Margita VajsblovVajsblov, M.: Metdy zobrazovania 117

Matematick kartografia ako sas kartografieloha kartografie

Kontrukcia mp Zeme (prp. inch vesmrnych telies) ajej ast, na ktorch je zobrazen zemsk povrch spolu s relnymi objektmi ajavmi.loha matematickej kartografie

Zaober sa kartografickmi zobrazeniami, teda zobrazeniami referennej plochy Zeme, vlastnosami tchto zobrazen z hadiska skreslen a geometrickho tvaru obrazu zemepisnej siete na mape a dva nvod na praktick pouvanie tchto zobrazen.Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 118

o hovor histria?Prv znma mapa Sumeri 5 000 p. n. l.Star Grcko glbusy, mapy pouitie kueoseiek Hipparchos Rhodsk (180 125 p. n. l.), Marinos zTylu (asi 1. stor. n. l.) ako prv pouil kartografick zobrazenie, vyznail pln stupov zemepisn sie zobrazen na valcov plochu. Ptolemaios (165 85 p. n. l) vydal sbor knh zoblasti geografie, astronomie a matematiky, poloil zklady sfrickej trigonometrie, autor kueovho kartografickho zobrazenia a pod.15. a 16. storoie rozvoj moreplavby, podnietil rozvoj kartografie v alch storoiach.17. a 18. storoie rozvoj tvorby kartografickch zobrazen: Lambert zakladate KARTOGRAFIE, autor viacerch kartografickch zobrazen,Mercator autor viacerch zobrazen, napr. konformnho zobrazenia guovej plochy na valcov plochu, v ktorom sa loxodrmy zobrazuj do priamok. Vsasnosti sa odbor matematick kartografia zaober kartografickmi zobrazeniami zpohadu skreslen. Mapovanie na Slovensku v sastnosti vyuva Kovkovo konformn kueov zobrazenie vo veobecnej polohe na zobrazenie bodov Jednotnej trigonometrickej siete katastrlnej (nov realizcia JTSK 03). Vo vojenskom zoskupen NATO je pouvan Mercatorovo transverzlne valcov zobrazenie (UTM).Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 119

Referenn plochy Zeme Rovina pouva sa pre vemi mal zemie okrhleho tvaru s plochou do 200 km2 (kruh s polomerom 8 km) a pre menej presn vpoty s plochou do 700 km2 a polomerom do 15 km.Elipsoidy:

trojos elipsoid.rotan elipsoid,Guov plocha (sfra) pouva sa v geodetickch a topografickch lohch na kruhovom zem s polomerom do 200 km, pri tvorbe mp malch mierok (1 : 106 a menej). Najznmejie referenn elipsoidy: Zachov, Besselov (1841), Hayfordov (1909), Krasovskho (1940), IAG (1967), GRS 1980, WGS 84.Poznmka: V kartografickch dielach je asto prvm krokom transformcie zobrazenie bodov elipsoidu na guov plochu. Druhm krokom transformcie je kartografick zobrazenie bodov guovej plochy. V nasledujcich kapitolch budeme charakterizova kartografick zobrazenia iba bodov referennej guovej plochy.Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 120

Sradnicov sstavy na referennej guovej plochePriestorov pravouhl sradniceSradnicov sstava {O, x, y, z}, kde O je stred referennej guovej plochy, z je zemsk os.Vzah medzi zemepisnmi sradnicami bodov guovej plochy a ich pravouhlmi sradnicami:x = R cosU cosVy = R cosU sinVz = R sinUZemepisn sradnice U, V (obr. 1) - Zemepisn rka U -90, 90 uhol normly ku guovej ploche v danom bode s rovinou rovnka (kladn na severnej polguli).- Zemepisn dka V 0, 360) alebo V -180, 180) uhol roviny, ktor obsahuje zemsk os a dan bod s rovinou obsahujcou os a bod so zemepisnou dkou 0 (hvezdre Greenwich). Kladn orientcia zemepisnej dky je v smere na vchod.PJPxRzVUyPSKartografick sradnice , D (obr. 2) Kartografick rka -90, 90,kartografick dka D 0, 360) alebo D -180 , 180), s odvoden od kartografickho plu K [UK, VK].KPSPkartografick rovnkz = 90-90-Uk90-UDzemepisn rovnk0Obr. 1Obr. 2Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 121

Sradnicov sstavy v rovine obrazu Pravouhl sradnicov sstava so zaiatkom O, osami x, y, pravouhl sradnice bodu P [xP, yP].

Polrna sradnicov sstava so zaiatkom V [xv, yv], polrne sradnice bodu P [, ], kde je vzdialenos bodu P od V, je polrny uhol uren od zpornho smeru osi x (obr. 3), potom plat:kde 0, 360) alebo -180, 180).Stotonenm V O, je uren od kladnej vetvy osi x (obr. 4), potom plat: OVPxyxPyPO VPxyxPyPObr. 3Obr. 4Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 122

Krivky na referennej guovej plocheZemsk rovnobeky mnoiny bodov s kontantnou zemepisnou rkou. Rovnobeku, ktorej body maj zemepisn rku U, budeme oznaova rU , (zemsk rovnk r0) (obr. 5).Zemsk poludnky (meridiny) mnoiny bodov s kontantnou zemepisnou dkou. Poludnk, ktorho body maj zemepisn dku V, budeme oznaova mV (obr. 5).Ply: PS severn, U = 90o , PJ jun, U = -90o , V -180 o, 180 o) ply s singulrne body (rovnobekov krunice s nulovm polomerom) (obr. 5).Zemepisn sie rovnobeky a poludnky na referennej ploche vybran v pravidelnch intervaloch.Geodetick iara (na referennej guovej ploche nazvan ortodrma) najkratia spojnica dvoch bodov P1, P2 na referennej ploche (obr. 6).Loxodrma krivka na referennej ploche, ktor v celom svojom priebehu pretna poludnky pod kontantnm uhlom (m kontantn azimut) (obr. 7). PS kP0P1P2PmPmPJP0PxRzVUyPJPS0mVrUm0Obr. 5Obr. 6Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 123r0

Kartografick zobrazenie uruje matematick vzah medzi zemepisnmi sradnicami odpovedajcich si bodov na referennej ploche a sradnicami v rovine obrazu.Kartografick zobrazenie Referenn guov plocha- zemepisn sradnice [U, V] - kartografick sradnice [, D]Rovina obrazu[x, y] pravouhl sradnice [, ] polrne sradnicePoznmka: alej budeme uvaova zobrazenia referennej guovej plochy s pouitm zemepisnch sradnc U, V.Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 124

Klasifikcia kartografickch zobrazenPoda vlastnost kartografickch skreslen

a) ekviditann zachovva dky uritej sstavy iar,b) ekvivalentn zachovva obsahy (plochy),c) konformn zachovva uhly,d) kompenzan (vyrovnvacie) skreslenie uhlov a obsahov m stredn mieru.Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 125

Klasifikcia kartografickch zobrazen2. Poda plochy, na ktor zobrazujemea) zobrazenia na guov plochu,b) jednoduch zobrazenia, na rozvinuten plochy (obr. 8): - azimutlne na rovinu, - valcov (cylindrick) na valcov plochu, - kueov (knick) na kueov plochu,c) neprav zkladn charakteristiky jednoduchch zobrazen s zachovan, in zmenen: - pseudoknick (obr. 9), - pseudoazimutlne (obr. 10), - pseudocylindrick (obr. 11),d) polyknick na nekonen poet kueovch plch (obr. 12),e) polyedrick mnohostenov (obr. 13),f) neklasifikovan.Obr. 8Obr. 10Obr. 9Obr. 11Obr. 12Obr. 13Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 126

3. Jednoduch zobrazenia rozdeujeme poda polohy osi plochy, na ktor zobrazujemea) plov (normlna) poloha (obr. 14) os plochy je toton so zemskou osou, v azimutlnych zobrazeniach je rovina rovnoben s rovinou rovnka,b) rovnkov (transverzlna) poloha (obr. 15) os plochy je v rovine rovnka, v azimutlnych zobrazeniach je rovina rovnoben so zemskou osou,c) veobecn poloha (obr. 16) neplat a), b).Klasifikcia kartografickch zobrazenazimutlne:valcov:kueov:Vajsblov, M.: Metdy zobrazovania 127Obr. 14Obr. 15Obr. 16