suma

Multiplicación

a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc) = (ab)c

Puedes hacerdiferentesasociaciones al sumaro multiplicar reales yno se afecta elresultado.



Identidad Suma

Multiplicación

a + 0 = a

a x 1= a

Todo real sumado a 0 sequeda igual; el 0 es laidentidad aditiva.

Todo real multiplicado por1 se queda igual; el 1 es laidentidad multiplicativa.


Inversos Suma

Multiplicación

a + ( -a) = 0 La suma de opuestoses cero.

El producto derecíprocos es 1.


Distributiva Suma respecto a

Multiplicación

a(b+c) = ab + ac El factor sedistribuye a cadasumando.

Ejemplos:

Identifica la propiedad:

5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2 14 + ( -14 ) = 0 3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11) ( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

Aplica la propiedad indicada:


5(x + 8) ; (conmutativa de suma) (3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación) (9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva) 12(x + y) ; (distributiva) 9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación) (x + y) + z ; (asociativa de suma)

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es elmismo número.

(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales consignos diferentes esnegativo.

( - a)( -b) = ab El producto de reales consignos iguales es positivo.

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del númeroreal.

Propiedades del cero

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es0.

a x b = 0 entonces

a = 0 ó b = 0

Si un producto es 0 entonces almenos uno de sus factores esigual a 0.


Recuerda

Operación Definición Que dice Ejemplo

Resta a – b = a + ( - b) La resta es la sumadel opuesto delsustraendo.

División La división es lamultiplicación por elrecíproco del divisor.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Definiciones:

Término algebraico:

Es una combinación de números y letras vinculados entre si por las operaciones de

Ejemplo:

Expresión algebraica:

Es una combinación de números y letras unidos entre sí por los signos de las operaciones básicas.

Ejemplo:

Polinomio:

Un pol inomio es una expresión algebraica de la forma:

OBJETIVO:

Identificar y denotar expresiones algebraicas.

Determinar el grado y el valor numérico de las expresiones algebraicas.

Reconocer y clasificar los polinomios.


P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + . . . + a 1 x 1 + a 0

Siendo a n , a n - 1 . . . a 1 , a o números, llamados coef i c ientes .n un número natural .x la var iable o indeterminada.a n es e l coef i c iente pr incipal .a o es e l término independiente.

Grado de un pol inomioEl grado de un pol inomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada lavar iable x.

Ejemplo: Q(x) = 5x 3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomioEs el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

E jemplo : P (x ) = 2x 3 + 5x − 3 ; x = 1

Suma de Pol inomios :Ejemplo: Dado P(x) = 2x 3 + 5x − 3 y Q(x) = 4x − 3x 2 + 2x 3 .

Ha l lar P (x)+P(Q)

Resta de Pol inomios :

Ejemplo: Dado P(x) = 2x 3 + 5x − 3 y Q(x) = 4x − 3x 2 + 2x 3 .

Ha l lar P (x) -P (Q)


Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro pol inomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coef ic ientes elproducto de los coef ic ientes del pol inomio por e l número .

Ejemplo : 3 · (2x 3 − 3 x 2 + 4x − 2)

Multiplicación de un monomio por un polinomioSe multipl i ca el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman elpol inomio.

Ejemplo : 3x 2 · (2x 3 − 3x 2 + 4x − 2) =

Multiplicación de polinomios

Hallar P(x) · Q(x) dado P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4xSe mult ip l ica cada monomio del pr imer pol inomio por todos los e lementossegundo pol inomio.Soluc ión:

P(x) · Q(x) =

Ejercicios:

I ) Sean los po l inomios :

P(x ) = 4x 2 − 1


Q(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2

R(x) = 6x 2 + x + 1

S(x ) = 1/2x 2 + 4

T(x ) = 3/2x 2 + 5

U(x) = x 2 + 2

Calcular :

1 . P (x ) + Q (x) =

2 . P(x ) − U (x ) =

3 . P(x ) + R (x ) =

4 . 2P(x ) − R (x ) =

5 . S(x ) + T (x ) + U(x) =

6 . S(x ) − T (x ) + U(x) =

I I ) Dados los po l inomios :

P(x ) = x 4 − 2x 2 − 6x − 1

Q(x) = x 3 − 6x 2 + 4

R(x ) = 2x 4 − 2x − 2

Calcular :


a) P (x ) + Q(x) − R(x) =

b) P (x) + 2 Q(x) − R(x ) =

c ) Q(x) + R(x) − P (x )=

I I I Mult ip l i car :

1 . (x 4 − 2x 2 + 2 ) · ( x 2 − 2x + 3 ) =

2 . (3x 2 − 5x) · (2x 3 + 4x 2 − x + 2) =

3 . (2x 2 − 5x + 6 ) · (3x 4 − 5x 3 − 6x 2 + 4x − 3)

IV. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1. Simplifique: (

2. Simplifique:

3. Simplifique:

4. Encuentre el producto:

DIVISIÓN ALGEBRAICA

1. Dividir:

2. Dividir:

3. Dividir:


4. Dividir:

5. Calcular “m+n+p” si la división:

Deja como resto: R(x)

6. Calcular: “n+k” si la división:

7. Si Q(x) es el cociente de dividir:

Calcular: Q(3)

8. Calcular “a-b”. Si , es el residuo de dividir.

9. Calcular ”m” si la división:

Deja como resto 4.

10. A partir de la división:

Calcular la suma de los coeficientes de su cociente.


SEMANA 2

TEMA : FACTORIZACIÓN

Cuando se multiplican entre sí dos o más expresiones, éstas reciben el nombre de factores del

producto. Por lo que si c=ab, entonces a y b son factores del producto c. Al proceso por el cual una

expresión se escribe como el producto de sus factores se le llama factorización.

Algunos Casos de Factor i zac ión:

Caso 1 : Factor Común

Ejemplo1:

E jemplo2:

E jerc ic ios :

OBJETIVO:

Establecer los métodos básicos para hallar los factores de expresiones algebraicas.


1) 2) 3)

Caso 2

Factor Común por agrupación

Ejemplo:

Ejerc ic io

1)ax+bx+ay+ay+by 2)an-am-nx+mx

3)2x+ax-2n-an 4)5b-3bc+5x-3cx

Caso 3: Trinomio cuadrado perfecto: a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2


E jemplo 1 : E jemplo2: E jemplo3:

Ejercicios:1)2)

3)4)5)

Caso 4

Di ferencia de Cuadrados: a 2 − b 2 = (a + b) · (a − b)

E jemplo1: E jemplo2: E jemplo3:

Ejercicios:1)2)3)4)5)Otro Caso


E jemplo1:E jemplo2:

Ejercicios:

1)2)3)

4)

5)Caso 5

Ejemplo1 : Ejemplo 2 E jemplo3


Ejercicios:1)

2)

3)4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Caso 6 : Tr inomio de la forma

Ejemplo1: E jem2: E jem3 Ejem4

Ejercicios

Caso 7 : Método de Aspa

Ejemplo 1)


Ejemplo 2)

E jemplo 3)

E jerc ic ios :

1)

2)3)

4)

5)

6)

CUADRO DE RESUMEN

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN:

1.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.


EJERCICIOS DE REPASO:

Hallar todos los Factores de las siguientes expresiones algebraicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. =

13. Hallar todos los Factores e indicar el número de factores lineales primos:

14. ¿Cuántos factores primos cuadráticos tiene el polinomio:

15. ¿Cuántos factores lineales presenta el polinomio:

16. Hallar todos los Factores:

17. Hallar todos los Factores



19. ¿Cuántos factores primos presenta la expresión?






SEMANA 2 Y 3:TEMA: ECUACIONES LINEALES

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todossencillos y fáciles.

René Descartes

Objetivos:

Identificar si un valor es o no solución de una ecuación. Resolver una ecuación de primer grado con una variable. Resolver una ecuación lineal, Ecuaciones con literales. Ecuaciones que conducen a

ecuaciones lineales, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones con radicales.

Una ecuación es una proposición que indica que el valor numérico de dos expresiones algebraicasson iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, yestán separados por el signo de igualdad “=”.

Toda ecuación lineal con una incógnita se puede llevar a la forma: ax + b = 0, con a ≠ 0. Resolveruna ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera dicha proposición, la

solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por el valor:a

bx

Ecuaciones Lineales Básicas:

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

LOGRO: Al finalizar la unidad, el alumno resuelve ecuaciones reducibles a ecuaciones de primeren una variable, polinomiales, racionales y con radicales en forma analítica, utilizando losconceptos básicos del álgebra.


Ejemplo 1: 2742 xx Ejemplo 2:5

43

xx

Ejercicios: Resolver:

1. xxx 44312

2.5

43

xx

3. 64

89

2

37

xx

4. 26

2

3

2

x

xx

5.21

53

14

98

3

72

yyy

Ecuaciones con Literales despejando las variables Literales:

Resolver las siguientes ecuaciones con literales despejando la variable indicada:

Ejemplo 1:

?;1

2

xr

xrxa

Ejemplo 2:

?;Pr PtPS

Ejercicios:


Resolver las siguientes ecuaciones con literales despejando la variable indicada:

1. ?;1

2

xr

xrxa

2. ?;1

2

m

nB

mIr

3. ?;111

qfqp

4.

?;11

Ri

iRS

n

5. ?;

ucau

uS

6. ?;18 qqp

7. ?;1 rrtpS

8. ?;2 11 aaan

S n

9. ?;1

tdt

dr

10. ?;1

2

n

nB

mlr

Ecuaciones fraccionarias o racionales:

Ejemplo1 :

5

22

10

111

xx

Ejemplo 2:

6

666

y

y

yy

y

Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:


1.xxx 21

4

2

3

3

1

2. 39

14

3

12

3 2

xx

x

x

x

3.4

1

2

2

2 2

2

x

x

xx

x

4.xxx

x

x

x

613

643

2

5.82

12

4

53

2

432

xxx

x

x

x

6.14

114

7

8

37

12

xx

x

x

7.xx

x

x

x

x

x

5

53

5

412

8.4

2

2 2

2

x

x

x

x

9.65

13

12

1

82

2222

xxxxxx

10.34

4

9

1

32

2222

xxx

x

xx

x

Ejemplo :

Ejercicios:


1) 3)

2) 4)

Ecuaciones con radicales

Ejemplo 1:

0526 x

Ejemplo 2:

yy 992

Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:

1. 2425 xx

2. 11 xx

3. 172 xx

4. 12145 xx

5. 01665 x

6.3

21

2

x

7. 064 xx

8. 3332 xx

9.

10.

MATEMÁTICA I – Facultad de Administración y Negocios

EJERCICIOS DE REPASO:

1. 22

1)1(5 xx

2. )3(2

1)2(3)3(2 xxx

3. )2

1(3)1(2

3

8

xx

x

4. )2

1(4)

5

1(2

xx

x

5. 2

a

bx

b

xa

6. 0)23(5)2(7)4(3 aaxaxxa

7. 5

23

x

x

bx

bx

8. )5(24

3)3(4 xx

9. 22

4

6

4

x

x

x

x

10. 53

)2(5)72(

4

1)

5

72(3

xx

x

11. 1147 xx

12.

13.

14.

15.


SEMANA 4

TEMA : APLICACIÓN A LA ADMINISTRACIÓN DE ECUACIONES DE 1ER GRADO

Pasos a Seguir en la Resolución de Problemas

En los problemas de Aplicación o modelación es recomendable organizar el desarrollo de lasolución usando los siguientes puntos para no olvidar ningún detalle:

Comprensión del problema

- Leer todo el enunciado atentamente.- Trazar un esquema que ilustre el enunciado, si todo es posible.- Identificar las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema.- Elegir una variable para la cantidad desconocida y escribir exactamente lo que

representa. Para esto es muy útil fijarse en la pregunta del enunciado.

PlanteamientoEstablecer relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente. Dichasrelaciones provienen de:

- Traducir el enunciado a una o varias ecuaciones ( interpretación de textos)- Reglas externas al problema.

ResoluciónLa parte operativa ya debe ser sencilla después de todo lo trabajado y no podemos fallar enesta. El trabajo debe hacerse cuidadosamente.

ComprobaciónEs siempre bueno asegurarnos que el proceso de cálculo esté correcto

Respuesta completa y escritaEsta parte es importante, se debe escribir una respuesta completa para dar claramentesolución a la pregunta propuesta. No olvidar colocar las unidades y reflexionar sobre el sentidode los números que hemos obtenido con respecto al contexto del problema.

OBJETIVO:

Modelar situaciones que se describen por medio de ecuaciones lineales.


Ejemplo 1.

Pedro y Juan guardan su dinero en una cuenta mancomunada. Al cabo de un año tiene en total8000 soles pero Juan le corresponde el triple de dinero que a Pedro. ¿Cuánto posee cada uno?

Variable ¿Cuánto posee cada uno deellos?

Incógnita(s):

Tiene en total 8000 solesPlanteamiento

A Juan le corresponde el triplede dinero que a Pedro.

Resolución

Respuesta

Ejemplo 2: En el mes de diciembre un comerciante gana cada semana $ 600 más que la semanaanterior. Si consideramos que el mes tiene 4 semanas y que en la cuarta semana gana siete veceslo que gana en la primera semana, ¿Cuánto gana en cada semana?


Variable ¿Cuánto gana en cada semana? Incógnita(s):

1era semana

2era semana

3era semana

Gana cada semana 600 másque en la semana anterior

4era semana

Planteamiento

En la cuarta semana gana sieteveces lo que gana en la primera

Resolución

Respuesta

Ejemplo 3:

Un administrador de un minimarket compra una cierta cantidad de tomates a 2 soles el kilo.Se le echan a perder 4 kilos y el resto los vende a 5 soles el kilo ¿Qué cantidad ha comprado sila ganancia es de 40 soles?


Ejemplo 4:

Si una tienda rebaja sus artículos un 24%, ¿Cuál sería el precio inicial de una prenda cuyoprecio rebajado es de 38 soles?

Ejemplo 5:

Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un edificio con 50 oficinas. Cada unapuede rentarse en $400 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $20 mensuales sequedarán dos oficinas vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. Si la compañía quiereobtener un total de $20 240 mensuales de rentas del edificio. ¿Cuál es la renta que debe cobrarsepor cada oficina?


EJERCICIOS

1) Hay que repartir 60000 entre cierto número de trabajadores presentes en una reunión demanera exacta entre ellos, uno de los trabajadores nota que si hubiera 2 trabajadores menos acada uno le tocaría 2500 más ¿ Cuánto son los trabajadores y cuanto le toca a cada uno?

2) La diferencia de dos números es 9, y la suma de ocho veces el primero y tres veces el segundoresulta 6. Hallar los números.

3) La suma de las edades de A, B, C es 69 años. La edad de A, B, y C es 69 años. La edad de A es eldoble que la de B y 6 años mayor que la de C. Hallar las edades correspondientes.

4) Dentro de 65 años tendré 6 veces la edad que tenía hace 10 años ¿Cuantos años me faltan paracumplir 49 años?

5) Hugo debe pagar $205 con 28 billetes de 5 y 10 soles ¿Cuántos billetes de S10 empleará?

6) Ana y Carla tienen entre las dos 10 vestidos de fiesta; si la mitad de vestidos que tiene Anamultiplicado por la tercera parte de vestidos de Carla es 4, indicar cuantos vestidos tiene cada uno.

7) El doble del cuadrado de un número natural disminuido en tres unidades es igual al quíntupledel mismo. ¿Cuál es dicho número?

8) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8.Si cada acierto vale un punto y cadaerror resta dos puntos ¿Cuántas preguntas ha acertado Juan? ¿Cuántas ha fallado?

9) Un comerciante aumenta cada año su fortuna el tercio de su valor, y al fin de cada año retira1000 dólares para los gastos; habiéndose duplicado la fortuna al fin del tercer año, se preguntacuánto tenía al principio.

10) Un revendedor vende la mitad de las naranjas, más la mitad de una naranja; una segunda vez,vende la mitad del resto, mas media naranja, y así sucesivamente; después de tres ventas noqueda ninguna ¿Cuantas naranjas tenía?

11) Un concierto produjo 60000 por la venta de 8000 boletos. Si los boletos se vendieron a 6 y 10dólares cada uno. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

12) Quince personas, entre hombres y mujeres, comen en restaurant; los hombres gastan 36 solesy las mujeres también lo mismo. Hallar el número de hombres y gastos individual, sabiendo quecada mujer ha pagado 2 soles menos que un hombre.


13) Un administrador de una Hacienda compra carneros en 750 soles; los cría 3 meses y pierde 5por enfermedad y vende cada uno de los otros a 6 soles más de lo que le costaron. En estaoperación pierde 30 soles. Halle el número de carneros y el precio de compra.

14) Un teatro vendió 242 entradas en $1096. Las entradas de los adultos se vendieron a $5.30cada una y los de niños a $2.0. Cuantas entradas de cada clase se vendieron?

15) Juan lee 30 páginas de su libro, si al día siguiente; lee el doble de lo que le quedadisminuido en 100; si todavía le falta 10 páginas por leer. Cuantas páginas tiene su libro?16) La edad de Miguel es la mitad de la edad de su padre aumentado en 4 años. Si ambasedades suman 64 años. cuál es la edad de cada uno de ellos?

17) Hace 8 años la edad de Juan era el triple de Carlos y dentro de 4 años la edad de Carlosserá los 5/9 de la edad de Juan. Hallar las edades actuales de estas personas?

18) Una empresa dedicada a la crianza de aves y ganado vacuno tiene actualmente 320 milanimales. Si un empleado cuenta el número de patas llega a 840 mil. Cuál es el numero de avesque tiene la empresa?

19) Un mendigo da 3 golpes de bastón cada vez que ve a un hombre y 2 golpes cada vez queve a una mujer. Si llega observar a 26 personas, dando 60 golpes. Calcular la diferencia entre elnúmero de mujeres y hombres?

20) El ingreso mensual total de una guardería por el cuidado de x niños está dado por I=450x ysus costos mensuales totales están dados por C=380x +3500 ¿Cuántos niños se necesitan inscribirmensualmente para llegar al punto de equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan alos costos?


SEMANA 5

TEMA : ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICA)

Forma general:

Donde: x= incógnita, asume dos valores

Resolver una ecuación de segundo grado es hallar los valores positivos, nulos o negativos quesatisfagan la ecuación. Dichos valores se llaman raíces o soluciones de la ecuación.

Resolución de la ecuación:

1. Por factorización:

Resolver la ecuación: Resolver la ecuación:

2. Por la fórmula de Carnot:

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación estas se obtienen a partir de la

relación:

Objetivos:

Identificar si un valor es o no solución de una ecuación. Resolver una ecuación de segundo grado con una variable.


Resolver la ecuación: Resolver la ecuación:

DISCRIMINANTE :

Dada la ecuación cuadrática en x:

Se denomina discriminante al operador denotado por y definido de la manera siguiente:

Propiedad del Discriminante:

Dada la ecuación cuadrática en x:

1. Si

2.

3.

Ejemplo:

Para la ecuación:

Su discriminante es:

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfectocuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadradoperfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; eltrinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es :


Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadradoperfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadradodebe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Confirmen su conocimiento

1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 4)


Método Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmulacuadrática:

La expresión:

Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla acontinuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdocon el valor del discriminante.

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática:

Ejemplo 1:

Confirmen su conocimiento

1) x2 + 8x + 6 = 0

2) 9x2 + 6x + 1 = 0

3) 5x2 - 4x + 1 = 0

4)

5)

Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.


Importante: La cantidad ,que aparece dentro del signo radical en la formula cuadráticaque es el discriminante, el cual se utiliza para determinar el número de soluciones de unaecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales distintas; sies igual a cero, la ecuación tiene una raíz doble, y si es negativo, la ecuación no tiene raíces reales.

Valor de:

Tipo de solución

positivo dos soluciones reales

cero una solución real

negativo dos soluciones imaginarias

Utilizar el discriminante para determinar el número de soluciones reales de cada ecuación:

Ejemplo1:

Ejemplo 2:


Confirme su aprendizaje

1) 2) 3)

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1) x2 - x - 20 = 0 (por factorización)

2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)

3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)

4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)

5) Utilizar el discriminante para determinar el número de soluciones reales de cada ecuación:

a) b)

EJERCICIOS

A. Resuelva las ecuaciones mediante factorización, si es necesario.

1)

2)

3)

4)

5)

B. Resuelva completando cuadrados1)2)3)4)5)


C. Resuelva mediante formulas cuadráticas1)2)3)4)5)

D. Utilizar el discriminante para determinar el número de soluciones reales de cada ecuación:

1)

2)

3)

4)

E. Resuelva por el método que desee:

1) -4x-21=0

2) =5

3)

4)

5)

6). Para qué valor del parámetro “m” las raíces de la cuadrática en x:

Son iguales.

7) Resolver:

8) Resolver:


9) Resolver:

10) Resolver:

11) Resolver:

MATEMÁTICA I – Facultad de Administración y Negocios Página 44

EJERCICIOS:

I. RESUELVA POR FACTORIZACIÓN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. ENCUENTRE TODAS LAS RAÍCES REALES CON EL USO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA

1.

2.

3.

4.

5.

III. RESUELVA POR CUALQUIER MÉTODO

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


SEMANA 6

Aplicaciones de Ecuaciones de Segundo Grado

Ejemplo 1

¿Cuántos metros de paño se compraran con 240 soles, sabiendo que si el metro hubiesecostado 3 soles menos se hubieran tenido 4 metros más?

Ejemplo 2

Una pieza de género ha sido vendida en 1800 soles ; el comprador , al recibirla , averigua que ,por equivocación , le han entregado una pieza que vale 2,5 soles, menos por metro, pero quecompensación contiene 15 metros más que lo que esperaba .Se decide a guardarla , y sepregunta cuántos metros contenía esta pieza , y cuál era el precio del metro.

Ejercicios

1) Un fabricante de pequeños aparatos domésticos determina que la utilidad P en dólaresgenerada por la producción de x hornos microondas por semana está dada por la formula

siempre y cuando ¿Cuántos hornos deben ser fabricados enuna semana para obtener una utilidad de 1250 dólares?2) q unidades de un producto pueden venderse semanalmente a un precio p cada uno ,en donde P=1000-q

Cuantas unidades deben venderse para obtener ingresos semanales igual a 240000?

3) Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 soles. Si se hubieran compradotres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 sol en cada una, y el preciototal habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?

4) La temperatura, T, , a la cual hierve el agua, se relaciona con la altitud, h, en metrossobre el nivel del mar, mediante la fórmula

Valida entre . La elevación aproximada del Monte Everest es de 8 840, ¿cuál serála temperatura a la cual hierve el agua en la cima de esa montaña?


5) Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricantesuministrará 3p2 – 4p unidades del producto al mercado y que los consumidores demandarán24 – p2 unidades. Determine el valor de p para que el mercado esté en equilibrio (oferta =demanda)

6) Una compañía determina que si se produce y vende q unidades de un producto, elingreso total por las ventas será de 100q. Si el costo variable por unidad es de $ 2 y el costofijo de $ 1200, determine los valores de q para los que:

Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero)

7) Un proveedor de instrumentos quirúrgicos vende artículos a 10500 soles la unidad,para pedidos menores de 100. Si el pedido es de más de 100 hasta un máximo de 250, elprecio se reduce en 15 soles por el numero pedido ¿Cuántos artículos se pueden comprar con1404000 soles ¿Cuál es el precio unitario?

8) Una compañía de bienes raíces es propietario del conjunto de departamentos, el cualconsiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado en $550 mensuales.Sin embargo, por cada $25 mensuales de aumento en la renta, se tendrán tres departamentosdesocupados sin posibilidad de que se renten. La compañía quiere recibir $54 600 mensualesde rentas. ¿Cuál debe ser la renta mensual de cada departamento

9) Hace 6 meses, una compañía de inversionistas tenía una cartera de $3 100 000, queconsistía en acciones de primera y acciones atractivas. Desde entonces, el valor de la inversiónen acciones de primera aumentó en 1/10, mientras que el valor de las acciones atractivasdisminuyó en 1/10. El valor actual de la cartera es $3 240 000. ¿Cuál es el valor actual de lainversión en acciones de primera?

10) Un malabarista lanza una pelota imprimiéndole una velocidad de 4m/s después dehaber sido lanzada ,la función que describe su altura (medida en metros ) según el tiempo esh(t)01.2+4t+2t2 .Calcula la altura máxima que alcanzó la pelota y el tiempo en que alcanzó lamáxima altura.


SEMANA 6 Y 7

TEMA : DESIGUALDADES

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos,todos sencillos y fáciles.

René Descartes

Ejercicios:

HAEUSSLER – PAUL, Matemáticas para administración y economía. Desigualdades:Página 58 Problemas 1.2 Ejercicios impares.

Definición:

Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones reales

mediante los signos de relación

Siendo a y b números reales:

AXIOMAS DE LA DESIGUALDAD:

1. Ley de Tricotomía:

2. Ley de Transitividad:

3. Ley aditiva:

4. Ley Multiplicativa:

OBJETIVO:

Resolver desigualdades lineales con una variable e introducir la notación deintervalos.

Identificar y efectuar operaciones con intervalos.

Resolver desigualdades lineales con una variable e introducir la notación deintervalos


EQUIVALENCIAS USUALES:

Siendo a, b y c números reales:

1. 2.

TEOREMAS DE LA DESIGUALDAD:

1.

3.

4.

5.

6. :

7. :

8. :

PROPIEDAD DE LA DESIGUALDAD:

1.

Expresa cada uno de los intervalos en términos de desigualdades y grafícalos en la rectanumérica:

3;8. a

9;2. b

12;5.c

;20.d

7,. e

Confirmen sus conocimientos

I Expresa cada uno de los intervalos en términos de desigualdades y grafícalos en la rectanumérica:

a) (3,6) b) [-1,4) c) (0, ) d) (- ,5] e) (-2,5]

II) Represéntelo en forma geométrica sobre la recta de los números reales, el intervalo(s)resultante de la operación dada.

a) x [ -3;5] [2;6] d) x ]- ; 2] [1;+ [


b) x [2;4] [3;10[ e) x [2; 8] – {3; 7}

c) x [2;5[ [5; 8[ f) x [ 1;5] - [3; 7]

TEMA : INECUACIONES:

Definición: Se denomina inecuación a cualquier desigualdad relativa. Los valores de la variableque verifican la inecuación forman el conjunto solución, la cual se representa en función deintervalos.

INECUACIÓN DE PRIMER GRADO (LINEAL):

La inecuación se puede escribir de la forma: Ejemplos:

Ejemplos:

Resolver las siguientes inecuaciones:

1.2.

3.

4.5.6.7. 43)2(22523 xxxx.

EJERCICIOS:

I. De su respuesta en notación de intervalo y representación en forma geométrica sobre larecta de los números reales.

LOGRO: Al finalizar la unidad, el alumno resuelve, inecuaciones lineales, racionales en formaanalítica, utilizando los conceptos básicos del álgebra.



1. xx 7294 2. xx 31335

3.4

32

3

14 xx

4. 12

1

3

25 xx

5. 142414 x

6. xx6

5

3

2

2

1

5

3

7.3

2

2

2

5

1

x

8. 9721835 xxx

9.2

31

5

32

3

2 xxx

10. xx 541253

11.

12.

13.

14. Si:

El mayor valor entero de “x” que cumple es:

15.

16. Hallar x:

Si: … (I)

…(II)

…(III)

17. 85476362 xxxx

18.2

32

22

14

x

xx

x


SEMANA 8

TEMA 08 : APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN DE INECUACIONES LINEALES

RECORDAR:

APLICACIONES:

1. Un fabricante hizo un cierto número de anillos de compromiso, vende 60 y le quedan por

vender más de la mitad. Después hace 8 anillos más y vende 30. Cuántos anillos hizo en total

el fabricante si le quedan por vender menos de 40?

2. Una constructora trata de decidir cuál de dos modelos de grúa comprar. El modelo A

cuesta $50 000 y necesita $4 000 anuales por mantenimiento. El modelo B cuesta $40 000 y

sus costos anuales de mantenimiento son $5 500. ¿Durante cuántos años debe usarse el

modelo B para que sea más económico que el A?

3. Una empresa fábrica un número determinado de computadoras; si duplica su producción y

vende 60 le quedan más de 26. Pero si bajara su producción a la tercera parte y vendiera 5,

entonces tendría menos de 10 computadoras ¿Cuántas computadoras se fabricaron?

4. Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano

de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un

OBJETIVO:

Modelar situaciones reales en términos de desigualdades.

UTILIDAD= INGRESO TOTAL-COSTO TOTAL

OBTENER GANANCIA:

UTILIDAD > 0 INGRESO TOTAL - COSTO TOTAL > 0

NO OBTENER PÉRDIDA:

UTILIDAD 0 INGRESO TOTAL - COSTO TOTAL 0


periodo dado, sin importar la producción) son $70 000. Si el precio de venta de un calentador

es $35, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades?

5. Los niños de una escuela compran q unidades de galletas “Dulce sabor” al precio de

por unidad. ¿Cuál es el número mínimo de unidades de galletas que deben venderse

para que el ingreso sea mayor que s/. 130?

6. Para una compañía que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obras y material

es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado sin importar la

producción) son de $60 000. Si el precio de venta de un termostato es de $7, ¿cuántos deben

venderse para que la compañía obtenga utilidades?

7. Un constructor debe decidir si renta o compra una máquina excavadora. Si renta la máquina el

pago mensual sería de $600 (con base en un año), y el costo diario (gas, aceite y conductor) sería

de $60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anual sería de $4000, y los costos

por operación y mantenimiento serían de $80 por cada día que la máquina sea utilizada. ¿Cuál es

el número mínimo de días al año que tendría que usarse la máquina para justificar la renta en

lugar de la compra?

8. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo

unitario de $15. Si los costos fijos son de $600 000. Determine el número mínimo de unidades que

deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.

9. Una fábrica de camisetas produce N camisetas a un costo de mano de obra total de $1.2N y un

costo total por material de $0.3N, los gastos generales para la planta son $6 000. Si cada camiseta

se vende en $3, ¿cuánta camisetas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?

10. Un comerciante adquirió cierto número de artículos de los que vendió 70 y le quedaron más

de la mitad, al día siguiente le devolvieron seis, pero logró vender 36 después de lo cual le

quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos adquirió el comerciante?

11. Ricardo, se dedica a la venta de sándwich de pollo. El precio de venta al público es de s/. 1,50

cada uno. Si el costo unitario de s/. 0,80 y los costos fijos de s/. 20 determine el número de

sándwich de pollo que deben venderse para que Ricardo no tenga pérdidas.

12. Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del producto es

s/. 4. El próximo mes el precio por unidad se incrementará en s/. 0,50. El fabricante quiere que el

ingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que s/. 10 750, ¿cuál es el

número máximo de unidades que pueden venderse al mes?


TEMA: INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Definición:

Se denomina inecuación a cualquier desigualdad relativa. Los valores de la variable queverifican la inecuación forman el conjunto solución, la cual se representa en función deintervalos

I. Inecuación de Segundo Grado (Cuadrática):

Propiedades:

1) Trinomio siempre positivo

Si:

Entonces:2) Trinomio siempre negativo

Si:

Entonces:

II. Inecuación Fraccionaria:

En forma general, multiplicando a ambos miembros por y tener en cuenta que

, es decir:

RESOLUCIÓN DE INECUACIÓN

1. Se trasladan todos los términos al primer miembro obteniendo siempre una expresiónde coeficiente principal positivo.

2. Se factoriza totalmente a la expresión obtenida.

3. Se calculan los puntos de corte, son los valores reales de “x” obtenidos al igualar cadafactor primo a cero.

OBJETIVO: Resolver inecuaciones racionales; cuadráticas, fraccionarias en formaanalítica, utilizando los conceptos básicos del álgebra.


4. Se ubican ordenadamente todos los puntos en la recta real, dichos puntos originan enla recta dos o más zonas.

5. Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha alternando los signos (+) y (-).

6. Si el signo de relación es , el conjunto solución estará conformado por todas

las zonas positivas, pero si el signo de relación es , el conjunto solución loconformarán todas las zonas negativas.

Ejemplos:

1. Resolver la inecuación: 2. Resolver:

3. Resolver: 4. Resolver:

5. Resolver: 6. Resolver:

EJERCICIOS: RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES

1. Resolver:

2. Resolver:

3. Resolver:

4. Resolver:

5. Resolver:

Observación: En una inecuación fraccionaria si el signo de relación es

solo cerraremos los extremos que provienen del numerador.


6. Resolver:

7. Resolver:

8. Resolver:

9. Resolver:

10. Señalar (V) o (F).Justificar.

I)II)III)

11. Resolver:

12. Resolver:

13. Resolver:

14. Resolver:

15. Resolver:

16. Resolver:

17. Resolver:

18. Resolver:

19. Resolver:

20. Resolver:

SEMANA 9


TEMA 09: APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN DE LAS INECUACIONES CUADRÁTICAS

EJERCICIOS

1. La fábrica de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dado

por la expresión donde ( x en miles ) es el número de unidadesproducidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de la menosS/. 14 000?

2. Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es p dólares están por

. El costo de producir x unidades al mes del artículo es dólares.¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidadmensual sea por lo menos de 2200 dólares?

3. Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $ 8por corte de cabello. Por cada incremento del 75% en el precio, la peluquería perderá 10clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresossemanales no sean menores que los actuales?

4. Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al

mes en el mercado con . ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con elobjeto de obtener ingresos de por lo menos $ 12 500?

5. El costo de producir x lámparas esta dado por . Si estas sepueden vender a 140 soles. ¿Cuántas deben producirse y venderse para obtener utilidadessemanales de la menos 900 soles?

6. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de 60 solescada artículo. Gasta 40 dólares en materia prima y mano de obra al producir cada artículo ytiene costos adicionales (fijos) de 3000 dólares a la semana en la operación de la planta.Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad deal menos 1000 dólares a la semana.

7. Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios el costo combinado demano de obra y material es de 21 por calentador. Los costos Fijos son 70,000. Si el precio deventa de un calentador es 35 ¿Cuánto debe vender para que la compañía genere utilidades?8. El ingreso mensual obtenido por la venta de x cajas de dulces esta dado porx (5-0.5x) soles. El costo al por mayor de cada caja es 1.50 soles ¿Cuántas cajas deben vendersecada mes para obtener una ganancia de al menos 60 soles?

OBJETIVO:

Modelar situaciones reales en términos de desigualdades.


9. Si el precio de cierto artículo depende de la cantidad demandada y está dado por

, y además se tienen costos fijos de $300 y el costo de producción de cadaunidad es de $20. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener utilidades dela menos $900?

10. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmético cuando su precio unitario es de $60.Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45 unidades más. ¿Qué precio máximodeberá fijar para obtener ingresos de al menos $19 500?


SEMANA10TEMA : RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES:Definiciones previas:

Sistema de coordenadas RectangularesEl sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio dedos rectas perpendiculares que se cortan en el punto 0. La horizontal se denomina eje x, lavertical , eje y , ambas constituyen los ejes de coordenadas. El punto o se llama origen delsistema. La distancia de un punto al eje Y se llama abscisa. La distancia de un punto al eje X esla ordenada y ambas constituyen las coordenadas de dicho punto y se representa por elsímbolo (x, y). Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del eje “Y”y negativas en caso contrario. Las ordenadas son positivas cuando el punto está encima del ejex , y negativa en caso contrario.

PAR ORDENADO

Es un ente matemático que consta de dos elementos reales, donde es importante el orden delos elementos, se representa:

b;a;a)b;a(

“a”: primera componente (x)“b”: segunda componente (y)

PROPIEDADES

1.- ( ; ) ( ; )a b b a

2.- Igualdad de pares ordenados

( ; ) ( ; )a b c d a c b d

Objetivos:

Identificar funciones de relaciones.

Determinar dominio y rango de funciones.

Cuadrante I

(+,+)

Cuadrante IV

(+,-)

Cuadrante III

(-,-)

Cuadrante II

(+,-)


Ejemplos: Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares, indique elcuadrante al que pertenece cada punto. a) 6,2 1,1 7,5 2,6 b) 8,1 0,2 11,0 9,2

c) 0,1 2,2

4,

2

1 9,0

PRODUCTO CARTESIANODados dos conjuntos no vacíos A y B se define el producto cartesiano de A con B y se denota

como el conjunto de pares ordenados (a; b) tal que: Aa y Bb , es decir:

BbAa/b;aA x B

Donde:A= Conjunto de partidaB= Conjunto de llegada

Propiedades1.-Si A y B son dos conjuntos diferentes: AxB ≠ BxA2.-Si: BxAAxBBA

3.-Si A y B son dos conjuntos finitos

)B(n).A(n)AxB(n

( )n A : Cardinal de A

(Número de elementos de A)( )n B : Cardinal de B

(Número de elementos de B)

Ejemplo: Se tienen los conjuntos

}3,2,1{A y },7,5{B calcular:

Resolución:

RELACIÓN BINARIA

I. Definición: Dados dos conjuntos no vacíos , se dice que R es una relación de A en

B (en ese orden) si y solo si es un subconjunto de , es decir

Donde: indica la relación que existe entre los componentes a y bEjemplo: Dados los conjuntos

Determinar la relación de definida de la manera siguiente:


Resolución: Hallemos el producto cartesiano de A por B

II. Relación en A: Dado el conjunto no vacío A, se dice que R es una relación en A si y

solamente si

FUNCIONESUna función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo)que nos transporta de un conjunto a otro de manera que asociamos a cada elemento de A unúnico elemento de B.

Dominio: conjunto de todos los valores de entrada (son los valores del eje x)

Rango: Conjunto de todos los valores de salida (son los valores del eje y)

La notación de la función se lee:

Formas de representar una Función:

Se puede usar:

a) Verbal (mediante una descripción con palabras)

Ejemplo:

b) Algebraicamente ( por medio de una fórmula explícita)Ejemplo:

c) Visual (con una Grafica)Ejemplo:

d) Numéricos ( a través de una tabla de valores)Ejemplo:


e) Diagrama SagitalEjemplo:

f : es una función y sus pares ordenados son:

f = { ( 1; 1) ; ( 3 ; 9 ) ; ( 6 ; 36 ) } también:

f (1) = 1; f ( 3) = 9; f ( 6 ) = 36

f) Conjunto de pares ordenadosEjemplo:

Notación funcional

BAóBA:ff

Se lee: función de f de A en B

Propiedades:

Esto quiere decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primeracomponente.

Observación:

Si el par escribiremos

Ejemplo 1:

¿Cuál de las siguientes relaciones son funciones?


Resolución: De acuerdo con la definición se observa que:

Ejemplo 2:

Aprobar el curso de Matemática I depende de las calificaciones que obtenga elalumno.

Las calificaciones dependerán del tiempo que dedique el alumno al estudio.

La demanda de un producto dependerá de su precio y de los precios de lacompetencia.

Ejemplo 3:Mario es vendedor de una empresa de productos químicos en el contrato firmado por Mariose indica que su sueldo depende del número de unidades que vende a la semana. Si la

ecuación para determinar su sueldo semanal esta dado por . Si Mariovende a la semana 70 unidades ¿Cuánto será su ingreso?Resolución:

Ejemplo 4: Función de demanda

Suponga que la ecuación describe la relación entre el precio por unidad de cierto

producto, y el número de unidades que los consumidores comprarán (demanda) porsemana a ese precio. Esta ecuación se llama ecuación de demanda para el producto. Si q es unnúmero de entrada, entonces para cada valor de q se asigna exactamente un número de salidap:

Por ejemplo:Esto es, cuando q es 20, entonces p es 5. Así, el precio p es una función de la cantidaddemandada, q. Esta función se llama función demanda. La variable independiente es q, y lavariable dependiente es p. Como q no puede ser 0 y no puede ser negativa, entonces eldomino consiste en todos los valores de q>0

Ejemplo 5: Programa de ofertaLa tabla muestra un programa de oferta. Indica una correspondencia entre el precio p decierto producto y la cantidad q que los fabricantes surtirán por semana a ese precio. A cadaprecio le corresponde exactamente una cantidad y viceversa.


PROGRAMA DE OFERTA

500 11

600 14

700 17

800 20

Si p es la variable independiente, entonces q es una función de p, es decir , y

Observar que cuando el precio por unidad se incrementa, los fabricantes están dispuestos asurtir más unidades por semana.Por otra parte, si q es la variable independiente, entonces p es una función de q, es decir

, y

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION:

1. Dominio de denominado también pre-imagen: es el conjunto de losprimeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida.

2. Rango de denominado también imagen, recorrido o contra recorrido: esel conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto dellegada.EJEMPLO: En la función

)}15;5();12;4();9;3();6;2{(F

Dom (F) =

Ran (F) =

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Dada una función f: A B

Si A y B son subconjuntos de los reales (R), entonces f esta definida en R, es decir: :f R R

Una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y su regla decorrespondencia que permita conocer la imagen (y) para cada elemento (x) del dominio.

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Dada la función F: A B / y = F ( x )

Evaluar la función F significa obtener el valor de “y” (imágenes), mediante la regla decorrespondencia, luego de asignarle un cierto valor de “x” que pertenece al dominio.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL


Es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a la función en elplano coordenado cartesiano.

En el plano cartesiano una curva corresponde a la gráfica de una función si y solo si cualquierrecta perpendicular al eje x corta al gráfico en un solo punto.

Ejercicio:

1. De los siguientes gráficos: determinar cuáles son funciones y cuáles no lo son?

x

y

( 1 ) x( 2 )

y

x

y

( 3 )

x

y

( 4 ) x

y

( 5 ) x

y

( 6 )


SEMANA 11

TEMA DOMINIO DE FUNCIONES ESPECIALES

CRITERIOS PARA DETERMINAR EL DOMINIO Y RANGO1. Para el dominio se despeja la variable y, para analizar la existencia de su equivalente.2. Para el rango se despeja la variable x. para luego analizar la existencia de suequivalente, a veces se determina a partir del dominio.

OBSERVACION: Frecuentemente para determinar dominios y rangos necesarios y reconocer la

existencia de las expresiones dadas dentro del conjunto de los números reales.

Ejemplos:1. Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones:

F: IR ⟶IR /

2. Determinar el dominio de:

3. Determinar el dominio de :

Ejercicios:I. Obtenga el dominio de cadafunción:

1.2.3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

II. Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones:

1.

2.

3.

4.

5.6.


FUNCIONES ESPECIALES

I. FUNCION LINEAL:

;

Grafica:

Ejemplos:

1.

2. El departamento de policía de una ciudad pequeña estudia la compra de un patrullero.

Los analistas de la policía estiman que el costo del carro, completamente equipado es $ 18

000. Han estimado también un costo promedio de operaciones de $ 0.40 por milla. Determinar

la función matemática que representa el costo total.

II. FUNCION IDENTIDAD:

Grafica:


III. FUNCION CONSTANTE:

; ;

Grafica:

IV. FUNCION CUADRÁTICA SIMPLE:

Grafica:

FUNCION CUADRÁTICA:

FORMULA GENERAL:


V. FUNCION VALOR ABSOLUTO:

;

Grafica:

VI FUNCION RAÍZ CUADRADA:

;

Grafica:

VII FUNCIONES POLINOMIALES

Cada una de las funciones anteriores constituye un ejemplo de una función polinomial. Unafunción polinomial de n grados tiene la forma general.

011

1 .....)( axaxaxaxfy nn

nn

Donde 0;;,,, 011 nnn arealessonaaaa

El exponente de cada x debe ser un entero no negativo y el grado del polinomio es la potencia(exponente más alta en la función).

Y= f(x)=|x|


Ejemplo:

VI. FUNCIÓN RACIONAL

Es cuando un función polinomial divide a otra función polinomial.

Forma General:

Donde g y h son funciones polinomial.

Las funciones racionales se llaman así por su estructura de razón.

Ejemplo:

, es una función racional ;

EJEMPLO

FUNCIÓN A TROZOS O PEDAZOS

Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuacionespara diferentes partes del dominio.

Forma:

33

22

11

,)(

,)(

,)(

)(

fDomxxf

fDomxxf

fDomxxf

xf su dominio es:

21 fDomfDomDomf 3fDom .

EJEMPLO:

)(

)()(

xh

xgxfy


11

9

8

6

4

1 69 10

10

6

3

1. 58 8

EJERCICIOS

I. En cada caso, hallar el dominio y el rango de cada función representada en losgráficos siguientes:

II. Determine el dominio de las siguientes funciones:

1. 9)( xf

2.x

xf9

)(

3. xxxf 22

4. 18)( xxf

5. xxf 25)(

6. 24)( 2 xxxf

7. 5 57)( xf

8. 9)( kkf

9.3

26)(

y

yyg

10.x

xxxf

24)(

2

11.108

1)(

xxf

12.12

3)(

2

xx

xxf

13.

14.

10

7

6

4

1 2 5 85 9

9

6

5

1 3 6 8


15.

16.

17.

18. +

19.

Determine el dominio y rango de cada función:

1.2 3 5

( )6 3 5

x si xf x

x si x

2.

2,3

2,1)(

xsix

xsixxf

3. 2

4 3 2 0

( ) 1 0 2

7 2

x si x

f x x si x

si x

4.

64,

44,23)(

xsix

xsixxf

IV. Determinar el valor de la función, para cada una de las siguientes funciones:

1. 9)( xf , )5(;)(;)4( fhff

2.2( ) 3 5f x x ,

( 1) ; ( ) ; ( )f f a f x h

3. 5( )

3x

f xx

,

( 1) ; (0) ; ( )f f f x h

4. 42)( 2 xxxf ,

( ) ; (0) ; ( 3)f h f f

5. 163)( 2 xxxf ,

)1(;)11(;)3

1( fff


V. En los siguientes ejercicios determine: f(1), f(-2), f(a+b)

1.

2.

3.

4.

5.

VI Dadas las funciones:

Calcular:

. 3

.1

.2

. 5

.2

.3

g

.2

.1

.3

.1

.3

.5

f


SEMANA 12

TEMA : FUNCIÓN CRECIENTE Y FUNCIÓN DECRECIENTE

FUNCIÓN CRECIENTE

Una función f(x) es estrictamente creciente en un intervalo si para cualquier par de númerosx1, x2 de dicho intervalo tales que x1 sea menor x2 se verifica que f(x1) es menor que f(x2)

Ejemplo:

1. La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

- 6 - 4 - 2 0 2

2.

3.

)()(: 212121 xfxfxxDfxx


FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo si para cualquier par de númerosx1, x2 de dicho intervalo tales que x1 sea menor x2 se verifica que f(x1) es mayor que f(x2). Fig2

Ejemplo:

1. La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

- 8

- 6- 4

- 2

0

24

6

8

- 5 0 5

2.

)()(: 212121 xfxfxxDfxx


3.

Ejemplos:

1. Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo . La

siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

a. Creciente en los intervalos

b. Decreciente en los intervalos

2. La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a ceroy creciente en el intervalo de cero a infinito.


0

5

1 0

1 5

2 0

- 5 0 5

Pasos para determinar si es creciente o decreciente

1Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces

1) f(x) es CRECIENTE en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f(x) es DECRECIENTE en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.

3) f(x) es CONSTANTE en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

Ejemplo 1:

La función ¿Es creciente?

Ejemplos:

1) La función f(x) = 2x + 4 es una Funcióncreciente en los números reales.

2) La función g(x) = -x3 es una funcióndecreciente en los números reales.

Y Y

1) 2) 8

4

2 1

-4 -2 0 X -2 -1 01 2 X

-1


Ejemplo 3: La función h(x) = 2 es unafunción contante en los números reales

0

0 . 5

1

1 . 5

2

- 4 - 2 0 2 4

Ejemplo 4: Analizar las funciones cuyas gráficas se muestra a continuación


Dominio

Rango

Creciente

Decreciente

SIGNO DE UNA FUNCIÓN: PARTE POSITIVA Y PARTE NEGATIVA

Debes recordar el signo de las x y las y en cada cuadrante del plano cartesiano. Las y sonpositivas en el cuadrante I y II, pero son negativas en los cuadrante III y IV. Se interesa saberdonde f (x) > 0 (positiva) y donde f (x) < 0 (negativa). Esto es, donde y > 0, donde y < 0.

y

Como f (x) es la variable dependiente (la y) de la función, entonces la función f (x) es positivapara todos los valores de la gráfica que se encuentran sobre el eje de x (cuadrantes I y II).

La función es positiva, en elcuadrante I y II (sobre el eje de x)

y > 0

La función es negativa, en elcuadrante III y IV (bajo el eje de x)

y


La función f (x) es negativa para todos los valores de la gráfica que se encuentran bajo el eje dex (cuadrantes III y IV).

Ejemplo: Usar la siguiente gráfica y contestar:

1- ¿Será la gráfica de una función? Explica.

2- ¿Para cuales x, f(x) > 0?

3- ¿Para qué valores de x, la función es negativa?

4- ¿Es f (-2) positivo o negativo?

5- ¿Es f (1) positivo o negativo?

x

y


SEMANA 13

TEMA 13: RECTAS, PENDIENTE DE UNA RECTA, ECUACIONES DE LA RECTA: GENERAL YPUNTO PENDIENTE. CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD.

Inclinación y Pendiente de una Recta

a) Inclinación: La inclinación de una recta L ( que no sea paralela al eje X) es el menor de losángulos que dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide desde el eje x a la recta L,en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Mientras no se advierta otra cosa, seconsidera que el sentido positivo de L es hacia arriba. Si L fuera paralela al eje x, suinclinación sería cero.

b) Pendiente : Denominada por m

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.

La pendiente m , de una recta que pasa por los puntos y es:

Si la recta es paralela al eje , la pendiente es 0

Si la recta es paralela al eje , la pendiente no está definida.

OBJETIVO:

Desarrollar la noción de pendiente y formas diferentes de las ecuaciones de rectas.


Ejemplo 1: Sea l la recta que pasa por los puntos P(2,3) y P(4,7). Encontrar la pendiente.Trazar gráficamente la recta y los puntos.

Ejemplo 2: Hallar la pendiente de la recta determinada por los puntos cuyas

coordenadas son:

a) y

b) y

c) y

Ejemplo 3: Determinar la pendiente de cada una de las rectas dadas por:

a)

b)

c) -2x+3

d)

e) +

f)

83

Ejemplo 4: Trazar la línea recta que pasa por los puntos (-2,5) y tiene pendiente

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

a) Punto Pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y2) y cuya pendientesea m es:

Ejemplo: Determine una ecuación de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (1, -3)

b) Pendiente- Ordenadas en el Origen .- La ecuación de la recta de pendiente m y que cortaal eje y en el punto (0, b), siendo b la ordenada en el origen , es :

Ejemplo: Encuentre una ecuación de la recta con pendiente 3 e intersección igual a -4

Y- Y1 =m (X-X1)

Y = mx +b

84

c) Cartesiana .- La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2 (x2,y2) es:

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,3) y P(4,7).

d) Abscisa y Ordenada en el Origen

La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados X e Y en los puntos (a,0), siendo a laabscisa en el origen , y (0,b) ; siendo b la ordenada en el origen , respectivamente es :

Ejemplo: la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (2,0) y P(0,7).

Y-Y1 = Y1- Y2

X –X1 X1-X2

X + Y =1

a b

85

d) General.-Una ecuación lineal o de primer grado en las variables X e Y es de la forma

en donde A, B, y C son constantes arbitrarias.

La pendiente es : y su ordenada en origen

Ejemplo: Encuentre una forma lineal general de la recta cuya forma pendiente-intersección es

Formas de Ecuaciones de rectas

Forma punto pendiente y-y1=(x-x1)

Forma pendiente-intersección y=x+b

Forma lineal general x+y+ c =0

Recta vertical x=a

Recta horizontal y=b

Intersección de rectas

En la intersección de rectas se obtiene un punto cuyas coordenadas los podemos obtenerdesarrollando el sistema de ecuaciones entre rectas.

Ejemplo:

86

L1: 2x-3y-5=0

L2: x+2y-13=0

Rectas Paralelas

Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales o si son verticales.

Ejemplo:

Sea L1 una recta que pasa por los puntos (-2,9) y (1,3) y sea L2 la recta que pasa por los puntos(-4,10) y (3,-4). Determinar si L1 y L2 son paralelas.

Rectas Perpendiculares Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, la pendiente de una de ellases igual al reciproco de la pendiente de la otra con signo contrario. Esto es llamado m1 a lapendiente de L1 y m2 a la de L2 si tiene m1= -1/m2 o bien m1m2= -1

87

Ejemplo:

Determinar una ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1) y es perpendicular a la recta2x-y+1=0

Ejercicios

1. Represente gráficamente, halle la pendiente y la intersección con el eje Y

a. y = -3x

b. y = 0.5x

c. y = -3

d. x= 2

f. 2x - y+3 = 0

g.2x+3y-6=0

h. 3x - 5y = 15

i. 0.4x + 0.5y = 2

2. Encuentre la ecuación de la recta de:

a. Si la pendiente es -3 y pasa por el punto (1,-2)

b. Si la pendiente es 5 y pasa por el punto (-2,3)

c. Si la pendiente es 1/2 y pasa por el punto (0,3)

d. Si la pendiente es -1 y pasa por el punto (0,-2)

88

e. Si la pendiente es 2 y pasa por el punto (1,0)

f. Si la pendiente es -5 y pasa por el punto (-3,2)

g. Si pasa por los puntos (2,-2) y (4,5)

h. Si pasa por los puntos (-3,5) y (6,-2)

i. .Si pasa por los puntos (2/3;-1/2) y (-1/3;3/5)

3. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares o de ninguno deestos tipos

a. 2x +3y =6 y 3x - 2y = 6

b. y - 2x +3 = 0 y x + y =1

c. y =2x +3 y x = 2y +3

d. 4x +2y = 1 y y = 2 - 2x

e. x=- 2- 3y y 2x + 6y =5

f. 3x + 4y =1 y 3x - 4y =1

g. y- 3 =0 y x +5 =0

h. 2x – 5 = 0 y 3 – x = 0

f.

g.

h.

i.

4. Si una recta tiene como pendiente ¿Cuál es la pendiente de una recta

perpendicular a ?

5. Hallar el valor de para que la rectas y

a) Sean paralelos b) Sean perpendiculares

6. Calcular la pendiente de la recta perpendicular a la recta , si sabemos que pasa por

los puntos y

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto y que es perpendicular a la

recta cuya ecuación es 0

89

8. Una recta con pendiente 3 pasa por el punto . Un punto sobre la recta tiene ordenada4, hallar la abscisa de dicho punto.

9. Determinar los puntos donde la recta interseca al eje y al eje

10. Hallar la ecuación de la recta determinada por los puntos y .

11. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos y .

12. En la ecuación de la recta determinar:

a) Pendiente b) Intercepto con el eje , c) Intercepto con el eje

13. Comprobar que la recta que pasa por los puntos y y la recta por y

son paralelas.

14. Hallar la ecuación de la recta de pendiente y cuyo intercepto con el eje es

15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por y es paralela a la recta que pasa por

y .

16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por y es paralela al eje

90

SEMANA 14

TEMA 14: FUNCIÓN LINEAL Y APLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES ; ECUACIÓN DE LA RECTA;OFERTA, DEMANDA, PUNTO DE EQUILIBRIO

FUNCIÓN LINEAL

A la función f, le llamaremos función lineal, si su regla de correspondencia es:

Donde son constantes y

OBJETIVO:

Introducir las funciones lineales y desarrollar la noción de oferta y demanda.

91

Referencia:

Función de costo Total: C(x)=costo de fabricación de x unidades del producto

Función de Ingreso : R(x)= Ingreso totales obtenidos por la venta de x unidades del producto.

Función de ganancia: P(X)= Ganancia total obtenida por la fabricación y venta de x unidadesdel producto.

APLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES ; ECUACIÓN DE LA RECTA; OFERTA, DEMANDA, PUNTODE EQUILIBRIO

Ejemplo 1.

1) Cuando el precio es de 80 soles se vende 10 relojes y vende 20 cuando el precio es de 60soles ¿Cuál es la ecuación de la demanda?

2) Cuando el precio es 50 soles hay disponible 50 cámaras de un tipo dado para el mercado;cuando el precio es 75 soles hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de laoferta?

3) Hallar el punto de equilibrio de las siguientes ecuaciones de oferta y demanda. Graficar

4) Referencia: Costo total=costos variables + costos fijos

El costo variable de fabricar una mesa es de 7 dólares y los costos fijos son de 150 dólares

al día. Determinar el costo total de fabricar meses al día. ¿Cuál es el costo de fabricar100 mesas al día. Representar gráficamente.

92

5)( Modelo de Costo Lineal) A una compañía le cuesta 75 producir 10 unidades de cierto articulo y 120 producir 25 unidadesdel mismo artículos al día. Determine:a) La ecuación de costo.b) ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día?c) Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículos?

6) (Modelo de Ingreso Lineal)

Suponga que el precio de venta de un artículo es 380 soles

a) Escriba la función ingreso y grafique.b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 2000 artículos?

7) (Modelo de Utilidad Lineal)

Una empresa tiene costos fijos de 18600 soles y por artículos que produce tiene un gasto de 150.Además, la empresa vende cada artículo en 380 soles.

a) Escriba la función de costos.b) Escriba la función de ingresoc) Determine la función de utilidad y grafíquela.

8) (Modelo de Depreciación Lineal)

Un método común de calcular el monto de la depreciación es : Reducir el valor cada año en unacantidad constante de forma tal que el valor se reduzca a un valor de desecho al final del tiempode vida útil estimado del equipo

Así tenemos:En matemática viene aser la pendiente

93

T= tasa de depreciación anual

Vi=Valor Inicial

Vf=Valor final o de desecho

n = tiempo de vida en años.

Si t=0 entonces Vi=V

Si t=n entonces V=Vf

Entonces, V es el valor del equipo para un tiempo cualquiera.

Con estos dos puntos podemos aplicar la ecuación punto pendiente.

La Grafica:

Ejemplo 1: (depreciación)

Una empresa compra maquinaria por 150000 soles. Se espera que el tiempo de vida útil de lamaquinaria sea 12 años con un valor de desecho de cero. Determinar el monto de depreciaciónanual y una fórmula para el valor depreciado después de X años.

94


Una impresora tiene un valor original de 100 dólares y se deprecia en forma lineal durante cincoaños, con el valor de desecho de 30 soles:

a) Determinar una expresión que de un valor contable al final del año t. (grafique)b) ¿Cuál será el valor contable de la maquinaría al final del segundo año?c) Cuál es la tasa de depreciación de la Impresora?


Juan compro un automóvil por 10,000 dólares ¿Cuál es el valor V del automóvil después de t años,suponiendo que se deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original? ¿Cuáles el valor del automóvil después de 5 años?

95

Ejercicios

1. Determinación de una función lineal: Suponer que es una función lineal con pendiente 2 y

. Hallar

2. Determinación de una función lineal: Si es una función lineal tal que y

. Hallar

3. Dieta para gallinas: En pruebas de una dieta experimental para gallinas, se determino que el pesopromedio w (en gramos) de una gallina fue, según las estadísticas, una función lineal del número de

días d después de que se inicio la dieta, donde . Suponer que el peso promedio de unagallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 días después fue de 675 gramos.a. Determinar w como una función lineal de d.

b. Determinar el peso promedio de una gallina cuando

4. En los problemas determinar cuando es una función lineal que tiene laspropiedades dadas.

a.b.c.d.e.f.g.h.

96

5. Suponga que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de40 por unidad y de 300 unidades. A un precio de 35 por unidad. Hallar la ecuación de lademanda, si dicha ecuación es lineal.

6. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 100000 paquetes a lasemana cuando el precio es de 1.2 por paquete. Pero, las ventas se incrementan a 12000cuando el precio se reduce a 1.10 por paquete. Determine la relación de demanda,suponiendo que es lineal.

7. Cuando el precio por unidad de un producto sea 10 dólares la oferta será de 80 unidadesdiarias, mientras que será de 90 unidades a un precio unitario de 10.50 dólares.Determinar la ecuación de oferta, suponiendo que es lineal.

8. No existe demanda para una nueva marca de cámaras de video si el precio por cámara esde $1700 o más. Por cada disminución de $100 en el precio, la demanda se incrementa en200 unidades. El fabricante no es esta dispuesta a considerar un precio unitario $500 omenos y ofrecerá 1400 cámaras de video al precio de $850 cada una. Determiné lasecuaciones de oferta y demanda, suponiendo que son lineales ¿Cuál es el precio y lacantidad de equilibrio?

9. La compañía Para ti fabrica sus productos con un costo de 4soles por unidad y los vende a10 soles la unidad .Si los costos fijos de la empresa son de 12000 soles al mes, determinarel punto de equilibrio de la empresa.

10. La gerencia de la compañía de controles debe decidir entre dos procesos de producción desu termostato electrónico modelo C. El costo mensual del primer proceso esta dado por

; donde x es la cantidad de termostatos producidos, y elcosto mensual del segundo proceso está dado por . Si lasventas proyectadas son de 800 termostatos a un precio unitario de 40 dólares a) ¿Cuálproceso debe elegir la gerencia para maximizar las ganancias? b) Cual proceso debe elegirla gerencia si las ventas proyectadas son de 1500 unidades?

11. Un fabricante tiene costos fijos mensuales de 60000 soles y un costo de producciónunitario de 10 dólares. El producto se vende por $15 la unidad.

a. ¿Cuál es la función de costos?b. ¿Cuál es la función de ganancia?c. ¿Cuál es la función de ganancia?d. Calcule la ganancia (o perdida) correspondiente a los niveles de producción de

10000 y 14000 unidades.

12. Determinar una función lineal si es una función lineal tal que y

encuentre13. Cuando se termino en 2000, un edificio de oficinas tenía un valor de $1 millón y se

deprecia linealmente durante 50 años ¿Cuál será el valor contable del edificio en 2005 y2010? (suponga que el desecho es $0).

14. Suponga que el costo para producir 5 unidades de un producto es 20 y el costo para 10unidades es de 35. Si el costo, C, está relacionado de manera lineal con la producción, q ,determine :

a. El costo de producir 25 unidadesb. La ecuación de ingreso y utilidad, si el precio de venta de de dicho artículo es de 2.

15. Ecuación de costo: Suponga que el costo para un producir unidades de un producto es de$ 40 y el de 20 unidades es de $ 70. Si el costo c está relacionado linealmente con elproducto q, determine una ecuación lineal que relacione c con q. Encuentre el costo deproducir 35 unidades.

97

16. Depreciación: Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada año en un10% de su valor original. Si el valor original es $ 8000. Encuentre una ecuación que expreseel valor v de la maquinaria después de t años de compra, donde . Bosqueje laecuación, seleccione t como el eje horizontal y v como el eje vertical. ¿Cuál es la pendientede la recta resultante?. Este método de considerar el valor del equipo es llamadodepreciación lineal.

17. Dieta para gallinas: En pruebas de una dieta experimental para gallinas, se determinó que elpeso promedio en gramos w (en gramos) de una gallina fue, según las estadísticas, una funciónlineal del número de días d después de que se inició la dieta, donde

. Suponer que le precio promedio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y25 días después fue de 675 gramos. a. Determinar w como una función lineal de d.

b. Determinar el peso promedio de una gallina cuando d=10

SEMANA 15

TEMA 15 : FUNCIONES DE OFERTA, DEMANDA Y PUNTO DE EQUILIBRIO

1. Sea la ecuación de oferta y la ecuación de demanda , halleel precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades que se ofrecieron y demandaron

2. Las funciones de oferta y demanda de cierto artículo sonrespectivamente. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades que seofrecieron y demandaron y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.

3. Las funciones de oferta y demanda de cierto artículo son

respectivamente.

OBJETIVOS:

Aplicar la ecuación de la recta para resolver problemas de fenómenos concomportamiento lineal.

Interpretar las distintas situaciones del precio y demanda lineales a través del lasgráficas.

98

a. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas ydemandadas.

b. Dibuje la curva de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.c.¿Dónde corta la curva de oferta al eje q? Explique la interpretación económica de este punto.

5. Sea la ecuación de oferta para el producto de un fabricante y la ecuación de

la demanda es

a. Si se carga un impuesto de $1.50 por unidad al fabricante, ¿cómo será afectado el precio deequilibrio original si la demanda permanece igual?

b. Determine el ingreso total obtenido por el fabricante en el punto de equilibrio antes y despuésdel impuesto.

99

TEMA: ECUACIONES LINEALES DE INGRESO, COSTO Y UTILIDAD

1. Una fábrica de frituras tiene costos fijos diarios de $1 800, Además, cuesta 50 centavosproducir cada bolsa de fritura. Una bolsa de fritura se vende a $ 1,20a. Encuentre el costo diario total de producir x bolsas de frituras.b. Encuentre el ingreso diario por vender x bolsas de frituras.c. Encuentre la ganancia diaria por vender x bolsas de frituras.

2. El gráfico mostrado representa la ecuacióncosto total de la producción de undeterminado artículo, si dicho artículo sevende a $ 8,00 cada uno:

a. Determine la ecuación del

costo total.

b. Determine y grafique

la ecuación del ingreso.

c. Determine y grafique

la ecuación de la utilidad.

d. Determine el Volumen

Mínimo de producción.

3. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es $40 y el costo para 20unidades es $ 70. Si el costo, C, está relacionado de manera lineal con la producción, q, determine:

a. El costo de producir 35 unidades.b. Las ecuaciones de ingreso y utilidad, si el precio de venta de dicho artículo es $5c. Grafique en un mismo plano cartesianos las ecuaciones de Costo, Ingreso y Utilidad

indicando el volumen mínimo de producción.

q(cientos unid.)

C(miles $)

100

4. Si la siguiente gráfica corresponde al costo (C) y a la utilidad (U) de un producto para qunidades. Determine el ingreso y su gráfica respectiva en el sistema de coordenadas, señalando elpunto de equilibrio.

5. Un productor asume un costo variable por unidad de $5 y un costo fijo de $100 semanales. Siel precio del bien producido es igual a $10, responda:

a. Escriba las ecuaciones que representan el ingreso, el costo y la utilidad del productor;grafíquelas en el sistema de coordenadas y obtenga el punto de equilibrio del productor.

b. Si el costo fijo se incrementa en $50, ¿cuál es el nuevo punto de equilibrio? Muestre elgráfico.

6. Una PYME está interesada en producir un nuevo producto, dispone de la siguiente gráfica einformación, referida a ella. El gerente del departamento de cotos y análisis desea saber cuántasunidades debe producir para recuperar la inversión.

Pendiente de la recta C: 3

Pendiente de la recta I: 5

Determine:

a. Las ecuaciones de costo e ingreso.

Unidades de millar

q

- 12

C= 4q + 12000

U= 6q + k , k: cte

( en miles de dólares)

101

b. Las unidades que desea hallar el gerente de costos.c. El intercepto de U con el eje y.

7. Una compañía de artefactos eléctricos, vende cada licuadora en $ 270 ganando el 35% sobreel costo unitario, si sus costos fijos mensuales ascienden a $ 18 000.

a. Demuestre que el costo unitario es $ 200.b. Determine las ecuaciones de: Ingreso y Costo total, si estas ecuaciones mantienen un

comportamiento lineal. c. Grafique la las tres ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

8. Una compañía dedicada a la producción de artículos de limpieza indica que el costo unitario esde $15. Además, el costo fijo es de 840 dólares. Si cuando se producen 150 unidades la utilidad(ingreso excede al costo total) es de 210 dólares:

a. Demuestre que el precio de venta es 22 dólaresb. Determine las ecuaciones del Costo total, Ingreso y Utilidad, sabiendo que siguen un

comportamiento lineal.c. Determine el volumen mínimo de producciónd. Grafique las tres ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

9. Dadas las graficas de las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad ¿Cuál es el valor del costounitario?

10. Un fabricante de juguetes para niños alcanzará el equilibrio en un volumen de ventas de $200000. Los costos fijos son de $40 000 y cada unidad de producción se vende a $5.

a) Determine el costo total si tiene un comportamiento lineal.

b) Grafique en un mismo plano las funciones Costo Total, Ingreso y Utilidad, asumiendo uncomportamiento lineal de ellas.

q (und)

$

VMP: 80

Utilidad

Ingreso

Costo

-400

600

102

Semana 16

TEMA 16: FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función cuadrática

Forma General:

cxbxay 2 donde 0;,,, arealessoncba

Representación gráfica de una función cuadrática:

Su grafica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical x=h ,llamada eje de simetría y con vértice V(h,k)

Si a>0, cxbxay 2

La parábola se abre hacia arriba

Si a<0; cxbxay 2

La parábola se abre hacia abajo.

Propiedades de la función cuadrática

f(x)=ax2+bx+c ( )

1) El domino de f es el conjunto de todos los números reales2) Si a>0, la parábola abre hacia arriba, y si a<0, hacia abajo

3) El vértice de la parábola es o V(h,k)=

4) El eje de simetría de la parábola es

5) Las intersecciones con el eje x (si existen ) se determinan resolviendo f(x)=0.LaIntersección con el eje y es f(0)=c

103

Ejemplo1:

Dada la función cuadrática: f(x)= -2x2+5x-2

a) Determinar el vértice de la parábolab) Determinar las intersecciones del eje x con la parábola (si existen)c) Bosquejar la Parábola.d) Determinar el dominio y rango.

Practiquen:

Dada la función cuadrática: f(x)= 2x2-4x+1

a) Determinar el vértice de la parábolab)Determinar las intersecciones del eje x con la parábola (si existen)c) Bosquejar la Parábola.d)Determinar el dominio y rango.

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Ejemplo Real:

(Función de demanda)

Nota: La función de demanda es una relación matemáticamente que expresa la forma en quecantidad de demanda de un producto varía según el precio en que se vende.

La función de demanda de un producto determinado es )()( pfdq

122570)( 2 ppdq donde q (d) es el número de unidades demandadas y p el precio en

dólares.

Ejemplo1:

La ganancia trimestral de la empresa DDD( en miles de dólares) está dada por:

3073

1)( 2 xxxP donde ( 500 x ) donde x( en miles de soles) es la cantidad de

dinero que DDD gasta en publicidad cada trimestre . Determine la cantidad que DDD deberíainvertir en publicidad para obtener una ganancia trimestral máxima. ¿Cuál es la máximaganancia trimestral que puede lograr DDD?

Ref:a

b

2

105

Ejemplo 2:

La función de demanda de cierta marca de celulares está dada por:

p=d(x)= -0.01x2-0.2x+8 y la función de oferta correspondiente está dada por p=s(x)=0.01x2+0.1x+3 donde p se expresa en soles y x se mide en unidades de millar. Determinar lacantidad y el precio de equilibrio.

Ejemplo 3:

El ingreso total por la venta de un producto particular depende del precio por unidad. Enconcreto, la función de ingreso es

Donde R es el ingreso total en dólares y p indica el precio, también en dólares.

a) Qué clase de función es ésta?b) Cuál es el ingreso total esperado si el precio es de 10 dólares?c) Qué precio o precios darán un ingreso total de cero?

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Ejercicios

1) Dada la función cuadrática f(x)=2x2-3x-3 .a) Determinar el vértice de la parábola.b) Encuentre las intersecciones del eje x con la parábola, si estas existen.c) Grafique la Parábola.d) Determine dominio y el rango.

2) Dada la función cuadrática f(x)=2x2-5x+3 .a) Grafique la Parábola.b) Determine dominio y el rango. 3) Dada la función cuadrática f(x)=2-4x-3x2

a) Grafique la Parábola.

b) Determine dominio y el rango

4) Las ganancias mensuales estimada obtenidas por la empresa Cannon al producir y venderx unidades de cámaras modelo M1 es P(x)= -0.04x2+240x-10000 dólares. Encuentre cuantascámaras debe producir cada mes para maximizar sus ganancias.

5) Una función de oferta indica el número de unidades de un artículo que los proveedoresestán dispuestos a colocar en el mercado en función del precio que los consumidores estándispuestos a pagar. La siguiente es una función de este tipo:

Donde q es el número de unidades de la oferta (expresada en miles) y p indica el precio de venta.a) ¿Qué clase de función es ésta?b) ¿Qué cantidad debería ofrecerse si el precio de mercado es de 30 dólares?c) ¿Qué precio haría que el mercado se llevaran 0 unidades?

6) El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la

siguiente función , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es eltiempo medio en años.

En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuanto será? Grafique.

7) Una compañía produce cantidades y de dos tejidos diferentes mediante el mismoproceso de producción. La curva de transformación del producto para la materia prima utilizada

está dada por . ¿Cuáles son las mayores cantidades y que se puedenproducir?

8) La función de oferta para cierta marca de Videos está dada por

donde p es el precio unitario al mayoreo, en dólares y xrepresenta la cantidad que el proveedor pondrá en el mercado (medidas en unidades de millar).

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Trace la curva de oferta correspondiente. ¿Cuál es el precio mínimo para el cual el proveedorcolocara los v ideos en el mercado?

9) La funciones de oferta y demanda semanales de las tiendas de HHH están dadas por

Respectivamente, donde p se mide en dólares y en unidades de centena. Determinar lacantidad y el precio de equilibrio.

10.Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de

un nuevo producto , miles de familias lo usarán, en donde

. Estime el número máximo de familias que usaran el productoy graficar la función.

11. En los problemas a- f grafique cada función. Obtenga el vértice y las intercepciones yestablezca el rango.

a)b)c)d)e)f)

12. Ingreso: la función de demanda para el fabricante del producto es

donde p es el precio por unidad q unidades son demandadas (porsemana). Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del fabricante ydeterminar ese ingreso.

13. la función de demanda para un producto es , donde p es el precio por unidadcuando q unidades son demandadas por semana por los consumidores. Encontrar el nivel deproducción que maximizará el ingreso total del producto y determinar ese ingreso.

14. Laura atiende y es dueña de una pastelería. Contrato un consultor para analizar lasoperaciones del negocio. Él consultor dice que sus ganancias U de la venta de X unidades depasteles, están dadas por:

a) Trace la grafica de Ub) ¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias?c) ¿Cuál es la ganancia máxima?

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15. La gerencia de un restaurante de comida rápida desea maximizar el número de bolsasvendidas. Suponga que un modelo matemático que conecta G, la ganancia por día de la venta depapas fritas y X el precio por bolsa es:

a) Encuentre el precio por bolsa que conduce la ganancia máximab) ¿Cuál es la ganancia máxima?c) Trace la grafica de G

16. la función demanda para le fabricante de un producto es , donde p es elprecio por unidad donde q unidades son demandadas. Encontrar el nivel de producción quemaximizara el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso.

17. Una pequeña empresa se dedica a la compra y venta de lapiceros. La empresa los compra a 4soles cada uno. Si los vende a 10 soles podría vender 1000 lapiceros y por cada incremento a 1 solen el precio vendería 100 lapiceros menos. Determine el numero de incrementos necesarios paraobtener la mayor utilidad.

18. Función ingreso: el costo de producir cierto producto está dada por la función es

, obteniendo una utilidad .

a) Determine la función ingresob) Determine la función demandac) ¿Qué cantidad produce el ingreso máximo y cuál es el ingreso máximo?d) Graficar la función ingreso

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. La función de demanda para un producto es p = 1000 – 2q, donde p es el precio (endólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (por semana). Encuentre elnivel de producción que maximiza el ingreso total de productor, y determine este ingreso.

2. La función de demanda para el fabricante de un producto esdonde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades(diarias). Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante ydetermine este ingreso.

3. La función de demanda para la línea de lap-tops de una compañía de electrónica es

, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores

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demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso totaldel fabricante y determine este ingreso.

4. La función de demanda para una línea de camisetas es P= 1600 – 4q, donde “P” es elprecio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan “q” unidades (semanales).Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante y determine esteingreso.

5. La utilidad diaria de la venta de zapatillas para el departamento de calzado de un almacén,

esta dado por P(x) = + 22x + 104; donde x es el numero de zapatillas vendidas. Determine elvértice y las intersecciones con los ejes de la función y haga la grafica de la función.

6. La función de demanda para el fabricante de un producto es

P= F(x) = , donde P es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan qunidades (por semana). Encuentre el nivel de producción que maximizará el ingreso total delfabricante y determine este ingreso.

7. La función de demanda para una línea de lápices de una compañía de artículos escolareses P = 0.5 – 0,0002q, en donde P es el pecio (en dólares) por unidad cuando los consumidoresdemandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso totaldel fabricante y determine este ingreso.

8. Una compañía de investigación de mercados estima que “N” meses después de laintroducción de un nuevo producto, f(n) miles de familias lo usaran, en donde

F = 0

Estime el número máximo de familias que usaran el producto.

Documents

Manual de Matematicas 2011-III[1]