Mapa de Karnaug

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Mapas de Mapas de KarnaughKarnaughMapas de Mapas de KarnaughKarnaugh

SEL 0405 – Introdução aos SistemasSEL 0405 – Introdução aos SistemasSEL 0405 Introdução aos Sistemas Digitais

SEL 0405 Introdução aos Sistemas Digitais

Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa VieiraProf. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira

Simplificação de Circuitos LógicosSimplificação de Circuitos Lógicos

Determinar a expressão de saídaDeterminar a expressão de saídaSimplificar a expressão (álgebra de Boole)M t d i itMontagem do novo circuito

Circuito SimplificadoCircuito Simplificado

Projetos de circuitos digitaisProjetos de circuitos digitais

Montagem da Tabela Verdade;g ;Determinação da “expressão de saída”d i itdo circuito;Simplificação da expressão de saídaSimplificação da expressão de saída– Álgebra BooleanaMontagem do circuito lógico

Expressão de SaídaExpressão de Saída

Existem 4 maneiras possíveis de fazer aoperação AND com dois sinais de entrada;operação AND com dois sinais de entrada;Essas saídas são chamadas de produtosfundamentais ou produtos canônicosfundamentais ou produtos canônicos

Produto FundamentalBA

A B10A·B00

A·B01A·B10

A·B11

Produtos CanônicosProdutos Canônicos

Soma de ProdutosSoma de Produtos

Método utilizado para encontrar a equaçãoétodo ut ado pa a e co t a a equaçãológica de um circuito digital;A equação fica como uma soma dos produtosq ç pcanônicos que produzem uma saída alta;A expressão do circuito fica sempre corretap ppois, para uma soma ter resultado alto (= 1),basta que apenas um dos termos da soma sejaigual a 1: (A + 1 = 1)


Por exemplo, se na tabela verdade asentradas A=1 B=0 e C=0 res ltam em maentradas A=1, B=0 e C=0 resultam em umasaída alta, então seu produto fundamental é:

1 ⋅ 0 ⋅ 0 = A B C = 1


Dada a tabela-verdade, 0000C YBA

localize as saídas altase escreva o produto 0010

01000000

pfundamental delas 1110

0010

10

101001

101

111111101

1 111


Localizado as saídas altas na tabela anterior, aequação da soma de produtos é:equação da soma de produtos é:

0 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 → ABC1 ⋅ 0 ⋅ 1 = 1 → ABC1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 1 → ABC1 1 0 1 → ABC1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 → ABC

Portanto, a equação de saída do circuito é:

Y ABC ABC ABC ABCY ABC ABC ABC ABCY = ABC + ABC + ABC +ABCY = ABC + ABC + ABC +ABC


Desenhando o circuito lógico com portas AND e OR temos:e OR temos:

A

Y

BCAB Y

A

BC

BCABBC

ExercícioExercícioProjetar um circuito para uma máquina copiadora.Um LED de advertência deve acender quando oUm LED de advertência deve acender quando opapel enroscar ou quando faltar papel na bandeja.

Três sensores são instalados na máquina. Elesfornecem nível lógico 1 na saída na presença depapelpapel.

O sensor A indica a presença (1) ou ausência (0) deO sensor A indica a presença (1) ou ausência (0) depapel na bandeja e os sensores B e C indicam que opapel enroscou se ambos os sensores estiverem

(1) tem (1) ao mesmo tempo;

MAPA DE KARNAUGHMAPA DE KARNAUGHMAPA DE KARNAUGHMAPA DE KARNAUGH

Sist. Combinatórios

1. Mapa de KARNAUGH ou Mapa K1. Mapa de KARNAUGH ou Mapa K

É uma exposição visual de produtosfundamentais necessários para um solução defundamentais necessários para um solução deuma soma de produtos:

1.1. Duas variáveis1.1. Duas variáveisAAAA

BB 00

00

11

SS SS00

11

SS

SS

SS

SS11 SSSS


1. Mapa de KARNAUGH1. Mapa de KARNAUGH

1.2. Três variáveis1.2. Três variáveisABABABAB

CC 0000

00

0101

SS SS

1111 1010

SS SS00

11

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS11 SSSS SSSS



1.3. Quatro variáveis1.3. Quatro variáveisABABABAB

CDCD 0000

0000

0101

SS SS

1111 1010

SS SS0000

0101

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS0101 SSSS SSSS

1111 SS SS SS SS

1010 SSSS SSSS

Tabela Verdade x Mapa KTabela Verdade x Mapa K

10B

Tabela Verdade Mapa K

000SBA 1

0 00

0AB

101010

0 00

111101 1 1 1

Mapa de KarnaughMapa de KarnaughExemplo com três variáveis

C SBA10C

00000100

1

0 000

0AB

C

10100110

0 000

01 1 00110

01010001

11

10

1 1

0 0

10110101 10 0 0

1111

Mapa de KarnaughMapa de KarnaughExemplo com quatro variáveis

00 01 11 10CDAB

0 0 0 000

AB

0 0 0 001

1 10 011

0 0 0 010



Obtenção e Simplificação de expressões por Mapas de Karnaugh

Obtenção e Simplificação de expressões por Mapas de KarnaughMapas de KarnaughMapas de Karnaugh

BaseiaBaseia--sese nono fatofato dede queque XX ++ XX == 11BaseiaBaseia--sese nono fatofato dede queque XX ++ XX == 11

Exemplo: S = ABC + ABC = AB(C+C) = ABExemplo: S = ABC + ABC = AB(C+C) = ABExemplo: S ABC ABC AB(C C) ABExemplo: S ABC ABC AB(C C) AB

A entrada C torna-se irrelevante!





AA BB SS

Mapas de KarnaughMapas de Karnaugh10A

B

AA BB SS0 0 00 1 00 0 00 1 0

0 000 1 01 0 11 1 1

0 1 01 0 11 1 1 1 1 1

S = AB + ABS = AB + AB S = AS = AS = AB + ABS = AB + AB S = AS = A



Obtenção da ExpressãoObtenção da Expressão

Unir blocos de 1´s adjacentesDeve-se buscar a formação de blocos com aUnir blocos de 1´s adjacentesDeve-se buscar a formação de blocos com açmaior quantidade possível de 1´s respeitadaa regra de N = 2n N = quantidade de 1´s no

çmaior quantidade possível de 1´s respeitadaa regra de N = 2n N = quantidade de 1´s noa regra de N = 2n N = quantidade de 1 s noblocoa regra de N = 2n N = quantidade de 1 s nobloco

Formação de pares, quadras, oitavas,...Formação de pares, quadras, oitavas,...

Expressão final = “soma” das expressões deExpressão final = “soma” das expressões deExpressão final = soma das expressões decada blocoExpressão final = soma das expressões decada bloco



SimplificaçãoSimplificação

Usar o menor número de blocos possível;

Na expressão de cada bloco eliminam se as variáveis

Usar o menor número de blocos possível;

Na expressão de cada bloco eliminam se as variáveisNa expressão de cada bloco, eliminam-se as variáveisque mudam de estado dentro do bloco;Na expressão de cada bloco, eliminam-se as variáveisque mudam de estado dentro do bloco;

As variáveis que não mudam de estado são mantidas naexpressão, representando o seu respectivo valor fixo noAs variáveis que não mudam de estado são mantidas naexpressão, representando o seu respectivo valor fixo nobloco (A = 1 A, A = 0 A)bloco (A = 1 A, A = 0 A)



SimplificaçãoSimplificação

Quanto maior o bloco, maior o número de variáveisli i d i i lifi d fi ã fi l

Quanto maior o bloco, maior o número de variáveisli i d i i lifi d fi ã fi leliminadas e mais simplificada fica a expressão final:

Unidade: nenhuma variável eliminada;

eliminadas e mais simplificada fica a expressão final:

Unidade: nenhuma variável eliminada;Unidade: nenhuma variável eliminada;Par: uma variável eliminada;

Q d d iá i li i d

Unidade: nenhuma variável eliminada;Par: uma variável eliminada;

Q d d iá i li i dQuadra: duas variáveis eliminadas;

Oitava: três variáveis eliminadas;

Quadra: duas variáveis eliminadas;

Oitava: três variáveis eliminadas;



AgrupamentosAgrupamentos

AA BB SS0 0 00 0 0

10AB

0 0 00 1 01 0 1

0 0 00 1 01 0 1

0 00

1 0 11 1 11 0 11 1 1 1 1 1

S = AS = A


1. Mapa de KARNAUGH1. Mapa de KARNAUGHObtenção e Simplificação de expressões por Mapas deObtenção e Simplificação de expressões por Mapas deObtenção e Simplificação de expressões por Mapas de

KarnaughObtenção e Simplificação de expressões por Mapas de

Karnaugh

A B C SA B C S 10CA B C SA B C S

0 0 00 0 10 0 00 0 1

0101

1

0 100

0AB

0 0 10 1 00 1 11 0 0

0 0 10 1 00 1 11 0 0

1011

1011

0 1

01 0 11 0 01 0 11 1 01 1 1

1 0 01 0 11 1 01 1 1

1100

1100

11

10

0 0

1 11 1 11 1 1 00 10 1 1

S = AB + ACS = AB + AC

EXEMPLOSEXEMPLOS1. Pares: uma variável eliminada1. Pares: uma variável eliminada

10AB

C10AB

C

0 100

AB

1 100

AB

01

11

1 0

1 101

11

1 0

0 0 11

10

1 1

0 011

10

0 0

0 1

S = AC+CBS = AC+CB S = ABC+CB+ABS = ABC+CB+ABS = AC+CBS = AC+CB S = ABC+CB+ABS = ABC+CB+AB

EXEMPLOSEXEMPLOS2. Quadras: duas variáveis eliminadas2. Quadras: duas variáveis eliminadas

10AB

C 10AB

C

1 000 1 100

AB

01

11

1 0

1 001

11

0 0

0 011

10 1 011

10

0 0

1 1

S = CS = C S = BS = BS = CS = C S = BS = B

EXEMPLOSEXEMPLOS3. Quadras e Pares3. Quadras e Pares

00 01 11 10CD

0 1 1 1

00 01 11 10

00

CDAB

0 1

0 1

1 1

1 0

00

01

1 00 111

0 0 0 1

11

10

S AD+BD+CDBS AD+BD+CDBS = AD+BD+CDBS = AD+BD+CDB

EXEMPLOSEXEMPLOS

00 01 11 10CD4. Quadras: duas variáveis eliminadas4. Quadras: duas variáveis eliminadas

1 1 0 0

00 01 11 10

00

CDAB

1 1

0 0

0 0

0 0

00

01

0 00 011

1 1 0 0

11

10

S = CBS = CB

EXEMPLOSEXEMPLOS

00 01 11 10CD5. Quadras: duas variáveis eliminadas5. Quadras: duas variáveis eliminadas

1 0 1 1

00 01 11 10

00

CDAB

1 0

0 0

1 1

1 0

00

01

1 00 011

1 0 1 1

11

10

S = DB+CDS = DB+CD

EXEMPLOSEXEMPLOS6. Oitavas: três variáveis eliminadas6. Oitavas: três variáveis eliminadas

00 01 11 10CD

0 0 0 0

00 01 11 10

00

CDAB

0 0

1 1

0 0

1 1

00

01

1 11 111

0 0 0 0

11

10

S BS BS = BS = B

EXEMPLOSEXEMPLOS7. Octetos e Quartetos7. Octetos e Quartetos

00 01 11 10CD

1 1 1 1

00 01 11 10

00

CDAB

1 1

0 1

1 1

0 0

00

01

0 0

0 1 0 0

0 1

01

11 0 0

1 1 1 1

0 111

100

S = B+CDS = B+CD


ExercícioExercício

1. Obtenção e Simplificação de expressões porMapas de Karnaugh

1. Obtenção e Simplificação de expressões porMapas de KarnaughMapas de KarnaughMapas de KarnaughA B C D SA B C D S A B C D SA B C D S

0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0

110

110

1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0

110

110

S = AC + BC S = AC + BC 0 0 1 10 1 0 00 1 0 1

0 0 1 10 1 0 00 1 0 1

000

000

1 0 1 11 1 0 01 1 0 1

1 0 1 11 1 0 01 1 0 1

011

0110 1 0 1

0 1 1 00 1 1 1

0 1 0 10 1 1 00 1 1 1

000

000

1 1 0 11 1 1 01 1 1 1

1 1 0 11 1 1 01 1 1 1

100

100


ExercícioExercício

2. Usar o mapa de Karnaugh para simplificar aexpressão abaixo:

2. Usar o mapa de Karnaugh para simplificar aexpressão abaixo:expressão abaixo:expressão abaixo:

S = ABCD + CD + ABC + DS = ABCD + CD + ABC + DS ABCD CD ABC D S ABCD CD ABC D

Unidade + Quadra + Par + Oitava


00 01 11 10CDAB

1 1 0 100

AB

1 1 0 101

0 11 111

1 1 1 110

S = AB+C+DS = AB+C+D

MAPA DE KARNAUGHMAPA DE KARNAUGH


MAPA DE KARNAUGH Para mais de 4 variáveisMAPA DE KARNAUGH

Para mais de 4 variáveis

Geralmente não se usa Mapa de Karnaugh paraGeralmente não se usa Mapa de Karnaugh paraGeralmente não se usa Mapa de Karnaugh pararesolução de problemas com mais de 4 variáveis;Geralmente não se usa Mapa de Karnaugh pararesolução de problemas com mais de 4 variáveis;

Há uma forma de representação do Mapa deHá uma forma de representação do Mapa deKarnaugh para 5 e para 6 variáveis, utilizando a teoriada superposição, mas não é muito utilizada;Karnaugh para 5 e para 6 variáveis, utilizando a teoriada superposição, mas não é muito utilizada;

MAPA DE KARNAUGH MAPA DE KARNAUGH Sist. Combinatórios

Para 5 Variáveis

• O mapa final pode ser visualizado como sendo dois mapasde quatro variáveis sobrepostosde quatro variáveis sobrepostos.• Um dos mapas, referente a E=0, corresponde à parteinferior da linha diagonal de divisão das células do mapainferior da linha diagonal de divisão das células do mapafinal.• O outro mapa, referente a E=1, corresponde à partep , , p psuperior da linha diagonal de divisão das células do mapafinal.• Cada mapa apresenta a sua leitura individual. Se a leituraem um dos mapas for igual (sobreposta) à leitura do outromapa estas duas leituras formam uma única leituramapa, estas duas leituras formam uma única leitura.


Para 5 Variáveis


Para 6 Variáveis

• O mapa final pode ser visualizado como sendo quatro mapas de quatrovariáveis sobrepostos. Um dos mapas, referente à EF=00, corresponde àp p pparte superior das células do mapa final. O outro mapa, referente àEF=01, corresponde à parte esquerda das células do mapa final. Oterceiro mapa, referente à EF=10, corresponde à parte direita das célulasterceiro mapa, referente à EF 10, corresponde à parte direita das célulasdo mapa final. Finalmente, o último mapa, referente à EF=11,corresponde à parte inferior das células do mapa final.

• Cada mapa apresenta a sua leitura individual. Se a leitura em um dosmapas for igual (sobreposta) à leitura de outro mapa vizinho, estas duasleituras formam uma única leitura Por mapa vizinho entende se aqueleleituras formam uma única leitura. Por mapa vizinho, entende-se aqueleque tenha somente uma variável diferente. Assim, como exemplo, osvizinhos de EF=10 são EF=11 e EF=00. Da mesma forma, se as leituras

fdos quatro mapas estiverem sobrepostas, estas formam uma únicaleitura.


Para 6 Variáveis

MAPA DE KARNAUGH Condição Irrelevante

MAPA DE KARNAUGH Condição Irrelevante


Condição IrrelevanteCondição IrrelevanteCondições de entrada para as quais nãoCondições de entrada para as quais nãoexistem níveis de saída especificados;Condições de entrada que nunca ocorrerãoexistem níveis de saída especificados;Condições de entrada que nunca ocorrerãoç qç q

MAPA DE KARNAUGH Condição I l t

MAPA DE KARNAUGH Condição I l t


IrrelevanteIrrelevante

Utiliza-se “x” como “0” ou “1”convenientemente de modo à tornar aUtiliza-se “x” como “0” ou “1”convenientemente de modo à tornar aconvenientemente, de modo à tornar aexpressão mais simples;convenientemente, de modo à tornar aexpressão mais simples;


MAPA DE KARNAUGH – Exemplos de “don´t care”MAPA DE KARNAUGH – Exemplos de “don´t care”

ABABCC 0000 0101 1111 1010 0000 0101 1111 1010ABAB

CC

00

11

XX 00 11 11

00 00 11 11

00

11

XX 11 00 00

00 00 00 0011 00 00 11 11

VAVA VBVB

11 00 00 00 00

VA = A VA = A 0000 0101 1111 1010

XX 00 00 00

ABABCC

VB = A CVB = A C00

11

XX 00 00 00

11 11 00 00

VCVCVC = A CVC = A C

11 11 00 00


MAPA DE KARNAUGH – Exemplo de projetoMAPA DE KARNAUGH – Exemplo de projeto

Projetar um circuito lógico para controle daProjetar um circuito lógico para controle daporta de um elevador;Sinal “M” indica se o elevador está paradoporta de um elevador;Sinal “M” indica se o elevador está paradop(M=0) ou se movendo (M=1);Os sensores F1 e F2 indicam se o elevador

p(M=0) ou se movendo (M=1);Os sensores F1 e F2 indicam se o elevadorOs sensores F1 e F2 indicam se o elevadorestá passando pelo andar correspondente(1) ã (0)

Os sensores F1 e F2 indicam se o elevadorestá passando pelo andar correspondente(1) ã (0)(1) ou não (0);A porta se abre se a saída do circuito for 1.(1) ou não (0);A porta se abre se a saída do circuito for 1.


MAPA DE KARNAUGH – Exemplo de projetoMAPA DE KARNAUGH – Exemplo de projeto

F2 SF1M1

00

0MF1

F2

00001100

0 100

01 1 x

1010x110

11 0 x

0 0x110

01010001

10 0 0

00110101

S = M(F1+F2)S = M(F1+F2)x111

FIMFIM

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Mapa de Karnaug