Les chantiers de pédagogie mathématique n°171 décembre 2016

La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS 1/16

Sommaire

Édito

Le mois de mars, le mois des maths… et il n'y a pas assez de jours dans le mois…

Classe inversée

Quand le professeur de mathématiques est sur YouTube… Quelques réflexions sur les moments

d’exposition des connaissances et les capsules pour des classes inversées

Super Lune

Vous souvenez-vous de la conjonction qui, en Novembre dernier, nous a donné l'occasion

d'observer une "Super Lune" ? Notre collègue Cécile Prouteau s'est emparée de cette occasion

pour y intéresser ses collégiens.

Les figures de l'ombre

Elles cumulaient tous les handicaps : elles étaient femmes, elles étaient noires, elles étaient

pugnaces et elles étaient … douées pour les sciences.

Algorithme et programmation : un nouvel enseignement en maths ?

Aujourd’hui, une accélération a été donnée par la création au Lycée d’un nouvel enseignement :

l’ICN, qui n’est que la généralisation de l’option ISN de la terminale S.

Le circuit de voiture : activité avec Scratch en 5e

Après différentes activités sur scratch, dont certaines issues du site de l’APMEP, j’ai proposé à

mes élèves de réaliser un jeu de voiture. Je leur ai donné alors comme consigne de réaliser un

circuit de voiture et une voiture qui puisse se déplacer à l’aide des flèches du clavier, et qui

revienne devant la ligne d’arrivée lorsqu’elle sort du circuit.

La programmation visuelle en IUT

Dans le n°53 du mois de janvier 2017 de la revue MathémaTice, un article de réflexion sur la

programmation visuelle est proposé par un enseignant d'informatique en IUT (Patrick Raffinat)

Documents et Formation sur l’algorithmique et la programmation

Actuellement je suis une formation réalisée par Classe’code, celle-ci propose une formation

gratuite sur comment initier les jeunes à la pensée informatique. Elle propose à la fin de la

formation une attestation de suivi de formation.

Avis de Recherche

Encore trois solutions pour le n° 6 et le n° 7.

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Mars, le mois des maths ! Au départ, il y avait, le troisième jeudi de mars, un jeu concours qui s'appelait le

Kangourou des mathématiques. Dans la même période, il y a eu ensuite les Olympiades de mathématiques. Et, sur une suggestion d'André Deledicq, le Ministère de l'Éducation

Nationale a joué son rôle fédérateur en mettant en place la semaine des mathématiques. Cette troisième semaine de Mars est donc devenue un rendez-vous important. De

nombreuses initiatives de tous ordres ont vu le jour dans les académies. Un thème fédérateur est décidé chaque année, et de nombreux acteurs (dont notre

Régionale et son Concours) peuvent ainsi s'y raccrocher et le décliner à leur façon. Mathématiques et langage était le thème retenu pour 2017.

Vous pouvez consulter sur Éduscol le texte qui décrit les objectifs et moyens de cette

initiative, ainsi que les actions pilotées nationalement, et en particulier les Forums des mathématiques vivantes à Lille, Lyon, Rennes et Toulouse pour 2017.

Pour télécharger le guide de la semaine des mathématiques cliquer ici

Et comme une semaine c'est court, la semaine des maths a tendance à déborder. Au point qu'en Mars on ne sait plus où donner de la tête !

À titre d'exemples, on pouvait à Paris et aux alentours, en sus du Kangourou et des Olympiades :

Emmener ses élèves écouter des conférenciers (dont certains très prestigieux : Cédric Villani, Jean-Pierre Kahane…) dans des lieux prestigieux (Sorbonne, Académie des Sciences), ou moins prestigieux, mais intéressants à faire connaître

à nos élèves (Université Paris Diderot, Université de Saint Denis…) Emmener vos élèves à une manifestation de partage de l'univers des

mathématiques tel que Math'Gic à Genevilliers

Se rendre dans des musées : CNAM, Palais de la Découverte où des animations spécifiques étaient proposées aux lycéens et collégiens

Assister à la comédie musicale la tournée de π montée à l'occasion du π-day (le 14 mars) au théâtre des Variétés

Participer au rallye de l'IREM Paris Nord

Participer à l'une des Rencontres de la Régionale les 22 et 29 mars au Palais de la découverte

Assister ou participer à Paris au congrès Maths-en-Jeans le week-end du 24 au 26 mars

Peut-être que, la tête dans vos copies, vos bulletins, le LSU (Livret Scolaire Unique),

vous n'avez rien perçu de tout cela. Et bien sûr, vous le regrettez. Alors, il n'est pas trop tard au moins pour prendre des bonnes résolutions et décider, promis, juré, l'an

prochain, de participer et faire participer vos élèves à l'une ou l'autre des propositions. Et sans attendre l'an prochain, si vous êtes en manque, pensez que la place Saint-Sulpice accueillera le 18e salon des Jeux et de la Culture Mathématiques du samedi 27 mai au

mardi 30 mai 2017 (attention aux dates, décalage pour cause de pont) et que nous y aurons un stand, à côté de celui du groupe Jeux de l'APMEP, présent comme chaque

année ; encore une occasion de se rencontrer, échanger et partager.

Le Comité de la Régionale

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Présentation d’un cahier de didactique du LDAR [1] :

Quand le professeur de mathématiques est sur YouTube…

Quelques réflexions sur les moments d’exposition des connaissances et

les capsules pour des classes inversées

Un certain nombre d’enseignants s’interrogent, à la suite de l’institution elle-même, sur

les dispositifs appelés « classe inversée » ou « pédagogie inversée », qui se sont répandus depuis un petit moment aux USA et au Canada.

En fait la possibilité de fabriquer des vidéos à disposition des élèves a redonné vie à ce type de pratiques : auparavant, lorsqu’était adopté un dispositif inversant partiellement

le lieu du travail du cours et des exercices pour les élèves, c’était des documents écrits que les élèves avaient à étudier à la maison, à la place du cours en classe de

l’enseignant… Et de fait il y a maintenant sur le net beaucoup de vidéos de cours, très courtes (appelées capsules), disponibles d’une certaine manière : elles présentent soit des moments de cours soit des méthodes, il y en a aussi qui présentent des exercices

corrigés.

Comment les apprécier, et pour quel usage ? On se rend vite compte à regarder ces vidéos et à lire les documents variés sur le sujet,

qu’il y a beaucoup d’usages différents, et notamment différents de l’usage originel. Ce dernier consiste à introduire le cours (un extrait de cours) dans une capsule (de 5 à 8

minutes en général), étudiée à la maison, dont l’écoute est « vérifiée » par la réponse en ligne à un petit questionnaire- élève à remplir après le visionnement ; cette écoute étant suivie d’exercices travaillés en classe, en groupes de niveaux (ilots), établis à partir

des réponses aux questionnaires-élèves. En fait une capsule est souvent donnée après une première séance sur la notion, avec activités d’introduction, ou non d’ailleurs - ce

qui change par rapport au projet initial, quelquefois elle s’annonce aussi destinée aux révisions, ou peut aider les élèves ayant manqué un cours…

Par-delà la prolifération de ces ressources, et l’attrait éventuel d’un cours « tout prêt », c’est évidemment la difficulté des moments où l’enseignant expose des connaissances,

pour lui et/ou pour un certain nombre d’élèves, voire la perte de temps du recopiage ou même le décrochage, qui amène à réfléchir aux façons de « faire cours », et à se demander comment penser les capsules.

Un certain nombre d’exposés et de séminaires ont été organisés pour les mathématiques

sur le thème (par la régionale parisienne de l’APMEP, à l’IREM…), il y a même un congrès de la classe inversée depuis 2015 (toutes disciplines confondues).

Le portail des mathématiques du ministère propose une série de textes généralistes (sur la démarche, indépendamment des contenus), plutôt favorables à ce dispositif, de H.

Dufour par exemple, et un certain nombre de témoignages d’expériences, éventuellement avec accès aux vidéos élaborées. Le café pédagogique pour sa part

donne aussi la parole à des analyses de collègues perplexes (par exemple de P. Devin). Le cahier du LDAR (laboratoire de didactique André Revuz) n°16 a pour ambition de

proposer une première réflexion sur cette question des cours et des capsules (vidéos de cours) en mathématiques, pour le collège, le lycée et la première année d’université. Il

ne s’agit pas de « juger » mais de se donner divers moyens d’apprécier ce qui est en jeu

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(à partir de témoignages et d’analyses), en faisant un détour par une réflexion,

didactique, sur les moments d‘exposition des connaissances (les cours).

Les témoignages rédigés dans le cahier révèlent l’usage qui a été fait des capsules, dans l’ensemble des séances consacrées à une notion, ce qui est un élément très important d’appréciation.

Le premier témoignage de L. Asius, auteur et utilisateur de ses propres vidéos (en

collège), permet de comprendre ses motivations (ralentir si ce n’est arrêter le décrochage de certains élèves). L’auteur décrit précisément le dispositif utilisé, la manière de faire comprendre aux élèves ce qui est attendu d’eux, et la manière de concevoir et d’utiliser

ces vidéos, avec des renvois appropriés au matériel sur le net. Il explique qu’il a effectivement retardé les décrochages et s’interroge plus généralement sur la valeur

ajoutée par le dispositif. Un lecteur extérieur peut se dire à la lecture qu’il est pour le moins nécessaire, pour l’enseignant, de re-réfléchir à ses projets de cours, pour en transformer certains et à certains moments en capsules (lesquels ?), d’autant qu’elles

sont accompagnées de questionnaires aux élèves devant témoigner efficacement de leur lecture.

Le témoignage de S. Bridoux en première année d’université renforce d’une certaine manière le précédent, en montrant notamment que, faute d’une réflexion préalable avec

les étudiants sur l’usage d’une capsule, il ne passe pas grand-chose… Le cours en présentiel, sur une notion assez difficile mais pas entièrement nouvelle (limites de

suites), semble beaucoup mieux approprié aux objectifs de l’enseignant, en termes d’utilisation du formalisme et de rigueur. Cependant même dans ces conditions peu favorables, l’écoute des capsules amène des questions nouvelles, non rencontrées

jusqu’alors.

Ainsi se posent avec force les questions de contenus appropriés à faire des capsules et de contrat à passer avec les élèves pour leur étude.

Le troisième témoignage concerne des capsules montrant l’usage d’instruments de géométrie en sixième, avec quelques éclairages sur les déroulements dans deux classes,

avec et sans…

Une réflexion un peu générale sur les contenus des cours et leurs rôles possibles dans les apprentissages est ensuite livrée, débouchant sur l’importance des modalités adoptées pour leurs déroulements en classe. Les outils mis en place, notamment pour

caractériser les liens que fait ou non l’enseignant entre le savoir exposé et ce que font les élèves, sont mis en œuvre successivement sur deux vrais cours, extraits de séances

sur les résolutions d’inéquations en seconde, et sur une capsule sur le même sujet. On constate des différences liées notamment aux durées respectives, la brièveté (volontaire) de la capsule n’autorisant évidemment pas toutes les interactions et explicitations

données en cours. De plus d’autres différences apparaissent, liées au vocabulaire, au niveau de rigueur choisi…

Un certain nombre de régularités sur les capsules issues du net sont alors dégagées, mais il faut souligner le caractère partiel de ces éléments d’analyse qui ne tiennent pas

compte des usages effectifs. Ces ressources, nécessairement réduites, sont par exemple presque toujours sans aucun lien avec ce qui précède et de ce qui suit dans les séances,

ce qui n’est sans doute pas dommageable pour les élèves de l’enseignant les ayant fabriquées mais qui pourrait poser problème en cas d’emprunt.

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Cela conduit les auteurs à la nécessité d’élaborer un cahier des charges pour réfléchir à

l’utilisation de ce type de ressources, mettant en jeu les notions, le moment où s’introduirait la capsule, le contrat passé avec les élèves, la qualité des questionnaires,

voire la qualité technique des vidéos…

[1] Laboratoire de didactique André Revuz, Université Paris-Diderot – cahier n°16 (disponible sur

internet), auteurs : C. Allard, L. Asius, S. Bridoux, M. Chappet-Paries, F. Pilorge, A. Robert

Aline Robert, L. Vivier

Super Lune : médias et mathématiques

Vous vous souvenez peut-être de la conjonction qui, en Novembre dernier, nous a donné l'occasion d'observer une "Super Lune". Notre collègue Cécile Prouteau s'est emparée de

cette occasion pour y intéresser ses collégiens. À partir d’un article à ce sujet extrait du site du nouvel observateur , elle a travaillé

différents objectifs : accès au sens global d'un article scientifique, compréhension du mouvement Terre-Lune-Soleil, modélisation mathématique du mouvement. Elle a fourni

aux élèves l'article tel qu'il était paru , assorti de deux questions très ouvertes, permettant discussion et mise en œuvre à différents niveaux.

Fiche élève

Super_lune_eleves.odt Éditeur Open Office 503.3 KB Télécharger

Cette activité ambitieuse a le mérite de pouvoir se décliner à des "profondeurs"

différentes, de la simple initiation à la lecture d'un texte scientifique destiné au grand public jusqu'à la compréhension précise des affirmations de l'article et à leur validation.

Voici la fiche résumée que nous a transmise Cécile sur le déroulement de cette activité. Soyons honnêtes avec nos lecteurs : quand vous aurez pris connaissance de cet article,

une immense déception vous attend ! En effet, le phénomène ne se reproduira pas avant 2034. Cela vous laisse le temps de peaufiner l'activité… Mais rien ne vous empêche d'ici là de vous inspirer de l'état d'esprit de cette activité pour en imaginer du même type,

autour de l'actualité scientifique du monde qui nous entoure.

Niveaux : de la 6e à la 3e

À partir de la 6e : Lecture de l’article. Mouvement des planètes. Cercle, Ellipse. Notion de période de révolution. Ordre de grandeur du rayon de la terre, du rayon

de la lune, de la distance terre-lune, distance terre-soleil. Échelle. À partir de la 5e et début de 4e : Vitesse de révolution ; Modélisation luminosité

proportionnelle à l’aire observée ; Augmentation en pourcentage de l’aire d’un

disque quand le diamètre augmente d’un pourcentage donné ; Variable et calcul littéral pour vérifier qu’un résultat est toujours vrai.

À partir de la fin de 4eet début de 3e : Modélisation du phénomène d’agrandissement apparent de la lune. Utilisation du théorème de Thalès.

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Mise en œuvre L’article est donné à lire aux élèves.

En 6e, après une lecture individuelle, on leur demande d’expliquer le phénomène en groupe classe. Au tableau, on peut construire avec une ficelle un cercle et une ellipse. On leur demande la période de révolution de la terre autour du soleil, de la lune autour de la terre, les ordres de grandeurs du rayon de la terre,

du rayon de la lune, de la distance terre-lune.

On peut également demander aux élèves de représenter la situation en choisissant une échelle adaptée sur leur cahier pour une distance terre-lune de 360 000 km. Bien entendu c’est compliqué. Si on prend comme distance terre-

lune 29 cm c'est-à-dire à peu près la longueur d’une feuille A4, le rayon de la lune est inférieur à 1,4 mm et celui de la terre moins de 5 mm. Cela donne une

idée des dimensions de ce système. On peut ensuite leur demander où se trouverait le soleil sur le schéma sachant qu’il se trouve à environ 150 000 000 de km de la terre : 12 083 cm soit à peu près 121 m. Le but est de leur faire

prendre conscience des grandeurs dans le monde qui les entoure.

Dans les autres niveaux, les élèves doivent répondre aux questions posées. Travail individuel pour la lecture puis 15 minutes de recherche individuelle avant début

d’un travail de groupe. Rédaction individuelle à la maison si elle n’est pas terminée en classe. Une heure de recherche en classe maximum par question.

Questions et pistes de correction :

a) Les informations données sur les pourcentages d’augmentation en diamètre apparent et en luminosité vous semblent-ils cohérents ? Justifiez votre réponse.

Cette question est destinée aux élèves de la 5e à la 3e et utilise les calculs et les applications de pourcentages. Prérequis : savoir calculer l’aire d’un disque, savoir

appliquer un pourcentage (savoir le calculer peut être utilisé mais n’est pas indispensable). Il y a deux points à vérifier :

La différence est importante : la plus grosse pleine lune a un diamètre apparent 14% plus important et une luminosité 30% plus intense que la plus petite pleine lune.

Par rapport à une pleine lune "moyenne", la différence sera de 7% en diamètre, et 16% en luminosité.

Hypothèse à formuler : la luminosité observée est proportionnelle à l’aire observée.

Quel que soit le niveau, il est difficile de démarrer directement avec du calcul littéral d’autant plus que l’on se concentre ici sur un cas particulier. Certains prennent des mesures sur la photo du Galileo Project de la Nasa qui se trouve

dans l’article. Ils peuvent vérifier l’augmentation en diamètre de 14% et en aire de 30% après les avoir calculées. Encore faut-il préciser qu’il y a un facteur d’échelle entre la

photo et ce que nous voyons mais que le rapport d’agrandissement est conservé. On peut conseiller aux élèves plus en difficulté de vérifier ce qui se passe avec un disque de rayon 2 cm en les aiguillant plus ou moins sur les étapes suivantes :

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Le calcul de l’aire d’un disque de rayon 2 cm Le calcul du rayon du disque dont le diamètre est agrandi de 14 % Les calculs de l’aire agrandie avec le nouveau rayon et par augmentation de

30%. Comparaison.

Dans ce cas les résultats correspondent. Il est intéressant de faire remarquer que cela ne suffit pas pour conclure quant à ce qui se passe avec la lune. À eux de reproduire la démarche pour l’augmentation de rayon de 7% et l’augmentation

d’aire de 30%. Dans ce cas, les résultats obtenus ne correspondent pas.

Une fois ces points travaillés, on peut passer à la généralisation en prenant une variable R pour le rayon. On nommera A1 l’aire du disque de rayon R et A2 l’aire du disque dont le rayon a été augmenté

Premier cas A1=πR² et A2=π(R×1,14)2≈πR²×1,3 soit A1×1,3 cohérent avec les 30% d'augmentation d’aire. Ceci semble conforter notre hypothèse que l’aire observée est proportionnelle à la luminosité.

A1=πR² et A2=π(R×1,07)²≈πR²×1,145 soit A1×1,145 ce qui correspond à une augmentation d’aire de 14,5% au lieu de 16% annoncés dans l’article. Le

résultat diffère mais les ordres de grandeurs restent les mêmes. Si les valeurs numériques données dans l’article sont correctes, on peut en conclure que l’aire observée et la luminosité ne sont pas proportionnelles mais que cette

simplification du problème donne des résultats qui restent néanmoins raisonnables puisque l’erreur relative est inférieure à 10% (1,5×100÷16).

On remarque que le coefficient d’agrandissement de l’aire correspond au coefficient

d’agrandissement du rayon élevé au carré. b) L’article annonce « un diamètre apparent de 14% plus important ». Le

pourcentage annoncé est-il raisonnable ? Justifiez votre réponse.E2E2 Cette question est destinée aux élèves de la fin de 4e à la 3e et utilise le théorème de

Thalès. Schématisons la situation. Le schéma ci-dessous n’est volontairement pas à l’échelle

pour être lisible.

Il est possible de le construire avec des curseurs sur Geogebra pour aider les élèves à comprendre le phénomène en faisant varier la distance terre-lune (Observation de

l’évolution de E2E′2 quand L2 se déplace sur l’axe).

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L’observateur est en O et le centre de la Lune en L1 quand la lune est au périgée et en

L2 quand la lune est à l’apogée. On peut considérer comme négligeable le rayon de la

terre (6371 km) devant la distance Terre-Lune qui varie entre 360000 km et 405000

km. S1S1’ et S2S2’ sont des diamètres de la lune pour chaque position. E1E1’ et E2E2’

représentent les diamètres du disque que voit l’observateur (c’est le plan dans lequel la

mesure est prise).

On a donc OL1≈ 360000km, OL2≈ 405000km, L1S1 et L2S2 valant le rayon R de la lune

(1737 km inutile ici).

(E1E1’), (S1S1’) et (S2S2’) sont perpendiculaires à (OL2) respectivement en E, en L1 et

L2 donc elles sont parallèles entre elles. On a donc deux situations de Thalès : une dans

le triangle OL1S1 et l’autre dans le triangle OL2S2. On en déduit les deux séries d’égalités

suivantes : 𝑂𝐸

𝑂𝐿1=

𝑂𝐸1

𝑂𝑆1=

𝐸𝐸1

𝐿1𝑆1 et

𝑂𝐸

𝑂𝐿2=

𝑂𝐸2

𝑂𝑆2=

𝐸𝐸2

𝐿2𝑆2 et on en déduit

𝑂𝐸

360 000=

𝐸𝐸1

𝑅 et

𝑂𝐸

405 000=

𝐸𝐸2

𝑅 et par suite

𝐸𝐸1 =𝑂𝐸×𝑅

360 000 et 𝐸𝐸2 =

𝑂𝐸×𝑅

405 000

Aucune de ces égalités ne permet de calculer EE1 et EE2 mais on peut en calculer le

rapport :

𝐸𝐸1

𝐸𝐸2=

𝑂𝐸 × 𝑅360 000𝑂𝐸 × 𝑅405 000

=405

360≈ 1,125

Cela correspond à un pourcentage d’augmentation de 12.5% et pas de 14%. Encore une

fois l’erreur relative par rapport aux données de l’article est d’environ 10%. L’ordre de

grandeur du résultat est correct et on peut considérer ce résultat comme acceptable

étant donné nos approximations.

Conclusion :

Cette activité a été proposée sous différentes formes à 4 niveaux, le matin d'avant la

super lune. Dans l’ensemble les élèves ont été très actifs et ont apprécié le côté actuel

et vivant de l’activité. Pour certains, les calculs ont posé problème mais ils se sont

accrochés.

Un complément par les enseignants de sciences est à envisager. Cette activité pourrait

être intégrée dans un EPI maths-sciences autour de l'astronomie.

Cécile Prouteau

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Les figures de l'ombre, un film recommandable

Sorti sur les écrans le 8 mars, journée de la femme, le film "Les

figures de l'ombre" ("Hidden figures" dans son titre original, titre du livre de Margot Lee Shetterly ayant inspiré le film) doit intéresser le

professeur de mathématiques que vous êtes à plus d'un titre.

Ce film américain, réalisé par Theodore Melfi, retrace la vie et la carrière de trois personnages, vivant en Virginie à la fin des années

cinquante. Elles cumulaient tous les handicaps : elles étaient femmes, elles étaient noires, elles étaient pugnaces et elles étaient … douées pour les sciences.

Le film, à travers les destins de Katherine Johnson, Dorothy Vaughan et Mary Jackson,

lutte efficacement, avec toutes les armes du cinéma hollywoodien, contre plusieurs stéréotypes répandus. Schématiquement : la science, ce n’est pas pour les femmes, les postes de responsabilité, ce n’est pas pour les noirs, et les maths ça sert à rien.

Par ailleurs, en nous replongeant dans le climat de l'après-guerre, sur fond de guerre

froide, de conquête spatiale et de lutte pour la conquête des droits civiques des Noirs américains, le film nous apprend beaucoup de choses sur cette époque, si proche et qui paraît pourtant si lointaine. En tant que matheux, nous prenons conscience du rôle du

calcul dans l'avancée scientifique et technique, en particulier lors de la conquête spatiale, depuis ces "calculatrices humaines" (dont on peine à imaginer l'existence) jusqu'aux

ordinateurs qui les ont progressivement assistées puis remplacées. Nous prenons conscience de ce qu'était la ségrégation raciale dans les états du Sud des Etats Unis dans l'immédiat après-guerre. Nous revivons les moments de tension engendrés par la rivalité

URSS-USA. Et nous comprenons quel puissant moteur a été cette rivalité dans la conquête spatiale.

Bien sûr, ce film plein de bonnes intentions n'est pas sans défaut. Peut-être trouverez-vous un peu caricaturales les mathématiques, quand elles y sont montrées sous la forme

attendue d'un tableau noir rempli à toute allure de signes cabalistiques. Mais l'essentiel n'est pas là.

Ce film est un excellent support pour un travail pluridisciplinaire, mêlant anglais, histoire,

sciences physique, technologie et mathématiques. En sus d'aller voir le film à titre personnel, vous pourrez l'utiliser avec vos élèves (fin de collège et lycée). Vous serez aidé en cela par le dossier pédagogique très complet qui a été créé pour accompagner

le film par le site zéro de conduite. Ce sera pour certains d'entre vous l'occasion de découvrir ce site dédié à l'actualité éducative du cinéma.

Dans le dossier très complet concernant Les figures de l'ombre, vous trouverez tout ce qu'il faut pour répondre de façon documentée à toutes les questions que ne manqueront

pas de vous poser les élèves après avoir vu le film. Vous y trouverez tous les repères historiques nécessaires pour mieux appréhender le contexte de ce film. Vous y trouverez

ensuite une très intéressante interview de Sylvaine Turck-Chieze, astrophysicienne et présidente de l'association Femmes et Sciences. Enfin, le dossier comporte des suggestions d'activités en mathématiques, en lien avec le film, et s'adressant à des

élèves de troisième/seconde.

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Le cinéma s'est intéressé ces dernières années, aux mathématiques dans différents

registres. Il y a eu "Comment j'ai détesté les maths". Il y a eu "Imitation game", autour d'Alan Turing. Voilà maintenant "Les figures de l'ombre". Ce sont autant d'occasions de

réfléchir avec vos élèves sur d'autres aspects de la discipline que vous leur enseignez jour après jour. Ce serait dommage de passer à côté.

Claudie Asselain-Missenard

Algorithmique et Programmation : un nouvel enseignement en

mathématiques ?

Depuis la réforme des Lycées de Luc Chatel, l’algorithmique et la programmation sont apparues dans nos programmes de Lycée, puis évaluées au baccalauréat en 2012.

Une nouvelle étape est amorcée, avec la réforme de l’enseignement obligatoire, par la mise en œuvre de l’algorithmique et de la programmation dès le collège mais aussi par

des initiations à l’école primaire avec, par exemple, l’utilisation de la beeboth ou blueboth, de Scratch Junior ou de Scratch.

Aujourd’hui, une accélération a été donnée par la création au Lycée d’un nouvel enseignement : l’ICN, qui n’est que la généralisation de l’option ISN de la terminale S.

Avec l'ICN, le ministère boucle la boucle. Du cycle 1 à la classe terminale, une cohérence semble être recherchée sur l’enseignement de l’algorithmique et la programmation.

Certains reprochent cette introduction en grande quantité, sûrement ceux qui fustigent le numérique en milieu scolaire, d'autres se plaignent de leur trop petite quantité. On

sent bien que ces approches, aussi extrêmes soient-elles, sont le témoignage d'une grande difficulté à repenser globalement le fait numérique dans la société ainsi que le rôle et la mission de l'école dans ce contexte. Effectivement, aujourd’hui personne ne

peut nier que le numérique a pris une place très importante dans notre société, l’école doit faire face à un bouleversement des modes de transmission du savoir et répondre

aux attentes de la société actuelle. Je pense, pour ma part, que c’est une bonne chose de vouloir faire comprendre comment

fonctionnent tous les appareils que l’on utilise : l’ordinateur, les consoles de jeu, etc. et donc généraliser l’enseignement de l’algorithmique et la programmation.

Je vous recommande de regarder la vidéo de Bernard Chazelle, professeur titulaire de la

Chaire annuelle d’Informatique et de science numérique du Collège de France, sur l’algorithmique un changement fondamental. Celle-ci vous éclairera sur l’importance de l’algorithmique dans son utilisation dans les sciences et répondra à vos questions,

telles que : « pourquoi aujourd’hui avons-nous besoin d’enseigner la pensée algorithmique très tôt et quels en sont ses enjeux ? »

Enseignant au collège, j’ai pu ressentir un véritable bienfait à enseigner l’algorithmique à mes élèves. De nombreux élèves qui n’étaient plus motivés par l’enseignement des

mathématiques changent d’attitude et reprennent goût à faire des mathématiques. Ils sont devenus curieux et cela leur a facilité le travail de logique et de raisonnement. Ce

que je regrette, c’est que cet enseignement se fait forcément au détriment d’autre chose, car le temps d’enseignement des mathématiques n’a pas augmenté.

En discutant avec certains collègues, je m’aperçois qu’ils pensent que l’algorithmique ne doit être utilisée que dans le cadre des notions mathématiques. Entre autres, travailler

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les programmes de calcul, les positions dans un repère, le crible d’Ératosthène, etc. Je

suis certain que faire de l’algorithmique c’est déjà faire de la logique et donc des mathématiques. Ce n’est pas parce que vous réalisez le jeu pong avec vos élèves qu’ils

ne vont pas faire de mathématiques. Pour réaliser un jeu pong, il faut penser à différentes conditions (les hypothèses), utiliser des variables, des boucles conditionnelles, travailler par essai-erreur,…

Vous allez développer de nombreuses compétences chez vos élèves en travaillant

l’algorithmique. Des compétences qui sont indispensables en mathématiques pour résoudre des problèmes dit purement mathématiques. Car on en revient à la même question : l’algorithmique et la programmation font-ils vraiment partie des

mathématiques ?

Il est vrai que l’une des questions qui se posent aujourd’hui est : pourquoi l’algorithmique et la programmation font partie du programme de mathématiques et pourquoi le choix n’a pas été la création de la matière informatique ?

Actuellement, le Capes de mathématiques propose une nouvelle option informatique.

Sommes-nous à l’aire d’une bivalence pour les professeurs de mathématiques ? Allons-nous enseigner les mathématiques et l’informatique, ou considérons-nous que l’algorithmique est une partie intégrale des mathématiques comme l’algèbre, la

géométrie, l’arithmétique,… ? Si je me souviens bien, on s’est posé ces mêmes questions pour les statistiques et les probabilités.

Ce nouvel enseignement soulève de nombreuses interrogations. On pourrait penser que le ministère a fait son choix mais il semble que non : la programmation et l’algorithmique

apparaissent également dans le programme de technologie au cycle 4, avec très peu de différences entre les deux programmes. L’APMEP souhaite également réfléchir à ces

questions c’est pourquoi elle a créé dernièrement un groupe de travail sur le sujet.

Sébastien Planchenault

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Le circuit de voiture : activité avec Scratch en 5ème

Après différentes activités sur scratch, dont certaines issues du site de l’APMEP, j’ai proposé à mes élèves de réaliser un jeu de voiture. Je leur ai donné alors comme

consigne de réaliser un circuit de voiture et une voiture qui puisse se déplacer à l’aide des flèches du clavier, et qui revienne devant la ligne d’arrivée lorsqu’elle sort du circuit.

Les chantiers de pédagogie mathématique n°171 décembre 2016

La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS 12/16

Ici, mon objectif est que les élèves travaillent en pédagogie de projet, qu’ils réutilisent le travail réalisé la dernière fois sur les déplacements lors de l’activité labyrinthe, utilisent

l’instruction conditionnelle et réalisent une détection. La première chose à faire était de créer un cahier des charges. Pour cela les élèves ont

travaillé par équipe de 2 ou 3 sur leur projet pendant une heure en écrivant le cahier des charges de leur projet. Dans ce cahier des charges, ils devaient expliquer leur jeu, écrire

les algorithmes en français, dire les blocs qu’ils allaient devoir utiliser, et proposer des améliorations à mettre en œuvre. Vous pouvez télécharger le document distribué à mes élèves ci-dessous : Un projet avec Scratch

Lors de deux séances suivantes, les élèves devaient mettre en œuvre leur projet. J’ai été

agréablement surpris de l’originalité des projets, certain ont préféré réaliser une course à pied plutôt qu’une course de voiture, d’autres ont rajouté une deuxième voiture, d’autres encore ont fait un compte-tour, etc.

Mais, ce qui a été très intéressant, c’est également les différentes façons de procéder

que les élèves ont utilisées pour concevoir le déplacement de la voiture. Certains ont utilisé des boucles infinies, d’autres ont fait le choix de faire de la programmation en parallèle en utilisant les événements quand une touche est pressée.

J’ai alors décidé de consacrer une heure supplémentaire pour que chaque groupe

présente son projet aux autres élèves de la classe et explique son travail et ses choix. Cela a été très productif et a véritablement fait progresser les élèves dans le travail en programmation. Vous pouvez consulter différents projets de ma classe ci-dessous.

Sébastien Planchenault

Documents en téléchargement sur le site de la Régionale APMEP Île-de-France

Document élève : Un projet avec Scratch

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Course de voiture 2 course de voiturechloé.sb2

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Course de voiture 1

course de voiture pereirae.sb2 Archives compressées en format ZIP 15.5

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Course de voiture 3 course de voiture3.sb2

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La programmation visuelle en IUT

MathémaTice est une revue en ligne autour de l'utilisation des tices dans nos classes. Et dans le n°53 du mois de janvier 2017, un article de réflexion sur la programmation

visuelle est proposé par un enseignant d'informatique en IUT (Patrick Raffinat) : "La réforme du collège m’a conduit à m’intéresser à la programmation visuelle, a priori fort éloignée de mes préoccupations en IUT. Mais petit à petit, je me suis rendu

compte qu’elle pouvait m’être utile à divers stades du module d’algorithmique que j’enseigne en première année…"

Au total, des éléments qui pourront nous être utiles pour ajuster nos enseignements et savoir "jusqu'où ne pas aller".

Une recommandation : faisons simple ! "Tout cette complexité pour arriver à écrire des programmes simples en fin de cycle ?! Je recommande au contraire plus de simplicité

pour le plus grand bien des collégiens…" Accès à cet article sur le site de la revue :

Algorithmique : pourquoi compliquer quand on peut faire simple ? Michel Suquet

Documents et Formation sur l’algorithmique et la programmation

Aujourd’hui de nombreux documents et formations sont proposés pour aider les enseignants à mettre en œuvre l’algorithmique et la programmation. Vous avez bien

évidemment pour le cycle 4 le document ressource d’Éduscol sur l’algorithmique et la programmation.

Mais également de nombreux ouvrages tels que « Programmer avec Scratch en

s’amusant » ou « Scratch pour les Kids » ou bien « cahier d’algorithmique et de programmation Cycle 4 » ou encore « 1,2,3,…codez ! » Vous avez également de

nombreux sites qui vous proposent de faire de la programmation tels que blockly ou studio code.

Vous avez également dans chaque académie des formations sur l’algorithmique et la programmation et sinon le parcours sur m@gistère Algorithme et Programmation créé

par des collègues de Mathématiques et Laurent Chéno, IG de Mathématiques. L’APMEP a également proposé un travail sur Scratch.

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La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS 14/16

Actuellement je suis une formation réalisée par Classe’code, celle-ci propose une

formation gratuite sur comment initier les jeunes à la pensée informatique. Elle propose à la fin de la formation une attestation de suivi de formation.

Cette formation se déroule essentiellement en distanciel et vous propose quelques présentiels proches de chez vous. Vous avez également la possibilité de suivre différents

modules sur plusieurs thématiques :

Découvrir la programmation créative Manipuler l’information

S’initier à la robotique Connecter le réseau Le processus de création de A à Z

Cette formation est très riche et vous permet d’avoir une vision plus large sur la pensée algorithmique et sur l’informatique en général. Si vous avez un peu de temps et que

vous souhaitez approfondir vos connaissances alors n’hésitez pas à vous inscrire.

Sébastien Planchenault

Avis de Recherche

Mea culpa

Dans ma correction de l'avis de Recherche n° 6, je terminais ainsi :

"C'est une méthode certes artisanale mais qui me semble correcte. Qu'en pensez-vous ?"

Eh bien Salvatore Tummarello a pensé que ce n'était pas correct... et il avait bien raison. Rappelons les faits :

"Donc avec les a et b ainsi trouvés il me reste à prouver que l'on ne peut pas trouver d'entier d vérifiant l'équation (2).

Calculons a²+2b² =(-p²+2pq+2q²)²+2( p²+4pq- 2q²)² = etc. = 3(p4 + 4p3q + 8p²q² - 8pq3 + 4q4) = 3 d² ??? a²+2b² étant un polynôme homogène de degré 4, d doit donc être un polynôme

homogène de degré 2 donc il faut trouver k entier tel que d= p² +kpq + 2q² (p² fournissant le terme en p4 et 2q² fournissant le terme en 4q4).

En élevant cette expression de d au carré nous obtenons : p4 + 2kp3q + (4+k²)p²q² + 4kpq3 + 4p4

Par identification nous obtenons 2k = 4, 4+k² =8, 4k =-8 ; c'est à dire k=2 et k =-2 donc pas de solution". L'erreur était grossière car comme l'écrit Salvatore : "Ttu as montré l'impossibilité de factoriser le polynôme P(p,q)= p4+ 4p3q + 8p²q² - 8pq3+ 4q4 sous la forme d'un carré d'un polynôme, mais je ne vois pas en quoi cela

interdit l'existence de certaines valeurs de p et q telles que P(p,q) soit un carré. D'ailleurs P(1,1)=3²... ", façon polie de me faire remarquer que j'avais confondu "quelque soit"

avec "il existe", même si le contre-exemple fourni est bien le seul qui existe, (avec bien sûr tous les (n,n)), et réduit le trapèze à n'être qu'un rectangle.

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Mais le plus grave est que je n'ai toujours pas trouvé une démonstration simple de cette "évidence" et que nous devons nous contenter pour l'instant de celle de Salvatore, lourde

mais correcte. Amis lecteurs, saurez-vous trouver une démonstration plus simple ?

Correction de l'Avis de Recherche n°6

Quel est le plus grand entier positif qui ne puisse pas s'écrire 15a+21b+35c avec a, b et c entiers positifs ?

Encore deux réponses seulement à cet avis de recherche et des deux mêmes auteurs... ça va finir par faire jaser !

Jean Couzineau est plutôt dans l'esprit de ces avis de recherche en exposant sa démarche, en expérimentant et en faisant vérifier les cas restants par une machine

(personnellement cela ne me gêne pas mas je connais des esthètes de l'art qui ne supportent pas) et en plus il généralise en recherchant le plus grand entier positif répondant à la question mais avec une écriture unique !

Vous pouvez lire sa solution en cliquant ICI.

Salvatore Tummarello nous bourbakise le problème en une définition, un lemme et deux propositions qui résolvent la question et pour deux propositions de plus nous donne

le résultat en fonction de coefficients quelconques et non seulement 15, 21 et 35. À découvrir absolument en cliquant LA.

Et pourtant j'ai encore l'outrecuidance de préférer ma méthode qui fait apparaître le

nombre- réponse 139 de façon (presque) naturelle en utilisant le raisonnement par récurrence le plus basique avec une économie de calculs. Mais peut-être suis-je trop partial...

Bezout nous a appris que les nombres 15, 21 et 35 étant étrangers entre eux, il existe

(a, b, c) tels que 15a + 21b + 35c = 1 donc que tout nombre peut s'écrire sous cette forme mais que cela ne sera vrai qu'avec a, b et c entiers relatifs.

Par exemple, (1) (-6, 1, 3) : 15 x (-6) + 21x1 + 35x2 = 1

(2) (1, -4, 2) : 15x1 + 21 x (-4) + 35x2 = 1 (3) (1, 1, -1) : 15x1 + 21x1 + 35 x (-1) = 1

Évidemment il existe des nombres, que nous allons appeler convenables, qui peuvent s'écrire sous la forme 15a + 21b + 35c avec a, b et c positifs, le plus petit étant 0 et les

suivants 15, 21, 35, 36... Nous allons montrer, par récurrence, que la propriété d'être convenable est vraie à partir

d'un certain nombre n0 convenable et le nombre n0-1 constituant la réponse à la question posée.

Supposons donc que n = 15a + 21b + 35c soit convenable, comment écrire n+1 ?

Si a≥6 alors n + 1 = 15a + 21b + 35c + 15(-6) + 21 + 35(2) d'après (1)

n + 1 = 15(a - 6) + 21(b + 1) + 35(c + 2) qui est un nombre convenable car tous les

coefficients sont positifs.

Si a<6 et b≥4 alors (2) nous permettrait d'écrire :

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n + 1 = 15(a + 1) + 21(b - 4) + 35(c + 2) nombre tout aussi convenable

Si a<6 et b<4 et c ≥1 alors cette fois nous utiliserons (3) pour écrire :

n + 1 = 15(a + 1) + 21(b + 1) + 35(c - 1) qui encore parfaitement convenable.

Et sinon ? Eh bien a<6 et b<4 et c =0 donc n ≤ 15x5 +21x3 + 35x0 = 138 donc convenable.

Et son successeur ? A-t-on 139 = 15a + 21b + 35c ?

Si cela était vrai nous aurions 4 ≡ b mod (5) c’est-à-dire b=4 seule valeur positive possible (car la suivante, b=9, entraîne 21 b = 189 > 139).

Donc 139 – 4x21 = 15 a+35c c’est-à-dire 55 = 5(3a+7c) D'où 11 = 3a+7c impossible à réaliser avec a et c positifs (7=0 et 7=1 impossible et 7>1 trop grand). Donc 139 n'est pas convenable.

Mais 140 = 15x7 + 21x0 + 35x1 est convenable, comme tous ceux qui le suivent, ainsi que le prouve la démonstration de l'hérédité ci-dessus. Donc n0 =140 et la solution

cherchée est bien n0 -1 = 139. Ce qui m'a toujours semblé bizarre dans cette démonstration, c'est que le nombre 139

trouvé semble dépendre des 3 égalités qui paraissent choisies au hasard. Ne serait-il pas possible de trouver un autre nombre M réalisant la même prouesse ?

Eh bien non. Si M<139 ce ne serait pas le plus grand puisqu'il est plus petit que 139 (!) et si M>139 alors ma démonstration prouve qu'il serait convenable (donc ne conviendrait pas !).

En réalité mes 3 égalités ne sont pas vraiment choisies au hasard : j'ai choisi pour chacune d'elle un seul nombre négatif le plus grand possible.

Par exemple pour (1) : 15a + 21b + 35c = 1 donne, modulo 7, a ≡ 1 et a = - 6 est bien le plus grand nombre négatif réalisant cela.

Idem pour les deux autres par interprétation modulo 5 pour b et modulo 3 pour c. Et maintenant vous savez tout !

Alain Bougeard

Avis de Recherche n°7

Comment placer sur ce cube le point I (resp J et K) sur

l'arête [AB] (resp [CG] et [EH]) pour minimaliser : a) le périmètre du triangle IJK ?

b) l'aire de ce même triangle ?