WINQSB

Universidad Csar Vallejo Piura

Mtodos para la Toma de DecisionesFacultad de Ingeniera

WINQSB

1.1 EL ACCESO AL LP-ILPAl acceder al WINQSB, se despliegan los diferentes mdulos del paquete, entre ellos se encuentra el LP-ILP, un programa especializado en la solucin de modelos de programacin lineal, entera y binaria.

1.2 El Mdulo de Programacin Lineal (LP-ILP)En este primer curso de Investigacin de Operaciones-I, aprenderemos el modelamiento (rplica) de los sistemas, a travs de modelos simblico- matemticos y para ser ms precisos, mediante ecuaciones lineales o de primer grado. El LP-ILP es un software muy usado por los acadmicos y profesionales, para resolver modelos lineales de optimizacin relativamente complejos y para ser franco de una manera bastante sencilla.

PARTE-I: El acceso al programa Seleccionamos el icono del programa (LP-ILP) y accedemos a la primera pantalla, cuyo men de opciones es: File (archivos) y Help (ayuda). Tenemos dos maneras de trabajar un nuevo archivo:La primera es seleccionar File y a continuacin New Problem

La segunda, es directamente, desde el icono de la hoja cuadriculada, en la barra de herramientas y que se encuentra debajo de la opcin File

1.3 Las especificaciones del problema: Cuando iniciamos el trabajo del nuevo archivo (un nuevo problema), se despliega una pantalla bastante intuitiva que nos solicita las especificaciones del modelo: un ttulo, el nmero de variables, el nmero de restricciones (Number of constraints), El criterio del objetivo (Maximizacin o Minimizacin) y el tipo de variable (no negativa y continua, no negativa y entera, binaria e irrestricta en signo). El men de Data Entry Format selecciona el ingreso de los datos a travs de una hoja de trabajo en forma de matriz (Spreadsheet Matrix Form) o mediante la formulacin Normal del Modelo (como ecuaciones). Por defecto se encuentra seleccionada la forma de matriz, en el ingreso de los datos, la cual resulta la ms sencilla y rpida, as que no debemos preocuparnos por este campo.

Continuaremos con el llenado del formulario de ingreso, mediante nuestro primer ejemplo de aplicacin:Se trata de resolver el siguiente problema de maximizacinEjemplo-1Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3

Sujeto a: 10X1 + 4X2 + 2X3 950

2X1 + 2X2

410

X1+ 2X3 610

Condiciones Tcnicas

X1, X2, X3 0Como se observa se trata de nuestro primer ejemplo, el cual tiene tres variables (X1, X2, X3) y tres restricciones (ecuaciones funcionales u operacionales).El objetivo es la maximizacin de una funcin Z y las condiciones tcnicas, acerca de las variables son: que stas sean no negativas (mayores que cero), no es necesario que resulten enteras en este caso

Luego de ingresar las especificaciones del problema confirmamos con OKCuando ingresamos las especificaciones del problema, tambin seleccionamos el ingreso de los datos, mediante una matriz. En la prctica, el programa nos presentar una hoja con celdas vacas y con el nmero variables que tiene nuestro problema, cada una, en una columna diferente y donde debern ingresarse solamente los coeficientes del modelo, en el siguiente orden :La primera fila corresponde a la funcin objetivo y que en nuestro caso es de maximizacin.

Como las variables ya han sido creadas y dispuestas, cada una ocupando una columna, no resultar nada difcil ingresar en la fila identificada como Maximize o Minimize, los coeficientes econmicos de la funcin objetivo, segn sea el caso. En nuestro primer ejemplo, se trata de :Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3Por lo tanto, debern ingresarse solamente y en el orden dispuesto:

40 para la primera columna (X1), 60 para la segunda columna (X2) y 50 para la tercera (X3).Luego se continan con los coeficientes de las variables en las restricciones (C1, C2, C3), hasta completar el ingreso de todas las ecuaciones del problema.

Nota: El cambio en la direccin del signo de la ecuacin o inecuacin, se modifica directamente con un clic consecutivo en el signo (, =), hasta obtener el signo deseadoEl tipo de variable (Variable Type), puede modificarse individualmente para cada variable igualmente haciendo clic consecutivamente en la palabra (continuous, integer, binary o unrestricted)1.4La obtencin de la solucin del problemaUna vez terminado el proceso de ingreso de los coeficientes del modelo, podemos obtener la solucin seleccionando la opcin Solve and Analyze, (en la barra de opciones del programa)

La tabla de solucin ptima

Los valores de solucin ptima, para las variables del problema, se encuentran en la segunda columna (Solution Value), que en nuestro caso corresponden a 0, para X1; 85, para X2 y 305, para X3. Obsrvese que la primera columna es asignada al nombre de las variables de decisin (Decision Variable) y de las restricciones (Constraint), las primeras en la mitad de arriba y en la mitad inferior de la tabla, las segundas 1.5 EL ANLISIS DE SENSIBILIDAD DE LA SOLUCIN PTIMA1.5.1 Anlisis de sensibilidad de los coeficientes econmicos de las variables

Supongamos que se han producido variaciones en los coeficientes de la funcin objetivo Cual es el cambio mximo que puede producirse en los coeficiente econmicos (de las variables bsicas) de la funcin objetivo, sin que se afecte la optimalidad de las variables?Observemos con mayor detalle el cuadro de solucin

Lectura de los valores de la solucin (solution value)Lo que se aprecia en la parte superior del tablero es lo siguiente:

Las contribuciones unitarias de las variables X1, X2 y X3 son 40, 60 y 50 respectivamente. Las variables X2=85 y X3 = 305, son ptimas en la solucin encontrada, en cambio, el valor de la solucin para X1 es cero. Las contribuciones totales de las variables ptimas X2 y X3, son 60(85) = 5100 y 50(305)= 15250, respectivamente.

Los costos reducidos

La variable X1, tiene un costo reducido de 120, es decir, C1 (el coeficiente econmico de X1), podra incrementarse hasta un valor de 160 y dicha solucin seguira siendo no ptima. Otra manera de decir lo mismo, acerca del costo reducido en el problema, es entenderlo como el valor econmico mximo, que se podra incrementar, a dicha variable, no bsica en la solucin ptima, sin que llegue a ser una solucin (variable) ptima. Una variacin por encima de del costo reducido, la convertira en ptimaPor qu las variables ptimas no tienen costo reducido?

Como puede apreciarse en el tablero solucin que presenta el programa, las variables X2 y X3 no tienen costo reducido, por que son ptimas. En el problema la interpretacin ms inmediata sera que no necesitan ser incrementadas para que se conviertan en ptimas, por que con los actuales coeficientes econmicos C2 y C3 ya lo son.

Los rangos de sensibilidad de los coeficientes C1, C2 y C3

Los rangos en los cuales no se afecta la condicin de optimalidad actual de las variables, en la solucin son:La variable X1, como hemos analizado previamente utilizando el concepto de costo reducido, puede incrementarse hasta un valor mximo de 160 unidades (aumentarse en 120) reducirse en cualquier valor (-M), sin que pueda ser una variable ptima

La variable X2, actualmente si es ptima y por lo tanto no tiene costo reducido, so en primer lugar. El rango de variacin para el coeficiente C2 se encuentra entre un valor mnimo de 6.6667 y 100 como mximo. 6.667 C 2 100La variable X3, actualmente tambin es ptima y por lo tanto, tampoco tiene costo reducido. El rango de variacin para el coeficiente C3 se encuentra entre un valor mnimo de 30.0 y un valor mximo que se indica como M (no restringido o indeterminado).

Cada vez que suceda anlogamente, la variacin, est restringida, solamente en uno de los extremos

30 C 2 M 30 C 2 Los recursos o factores de produccin:Consideramos cada ecuacin (restriccin), como el modelamiento simblico-matemtico, de lo que sucede en el sistema con un factor de produccin (la demanda, disponibilidades de recursos, ventas, etc.), as que podemos decir que cada ecuacin del conjunto de restricciones planteadas (constraint), es un factor esencial del sistema.Nosotros accedemos a la informacin de los factores de produccin, en el mismo cuadro de solucin que presenta el programa, la cual se ubica, en la parte inferior de la tabla, como se observa:El balance de los factores en la solucin ptima encontrada:Cada restriccin tiene un lado derecho un smbolo de igualdad o desigualdad y un lado izquierdoEl lado izquierdo: es la formulacin combinada del gasto, transformacin o uso del factor analizado, en el sistema

El lado derecho: es un valor numrico (independiente de variables), que por lo general restringe el lado izquierdo y que puede incluir el cero C1 (Factor-1): 950 950Lado izquierdo = 950, es el gasto de este recurso, en la solucin ptima encontrada

Lado derecho = 950; este valor, era la disponibilidad mxima del recurso, la cual se plante al inicioSe concluye, que la solucin encontrada, es factible para este recurso y que no hay excedente (holgura) en el recurso, puesto que se consume totalmente

C2 (Factor-2: 170 410

Lado izquierdo = 170, es el gasto del recurso-2, en la solucin ptima encontrada

Lado derecho = 410; este valor, era la disponibilidad mxima del recurso-2, la cual se plante al inicioSe concluye, que la solucin encontrada, es factible para el recurso-2 y que hay un excedente (holgura) en el recurso de 240 unidades, puesto que no se consume totalmente

C3 (Factor-3): 610 610

Lado izquierdo = 610, es el gasto del recurso-3, en la solucin ptima encontrada

Lado derecho = 610; este valor, era la disponibilidad mxima del recurso o factor, la cual se plante al inicioSe concluye, que la solucin encontrada, si es factible para este recurso-3, pero que no hay excedente (holgura) en el recurso, porque se consume totalmente.

1.5.2 El anlisis dual y los precios sombra de los factores o recursos de produccinEl supuesto es el siguiente:

Los recursos abundantes no tienen valor econmico. Slo tendrn valor econmico los recursos escasosUn recurso abundante es aquel que tiene holgura

Por esto, el recurso-2, el cual tiene una holgura de 240 unidades, no tiene valor econmico

Los recursos 1 y 3, se consumen totalmente y todo recurso que se consume totalmente es escaso, por lo tanto si tendr valor econmico

Observemos el Shadow Price en el tablero solucin:

C1 (Recurso o Factor-1): 15 valor monetario por unidad adicional de C1C2 (Recurso o Factor-2): 0 valor monetario por unidad adicional de C2C3 (Recurso o Factor-3): 10 valor monetario por unidad adicional de C315, 0, 5; unidades monetarias, son los precios sombra de cotizacin, por una unidad adicional de los recursos 1, 2 y 3; respectivamente 1.5.3 El anlisis de sensibilidad de los recursosInterpretacin de los valores: Allowable Min RHS - Allowable Max RHSEstos valores resultan de plantear la condicin de no negatividad en cualquier solucin encontrada, para todos los factores de produccin Bk, los cuales se formulan y mantienen en todo modelo de programacin lineal (Bk 0) y los cuales se obtienen mediante el producto matricial de la matriz B -1 por cada vector Bk, de recursos iniciales

El anlisis de sensibilidad de los recursos b1, b2 y b3, respectivamente, no es muy difcil de demostrar haciendo uso del producto de matrices.

B -1 .= B1 0

B -1 = B2 0

B -1 = B3 0Remplazando y luego operando se obtiene

0,

b1 - 610 0 y -1/2 b1 + 410 + 305 0

610 b1 1430

0,

-1/2 (950) + b2 + 305 0, por lo tanto: b2 170

0 b3 0, 950- b3 0, -1/2 (950) + 410 + b3 0

130 b3 950El anlisis de sensibilidad para cada factor de produccin es presentado por el programa (Allowable Min RHS - Allowable Max RHS):610 C1 1430

170 C2 M

170 C2

130 C3 9501.6 Ejemplo-2: Modelo de Programacin BinariaDesarrollaremos ahora un Problema de Programacin entera binaria, cuya funcin objetivo es maximizar la rentabilidad en la seleccin de diversas variables de decisin, que compiten entre si y cuyo modelo es el siguiente: Max Z = 11500 X1 + 14900 X2 + 25000 X3 + 35000 X4 + 15000X5 + 30000 X6 + 28000 X7

S. a

4.5 X1 + 5.6 X2 + 7.5 X3 + 12.5 X4 + 6.8 X5 + 11.7 X6 + 9.5 X7 20

X3 + X7 1

X4 + X6 1

Condiciones tcnicas

X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 = Especificando el problema planteado:Objetivo

: MaximizacinVariables

: 7

Restricciones: 3

Tipo de variable: BinariasEspecificando el problema en el programa LP-ILP

Procedemos a continuacin a ingresar los coeficientes del modelo en la matriz de datos y luego a resolver el problema con la opcin Solve and Analize, de la barra de Men principal:

La presentacin del tablero solucin y la interpretacin de los resultados

Puesto que el modelo solamente tiene variables binarias, los posibles resultados, solamente sern dos (1,0)

La solucin encontrada indica que la seleccin ptima es escoger las variables de decisin X3 y X4, cuyo valor de solucin es 1

Las variables no ptimas tienen un valor igual a 0

Obsrvese as mismo que todas las restricciones planteadas (Constraint), se verifican y que la funcin Z, alcanza el valor ptimo (mximo) de 60 000II.LA DECLARACIN PERSONALIZADA DE VARIABLES, ADICIN, ELIMINACIN Y SUSTITUCIN DE VARIABLES Y RESTRICCIONES, EL MTODO GRFICO, ETC.En esta segunda parte, aprenderemos a modificar las condiciones iniciales de un problema, a declarar o renombrar las variables (X1, X2,.Xn), de acuerdo a las necesidades del usuario, insertar nuevas restricciones, a utilizar la opcin grfica del programa y otras cosas, que resultan muy tiles al estudiante que ya ha desarrollado algunos modelos en el LP-ILP y desea conocer un poco ms acerca del programa2.1.1 Declaracin de variables por el usuarioMuchas veces, por las caractersticas del problema, el usuario desea renombrar las variables, las que por omisin son declaradas como X1, X2,Xn , por el programa.

Veamos el ejemplo-3:

Max Z = 50400 KAMAZ + 84700 CAT + 73500 JD

Las restricciones Funcionales

0.800 KAMAZ + 1.300 CAT + 1.100 JD

30.0

KAMAZ + CAT + JD

30.0

3 KAMAZ + 6 CAT + 6 JD

150

25000 KAMAZ + 40000 CAT + 30000 JD

960000

Las condiciones tcnicas

KAMAZ, CAT, JD 0, enteras

En este modelo se busca maximizar el acarreo de mineral en una minera y se analiza la compra ptima de camiones mineros.Especificando las condiciones del problema planteado:

Objetivo

: MaximizacinVariables

: 3Restricciones: 4

Tipo de variable: Entera

Especificando el problema en el programa LP-ILP

Las variables por defecto son declaradas como X1, X2 y X3 por el programa, cuando se presenta la matriz inicial de ingreso de los datos, (como se observa en la pantalla), as que las renombraremos de acuerdo al problemaX1 = KAMAZ, X2= CAT , X3= JD

Para ello debemos seleccionar la opcin Edit, del men principal y a continuacin Nombre de las variables (Variable Names), la cual se despliega

2.1.2 Cambios en el nombre del problema, la funcin objetivo, eliminacin y adicin de nuevas variables y restricciones, etc. Problem Name: Si deseamos cambiar el nombre inicial del problema

Constraint Names: Si deseamos cambiar el nombre inicial de las restricciones, las cuales por defecto se designan por C1, C2, C3, etc.

Objective Function Criterion: Si deseamos modificar el criterio del objetivo de Maximizacin a Minimizacin y viceversa

Insert a Variable: Si deseamos insertar una nueva variable de decisinDelete a Variable: Si deseamos eliminar una variable de decisin del modeloInsert a Constraint: Si deseamos insertar una nueva variable de decisinDelete a Constraint: Si deseamos eliminar una restriccin del modelo

Continuando con el ejemplo, ahora declaramos los nuevos nombres, luego de seleccionar poner el nombre de las variables (Variable Names), confirmando luego con OK

2.1.3 Cambio en el nombre de las restricciones : El cambio se har de la siguiente manera: C1: PresupuestoC2: Capacidad

C3: AlojamientoC4: MantenimientoVamos entonces a la opcin Edit, para seleccionar el cambio de nombre de las restricciones (Constraint Names)

Y luego proceder al cambio de nombre de las restricciones, como se muestra

Confirmamos el cambio de nombre de las restricciones, haciendo clic en OK y procedemos luego a ingresar los coeficientes del modelo, en sus celdas correspondientes

Una vez terminado el proceso de ingreso de los coeficientes en la matriz, procedemos a encontrar la solucin ptima del modelo, seleccionando la opcin Solve and Analize, del men principal, tal como se ha venido realizando en los ejemplos anteriores

La solucin ptima es la compra de 2 camiones KAMAZ. 10 camiones CAT y 14 camiones J.DObservando las restricciones (Constraint), ahora nos resulta ms fcil identificarlas en la solucin e interpretar cada una de ellas:La restriccin de Presupuesto, restringa el gasto a 30 millones (lado derecho de la restriccin) y se han gastado 30 millones en la compra combinada de los camiones, encontrada en la solucin ptima

La restriccin de Capacidad: restringa la compra a 30 camiones, debido a la capacidad actual del taller y se han comprado 26 nuevas unidades

La restriccin de Alojamiento: restringa a 150, el nmero de operarios que podan alojarse en el campamento minero, los que se encargaran de operar los nuevos camiones

La restriccin de mantenimiento: restringa a 960 000 dlares, el presupuesto anual para la nueva flota y se ha estimado que dicho costo asciende a 870 000 dlares

2.2 EL MTODO GRFICOEs muy frecuente en la Facultad de Ingeniera, que se revise el Mtodo Grfico de Solucin, para los Modelos de Programacin Lineal con dos variables, puesto que permite visualizar algunos de los conceptos ms importantes de la Programacin Lineal y a pesar que en la prctica, resulta inaplicable para la gran mayora de problemas reales, as que desarrollaremos el ltimo ejemplo aplicando el Mtodo Grfico.

Sea el ejemplo-4:Z max = 5X1 + 2 X2

SA:

3X1 + 4X2 12

2X1 + 5 X2 10

X1 4

Condicin tcnica de no negatividad X1, X2 0

El cual desarrollaremos en el programa LP-ILP, aplicando el Mtodo GrficoEspecificaciones (Generales) del Problema:

Objetivo

: Maximizacin Nmero de variables:2Nmero de restricciones:3Tipo de variable

: No negativa y continua

Ingresamos luego los coeficientes del modelo, en la Matriz de Datos

Y finalmente seleccionamos la opcin grfica, desde la barra de herramientas, dando un clic en el icono que muestra dos lneas intersectadas y una regin de factibilidad coloreada (observar pantalla siguiente)

El paso siguiente, es seleccionar los ejes, para cada una de las variables.Por defecto u omisin, el programa le asigna el eje de coordenadas X a la variable X1 y el eje de coordenadas Y a la variable X2, sin embargo sta asignacin puede ser modificada por el usuario

Confirmamos la seleccin, dando un OK final, para obtener la solucin grfica del programa.

La pantalla de solucin muestra, las rectas y sus intersecciones, la regin de factibilidad y el punto solucin ptima (optimal solution), que en nuestro caso es: Z objetivo = 20, X1= 4, X2 = 0 El anlisis de sensibilidad en el mtodo grfico, nos permite explicar/ entender visualmente, como cambia la regin de factibilidad, cuando se modifican los coeficientes de las variables y las restricciones o como se comporta la funcin objetivo en el modelo.

Accedemos al anlisis de sensibilidad (en el mtodo grfico), seleccionando la opcin Sensitivity / Objective Function and Constraints , del men principal, la cual se visualiza en la parte superior del grfico , para modificar los coeficientes originales de la funcin objetivo y de las restricciones funcionales, en el rango que desea el usuario. El formulario que presenta el programa, es bastante intuitivo y nos permite modificar cualquier restriccin o la funcin objetivo inicial.

El formulario que presenta el programa, es bastante intuitivo y nos permite modificar cualquier restriccin o la funcin objetivo inicial y graficar los nuevos cambios seleccionando Draw

Finalmente, podemos cambiar la apariencia del grfico, seleccionando Options (opciones del grfico), del men principal y acceder a nuevos colores de presentacin, una nueva escala (rango de las variables) para los ejes X e Y o si deseamos, un cambio de los ejes coodenados.

III. GUARDAR LA SOLUCIN Y EL MODELO MATEMTICO (ARCHIVO)3.1 Para Guardar la solucinSi visualizamos la pantalla de solucin, del problema y queremos guardarla, seleccionamos la opcin File y a continuacin Save Problem As. Cuando guardamos la solucin, no se guarda el modelo matemtico, solamente el tablero final de resultados.

Lo tipos de archivos (extensin), que podemos seleccionar, son dos( TXT y DAT)

El nombre que hayamos escogido para el archivo , deber tener como mximo 8 caracteres, sin espacios en blanco y/o caracteres especiales

3.2 Para guardar el modelo matemtico (archivo)Debemos visualizar el modelo que hemos ingresado (la matriz de datos), regresando al modo de ingreso de datos, mediante el icono que contiene la puerta. En forma general, este icono nos permite pasar de una pantalla a la otra

Una vez que tenemos visualizada la pantalla con la matriz del modelo matemtico, seleccionar la opcin File y a continuacin Save Problem As, luego debemos darle el nombre al archivo y como en el caso anterior, que no sobrepase los 8 caracteres

Si deseamos ejecutar el modelo posteriormente, el archivo ha seleccionar debe ser del tipo LP-ILP (*.LPP). Esta es la manera ms recomendada de guardarlo, sin embargo, no es la nica, podemos guardarlo tambin, como archivo de texto (*. TXT), con extensin *. DAT, etc. si por ejemplo, solamente deseamos imprimirlo o copiarlo.

Despus de guardar nuestros archivos con la extensin LP-ILP (*.LPP), cada vez que utilicemos el LP-ILP del WINQSB, podemos cargar todos nuestros trabajos realizados, seleccionando la opcin File y a continuacin Load Problem, tal como se muestra

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Valdivieso Ojeda, Franklin

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