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8/19/2019 Maqueta de Matematica aplicada III .. Ecuaciones diferenciales .. UNP
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Alunmos: Flores Ruiz Yordy David
García Coello Gian Franco
Silva Togas Juan Justo
Colan Huiman Jess
!orales García !a"der #ennis
Curso: !atem$tica A%licada &&&
Docente: Graciela 'urgos (amuc)e
Tema: A%licaciones Geom*tricas
Ciclo: &+
UNIVE
RSIDA
D
NACIONAL
DE
PIURA
2015 - PIURA
8/19/2019 Maqueta de Matematica aplicada III .. Ecuaciones diferenciales .. UNP
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INTRODUCCION:
(o voy a descu,rir la %-lvora si digo .ue las ecuaciones di/erenciales constituyen
una %arte /undamental de las !atem$ticas0 tanto desde un %unto de vista
%uramente te-rico como desde un en/o.ue m$s a%licado1 %or ello0 es /undamental
su estudio en todas las carreras cientí/icas y t*cnicas2
3as ecuaciones di/erenciales son muy interesantes en cuanto a la %osi,ilidad .ue
%resentan %ara indagar so,re variedad de %ro,lemas de las ciencias /ísicas0
,iol-gicas y sociales2 A %artir de la /ormulaci-n matem$tica de situaciones /ísicas0
,iol-gicas o sociales se descri,en %rocesos reales a%ro"imados2
4ara ilustrar el conce%to de ecuaci-n di/erencial y su relaci-n con distintas ramas
de las ciencias0 vamos a analizar en este a%artado una %arte de la curva donde las
ecuaciones di/erenciales surgen de /orma natural2 A%rovec)aremos %ara introducir
algunas de/iniciones .ue /ormalizaremos m$s adelante2
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OBJETIVOS:
&nter%retar un movimiento mec$nico de un cuer%o como un %ro,lema
de valor inicial2
Com%ro,ar .ue una /unci-n es soluci-n de una ecuaci-n di/erencial2
Determinar los elementos .ue %ro%orciona una ecuaci-n desde el
%unto de vista geom*trico2
Distinguir y resolver los distintos ti%os de ecuaciones de %rimer
orden lineal y no lineal2
Construir modelos sencillos de %ro,lemas es%ecí/icos .ue se
%resentan en otras disci%linas a trav*s de ecuaciones di/erenciales
de %rimer orden1 resolverlas e inter%retar las soluciones en elconte"to del %ro,lema2
5ncontrar la soluci-n general de una ecuaci-n di/erencial lineal
)omog*nea de orden su%erior en los tres casos %osi,les2
Resolver ecuaciones di/erenciales lineales no )omog*neas %or el
m*todo de coe/icientes indeterminados y con el o%erador anulador2
A%licar el m*todo de variaci-n de %ar$metros %ara resolver
ecuaciones no )omog*neas2 5studiar los di/erentes ti%os de
movimiento de un oscilador arm-nico2
Desarrollar los distintos m*todos de soluci-n de sistemas deecuaciones di/erenciales lineales con coe/icientes constantes
)omog*neos y no )omog*neos2
Re%resentar un %ro,lema din$mico como un sistema de dos
ecuaciones di/erenciales lineales de %rimer orden con condiciones
iniciales0 resolverlo e inter%retar su soluci-n en el conte"to del
%ro,lema2
MARCO TEORICO
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEPRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE
Y LA RECTA NORMAL
Cuando un %ro,lema geom*trico est$ enunciado en t*rminos de la recta tangente
o la recta normal0 los %untos de corte de estas con los e6es coordenados .uedane"%resados en /unci-n de la derivada y el modelo matem$tico .ue se o,tiene va a
re%resentar una ecuaci-n di/erencial0 ya .ue las %endientes de las rectas tangente
y normal a una curva en un %unto0 se %ueden e"%resar en t*rminos de sus
derivadas2
Consid*rese una curva F7"0 y8 9 y un %unto 47"0 y8 de ella 7ver Figura ;82
3a recta tangente a dic)a curva en el %unto 47"0 y8 es a.uella recta0 cuya
intersecci-n con la curva es solo el %unto 47"0 y823a recta normal a la curva F7"0 y8 9 en el %unto 47"0 y80 es a.uella recta
%er%endicular a la recta tangente y .ue %asa %or el %unto 47"0 y8 7ver Figura
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OBSERVACIÓN:Como se est$ indicando con 47"0 y8 un %unto gen*rico de la curva F7"0 y8 9 0 %ara
%oder di/erenciar se indicar$ con 7=0 Y8 las coordenadas de cual.uier %unto de la
recta tangente o de la recta normal2
5n el %unto 47"0 y80 resulta .ue:
= 9 " Y 9 y
4or c$lculo di/erencial0 se sa,e .ue la %endiente de la recta tangente a una curvaen un %unto es igual a la derivada de la curva evaluada en dic)o %unto2 4or lotanto0 la %endiente de la recta tangente 3
t
a la curva F7"0 y8 9 en el %unto 47"0 y8
es mt9 y>2
De a.uí .ue0 la ecuaci-n de la recta tangente es:3t: Y ? y 9 y@ 7 = ? " 8
Ya .ue la recta normal %asa %or el mismo %unto 47"0 y8 y es %er%endicular a la
recta tangente0 %or geometría analítica se sa,e .u*2 5l %roducto de las %endientes
de dos rectas %er%endiculares es igual a ?;0 esto es0 mt mn 9 ?;1 de a.uí .ue la
%endiente de la recta normal es mn 9 ?1
y ´
4or lo tanto0 la ecuaci-n de la recta normal es:
3n
: Y ? y 9 ? ?1
y ´ 7 = ? " 8
3os %untos de corte de cada una de estas rectas con los e6es coordenados0.uedar$n e"%resados en /unci-n de "0 y0 y@ 7ver Figura 8
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5l %unto A 7a"0 ay8 es el %unto de intersecci-n entre la recta tangente y el e6e "2
4or ser A un %unto en el e6e "0 resulta ay
9 2 4ara determinar a"0 se sustituye en
la ecuaci-n de la recta tangente0 = 9 a" y Y 9 ay 9
? y 9 y@ 7 a" ? " 8
Des%e6ando a
"
4or lo tanto0 las coordenadas del %unto A son
5l %unto ' 7,"0 ,y8 es el %unto de intersecci-n entre la recta tangente y el e6e y24or ser ' un %unto en el e6e y0 resulta ,
"9 2 4ara determinar ,
y0 se sustituye en
la ecuaci-n de la recta tangente0 = 9 ," 9 y Y 9 ,y,y ? y 9 y@ 7? " 8
Des%e6ando ,y,y
9 y ? " y@
4or lo tanto0 las coordenadas del %unto ' son 70 y ? " y@8
5l %unto C 7c"0 cy8 es el %unto de intersecci-n entre la recta normal y el e6e "2 4or
ser C un %unto en el e6e "0 resulta cy 9 2 4ara determinar c"0 se sustituye en la
ecuaci-n de la recta normal0 = 9 c"
y Y 9 cy
9
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Des%e6ando c"
c"
9 " B y y@
4or lo tanto0 las coordenadas del %unto C son 70 " B y y@8
5l %unto D 7d"0 d
y8 es el %unto de intersecci-n entre la recta normal y el e6e y2 4or
ser D un %unto en el e6e y0 resulta d" 9 2 4ara determinar dy0 se sustituye en la
ecuaci-n de la recta normal0 = 9 d"
9 y Y 9 dy
des%e6ando d
y
4or lo tanto0 las coordenadas del %unto D son
des%e6ando c"
c"
9 " B y y@
4or lo tanto0 las coordenadas del %unto C son 70" B y y@8
HAY DOS SEGMENTOS A LOS CUALES SE HACE REFERENCIA EN MUCHODE ESTOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS, ESTOS SON: LA SUBTANGENTE YLA SUBNORMAL.
SUBTANGENTE3a su,tangente es el segmento de recta com%rendido entre la %royecci-n del
%unto 47"0 y8 so,re un determinado e6e coordenado y el %unto de corte de la recta
tangente con dic)o e6e coordenado 7ver Figura 82
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SUBNORMAL3a su,normal es el segmento de recta com%rendido entre la %royecci-n del %unto
47"0 y8 so,re un determinado e6e coordenado y el %unto de corte de la recta
normal con dic)o e6e coordenado 7ver Figura 82
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Ejer!!"# $e %&'!%!()
A. De*er+!)%r *"$%# '%# r-%# &'%)%#, *%'e# e '% re*% *%)/e)*e e)%$% &)*" 01,23 &%#e &"r e' &)*" 045, 53
SOLUCIÓN:
3a ecuaci-n de la recta tangente a una curva en un %unto 7"0 y8 es
Y ? y 9 y@ 7 = ? " 8 7;8
Ya .ue la recta tangente de,e %asar %or el %unto 7?;0 ;80 se tiene .ue lascoordenadas de dic)o %unto satis/acen la ecuaci-n 7;8
Sustituyendo = 9 ?; 0 Y 9 ; en la ecuaci-n 7;8
; ? y 9 y@ 7 ?; ? " 8 7
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&ntegrando:
78
Am,as integrales son inmediatas
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuaci-n 78 ln E " B ; E ? ln E y ; E 9 C
a%licando las %ro%iedades de logaritmo
A%licando e
!ulti%licando %or
des%e6ando y
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reordenando la ecuaci-n
B. L% re*% )"r+%' % )% r-% $%$% e) %$% &)*" 01, 23 #"6re $!7%r-%, &%#% % *r%-8# $e' &)*" 09, 3. S! e' &)*" 09, ;3 &er*e)ee %$!7% r-%, e)8)*re#e # e%!().
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3a ecuaci-n 78 es la ecuaci-n de una /amilia de circun/erencias con centro en7
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D2 L% &e)$!e)*e $e '% re*% *%)/e)*e e) %'!er &)*" 0 1, 23 $e )%r-% e# 5 < 1=2. S! '% r-% &%#% &"r e' &)*" 05, 53, e)e)*re #e%!().
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E. E) !)*ere&*" ") e' eje 2, $e '% re*% )"r+%' % )% r-% e)%'!er% $e ## &)*"#, e# !/%' % 9. S! '% r-% &%#% &"r e' &)*"0;, >3, e)e)*re # e%!().
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APLICACIÓN DEL TRABAJO:
Hallar la ecuaci-n de la curva .ue %asa %or el %unto 47=0Y80 Tal .ue la distancia de
la intersecci-n de la tangente al e6e de las a,scisas es el do,le de la distancia de
la intersecci-n de la normal
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FOTOS Y FIGURAS
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CONCLUSIÓN:
Finalmente y %ara concluir se determin- .ue0 la resoluci-n de %ro,lemas de
ingeniería est$ asociada0 %or lo general0 a resultados num*ricos %uesto .ue
se re.uieren res%uestas %r$cticas2 3a mayor %arte de las leyes cientí/icas de e"%resan en t*rminos de ra%idez
de variaci-n de una varia,le con res%ecto otra2 Adem$s %ro%orcionan una )erramienta esencial %ara modelar muc)os
%ro,lemas en &ngeniería 5l dominio de los m*todos num*ricos0 en com,inaci-n con las ca%acidades
y %otencialidades de la %rogramaci-n de com%utadoras resuelve %ro,lemas
de ingeniería de manera m$s /$cil y e/icientemente2
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Re"+e)$%!")e#:
;2 Dic)a ma.ueta )a sido creada con las ideas de todos los com%aeros0 no
co%iada2
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BIBLIOGRAFIA
;2 Dennis Iill edici-n %u,licado eln ; en me"ico editorial Gru%o 5ditorial
&,eroam*rica !*"ico0 ;KK 5dLars y 4enney