WINQSB
Universidad Csar Vallejo Piura
Mtodos para la Toma de DecisionesFacultad de Ingeniera
WINQSB
1.1 EL ACCESO AL LP-ILPAl acceder al WINQSB, se despliegan los
diferentes mdulos del paquete, entre ellos se encuentra el LP-ILP,
un programa especializado en la solucin de modelos de programacin
lineal, entera y binaria.
1.2 El Mdulo de Programacin Lineal (LP-ILP)En este primer curso
de Investigacin de Operaciones-I, aprenderemos el modelamiento
(rplica) de los sistemas, a travs de modelos simblico- matemticos y
para ser ms precisos, mediante ecuaciones lineales o de primer
grado. El LP-ILP es un software muy usado por los acadmicos y
profesionales, para resolver modelos lineales de optimizacin
relativamente complejos y para ser franco de una manera bastante
sencilla.
PARTE-I: El acceso al programa Seleccionamos el icono del
programa (LP-ILP) y accedemos a la primera pantalla, cuyo men de
opciones es: File (archivos) y Help (ayuda). Tenemos dos maneras de
trabajar un nuevo archivo:La primera es seleccionar File y a
continuacin New Problem
La segunda, es directamente, desde el icono de la hoja
cuadriculada, en la barra de herramientas y que se encuentra debajo
de la opcin File
1.3 Las especificaciones del problema: Cuando iniciamos el
trabajo del nuevo archivo (un nuevo problema), se despliega una
pantalla bastante intuitiva que nos solicita las especificaciones
del modelo: un ttulo, el nmero de variables, el nmero de
restricciones (Number of constraints), El criterio del objetivo
(Maximizacin o Minimizacin) y el tipo de variable (no negativa y
continua, no negativa y entera, binaria e irrestricta en signo). El
men de Data Entry Format selecciona el ingreso de los datos a travs
de una hoja de trabajo en forma de matriz (Spreadsheet Matrix Form)
o mediante la formulacin Normal del Modelo (como ecuaciones). Por
defecto se encuentra seleccionada la forma de matriz, en el ingreso
de los datos, la cual resulta la ms sencilla y rpida, as que no
debemos preocuparnos por este campo.
Continuaremos con el llenado del formulario de ingreso, mediante
nuestro primer ejemplo de aplicacin:Se trata de resolver el
siguiente problema de maximizacinEjemplo-1Max Z = 40X1 + 60X2 +
50X3
Sujeto a: 10X1 + 4X2 + 2X3 950
2X1 + 2X2
410
X1+ 2X3 610
Condiciones Tcnicas
X1, X2, X3 0Como se observa se trata de nuestro primer ejemplo,
el cual tiene tres variables (X1, X2, X3) y tres restricciones
(ecuaciones funcionales u operacionales).El objetivo es la
maximizacin de una funcin Z y las condiciones tcnicas, acerca de
las variables son: que stas sean no negativas (mayores que cero),
no es necesario que resulten enteras en este caso
Luego de ingresar las especificaciones del problema confirmamos
con OKCuando ingresamos las especificaciones del problema, tambin
seleccionamos el ingreso de los datos, mediante una matriz. En la
prctica, el programa nos presentar una hoja con celdas vacas y con
el nmero variables que tiene nuestro problema, cada una, en una
columna diferente y donde debern ingresarse solamente los
coeficientes del modelo, en el siguiente orden :La primera fila
corresponde a la funcin objetivo y que en nuestro caso es de
maximizacin.
Como las variables ya han sido creadas y dispuestas, cada una
ocupando una columna, no resultar nada difcil ingresar en la fila
identificada como Maximize o Minimize, los coeficientes econmicos
de la funcin objetivo, segn sea el caso. En nuestro primer ejemplo,
se trata de :Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3Por lo tanto, debern
ingresarse solamente y en el orden dispuesto:
40 para la primera columna (X1), 60 para la segunda columna (X2)
y 50 para la tercera (X3).Luego se continan con los coeficientes de
las variables en las restricciones (C1, C2, C3), hasta completar el
ingreso de todas las ecuaciones del problema.
Nota: El cambio en la direccin del signo de la ecuacin o
inecuacin, se modifica directamente con un clic consecutivo en el
signo (, =), hasta obtener el signo deseadoEl tipo de variable
(Variable Type), puede modificarse individualmente para cada
variable igualmente haciendo clic consecutivamente en la palabra
(continuous, integer, binary o unrestricted)1.4La obtencin de la
solucin del problemaUna vez terminado el proceso de ingreso de los
coeficientes del modelo, podemos obtener la solucin seleccionando
la opcin Solve and Analyze, (en la barra de opciones del
programa)
La tabla de solucin ptima
Los valores de solucin ptima, para las variables del problema,
se encuentran en la segunda columna (Solution Value), que en
nuestro caso corresponden a 0, para X1; 85, para X2 y 305, para X3.
Obsrvese que la primera columna es asignada al nombre de las
variables de decisin (Decision Variable) y de las restricciones
(Constraint), las primeras en la mitad de arriba y en la mitad
inferior de la tabla, las segundas 1.5 EL ANLISIS DE SENSIBILIDAD
DE LA SOLUCIN PTIMA1.5.1 Anlisis de sensibilidad de los
coeficientes econmicos de las variables
Supongamos que se han producido variaciones en los coeficientes
de la funcin objetivo Cual es el cambio mximo que puede producirse
en los coeficiente econmicos (de las variables bsicas) de la funcin
objetivo, sin que se afecte la optimalidad de las
variables?Observemos con mayor detalle el cuadro de solucin
Lectura de los valores de la solucin (solution value)Lo que se
aprecia en la parte superior del tablero es lo siguiente:
Las contribuciones unitarias de las variables X1, X2 y X3 son
40, 60 y 50 respectivamente. Las variables X2=85 y X3 = 305, son
ptimas en la solucin encontrada, en cambio, el valor de la solucin
para X1 es cero. Las contribuciones totales de las variables ptimas
X2 y X3, son 60(85) = 5100 y 50(305)= 15250, respectivamente.
Los costos reducidos
La variable X1, tiene un costo reducido de 120, es decir, C1 (el
coeficiente econmico de X1), podra incrementarse hasta un valor de
160 y dicha solucin seguira siendo no ptima. Otra manera de decir
lo mismo, acerca del costo reducido en el problema, es entenderlo
como el valor econmico mximo, que se podra incrementar, a dicha
variable, no bsica en la solucin ptima, sin que llegue a ser una
solucin (variable) ptima. Una variacin por encima de del costo
reducido, la convertira en ptimaPor qu las variables ptimas no
tienen costo reducido?
Como puede apreciarse en el tablero solucin que presenta el
programa, las variables X2 y X3 no tienen costo reducido, por que
son ptimas. En el problema la interpretacin ms inmediata sera que
no necesitan ser incrementadas para que se conviertan en ptimas,
por que con los actuales coeficientes econmicos C2 y C3 ya lo
son.
Los rangos de sensibilidad de los coeficientes C1, C2 y C3
Los rangos en los cuales no se afecta la condicin de optimalidad
actual de las variables, en la solucin son:La variable X1, como
hemos analizado previamente utilizando el concepto de costo
reducido, puede incrementarse hasta un valor mximo de 160 unidades
(aumentarse en 120) reducirse en cualquier valor (-M), sin que
pueda ser una variable ptima
La variable X2, actualmente si es ptima y por lo tanto no tiene
costo reducido, so en primer lugar. El rango de variacin para el
coeficiente C2 se encuentra entre un valor mnimo de 6.6667 y 100
como mximo. 6.667 C 2 100La variable X3, actualmente tambin es
ptima y por lo tanto, tampoco tiene costo reducido. El rango de
variacin para el coeficiente C3 se encuentra entre un valor mnimo
de 30.0 y un valor mximo que se indica como M (no restringido o
indeterminado).
Cada vez que suceda anlogamente, la variacin, est restringida,
solamente en uno de los extremos
30 C 2 M 30 C 2 Los recursos o factores de
produccin:Consideramos cada ecuacin (restriccin), como el
modelamiento simblico-matemtico, de lo que sucede en el sistema con
un factor de produccin (la demanda, disponibilidades de recursos,
ventas, etc.), as que podemos decir que cada ecuacin del conjunto
de restricciones planteadas (constraint), es un factor esencial del
sistema.Nosotros accedemos a la informacin de los factores de
produccin, en el mismo cuadro de solucin que presenta el programa,
la cual se ubica, en la parte inferior de la tabla, como se
observa:El balance de los factores en la solucin ptima
encontrada:Cada restriccin tiene un lado derecho un smbolo de
igualdad o desigualdad y un lado izquierdoEl lado izquierdo: es la
formulacin combinada del gasto, transformacin o uso del factor
analizado, en el sistema
El lado derecho: es un valor numrico (independiente de
variables), que por lo general restringe el lado izquierdo y que
puede incluir el cero C1 (Factor-1): 950 950Lado izquierdo = 950,
es el gasto de este recurso, en la solucin ptima encontrada
Lado derecho = 950; este valor, era la disponibilidad mxima del
recurso, la cual se plante al inicioSe concluye, que la solucin
encontrada, es factible para este recurso y que no hay excedente
(holgura) en el recurso, puesto que se consume totalmente
C2 (Factor-2: 170 410
Lado izquierdo = 170, es el gasto del recurso-2, en la solucin
ptima encontrada
Lado derecho = 410; este valor, era la disponibilidad mxima del
recurso-2, la cual se plante al inicioSe concluye, que la solucin
encontrada, es factible para el recurso-2 y que hay un excedente
(holgura) en el recurso de 240 unidades, puesto que no se consume
totalmente
C3 (Factor-3): 610 610
Lado izquierdo = 610, es el gasto del recurso-3, en la solucin
ptima encontrada
Lado derecho = 610; este valor, era la disponibilidad mxima del
recurso o factor, la cual se plante al inicioSe concluye, que la
solucin encontrada, si es factible para este recurso-3, pero que no
hay excedente (holgura) en el recurso, porque se consume
totalmente.
1.5.2 El anlisis dual y los precios sombra de los factores o
recursos de produccinEl supuesto es el siguiente:
Los recursos abundantes no tienen valor econmico. Slo tendrn
valor econmico los recursos escasosUn recurso abundante es aquel
que tiene holgura
Por esto, el recurso-2, el cual tiene una holgura de 240
unidades, no tiene valor econmico
Los recursos 1 y 3, se consumen totalmente y todo recurso que se
consume totalmente es escaso, por lo tanto si tendr valor
econmico
Observemos el Shadow Price en el tablero solucin:
C1 (Recurso o Factor-1): 15 valor monetario por unidad adicional
de C1C2 (Recurso o Factor-2): 0 valor monetario por unidad
adicional de C2C3 (Recurso o Factor-3): 10 valor monetario por
unidad adicional de C315, 0, 5; unidades monetarias, son los
precios sombra de cotizacin, por una unidad adicional de los
recursos 1, 2 y 3; respectivamente 1.5.3 El anlisis de sensibilidad
de los recursosInterpretacin de los valores: Allowable Min RHS -
Allowable Max RHSEstos valores resultan de plantear la condicin de
no negatividad en cualquier solucin encontrada, para todos los
factores de produccin Bk, los cuales se formulan y mantienen en
todo modelo de programacin lineal (Bk 0) y los cuales se obtienen
mediante el producto matricial de la matriz B -1 por cada vector
Bk, de recursos iniciales
El anlisis de sensibilidad de los recursos b1, b2 y b3,
respectivamente, no es muy difcil de demostrar haciendo uso del
producto de matrices.
B -1 .= B1 0
B -1 = B2 0
B -1 = B3 0Remplazando y luego operando se obtiene
0,
b1 - 610 0 y -1/2 b1 + 410 + 305 0
610 b1 1430
0,
-1/2 (950) + b2 + 305 0, por lo tanto: b2 170
0 b3 0, 950- b3 0, -1/2 (950) + 410 + b3 0
130 b3 950El anlisis de sensibilidad para cada factor de
produccin es presentado por el programa (Allowable Min RHS -
Allowable Max RHS):610 C1 1430
170 C2 M
170 C2
130 C3 9501.6 Ejemplo-2: Modelo de Programacin
BinariaDesarrollaremos ahora un Problema de Programacin entera
binaria, cuya funcin objetivo es maximizar la rentabilidad en la
seleccin de diversas variables de decisin, que compiten entre si y
cuyo modelo es el siguiente: Max Z = 11500 X1 + 14900 X2 + 25000 X3
+ 35000 X4 + 15000X5 + 30000 X6 + 28000 X7
S. a
4.5 X1 + 5.6 X2 + 7.5 X3 + 12.5 X4 + 6.8 X5 + 11.7 X6 + 9.5 X7
20
X3 + X7 1
X4 + X6 1
Condiciones tcnicas
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 = Especificando el problema
planteado:Objetivo
: MaximizacinVariables
: 7
Restricciones: 3
Tipo de variable: BinariasEspecificando el problema en el
programa LP-ILP
Procedemos a continuacin a ingresar los coeficientes del modelo
en la matriz de datos y luego a resolver el problema con la opcin
Solve and Analize, de la barra de Men principal:
La presentacin del tablero solucin y la interpretacin de los
resultados
Puesto que el modelo solamente tiene variables binarias, los
posibles resultados, solamente sern dos (1,0)
La solucin encontrada indica que la seleccin ptima es escoger
las variables de decisin X3 y X4, cuyo valor de solucin es 1
Las variables no ptimas tienen un valor igual a 0
Obsrvese as mismo que todas las restricciones planteadas
(Constraint), se verifican y que la funcin Z, alcanza el valor
ptimo (mximo) de 60 000II.LA DECLARACIN PERSONALIZADA DE VARIABLES,
ADICIN, ELIMINACIN Y SUSTITUCIN DE VARIABLES Y RESTRICCIONES, EL
MTODO GRFICO, ETC.En esta segunda parte, aprenderemos a modificar
las condiciones iniciales de un problema, a declarar o renombrar
las variables (X1, X2,.Xn), de acuerdo a las necesidades del
usuario, insertar nuevas restricciones, a utilizar la opcin grfica
del programa y otras cosas, que resultan muy tiles al estudiante
que ya ha desarrollado algunos modelos en el LP-ILP y desea conocer
un poco ms acerca del programa2.1.1 Declaracin de variables por el
usuarioMuchas veces, por las caractersticas del problema, el
usuario desea renombrar las variables, las que por omisin son
declaradas como X1, X2,Xn , por el programa.
Veamos el ejemplo-3:
Max Z = 50400 KAMAZ + 84700 CAT + 73500 JD
Las restricciones Funcionales
0.800 KAMAZ + 1.300 CAT + 1.100 JD
30.0
KAMAZ + CAT + JD
30.0
3 KAMAZ + 6 CAT + 6 JD
150
25000 KAMAZ + 40000 CAT + 30000 JD
960000
Las condiciones tcnicas
KAMAZ, CAT, JD 0, enteras
En este modelo se busca maximizar el acarreo de mineral en una
minera y se analiza la compra ptima de camiones
mineros.Especificando las condiciones del problema planteado:
Objetivo
: MaximizacinVariables
: 3Restricciones: 4
Tipo de variable: Entera
Especificando el problema en el programa LP-ILP
Las variables por defecto son declaradas como X1, X2 y X3 por el
programa, cuando se presenta la matriz inicial de ingreso de los
datos, (como se observa en la pantalla), as que las renombraremos
de acuerdo al problemaX1 = KAMAZ, X2= CAT , X3= JD
Para ello debemos seleccionar la opcin Edit, del men principal y
a continuacin Nombre de las variables (Variable Names), la cual se
despliega
2.1.2 Cambios en el nombre del problema, la funcin objetivo,
eliminacin y adicin de nuevas variables y restricciones, etc.
Problem Name: Si deseamos cambiar el nombre inicial del
problema
Constraint Names: Si deseamos cambiar el nombre inicial de las
restricciones, las cuales por defecto se designan por C1, C2, C3,
etc.
Objective Function Criterion: Si deseamos modificar el criterio
del objetivo de Maximizacin a Minimizacin y viceversa
Insert a Variable: Si deseamos insertar una nueva variable de
decisinDelete a Variable: Si deseamos eliminar una variable de
decisin del modeloInsert a Constraint: Si deseamos insertar una
nueva variable de decisinDelete a Constraint: Si deseamos eliminar
una restriccin del modelo
Continuando con el ejemplo, ahora declaramos los nuevos nombres,
luego de seleccionar poner el nombre de las variables (Variable
Names), confirmando luego con OK
2.1.3 Cambio en el nombre de las restricciones : El cambio se
har de la siguiente manera: C1: PresupuestoC2: Capacidad
C3: AlojamientoC4: MantenimientoVamos entonces a la opcin Edit,
para seleccionar el cambio de nombre de las restricciones
(Constraint Names)
Y luego proceder al cambio de nombre de las restricciones, como
se muestra
Confirmamos el cambio de nombre de las restricciones, haciendo
clic en OK y procedemos luego a ingresar los coeficientes del
modelo, en sus celdas correspondientes
Una vez terminado el proceso de ingreso de los coeficientes en
la matriz, procedemos a encontrar la solucin ptima del modelo,
seleccionando la opcin Solve and Analize, del men principal, tal
como se ha venido realizando en los ejemplos anteriores
La solucin ptima es la compra de 2 camiones KAMAZ. 10 camiones
CAT y 14 camiones J.DObservando las restricciones (Constraint),
ahora nos resulta ms fcil identificarlas en la solucin e
interpretar cada una de ellas:La restriccin de Presupuesto,
restringa el gasto a 30 millones (lado derecho de la restriccin) y
se han gastado 30 millones en la compra combinada de los camiones,
encontrada en la solucin ptima
La restriccin de Capacidad: restringa la compra a 30 camiones,
debido a la capacidad actual del taller y se han comprado 26 nuevas
unidades
La restriccin de Alojamiento: restringa a 150, el nmero de
operarios que podan alojarse en el campamento minero, los que se
encargaran de operar los nuevos camiones
La restriccin de mantenimiento: restringa a 960 000 dlares, el
presupuesto anual para la nueva flota y se ha estimado que dicho
costo asciende a 870 000 dlares
2.2 EL MTODO GRFICOEs muy frecuente en la Facultad de Ingeniera,
que se revise el Mtodo Grfico de Solucin, para los Modelos de
Programacin Lineal con dos variables, puesto que permite visualizar
algunos de los conceptos ms importantes de la Programacin Lineal y
a pesar que en la prctica, resulta inaplicable para la gran mayora
de problemas reales, as que desarrollaremos el ltimo ejemplo
aplicando el Mtodo Grfico.
Sea el ejemplo-4:Z max = 5X1 + 2 X2
SA:
3X1 + 4X2 12
2X1 + 5 X2 10
X1 4
Condicin tcnica de no negatividad X1, X2 0
El cual desarrollaremos en el programa LP-ILP, aplicando el
Mtodo GrficoEspecificaciones (Generales) del Problema:
Objetivo
: Maximizacin Nmero de variables:2Nmero de restricciones:3Tipo
de variable
: No negativa y continua
Ingresamos luego los coeficientes del modelo, en la Matriz de
Datos
Y finalmente seleccionamos la opcin grfica, desde la barra de
herramientas, dando un clic en el icono que muestra dos lneas
intersectadas y una regin de factibilidad coloreada (observar
pantalla siguiente)
El paso siguiente, es seleccionar los ejes, para cada una de las
variables.Por defecto u omisin, el programa le asigna el eje de
coordenadas X a la variable X1 y el eje de coordenadas Y a la
variable X2, sin embargo sta asignacin puede ser modificada por el
usuario
Confirmamos la seleccin, dando un OK final, para obtener la
solucin grfica del programa.
La pantalla de solucin muestra, las rectas y sus intersecciones,
la regin de factibilidad y el punto solucin ptima (optimal
solution), que en nuestro caso es: Z objetivo = 20, X1= 4, X2 = 0
El anlisis de sensibilidad en el mtodo grfico, nos permite
explicar/ entender visualmente, como cambia la regin de
factibilidad, cuando se modifican los coeficientes de las variables
y las restricciones o como se comporta la funcin objetivo en el
modelo.
Accedemos al anlisis de sensibilidad (en el mtodo grfico),
seleccionando la opcin Sensitivity / Objective Function and
Constraints , del men principal, la cual se visualiza en la parte
superior del grfico , para modificar los coeficientes originales de
la funcin objetivo y de las restricciones funcionales, en el rango
que desea el usuario. El formulario que presenta el programa, es
bastante intuitivo y nos permite modificar cualquier restriccin o
la funcin objetivo inicial.
El formulario que presenta el programa, es bastante intuitivo y
nos permite modificar cualquier restriccin o la funcin objetivo
inicial y graficar los nuevos cambios seleccionando Draw
Finalmente, podemos cambiar la apariencia del grfico,
seleccionando Options (opciones del grfico), del men principal y
acceder a nuevos colores de presentacin, una nueva escala (rango de
las variables) para los ejes X e Y o si deseamos, un cambio de los
ejes coodenados.
III. GUARDAR LA SOLUCIN Y EL MODELO MATEMTICO (ARCHIVO)3.1 Para
Guardar la solucinSi visualizamos la pantalla de solucin, del
problema y queremos guardarla, seleccionamos la opcin File y a
continuacin Save Problem As. Cuando guardamos la solucin, no se
guarda el modelo matemtico, solamente el tablero final de
resultados.
Lo tipos de archivos (extensin), que podemos seleccionar, son
dos( TXT y DAT)
El nombre que hayamos escogido para el archivo , deber tener
como mximo 8 caracteres, sin espacios en blanco y/o caracteres
especiales
3.2 Para guardar el modelo matemtico (archivo)Debemos visualizar
el modelo que hemos ingresado (la matriz de datos), regresando al
modo de ingreso de datos, mediante el icono que contiene la puerta.
En forma general, este icono nos permite pasar de una pantalla a la
otra
Una vez que tenemos visualizada la pantalla con la matriz del
modelo matemtico, seleccionar la opcin File y a continuacin Save
Problem As, luego debemos darle el nombre al archivo y como en el
caso anterior, que no sobrepase los 8 caracteres
Si deseamos ejecutar el modelo posteriormente, el archivo ha
seleccionar debe ser del tipo LP-ILP (*.LPP). Esta es la manera ms
recomendada de guardarlo, sin embargo, no es la nica, podemos
guardarlo tambin, como archivo de texto (*. TXT), con extensin *.
DAT, etc. si por ejemplo, solamente deseamos imprimirlo o
copiarlo.
Despus de guardar nuestros archivos con la extensin LP-ILP
(*.LPP), cada vez que utilicemos el LP-ILP del WINQSB, podemos
cargar todos nuestros trabajos realizados, seleccionando la opcin
File y a continuacin Load Problem, tal como se muestra
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Valdivieso Ojeda, Franklin
- 4 -
_1302778482.unknown
_1302778626.unknown
_1303713845.unknown
_1302778540.unknown
_1302777698.unknown
_1302778014.unknown
_1302778206.unknown
_1302777360.unknown
