19
Elemente introductive în conducerea adaptivă cu model de referinţă. Motivaţii 11 CAPITOLUL 1 1. Elemente introductive în conducerea adaptivă cu model de referinţă. Motivaţii Conducerea adaptivă cu model de referinţă (cu model etalon), reprezintă alături de conducerea adaptivă cu auto-acordare cele două posibilităţi care delimitează conceptul de conducere adaptivă faţă de alte metode de conducere automată. Această tipologie de conducere adaptivă a căpătat contur la începutul anilor 70, urmând ca să fie elaborată integral, sub aspect procedural şi de analiză a proprietăţilor de stabilitate, convergenţă parametrică şi robusteţe, până la sfârşitul anilor 80. Conducerea adaptivă cu structură variabilă, sub aspect cazuistic şi procedural, s-a conturat cu predilecţie în ultimul deceniu, reprezentând şi astăzi un domeniu de preocupare, cu rezultate fructuoase pe aspectele de robusteţe şi aplicative. Se vor prezenta în subcapitolul următor o serie de motivaţii calitative ale utilizării diferitelor modalităţile de conducere adaptivă cu model de referinţă şi implicaţiile acestora în performanţele şi proprietăţile structurii în buclă închisă. Se va explica conceptul de comandă compusă şi raţiunea introducerii lui. De asemenea, se va motiva necesitatea introducerii funcţiei sigmoidale parametrizate şi a unor legi de ajustare modificate în conducerea adaptivă cu structură variabilă. 1. 1. De ce conducere adaptivă cu model de referinţă şi structură variabilă? Subiectul acestei lucrari îl va constitui prezentarea structurilor de conducere adaptivă cu model de referinţă. Accentul va fi pus pe algoritmizarea procedurilor de sinteză a comenzilor adaptive şi specularea unor aspecte ce vizează îmbunătăţirea performanţelor tranzitorii şi asimptotice. Este prezentată şi o bogată cazuistică prin simulare numerică. S-au pus la punct mulţi algoritmi de conducere adaptivă pentru care s-au demonstrat proprietăţi asimptotice remarcabile, iar studiul stabilităţii în formalismul intrare mărginită ieşire mărginită (IMEM) constituie un instrument puternic, care surmontează faptul că structurile adaptive, în ansamblul lor, sunt ne-liniare. Marea carenţă a algoritmilor de conducere adaptivă, fie ei oricât de sofisticaţi, o reprezintă răspunsul tranzitoriu al structurilor în care comanda are parametrii ajustabili. Prin răspuns tranzitoriu considerăm intervalul de timp de adaptare în care se produce instruirea estimatorului parametric on-line şi nu definiţia clasică legată de intrarea unei anumite erori,

Master Automatica Curs

  • Upload
    mihai

  • View
    108

  • Download
    11

Embed Size (px)

DESCRIPTION

reglare adaptiva si optimala a sistemelor complexe neliniare

Citation preview

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    11

    CAPITOLUL 1

    1. Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    Conducerea adaptiv cu model de referin (cu model etalon), reprezint alturi de conducerea adaptiv cu auto-acordare cele dou posibiliti care delimiteaz conceptul de conducere adaptiv fa de alte metode de conducere automat. Aceast tipologie de conducere adaptiv a cptat contur la nceputul anilor 70, urmnd ca s fie elaborat integral, sub aspect procedural i de analiz a proprietilor de stabilitate, convergen parametric i robustee, pn la sfritul anilor 80. Conducerea adaptiv cu structur variabil, sub aspect cazuistic i procedural, s-a conturat cu predilecie n ultimul deceniu, reprezentnd i astzi un domeniu de preocupare, cu rezultate fructuoase pe aspectele de robustee i aplicative.

    Se vor prezenta n subcapitolul urmtor o serie de motivaii calitative ale utilizrii diferitelor modalitile de conducere adaptiv cu model de referin i implicaiile acestora n performanele i proprietile structurii n bucl nchis. Se va explica conceptul de comand compus i raiunea introducerii lui. De asemenea, se va motiva necesitatea introducerii funciei sigmoidale parametrizate i a unor legi de ajustare modificate n conducerea adaptiv cu structur variabil.

    1. 1. De ce conducere adaptiv cu model de referin i structur variabil?

    Subiectul acestei lucrari l va constitui prezentarea structurilor de conducere adaptiv cu model de referin. Accentul va fi pus pe algoritmizarea procedurilor de sintez a comenzilor adaptive i specularea unor aspecte ce vizeaz mbuntirea performanelor tranzitorii i asimptotice. Este prezentat i o bogat cazuistic prin simulare numeric.

    S-au pus la punct muli algoritmi de conducere adaptiv pentru care s-au demonstrat proprieti asimptotice remarcabile, iar studiul stabilitii n formalismul intrare mrginit ieire mrginit (IMEM) constituie un instrument puternic, care surmonteaz faptul c structurile adaptive, n ansamblul lor, sunt ne-liniare.

    Marea caren a algoritmilor de conducere adaptiv, fie ei orict de sofisticai, o reprezint rspunsul tranzitoriu al structurilor n care comanda are parametrii ajustabili. Prin rspuns tranzitoriu considerm intervalul de timp de adaptare n care se produce instruirea estimatorului parametric on-line i nu definiia clasic legat de intrarea unei anumite erori,

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    12

    de urmrire sau de reglare, ntr-o anumit plaj de valori, la modificarea contextului de referin sau perturbator.

    Conducerea cu structur variabil ofer anumite proprieti de comportament deosebite n regim tranzitoriu de care trebuie inut cont n sinteza adaptiv. S-au obinut i publicat rezultate notabile ce vizeaz tehnici de sintez a comenzilor adaptive discontinue, unde funcia de comutaie este prezent la nivelul legilor de ajustare parametrica, indiferent de excesul poli-zerouri al modelului procesului. Indiferent care ar fi tehnica de conducere cu

    structura variabil, adaptiv sau nu, ea ofer anumite proprieti de comportament deosebite n regim tranzitoriu, cum ar fi viteza i calitatea rspunsului. n plus, calitile de robustee la exogen perturbator mrginit i incertitudini ne-structurate, fac din conducerea cu structur variabil o variant notabil, de luat n calcul, la automatizarea proceselor, n general, i a proceselor rapide, n special.

    Se cunoate faptul ca n structurile cu comand discontinu apare un regim alunector, care este, n general, invariabil la perturbaii sau variaii ale parametrilor procesului. De asemenea, din momentul n care sistemul se nscrie ntr-un regim alunector, deci este atins o hipersuprafa de comutaie, rspunsul sistemului ctre punctul de echilibru ce asigur eroare de urmrire nul, este rapid si neted. Totui, din forma ei, conducerea cu structur variabil nu asigur o convergen asimptotic a parametrilor i datorit zgomotelor de msur, inerente n orice aplicaie, sistemul poate s comporte mici oscilaii n jurul punctului de echilibru, cauzate de prezena funciei signum n legea de ajustare.

    innd cont de avantajele si dezavantajele conducerii cu structur variabil, s-a procedat la compunerea n comand a celor dou modaliti de ajustare parametric: prima, la care ajustarea se face dup legile specifice conducerii adaptive (metode de gradient sau cele mai mici ptrate); a doua, la care ajustarea se face dup o lege discontinu ce nglobeaz o funcie signum.

    Dup cum se tie, n astfel de legi de ajustare intervin limite superioare, pozitive, ale parametrilor, care trebuiesc cunoscute a priori. Tocmai din acest motiv o astfel de lege nu

    asigur o convergen parametric asimptotic. Pentru aceasta, n nsi forma legii de ajustare cu structur variabil, se mai introduce o ajustare suplimentar a limitelor superioare, mai sus pomenite. Aceasta este comandat, dup caz, de eroarea de urmrire, sau de o eroare crescut(intensificat), care practic duce la zero, pn la sfritul regimului tranzitoriu, componenta cu structur variabil din legea de comand.

    n realitate datorit ntrzierilor n comutaie cauzate de limitri n viteza de calcul sau de relee cu histerezis ct i incertitudinilor ne-structurate (dinamicilor ne-modelate) evoluia sistemului pe hipersuprafaa de comutaie se face nu suficient de rapid i prin urmare, regimul alunector ideal este nlocuit de unul real. Acest fenomen care se manifest prin oscilaii la nivelul comenzii este cunoscut n literatura de specialitate drept chattering. Chatteringul, n

    mod evident, nu este de dorit datorit solicitrilor la care este supus elementul de execuie. Pe de alt parte, nu poate fi evitat, ci atenuat, ntr-o msur mai mare sau mai mic, depinznd de cauza care-l genereaz i modalitatea cum este ea contracarat. Pentru a atenua chatteringul, adic comportamentul oscilant al comenzii n regim asimptotic i pentru a introduce anumite proprieti de continuitate, se va recurge la utilizarea unei funcii signum aproximate sub forma unui sigmoid parametrizat, denumit k-sigmoid.

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    13

    Pornind de la aceasta idee, n cuprinsul crii, se va prezenta, pe etape, sinteza comenzilor compuse de conducere adaptiv. Pentru nceput, se prezint cazul sistemelor de ordinul unu, cu generalizri ulterioare la modele de procese pentru care modelul de referin se poate alege strict real pozitiv (SRP). Urmeaz elaborarea metodologiei de sintez a comenzilor compuse pentru sisteme care nu sunt SRP, prin intermediul unei erori crescute cu i fr trecere prin condiie de SRP.

    De asemenea, se vor studia proprietile de robustee ale structurilor de conducere adaptiv cu comand cu structur variabil i compus, n prezena perturbaiilor exogene mrginite i a dinamicilor ne-modelate. Se vor prezenta i modaliti pentru creterea robusteii prin introducerea unor legi de ajustare parametric n form modificat

    Este abordat domeniul sistemelor adaptive cu model de referin i timp continuu, cu ajustare direct a parametrilor comenzii.

    Tehnici de conducere discontinu au aprut i n conducerea adaptiv self-tuning, care se bazeaz pe hipersuprafee de comutaie, variabile n timp pe spaiul de stare. Astfel, dac este atins o hipersuprafa de comutaie, ajustarea parametric nu se produce prin aciunea

    funciei signum, ci se introduce o -modificare n limitele superioare ale parametrilor, care

    rotete n spaiul de stare aceast hipersuprafa, cu un unghi dependent de Acest proces continu repetat pn cnd se ajunge la limita unei regiuni ce delimiteaz un spaiu de stare n care un mod alunector mai poate apare. n acest moment sistemul se nscrie pe o traiectorie de stare care produce rentoarcerea in regiunea n care un mod alunector mai este posibil a se produce, ntr-un punct mai apropiat de origine si procesul de ajustare parametric cu hipersuprafa de comutaie variabil n timp este reluat. Frontiera dintre regiunile unde poate apare sau nu un regim alunector, poate ea nsi s fie definit ca o hipersuprafa a crei ecuaie este dependent de variabilele de stare i parametrii modelului procesului. Verificarea ecuaiei acesteia, determin rentoarcerea n regiunea ce permite un regim alunector, a traiectoriei de stare a sistemului. Evoluia pe mai departe, spre origine, se face n imediata

    vecintate a hipersuprafeei delimitatoare. Pentru suficient de mic, sau chiar la limita tinznd ctre zero, se poate considera c depirea regiunii, cu mod alunector posibil, este

    neglijabil. Deci comanda adaptiv cu parametrii ajustabili prin - modificare conduce procesul, n timp finit, din condiiile iniiale n origine.

    Dac avem n vedere numai contextul perturbator, extern sau intern, acesta din urm datorat manifestrii la modelul procesului a unor dinamici ne-modelate, metodele si algoritmii ce se vor propune pentru creterea robusteii, se vor sintetiza pe baza unor margini superioare ale acestuia, fr a considera o parametrizare determinist sau stocastic.

    Deci, sinteza comenzilor compuse, ale cror parametri ajustabili au adiionat o component cu structur variabil, este extensibil la o tipologie larg de conducere adaptiv, cu model de referin sau cu auto-acordare, cu timp continuu sau discret, funcionnd n mediu determinist sau stocastic.

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    14

    1. 2. Real pozitivitate, strict real pozitivitate. Actualizare parametric prin gradient i structur variabil

    Se vor prezenta, pe scurt, cteva concepte preluate din teoria sistemelor real pozitive,

    concepte care vor servi drept repere n fundamentarea i construirea algoritmilor de sintez a comenzilor adaptive ce constituie obiectul principal al capitolelor urmtoare. n continuare se furnizeaz o serie de elemente definitorii ale sistemelor real pozitive (RP) i strict real pozitive (SRP), ct i rezultate prezentate sub form de leme i teoreme, fr demonstraii, ele putnd fi consultate n literatura de specialitate indicat prin bibliografie.

    Definiia 1. 2. 1. (Funcii real pozitive i strict real pozitive). O funcie de transfer raional

    H(s) de variabil complex js este RP dac R,RH , i 0,0,0jHRe . H(s) este SRP dac sH..a,0 s fie RP.

    Teorema 1. 2. 1. (de strict real pozitivitate pentru o funcie de transfer raional). O funcie de transfer raional, cel mult proprie, este SRP dac i numai dac urmtoarele dou condiii sunt simultan ndeplinite: i) H(s) este o funcie de transfer strict stabil; ii) partea real a funciei complexe H(s) este strict pozitiv de-a lungul axei j , adic

    0jHRe,0 .

    Teorema de mai sus sugereaz un cumul de condiii necesare pe care trebuie s le ndeplineasc o funcie de transfer H(s) pentru ca s fie SRP.

    H(s) s fie strict stabil;

    Conturul Nyquist al lui jH s fie situat integral n semiplanul drept al planului complex;

    H(s) s aib gradul relativ (excesul poli-zerouri) 0, sau 1;

    H(s) s fie de faz minim ( H(s) s aib toate zerourile situate strict n semiplanul stng al planului complex i s nu conin timp mort).

    Diferena dintre o funcie de transfer RP i SRP este aceea c o funcie RP poate avea poli pe axa imaginar, pe cnd una SRP nu. Urmtoarea teorem furnizeaz condiii necesare i suficiente pentru ca o funcie de transfer s fie RP.

    Teorema 1. 2. 2. (de real pozitivitate pentru o funcie de transfer). O funcie de transfer este RP dac i numai dac urmtoarele condiii sunt simultan ndeplinite:

    H(s) este o funcie de transfer stabil;

    Polii lui H(s) de pe axa imaginar sunt poli simpli, cu reziduurile asociate reale i pozitive;

    0,0jHRe , a. . j nu este un pol al lui H(s).

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    15

    H(s)

    Lema 1. 2. 1. (Kalman-Yakubovich-Popov, de realizare minimal a unei funcii de

    transfer SRP). Fie tripletul Tc,b,A o realizare minimal a unei funcii de transfer H(s), raional, strict proprie, stabil. Atunci urmtoarele propoziii sunt echivalente:

    i) H(s) este SPR;

    ii) Exist matricele pozitiv definite P i Q care verific ecuaiile

    cPb

    QPAPA T

    (1. 2. 1)

    Lema 1. 2. 2. (Ecuaia de eroare a unei funcii de transfer SRP i algoritmul de

    actualizare prin gradient). Se consider dou semnale de eroare e, oe scalare i vectorul

    n2R , care satisfac ecuaiile

    tecte

    tvtbtAete

    To

    T

    (1. 2. 2)

    tvtksHte To (1. 2. 3)

    tvteksgnt o (1. 2. 4)

    unde H(s) este o funcie de transfer SRP cu realizarea minimal Tc,b,A , de grad n, k o constant necunoscut dar de semn cunoscut, o constant pozitiv, iar v(t) un vector de

    semnale de dimensiune 2n. Atunci teo i t sunt global mrginite Lt,teo , iar dac v este mrginit atunci 0te,te o pentru t 2o Lte,te . De fapt, teo este

    rspunsul sistemului liniar, cu funcia de transfer H(s) SRP la intrarea tvtk T i pentru care avem schema din figura 1. 2. 1.

    v(t) eo(t)

    Figura 1. 2. 1. Schema bloc a ecuaiei de eroare, funcie de transfer SRP, actualizare parametric prin legitate de gradient.

    tvksgn

    .

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    16

    n (1. 2. 4) vectorul n2R reprezint eroarea de estimare parametric, 0tt , cu 0 vectorul parametrilor adevrai.

    2. Conducerea adaptiv a proceselor cu model de ordinul unu

    Acest capitol se dorete a fi o introducere n conducerea adaptiv cu model de referin, n sensul tratrii celui mai simplu model al procesului. Se consider procese pentru care li se poate asocia ca dinamic un model parametric de ordinul unu. Astfel de sisteme ndeplinesc condiia de strict real pozitivitate care, dup cum vom vedea n capitolele urmtoare, este una din presupunerile apriorice ce va stabili calea de urmat n conducerea adaptiv, cu structur variabil i compus. Totui, tratarea separat a situaiei cnd procesul admite un model de ordinul unu, nlesnete introducerea i explicarea intr-o maniar intuitiv a tuturor elementelor care se revendic a fi elemente de noutate n conducerea adaptiv i cu structur variabil. Cazul pentru care modelul procesului poate fi ales de ordinul unu, conduce la manipularea facil a unor instrumente sistemice n analiza performanelor i proprietilor structurilor de conducere.

    2. 1. Sinteza comenzii adaptive pentru procese de ordinul unu i ajustare parametric prin legitate de gradient

    Se consider modelul procesului cu funcia de transfer Hp(s) descris n domeniul timp de

    ecuaia diferenial

    tuktyaty pppp.

    (2. 1. 1)

    n care ap, kp, sunt parametrii necunoscui. Se cunoate cel mult semnul lui kp. Funcia de

    transfer a modelului procesului poate fi i instabil, ceea ce ar corespunde la un proces fizic instabil.

    Modelul de referin cu funcia de transfer stabil Hm(s), creia i corespunde n domeniul

    timp de ecuaia

    trktyaty mmmm.

    (2. 1. 2)

    unde parametrii am, km sunt cunoscui, iar am>0 din condiia de stabilitate. Dac se consider

    comanda

    trttyttu rpy (2. 1. 3)

    n care parametrii au drept valori adevrate expresiile

    k/k

    k/aa

    pmor

    pmpop

    (2. 1. 4)

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    17

    atunci transferul de la semnalul de referin la ieirea procesului este identic cu cel al modelului de referin

    trktyatrtktytka

    trttytktyaty

    mpmrppppp

    rpppppp

    .

    (2. 1. 5)

    cnd p(t)=p0 i r(t)=r

    0.

    Dac se introduc erorile de estimare ale parametrilor comenzii

    orrr

    oppp

    tt

    tt (2. 1. 6)

    i eroarea de urmrire

    tytyte mpo (2. 1. 7)

    dup o serie de nlocuiri i prelucrri, ea se poate exprima n forma

    orrppmo /trttytsHte (2. 1. 8)

    Dei, din punct de vedere al scrierii, n relaia de mai sus apar inadvertene, prin

    Hm(s)[p(t)yp(t)+r(t)r(t)] trebuie s nelegem efectul operatorului Hm(s)[.] aplicat funciei de

    timp respective.

    n ecuaia (2. 1. 8) Hm(s) este SRP (orice funcie de transfer stabil, de ordinul unu este o

    funcie de transfer SRP), iar dac se consider legile de ajustare parametric

    trteksignt

    tyteksignt

    opgr

    .

    popgp

    .

    (2. 1. 9)

    anularea asimptotic a erorii de urmrire este asigurat n conformitate cu lema 1. 2. 2 din capitolul anterior

    Simularea 2. 1. 1. n figura 2. 1. 1 este reprezentat rspunsul procesului Hp(s)=1/(s-1) i al

    modelului de referin Hm(s)=1/(s+1) la semnal de referin treapt variabil (r(t)=1, pentru

    0t5r(t)=-2, pentru 5t10r(t)=2, pentru 10t). S-a considerat legea de comanda (2.1.3), ajustrile parametrice (2.1.9) i drept proces s-a utilizat modelul Hp(s). S-a ales constanta la

    valoarea g=1. Valoarea acestei constante este un indicator al mrimii pasului de cutare n

    legea de ajustare parametric. O valoare mic a pasului, aa cum s-a considerat i n

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    18

    simularea curent cauzeaz o actualizare lent a parametrilor cu efecte negative asupra rspunsului tranzitoriu al buclei de conducere. O valoare prea mare poate conduce la oscilaii ale rspunsului n regim asimptotic, care nu pot fi acceptate chiar dac rspunsul tranzitoriu este satisfctor. Pentru c mrimea de referin nu asigura condiia de excitaie persistent (EP) a semnalelor din structura buclei de conducere adaptiv, se observ pe graficul 2.1.1 b

    c estimaiile parametrilor nu converg ctre valorile adevrate, care sunt: p0=-2 i r

    0=1.

    Simularea 2. 1. 2. Figura 2. 1. 2 reprezint rspunsul aceleiai structuri, dar la referin

    cosinusoidal cu pulsaia 1rad/sec. De remarcat este faptul c n aceast situaie parametrii comenzii converg la valorile adevrate specificate mai sus. Mrimea de referin, r(t), n acest

    caz este un semnal 2-suficient mbogit, deoarece o pulsaie, contribuie cu dou puncte, {-

    , pe suportul densitii spectrale, asigurnd astfel condiia de EP a semnalelor din structura de conducere adaptiv, unde comanda are numai component ajustabil printr-o legitate de gradient. Pe graficul a) este reprezentat att referina, ct i ieirea modelului de referin, respectiv a procesului. Se poate remarca convergena exact a parametrilor la valorile adevrate. Aceast convergen s-ar fi produs indiferent de valoarea pulsaiei sau a amplitudinii

    Figura 2. 1. 1. Rspunsul buclei la comand adaptiv cu ajustare parametric prin legitate de

    gradient (g=1), semnal de referin treapt variabil.

    0 10 20 30-4

    -2

    0

    2

    4raspuns

    a) t[s]

    0 10 20 30-3

    -2

    -1

    0

    1

    2parametrii comenzii

    b) t[s]

    0 10 20 30-4

    -2

    0

    2

    4

    6comanda

    c) t[s]

    0 10 20 30-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5eroarea de urmarire

    d) t[s]

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    19

    3. Conducerea adaptiv, cu structur variabil i compus a proceselor cu model de exces poli-zerouri unitar

    n acest capitol se prezint metodologia de sintez a comenzilor adaptive, cu ajustare parametric prin legitate de gradient, prin legitate cu structur variabil, respectiv compus, pentru conducerea adaptiv cu model de referin, n condiiile pentru care modelul procesului are grad relativ unitar (exces poli zerouri unitar). Dac funcia de transfer a modelului procesului are grad relativ unitar, atunci funcia de transfer a modelului de referin se poate alege strict real pozitiv (SRP). Aceasta este o condiie necesar pentru ca o funcie de transfer s fie SRP.

    Se va utiliza n componenta cu structur variabil, la nivelul legilor de ajustare parametric o funcie k-sigmoidal pentru a ridica calitatea rspunsului tranzitoriu i a reduce chatteringul. Astfel, bucla de conducere adaptiv cu ajustare parametric prin structur variabil nu mai prezint proprietatea de urmrire perfect n

    regim asimptotic. Robusteea va fi crescut prin utilizarea unei modificri variabil n timp, dependent de norma parametric.

    Introducerea n comanda adaptiv a componentei cu structura variabil conduce la obinerea unui regim tranzitoriu mult mbuntit, performanele asimptotice urmnd s fie asigurate de componenta cu parametri ajustabili printr-o legitate de gradient.

    3. 1. Ipoteze de lucru. Sinteza comenzii adaptive pentru procese cu model de

    grad relativ unitar. Ajustare parametric printr-o legitate de gradient

    Algoritmul care va fi sintetizat funcioneaz pe urmtoarele ipoteze:

    I1) Ipoteze privind modelul procesului. Modelul procesului este considerat un sistem liniar, invariant n timp,

    reprezentat prin funcia de transfer raional

    (s)D

    (s)Nk

    U(s)

    (s)Y=(s)H

    p

    p

    p

    p

    p (3. 1. 1)

    sau reprezentnd legtura ntre semnalul de comand i cel de ieire

    tusHty pp (3. 1. 2)

    n care Np(s) i Dp(s) sunt polinoame monice, prime ntre ele, de grad m, respectiv n, ambele cunoscute. Se

    noteaz gradul relativ cu *pn , pentru care avem valoarea 1n;mnn

    *ppp

    *p . Coeficienii modelului

    procesului sunt necunoscui. Se cunoate cel mult semnul factorului de amplificare kp ( sgn(kp)). Modelul procesului poate fi ales i instabil (acesta dac instalaia nominal este instabil), dar se consider a fi de faz minim pentru a satisface dezideratul de urmrire perfect;

    I2) Ipoteze privind modelul de referin. Modelul de referin se consider un sistem liniar, invariant n timp, stabil i de faz minim, reprezentat de funcia de transfer raional

    (s)D

    (s)Nk

    R(s)

    (s)Y=(s)H

    m

    mm

    mm (3. 1. 3)

    sau

    trsHsy mm (3. 1. 4)

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    20

    unde Nm(s) si Dm(s) sunt polinoame monice, prime ntre ele, cu gradele mm, respectiv nm. Gradul relativ se

    noteaz cu *mn i satisface inegalitatea

    *p

    *m nn , necesar pentru obinerea urmririi perfecte. Dac gradul

    relativ al modelului procesului se consider a fi unitar, atunci se poate alege funcia de transfer a modelului de referin, Hm(s), tot cu exces poli zerouri unitar i prin urmare SRP;

    I3) Ipoteze privind referina. Semnalul de referin r(t):R+R este considerat a fi o funcie mrginit si

    continu pe poriuni.

    Mai jos se parcurg, succint, etapele sintezei semnalului de comand, u(t), unde se vor defini semnalele ce intr n componena sa i parametrii ajustabili on-line.

    Se consider perechea (h) , cu matricea 1n1n ppR si vectorul 1npRh n forma canonic

    controlabil, astfel nct

    (s)N=)-det(sI m (3. 1. 5)

    precum i filtrele cuplate pe comand, vu, respectiv pe ieirea procesului, vy cu dinamicele

    (t)hy+(t)v=(t)v

    hu(t)+(t)v=(t)v

    pyy

    uu

    (3. 1. 6)

    unde 1n

    yupRv,v

    . Fie pn2

    Rv vectorul de semnale din bucla de conducere adaptiv

    TpTyTu r(t),t)(y,t)(vt),(v=v(t) (3. 1. 7)

    i vectorul pn2R al parametrilor comenzii

    TrpTyTu2n ,,,,R p (3. 1. 8)

    care conine sub-vectorii 1n

    yupR,

    cu parametrii ce nmulesc elementele semnalelor vectoriale vu, vy.

    Comanda adaptiv se poate scrie ca fiind produsul scalar al vectorului parametrilor, cu vectorul de semnale v

    (t)r(t)+t)(y(t)+(t)v(t)+(t)v(t)tu

    (t)v(t)=u(t)

    rppyTyu

    Tu

    T

    (3. 1. 9)

    Primul termen din componena comenzii are rolul de a nlocui zerourile modelului procesului cu acelea ale modelului de referin. Al doilea i al treilea termen au ca efect cumulat nlocuirea polilor modelului procesului cu polii modelului de referin. Al patrule termen aduce factorul de amplificare kp la valoarea km. Dac se

    noteaz cu pn2o R vectorul parametrilor adevrai ai semnalului de comand i cu

    on2 tt,Rt p vectorul erorilor de estimare parametric, atunci comanda adaptiv se poate scrie

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    21

    (t)v(t)+v(t)=u(t) ToT (3. 1. 10)

    Privind mrimea T(t)v(t)/r, ca fiind un semnal extern, aditiv referinei, atunci transferul de la semnalul de

    referin la ieirea procesului, cu legea de comand (3. 1. 10), devine

    orTmmp (t)v(t)/(s)Hr(t)(s)H=(t)y (3. 1. 11)

    Eroarea de urmrire se poate exprima ntr-o form pentru care se poate aplica lema 1. 2. 2 din capitolul 1

    orTmmpo (t)v(t)/(s)H=(t)y-(t)y=(t)e (3. 1. 12)

    Utiliznd gradientul drept lege de ajustare parametric, atunci componentele vectorului se actualizeaz respectnd fiecare acest tip de dinamic. Practic parametrii comenzii se obin on-line urmare a unei operaii integratoare, n funcie de semnul factorului de amplificare al modelului procesului

    (t)r(t)eksignt

    (t)(t)yeksignt

    (t)(t)veksignt

    (t)(t)vek-sign=(t)

    ogpr

    pogpp

    yogpy

    uogpu

    (3. 1.13)

    unde g este o constant pozitiv. Astfel, se obine anularea n regim asimptotic a erorii de urmrire. Constanta

    g poate fi scalar, unic pentru toate componentele vectorului , sau vectorial, cu elemente de valori

    pozitive dar diferite, n funcie de performanele cerute la identificarea on-line a parametrilor comenzii.

    Simularea 3. 1. 1. n figura 3. 1. 1 este reprezentat rspunsul buclei de conducere adaptiv la acelai semnal de referin treapt variabil. Parametrii legii de comand respect o legitate de gradient. Funcia de transfer a modelului procesului a fost Hp(s)=(s+1)/[(s-1)(s+2)]. Evident, ea a fost utilizat n simulare i pe post de proces.

    Altminteri, parametrii ei au fost considerai necunoscui. Se poate remarca faptul c modelul procesului este o funcie de transfer instabil i de faz minim, cu exces poli-zerouri unitar. S-a ales modelul de referin cu

    funcia de transfer Hm(s)=(s+1.2)/(s2+1.2s+1), stabil i de faz minim, tot cu exces poli-zerouri unitar i SRP.

    De asemenea s-a ales valoarea pentru constanta g=1. Valorile elementelor pentru (, h)=(1.2, 1) face ca

    perechea s verifice egalitatea (3. 1. 5) pentru numitorul lui Hm(s) considerat n simulare. Vectorul parametrilor

    comenzii are dimensiunea patru. Pentru c valoarea lui g s-a ales mic rspunsul tranzitoriu, cel puin n prima

    parte, este mai slab. Urmrirea perfect, n regim asimptotic, este realizat.

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    22

    Figura 3. 1. 1. Rspunsul buclei la comand adaptiv cu ajustare parametric prin legitate de gradient (g=1),

    semnal de referin treapt variabil.

    Simularea 3. 1. 2. S-a considerat aceeai perturbaie, treapt variabil, aditiv pe ieirea procesului i aceeai incertitudine ne-structurat multiplicativ la dinamica procesului ca la conducerea adaptiv a proceselor de ordinul 1. Rspunsul din figura 3. 1. 2 arat c bucla de conducerea adaptiv cu ajustare parametric prin legitate de gradient prezint caliti de robustee la exogen perturbator mrginit i dinamic ne-modelat multiplicativ. Se pstreaz stabilitatea buclei i urmrirea perfect, cu alterarea uoar a rspunsului tranzitoriu.

    Figura 3. 1. 2. Rspunsul buclei la comand adaptiv cu ajustare parametric prin legitate de gradient (g=1),

    semnal de referin treapt variabil, perturbaie treapt variabil aditiv pe ieirea procesului, dinamic ne-modelat multiplicativ

    0 10 20 30-4

    -2

    0

    2

    4raspuns

    a) t[s]

    0 10 20 30-4

    -2

    0

    2

    4parametrii comenzii

    b) t[s]

    0 10 20 30-10

    -5

    0

    5

    10

    15comanda

    c) t[s]

    0 10 20 30-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5eroarea de urmarire

    d) t[s]

    0 10 20 30-6

    -4

    -2

    0

    2

    4raspuns

    a) t[s]

    0 10 20 30-4

    -2

    0

    2

    4parametrii comenzii

    b) t[s]

    0 10 20 30-5

    0

    5

    10comanda

    c) t[s]

    0 10 20 30-2

    -1

    0

    1

    2eroarea de urmarire

    d) t[s]

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    23

    4. Conducerea adaptiv, cu structur variabil i compus a proceselor cu model de grad relativ supraunitar

    Se prezint algoritmii de sintez a comenzilor adaptive cu ajustare parametric prin gradient, cu structur variabil i compus pentru procese pentru care se alege un model de exces poli-zerouri supraunitar. Astfel, funcia de transfer a modelului de referin nu mai poate fi aleas strict real pozitiv (SRP). La conducerea adaptiv cu ajustare parametric prin legitate de gradient este necesar sinteza unei erori crescute, care are rol de eroare de identificare. La conducerea adaptiv cu structur variabil se vor defini i sintetiza, pe lng eroarea crescut, i o serie de erori auxiliare care vor defini modurile alunectoare. De asemenea, aceste erori se vor utiliza i ca erori de identificare pe modurile alunectoare respective. n final, va fi abordat sinteza comenzii a adaptive cnd modelul procesului are grad relativ doi. Pentru acest caz particular se poate sintetiza comanda adaptiv i fr sinteza unei erori intensificate, att pentru lege de ajustare gradient, ct i cu structur variabil.

    Pentru reducerea oscilaiilor n regim asimptotic i atenuarea chatteringului se va opta pentru funcia de comutaie k-sigmoidal. Pentru creterea gradului de robustee a buclei la

    perturbaii externe mrginite i incertitudini ne-structurale se va introduce o modificare, constant, sau variabil n legea de ajustare a amplitudinii funciei sigmoidale.

    Aceste elemente ce in de ajustarea parametric cu structur variabil vor figura i la conducerea adaptiv cu comand compus, unde parametrii comenzii se obin prin compunerea aditiv a doi termeni. Primul, are o ajustare prin gradient, iar al doilea prin structur variabil, cu funcie de comutaie k-sigmoidal.

    4. 1. Sinteza comenzii adaptive i a erorii crescute. Ajustare parametrica printr-o legitate de gradient.

    Sinteza comenzii adaptive, ca i n capitolul precedent, se face pornind de la urmtoarele ipoteze:

    I1) Ipoteze privind modelul procesului. Modelul procesului este considerat un sistem liniar,

    invariant n timp, reprezentat prin funcia de transfer raional

    (s)D

    (s)Nk

    U(s)

    (s)Y=(s)H

    p

    p

    p

    p

    p (4. 1. 1)

    sau reprezentnd legtura ntre semnalul de comand i cel de ieire

    tusHty pp (4. 1. 2)

    n care Np(s) i Dp(s) sunt polinoame monice, prime ntre ele, de grad m, respectiv n, ambele

    cunoscute. Se noteaz gradul relativ cu *pn , pentru care avem valoarea

    2n;mnn *ppp*p . Coeficienii modelului procesului sunt necunoscui. Se cunoate cel

    mult semnul factorului de amplificare kp (sgn(kp)). Modelul procesului poate fi ales i instabil

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    24

    (acesta dac instalaia nominal este instabil), dar se consider a fi de faz minim pentru a satisface dezideratul de urmrire perfect;

    I2) Ipoteze privind modelul de referin. Modelul de referin se consider un sistem liniar, invariant n timp, stabil i de faz minim, reprezentat de funcia de transfer raional

    (s)D

    (s)Nk

    R(s)

    (s)Y=(s)H

    m

    mm

    mm (4. 1. 3)

    sau sub form de operator, exprimnd legtura ntre semnalul de intrare (semnalul de referin) i cel de ieire

    trsHty mm (4. 1. 4)

    unde Nm(s) si Dm(s) sunt polinoame monice, prime ntre ele, cu gradele mm, respectiv nm.

    Gradul relativ se noteaz cu *mn i satisface inegalitatea *p

    *m nn , necesar pentru obinerea

    urmririi perfecte. Dac se opteaz pentru egal, atunci funcia de transfer a modelului de referin, Hm(s), este de grad strict supraunitar i prin urmare nu mai poate fi SRP.

    I3) Ipoteze privind referina. Semnalul de referin r(t):R+R este considerat a fi o

    funcie mrginit si continu pe poriuni.

    Pentru c polinomul de la numrtorul funciei de transfer a modelului de referin, Nm(s),

    n acest caz, este de grad, mm strict mai mic ca 1n1n pm , nu mai este posibil alegerea

    perechii (, h), astfel nct det(sI-)=Nm(s). Din acest motiv se alege polinomul hurwitzian

    1(s), de grad 1mn1mn mmpp , astfel nct sa fie valabil egalitatea

    ssNs 1m (4. 1. 5)

    unde (s)=det(sI-) este un polinom de grad 1n1n pm , ale crui zerouri sunt polii

    filtrelor cuplate pe comand i ieirea procesului

    tyhtvtv

    ;thutvtv

    pyy

    .

    uu

    .

    (4. 1. 6)

    Fie polinoamele, C(s), de grad np-2 i D(s), de grad np-1, ale cror coeficieni sunt elementele

    vectorilor u, y i valoarea scalar p. Cu aceste notaii, structura bloc a transferului de la

    semnalul de referin la ieirea procesului poate fi reprezentat ca n figura 4. 1. 1.

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    25

    Figura 4. 1. 1. Schema bloc a buclei, cu transferul de la semnalul de referin la ieirea procesului.

    Calculnd funcia de transfer, n bucl nchis, de la referin la ieirea procesului, se obine expresia

    sDsNksCssD

    sNssNksH

    ppp

    m1ppr0

    (4. 1. 7)

    Condiia ca funcia de transfer H0 (s) s fie identic cu Hm(s) (condiia de urmrire perfect)

    conduce la identitatea polinomial

    sDsNssDsNksCssD mp1ppp (4. 1. 8)

    Existenta vectorilor uyde dimensiune np-1 i a valorii scalarep , care sunt

    coeficienii polinoamelor C(s) i D(s), este garantat de o lem din calculul algebric polinomial

    Lema 4. 1. 1. Fie polinoamele A(s) i B(s) de grade n1, respectiv n2, prime ntre ele, atunci exist polinoamele M(s) i N(s) astfel nct

    sAsNsBsMsA * (4. 1. 9)

    unde A*(s) este un polinom arbitrar

    Aplicnd lema la identitatea polinomial (4. 1. 8), cu sDsNssA mp1* ,

    sDsA p i sNksB pp , rezult c exist polinoamele sCs i sD astfel nct identitatea s aib loc.

    Pentru c funcia de transfer Hm(s) nu mai poate fi aleas SRP, legea de ajustare prin

    gradient (nu se mai poate aplica lema 1. 2. 2) a parametrilor comenzii nu mai conduce la

    anularea asimptotic a erorii de urmrire.

    Evitarea acestui neajuns se face prin introducerea unei erori crescute. n literatura de

    specialitate sunt prezentate doua modaliti de definire a acestei erori. n lucrare am optat

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    26

    pentru varianta unde se alege polinomul hurwitzian L(s), de grad 1n1n pm , astfel nct,

    Hm(s)L(s) sa devin o funcie de transfer SRP. Se definete vectorul pn2

    Rt

    (4. 1. 10)

    i eroarea auxiliara, ea

    tvtsLtt

    tvtsLtvsLtte

    T1T

    T11Ta

    (4. 1. 11)

    Se face i aici, precizarea ca in (4.1. 10) si (4. 1. 11) scrierea L-1

    (s)[.], semnific efectul

    operatorului L-1

    , aplicat unei funcii de timp. Eroarea auxiliar reprezint o mrime care se

    poate calcula on-line, deoarece (t) si v(t) sunt disponibile. Dac, (t) se nlocuiete cu

    vectorul parametrilor adevrai, atunci aceasta eroare devine nul

    tvsLtvsL0 oT11oT (4. 1. 12)

    Scznd membru cu membru (4. 1. 12) din (4. 1. 11) se obine eroarea auxiliar exprimat

    funcie de vectorul erorilor de estimare parametrica on2 tt;R p

    tvtsLttte T1Ta (4. 1. 12)

    Dac se consider vectorul 1n2

    1pR

    , format cu elementele lui , fr ultima component,

    r, atunci putem defini eroarea auxiliara cu relaia

    tttetetsLsHtete 1T1car1moc (4. 1. 13)

    creia i corespunde reprezentarea schematic din figura 4. 1. 2.

    tvsLt 1

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    27

    Figura 4. 1. 2. Schema bloc de sintez a erorilor auxiliare i crescute, pentru cazul general

    cnd parametrul r se ajusteaz on- line.

    In figur se remarc apariia parametrului r1 , care se va supune si el procesului de ajustare,

    fiind definit de relaia

    tt1t r1rr1 (4. 1. 14)

    unde 1r reprezint propria eroare de estimare. Reacia suplimentar, cu factorul 1T1 , a fost

    introdus pentru a evita alunecarea spre instabilitate a semnalului ec. Se obine pentru eroarea crescut expresia

    tttetett/ttsLsHte 1T1car1rTmc (4. 1. 15)

    Utiliznd pentru ajustarea parametric legitatea de gradient, elementele vectorului i r1

    respect dinamicele

    tteksignt

    tteksignt

    tteksignt

    tteksignt

    rcpr

    pcpp

    ycpy

    ucpu

    .

    (4. 1. 16)

    tetet acr1.

    (4. 1. 17)

    cu Hm(s)L(s), funcie de transfer SRP. Aplicnd lema 1. 2. 2, din capitolul 1, anularea

    asimptotic a erorii crescute este garantat. De asemenea este garantat anularea erorii de urmrire. Dac factorul de amplificare al modelului procesului, kp, este cunoscut, atunci

    parametrul comenzii nu mai este necesar a fi ajustabil on-line. Ca atare, dispare

    parametrul r1 din spaiul parametrilor ajustabili on-line. Dac factorul de amplificare kp

    pstreaz semn constant pe tot universul de timp de funcionare, sau de simulare, atunci el se nlocuiete direct semnul n relaiile (4. 1. 16).

    Simularea 4. 1. 1. Studiile prin simulare numeric, care se vor prezenta n acest capitol s-au fcut, pentru modelul procesului cu funcia de transfer Hp(s)=1/((s-1)(s+2)) i modelul de referin Hm(s)=1/(s

    2+1.2s+1). Ca i pn acum, modelul procesului s-a considerat cu parametrii necunoscui i s-a utilizat n simulare pe post de proces. Se poate remarca c modelul procesului este de ordinul doi, cu grad relativ doi, instabil i de faz minim. Modelul de referin s-a ales tot de ordinul doi i de grad relativ doi. Acelai semnal de

    referin (r(t)=1, for 0t5r(t)=-2, pentru 5t10r(t)=2, pentru 10t ca n simulrile

    r

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    28

    anterioare, au acionat ca exogen asupra buclei de conducere adaptiv. Polinomul hurwitzian, L(s), de grad unitar, a fost ales L(s)=s+1.2, pentru ca funcia de transfer Hm(s)L(s) s fie

    SRP. Perechea h, s-a ales la valoarea (10, 1). Rspunsul buclei la comand adaptiv cu parametrii ajustabili prin gradient este prezentat n figura 4.1.3. Datorit valorii alese pentru

    g=10, rspunsul tranzitoriu n faza de adaptare este ne-satisfctor. Simularea s-a efectuat

    n condiiile kp cunoscut i egal ca valoare cu km. Vectorul parametrilor ajustabili ai comenzii a avut dimensiunea trei.

    Figura 4. 1. 3. Rspunsul buclei la comand adaptiv cu ajustare parametric prin legitate de

    gradient (g=10), semnal de referin treapt variabil.

    Simularea 4. 1. 2. Rspunsul buclei de conducerea adaptiv, cu parametrii ajustabili prin

    gradient, n prezena unei perturbaii treapt variabil (p(t)=-0.5, pentru 0t3p(t)=0.5,

    pentru 3tp(t)=-1, pentru 6taditiv pe ieirea procesului i a unei incertitudini ne-structurate multiplicative, este redat n figura 4. 1. 4. Dinamica ne-modelat, cu funcia de transfer Hmn(s)=(0.08s+.8)/(0.05s+1) este excitabil la pulsaii superiore pragului de 10 rad/sec. Se observ c bucla i pstreaz stabilitatea i urmrirea perfect, dar cu rspuns tranzitoriu i comand ne-satisfctoare.

    0 10 20 30-4

    -2

    0

    2

    4raspuns

    t[s]

    0 10 20 30-6

    -4

    -2

    0

    2parametrii comenzii

    t[s]

    0 10 20 30-15

    -10

    -5

    0

    5

    10comanda

    t[s]u(t

    )

    0 10 20 30-0.5

    0

    0.5

    1

    1.5eroarea de urmarire, eroarea crescuta

    t[s]

  • Elemente introductive n conducerea adaptiv cu model de referin. Motivaii

    29

    Figura 4. 1. 4. Rspunsul buclei la comand adaptiv cu ajustare parametric prin legitate de

    gradient (g=10), semnal de referin treapt variabil, perturbaie aditiv pe ieirea

    procesului, dinamic ne-modelat multiplicativ

    0 10 20 30-20

    0

    20

    40

    60raspuns

    t[s]

    0 10 20 30-40

    -20

    0

    20parametrii comenzii

    t[s]

    0 10 20 30-150

    -100

    -50

    0

    50

    100comanda

    t[s]

    u(t

    )

    0 10 20 30-20

    0

    20

    40

    60eroarea de urmarire, eroarea crescuta

    t[s]