Marcsa Main PhD - szemaxwell.sze.hu/~marcsa/docs/Marcsa_Main_PhD.pdf · ai Elektro dinamik problémák mo dellezése. 5 2.1.1. A enletek ell-egy Maxw. 6 2.1.2. usok otenciálformalizm

Párhuzamosított

végeselem-módszerek a satolt

elektrodinamikai problémák

megoldásában

Írta:

Mar sa Dániel

Okleveles me hatronikai mérnök

Konzulens:

Prof. Dr. Ku zmann Miklós, D.S .

Egyetemi tanár

Szé henyi István Egyetem, Automatizálási Tanszék

Ph.D. doktori értekezés

Szé henyi István Egyetem

Infrastrukturális Rendszerek Modellezése és Fejlesztése

Multidisz iplináris M¶szaki Tudományi Doktori Iskola

Gy®r

2018

Mar sa Dániel Ph.D. doktori értekezés 2018

"... Barátaim, h®s, pán élos vitézek,

megbo sátjátok, ha mágus leszek? -!

aki szeliden, félve kutatom

a mélyebb-látás bársony-süvegét

s húnyt pillán át is nagyon messze nézek ..."

/Dsida Jen®/

Köszönetnyilvánítás

Els®ként szeretném megköszönni saládomnak, feleségemnek Dorottyának és kislá-

nyomnak Emmának a mindennapi támogatást, és a doktori disszertá ió megvalósításával

eltöltött rengeteg id®t, amit a számítógép el®tt töltöttem. Ezúton szeretném megköszön-

ni Ku zmann Miklós professzor úrnak, tanáromnak, konzulensemnek és f®nökömnek,

hogy elindított a tudományos pályámon, megtanított a végeselem-módszer alapjaira,

és a mérnöki szakma, a tudomány feltétlen szeretetére. Köszönetemet fejezem ki az

Elektromágneses Terek Laboratórium tagjainak név szerint Budai Tamásnak, Friedl

Gergelynek, Katona Évának, Ková s Gergelynek, Pólik Zoltánnak, Prukner Péternek, és

Unger Tamásnak akik velem együtt, fáradhatatlanul m¶velték a numerikus térszámítás

nem könny¶ tudományterületét.

Szeretném megköszönni Iványi Amália professzorasszonynak hasznos szakmai taná-

sait, jó szándékú kritikáit az eddigi kutatómunkám során. Külön köszönet Budai Tamás-

nak és Ková s Ákosnak, akik a szimulá iókhoz szükséges számításte hnikai hátteret biz-

tosították a munkám számára. Köszönöm Herbert de Gersem és Kent Davey professzor

uraknak a sok segítséget, amit az alap-, mester- és doktori képzésem alatt nyújtottak.

Szeretném megköszönni volt középiskolai tanáromnak, Nagy Jen® (†) tanár úrnak, hogy

fáradhatatlan munkája révén megismerkedhettem a villamos gépek alapjaival.

Köszönöm az eCon Engineering Kft. ügyvezet® igazgatójának Kigli s Gábornak és

a Szoftver Csoport vezet®jének dr. Molnár Lászlónak, hogy a szimulá iós eredményeim

validálásához használhattam az ANSYS Maxwell szoftvert.

Köszönöm a Szé henyi István Egyetem Automatizálási Tanszék munkaközösségének

a baráti légkört, amelyben disszertá iómban foglalt tudományos eredményeket megva-

lósíthattam. Végül szeretném megköszönni mindazoknak, akik hatással voltak rám és

életem alakulására, de itt nem említettem ®ket név szerint, mert túl hosszúra nyúlna a

felsorolás és biztos akkor se lenne teljes.

∗ ∗ ∗

I

Tartalomjegyzék

1. Bevezet® 1

1.1. A kutatás el®zménye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. A kutatás tervezett élkit¶zése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. A dolgozat felépítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Irodalmi áttekintés 5

2.1. Elektrodinamikai problémák modellezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. A Maxwell-egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2. Poten iálformalizmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3. A végeselem-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Csatolt problémák modellezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Áramkör satolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2. A me hanikai egyenlet satolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Tartomány dekompozí iós módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1. A tartomány dekompozí ió alapötlete . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2. A S hurkomplemens-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.3. A FETI-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. A modellek szabályozási körbe illesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. A meglév® eredmények hiányosságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Feszültség- és me hanikai egyenlettel satolt modell 48

3.1. Motivá ió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Feszültséggel gerjesztett modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3. A forgás gyelembevétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.1. Egyszer¶sített egyréteges mozgó sáv . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2. A szimulá iós eredmények bemutatása . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. A feszültség és a me hanikai egyenlet gyelembevétele . . . . . . . . . . . 57

3.5. Új tudományos eredmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Modell párhuzamosítása tartomány dekompozí ióval 61

4.1. Motivá ió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. FETI-módszer Direkt megoldó algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3. Statikus problémák párhuzamosított megoldása . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.1. Elektrosztatika feladat párhuzamosított megoldásának eredményei 64

4.3.2. Az egyfázisú transzformátor párhuzamosított megoldásának ered-

ményei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.3. A negyed transzformátor párhuzamosított megoldásának eredményei 67

4.4. Örvényáramú feladat párhuzamosított megoldása . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.1. Az egész transzformátor párhuzamosított megoldásának eredményei 69

4.4.2. A negyed transzformátor párhuzamosított megoldásának eredményei 70

II


4.5. A satolt probléma párhuzamosítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5.1. Feszültségegyenlettel satolt feladat párhuzamosított megoldása . 72

4.5.2. Me hanikai egyenlettel satolt feladat párhuzamosított megoldása 76


5. Modell szabályozási körbe illesztése 81

5.1. Motivá ió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Feszültségegyenlettel satolt modell szabályozási körbe illesztése . . . . . 82

5.2.1. A szabályozó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.2. A szabályozott modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.3. A párhuzamosítással elért gyorsítás . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3. Me hanikai egyenlettel satolt modell szabályozása . . . . . . . . . . . . 89

5.3.1. Irányítási körbe illesztett modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.2. A párhuzamosítással elért gyorsítás . . . . . . . . . . . . . . . . . 94


6. Új tudományos eredmények összefoglalása 97

7. Konklúzió, jöv®beli tervek 100

A. A vékony vezet® er®s satolása 102

B. Nyomatékszámítás 105

B.1. Maxwell-féle feszültségtenzor módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B.2. Arkkio-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

C. Mozgás gyelembevétele Minkowski-transzformá ióval 108

D. S hurkomplemens-módszer - 1D mintapélda 110

E. FETI-módszer - 1D mintapélda 114

F. Feszültséggel gerjesztett szolenoid 119

G. Szimulá iós feladatok eredményeinek validálása ANSYS Maxwell szoft-

verrel 122

G.1. Feszültséggel gerjesztett szolenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

G.2. Háromfázisú aszinkron motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

G.3. Kap solt reluktan ia motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Irodalomjegyzék i

III


IV

1. FEJEZET

Bevezet®

1.1. A kutatás el®zménye

Napjainkban a villamos gépek és hajtásaik újszer¶ alkalmazásai nagyon fontos sze-

repet játszanak az automatizált rendszereknél világszerte. Ezen rendszerekkel szemben

egyre magasabb elvárásokat támasztanak az energiahatékonyság, a hatásfok, a megbíz-

hatóság és a gyors, pontos m¶ködés szempontjából. Régiónk esetében a járm¶ipar, azon

belül is az elektromos és hibrid hajtású járm¶vek, ahol újszer¶ megoldásokat kíván a

terület az el®bb említett kritériumok teljesítéséhez. Az egyik ilyen újszer¶ megoldás a

rendszerszint¶ tervezés, vagyis a f®bb részek, mint a villamos gép, annak meghajtása

és szabályozása egyszerre kerülnek megtervezésre. Ehhez azonban szükség van a részek

összekap solására, azaz, hogy a kimenetbemenet párok egyezzenek mely kritérium

nem feltétlenül teljesül.

Disszertá ióm középpontjában az automatizált rendszerekben alkalmazott beavatko-

zók modelljének pontosítása és a szabályozóval történ® összekap solása áll. Egy zárt

valódi rendszeren belül az egyes rendszerösszetev®k között szoros kap solat van, és el-

mondható, hogy szinte mindegyik rész hat valamilyen módon a másikra. A komponen-

sek egymásra hatása a számítógépes szimulá iók és modellezések esetében szinte kivétel

nélkül még ma is hiányzik vagy hiányos. Sok esetben az ilyen jelleg¶ hiányosságok, pon-

tatlanságok a számítás után az eredményeknél korrigálható. De olyan rendszerek esetén,

ahol nin s semmilyen el®zetes tapasztalat, ismeret a rendszerr®l, például egy új rend-

szer fejlesztése esetén ezt nem tudjuk megtenni. Ilyen esetben viszont jelent®sége van a

modell pontosságának, illetve annak, hogy a szabályozóhoz milyen modell kerül alkalma-

zásra. A dolgozatomban az automatizálási rendszerek fejlesztési idejének és költségének

sökkentését el®segít® számítógépes eljárással foglalkozom, ahol a még nem ismert be-

avatkozót fehérdobozos, vagyis matematikai modellként veszem gyelembe, úgy, hogy

alkalmas legyen a szabályozóval való összekap solásra is.

A mérnöki gyakorlatban, a valóságot nagy pontossággal leíró fehérdobozos modellt

a par iális dieren iálegyenletek numerikus módszerrel történ® megoldásával lehet kap-

ni. Villamos beavatkozók tervezése és analízise esetében ezek az egyenletek a Maxwell-

egyenletek rendszere, azaz az elektromágneses tér változóira felírt par iális dieren iál-

egyenletek vagy integrálegyenletek, amelyek minden elektromágneses térszámítást igény-

l® feladat megoldására alkalmasak. A térváltozók helyett poten iálok bevezetésével ke-

vesebb ismeretlent tartalmazó par iális dieren iálegyenletek formájában írhatók fel a

megoldandó egyenletek. A számos numerikus te hnika közül a dolgozatban a végeselem-

módszert (FEM - Finite Element Method) alkalmazom, melynek lényege abban áll, hogy

a vizsgált tartományt egyszer¶ alakzatokra bontjuk fel, az alakzatokra pedig egyszer¶

1


egyenleteket írunk fel, végül ezen egyszer¶ egyenletek összesítésével a probléma egy köze-

lít® megoldása áll el®. A végeselem-módszer a súlyozott maradék elvének gyenge alakjára

épül, s a Galjorkin-eljárást alkalmazza. A végeselem-módszer a diszkretizálás eredménye-

képp a par iális dieren iálegyenleteket algebrai egyenletek rendszerévé transzformálja.

Egy eszköz fejlesztésénél nem sak a modell pontossága fontos, hanem a szimulá iókra

fordított id® is. Jelent®sen megn® a rendszer fejlesztési ideje, ha a nagy számításigény¶,

a végeselem-módszerrel nyert numerikus modellt alkalmazzuk a szabályozással összekap-

solva. Egy ilyen modellnek nagyságrendekkel nagyobb a szabadsági foka, mint például

egy állapottér modellnek. Tehát valamilyen módon gyorsabbá kell tenni a végeselem-

módszeren alapuló számítást. Az egyik kézenfekv® és korszer¶ módszer a párhuzamosí-

tás. A számos párhuzamosítási te hnika közül a dolgozatban a tartomány dekompozí iót

alkalmazom, amikor a vizsgált rendszer diszkretizált modelljét bontom fel kisebb részek-

re, és az így kapott részfeladatokat külön-külön, de egymással párhuzamosan vizsgálom.

A tartomány dekompozí iós módszerek közül a S hurkomplemens-módszert és a FETI-

módszert (Finite Element Tearing and Inter onne ting) alkalmazom a dolgozatomban,

a numerikus szimulá iók felgyorsítására. A párhuzamosításnak köszönhet®en pedig a

térszámításból kapott, az analitikus összefüggésekkel nyert leírásnál pontosabb modell

esetében is van lehet®ség a tervezés gyorsítására.

A végeselem-módszerrel kapott modell viszont önmagában még nem elegend® a villa-

mos beavatkozók pontos modellezéséhez. A Maxwell-egyenletekb®l levezethet® poten i-

álformalizmusok par iális dieren iálegyenletei önmagukban az árammal történ® gerjesz-

tést teszik lehet®vé. De a villamos beavatkozók, melyek magukba foglalják a járm¶vek

villamos motorját is, f®leg feszültségkényszerrel m¶ködnek. Ezért fontos a feszültséggel

történ® gerjesztés, vagyis a teker s egyenletének gyelembevétele és a modellhez sa-

tolása. A feszültségegyenlet satolása kétféle módon végezhet®, az úgynevezett gyenge,

indirekt satolással vagy az er®s, direkt satolással. A pontos modellhez a direkt satolás

szükséges, ezért magam is ezt a módszert alkalmazom a munkám során.

A teker s feszültségegyenletének satolása önmagában elegend® lenne egy mozgó részt

nem tartalmazó rendszer vagy az állandósult állapot vizsgálatára. Azonban járm¶haj-

tásában alkalmazandó beavatkozó is el®fordulhat a tervezend® feladatok között, nagyon

fontos a hajtás dinamikus tulajdonságainak vizsgálata. Ehhez pedig a mozgó rész me ha-

nikai egyenlete szükséges. Két soportba sorolhatóak a módszerek, melyek lehet®séget

adnak a me hanikai egyenlet elektromágneses végeselem-módszerhez történ® satolásá-

ra. A súszófelület (sliding surfa e) módszeren alapuló eljárások, amelyek egy, az álló és

mozgó rész közötti határfelület segítségével veszik gyelembe a mozgást. A másik soport

a légrés-határfelület (air-gap interfa e) módszerek, ahol az álló és mozgó rész szétválik,

így képezve az álló és mozgó határfelületet, közöttük pedig egy vékony, végeselemekkel

nem felbontott résszel. Mindkét módszer soport egy-egy változatát megvalósítottam,

amelyeket a dolgozatban részletesen bemutatok.

1.2. A kutatás tervezett élkit¶zése

Munkám során a szabályozási körbe illeszthet®, gyors és pontos, a numerikus tér-

számítás segítségével felépített modell megalkotása az egyik f® él, amihez az általam

meg élzott terület esetén, a hajtásrendszerekben a végeselem-módszer a legalkalmasabb.

A tervezett modell megalkotásánál nagyon fontos az összekap solásra alkalmas bemene-

tek és kimenetek megléte. A megfelel® bemenet elérésére jól alkalmazható az általam

2


is használni kívánt közvetlen satolás. Ekkor a FEM-modellb®l gyelembe veszi a te-

ker selés induktivitásának változását az adott gerjesztésnek, az aktuális üzemállapotnak

megfelel®en, ugyanakkor a kétdimenziós modell esetében lehet®séget ad a teker svégek

induktivitásának gyelembevételére. Villamos hajtásoknál az üzemeltetés során a villa-

mos körben fellép® átmeneti jelenségek mellett fontos a me hanikai tranziensek pontos

ismerete is. Utóbbiak vizsgálatához két te hnikát is vizsgálni fogok, amelyek lehet®sé-

get adnak a me hanikai állapotváltozóban fellép® tranziens jelenségek meghatározására

tetsz®leges üzemállapot esetén. A súszófelület módszer az egyik vizsgálni és alkalmazni

kívánt te hnika, melyhez a két rész közötti kap solat megteremtésére els®fokú interpo-

lá iót kívánok alkalmazni. A másik te hnika a mozgó sáv módszer, ahol a felbontatlan

részhez egy olyan diszkretizáláson alapuló módszert kívánok kifejleszteni, amely a lehet®

legkevesebb számításigénnyel jár. A m¶velet sökkentése a szabályozási körbe illesztés

miatt még fontosabb, mivel a nagy ismeretlenszámú modell révén a számítási id®t így is

jelent®sen megnövelem, bár várhatóan pontosabb lesz.

Mérnöki szempontból a pontosság mellett lényeges a gyors m¶ködés. Utóbbi meg-

élozható sokpro esszoros számítógépnél a párhuzamosítással. A párhuzamosításhoz a

szilárdságtani és áramlástani szimulá ióknál széles körben, a villamosmérnöki gyakor-

latban viszont kevésbé gyakran alkalmazott tartomány dekompozí iós módszerek közül

kett®t kívánok alkalmazni, a S hurkomplemens- és a FETI-módszert. A módszerek

matematikai alapjai más tudományterületekhez tartozó irodalomból rendelkezésre áll-

nak, azonban az ezekt®l eltér® alkalmazási terület miatt tudományos, illetve oktatási

szempontból ezek aprólékos összeállítása és összegy¶jtése rendkívül fontos. Emellett tu-

domásom szerint az elmúlt id®szakban ilyen jelleg¶ magyar nyelv¶ összefoglaló munka

nem jelent meg, s ezt a hiányt is pótolni igyekszem munkám összefoglalásával. A jól

ismert alapokhoz újat úgy kívánok adni, hogy javaslatot teszek a tartományok felbontá-

sára, és vizsgálom a módszereket az alkalmazhatóság és a hatékonyság szempontjából,

mozgó részt tartalmazó áramköri egyenlettel satolt feladat esetén. Fontosnak tartom

az egyenletrendszer megoldására alkalmas te hnikák vizsgálatát, ezért direkt és iteratív

algoritmussal is kívánom tesztelni a tartomány dekompozí iós módszereket. A FETI-

módszernél a direkt megoldó rutin egy eredetileg prekondi ionálónak javasolt eljárás,

amelyet, mint megoldó eljárást fogok alkalmazni különböz® kétdimenziós elektromágne-

ses feladatokra.

Napjainkban a kereskedelemben nagyon sok, a modern mérnöki tervezéshez és szi-

mulá ióhoz jól használható, a végeselem-módszert alkalmazó szoftver található. Ezzel

ellentétben, a legtöbb kutatásnál, értekezésben saját fejlesztés¶ szoftvert használnak,

melynek egyik f® oka, hogy a kereskedelmi szoftverekben nem lehet tetsz®leges módosí-

tásokat végrehajtani, és a sokszor kutatási szempontból lényeges részek hozzáférhetetle-

nek a titkosított algoritmusok és programkódok miatt. Emiatt elkerülhetetlen egy saját

fejlesztés¶, végeselem-módszeren alapuló eljárás somag implementálása, amely már al-

kalmas lesz az eddig vázolt élkit¶zések megvalósítására. A megvalósításhoz a mérnöki

gyakorlatban széles körben használt Matlab programrendszert kívánom alkalmazni, mert

így vizsgálható a módszerek a disszertá ióm szempontjából lényegesnek tartott m¶-

ködése és viselkedése, viszont jóval könnyebb a megvalósítás és a hibakeresés, mint egy

ala sonyabb szint¶ nyelv Fortran, C, C++, stb. esetén. A Matlab program somag a

szabályozási kör megvalósításánál is jól alkalmazható, a dinamikus rendszerek modellezé-

sére és vizsgálatára alkalmas részének, a Simulink rendszernek köszönhet®en. Valamint,

mérnöki munka lévén, rendkívül fontosnak tartom, hogy a teljes szimulá iós rendszert a

3


saját magam által fejlesztett programmal magam végezzem el, hiszen így a munka min-

den egyes fázisát jól megismerhetem és ellen®rizhetem, ami az esetleges hibák javítása,

illetve új ötletek implementálása során el®nyt jelent.

A kidolgozott módszerek akkor m¶ködnek hatékonyan, ha azok alkalmazhatóak a

gyakorlatban is. Ezért fontosnak tartom nem sak az állítások eredménnyel történ®

alátámasztását, hanem a teljes rendszer m¶ködésének igazolását is mintapéldák meg-

oldásával. Az alkalmazni kívánt mintapéldák mindegyike nemzetközi irodalomból vagy

szoftver (ONELAB, Agros2D) mintapéldái közül származnak, így van lehet®ség az ott közölt

eredmények és a saját eredményeim összevetésére.

1.3. A dolgozat felépítése

A dolgozat második fejezete az általam is m¶velt tudományterület irodalmi áttekin-

tését tartalmazza, ahol összefoglalom a felhasznált elméleti és gyakorlati ismereteket. A

további munkám ezen ismeretanyagra épül.

A harmadik fejezetben a feszültségkényszerhez szükséges dieren iálegyenletek és a

mozgó rész me hanikai viselkedését leíró egyenlet satolását, és a satolt, végeselem-

módszerrel diszkretizált modell megvalósítását ismertetem. Minden esetben, a kapott

modellek m¶ködésének helyességét nemzetközileg jól ismert példán keresztül mutatom

be, ahol ismertek az eredmények, így a megvalósított módszerek m¶ködése igazolható.

A negyedik fejezet a dolgozatban alkalmazott tartomány dekompozí iós módszerekre

fókuszál, amely egyben munkám f® témája. Bemutatom a S hurkomplemens-módszer

és a FETI-módszer elektromágneses térszámításban történ® alkalmazását. Ezután muta-

tom be a satolt, tartomány dekompozí ióval párhuzamosított végeselem-modell imple-

mentálását, kitérve a satolásból ered® sajátosságokra. Foglalkozom a módszerek direkt

és iteratív megoldóalgoritmusaival is, különös tekintettel azok hatékonyságára a statikus

és id®függ® elektrodinamikai modelleknél.

Az ötödik fejezetben a végeselem-módszerrel felépített modell szabályozási körbe tör-

tén® illesztésével foglalkozom, kitérve a szabályozásba illesztett modell pontosságának

fontosságára.

A befejez® két fejezetben tézisek formájában összefoglalom a dolgozat eredményeit, s

további megválaszolásra váró kérdéseket fogalmazok meg, melyekkel a jöv®ben foglalkozni

kívánok.

Terjedelmi okok miatt néhány a szakirodalomból ismert módszer bemutatását, leve-

zetését, illetve az egyik mintafeladat analitikus megoldását függelék formájában közlöm.

Valamint a G. függelék tartalmazza a nemzetközi szakirodalomban analitikus megoldás-

sal nem rendelkez® feladatoknál kapott, és a dolgozatban bemutatott eredmények igazolá-

sát egy a végeselem-módszert alkalmazó kereskedelmi szoftverrel, az ANSYS Maxwell-lel.

A dolgozatot a felhasznált irodalom jegyzéke zárja.

A dolgozatot és az ábrák jelent®s hányadát L

A

T

E

X szövegszerkeszt®vel készítettem.

4

2. FEJEZET

Irodalmi áttekintés

Ebben a fejezetben a szakirodalomra támaszkodva összefoglalom azon ismeretanya-

got, amelyre a további fejezetek épülnek, amely alapokra kutatásaimat építettem. Rö-

viden bemutatom a villamos beavatkozókkal kap solatban a végeselem-módszert, beve-

zetem a kutatásaim során használt Maxwell-egyenleteket, és az alkalmazott poten iál-

formalizmusokat, majd a satolt szimulá iók fejl®dését, és az ehhez tartozó módszereket

ismertetem. A dolgozatomban tartomány dekompozí ióval gyorsítom a satolt szimulá-

iókat, ezért a tartomány dekompozí ió alapelveit és módszereit is áttekintem, kitérve az

elektromágneses térszámításban alkalmazott párhuzamosításra. A szakirodalom áttekin-

tését a villamos beavatkozók végeselem-módszerb®l nyert modelljét alkalmazó irányítási

rendszer eddigi eredményeinek összefoglalásával zárom. Végül röviden bemutatom az iro-

dalmi áttekintésben ismertetett eredményeknél mik a hiányosságok, a megoldásra váró

problémák.

2.1. Elektrodinamikai problémák modellezése

Az elektrodinamika alapegyenleteib®l, azaz a Maxwell-egyenletekb®l kiindulva olyan

bonyolult rendszerek behatóbb vizsgálata és tervezése lehetséges, mint például a villamos

forgógépek, mér®berendezések, antennák [120. A problémát leíró Maxwell-egyenletek

és a peremfeltételek ismeretében a poten iálfüggvény megválasztása után el®állíthatók a

vizsgálat tárgyát képez® feladatkör par iális dieren iálegyenletei. Egyszer¶ esetekben a

kit¶zött feladat megfogalmazható a térváltozókra is. Ezen par iális dieren iálegyenletek

és perem- valamint kezdeti feltételek jellemzik a vizsgált elektrodinamikai rendszert.

Az életben fellelhet® összes probléma alapjában véve folytonos idej¶ bemeneti jelre

folytonos idej¶ kimeneti jellel reagál, azaz a körvonalazott rendszerek túlnyomó többsége

folytonos idej¶, analóg rendszer [2123. A jelen dolgozatban tárgyalt elektrodinamikai

rendszerek gerjesztés-válasz kap solata rendkívül bonyolult par iális differen iálegyenle-

tekb®l valamint kezdeti és peremfeltételekb®l álló egyenletrendszer, amely számítógéppel

történ® megoldása sakis az egyenletek diszkretizálásával lehetséges [12,16,17,19,2430.

A térbeli diszkretizálás többféle módon megoldható, a dolgozatban az ala sony frekven-

iás problémákra alkalmazott, s a legdinamikusabban fejl®d® te hnikára, a végeselem-

módszerre szorítkozom [12,13,1517,19,24,2446, azonban a közölt egyenletek megoldá-

sa más numerikus te hnikákkal is elvégezhet®. Az id®beli diszkretizálás Euler hátralép®

módszere, vagy a CrankNi olson-séma szerint egyszer¶, és ezen te hnikák többségé-

ben stabil megoldásra vezetnek [9, 19, 27, 30. A folytonos idej¶ rendszerek gerjesztés-

válasz kap solatát alkalmas diszkretizálással tehát diszkrét idej¶ rendszerré lehet alakí-

tani. Hangsúlyozom, hogy a diszkretizálás térben is megtörténik.

5


A Maxwell-egyenletekb®l poten iálok választásával tehát par iális dieren iálegyenle-

tek írhatók fel, melyek térbeli és id®beli diszkretizálásával algebrai egyenletekké alakítha-

tóak. Az algebrai egyenletek megoldása pedig a poten iálok egy közelítését szolgáltatja,

vagyis numerikus te hnikával mindig egy közelítés kapható. Analitikusan azonban sak

nagyon kevés, egyszer¶ geometriával bíró feladat oldható meg.

2.1.1. A Maxwell-egyenletek

A dolgozatban használt numerikus te hnika, a végeselem-módszer, a Maxwell-egyenle-

tek dieren iális alakjából indul ki. A

~H(~r, t)mágneses térer®sség, az ~E(~r, t) elektromos

térer®sség, a

~B(~r, t) mágneses induk ió, a ~D(~r, t) eltolási árams¶r¶ség, a ~J(~r, t) vezetésiárams¶r¶ség mellett a következ® egyenletekr®l van szó [28, 1013,15, 17, 19, 24:

∇× ~H(~r, t) = ~J(~r, t) +∂ ~D(~r, t)

∂t, (2.1)

∇× ~E(~r, t) = −∂ ~B(~r, t)

∂t, (2.2)

∇ · ~B(~r, t) = 0, (2.3)

~B(~r, t) = µ ~H(~r, t), vagy ~H(~r, t) = ν ~B(~r, t), (2.4)

~J(~r, t) =

~J0(~r, t), a tekercsben,~0, a leveg®ben és nem vezet® anyagban,

σ ~E(~r, t), az örvényáramú tartományban.

(2.5)

Utóbbi egyenletben a σ az anyag vezet®képessége,

~J0(~r, t) pedig az elektromágneses te-ret gerjeszt® árams¶r¶ség árammal történ® gerjesztés esetében. Munkám során néhány

demonstrá iós élt szolgáló példán kívül olyan feladatokkal foglalkoztam, amelyekben

a gerjeszt® teker s árams¶r¶sége nem ismert. Dolgozatomban minden példánál a mág-

neses térer®sség és a mágneses induk ió között fennálló konstitú iós relá ió lineáris és

izotrop. Leveg®ben

~B(~r, t) = µ0~H(~r, t), vagy a

~H(~r, t) = ν0 ~B(~r, t) a konstitú iós

egyenlet, ahol µ0 = 1/ν0 a leveg® permeabilitása. Lineáris és izotrop karakterisztikájú

ferromágneses anyagok esetében ezen egyenletek formája a

~B(~r, t) = µ0µr ~H(~r, t), vagy

a

~H(~r, t) = ν0νr ~B(~r, t) összefüggés szerint alakul, ahol µr

= 1/νr

az anyag relatív per-

meabilitása. A dolgozatomnak nem élja foglalkozni a

~B(~r, t) és ~H(~r, t) között fennállóbonyolultabb kap solattal, azonban fontos megjegyezni, hogy általános esetben a karak-

terisztika valamely hiszterézismodell által reprezentált nemlineáris kap solattal írható le,

amelyet sok esetben (lágymágneses anyagok) egyérték¶ nemlinearitással írnak le.

A (2.1) egyenlet (Ampére-törvény) azt mondja ki, hogy örvényes mágneses tér áram-

s¶r¶ség eredményeképp jön létre. Ezen összefüggésb®l a vezetési árams¶r¶ség a (2.5)

szerint lehet a vezet®ben (például teker s) folyó áram

~J0(~r, t) árams¶r¶sége, vagy épp a

vezet® anyagban kialakuló σ~E(~r, t) örvényáram. A (2.2) egyenlet a Faraday-féle induk-

iótörvény, amely azt mondja ki, hogy az id®ben változó mágneses tér örvényes elektro-

mos teret kelt, amely a vezet® anyagokban létrehozza az örvényáramokat. A (2.3) pedig

a mágneses tér forrásmentességére utaló egyenlet.

Munkám során f®leg statikus mágneses tér és örvényáramú problémákkal foglalkoz-

tam. A fenti egyenletekben az eltolási áramot elhanyagoltam a használt frekven iatar-

tomány, azaz az ala sony frekven ia miatt, ahol |~J(~r, t)| ≫ |∂ ~D(~r, t)/∂t|. A közölt

6


egyenletek az örvényáramú problémák leírására alkalmasak. Statikus mágneses tér prob-

lémák esetén az örvényáram hatása elhanyagolható, azaz a (2.2) egyenlet elhagyható,

ahogy a (2.5) relá ió utolsó tagja is.

A Maxwell-egyenletek a térjellemz®k közötti kap solatokat adják meg, azonban külön-

féle közeghatár- és peremfeltételeket kell megfogalmazni, hogy azok egyértelm¶en írják

le a megoldandó problémákat. Két különböz® közeggel kitöltött térfogat határán kö-

zeghatár feltételeket kell megfogalmazni, amely az elektromos térer®sség és a mágneses

térer®sség tangen iális komponensének, valamint a mágneses induk ió és az árams¶r¶ség

normális komponensének folytonosságát jelenti. A peremfeltétel a probléma tartományát

lezáró peremeken el®írt feltételekben merül ki, amely a tangen iális és normális kompo-

nensekre ad el®írást, amelyeknek teljesülni kell.

A következ®kben az egyszer¶bb írásmód érdekében a vektorfüggvények argumentu-

mát, azaz az (~r, t) jelölést elhagyom.

2.1.2. Poten iálformalizmusok

A Maxwell-egyenletek megoldása poten iálok bevezetésével is lehetséges, amelynek

eredményeképp az ismeretlenek száma sökkenthet®, s mindez a poten iálokra felírható

par iális dieren iálegyenletek megoldására vezet. A poten iálok ismeretében a térjel-

lemz®k, és egyéb adatok természetesen számíthatók. Alapvet®en skalárpoten iál, vagy

vektorpoten iál alkalmazható a megfogalmazott problémák leírására, melyek elliptikus,

valamint parabolikus típusú par iális dieren iálegyenletekre vezetnek.

A következ®kben a munkám során alkalmazott, kétdimenziós esetben el®álló poten-

iálformalizmus bemutatására szorítkozom [28,1013,1517,19, 20, 24, 25, 29, 4781.

Statikus mágneses tér

A statikus mágneses térproblémák általános felépítése a 2.1. ábrán látható. A mág-

neses teret itt a teker s

~J0 árams¶r¶sége gerjeszti, amely a leveg®vel kitöltött Ω0 tar-

tományban helyezkedik el, s van egy tartomány (Ωm), amelyet mágneses anyag tölt ki.

ΓB

ΓB

ΓBΓB

ΓH

ΓH

Γm0

Γm0

~n0

~nm

~J0

Leveg®

Ω0

µ0

Mágneses anyag

Ωm

µm

= µ0µr

~n

2.1. ábra Statikus mágneses tér feladat sematikus rajza.

7


A Γm0 jelöli a közeghatárt, a ΓB perem a szimmetriasík vagy a végtelen távoli perem

~B · ~n = 0 esetében, a ΓH peremen pedig a

~H × ~n = ~0 feltétel kell, hogy teljesüljön. Az

~n normálvektor a 2.1. ábra szerint a kérdéses tartományból kifelé mutat.

A statikus mágneses tér alapvet®en a mágneses skalárpoten iállal, vagy a mágneses

vektorpoten iállal számítható. Itt a dolgozatban alkalmazott mágneses vektorpoten iált

és a hozzá kap solódó legfontosabb összefüggéseket mutatom be.

A mágneses vektorpoten iál. Az

~A mágneses vektorpoten iál a (2.3) egyenlet alap-

ján vezethet® be a

~B = ∇× ~A (2.6)

összefüggés szerint, amely az Ω = Ω0 ∪ Ωm tartományban érvényes, és eleget tesz a

(2.3) összefüggésnek, a következ® azonosságból kifolyólag ∇ · ∇ × ~v ≡ 0, ami teljesülminden

~v = ~v(~r) vektorfüggvényre. A fenti kifejezés a (2.1) egyenlet és a (2.4) lineáris

konstitú iós relá ió szerint a következ® lineáris par iális dieren iálegyenletre vezet:

∇× (ν∇× ~A) = ~J0, az Ω0 ∪ Ωm tartományon. (2.7)

A ν paraméter a permeabilitás re iproka, amely 1/µ0 az Ω0, és 1/(µ0µr) az Ωm tartomány-

ban. A mágneses vektorpoten iál egyértelm¶ megoldhatóságához, annak divergen iáját

el® kell írni, melynek a neve Coulomb-mérték [13, 19, 71, azaz

∇ · ~A = 0, (2.8)

ami kétdimenziós esetben automatikusan teljesül. Két dimenzióban a forrásárams¶r¶ség-

nek sak z-irányú komponense, a mágneses térer®sségnek és a mágneses uxuss¶r¶ségnek

pedig sak x-irányú és y-irányú komponense van, azaz

~J0 = J0(x, y)~ez, (2.9)

~H = Hx(x, y)~ex +Hy(x, y)~ey, és

~B = Bx(x, y)~ex +By(x, y)~ey. (2.10)

A mágneses vektorpoten iálnak sak z-irányú komponense van (

~A = Az(x, y)~ez), mert

~B = ∇× ~A =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ex ~ey ~ez

∂∂x

∂∂y

0

0 0 Az

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= ~ex

∂Az

∂y− ~ey

∂Az

∂x, (2.11)

azaz Bx(x, y) = ∂Az/∂y és By(x, y) = −∂Az/∂x. A divergen iája ennek az egykompo-

nens¶ vektorpoten iálnak egyenl® nullával, mert

∇ · ~A =∂Az(x, y)

∂z= 0. (2.12)

A (2.7) egyenlethez, a részletek mell®zésével a következ® peremfeltételek tartoznak

[13, 19:

(ν∇× ~A)× ~n = ~0, a ΓH peremen, (2.13)

~n× ~A = ~0, a ΓB peremen, (2.14)

A (2.7), és (2.13), (2.14) egyenletek által deniált formalizmus az

~A-formalizmus.

8


Örvényáramú tér

Az örvényáramú térproblémák általános felépítése a 2.2. ábrán látható. A mágneses

teret ebben az esetben is a teker s

~J0 árams¶r¶sége gerjeszti, amely ebben az esetben

már id®ben változó. Az árams¶r¶ség a leveg®vel kitöltött Ωn nemvezet® tartományban

helyezkedik el, s az Ωö

tartományt σ vezet®képesség¶ anyag tölti ki, amely esetleg még

mágnesezhet® is. Ebben a tartományban jön létre az örvényáram által keltett mágneses

tér, amely visszahat az azt létrehozó mágneses térre. A Γnö

felület választja el a két

tartományt, ahol a közeghatár feltételeknek teljesülni kell, a ΓB peremen a

~B · ~n = 0, aΓHn

és a ΓHö

peremeken a

~H × ~n = ~0, a ΓE peremen pedig az

~E × ~n = ~0 feltétel kell

teljesüljön. Belátható, hogy a ΓHö

peremen a

~J · ~n = 0, a ΓE peremen pedig a

~B · ~n = 0feltétel is teljesül [13, 19.

ΓB

ΓB

ΓBΓE

ΓHn

ΓHö

Γnö

Γnö

~nn

~nö

~J0

Leveg®

Ωn

µ0

Örvényáramú

tartomány

Ωö

µö

= µ0µrσ 6= 0

~n

2.2. ábra Örvényáramú probléma sematikus rajza.

Ebben a részben sak a Ωö

tartományban kialakuló elektromágneses tér számítá-

sával foglalkozom, mivel a leveg®vel kitöltött tartományra a statikus mágneses térnél

ismertetett egyenletek érvényesek.

Az örvényáramú tartomány számítása is többféleképp lehetséges. Alapvet®en a

~Táram-vektorpoten iál kiegészítve a Φ redukált mágneses skalárpoten iállal, és az

~A mág-

neses vektorpoten iál a V elektromos skalárpoten iállal alkalmazható. A dolgozatban az

utóbbit alkalmazom kétdimenziós feladatokra, ezért itt az ehhez kap solódó formalizmust

ismertetem röviden.

A mágneses vektorpoten iál és az elektromos skalárpoten iál. A divergen ia-

mentes mágneses induk iót le tudjuk írni az

~A mágneses vektorpoten iál rotá iójaként.

Ez automatikusan teljesíti a (2.3) mágneses Gauss-törvényt. Behelyettesítve a (2.6)

kifejezést a (2.2) Faraday-törvénybe, a következ® összefüggést kapjuk:

∇× ~E = −∂

∂t∇× ~A = −∇×

∂ ~A

∂t⇒ ∇×

(

~E +∂ ~A

∂t

)

= ~0, (2.15)

mert a rotá ió (azaz a térbeli deriválás) és az id® szerinti deriválás fel serélhet®. A rotá-

iómentes

~E+∂ ~A/∂t vektortérb®l tudjuk származtatni a V elektromos skalárpoten iált

9


(∇ × ∇ϕ ≡ ~0, ami minden ϕ = ϕ(~r) vagy ϕ = ϕ(~r, t) skalárfüggvényre teljesül) a

következ®képpen:

~E +∂ ~A

∂t= −∇V, (2.16)

és az elektromos teret le tudjuk írni két poten iállal, mint

~E = −∂ ~A

∂t−∇V. (2.17)

Az Ampére-féle gerjesztési törvény és az örvényáram forrásmentessége szolgáltatja a

felírható par iális dieren iálegyenleteket, melyeket a peremfeltételek egészítenek ki az

alábbi módon [12, 13, 15, 17, 19, 24, 48:

∇× (ν∇× ~A) + σ∂ ~A

∂t+ σ∇V = ~0, az Ω

ö

tartományon, (2.18)

−∇ ·

(

σ∂ ~A

∂t+ σ∇V

)

= 0, az Ωö

tartományon, (2.19)

(ν∇× ~A)× n = ~0, a ΓHö

peremen, (2.20)

(

−σ∂ ~A

∂t− σ∇V

)

· ~n = 0, a ΓHö

peremen, (2.21)

~n× ~A = ~0, a ΓE peremen, (2.22)

V = 0, a ΓE peremen. (2.23)

A mágneses vektorpoten iálra felírt formalizmus is alkalmas önmagában villamos be-

avatkozók vizsgálatára, modellezésére. Viszont napjainkra, a pontos modellezéshez elen-

gedhetetlen az örvényáramok hatásának gyelembevétele. Ezért a villamos beavatkozók

esetében úgynevezett satolt formalizmust alkalmazunk, mint az

~AV -

~A - formalizmus,

ahol az örvényáramú tartományt az

~AV - formalizmus, a leveg®ben létrejöv® mágne-

ses teret az

~A vektorpoten iál írja le. A satolt formalizmus az el®z®ekben bemutatott

statikus és örvényáramú térhez tartozó két poten iálformalizmus (2.7), (2.18) és (2.19)

egyenleteib®l és (2.13), (2.14), (2.20)(2.23) peremfeltételeib®l áll össze, amellyel már

az örvényáramok hatását is tartalmazó elektrodinamikai rendszer, például villamos gép

vizsgálható. De két dimenziós esetben, ha a teker s áramát, vagy árams¶r¶ségét írom

el® gerjesztésként, nin s szükség az elektromos skalárpoten iálra, ezért az nullának vá-

lasztható (V =0), és az örvényáramú rész egyenleteib®l a σ∇V tagok kiesnek.

2.1.3. A végeselem-módszer

Az utóbbi pár évtizedben hihetetlen gyors fejl®désen ment át a számításte hnika, mely

a számítógépes tervezés eszközeinek hatalmas er®forrást biztosított, és biztosít mind a

mai napig. Ugyanilyen haladás ment végbe a CAD (Computer Aided Design) szoftverek

terén is, kihasználva a fejl®dést, amennyire sak lehet. A CAD szoftverek számításte h-

nikai megjelenése forradalmasította a tervezési folyamatokat, melyek megváltoztatták a

különféle szimulá iókat, köztük az elektromágneses tér szimulá ióját, vizsgálatát is.

A mérnöki gyakorlatban nagyon fontos a numerikus szimulá ió. A dieren iálegyen-

letekkel leírt zikai jelenségeket meg lehet oldani analitikusan is, de a problémáknak sak

10


egy nagyon sz¶k soportját, vagy nagyon egyszer¶ geometriájú feladatoknál használható.

A numerikus eljárás egy jóval összetettebb te hnika, amellyel nem a pontos megoldást,

hanem annak közelítését kapjuk.

A numerikus módszerek alapja, hogy a par iális dieren iálegyenleteket algebrai

egyenletekké egyszer¶sítsék. Ezen egyenletek megoldása adja az ismeretlen poten iá-

lok és elektromágneses mennyiségek közelítését. Az egyszer¶sítés során a dieren iál-

egyenleteket térben, és ha szükséges, id®ben is diszkretizáljuk. Az így el®álló egyenletek

különböz® egyenletrendszer-megoldó algoritmusok alkalmazásával oldhatók meg.

Az el®z®ekben ismertetett, és a továbbiakban bemutatásra kerül® elliptikus és parabo-

likus típusú par iális dieren iálegyenletek közelít® megoldása többek között a súlyozott

maradék elv alapján lehetséges [2, 3, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 19, 30, 48, 73, 8287. A súlyozott

maradék elv körén belül három f® soportba sorolhatók a különféle módszerek: a direkt,

a gyenge alak és az inverz. Ezek közül sak a gyenge alakkal, a Galjorkin-te hnikával,

és ezen belül a végeselem-módszerrel foglalkozom [2, 3, 12, 13, 1517, 19, 24, 25, 2729, 31,

36, 48, 88, 89. A végeselem-módszer (FEM - Finite Element Method) a legnépszer¶bb

és a legelterjedtebben alkalmazott numerikus te hnika a par iális dieren iálegyenletek

közelít® megoldására. Az ala sonyfrekven iás elektrodinamikai problémák, mint a villa-

mos gépek elektromágneses térszámításában pedig szinte kizárólag a végeselem-módszert

alkalmazzák.

A súlyozott maradék elv lényege abban áll, hogy nem törekszik sem a par iális die-

ren iálegyenletek, sem a peremfeltételek tökéletes kielégítésére, hanem a par iális dif-

feren iálegyenletek és a peremfeltételek maradékának egy tetsz®leges súlyfüggvénnyel

vett ún. bels® szorzatát teszi zérussal egyenl®vé, s ennek a súlyozott maradéknak a

megoldása szolgáltatja a probléma megoldásának egy lehetséges közelítését. A gyenge

alakot úgy nyerjük, hogy a szorzatfüggvényre vonatkozó integrálási tétel alkalmazzuk,

melynek eredményeképp a deriválás fokszáma eggyel sökken. A súlyfüggvény tetsz®-

legesen megválasztható. Az úgynevezett Galjorkin-eljárás kap sán a súlyfüggvényt és

a poten iálokat közelít® függvényt azonosnak kell választani, s ezúton lehet eljutni a

végeselem-módszerhez is. Megjegyzem, hogy a végeselem-módszer a Diri hlet-típusú

peremfeltételeket tökéletesen, míg a Neumann-típusú peremfeltételeket a térbeli diszkre-

tizálás nomságától függ®en, közelít®leg elégíti ki.

A végeselem-módszer lépései

A végeselem-módszer egy numerikus te hnika a par iális dieren iálegyenletek köze-

lít® megoldására, melynek lényege, hogy a megoldandó probléma geometriáját egyszer¶

síkbeli vagy térbeli ez függ a feladat dimenziójától alakzatok segítségével felbontjuk

(diszkretizáljuk), és azokon egyszer¶ egyenleteket felírva lehet a feladatot megoldani.

Munkám során els®sorban a Matlab [20, 36, 90 szoftvert alkalmaztam, amely kiválóan

alkalmas a saját fejlesztés¶ rutinok implementálására és tesztelésére. A megoldandó

feladat diszkretizálásához a szabad forráskódú GMSH [91,92 program somagot alkalmaz-

tam. A 2.3. ábra a dolgozatomhoz megvalósított környezetet mutatja. A megvalósított

függvények alapjául a Szé henyi István Egyetem Automatizálási Tanszékén készül®, sa-

ját fejlesztés¶ végeselem-szoftver szolgált, melynek fejlesztése C-nyelven [93 történik,

és a szabad forráskódú GMSH [91, 92 és PETS [94 program somagokra épül. Ennél a

szoftvernél az egyik f® él az összegy¶jtött nemlineáris formalizmusok implementá ió-

ja [19, 93, 95. A GMSH biztosítja a keretrendszert, a végeselem-környezetet, a hálógene-

rálót és a megjelenít®t, a PETS függvényeivel pedig a modern számításte hnika el®nyeit

11


2.3. ábra Az el®- és utófeldolgozóként alkalmazott GMSH és a rutinok implementálá-

sához használt Matlab program.

(például párhuzamos számítások különféle hardvereken) is kihasználva lehet megvalósí-

tani a konkrét formalizmusokat, s azok megoldását.

A végeselem-módszer lépései a 2.4. ábrán láthatóak. Az els® lépés a modell megalko-

tása, melyet majd valamilyen elektromágneses térszimulá iós eljárással vizsgálunk. Meg

kell határozni, melyik par iális dieren iálegyenleteket használjuk, milyen peremfeltéte-

lek, folytonossági feltételek kellenek a szimulá ióhoz. Azt is meg kell adni ebben a lépés-

ben, melyik rész lesz örvényárammentes rész, ahol a sta ionárius mágneses tér egyenleteit

fogjuk használni, és melyik rész lesz örvényáramú tartomány, ahol a kvázista ionárius

Maxwell-egyenleteket használjuk. Ezen felül fontos eldönteni, hogy a vizsgált feladatban

az egyes anyagok karakterisztikáját lineárisnak, vagy nemlineárisnak tekintjük. Miután

kiválasztottuk a poten iálokat, a poten iálhoz tartozó par iális dieren iálegyenletek

gyenge alakját kell kidolgozni, amelyek a súlyozott maradék elvnek megfelel®en lineáris,

vagy nemlineáris algebrai egyenletek. A feladat geometriáját valamilyen CAD-rendszer

segítségével képezzük le.

Az el®feldolgozási fázisban deniáljuk a feladathoz kap solódó anyagi jellemz®ket és

a gerjesztést, valamint ebben a lépésben történik a geometria diszkretizálása végesele-

mekkel. A végeselem egyszer¶ síkbeli vagy térbeli geometriai alakzat. Két dimenzióban

például a háromszög (2.5(a) ábra) és négyszög (2.5(b) ábra) a legelterjedtebben alkal-

mazott forma, amellyel a geometria egyszer¶ szabályokkal felbontható. Az így el®álló

felbontás (a par iális dieren iálegyenlet diszkretizálása) deniálja a megoldandó egyen-

letrendszert is, ugyanis a háló somópontjaiban és/vagy a háló élei mentén helyezkednek

el az ismeretlen poten iál közelítésére használt polinomok együtthatói. El®bbi esetben

somóponti, utóbbi esetben vektoriális vagy élelemes közelítésr®l beszélünk.

Ezután a súlyozott maradék elv gyenge alakjára támaszkodva az egyetlen végeselemre

felírható lokális egyenletek (elemegyenlet) alapján fel kell építeni a megoldandó globális

egyenletrendszert. Ez az ún. asszemblálás, amikor iklusban végig kell menni valamennyi

végeselemen, s a megfelel® egyenletek együtthatóit a globális egyenletrendszerben a meg-

12


A modell spe ifiká iója

Adatok

Diszkretizálás

Elemegyenlet

Asszemblálás

Megoldás

Utófeldolgozás

El®feldolgozás

Számítás

O

p

t

i

m

a

l

i

z

á

l

á

s

/

M

o

d

e

l

l

m

ó

d

o

s

í

t

á

s

a

N

e

m

l

i

n

e

á

r

i

s

i

t

e

r

á

i

ó

/

I

d

®

l

é

p

é

s

2.4. ábra A végeselem-módszer f®bb lépései.

x

y

1

3

2

somópont

él

(a) Háromszög.

x

y

1

2

3

4

somópont

él

(b) Négyszög.

2.5. ábra Tipikus végeselemek a kétdimenziós x− y síkon.

felel® helyre hozzá kell adni. Ennek eredménye egy nagyméret¶, ritka (sparse) mátrix,

mivel nagyon kevés eleme különbözik zérustól. A megoldó algoritmus szempontjából sok

13


esetben élszer¶ szimmetrikus mátrixot generálni, amennyiben az lehetséges. Az egyen-

letrendszer megoldására számos algoritmus létezik. Az id®függ® problémánál (például

örvényáramú feladatnál, vagy me hanikai tranziens vizsgálatánál) a számítási iklust

különböz® bemeneti feltételek mellett ismételni kell.

Az egyenletrendszer megoldása után a közelít® poten iálfüggvény ismeretében gya-

korlatilag az összes kérdéses mennyiség (például nyomaték, veszteségek) számítható. Ez

az utófeldolgozási fázis. A szimulá iós eredmények birtokában a modell javítható, a vé-

geselemeken alapuló és id®beli diszkretizálás nomítható, amivel a modell pontossága

növelhet®. Ha optimalizá ió is kap solódik a feladathoz [9698, akkor az ebben a lé-

pésben meghatározott mennyiségek alapján történik a élfüggvény kiértékelése, és ha

szükséges a geometria vagy anyagjellemz®k módosítása, ahogy a 2.4. ábra is mutatja.

A poten iálok közelítése

A numerikus módszerek a megoldandó problémák egy approximá ióját szolgáltatják.

Végeselem-módszer esetén a par iális dieren iálegyenletekben szerepl® poten iálokat a

végeselemekre felírt polinomok segítségével lehet approximálni, amelyeket formafügg-

vényeknek is neveznek [19, 36. Ebben a fejezetben a dolgozatomhoz kap solódóan az

approximá ió lényegét foglalom össze.

A ϕ = ϕ(~r) vagy ϕ = ϕ(~r, t) reprezentatív skalár poten iálfüggvények m számú

lineárisan független függvény lineáris kombiná iójával approximálhatóak:

ϕ ≃ ϕa = ϕD +

m∑

i=1

Niϕi, (2.24)

ahol ϕa jelöli a ϕ poten iálfüggvény közelítését. Az Ni = Ni(~r) a skalár súlyfüggvény

(vektor-skalár függvény) és az approximá ió során alkalmazott közelít® formafüggvény,

a ϕi = ϕi(t) pedig az ismeretlen együtthatókat jelöli (statikus esetben ezek természe-

tesen id®t®l függetlenek). A fenti közelítés els® tagja a Diri hlet-féle peremfeltételek

kielégítését hivatott biztosítani,

ϕD = g, a ΓD peremen, (2.25)

ahol g egy el®re megadott érték. Ennek következménye, hogy a ΓD peremen a második

összeg minden tagja zérus kell legyen, azaz teljesülnie kell az

Ni = 0, a ΓD peremen (∀i, i = 1, · · · , m) (2.26)

feltételnek.

A somóponti formafüggvények

A skalárpoten iálok somóponti végeselemekkel közelíthet®k. A somóponti elemek

alkalmazása során az Ni formafüggvények segítségével kell közelíteni a poten iálokat,

s az ismeretlenek a végeselemháló somópontjaihoz kap solódnak. A közelít® forma-

függvények egyszer¶ folytonos polinomokból épülnek fel, melyek tartója egyetlen véges-

elem [19, 36.

A formafüggvények a következ® tulajdonságokkal bírnak [15:

(i) Minden formafüggvény a teljes problématér felett értelmezett;

14


(ii) Minden somóponti formafüggvény egyetlen somóponthoz tartozik;

(iii) Minden somóponti függvény azon végeselemeken különbözik nullától, amelyek

érintkeznek annak somópontjával;

(iv) A somóponti függvény értéke egységnyi az adott somópontban, illetve minden

más somópontban zérus;

(v) A formafüggvények lineárisan függetlenek.

A végeselem-módszerrel számított közelít® megoldás pontossága alapvet®en három

módon javítható. A végeselemek számát növelve, vagyis a felbontást nomítva az ún.

h-FEM nyerhet®. A közelít® polinomok fokszámának növelése a p-FEM-et eredményezi,

míg a kett® alkalmas kombiná iója a hp-FEM.

Skalárfüggvények approximá iója a (2.24) összefüggés szerint lehetséges. Végeselem-

módszer esetében az Ni = Ni(~r) bázisfüggvényeket somóponti formafüggvényeknek

hívják. A formafüggvények tulajdonságai alapján a somóponti formafüggvények az

alábbi összefüggés szerint deniálhatók [19, 36:

Ni =

1, az i-edik somópontban,

0, bármely más somópontban.

(2.27)

Az

~A = ~A(~r, t) poten iálfüggvénynek két dimenzióban sak z irányú komponense

van, ezért skalár poten iálfüggvényként kezelhet®, és az alábbi módon írható fel:

~A = Az~ez, (2.28)

ahol~ez a z irányba mutató egységvektorok, az Az = Az(x, y, t) függvények pedig ezen

irányban az

~A vektorpoten iál komponense.

Vektorpoten iálok esetében az egyes komponenseket külön-külön lehet somóponti

formafüggvényekkel közelíteni, mely ebben az esetben:

~A ≃m∑

i=1

NiAz,i ~ez. (2.29)

A kutatások eredményeképp kiderült azonban, hogy a vektorpoten iálok ily módon

történ® közelítése számos numerikus problémát okoz háromdimenziós esetben [13,58,71.

A Coulomb-mérték el®írására különös gondot kell fordítani, különben az iteratív módsze-

rek sok esetben nem konvergensek. De ez a probléma itt nem áll fenn, mivel a mágneses

vektorpoten iálon alapuló formalizmus egyértelm¶en megoldható két dimenzióban, aho-

gyan ez a (2.12) összefüggésb®l látható.

2.2. Csatolt problémák modellezése

Az utóbbi évtizedekben a numerikus térszámítás fokozatosan elfogadottá vált a kü-

lönféle villamos berendezések tervezésénél, vizsgálatánál. Ezzel párhuzamosan az irányí-

táselmélet és a teljesítményelektronika is összetettebb lett, és egyre jelent®sebb szerepet

töltenek be a villamos eszközök m¶ködésében. A villamos berendezés és elektronikájának

15


tervezése az irányítást is beleértve hagyományosan külön történik. Azonban nap-

jainkra a különféle villamos eszközöknek, hogy teljesítsék a velük szemben támasztott

követelményeket, nagyon sok feltételnek kell megfelelnie. Ezek közül sok feltételnek nin s

is valós zikai jelentése, a paraméterek kalibrá iója id®igényes és bonyolult, és legalább

egy prototípust igényel. Az egyre jobb hatásfokra és teljesítményre törekvés, a minél

ala sonyabb el®állítási költség arra ösztönzi a fejleszt®ket, hogy a tervezett berendezés

és az elektronika fejlesztése együtt történjen. Ehhez pedig elengedhetetlen egy olyan

szimulá iós környezet, ahol a berendezés numerikus térszámítási modellje összekap sol-

ható a meghajtó elektronika és a szabályozási kör modelljével. Így az eddig közönséges

dieren iálegyenletekkel közelített modellt kiválthatjuk egy javított modellel, amely még

pontosabban írja le a különféle zikai jelenségeket.

A végeselem-módszer jelenleg a legkorszer¶bb numerikus mágneses térszámítási el-

járás a villamos beavatkozók szimulá iójánál. A meghajtó elektronika általánosságban

valamilyen elektronikus áramkörb®l és az irányítási algoritmusból áll. Ezek összetettsége

változó. Ezen felül, az irányítási rendszerek szimulá iója és modellezése általában valami-

lyen rendszerszimulátor - mint például a Simulink [99 vagy az X os [100 - segítségével

történik, mely egy nagyon leegyszer¶sített analitikus összefüggésekb®l kapott vagy mé-

rés útján identikált modellt tartalmaz. Ahhoz, hogy ténylegesen össze tudjuk kap solni

a végeselem-módszeren alapuló modellt az elektronikával, és a szabályozási körben lév®

szabályozott szakaszt kiváltani vele, a modell bemeneteit és kimeneteit illeszteni kell a

szabályozási körhöz. Ehhez pedig, az el®z® részben bemutatott Maxwell-egyenletekre

épül® modell nem elegend®.

Ilyen esetekben megkerülhetetlen a satolt szimulá ió. Már az 1980-as években foglal-

koztak a satolt szimulá ióval [101106. Azonban ekkor még jellemz®en nagyon egyszer¶

geometriával rendelkez® feladatok esetében alkalmazták az er®sen korlátozott számítá-

si kapa itás miatt, és ekkor még a szerz®k a saját fejlesztés¶ programjukat használták,

mint például Peter Silvester [24,107,108 vagy Antero Arkkio [103 Fortran-nyelven imp-

lementált programja, vagy a Budapesti M¶szaki Egyetem Elméleti Villamosság Tanszé-

kén készült program [105. Az azóta eltelt id®ben, a számítási kapa itás a szoftverekkel

együtt jelent®sen fejl®dött, de a felmerül® feladatok komplexitása is ezzel arányosan

n®tt. Napjaink egyik trendje, hogy a nagy, összetett rendszerek minél több zikai ha-

tás gyelembevételével egyszerre kerüljenek modellezésre. Ehhez azonban különböz®

zikai jelenségeket kell összekap solni (például elektromágnesestermikusme hanikai

akusztikai), ahol a satolás módja még ma is komoly kutatási terület. A satolt szi-

mulá ióknál a satolás alapján megkülönböztethetünk zikai, numerikus és geometriai

satolást [42, 46, 109112.

A valóságban a villamos aktuátorok elektronikája az aktuátor feszültségén keresztül

szabályozza az eszközt. Továbbá, a beavatkozók szinte kivétel nélkül tartalmaznak va-

lamilyen mozgó alkatrészt, melynek az elmozdulása, elfordulása a szabályozási körben

a szabályozott jellemz®, vagy a vissza satoláshoz felhasznált kimenet. Tehát, a két te-

rület összekap solásához satolt numerikus modellt kell alkalmazni, aminél gyelembe

vesszük a teker selés egyenletét, hogy a bemenet az elektronikának megfelel® legyen.

A mozgásnál jelentkez® jelenségek sem elhanyagolhatóak mint például az elmozdulás

vagy szögelfordulás mint kimeneti jellemz® mert szinte kivétel nélkül fel kell használni

a szabályozási körben.

A dolgozat élkit¶zéseihez fontos a modelleknél a feszültségkényszer, illetve, ha a

rendszer tartalmaz mozgó részt, úgy a mozgás id®beli viselkedésének leírása is. A fe-

16


szültséggel történ® gerjesztéshez a teker selés áramköri modelljét kell satolni, amíg a

mozgás leírásához a me hanikai mozgás tranziens egyenletét kell gyelembe venni. A kö-

vetkez®kben áttekintem a két jelenség satolásához kap solódó irodalmat és ismertetem

a dolgozatban alkalmazott módszereket.

2.2.1. Áramkör satolása

Az áramkörrel satolt modelleknél kezdetben sak a teker selések feszültségegyenle-

tének satolása volt a f® él. Eleinte a feszültségegyenlet és az elektromágneses teret

leíró egyenletek változóinál szinuszos id®beli változást feltételeztek, így az egyszer¶bb

frekven iatartománybeli vizsgálatot alkalmazták elektromágneses relére és árnyékolt pó-

lusú motorra [113, majd kali kás forgórész¶ aszinkron motorra, ahol már a teker svégek

induktivitását is gyelembe vették [114. Ezt követ®en a satolást id®tartománybeli vizs-

gálatra alkalmazták kétféle vezet®elrendezés [115, terhelt transzformátor [116, árnyé-

kolt pólusú gép [102, kali kás forgórész¶ aszinkron gép és állandó mágneses motor [101

esetében. Az id®tartománybeli és frekven iatartománybeli er®s satoláshoz kap solódó

egységes elméleti áttekintést, és azok tömör és hornyolt forgórész¶ aszinkron motorokon

történ® összehasonlítását Antero Arkkio doktori disszertá iójában ismertette [103.

Az el®z® bekezdésben hivatkozott irodalmakban közölt ismeretek alapján, egy küls®

áramkör satolása már viszonylag egyszer¶. Ehhez nem kell más, mint további áramkö-

ri elemeket hozzáadni a már satolt teker s feszültségegyenletéhez. Ez alapján nagyon

sok szerz® mutatott be olyan általános te hnikát, melynek köszönhet®en különféle aktív

vagy passzív kétpólusokból, és félvezet®kb®l álló áramkört satolt a villamos beavatkozó

elektromágneses modelljéhez [117119. Sok szerz® az áramkörök matematikai leírásához

a hurokáramok és somóponti poten iálok módszerét alkalmazta [117, 119, 120. A má-

sik lehet®ség az áramkör állapottér reprezentá iójának satolása, ahol a teker s árama

és a kondenzátor feszültsége a teljes egyenletrendszerhez hozzáadott további ismeret-

lenek [118, 121123. Mindkét esetben fontos szempont, hogy minimalizálják az újabb

ismeretlenek számát.

A félvezet® eszközök fejl®désével a villamos beavatkozók jelent®s részét már nem di-

rektben a hálózatról táplálták, hanem valamilyen teljesítményelektronikai áramkörrel.

Emiatt a beavatkozókat a teljesítményelektronikával együtt kezdték vizsgálni. Ennek

több módja is van, melyb®l az egyszer¶bb, az áramköri modellb®l számított feszültség

id®függvényét felhasználni gerjesztésként. Ilyen módon el®ször egy kali kás forgórész¶

aszinkron motort vizsgáltak, ahol a motor szimulá iójának gerjesztése a frekven iaváltó

kimenetén kapott, el®re meghatározott feszültség id®függvénye volt [124. Hasonló mód-

szerrel vizsgáltak kap solt reluktan ia motoros hajtást is [125. Azonban ahhoz, hogy

az elektronika és a beavatkozó tényleges köl sönhatását vizsgáljuk, szükséges a áramkör

modellezése is. A félvezet® elemeket különféle módon modellezték, mint például expo-

nen iális függvénnyel, amit egy egyszer¶ mágneses körnél [126, majd állandó mágneses

szinkron gépre [127,128 alkalmaztak. A dióda egy másik modellezési módja egy vezérelt

áramforrással párhuzamosan kötött ellenállás, melyet állandó mágneses gép és kali kás

forgórész¶ aszinkron gép vizsgálatánál használtak [122. A dióda egy feszültségforrással

sorba kötött ellenállással is helyettesíthet® [129. Ugyanebben a ikkben, a tranzisztorra

is hasonló modellt alkalmaztak. A dióda és tranzisztor áramköri modellje, attól függ®en,

hogy vezet vagy zárt állapotban van, változik. A vezetési és zárási állapot megkülön-

böztetését el®ször egy impulzus szélesség modulá ióval meghajtott szolenoid aktuátor

17


szimulá iójánál alkalmazták [129. A kés®bbiekben a pontos modellezés érdekében már

arra törekedtek, hogy az áramkör m¶ködését is minél pontosabban leírják. Ennek egyik

módja, hogy az áraminverter egyenletrendszerét satolták a modellhez, amit el®ször egy

állandó mágneses gép vizsgálatánál alkalmaztak [130. Ebben az alkalmazásban, a pon-

tosabb modellezés érdekében, attól függ®en, hogy vezetési vagy kommutá iós fázisban

van egy adott fázis, változtatták az elektrodinamikai modellben a teker s ellenállását és

induktivitását. Ezt továbbfejlesztve kés®bb az inverter állapottér modelljét alkalmazták

egyfázisú aszinkron motornál [121, majd eljárást dolgoztak ki, mellyel automatikusan el-

készíthet® tetsz®leges áramkör állapottér egyenlete, amit egy transzformátort tartalmazó

y-ba k konverteren keresztül demonstráltak [131. Legvégül, forgógépekre is kiterjesz-

tették ezt a módszert [132.

A témához kap solódó irodalom bemutatása után a beavatkozó feszültségegyenleté-

nek satolásához kap solódó elméleti áttekintés következik, ahol a kétdimenziós térszá-

mításon alapuló modell és a teker selés átmeneti jelenségeit is leíró feszültségegyenlet

összekap solására fókuszálok. A dolgozatban alkalmazott példák esetében nin s jelen-

t®sége a gerjeszt® áramkörnek, azonban a teker s feszültségegyenletének annál inkább,

ezért a továbbiakban sak ezzel foglalkozom. Azonban a feszültségegyenlet satolásához

alkalmazott te hnikák, és az arra tett kijelentések egy tetsz®leges áramkör satolására is

érvényesek.

A villamos eszközök néhány spe iális esett®l eltekintve úgynevezett feszültség-

kényszerrel m¶ködnek. Vagyis a (2.18) egyenlettel nyert modell önmagában nem ele-

gend® minden körülmények között, hiszen a jobb oldalon szerepl®

~J0 árams¶r¶ség révén

a gerjeszt®áramot tudom el®írni. Ennek következtében sak az állandósult állapotban

tudom a feszültségkényszerrel üzemel® villamos berendezést vizsgálni.

A feszültségegyenlet numerikus térszámításhoz kap solását két soportba lehet so-

rolni, úgy mint gyenge indirekt vagy soros , és er®s direkt vagy monolitikus

satolás [42, 46, 109111,133, 134.

Gyenge satolás

A gyengén satolt problémánál az össze satolt jelenségek egymást követ® lépésben

kerülnek megoldásra [46, 110, 111, 120, 122, 135139. A satolás ebben az esetben úgy

néz ki, hogy az els® megoldás egy villamos beavatkozó esetében a feszültségegyenletb®l

nyert áram-id®függvény eredményét alkalmazzuk a következ® vizsgálat bemeneteként,

ami lehet egy végeselemeken alapuló modell. Tehát a satolt feladat szétválik több al-

feladatra, és ezt egymás után, sorosan oldjuk meg. A megoldás történhet egy iterá iós

hurokban, ahol a numerikus modellb®l nyert adatoknak megfelel®en az áramköri modell

paraméterei is változnak lépésr®l lépésre, amíg az eljárás nem konvergál [120, 137. Se-

matikusan ezt mutatja a 2.6(a) ábra. A soros módszer jóval rugalmasabb és kevésbé

összetett, mint a direkt, mert egymástól elkülönítve akár különböz® id®lépéssel lehet

megoldani a különféle zikai hatásokat. Szintén jó tulajdonsága a gyenge satolásnak,

hogy megtartja a végeselem-módszer el®nyös tulajdonságait, mint például a rendszermát-

rix szimmetriáját és pozitív denitségét. Vagyis egy nagyméret¶, végeselem-módszeren

alapuló feladat is kezelhet® és a már jól bevált, hatékony megoldó rutinok használhatók

hozzá [110,139. A gyakorlatban használt, kereskedelmi forgalomban kapható végeselem-

módszert alkalmazó szoftverek szinte kivétel nélkül ezt a változatot alkalmazzák.

18


Áramköri modell

itek

(t)

FEM-modell

itek(t)

Rtek

Ltek

Lveg

utek

(t)

(a) Gyenge satolás.

FEM-modellÁramköri modell

itek(t)

Rtek

Lveg

utek

(t)

(b) Er®s satolás.

2.6. ábra Az áramkör satolásának sematikus ábrái.

Er®s satolás

Az er®s satolásnál az egyenletek melyek a satolt zikai jelenségeket leírják

egyszerre, egy egyenletrendszerként kerülnek megoldásra, az összes szükséges változó

gyelembevételével [41, 101103, 111, 117, 136, 137, 139146. Ez a módszer gyorsabb és

biztos konvergen iával bír [110, 137, 139, mint a soros satolás, hiszen itt nin s szükség

adatok átadására, ahogy ezt a 2.6(b) ábra is mutatja. A direkt módszert akkor érdemes

használni, ha az összekap solt jelenségek közötti kap solat er®sen nemlineáris és az egyes

terek id®állandói összemérhet®ek [110, mivel itt a különféle satolt jelenségeket azonos

id®skálán belül kell megoldani. A monolitikus satolási módszerrel kap soltban, a nagy

szakirodalma ellenére is komoly kutatások folynak napjainkban, a minél hatékonyabb,

általánosabb satolás, és az így el®álló egyenletrendszer megoldhatóságának érdekében

[147149.

A villamos beavatkozók esetében, amikor a teker selés egyenletét és az elektromágne-

ses teret kap solják össze, a legelterjedtebben alkalmazott satolási mód a direkt satolás.

Az általam vizsgált feladatoknál a feszültségegyenlet és az elektromágneses probléma id®-

állandója összemérhet®, és a élul kit¶zött párhuzamosításhoz is élszer¶bb. Ezen okok

miatt a közvetlen satolás jóval korszer¶bb te hnika mint a gyenge, a továbbiakban sak

az er®s satolással foglalkozom.

A villamos beavatkozók numerikus modellezésében a teker selést jellemz®en két so-

portra oszthatjuk [41, 101103,144146:

• A vékony vezet®kb®l álló teker selés jellemz®en a gerjeszt®- vagy fáziste-

ker selés a álló- és forgórészen ahol a teker selés keresztmetszetében az áramot

19


homogénnek feltételezzük, mert a vékony vezet® rádiusza kisebb mint a behatolási

mélység;

• A vastag vagy tömör vezet® a kali kás forgórész¶ aszinkron motor forgórész-

rúdjai vagy a szinkron gép sillapító teker selése ahol az áram a szkinhatás miatt

már nem homogén a keresztmetszetre nézve.

Itt fontos még megjegyezni, hogy transzformátorok esetében egy harmadik soport is

van, az úgynevezett fólia teker selés [144, 147.

A dolgozatnak nem élja a különféle teker selések modellezésével foglalkozni, és az

alkalmazott mintapéldákban (az aszinkron motort leszámítva) sak fázisteker selés ta-

lálható. Ezért a követez®kben a vékony vezet®b®l álló teker selés er®s satolásának

származtatását mutatom be kétdimenziós feladatokra. A vastag és tömör vezet®khöz

kap solódó egyenletekr®l, formalizmusról b®vebben a [41, 42, 103 irodalmakban lehet

olvasni, melyekben a témához kap soló b®séges irodalom is található.

Er®s satolás esetében egy teker selés tartományára a (2.7) egyenlet helyett az A. füg-

gelékben levezetett egyenleteket alkalmazzuk, azaz

∇× (ν∇× ~A)−N

tek

Atek

itek

~ez = ~0 az Ω0 tartományon,

Ntek

l

Atek

∫

Atek

∂ ~A

∂t· d~A

tek

+Rtek

itek

= utek

az Ω0 tartományon,

(2.30)

ahol az Ntek

a menetszám, az Atek

a teker s keresztmetszete és az l a vezet® hossza

a z irányba. Itt már nem az áram vagy árams¶r¶ség, hanem az utek

feszültség lesz a

gerjeszt®mennyiség, és az itek

is mint ismeretlen szerepel a feladatban, a mágneses vek-

torpoten iál mellett. A fenti egyenletek egy teker sre vonatkoznak. Ha több teker selés

van a feladatban, akkor annyiszor kell a feszültségegyenletet alkalmazni, ahány különálló

teker s vagy fázis van.

2.2.2. A me hanikai egyenlet satolása

A villamos beavatkozók modellezésében fontos a villamos és a me hanikai jelensé-

gek közötti kap solat gyelembevétele. Az elektromágneses er® vagy nyomaték fontos

szerepet játszik az energiaátalakításban. Ezért, hogy gyelembe lehessen venni a vizs-

gálat során a mozgó részre ható er®ket például a tehetetlenség vagy a súrlódás miatt

Newton második törvényéb®l vagy a Lagrange-féle els®fajú egyenletb®l [150 felírható

dieren iálegyenletet kell alkalmazni. Mivel a dolgozatban vizsgált feladatoknál a mozgó

rész forgómozgást végez, ezért itt sak a forgó mozgásra vonatkozó dieren iálegyenletet

mutatom be, ahol az ω szögsebesség az ismeretlen [41, 46, 151, 152, azaz

Jdω

dt+K

s

ω = Mem

−MT

, (2.31)

ahol J a tehetetlenségi nyomaték, Ks

a súrlódási tényez®, Mem

az elektromágneses nyo-

maték és MT

a mozgást végz® részre ható terhel®nyomaték. A me hanikai mozgás gye-

lembevételéhez szükséges a Θ szöghelyzet ismerete is, mely a következ® összefüggéssel

határozható meg:

dΘ

dt= ω. (2.32)

20


A (2.31) és a (2.32) egyenletek felhasználásával tetsz®leges üzemállapot gyelembe ve-

het®, ahol az Mem

nyomaték teremti meg a végeselem-módszerrel a kap solatot. Ez

a mennyiség az irodalomból jól ismert te hnikák [15, 41, 46, 103, 153155 valamelyikével

számítható, melyek közül a Maxwell-féle feszültségtenzor módszert [15,42,45,46,153,155

és az Arkkio-módszert [41,103 részletesebben bemutatom a B. függelékben. A fenti dif-

feren iálegyenletekben szerepl® deriváltakhoz pedig tetsz®leges közelítés alkalmazható,

de jellemz®en, ahogy én is, a hátralép® Euler-sémát alkalmazzák [151, 156. Ennek oka,

hogy a hátralép® Euler-séma minden esetben stabil megoldásra vezet, míg a Crank

Ni olson-sémánál sillapítatlan vagy divergens lengések léphetnek fel a satolt feladatok

megoldásánál [27, 157159.

A villamos beavatkozók numerikus vizsgálatánál eleinte nem foglalkoztak a me ha-

nikai tranziens vizsgálatával. A f® él a vizsgált berendezésben kialakuló elektromágne-

ses tér meghatározása volt [24, 107, és a kapott eredményb®l számítható, adott helyen

fellép® er®hatás, veszteség [160 vagy kiemelt üzemállapothoz mint üresjárás, rövid-

zárás tartózó paraméterek [108. Kezdetben a feladatban lév® me hanikai mozgást

az állórész gerjesztésének forgórészhez rögzített koordináta-rendszerbe transzformálásá-

val [104106, vagy a Minkowski-transzformá ióval [103,106,161163 vették gyelembe.

Mindkét esetnél sak bizonyos feltételek mellett például ha a horonyszáj mérete igen

ki si vagy horony nélküli lehet a módszert közvetlenül alkalmazni, ezért napjainkban

már sak az utóbbit alkalmazzák a kerülete mentén invariáns forgórész elmozdulásának

a gyelembevételéhez [46,144,155,164,165. A Minkowski-transzformá ió könnyen imp-

lementálható, mivel a mozgást a megfelel® térrészre felírt egyenlet tartalmazza a~v × ~B

tagon keresztül, ahol~v a sebességvektor (b®vebben lásd a C. függelékben). Viszont fon-

tos megjegyezni, hogy a~v× ~B tag miatt a rendszermátrix aszimmetrikus lesz [106,155.

Fontos még megemlíteni a szliptranszformá iót [144,166,167, melynél a gerjesztés és a

vezet®képesség a szlip függvényében változik. Itt szintén nem lehet me hanikai tranzienst

vizsgálni, mivel id®lépésr®l id®lépésre állandósult állapotot feltételez a módszer [166,167,

de például alkalmas az aszinkron gép nyomatékfordulatszám jelleggörbéjének felvételé-

re [166.

A fentebb említett kezdeti módszerek mellett már megjelent az igény olyan mód-

szerre is, amellyel vizsgálni lehet az elektromágneses rendszer me hanikai tranziensét.

Erre a legegyszer¶bb és legkézenfekv®bb módszer, a mozgó rész geometriáját elforgatni

vagy eltolni, és a feladatot teljesen vagy részben újra diszkretizálni. Ez a módszer je-

lent®sen megnöveli a számítási id®t és kapa itást, azonban a megvalósítása nem igényel

semmiféle spe iális eljárást. Ezzel a módszerrel sak elvétve lehet tudományos ikkekben

találkozni [129,168,169, viszont ipari alkalmazások esetében annál gyakrabban. Sokszor

található ezzel a módszerrel megoldott példa a végeselem-módszert alkalmazó szabadon

hozzáférhet® szoftverek mintapéldái között is. Erre néhány példa, egy kúpos dugattyú

er®elmozdulás függvényének felvétele [170, kap soló relé kikap solási idejének meg-

határozása [171, vagy egy kap solt reluktan ia motor nyomatékának vizsgálata [172.

De a numerikus te hnikák esetében mindig él volt a számítási id® és/vagy kapa itás

sökkentése, ezért ha a mozgó rész mozog, és a felbontás újragenerálásának elkerülése

a él, ésszer¶nek t¶nik valamilyen interpolá iót alkalmazni az álló és mozgó rész kö-

zött. Legel®ször véges dieren ia módszernél alkalmazták az els®fokú interpolá iót egy

egyenáramú gépre [173,174, majd egy nyomtatót¶ relé dinamikus tulajdonságainak vizs-

gálatára [175. De a véges dieren ia módszer, a négyszögletes felbontás következtében

nehezen alkalmazható tetsz®leges villamos beavatkozó vizsgálatára.

21


Légrés

Mozgó sáv

Álló rész

Mozgó rész

2.7. ábra A mozgó sáv esetében a légrés egy részét nem diszkretizáljuk.

A végeselem-módszer esetében el®ször egy, a mozgó sávon (moving band) alapuló

módszer alakult ki [41, 106, 111, 176. A mozgó sáv alapötlete, hogy teljesen vagy rész-

ben az álló és mozgó részek közötti gerjesztésmentes tartományt nem diszkretizáljuk,

ahogy ezt a 2.7. ábra mutatja. Majd a diszkretizált álló és mozgó részek között kell

a folytonosságot, a kap solatot megteremteni. Ehhez el®ször, az úgynevezett légrés

elemeket (air-gap element) alkalmazták [176, melyet kifejezetten villamos forgógépek

forgórészmozgásának gyelembevételére fejlesztettek ki. A légréselemek lényege, hogy a

sávban a háromszög végeselemek helyett a ∇×(∇× ~A) = ~0 par iális dieren iálegyenlet

polárkoordináta-rendszerben vett analitikus megoldását használjuk. A nem felbontott

sáv peremeinél teljesülniük kell a vektorpoten iál folytonossági feltételeinek, melynek kö-

zelítéséhez Fourier-sort alkalmaznak [41,111,176179. A módszer egyik hátránya, hogy

100 és 200 közötti harmonikusig kell a Fourier-együtthatókat meghatározni a megfelel®

pontossághoz [41, 178. A légréselemek módszerét, a különféle aktuátorok szimulá iója

végett, lineáris elmozdulásra is kiterjesztették [180. A légréselem módszer a trigono-

metrikus interpolá ióval kombinálva az eredeti változatnál megbízhatóbb közelítést ad

a folytonossági feltételre és pontosabb és gazdaságosabb módszert a nyomatékszámítás-

ra [181.

Azonban a nagy népszer¶ségnek örvend® ritka mátrixszal rendelkez® egyenletrend-

szer megoldó eljárások miatt nem lett túl népszer¶ a légréselem módszer, mert az ana-

litikus megoldás következményeként a mátrix egy része s¶r¶ mátrix lett [177. Helyette

inkább a mozgó sávban is végeselem hálót alkalmaztak [106, ahogy ez a 2.8. ábrán lát-

ható, amely a mozgásnak megfelel®en változik. Ezt a módszert nevezi leggyakrabban

a szakirodalom mozgó sáv módszernek. De én a továbbiakban egyréteges mozgó sáv

(single-layer moving band) módszernek nevezem, mert ahogy a kés®bbiekben látható

lesz, több variánsa is létezik, és a [182 hivatkozásban a légréselem módszerek egy so-

portjára alkalmazzák a mozgó sáv elnevezést. El®nye ennek a módszernek, hogy nem

igényel semmiféle spe iális elemet vagy satolási, folytonossági feltételt, és ahogy már

említettem a mátrix továbbra is ritka marad [106,111,178,183, és jól kondi ionált [184.

Illetve még fontos érv ezen módszer mellett, hogy a somóponti elemek esetében nem

növeli az ismeretlenek számát, mert a már meglév® somópontok összekötésével teremt-

jük meg a két rész között a kap solatot (lásd 2.8. ábra). A felbontás elemeit tekintve

22


Légrés

Mozgó sáv

Álló rész

Mozgó rész

2.8. ábra Az egyréteges mozgó sáv felbontása mozgás közben.

négyszög végeselemeket is alkalmaznak [136, de elterjedtebben használják a háromszög

elemeket [41, 151, 153, 185, 186. Háromszögekb®l álló felbontásnál, vagy az elemek tor-

zulásának megfelel®en változik a légrés felbontása [178, 179, 187, 188, vagy új hálót ge-

nerálnak minden szöghelyzethez [106, 120, 129, 169, 182, 183. A módszer f® hátránya, a

sávban lév® végeselemek deformá iója és az elemek változtatása közben fellép® diszkon-

tinuitás az elmozduló és a rögzített részeknél létrejöv® er® vagy nyomaték között. Ez a

probléma kezelhet® a légrésben alkalmazott többréteges diszkretizálással [179, 187, 188,

magasabb fokú másodfokú és harmadfokú végeselemek alkalmazásával [184, vagy

spe iális interpolá ióval [181,189. A mozgó sáv módszer soport lehet®séget ad a tengely

ex entri itásának és a sillapítás vizsgálatára [190, 191, és lineáris elmozdulás gyelem-

bevételére is alkalmas [192.

A légréselemekkel egy id®ben kezdték alkalmazni elektromágneses rendszerek vizsgá-

latára a végeselem-módszert és a peremelem-módszert (BEM - Boundary Element Met-

hod), olyan módon, hogy a leveg®nek számító részeknél alkalmazták a peremelem-mód-

szert, ezzel sökkentve a számítási id®t és a számításhoz szükséges memóriaigényt [193.

Az így nyert FEM - BEM kevert módszer ezen elv alapján alkalmas a peremelem-

módszert alkalmazva a légrés nem felbontott részén az álló és mozgó térrész közötti

folytonosság megteremtésére, mivel ebben az esetben nem kell foglalkozni a végeselem

rá s deformá iójával [194, 195.

A mozgó sávot követ®en alakult ki a szintén széles körben alkalmazott soport, a sú-

szófelületen (sliding surfa e) alapuló módszerek [111,183,196,197. A módszer elnevezése

háromdimenziós feladatokra igaz, mivel kétdimenziós esetben egy perem választja el az

álló és mozgó részt, ahogy a 2.9. ábra is mutatja. A módszer egyik nagy el®nye, hogy

mind a rögzített és az elmozduló rész felbontása változatlan, tehát itt sak a két részt

elválasztó peremen (2D) vagy felületen (3D) kell a folytonosságot megteremteni. Ez a

módszer soport kétfelé osztható a folytonossági feltételhez alkalmazott módszer alapján,

az illeszked® ( onform) és a nem illeszked® (non onform) módszer. Az illeszked® módszer

azt jelenti, hogy minden elmozdulást követ®en a két rész közötti somópontok egybees-

nek, ahogy a 2.9. ábra mutatja. Az illeszked® módszert még zárt lépéses (lo ked-step)

módszernek is nevezik, mivel ebben az esetben, sak a felbontásnak megfelel® elmozdulás,

vagy annak egész számú többszöröse lehetséges [177, 183, 196. Ennek következtében a

23


Légrés

Csúszófelület

Álló rész

Mozgó rész

2.9. ábra A súszófelület módszer, ha a somópontok egybeesnek (illeszked® vagy

zárt lépéses módszer).

Légrés

Csúszófelület

Álló rész

Mozgó rész

2.10. ábra A súszófelület módszer, ha nin s meg a folytonosság a somópontok

között (nem illeszked® módszer).

mozgásban végbemen® átmeneti jelenségek vizsgálatára nem alkalmas alapesetben. Erre

az egyik lehetséges megoldás, hogy az elmozdulás továbbra is x marad, de az id®lépés

változik, az elmozdulás sebességének megfelel®en [159,198. Ennek következtében viszont

a rendszermátrix is változik. Emiatt ritkán alkalmazzák a zárt lépéses módszert. Ebb®l

a módszer soportból a nem illeszked® változat az, amit széles körben alkalmaznak, mivel

ebben az esetben a rendszermátrixot nem kell módosítani a számítás alatt, sak a foly-

tonosságot kell a két rész között valamilyen módszerrel megteremteni. A folytonosságot

megteremteni a két felület vagy perem között legegyszer¶bben az els®- vagy másodfokú

interpolá ióval lehetséges [152, 183, 199203, melynél a pontos eredményhez s¶r¶ fel-

bontás szükséges. Ezen kívül, a legelterjedtebben alkalmazott módszerek a folytonosság

megteremtéséhez a trigonometrikus interpolá ió [181, 189, 204, 205, a habar s (mortar)

elemek [206208, vagy a Lagrangemultiplikátorok [46, 154, 197, 206, 209211. Ezekben

a te hnikákban a közös, hogy a két tartomány közül az egyik lesz a mester (master) a

másik a szolga (slave). A szolga felület változói a mester felület változóinak a függvénye,

24


melynek következtében kiejthet®k az egyenletrendszerb®l, tehát a végeselemek számát

nem növeltük. Azonban, például a Lagrangemultiplikátorok alkalmazásánál, a multipli-

kátorok újabb ismeretleneket jelentenek, illetve ennél a módszernél a rendszermátrix nem

lesz pozitív denit [154,178. A habar s elemeken alapuló módszert el®ször a tartomány

dekompozí iónál, a tartományok összekap solására alkalmazták [212. A módszer eseté-

ben a rendszermátrixban kevesebb lesz a nemnulla elem, azonban megvalósítása körül-

ményes [178, 208. A trigonometrikus interpolá ió hátránya a Fourier-transzformá ióból

adódik, melynél a mátrix s¶r¶ lesz [181. Az itt felsorolt módszereken kívül még léteznek

egyéb interpolá iós te hnikák, melyekkel a folytonosság megteremthet® (például ement

elemekkel [12), de a mozgás esetében ezeket vagy nem alkalmazzák, vagy nem az ala-

sony frekven iás feladatok esetében. A kereskedelemben kapható szoftverek közül, az

ismereteim alapján a COMSOL Multiphysi s [213 a súszófelület módszert, az ANSYS

Maxwell [214 pedig a mozgó sáv módszert alkalmazza a mozgás gyelembevételére.

A dolgozat élkit¶zése szükségessé teszi a me hanikai egyenlet gyelembevételét,

melyhez az egyréteges mozgó sáv és a súszófelület módszert valósítottam meg. Az

utóbbi módszernél az egymáson elmozduló peremek közötti folytonosság megteremtésé-

hez az els®fokú interpolá iót alkalmaztam. A következ®kben röviden bemutatom ennek

a két te hnikának a megvalósítását. Az egyréteges mozgó sávnál a itt az általános m¶kö-

dését ismertetem, a következ® fejezetben, a satolt feladatokhoz kap solódó tézisemnél

pedig bemutatom az általam kidolgozott te hnika.

Egyréteges mozgó sáv

Az egyréteges mozgó sáv alapötletét az el®z®ekben már ismertettem, ami a szakiroda-

lom alapján széles körben alkalmazott módszer [41, 106, 153, 178, 179, 184186,189192.

A sávban lév® felbontást a 2.8. ábra mutatja. A legkisebb számításigény esetében fontos,

hogy az álló és a mozgó résznél is azonos legyen a felbontás. Ha ez teljesül, akkor nagyon

egyszer¶en összekap solható a két térrész négyszög vagy háromszög elemekkel. A négy-

szögelemekkel történ® felbontásról a [41,153 irodalomban lehet b®vebb leírást találni. A

másik lehet®ség a háromszögelemek alkalmazása, ahogy a 2.11(a) ábra mutatja. Azon-

ban fontos hangsúlyt fektetni az elemek mozgás közben fellép® deformá iójára [215. A

2.11(b) ábra esetében az elemek már nagyon eltorzultak, ami nem jó, mert rontja a meg-

oldás pontosságát. Ilyen esetben valamilyen módon meg kell változtatni a mozgó sávban

lév® végeselemeket.

A mozgó sáv vastagságát érdemes minél kisebbre, az ökölszabály alapján legalább

a légrés ötödére választani. Ez azért fontos, mert ahogy változik a két rész között a

ka solódás, ezzel együtt megváltozik az ott lév® elemek területe, tehát a rendszermátrix

is. Viszont ahhoz, hogy pontosan lehessen vele számolni, a rendszermátrix folytonos-

ságának teljesülnie kell [189. Ha ki sire választjuk a mozgó sávot, az ott lév® elemek

mérete is ki si, tehát a változás nem lesz számottev®, így nem befolyásolja jelent®sen

a végeredményt, és nem jelentkezik az irodalomból jól ismert lüktetés a végeredmény-

ben [154, 184.

A széles alkalmazási kör mellett azonban a módszer megvalósítását sak néhány

ikk [106,153,189 és egy, a témával foglalkozó könyv ismerteti [41. A többi ikk eseté-

ben, ahol a módszert alkalmazzák, az irodalmi hivatkozásból lehet következtetni, hogy a

következ®kben röviden bemutatott három f® módszer közül melyiket alkalmazták.

El®ször a [106 ikkben publikálták az egyréteges mozgó sáv m¶ködését. Itt még

nem foglalkoztak az elemek torzulásával. Ha a szögelfordulás meghaladta a két szom-

25


Álló rész

Mozgó rész

(a) Mozgó sáv elemek alapállapotban.

Álló rész

Mozgó rész

(b) A mozgó sáv elemek deformá iója.

2.11. ábra Egyréteges mozgó sáv háromszögelemekkel.

szédos somópont közötti szöget, akkor ennek megfelel®en módosították a mozgó sávhoz

tartozó kap solódási mátrixot. A [153 irodalomban közölt, majd a [41 szakkönyvben

részletezett módszer négyszögelemeket alkalmaz a felbontáshoz, melyeket diagonálisan

négy háromszögre bontanak fel. Az így kapott háromszögeket pedig a szögelfordulástól és

a háromszögekre alkalmazott min®ségi tényez®t®l függ®en vesznek gyelembe. A [189

irodalomban a szerz® már nem a kap solódási mátrixot változtatja, ha a mozgó rész

elmozdul, hanem közvetlenül a rendszermátrixot, ahol az álló és a mozgó részt össze-

kap soló együtthatók függnek az elmozdulástól. Ez a megoldás a hozzá kap solódó

trigonometrikus interpolá iós szempontjából is el®nyös, mivel itt nem lesz olyan s¶r¶ a

két részt összekap soló mátrix, mint a légréselemeknél.

Csúszófelület els®fokú interpolá ióval

Kétdimenziós esetben egy perem választja el a mozgó és álló részt, ahogy ezt a

2.12(a) ábra mutatja. A zárt lépéses módszer esetében megvan a két rész között a

folytonosság, mert a somópontok egybeesnek. Ez minden id®lépésnél fennáll, mert az

elmozdulás sak a két szomszédos végeselem közötti távolság, vagy egész számú több-

szöröse lehet. De így a tranziens vizsgálata nehézkessé válik, mert az id®lépés méretét

kell változtatni, ami a rendszermátrix változásához vezet, ami az egyik legid®igényesebb

m¶velet a végeselem-módszernél [159, 183, 198.

A tranziens vizsgálatnál élszer¶ állandó id®lépést alkalmazni, mert akkor a mozgás

következtében nem változik a rendszermátrix súszófelületen kívül es® része. Viszont az

állandó id®lépés következtében a két rész közötti folytonosság nem feltétlenül teljesül,

ahogy ez a 2.12(b) ábrán látható. Ilyenkor szükséges az el®z®ekben már felsorolt va-

lamelyik interpolá iós módszer alkalmazására. Dolgozatomban az egyik legegyszer¶bb

módszert alkalmazom, az els®fokú interpolá iót. Az én esetemben mindig az álló részen

lév® somópontok (kék somópontok) a mester, és a mozgó rész somópontjai (piros

somópontok) a szolga somópontok. Tehát, mindig a mester somóponton lév® poten-

iálfüggvények lineáris kombiná iójaként fejezem ki a szolga somóponton lév® függvény

26


Álló rész

Mozgó rész

A1 A2 A3 A4

A5 A6 A7 A8

(a) Zárt lépéses (illeszked®) súszófelület.

Álló rész

Mozgó rész

A1 A2 A3 A4

A5 A6 A7 A8

(b) Nem illeszked® súszófelület.

2.12. ábra A kétdimenziós súszófelületen elhelyezked® somópontok.

értékét. A 2.12(b) ábra alapján az A6, A7, A8 somópontok értékét a következ® össze-

függés segítségével közelítjük [159, 183, 198,

A6

A7

A8

=

N61 N6

2 0 0

0 N72 N7

3 0

0 0 N83 N8

4

A1

A2

A3

A4

, (2.33)

ahol N ba az a somóponthoz tartozó formafüggvény a b somópontnál felvett értéke. A

módszer pontossága er®sen függ a felbontás méretét®l, de az én esetemben ez nem jelent

problémát, mivel a nyomatékszámítás miatt úgyis s¶r¶ felbontást alkalmazok a légrésben.

2.3. Tartomány dekompozí iós módszerek

A fejezet elején már bemutatásra került a végeselem-módszer, mely a legnépszer¶bb

numerikus térszámítási te hnika a mérnöki és a tudományos gyakorlatban. Ez a módszer

a folytonos alakban megfogalmazott peremérték feladatot diszkrét feladattá transzfor-

málja, ahol már nem par iális dieren iálegyenleteket, hanem algebrai egyenletekb®l

összeálló egyenletrendszert kell megoldani. Az így el®álló inhomogén algebrai egyenlet-

rendszer mátrix alakban leírva [216221

Kx = b, (2.34)

ahol K ∈ Rn×n

az együtthatómátrix, b ∈ Rnegy oszlopvektor, ami például a feladathoz

kap solódó gerjesztést tartalmazza, és x ∈ Rnaz ismeretleneket tartalmazó oszlopvektor.

A lineáris vagy linearizált algebrai egyenletrendszer megoldása a numerikus módsze-

rek egyik alapeleme, és ez az ami általánosságban a teljes megoldási folyamat legtöbb

problémáját jelent® része. Emiatt mindig komoly gyelmet szentelnek a megoldási el-

járások fejlesztésére. A végeselem-módszer és a hozzá hasonló térszámítási eljárások

esetében ez alól kivétel a peremelem-módszer, ahol s¶r¶ az együtthatómátrix a K

27


együtthatómátrix ritka mátrix (sparse matrix ). Ez a végeselem-módszer esetében annyit

jelent, hogy a K mátrix kij eleme sak akkor nem nulla, ha az Ni és az Nj formafügg-

vények ugyanahhoz vagy a szomszédos végeselemhez tartoznak, vagyis kij nem nulla ha

i somópont a j somóponttal szomszédos [217. Ez azt jelenti, hogy a mátrix teljes

méretét tekintve kevesebb mint 1 százaléka lesz nullától különböz®. Ezért a megoldó

algoritmus hatékonyságát komolyan befolyásolja, mennyire sikerül kihasználni a ritka

mátrix numerikus kezeléséb®l adódó el®nyöket [216218,222, 223.

A numerikus szimulá iók korai éveiben, a teljes feladatnak sak egy-egy részét, rész-

letét vizsgálták, mert a számítógép memóriája, a számítási kapa itás nem volt elég a

teljes feladat megoldásához. Ebben az id®ben jellemz®en síkbeli vagy forgásszimmet-

rikus feladatokat oldottak meg a szimmetriasíkok kihasználásával [224, 225. Az id®

el®rehaladtával egyre nagyobb és összetettebb feladatok megoldása lett a numerikus szi-

mulá iók élkit¶zése. A számításte hnika állandó fejl®désével együtt egyre komolyabb

elvárásokat támasztottak a numerikus számításokkal szemben. Jelent®s er®feszítéseket

tettek, hogy minél kevesebb egyszer¶sítést, elhanyagolást tartalmazzon az eddig sak

részben vagy részenként vizsgált modell. Az egyre fejl®d® numerikus szimulá iók egyik

fontos újdonsága, ami jelent®sen befolyásolja az egyenletrendszer méretét, hogy az össze-

tettebb geometria egyre több, eddig elhanyagolt részt tartalmaz, valamint olyan részeket,

ahol a megoldás gradiense nagy. Mindkett®t sak s¶r¶ felbontással vagy a közelít® poli-

nom fokszámának növelésével lehet megfelel®en kezelni, mely valós feladatok esetén több

százezer vagy akár milliós nagyságrend¶ ismeretlent jelent. Ehhez kap solódik a modell

pontosítása, a gerjesztés és a mozgás gyelembevétele, melyek újabb ismeretleneket és

további számítási kapa itásigényt jelentenek.

A napjainkban felmerül® feladatok komoly kihívást jelentenének a hagyományos egy-

pro esszoros számítógépeknek, melyek már nem képesek kezelni a feladatok megoldásá-

hoz szükséges összetett formalizmusokat, és a nagy számítási kapa itást. De az utóbbi

két évtizedben drasztikus változásokon ment keresztül a számítógépek ar hitektúrája.

Az 1990-es években megalkották a Beowulfklasztert [226, ami nagyon leegyszer¶sítve

asztali számítógépek gyors Ethernet hálózattal való összekap solását jelenti. Mindegyik

számítógépnek van saját memóriája, melyet globálisan nem lát a többi gép. Ezt a klasz-

tert nevezik elosztott memóriájú (distributed memory) ar hitektúrának. A legnagyobb

el®nye ennek a rendszernek, hogy könnyen beszerezhet® részekb®l épül fel, melynek kö-

szönhet®en gyorsan népszer¶vé vált, és kezdetben a leger®sebb párhuzamos számítógépek

a Beowulf-ar hitektúrán alapultak. Az ilyen rendszerek relatív ala sony árának köszön-

het®en már nem sak a kutatólaboratóriumok számára tette elérhet®vé a sokpro esszoros

rendszereket, hanem az egyetemek, gyakorló mérnökök, tervez®irodák számára is. En-

nek köszönhet®en kezdték el összeállítani a világ 500 leger®sebb szuperszámítógépnének

listáját 1993-tól [227. Az ar hitektúra tekintetében újabb jelent®s változás a 21. század

els® évtizedében következett be, amikor már többmagos pro esszorok kerültek a szá-

mításte hnikai eszközeinkbe. A többmagos számítógép abban különbözik a klasztert®l,

hogy a számítási egységek (magok) ugyanazt a memóriaterületet is képesek használ-

ni. Ezt nevezik megosztott memóriájú (shared memory) ar hitektúrának. Napjainkra

a világ leger®sebb szuperszámítógépei elosztott memóriájú rendszerek, ami sokmagos

pro esszorral (például a Sunway SW26010 pro esszor 260 maggal [228) rendelkez® gé-

pekb®l áll [227. De a párhuzamos számításra nem sak többmagos pro esszort (CPU

- Central Pro essing Unit) vagy klasztert lehet alkalmazni, hanem a grakus kártyát

(GPU - Graphi s Pro essing Unit) is, melyet a kis memória-, de nagy m¶veletigénnyel

28


bíró feladatokra fejlesztettek ki. A továbbiakban, ahol ennek nin s külön jelent®sége a

sokmagos pro esszor különálló magjait is pro esszornak fogom nevezni.

Természetesen a sokpro esszoros számítási lehet®ség kihasználásához az eredetileg

egypro esszoros rendszerre fejlesztett algoritmusok átalakítása szükséges. A numerikus

módszerek esetében a párhuzamosításnál a kritikus pont az algebrai egyenletrendszer

megoldása. A szekven iális (egypro esszoros) szimulá ió párhuzamosítására a végeselem-

módszernél az egyik legelterjedtebben alkalmazott módszer a tartomány dekompozí ió

[229236,236,237. A tartomány dekompozí ió kifejezés több jelentéssel is bír a par iális

dieren iálegyenletekkel foglalkozó tudományterületen belül:

• Csatolt szimulá ióknál, amikor a feladatot felbontják részekre, és a részekhez tar-

tozó jelenségeket más-más egyenlettel írják le úgy, hogy a tartományok közötti

peremen el®írják a megfelel® peremfeltételeket [229, 238, 239;

• Párhuzamos számításnál, amikor a számításhoz kap solódó adatok kerülnek szét-

osztásra. Ebben az esetben a tartomány dekompozí ió a számításhoz kap solódó

adatok szétosztását jelenti [229, 240245. Véleményem szerint megfelel®bb lenne

az adat dekompozí ió elnevezés [229;

• Ha egy nagy feladatot felbontunk kisebb tartományokra vagy részekre, és a kisebb

részek megoldását felhasználva állítjuk el® a teljes feladat megoldását [229236.

Ebben az esetben a tartomány dekompozí ió a prekondi ionálója vagy a megoldási

módszere az algebrai egyenletrendszernek.

Az ala sonyfrekven iás elektromágneses térszámításban legelterjedtebben az adat de-

kompozí iós változatot alkalmazzák a párhuzamosításra [241245. A tartomány de-

kompozí ió harmadik változatának elméletével és alkalmazásával a mérnöki szempontok

szerint a nagyfrekven iás tartományban foglalkoznak széles körben, err®l tanúskodik az

IEEE Transa tions on Antennas and Propagataion folyóiratban megjelent számos pub-

liká ió. Ala sonyfrekven iás feladatoknál nin s olyan széles mérnöki alkalmazási köre a

harmadik kategóriának [246250, valamint a módszerek elméleti hátterével sem foglal-

koznak a mérnöki szempontok szerint [251255, hanem inkább matematikai szempontok

szerint vizsgálják az ilyen típusú feladatokat [232, 256262.

Jelen dolgozatban a harmadik néz®pont szerint alkalmazom a tartomány dekompozí-

iót, tehát mint prekondi ionáló vagy megoldó, és a kés®bbiekben az elnevezés is mindig

ezt jelenti. Ebben az esetben kétféle dekompozí iós módszert különböztethetünk meg, az

átfedéses (vagy átlapolt) (overlapping) és az átfedés nélküli (vagy nem átlapolt) (non-

overlapping) tartomány dekompozí iós módszert. Az átfedéses te hnikák a S hwarz-

módszeren alapulnak [229, 232, 236, 263. A nem átfedéses te hnikák között is van a

S hwarz-módszeren alapuló [232,236,264, de ennél szélesebb körben elterjedt és alkalma-

zott a S hurkomplemens-módszer [229, 232234, a FETI-módszer [230234, 265267

és a kiegyensúlyozott tartomány dekompozí ió (Balan ed Domain De omposition - BDD)

[230, 231, 268, 269.

A tartomány dekompozí iós módszerek közül a S hwarz-módszer a legrégebbi, me-

lyet el®ször 1870-ben publikált Hermann S hwarz [270, melyben az általa javasolt mód-

szert két tartomány uniójaként el®álló elliptikus peremérték feladat megoldására alkal-

mazott [229, 270, és ilyen feladatok megoldására dolgozott ki. A S hurkomplemens-

módszert John Przemienie ki publikálta 1963-ban [271, ahol a korlátozott számítógép

memória miatt felbontotta a vizsgált repül®gép modelljét kisebb részekre, és így már

29


a rendelkezésre álló memóriával megoldható volt a feladat. Tehát ezt a két módszert

szekven iális megoldó rutinként alkalmazták el®ször. A S hwarz-módszer egypro esszo-

ros alkalmazására még napjainkban is lehet példát találni a szakirodalomban [272274.

A S hurkomplemens-módszer szekven iális változatát már nem alkalmazzák tudomá-

nyos munkákban, de alkalmazására a Matlab PDE Toolbox-ban található példa [275,

ahol a túl nagy, vagy összetett feladatok megoldásához javasolják. A többi módszernek

(FETI, BDD) is megvalósítható a szekven iális változata, azonban úgy elvesztenék ezek

a módszerek azokat az el®nyös tulajdonságokat, melyekért alkalmazzuk ®ket.

A dolgozatban a fent említett módszerek közül a továbbiakban két átlapolás nélküli

tartomány dekompozí iós módszerrel foglalkozom, a S hurkomplemens-módszerrel és

a FETI-módszerrel. De miel®tt rátérek a párhuzamosításhoz használt módszerek bemu-

tatására, röviden bemutatom a tartomány dekompozí ió alapötletét.

2.3.1. A tartomány dekompozí ió alapötlete

Vegyünk például egy Ω tartományú kétdimenziós elektrosztatika példát, melynél a

Poisson-egyenletet oldjuk meg [10, 11. Az Ω tartomány ΓΩ peremén a keresett ismeret-

lenre homogén Diri hlet-peremfeltételt írunk el®, ahogy ezt a 2.13(a) ábra mutatja. Az

Ω tartományt bontsuk fel két altartományra, melyekre igaz lesz, hogy [229, 232

Ω = Ω1 ∪ Ω2, Ω1 ∩ Ω2 = ∅, Γ = ΓΩ1∩ ΓΩ2

,

ahogy a 2.13(b) ábrán látható. Annak szintén teljesülnie kell, hogy [229, 232

mérték(ΓΩ1∩ ΓΩ) > 0,

mérték(ΓΩ2∩ ΓΩ) > 0,

és az altartományokhoz tartozó peremek Lips hitz-folytonosak [232. Az eredeti tarto-

mányra felírt feladat a következ®:

−∆ϕ = f az Ω tartományban,

ϕ = 0 a ΓΩ peremen,(2.35)

ahol az f = ρ/ε, a ρ a töltéss¶r¶ség, az ε a permittivitás és ϕ a keresett poten iálfügg-

vény. Tekintsük f -et négyzetesen összegezhet®nek és a peremeket Lips hitz-folytonosnak,

(−∆ϕ = f)ΩΓΩ

(a) Az eredeti feladat.

ΓΩ1

ΓΩ2

~n1

~n2Ω1 Ω2

Γ

(b) A két részre bontott feladat.

2.13. ábra A feladat felbontása nem átlapolt tartomány dekompozí ióval.

30


akkor (2.35) egyenlettel ekvivalens a következ® satolt feladat [232

−∆ϕ1 = f1 az Ω1 tartományban,

ϕ1 = 0 a ΓΩ1\ Γ peremen,

ϕ1 = ϕ2 a Γ peremen,

∂ϕ1

∂n1

= −∂ϕ2

∂n2

a Γ peremen,

−∆ϕ2 = f2 az Ω2 tartományban,

ϕ2 = 0 a ΓΩ2\ Γ peremen,

(2.36)

ahol ϕi (i=1, 2) a ϕ Ωi-re vett lesz¶kítése és ~ni az Ωi térrészhez tartozó normálvektor.

A Γ peremre el®írt feltételeket átviteli feltételeknek nevezzük.

A végeselem-módszer esetében a feladat diszkretizált változatát bontjuk fel, vagyis

a teljes hálóból kisebb részeket kapunk, melyeket könnyebb kezelni. Alapvet®en a vé-

geselemek elemegyenletéb®l a teljes feladat felbontásra összeállítjuk az algebrai egyen-

letrendszert. De az egyes végeselemekhez tartozó elemegyenletek el®állítása független

m¶velet, tehát ez párhuzamosítható. A tartomány dekompozí iós módszereket nevez-

hetnénk oszd meg és uralkodj (Divide et impera) módszereknek is, azonban ez sajnos

nem teljesen igaz. Mivel az asszemblálás és az egyes részek megoldása jól párhuza-

mosítható, de a Γ peremen lév® ismeretlenek meghatározásához, vagyis a tartományok

közötti folytonosság megteremtéséhez elengedhetetlen a kommuniká ió. Ezért az algeb-

rai egyenletrendszer megoldó rutinja teljes mértékben nem párhuzamosítható, ahogy ez

a kés®bbiekben majd látható lesz.

Miel®tt rátérnék a tartomány dekompozí iós módszerekre, fontos röviden megemlí-

teni a különféle gráf- és rá sfelbontó algoritmusokat [276279. Ezek az algoritmusok

végzik a feladat felbontását, vagyis ezen algoritmusokon múlik, mennyire lesz kiegyen-

súlyozott a számítási igény (az altartományokon közel azonos ismeretlenszám lineáris

anyagkarakterisztika esetében) az egyes altartományok között. Ahhoz, hogy minimali-

záljuk a párhuzamos algoritmus számítási idejét, minimalizálni kell a kommuniká iót. A

kommuniká iót a folytonosság megteremtése eredményezi, tehát ahhoz, hogy az emiatt

bekövetkez® kommuniká iót sökkentsük, minimalizálni kell az altartományok közötti, a

felbontásból ered® peremen lév® ismeretlenek számát. A 2.14(b) ábrán a Γ peremen lév®

ismeretlenek eredményezik a tartományok párhuzamos megoldásához szükséges kommu-

niká iót. Nagyon sokféle gráf- és rá sfelbontó algoritmus létezik, melyekr®l b®vebben

a [276, 278 irodalmakban lehet olvasni. A dolgozatban szerepl® példák diszkretizálásá-

nak parti ionálásához a METIS soros gráfparti ionáló somagot [280 alkalmazom.

2.3.2. A S hurkomplemens-módszer

A S hurkomplemens-módszer még mint primál tartomány dekompozí iós (pri-

mal domain de omposition) vagy direkt alstruktúra (dire t subs tru turing) módszer is

ismert [152, 202, 203, 229, 232, 233, 251, 277, 281283, 283294. A S hurkomplemens-

módszer, ahogy a neve is mutatja a S hurkomplemensen [216,233,235 alapszik, de ezt

az elnevezést jellemz®en a matematikusok használják. A mérnöki munkákban (primál)

tartomány dekompozí iós vagy alstruktúra módszernek nevezik. Ahogy már említettem,

a módszer alkalmazása több, mint fél évszázados múltra tekint vissza, amikor a szá-

mítógépekben lév® RAM még nem volt elég a teljes feladat kezelésére. A számítógép

31


(a) A teljes feladat diszkretizálása háromszög-

elemekkel.

Γ

Ω1

Ω2

ΓΩ1ΓΩ2

(b) A két altartományra felbontott feladat.

2.14. ábra A felbontott feladat a S hurkomplemens-módszernél.

memóriájának korlátai miatt ahhoz, hogy kezelhet® legyen a probléma, a feladatot ki-

sebb részekre bontjuk, melyet gyakran alkalmaznak a numerikus szimulá ióknál. Az is

gyakori, hogy az ismeretlenek sökkentésének érdekében, a nem szükséges ismeretleneket

kiküszöbölik. Az el®bb említett felbontás, és ismeretlen kiküszöbölés egyaránt igaz a

S hurkomplemens-módszerre. A primál tartomány dekompozí iós elnevezés arra utal,

hogy ennél a módszernél sak az eredeti ismeretleneket használjuk a teljes számítás alatt.

A S hurkomplemens-módszert nagyon sok ikk és könyv írja le mérnöki szempont-

ból [229,233,251,277,281287 vagy matematikai szempontok szerint [232,283,288290.

Az elektromágneses térszámítás esetében ezt a módszert inkább mint prekondi ionáló

alkalmazzák, megoldó eljárásként sak ritkán lehet vele találkozni a szakirodalomban.

Tartomány dekompozí ió esetében, ahogy a 2.13(b) és a 2.14(b) ábrák is mutatják,

a tartományt felbontjuk részekre, aminek következtében a (2.34) egyenlet is szétesik ki-

sebb egyenletekre. A 2.14(a) ábrán látható kétdimenziós hálót alapul véve, a feladatot

felbontjuk a végeselemek két szét satolt nyitott halmazára (Ω1 és Ω2), közöttük Γ perem-

mel, ahogy a 2.14(b) ábra mutatja. Ha a halmazokhoz tartozó, a tartományokon lév®

ismeretleneket átszámozzuk, olyan módon, hogy el®ször a bels® ismeretlenek (2.14(b)

ábrán kék pontok), majd legvégül a Γ peremhez tartozó ismeretlenek (2.14(b) ábrán

piros négyzetek) következzenek, akkor a globális egyenletrendszer a következ® alakban

írható [229, 232, 233, 287, 291295:

K11 0 K1Γ

0 K22 K2Γ

KΓ1 KΓ2 KΓΓ

x1

x2

xΓ

=

b1

b2

bΓ

, (2.37)

ahol a KiΓ (i=1,2) részmátrixa a KΓi blokk transzponáltja, és minden f®átlóbeli Kii

blokk felveszi a globális mátrix K el®nyös tulajdonságait, ezek is szimmetrikus pozitív

denit mátrixok.

Ha a feladatot felbontjuk NS

altartományra, az eredeti egyenletrendszer szétesik NS

különálló blokkra. Az i altartományhoz tartozó egyenletrendszer a lokális számozásnak

megfelel®en (bels® ismeretleneket számozzuk el®ször, majd a peremen lév® ismeretlene-

32


ket) a következ® lesz [229, 232, 233, 282, 291295:

[

Kii KiΓΩi

KΓΩii KΓΩi

ΓΩi

][

xi

xΓΩi

]

=

[

bi

bΓΩi

]

, (2.38)

ahol i=1,...,NS

, a KΓΩiΓΩi

nem nulla elemei kap solják össze, az el®z® példához (lásd

2.13(b) ábra) visszatérve, az Ω1 és Ω2 altartományokat, vagyis az eredeti feladat felbon-

tásából létrejött Γ peremen elhelyezked® ismeretleneket. A globális egyenletben szerepl®

KΓΓ almátrixot az NS

altartományhoz tartozó blokk megfelel® asszemblálásával kapjuk.

Két altartománynál: KΓΓ = KΓΩ1ΓΩ1

+KΓΩ2ΓΩ2

. Ugyanez igaz az egyenletrendszer Γ-hoztartozó jobb oldali blokkjára (bΓ) és a Γ peremen elhelyezked® ismeretlenekre is (xΓ).

A Kii, bi és a KiΓΩi= (KΓΩi

i)T

blokkok pedig a (2.38) egyenlett®l függetlenek, tehát

ezek nem eredményeznek semmiféle kommuniká iót az egyes altartományok között. A

(KΓΩii)T

kifejezésben a fels® indexnél lév® T a transzponálást jelöli.

Az altartományokhoz tartozó egyenletrendszer, a (2.38) egyenlet egymástól függetle-

nül kezelhet®, tehát ezek asszemblálása párhuzamosan történik. Csak a KΓΩiΓΩi

és bΓΩi

blokkok, amik a globális egyenletrendszerre nézve nem függetlenek. Tehát a globálisKΓΓ

mátrix és bΓ vektor összeállításához a lokálisKΓΩiΓΩi

és bΓΩiblokkokra van szükség, ami

kommuniká iót jelent a pro esszorok között.

A globális KΓΓ mátrix és bΓ vektor összeállítására azért van szükség, hogy a felbon-

tás miatt, a tartományok között létrejött peremen (Γ) meghatározzuk az ismeretlenek

értékét. Ehhez a következ® egyenletet kell megoldani [229, 233, 291293,295:

(

KΓΓ −NS

∑

i=1

KΓΩii

(

Kii

)−1KiΓΩi

)

xΓ = bΓ −NS

∑

i=1

KΓΩii

(

Kii

)−1bi, (2.39)

melyet a redukált egyenletrendszernek nevezünk, mivel ebben sak a Γ peremen lév®

ismeretlenek szerepelnek, a bels® ismeretleneket kiküszöböltük. Az egyenletben szerep-

l® KΓΓ −NS

∑

i=1

KΓΩii

(

Kii

)−1KiΓΩi

tagot nevezzük a teljes egyenletrendszer S hur-komple-

mensének. A redukált rendszerhez tartozó, az xΓ vektorban lév® ismeretlenek számí-

tását követ®en már könnyen meghatározható a bels® somópontokhoz tartozó értéke a

(2.38) egyenletb®l adódó összefüggéssel [229, 233, 291295:

xi =(

Kii

)−1(

bi −KiΓΩixΓΩi

)

. (2.40)

A xΓ meghatározása után az altartomány bels® ismeretleneinek (xi) megoldása egy-egy

Diri hlet-feladatnak tekinthet®, ami a (2.40) egyenlettel, egymástól függetlenül, vagyis

párhuzamosan megoldható. Az eddig bemutatott összefüggések könnyebb megértéséhez

a D. függelékben bemutatom a módszer m¶ködését egy egyszer¶ elektrosztatika példán

keresztül.

Az (2.39) és a (2.40) egyenletekben a Kii mátrix inverze szerepel. Ez gyakorlati

szempontból nem el®nyös, mivel az invertálás nagyon költséges m¶velet, és nem mellesleg

a ritka mátrix inverze s¶r¶ mátrix lesz, így komoly memóriaigénnyel is jár a tárolása

[233,291,295. Az invertálás helyett aKii mátrix valamilyen faktorizá ióját alkalmazzuk,

vagy az invertálás teljes kihagyásához az egyenletrendszer megoldására iteratív megoldó

algoritmust. A következ®kben röviden bemutatok egy direkt és egy iteratív megoldó

rutint a S hurkomplemens-módszernél el®álló egyenletek megoldására, amiket én is

alkalmazok a problémák megoldása során.

33


Direkt megoldó algoritmus

A direkt megoldó eljárás tulajdonsága, hogy véges aritmetikai m¶velet után meg-

kapjuk az algebrai egyenletrendszer megoldását. A direkt megoldó eljárások nagy része

a Gauss-féle eliminá ión alapszik. Ezek közül három gyakran alkalmazott módszer az

LU- és az LDU-felbontás, valamint a Cholesky-faktorizá ió [216,217,219,223. Ezek kö-

zül az LU-felbontással mutatok be egy párhuzamos direkt megoldási módot [287, mivel

az LU-felbontás alkalmazható szimmetrikus és nemszimmetrikus mátrixokra egyaránt.

LDU-felbontással történ® megoldásra a [282 irodalomban, a Cholesky-faktorizá ióra pe-

dig a [296 irodalomban található illusztrá ió.

Az itt bemutatásra kerül® megoldási mód a [287 irodalomban, két tartományra be-

mutatott algoritmus NS

tartományra kiterjesztett változata [291294. A párhuzamos

direkt megoldó rutin két f® részre bontható, a faktorizá ióra és az el®re-hátra behelyet-

tesítésre. A S hurkomplemens-módszerhez alkalmazott párhuzamos direkt megoldó

rutin a következ® lépésekb®l áll:

I. Párhuzamos faktorizálás

1. Lokális együtthatómátrix részleges faktorizá iója

Kii = LiiUii

LΓΩii = KΓΩi

i

(

Uii

)−1

UiΓΩi=(

Lii

)−1KiΓΩi

Si = KΓΩiΓΩi

− LΓΩiiUiΓΩi

2. A globális S hurkomplemens asszemblálása és faktorizá iója

S =

NS

∑

i=1

Si

S = LΓΓUΓΓ

II. Párhuzamos el®re-hátra behelyettesítés

1. A lokális behelyettesítés

Liizi = bi

gi = bΓΩi− LΓΩi

i zi

2. A redukált egyenletrendszer asszemblálása és megoldása

gΓ =

NS

∑

i=1

gi

LΓΓUΓΓxΓ = gΓ

3. A lokális visszahelyettesítés

gi = zi −UiΓΩixΓ

Uiixi = gi

A faktorizálás és a behelyettesítés részeknél, a második lépésben az adatok összegy¶j-

tése és asszemblálása (szumma m¶velettel jelöltem) szükséges, tehát itt az altartományo-

kon alapuló párhuzamosítás nem alkalmazható, ez a két lépés szekven iálisan történik. A

többi lépésben sak lokális m¶veletek vannak, így azok egymással párhuzamosan, külön

pro esszorral elvégezhet®ek.

34


Iteratív megoldó algoritmus

A megoldó algoritmusok másik nagy soportja az iteratív megoldó eljárások, melyek

alapja, hogy egy hibahatáron belül közelítést adjanak a megoldásra. Az olyan iteratív

módszerek, mint a Ja obi-módszer, a GaussSeidel-féle iterá iós eljárás, vagy a szuk-

esszív túlrelaxálás módszere [216, 220223 jól ismert te hnikák, egyszer¶en megvaló-

síthatóak, de nem túl hatékonyak, és a végeselem-módszerb®l el®álló, gyakran rosszul

kondi ionált egyenletrendszerhez nem alkalmazzák [222, 233. Ezeknél jóval korszer¶bb

és hatékonyabb módszerek, melyek az ortogonális vektorok sorozatán alapszanak, mint

a konjugált gradiens és variánsai [216, 220, 222, 223.

Nagy ismeretlenszám és pro esszorszám esetében az iteratív módszer gazdaságosabb,

mint a direkt megoldó eljárások. Napjainkban az egyik legnépszer¶bb iteratív megoldó

algoritmus a konjugált gradiens, az egyszer¶sége és hatékonysága miatt. Azonban ha az

egyenletrendszernek nagy a kondí iószáma, mely a végeselem-módszer esetében gyakori,

nem m¶ködik már olyan hatékonyan. Ez a probléma a prekondi ionálással megoldható,

melynek lényege, hogy sökkentsük az együtthatómátrix kondí iószámát. Ezért iteratív

megoldó algoritmusnak egy párhuzamos prekondi ionált konjugált gradiens (PCG - Pre-

onditioned Conjugate Gradient) módszert alkalmazok, ami a [277 irodalomban közölt

algoritmuson alapszik.

A prekondi ionált konjugált gradiens módszerhez az egyik legegyszer¶bb prekondi-

ionálót, a diagonális vagy Ja obi-prekondi ionálót [202, 217, 229, 232, 259, 269, 277, 286,

297299 alkalmazom. Ez a prekondi ionáló az együtthatómátrix f®átlóbeli elemeit tar-

1. Algoritmus Párhuzamos prekondi ionált konjugált gradiens

módszer

1 Ini ializálás: xΩ0 = 0,

2 r0 = bΩ,

3 r0 küldése, rext

Γ fogadása → r0 = r0 + r

ext

Γ , // Kommuniká ió (adat sere)

4 for i = 0, 1, . . . do5 wi =M

−1ri,

6 γi =(

ri

)

T

wi,7 Globális γi számítása, // Kommuniká ió (adat sere)

8 wi küldése, wext

Γ fogadása → wi = wi +w

ext


9 if i = 0 then10 pi = wi,

11 else

12 pi = wi + (γi/γi−1)pi−1,

13 wi = KΩpi,

14 βi = p

T

i wi,

15 Globális βi számítása, // Kommuniká ió (adat sere)

16 wi küldése, wext

Γ fogadása → wi = wi +w

ext


17 xΩi = pi−1 + (γi/βi)pi,

18 ri = ri−1 + (γi/βi)wi,

19 if γi/γ0 < ξ then20 return xΩi

35


talmazza, vagyis

M

−1 = [diag (KΩ)]−1 . (2.41)

Az alkalmazott PCGmódszer pszeudokódját az 1. Algoritmus mutatja [202,203,277.

A módszer párhuzamosan oldja meg az altartományokra bontott feladatot. Azonban

minden iterá ión belül fontos, hogy egyes vektoroknál az elosztott vektorból összegzett

legyen. Ez a lépés a pro esszorok közötti adatküldést és fogadást jelent, ahogy az algo-

ritmusban is jelöltem. Az algoritmusban az összegzett vektorokat felülvonással jelöltem.

Az algoritmusban i a futóváltozót jelöli. A KΩ és a bΩ pedig a lokális együtthatómátrix-

ot és a lokális egyenletrendszer jobb oldalát jelöli (lásd (2.38) egyenlet), az xΩ pedig az

altartományhoz tartózó ismeretlenek vektorát. AzM a prekondi ionáló mátrixot, az r a

maradékvektort, a w és a p vektorok a kisebb m¶veletigény miatt alkalmazott vektorok,

és a ξ az el®re deniált hibahatár. A γ és a β egy-egy skalár változó, melyeknél szintén

szükség van a globális értékre, vagyis itt a lokális értékek összegzése miatt van adat sere

a pro esszorok között.

Az PCGalgoritmusban szerepl® elosztott és összegzett vektor könnyebb megértését

szolgálja a 2.15. ábra. Az elosztott vektor sak a lokális értékeket tartalmazza, amíg

az összegzett esetben a lokális vektor kiegészül a más altartományokhoz tartozó perem-

értékekkel. A 2.15. ábrán az Ω1 peremen helyezkednek el a lokális bels® somópontok

(kék pontok) és a lokális peremen lév® somópontok (piros pontok), míg a másik három

tartománynál (Ω2,Ω3,Ω4) a küls® peremen lév® somópontok (piros négyzet). Ez is jól

mutatja, miért fontos lépés a tartományok felbontása a pro esszorok közötti kommuni-

ká ió szempontjából.

Ω1Ω2

Ω3 Ω4

int.ext.

2.15. ábra Négy részre bontott feladat, jelölve az Ω1 altartományhoz tartozó pere-

men lév® somópontokat (int.) és a más altartományon lév®, de a tartományok közötti

folytonossághoz és a megoldáshoz szükséges küls® somópontokat (ext.).

2.3.3. A FETI-módszer

A Finite Element Tearing and Inter onne ting (FETI) módszer [230234,253,254,256,

257,262,265267,293,294,300318 egy jóval kés®bb kidolgozott te hnika, mint a S hur

komplemens-módszer, melyet el®ször Charbel Farhat és Fran jois-Xavier Roux publikált

36


1991-ben [265. A FETI-módszer a S hur-módszerhez hasonlóan egy átfedés nélküli tar-

tomány dekompozí iós módszer, ahol az ismeretleneket felbontjuk a peremen lév® isme-

retlenek és a bels® ismeretlenek halmazára. A tartományok között a tér folytonosságát a

peremeken alkalmazott Lagrange-multiplikátorokkal hozzuk létre [230,233,265267,303.

Majd itt is a bels® ismeretlenek kiküszöbölése következik, ahol probléma lehet, hogy az

együtthatómátrix szinguláris. Ilyen esetben a mátrix inverze helyett a pszeudo inver-

zét [218, 265, 319 számítjuk. Az ismeretlenek kiküszöbölése után itt is egy redukált

feladatot kapunk. Azonban itt az eredeti feladat duálisát kapjuk, mivel az eredeti isme-

retleneket (primál változókat) elimináltuk, és sak a duális változók maradnak, vagyis

a Lagrange-multiplikátorok. A kiindulási feladat változóit nevezik primál, míg az abból

származtatott ismeretleneket duális váltózóknak. A redukált feladat nem lesz pozitív

denit, ezért például itt nem lehet a klasszikus konjugált gradiens módszert megoldó ru-

tinnak alkalmazni. Jelen dolgozatban bemutatásra és alkalmazásra kerül® FETI-módszer

még úgy is ismert, mint duális S hurkomplemens-módszer, illetve klasszikus vagy egy-

szint¶ (one-level) FETI-módszer. Utóbbi két elnevezések amiatt születtek, mivel napja-

inkra már inkább FETI-módszer saládról beszélhetünk a különféle variánsok (Algebrai

FETI, Two-level FETI, Total FETI, FETI Helmholtz, Dual-Primal FETI, Hybrid to-

tal FETI ) [237 miatt. A módszert, ahogy a sok variánsa is mutatja, nagyon széles

körben alkalmazzák a különféle nagyméret¶ feladatok megoldására. Legelterjedtebben

a szerkezeti me hanikában, áramlástanban kerül felhasználásra, de az elektromágneses

térszámításban is egyre többször lehet a módszerrel találkozni.

A numerikus feladat megoldásakor a teljes feladatra deniált energia funk ionált

minimalizáljuk, melynek minimuma sak akkor van, ha a poten iál kielégíti a hozzá

tartózó par iális dieren iálegyenletet és a peremfeltételeket [3,9,19,36. Az energia egy

skalár mennyiség, tehát részek összegeként is számítható, mely nagyon jól felhasználható

a tartomány dekompozí ió esetében is, ha az eredeti feladatot felbontjuk kisebb részekre.

A FETI-módszer, mint tartomány dekompozí ió ezt használja ki. A FETI-módszer

matematikai alapjairól b®vebben a [233,265267 irodalmakban lehet olvasni. A feladat

tartományának diszkretizálását és altartományokra bontását követ®en a (2.34) egyenlet

helyett a következ® algebrai egyenletek hibrid rendszerét kapjuk [230234,257, 265267,

293, 294, 301306,310318:

Kixi = bi −B

T

i λ, (2.42)

NS

∑

i=1

Bixi = 0, (2.43)

ahol i = 1, . . . , NS

, és NS

az altartományok száma, xi az altartományhoz tartozó is-

meretlenek vektora, a λ a Lagrange-multiplikátorok vektora, a Ki és a bi pedig az

altartományhoz tartózó együtthatómátrix és a rendszer gerjesztését tartalmazó vektor.

A Bi mátrix pedig egy el®jeles ±1 és nulla értékekb®l álló leképezési mátrix, mely

az altartományhoz tartozó mennyiségekb®l kiemeli a tartomány peremén lév® eleme-

ket, el®jelhelyesen, hogy az el®írt kényszerek teljesüljenek. A tartományokhoz tartózó

(2.42) egyenlet a megoldást adja adott bi gerjesztés és B

T

i λ peremre el®írt kényszer

mellett, amíg a (2.43) egyenlet feladata a tartományok peremén lév® mágneses vektor-

poten iálok közötti kompatibilitás megteremtése. A 2.16. ábrán a ΓΩ1és ΓΩ2

peremeken

lév® ismeretleneknél, a két fels® somópont közötti kompatibilitás megteremtéséhez, a

(2.43) egyenlet a következ® lesz, A1,Ω1− A1,Ω2

= 0. Egy egyenlet tartozik mindegyik

37


Ω1

λ1

A1,Ω1A1,Ω2

Ω2

ΓΩ1ΓΩ2

2.16. ábra A felbontott feladat a FETI-módszer esetében.

pár ismeretlenhez, melyek összekap solják az altartományokat. A 2.16. ábrán a feke-

te nyilakkal összekötött ismeretlenek azok, melyekhez egy-egy kompatibilitási feltétel

tartozik.

Legyen a K mátrix, illetve a B mátrix, az x és a b vektor a következ®

K =

K1 0

.

.

.

0 KNS

, B =

[

B1 . . . BNS

]

,

x =

x1

.

.

.

xNS

, b =

b1

.

.

.

bNS

.

(2.44)

Ezekkel a jelölésekkel a (2.42) és a (2.43) egyenlet átírható a teljes feladat esetére blokk-

diagonális alakba,

[

K B

T

B 0

][

x

λ

]

=

[

b

0

]

. (2.45)

Ha az egyik altartomány együtthatómátrixa se szinguláris, a (2.42) és a (2.43) egyen-

letek adják az eredeti feladat megoldását. Viszont ahogy n® az altartományok szá-

ma, egyre valószín¶bb, hogy lesz egy vagy több olyan az altartományok között, ahol az

együtthatómátrix szinguláris lesz. Ebben az esetben pedig az el®bb említett két egyenlet

helytelen megoldásra vezet. Az együtthatómátrix olyan tartomány esetén lesz szingu-

láris, amelyhez nem tartozik egyáltalán vagy sak nagyon kevés olyan peremen lév®

somópont, ahol a Diri hlet-peremfeltételt írtuk el® [265,266,293,294,301,311313,317.

Ezeket a tartományokat lebeg® (oating) altartományoknak nevezik, mert a peremein

kevés vagy semmiféle kényszer nin s. Ez pedig azt eredményezi a somóponti végesele-

mek esetében, hogy a normális irányú komponens folytonossága automatikusan teljesül,

de a tangen iális irányú komponensé nem. A lebeg® altartomány elnevezés matemati-

kailag azt jelenti, hogy az altartományhoz tartózó együtthatómátrix nem invertálható,

vagyis determinánsa nullával egyenl® [216218,220, 221, 319.

38


A lebeg® altartományok lokális Neumann-feladatnak tekinthet®k, ahol az összes pe-

remen a Neumann-peremfeltételt írtuk el®. Ezért ahhoz, hogy a szomszédos tartomá-

nyokkal meglegyen a folytonosság, egy további spe iális feltétel kell a megoldáshoz. Ez

a feltétel a szakirodalomi elnevezés alapján a tartomány merev test mozgásának (rigid

body motion) gyelembevétele [265267,311,312. A merev test mozgás elnevezés a mód-

szer me hanikai alapjaiból és alkalmazásából ered, ahol az elmozdulás az ismeretlen. Az

elektromágneses térszámításban ennek nin s zikai jelentése, ezért a merev test mozgás

helyett a matematikai elnevezését használom a továbbiakban. Matematikailag a lebeg®

altartomány merev test mozgása nem más, mint az altartomány szinguláris együttható-

mátrixának nulltere vagy kernelje [216218,221,319321. A Ki ∈ Rd×d

együtthatómát-

rix nullterén a Ki mátrixhoz tartózó homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak

alterét értjük [218, 221, 319, vagyis

Ri = Ker Ki = xi ∈ Rd | Kixi = 0. (2.46)

A (2.42) egyenlet a lebeg® tartomány esetében a mátrix nullterével kiegészítve a követ-

kez® lesz

xi = K

†i

(

bi −B

T

i λ)

+Riαi, (2.47)

ahol a K

†i a Ki mátrix pszeudoinverze és az αi az i-edik tartományhoz tartózó nulltér

együtthatóit tartalmazza, melyeknek köszönhet®en az i-edik tartomány peremén is a ger-jesztésnek megfelel® értékek lesznek. A továbbiakban aK

†i aKi mátrix pszeudoinverzére

utal, ha szinguláris, és K

†i = K

−1i , ha az altartomány együtthatómátrixa reguláris.

Azonban ahhoz, hogy a lebeg® altartományhoz tartózó (2.42) szinguláris egyenlet-

nek sak egy megoldása legyen, teljesülnie kell, hogy az egyenlet jobb oldalának, a

(

bi −B

T

i λ)

vektornak ne legyen eleme a szinguláris Ki mátrix nullterében. Ez sak

akkor teljesül, ha a Ki mátrix nulltere és a (2.42) egyenlet jobb oldala ortogonális, va-

gyis

(

bi −B

T

i λ)

⊥ Ri = Ker Ki, ami egyenlet formájában a következ® lesz [265, 266,

293, 303, 312, 313, 317

R

Ti Kixi = R

Ti

(

bi −B

T

i λ)

= 0. (2.48)

A fenti ortogonalitási feltétel felfogható, mint a megoldáshoz szükséges egyenlet, mert

NS

altartomány esetében NS

egyenlet adódik a tartományokra. Azonban még ismeret-

lenként van a λ és az αi. Ha a (2.47) egyenletet behelyettesítjük a (2.43) kompatibilitási

egyenletbe, sak a következ® egyenlet adódna a két ismeretlenre

BiK†i

(

bi −B

T

i λ)

+BiRiαi = 0, (2.49)

de ezt kiegészítve a (2.48) egyenlettel már az ismeretleneknek megfelel® számú egyenletet

kapunk.

Ha a (2.48) és a (2.49) egyenleteket átrendezzük, és a teljes feladatra írjuk fel az

egyenletrendszert, amelyhez felhasználjuk a (2.44) egyenlet jelöléseit, valamint hogy az

α =[

αT1 . . . αT

NS

]T

és a R =[

R

T1 . . . R

TNS

]T

, a következ® két mátrixegyenletet

kapjuk

BK

†B

Tλ−BRα = BK

†b,

−RTB

Tλ = −RTb,

(2.50)

39


amely a (2.45) egyenlet, vagyis az eredeti feladat duálisát eredményezi, mert a λ a

duális változója az x primál változónak. A fenti egyenletet átalakítva, a következ® duális

határfelület feladatot kapjuk, ami az egész felbontott feladatra vonatkozik [230,232234,

256, 257, 266, 301, 303, 304, 309, 312, 313, 317:

[

FI −GI

−GTI 0

][

λ

α

]

=

[

d

−e

]

, (2.51)

ahol

FI =

NS

∑

i=1

BiK†iB

Ti = BK

†B

T,

d =

NS

∑

i=1

BiK†ibi = BK

†b,

GI =[

B1R1 . . .BNS

RNS

]

= BR,

e =[

b

T1R1 . . .b

TNS

RNS

]T

= R

Tb.

(2.52)

A (2.51) egyenletrendszer egy határfelület feladat, mint a redukált feladat, a (2.39)

egyenlet a S hurkomplemens-módszer esetében.

Az altartományokon lév® ismeretlenek meghatározásához a (2.42) egyenletet vagy

szinguláris altartomány esetében a (2.47) egyenletet alkalmazzuk. De el®ször a duális

feladatot, a (2.51) egyenletrendszert kell megoldani.

A következ®kben a direkt megoldónak javasolt eljárás általános áttekintését ismer-

tetem, mely kis duális feladat esetében hatékonyan alkalmazható, valamint bemutatok

két iteratív módszert, melyekkel nagyobb ismeretlenszám esetében lehet gazdaságosan

közelíteni az ismeretlen Lagrange-multiplikátorokat. A bemutatásra kerül® módszerek

mindegyike a duális feladat megoldására irányul. A tartományokon lév® ismeretlenek

meghatározásához a (2.42) vagy a (2.47) egyenlet megoldása szükséges, amelyhez már

alkalmazhatóak az irodalomból jól ismert direkt vagy iteratív megoldó rutinok. A bels®

ismeretlenek, vagyis a (2.42) vagy a (2.47) egyenlet megoldásához a Matlab mldivide

algoritmusát [322 alkalmaztam minden esetben. Az mldivide egy robusztus lineáris

egyenletmegoldó rendszer, amely nagyon hatékonyan kezeli a végeselem-módszerb®l ka-

pott ritka egyenletrendszert, ezzel minimalizálva a számítási id®t [322.

Direkt megoldó algoritmus

A direkt megoldó algoritmus a FETI-módszer esetében nem egy klasszikus felbontási

módon alapszik, hanem a duális feladatnál a λ vektor közvetlen meghatározását jelenti.

Ahhoz, hogy a (2.51) egyenletrendszerben szerepl® Lagrange-multiplikátorok vektorát

meghatározzuk, fel kell bontani két összetev®re [230, 266, 293, 294, 303, 311, 312, 317,

λ = λ0 +P (Q)λ, (2.53)

ahol λ0 = QGI

(

G

TI QGI

)−1e, ami a G

TI λ = e egyenlet egy partikuláris megoldása.

A P (Q) egy projektormátrix. Projektormátrixnak azt a P mátrixot nevezzük, melyre

teljesül a PP = P összefüggés [217,233. Emellett a G

TI λ = e összefüggés miatt, minden

40


Q mátrix esetében teljesülnie kell a G

TI P (Q) = 0 egyenl®ségnek. Dolgozatomban a

P (Q) projektormátrix [230, 233, 301, 307, 309, 311, 313:

P (Q) = I−QGI

(

G

TI QGI

)−1G

TI , (2.54)

ahol I az egységmátrix, Q pedig egy tetsz®leges szimmetrikus pozitív denit mátrix. A

Q mátrix és a λ vektor alkalmas megválasztásával a (2.51) egyenlet megoldását kapjuk.

Az általános bemutatáson túl az általam alkalmazott direkt megoldó eljárást, az

eljáráshoz tartozó mátrix és vektor megválasztását és a hozzá tartozó levezetést a modell

párhuzamosításához kap solódó tézisemnél ismertetem.

Iteratív megoldó algoritmus

Ahogy a módszer bevezet®jénél írtam, a (2.51) egyenlet pozitív szemidenit, ezért pél-

dául a klasszikus konjugált gradiens (CG) módszert nem lehet a duális feladat megoldá-

sára alkalmazni [216218,220,221. Az FI mátrix pozitív szemidenit, ha ∀λ ∈ Rn,λ 6= 0

vektorra λTFIλ ≥ 0 [217, 221. Azonban az FI mátrix szimmetrikus, így van lehet®ség

a végeselem-módszernél jól bevált módszerek módosított változatának alkalmazására. A

FETI-módszernél legelterjedtebben alkalmazott iteratív megoldó algoritmus a konjugált

gradiens módszer módosított változata, de a GMRES (Generalized Minimal Residual

Method) módosított változatára is lehet alkalmazást találni [318.

A (2.51) egyenlet, a FETI peremfeladata nem más, mint egy nyeregpont feladat, mert

az egyenletrendszer megoldása egy alkalmas kvadratikus funk ionál nyeregpontjaként áll

el® [217,323. A (2.51) egyenlet megoldása ekvivalens egy feltételes optimalizá iós feladat

megoldásával. A λ vektor közelítését a következ® kvadratikus függvény minimalizálásával

nyerjük [233, 313

minλ∈Rn

Φ (λ) =1

2λTFIλ− λT

d, (2.55)

melyhez a következ® feltétel tartozik:

G

TI λ = e. (2.56)

A konjugált gradiens módszer módosítására azért van szükség, hogy biztosítsuk a

(2.56) feltétel teljesülését. Ehhez arra van szükség, hogy már az els® lépésben λ0 te-

gyen eleget a G

TI λ0 = e feltételnek, és minden iterá ióban az sk+1 keresési iránynak

megfelel®en meghatározott δλk+1 = λk+1 − λk tegyen eleget a következ® kényszernek

G

TI δλk+1 = G

TI (λk+1 − λk) = 0. (2.57)

A fenti kényszer teljesítéséhez minden konjugált gradiens iterá ióban a maradékvek-

tor, rk+1 = d−FIλk+1 projek iójára [304,306,307,313 van szükség, a következ®képpen:

rk+1 → wk+1 = P (Q) rk+1, (2.58)

ahol P (Q) a (2.54) egyenletben megadott projek iós mátrix. A módosított konjugált

gradiens módszer esetében Q = I, vagyis egységmátrix. A projek ió következtében pedig

41


a feltétel teljesül, mert

G

TI wk+1 = G

TI (P (Q) rk+1) =

= G

TI

(

I− IGI

(

G

TI IGI

)−1G

TI

)

rk+1 =

=(

G

TI I−G

TI IGI

(

G

TI IGI

)−1G

TI

)

rk+1 =

=(

G

T

I −G

T

I

)

rk+1 = 0.

(2.59)

A konjugált gradiens módszer és a projek ió kombiná iójából egy módosított kon-

jugált gradiens (MCG) módszert kaptunk [233, 265, 293, 294, 301, 315317, melyet még

konjugált projek iós gradiens ( onjugate proje ted gradient) módszernek is nevez a szak-

irodalom.

Az általam megvalósított és használt módosított konjugált gradiens módszer psze-

udokódját a 2. Algoritmus mutatja. A kezd®vektorokat, λ0, r0, w0 a feltételeknek,

kényszereknek megfelel®en kell megválasztani, különös tekintettel a λ0 vektorra, hogy

már az els® lépésben is teljesüljön a (2.56) feltétel. A λ0 vektort nem lehet közvetle-

nül kiszámítani, mert GI nem négyzetes mátrix, tehát a G

TI mátrixnak nin s inverze.

Azonban ha az egyenletrendszer mindkét oldalát beszorozzuk egységmátrixszal, akkor ez

feloldható,

λ0 =(

G

TI

)−1e→ Iλ0 = GIG

−1

I

(

G

TI

)−1e = GI

(

G

TI GI

)−1e, (2.60)

ahol már a G

TI GI egy invertálható mátrix.

A 2. Algoritmusban jelöltem a módszerhez kap solódó f®bb lépéseket. A módosított

konjugált gradiens módszer hatékony megoldó eljárás, és viszonylag egyszer¶ a megva-

lósítása is, azonban nagyon ritkán lehet találkozni alkalmazás szintjén a FETI-módszer

esetében. Ennek oka, hogy nem tudja kezelni a lebeg® tartományokat. Tehát sak olyan

esetben alkalmazható, ha a rá sparti ionáló algoritmus úgy bontja fel a feladatot, hogy

abban ne legyen lebeg® altartomány.

A lebeg® altartományok kezeléséhez prekondi ionáló alkalmazása szükséges, amely a

prekondi ionált konjugált projek iós gradiens módszert eredményezi [232, 233, 262, 266,

2. Algoritmus Módosított konjugált gradiens módszer

1 Ini ializálás: λ0 = GI

(

G

TI GI

)−1e,

2 r0 = d− FIλ0,

3 w0 = P (Q) r0,4 s0 = w0,

5 for i = 0, 1, . . . do

6 βi =(wi)

Twi

(si)TFIsi

, // Lépés hossza

7 λi+1 = λi + βisi, // Közelítés

8 ri+1 = ri − βiFIsi, // Maradék

9 wi+1 = P (Q) ri+1, // Projek ió

10 ηi =(wi+1)

Twi+1

(wi)Twi

,

11 si+1 = wi+1 + ηisi, // Keresési irány

42


293, 294, 301307, 309, 312, 313, 315317, ami a legelterjedtebben alkalmazott megoldá-

si eljárás a (2.51) egyenlethez. A prekondi ionálás javít a módszer konvergen iáján,

sökkenti az iterá iók számát, és ha megfelel®en választjuk meg, a lebeg® altartományt

tartalmazó feladatot is tudja kezelni. A FETI-módszernél két prekondi ionálót alkalmaz-

nak elterjedten a matematikailag optimális Diri hlet prekondi ionálót és a kon entrált

(lumped) prekondi ionálót [230,233,266,304306,312,313. Számítási szempontból a kon-

entrált prekondi ionáló a gazdaságosabb, valamint a szakirodalom ezt javasolja els® és

másodfokú feladatok esetében, ezért én itt sak ezzel a prekondi ionálóval foglalkozom.

A prekondi ionáló el®állításához a FETI-módszer esetében is arra van szükség, hogy

az altartományok együtthatómátrixa a (2.38) egyenletben látható módon legyen parti i-

onálva. A kon entrált prekondi ionáló a következ®képpen számítható [230,233,293,312,

313, 317

F

LI =

NS

∑

i=1

Bi

[

0 0

0 KΓΩiΓΩi

]

B

Ti , (2.61)

ahol a KΓΩiΓΩi

a S hurkomplemens-módszernél bemutatott almátrix, melyben a fel-

bontásból létrejött Γ peremen (lásd 2.14(b) ábra) lév® somópontok együtthatói vannak.

Ahogy már említettem, aQmátrix jellemz®en egységmátrix, azonban heterogén esetben,

ha többféle anyag is jelen van egy altartományon, érdemes a Q mátrixot a prekondi io-

nálás miatt már kiszámított F

LI mátrixnak választani.

A prekondi ionált módosított konjugált gradiens módszer algoritmusát a 3. Algorit-

mus mutatja. Az algoritmus nagyon hasonló a MCG algoritmusához, az egyik különbség

a prekondi ionálásból származik. A másik pedig az s számításánál található, ahol az új

3. Algoritmus Prekondi ionált módosított konjugált gradiens

módszer ortogonalizá ióval

1 Ini ializálás: λ0 = QGI

(

G

TI QGI

)−1e,

2 r0 = d− FIλ0,

3 w0 = P (Q)T r0,

4 h0 = P (Q)FLIw0,

5 s0 = h0,

6 for i = 0, 1, . . . do

7 βi =(hi)

Tsi

(si)TFIsi

, // Lépés hossza

8 λi+1 = λi + βisi, // Közelítés

9 ri+1 = ri − βiFIsi, // Maradék

10 wi+1 = P (Q)T ri+1, // Projek ió

11 hi+1 = P (Q)FLIwi+1, // Prekondi ionálás

12 for 0 ≤ j ≤ i do

13 ηji = −h

Ti+1FIsj

s

Tj FIsj

,

14 si+1 = hi+1 +k∑

j=0

ηji sj , // Keresési irány ortogonalizá ióval

43


keresési irányt ortogonalizá ióval számítjuk [266, 301, 303, 305, gyelembe véve az el®z®

iterá iók során számított irányvektorokat. Fontos megjegyezni, hogy a régebbi keresési

irányok vektorainak tárolása további memóriaigénnyel jár, azonban ez jellemz®en nem

jelent®s hányada a teljes memóriahasználatnak.

A következ® megállási kritériumot használtam mindkett® iteratív algoritmus esetében

||wi||2||d||2

≤ ξ, (2.62)

ahol a ||wi||2 az i-edik iterá ió projek iós maradékvektorának 2-es normája és a ||d||2 aduális feladat jobb oldalának 2-es normája, és ξ egy el®re deniált hibahatár.

2.4. A modellek szabályozási körbe illesztése

A különböz® villamos berendezésekkel, de legf®képpen az elektromos járm¶vekkel

szemben magas követelményeket támasztanak. Emiatt el®térbe került a meghajtást vég-

z® elektronika és algoritmus és a meghajtott berendezés összekap solása már a tervezés

során, a jobb teljesítmény és magasabb hatásfok érdekében. Ehhez els®sorban egy meg-

felel® modell szükséges a villamos berendezésr®l, ami összekap solható tetsz®leges elek-

tronikával és/vagy szabályozóval. De a modell mellett még szükséges az összekap solásra

alkalmas szimulá iós környezet is.

A 2.17. ábra a szabályozási kör sematikus vázlatát mutatja. A szabályozási kör m¶kö-

dése során az xr rendelkez® jel, ami az xa alapjelnek és a szabályozott jellemz® pillanatnyi

értékt®l függ® xe ellen®rz® jelnek a különbsége (xr = xa − xe), a szabályozót m¶ködte-

ti. Az ábrán a szabályozó kimenete az xm módosított jellemz®, amely a szabályozott

berendezést befolyásolja, vagyis a szabályozott szakasz bemen®jele. A szabályozott sza-

kaszt jelen esetben a végeselem-módszeren alapuló modell reprezentálja. A szabályozott

szakaszban lejátszódó folyamatokról a kimen®jele, az xs szabályozott jellemz® ad infor-

má iót. A szabályozott jellemz®r®l az ellen®rz® szerv szolgáltat informá iót az ellen®rz®

jel formájában [324330.

Napjainkban egyre több olyan irányítási rendszer van, f®leg a szenzormentes irányí-

tás terjedésével, mely tartalmaz valamilyen meggyel®t vagy paraméterbe sl®t. Ezek sok

esetben identiká ió útján nyert, vagy az állapotváltozós leírásból származó modellek.

Szabályozó

xm

Érzékel®

szerv

xa xr xs

−

xe

Numerikus modell

2.17. ábra A végeselem-módszeren alapuló modellt tartalmazó szabályozási kör fel-

építése.

44


Mindkét esetben szükséges egy létez® eszköz és az azon végzett mérések, hogy a modell

felépíthet® legyen. A prototípus gyártásának, és mérésének kiküszöböléséhez a numerikus

modell egy kézenfekv® megoldás, ahogy erre az irodalomban is találni példát, ahol meg-

gyel®ként [331333 vagy állapotbe sl®ként [334 alkalmazzák a végeselem-módszerrel

nyert modellt. Így anélkül lehet vizsgálni komplett rendszereket, hogy bármilyen eszközt

zikailag megvalósítottunk volna. A végeselem-módszerrel létrehozott modell lehet®-

séget biztosít arra, hogy a teljesítményelektronikában vagy irányításelméletben jártas

szakemberek számára is elérhet®, és alkalmazható legyen egy numerikus modell, mint

szabályozott szakasz a rendszerben, anélkül hogy átfogó ismereteik lennének annak el-

méleti hátterér®l. A szabályozótervezésénél, tesztelésénél, vagy a meghajtó elektronika

vizsgálatánál is gyakran alkalmazott eljárás a SIL (Software-In-the-Loop) modell, ahol

egy szoftveresen implementált reprezentá ió, jelen esetben a végeselem-módszer segítsé-

gével felépített modell helyettesíti a szabályozni kívánt eszközt. Az el®bb elmondottak

egyik alapvet® feltétele, hogy egy szimulá iós rendszerben lehessen a két részt vizsgálni.

A satolt végeselem-módszerrel felépített modellt tartalmazó szabályozási kör ritkán

vizsgált rendszer a szakirodalom alapján. Ilyen irányítási rendszer sematikus ábráját

mutatja a 2.17. ábra. A ritka alkalmazás f® oka, hogy a szabályozási kör és a sa-

tolt modell összekap solása és együttes alkalmazása nagyon összetett feladat. Sokkal

gyakoribb azzal az esettel találkozni, amikor a FEM-modellb®l kapott eredményeket fel-

használják a szabályozó tervezéséhez, és a szabályozási körben a FEM-modellb®l nyert

paramétereket vagy két- és háromdimenziós keresési táblákat (look-up table) alkalmaz-

zák [211,335340. Ennél már összetettebb feladat, amikor a szabályozó és az elektronika

kimeneteként el®álló jelek képezik a modell bemenetét, mert ebben az esetben az id®lé-

péseket szinkronizálni kell a ki- és bemenetek között [131,138,146,341344. De itt még

mindig két külön rendszert képez a szabályozó és a modell. A valóságban ez két külön

szoftvert, vagy szimulá iós környezetet jelent, amelyeket illeszteni kell egymáshoz, vagyis

a rendszer gyengén satolt. Napjainkban a kereskedelmi szoftverek többségében (COMSOL

Multiphysi s, ANSYS Maxwell, JMAG, Opera, Flux 2D/3D, Qui kField) ez a satolási

lehet®ség áll rendelkezésre, mert könnyen implementálható, és a felépített modell egyes

részei gyorsan módosíthatók [171,213,214,345347. A gyenge satoláshoz képest az er®s

satolás ebben az esetben annyit jelent, hogy a szabályozó algoritmus a hozzá kap solódó

elektronika modelljével és a FEM-modell ugyanabban a szimulá iós környezetben valósul

meg.

Az elektromágneses térszámítás területén belül az er®s satolást leginkább komp-

lett villamos hajtások vizsgálatára alkalmazzák. El®ször egy állandó mágneses motor

hajtásához használtak er®s satolást, ahol a szabályozó annyiból állt, hogy a forgórész

szöghelyzetét és sebességét felhasználva szabályozták az elektronikai alkatrészek kap so-

lását [348. Ehhez nagyon hasonló szabályozási kört valósítottak meg aszinkron motoros

hajtásra, ahol azonban az egyszer¶ szabályozás helyett a Park-vektorokon alapuló sza-

bályozást valósítottak meg [349. Majd lineáris aszinkron motor esetében is alkalmazás-

ra került a vektor-szabályozás [350. Az el®z®ekhez hasonló elvek alapján hiszterézises

áramszabályozóval megvalósított egyenáramú motoros hajtást [351 és orsómotoros haj-

tást [352 vizsgáltak zárt szabályozási körben. Az ezidáig publikált ismeretekre alapozva

Sami Kanerva a doktori disszertá iójában [146 azt vizsgálta, hogy egy szabályozási

körben milyen kimenetekkel élszer¶bb a FEM-modellt alkalmazni. Az er®s satolás

továbbfejlesztéseként, a satolt numerikus modell eddig sak végeselemeken és a teker-

selés dieren iálegyenletén alapuló leírásán változtattak úgy, hogy a meghajtó elektro-

45


nikát és a teker svégeket a módosított somóponti analízissel (MNA - Modied Nodal

Analysis [353) írták le egy teker selt forgórész¶ kefe nélküli indítógenerátor vektor-

szabályozásában [354. Emellett természetesen más alkalmazásokkal is lehet találkozni

az er®s satolással, mint az induk iós hevítés [355, szívó-folytóteker s [356 vagy a telje-

sítményelektronikai áramkörben szerepl® transzformátor [357,358 vagy elektromágneses

kap soló [359.

Az irányításelméletben széles körben alkalmazott szoftver a Matlab [322 és azon

belül a Simulink [99, melyben könnyen és gyorsan implementálható egy szabályozá-

si kör blokksémák segítségével. A Simulink jelfolyamhálózat-szimulátorban van lehe-

t®ség Matlab függvények alkalmazására blokkok formájában. Ennek köszönhet®en a

Matlab / Simulink környezet alkalmas a végeselem-módszeren alapuló modellt tartal-

mazó szabályozási kör megvalósítására. Az én esetemben a FEM-modell egy Matlab

szkript és C-programnyelven megvalósított, a végeselem-módszert alkalmazó megoldó el-

járást jelent, ahogy azt majd a 5. fejezetben bemutatom. Itt fontos megjegyezni, hogy az

ingyenesen hozzáférhet® S ilab és X os [100 segítségével is megvalósítható a 2.17. áb-

rán vázolt szabályozási kör. Természetesen nem törvényszer¶ az ilyen rendszerhez saját

szoftver megvalósítása, mivel a rendszer megvalósítható még minden olyan programmal

ahol egy rendszerszimulátorba beágyazható egy numerikus térszámításon alapuló modell.

Amellett, hogy a végeselemeken alapuló modellnek köszönhet®en egy pontosabb mo-

dellt kapok, azt is fontos megemlíteni, hogy ez jelent®sen növeli az eredeti szabályozási

kör szimulá iós idejét. Az szimulá iós id® növekedésének f® oka az ismeretlenek számá-

ban keresend®. Közönséges dieren iálegyenletek esetében a legbonyolultabb irányítá-

si rendszereknél is az ismeretlenek száma (szabadsági fok vagy állapotváltozók száma)

nagyságrendekkel kisebb a végeselem-módszer révén nyert modelleknél. A megnöve-

kedett számítási id® sökkentésére a numerikus térszámítás párhuzamosítása az egyik

lehet®ség, amelyhez az el®z® részben ismertetett tartomány dekompozí iós módszereket

alkalmazom. Természetesen önmagában a párhuzamosítással nem lehet az eredeti érték-

re vagy annál kisebbre sökkenteni a számítási id®t, de ezzel is jelent®s id®megtakarítás

érhet® el, melyet az is kompenzál, hogy a körben egy, a valóságot pontosabban leíró

modell m¶ködik.

Dolgozatomnak nem élja a vizsgálandó elektrodinamikai rendszer meghajtó elektro-

nikájának és a hozzá kap soló szabályozónak a vizsgálata. Ezért kapott nagyobb hang-

súlyt az irodalomkutatás során is az elektromágneses térszámítás témaköre. A módszerek

bemutatáshoz alkalmazott példáknál is a szabályozási körök egyszer¶ek, mert a f® él

a két rendszer egy szimulá iós környezetben történ® megvalósítása. Emiatt a dolgo-

zatban, ahogy már az el®z®ekben is utaltam rá, a szabályozót és a végrehajtó szervet

nem választom szét. A 2.17. ábrán a szabályozó blokk mindkét részt tartalmazza, és

ezért a módosított jellemz® a szabályozó kimenete. Az ábrán szintén szerepel, a valós

rendszereknél a vissza satolásban jelent®s szerepet betölt® érzékel® szerv. Egy ponto-

san modellezett rendszerben fontos gyelembe venni az érzékel®k viselkedését, átviteli

függvényét. Viszont ennek szintén nin s jelent®sége a dolgozatom szempontjából, így a

vizsgált esetekben egységnyi átviteli függvénnyel veszem gyelembe az érzékel® szervet.

2.5. A meglév® eredmények hiányosságai

A me hanikai mozgás és a feszültségegyenlet satolása napjaink kereskedelmi szoft-

vereiben is megtalálható. Azonban ezek vagy nem közvetlen satolást jelentenek, vagy

46


nem alkalmasak a párhuzamosításra. A mozgás gyelembevételére alkalmazott, ismert

és publikált te hnikák kétdimenziós esetben is jelent®s m¶veletigénnyel és újabb isme-

retlenek bevezetésével járnak együtt. Emellett a satolt végeselem-módszer segítségével

felépített modell közvetlenül nem illeszthet® be egy jelfolyamhálózatba.

A tartomány dekompozí iót, mint párhuzamosítási lehet®séget elterjedten alkalmaz-

zák gépészeti szimulá iókban. A villamosmérnöki gyakorlatban rádiófrekven iás szimulá-

ióknál lehet találkozni a tartomány dekompozí ió átlapolt változatával, de az ala sony-

frekven iás elektromágneses feladatoknál sak elvétve található példa az alkalmazására.

A szakirodalomban megtalálható a nem átlapolt tartomány dekompozí ió elmélete gépé-

szeti és matematikai aspektus szerint, azonban az elektromágneses térszámításban van-

nak olyan sajátosságok, amelyekre egyáltalán nin s megoldás. Ilyen a villamos beavat-

kozóknál a feszültségegyenlet és a mozgó rész merev test mozgásának kezelése. Emellett

magyar szakirodalom nin s a tartomány dekompozí ióval történ® párhuzamosításra, így

dolgozatommal ezt a hiányosságot is szeretném orvosolni.

Az irodalomkutatásomból jól látszik, hogy széles körben foglalkoznak a végeselem-

módszerrel nyert modell irányítási körbe vagy hajtásrendszerbe illesztésével. A kereske-

delemben kapható szoftvereknél is van lehet®ség a kon entrált paraméter¶ rendszer vagy

jelfolyamhálózat és az elosztott paraméter¶ modell összekap solására, de itt is jellemz®en

gyenge satolásról beszélhetünk. Tehát a közvetlen és a közvetett satolásra is létezik

megoldás, de ennek a területnek egyik hiányossága, hogy mindig szekven iálisan fut a

nagy számításigény¶ modell.

47

3. FEJEZET

Feszültség- és me hanikai egyenlettel

satolt modell

3.1. Motivá ió

A Maxwell-egyenletekben, és az ezekb®l levezethet® poten iálformalizmusokban is az

áram vagy árams¶r¶ség szerepel gerjeszt®mennyiségként. Tehát, alapesetben az így el®-

álló numerikus modellel sak akkor vizsgálhatok egy feszültséggel gerjesztett rendszert,

ha ismerem a feszültség következtében meginduló áram id®függvényét, melyet el®írok

mint gerjesztést. Vagy sta ionárius állapotban vizsgálom a rendszert, amikor az áram

id®függvényének tranziens része már elhanyagolható, vagyis a rendszer állandósult álla-

potban van. Ez a két feltétel valós rendszerek esetében nagyon ritkán vagy sak elha-

nyagolásokkal teljesül. Ezért az elektromágneses rendszereknél fontos gyelembe venni

a teker selés feszültségegyenletét, aminek köszönhet®en megvalósítható a feszültséggel

gerjesztés és a villamos kör átmeneti jelenségei is vizsgálhatóvá válnak.

Nagyon széles alkalmazási köre van a különféle elektrome hanikai rendszereknek, ezért

fontos a viselkedésük minél pontosabb ismerete. Ehhez nem elegend® a rendszerben leját-

szódó elektromágneses jelenségek leírása, hanem a mozgórészek merev test mozgásában

fellép® átmeneti jelenségek gyelembevétele is fontos. Erre a (2.31) me hanikai tranzi-

ens egyenlete ad lehet®séget. Ezzel az egyenlettel gyelembe vehet® az elektrome hanikai

rendszerben lév® tetsz®leges súrlódás, a mozgást végz® rész tehetetlensége és a mozgó-

részhez kap solt, azt terhel® nyomaték. Illetve ezáltal lehet®ség van tetsz®leges indításnál

vagy gyorsításnál a me hanikai tranziens vizsgálatára.

A két egyenlet satolásának a f® élja a megfelel® bemenettel és kimenettel rendelkez®

numerikus modell létrehozása a szabályozási körbe illesztéshez. A feszültségegyenlet és

a me hanikai egyenlet gyelembevételére többféle te hnika létezik, ahogy azt az irodalmi

áttekintésben már ismertettem. Dolgozatomban a feszültségegyenlet satolásánál sak

az er®s satolást alkalmaztam. A me hanikai egyenlet gyelembevételénél az egyréteges

mozgósáv és a súszófelület módszereket implementáltam. A kétféle megvalósítás élja

a módszerek behatóbb ismerete, és annak vizsgálata, hogy melyik módszert élszer¶bb

alkalmazni majd a tartomány dekompozí ióval együtt.

Ebben a fejezetben bemutatom az általam Matlab szkript és C-programnyelv for-

májában írt, a végeselem-módszert alkalmazó szoftverhez megvalósított te hnikákkal ka-

pott eredményeket és azok összehasonlítását. A te hnikák helyes m¶ködéséhez a követ-

kez® három illusztrá iót alkalmazom. A feszültségegyenlet satolását egy hengerszim-

metrikus szolenoid példáján mutatom be. A me hanikai mozgás gyelembevételére a

T.E.A.M. 30a háromfázisú tesztfeladatot alkalmazom, és végül a feszültség- és me hani-

48


kai egyenlet satolását egy 3 kW-os háromfázisú aszinkron motor példáján demonstrá-

lom. Emellett, ismertetem az egyréteges mozgósáv módszerhez kidolgozott te hnikám,

ami tudja kezelni az elemek deformá ióját és a szakirodalomból ismert megvalósításokhoz

képest [41, 106, 153, 189 kisebb számítási igénnyel bír.

3.2. Feszültséggel gerjesztett modell

A teker s feszültségegyenletének er®s satolását egy hengerszimmetrikus vasmagos

szolenoid példáján mutatom be, ami a 3.1. ábrán látható. A feladathoz tartozó geometri-

ai és anyagparaméterek az F. függelékben találhatóak. Ebben a függelékben ismertetem

a vizsgált feladat mágneses körök elméletén alapuló analitikus megoldását, melyet fel-

használok a numerikusan kapott eredmény helyességének igazolására, és az analitikus

modellb®l származó hiányosságok demonstrálására.

A hengerszimmetrikus feladatot kézenfekv® hengerkoordináta rendszerben vizsgálni

(rradiális távolság, ϕazimut, zmagasság), a már bemutatott

~A mágneses vektorpo-

ten iálon alapuló formalizmussal [41, 48, 64, 360. Hengerkoordináta rendszerben a

~Bmágneses uxuss¶r¶séget, a (2.6) egyenletnek megfelel®en az Aϕ mágneses vektorpo-

ten iál irkulá iójaként írjuk le. Ebben az esetben is két komponense van a mágneses

uxuss¶r¶ségnek [360362,

Br = −∂Aϕ

∂z,

Bz =1

r

∂

∂r(rAϕ) ,

(3.1)

mert itt is, mint a Des artes-féle koordináta-rendszernél, a kétdimenziós esetben egy

komponense van az

~A mágneses vektorpoten iálnak. A fenti összefüggésben r a zforgástengelyt®l mért távolság, vagyis a rádiusz. De míg a (2.11) egyenletnél a két

összetev® azonos, és az elemegyenlet szimmetrikus, addig ebben az esetben az elem-

egyenlet aszimmetrikus a mágneses uxuss¶r¶ség z-komponensének következtében, ha a

Galjorkin-módszert alkalmazzuk [41, 360. Ahhoz, hogy az aszimmetriából fakadó kel-

lemetlenségeket, mint az együtthatómátrix aszimmetriája elkerüljük, bevezettek egy A′

változót [360, 361, ami

A′ = rAϕ, (3.2)

Vasmag Vasmag

Teker s

Leveg®

z

rϕ

3.1. ábra A hengerszimmetrikus vasmagos szolenoid.

49


melyet felhasználva, a (2.30) egyenletben szerepl® par iális dieren iálegyenlet a követ-

kez® alakú [360362:

∂

∂z

(

1

rµ

∂A′

∂z

)

−∂

∂r

(

1

rµ

∂A′

∂r

)

−N

tek

Atek

itek

= 0. (3.3)

A (3.3) par iális dieren iálegyenlet érvényes a teljes feladatra statikus mágneses tér

esetben, valamint a leveg® és a gerjeszt®teker shez tartózó tartományokra örvényáramú

feladatnál. Örvényáramú esetben az Ωö

vezet® tartományra a következ® egyenletet írom

el®:

∂

∂z

(

1

rµ

∂A′

∂z

)

−∂

∂r

(

1

rµ

∂A′

∂r

)

−σ

r

∂A′

∂t= 0. (3.4)

Az új változó bevezetésével a teker s (2.30) egyenletben szerepl® feszültségegyenlete

is módodul, amely a következ® lesz [361, 362:

Ntek

l

Atek

r

∫

Atek

∂A′

∂tdA

tek

+Rtek

itek

= utek

. (3.5)

Közvetlen satolásnál egyszerre oldom meg, egy egyenletrendszerként a tartományok-

hoz tartozó par iális dieren iálegyenletet és a hozzá tartozó közönséges dieren iál-

egyenletet. A közvetlen satolással el®álló egyenletrendszer a teljes tartományra a kö-

vetkez®képpen néz ki [361, 362:

∂

∂z

(

1

rµ

∂A′

∂z

)

−∂

∂r

(

1

rµ

∂A′

∂r

)

−σ

r

∂A′

∂t−

Ntek

Atek

itek

= 0,

Ntek

l

Atek

r

∫

Atek

∂A′

∂tdA

tek

+Rtek

itek

= utek

.

(3.6)

Az id® szerinti deriváltak közelítéséhez a hátralép® Eulersémát [27,41,157159,220

alkalmaztam. A feladat felbontásához a végeselem-módszert alkalmazva, ami a par iá-

lis dieren iálegyenletek gyenge alakján alapszik [2, 12, 13, 15, 19, 24, az el®z® egyenlet

mátrixos alakban írva a következ® [361, 362:

S+N

∆t−P

Q

∆tR

A(t)

I(t)

=

N

∆t0

Q

∆t0

A(t−∆t)

I(t−∆t)

+

0

U(t)

, (3.7)

ahol A az ismeretlen mágneses vektorpoten iálokat, I az ismeretlen teker sáramokat

és U az teker s kap sainál ismert gerjeszt®feszültséget tartalmazó vektor. Az S a µpermeabilitással, azN a σ vezet®képességgel kap solatos mátrixok. A P a teker selésben

meginduló áramokhoz, míg Q a teker selés uxuskap solódáshoz tartozó mátrix. Az R

mátrix egy diagonális mátrix, melynek a f®átlóját a teker sek ellenállásának egyenáramú

összetev®i alkotják. Ennél a feladatnál egy teker s van, tehát az R mátrix 1 × 1 méret¶.A mintapéldát sztatikus mágneses a (3.3) és a (3.5) egyenletek felhasználásával és

örvényáramú a (3.3), a (3.4) és a (3.5) egyenletek felhasználásával esetben vizsgáltam.

A vizsgált feladat geometriájának felbontásához a GMSH [91, 92 szoftvert alkalmaztam.

50


0 2 4 6 8

·10−3

0

1

2

3

4

5

Id® [s]

Á

r

a

m

[A]

Analitikus

FEM - Sztatikus

FEM - Örvényáramú

3.2. ábra A szolenoid teker sében kialakuló áram id®függvénye az analitikus számítás,

és a sztatikus mágneses és örvényáramú szimulá ió alapján.

A gerjesztés a t = 0 id®pillanatban bekap solt 10 V amplitúdójú egyenfeszültség, amit

a feladathoz kap solódó mellékletben az F.2. ábra mutat.

A 3.2 ábra a szolenoid teker sében kialakuló áram id®függvényét mutatja. A numeri-

(a) Az A′mágneses vektorpoten iál.

(b) A mágneses uxuss¶r¶ség vektorai.

3.3. ábra A sztatikus mágneses megoldással kapott eredmények.

51


(a) Az A′mágneses vektorpoten iál.

(b) A mágneses uxuss¶r¶ség vektorai.

3.4. ábra Az örvényáramú megoldással kapott eredmények.

kusan kapott eredmények is jó egyezést mutatnak az analitikusan kapott, az (F.7) egyen-

letb®l származó eredménnyel. De az ábrán az is jól látszik, hogy az analitikusan számított

eredmény gyorsabban eléri az állandósult állapotot, mint a végeselem-módszerrel számí-

tott id®függvények. Ennek az oka, hogy a feladat valódi induktivitása nagyobb az anali-

tikus számítással kapott értéknél. Az analitikus számítás során a vasmagban lejátszódó

jelenségeket elhanyagolják. A numerikus térszámítással kapott megoldás gyelembe ve-

szi a vasmagban végbemen® jelenségeket, hogy a uxus a vasmagon is keresztülhalad.

Vagyis a végeselem-módszerrel nyert megoldások esetében az induktivitás értéke ponto-

sabb. A sztatikus mágneses és az örvényáramú megoldás között az eltérés nem sak az

induktivitás miatt van, hanem az örvényáramok következtében az RL-kör ellenállása is

változik.

Az el®bbi megállapításokat támasztja alá, ha megnézzük a 3.3. és a 3.4. ábrákat.

Sztatikus mágneses esetben a vasmag teljes keresztmetszetében haladnak az er®vonalak,

míg az örvényáramú esetet nézve, az örvényáramok következtében a mágneses uxus

kiszorul a vasmagnak a teker set körülvev® részére.

A bemutatott példával igazoltam a megvalósított végeselem-módszeren alapuló függ-

vénykönyvtár és az er®s satolás együttes alkalmazhatóságát sztatikus mágneses és ör-

vényáramú esetben. Az eredményekb®l pedig jól kit¶nik, hogy ilyen egyszer¶ geometri-

ával rendelkez® feladatnál is eltérést okoz a rendszer induktivitásának idealizálása és az

örvényáramok gyelembevétele vagy elhagyása.

52


3.3. A forgás gyelembevétele

Az irodalmi áttekintésben bemutatott súszófelület és mozgó sáv módszer helyes m¶-

ködésének igazolására a T.E.A.M. (Testing Ele tromagneti Analysis Methods) 30a teszt-

feladat [155,164,363,364 háromfázisú induk iós modellmotorját választottam. A feladat

méretei és paraméterei a tesztfeladat online is elérhet® leírásában találhatóak [365. A

modellmotor teljes mértékben megfelel a mozgás gyelembevételére alkalmazott mód-

szerek m¶ködésének vizsgálatára, mert a numerikus megoldása mellett az analitikusan

számított eredményei is ismertek [366. A tesztfeladat további el®nye, hogy a mozgás

vizsgálata mellett a nyomatékszámítási módszerek is vizsgálhatóak. A 3.5. ábra a motor

sematikus ábráját mutatja, ahol a piros szaggatott vonal a súszófelület vagy a mozgó

sáv helyét mutatja. Minden általam megoldott feladatnál, a súszófelület vagy a mozgó

sáv a légrés közepén helyezkedik el, ahogy az el®bb említett 3.5. ábrán is látható. A nyo-

maték értéke függ az er®kartól, ahogy az (B.1) vagy a (B.2) összefüggések is mutatják.

Ezért a nyomatékszámítás szempontjából lényeges, hogy a légrés melyik részén helyez-

kedik el a mozgás gyelembevételéhez szükséges sáv vagy réteg, ha ezeket használjuk a

nyomaték számítása során.

Miel®tt rátérek az eredmények bemutatására, ismertetem az általam kidolgozott,

a szakirodalomból ismert megvalósításoknál kisebb számítási igénnyel járó mozgó sáv

módszert. Ennél a feladatnál minden esetben ismert a szögsebesség, így a súszófelület

módszernél alkalmazható a legegyszer¶bb változata, a zárt lépéses módszer. Abban az

esetben, ha el®írjuk a mozgás sebességét vagy szögsebességét, a súszófelület és a mozgó

sáv módszernél nem sak az id®lépés, hanem az egy id®lépéshez tartozó szögelfordulás

is állandó lesz a teljes szimulá ió alatt.

Á

l

l

ó

r

é

s

z

-

A

é

l

A él

A

l

u

m

ín

i

u

m

Forgórész

L

e

v

e

g

®

-A

+A

+B

-B

+C

-C

3.5. ábra A T.E.A.M. 30a tesztfeladatból a háromfázisú induk iós motor.

53


3.3.1. Egyszer¶sített egyréteges mozgó sáv

A módszer irodalmának áttekintésénél már ismertettem a meglév® három módszer-

soportot [41, 106, 153, 189. A következ®kben bemutatom az általam kidolgozott vari-

áns [187 m¶ködését és összehasonlítom azt a meglév® módszerekkel.

Az én esetemben a kap solódási mátrixot változtatom az elmozdulásnak megfelel®-

en, mint a [41, 106, 153 irodalmakban, és az álló és mozgó rész peremén is ekvidisztáns

felbontást alkalmazok úgy, hogy a két peremen azonos számú somópont legyen. A mód-

szer m¶ködése során nem engedem, hogy a mozgó sávban lév® végeselemek torzulása az

elmozdulás miatt nagy legyen. Álló állapotban a mozgó sávban lév® elemeket a 3.6(a)

ábra mutatja. Ez a módszer is, a [153 ikkben és a [41 könyvben bemutatott módszer-

hez hasonlóan azon alapul, hogy az álló és mozgó rész peremén lév® elemek összekötése

után el®álló téglalapot diagonálisan tovább bontjuk háromszögekre. Az eltérés az elem

min®ségnek megállapításában és a háromszögek gyelembevételében van. Az elem min®-

ségéhez, egy a [41 irodalomban közöltnél kisebb számításigény¶ módszert alkalmazok.

1 2 3 4

5 6 7 8

α

Álló rész

Mozgó rész

(a) Mozgó sáv elemek alapállapotban.

1 2 3 4

5 6 7 8

α

Álló rész

Mozgó rész

(b) A mozgó sáv elemek deformálódása.

1 2 3 4

5 6 7 8

α

Álló rész

Mozgó rész

( ) A mozgó sáv elemek módosítása az elem min®ségének

függvényében.

3.6. ábra Egyszer¶sített egyréteges mozgó sáv m¶ködése.

54


A 3.6(a) ábrán jelölt α szöget vizsgálom,

Az elem min®sége =

jó : ha α ≤ 90,

nem jó : ha α > 90.(3.8)

A módszernél nin s szükség arra, hogy a mozgó sávban lév® elemekhez egy min®ségi

számot rendeljek, elegend® sak a fenti két állapotot vizsgálni. A 3.6(a) ábrán látha-

tó elem még pont jó, de bármilyen kis elmozdulás esetében módosítani kell. A 3.6(b)

ábrán a nyílnak megfelel® elmozdulás esetében az α szög nagyobb lesz 90-nál, ezért akap solódási mátrixot a 3.6( ) ábrának megfelel®en kell megváltoztatni. Ennél a mód-

szernél, a mozgó sávban lév® elemek teljesen egyformák, így elegend® sak egy elemre

vizsgálni a min®séget. Ezzel nagy mértékben sökkenthet® az eddig publikált megoldási

módszerekhez képest a számítási kapa itás.

Az általam kidolgozott módszer el®nye a [106 ikkben bemutatotthoz képest, hogy

gyelembe veszi a végeselemek torzulását, és annak megfelel®en változik a kap solódási

mátrix. A másik két módszerhez [41, 153, 189 képest pedig jóval kisebb számítási igé-

nye van, és a [189 ikkben bemutatottnál jóval egyszer¶bb megvalósítani a módszert.

Azonban a kevés vagy nagyméret¶ végeselemekkel felbontott légrés a módszer pontatlan-

ságához vezet. De mivel a légrésben a nyomatékszámítás pontosságának biztosításához

több (az ökölszabály szerint legalább öt) réteg végeselemet kell alkalmazni, ezért ez a

hátrány nem mutatkozik az eredményekben. Ezt az állításomat a következ®kben közölt

számítási eredményekkel is alátámasztom.

3.3.2. A szimulá iós eredmények bemutatása

A T.E.A.M. 30a feladat háromfázisú motorjánál hét szögsebességre közlik az ana-

litikusan számított eredménye, amely a nyomatékot is magában foglalja. A hét szög-

sebességhez tartózó nyomatékokat, mind az el®bb említett analitikus, mind a különféle

mozgást modellez® te hnikát alkalmazó végeselem-módszerrel kapott eredményeket, a

3.1. táblázatban foglaltam össze. Az analitikus megoldás a [365 irodalomból származik.

A COMSOL megoldás a COMSOL Multiphysi s [213 szoftverrel kapott eredményt je-

löli [155, mely a súszófelület módszert alkalmazza, ahol az álló- és mozgórész közötti

folytonosságot Lagrange-multiplikátorokkal teremti meg. A nyomatékot a Maxwell-féle

feszültségtenzor módszerrel számolja. A~v × ~B megoldás az általam implementált vé-

geselemeket alkalmazó programot jelöli a Minkowski-transzformá ióval gyelembe vett

mozgással. Itt szintén a feszültségtenzor-módszert alkalmazom a légrés közepére fel-

vett peremnél. Az analitikus megoldás mellett a COMSOL és a~v × ~B megoldásokat

numerikus referen ia megoldásnak szántam. A T.E.A.M. 30a feladat kiírójával, Kent

Davey professzorral folytatott konzultá iók alapján, az analitikus és numerikus megol-

dások közötti eltérés oka, nem sak a numerikus megoldás pontatlansága lehet, hanem

a nem elég magas fokú Bessel-függvények [30 alkalmazása az analitikus megoldás so-

rán. Ezt támasztják alá a szakdolgozatomban [155 és a [164 publiká iómban közölt

számítási eredmények is, ahol a mágneses vektorpoten iálon alapuló formalizmus mel-

lett, az áramvektor poten iálon alapuló formalizmussal is megoldottam a feladatot id®-

és frekven iatartományban.

A 3.1. táblázatban nem sak a különféle, forgás gyelembevételére alkalmas te hni-

kákat hasonlítom össze, hanem a két elterjedten alkalmazott nyomatékszámítási eljárást

is. Ez a két módszer a Maxwell-féle feszültségtenzor módszer (MST) [15, 153, 155 és

55


3.1. táblázat A számítással kapott nyomatékok összehasonlítása.

Szögsebesség

0 200 400 600 800 1 000 1 200

[rad/s]

Analitikus

3,8258 6,5050 -3,8926 -5,7593 -3,5907 -2,7005 -2,2499

[Nm]

COMSOL 3,5915 6,0207 -3,3980 -5,6397 -3,3783 -2,5473 -2,1251

[Nm] (6,124%) (7,445%) (12,706%) (2,076%) (5,915%) (5,673%) (5,547%)

~v × ~B 3,5884 5,9835 -3,2942 -5,3482 -3,3763 -2,5472 -2,1249

[Nm] (6,206%) (8,017%) (15,372%) (7,138%) (5,971%) (5,676%) (5,556%)

Mozgó sáv 3,5863 6,0139 -3,3938 -5,3615 -3,3720 -2,5416 -2,1191

MST [Nm] (6,261%) (7,549%) (12,814%) (6,907%) (6,09%) (5,884%) (5,813%)

Mozgó sáv 3,5818 5,9905 -3,3367 -5,5316 -3,5476 -2,7154 -2,2917

AM [Nm] (6,378%) (7,909%) (14,281%) (3,953%) (1,2%) (-0,55%) (-1,85%)

Csúszófelület 3,5902 5,9964 -3,3858 -5,5284 -3,3785 -2,5527 -2,1222

MST [Nm] (6,159%) (7,818%) (13,019%) (4,009%) (5,909%) (5,473%) (5,675%)

Csúszófelület 3,5847 5,9903 -3,3181 -5,3482 -3,3763 -2,5472 -2,1249

AM [Nm] (6,303%) (7,912%) (14,758%) (7,138%) (5,97%) (5,676%) (5,556%)

az Arkkio-módszer (AM) [41, 103. Mindkett®t egyaránt alkalmazom az általam java-

solt egyréteges mozgó sáv és a súszófelület módszernél, hogy megvizsgálhassam, melyik

két te hnika kombiná iója adja a legjobb eredményt. Az eredmények könnyebb össze-

hasonlíthatósága miatt a numerikusan számított nyomatékok analitikushoz viszonyított

százalékos értékét az eredmények alatt zárójelben közlöm.

Az összes numerikusan kapott eredményre igaz, hogy a legnagyobb eltérés a 400 rad/s

értéknél mutatkozik. Ennek egyik lehetséges oka a vizsgált gép szinkron fordulatszámá-

nak közelsége (≈ 377 rad/s), mert ezen a szakaszon a nyomaték - fordulatszám karakte-

risztika nagyon meredek, így kisebb szögsebességbeli hiba is nagy eltérést eredményez-

het a nyomaték értékében. A nyomaték szinkron fordulatszám körüli meredekségét a

3.7. ábra is jól mutatja. Ezen az ábrán 50 rad/s lépésközzel ábrázoltam a nyomatékot.

A táblázatban szerepl® nyomaték és hiba értékeket összehasonlítva, vagy a 3.7. ábrát

nézve az eredmények között nin s jelent®s eltérés, ha nem vesszük gyelembe a Arkkio-

módszerrel kombinált mozgó sáv módszernél a 800, 1 000 és 1 200 rad/s szögsebességnél

kapott értékeket.

A 3.1. táblázatban közölt eredményekb®l a mozgó sáv módszer az Arkkio-módszerrel,

és a súszófelület módszer a Maxwell-féle feszültségtenzor módszerrel adta a legjobb ered-

ményt. Ez össze seng a szakirodalommal, ahol ebben a két kombiná ióban alkalmazzák

legelterjedtebben ezeket a módszereket. A két legpontosabb módszernél azonban az

eredmények jól mutatják, hogy a mozgó sáv módszer a generátoros üzemben, a súszó-

felület pedig a motoros üzemben ad pontosabb eredményt. De míg a súszófelülettel

kapott eredménynél a hiba a többi numerikus megoldás hibájához hasonlóan változik,

addig a mozgó sáv esetében ez nem igaz. Ennél a módszernél a generátoros üzemben

56


0 200 400 600 800 1 000 1 200−8

−4

0

4

8

Szögsebesség [rad/s]

N

y

o

m

a

t

é

k

[Nm]

Analitikus

MB - MST

MB - AM

SS - MST

SS - AM

3.7. ábra A tesztfeladatnál kapott nyomtaték - szögsebesség karakterisztika.

a szögsebességgel együtt n® a hiba. Ezek alapján jóval megbízhatóbb módszernek t¶-

nik a súszófelület módszer. A továbbiakban, a kapott eredmények alapján a mozgás

gyelembevételére a súszófelület módszert a lineáris interpolá ióval, és a Maxwell-féle

feszültségtenzor módszerrel vagy az egyréteges mozgó sáv módszert az Arkkio-módszerrel

alkalmazom.

3.4. A feszültség és a me hanikai egyenlet gyelembe-

vétele

Az eddigiek során bemutattam egy-egy modellen keresztül a feszültségegyenlet er®s

satolását és a mozgás gyelembevételét. A mozgás gyelembevételére eddig ismertetett

módszer az állandósult állapot vizsgálatára alkalmas. A villamosenergia-átalakítók me-

hanikai jelenségei, és az abban fellép® tranziensek ismerete legtöbb esetben alapvet®,

ezért fontos gyelembe venni a (2.31) és a (2.32) egyenleteket. A me hanikai egyenlet

satolása önmagában nem nehéz, ha már megvalósításra került a mozgás gyelembevé-

telére alkalmas te hnika. A következ® mátrixegyenlettel lehet gyelembe venni a forgó

mozgáshoz a küls® terhelést, a tehetetlenséget és a különféle súrlódások hatását

1 −∆t

0 1 + ∆tK

s

J

ωt

Θt

=

ωt−∆t

Θt−∆t +∆t1

J

(

M t−∆tem

−MT

)

, (3.9)

ahol a fels® t index az aktuális, a t−∆t az el®z® id®pillanathoz tartozó mennyiséget jelöli.A M t−∆t

em

az el®z® id®lépésben számított elektromágneses nyomaték, az ωt−∆t, a Θt−∆t

az el®z® id®pillanathoz tartózó szögsebesség és szögelfordulás és ∆t a szimulá ió során

alkalmazott id®lépés. Ezek ismeretében lehet meghatározni az aktuális id®pillanathoz

tartozó Θtszögelfordulást és ωt

szögsebességet. Mindig az aktuális szögelfordulásnak

megfelel®en mozdul el a forgórész.

A me hanikai egyenlet gyelembevételére a súszófelület módszert és az egyréteges

mozgó sáv módszert az általam kidolgozott te hnikával alkalmazom, a módszerhez ha-

57


tékonynak talált nyomatékszámítással. Ezzel a feladattal szeretném igazolni, hogy az

általam kidolgozott módszer valós, ipari feladatok megoldására is alkalmas lehet.

A satolt szimulá ió bemutatásához egy négypólusú 3 kW-os kali kás forgórész¶

aszinkron motor modelljét alkalmazom. A motor állórész teker selése delta kap solású,

ami közvetlenül a háromfázisú hálózatra van kap solva. A sillag vagy delta kap solás a

numerikus szimulá iónál sak az el®írt gerjeszt®feszültség értékében, a fázisfeszültségben

(∆/Y - 400/230 V) jelent különbséget. A motor tengelyének iner iája 1, 469 ·10−2kgm

2,

a viszkózus súrlódás 3, 03 · 10−3Nms/rad és a tengelyre kap solt terhelés nyomatéka

65 Nm. A minél valóságosabb eredmények érdekében a teker sfej induktivitását is -

gyelembe vettem, amely 0,72 µH, a [367369 könyvek alapján. A motor névleges for-

dulatszáma 1420 fordulat/per . A feladat a ONELAB (Open Numeri al Engineering

LABoratory) nyílt forráskódú, a végeselem-módszert alkalmazó szoftver [370 mintapél-

dái közül származik, ahol megtalálhatóak az aszinkron motor pontos geometriai adatai

és az anyagparaméterei. A me hanikai egyenlet gyelembevételét az aszinkron motor

közvetlen hálózatról történ® indításán keresztül demonstrálom [371, az el®z®leg már

megadott terhelés mellett.

A végeselem-módszerrel kapott eredményeket a 3.8., a 3.9. és a 3.10. ábrák mutat-

ják, amelyek jól össze sengenek az irodalomban található [372, 373 és a G. függelékben

közölt eredményekkel. A 3.8. ábrán a motor fordulatszám id®függvénye látható. Az

ábra jól mutatja, hogy miért fontos a me hanikai egyenlet gyelembevétele, mert nél-

küle nem lenne semmiféle informá iónk a gép dinamikus viselkedésér®l, a tranziensek

lefolyásáról. Az adott terhelés mellett 0,2 másodper kell ennek az elektrome hanikai

rendszernek az állandósult állapot eléréséhez. A motor fordulatszáma az adott terhelés

mellett 1285,5 fordulat/per , vagyis a szlip 9,5%. Ezek mellett, az ábrán látható ered-

mények jól mutatják, hogy valós problémák esetében, közel azonos s¶r¶ diszkretizálás

mellett nin s jelent®s eltérés a két módszerrel kapott eredmény között [41,209. A 3.9. áb-

ra a vizsgált motor nyomatékát ábrázolja az id® függvényében, az egyréteges mozgó sáv

módszerrel végzett számításból. A súszófelülettel kapott eredmény és az ábrázolt között

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25−500

0

500

1 000

1 500

Id® [s]

F

o

r

d

u

l

a

t

s

z

á

m

[ford./perc]

Mozgó sáv

Csúszófelület

3.8. ábra Az aszinkron motor fordulatszáma az id® függvényében közvetlen indításnál.

58


0 4 · 10−2 8 · 10−2 0.12 0.16 0.2−400

−200

0

200

400

Id® [s]

N

y

o

m

a

t

é

k

[Nm]

3.9. ábra Az aszinkron motor nyomaték id®függvénye.

0 4 · 10−2 8 · 10−2 0.12 0.16 0.2−40

−20

0

20

40

Id® [s]

F

á

z

i

s

á

r

a

m

[A]

L1 fázis

L2 fázis

L3 fázis

3.10. ábra Az aszinkron motor három fázisában kialakuló áramok közvetlen indítás-

nál.

nin s szignikáns eltérés. A nyomaték id®függvényben látható nagy lüktetés egyik oka,

hogy a kétdimenziós szimulá ió során a forgórész kali karúdjainak ferdítését nem vettem

gyelembe [374376. A 3.10. ábra az egyes fázisokban kialakuló áramokat mutatja. Itt

szintén az egyréteges mozgó sávval kapott eredményt ábrázoltam, de itt sin s számottev®

eltérés az ábrázolt és a súszófelülettel kapott eredmény között. A 3.10. ábrán látható

id®függvények jól demonstrálják, hogy közvetlen indításnál milyen nagy áramot vesz fel

a hálózatból a gép. A gép névleges árama delta kap solásban 12,3 A, amíg az ábrán

jól látható, hogy az L2 és az L3 fázisokban van, hogy 30 A-nél nagyobb az áramer®sség

amplitúdója.

59


3.5. Új tudományos eredmények

Realizáltam egy olyan végeselem-módszeren alapuló satolt elektrodinamikai modellt,

aminek a bemenete alkalmas tetsz®leges elektronikával történ® összekap solásra, és amely-

nél kimenetként már rendelkezésre állnak a me hanikai mozgás jellemz®i (Mem

, Θ, ω). Ame hanikai mozgás gyelembevételére implementált te hnikákhoz jól alkalmazható nyo-

matékszámítási módszerre is javaslatot tettem. Az egyréteges mozgó sáv módszerhez ki-

dolgoztam egy új eljárást, ami a szakirodalomból ismert megvalósításoknál kisebb szá-

mítási igénnyel jár, és a sávban lév® elemek torzulását is gyelembe veszi. A kidol-

gozott módszer kétdimenziós szimulá iókban történ® alkalmazhatóságát egy nemzetkö-

zi tesztfeladaton és egy kali kás forgórész¶ aszinkron motor modelljén keresztül igazol-

tam [95,155,164,187,188,364,377381.

(a) Realizáltam egy Matlab-szkript és C-programozási nyelven írt, a végeselem-mód-

szert alkalmazó függvénykönyvtárat olyan módon, hogy a feszültségegyenlet köz-

vetlen satolásával és a me hanikai egyenlet gyelembevételével együtt alkalmas a

tartomány dekompozí ión alapuló párhuzamosításra. Az elkészült függvénykönyv-

tár m¶ködését három példán keresztül igazoltam. A vasmagos szolenoid numerikus

szimulá iójával kapott eredményekkel demonstráltam a modell pontosságának je-

lent®ségét.

(b) A mozgás gyelembevételére használt egyréteges mozgó sáv módszerhez kidolgoz-

tam egy, a szakirodalomból ismert variánsoknál kisebb számítási igénnyel járó mód-

szert kétdimenziós szimulá iókhoz. A módszer gyelembe veszi az elemek mozgása

során bekövetkez® deformá ióját, és elegend® sak egy elem torzulását vizsgálni,

miáltal sökken a m¶veletigény.

( ) Egy nemzetközileg kiírt tesztfeladaton keresztül igazoltam, hogy az általam ki-

dolgozott módszer alkalmas a forgórész mozgásának gyelembevételére. A me-

hanikai egyenlet satolását egy aszinkron motor kétdimenziós modelljén keresztül

demonstráltam. A szimulá ióval kapott eredmények jól mutatják, hogy az általam

kidolgozott módszer alkalmas a me hanikai tranziensek vizsgálatára is. A kidolgo-

zott módszerrel, valamint a súszófelület módszerrel kapott eredmények jó egyezést

mutatnak, és össze sengenek a szakirodalomban fellelhet® eredményekkel is.

(d) Megvizsgáltam a me hanikai mozgást megvalósító te hnikáknál a Maxwell-féle fe-

szültségtenzor módszer és az Arkkio-módszer pontosságát. A kapott eredmények

alapján javaslatot tettem az egyes módszerekhez hatékonyan alkalmazható és köny-

nyen illeszthet® nyomatékszámítási eljárásra, vagyis a mozgósáv módszernél az

Arkkio-módszerrel, a súszófelület módszernél a Maxwell-féle feszültségtenzor mód-

szerrel érhet® el a pontosabb eredmény.

60

4. FEJEZET

Modell párhuzamosítása tartomány

dekompozí ióval

4.1. Motivá ió

Numerikus szimulá iók esetében nagyon ritka eset az, amikor a szimulá ió nem jár

együtt nagy számítási- és memóriaigénnyel. Az ilyen típusú mérnöki munkákhoz a leg-

több számítógépgyártó valamilyen munkaállomást (workstation) ajánl, amely napja-

inkra többmagos pro esszorral és jelent®s bels® memóriával rendelkezik. Azonban az

ilyen típusú gépek amellett, hogy magas az áruk, sem képesek a legnagyobb feladatok-

kal megbirkózni. A nagy számítási igénnyel járó numerikus feladatok megoldására az

egyik lehet®ség a párhuzamosítás, hiszen napjainkban már vannak olyan mobiltelefonok

is, amelyek többmagos pro esszorral rendelkeznek, új számítógép pedig sak többma-

gos pro esszorral vásárolható. Tehát a párhuzamosításhoz a hardver rendelkezésre áll.

De adott esetben, ahogy az irodalmi áttekintésben is szerepel, régi, használaton kívüli

gépekb®l is összeállítható egy klaszter, ami alkalmas a párhuzamosításra.

A számítógépes szimulá ió párhuzamosításának két f® élja van: a számítás felgyor-

sítása, és a nagy méret¶ feladatok megoldása. Az én esetemben a végeselem-módszer

párhuzamosításával a számítás felgyorsítása a f® él, de a rendelkezésre álló számítási

teljesítmény tükrében a másik szempont sem elhanyagolható. A dolgozat egyik élki-

t¶zése, a numerikus modell szabályozási körbe való illesztése. De a numerikus modell

szabadságfokainak száma nagyságrendekkel nagyobb, mint általában a szabályozott sza-

kasz modellje, mely jelent®s növekedést eredményez a szabályozási rendszer szimulá ió-

jának futási idejében. A megnövekedett szimulá iós id®t a párhuzamosítás lehet®ségének

kihasználásával szeretném sökkenteni.

A párhuzamosításra a szilárdságtani és áramlástani problémák numerikus analízi-

sében elterjedten alkalmazott tartomány dekompozí iót alkalmazom. Azon belül is a

S hurkomplemens-módszert és a FETI-módszert. A párhuzamosításon felül, dolgo-

zatomban élom ezeknek a módszereknek az elektromágneses térszámításban való al-

kalmazhatóságának és hatékonyságának igazolása, ezzel megalapozva a szélesebb kör¶

alkalmazásukat ezen a tudományterületen belül. Ennek érdekében a vizsgálataim során

az elektromágneses térszámításban a szinte kizárólagosan alkalmazott strukturálatlan

felbontást alkalmazom a tématerületen el®forduló problémáknál.

A számítások futtatását egy SUN Fire X2250 típusú számítógépen végeztem. A

számítógép két Quad-Core Intel

R©Xeon

R©5400 pro esszorral, azaz összesen 8 zikai pro-

esszormaggal és 32GB osztott memóriával rendelkezik. A számítógépen Linux operá iós

rendszer futott a számítások elvégzésekor.

61


A számítások során az eredeti feladatot mindig az alkalmazott pro esszormagok

számával egyez® altartományra bontottam fel. Az összes iteratív megoldóknál ugyan-

azt a konvergen iakritériumot alkalmaztam, ξ = 10−8, melynek összefüggése a S hur

komplemens-módszernél a 1. Algoritmus 19. sorában (35. oldal) található, a FETI-

módszernél pedig a (2.62) egyenlet deniálja.

A párhuzamosítás mértékének egyik alapvet® összehasonlítási mennyisége a teljes

számítás futási ideje. A közölt id®eredményeket a következ® képlettel számítottam:

TDDM

=1

run− 2

(

run∑

i=1

Ti −min T1, . . . , Trun −max T1, . . . , Trun

)

, (4.1)

ahol Ti (i = 1, . . . , run) a futtatással kapott végrehajtási id® (wall- lo k time) és runa futtatások száma. A mérési pontatlanság miatt az összes szimulá iót tizenötször fut-

tattam le (run = 15), majd a kapott id®kb®l a legkisebb és a legnagyobb id®t kivéve a

maradék tizenhárom érték számtani középértékét határoztam meg. A végrehajtási id®

mellett a másik mennyiség, melyen keresztül a párhuzamos algoritmusok összehasonlít-

hatóak a gyorsítás mértéke. A gyorsítást a következ®képpen számítottam [233,317,382:

SNP

=TN

P

Tbase

(4.2)

ahol Tbase

a szekven iális számítás végrehajtási ideje, vagy olyan esetben, ahol a feladat

mérete miatt ez nem lehetséges, a legkevesebb pro esszormaggal végzett számítás ideje.

A TNP

az adott altartományra felbontott feladathoz tartózó végrehajtási id®, ahol az NP

alsó index az alkalmazott pro esszormagok számát jelöli.

A fejezet élja megvizsgálni kétdimenziós feladatokra, melyik tartomány dekompozí-

iós módszer alkalmasabb a satolástól mentes és a satolt sztatikus mágneses és örvény-

áramú feladatok megoldására, és milyen direkt vagy iteratív megoldó eljárással. A

me hanikai egyenlettel satolt feladatoknál megvizsgálom a mozgás következtében vál-

tozó kap solódási mátrixszal rendelkez® diszkretizálás hatását a párhuzamosításra, és

javaslatot teszek az ilyen típusú feladatok felbontására. Ezen felül igazolni szeretném,

hogy a FETI-módszernél eredetileg prekondi ionálónak javasolt te hnika alkalmas a di-

rekt megoldóként történ® alkalmazásra.

Sztatikus mágneses feladatként egy egyfázisú transzformátort, elektrosztatika példa-

ként pedig egy párhuzamos fegyverzet¶ kondenzátort vizsgálok. Örvényáramú tesztfel-

adatként szintén az egyfázisú transzformátort vizsgálom. A satolt feladat párhuzamosí-

tásánál a feszültségegyenlettel összekap solt hengerszimmetrikus szolenoidot vizsgálom

(lásd 3.1. ábra). A feszültség- és me hanikai egyenlettel satolt párhuzamosított feladat-

ként az el®z®ekben már röviden bemutatott közvetlen indítású 3 kW-os aszinkron motort

alkalmazom. A motor példáján keresztül vizsgálom a me hanikai mozgásból származó

hatásokat a különböz® megoldási módokra, ha nem sak álló- és mozgó részre bontom a

feladatot, hanem még altartományokra is.

De miel®tt rátérnék a párhuzamosított elektrodinamikai problémák eredményeinek

ismertetésére, bemutatom az általam direkt megoldási módszernek alkalmazott eljárást.

4.2. FETI-módszer Direkt megoldó algoritmus

A szakirodalom alapján a FETI-módszerhez mindig iteratív megoldó algoritmust al-

kalmaznak, mert az hatékonyabban kezeli a nagy és szinguláris altartományokat tartal-

62


mazó feladatokat. Azonban a dolgozatban kit¶zött gyorsítási élokhoz, kis duális feladat

((2.51) egyenlet) mellett egy direkt megoldó eljárás hatékonyabb lehet a nagy egyenlet-

rendszerekhez kidolgozott iteratív algoritmusoknál.

A következ®kben bemutatásra kerül® direkt megoldó eljárás eredetileg egy prekondi i-

onáló az iteratív megoldó algoritmushoz [311,383, melyet az általam ismert szakirodalom

alapján én alkalmaztam el®ször, mint direkt megoldó eljárást. A direkt megoldó alap-

ötlete a [311 ikkb®l származik, ahol a szerz®k egy megjegyzésként említik, hogy a Q

és λ megfelel® megválasztása következtében a λ0 partikuláris megoldásra már a pontos

megoldást kapjuk. Én a [311 irodalomban említetteken annyit változtattam, hogy ami

a ikkben λ00-ként szerepel, az nálam λ0, és ami a ikkben λ0, nálam az lett a λ, ahogy

a témához kap solódó publiká ióimban is szerepel [293, 294, 317, 382.

Az általam direkt megoldási eljárásnak javasolt módszer esetében a Q = F

†I , és a

λ = F

†Id alkalmaztam [293,294, 311, 317.

Ha a (2.53) egyenletbe behelyettesítünk, és a elvégzünk néhány átalakítást a (2.51)

egyenlet pontos megoldását kapjuk,

λ = F

†IGI

(

G

TI F

†IGI

)−1

e+

(

I− F

†IGI

(

G

TI F

†IGI

)−1

G

TI

)

F

†Id =

= F

†IGI

(

G

TI F

†IGI

)−1

e+ F

†Id− F

†IGI

(

G

TI F

†IGI

)−1

G

TI F

†Id =

= F

†I

(

d−GI

(

G

T

I F†IGI

)−1 (

G

T

I F†Id− e

)

)

=

= F

†I (d−GIα) ,

(4.3)

ahol α =(

G

TI F

†IGI

)−1 (

G

TI F

†Id− e

)

. Az el®bb levezetett két egyenlet el®állítható a

(2.51) egyenletb®l is, de ez sak amiatt van, mert Q = F

†I .

4.3. Statikus problémák párhuzamosított megoldása

Ahogy már a motivá ióban említettem, statikus feladatként egy egyfázisú transzfor-

mátort és egy párhuzamos fegyverzet¶ kondenzátort vizsgálok. Az egyfázisú transzfor-

mátor mintapéldája a [40 könyvb®l származik, ezért a feladat pontos leírásáról geo-

metriai és anyagparaméterei is ott található részletes leírás. A párhuzamos fegyverzet¶

kondenzátor részletes leírása a [42 könyvben található. Ennél a két példánál vizsgálni

fogom a 2. fejezetben bemutatott két tartomány dekompozí iós módszert és a hozzájuk

kap soló direkt és iteratív megoldó eljárásokat. A élom ezzel a vizsgálattal meghatároz-

ni, melyik módszer, milyen megoldó algoritmussal a legalkalmasabb ilyen típusú feladat

párhuzamosított végeselem-módszerrel történ® megoldására. A statikus feladatoknál a

S hurkomplemens-módszer iteratív megoldó algoritmusához a Ja obi-prekondi ionálót

alkalmazom.

A számításokat a két mintapéldán keresztül három esetben vizsgáltam. Az els® két

esetben a teljes feladatot oldottam meg, ami a transzformátornál 55 933, a kondenzá-

tornál 37 661 ismeretlent jelent. Majd harmadik példaként a transzformátor negyedét

vizsgáltam, kihasználva a szimmetriasíkokat, hogy a felbontott feladat tartalmazzon le-

beg® altartományt, vagyis lesz olyan altartomány, ahol az együtthatómátrix szinguláris

lesz. Ebben az esetben az ismeretlenek száma 71 655.

63


4.3.1. Elektrosztatika feladat párhuzamosított megoldásának ered-

ményei

A (2.7) egyenlet átalakítható az elektrosztatika példák megoldása során el®álló Lapla e-

Poisson egyenletté, ha a ν helyett ε permittivitást, az egykomponens¶ vektorpoten iál

helyett V elektromos skalárpoten iált, és a gerjesztést jelent® árams¶r¶ség helyett ρtöltéss¶r¶séget írunk,

−∇ · (ε∇V ) = ρ, (4.4)

ahol ε = ε0εr, ε0 = 8, 8541 · 10−12As/Vm a vákuum permittivitása és ε

r

a relatív

permittivitás.

A 4.1. táblázatban a számításokhoz tartózó végrehajtási id®k találhatóak. Az NP

az

alkalmazott pro esszormagok, és ezzel együtt az altartományok számát jelöli, az NDoF

az egy altartományhoz tartozó átlagos ismeretlenek száma. A táblázat fejlé ének alsó

sorában szerepl® rövidítések az iteratív algoritmusokat jelölik, a PCG a prekondi ionált

konjugált gradiens módszert, az MCG a módosított, a PMCG a prekondi ionált mó-

dosított konjugált gradiens módszert jelöli. A táblázatban közölt id®eredmények is jól

mutatják, hogy a párhuzamosítással sikerült elérni a élkit¶zéseket, mivel a TDDM

id®

folyamatosan sökken, ahogy az NP

n®. Azonban ennél jóval szemléletesebb az elért

gyorsítást ábrázolni. A vizsgált feladat egypro esszoros megoldásának a végrehajtási

ideje T1 = 87,91 másodper , ehhez az id®höz hasonlítom a 4.1. táblázatban közölt id®-

eredményeket. Az elért gyorsítások görbéit a 4.1. ábra mutatja. Az ábrából jól látszik,

hogy a FETI direkt megoldó rutinnal sikerült a legnagyobb gyorsítást elérni. Emellett

még a S hurkomplemens-módszer két megoldó eljárásával is közel azonos, nyol szoros

gyorsítást sikerült elérni. A FETI-módszer két iteratív megoldó algoritmusa is több mint

hétszeresére (FETI MCG) illetve hatszorosára (FETI PMCG) gyorsította a számítást.

Az eredmények alapján a FETI direkt megoldó rutinja a leghatékonyabb a gyorsítás

szempontjából, azonban ennek egyik oka a feladat mérete, a másik pedig a lebeg® al-

tartomány hiánya. De ennek a feladatnak az eredményei jól demonstrálják, hogy ilyen

4.1. táblázat A S hurkomplemens és a FETI-módszerek végrehajtási ideje elek-

trosztatika példánál.

NP

NDoF

TDDM

[s]

S hurkomplemens FETI

Direkt PCG Direkt MCG PMCG

2 19 014

83,39 58,13 48,77 51,00 57,13

3 12 713

43,01 30,13 26,34 29,58 32,95

4 9 613

29,81 20,15 18,02 22,57 25,48

5 7 671

23,87 17,10 14,38 19,03 20,94

6 6 402

16,25 14,81 12,29 16,25 17,02

7 5 490

13,81 12,28 09,70 13,10 15,85

8 4 865

10,89 10,81 09,491 11,81 13,38

64


2 3 4 5 6 7 81

2

4

6

8

10

Pro esszormagok száma

G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

S hur Direkt

S hur PCG

FETI Direkt

FETI MCG

FETI PMCG

4.1. ábra Az elektrosztatika példánál elért gyorsítás.

típusú és méret¶ feladatnál a FETI-módszerhez direkt megoldási eljárásnak javasolt

módszer hatékonyabb, mint a széles körben alkalmazott megoldó algoritmusok vagy a

S hurkomplemens-módszer.

4.3.2. Az egyfázisú transzformátor párhuzamosított megoldásá-

nak eredményei

A következ®kben vizsgált példa egy köpeny típusú, egyfázisú transzformátor, mely-

nél nem használtam ki a szimmetriasíkok adta egyszer¶sítési lehet®ségét, így a teljes

feladatot vizsgáltam. A feladat felépítése a 4.2. ábrán látható. A teljes feladatra a

(2.7) egyenletet oldottam meg a peremekre el®írt Diri hlet-peremfeltétellel (a 4.2. ábrán

ΓB-vel jelöltem), tehát ebben az esetben sem volt lebeg® altartomány, mint az elektro-

sztatika példánál.

ΓB

ΓH

ΓB ΓB

ΓB

ΓB

(a) Az egész és negyed feladat sematikus ábrája a

peremfeltételekkel.

(b) A negyed transzformátor megoldása az er®vo-

nalakkal.

4.2. ábra A vizsgált egyfázisú köpeny típusú transzformátor.

65


4.2. táblázat A S hurkomplemens és a FETI-módszerek végrehajtási ideje sztati-

kus mágneses példánál.

NP

NDoF

TDDM

[s]



2 28 094

141,65 126,80 136,70 131,07 128,19

3 18 992

064,50 060,91 063,19 062,92 063,51

4 14 475

040,06 040,11 040,45 041,64 040,66

5 11 837

030,43 031,94 031,83 032,18 033,40

6 10 101

024,07 023,87 023,27 025,62 030,37

7 08 844

020,07 022,76 019,64 022,68 026,44

8 07 935

019,12 020,59 018,10 022,27 026,59

Az egyes megoldó rutinokhoz tartozó végrehajtási id®ket a 4.2. táblázatban közlöm.

Az id®eredmények itt is jól mutatják, hogy eredményes volt a párhuzamosítás. Az id®-

eredményeknél, a két pro esszormagos esetben (NP

= 2) az id®ket összehasonlítva jól

látszik, hogy mind a S hurkomplemens-módszernél, mind a FETI-módszernél az ite-

ratív megoldóknál a legkisebb a feladat megoldásához szükséges id®. Ez jól mutatja, hogy

egy bizonyos altartományhoz tartozó elemszám fölött az iteratív megoldó hatékonyabb,

mint a direkt megoldó. Ez az elemszám függ a feladattól is, de a szakirodalom és a

saját tapasztalataim alapján, ha egy altartományhoz NDoF

≥ 20 000 25 000 ismeretlen

tartozik, akkor az iteratív megoldó már hatékonyabb.

Az eredmények könnyebb összehasonlíthatósága végett, itt is ábrázolom az egyes

megoldó algoritmusoknál elért gyorsítást a szekven iális megoldás végrehajtási idejéhez

2 3 4 5 6 7 81

3

5

7

9

11


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

S hur Direkt

S hur PCG

FETI Direkt

FETI MCG

FETI PMCG

4.3. ábra A sztatikus mágneses példánál elért gyorsítás.

66


viszonyítva. A szekven iális megoldás végrehajtási ideje 192,93 másodper . A gyorsítás

görbéinél jól látható, hogy öt pro esszormagig mindegyik megoldó rutin közel azonos

hatékonysággal oldja meg a feladatot, de NP

= 5 után már nagy eltérés mutatkozik az

egyes megoldó rutinok között. A FETI két iteratív megoldó eljárásánál az úgynevezett

telítés is meggyelhet®. A telítés oka, hogy hiába sökken az altartományokhoz tartózó

elemszám, mert az altartományok száma n®, és ezzel együtt a mesterséges peremen

lév® ismeretlenek és a Lagrange-multiplikátorok száma is. Tehát a pro esszormagok

közötti kommuniká ió is egyre nagyobb id®t jelent a feladat megoldásához képest a teljes

végrehajtási id®b®l.

Ennél a feladatnál a két direkt megoldó rutin, azok közül is a FETI-módszer direkt

megoldó eljárása bizonyult a leghatékonyabbnak, amellyel közel 11-szeres gyorsítást si-

került elérnem NP

= 8 esetében. Az iteratív algoritmusok közül a S hurkomplemens-

módszerhez tartózó prekondi ionált konjugált gradiens módszerrel értem el a legnagyobb

gyorsítást.

4.3.3. A negyed transzformátor párhuzamosított megoldásának

eredményei

A harmadik sta ionárius példa az el®z®leg vizsgált transzformátornak a negyede, ahol

kihasználom a szimmetriasíkok adta egyszer¶sítési lehet®séget. A két szimmetriasík kö-

zül az egyik Neumann-peremfeltétel lesz (a 4.2. ábrán ΓH-val jelöltem), ahol a mágne-

ses térer®sség tangen iális komponense zérus, másik pedig a küls® peremhez hasonlóan

Diri hlet-peremfeltétel (ΓB), ahol a mágneses uxuss¶r¶ség normál irányú komponense

zérus. Ennél a példánál a lebeg® altartomány hatását vizsgálom a FETI-módszer di-

rekt és PMCG megoldási eljárásánál. A módosított konjugált gradiens (MCG) módszert

ebben az esetben nem tudom alkalmazni, mert nem tudja a lebeg® altartományokat ke-

zelni. A S hurkomplemens-módszernél nem jelent problémát a Diri hlet-peremfeltétel

nélküli altartomány.

Ennél a feladatnál legalább öt részre kellett bontottam a feladatot, ahogy azt a

4.4. ábra mutatja. Így mindig lesz olyan altartomány a feladatban, amelyhez egyál-

talán nem kap solódik Diri hlet-peremfeltétel. Tehát itt minden esetben lesz szingulá-

ris együtthatómátrixszal rendelkez® (lebeg®) altartomány a FETI-módszernél. Az így

4.4. ábra A transzformátor diszkretizálásának felbontása öt altartományra.

67


4.3. táblázat A S hurkomplemens és a FETI-módszerek végrehajtási ideje a

Neumann-peremfeltételt tartalmazó sztatikus mágneses példánál.

NP

NDoF

TDDM

[s]


Direkt PCG Direkt PMCG

5 15 065

271,83 217,95 305,83 307,11

6 13 054

236,25 191,01 292,21 295,03

7 11 334

185,65 173,71 207,03 288,99

8 10 184

157,21 149,17 174,13 258,08

kapott id®eredményeket a 4.3. táblázatban foglaltam össze. Ebben az esetben nin s

szekven iális megoldás, ezért a gyorsítás számításánál mindegyik megoldó rutinnál az

NP

= 5 végrehajtási id®höz viszonyítottam az id®eredményeket. A 4.5(a) ábrán látható

görbéknél az összes esetben önmagához viszonyítva mutatja az elért gyorsítást. Ez alap-

ján a két direkt megoldó t¶nik a leghatékonyabbnak, legalábbis önmagához képest ezen

két megoldó eljárásnál sikerült a legnagyobb mértékben tovább gyorsítani a számítást.

De ezen ábrán keresztül nem lehet ténylegesen összehasonlítani a megoldási eljárásokat,

emiatt ábrázoltam a végrehajtási id®t a 4.5(b) ábrán. Ebb®l az ábrából már jól látszik,

hogy a leggyorsabb a S hurkomplemens-módszer iteratív algoritmusa volt. Ennél az

ábránál az is jól látható, hogy a szinguláris altartomány miatt a FETI-módszer megol-

dó rutinjai nehezebben állítják el® a megoldást, míg az el®z® példáknál a FETI direkt

megoldó eljárása volt a leggyorsabb.

5 6 7 81

1.2

1.4

1.6

1.8


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

S hur Direkt

S hur PCG

FETI Direkt

FETI PMCG

(a) A példánál elért gyorsítás.

5 6 7 8140

185

230

275

320


V

é

g

r

e

h

a

j

t

á

s

i

i

d

®

[s]

(b) A példa megoldásához szükséges id®.

4.5. ábra A Neumann-peremfeltételt tartalmazó sztatikus mágneses példánál kapott

eredmények.

68


4.4. Örvényáramú feladat párhuzamosított megoldása

Örvényáramú tesztfeladatként szintén az egyfázisú transzformátort (lásd 4.2. ábra)

vizsgálom. Az els® esetben az egész feladatot, majd a szimmetriákat kihasználva, sak

a feladat negyedét vizsgálom. Örvényáramú esetben a [40 könyvben található stati-

kus példán két dolgot változtatok. Figyelembe veszem a vasmag vezet®képességét, ami

σ = 1 · 106 S/m, de a vastest lemezelését elhanyagolom és az eredetileg konstans ger-

jesztés helyett azzal azonos amplitúdójú 50 Hz-es szinuszos gerjeszt®áramot írok el®. A

feladat megoldásánál a vasmagra a (2.18) egyenletet alkalmazom. De mivel a feladat

gerjesztéseként a teker s árams¶r¶ségét írom el®, ezért az elektromos skalárpoten iált

nullának választottam. A feladatot nullától 0,2 másodper ig, vagyis 10 periódust vizs-

gáltam, ahol a teljes id®tartományt 4 000 id®lépésre bontottam fel.

4.4.1. Az egész transzformátor párhuzamosított megoldásának e-

redményei

A számítás idejének jobb összehasonlíthatóság végett egy periódus átlagos végrehaj-

tási idejét adom meg. Azért élszer¶bb így megadni az id®t, valamint ezt használni

az összehasonlításhoz, mert például a FETI-módszernél a leképezési mátrixot vagy a

S hurkomplemensnél a redukált feladat leképezési mátrixát sak egyszer kell el®állí-

tani ami az egyes módszerek sajátossága, és jelent®s számítási id®vel járnak együtt az

id®lépés iterá iójához képest. Emellett így hangsúlyosabban szerepel az id®eredményben

a megoldás el®állítására fordított id®. A teljes transzformátor vizsgálatánál az ismeret-

lenek száma 55 933. A 4.4. táblázatban közölt id®eredmények az átlagos periódusid®t

jelentik.

Az id®eredményekb®l jól látszik, hogy ha nagy az altartományhoz tartozó elemszám,

az iteratív algoritmusok gyorsabban megoldják a feladatot. De az egyes megoldó rutinok

közötti kezdeti eltérés az altartományok méretének sökkenésével egyre kisebb lesz. A

4.4. táblázat A S hurkomplemens és a FETI-módszerek végrehajtási ideje az egész

transzformátornál az örvényáramok gyelembevételével.

NP

NDoF

TDDM

[s]



2 28 094

1 196,49 1 001,01 1 083,80 997,38 1 005,20

3 18 992

0810,06 0671,41 0725,47 0629,58 0687,22

4 14 475

0612,17 0506,81 0524,54 0468,06 0540,33

5 11 837

0482,21 0400,94 0449,24 0386,41 0462,80

6 10 101

0338,90 0353,19 0352,00 0334,07 0378,78

7 08 844

0299,35 0317,56 0306,36 0285,95 0320,71

8 07 935

0279,71 0293,12 0301,39 0281,44 0276,05

69


2 3 4 5 6 7 81

2.2

3.4

4.6

5.8

7


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

S hur Direkt

S hur PCG

FETI Direkt

FETI MCG

FETI PMCG

4.6. ábra Az egész transzformátornál elért gyorsítás az örvényáramok gyelembevé-

telével.

S hurkomplemens direkt megoldási módszerénél gyelhet® meg, hogy NP

= 5 után

jelent®sen sökken a számítás ideje. Nyol pro esszormag alkalmazásánál a FETI PMCG

megoldó algoritmus bizonyult a leggyorsabbnak ilyen örvényáramú feladatoknál, melynél

a végrehajtási id®ket nézve, egy közel lineáris sökkenést mutat ahogy n® az altartomá-

nyok száma.

Az el®bbi állításaimat jobban szemlélteti a megoldó rutinoknál elért gyorsítások gör-

béje, amit a 4.6. ábra mutat. A végrehajtási id®ket a szekven iális megoldás idejéhez

hasonlítottam, ami 1 767,12 másodper . A görbéket nézve, a megoldó eljárások között

nin s jelent®s eltérés örvényáramú esetben, ha nin s szinguláris együtthatómátrix egyik

altartományban se. A görbék az altartományok számának növekedésével közel lineári-

san emelkednek vagyis skálázható és nin s olyan nagy eltérés, mint a hasonló méret¶

sztatikus mágneses feladat esetében.

4.4.2. A negyed transzformátor párhuzamosított megoldásának

eredményei

A feladat felbontása ebben az esetben 90 386 lineáris háromszögelemb®l áll, ami

45 192 ismeretlent jelent. A számításból kapott átlagos végrehajtási id®ket a 4.5. táblá-

zatban közlöm. Itt sem szerepel a FETI-módszer megoldó rutinjaként az MCG algorit-

mus, mert öt altartomány esetében már itt is van lebeg® altartomány.

A 4.5. táblázatban a FETI-módszer végrehajtási idejeinél jól meggyelhet®, hogy

a lebeg® altartomány szingularitása miatt mennyire megn® a számítási id®. Az id®

növekedésének egyik f® oka a nulltér és a pszeudo inverz el®állítása. Valamint, itt jobban

kit¶nik, mint a sztatikus mágneses feladatnál a S hurkomplemens-módszer el®nye a

FETI-módszerhez képest, ha a feladatban van lebeg® altartomány.

Az elért gyorsítást a szekven iális megoldás végrehajtási idejéhez viszonyítottam,

ami 1 037,37 másodper . Az elért gyorsítást a pro esszormagok számának függvényé-

ben a 4.7. ábra mutatja. Az ábrán sokkal szembet¶n®bb a szinguláris altartomány ha-

tása a FETI-módszer megoldó eljárásainál, öt altartománynál (NP

= 5) visszaesik a

70


4.5. táblázat A S hurkomplemens és a FETI-módszerek végrehajtási ideje az

örvényáramú transzformátor negyedénél.

NP

NDoF

TDDM

[s]



2 22 738

766,01 768,86 843,62 772,57

3 15 581

448,56 449,93 457,19 477,27

4 12 148

282,54 270,94 274,88 287,03

5 9 038

168,26 191,75 330,19 344,14

6 8 223

131,54 143,05 314,00 306,48

7 7 464

119,30 131,05 266,21 284,84

8 6 779

110,80 115,66 199,87 241,97

gyorsítás mértéke. A leghatékonyabb megoldó eljárásnak a S hurkomplemens-módszer

direkt módszere bizonyult, amellyel több mint kilen szeres gyorsítást sikerült elérnem.

Ez annyit jelent, hogy az eredetileg közel három órás számítást kevesebb mint 20 per

alatt sikerült elvégezni az eredeti feladat nyol felé bontásával. De az altartományokhoz

tartózó ismeretlenek számát nézve, az iteratív megoldó is nagyon jól m¶ködött ennél a

feladatnál. FETI-módszernél is a direkt megoldóval sikerült nagyobb gyorsítást elérnem.

A görbékb®l még az is látszik, hogy örvényáramú esetben a FETI-módszer megoldói-

val elért gyorsításban nin s olyan nagy különbség, mint a sztatikus mágneses feladat

esetében jelentkezett.

2 3 4 5 6 7 81

2.8

4.6

6.4

8.2

10


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

S hur Direkt

S hur PCG

FETI Direkt

FETI PMCG

4.7. ábra A negyed transzformátornál elért gyorsítás az örvényáramok gyelembevé-

telével.

71


4.5. A satolt probléma párhuzamosítása

A satolt feladatok párhuzamosításnál élom vizsgálni a feszültségegyenlet satolá-

sának hatását az egyes megoldási módszerek esetében, mivel a feszültséggel gerjesztés

gyelembevétele módosítja az egyenletrendszert. Célom még megvizsgálni melyik megol-

dó algoritmust élszer¶ alkalmazni olyan feladatoknál ahol nin s mozgás, illetve szüksé-

ges a me hanikai egyenletet gyelembevétele valamilyen elmozdulás következtében. Ezek

mellett demonstrálni szeretném a már bemutatott, és szekven iálisan megoldott, satolt

feladatok megoldásának felgyorsítását tartomány dekompozí ióval.

4.5.1. Feszültségegyenlettel satolt feladat párhuzamosított meg-

oldása

Feszültséggel gerjesztett feladatként az F. függelékben ismertetett, és a 3.2. alfejezet-

ben megoldott feladatot alkalmazom. Sztatikus mágneses és örvényáramú feladatként

egyaránt vizsgálni fogom, ezzel igazolva, hogy mindkét esetben alkalmas a tartomány

dekompozí ió a feszültségegyenlettel satolt szimulá ió felgyorsítására.

Ha feszültséggel gerjesztett feladatnál alkalmazom a tartomány dekompozí iót, ah-

hoz, hogy a feszültségegyenlet révén a teker sben kialakuló áramértéket kapjam, két

lehet®séget találtam. Az egyik, hogy a gerjeszt®teker s teljes tartománya, vagyis a te-

ker selés tartományán lév® összes végeselem egy altartományhoz tartozik. A legtöbb

elektrome hanikai átalakítónál például a villamos forgógépek többsége ez könnyen

alkalmazható, mivel a teker selés több kisebb tartományként jelenik meg a feladatban.

Azonban ha ez nem lehetséges, mint például a vasmagos szolenoid feladatban, a tar-

tomány dekompozí ió következtében a gerjeszt®teker selés tartománya NS

tek

≥ 2 altar-

tományra esik szét. A 4.8. ábra is ezt mutatja, ahol a feladat közepén elhelyezked®

gerjeszt®teker s tartománya négy részre esik szét. Ebben az esetben a teker selés úgy

viselkedik, mint egy hosszú vezeték, melyet kisebb részekre vágtunk, majd sorosan kap-

soltunk. A kisebb teker srészek soros kap solásának következtében visszakapjuk a teljes

vezeték induktivitását és reziszten iáját. A szolenoid példájában ez utóbbi módszert al-

kalmaztam az összes szimulá ió esetében, mert saját rá sparti ionáló algoritmust kellett

volna implementálnom, hogy a teljes teker s tartománya egy altartományra kerüljön. A

me hanikai egyenlettel is satolt modelleknél már könnyen megvalósítható volt a Metis

program somag [280 segítségével, hogy a teljes teker s egyben maradjon.

Feszültséggel gerjesztett feladat felbontásánál a (3.7) egyenletnek megfelel® egyen-

leteket kapok az altartományokon. Az el®z® részben bemutatott feladatokhoz képest

annyiban módosul a megoldás menete, hogy nem sak a felbontásnál létrejöv® ΓΩipere-

men található ismeretlenek vagy az ezeket összekap soló Lagrange-multiplikátorok mi-

att van kommuniká ió a peremek között, hanem a feszültségegyenlet miatt is. Ahhoz,

hogy a teker srészt tartalmazó altartományokon a teljes feszültségegyenletet oldjammeg,

szükséges ezek között az altartományok között a teker shez tartozó bels® somópontok

értékeit is átadni. Ez a járulékos kommuniká ió nem változtat semmit az irodalmi át-

tekintésben bemutatott módszereken, supán a megoldandó egyenletrendszer változik.

Ebben az esetben a következ®képpen néz ki egy tetsz®leges Ω1 altartomány egyenlet-

rendszere, amelyhez hozzátartozik a teker s tartományába es®, de az altartományon

72


Ω1

Ω2

Ω3

Ω4 Ω5

Ω6

Ω7

4.8. ábra A szolenoid diszkretizált tartományának hét részre bontása.

kívüli ismeretlenek feszültségegyenlethez kap solódó része,

SΩ1+NΩ1

∆t0 −PΩ1

0 0 0

QΩ1

∆t

QΓtek

∆tR

AΩ1(t)

AΓtek

(t)

I(t)

=

=

NΩ1

∆t0 0

QΓtek

∆t0 0

QΩ1

∆t0 0

AΩ1(t−∆t)

AΓtek

(t−∆t)

I(t−∆t)

+

0

0

U(t)

,

(4.5)

ahol az Ω1 alsó index az altartományhoz tartózó mátrixokat és vektorokat jelöli, a Γtek

alsó index, pedig az Ω1 altartományon kívüli, de a teker s tartományához tartózó is-

meretlenek vektorpoten iál értékeit és uxuskap solódását jelöli. Az így nyert, altar-

tományokhoz tartozó egyenletrendszerek a pro esszormagok közötti terheléseloszlást kis

mértékben elrontják, de a számítási id® szempontjából ezt találtam a hatékonyabb mód-

szernek, például a teker s miatti külön iterá ióhoz képest. A mátrixokban szerepl® nul-

lák szintén nem jelentenek problémát, mert a mátrixokat eredetileg is ritka mátrixként

tároltam, így nin s jelent®s memóriaigény-növekedés. Valamint a mátrixmátrix és a

mátrixvektor szorzásoknál nem tapasztaltam változást a m¶velet végrehajtási idejében,

mert ritka mátrixokra hajtottam végre a kétféle mátrix szorzást, vagyis a nulla elemnél

nem végez m¶veletet a végrehajtó algoritmus.

Az eredmények bemutatása

Az el®bb vázolt elmélet m¶ködésének igazolásához a feszültséggel gerjesztett vasma-

gos szolenoid párhuzamosításával kapott eredmények szolgálnak. A teljes feladat diszkre-

tizálása 328 220 els®fokú háromszögelemb®l áll, ami 163 397 ismeretlent jelent. Statikus

73


és örvényáramú esetben ugyanazt a felbontást alkalmaztam. A 10 V-os egyenfeszültség-

gel gerjesztett szolenoidot a [0, . . . , 0,01 másodper es intervallumban oldottam meg. Az

id®intervallumot 1 000 id®pillanatra bontottam fel. A szekven iális megoldásnál a szta-

tikus mágneses feladat megoldásához 2 866,24 másodper re, az örvényáramú változatnál

ugyanehhez 3 028,5 másodper re volt szükség.

A sztatikus mágneses szolenoidhoz tartozó id®eredményeket a 4.6. táblázatban, az

örvényáramok gyelembevételével kapott id®eredményeket pedig a 4.7. táblázatban köz-

löm. A megoldó eljárások között nem szerepel a FETI MCG algoritmus, mert nagy is-

meretlenszám mellett könnyen el®fordulhat szinguláris együtthatómátrixszal rendelkez®

altartomány. A táblázatokban közölt id®eredmények is jól mutatják, hogy a párhuzamo-

sítás sökkentette a megoldáshoz szükséges id®t, azonban ennél sokkal szemléletesebb a

(4.2) összefüggéssel számított gyorsítást ábrázolni.

A gyorsításnál a szekven iális megoldás idejéhez hasonlítottam a 4.6. és a 4.7. táb-

4.6. táblázat A sztatikus mágneses szolenoid párhuzamosításának eredményei.

NP

NDoF

TDDM

[s]



2 80 866

2 056,77 1 822,69 1 548,20 1 709,10

3 54 435

1 819,36 1 706,80 1 355,91 1 510,11

4 41 437

1 688,57 1 498,17 1 187,28 1 271,14

5 33 943

1 417,54 1 305,49 1 109,26 1 192,63

6 29 010

1 283,66 1 237,28 1 049,23 1 099,03

7 25 632

1 177,78 1 177,62 1 007,38 0 992,32

8 22 585

1 092,61 1 103,81 0 978,87 0 955,70

4.7. táblázat Az örvényáramú szolenoid párhuzamosításának eredményei.

NP

NDoF

TDDM

[s]



2 80 866

2 912,02 2 519,55 1 892,81 2 566.52

3 54 435

2 146,35 2 049,05 1 577,34 1 960,19

4 41 437

1 776,24 1 980,58 1 456,01 1 675,98

5 33 943

1 537,31 1 792,01 1 305,39 1 495,55

6 29 010

1 384,77 1 577,01 1 217,73 1 406,77

7 25 632

1 300,34 1 402,73 1 147,59 1 305,95

8 22 585

1 283,26 1 328,29 1 093,32 1 236,12

74


2 3 4 5 6 7 81.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

S hur Direkt

S hur PCG

FETI Direkt

FETI PMCG

4.9. ábra A sztatikus mágneses szolenoidnál elért gyorsítás a pro esszormagok függ-

vényében.

2 3 4 5 6 7 81

1.36

1.72

2.08

2.44

2.8


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

S hur Direkt

S hur PCG

FETI Direkt

FETI PMCG

4.10. ábra Az örvényáramú szolenoidnál elért gyorsítás a pro esszormagok függvé-

nyében.

lázatokban közölt eredményeket. A 4.9. és a 4.10. ábrák mutatják a feladatok meg-

oldásánál elért gyorsítást a pro esszormagok függvényében. Mindkét ábrán jól látszik,

hogy a FETI-módszerhez tartózó megoldó rutinok felülmúlták a S hurkomplemens-

módszerhez tartozó megoldó eljárásokat. Ez az örvényáramú esetre különösen igaz, ahol

a FETI direkt megoldó rutinja és a többi megoldó rutin között jelent®s eltérés mutatko-

zik, az el®bbi javára. Tehát az eredmények alapján a feszültséggel gerjesztett sztatikus

mágneses és örvényáramú szolenoidnál a FETI-módszer bizonyult hatékonyabbnak. A

feszültséggel gerjesztett sztatikus mágneses feladatnál a FETI prekondi ionált módosí-

tott konjugált gradiens algoritmussal 3-szoros, az örvényáramú feladatnál a FETI direkt

megoldó eljárásával majdnem 2,8-szoros gyorsítást sikerült elérnem NP

= 8 esetében.

75


4.5.2. Me hanikai egyenlettel satolt feladat párhuzamosított meg-

oldása

A mozgás gyelembevételének hatását a tartomány dekompozí iós párhuzamosításra

az el®z® fejezetben már ismertetett közvetlen indítású 3 kW-os aszinkron motor pél-

dáján keresztül vizsgálom. A motorban az örvényáramokat gyelembe veszem és a

feladatot úgy bontottam fel altartományokra, hogy a gerjeszt®teker s tartományához

tartozó összes végeselem egy altartományhoz tartozzon. Ebben az esetben egy teker set

tartalmazó tetsz®leges Ω2 altartomány egyenletrendszere a következ®képpen változik a

(4.5) egyenlethez képest

SΩ2+NΩ2

∆t−PΩ2

QΩ2

∆tR+

L

fej

∆t

AΩ2(t)

I(t)

=

NΩ2

∆t0

QΩ2

∆t

L

fej

∆t

AΩ2(t−∆t)

I(t−∆t)

+

0

U(t)

, (4.6)

ami megfelel a (3.7) egyenletnek, az egyetlen eltérés az L

fej

teker sfej szórási induktivi-

tásának gyelembevétele.

A me hanikai egyenlet gyelembevétele alapvet®en kétfélekép lehetséges. Az egyik

módszer, ha tetsz®legesen felbontom a feladatot, a másik lehet®ség, ha az állórészt és

a forgórészt külön-külön bontom fel. Ha tetsz®legesen bontom fel a feladatot, a for-

gás következtében az altartományok között lév® peremek minden id®lépésben változnak.

Ennek az a következménye, hogy az altartományok közötti folytonosság megteremtése

további jelent®s számításigénnyel jár, mivel minden id®lépésben újra meg kell keresni az

összetartozó ismeretlenpárokat, vagy a Lagrange-multiplikátorokhoz szükséges B leké-

pezési mátrixot újra létre kell hozni. Ezt a módszert teszt jelleggel valósítottam meg és

vizsgáltam, de a kapott gyorsítási eredmények alapján elvetettem és a továbbiakban nem

is vizsgáltam, mert legjobb esetben is a szekven iális számítás idejét sikerült elérnem.

A másik lehet®ség, ha az álló- és forgórészt külön bontom fel, mivel ekkor sak az

álló- és mozgó rész közötti sávban vagy peremen változik a végeselemháló, vagyis az

altartományok peremén. A mozgó sáv és súszófelület módszer közül a súszófelület

alkalmasabb ehhez a felbontáshoz. A mozgó sáv módszernél, egy sávban új végeselemeket

hozok létre, ami miatt mindig asszemblálni kell. A súszófelület módszernél az álló és

az elmozduló rész között a folytonosságot kell megteremteni, ami egy mátrixm¶veletet

jelent. Ezt sak jobban er®síti, ha a T.E.A.M. 30a feladatból kapott eredményeket is

gyelembe veszem, ahol a súszófelület módszerrel pontosabb eredményeket kaptam.

Így a me hanikai egyenlettel satolt párhuzamosított feladatnál a súszófelület módszert

alkalmazom az els®fokú interpolá ióval. De fontos megjegyeznem, hogy mivel a mozgó

és álló részt külön bontom fel, a terheléseloszlás nem biztosított. Az én esetemben a

két részen az ismeretlenek száma közel azonos, ezért ha az altartományok száma páros,

akkor a pro esszormagok közötti terheléseloszlás egyenletes lesz.

Az ilyen típusú feladat párhuzamos megoldásához kidolgozott eljárás folyamatábrá-

ját a 4.11. ábra mutatja. Az indítást (Start) követ®en a feladat ini ializálása történik,

amely a diszkretizálást leíró somópontkoordináták, a somópontok kap solódási mát-

rixát, és a tartományok anyagparamétereinek beolvasását jelenti. Ez már párhuzamosan

történik, melyet az ábrán a szaggatottal szegélyezett zöld téglalapok jelölnek. Ezután

az egyes altartományok egyenletrendszerének összeállítása következik. Az ezt követ®

lépések szekven iálisan történnek, mert az id®t, mint globális paraméter alkalmazom.

76


Start

Ω1 Ini ializálás ΩN

Ini ializálás

. . .

Ω1 (4.6) egyenlet

asszemblálása

ΩN

(4.6) egyenlet

asszemblálása

. . .

t = −∆t

t ≤ tend

t

= t + ∆t

Kimeneti

adatok mentése:

A(t); I(t);M

em

;Θ;ω

t = t

ω és Θ számítása

a (3.9) egyenlettel

Forgórész elfor-

dulása Θ szöggel

Vége

Redukált feladat

megoldása

Ω1 (4.6) egyenlet

megoldása

ΩN

(4.6) egyenlet

megoldása

. . .

Nyomaték

számítása

és összegése

Igen

Nem

4.11. ábra A me hanikai egyenlettel satolt párhuzamos feladat megoldásának folya-

matábrája.

A szekven iális m¶veleteket a folytonos vonallal körülvett kék téglalappal jelöltem. A

tartomány dekompozí iónál a szekven iális m¶veleteket a mester (master) pro esszor

77


végzi, míg a párhuzamos lépéseknél a mester és a szolga (slave) pro esszorok ugyanazt

a m¶veletet végezik. Az iterá ió egy döntés blokkal kezd®dik, ahol azt vizsgálom, hogy

a számítás t ideje kisebb vagy nagyobb-e mint tend

=0,3 másodper . Ha nagyobb, akkor

az eredmények mentése és megjelenítése következik, a megoldási folyamat pedig véget-

ér. Ha kisebb, akkor folytatódik az iterá ió. Az id® növelését követ®en a me hanikai

egyenletb®l meghatározom az új t id®pillanathoz tartózó aktuális ωm

szögsebességet és

Θm

szögelfordulást. Az ezt követ® lépés ismét több pro esszormagon történik. De ez a

lépés nem vonatkozik az összes altartományra, sak a forgórészen elhelyezked® altarto-

mányoknál kell végrehajtani. Ennél a lépésnél a forgórészek altartományánál módosítani

kell a súszófelületen lév® ismeretlenek folytonosságához az összetartózó ismeretlenek és

a Lagrange-multiplikátorok mátrixát. Ezután a redukált feladat megoldása követke-

zik, mely szekven iális m¶velet a tartomány dekompozí iónál. A FETI-módszernél ez

a lépés a nyeregpontfeladat megoldását jelenti. A redukált feladat megoldása után az

altartományokhoz tartózó egyenletrendszer meghatározása következik, mely ismét pár-

huzamos m¶velet. Ez a két lépés, a redukált feladat és az altartományok ismeretleneinek

megoldása a S hurkomplemens iteratív megoldó algoritmusánál nem válik külön. Az

1. Algoritmusnál (35. oldal), a kommuniká ióval jelölt sorok, amik, a tartományok kö-

zötti folytonosság megteremtése miatt a szekven iális m¶veletet jelképezik. Majd az

altartományok egyenletrendszerének megoldása után a súszófelületen meghatározom a

nyomatékot az egyes altartományokon, majd azokat összegzem. Az így nyert iterá ió

alkalmas feszültséggel és me hanikai egyenlettel satolt feladatok megoldására. De min-

den olyan esetben, ahol az iterá ión belül szükség van az egyenletrendszer módosítására

(például a nemlinearitás gyelembevételénél), ott ez a lépés a forgórész elfordulása és a

redukált feladat megoldása blokkok közé fog kerülni.

Az eredmények bemutatása

A háromfázisú aszinkron motor modelljét az indítástól számított 0,3 másodper ig

vizsgáltam, és az id®tartományt 450 id®lépésre bontottam. A feladat 390 887 els®fokú

4.8. táblázat A S hurkomplemens és a FETI-módszerek végrehajtási ideje a

feszültség- és me hanikai egyenlettel satolt problémánál.

NP

NDoF

NSta

NRot

TDDM

[s]



2 96 886 95 800 97 973

59 756,4 53 450,2 64 395,0 61 937,8

3 65 070 95 800 49 706

47 053,2 42 888,8 58 238,8 54 702,9

4 49 072 48 439 49 706

33 549,8 29 774,7 48 257,4 45 939,0

5 39 950 48 439 33 624

22 705,3 17 698,6 41 270,5 38 238,5

6 33 464 33 304 33 624

12 334,5 9 383,11 31 826,5 30 552,3

7 29 270 33 304 26 244

7 047,03 7 245,49 22 705,3 23 655,8

8 25 885 25 526 26 244

7 082,35 6 860,45 19 537,1 22 955,4

78


2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

S hur Direkt

S hur PCG

FETI Direkt

FETI PMCG

4.12. ábra A feszültség- és me hanikai egyenlettel satolt problémánál elért gyorsítás.

háromszögelemb®l áll, ami 192 747 ismeretlent jelent. A me hanikai mozgás egyenletével

satolt feladatnál is a S hurkomplemens-módszer és a FETI-módszer direkt és iteratív

megoldó eljárásait hasonlítom össze. De az általam hatékonynak talált felbontásnál, a

mozgó részt, jelen esetben a motor forgórészét külön bontom fel. Emiatt az összes forgó-

részb®l kapott altartomány lebeg® altartomány, vagyis az együtthatómátrix szinguláris

lesz. Így a következ®kben közölt eredmények supán az egyfázisú transzformátor negye-

dének vizsgálatánál kapott eredményeket (lásd 4.7. ábra) támasztják alá. Vagyis azt,

hogy az általam megvalósított FETI-módszer képes kezelni a lebeg® altartományokat,

de nem elég hatékonyan.

A feladat párhuzamosításával kapott id®eredményeket a 4.8. táblázatban közlöm. Az

id®eredmények a teljes számítás idejét jelentik. A táblázatban szerepel az altartomá-

nyokhoz tartozó átlagos ismeretlenszám (NDoF

), valamint az átlagos ismeretlenszám az

állórészen (NSta

) és a forgórészen (NRot

). Ezeket az értékeket azért közlöm a táblázat-

ban, hogy jól látható legyen, mennyire egyenl®tlen a terheléseloszlás, ha az altartományok

száma páratlan. Azonban, már az id®eredmények is jól mutatják, hogy az egyenl®tlen

terheléseloszlás ellenére is folyamatosan sökken a számítási id®, tehát a pro esszormagok

függvényében n® a gyorsítás.

De itt is érdemes kirajzoltatni az elért gyorsítást a pro esszormagok függvényében,

ami jobban szemlélteti a megoldó rutinok hatékonyságát a me hanikai mozgás egyenle-

tével satolt feladatra. Az elért gyorsítást a 4.12. ábra mutatja. Ez az ábra is alátá-

masztja, hogy a klasszikus FETI-módszer nem tudja kell®en hatékonyan kezelni a lebeg®

altartományokat. De ennél a feladatnál is sikerült demonstrálnom, hogy az általam

megoldó eljárásnak javasolt direkt módszer alkalmas az ilyen típusú feladatok kezelé-

sére is, a szakirodalomból jól ismert PMCG algoritmushoz hasonlóan. Az eredmények

alapján a me hanikai egyenlettel satolt feladatot a S hurkomplemens-módszerrel le-

het hatékonyabban gyorsítani, ahol az iteratív megoldó rutinnal kilen szeres gyorsítást

sikerült elérnem. A gyorsítási görbékb®l az is kit¶nik, hogy az általam javasolt felbontás-

nál, páratlan altartomány esetében el®álló egyenl®tlen terheléseloszlás nem okoz jelent®s

problémát egyik megoldó algoritmusnak sem.

79



A szimulá ió gyorsításának érdekében realizáltam a S hurkomplemens-módszert és

a FETI-módszert. Megvizsgáltam a két módszer alkalmazhatóságát strukturálatlan fel-

bontással rendelkez® ala sony frekven iás elektrodinamikai problémák megoldásának el®-

állítása és elemzése során. A módszereknél vizsgáltam a direkt és az iteratív megoldó al-

goritmusok hatékonyságát az altartományok és az alkalmazott pro esszormagok számának

függvényében. A témához kap solódó szakirodalom alapján én javasoltam és alkalmaztam

el®ször az eredetileg a FETI-módszer iteratív algoritmusához prekondi ionálónak hasz-

nált eljárást az elektromágneses térszámításban direkt megoldó rutinként. Megvizsgáltam

a realizált tartomány dekompozí iós módszerek alkalmazhatóságát satolt numerikus fel-

adatokra és javaslatot tettem a vizsgált tartomány felbontására, a minél hatékonyabb

párhuzamosítás érdekében [152,202,203,291294,315317,382.

(a) Megvizsgáltam a S hurkomplemens-módszert és a FETI-módszert egyaránt direkt

és iteratív megoldó algoritmussal elektrosztatikus, sztatikus mágneses és örvény-

áramú feladatokra, fókuszálva arra, hogy melyik tartomány dekompozí iós módszer

alkalmasabb az elektromágneses térszámításban felmerül®, két dimenzióban vizs-

gálható problémák megoldására. A kapott eredmények alapján a FETI-módszer

bizonyult a satolástól mentes feladatok esetében a hatékonyabb megoldó te h-

nikának. Csatolt szimulá iók esetében, a feszültségegyenlettel satolt feladatnál

a FETI-módszer, a me hanikai mozgást tartalmazó feladat esetében a S hur

komplemens-módszer bizonyult hatékonyabbnak a kapott eredmények alapján.

(b) Demonstráltam a dolgozatban megvizsgált példákon keresztül, hogy a FETI-mód-

szernél az iteratív megoldó algoritmusához prekondi ionálónak javasolt módszer

alkalmas te hnika a redukált feladat megoldásához, és képes kezelni a lebeg® al-

tartományt. A vizsgált id®ben állandó kis méret¶ elektrodinamikai feladatoknál,

melyeknél nin s lebeg® altartomány a leghatékonyabb megoldó eljárásnak bizonyult

az alkalmazott algoritmusok között. A javasolt módszer a satolt feladatoknál is

alkalmazható megoldó eljárásnak bizonyult a kapott eredmények alapján.

( ) Megvalósítottam a feszültségegyenlettel és a me hanikai tranziens egyenlettel sa-

tolt numerikus modell tartomány dekompozí ióval történ® párhuzamosítását, a-

mellyel a szimulá ió számítási idejét le sökkentettem. A feszültségegyenlettel sa-

tolt feladatnál olyan tartományfelbontási módszert javasoltam, melynél a feszült-

ségegyenlet a felbontást követ®en is helyes eredményre vezet, és a gyorsítás haté-

konysága se sökken jelent®sen. A me hanikai mozgást tartalmazó párhuzamosított

feladatnál javaslatot tettem a mozgás gazdaságos gyelembevételére és a vizsgált

tartomány megfelel® felbontására. Csatolt feladatok párhuzamosításából kapott

eredményeken keresztül bemutattam az általam javasolt módszerek alkalmazható-

ságát.

80

5. FEJEZET

Modell szabályozási körbe illesztése

5.1. Motivá ió

A legtöbb elektromos vagy elektrome hanikai rendszer elvárt m¶ködéséhez beavatko-

zásra van szükség, vagyis elengedhetetlen hozzá egy megfelel® szabályozó. A szabályozót

legelterjedtebben az állapottér modellel vagy identiká ió útján nyert egyéb modell segít-

ségével tervezik. Az állapottér modellnél a közönséges dieren iálegyenletek felírásához

elhanyagolásokra és közelítésekre van szükség. Erre jó példa a villamos forgógépek lég-

résében szinuszos mez®eloszlást feltételezni, amivel sok olyan hatást nem veszünk gye-

lembe, ami befolyással bír a gép veszteségeire és lüktet®nyomatékára. Az identiká ióval

nyert modellhez pedig szükség van legalább egy elkészült prototípusra. A prototípus

gyártásának és mérésének jelent®s id®- és költségszükséglete van, és ebben az esetben a

szabályozni kívánt berendezés változtatása sem egyszer¶.

Ahhoz, hogy a szabályozott berendezést és a szabályozót magába foglaló rendszer

hatékonyan m¶ködjön, elengedhetetlen a pontos és könnyen változtatható modell. A

pontosságra azért van szükség, hogy a megépítésre kerül® berendezést nagy pontossággal

leíró modellhez tervezzük a szabályozót, amivel lehet®ség nyílik a valóságos rendszerben

lév® zavaró hatások kompenzálására. A könnyen változtatható modell azért szükséges,

hogy legyen lehet®ség az egész rendszer optimálására, amellyel nem sak a szabályozási

kör egy-egy összetev®jének növelhet® a hatékonysága az el®írt szempontok szerint, hanem

a teljes rendszeré is.

Az el®z®ekben vázolt hiányosságok és hátrányok kezelésére egy lehetséges megoldás

a végeselem-módszeren alapuló modell alkalmazása. A numerikus modell pontosabb

eredményre vezet, mint a közönséges dieren iálegyenletekb®l nyerhet® leírás, mert a

zikai jelenségek nem sak az id®t®l, hanem a térváltozóktól is függenek. Emellett a

numerikus modell tetsz®leges változtatása könnyen kivitelezhet®, aminek következtében

a feladat ismételt megoldására van szükség az újabb eredményekhez. Ezzel jelent®s id®

és költség is megtakarítható, tehát nem sak a m¶ködés, hanem a tervezés menete is

hatékonyabbá tehet®.

De ahhoz, hogy a szabályozási körbe, mint szabályozott szakasz egy végeselem-

módszeren alapuló modell beilleszthet® legyen, fontos a bemeneteket és kimeneteket

illeszteni. Emiatt a Maxwell-egyenletekb®l nyert modell önmagában nem elegend®, ha-

nem a feszültségegyenlet és ha szükséges a me hanikai mozgást leíró egyenlet satolására

is szükség van. A satolással nyert numerikus modell alkalmazásának az el®nyök mellett

hátránya is van. A végeselem-módszernél az ismeretlenek száma nagyságrendekkel több,

mint például az állapottér modellnél, ami jelent®sen megnöveli a szabályozási kör terve-

zési és szimulá iós idejét. Ennek a hátránynak a mérséklésére alkalmazom a tartomány

81


dekompozí ióval történ® párhuzamosítást, amivel lehet®ségem van a végeselemeken ala-

puló modell futási idejének sökkentésre.

Az irodalmi áttekintésben és az el®z® két fejezetben már bemutattam az alkalmazott

módszerek elméleti hátterét, és a bel®lük nyert modellek m¶ködését az eredményeken

keresztül. Ebben a fejezetben ezek együttes m¶ködését és viselkedését fogom vizsgálni,

ha a numerikus modellt egy szabályozási körben alkalmazom. Az els® szabályozásba

illesztett modell a már vizsgált feszültséggel gerjesztett vasmagos szolenoid. Ennél a

feladatnál élom vizsgálni a modell pontosságának hatását a szabályozó tervezésére, és

a párhuzamosítással elérhet® gyorsítást. A feladaton keresztül bemutatom továbbá az

analitikus modell alapján tervezett szabályozó hatását a rendszer kimenetére. A másik

szabályozási körben vizsgált rendszer egy háromfázisú (állórészen 6 pólus, forgórészen 4

pólus) kap solt reluktan ia motor, ahol a gerjesztést a forgórész szöghelyzetének megfele-

l®en szabályozom. Itt a párhuzamosítással elérhet® gyorsítás mellett a feszültségkényszer

fontosságát mutatom be a szabályozással kapott sebesség id®függvényeken keresztül.

Dolgozatomban nem élom irányításelméleti szempontok szerint vizsgálni a rendszere-

ket, ezért alkalmazom a modellekhez a lehet® legegyszer¶bb szabályozást. De az általam

implementált szabályozások tetsz®leges, az irányításelméletb®l ismert módszerrel kivált-

hatók. A bemutatásra kerül® rendszereken keresztül a numerikus modell szabályozásban

való alkalmazásának lehet®ségét és m¶ködését demonstrálom.

A fejezetben bemutatásra kerül® számításokat négy IBM HS21 Blade (CPU: 2x Intel

Xeon L5240 3,00GHz, memória: 8GB) végezte. Mind a négy számítógép 1GB/s

hálózati összeköttetéssel rendelkezik a beépített hálózati modulon keresztül. Ezzel az

összeállítással összesen 16 pro esszormag és 32GB memória állt rendelkezésre a számítá-

sokhoz. A számítógépre Debian Linux 7 operá iós rendszer és Matlab R2015a Distributed

Computing Toolbox lett telepítve.

5.2. Feszültségegyenlettel satolt modell szabályozási

körbe illesztése

Miel®tt rátérek a szabályozási kör bemutatására és vizsgálatára, a mágneses rend-

szer viselkedését vizsgálom az ugrásválaszok alapján. A rendszer bemenete a szolenoid

teker sének gerjeszt®feszültsége, és a kimeneti változó a teker sben kialakuló áram. A

vizsgált mágneses rendszer ugrásválaszának meghatározásához az F.2. ábrán látható ger-

jeszt®jelet alkalmaztam. Az egyes modellekhez tartozó válaszjelek a 3.2. ábrán láthatóak.

Az analitikus számítás menetét az F. függelékben ismertetem. A sztatikus mágneses és

örvényáramú megoldások leírását a 3.2. alfejezetben adtam meg.

Az irányításelméletben a rendszerek többsége könnyebben kezelhet® a komplex frek-

ven iatartományban, mint az id®tartományban. Én is az F. függelékben meghatározott

átmeneti függvény helyett az átviteli függvényt alkalmazom, mert ez könnyebben ke-

zelhet®, és egyszer¶bb bel®le megállapításokat tenni a rendszer viselkedésére [324327,

329, 330. Ennek az elektromágneses rendszernek az átviteli függvényét az (F.6) egyen-

let Lapla e-transzformá iójával és átrendezésével kapjuk. A vasmagos szolenoid átviteli

függvénye a komplex frekven iatartományban

W (s) =1

sL+R, (5.1)

ahol L és R a rendszer induktivitása és reziszten iája, és s a komplex változó.

82


5 5.5 6 6.5 7 7.5 8

·10−3

4.91

4.93

4.95

4.97

4.99

5.01

Id® [s]

Á

r

a

m

[A]

Analitikus

FEM - Sztatikus


5.1. ábra A válaszok kinagyított része a beállási id® szemléltetéséhez.

Már a 3.2. ábrán is látható, hogy van különbség az ugrásválaszok között, és az eltérés

egy kinagyított részen, az 5.1. ábrán még szembet¶n®bb. Az eltérés amiatt van, mert a

modellek más-más pontossággal írják le a valós szolenoid viselkedését, és az induktivitás

ennek megfelel®en változik. A mágneses rendszer induktivitása 0,9869 mH, 1,5464 mH

és 1,5703 mH az analitikus, a sztatikus mágneses és az örvényáramú feladat esetében.

De az örvényáramok gyelembevételével, az induktivitás mellett az egész rendszer ellen-

állása is megváltozik. Az átviteli függvényb®l is jól látszik, hogy az L és R értéke, ami

meghatározza a rendszer viselkedését. A beállási id® például az induktivitás és az ellen-

állás függvénye, mert az id®állandó ennél a rendszernél τ = L/R. Tehát azt kaptam,

hogy ahogy n® az induktivitás, a beállási id® (közelít®leg 5τ) is ennek megfelel®en egyre

nagyobb lesz. Ezt jól szemlélteti a 5.1. ábra, ahol az analitikus megoldásnál a legkisebb,

és az örvényáramú esetben a legnagyobb a beállási id®.

A szabályozási körben nagyon sok lehet®ség van a szolenoid teker sében kialakuló

áram szabályozására. Ilyen lehet az arányos-integráló-dieren iáló (PID - Proportional-

Integral-Derivative) tagból álló szabályozó [384, valamilyen optimális irányítás [335,337,

385, adaptív szabályozás, vagy egy lágyszámítási eljáráson (neurális hálózat, fuzzy lo-

gika) alapuló szabályozó [324. A vasmagos szolenoid áramának szabályozásához egy

arányos és integráló tagból álló szabályozót alkalmazok. Ez az elektromágneses rendszer

egy soros RL-körnek, vagyis egy els®rend¶ rendszernek felel meg, amelynek szabályo-

zásához elegend® a PI-szabályozó.

5.2.1. A szabályozó

A szakirodalomban nagyon sokféle PI-szabályozó kongurá ió található, de a legelter-

jedtebben alkalmazott változata az egy bemenettel és egy kimenettel rendelkez® hurok-

ként felépített. A dolgozatban is ezt a változatát alkalmazom a SISO (SingleInput and

SingleOutput) rendszerhez, ahol a szabályozás élja, hogy a teker s árama a legrövidebb

id®n belül elérje az állandósult állapotot. A szolenoidnál a referen iajel az elvárt teker s-

áram, és a rendszer kimenete a végeselem-módszerb®l számítással kapott teker sáram. A

kimeneti és referen ia áramérték különbségéb®l el®álló hibajel a PI-szabályozó bemenete,

83


a kimenetén pedig a rendszer gerjeszt® jelét kapom. Ez a kimeneti gerjeszt® jel nem más,

mint egy feszültségérték, ami a mágneses rendszer teker sének gerjeszt®feszültsége lesz.

A gerjeszt®feszültség képlete [324, 386

u(t) = KP

e(t) +KI

∫ t

0

e(τ) dτ, (5.2)

ahol KP

és KI

a szabályozó paraméterei, az arányos tag és az integráló tag er®sítése.

A szabályozóhoz tartozó er®sítési paraméterek (KP

,KI

) közelítésére a törtrend¶ (fra -

tional order) PID-hangoló algoritmust [387 használtam, ami a Matlab / Simulink egy

beépített blokkja. A 5.1. táblázat tartalmazza a PI-szabályozóhoz tartozó paramétere-

ket. Ebben a táblázatban a propor ionális és integráló taghoz tartozó hangolt er®sítések

találhatóak, amiket az analitikus és a végeselem-módszerrel felépített modellhez hangol-

tam. A mágneses rendszer (5.1) átviteli függvényét alkalmaztam mindkett® numerikus

modell hangolásánál. A végeselem-módszerrel felépített statikus modell átviteli függvé-

nye könnyen megadható a kiszámított induktivitás és a feladatban megadott teker sel-

lenállás segítségével. Ez a dinamikus FEM-modellnél már nem lehetséges, mert amíg

az induktivitás továbbra is számítható, az ellenállást nem tudom meghatározni. Ezért

a legkisebb négyzetek módszerét [388 alkalmaztam a rendszer identikálására, mert az

ellenállás változik az id®ben az örvényáram hatására. Az identiká iónál törekedtem

arra, hogy az átviteli függvény fokszáma minél kisebb legyen. A következ® harmadfokú

5.1. táblázat A PI-szabályozó paraméterei.

KP

KI

Analitikus

2,6371

9 040,8411

FEM Sztatikus

2,6371

5 769,5489

FEM Örvényáramú

6,9853

17 160,486

0 1 2 3 4 5 6

·10−3

0

1

2

3

4

5

Id® [s]

Á

r

a

m

[A]

Örvényáramú modell

Identikált modell

5.2. ábra A dinamikus FEM-modell és az We

(s) identikált modell ugrásválasza.

84


átviteli függvény, amely már jól visszaadja a dinamikus modell m¶ködését

We

(s) =0, 03368s3 + 1 309s2 + 5, 244 · 106s+ 2, 389 · 109

s3 + 8 858s2 + 1, 403 · 107s+ 4, 786 · 109. (5.3)

Az 5.2. ábra az identiká ió eredményeként kapott átviteli függvény és a dinamikus

FEM-modell ugrásválaszának összehasonlítását mutatja. Az identikálás hibája 1%-on

belüli, ezért nem látható eltérés az ábrán a két görbe között.

5.2.2. A szabályozott modell

A szabályozási kört Matlab / Simulink környezetben valósítottam meg, ahogy az

5.3. ábra mutatja, ahol a PI-szabályozó egy beépített blokk, amit nem sak a szabályo-

zásra, hanem a paraméterek hangolására is használtam. A szabályozónak a kimenete

pedig a tartomány dekompozí ióval párhuzamosított satolt végeselem-módszeren ala-

puló modell bemenete.

A párhuzamosított numerikus modellt Matlab függvényként illesztettem a Simulink

modellbe. De a blokk nem tartalmazza a végeselem-módszer minden lépését. Az anyag-

tulajdonságok, a háló beolvasása és az egyenletrendszer változatlan részeinek asszemblá-

lása, vagyis a statikus lépések és m¶veletek végrehajtása az els® id®lépés el®tt történik.

A szabályozási körben lév® blokkban pedig azok a lépések, m¶veletek szerepelnek, ame-

lyek ismételt végrehajtása szükséges a megoldáshoz. Ennek oka, hogy a párhuzamosítás

mellett ezzel is sökkentsem a futási id®t.

A megvalósított szabályozási körnél az elérhet® gyorsítás mellett két esetben vizsgál-

tam annak viselkedését. Az els® esetben az arányos-integráló szabályozót az analitikus

számításból kapott átviteli függvényhez hangoltam, és így alkalmaztam a numerikus

modellek szabályozására. A második eset azt mutatja, hogy mi történik, ha a statikus

modellhez hangolt szabályozót használom a sztatikus mágneses esetben, és ugyanígy já-

runk el az örvényáramú esetben is. Tehát a két eredmény összevetésével látható lesz,

miért fontos a szabályozó tervezésénél is a modell pontossága, és miért lehet élszer¶

igény szerint a numerikus modell alkalmazása az analitikus helyett.

Az 5.4. és az 5.5. ábra a szolenoid teker sében kialakuló áram id®beli változását mu-

tatja. Az ábrák 4 ms ideig ábrázolják az eredményeket, mert utána az összes id®függvény

eléri az állandósult állapotot. A két ábrán látható sztatikus és örvényáramú modellb®l

kapott eredményekben meggyelhet® különbség alátámasztja azt, hogy az örvényáram

mégsem elhanyagolható jelenség a vizsgált feladatnál. Az 5.4. ábra azokat az id®függ-

vényeket mutatja, amikor az analitikus modellhez tervezett szabályozót alkalmaztam a

5.3. ábra A zárt körbe illesztett numerikus modell blokkdiagramja.

85


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

·10−3

0

2

4

6

Id® [s]

Á

r

a

m

[A]

Analitikus

FEM Sztatikus

FEM Örvényáramú

5.4. ábra Az analitikus modell alapján hangolt szabályozóval kapott áram id®függ-

vények.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

·10−3

0

2

4

6

Id® [s]

Á

r

a

m

[A]

Analitikus

FEM Sztatikus

FEM Örvényáramú

5.5. ábra A szabályozott modellhez hangolt szabályozóval kapott áram id®függvények.

numerikus modellekhez. Itt jól látszik, hogy a valós vasmagos szolenoidot jobban leíró

FEM-modellnél a PI-szabályozó nem tud a kívánt elvárásoknak megfelel®en beavatkoz-

ni. A sztatikus mágneses feladatnál n® a túllövés, és a beállási id® mindkét esetben

hosszabb, mint az analitikusnál. A statikus modellnél az állandósult állapot elérése el®tt

túllendül azon, és végül alulról közelíti. Ezek a problémák már nem gyelhet®ek meg

az 5.5. ábrán, ahol a statikus és örvényáramú modellek szabályozójának hangolásához a

sztatikus mágneses modellt, és az örvényáramú modellhez identikált átviteli függvényt

alkalmaztam. Ebben az esetben a vizsgált mágneses rendszer tranziensénél már nem

gyelhet® meg a nagy túllövés, és a beállási id® is jelent®sen sökkent. A három id®-

függvény közül a második esetben már az örvényáramú FEM-modellt szabályozó körrel

sikerült legjobban teljesíteni a gyors beállás és kis túllövés kritériumot.

Az áram id®függvények mellett a PI-szabályozó kimenetét is ábrázoltam, ami nem

86


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

·10−3

0

5

10

15

20

25

Id® [s]

F

e

s

z

ü

l

t

s

é

g

[V]

Analitikus

FEM Sztatikus

FEM Örvényáramú

5.6. ábra Az analitikus modell alapján hangolt szabályozó kimenetének id®függvényei.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

·10−3

0

10

20

30

Id® [s]

F

e

s

z

ü

l

t

s

é

g

[V]

Analitikus

FEM Sztatikus

FEM Örvényáramú

5.7. ábra A szabályozott modellhez hangolt szabályozó kimenetének id®függvényei.

más, mint a szolenoid gerjeszt®feszültsége. A mágneses rendszer gerjeszt®feszültségének

id®függvényeit az 5.6. és az 5.7. ábrák mutatják. Ez a két ábra is alátámasztja az

el®z®ekben tett megállapításokat.

Ezeknek az ábráknak az összehasonlítása jól szemlélteti, miért fontos a szabályozó

tervezéséhez használt modell pontossága. Természetesen az 5.4. ábrán látható, hogy

m¶ködik a szabályozás a numerikus modellekre is, de nem teljesíti a kritériumokat olyan

jól, mint ahogy az 5.5. ábrán lév® eredményeknél. A megfelel® modellhez tervezett

szabályozó sokkal jobban teljesíti a szabályozás min®ségi paramétereit.

5.2.3. A párhuzamosítással elért gyorsítás

Az el®z® fejezetben bemutatott eredmények alapján, a feszültségegyenlettel satolt

sztatikus mágneses (lásd 4.9. ábra) és örvényáramú (lásd 4.10. ábra) feladatnál a FETI-

87


módszer bizonyult hatékonyabbnak. Ezért itt már sak ezt a tartomány dekompozí iós

módszert vizsgálom. A feladat diszkretizálása és id®beli felbontása megegyezik az el®-

z® fejezetben bemutatottal. A párhuzamos futtatások id®eredményeit a szekven iális

végeselem-módszerb®l kapott id®höz hasonlítom. A szekven iális FEM-modellt tartal-

mazó szabályozási kör szimulá iós ideje a statikus és az örvényáramú esetben 3 507,8 és

3 620,05 másodper . Ebben az esetben a számítás ideje, a teljes szabályozási kör szimu-

lá iós idejét jelenti. Azért nem hasonlítom össze az analitikus modell szabályozásának

idejével, mert a modellek pontosságában jelent®s eltérés van. De természetesen még

a párhuzamosított modellel összeállított szabályozási körnek is nagyobb a szimulá iós

ideje, mint az analitikus modellt tartalmazóé.

A párhuzamosítással kapott id®eredményeket az 5.2. és az 5.3. táblázatokban köz-

löm. Ennél a feladatnál az NP

= [2, 4, 8, 12, 16] eseteket vizsgáltam, mert ebb®l is márjól látható, a FETI-módszernél a két megoldási eljárás közül melyik a hatékonyabb, és

mekkora gyorsítás érhet® el a szabályozási kör szimulá iójának futásában a párhuza-

mosítással. Az id®eredmények mellett, a könnyebb áttekinthet®ség miatt az 5.8. és az

5.2. táblázat A párhuzamosított sztatikus mágneses szolenoid futási ideje.

NP

NDoF

TDDM

[s]

FETI

Direkt PMCG

2 80 866

1 973,10 2 223,55

4 41 437

1 603,92 1 819,91

8 22 585

1 291,50 1 322,66

12 14 843

1 052,43 0 919,31

16 11 252

1 071,13 0 748,32

2 4 6 8 10 12 14 161.5

2.2

2.9

3.6

4.3

5


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

Direkt

Iteratív

5.8. ábra A sztatikus mágneses feladatnál elért gyorsítás a pro esszormagok függvé-

nyében.

88


5.3. táblázat A párhuzamosított örvényáramú szolenoid futási ideje.

NP

NDoF

TDDM

[s]

FETI

Direkt PMCG

2 80 866

2 271,83 3 103,47

4 41 437

1 810,69 2 166,22

8 22 585

1 316,66 1 519,60

12 14 843

1 244,45 1 265,93

16 11 252

1 363,42 1 060,07

2 4 6 8 10 12 14 161

1.5

2

2.5

3

3.5


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

Direkt

Iteratív

5.9. ábra Az örvényáramú feladatnál elért gyorsítás a pro esszormagok függvényében.

5.9. ábrákon felrajzoltam a párhuzamosítással elért gyorsítást a pro esszormagok függvé-

nyében. Az eredményekb®l egyértelm¶en látható, hogy a direkt megoldó hatékonyabban

kezelte a feladatot NP

≤ 8 esetében, mint az iteratív megoldó. De ha n® az altarto-

mányok száma (NP

> 8), a lokális feladat megoldásának komplexitása sökken, de n®

a bels® peremen lév® ismeretlenek száma, vagyis a duális feladat. Emiatt az iteratív

megoldóval értem el nagyobb gyorsítást, mert az jobban kezeli a nagy duális feladatot.

A sztatikus mágneses feladatnál 4,83-szoros, amíg az örvényáramú feladatnál 3,41-szeres

gyorsítást sikerült elérnem. Minden megoldó eljárásnál van egy pro esszorszám, aminél

telít®dik, és utána n® a számítás ideje. Az 5.9. ábrán látható, hogy a direkt megoldónak

jelent®sen n® a számítási ideje 16 pro esszormagnál.

5.3. Me hanikai egyenlettel satolt modell szabályozása

A különféle villamos motorok pontos szabályozása világszerte aktívan kutatott te-

rület [211, 335, 337, 344, 349, 354. Nagy er®feszítéseket tesznek, hogy olyan megoldást

89


találjanak, ami garantálja, hogy a hajtáslán ellenálló legyen a küls® zavaró hatások

ellen, mint a gyors és jelent®s terhelésváltozás. Ez ma nagyon aktuális, mert például

az elektromos hajtású közúti járm¶veknél a nagy terhelésváltozások könnyen el®fordul-

hatnak. Ezért ezeknél az alkalmazásoknál nagyon fontos a pontos modell a hajtáslán

együttes tervezésénél. Egy villamos gép állapotteres modelljének felírása szinte lehetetlen

egyszer¶sítések vagy elhanyagolások nélkül. Identiká iónál prototípusra van szükség,

amelyhez jelent®s id® és gyártási költségek társulnak. A végeselem-módszer segítségével

felépített modell egy jó alternatíva lehet az egyszer¶sítések nélküli vagy a mérésmentes

modell elkészítéséhez. Illetve, villamos hajtásoknál nagyon jellemz®, hogy a meghajtó

elektronika és a villamos forgógép két külön rendszerként, egymástól függetlenül készül.

Pedig ahhoz, hogy a két rész egy hajtásként hatékonyan együttm¶ködjön, már a terve-

zési, fejlesztési fázisban is egy rendszerként kellene kezelni, ahogy azt a következ®kben

bemutatott példánál teszem.

A szabályozásba illesztett, feszültségegyenlettel és me hanikai mozgás egyenletével

satolt feladathoz példaként egy háromfázisú kap solt reluktan ia motort (SRM - Swit-

hed Relu tan e Motor) [211,389391 és annak egy konverteres táplálását választottam.

A párhuzamosítással kapott eredmények bemutatása el®tt megvizsgálom a modell visel-

kedését árammal és feszültséggel gerjesztett esetben. Az árammal gerjesztett feladattal

a modell m¶ködésének helyességét igazolom. Valamint ezen keresztül bemutatom, mi-

lyen nagy eltérés lesz a szögsebességben attól függ®en, hogy feszültséggel vagy árammal

gerjesztem a modell teker selését. Ennél az összehasonlításnál a kritérium az, hogy a

feszültségkényszerrel m¶köd® modellnél az átmeneti jelenséget követ®en az áramer®s-

ség értéke az áramkényszeres modell gerjesztésének megfelel® értékre álljon be. Ezzel

az összehasonlítással illusztrálom a gerjeszt®teker sben lejátszódó tranziens jelenségek

gyelembevételének fontosságát és hatását a rendszer me hanikai jelenségeire.

Az 5.10. ábrán a választott feladat látható, ami az egyik legegyszer¶bb felépítés¶

kap solt reluktan ia motor. Ennek a típusnak hat állórészpólusa és négy forgórészpó-

lusa van, emiatt 6/4 SRM a szakirodalomban használt rövidítése. Nin s teker selés a

A+

C-

C+

B-

B+

A-

A+

C-

C+

B-

B+

A-

Forgórész

Á

l

l

ó

r

é

s

z

Leveg®

5.10. ábra A vizsgált kap solt reluktan ia motor geometriája [172.

90


forgórészén, és jól használható nagyfordulatszámú alkalmazásokban. De, ahogy a neve

és felépítése az álló és forgórészen kiálló pólusok vannak is mutatja, az egyik f® hát-

ránya, hogy a m¶ködése során reluktan ia nyomatékot hoz létre, ami jelent®s zajjal és

nyomatéklüktetéssel jár együtt.

5.3.1. Irányítási körbe illesztett modell

Az irányítási rendszer ennél a feladatnál a szabályozott szakasz végeselem-módszerrel

felépített numerikus modelljét és a meghajtáshoz szükséges elektronikát és irányítási al-

goritmust jelenti, ahogy ezt az 5.11. ábra mutatja. Az SRM irányításához nem használom

a szakirodalomból jól ismert módszereket, melyek a fázisáram, a uxuskap solódás vagy

a nyomaték felhasználásával befolyásolják a motor viselkedését [211. A irányítás ennél

a feladatnál azt jelenti, hogy a motor forgórészének szöghelyzetét használva kap solom

ki vagy be a fázisok gerjeszt®feszültségét.

A 5.11. ábrán látható rendszerben a feszültségforrást külön nem modelleztem, az egy

el®írt állandó feszültségérték. Az egyszer¶ felépítése miatt elterjedten alkalmazott az

aszimmetrikus félhidakból felépül® konverter [211,389,391,392, amelyet én is alkalmazok,

mint meghajtó elektronika. Az aszimmetrikus konverternek az egyszer¶sége mellett még

nagy el®nye, hogy így egymástól függetlenül, rugalmasan lehet a fázisok gerjesztését

szabályozni. A konverterben szerepl® bipoláris tranzisztorokat (IGBT - Insulated Gate

Bipolar Transistor) és diódákat, mint kétállapotú kap solóelemeket (vezet vagy szakadás)

modelleztem, és így valósítottam meg a fázisok táplálásához szükséges kétféle m¶ködési

módot. A kap solókból el®álló konvertert Simulink-ben valósítottam meg.

A befolyásolt szakaszként alkalmazott numerikus modellnél a me hanikai egyenlet -

gyelembevételére a legjobbnak talált súszófelület módszert alkalmazom ennél a feladat-

nál is. Ebb®l következik, hogy az elektromágneses nyomaték számítására a Maxwell-féle

feszültségtenzor módszert alkalmazom. A példa árammal gerjesztett sztatikus mágneses

változata az ingyenesen hozzáférhet® Agros2D [172 szoftver egyik mintapéldája, így a

pontos geometria méretei ott találhatóak. A feszültséggel gerjesztett esetben a teker s

menetszáma 15, és a teker s ellenállása 0,4 Ω. Árammal gerjesztésnél a négyszögjel amp-litúdója 13,1 A (ez megfelel az eredeti feladatban el®írt árams¶r¶ségnek), a feszültséggel

••

••

Enkóder

Matlab/ Simulink

FEM-modell

Konverter

DC

forrás

5.11. ábra A kap solt reluktan ia motor szabályozásának sematikus ábrája.

91


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90−5 · 10−2

0

5 · 10−2

0.1

0.15

0.2

Me hanikai szög [fok]

N

y

o

m

a

t

é

k

[Nm]

Agros2D

Árammal gerjesztett

Feszültséggel gerjesztett

5.12. ábra Az árammal- és feszültséggel gerjesztett modell elektromágneses nyoma-

téka.

gerjesztésnél pedig 10 V az amplitúdó. A teker selést szimmetrikusnak veszem, és mivel

vékony vezet®kb®l áll, ezért az örvényáramok hatását elhanyagolom. A motor tengelyé-

nek iner iája 0,0054 kgm

2, a viszkózus súrlódás 0,005 Nms/rad, és a tengelyt terhel®

nyomaték 0,07 Nm.

El®ször a szekven iális numerikus modellt magába foglaló szabályozási körb®l kapott

eredményeket tekintem át. Az 5.12. ábrán a számított elektromágneses nyomatékok a

me hanikai szög függvényében láthatóak. Itt egyik esetben sem volt a forgórész mozgá-

sát leíró egyenlet satolva, mert állandó szögsebességgel forgott a forgórész. Emellett az

összehasonlítás miatt a párhuzamosított modellel ellentétben, itt az örvényáramokat nem

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90−1

2

5

8

11

14


F

á

z

i

s

á

r

a

m

[A]

A fázis

B fázis

C fázis

5.13. ábra Az árammal gerjesztett modell fázisáramai.

92


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90−1

2

5

8

11

14


F

á

z

i

s

á

r

a

m

[A]

A fázis

B fázis

C fázis

5.14. ábra A feszültséggel gerjesztett modell fázisáramai.

vettem gyelembe. Az ábrán jól látható, hogy az árammal gerjesztett modellel kapott

eredmény jó közelítéssel megegyezik az Agros2D szoftverrel kapott eredménnyel. De az

árammal és a feszültséggel gerjesztett eredmények között már jelent®s eltérés mutatkozik.

Ennek oka, hogy a teker sek öninduktivitását és köl sönös induktivitását elhanyagoltuk

az árammal hajtott modell esetében. Az 5.13. és az 5.14. ábra is alátámasztja ezt az

állításomat. Az 5.13. ábra a gerjeszt®áram id®függvényét mutatja. Árammal gerjesz-

tésnél a bekap solás pillanatától kezdve a teker sben folyó áram a gerjesztésként el®írt

áramértéknek felel meg. Ez sak egy állandósult állapot vizsgálatánál helyes, bekap so-

lásnál nem. Egy valós induktivitással rendelkez® rendszerben mint a teker s sak

végtelen nagy feszültség mellett történhet ilyen. Én annyival javítottam a gerjeszt®áram

jelalakján, hogy nem rögtön, hanem adott meredekséggel éri el az áram a maximumot.

De így sem a valódi áramjelalakkal gerjesztünk, ami az 5.14. ábrán látható.

0 1 2 3 4 5 6 7−0.5

1

2.5

4

5.5

7

8.5

Id® [s]

S

z

ö

g

s

e

b

e

s

s

é

g

[rad

/s]

Árammal gerjesztett

Feszültséggel gerjesztett

5.15. ábra A motor szögsebességének változása az id® függvényében.

93


A következ® ábra (5.15. ábra) a kap solt reluktan ia motor indítását mutatja, a

0,07 Nm terheléssel a forgórészén. Ennél az ábránál is jelent®s eltérés mutatkozik az

kétféle gerjesztés között. Az árammal gerjesztett modellnél a szögsebesség állandósult

állapota közel háromszor nagyobb, mint a feszültséggel gerjesztett esetben, amellett hogy

az áramjelalakok (5.13. és 5.14. ábrák) amplitúdója közel azonos és nin s ilyen nagy elté-

rés. A pozí ió alapján befolyásoltam a motor gerjesztését, és amikor a megállási kritérium

egy adott szögelfordulás volt, az árammal gerjesztett modell közel háromszor gyorsabban

elérte a kívánt pozí iót. Emellett a feszültséggel gerjesztett modellnél jelent®sen n®tt a

motor nyomatékának lüktetése. Az itt kapott eredmények is össze sengenek a szolenoid-

nál kapottakkal, hogy jelent®s befolyással bír a szabályozási kör eredményében a modell

pontossága.

5.3.2. A párhuzamosítással elért gyorsítás

A feladat diszkretizálásának parti ionálásához is az általam kidolgozott módszert al-

kalmaztam, vagyis az állórészt és a mozgó részt külön bontottam fel. A 4. fejezetben, az

aszinkron motornál kapott eredményekb®l jól látszik, hogy a lebeg® altartomány miatt

a dolgozatban alkalmazott FETI-módszer nem kezeli megfelel®en a lebeg® altartomá-

nyokat. Emiatt a szabályozásba illesztett numerikus modell párhuzamosításánál sak

a S hurkomplemens-módszer direkt és prekondi ionált konjugált gradiens megoldóját

vizsgálom. A kap solt reluktan ia motort 94 389 els®fokú háromszögelemre bontottam

fel, ami 46 048 ismeretlent jelent. A párhuzamosításnál nem sak a feszültséggel ger-

jesztett esetet vizsgáltam, hanem mellette az árammal gerjesztettet is. Itt is a teljes

szabályozási kör idejét vizsgáltam. A szabályozás leállási kritériuma a 7,5 másodper id®

volt, és az id®lépés 1 ms, ami 7 500 id®lépést jelent. Az árammal gerjesztett modellnél

1 033,99 másodper , a feszültséggel gerjesztettnél 1096,25 másodper volt a szekven iális

modellt tartalmazó Simulink modell futási ideje.

Az 5.4. táblázatban foglaltam össze a párhuzamos modellt tartalmazó szabályozási

kör futási idejét. Az árammal gerjesztett párhuzamos modellnél a szekven iális áram-

mal gerjesztett modell idejéhez hasonlítottam a futási id®ket, és ugyanígy jártam el a

5.4. táblázat A párhuzamosított SRM modellel összeállított szabályozási kör futási

ideje.

NP

NDoF

NSta

NRot

TDDM

[s]

S hurkomplemens-módszer

Áram Feszültség

Direkt PCG Direkt PCG

2 22 524 23 621 21 427

715,85 797,09 861,01 920,45

4 11 095 11 991 10 828

594,81 674,93 785,72 871,84

8 5 756 6 043 5 469

582,09 552,64 788,69 722,84

12 3 855 4 064 3 645

673,94 516,48 839,11 608,56

16 2 937 3 084 2 789

719,45 509,13 867,40 559,54

94


2 4 6 8 10 12 14 161.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1


G

y

o

r

s

í

t

á

s

m

é

r

t

é

k

e

Direkt - Áram

Iteratív - Áram

Direkt - Feszültség

Iteratív - Feszültség

5.16. ábra A kap solt reluktan ia motornál elért gyorsítás árammal- és feszültséggel

gerjesztésnél.

feszültséggel gerjesztett modellnél is. A táblázatban közlöm az állórészen (NSta

) és a

forgórészen (NRot

) lév® ismeretlenek számát is. Itt nem vizsgáltam az egyenl®tlen terhe-

léseloszlás hatását, mert az el®z® fejezetben kapott eredmények alapján nem befolyásolja

nagy mértékben a megoldás idejét a tartományok közötti elemszámeltérés. A táblázat-

ban szerepl® id®ket tekintve látszik, hogy a két direkt megoldóval kapott eredménynél

egy adott pro esszormagszám után, már nem sökken tovább a futási ideje. Az áram-

mal gerjesztett modellnél ez NP

= 8, a feszültséggel gerjesztett modellnél már NP

= 4után bekövetkezik a telít®dés. Itt is ábrázoltam az 5.16. ábrán az elért gyorsításokat

az altartományok számának függvényében, ami a telít®dést is nagyon szemléletesen mu-

tatja. A szakirodalommal össze seng az itt kapott eredmény, hogy az iteratív megoldó

algoritmusok jobban kezelik az egyre nagyobb redukált feladatot. A görbéket tekintve

egyértelm¶, hogy nagy altartományszámnál az iteratív megoldó algoritmus kezeli jobban

a felbontott feladatot. A feladat gyorsítását tekintve az árammal gerjesztett feladatnál

kétszeres, a feszültséggel gerjesztett modellel felépített szabályozási körnél 1,85-szörös

gyorsítást sikerült elérnem.


A feszültségegyenlettel, illetve a feszültség- és me hanikai egyenlettel satolt végese-

lem-módszeren alapuló numerikus modellt, mint szakaszt a szabályozási körbe illesztettem.

A szakasz megnövekedett számítási idejét a tartomány dekompozí ióval történ® párhuza-

mosítással sökkentettem. A szimulá ióval kapott eredmények összevetésével igazoltam,

hogy az erre alkalmassá tett végeselem-módszeren alapuló modell megfelel®en alkalmaz-

ható szakaszként az irányítási kör tervezése során. A két vizsgált feladaton keresztül

demonstráltam, hogy a gyelembe vett hatások és a modell pontossága befolyással bír a

95


szabályozó tervezésénél. A tartomány dekompozí ióval párhuzamosított modellel összeál-

ló szabályozási kör vizsgálatával igazoltam, hogy a tartomány dekompozí iós módszerek

eredményesen alkalmazhatóak a szabályozásba illesztett modellnél a futási id® sökkenté-

sére [211,361,362,390,391.

(a) Megvalósítottam a végeselem-módszeren alapuló satolt numerikus modell irányí-

tási körbe illesztését Matlab / Simulink szimulá iós környezetben. Igazoltam, hogy

a numerikus modell hatékonyan alkalmazható a szabályozási körben, mint szabá-

lyozott szakasz, amely alkalmas lehet a kon entrált paraméter¶ modell kiváltására.

Ezzel jelent®s költség és id® takarítható meg a szabályozó tervezés során, amellett,

hogy a valóságot nagy pontossággal leírni képes modellt alkalmazok a szabályozó

tervezésekor.

(b) A dolgozatban vizsgált példákon keresztül bemutattam, hogy a modell pontossága

nagy befolyással bír a szabályozó tervezésénél és jelent®s eltérést is eredményezhet

a kimeneti váltózóban. Ennek következtében a valós rendszer irányításánál a terve-

zett szabályozó nem biztos, hogy teljesíti a szabályozási körrel szemben támasztott

min®ségi paramétereket.

( ) A numerikus modell alkalmazása révén a szabályozott szakasz szabadsági fokainak

száma nagyságrendekkel megn®tt, ami miatt a szimulá ió futási ideje is hosszabb

lett. A megnövekedett számítási id®t az elektrodinamikaimodell tartomány dekom-

pozí iós párhuzamosításával hatékonyan sökkentettem, ezzel mérsékelve a satolt,

végeselem-módszeren alapuló modell szabályozási körbe illesztésénél jelentkez® leg-

nagyobb hátrányt, és igazoltam, hogy a tartomány dekompozí iós módszerek al-

kalmasak a futási id® sökkentésére.

96

6. FEJEZET

Új tudományos eredmények

összefoglalása

1. tézis

Realizáltam egy olyan végeselem-módszeren alapuló satolt elektrodinamikai modellt,

aminek a bemenete alkalmas tetsz®leges elektronikával történ® összekap solásra, és amely-

nél kimenetként már rendelkezésre állnak a me hanikai mozgás jellemz®i (Mem

, Θ, ω). Ame hanikai mozgás gyelembevételére implementált te hnikákhoz jól alkalmazható nyo-

matékszámítási módszerre is javaslatot tettem. Az egyréteges mozgó sáv módszerhez ki-

dolgoztam egy új eljárást, ami a szakirodalomból ismert megvalósításoknál kisebb szá-

mítási igénnyel jár, és a sávban lév® elemek torzulását is gyelembe veszi. A kidol-

gozott módszer kétdimenziós szimulá iókban történ® alkalmazhatóságát egy nemzetkö-

zi tesztfeladaton és egy kali kás forgórész¶ aszinkron motor modelljén keresztül igazol-

tam [95,155,164,187,188,364,377381.

(a) Realizáltam egy Matlab-szkript és C-programozási nyelven írt, a végeselem-mód-

szert alkalmazó függvénykönyvtárat olyan módon, hogy a feszültségegyenlet köz-

vetlen satolásával és a me hanikai egyenlet gyelembevételével együtt alkalmas a

tartomány dekompozí ión alapuló párhuzamosításra. Az elkészült függvénykönyv-

tár m¶ködését három példán keresztül igazoltam. A vasmagos szolenoid numerikus

szimulá iójával kapott eredményekkel demonstráltam a modell pontosságának je-

lent®ségét.

(b) A mozgás gyelembevételére használt egyréteges mozgó sáv módszerhez kidolgoz-

tam egy, a szakirodalomból ismert variánsoknál kisebb számítási igénnyel járó mód-

szert kétdimenziós szimulá iókhoz. A módszer gyelembe veszi az elemek mozgása

során bekövetkez® deformá ióját, és elegend® sak egy elem torzulását vizsgálni,

miáltal sökken a m¶veletigény.

( ) Egy nemzetközileg kiírt tesztfeladaton keresztül igazoltam, hogy az általam ki-

dolgozott módszer alkalmas a forgórész mozgásának gyelembevételére. A me-

hanikai egyenlet satolását egy aszinkron motor kétdimenziós modelljén keresztül

demonstráltam. A szimulá ióval kapott eredmények jól mutatják, hogy az általam

kidolgozott módszer alkalmas a me hanikai tranziensek vizsgálatára is. A kidolgo-

zott módszerrel, valamint a súszófelület módszerrel kapott eredmények jó egyezést

mutatnak, és össze sengenek a szakirodalomban fellelhet® eredményekkel is.

(d) Megvizsgáltam a me hanikai mozgást megvalósító te hnikáknál a Maxwell-féle fe-

szültségtenzor módszer és az Arkkio-módszer pontosságát. A kapott eredmények

97


alapján javaslatot tettem az egyes módszerekhez hatékonyan alkalmazható és köny-

nyen illeszthet® nyomatékszámítási eljárásra, vagyis a mozgósáv módszernél az

Arkkio-módszerrel, a súszófelület módszernél a Maxwell-féle feszültségtenzor mód-

szerrel érhet® el a pontosabb eredmény.

2. tézis

A szimulá ió gyorsításának érdekében realizáltam a S hurkomplemens-módszert és

a FETI-módszert. Megvizsgáltam a két módszer alkalmazhatóságát strukturálatlan fel-

bontással rendelkez® ala sony frekven iás elektrodinamikai problémák megoldásának el®-

állítása és elemzése során. A módszereknél vizsgáltam a direkt és az iteratív megoldó al-

goritmusok hatékonyságát az altartományok és az alkalmazott pro esszormagok számának

függvényében. A témához kap solódó szakirodalom alapján én javasoltam és alkalmaztam

el®ször az eredetileg a FETI-módszer iteratív algoritmusához prekondi ionálónak hasz-

nált eljárást az elektromágneses térszámításban direkt megoldó rutinként. Megvizsgáltam

a realizált tartomány dekompozí iós módszerek alkalmazhatóságát satolt numerikus fel-

adatokra és javaslatot tettem a vizsgált tartomány felbontására, a minél hatékonyabb

párhuzamosítás érdekében [152,202,203,291294,315317,382.

(a) Megvizsgáltam a S hurkomplemens-módszert és a FETI-módszert egyaránt direkt

és iteratív megoldó algoritmussal elektrosztatikus, sztatikus mágneses és örvény-

áramú feladatokra, fókuszálva arra, hogy melyik tartomány dekompozí iós módszer

alkalmasabb az elektromágneses térszámításban felmerül®, két dimenzióban vizs-

gálható problémák megoldására. A kapott eredmények alapján a FETI-módszer

bizonyult a satolástól mentes feladatok esetében a hatékonyabb megoldó te h-

nikának. Csatolt szimulá iók esetében, a feszültségegyenlettel satolt feladatnál

a FETI-módszer, a me hanikai mozgást tartalmazó feladat esetében a S hur

komplemens-módszer bizonyult hatékonyabbnak a kapott eredmények alapján.

(b) Demonstráltam a dolgozatban megvizsgált példákon keresztül, hogy a FETI-mód-

szernél az iteratív megoldó algoritmusához prekondi ionálónak javasolt módszer

alkalmas te hnika a redukált feladat megoldásához, és képes kezelni a lebeg® al-

tartományt. A vizsgált id®ben állandó kis méret¶ elektrodinamikai feladatoknál,

melyeknél nin s lebeg® altartomány a leghatékonyabb megoldó eljárásnak bizonyult

az alkalmazott algoritmusok között. A javasolt módszer a satolt feladatoknál is

alkalmazható megoldó eljárásnak bizonyult a kapott eredmények alapján.

( ) Megvalósítottam a feszültségegyenlettel és a me hanikai tranziens egyenlettel sa-

tolt numerikus modell tartomány dekompozí ióval történ® párhuzamosítását, a-

mellyel a szimulá ió számítási idejét le sökkentettem. A feszültségegyenlettel sa-

tolt feladatnál olyan tartományfelbontási módszert javasoltam, melynél a feszült-

ségegyenlet a felbontást követ®en is helyes eredményre vezet, és a gyorsítás haté-

konysága se sökken jelent®sen. A me hanikai mozgást tartalmazó párhuzamosított

feladatnál javaslatot tettem a mozgás gazdaságos gyelembevételére és a vizsgált

tartomány megfelel® felbontására. Csatolt feladatok párhuzamosításából kapott

eredményeken keresztül bemutattam az általam javasolt módszerek alkalmazható-

ságát.

98


3. tézis

A feszültségegyenlettel, illetve a feszültség- és me hanikai egyenlettel satolt végese-

lem-módszeren alapuló numerikus modellt, mint szakaszt a szabályozási körbe illesztettem.

A szakasz megnövekedett számítási idejét a tartomány dekompozí ióval történ® párhuza-

mosítással sökkentettem. A szimulá ióval kapott eredmények összevetésével igazoltam,

hogy az erre alkalmassá tett végeselem-módszeren alapuló modell megfelel®en alkalmaz-

ható szakaszként az irányítási kör tervezése során. A két vizsgált feladaton keresztül

demonstráltam, hogy a gyelembe vett hatások és a modell pontossága befolyással bír a

szabályozó tervezésénél. A tartomány dekompozí ióval párhuzamosított modellel összeál-

ló szabályozási kör vizsgálatával igazoltam, hogy a tartomány dekompozí iós módszerek

eredményesen alkalmazhatóak a szabályozásba illesztett modellnél a futási id® sökkenté-

sére [211,361,362,390,391.

(a) Megvalósítottam a végeselem-módszeren alapuló satolt numerikus modell irányí-

tási körbe illesztését Matlab / Simulink szimulá iós környezetben. Igazoltam, hogy

a numerikus modell hatékonyan alkalmazható a szabályozási körben, mint szabá-

lyozott szakasz, amely alkalmas lehet a kon entrált paraméter¶ modell kiváltására.

Ezzel jelent®s költség és id® takarítható meg a szabályozó tervezés során, amellett,

hogy a valóságot nagy pontossággal leírni képes modellt alkalmazok a szabályozó

tervezésekor.

(b) A dolgozatban vizsgált példákon keresztül bemutattam, hogy a modell pontossága

nagy befolyással bír a szabályozó tervezésénél és jelent®s eltérést is eredményezhet

a kimeneti váltózóban. Ennek következtében a valós rendszer irányításánál a terve-

zett szabályozó nem biztos, hogy teljesíti a szabályozási körrel szemben támasztott

min®ségi paramétereket.

( ) A numerikus modell alkalmazása révén a szabályozott szakasz szabadsági fokainak

száma nagyságrendekkel megn®tt, ami miatt a szimulá ió futási ideje is hosszabb

lett. A megnövekedett számítási id®t az elektrodinamikaimodell tartomány dekom-

pozí iós párhuzamosításával hatékonyan sökkentettem, ezzel mérsékelve a satolt,

végeselem-módszeren alapuló modell szabályozási körbe illesztésénél jelentkez® leg-

nagyobb hátrányt, és igazoltam, hogy a tartomány dekompozí iós módszerek al-

kalmasak a futási id® sökkentésére.

99

7. FEJEZET

Konklúzió, jöv®beli tervek

A disszertá ióm f® témája a satolt végeselem-módszerrel felépített elektrome hanikai

modell számítási idejének redukálása párhuzamosítással és szabályozási körbe illesztése.

A satolással a feszültséggel való gerjesztést és a rendszer merev test mozgását valósí-

tottam meg. A végeselem-módszerrel felépített modell szabadsági fokainak száma miatt

megn® a szimulá ió futási ideje, amit a modell párhuzamosításával sökkentettem. A

párhuzamosításhoz a gépészeti szimulá ióban elterjedten alkalmazott tartomány dekom-

pozí iót, azon belül is a S hurkomplemens- és a FETI-módszert alkalmaztam. Végül

az elkészített satolástól mentes és satolt szekven iális és párhuzamosan futtatható mo-

delleket szabályozási körbe illesztettem.

A dolgozatomban a feszültségegyenletet közvetlen, vagyis er®s satolással vettem -

gyelembe, mert ez a te hnika robusztus, és a teker s egyenletében szerepl® induktivitás

értékét a végeselem-módszerb®l nyeri. A me hanikai tranzienst leíró egyenletnél a két

legelterjedtebben alkalmazott te hnikát, a súszófelület és a mozgó sáv módszert imp-

lementáltam. A mozgó sáv módszerhez kidolgoztam egy kis számításigény¶ eljárást,

ami megfelel®en gyelembe veszi az alkalmazott háromszögelemek torzulását és nagyon

könnyen implementálható. A kidolgozott módszer alkalmazhatóságát példákon keresz-

tül demonstráltam. Vizsgáltam a súszó felület és mozgó sáv módszerek pontosságát a

nyomatékszámításban, amihez a Maxwell-féle feszültségtenzor módszert és az Arkkio-

módszert alkalmaztam. Majd a kapott eredmények alapján a mozgás gyelembevételére

alkalmazott te hnikákhoz nyomatékszámítási módot javasoltam, vagyis a mozgósáv mód-

szernél az Arkkio-módszerrel, a súszófelület módszernél a Maxwell-féle feszültségtenzor

módszerrel érhet® el a pontosabb eredmény.

A tartomány dekompozí ió széles körben alkalmazott a me hanikai szimulá iókban,

de az elektromágneses térszámításban sak ritkán lehet vele találkozni. Ezért fontosnak

tartottam a két megvalósított módszer behatóbb analízisét strukturálatlan felbontással

rendelkez®, az elektromágneses térszámításban el®forduló problémákra, direkt és iteratív

megoldó algoritmussal egyaránt. A FETI-módszernél, egy a szakirodalomban prekondi-

ionálónak használt módszert direkt megoldó eljárásnak javasoltam, amit én alkalmaz-

tam el®ször az elektromágneses térszámításban. A feszültségegyenlettel satolt feladat

tartomány dekompozí iós párhuzamosításához megoldási módszert javasoltam, ami a fe-

szültségegyenlet helyes megoldásához vezet, ha a feladaton belül a teker s tartományát

is több részre daraboljuk. A me hanikai mozgással satolt párhuzamosított feladathoz

felbontási módszert javasoltam, aminél nem lesz jelent®s további számítási igény a moz-

górész elmozdulása következtében. A javasolt módszerek m¶ködését és alkalmazhatósá-

gát példákon keresztül demonstráltam. A kapott eredmények alapján igazoltam, hogy

a direkt megoldási módszernek javasolt eljárás nem sak a satoltástól mentes, hanem a

satolt feladatoknál is alkalmazható. Továbbá az eredmények alapján a FETI-módszer

100


bizonyult a satolástól mentes feladatok esetében a hatékonyabb megoldó te hnikának.

Csatolt szimulá iók esetében, a feszültségegyenlettel satolt feladatnál a FETI-módszer,

a me hanikai mozgást tartalmazó feladat esetében a S hurkomplemens-módszer bizo-

nyult hatékonyabbnak a kapott eredmények alapján.

Végül, a már megvalósított satolt és párhuzamosított numerikus modell szabályo-

zásba illesztésével foglalkoztam. A Matlab / Simulink program somagban valósítottam

meg a szabályozási kör és a numerikus modell összekap solását. Két példát vizsgál-

tam, a feszültségegyenlettel satolt és a feszültség- és me hanikai egyenlettel satolt nu-

merikus modell szabályozásba illesztését. Az els® esetben egy propor ionálisintegráló

szabályozást, a másodiknál egy pozí iószabályozást valósítottam meg. Mindkét esetben

vizsgáltam a modell pontosságának hatását a szabályozó kimenetére, és az eredmények

azt mutatják, hogy nagy jelent®sége van a szabályozó tervezésnél és a kimeneti ered-

ményeknél. Ezt követ®en, az el®z® eredményekre támaszkodva, megvizsgáltam mekkora

gyorsítás érhet® el a szabályozási kör futási idejénél, ha szabályozott szakasznak a tar-

tomány dekompozí ióval párhuzamosított modellt alkalmazom. A megoldott példákkal

igazoltam, hogy a tartomány dekompozí ióval sökkenthet® a számítás ideje, és meg-

felel® kimenettel és bemenettel rendelkez® modell könnyen összekap solható tetsz®leges

szabályozási rendszerrel, ami magában foglalja a meghajtó elektronikát.

Legvégül a disszertá iómban levezetett és bemutatott satolási te hnikákkal élom

el®segíteni a kereskedelmi szoftverek révén nap mint nap használt módszerek elméleti

hátterének megismerését a kutató- és fejleszt®mérnökök számára. Ezzel is ösztönözve

®ket a te hnikák fejlesztésére vagy újak kidolgozására. Valamint a tartomány dekom-

pozí iós módszerek bemutatásával, és a két függelékben szerepl® iskolapéldával sikerül

elérnem ezeknek a te hnikáknak a szélesebb kör¶ alkalmazását az elektromágneses tér-

számításban.

∗

A doktori értekezésben vizsgált problémák és módszerek nagyon sok további kérdést

és kutatási lehet®séget vetnek fel. A satolt feladatoknál a feszültségkényszer gye-

lembevételére az er®s satolást alkalmaztam, de élszer¶nek tartom megvizsgálni, és

összehasonlítani a gyenge satolást is, aminek köszönhet®en rugalmasabban módosítható

a feszültségegyenlet. A me hanikai mozgásnál bemutatott módszerek háromdimenziós

példákon való vizsgálata és fejlesztése, amiknél még napjainkban is komoly számítási

igénnyel jár a mozgás gyelembevétele. A megvalósított tartomány dekompozí iós mód-

szereket szintén szeretném kiterjeszteni háromdimenziós feladatokra, ahol már nem sak

a megoldás gyorsítása, hanem a túl nagy feladat kezelhet®sége is él. A dolgozatban

a klasszikus FETI-módszert alkalmaztam, de a jöv®ben helyette a FETIDP-módszert

(FETIDual-Primal) [393,394 szeretném alkalmazni, amely módszer ötvözi a FETI- és a

S hurkomplemens-módszer el®nyeit, ezzel reményeim szerint egy a S hurkomplemens-

módszernél hatékonyabb megoldót kapok a me hanikai mozgást is tartalmazó feladatok-

hoz. A szabályozási körnél pedig élom létrehozni egy olyan SIL (Software In The Loop)

szimulá iós környezetet, a megfelel® interfészekkel, ahol egyszer¶en összekap solható a

teljesítményelektronika, a szabályozási algoritmus és az elektrome hanikai energiaátala-

kító numerikus modellje, valamint ezek könnyen és gyorsan serélhet®ek.

101

A. FÜGGELÉK

A vékony vezet® er®s satolása

Ebben a függelékben a vékony (sodrott) vezet®szálakból álló teker s feszültségegyen-

letének levezetését ismertetem.

A (2.5) összefüggésb®l kell kiindulni a feszültségegyenlet satolásához. Ebben

az összefüggésben az szerepel, hogy teker s esetében

~J0 árams¶r¶ség van. De a fe-

szültséggel gerjesztés esetén a teker selés is örvényáramú tartománynak számít, hiszen

elektromos szempontból vezet® anyagról van szó, mivel a σ vezet®képessége nagy. Tehát

a (2.17) egyenletet behelyettesítve a (2.5) egyenlet örvényáramú tartományra vonatkozó

összefüggésébe a következ®t kapjuk:

~J = σ~E = σ

(

−∂ ~A

∂t−∇V

)

. (A.1)

A következ® lépésként a (2.1) gerjesztési törvény mindkét oldalának divergen iáját

véve a

∇ · ~J = 0 (A.2)

egyenl®séghez jutunk, mely a kétszeres vektorderiváltak azonosságából következik, ahogy

a mágneses vektorpoten iál esetében már bemutattam. Azonban a fenti összefüggés sak

id®ben változatlan töltés esetén divergen iamentes, vagyis ez sak olyan zárt áramkör

esetében lesz igaz, mint például a villamos beavatkozók teker selése.

Az (A.1) összefüggést behelyettesítve az (A.2) egyenl®ségbe, és kihasználva a (2.12)

egyenletet, vagyis, hogy az

~A mágneses vektorpoten iált állandónak vesszük a z irány-

ban, az elektromos skalárpoten iálra a következ® összefüggést kapjuk:

∇ · ∇V = 0. (A.3)

Tetsz®leges skalárpoten iál deniálható az el®bbi összefüggéshez, amely kielégíti azt.

Ilyen a következ® polinom

V = D1z +D0, (A.4)

amelynek a kétszeres térbeli deriváltja ténylegesen zérus lesz, ahol D1 és D0 konstansok.

A vékony vezet®ben indukálódó uvez

= uvez

(t) feszültség, a (2.16) összefüggés alapjánfelírható, és felhasználva az (A.4) skalárpoten iálra felírt összefüggést

uvez

=

∫ l

0

−∇V dl = −D1l (A.5)

102


végeredményt kapjuk, ahol l a vezet® hossza a z irányba. A vékony vezet®ben lév®

áramot megkapjuk, ha a vezeték teljes keresztmetszetére, Avez

-re integráljuk az (A.1)

egyenletet. Valamint felhasználva, hogy ∇V = D1~ez, és az (A.5) alapján D1 = −uvez

/l,a teker s i

vez

= ivez

(t) árama

ivez

=

∫

Avez

~J · d~Avez

= −

∫

Avez

σ∂ ~A

∂t· d~A

vez

+

∫

Avez

σuvez

l~ez · d~Avez

. (A.6)

Az (A.6) összefüggés jobb oldali második tagjához bevezetjük a vezeték egyenáramú

ellenállását

Rvez

=l

σAvez

, (A.7)

melyet behelyettesítve (A.6)-ba és átrendezve megkapjuk a vezeték feszültségegyenletét

uvez

= Rvez

ivez

+Rvez

∫

Avez

σ∂ ~A

∂t· d~A

vez

, (A.8)

ahol a jobb oldali els® tag a vezeték reziszten iáján létrejöv® feszültségesés, a második

tag pedig az örvényáram okozta feszültségesés.

A vezetékhez tartozó par iális dieren iálegyenlethez pedig az (A.6) összefüggést kell

behelyettesíteni a (2.18) egyenletbe, mivel abból indultunk ki, hogy a teker selés örvény-

áramú tartomány, azaz

∇× (ν∇× ~A) + σ∂ ~A

∂t− σ

uvez

l~ez = ~0. (A.9)

Az így kapott egyenletbe behelyettesítve a vezeték feszültségegyenletét a vezetékre vo-

natkozó egyenlet a következ® lesz:

∇× (ν∇× ~A) + σ∂ ~A

∂t−

itek

Avez

~ez −1

Avez

∫

Avez

σ∂ ~A

∂t· d~A

vez

= ~0, (A.10)

ahol az ivez

áramer®sséget átírtam itek

áramer®sségre, mivel a vezet®k soros kap solásáról

van szó, így a két mennyiség azonos. A vékony vezet®nél a kialakuló áramokat homogén-

nek tekintjük a vezeték keresztmetszetére nézve, aminek következtében a fenti egyenlet

bal oldalán a második és negyedik tag kiejti egymást, mert

−1

Avez

∫

Avez

σ∂ ~A

∂t· d~A

vez

= −1

Avez

σ∂ ~A

∂t· A

vez

= −σ∂ ~A

∂t. (A.11)

Az eddig levezetett egyenletek egy vezetékre vonatkoznak. Azonban egy teker s Ntek

számú ilyen Avez

keresztmetszet¶ vezeték soros kap solásából áll össze. Tehát a teker s

teljes keresztmetszete Atek

= Ntek

Avez

, vagyis a teker s egyenletének végs® alakja

∇× (ν∇× ~A)−N

tek

Atek

itek

~ez = ~0. (A.12)

103


A teker selés feszültségegyenletét, a soros kap solás miatt, a vezeték feszültségegyen-

letének Ntek

-szereseként kapjuk meg,

utek

= Ntek

uvez

= Ntek

Rvez

ivez

+Ntek

Rvez

∫

Avez

σ∂ ~A

∂t· d~A

vez

=

= Rtek

itek

+Ntek

l

Avez

∫

Avez

∂ ~A

∂t· d~A

vez

=

= Rtek

itek

+N

tek

l

Atek

∫

Atek

∂ ~A

∂t· d~A

tek

,

(A.13)

ahol Rtek

= Ntek

Rvez

a teljes teker s reziszten iája. Az (A.13) egyenletnél van lehet®ség a

teker svégek induktivitásának gyelembevételére, ha kiegészítjük az egyenlet jobb oldalát

az Ltek

ditek

/dt taggal.Tehát er®s satolás esetében egy teker selés tartományára az (A.12) és az (A.13)

egyenleteteket, azaz

∇× (ν∇× ~A)−N

tek

Atek

itek

~ez = ~0 az Ω0 tartományon,

Ntek

l

Atek

∫

Atek

∂ ~A

∂t· d~A

tek

+Rtek

itek

= utek

az Ω0 tartományon

(A.14)

kell el®írni.

104

B. FÜGGELÉK

Nyomatékszámítás

A szakirodalom alapján többféle er®- és nyomatékszámítási eljárás ismert. Az elek-

tromágneses térszámításban legelterjedtebben alkalmazott módszerek a következ®k:

1. Maxwell-féle feszültségtenzor módszer (Maxwell's stress tensor method) [15,4042,

45, 46, 151, 153, 155, 156, 187,192,209, 395400;

2. Arkkio-módszer (Arkkio's method) [41, 103, 153, 187, 209, 400;

3. Mágneses koenergia változásán alapuló módszer (Method of the magneti o-energy

variation) [15, 41, 153, 209;

4. Ja obi-mátrix deriváltján alapuló módszer (Method of lo al Ja obian matrix deri-

vation) [4042,45, 46, 153, 209, 397, 399402;

5. Mágnesez® áram módszer (Magnetizing urrent method) [153, 398, 400, 403, 404.

Az egyes módszerekhez megadott irodalmak a módszerhez kap solódó alapvet® m¶vek,

de a [398, [153, [400 és [41 irodalmak alapján, azokból kiindulva mindegyikhez jóval

nagyobb szakirodalom található. A következ®kben sak a dolgozatban alkalmazott két

módszert, a Maxwell-féle feszültségtenzor módszert és az Arkkio-módszert ismertetem.

B.1. Maxwell-féle feszültségtenzor módszer

A Maxwell-féle feszültségtenzor módszer a leggyakrabban használt számítási eljárás

az elektromágneses er® és nyomaték számítására a villamos berendezések numerikus

analízisében.

Egy véges, zárt V térfogatra ható elektromágneses nyomaték az

~f er®s¶r¶ség Vtérfogatra es® részéb®l számítható [41, 133, 163, 395, 405,

~Tem

=

∫

V

~r × ~f dV, (B.1)

ahol~r a helyvektor. A fenti térfogatra vett integrál átalakítható a

~σ felületi feszültség

egy, a V térfogatot magába foglaló tetsz®leges zárt Γ felületre vett integráljává [41, 103,

163, 395, 405, azaz

~Tem

=

∮

Γ

~r × ~σ dΓ, (B.2)

105


µ > µ0

σ 6= 0

µ = µ0

σ = 0

Γ

V~n

~H

x

y z

B.1. ábra Γ felülettel határolt mágneses térbe helyezett V térfogatú test.

ahol~σ a Maxwell-feszültségtenzor. A V térfogattal szemben az is követelmény, hogy az

leveg®ben legyen vagy µ = µ0 permeabilitású anyag vegye körül [39,41, illetve a tetsz®-

legesen felvett zárt Γ felületen legyen ismert a

~H mágneses térer®sség. A B.1. ábra a Vtérfogatot mutatja, melyet egy tetsz®leges Γ felület határol, ahol ismert a

~H térer®sség,

és~n a felület normálvektora. A (B.2) egyenletben szerepl® Maxwell-feszültségtenzor a

következ® összefüggéssel számítható [41, 103, 395, 405:

~σ = µ0( ~H · ~n) ~H −µ0

2H2~n =

1

µ0

(~B · ~n)~B −1

2µ0

B2~n, (B.3)

ahol H = | ~H| és B = |~B| a mágneses térer®sség és a mágneses uxuss¶r¶ség abszolút

értéke.

Dolgozatomban a problémák mindegyike kétdimenziós, ezért a zárt Γ felületb®l egy

zárt Γ görbe lesz a (B.2) összefüggésben, melyet a Γ felület z irányba vett hosszával

szorzok. Tehát kétdimenziós esetben a (B.2) összefüggésb®l a következ® lesz [41,103,155:

~Tem

= l

∮

Γ

~r × ~σ dΓ = l

∮

Γ

~r ×

(

1

µ0

(~B · ~n)~B −1

2µ0

B2~n

)

dΓ, (B.4)

ahol l a Γ felület mélysége, a gyakorlatban a kétdimenziós feladat z irányba vett hossza.Egy feladat pontos megoldása esetében, a µ = µ0 térrészben felvett tetsz®leges Γ

perem esetében a nyomaték független lesz a helyvektortól. De a végeselem-módszer,

egy közelít® eljárás, ezért a nyomatékszámítás pontossága er®sen függ attól, hogy hova

vesszük fel a Γ peremet. A gyakorlat szerint leg élszer¶bb a légrés közepére felvenni a

Γ peremet, vagy a mozgó és álló rész peremén elvégezni a számítást és az eredményt

átlagolni. De erre a problémára megoldásként már létezik az integrálási sugár számítás

közbeni be slése [156, mellyel sökkenthet® a hiba.

B.2. Arkkio-módszer

Ez a módszer a Maxwell-féle feszültségtenzor módszer egy villamos forgógépekre spe-

ializált variánsa. A módszer élja, hogy kiküszöbölje az integrálási útból fakadó pon-

tatlanságot és ala sony ismeretlenszám mellett is pontos eredményt adjon [103.

106


Kétdimenziós esetben, a (B.2) egyenletb®l egy vonalintegrál lesz. Ha r rádiuszú kör

mentén integrálunk, akkor a nyomaték felírható a következ® összefüggéssel [41, 103

Tem

= l

∫

Γ

rFΘ dΓ, (B.5)

ahol FΘ az~σ feszültségtenzor tangen iális irányú komponense. A tangen iális irányú

komponens a (B.3) összefüggésb®l [41, 103, 405

FΘ =1

µ0

BrBΘ, (B.6)

ahol Br és BΘ a mágneses uxuss¶r¶ség radiális és tangen iális komponense. A (B.5)

egyenletbe behelyettesítve a feszültségtenzor tangen iális komponensét, és átírva a dΓtagot a hengerkoordináta-rendszernek megfelel®en rdΘ összefüggésre, a következ® egyen-

letet kapjuk [41, 103:

Tem

= l

∫ 2π

0

r

(

1

µ0

BrBΘ

)

rdΘ =l

µ0

∫ 2π

0

r2BrBΘ dΘ. (B.7)

A villamos aktuátoroknál az r sugarú kör a légrésben helyezkedik el, és a légrést az

rR bels® és az rS küls® sugara határolja. Elméletileg a nyomaték független a rádiusztól,

ezért ha a (B.7) egyenletet integráljuk sugárirányba, a következ®t kapjuk [41, 103

Tem

(rS − rR) =

∫ rS

rR

Tem

dr =l

µ0

∫ rS

rR

∫ 2π

0

rBrBΘ dΘ

dr =

=l

µ0

∫

Slr

rBrBΘ dSlr

,

(B.8)

ahol Slr

a légrés területe, amit az rS

és az rR sugarak határolnak. A (B.8) egyenletet

átalakítva kapjuk a végképletet [41, 103, 153, 209:

Tem

=l

µ0(rS − rR)

∫

Slr

rBrBΘ dSlr

, (B.9)

mely jóval megbízhatóbb eredményt szolgáltat, és a Maxwell-feszültségtenzor módszerhez

hasonlóan, könnyen implementálható.

∗

A bemutatott két nyomatékszámítási módszer számítógépes megvalósítását tekintve

nem mutat jelent®s eltérést. A Maxwell-féle feszültségtenzor módszer több lépésb®l

áll, de összességében majdnem egyez® m¶veletigénnyel bírnak ezek a lépések, mint az

Arkkio-módszer lépései. Így számítási id® szempontjából a kett® között nin s jelent®s

eltérés.

107

C. FÜGGELÉK

Mozgás gyelembevétele

Minkowski-transzformá ióval

Ha egy σ vezet®képességgel bíró térrész mozog~v sebességgel a

~B mágneses térben

(lásd C.1. ábra), akkor~v× ~B feszültség indukálódik benne, aminek következtében áram

indul meg, ha a térrész villamos szempontból zárt kört alkot. Az így létrejött áram

mágneses teret hoz létre, mely megpróbálja ellensúlyozni a mozgás miatt bekövetkez®

mágneses uxus változást. A mozgás következtében létrejöv® örvényáramok vizsgálata

és szimulá iója az alkalmazott referen iasíktól függ. Az Euler-közelítés esetében egy

megfelel® transzformá ióval sökkentjük a síkok számát a modellben, vagyis a C.1. ábrán

nem lesz külön álló és mozgó referen iasík [46, 103, 144, 155, 164.

A végeselem-módszer esetében, a térjellemz®ket kell transzformálni, mivel a moz-

gó rész~v sebességgel mozog az O(x, y) álló referen iasíkhoz képest. Vagyis az eredeti

feladatban lesz egy O ,(x, y) referen iasík, mely a mozgó résszel együtt mozog~v sebes-

séggel. Mindkét referen iasíkra a (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) és (2.5) Maxwell-egyenletek

lesznek érvényesek. A különbség a két referen iasík mennyiségei

~H ,

~J , ~E,

~B között,

hogy a mozgó részen, a vezet®képességgel rendelkez® anyagban a mozgás következtében

feszültség indukálódik. Tehát a mozgó referen iasíkban a

~H,mágneses térer®sség,

~J,

árams¶r¶ség és

~B,mágneses uxuss¶r¶ség megegyezik az álló referen iasík

~H ,

~J és

~Bmennyiségeivel. Csak az

~E,elektromos térer®sség esetében lesz eltérés [144,155,163,164.

Viszont, ha a mozgó referen iasíkban lév®

~E,esetében megfelel® transzformá ió se-

gítségével gyelembe vesszük a mozgás hatását, vagyis a~v × ~B indukált feszültséget

már nin s szükség a két referen iasíkra, mivel a mozgó mennyiségeket áttranszfor-

máltuk az álló referen iasíkra. Tehát az O ,(x, y) mozgó referen iasík mennyiségei és az

O(x, y) álló referen iasík mennyiségei között a Minkowski-transzformá ió teremti meg a

O ,(x, y)

O(x, y)

~vσ 6= 0

Bn

C.1. ábra Mozgó részt tartalmazó feladat sematikus ábrája.

108


kap solatot [103, 144, 155, 163, 164:

~H,= ~H ,

~J,= ~J ,

~E,= ~E + ~v × ~B,

~B,= ~B.

(C.1)

Az így kapott összefüggések már könnyen behelyettesíthet®ek, felhasználhatóak a kü-

lönféle poten iálformalizmusokhoz, melynek nagy el®nye, hogy nem szükséges semmiféle

határfeltétel a mozgás gyelembevételéhez [144, 155, 164.

A te hnika jól alkalmazható nem sima felülettel, például horonnyal rendelkez® moz-

górész esetében is, a felület egyenl®tlenségeinek, a hornyoknak a homogenizálásával

[144, 406. Azonban komoly hátrányai is vannak a te hnikának. Mivel ez esetben egy

konvek iós-diúziós egyenletet oldunk meg, stabilitási problémák lépnek fel a megol-

dásban [144, 377. Erre a problémára a h-FEM, vagyis a felbontás nomítása az egyik

megoldás, vagy valamilyen adaptív felbontásnomító módszer. Azonban, ahogy n® a~v

sebesség, egyre jelent®sebb az egyenletrendszerben a konvek iós tag, ezért egyre kisebb

felbontást kell alkalmazni a numerikus instabilitás elkerülése érdekében [144, 377.

109

D. FÜGGELÉK

S hurkomplemens-módszer - 1D

mintapélda

A függelékben a D.1. ábrán látható párhuzamos fegyverzet¶ kondenzátor megoldását

mutatom be a S hurkomplemens-módszer segítségével. Az itt bemutatott megoldás

a módszer elméleti alapjainak megértését segíti el®. Ipari feladatok megoldásához, a

hatékony megvalósításhoz mindenképpen szükséges a kap solódó szakirodalom áttekin-

tése [232, 233, 235, 282, 284, 287. Az itteni mintapélda bemutatásának alapötlete a [233

irodalomból származik, ahol egy síkbeli me hanikai problémán (kéttámaszú tartó) keresz-

tül ismertetik a megoldás menetét S hurkomplemens-módszerrel. Véges dieren iák

módszere esetében a [235 irodalomban található egy, az ittenihez hasonlóan megoldott

feladat.

A mintapélda egydimenziós feladatnak tekinthet®, mivel L ≫ d, és emiatt a kon-

denzátor fegyverzetei között homogénnek tekinthet® az elektromos térer®sség. Az egyik

fegyverzet poten iálértékét nullának tekintem, a másik pedig U0 = 10 V. A fegyverzetek

közötti dielektrikum relatív permittivitása εr

= 10 és ρ = 10−2C/m töltéss¶r¶ség van a

fegyverzetek között. A fegyverzetek közötti távolság, d = 1mm. A feladat a fegyverzetek

közötti poten iál meghatározása. A feladat analitikus megoldása [11-b®l ismert:

ϕ(x) = −1

2

ρ

εx2 +

(

U0

d+

1

2

ρ

εd

)

x. (D.1)

A numerikus megoldásához nyol végeselemre bontom fel a feladatot, ahogy a D.2.

ábrán látható. A bekarikázott számok a végeselemeket, a számok pedig a somópon-

tokat jelölik, ahol a ϕi, i = 1, ..., 9 poten iálértéket keresem. Az egyes (ϕ1 = 0 V) és

kilen es (ϕ9 = U0) somópontokra, ahol ismert a poten iál értéke, ott el®írom a feladat

megoldásához szükséges peremfeltételeket.

U0L

d

ε 6= 1ρ 6= 0

x

y

D.1. ábra Párhuzamos fegyverzet¶ kondenzátor.

110


1 2 3 4 5 6 7 8 9

x = 0 x = d

1 2 3 4 5 6 7 8

D.2. ábra A diszkretizált egydimenziós példa.

1 2 33 4 5 66 7 8 9

1 2

1 2 33 1 2 44 1 2 3

Ω1 altartomány Ω2 altartomány Ω3 altartomány

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 1 2 3 1 2 3

D.3. ábra Tartomány dekompozí ióval felbontott feladat.

A feladatot három altartományra bontom fel, a D.3. ábrának megfelel®en. A D.3.

ábrán a vonal fölötti sima számok a somópontok eredeti számozását jelölik (globális szá-

mozás), a karikázott számok pedig végeselem számát. A vonal alatti számok a felbontást

követ®en el®álló számozást (lokális számozás) és végeselemszámot jelölik. A téglalappal

körülvett szám pedig a feladat felbontásának helyét és a S hurkomplemenshez tartozó

globális somópontszámozást jelöli.

Az elemegyenletb®l egy végeselemre el®álló együtthatómátrix és gerjesztés vektor az

alábbi

Ke =

[

0, 7083 · 10−6 −0, 7083 · 10−6

−0, 7083 · 10−6 0, 7083 · 10−6

]

, be =

[

0, 625 · 10−6

0, 625 · 10−6

]

. (D.2)

A kés®bbi egyszer¶bb jelölés érdekében kiemelek az egy végeselemhez tartozó mát-

rixból KK = 0, 7083 · 10−6és vektorból Kb = 0, 625 · 10−6

értéket. Így az egyes tartomá-

nyokra el®álló együtthatómátrixok és vektorok a peremfeltétellel kiegészítve a következ®k

lesznek,

KΩ1= KK

1

KK0 0

−1 2 −1

0 −1 1

, bΩ1

= Kb

0

2

1

,

KΩ2= KK

2 −1 −1 0

−1 2 0 −1

−1 0 1 0

0 −1 0 1

, bΩ2= Kb

2

2

1

1

,

KΩ3= KK

2 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 0 1

KK0

0 0 −1 1

, bΩ3= Kb

2

210

Kb

1

.

111


Az egyes tartományhoz tartozó ismeretlenek pedig a következ®k:

xΩ1=

ϕ1,1

ϕ1,2

ϕ1,3

=

ϕ1

ϕ2

ϕ3

,xΩ2

=

ϕ2,1

ϕ2,2

ϕ2,3

ϕ2,4

=

ϕ4

ϕ5

ϕ3

ϕ6

,xΩ3=

ϕ3,1

ϕ3,2

ϕ3,3

ϕ3,4

=

ϕ7

ϕ8

ϕ9

ϕ6

,

ahol az els® oszlopban a lokális, a másodikban pedig a globális számozásnak megfelel®en

jelöltem az ismeretleneket. A következ® lépés a redukált egyenletrendszer elkészítése,

melyhez a lokális S hurkomplemenst és a jobb oldali vektort kell kiszámítani el®ször.

Az els® altartomány esetében a lokális S hurkomplemens

S1 = KΓΩ1ΓΩ1

−KΓΩ11

(

K11

)−1K1ΓΩ1

=

= KK

[

1]

−[

0 −1]

[

1

KK0

−1 2

]−1 [

0

−1

]

=1

2KK ,

(D.3)

és a redukált egyenletrendszer jobb oldala

g1 = bΓΩ1−KΓΩ1

1

(

K11

)−1b1 =

= Kb

[

1]

−[

0 −1]

[

1

KK0

−1 2

]−1 [

0

2

]

= 2Kb.(D.4)

A másik két tartomány esetében

S2 = KK

[

1

3−1

3

−1

3

1

3

]

, g2 = Kb

[

3

3

]

, S3 =1

3KK , g3 = 6, 7777Kb.

A SxΓ = gΓ redukált egyenletrendszer a lokális értékek megfelel® asszemblálásával áll

össze

[

S1 + S2,11 S2,12

S2,21 S2,22 + S3

][

ϕ3

ϕ6

]

=

[

g

1 + g21g22 + g

3

]

→

[

ϕ3

ϕ6

]

=

[

13, 0884

19, 4855

]

V. (D.5)

A redukált egyenletrendszerb®l kapott megoldást felhasználjuk az altartományok bel-

s® ismeretleneinek meghatározásához, melyek egy-egy Diri hlet-feladatnak tekinthet®ek.

Az els® altartomány esetében az (x1)T = [ϕ1 ϕ2] ismeretlen poten iálokat a következ®-

képpen határozzuk meg

x1 =(

K11

)−1(

b1 −K1ΓΩ1xΓΩ1

)

=

= KK

[

1

KK0

−1 2

]−1(

Kb

[

0

2

]

−Kb

[

0

−1

]

[

13, 0884]

)

=

=

[

0

7, 4265

]

V,

(D.6)

112


ahol xΓΩ1az Ω1 tartományhoz tartózó peremen lév® ismeretlen poten iálérték, ebben az

esetben xΓΩ1= ϕ3. A másik két tartománynál a poten iálértékek

x2 =

[

ϕ4

ϕ5

]

=

[

16, 9855

19, 1179

]

V, x3 =

ϕ7

ϕ8

ϕ9

=

18, 0884

14, 9265

10

V.

A végeselem-módszerrel kapott eredményeket az analitikussal összehasonlítva a D.4.

ábra mutatja. A numerikusan kapott végeredmény az analitikusan számolt vonalon

helyezkedik el, tehát a tartomány dekompozí ióval felbontott végeselemes feladat vég-

eredménye jó közelítéssel visszaadja az egzakt megoldást.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

·10−3

0

5

10

15

20

x [m]

ϕ[V

]

Analitikus

xΓ

x1

x2

x3

D.4. ábra Az analitikusan és numerikusan számított poten iálértékek.

113

E. FÜGGELÉK

FETI-módszer - 1D mintapélda

Ebben az esetben is a D. függelékben bemutatott, a D.1. ábrán látható mintapéldát

alkalmazzuk tesztfeladatként. Azonban itt is fontos megemlíteni, hogy a következ®k-

ben bemutatott megoldás az elmélet könnyebb megértését és oktatási élokat szolgál. A

valós feladatokhoz történ® alkalmazás esetében itt is szükséges a kap solódó szakiroda-

lom áttekintése [230, 232234, 265, 266, 293, 294, 301, 304306, 309, 311313, 318. Ahogy

a S hurkomplemens-módszerhez, a FETI-módszerhez is található egy egydimenziós

me hanikai mintapélda a [233 irodalomban.

A numerikus megoldásához a D.2. ábrán már bemutatott diszkretizálást és perem-

feltételeket alkalmazzuk itt is. A feladatot ismételten három altartományra bontjuk fel,

az E.1. ábrának megfelel®en. Az E.1. ábrán a vonal fölötti sima számok a somópon-

tok eredeti számozását jelölik (globális számozás), a karikázott számok pedig a végeselem

számát. A vonal alatti számok a felbontást követ®en el®álló számozást (lokális számozás)

és a végeselemszámot jelölik. A téglalappal körülvett λ1 és λ2 a feladat felbontásának

helyét és az altartományokat összekap soló Lagrange-multiplikátorokat jelöli.

Az elemegyenletb®l egy végeselemre el®álló együtthatómátrix és gerjesztés vektor

megegyezik a D. függelékben megadottakkal, és itt is alkalmazom az ott bemutatott

kiemelést. Így az egyes tartományokra el®álló együtthatómátrixok és vektorok a perem-

feltétellel kiegészítve a következ®k lesznek:

KΩ1= KK

1

KK0 0

−1 2 −1

0 −1 1

, bΩ1

= Kb

0

2

1

,

KΩ2= KK

1 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 −1 2 −1

0 0 −1 1

, bΩ2= Kb

1

2

2

1

,

1 2 33 4 5 66 7 8 9

λ1 λ2

1 2 31 2 3 41 2 3 4

1. tartomány 2. tartomány 3. tartomány

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 1 2 3 1 2 3

E.1. ábra Tartomány dekompozí ióval felbontott feladat.

114


KΩ3= KK

1 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 −1 2 −1

0 0 0 1

KK

, bΩ3= Kb

1

2

210

Kb

.

A kettes tartományhoz tartozó KΩ2együtthatómátrix szinguláris, mert nem tartozik

hozzá Diri hlet-peremfeltétel. Ez a tartomány egy Neumann-feladatnak tekinthet®, mert

a peremein nin s semmiféle kényszer.

A feladat felbontását követ®en, az egyes altartományokhoz tartozó ismeretlenek pedig

a következ®k lesznek:

xΩ1=

ϕ1,1

ϕ1,2

ϕ1,3

=

ϕ1

ϕ2

ϕ3

,xΩ2

=

ϕ2,1

ϕ2,2

ϕ2,3

ϕ2,4

=

ϕ3

ϕ4

ϕ5

ϕ6

,xΩ3=

ϕ3,1

ϕ3,2

ϕ3,3

ϕ3,4

=

ϕ6

ϕ7

ϕ8

ϕ9

,

ahol az els® oszlopban a lokális, a másodikban pedig a globális számozásnak megfelel®en

vannak jelölve az ismeretlenek.

A következ® lépés meghatározni az altartományokhoz tartózó együtthatómátrixok

nullterét, ami

RΩ1= RΩ3

= 0, RΩ2=

1

1

1

1

.

Az együtthatómátrix nullterének számításáról b®vebben a következ® irodalmakban lehet

olvasni [265, 301, 309, 311, 312, 320, 321.

A gyakorlatban nem számítjuk ki a mátrix inverzét vagy pszeudoinverzét, helyette

valamilyen faktorizá iót vagy iteratív módszert alkalmazunk. Mivel aKΩ2mátrix szingu-

láris, ezért értelemszer¶en a Moore-Pensore-féle pszeudoinverzét számítom [233,265,319.

Az együtthatómátrixok inverze a következ® lesz:

KΩ1

−1 =1

KK

KK 0 0

KK 1 1

KK 1 2

,

KΩ2

−1 = KΩ2

† =1

KK

0.8749 0.1249 −0.3749 −0.6249

0.1249 0.3749 −0.1249 −0.3749

−0.3749 −0.1249 0.3749 0.1249

−0.6249 −0.3749 0.1249 0.8749

,

KΩ3

−1 =1

KK

3 2 1 KK

2 2 1 KK

1 1 1 KK

0 0 0 KK

.

115


A módszer egyik fontos lépése elkészíteni az altartományokhoz tartozó Lagrange-mul-

tiplikátorok leképezési mátrixát. Ezt a mátrixot logikai leképezési mátrixnak is nevezik,

mivel -1, 0 és 1 ami szerepel benne. Ennél a feladatnál a leképezési mátrixok a következ®k

lesznek:

BΩ1=

[

0 0 −1

0 0 0

]

,

BΩ2=

[

1 0 0 0

0 0 0 −1

]

,

BΩ3=

[

0 0 0 0

1 0 0 0

]

.

Ezzel együtt fontos el®állítani az eredeti peremfeladat duális egyenletrendszerében, a

(2.51) egyenletben lév® almátrixokat és alvektorokat. Erre a feladatra az FI és a GI

mátrix, valamint a d és az e vektor a következ® lesz,

FI =3∑

j=1

BΩjK

−1

ΩjB

T

Ωj=

1

KK

[

2, 8749 0, 625

0, 625 3, 8749

]

,

GI =[

BΩ1RΩ1

,BΩ2RΩ2

,BΩ3RΩ3

]

=

[

−1

1

]

,

d =

3∑

j=1

BΩjK

−1

ΩjbΩj

=

[

−3, 7501

18, 1619

]

,

e =[

b

TΩ1RΩ1

,bTΩ2RΩ2

,bTΩ3RΩ3

]

= −5, 2944 ·Kb.

Miután kész a feladat duálisának egyenletrendszere, abból meghatározzuk az ismeretle-

neket, az α és a Λ vektorokat a FETI-módszernél bemutatott direkt megoldó eljárással,

α =(

G

TI F

−1

I GI

)−1(

G

TI F

−1

I d− e

)

= 17, 1694,

Λ = F

−1

I

(

d−GIα)

= KK

[

4, 7796

−0, 5148

]

.

Az el®bb kiszámított két vektor segítségével már meghatározható az egyes altarto-

mányokhoz tartozó ismeretlen poten iálok értéke. A végeredmény két részb®l áll. A

megoldás els® része, az x

1Ωj(j=1,2,3) a (2.42) összefüggésb®l számítható, a második rész,

az x

2Ωj

pedig a tartományokhoz kap solódó merev test mozgás. Az els® altartományhoz

tartozó poten iálértékek a merev test mozgás nélkül,

x

1Ω1

=K−1

Ω1

(

bΩ1−BΩ1

TΛ)

=

=1

KK

KK 0 0

KK 1 1

KK 1 2

Kb

0

2

1

−KK

0 0

0 0

0 −1

[

4, 7796

−0, 5148

]

=

=

0

7, 4266

13, 0884

V =

ϕ1

ϕ2

ϕ3

.

116


A másik két tartomány esetében a végeredmény a merev test mozgás nélkül

x

1Ω2

=

ϕ3

ϕ4

ϕ5

ϕ6

=

−4, 0809

−0, 1838

1, 9486

2, 3162

V, x

1Ω3

=

ϕ6

ϕ7

ϕ8

ϕ9

=

19, 4855

18, 0884

14, 9266

10

V.

Ha sak az eredmény els® összetev®jét ábrázoljuk (lásd az E.2. ábrán), jól látható,

hogy a peremfeltétel nélküli második tartomány megoldása teljesen rossz. Azonban ha az

x

2Ωjmerev test mozgást is hozzáadjuk a tartományokhoz, akkor már a helyes eredményt

kapjuk.

Az egyes tartományokhoz tartózó merev test mozgás, ahol αΩ1és αΩ3

nullával egyen-

l®,

x

2Ω1

= RΩ1αΩ1

= 0, x

2Ω3

= RΩ3αΩ3

= 0,

x

2Ω2

= RΩ2αΩ2

=

1

1

1

1

· 17, 1694 =

17, 1694

17, 1694

17, 1694

17, 1694

.

Az els® és a harmadik tartomány esetében a merev test mozgás nulla, ezért xΩ1= x

1Ω1

és xΩ3= x

1Ω3

lesz a tartomány helyes megoldása. A második tartomány esetében a két

összetev® összegeként kapott eredmény adja a helyes megoldást,

xΩ2= x

1Ω2

+ x

2Ω2

=

−4, 0809

−0, 1838

1, 9486

2, 3162

+

17, 1694

17, 1694

17, 1694

17, 1694

=

13, 0884

16, 9855

19, 1179

19, 4855

V.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

·10−3

−5

0

5

10

15

20

x [m]

ϕ[V

]

Analitikus

x

1Ω1

x

1Ω2

x

1Ω3

E.2. ábra A (2.42) egyenlet megoldásával kapott eredmény.

117


A teljes végeredményt az E.3. ábra mutatja. A numerikusan kapott végeredmény az

analitikusan számolt vonalon helyezkedik el, tehát a FETI-módszerrel megoldott példa

jó közelítéssel megegyezik az egzakt megoldással.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

·10−3

0

5

10

15

20

x [m]

ϕ[V

]

Analitikus

xΩ1

xΩ2

xΩ3

E.3. ábra Az analitikusan és numerikusan számított poten iálértékek.

118

F. FÜGGELÉK

Feszültséggel gerjesztett szolenoid

Ebben a függelékben a mintapéldául szolgáló szolenoidhoz tartozó adatokat, geo-

metria méreteit és az analitikus megoldását közlöm. A mintapélda a [41 hivatkozásból

származik.

Az F.1. ábrán a hengerszimmetrikus elrendezés látható. A fazékvasmag két rész-

b®l áll, melyben a teker s helyezkedik el. A fazékvasmag mágnesezési karakterisztikáját

lineárisnak tekintem, és az analitikus megoldás során az örvényáramok hatását elhanya-

golom. A feladat geometriai méretei az alábbiak:

l1 = 15 mm; l2 = 30 mm; e = 2 mm;

r1 = 20 mm; r2 = 25 mm; r3 = 32 mm; r4 = 38 mm.

A teker s menetszáma, N = 50, és a reziszten iája, R = 2 Ω, a vasmag relatív permea-bilitása pedig µ

r

= 3000.

Vasmag Vasmag

Teker s

Leveg®

l1 l2 l1l2e

r1r2r3r4

F.1. ábra A feszültséggel gerjesztett szolenoid geometriája.

A teker s gerjeszt®feszültsége egy 10 V amplitúdójú ugrásfüggvény, amit a t = 0 má-

sodper ben kap solunk be. A gerjesztés id®függvényét az F.2. ábra mutatja.

Az analitikus megoldás a mágneses körök elméletén alapszik [376, 407. A légrés

kis mérete miatt az er®vonalak szóródása elhanyagolható, valamint a vasmagra jutó

mágneses feszültség szintén elhanyagolható a nagy relatív permeabilitás miatt [11, 39,

407. Így a gerjesztési törvény

H1e+H2e = NI, (F.1)

aholH1 és H2 a két légrésben létrejöv® mágneses térer®sség, e a légrés hossza, N a teker s

119


−2 0 2 4 6 8

·10−3

0

2

4

6

8

10

Id® [s]

F

e

s

z

ü

l

t

s

é

g

[V]

F.2. ábra A szolenoid gerjeszt®feszültségének id®függvénye.

menetszáma és I a teker sben folyó áram. A uxusmegmaradás értelmében [11, 39, 407

Φ1 = Φ2 → B1A1 = B2A2 → µ0H1A1 = µ0H2A2, (F.2)

ahol Φ1 és Φ2 a két légrésben létrejöv® mágneses uxus, A1 és A2 a légrések keresztmet-

szete, és µ0 = 4π · 10−7H/m a vákuum permeabilitása. Mivel a két légrés keresztmet-

szete közel azonos, πr21∼= π(r23 − r22), ezért az (F.2) összefüggésb®l azt kapjuk, hogy

B1 = B2 = B, illetve H1 = H2 = H . Ezt felhasználva az (F.1) egyenletben, a következ®

összefüggést kapjuk a mágneses térer®sségre

H =NI

2e. (F.3)

Állandósult állapotban az áram értékét az Ohm-törvény segítségével tudjuk kiszámítani,

I = U/R = 5 A. Az áram értékéb®l és az (F.3) összefüggés segítségével meghatározható

a térer®sség értéke, H = 62,5 kA/m. Így már az (F.2) egyenl®ségekb®l a uxus értéke

is meghatározható:

Φ = µ0HA1 = µ0Hπr21 = 98, 7 µWb. (F.4)

A uxus és az áram állandósult értékének ismeretében pedig már a mágneses kör induk-

tivitása is meghatározható [11, 39, 407:

L =Ψ

I=

NΦ

I= 0, 987 mH. (F.5)

Mivel a vasmag karakterisztikáját lineárisnak tekintem, és az örvényáramok hatását

is elhanyagoltam, a uxus arányos az árammal. Emiatt az induktivitás állandó lesz az

átmeneti állapotban. Az eddigi feltételezésekkel élve, a szolenoid egy R ellenállást és Linduktivitást tartalmazó soros körnek tekinthet®, melyre rákap soljuk az ug(t) = 10 V-os

ugrásfüggvényt. A Kir hho-féle huroktörvény értelmében, a körben lév® feszültségek

algebrai összege minden pillanatban zérus [11, 21, 408,

ug(t) = uR(t)+uL(t) = Ri(t)+dΨ (t)

dt= Ri(t)+

dΨ (t)

di(t)

di(t)

dt= Ri(t)+L

di(t)

dt, (F.6)

120


0 1 2 3 4

·10−3

0

1

2

3

4

5

Id® [s]

Á

r

a

m

[A]

F.3. ábra A szolenoid teker sében kialakuló áram id®függvénye.

melyb®l az áram id®függvényére zérus kezdeti feltételek mellett a homogén rész általá-

nos, és az inhomogén rész egy partikuláris megoldása a következ® jól ismert összefüggést

eredményezi [11, 21, 408,

i(t) =ug(t)

R

(

1− e−RLt)

= 5(

1− e−2 026,42t)

A. (F.7)

A szolenoid teker sének áramát, az el®z®ekben végigvezetett analitikus megoldás

alapján, az id® függvényében az F.3. ábra mutatja.

121

G. FÜGGELÉK

Szimulá iós feladatok eredményeinek

validálása ANSYS Maxwell szoftverrel

A függelékben bemutatott szimulá iós eredmények élja a dolgozatban alkalmazott

feladatok eredményeinek validálása egy széles körben alkalmazott kereskedelmi szoftver-

rel. A validá ióhoz használt szoftver az ANSYS Maxwell [214.

G.1. Feszültséggel gerjesztett szolenoid

A G.1(a) és a G.1(b) ábrák a mágneses vektorpoten iál eloszlását és az ekvipoten iális

görbéket mutatják a szolenoid teker sében kialakuló áram állandósult állapotát követ®en.

A következ® két ábra (G.2(a) és G.2(b) ábrák) a teker sben kialakuló áram id®függ-

vényét mutatja sztatikus mágneses és örvényáramú esetben. A dolgozatban használt

(a) Sztatikus mágneses megoldás. (b) Örvényáramú megoldás.

G.1. ábra A mágneses vektorpoten iál és az ekvipoten iális vonalak a szolenoidban.

122


0 2 4 6 8

·10−3

0

1

2

3

4

5

Id® [s]

Á

r

a

m

[A]

FEM - Sztatikus

ANSYS Maxwell

(a) A sztatikus mágneses szimulá ió esetében.

0 2 4 6 8

·10−3

0

1

2

3

4

5

Id® [s]

Á

r

a

m

[A]


ANSYS Maxwell

(b) Az örvényáramú szimulá ió esetében.

G.2. ábra A szolenoid teker sében kialakuló áram id®függvénye.

programmal és a kereskedelmi szoftverrel kapott eredmény között nin s jelent®s eltérés,

ahogy az a teker sben kialakuló áram id®függvények is mutatják a G.2(a) és a G.2(b)

ábrákon.

G.2. Háromfázisú aszinkron motor

A dolgozatban vizsgált direkt indítású aszinkron motor megoldását ANSYS Maxwell-ben

a G.3. ábra mutatja. A forgásszimmetria adta egyszer¶sítési lehet®séget itt se hasz-

náltam ki, ahogy a dolgozatban vizsgált példánál se tettem. A G.3. ábra a mágneses

uxuss¶r¶séget és az ekvipoten iális vonalakat mutatja 1286,5 fordulat/per fordulat-

számnál.

G.3. ábra A mágneses vektorpoten iál és az ekvipoten iális vonalak az állandósult

állapotban.

123


0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25−500

0

500

1 000

1 500

Id® [s]

F

o

r

d

u

l

a

t

s

z

á

m

[ford./perc]

Mozgó sáv

ANSYS Maxwell

G.4. ábra Az aszinkron motor fordulatszáma az id® függvényében.

A G.4 ábra a mozgó sáv módszerrel és a kereskedelmi szoftverrel kapott fordulatszám

id®függvényt mutatja. A két függvény között a tranziens résznél jelentkezik jelent®sebb

eltérés, az állandósult állapothoz közeledve egyre kisebb a két görbe között a különbség.

G.3. Kap solt reluktan ia motor

A G.5 ábra az árammal gerjesztett reluktan ia motor megoldását mutatja.

A további két ábra (G.6 és G.7 ábrák) a motor nyomatékát és szögsebességét mutatja.

A G.6. ábrán jól látható, hogy nin s jelent®s eltérés az általammegvalósított programmal

és az ANSYS Maxwell-lel kapott eredmények között.

G.5. ábra A mágneses vektorpoten iál és az ekvipoten iális vonalak a kap solt re-

luktan ia motorban.

124


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90−5 · 10−2

0

5 · 10−2

0.1

0.15

0.2


N

y

o

m

a

t

é

k

[Nm]

Árammal gerj.

ANSYS Maxwell

Feszültséggel gerj.

ANSYS Maxwell

G.6. ábra Az árammal- és feszültséggel gerjesztett modell elektromágneses nyoma-

téka.

0 1 2 3 4 5 6 7−0.5

1

2.5

4

5.5

7

8.5

Id® [s]

S

z

ö

g

s

e

b

e

s

s

é

g

[rad

/s]

Árammal gerj.

ANSYS Mawell

Feszültséggel gerj.

ANSYS Maxwell

G.7. ábra A motor szögsebességének változása az id® függvényében.

A motor terhelésének vizsgálatánál is gyakorlatilag azonos eredmény jött ki az áram-

mal gerjesztett hajtás esetében. Nagyobb eltérés a feszültséggel gerjesztett modellnél

jelentkezett, amely betudható az ANSYS Maxwell-nél összeállított elektronikának, ami a

valóságnak jobban megfelel, mint az általam implementált ideális kap solóelemekb®l álló

hajtásrendszer.

125

Irodalomjegyzék

[1 Maxwell J. C. A Treatise on Ele tri ity and Magnetism. Ma millen and Co,

London, 1873.

[2 Iványi A. Folytonos és diszkrét szimulá iók az elektrodinamikában. Akadémiai

Kiadó, Budapest, 2003.

[3 Bossavit A. Computational Ele tromagnetism. A ademi Press, Boston, 1998.

[4 Stratton J. A. Ele tromagneti Theory. M Graw Hill, London, 1941.

[5 Ja kson J. D. Classi al Ele trodynami s. J. Wiley, New York, 1962.

[6 Smythe W. R. Stati and Dynami Ele tri ity. M Graw Hill, London, 1968.

[7 Binns K. J., Lawrenson P. J., and Trowbridge C. W. The Analyti al and Numeri al

Solution of Ele tri and Magneti Fields. J. Wiley, New York, 1992.

[8 Fodor Gy. Elméleti elektrote hnika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1979.

[9 Iványi A. Magneti Field Computation with R-fun tions. Akadémiai Kiadó, Bu-

dapest, 1998.

[10 Fodor Gy. Elektromágneses terek. M¶egyetemi Kiadó, Budapest, 1996.

[11 Simonyi K. and Zombory L. Elméleti villamosságtan. M¶szaki Könyvkiadó, Bu-

dapest, 2000.

[12 Jin J. The Finite Element Method in Ele tromagneti s. John Wiley & Sons, New

York, 2002.

[13 Bíró O. and Ri hter K. R. CAD in ele tromagnetism. In Series Advan es in

Ele troni s and Ele tron Physi s, A ademi Press, New York, 82, 1991.

[14 Standeisky I. Elektrodinamika. Universitas-Gy®r, Gy®r, 2006.

[15 Luomi J. Finite Element Methods for Ele tri al Ma hines. Chalmers University of

Te hnology, Göteborg, 1993.

[16 Koltai M. and Zombory L. Elektromágneses terek gépi analízise. M¶szaki Könyv-

kiadó, Budapest, 1979.

[17 Bíró O. Poten iálfüggvények örvényáramterek végeselem-analízisében. DS disszer-

tá ió, Magyar Tudományos Akadémia, 2003.

[18 Iványi A. R-Fun tions in Ele tromagnetism (Te hni al Report No. TUB-TR-93-

EE08). Budapesti M¶szaki és Gazdaságtudományi Egyetem, 1993.

i


[19 Ku zmann M. and Iványi A. The Finite Element Method in Magneti s. Akadémiai

Kiadó, Budapest, 2008.

[20 Lonngren K. E. and Savov S. V. Fundamentals of Ele tromagneti s with Matlab.

S iTe h Publishing In ., 2005.

[21 Fodor Gy. Jelek, rendszerek és hálózatok. M¶egyetemi Kiadó, Budapest, 1998.

[22 Ku zmann M. Jelek és rendszerek. Universitas-Gy®r, Gy®r, 2005.

[23 S hnell L. (szerk.). Jelek és rendszerek méréste hnikája. M¶szaki Könyvkiadó,

Budapest, 1985.

[24 Silvester P. P. and Ferrari R. L. Finite Elements for Ele tri al Engineers. Camb-

ridge University Press, Cambridge, 1983.

[25 Pepper D. W. and Heinri h J. C. The Finite Element Method. Taylor and Fran is

Group, New York, 2006.

[26 Zimmerman W. B. J. Multiphysi s Modelling with Finite Element Method. World

S ienti Publishing Co., 2006.

[27 Zienkiewi z O. C. and Taylor R. The Finite Element Method. M Graw-Hill, Ma-

idenhead, 1991.

[28 Bojtár I. and Gáspár Zs. Végeselem-módszer épít®mérnököknek. TERC, Budapest,

2003.

[29 S hwarz H. R. Methode der Finiten Elemente. B.G. Teubner, Stuttgart, 1991.

[30 Bronstein I. N., Szemengyajev K. A., Musiol G., and Mühlig H. Matematikai

kézikönyv. TEX Kiadó, Budapest, 2000.

[31 Popper Gy. A végeselem-módszer matematikai alapjai. M¶szaki Könyvkiadó, Bu-

dapest, 1985.

[32 Égert J. A végeselem-módszer me hanikai alapjai. Universitas-Gy®r, Gy®r, 2007.

[33 Pá zelt I. A végeselem-módszer alapjai. Miskol i Egyetem, Miskol , 1993.

[34 Szabó B. A. Finite Element Analysis. Wiley, New York, 1991.

[35 Ková s M. and S harle P. A végeselem-módszer egyszer¶ elemei és elem saládjai.

M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1985.

[36 Go kenba h M. S. Understanding and Implementing the Finite Element Method.

So iety for Industrial and Applied Mathemati s, Philadelphia, 2006.

[37 Lowther D. A. and P. P. Sylvester. Computer Aided Design in Magneti s. Springer

Verlag, New York, 1986.

[38 Sabonnadierre J. C. and Coulomb J. L. Finite Element Methods in CAD. Springer

Verlag, New York, 1989.

ii


[39 Ida N. and Bastos J. P. A. Ele tromagneti s and Cal ulation of Fields. Springer-

Verlag, New York, NY, 1997.

[40 Bian hi N. Ele tri al Ma hine Analysis Using Finite Elements. CRC Press, Bo a

Raton, FL, 2005.

[41 Bastos J. P. A. and Sadowski N. Ele tromagneti Modeling by Finite Element

Methods. Mar el Dekker, New York, 2003.

[42 Hameyer K. and Belmans R. Numeri al Modelling and Design of Ele tri al Ma-

hines and Devi es. WIT Press, Southampton, 1999.

[43 Sykulski J. K. Computational Magneti s. Springer-S ien e+Business Media, Dor-

dre ht, 1995.

[44 Meunier G. (szerk.). The Finite Element Method for Ele tromagneti Modeling.

Wiley-ISTE, 2008.

[45 Salon S. J. Finite Element Analysis of Ele tri al Ma hines. Springer S ien-

e+Business Media, New York, 1995.

[46 Kaltenba her M. Numeri al Simulation of Me hatroni Sensors and A tuators.

Springer, Berlin, 2007.

[47 Ku zmann M. Neural Network Based Ve tor Hysteresis Model and the Nonde-

stru tive Testing Method. PhD thesis, Budapesti M¶szaki és Gazdaságtudományi

Egyetem, 2005.

[48 Bíró O. Edge element formulations of eddy urrent problems. Computer Methods

in Applied Me hani s and Engineering, 169(3):391405, 1999.

[49 Liu Y., Bondeson A., Bergström R., Larson M.G., and Samuelsson K. Methods for

omputing eddy urrents in laminated materials using edge elements. Pro eedings

of the 10th IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 2002. szeptember 16-18, pp:351356.

[50 Hano M., Miyamura T., and Hotta M. Finite element eddy urrent analysis by no-

vel mixed-order ve tor elements. International Journal of Applied Ele tromagneti s

and Me hani s, 14:1922, 2001/2002.

[51 Yioultsis T. V. and Tsiboukis T. D. Multiparametri ve tor nite elements: a sys-

temati approa h to the onstru tion of three-dimensional, higher order, tangential

ve tor shape fun tions. IEEE Transa tions on Magneti s, 32:13891392, 1996.

[52 Yioultsis T. V. and Tsiboukis T. D. Development and implementation of se ond

and third order ve tor nite elements in various 3-D ele tromagneti eld problems.

IEEE Transa tions on Magneti s, 33:18121815, 1997.

[53 Yioultsis T. V., Kantartzis N. V., Antonopoulos C. S., and Tsiboukis T. D. A fully

expli it Whitney element - time domain s heme with higher order ve tor nite

elements for three-dimensional high frequen y problems. IEEE Transa tions on

Magneti s, 34:32883291, 1998.

iii


[54 Tsuboi H., Tanaka M., and Seshima N. Finite element method for eddy urrent

analysis taking a ount of arbitrary line sour e urrents. Pro eedings of the 11th

IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 2004. szeptember 12-15, pp:4751.

[55 Nakata T., Takahashi N., Fujiwara K., and Okada Y. Improvements of the T −Ωmethod for 3-D eddy urrent analysis. IEEE Transa tions on Magneti s, 24:9497,

1988.

[56 Nakata T. 3-D ele tromagneti eld analysis. COMPEL-The International Journal

for Computation and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering, 9:263

274, 1990.

[57 Nakata T., Takahashi N., Fujiwara K., and Imai T. Ee ts of permeability of mag-

neti materials on errors of the T − Ω method. IEEE Transa tions on Magneti s,

26:698701, 1990.

[58 Bíró O., Preis K., Vrisk G., and Ri hter K. R. Computation of 3-D magnetostati

elds using a redu ed s alar potential. IEEE Transa tions on Magneti s, 29:1329

1332, 1993.

[59 Simkin J. and Trowbridge C. W. Three-dimensional nonlinear ele tromagneti

eld omputation, using s alar potentials. IEE Pro ., 127:368374, 1980.

[60 Simkin J. and Trowbridge C. W. On the use of the total s alar potential in the

numeri al solution of eld prolems in ele tromagneti s. International Journal for

Numeri al Methods in Engineering, 14:423440, 1979.

[61 Preis K., Bardi I., Bíró O., Magele C., Renhart W., Ri hter K. R., and Vrisk G.

Numeri al analysis of 3D magnetostati elds. IEEE Transa tions on Magneti s,

27:37983803, 1991.

[62 Webb J. P. and Forghani B. A single s alar potential method for 3D magnetostati s

using edge element. IEEE Transa tions on Magneti s, 25:41264128, 1989.

[63 Preis K., Bárdi I., Bíró O., Magele C., Vrisk G., and Ri hter K. R. Dierent nite

element formulations of 3D magnetostati eld. IEEE Transa tions on Magneti s,

28:10561059, 1992.

[64 Bíró O. and Preis K. On the use of the magneti ve tor potential in the nite

element analysis of three-dimensional eddy urrents. IEEE Transa tions on Mag-

neti s, 25:31453159, 1989.

[65 Bíró O., Preis K., and Ri hter K. R. On the use of the magneti ve tor potential

in the nodal and edge nite element analysis of 3D magnetostati problems. IEEE

Transa tions on Magneti s, 32:651654, 1996.

[66 Bíró O. and Preis K. Finite element analysis of 3-D eddy urrents. IEEE Tran-

sa tions on Magneti s, 26:418423, 1990.

[67 Preis K., Bárdi I., Bíró O., Magele C., Renhart W., Ri hter K. R., and Vrisk G.

Numeri al analysis of 3D magnetostati elds. IEEE Transa tions on Magneti s,

27:37983803, 1991.

iv


[68 Bíró O., Preis K., Vrisk G., Ri hter K. R., and Ti ar I. Computation of 3-D magne-

tostati elds using a redu ed s alar potential. IEEE Transa tions on Magneti s,

29:13291332, 1993.

[69 Ren Z. and Ida N. Derivation of various dual formulations in magnetostati s via

error based energy approa h. IEEE Transa tions on Magneti s, 35:11671170,

1999.

[70 Demerdash N. A., Nehl T. W., and Fouad F. A. Finite element formulation and

analysis of three dimensional magneti eld problems. IEEE Transa tions on Mag-

neti s, 16:10921094, 1980.

[71 Coulomb J. L. Finite element three dimensional magneti eld omputation. IEEE


[72 Kamerai A. K. Cal ulation of transient 3D eddy urrent using edge elements. IEEE


[73 Ziarani A. K. and Konrad A. Galerkin's method and the variational pro edure.


[74 Costabel M. and Dauge M. Weighted regularization of Maxwell equations in poly-

hedral domains. IRMAR Te hni al Report, Rennes, Fran e, pp:126, 2001.

[75 Kameari A. K. Three dimensional eddy urrent al ulation using edge elements

for magneti ve tor potential. Journal of Applied Ele tromagneti in Material,

pp:225236, 1989.

[76 Rodger D. and Eastham J. F. Multiply onne ted regions in the A − Φ three-

dimensional eddy urrent formulation. IEE Pro . A 134/1, pp:5866, 1987.

[77 Mohammed O. A., Xiaodi Z., and Uler F. G. An iterative te hnique for 3D eddy

urrent omputations by nite elements and s alar potential. COMPEL-The In-

ternational Journal for Computation and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni

Engineering, 9:1720, 1990.

[78 Drago G., Molno P., Nervi M., Orlando R. A., and Sabbi G. L. A symmetri

undierentiated fully gauged T ,Ψ − A − Ψ formulation. IEEE Transa tions on

Magneti s, 31:13521355, 1995.

[79 Kameari A. K. Cal ulation of transient 3D eddy urrents using edge elements.


[80 Kaltenba her M. and Reitzinger S. Appropriate nite-element formulations for 3-

D ele tromagneti -eld problems. IEEE Transa tions on Magneti s, 38:513516,

2002.

[81 Tran T. S., Meunier G., Labie P., and Aime J. Comparison of FEM-PEEC oupled

method and nite-element method. IEEE Transa tions on Magneti s, 46(4):996

999, 2010.

v


[82 Brebbia C. A. The Boundary Element Method for Engineers. Pente h Press,

London, 1980.

[83 Forsythe G. E. and Wason W. Finite Dieren e Method for Partial Dierential

Equations. J. Wiley, New York, 1960.

[84 Taove A. Computational Ele tromagneti s, The Finite-Dieren e Time-Domain

Method. Arte h House, 1995.

[85 Gibson W. C. The Method of Moments in Ele tromagneti s. Chapman and

Hall/CRC, New York, 2008.

[86 Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods. IEEE Press Series on

Ele tromagneti Waves, 1993.

[87 Garg R. Analyti al and Computational Methods in Ele tromagneti s. Arte h House,

2008.

[88 Kis P. Jiles-Atherton Model Implementation to Edge Finite Element Method. PhD

thesis, Budapesti M¶szaki és Gazdaságtudományi Egyetem, 2007.

[89 Gyimóthy Sz. Adaptív automatikus hálógenerálás a végeselem módszerhez. PhD

thesis, Budapesti M¶szaki és Gazdaságtudományi Egyetem, 2003.

[90 Stoyan G. (szerk.). Matlab - frissített kiadás. TypoTex Kiadó, 2005.

[91 Gmsh. http://gmsh.info/. Utolsó megtekintés: 2016. november 15.

[92 Geuzaine C. and Rema le J.-F. Gmsh: A three-dimensional nite element mesh

generator with built-in pre- and post-pro essing fa ilities. International Journal

for Numeri al Methods in Engineering, 79(11):1309 1331, 2009.

[93 Budai T. A eleration of the Finite Element Method by Using Parallel Computation

Te hniques. Szé henyi István Egyetem, 2014.

[94 PETS . http://www.m s.anl.gov/pets /. Utolsó megtekintés: 2016. november 15.

[95 Ku zmann M., Budai T., Ková s G., Mar sa D., Friedl G., Prukner P., Unger T.,

and Tomozi Gy. Appli ation of PETS and other useful pa kages in nite element

simulation. Polla k Periodi a, 8(2):141148, 2013.

[96 Mar sa D. and Ku zmann M. Optimization and nite element analysis of 3-pole

magneti bearing with nonlinear material. Przeglad Elektrote hni zny, 86(12):91

94, 2010.

[97 Mar sa D. Computer-aided design and analysis of a three-pole radial magneti

bearing. Diplomamunka, Szé henyi István Egyetem, 2011.

[98 Mar sa D. and Ku zmann M. Modeling of radial magneti bearing by nite ele-

ment method. Polla k Periodi a: An International Journal for Engineering and

Information S ien es, 6(2):1324, 2011.

vi


[99 Simulink. https://www.mathworks. om/produ ts/simulink/. Utolsó megtekintés:

2016. október 30.

[100 S ilab. http://www.s ilab.org/. Utolsó megtekintés: 2016. október 30.

[101 Strangas E. G. Coupling the ir uit equations to the nonlinear time dependent eld

solution in inverter driven indu tion motors. IEEE Transa tions on Magneti s,

21(6):24082411, 1985.

[102 Strangas E. G. and Theis K. R. Shaded pole motor design and evaluation using

oupled eld and ir uit equations. IEEE Transa tions on Magneti s, 21(5):1880

1882, 1985.

[103 Arkkio A. Analysis of Indu tion Motors Based on the Numeri al Solution of the

Magneti Field and Cir uit Equations. PhD thesis, Helsinki University of Te hno-

logy, 1987.

[104 Del Ve hio P., Sa erdoti G., and Ve a G. M. Ele tromagneti behaviour of a ro-

tating s reen for a super ondu ting indu tor of a syn hronous ma hine. In COM-

PUMAG 76 - Conferen e on the Computation of Magneti Field, pages 350356,

Oxford, UK, már ius 31 - április 2. 1976. Rutherford Laboratory.

[105 Bárdi I. and Bíró O. Aszinkron gép légrésében fellép® elektromágneses tér számí-

tása variá iós módszerrel. Elektrote hnika, 72(9-10):266269, 1979.

[106 Davat B., Ren Z., and Lajoie-Mazen M. The movement in eld modeling. IEEE

Transa tions on Magneti s, MAG-21(6):22962298, 1985.

[107 Silvester P., Cabayan H. S., and Browne B. T. E ient te hniques for nite element

analysis of ele tri ma hines. IEEE Transa tions on Power Apparatus and Systems,

PAS-92(4):12741281, 1973.

[108 Chari M. V. K. and Silvester P. Analysis of turboalternator magneti elds by nite

elements. IEEE Transa tions on Power Apparatus and Systems, PAS-90(2):454

464, 1971.

[109 Hameyer K., Driesen J., De Gersem H., and Belmans R. The lassi ation of

oupled eld problems. IEEE Transa tions on Magneti s, 35(3):16181621, 1999.

[110 Kumbhar G. B., Kulkarni S. V., Es arela-Perez R., and Campero-Littlewood E.

Appli atons of oupled eld formulation to ele tri al ma hinery. COMPEL-The In-


Engineering, 26(2):489523, 2007.

[111 S hmidt E. Finite element analysis of ele tri al ma hines and transformers - state

of the art and future trends. COMPEL-The International Journal for Computation

and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering, 30(6):18991913, 2011.

[112 Sykulski J. K. Computational ele tromagneti s for design optimisation: The state

of the art and onje tures for the future. Bulletin of the Polish A ademy of S ien es

- Te hni al S ien es, 57(2):123 131, 2009.

vii


[113 Shen D., Meunier G., Coulomb J. L., and Sabonnadiére J. C. Solution of magneti

elds and ele tri al ir uits ombined problems. IEEE Transa tions on Magneti s,

MAG-21(6):22882291, 1985.

[114 Vassent E., Meunier G., and Foggia A. Simulation of indu tion ma hines using

omplex magnetodynami nite element method oupled with the ir uit equa-

tions. IEEE Transa tions on Magneti s, 27(5):42464249, 1991.

[115 Nakata T., Takahashi N., and Fujiwara F. A stability paradox for time-stepping

s hemes in oupled eld- ir uit problems. IEEE Transa tions on Magneti s,

24(1):170 173, 1988.

[116 Nakata T., Takahashi N., Fujiwara F., and Ahagon A. A stability paradox for

time-stepping s hemes in oupled eld- ir uit problems. IEEE Transa tions on

Magneti s, 24(6):2582 2584, 1988.

[117 Lombard P. and Meunier G. A general method for ele tri and magneti oupled

problem in 2D and magneto-dynami domain. IEEE Transa tions on Magneti s,

28(2):12911294, 1992.

[118 Charpentier J. F, Lefévre Y., and Piquet H. An original and natural method of

oupling ele tromagneti eld equations with ir uit equations put in a state form.

IEEE Transa tions on Magneti s, 34(5):24892492, 1998.

[119 Tsukerman I. A., Konrad A., and Lavers J. D. A method for ir uit onne -

tions in time dependent eddy urrent problem. IEEE Transa tions on Magneti s,

28(2):12991302, 1992.

[120 Bedrosian G. A new method for oupling nite element eld solutions with external

ir uits and kinemati s. IEEE Transa tions on Magneti s, 29(2):1664 1668, 1993.

[121 Sadowski N., Carlson R., Arruda S. R., da Silva C. A., and Lajoie-Mazen M.

Simulation of single-phase indu tion motor by a general method oupling eld and

ir uit equations. IEEE Transa tions on Magneti s, 31(3):19081911, 1995.

[122 Väänänen J. Cir uit theoreti al approa h to ouple two-dimensional nite ele-

ment models with external ir uit equations. IEEE Transa tions on Magneti s,

32(2):400410, 1996.

[123 Fu W. N., Zhou P., Lin D., Stanton S., and Cendes Z. J. Modeling of solid

ondu tors in two-dimensional transient nite-element analysis and its appli ation

to ele tri ma hines. IEEE Transa tions on Magneti s, 40(2):426434, 2004.

[124 Arkkio A. Finite element analysis of age indu tion motors fed by stati frequen y

onverters. IEEE Transa tions on Magneti s, 26(2):551554, 1990.

[125 Preston T. W., Ree e A. B. J., and Sangha P. S. Analysis of swit hed relu tan e

drives by the nite element time-stepping method. In IEE Fifth International

Conferen e on Ele tri al Ma hines and Drives, pages 933936, London, UK, szep-

tember 11-13. 1991. IET.

viii


[126 Piriou F. and Razek A. Coupling of saturated ele tromagneti systems to non-

linear power ele troni devi es. IEEE Transa tions on Magneti s, 24(1):274277,

1988.

[127 Piriou F. and Razek A. A model for oupled magneti - ele tri ir uits in ele tri

ma hines with skewed slots. IEEE Transa tions on Magneti s, 26(2):10961100,

1990.

[128 Piriou F. and Razek A. Numeri al simulation of a non- onventional alternator

onne ted to a re tier. IEEE Transa tions on Energy Conversion, 5(3):512518,

1990.

[129 Pawlak A. M. and Nehl T. W. Transient nite element modeling of solenoid

a tuators: The oupled power ele troni s, me hani al, and magneti eld problem.


[130 Sadowski N., Carly B., Lefevre B., Lajoie-Mazen M., and Astier A. Finite ele-

ment simulation of ele tri motors fed by urrent inverter. IEEE Transa tions on

Magneti s, 29(2):16831688, 1993.

[131 Kuo-Peng P., Sadowski N., Bastos J. P. A., Carlson R., Batistela N. J., and Lajoie-

Mazen M. A general method for oupling stati onverters with ele tromagneti

stru tures. IEEE Transa tions on Magneti s, 33(2):20042009, 1997.

[132 de Oliveira A. M., Kuo-Peng P., Sadowski N., de Andrade M. S., and Bastos

J. P. A. A non-a priori approa h to analyze ele tri ma hines modeled by FEM

onne ted to stati onverters. IEEE Transa tions on Magneti s, 38(2):933936,

2002.

[133 Turowski J. Computational Magneti s, hapter 6. Coupled Fields, pages 234284.

Springer S ien e+Business Media, Dordre ht, 1995.

[134 Eusta he P., Meunier P., and Coulomb J. L. Finite element toolbox for generi

oupling (magneti , thermal, et .). IEEE Transa tions on Magneti s, 32(3):1461

1464, 1996.

[135 Williamson S. and Begg M. C. Analysis of age indu tion motors - a ombined

elds and ir uits approa h. IEEE Transa tions on Magneti s, 21(6):2396 2399,

1985.

[136 Lepaul S., Sykulski J. K., Biddle ombe C. S., Jay A. P., and Simkin J. Coup-

ling of motion and ir uits with ele tromagneti analysis. IEEE Transa tions on

Magneti s, 35(3):16021605, 1999.

[137 Driesen J., Fransen J., De Gersem H., Belmans R., and Hameyer K. Obje t

orientend storage of material data for oupled problems. IEEE Transa tions on

Magneti s, 34(5):34153418, 1998.

[138 Kanerva S., Seman S., and Arkkio A. Indu tan e model for oupling nite element

analysis with ir uit simulation. IEEE Transa tions on Magneti s, 41(5):1620

1623, 2005.

ix


[139 Zhou P., Fu W. N., Lin D., Stanton S., and Cendes Z. J. Numeri al modeling of

magneti devi es. IEEE Transa tions on Magneti s, 40(4):18031809, 2004.

[140 Piriou F. and Razek A. Simulation of ele tromagneti systems by oupling of

magneti and ele tri equations. Journal of Mathemati s and Computers in Simu-

lations, 31(3):189 194, 1989.

[141 Piriou F. and Razek A. Finite element analysis in ele tromagneti systems a -

ounting for ele tri ir uits. IEEE Transa tions on Magneti s, 29(2):16691675,

1993.

[142 Tsukerman I. A., Konrad A., Meunier G., and Sabonnadiére J. C. Coupled eld-

ir uit problems: Trends and a omplishments. IEEE Transa tions on Magneti s,

29(2):17011704, 1993.

[143 Costa M. C., Nabeta S. I., and Cardoso J. R. Modied nodal analysis applied to

ele tri ir uits oupled with FEM in the simulation of a universal motor. IEEE

Transa tions on Magneti s, 36(4):14311434, 2000.

[144 De Gersem H. Simulation of Field-Cir uit Coupled Motional Eddy Current Prob-

lems by Krylov Subspa e Methods and Multilevel Te hniques. PhD thesis, Katho-

lieke Universiteit Leuven, 2001.

[145 Lahaye D. Algebrai Multigrid for Two-Dimensional Time Harmoni Magneti

Field Computations. PhD thesis, Katholieke Universiteit Leuven, 2001.

[146 Kanerva S. Simulation of Ele tri al Ma hines Cir uits and Control Systems Using

Finite Element Method and System Simulator. PhD thesis, Helsinki University of

Te hnology, 2005.

[147 S höps S., De Gersem H., and Weiland T. Winding fun tions in transient magne-

toquasistati eld- ir uit oupled simulations. COMPEL-The International Jour-

nal for Computation and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering,

32(6):20632083, 2013.

[148 Bartel A., Brunk M., Günther M., and S höps S. Dynami iteration for oupled

problems of ele tri ir uits and distributed devi es. SIAM Journal on S ienti

Computing, 35(2):315335, 2013.

[149 Gausling K. and Bartel A. Coupling interfa es and their impa t in eld/ ir uit

o-simulation. IEEE Transa tions on Magneti s, 52(3):7209304, 2016.

[150 Muttnyánszki Á. Kinematika és Kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1961.

[151 de Oliveira A. M., Antunes R., Kuo-Peng P., and Sadowski N. Ele tri al ma hine

analysis onsidering eld - ir uit - movement and skewing ee ts. COMPEL-

The International Journal for Computation and Mathemati s in Ele tri al and

Ele troni Engineering, 23(4):10801091, 2004.

[152 Mar sa D. and Ku zmann M. Primal domain de omposition method with dire t

and iterative solver for ir uit-eld-torque oupled parallel nite element method

to ele tri ma hine modelling. Advan es in Ele tri al and Ele troni Engineering

- Zilina, 13(5):458465, 2015.

x


[153 Sadowski N., Lefévre Y., Lajoie-Mazen M., and Cros J. Finite element torque al-

ulation in ele tri al ma hines while onsidering the movement. IEEE Transa tions

on Magneti s, 28(2):14101413, 1992.

[154 Antunes O. J., Bastos J. P. A., Sadowski N., Razek A., Santandrea L., Bouilla-

ult F., and Rapetti F. Torque al ulation with onforming and non onforming

movement interfa e. IEEE Transa tions on Magneti s, 42(4):983986, 2006.

[155 Mar sa D. Indu tion motors simulation by nite element method and dierent

potential formulations with motion voltage term. Szakdolgozat, Szé henyi István

Egyetem, 2009.

[156 Stepien S. Determination of ele tromagneti torque with on-line omputation of the

optimal radius of the integration ontour. COMPEL-The International Journal for

Computation and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering, 29(3):686

698, 2010.

[157 Tsukerman I. A stability paradox for time-stepping s hemes in oupled eld- ir uit

problems. IEEE Transa tions on Magneti s, 31(3):1857 1860, 1995.

[158 Dular P. and Kuo-Peng P. An e ient time dis retization pro edure for nite

element-ele tri ir uit equation oupling. COMPEL-The International Journal for

Computation and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering, 21(2):274

285, 2002.

[159 Ho S. L., Fu W. N., and Wong H. C. Appli ation of automati hoi e of step size

for time stepping nite element method to indu tion motors. IEEE Transa tions

on Magneti s, 33(2):13701373, 1997.

[160 Andersen O. W. and Fehrle K. G. Pra ti al solution of eddy urrent problems by

nite elements. In COMPUMAG 78 - Conferen e on the Computation of Mag-

neti Field, page 5.1, Grenoble, Fran iaország, szeptember 4-6. 1978. Laboratoire

d'Ele trote hnique.

[161 Lowther D. A. and Silvester P. P. Finite element models of exterior regions on-

taining moving ondu tors. In COMPUMAG 78 - Conferen e on the Computation

of Magneti Field, page 3.4, Grenoble, Fran iaország, szeptember 4-6. 1978. Labo-

ratoire d'Ele trote hnique.

[162 Rodger D., Karaguler T., and Leonard P. J. A formulation for 3D moving ondu tor

eddy urrent problems. IEEE Transa tions on Magneti s, 25(5):41474149, 1989.

[163 Woodson H. H. and Mel her J. R. Ele trome hani al Dynami s. John Wiley &

Sons, In ., New York, 1968.

[164 Mar sa D. and Ku zmann M. Comparison of the A, V −A and the T ,Φ−Φ formu-

lations for the 2-D analysis of solid-rotor indu tion ma hine. IEEE Transa tions

on Magneti s, 45(9):33293333, 2009.

[165 Ho S. L., Zhao Y., and Fu W. N. A hara teristi Galerkin method for eddy-

urrent eld analysis in high-speed rotating solid ondu tors. IEEE Transa tions

on Magneti s, 48(11):46344637, 2012.

xi


[166 Barret P. Computation of ele tromagneti , thermal and me hani al quantities

during asyn hronous starting up of solid salient pole sny hronous ma hines. Ex-

perimental veri ation. IEEE Transa tions on Power Apparatus and Systems,

PAS-100(1):190202, 1981.

[167 Vassent E., Meunier G., and Sabonnadiére J. C. Simulation of indu tion ma hine

operation using omplex magnetodynami nite elements. IEEE Transa tions on

Magneti s, 25(4):30643066, 1989.

[168 Vassent E., Meunier G., Foggia A., and Sabonnadiére J. C. Simulation of indu tion

ma hine operation using a step-by-step nite-element method. Journal of Applied

Physi s, 67(9):58095811, 1990.

[169 Miyata K. and Maki K. Air-gap remeshing te hnique for rotating ma hines in 3D

nite element modeling. IEEE Transa tions on Magneti s, 36(4):14921495, 2000.

[170 Finite Element Method Magneti s. http://www.femm.info/wiki/HomePage. Utol-

só megtekintés: 2016. augusztus 30.

[171 Qui kField. http://www.qui keld. om/index.htm. Utolsó megtekintés: 2016. au-

gusztus 30.

[172 Agros2D. http://www.agros2d.org/. Utolsó megtekintés: 2016. augusztus 30.

[173 Erdélyi E. A. and Fu hs E. F. Nonlinear magneti eld analysis of DC ma hines,

part I: Theoreti al fundamentals. IEEE Transa tions on Power Apparatus and

Systems, PAS-89(7):15461554, 1970.

[174 Fu hs E. F. and Erdélyi E. A. Nonlinear magneti eld analysis of DC ma hines,

part II: Appli ation of the improved treatment. IEEE Transa tions on Power

Apparatus and Systems, PAS-89(7):15551564, 1970.

[175 Aldefeld B. Cal ulation of the dynami behaviour of ele tromagneti a tuators.

In COMPUMAG 76 - Conferen e on the Computation of Magneti Field, pages

389393, Oxford, UK, már ius 31 - április 2. 1976. Rutherford Laboratory.

[176 Abdel-Razek A. A., Coulomb J. L., Felia hi M., and Sabonnadiére J. C. Con eption

of an air-gap element for the dynami analysis of the ele tromagneti eld in ele tri

ma hines. IEEE Transa tions on Magneti s, MAG-18(2):655659, 1982.

[177 De Gersem H. and Weiland T. Reformulation and generalisation of the air-gap

element. International Compumag So iety Newsletter, 12(1):18, 2005.

[178 Gerber S. and Wang R.-J. Implementation of a moving band solver for nite

element analysis of ele tri al ma hines. In Pro eedings of the 22nd South Afri an

Universities Power engineering Conferen e 2014, pages 249254, Durban, Dél-

afrikai Köztársaság, január 30-31. 2014. Rutherford Laboratory.

[179 Gerber S. and Wang R.-J. Evaluation of movement fa ilitating te hniques for nite

element analysis of magneti ally geared ele tri al ma hine. IEEE Transa tions on

Magneti s, 51(2):7400206, 2015.

xii


[180 Wang R., Mohellebi H., Fla k T. J., Kamper M. J., Buys J. D., and Felia hi M.

Two-dimensional artesian air-gap element (CAGE) for dynami nite-element mo-

deling of ele tri al ma hines with a at air gap. IEEE Transa tions on Magneti s,

38(2):13571360, 2002.

[181 De Gersem H., Ion M., Wilke M., Weiland T., and Demenko A. Trigonometri

interpolation at sliding surfa e and in moving bands of ele tri al ma hine mo-

dels. COMPEL-The International Journal for Computation and Mathemati s in

Ele tri al and Ele troni Engineering, 25(1):3142, 2006.

[182 De Gersem H., Gyselin k J., Dular P., Hameyer K., and Weiland T. Comparison

of sliding-surfa e and moving-band te hniques in frequen y-domain nite-element

models of rotating ma hines. COMPEL-The International Journal for Computa-

tion and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering, 23(4):10061014,

2004.

[183 Shi X., Le Mena h Y., Du reux J.-P., and Piriou F. Comparison of slip surfa e

and moving band te hniques for modelling movement in 3D with FEM. COMPEL-

The International Journal for Computation and Mathemati s in Ele tri al and

Ele troni Engineering, 25(1):1730, 2006.

[184 Antunes O. J., Batos J. P. A., and Sadowski N. Using high-order nite elements in

problems with movement. IEEE Transa tions on Magneti s, 40(2):529532, 2004.

[185 Dular P., Geuzaine C., da Luz M. V. F., Sadowski N., and Bastos J. P. A. Con-

ne tion boundary ondition with dierent types of nite elements applied to pe-

riodi ity onditions and to the moving band. COMPEL-The International Jour-

nal for Computation and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering,

20(1):109119, 2001.

[186 da Luz M. V. F., Dular P., Sadowski N., Geuzaine C., and Bastos J. P. A. Analysis

of a permanent magnet generator with dual formulations using periodi ity ondi-

tions and moving band. IEEE Transa tions on Magneti s, 38(2):961964, 2002.

[187 Mar sa D. Rotational motion modelling for numeri al analysis of ele tri ma hines.

A ta Te hni a Jaurinensis, 10(2):124 136, 2017.

[188 Mar sa D. A feszültség és a me hanikai egyenlet alkalmazása a végeselemes szi-

mulá ióban. In IV. Me hwart András Ifjúsági Találkozó, page Paper Mar sa 4 p.,

Debre en, szeptember 9. 2014.

[189 Demenko A. Movement simulation in nite element analysis of ele tri ma hine

dynami s. IEEE Transa tions on Magneti s, 32(3):15531556, 1996.

[190 Arkkio A., Biernat A., Bu ki B., Kaminski G., Niemenmaa A., Smak A., and

Staszewski P. Finite-element analysis for a rolling-rotor ele tri al ma hines. IEEE


[191 Niemenmaa A., Salmai L., Arkkio A., and Saari J. Modeling motion, stiness, and

damping of a permanent-magnet shaft oupling. IEEE Transa tions on Magneti s,

46(8):27632766, 2010.

xiii


[192 Im D.-H. and Kim C.-E. Finite element for e al ulation of a linear indu tion motor

taking a ount of the movement. IEEE Transa tions on Magneti s, 30(5):3495

3498, 1994.

[193 Salon S. J. and S hneider J. M. A hybrid nite element - boundary integral

formulation of the eddy urrent problem. IEEE Transa tions on Magneti s, MAG-

18(2):461466, 1982.

[194 Ni olet A., Delin é F., Genon A., and Legros W. Finite element - boundary element

oupling for the movement modeling in two-dimensional stru tures. Journal de

Physique III, 2(11):20352044, 1992.

[195 Henrotte F., Ni olet A., Hédia A., Genon A., and Legros W. Modelling of el-

e trome hani al relay taking into a ount movement and ele tri ir uits. IEEE


[196 Preston T. W., Ree e A. B. J., and Sangha P. S. Indu tion motor analysis by

time-stepping te hnique. IEEE Transa tions on Magneti s, 24(1):471474, 1988.

[197 Rodger D., Lai H. C., and Leonard P. J. Coupled elements for problems involving

movement. IEEE Transa tions on Magneti s, 26(2):548550, 1990.

[198 Ho S. L., Li H. L., Fu W. N., and Wong H. C. A novel approa h to ir uit-eld-

torque oupled time stepping nite element modeling of ele tri ma hines. IEEE


[199 Mare hal Y., Meunier G., Coulomb J. L., and Magnin H. A general purpose tool for

restoring inter-element ontinuity. IEEE Transa tions on Magneti s, 28(2):1728

1731, 1992.

[200 Perrin-Bit R. and Coulomb J. L. A three dimensional nite element mesh on-

ne tion for problems involving movement. IEEE Transa tions on Magneti s,

31(3):19201923, 1995.

[201 Dreher T., Perrin-Bit R., Meunier G., and Coulomb J. L. A three dimensonal nite

element modelling of rotating ma hines involving movement and external ir uit.


[202 Mar sa D. and Ku zmann M. S hur- omplement based parallel nite element

analysis oupled with ir uit and me hani al equations. Computational Problems

of Ele tri al Engineering, 4(1):2328, 2014.

[203 Mar sa D. and Ku zmann M. S hur omplement method with iterative solver for

2D eld- ir uit oupling nite element problem with movement. Przeglad Elektro-

te hni zny, 2014(12):145148, 2014.

[204 De Gersem H. and Weiland T. Harmoni weighting fun tions at the sliding inter-

fa e of a nite-element ma hine model in orporating angular displa ement. IEEE


xiv


[205 Ion M., De Gersem H., Wilke M., and Weiland T. Sliding-surfa e interfa e on-

ditions for 3D ma hine models dis retised by the nite integration te hnique.

COMPEL-The International Journal for Computation and Mathemati s in Ele tri-

al and Ele troni Engineering, 25(2):427439, 2006.

[206 Antunes O. J., Bastos J. P. A., Sadowski N., Razek A., Santandrea L., Bouillault

F., and Rapetti F. Comparison between non onforming movement methods. IEEE


[207 Rapetti F., Bouillault F., Santandrea L., Bua A., Maday Y., and Razek A. Cal-

ulation of eddy urrents with edge elements on non-mat hing grids in moving

stru tures. IEEE Transa tions on Magneti s, 36(4):13511354, 2000.

[208 Antunes O. J., Bastos J. P. A., Sadowski N., Razek A., Santandrea L., Bouillault

F., and Rapetti F. Using hierar hi interpolation with mortar element method for

ele tri al ma hines analysis. IEEE Transa tions on Magneti s, 41(5):14721475,

2005.

[209 Antunes O. J., Bastos J. P. A., and Sadowski N. Comparison between torque

al ulation methods in a non- onforming movement interfa e. COMPEL-The In-


Engineering, 27(1):2736, 2008.

[210 Lange E., Henrotte F., and Hameyer K. A variational formulation for non on-

forming sliding interfa es in nite element analysis of ele tri ma hines. IEEE


[211 Mar sa D. and Ku zmann M. Design and ontrol for torque ripple redu tion of a

3-phase swit hed relu tan e motor. Computers & Mathemati s with Appli ations,

74(1):89 95, 2017.

[212 Bernardi C., Maday Y., and Patera A. A new non onforming approa h to domain

de omposition: The mortar element method. In Nonlinear Partial Dierential

Equations and Their Appli ations, pages 1351. Pitman, 1990.

[213 COMSOL Multiphysi s. https://www. omsol. om/. Utolsó megtekintés: 2016.

augusztus 30.

[214 ANSYS Maxwell. http://www.ansys. om/Produ ts/Ele troni s/ANSYS-Maxwell.

Utolsó megtekintés: 2016. augusztus 30.

[215 Lindholm D. A. Automati triangular mesh generation of surfa es of polyhedra.

IEEE Transa tions on Magneti s, MAG-19(6):25392542, 1983.

[216 Rózsa P. Lineáris Algebra és Alkalmazásai. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.

[217 Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. So iety for Industrial and

Applied Mathemati s, Philadelphia, PA, 2003.

[218 Strang G. Introdu tion to Linear Algebra. Wellesley Cambridge Press, Wellesley,

MA, 2009. 4. kiadás.

xv


[219 Stoyan G. and Takó G. Numerikus módszerek I. Typotex Kiadó, Budapest, 1993.

[220 Faragó I. and Horváth R. Numerikus Módszerek. Typotex Kiadó, Budapest, 2013.

2. kiadás.

[221 Wettl F. Lineáris Algebra - azoknak, akik érteni is szeretnék. Typotex Kiadó,

Budapest, 2011.

[222 Barrett R., Berry M., Chan T. F., Demmel J., Donato J. M., Dongarra J., Eijkhout

V., Pozo R., Romine C., and Van der Vorst H. Templates for the Solution of Linear

Systems: Building Blo ks for Iterative Methods. So iety for Industrial and Applied

Mathemati s, Philadelphia, PA, 1994.

[223 Golub G. H. and Van Loan C. F. Matrix Computations. The Johns Hopkins

University Press, Balltimore and London, 1996.

[224 Trowbridge C. W., editor. Pro eedings of the COMPUMAG - Conferen e on the

Computational of Magneti Fields, St. Catherine's College, Oxford, már ius 31 -

április 2. 1976. International Compumag So iety, Rutherford Laboratory, S ien e

Resear h Coun il, Cilton, Did ot, Oxon, UK.

[225 Sabonnadiere J. C., editor. COMPUMAG - Conferen e on the Computation of

Magneti Fields Communi ations Pro eedings, Grenoble, szeptember 4 - 6. 1978.

International Compumag So iety, Laboratoire d'Ele trote hnique, Grenoble, Fran-

iaország.

[226 Sterling T., Be ker D. J., Savarese D., Dorband J. E., Ranawake U. A., and Pa ker

C. V. Beowulf: A parallel workstation for s ienti omputation. In Pro eedings

of the 24th International Conferen e on Parallel Pro essing, pages 11 14. CRC

Press, 1995.

[227 Top500 super omputing sites. https://www.top500.org/. Utolsó megtekintés:

2016. augusztus 30.

[228 Fu H., Liao J., Yang J., Wang L., Song Z., Huang X., Yang C., Xue W., Liu F.,

Qiao F., Zhao W., Yin X., Hou C., Zhang C., Ge W., Zhang J., Wang Y., Zhuo

C., and Yang G. The sunway taihulight super omputer: System and appli ations.

S ien e China Information Sien e, 59(7):116, 2016.

[229 Smith B. F., Bjørstad P. E., and Gropp W. D. Domain De omposition - Parallel

Multilevel Methods for Ellipti Partial Dierential Equations. Cambridge Univer-

sity Press, 1996.

[230 Fragakis Y. and Papadrakakis M. The mosai of high performan e domain de om-

position methods for stru tural me hani s: Formulation, interrelation and numeri-

al e ien y of primal and dual methods. Computer Methods in Applied Me hani s

and Engineering, 192(35-36):37993830, 2003.

[231 Fragakis Y. and Papadrakakis M. The mosai of high performan e domain de om-

position methods for stru tural me hani s - part ii: Formulation enhan ments,

multiple right-hand sides and impli it dynami s. Computer Methods in Applied

Me hani s and Engineering, 193(42-44):46114662, 2004.

xvi


[232 Toselli A. and Widlund O. B. Domain De omposition Methods - Algorithms and

Theory. Springer, Berlin, 2005.

[233 Kruis J. Domain De omposition Methods for Distributed Computing. Saxe-Coburg

Publi ations, Kippen, Stirling, 2006.

[234 Magoulès F. (szerk.). Mesh Partitioning Te hniques and Domain De omposition

Methods. Saxe-Coburg Publi ations, Kippen, Stirling, 2007.

[235 Stoyan G. and Takó G. Numerikus módszerek III. Typotex Kiadó, Budapest, 2008.

[236 Dolean V., Jolivet P., and Nataf F. An Introdu tion to Domain De omposition

Methods: Algorithms, Theory, and Parallel Implementation. Master, Fran iaor-

szág, 2015.

[237 Domain de omposition. http://www.ddm.org/. Utolsó megtekintés: 2016. augusz-

tus 30.

[238 Yang G., Chen X., Lei G., Saho K. R., Guo Y., Zhu J., and Lavers J. D. Domain

de omposition ombined radial basis fun tion ollo ation method to solve transient

eddy urrent magneti problems with moving ondu tors. IEEE Transa tions on

Magneti s, 47(10):29392942, 2011.

[239 Geiser J. De omposition Methods for Dierential Equations: Theory and Appli a-

tions. Chapman and Hall/CRC, New York, 2009.

[240 Bertsekas D. P. and Tsitsiklis J. N. Parallel and Distributed Computation: Nume-

ri al Methods. Athena S ienti , Belmont, Massa husetts, 1997.

[241 Nakano T., Kawase Y., Yamagu hi T., Nakamura M., Nishikawa N., and Ue ha-

ra H. Parallel omputing of magneti eld for rotating ma hines on the earth

simulator. IEEE Transa tions on Magneti s, 46(8):32733276, 2010.

[242 Böhmer S., Lange E., Hafner M., Cramer T., Bis hof C., and Hameyer K. Mesh

de omposition for e ient parallel omputing of ele tri al ma hines by means of

FEM a ounting for motion. IEEE Transa tions on Magneti s, 48(2):891894,

2012.

[243 Takahashi Y., Iwashita T., Nakashima H., Tokumasu T., Fujita M., Wakao S., Fu-

jiwara K., and Ishihara Y. Parallel time-periodi nite-element method for steady-

state analysis of rotating ma hines. IEEE Transa tions on Magneti s, 48(2):1019

1022, 2012.

[244 Keränen J., Pippuri J., Malinen M., Ruokolainen J., Råba k P., Lyly M., and

Tammi K. E ient parallel 3-D omputation of ele tri al ma hines with Elmer.


[245 Takahashi Y., Fujiwara K., Iwashita T., and Nakashima H. Parallel nite-element

analysis of rotating ma hines based on domain de omposition onsidering non on-

forming mesh onne tion. IEEE Transa tions on Magneti s, 52(3):7401604, 2016.

xvii


[246 Hoppe R. H. W., Iliash Y., Ramminger S., and Wa hutka G. Domain de omposit-

ion methods in ele trothermome hani al oupling problems. In Domain De ompo-

sition Methods in S ien e and Engineering Series : Le ture Notes in Computational

S ien e and Engineering Vol. 40, pages 387 394. Springer, Berlin, 2004.

[247 Hoppe R. H. W., Petrova S., and S hulz V. 3D stru tural optimization in el-

e tromagneti s. In Pro eedings of the 13th International Conferen e on Domain

De omposition Methods, pages 477 484, Lyon, Fran iaország, október 9-12. 2000.

CIMNE, Bar elona.

[248 Haase G., Kuhn M., and Langer U. Parallel 3D maxwell solvers based on domain

de omposition data distribution. In Pro eedings of the 12th International Confe-

ren e on Domain De omposition Methods, pages 353 364, Lyon, Fran iaország,

október 9-12. 2000. CIMNE, Bar elona.

[249 Langer U., Pohoata A., and Steinba h O. Appli ation of pre onditioned oupled

FETI/BETI solver to 2D magneti eld problems. Te hni al report SFB-Report

2004-23, Johannes Kepler University, Linz, 2004.

[250 Camargos A. F. P., Batalha R. M. S., Martins C. A. P. S., Silva E. J., and Soares

G. L. Superlinear speedup in a 3-D parallel onjugate gradient solver. IEEE

Transa tions on Magneti s, 45(3):1602 1605, 2009.

[251 Kanayama H. and Sugimoto S.-I. Ee tiveness of A-φ method in a parallel om-

puting with an iterative domain de omposition method. IEEE Transa tions on

Magneti s, 42(4):539 542, 2006.

[252 Yao W. A urate, E ient, and Stable Domain De omposition Methods For Analy-

sis of Ele trome hani al Problems. PhD thesis, University of Illinois, 2013.

[253 YaoW., Jin J.-M., and Krein P. T. A highly e ient domain de omposition method

applied to 3-D nite element analsis of ele trome hani al and ele tri ma hine

problems. IEEE Transa tions on Energy Conversion, 27(4):1078 1086, 2012.

[254 Yao W., Jin J.-M., and Krein P. T. A nite-element-based domain de omposition

method for e ient simulation of nonlinear ele trome hani al problems. IEEE

Transa tions on Energy Conversion, 29(2):309 319, 2014.

[255 Paras hos G. N. and Vouvakis M. N. The dual, overlapping primal FETI (FETI-

DOP) domain de omposition. In 2011 IEEE International Symposium on Anten-

nas and Propagation (APSURSI), pages 2983 2986, július 2011.

[256 Rapetti F. and Toselli A. A FETI pre onditioner for two dimensional edge element

approximations of Maxwell's equations on non-mat hing grids. SIAM Journal on

S ienti Computing, 35(2):92 108, 2001.

[257 Toselli A. and Vasseur X. Robust and e ient FETI domain de omposition al-

gorithms for edge element approximations. In Pro eedings of 11th International

IGTE Symposium on Numeri al Field Cal ulation in Ele tri al Engineering, pages

16 21, Graz, Ausztria, szeptember 13-15. 2004. Verlag d. Te hn. Univ. Graz.

xviii


[258 Lee S. C., Vouvakis M., and Lee J. F. A non-overlapping domain de omposition

method with non-mat hing grids for modeling large nite element antenna arrays.

Journal of Computational Physi s, 203(1):1 21, 2005.

[259 Pasquetti R., Pavarino L. F., Rapetti F., and Zampieri E. Neumann-Neumann-

S hur omplement methods for Fekete spe tral elements. Journal of Engineering

Mathemati s, 56(3):323 335, 2006.

[260 Dolean V., Gerardo-Giorda L., and Gander M. J. Optimized S hwarz methods

for Maxwell equations. SIAM Journal on S ienti Computing, 31(3):2193 2213,

2009.

[261 Rawat V. and Lee J. F. Nonoverlapping domain de omposition with se ond order

transmission ondition for the time-harmoni Maxwell's equations. SIAM Journal

on S ienti Computing, 32(6):3584 3603, 2010.

[262 Zsaki A., Rixen D., and Paras hivoiu M. A substru ture-based iterative inner solver

oupled with Uzawa's algorithm for the Stokes problem. International Journal for

Numeri al Methods in Fluids, 43(2):215 230, 2003.

[263 Halba h A., Dular P., and Geuzaine C. Comparison of nonlinear domain de om-

position s hemes for oupled ele trome hani al problems. IEEE Transa tions on

Magneti s, 52(3):7204904, 2016.

[264 Marsi N., Waltz C., Lee J.-F., and Geuzaine C. Domain de omposition methods

for time-harmoni ele tromagneti waves with high-order whitney forms. IEEE


[265 Farhat C. and Roux F. X. A method of nite elemenet tearing and inter onne ting

and its parallel solution algorithm. International Jorunal for Numeri al Methods

in Engineering, 32(6):1205 1227, 1991.

[266 Magoulés F. and F.-X. Roux. Lagrangian formulation of domain de omposition

methods: A unied theory. Applied Mathemati al Modelling, 30(7):593 615, 2006.

[267 Farhat C. A saddle-point prin iple domain de omposition method for the solution

of solid me hani s problems. In Pro eedings of the 5th International Conferen e

on Domain De omposition Methods, pages 271 292, Norfolk, Virginia, május 6-8.

1991.

[268 Mandel J. Balan ing domain de omposition. Communi ations in Numeri al Met-

hods in Engineering, 9(3):233241, 1993.

[269 Mandel J. and Brezina M. Balan ing domain de omposition: Theory and perfor-

man es in two and three dimensions. Te hni al report 7, Computational Mathe-

mati s Group, University of Colorado at Denver, 1993.

[270 S hwarz H. A. Über einen grenzübergang dur h alternierendes verfahren. Viertel-

jahrss hrift der Naturfors henden Gesells haft in Züri h, 15:272286, 1870.

[271 Przemienie ki J. S. Matrix stru tural analysis of substru tures. Ameri an Institute

of Aeronauti s and Astronauti s Journal, 1(1):138147, 1963.

xix


[272 Lavers D., Boglaev I., and Sirotkin V. Numeri al solution of transient 2-D eddy

urrent problem by domain de omposition algorithms. IEEE Transa tions on Mag-

neti s, 32(3):14131416, 1996.

[273 Sebestyén I. Ele tri -eld al ulation for HV insulator using domain-de omposition

method. IEEE Transa tions on Magneti s, 38(2):12131216, 2002.

[274 Perrussel R., Voyer D., Ni olas L., S orretti R., and Burais N. Domain de ompo-

sition for omputing extremely low frequen y indu ed urrent in the human body.


[275 Matlab. Partial Dieretial Equation Toolbox User's Guide. The MathWorks, In .,

1996.

[276 Navarro R. B. and Montoya C. G. Mesh Partitioning Te hniques and Domain

De omposition Methods, hapter 1. Graph and Mesh Partitioning: An Overview

of the Current State-of-the-Art, pages 1 26. Saxe-Coburg Publi ations, Kippen,

Stirling, 2007.

[277 Nikishkov G. P. Mesh Partitioning Te hniques and Domain De omposition Met-

hods, hapter 5. Basi s of the Domain De omposition Method for Finite Element

Analysis, pages 119 142. Saxe-Coburg Publi ations, Kippen, Stirling, 2007.

[278 Iványi P. and Radó J. El®feldolgozás párhuzamos számításokhoz. Typotex Kiadó,

Budapest, 2014.

[279 Farhat C. A simple and e ient automati FEM domain de omposer. Computers

& Stru tures, 28(5):579 602, 1988.

[280 Karypis G. and Kumar V. METIS - family of multilevel partitioning algorithms

(online: http://glaros.dt .umn.edu/gkhome/metis/metis/overview, utolsó látoga-

tás: 2016. szeptember 15.). Department of Computer S ien e and Engineering,

University of Minnesota, USA, 2013.

[281 Dryja M. and Widlund O. B. Towards a unied theory of domain de omposition

algorithms for ellipti problems. In Third International Conferen e on Domain

De omposition Methods, pages 3 21, Houston, USA, már ius 6-11. 1989.

[282 Nikishkov G. P., Makinaou hi A., Yagawa G., and Yoshimura S. Performan e

study of the domain de omposition method with dire t equation solver for parallel

nite element analysis. Computational Me hani s, 19(1):84 93, 1996.

[283 Bramble J. H., Pas iak J. E., and Vassilev A. T. Analysis of non-overlapping do-

main de omposition algorithms with inexa t solver. Mathemati s of Computation,

67(221):1 19, 1998.

[284 Guerrero M. S. Parallel Multigrid Algorithms for Computational Fluid Dynami s

and Heat Transfer - 6. fejezet. PhD thesis, Universitat Politè ni a de Catalunya,

Spanyolország, 2000.

xx


[285 Bank R. E. and Jima k P. K. A new parallel domain de omposition method

for the adaptive nite element solution of ellipti partial dierential equations.

Con urren y and Computation: Pra ti e and Experien e, 13(5):327 350, 2001.

[286 Cros J.-M. A pre onditioner for the S hur omplement domain de omposition met-

hod. In Fourteenth International Conferen e on Domain De omposition Methods,

pages 373380, Co oyo , Mexikó, január 6-11. 2002.

[287 Magoulès F. and Roux F.-X. Mesh Partitioning Te hniques and Domain De ompo-

sition Methods, hapter 4. Algorithms and Theory for Substru turing and Domain

De omposition Methods, pages 89118. Saxe-Coburg Publi ations, Kippen, Stir-

ling, 2007.

[288 Bramble J. H., Pas iak J. E., and S hatz A. H. The onstru tion of pre onditioner

for ellipti problems by substru turing I. Mathemati al Computation, 47(175):103

134, 1986.


for ellipti problems by substru turing II. Mathemati al Computation, 49(179):1

16, 1987.


for ellipti problems by substru turing III. Mathemati al Computation, 51(184):415

430, 1988.

[291 Mar sa D. and Ku zmann M. Parallel solution of an ele trostati eld problem

- ase study. Polla k Periodi a: An International Journal for Engineering and


[292 Mar sa D. and Ku zmann M. Parallel solution of ele trostati and stati magne-

ti eld problems by domain de omposition method. Przeglad Elektrote hni zny,

89(2b):4952, 2013.

[293 Mar sa D. and Ku zmann M. Performan e study of domain de omposition met-

hods for 2D parallel nite element analysis. Polla k Periodi a: An International

Journal for Engineering and Information S ien es, 8(3):4758, 2013.

[294 Mar sa D. and Ku zmann M. Comparison of domain de omposition methods for

ellipti partial dierential problems with unstru tured meshes. Przeglad Elektro-

te hni zny, 88(12b):14, 2012.

[295 Ku zmann M. Parallel nite element method. Przeglad Elektrote hni zny,

87(12b):100102, 2011.

[296 Yang Y.-S. Parallel Computing for Nonlinear Dynami Finite Element Stru tural

Analysis with General Sparse Matrix Te hnology. PhD thesis, National Taiwan

University, Tajvan, 2000.

[297 Coulomb F. Domain de omposition and asso iate blo k-ja obi method for the

diusion equation. In Pro eedings of the 3rd International Conferen e on Domain

De omposition Methods, pages 410 427, Houston, Texas, már ius 20-22. 1989.

So iety for Industrial and Applied Mathemati s, Philadelphia, PA.

xxi


[298 De Roe k Y.-H. and LeTalle P. Analysis and test of a lo al domain-de omposition

pre onditioner. In Fourth International Conferen e on Domain De omposition

Methods, pages 112 128, Moszkva, Oroszország, május 21-25. 1990.

[299 Goldfeld P. Balan ing Neumann-Neumann for (in) ompressible linear elasti ity

and (generalized) Stokes - parallel implementation. In Fourteenth International

Conferen e on Domain De omposition Methods, pages 209 216, Co oyo , Mexikó,

január 6-11. 2002.

[300 Bhardwaj M., Day D., Farhat C., Lesoinne M., Pierson K., and Rixen D. Appli a-

tion of the FETI method to ASCI problems - s alability results on 1000 pro essors

and dis ussion of highly heterogeneous problems. International Journal for Nume-

ri al Methods in Engineering, 47(1 - 3):513 535, 2000.

[301 Kamath C. The FETI level 1 method: Theory and implementation.

http:// iteseerx.ist.psu.edu/viewdo /summary?doi=10.1.1.33.5152, 2000. Utolsó

megtekintés: 2016. október 08.

[302 Farhat C., Mandel J., and Roux F. X. Optimal onvergen e properties of the

FETI domain de omposition method. Computer Methods in Applied Me hani s

and engineering, 115(3 - 4):365 385, 1994.

[303 Gosselet P. and Rey C. Non-overlapping domain de omposition methods in stru -

tural me hani s. Ar hives of Computational Methods in Engineering, 13(4):515

572, 2006.

[304 Farhat C., Pierson K., and Lesoinne M. The se ond generation FETI methods

and their appli ation to the parallel solution of large-s ale linear and geometri ally

non-linear stru tural analysis problems. Computer Methods in Applied Me hani s

and engineering, 184(2- 4):333 374, 2000.

[305 Farhat C., Crivelli L., and Roux F. X. Extending substru ture based iterative

solvers to multiple load and repeated analyses. Computer Methods in Applied

Me hani s and engineering, 117(1- 2):195 209, 1994.

[306 Gosselet P., Rixen D. J., and Rey C. A domain de omposition strategy to e iently

solve stru tures ontaining repeated patterns. International Journal for Numeri al

Methods in Engineering, 78(7):828 842, 2008.

[307 Lesoinne M. and Pierson K. An e ient FETI implementation on distributed

shared memory mahines with independent numbers of subdomains and pro essors.

Contemporary Mathemati s, 218:318 324, 1998.

[308 Rixen D. J. Dual s hur omplement method for semi-denite problems. Contem-

porary Mathemati s, 218:341 348, 1998.

[309 Konzubek T., Vondrák V., Men²ík M., Horák D., Dostál Z., Hapla V., Kabelíková

P., and ermák M. Total FETI domain de omposition method and its massively

parallel implementation. Advan es in Engineering Software, 6061:14 22, 2013.

CIVIL-COMP: Parallel, Distributed, Grid and Cloud Computing.

xxii


[310 Tezaur R. Analysis of Lagrange Multiplier Based Domain De omposition. PhD

thesis, University of Colorado, Denver, USA, 1998.

[311 Gosselet P., Rey C., and Rixen D. J. On the initial esimation of interfa e for es

in FETI methods. Computer Methods in Applied Me hani s and Engineering,

192(25):2749 2764, 2003.

[312 Rixen D. J., Farhat C., Tezaur R., and Mandel J. Theoreti al omparison of the

FETI and algebrai ally partitioned FETI methods, and performan e omparison

with a dire t sparse solver. International Journal for Numeri al Methods in Engi-

neering, 46(4):501 533, 1999.

[313 Farhat C. and Mandel J. The two-level FETI method for stati and dynami plate

problems part I: An optimal iterative solver for biharmoni systems. Computer

Methods in Applied Me hani s and engineering, 155(1- 2):129 151, 1998.

[314 Farhat C., Chen P.-S., Mandel J., and Roux F. X. The two-level FETI method part

II: Extension to shell problems, parallel implementation and performan e results.

Computer Methods in Applied Me hani s and engineering, 155(1- 2):153 179,

1998.

[315 Mar sa D. and Ku zmann M. Parallel edge nite element method to solve eddy

urrent eld problems. A ta Te hni a CSAV, 60(3):277290, 2015.

[316 Mar sa D. Domain de omposition algorithms for edge element based paraboli

type problems. A ta Te hni a Jaurinensis, 7(2):193206, 2014.

[317 Mar sa D. and Ku zmann M. Finite element tearing and inter onne ting method

and its algorithms for parallel solution of magneti eld problems. Ele tri al,

Control and Communi ation Engineering, 3(1):2530, 2013.

[318 Toselli A. FETI domain de omposition methods for s alar adve tion-diusion

problems. Computer Methods in Applied Me hani s and Engineering, 190(43 -

44):5759 5776, 2001.

[319 Ben-Israel A. and Greville T. N. E. Generalized Inverses - Theory and Appli ations.

Springer-Verlag, New York, 2003. 2nd edition.

[320 Shklarski G. and Toledo S. Computing the null spa e of nite element problems.

Computer Methods in Applied Me hani s and Engineering, 198(37 - 40):3084

3095, 2009.

[321 Le Borne S. Blo k omputation and representation of a sparse nullspa e basis of a

re tangular matrix. Linear Algebra and Its Appli ations, 428(11 - 12):2455 2467,

2008.

[322 Matlab. https://www.mathworks. om/produ ts/matlab/. Utolsó megtekintés:

2016. október 30.

[323 Karátson J. Numerikus funk ionálanalízis. Typotex Kiadó, Budapest, 2014.

xxiii


[324 Åström K. J. and Murray R. M. Feedba k Systems - An Introdu tion for S ientists

and Engineers. Prin eton University Press, Prin eton, 2008.

[325 Lantos B. Irányitási rendszerek elmélete és tervezése I. - Egyváltozós szabályozások.

Akadémiai Kiadó, Budapest, 2009.

[326 Franklin G. F., Powell J. D., and Emami-Naeini A. Feedba k Control of Dynami

Systems. Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994.

[327 Kevi zky L., Bars R., Hetthéssy J., Barta A., and Bányász Cs. Szabályozáste hnika.

Universitas-Gy®r Nonprot Kft., Gy®r, 2008.

[328 Bokor J. and Gáspár P. Irányításte hnika járm¶dinamikai alkalmazásokkal. Typo-

tex, Budapest, 2008.

[329 Golten J. and Verwer A. Control System Design and Simulation. M Graw-Hill

Book Company, London, 1991.

[330 Tus hak R. Szabályozate hnika. M¶egyetemi Kiadó, Budapest, 1998.

[331 Li K., Feng X., ZHang J., Zheng J., and Huang D. A new design of ux observer

based on nite element method. In Pro eedings of International Conferen e on

Ele tri al Ma hines and Systems, 2009. ICEMS 2009, pages 1 5, Nov 2009.

[332 Ha hi ha M. R., Ghariani M., and Neji R. Indu tion ma hine nite element model

for eld-oriented ontrol in ele tri vehi le power train. In International Conferen e

on Ele tri al S ien es and Te hnologies in Maghreb (CISTEM), 2014, pages 1

11, Nov 2014.

[333 Lee J. H., Kim S. Y., and Kim Y. H. On-line observer design for sensorless ve tor

ontrol of LIM servo system. In 9th IET International Conferen e on Computation

in Ele tromagneti s (CEM 2014), pages 12, Mar h 2014.

[334 Rauh A., Senkel L., and As hemann H. Finite volume and nite element models

for real-time ontrol and state estimation of two-dimensional heat transfer pro es-

ses. In 19th International Conferen e On Methods and Models in Automation and

Roboti s (MMAR), 2014, pages 600 605, Sept 2014.

[335 Bernat J. and Stepien S. Appli ation of optimal urrent driver for the torque

ontrol of BLDC motor. Ar hives of Ele tri al Engineering, 60(2):149 158, 2011.

[336 Tahmasebi R., Alizadeh H. V., Rahimi S., and Boulet B. Robust H∞ for e ontrol

of a solenoid a tuator using experimental data and nite element method. In 2014

IEEE Conferen e on Control Appli ations (CCA), pages 1172 1177, október 8-10.

2014.

[337 de Ko k H. W., Rix A. J., and Kamper M. J. Optimal torque ontrol of syn hro-

nous ma hines based on nite-element analysis. IEEE Transa tions on Industrial

Ele troni s, 57(1):413 419, 2010.

[338 Labiod C., Srairi K., Mahdad B., Ben houis M. T., and Benbouzid M. E. H. Speed

ontrol of 8/6 swit hed relu tan e motor with torque ripple redu tion taking into

a ount magneti saturation ee ts. Energy Pro edia, 74(1):112 121, 2015.

xxiv


[339 Singh S. K. and Tripathi R. K. Minimization of torque ripples in SRM drive using

DITC for ele tri al vehi le appli ation. In Engineering and Systems (SCES), 2013

Students Conferen e on, pages 1 5, 2013.

[340 Hu Y. and Ding W. Torque ripple minimization of a novel modular stator swit hed

relu tan e motor based on dire t instantaneous torque ontrol. In 2016 Eleventh

International Conferen e on E ologi al Vehi les and Renewable Energies (EVER),

pages 1 7, 2016.

[341 Haemmeri h D. and Webster J. G. Automati ontrol of nite element models for

temperature- ontrolled radiofrequen y ablation. BioMedi al engineering OnLine,

4(42):1 8, 2005.

[342 Jenkouk V., Hirt G., Franzke M., and Zhang T. Finite element analysis of the ring

rolling pro ess with integrated losed-loop onrtol. CIRP Annals - Manufa turing

Te hnology, 61(1):267 270, 2012.

[343 Roel Ortiz J. L., Sadowski N., Kuo-Peng P., Batistela N. J., and Bastos J. P. A.

Coupling stati onverter with ontrol loop and non-linear ele tromagneti devi es.

IEEE Transa tions on Magneti s, 37(5):3514 3517, 2001.

[344 Ito M., Kawabata K., Tajima F., and Motoi N. Coupled magneti eld analysis

with ir uit and kinemati s modelings of brushless motors. IEEE Transa tions on

Magneti s, 33(2):1702 1705, 1997.

[345 JMAG. https://www.jmag-international. om/. Utolsó megtekintés: 2016. október

30.

[346 Opera simulation software. http://operafea. om/. Utolsó megtekintés: 2016. ok-

tóber 30.

[347 Flux 2D/3D. http://www. edrat. om/software/ux.html. Utolsó megtekintés:

2016. október 30.

[348 Demenko A. Time-stepping FE analysis of ele tri motor drives with semi ondu tor

onverters. IEEE Transa tions on Magneti s, 30(5):3264 3267, 1994.

[349 Ohda hi Y., Kawase Y., and Hirako M. Dynami analysis of ve tor ontrolled

indu tion motor using nite element method. IEEE Transa tions on Magneti s,

31(3):1904 1907, 1995.

[350 Ahn S. C., Lee J. H., and Hyun D. S. Dynami hara teristi analysis of LIM using

oupled FEM and ontrol algorithm. IEEE Transa tions on Magneti s, 36(4):1876

1880, 2000.

[351 Ho S. L., Fu W. N., Li H. L., Wong H. C., and Tan H. Performan e analysis of

brushless DC motors in luding features of the ontrol loop in the nite element

modeling. IEEE Transa tions on Magneti s, 37(5):3370 3374, 2001.

[352 Jabbar M. A., Phyu H. N., and Liu Z. J. Analysis of the starting pro ess of a disk

drive spindle motor by time stepping nite element method. IEEE Transa tions

on Magneti s, 40(4):3204 3206, 2004.

xxv


[353 Fodor Gy. Villamos hálózatok somóponti analízise. M¶szaki Könyvkiadó, Buda-

pest, 1982.

[354 Bangura J. F. Dire tly oupled ele tromagneti eld-ele tri ir uit model for

analysis of a ve tor- ontrolled wound eld brushless starter generator. IEEE Tran-

sa tions on Energy Conversion, 26(4):1033 1040, 2011.

[355 Manot G., Lefévre Y., Piquet H., and Ri hardeau F. Integration of ontrol loops in

oupled eld ir uit model to study magneti devi es supplied by power ele troni

onverter and their ontrol. COMPEL - The International Journal for Computa-

tion and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering, 21(4):563 572,

2002.

[356 Bhide R. S., Kumbhar G. B., Kulkarni S. V., and Koria J. P. Coupled ir uit-

eld formulation for analysis for parallel operation of onverters with interphase

transformer. Ele tri Power Systems Resear h, 78(1):158 164, 2008.

[357 Chen J., Zhu J., and Guo Y. A 2-D nonlinear FEA tool embedded in Mat-

lab/Simulink surrounding for appli ation of ele tromagneti eld analysis in power

onverters. In Pro eedings of International Conferen e on Ele tri al Ma hines and

Systems, 2007 - ICEMS, pages 1423 1427, október 8-11. 2007.

[358 Chen J., Zhu J., and Guo Y. A general method for designing the transformer of

yba k onverters based on nonlinear FEA of ele tromagneti eld oupled with

external ir uit. In Pro eedings of International Conferen e on Ele tri al Ma hines

and Systems, 2007 - ICEMS, pages 195 199, október 8-11. 2007.

[359 Kuo-Peng P., Bastos J. P. A., Sadowski N., and Carlson R. Analysis of a ombined

onverter - ele tromagneti devi e by taking into a ount its ontrol loop. IEEE

Transa tions on Energy Conversion, 14(4):14301434, 2000.

[360 Lombard P. and Meunier G. A general purpose method for ele tri and magneti

ombined problems for 2D, axysimmetri and transient systems. IEEE Transa -

tions on Magneti s, 29(2):1737 1740, 1993.

[361 Mar sa D. and Ku zmann M. Closed loop voltage ontrol of a solenoid using paral-

lel nite element method. COMPEL-The International Journal for Computation

and Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering, 35(4):14391449, 2016.

[362 Mar sa D. and Ku zmann M. Closed loop ontrol of nite element model in

magneti system. Polla k Periodi a: An International Journal for Engineering

and Information S ien es, 10(3):1930, 2015.

[363 Davey K. R. Analyti analysis of single and three-phase indu tion motors. IEEE


[364 Mar sa D. and Ku zmann M. Nonlinear two-dimensional nite element modeling

of a single-phase indu tion motor. In Pro eedings of the 13th International IGTE

Symposium on Numeri al Field Cal ulation in Ele tri al Engineering and European

TEAM Workshop, pages 44 49, Graz, Ausztria, szeptember 21-24. 2008.

xxvi


[365 International T.E.A.M. Workshop Problem 30a - Indu tion Motor Analyses.

http://www. ompumag.org/jsite/images/stories/TEAM/problem30a.pdf. Utolsó

megtekintés: 2016. november 15.

[366 International T.E.A.M. Workshop Problem 30b - Analy-

ti Analysis of Single and Three Phase Indu tion Motors.

http://www. ompumag.org/jsite/images/stories/TEAM/problem30b.pdf. Utolsó

megtekintés: 2016. november 15.

[367 Gieras J. F. Permanent Magnet Motor Te hnology - Design and Appli ations. CRC

Press, New York, 2010. 3rd edition.

[368 Liska J. Villamos gépek IV. Aszinkron gépek. Tankönyvkiadó Vállalat, Budapest,

1967.

[369 Asztalos P. Villamosgépek II. Példatár. Tankönyvkiadó Vállalat, Budapest, 1968.

[370 ONELAB - Open Numeri al Engineering LABoratory.

http://onelab.info/wiki/Main_Page. Utolsó megtekintés: 2016. november

30.

[371 Retter Gy. Villamosenergia-átalakítók I. M¶szaki Könyvkideó, Budapest, 1986.

[372 Gyselin k J., Vandevelde L., Dular P., Geuzaine C., and Legros W. A general

method for the frequen y domain FE modeling of rotating ele tromagneti devi es.

IEEE Transa tions on Magneti s, 39(3):1147 1150, 2003.

[373 Gyselin k J. Twee dimensionale dynamis he eindige-elementenmodellering van

statis he en roterende elektromagnetis he energieomzetters. PhD thesis, University

of Gent, 2000.

[374 Gyselin k J., Vandevelde L., and Melkebeek J. Multi-sli e modeling of ele tri al

ma hines with skewed slots - the skew dis retization error. IEEE Transa tions on

Magneti s, 37(5):3233 3237, 2002.

[375 Vajda I. Villamos gépek elmélete és tervezése. Elektronikus jegyzet, Budapest,

2012.

[376 Vajda I. and Lázár G. Számítógéppel segített géptervezés. Elektronikus jegyzet,

Budapest, 2005.

[377 Mar sa D. and Ku zmann M. Two-dimensional modeling of the motion in indu tion

motor with ferromagneti hysteresis. Revue Roumaine des S ien es Te hniques -

Serie Ele trote hnique et Energetique, 55(4):351356, 2010.

[378 Mar sa D. Finite element analysis of a solid-rotor indu tion ma hine. A ta Te hni a

Jaurinensis, 3(2):197206, 2010.

[379 Mar sa D. and Ku zmann M. Nonlinear two-dimensional motional nite element

modeling of a rotational eddy urrent eld problem. Przeglad Elektrote hni zny,

85(12):110113, 2009.

xxvii


[380 Mar sa D. and Ku zmann M. Motional nite element simulation of a single-phase

indu tion motor. Polla k Periodi a: An International Journal for Engineering and


[381 Mar sa D. and Ku zmann M. Finite element analysis of single-phase indu tion

motors. In Pro eedings of the COMSOL Conferen e, pages 1 4, Budapest, Ma-

gyarország, november 24. 2008.

[382 Mar sa D. and Ku zmann M. Domain de omposition algorithms for parallel soluti-

on of magneti eld problems. In Pro eedings of the 13th International Symposium

"Topi al Problems in the Field of Ele tri al and Power Engineering * Do toral

S hool of Energy and Geote hnology II", pages 102 105, Parnu, Észtország, ja-

nuár 14-19. 2013.

[383 Rixen D. J. Extended pre onditioners for FETI method applied to onstrained

problems. International Journal for Numeri al Methods in Engineering, 54(1):1

26, 2002.

[384 Stepien S. and Pate ki A. Modelling and position ontrol of voltage for ed ele tro-

me hani al a tuator. COMPEL-The International Journal for Computation and

Mathemati s in Ele tri al and Ele troni Engineering, 25(2):412 426, 2006.

[385 Bernat J., Stepien S., Stranz A., Szymanski G., and Sykulski J. K. Innite time

horizon optimal urrent ontrol of a stepper motor exploiting a nite element

model. Bulletin of the Polish A ademy of S ien e - Te hni al S ien es, 62(4):835

841, 2014.

[386 Kevi zky L. and Bányász Cs. Két-szabadságfokú irányítási rendszerek. Szé henyi

University Press, 2012.

[387 Zhao C., Xue D., and Chen Y. Q. A fra tional order PID tuning algorithm for

a lass of fra tional order plants. In Pro eedings of the 2005 IEEE International

Conferen e Me hatroni s and Automation, pages 216 221, 2005.

[388 Åström K. J. and Högglund T. PID Controller: Theory, Design, and Tuning. ISA:

The Instrumentation, Systems and Automation So iety, Durham, NC, 1995.

[389 Ahn J.-W. Torque Control, hapter 8. - Swit hed Relu tan e Motor, pages 201

252. In Te h, 2011.

[390 Mar sa D. and Ku zmann M. Control of a nite element based dynami system.

Przeglad Elektrote hni zny, 2015(12):155158, 2015.

[391 Mar sa D. and Ku zmann M. Finite element analysis of swit hed relu tan e motor

with rotor position based ontrol. Polla k Periodi a: An International Journal for

Engineering and Information S ien es, 11(3):153 164, 2016.

[392 Woothipatanapan S., Chan haroensokk P., and Jangwanitlert A. An improvement

asymmetri half-bridge onverter for swit hed relu tan e motor in low-speed ope-

ration with urrent regulator mode. Journal of Power Ele troni s, 15(6):1533

1546, 2015.

xxviii


[393 Farhat C., Lesoinne M., LeTalle P., Pierson K., and Rixen D. FETI - DP: A dual-

primal unied FETI method part I: A faster alternative to the two-level FETI

method. International Journal for Numeri al Methods in Engineering, 50:1523

1544, 2001.

[394 Mandel J. and Tezaur R. On the onvergen e of a dual-primal substru turing

method. Numeris he Mathematik, 88(3):543 558, 2001.

[395 Rei hert K., Freundl H., and Vogt W. The al ulation of for es and torques within

numeri al magneti eld al ulation methods. In COMPUMAG 76 - Conferen e

on the Computation of Magneti Field, pages 6473, Oxford, UK, már ius 31 -

április 2. 1976.

[396 Aldefeld B. For es in ele tromagneti devi es. In COMPUMAG 78 - Conferen e on

the Computation of Magneti Field, page 8.1, Grenoble, Fran iaország, szeptember

4-6. 1978.

[397 Coulomb J. L. A methodology for the determination of global ele trome hani-

al quatities from a nite element analysis and its appli ation to the evaluati-

on of magneti for es, torques and stiness. IEEE Transa tions on Magneti s,

19(6):25142519, 1983.

[398 Müller W. Comparison of dierent methods of for e al ulation. IEEE Transa -

tions on Magneti s, 26(2):10581061, 1990.

[399 Bossavit A. Virtual power prin iple and Maxwell's tensor: whi h omes rst?

COMPEL-The International Journal for Computation and Mathemati s in Ele tri-

al and Ele troni Engineering, 30(6):18041814, 2011.

[400 Henrotte F. Handbook for the omputation of ele tromagneti for es in a onti-

nuous medium. International Compumag So iety Newsletter, 11(2):2 8, 2004.

[401 Coulomb J. L. and Meunier G. Finite element implementation of virtual work

prin iple for magneti or ele tri for e and torque omputation. IEEE Transa tions

on Magneti s, MAG-20(5):18941896, 1984.

[402 Bossavit A. For es in magnetostati s and their omputation. Journal of Applied

Physi s, 67(9):58125814, 1990.

[403 Kabashima T. and Kawahara A. For e al ulation using magnetizing urrents.


[404 Choi H. S., Park I. H., and Lee S. H. Generalized equivalent magnetizing ur-

rent method for total for e al ulation of magnetized bodies in onta t. IEEE


[405 Tevan Gy. A mágneses er®k általános kifejezései. In A Nehézipari M¶szaki Egyetem

Közleményei - X. kötet, pages 365376. Nehézipari M¶szaki Egyetem, Miskol ,

1964.

[406 Vinsard G., Dufour S., and Laporte B. An approximation for the air-slots of

omplex shaped motors. IEEE Transa tions on Magneti s, 35(5):24492452, 1998.

xxix


[407 Retter Gy. Mágneses terek és körök. Tankönyvkiadó, Budapest, 1958.

[408 Iványi A. Hardverek villamoságtani alapjai. Polla k Press, Pé s, 2015.

xxx

Documents

Marcsa Main PhD - szemaxwell.sze.hu/~marcsa/docs/Marcsa_Main_PhD.pdf · ai Elektro dinamik problémák mo dellezése. 5 2.1.1. A enletek ell-egy Maxw. 6 2.1.2. usok otenciálformalizm