MAT 111 - C alculo Diferencial e Integral I - 1 semestre ...pluigi/registro-MAT111-11.pdf · Sexta feira 4 mar˘co 2011 Representa˘c~ao dos numeros reais atrav ... racionais e in

MAT 111 - Calculo Diferencial e Integral I - 1◦ semestre de 2011

Registro das aulas e exercıcios sugeridos - Atualizado 13.6.2011

Segunda-feira, 28 fevereiro 2011

Apresentacao do curso. Veja-se o arquivo relativo as informacoes do curso na minha pagina web

www.ime.usp.br/∼pluigi

***

Os principais sistemas numericos usados no curso: o conjunto N dos numeros naturais, Z dos numeros

inteiros relativos, Q dos numeros racionais e R dos numeros reais.

Definicao (intuitiva) de numero real: um numero real e um alinhamento decimal, limitado ou nao,

periodico ou nao, com sinal. Em R sao definidas duas operacoes, soma e produto e uma relacao de ordem,

que verificam as propriedades seguintes:

S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b ∈ R, a+ b = b+ a;

S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c ∈ R, (a+ b) + c = a+ (b+ c);

S3) Existencia do elemento neutro da soma: ∀a ∈ R, a+ 0 = a e 0 e dito elemento neutro da soma;

S4) Existencia do oposto: ∀a ∈ R existe um elemento de R, −a, dito oposto de a, tal que a+(−a) = 0

(a+ (−a) = 0 pode ser escrito simplesmente a− a = 0).

Analogamente temos propriedade do produto:

P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b ∈ R, ab = ba;

P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c ∈ R, (ab)c = a(bc);

P3) Existencia do elemento neutro do produto: ∀a ∈ R, a · 1 = a e 1 e dito elemento neutro do

produto;

P4) Existencia do inverso: ∀a ∈ R, a 6= 0, existe um elemento de R, 1/a, tal que a · 1/a = 1.

A propriedade distributiva liga soma e produto:

SP) ∀a, b, c ∈ R, (a+ b)c = ac+ bc.

As duas propriedade seguintes ligam a soma e o produto ao ordenamento:

OS) ∀a, b, c ∈ R, se a ≤ b, entao a+ c ≤ b+ c;

OP) ∀a, b, c ∈ R, con c > 0, se a ≤ b, entao ac ≤ bc.A relacao de ordem verifica tambem as propriedades transitiva e anti-simetrica.

Alem da definicao intuitiva dos numeros reais, os numeros reais podem ser definidos por duas abor-

dagems independentes:

a) por via construtiva: definimos os numeros naturais, os inteiros, os racionais e enfim os numeros

reais;

b) por via axiomatica: R e um conjunto abstrato com duas operacoes, soma e produto, e uma relacao

de ordem tais que as 11 propriedades acima sao verificadas, assim como uma outra propriedade,

o axioma de continuidade, que veremos a seguir.

Sem entrar em detalhes, a via construtiva e muito mais complicada e delicada do que pode parecer.

Do outro lado, a via axiomatica permite provar todas as outras propriedades dos numeros reais, que todo

mundo aprende na escola.

Exercıcio 1.Provar, usando as primeiras 11 propriedades dos numeros reais, as propriedades seguintes:

1) ∀a ∈ R, a · 0 = 0;1

2

2) ∀a ∈ R, a > 0⇒ −a < 0;

3) ∀a, b ∈ R, se a > 0 e b < 0, entao ab < 0;

4) ∀a, b, c ∈ R, se c < 0, se a ≤ b, entao ac ≥ bc;5) ∀a, b,∈ R, com a > 0, b > 0, a ≤ b se e somente se a2 ≤ b2.

6) ∀a, b,∈ R, com a > 0, b > 0, a ≤ b se e somente se 1/a ≥ 1/b.

(os exercıcios anteriores precisam de uma abordagem a qual o aluno n~ao esta

acostumado. Se o aluno encontra dificuldade nestes exercıcios acima, n~ao deve ficar

preocupado. O objetivo e ver a logica que fica atras desta construc~ao)

Exercıcios sugeridos:

Moise, pag. 2, num. de 1 a 15, faca alguns.

Quarta feira 2 marco 2011

Definicao de conjunto como conceito primitivo, ou seja colecao de objetos. Subconjunto de um con-

junto. Significado das notacoes a ∈ A e B ⊆ A. Complementar de um conjunto B in U , in sımbolos BC

ou CUB. Uniao A ∪B e intersecao A ∩B de conjuntos. Diferenca A\B de conjuntos. Conjunto vazio, ∅.Sımbolos ∀ e ∃.

Exercıcio 2. Provar as propriedades distributivas: dados tres conjuntos A, B e C,

1) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),

2) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C),

e as Leis de De Morgan: dados tres conjuntos A, B e C contidos num conjunto U ,

3) CU (A ∪B) = CUA ∩ CUB,

4) CU (A ∩B) = CUA ∪ CUB.

Exercıcios: escreva a uniao e a intersecao de A e B. Diga se vale A ⊆ B ou B ⊆ A. Determine A\Be B\A

3. A = (0, 1), B = [0, 1] 4. A = (−∞, 0), B = [−1, 5]

5. A =

{2n

2n+ 1, n ∈ N

}, B =

{n

n+ 1, n ∈ N

}6. A = (0, 2) ∪ (3, 4), B = [2, 3] 7. A = (−3, 0], B = [−2, 2)

Seja agora E um subconjunto de R. Um numero real M e dito majorante de E se x ≤ M para todo

x ∈ E. Um numero real m e dito minorante de E se x ≥ m para todo x ∈ E.

Um conjunto E e dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto e dito

limitado inferiormente se admite pelo menos um minorante. E dito limitado se e limitado superiormente

e inferiormente.

Se E e limitado superiormente definimos supremo de E, supE, o mınimo dos majorantes; se E e

limitado inferiormente definimos ınfimo de E, inf E, o maximo dos minorantes. Se E e ilimitado superi-

ormente escrevemos supE = +∞, se E e ilimitado inferiormente escrevemos inf E = −∞.

O maximo de um conjunto E e o elemento maior, se existe, enquanto o mınimo e o elemento menor,

se existe.

Um conjunto e dito finito se possui um numero finito de elementos.

3

Propriedade (ou axioma) de continuidade: um conjunto de numeros reais, limitado superior-

mente (inferiormente) admite supremo (ınfimo) em R.

Q nao verifica a propriedade de continuidade. Verifique este fato como exercıcio. E uma consequencia

do fato que, por exemplo, nao existe nenhum racional cujo quadrado seja 2.

Podemos agora definir R de um jeito absolutamente abstrato, como um conjunto de elementos que

verifca as 12 propriedades acima. Pode-se provar que este conjunto existe e e unico.

Exercıcios: Determine o superemo e o ınfimo dos conjuntos seguintes e , se existem, o maximo e o

mınimo

8. (2, 3) 9. [0,+∞)

10. [−5, 1) ∪ (1, 4] 11. (0, 3] ∪ [3, 5]

12.

{1− 1

n, n ≥ 1

}∪{

1 +1

n, n ≥ 1

}13.

⋃n≥2

(− 1

2n, 1− 1

n

]

14. {x ∈ Q : x2 < 2} 15.

{2n

n2 + 1, n ∈ N

}

Sexta feira 4 marco 2011

Representacao dos numeros reais atraves da reta (a reta real).

O resultado seguinte, que damos sem demonstracao, e uma consequencia do axioma de continuidade.

Princıpio de Arquimedes: para todo x ∈ R existe n ∈ N tal que n > x.

Exercıcio 16. Provar, usando o Princıpio de Arquimedes, que o conjunto dos numeros reais positivos

nao admite mınimo. Ou seja, provar que nao existe o numero positivo menor de todos os outros.

Uma outra consequencia do Princıpio de Arquimedes e o fato bem conhecido de que entre dois numeros

reais estao infinitos numeros racionais e infinitos numeros irracionais (nao damos a prova).

Exercıcio (nao facil) 17. prove o resultato acima; prove em particular que, dados dois numeros

reais, positivos a e b, tais que a < b, existe um numero racional m/n tal que a < m/n < b.

Do axioma de continuidade segue a existencia da raiz enesima de qualquer numero real nao negativo

(veremos depois a prova – para demonstra-lo precisamos das propriedades das funcoes contınuas).

Definicao de raiz n-esima. Dados um numero inteiro n ≥ 1 e um numero real nao negativo x, a

raiz enesima de x, em sımbolos n√x, e o numero nao negativo y tal que yn = x.

Exercıcio 18. Provar que, dado x > 0, a raiz quadrada de x e unica (sugestao: usar a propriedade

que liga o ordenamento e o produto).

Dado un numero real a, definimos modulo (ou valor absoluto) de a numero nao negativo

|a| ={a se a ≥ 0

−a se a < 0.

Exercıcio 19. Provar as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b ∈ R,

|a+ b| ≤ |a|+ |b|, |a− b| ≥ |a| − |b|.

4

Exercıcio: Escrever a uniao e a intersecao dos seguintes pares de conjuntos A e B. Dizer se vale a

relacao A ⊆ B ou B ⊆ A. Determinar enfim A\B e B\A.

20. A = {x ∈ R :√x2 − 4 ≥ 0}, B = {x ∈ R : x2 − 4 ≥ 0}

Resolver as inequacoes seguintes.

21. x2 − 2x− 1 ≤ 0 22. 3x2 − x+ 2 > 0

23.x− 2

x+ 1>

1

x− 124.

x2 + x− 1

x2 − 2x+ 1≤ 1

2

25. x4 − 3

4x2 >

1

426. x2 ≤ 1

27.2

x+ 3 <

4

x− 1 28.

3

x2+ 1 ≤ x2 − 1

29.√x− 1 < x− 3 30.

√x2 + 2x− 1 > 3− x

31.√x− 1 <

√x 32. |x2 − 4x− 5| > −x

33.√−x < 5 + x 34. | − 6x+ 3| > −x+ 2

Exercıcio 35. Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A ⊆ B. Provar que supA ≤ supB e

inf A ≥ inf B.

Exercıcios:

Moise, pag. 2, num. de 1 a 15, faca alguns.

Guidorizzi, pag. 10, num. 1,3,7 (faca alguns), 8,14,15, 19 (faca alguns), 21, 22,

Guidorizzi, pag 19, num. 3 (faca alguns), 6 (use a desigualdade triangular),

Guidorizzi, pag. 20, num. 1,2; pag. 29. num. 1, 2


Exercıcio feito na sala de aula: determine supremo, ınfimo, maximo e mınimo (se existem) do conjunto:

A =

{1− 1

n, n ≥ 1

},

Exercıcio 36. Seja A =⋃n≥2

An, onde, para cada n, An =

(− 1

2n, 1− 1

n

]. Determine supremo,

ınfimo, maximo e mınimo (se existem)

Outro exercıcio feito na sala de aula: o exercıcio 34 deste resumo (veja-se a aula do dia 4 de marco).

Dados a e b reais, definicao de intervalo de extremos a e b:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.O primeiro e dito fechado, o quarto e dito aberto. Intervalos ilimitados:

[a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a,+∞) = {x ∈ R : a < x},

(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.Observacao: +∞ e −∞ nao sao numeros.

5

Definicao de funcao. Dados A e B conjuntos quaisquer, uma funcao f : A → B e una lei que a

cada elemento de A associa um e so um elemento de B.

A se chama domınio da funcao, B e dito contradomınio. O conjunto dos valores atingidos por f se

chama imagem de f , Im (f) ou f(A), ou seja:

Im (f) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f(x) = y}.

Im (f) e um subconjunto do contradomınio (pode ser igual).

A funcao e dita injetora se, para todos a, b ∈ A, tais que a 6= b, temos f(a) 6= f(b). E dita sobrejetora

se Im (f) = B. Se f e injetora e sobrejetora e chamada bijetora (ou correspondencia biunıvoca).

Definicao. Dado um subconjunto E de R, uma funcao real e uma funcao f : E → R.

Exemplos.

(1) f : R→ R, f(x) = x.

(2) f : R→ R, definida por f(x) =√x, nao e uma funcao. De fato, para cada x < 0,

√x nao existe.

(3) Pelo contrario, e bem definida a funcao f : [0,+∞)→ R, f(x) =√x.

(4) f : R→ R, f(x) = x2. Im (f) = [0,+∞).

(5) f : [0, 1] → R, f(x) = x2. O domınio e a imagem desta funcao sao diferentes dos aqueles do

exemplo anterior. Se duas funcoes tem domınios diferentes sao duas funcoes, ainda se possuem a

mesma lei.

(6) f : R→ R, f(x) =

{1/x se x 6= 0

0 se x = 0.

(7) f : [0, 4]→ R, f(x) =

{x+ 3 se 0 ≤ x ≤ 3

x2 − 5 se 3 < x ≤ 4.

Outros exemplos: sinal de x, parte inteira, funcao de Dirichlet.

E dito grafico de f o subconjunto de R2

G(f) = {(x, y) ∈ R2 tal que x ∈ E, y = f(x)}.

A funcao√x, assim como n

√x, e definida, lembre-se, gracas ao teorema de existencia da raiz quadrada,

mais em geral n-esima, que vamos aqui lembrar. A prova sera dada em seguida, precisando do conceito

de funcao contınua.

Teorema. (Existencia e unicidade da raiz n-esima. A demonstracao e adiada.) Dado x ≥ 0 e dado

n ∈ N, n ≥ 1, existe e e unico o numero positivo y tal que yn = x. y se chama raiz enesima de x.

Lembre que a prova da unicidade e facil e pode ser feita como exercıcio.

Exercıcios: dadas as funcoes seguintes, calcule a imagem dos conjuntos indicados ao lado

37. x3 + 2, (−1, 1) 38. x+ 3, [0, 5]

39. 2|x|, (−1, 3) 40. x2 + |x|, (−3, 2)

41. [x− 2]2, (−2, 2] 42. (difıcil) x(x− [x]), (−1,+∞)

No exercıcio acima [x− 2] e a parte inteira de x− 2.

6

Exercıcio 43. Uma funcao f : R→ R e chamada par se f(x) = f(−x), para todo x. E chamada impar

se f(x) = −f(−x), para todo x. Prove que x2 + 1 e par e quex3 − xx2 + 1

e impar.

Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 49, num. 1, 4 (faca alguns), 5, 6, 7 (faca alguns), 9 (faca alguns), 10 (faca alguns), 11c

(faca, obviamente, sem usar a derivada), 15 (faca alguns), 21, 22;

Stewart, pag. 36, num. de 8 a 14 (faca alguns).

Segunda feira 14 marco 2011

Sejam A, B dois conjuntos, e f : A → B uma funcao dada. Dado um subconjunto C de B, e dito

imagem inversa de C o conjunto {x ∈ A : f(x) ∈ C}.

Dada f : E → R e dado um suconjunto B de E, a funcao g : B → R, definida por g(x) = f(x) para

todo x ∈ B e dita restricao de f em B, o sımbolo e f |B .

Se f : A → B e injetora, definimos a funcao inversa de f como a funcao g : Im f → A que associa a

cada y ∈ Im f o unico x ∈ A tal que f(x) = y. Neste caso f e tambem chamada inverıvel e a funcao

inversa e denotada, em geral, por f−1.

Observacao: cuidado em nao fazer confusao entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre e

um conjunto e a funcao inversa, quando existe, que e uma funcao. A notacao nao ajuda, sendo f−1 o

mesmo sımbolo para os dois conceitos.

Sejam duas funcoes f : A → R e g : B → R, tais que Im f ⊆ B. Definimos funcao composta

g ◦ f : A→ R, a funcao

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Analogamente, se Im g ⊆ A, definimos f ◦ g : A→ R como (f ◦ g)(x) = f(g(x)).

Uma funcao f : E → R e dita monotona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada x1, x2em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≤ f(x2) (resp. f(x1) < f(x2)).

Uma funcao f : E → R e dita monotona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada

x1, x2 em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≥ f(x2) (resp. f(x1) > f(x2)).

Exercıcio 44. Estudar a monotonia das funcoes seguintes:

(1) f : R→ R, f(x) = x2,

(2) f : [2, 6]→ R, f(x) = x4,

(3) f : [0,+∞)→ R, f(x) =√x,

(4) f : (−∞,−2), f(x) =√−x,

(5) f [−5,−4] ∪ [1, 2], f(x) = 1/x.

Exercıcio 45. Desenhar os graficos das funcoes acima.

Exercıcio 46. Provar que a soma e de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente. A composicao

de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente? E o produto?

Exercıcios: dadas as funcoes seguintes, calcule a imagem inversa dos conjuntos indicados

ao lado

47. 2− x, (−10, 3] 48. x2 − x+ 3, (0, 5)

7

49.x

x− 2, R 50.

√|x− 1|, [0, 1]

51. [1 + x2], (1, 4) 52. sign (x2 − 2), (1/2, 2)

Escreva as composicoes f ◦ g e g ◦ f das funcoes seguintes, determinando os domınios das

funcoes obtidas

53. f(x) = x+ x3, g(x) = 3− x 54. f(x) = x2, g(x) =√x

55. f(x) =x+ 1

x− 1, g(x) = 2− x2 56. f(x) =

1

x2, g(x) = (

√x)2

57. f(x) =1 + x

x, g(x) = 2− x 58. f(x) = 2x, g(x) = 3x− 1

Escreva as funcoes seguintes como composicao de funcoes. (As composicoes obtidas

podem nao ser as unicas possıveis.)

59.x2√x2 − 1

60. x4

Determine, para cada funcao seguinte, o maior domınio onde e inversıvel.

61. f(x) =

{x+ 2 se 0 < x < 1

x+ 1 se 2 < x < 362. f(x) =

{x2 se − 1 < x ≤ 0

x− 1 se 1 ≤ x < 2

Exercıcio 63. Provar que uma funcao estritamente crescente ou decrescente e inversıvel. Se

f : A→ R e inversıvel, necessariamente e estritamente monotona? Procure exemplos.

Exercıcio 64. A funcao f : R→ R, definida como f(x) = x2 e invertıvel?

Exercıcio 65. A funcao f : R→ R, definida como f(x) = x3 e invertıvel?

Exercıcio 66. A funcao f : [−3,−2] ∪ [0, 1]→ R, definida como f(x) = x2 e invertıvel?

Exercıcio 67. A funcao f : R→ R, definida como f(x) =√|x| e invertıvel?

Exercıcio 68. A funcao f : [0,+∞)→ R, definida como f(x) =√x3 + x4 + 2 e invertıvel?

Outros Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 66, num. 2 (faca alguns), 3 (faca alguns), 4 (faca alguns).

Stewart, pag. 48, num. 41, 42, 45, 47, 48.


Uma funcao e dita limitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela e limitada (superior-

mente, inferiormente). Neste caso o supremo (ınfimo) de f , sup f (inf f) e, por definicao, o supremo

(ınfimo) de Im f .

Uma outra famılia de funcoes sao as potencias com expoente racional. Se n e inteiro, n ≥ 1, sabemos

que existe e e unica a raiz n-esima de x (veja-se o teorema da pagina ??). Portanto e definida a funcaon√x. Se n e par, o domınio e [0,+∞), se n e impar, o domınio e R. A raiz n

√x pode ser denotada pelo

sımbolo x1n .

Dado um racional positivo qualquer, m/n, onde m e n sao primos ente si, e definida a funcao xm/n =n√xm, cujo domınio e [0,+∞) se n e par, enquanto e R se n e impar.

Dado um racional negativo, m/n, onde m,n ∈ Z sao primos ente si, e definida a funcao xm/n =1

x−m/n,

cujo domınio e (0,+∞) se n e par, enquanto e R\{0} se n e impar.

8

As funcoes trigonometricas. Seja a circunferencia C do plano cartesiano, com centro na origem e raio

1, dita circunferencia trigonoometrica. Observando a figura, A e o ponto de coordenadas (1, 0) enquanto

P e um ponto qualquer em C. Movendo-se P sobre a circunferencia, o arco de extremos A e P no sentido

anti-horario, tem um comprimento entre 0 e 2π.

-

6

��

��

��

��

AO

P

Chamo x este comprimento, portanto x ∈ [0, 2π]. Definimos o seno de x, senx, como a ordenada de

P , e o cosseno de x, cosx, como a abscissa di P .

O domınio pode ser estendido de [0, 2π] a R.

Portanto, as funcoes senx e cosx sao definidas em R com imagem igual ao intervalo [−1, 1]; sao

periodicas com perıodo 2π.

Consequencia imediata do teorema de Pitagora: sen 2x+ cos2 x = 1 para todo x ∈ R.

As formulas algebricas das funcoes trigonometricas podem ser provadas usando a ferramenta classica

da geometria euclidiana. Vamos lembrar algumas delas, sem prova.

Dados x, y ∈ R,

adicao:

sen (x+ y) = senx cos y + sen y cosx, cos(x+ y) = cosx cos y − senx sen y;

prostaferese

senx− sen y = 2 cosx+ y

2sen

x− y2

, cosx− cos y = −2 senx+ y

2sen

x− y2

.

Exercıcio 69. Determine sen 2x e cos 2x em funcao de senx e cosx (formulas de duplicacao).

Determine senx

2e cos

x

2em funcao de senx e cosx (formulas de divisao).

Uma outra funcao trigonometrica e a tangente:

tgx =senx

cosx,

definida quando o coseno nao e nulo; portanto o domınio e o conjunto{x ∈ R : x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z

}.

Exercıcio 70. Provar que a tangente e periodica com perıodo π. Dica: use as formulas de duplicacao.

9

A funcoes trigonometricas nao sao invertıveis (porque sao priodicas). Porem, observamos que senx

e estritamente crescente em [−π/2, π/2]. Entao, a restricao de senx a [−π/2, π/2] e invertıvel. A sua

funcao inversa se chama arcoseno, arcsen : [−1, 1]→ R com imagem igual a [−π/2, π/2].

Analogamente, cosx e invertıvel em [0, π]. A sua funcao inversa se chama arcocosseno, arccos :

[−1, 1]→ R, com imagem [0, π].

A tangente e invertıvel em (−π/2, π/2). A sua funcao inversa se chama arcotangente, arctg : R→ R,

e tem imagem (−π/2, π/2).

grafici di f(x) = senx e f(x) = cosx.

-

6

y = senx

-

6

y = cosx

grafico di f(x) = tgx.

-

6

y = tgx

graficos de f(x) = arcsenx, f(x) = arccosx e f(x) = arctgx.

-

6

-

6

-

6

Exercıcio 71. Desenhe o grafico de f(x) = [2x+ 1] (parte inteira).

Exercıcio (difıcil) 72. Desenhe o grafico de f(x) = 1 + 2

[x

1 + x2

](parte inteira).

Exercıcios. Diga se as funcoes seguintes sao periodicas. Se sim, encontre o perıodo.

73. x cosx, 74. 6 sen 2x,

75. 1 + tgx, 76. sen (x2),

10

77. 4, 78. [x],

79. cos 4x, 80. sen (3x).

Exercıcios. Diga se as funcoes seguintes sao pares ou impares.

81. x2 + 1, 82.senx

x,

83.x3 − xx2 + 1

, 84. [x],

85. senx2, 86. cos 3x.

Outros Exercıcios: (em particular, sao importantes aqueles do Stewart, pag. 77/78)

Moise, pag. 135, num. 28, 29, 35.

Stewart, pag. 75, num. 23, 24,

Stewart, pag. 77, num. 1, 3, 4, 9, 13; pag. 78, testes falso-verdadeiro; pag. 78, num. 5, 6, 7, 9 (faca

alguns), 10 (faca alguns), 22.


Introducao ao conceito de limite de uma funcao.

Primeiro tipo de limite.

Definicao 1. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I (as duas condicoes nao sao

necessariamente alternativas). Seja f : I\{x} → R uma funcao dada. O numero real l e dito limite de

f(x) para x que tende para x, em sımbolos escreve-se

limx→x

f(x) = l,

se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.

Exemplos na sala de aula: podemos provar, usando a definicao acima, que

limx→−1

(2x− 1) = −3, limx→0

x2 = 0.

Exercıcios: prove, usando a definicao de limite, que os limites seguintes sao corretos.

87. limx→3

x = 3 88. limx→0

(x2 − 1) = −1

89. limx→0

1

xnao existe 90. lim

x→1x3 = 1

91. limx→0|x| = 0 92. lim

x→2[x] nao existe

93. limx→−1−

[x] = −2 94. limx→0

x2/|x| = 0

Segundo tipo de limite.

11

Definicao 2. Seja f : (a,+∞)→ R uma funcao dada. O numero real l e dito limite de f(x) para x que

tende para +∞, em sımbolos escreve-se

limx→+∞

f(x) = l,

se, para cada ε > 0, esiste r ∈ R tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.

Exercıcio 95. Escreva a definicao acima no caso analogo onde x tende para −∞

Terceiro tipo de limite.

Definicao 3. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Seja f : I\{x} → R uma funcao

dada. Dizemos que +∞ e o limite de f(x) para x que tende para x, em sımbolos escreve-se

limx→x

f(x) = +∞,

se, para cada m ∈ R, esiste δ > 0 tal que f(x) > m para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.

Exercıcio 96. Escreva a definicao acima no caso analogo onde o limite e −∞.


97. limx→0

1

x2= +∞ 98. lim

x→+∞

1

x2= 0


Exercıcios. Escreva as funcoes seguintes como soma de uma funcao par e de uma impar.

99. x2 − x+ 3 100.x− 1

x2 + 1

101. sen 2x+ cosx

2− x 102. f(x)

No ultimo exercıcio (que e difıcil) f(x) e uma funcao qualquer. Pede-se que f seja escrita como g + h

onde g e par e h e impar e as duas funcoes sao obtidas atraves de operacoes algebricas oportunas sobre

f .

Quarto tipo de limite.

Definicao 4. Seja f : (a,+∞)→ R uma funcao dada. Dizemos que +∞ e o limite de f(x) para x que

tende para +∞, em sımbolos escreve-se

limx→+∞

f(x) = +∞,

se, para cada m ∈ R, esiste r ∈ R tal que f(x) > m para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.

Exercıcio 103. Escreva a definicao acima nos casos analogos onde x tende para −∞ e o limite e

−∞ (quantos sao os casos?)


104. limx→0

1

x4= +∞ 105. lim

x→+∞x = +∞

106. limx→−∞

x2 = +∞ 107. limx→+∞

x

x+ 1= 1

12

Teorema da unicidade do limite. (Sem prova). Se existe o limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l, l real ou = ±∞

o limite e unico (nao existem outros).

Teorema da conservacao do sinal. (com prova do caso (1) feita na sala de aula e que pode

ser cobrada nos exercıcios das provas)

Primeiro resultado. Seja uma funcao f real definida em um conjunto como nas definicoes 1-4. Seja

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l > 0 (ou = −∞).

Entao:

(1) no caso x→ x existe δ > 0 tal que f(x) > 0 para cada x tal que 0 < |x− x| < δ;

(2) no caso x→ +∞ (resp. −∞) existe r tal tal que f(x) > 0 para cada x > r (resp. x < r).

Exercıcio 108. Escreva o enunciado deste primeiro resultado nos dois casos analogos dos (1) e (2)

acima, quando l < 0 ou −∞.

Segundo resultado.

a) Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Seja f : I\{x} → R uma funcao dada. Seja

um intervalo (x− δ, x+ δ) tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I ∩ (x− δ, x+ δ) e x 6= x. Se existe

limx→x

f(x) = l,

entao, l ≥ 0 ou +∞.

b) Sejam f : (a,+∞)→ R uma funcao dada e r tal que f(x) ≥ 0 para cada x ∈ (r,+∞). Se existe

limx→+∞x

f(x) = l,

entao, l ≥ 0 ou +∞.

Exercıcio 109. Escreva o enunciado deste segundo resultado nos dois casos analogos dos a) e b)

acima, quando f(x) ≤ 0 nos conjuntos considerados.

Exercıcios feitos na sala de aula

1) Desenhe os graficos das funcoes f(x) = max{x, x2} e g(x) = max{|x|, x2}

2) Desenhe o grafico de |2x+ 3| − 2x

3) Dada f(x) = x2 + 2x, determine a imegaem inversa de (0, 3)

4) determine o perıodo de cos 3x

5) Determine, usando a definicao, limx→+∞

2x

x+ 2


Teorema (Algebra dos limites - formas finitas) (com prova do caso (1) feita na sala de

aula e que pode ser cobrada nos exercıcios das provas)

13

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I\{x} → R duas funcoes dadas; ou

sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Sejam dados os limites

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l ∈ R, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R.

Entao,

(1) limx→x(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = l +m (soma);


(f(x)− g(x)) = l −m (diferenca);


(f(x) · g(x)) = l ·m (produto);


(f(x)/g(x)) = l/m, se m 6= 0 (razao).

Os limites limx→x

x = x e, dada uma constante real a, limx→x

a = a podem ser provados so usando a definicao.

A partir dos dois resultados, todos os limites de polinomios e funcoes racionais (razoes de polinomios),

se sao das formas finitas acima, podem ser obtidos usando a algebra dos limites.

Formas infinitas resolvıveis (Sem prova) Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I.

Sejam f, g : I\{x} → R duas funcoes dadas; ou sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Temos

os casos seguintes:

1) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = +∞;

2) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = −∞;

3) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = +∞, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = +∞;

4) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = −∞, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = −∞;

Os limites limx→±+∞

x = ±+∞ e, dada uma constante real a, limx→±+∞

a = a podem ser provados so usando

a definicao. A partir dos dois resultados, todos os limites de polinomios e funcoes racionais (razoes de

polinomios), se sao das formas infinitas acima, podem ser obtidos usando a algebra dos limites.

Nao temos a possibilidade de escrever uma algebra dos limites para as formas seguintes. A existencia

e o valor do limites nos casos seguintes depende do exercıcio:

+∞−∞, 0 · (±∞), ±∞/±∞, 0/0.

Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 117, num. 1 (ate letra j); pag. 125, num. 1 (faca alguns), 4 (faca alguns), 4 (faca

alguns).

Stewart, pag. 112, num. de 3 a 30 (faca alguns, excluindo aqueles com raiz).

Exercıcios: calcule os limites seguintes (se existem)

110. limx→0

x

x+ 1111. lim

x→1

x2 + 1

x− 1

14

112. limx→0

x3 + x+ 3

4x2 − 2x+ 1113. lim

x→+∞

2x+ x2

2x2 + x− 1

114. limx→+∞

x3 + 3x− 2

x2 − 2x+ 1115. lim

x→0

x2 + x− 4

2x2

116. limx→2

x2 + x− 5

x2 − 4x+ 4


Teorema do confronto. (com prova do primeiro resultado feita na sala de aula e que pode

ser cobrada nos exercıcios das provas)

Primeiro resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g, h : I\{x} → R funcoes dadas; ou

sejam f, g, h : (a,+∞)→ R ou f, g, h : (−∞, b)→ R. Suponhamos que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para cada x.

Sejam dados os limites

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l, e limx→x

(ou x→±∞)

h(x) = l, onde l ∈ R.

Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = l.

Exercıcio 117. Em sala de aula foi provado o caso x→ x. Prove o caso x→ +∞ ou x→ −∞

Segundo resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I\{x} → R funcoes dadas; ou

sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Suponhamos que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o

limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l ∈ R,

e suponhamos que exista o limite

limx→x

(ou x→±∞)

g(x).

Entao, este limite e ≥ l.

Terceiro resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I\{x} → R funcoes dadas; ou

sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Suponhamos que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o

limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞.

Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = +∞.

15

Exercıcio 118. Prove este terceiro resultado. Em seguida, de o enunciado no outro caso possıvel

(qual pode ser?).

Exercıcio 119. Prove, usando a definicao, que limx→0 |x| = 0.

Exercıcio 120. Prove, usando a definicao, que limx→+∞n√x = +∞, para cada n ≥ 1, n ∈ N.

Exercıcio 121. (dıficil) Prove, usando a definicao, que limx→+∞ senx nao existe (dica: senx tem

infinitas vezes os valores 1 e −1. Ou seja, imagens con distancia 2. Se o limite existisse, chamamos l ∈ Re se pegassemos ε < 1, senx deveria ficar, definitivamente, dentro de uma faixa de largura < 2... acerte

os detalhes).

Exercıcio 122. Usando o comportamento de senx, tente entender (e desenhar o grafico) o compor-

tamente de sen (1/x) quando, em particular, x e proximo de zero.

Aplicacoes do teorema do confronto. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada

nos exercıcios das provas)

1) se f(x) e limitada e limx→x(ou x→±∞)

g(x) = 0, entao, limx→x(ou x→±∞)

(f(x)g(x)) = 0.

2) limx→x√x =√x.

Exercıcio 123. Prove que limx→xn√x = n

√x.

3) limx→x senx = senx, e limx→x cosx = cosx.

4) limx→0senx

x= 1, limx→0

1− cosx

x2= 1/2.

Exercıcios: calcule os limites seguintes (se existem)

124. limx→0

(x− 1)√x2 + 1 125. lim

x→+∞( senx+ x)

126. limx→1

x2 + 1

x− 1127. lim

x→−∞([x] + x)

128. limx→0

x2 + 1

x− 1129. lim

x→2x(x+ 2)(x− 3)

130. limx→1

x3 − 1

x2 − 1131. lim

x→0

3√

1 + x− 3√

1− xx

132. limx→0

√2 + x−

√2

x133. lim

x→0

1

x

(3x− 2

2x+ 3− 3x+ 2

2x− 3

)134. lim

x→0

1− cosx

x senx135. lim

x→π

1 + cosx

π − x

136. limx→0

1

1− cosx137. lim

x→02/|x|

138. limx→+∞

x2 + 3

4x2 + x139. lim

x→+∞

3− x3 − x1− 2x2

140. limx→+∞

(x2

x+ 1− x)

141. limx→+∞

x2 + senx

2x+ x2 + 3

142. limx→+∞

√1 + x2 +

√x√

x− x143. lim

x→−∞x(√

1 + x4 − x2)

16

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pag. 117, num. 2, 5; pag. 125, num. 3 (faca alguns), 6.

Stewart, pag. 112, num. 34, 35, 37, 55, 59


Teorema (limite de funcoes compostas – sem prova). Seja f(x) dada e suponhamos que exista o limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.

Seja g(x) uma outra funcao dada e suponhamos que exista o limite

limx→l

g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.

Suponhamos que a composicao g(f(x)) seja bem definida e que, se l ∈ R, f(x) 6= l para x 6= x e x proximo

de x. Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(f(x)) = m.

Observacao: parece estranha a hipotese f(x) 6= l para x 6= x e x proximo de x. Todavia, se nao for

verificada a condicao, o limite da composicao pode nao ser m, como no caso seguinte:

f(x) = 0,∀x ∈ R, g(x) =

{0 se x 6= 0

1 se x = 0.

E facil ver que limx→0 g(f(x)) = 1, enquanto limx→0 g(x) = 0.

Uma condicao que pode substituir a condicao acima e g(l) = m, se m e l for reais. Esta condicao sera

encontrada no caso das funcoes contınuas.

Exemplos de limites que podem ser provados usando o teorema acima:

limx→+∞√x2 + 1, limx→0

senx2

x2, limx→0

sen 2x

3x, limx→0

1− cos√x

x.

Exercıcio 144. Calcule os limites acima, mostrando, nos detalhes, como e usado o teorema.

Definicao (limites direito e esquerdo)

Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I\{x} → R uma funcao dada. Denotamos por

g : (x, b)→ R, g(x) = f(x)

a restricao de f a (x, b). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e o limite direito de f(x) para x que tende para

x, em sımbolos e

limx→x+

f(x) = l,

se

limx→x

g(x) = l.

Analogamente, denotamos por

h : (a, x)→ R, h(x) = f(x)

17

a restricao de f a (a, x). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e o limite esquerdo de f(x) para x que tende

para x, em sımbolos e

limx→x−

f(x) = l,

se

limx→x

h(x) = l.

Teorema (sem prova) Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I\{x} → R uma funcao dada.

Entao,

limx→x

f(x) = l se e somente se limx→x+

f(x) = l = limx→x−

f(x).

Teorema (existencia do limite de funcoes monotonas) (sem prova) Seja f : (a, b) → R crescente.

Entao,

limx→b

f(x) = supa<x<b

f(x) e limx→a

f(x) = infa<x<b

f(x).

Exercıcio 145. Escreva o enunciado no caso f decrescente

Exercıcio 146. Escreva o enunciado no caso f crescente ou decrescente definida em intervalos nao

limitados.

Exercıcio 147. Diga se existem os limites seguintes (e calcule-os se existem)

limx→0

senx

|x|limx→0

1

xlimx→2+

(x+ [x]) limx→0+

1

senxlimx→0+

x+ |x|x2

limx→0−

x+ |x|x2

Exercıcio 148. Verifique que as funcoes seguintes sao monotonas nos intervalos indicados e determine

sup e inf delas.

x

x+ 3, [0, 2];

x2

x+ 1, (0,+∞); tg (x2 − 1), [0,

√2); senx2, (−1, 0).


Exemplo: aplicacao do teorema dos limites de funcoes compostas para calcular o limite

limx→π

1 + cosx

π − x

Exercıcio: calcule, se existem, os limites seguintes:

149. limx→+∞

senx+ x 150. limx→−∞

[x]− x2

151. limx→+∞

senx√x+ cosx

152. limx→−∞

√x2 − 2x+ x

153. Diga qual e, entre as seguintes, a definicao correta do limite limx→4

f(x) = 7.

18

a) Para cada λ e µ positivos, se |x−4| < µ

e x 6= 4 entao, |f(x)− 7| < λ.

b) Para cada λ > 0 e para cada µ > 0,

se |x− 4| < µ entao, |f(x)− 7| < λ.

c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e existe

x tal que |x− 4| < λ e |f(x)− 7| < µ.

d) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que

se |x−4| < λ e x 6= λ entao, |f(x)−7| <µ.

e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se

|x− 4| < λ e x 6= 4 entao |f(x)− 7| < µ.

f) Nenhuma das respostas acima e cor-

reta.

154. Suponhamos que

limx→+∞

f(x) = −∞.

Diga qual, entre as afirmacoes seguintes, e correta .

a) Se x > 0 entao f(x) < 0. b) Existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para

cada x > ε.

c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal que

para x > η temos f(x) > ε > 0.

d) Nenhuma das respostas acima e cor-

reta.

155. Consideramos a proposicao seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I,

seja x0 ∈ I fixado. Suponhamos que f(x) ≥ g(x) para cada x e que limx→x0

f(x) = 0.

Entao, limx→x0

g(x) = 0. A proposicao e:

a) Verdadeira se colocamos a hipotese su-

plementar g(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

b) Verdadeira se colocamos a hipotese

suplementar g(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.

c) Verdadeira sem necessidade de outras

hipoteses suplementares.

d) Verdadeira se colocamos a hipotese

suplementar f(x0) = g(x0) = 0.

e) Falsa, tambem colocando as hipoteses

suplementares acima.

156. Dada f : R→ R, suponhamos que limx→+∞

f(x) = −∞. Entao:

a) f e decrescente. b) limx→+∞

f(x2) = +∞.

c) ∀m ≥ 0, temos f(x) ≤ 0 se x ≥ m. d) ∀m ≥ 0 e ∀k ≥ 0 f(x) ≤ k se x ≥ m.

e) limx→−∞

f(x) = +∞ f) Nenhuma das respostas acima e cor-

reta.

157. Dada f : N → N, f(x) = x + 1 diga quais (podem ser mais que uma) das

afirmacoes sao corretas.

a) f e injetora. b) f e sobrejetora.

c) f e limitada inferiormente. d) A notacao f(x) = x+ 1 non faz sen-

tido porque o domınio e N e a variavel a

ser usada deve ser denotada por n.

Exercıcio 158. Procure uma f : R→ R que nao seja crescente, mas que verifique

limx→+∞

f(x) = +∞. Esta funcao deve ser definitivamente crescente? Isto e, existe r

tal que f e crescente em (r,+∞)?

19

Definicao de funcao contınua. Sejam I intervalo de R, f : I → R uma funcao dada e x ∈ I dado.

f e dita contınua em x sex→x

f(x) = f(x). f e dita contınua em I (ou, simplesmente, contınua) se e

contınua em todos os pontos de I.

O conceito de continuidade de uma funcao e pontual. Ou seja, dizemos que uma funcao e contınua

em um ponto. Outros conceitos, ja encontrados, sao so globais: invertibilidade, limitacao de uma funcao,

monotonia. Nao faz sentido, por exemplo, dizer que uma funcao e limitada (ou inversıvel, ou crescente)

em um ponto.

Exemplos: diretamente da definicao segue que sao contınuas: os polinomios P (x), as funcoes racionais

P (x)/Q(x) nos pontos x tais que Q(x) 6= 0, as raizes, as funcoes trigonometricas.

Vamos ver em seguida uma outra prova do fato que n√x e contınua.

Definicao: se f : I → R e descontınua em x ∈ I, dizemos que x e um ponto de descontinuidade.

Portanto nao faz sentido dizer que x e um ponto de descontinuidade para f se x nao pertence ao

domınio da funcao.

Exercıcio 159. Determine em quais pontos sao contınuas as funcoes seguintes (determine, inclusive,

os pontos de descontinuidade):

f(x) = 1/x, f(x) =

{1/x se x 6= 0

0 se x = 0.g(x) =

{−x2 + 1 se x ≥ 2

1− 2x se x < 3.f(x) =

senx

x

g(x) =

{cosx se x > π

−1 se x < π.f(x) =

{x+ 3 se x > 1

2− x2 se x < 1.g(x) =

x2 se x > 1

1 se x = 1

x2 se x < 1.

Exercıcio 160. Determine em quais pontos sao contınuas a funcao sinal, a funcao parte inteira e a

funcao de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade).

Teorema (Algebra das funcoes contınuas – sem prova). Sejam f, g : I → R contınuas em um ponto

x ∈ I. Entao, sao contınuas em x: f + g, f − g, f · g, f/g se x 6= 0.

Teorema (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exercıcios das

provas). Seja f : I → R contınua em x ∈ I. Seja J um intervalo que contem Im f e seja g : J → Rcontınua em y = f(x). Entao, g ◦ f e contınua em x.

Exercıcio 161. Determine em quais pontos sao contınuas as funcoes seguintes (determine, inclusive,

os pontos de descontinuidade):

f(x) =

{x/|x| se x 6= 0

0 se x = 0.f(x) =

x+ 2

|x|+ 1se x ≥ 0

2− x se x < 0.

f(x) =

{sen (1/x) se x 6= 0

0 se x = 0.

f(x) =

x+ |x|x2

se x 6= 0

0 se x = 0.f(x) = [x]2 − x2

Exercıcio 162. (muito dıficil) Seja f : (0, 1]→ R definida como

f(x) =

{1/n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m ≤ n)

0 se x e irracional.

20

Prove que f e contınua nos pontos irracionais de (0, 1] e discontınua nos racionais.

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pag. 80, num. 6, 7, 10 (difıcil), 11, 17.

Sexta feira 1 abril 2011

Exercıcios em sala de aula de preparacao para a prova P1:

163. Determine as solucoes dex2 − 2x

|x− 1|≥ 1. Em seguida, determine a imagem da funcao f(x) =

x2 − 2x

x− 1, definida em [0,+∞).

164. Determine o domınio de√

2 senx+ 1. A funcao e crescente? responda usando a definicao de

funcao crescente.

165. Calcule, se existem, os limites seguintes: limx→0

√x+ 1 + x2 − 1

x, limx→0

(√x+ 1 + x2 − 1√

x· sen

1

x

)

166. Determine n ∈ N tal que o limite seguinte seja finito e nao nulo: limx→0

sennx(√

1 + x2 − 1)

x3 + x4.

Segunda feira 4 abril 2011

Prova P1

Quarta feira 6 abril 2011

Prolongamento (ou extensao) contınua. Exemplos:senx

x,x2

|x|.

Exercıcio 167. Faca o ex. 11, pag. 81 do Guidorizzi.

Teorema da conservacao do sinal para as funcoes contınuas. (com prova feita na sala de

aula e que pode ser cobrada nos exercıcios das provas) Sejam I intervalo e f : I → R contınua

em x ∈ I. Suponhamos f(x) 6= 0. Entao existe δ > 0 tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(x) para todo

x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ I.

Teorema do anulamento para as funcoes contınuas. (com prova feita na sala de aula e

que pode ser cobrada nos exercıcios das provas) Seja f : [a, b]→ R contınua (em todo o domınio).

Seja f(a)f(b) < 0. Entao, existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Uma consequencia do teorema do anulamento e o resultado seguinte.

Teorema dos valores intermediarios para as funcoes contınuas. (com prova feita na sala

de aula e que pode ser cobrada nos exercıcios das provas) Seja I intervalo (qualquer) e f : I → Rcontınua. Entao, f atinge todos os valores entre inf f e sup f

Lembramos que inf f e sup f sao, respectivamente, o ınfimo e o supremo de Im f . O teorema diz que

o intervalo aberto (inf f, sup f) e contido em Im f . Nao podemos saber, em geral, se [inf f, sup f ] = Im f

(ou um dos extremos pertence a imagem), porque nao sabemos a priori se f possui maximo ou mınimo.

21

Uma consequencia (corolario) imediato do teorema e que, dada uma funcao contınua definida em um

intervalo, a imagem e um intervalo.

Atencao ao fato que se o domınio nao e um intervalo, a imagem nao necessariamente e um intervalo.


Uma aplicacao importante do teorema dos valores intermediarios e a existencia da raiz quadrada de um

numero positivo qualquer. Para prova-lo, aplique o teorema a funcao x2 definida em (0,+∞) (lembrando

a definicao correta de raiz quadrada).

Uma outra aplicacao e a existencia de, pelo menos, uma solucao real de qualquer equacao polinomial

de grau impar. Devido ao fato que, se P (x) e um polinomio de grau impar, limx→+∞ P (x) = +∞ se o

coeficiente da potencia de grau maximo e positivo (−∞, se negativo) e limx→−∞ P (x) = −∞ (+∞, se

aquele coeficiente e negativo).

Podemos construir algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um numero positivo, como para

aproximar as solucoes reais de equacoes polinomiais ou de equacoes mais complicadas (ex. x tgx = p,

onde p e dado).

Exercıcios:

168. Construa, como feito em sala de aula, algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um numero

positivo e para determinar uma solucao (aproximada) de uma equacao polinomial de grau impar (escolha

o polinomio e o erro na aproximacao)

169. Prove que a equacao x3 + x = a possui uma e so uma solucao real para cada a ∈ R dado.

170. Seja f : R→ R contınua. Suponhamos que x− 5 < f(x) < x+ 1 para cada x ∈ R. Prove que a

equacao f(x) = 0 possui pelo menos uma solucao.

171. Procure Im f , onde f e a funcao do exercıcio acima.

172. Prove que a equacao x8 + 5x5 − 6x4 + 2x3 + 3x− 1 = 0 possui pelo menos uma solucao real.

* * *

E interessante a relacao entre continuidade e invertibilidade de uma funcao. E importante lembrar (ou

observar, se nao lembra) que e obvio que uma funcao estritamente monotona e inversıvel. O vice-versa e

falso.

Exercıcio 173. Consideramos as funcoes seguintes:

f(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

x− 1 se x ∈ [2, 3]g(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

3− x se x ∈ [1, 2]h(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

5− x se x ∈ [2, 3]

Desenhe o grafico de f , g e h. Determine se sao contınuas, inversıveis, monotonas, e se o domınio

e um intervalo. Se sao inversıveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se sao contınuas,

monotonas, e se o domınio e um intervalo.

22

Em particular, a funcao f do exercıcio e contınua e inversıvel, mas a inversa e descontınua. A h e

contınua e inversıvel, mas nao e monotona. Esta falta de propriedade acontece porque o domınio nao e

um intervalo.

Teorema (monotonia de uma funcao inversıvel). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → Rcontınua e inversıvel. Entao e monotona.

O resultado mais importante e o seguinte (cuja prova e baseada no teorema acima)

Teorema (continuidade da funcao inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R contınua e

inversıvel. Entao a funcao inversa f−1 e contınua.

A continuidade da funcao n√x, definida em [0,+∞) se n e par, e em R se n e impar, e uma consequencia

do teorema acima, embora temos provado (no capıtulo sobre os limites) que limx→x√x =

√x (aula 25

marco).

Sao contınuas as funcoes trigonometricas inversas: arcsen, arccos e arctg .

Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 140, de 1 ate 14 (faca alguns).

Segunda feira 11 abril 2011

Concluımos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso.

Lembre que, dada f : A→ R, onde A e um conjunto qualquer, o maximo de f e definido como o maximo

da imagem de f , se existe. Enquanto o mınimo de f e definido como o mınimo da imagem de f (se

existe).

Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma funcao f : [a, b]→ R contınua possui maximo e mınimo.

Exercıcios:

174. Seja f : [0, 1]→ R, f(x) = x− [x] ([x] e a parte inteira de x). Prove que f nao possui maximo.

Qual hipotese do Teorema de Weierstrass nao e respeitada?

175. Seja f : [0, 1) → R, f(x) = x. Prove que f nao possui maximo. Qual hipotese do Teorema de

Weierstrass nao e respeitada?

176. Seja f : [0,+∞)→ R, f(x) = x. Prove que f nao possui maximo. Qual hipotese do Teorema de

Weierstrass nao e respeitada?

177. Procure exmplos de funcoes que nao respeitam algumas das hipoteses do Teorema de Weierstrass,

mas que possuem maximo e mınimo.

* * *

Introduzimos agora a nocao de funcao derivavel e de derivada de uma funcao.

Seja I um intervalo de R, f : I → R uma funcao dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equacoes

y = f(x0) +m(x− x0) representam as retas secantes ao grafico de f no ponto (x0, f(x0)) (so excluindo

a reta vertical que tem equacao x = x0).

23

Seja agora x ∈ I e o correspondente ponto no grafico de f , (x, f(x)). A razao

f(x)− f(x0)

x− x0se chama razao incremental de f , relativa a x0 e x e e o coeficiente angular da secante por (x0, f(x0))

e (x, f(x)). Se existe o limite desta razao quando x → x0, este limite da, intuitivamente, o coeficiente

angular de uma “reta posicao limite” das secantes (quando x→ x0).

Definicao 5. Se existe e e finito o limite

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= l,

entao dizemos que f e derivavel em x0 e o numero l se chama derivada de f em x0.

a derivada de f em x0 (se existe) e denotada, normalmente, por um dos sımbolos seguintes:

f ′(x0),df

dx(x0), Df(x0), Df(x)|x=x0 .

O primeiro e aquele mais comun.

Uma outra forma de escrever a razao incremental e portanto o limite acima e obtida pondo x−x0 = h.

Temosf(x0 + h)− f(x0)

he lim

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h,

A nocao de derivada e pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma funcao em um ponto.

Dada f : I → R, se f e derivavel em todos os pontos de I, dizemos que f e derivavel e fica bem definida

uma nova funcao, a derivada de f , x 7→ f ′(x), definida em I.

Se f e derivavel x0, a reta de equacao y = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) e definida reta tangente ao grafico

de f no ponto (x0, f(x0)).

Atencao: a precedente e a definicao de reta tangente; outras possıveis definicoes, como “a reta que

encosta o grafico so em um ponto”, sao corretas so em casos muito particulares, por exemplo a circun-

ferencia.

Reta secante e reta tangente em (x0, f(x0)).

-

6

x1 x0-

6HHHH

HHHHHH

HH

x0

Exercıcio 178. Na parabola de equacao y = x2 procure um ponto onde a reta tangente a parabola

forma um angulo de π/4 com o eixo x.


24

Exercıcio 179. Um corpo cai de uma altura de 15 mt, sujeto so a forca peso (desconsiderando o

atrito do ar). A funcao espaco dependendo do tempo e s(t) =1

2gt2, onde g e a constante gravitacional

terrestre, e vale cerca 9, 8 mt/sec2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo.

Derivadas de algumas funcoes elementares.

FUNCAO f(x) DERIVADA f ′(x)

c (funcao constante) 0

xn (n ∈ N , n ≥ 1) nxn−1

senx cosx

cosx − senx

Exercıcio 180. Prove os resultados da tabela acima.

Exercıcio 181. Dados os graficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os graficos das derivadas.

-

6

c a

-

6

a b

-

6

c da

-

6

c d

25

Exercıcio 182. Calcule, usando a definicao, a derivadas das funcoes seguintes: 3x−2, x2−x, x7 +1,√x.

Exercıcio 183. Prove que |x| nao e derivavel em zero enquanto |x|3 e derivavel em zero. Calcule a

derivada de |x| e de |x|3 (nos pontos onde as funcoes sao derivaveis).

Exercıcio 184. Seja f(x) = x3. Calcule f ′(0), f ′(−2), f(1/2).

Exercıcio 185. Seja f(x) = senx. Encontre um ponto x0 tal que f ′(x0) = 1/2.

Exercıcio 186. Prove que a derivada de uma funcao par e uma funcao impar.

Proposicao (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas) (Algebra

das derivadas) Sejam f, g : I → R duas funcoes derivaveis em um ponto x0 ∈ I. Entao sao derivaveis em

x0 as funcoes f ± g, f · g, 1/g e f/g (nestes ultimos dois casos se g(x0) 6= 0) e valgono le formule:

(1) (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),

(2) (f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0),

(3) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0),

(4) (1/g)′(x0) = − g′(x0)

(g(x0))2,

(5) (f/g)′(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)

(g(x0))2

Como exemplo, se n e inteiro positivo e x 6= 0, D1

xn= −n 1

xn+1

Do item (5) segue que a tangente e derivavel: D tgx =1

cos2 x= 1 + tg 2x.


Proposicao (ideia da prova feita na sala de aula; nao sera cobrada nas provas) (Derivada da funcao

composta) Sejam dadas duas funcoes f : I → R e g : J → R, tais que Im (f) ⊆ J . Sejam f derivavel em

um ponto x0 ∈ I e g derivavel em y0 = f(x0). Entao g ◦ f e derivavel em x0 e (g ◦ f)′(x0) = g′(y0)f ′(x0).

Exercıcio 187. Calcule as derivadas de sen 2x e cosx2.

Proposicao (ideia da prova feita na sala de aula; nao sera cobrada nas provas) (Derivada da funcao

inversa) Seja I intervalo, f : I → R inversıvel e g : Im (f) → R a funcao inversa de f . Se f e derivavel

em um ponto x0 e f ′(x0) 6= 0, entao, g e derivavel em y0 = f(x0) e temos g′(y0) = 1/f ′(x0).

Como aplicacao dos ultimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas

FUNCAO f(x) DERIVADA f ′(x)

n√x (= x1/n)

1

nx1/n−1 (veja-se a analogia com as outras formulas)

xm/n (m,n inteiros)m

nxm/n−1 (veja-se a analogia com as outras formulas)

arcsenx1√

1− x2

26

arccosx − 1√1− x2

arctgx1

1 + x2

Exercıcio 188. Calcule as derivadas das funcoes seguintes: a)x2 − 1

x(x+ 2), b) senx arccosx, c)

√1 + x2, d) arcsenx− senx, e) x

√1 + x2, f) arctg

√1− x1 + x

, g) arctg (2x− x2).

Exercıcio 189. Encontre um ponto P na hiperbole de equacao y =1

1 + xtal que a tangente por P

encontre a origem do plano.

Exercıcio 190. Calcule a area do triangulo formado pelos eixos do plano e pela tangente a curva

y = senx no ponto

(3π

4,

1√2

)Exercıcio 191. Encontre a equacoes das tangentes a parabola y = x2 − 4x + 3 que passam pela

origem.

Exercıcio 192. Calcule a area do triangulo que tem como vertices os pontos comuns das parabolas

y = x2 e y = x − x2 e o ponto de intersecao entre o eixo das abscissas e a tangente a parabola 2y = x2

em (−2, 2).

Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 161, num. 4, 5, 6, 14, 15, 16; pag. 165, num. 2, 9; pag. 169, num. 3, 5; pag. 172, num.

1, 2, 3; pag. 177, num. 1 (faca alguns), 7 (faca alguns).

Stewart, pag. 156/7, faca alguns; pag. 163/4, faca alguns.

Exercıcios. Determine em quais pontos sao derivaveis as funcoes seguintes e calcule as derivadas.

193. signx · x2 194.1

tgx

195.√|x| 196. f(x) =

{x2 − 1 x ≥ 1

x x < 1

197. sen |x| 198. [x]

Exercıcios. Calcule as derivadas das funcoes seguintes.

199. x sen 2x 200. cos( senx)

201.x2 + 2

x3 − 3x202. cos

(x− 1

x+ 2

)203. arctg

√x 204.

√arctgx

205.senx2

tg (x+ 2)206.

√x+

13√x4 + 1

Exercıcios. Escreva a equacao da reta tangente ao grafico em (x0, f(x0)) das funcoes seguintes.

207. x3 + 2x+ 3, x0 = −1/2 tgx2, x =√π

27

Exercıcios. Diga em quais pontos as funcoes seguintes sao derivaveis e calcule a derivada (nos pontos

onde existe). Depois, diga se as derivadas sao contınuas.

208. f(x) =

x2 cos1

xx 6= 0

0 x = 0209. f(x) =

{e−

1x2 x > 0

0 x ≤ 0

210. f(x) =

x sen1

xx 6= 0

0 x = 0211. f(x) =

{(x− 1)2 − 1 x > 0

senx x ≤ 0

212. f(x) =

2x

x2 + 2x > 0

0 x = 0x

−x2 − 3x < 0

213. f(x) =

{x2 + 1 x > 0

senx x < 0

Maximos e mınimos, absolutos e relativos

Definicao. Seja A um subconjunto de R e f : A→ R uma funcao.

a) O maximo absoluto de f e o maximo (se existe) da imagem de f . O mınimo absoluto de f e o

mınimo (se existe) da imagem de f .

b) Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de maximo absoluto se f(x0) e o maximo absoluto de f . Um

ponto x0 ∈ A e dito ponto de mınimo absoluto se f(x0) e o mınimo absoluto de f .

c) Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de maximo relativo se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que

f(x) ≤ f(x0), para cada x ∈ A∩(x0−δ, x0+δ). Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de mınimo relativo

se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que f(x) ≥ f(x0), para cada x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ).

Exercıcio 214. Seja a funcao f(x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o

maximo e o mınimo de f (porque existem?) e os pontos de maximo e mınimo relativos.

Exercıcio 215. Seja a funcao f(x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o

maximo e o mınimo de f (porque existem?) e os pontos de maximo e mınimo relativos.

Exercıcio 216. Determine, justificando a resposta, os pontos de maximo e mınimo absoluto de

senx.

Exercıcio 217. Determine, justificando a resposta, os pontos de maximo e mınimo absoluto e

relativo de f(x) =

x2 se − 1 ≤ x < 0

2 se x = 0

3− x se 0 < x ≤ 3

.


As definicoes acima envolvem funcoes quaisquer, ou seja, que podem nao ser contınuas nem derivaveis.

Contudo, se a funcao estudada e derivavel, a sua derivada nos da informacoes sobre os maximos e os

mınimos.

Teorema de Fermat. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)

(Condicao necessaria para a existencia dos pontos de maximo ou de mınimo relativo.) Seja I intervalo

de R e f : I → R uma funcao dada. Seja x0 um ponto interno de I (ou seja um ponto que pertence a I,

28

mas nao e extremo) e seja tambem um ponto de maximo ou de mınimo relativo de f . Suponhamos que

f seja derivavel em x0. Entao, f ′(x0) = 0.

Dada uma funcao f : I → R, um ponto x0 tal que f ′(0) = 0 se chama ponto crıtico ou ponto

estacionario.

Exemplo: f(x) = x2, x ∈ R. Todos os pontos do domınio sao internos e f e derivavel. Sabemos

que X = 0 e ponto de maximo absoluto (e portanto relativo) de f . O teorema de Fermat nos diz que

f ′(0) = 0, coisa que pode ser calculada facilmente.

O vice-versa do teorema nao vale. Dada uma funcao f , se f ′(x0) = 0, nao sabemos se x0 e ponto de

maximo ou mınimo relativo. x = 0 e ponto crıtico de f(x) = x3, mas nao e ponto de maximo nem de

mınimo relativo.

O teorema de Fermat e usado so para estudar pontos internos ao domınio. Se, por exemplo, consider-

amos f(x) = x, x ∈ [0, 1], sabemos que 0 e ponto de mınimo e 1 e ponto de maximo. Porem, f ′(x) = 1,

para todo x. Neste caso os pontos de maximo e de mınimo sao os extremos do domınio; o teorema de

Fermat nao pode ser aplicado.

Resumindo, os ponto de maximo ou de mınimo relativo de uma funcao f : I → R, devem ser procurados

entre:

(1) os pontos internos do domınio onde f e derivavel e a derivada e zero;

(2) os pontos onde f nao e derivavel;

(3) os extremos de I.

Exemplo: f(x) = x3/3 − x2/2 − 3; a funcao e definida em R, que e aberto (todos os pontos sao

interiores), e derivavel em R a derivada se anula em 0 e 1. Este dois pontos sao candidatos a ser pontos

de maximo ou de mınimo relativo, mas ainda nao temos condicoes suficientes para dizer se de fato sao.

Para estudar pontos de maximo ou de mınimo relativo, precisamos do teorema seguinte, o Teorema

do valor medio ou de Lagrange, que e um dos mais importantes da Analise matematica.

Exercıcio 218. Seja f : [a, b]→ R derivavel. Prove (pelo menos) uma das relacoes seguintes:

(1) se f ′(a) > 0, entao a e ponto de mınimo relativo;

(2) se f ′(a) < 0, entao a e ponto de maximo relativo;

(3) se f ′(b) > 0, entao a e ponto de maximo relativo;

(4) se f ′(b) < 0, entao a e ponto de mınimo relativo.

Como o teorema de Fermat da uma condicao necessaria para a existencia dos pontos de maximo ou

de mınimo relativo de uma funcao, as relacoes deste exercıcio fornece uma condicao suficiente.

Exercıcio 219. Entre todos os numeros nao negativos x e y, tais que x+ y = 1, determine aqueles

tais que o produto xy e maximo.

Exercıcio 220. Entre todos os numeros nao negativos x e y, tais que x2 +y2 = 1, determine aqueles

tais que a soma x+ y e maxima.

Exercıcio 221. Entre todos os retangulos inscritos em uma circunferencia, determine aquele de

perımetro maximo.

29

Exercıcios Determine o maximo e o mnimo absolutos (e os pontos de maximo e mnimo absoluto) das

funcoes seguintes nos conjuntos indicados ao lado.

222. senx− cosx, [0, 2π] 223.x

1 + x2, [−2, 3]

224. x(x− 2)2, [0, 3] 225. senx+ | cosx|, [0, π]

Exercıcios Diga se existem o maximo e o mnimo absolutos (e os pontos de maximo e mnimo absoluto)

das funcoes seguintes nos conjuntos indicados ao lado.

226. x2 +2

x, (0,+∞) 227.

x

1 + x2, R

228. x− arctgx, R 229.x2

1 + x2, R

Exercıcio 230. Divida 8 em duas partes tais que seja mınima a soma dos cubos delas.

Exercıcio 231. Seja V o volume de um prisma reto, cuja base e um triangulo equilatero. Determine

o lado do triangulos tal que a area total seja mınima.

Exercıcio 232. Entre todos os cilindros inscritos na esfera de raio 1 determine:

a) aquele de area lateral maxima;

b) aquele de area total maxima.

Exercıcio 233. Entre todos os cones inscritos na esfera de raio 1 determine:

a) aquele de volume maximo;

b) aquele de area lateral maxima;

c) aquele de area total maxima.


Exercıcio 234. No desenho seguinte temos

duas torres de altura a e b, respectivamente, e

distancia d. Um passaro voa da cima da primeira

torre, encosta o chao em P a vai para cima da

segunda torre. Determine P tal que o caminho

percorrido seja mınimo. O exercıcio da a possi-

bilidade de obter a lei de reflexao da luz e a lei

dos senos de Snell sobre a refracao. C

A

D

B

P

\\\\\\��

Teorema de Rolle (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)

Seja f : [a, b]→ R uma funcao contınua em [a, b] e derivavel em (a, b). Se f(a) = f(b), entao, existe um

ponto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Teorema do valor medio ou de Lagrange (com prova feita na sala de aula e que pode ser

cobrada nas provas) Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e derivavel em (a, b). Entao,

existe um ponto c ∈ (a, b) tal quef(b)− f(a)

b− a= f ′(c).

30

Seja f : I → R uma funcao derivavel em x interior de I (ou seja x nao e extremo de I) e tal que

f ′(x) = 0. Para ver se x e ponto de maximo ou de mınimo relativo usamos os teoremas seguintes,

estritamente ligados ao teorema de Lagrange.

Primeiro teorema de monotonia de uma funcao(com prova feita na sala de aula e que

pode ser cobrada nas provas) Seja I um intervalo e f : I → R uma funcao derivavel em todos os

pontos interns de I. Entao:

a) f e crescente se e somente se f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I;

b) f e decrescente se e somente se f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I;

Se a funcao nao e definida em um intervalo, as implicacoes

f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I =⇒ f e crescente,

f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I =⇒ f e decrescente

sao falsas. A funcao 1/x e definida em R\{0} possui derivada negativa para todo x 6= 0, mas nao e

decrescente (e decrescente nos dois intervalos (−∞, 0) e (0,+∞), separadamente)

(Se a funcao nao e definida em um intervalo, as implicacoes

f e crescente =⇒ f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I,

f e decrescente =⇒ f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I

continuam valendo.)


Observacao: a implicacao Longleftarrow do primeiro teorema de monotonia pode ser provada em

uma versao um pouco mais geral (e mais util nas aplicacoes):

a) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) ≥ 0 nos pontos internos de

I, entao f e crescente em todo I.

b) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) ≤ 0 nos pontos internos de

I, entao f e decrescente em todo I.

Em outras palavras, se temos f : [a, b]→ R contınua em [a, b]; para dizer que f e crescente em [a, b] e

suficiente provar que f ′(x) ≥ 0 em (a, b).

Segundo teorema de monotonia (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada

nas provas)

a) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) > 0 nos pontos internos de

I, entao f e estritamente crescente em todo I.

b) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) < 0 nos pontos internos de

I, entao f e estritamente decrescente em todo I.

O vice-versa do teorema nao vale, no sentido que existem funcoes estritamente crescentes tais que a

derivada pode nao ser > 0 em todos os pontos (porem deve ser ≥ 0 em todos os pontos, pelo primeiro

teorema de monotonia).

Um exemplo e dado pela funcao x3 que e estritamente crescente em R, mas a derivada e nula em zero.

Sabemos que a derivada de uma funcao constante e nula em todos os pontos. Pelo teorema de Lagrange

podemos provar o vice-versa, se a funcao e definida em um intervalo.

31

Terceiro teorema de monotonia (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada

nas provas) Seja f : I → R (onde I e um intervalo), derivavel e tal que f ′(x) = 0 para todo x ∈ I.

Entao f e constante

Como ja dito, se o domınio nao e um intervalo, o teorema e falso.

f(x) =

{1 se x ∈ (0, 1)

2 se x ∈ (1, 2)

e definida em um conjunto, (0, 1) ∪ (1, 2), que nao e um intervalo, e derivavel com derivada nula em

todos os pontos, mas nao e constante.

Exercıcios: determine os pontos de maximo e mınimo relativo, se existem, das funcoes seguintes.

235. 2x3 − 9x2 + 12x− 1 236. x3 + x2 + x+ 1

237. x3 − x4 x(x− 1)2

238.x2√x2 − 1

239.x4√

1− x2

Exercıcios: determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo, se existem, das funcoes

seguintes, nos conjuntos indicados ao lado. Determine tambem o maximo e o mınimo absoluto, se existem.

240. x3 + x2, [0,+∞) 241. | senx|,[−π

2,π

2

)242. [x], [0, 2] 243. senx− x cosx, R

244. x2, (0, 1) 245. cos2 x2, [−√π,√π]

Exercıcios: De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes das equacoes seguintes:

246. −1

3x3 − 3

4x2 + x+ 2 = 0 247. x3 − 3x2 + 8x = 0

248. x4 − 6x2 + 4 = 0 249. x4 − 2x3 + x2 + 1 = 0

250. x3 + x2− k+ 1 = 0, variando k em

R251. x3 − 2x2 + k − 1 = 0, variando k

em R

252. Entre todos os retangulos de perımetro fixado determine aquele de area

maxima. Existe aquele de area mınima?

253. Entre todos os retangulos de area fixada determine aquele de perımetro

mınimo. Existe aquele de perımetro maximo?

254. Seja dado um triangulo retangulo T . Denotamos por a e b as medidas dos

catetos. Seja dada a definicao seguinte: um retangulo e dito inscrito em T se dois

dos seus lados estao sobre os catetos do triangulo e um dos seus vertices h esta

na ipotenusa. Determine, entre todos os retangulos inscritos em T , aquele de area

maxima.

32

255. Seja dado um retangulo de papelao, cujos lados medem h e b respectivamente.

Queremos construir uma caixa cortando, nos cantos, quatro quadrados de lado l e

levantandos os pedacos que sobram.Si vuole costruire una scatola ritagliando agli

angoli quattro quadrati dello stesso lato e sollevando i lembi eccedenti.Determine l tal que o volume seja maximo.

Resposta: l =b+ h−

√b2 + h2 − bh6

.

bh

l 6

?

-�

256. Queremos produzir latas de bebida gastando a menor quantidade possıvel de

alumınio. Supondo que uma lata de bebida seja um cilindro circular reto, com a

capacidade de V dada (por exemplo 350 ml), determine o raio da base e a altura

que rendem a area total mınima.

Resposta: r = 3

√V

2π

257. Entre todas as piramides retas de base quadrada e de area total fixada

determine aquela de volume maximo.

Segunda-feira, 2 maio 2011

Exercıcios feitos em sala de aula

258. Determine em quais pontos a funcao seguinte e derivavel e calcule a derivada:

f(x) =

x2 + x se x > 0

0 se x = 0

senx se x < 0

259. No desenho abaixo o arco acima do retangulo e a semicircunferencia de diametro igual a base

do retangulo. Entre todas as figuras de perımetro fixado P , determine a medida dos lados que rendem a

area maxima.

33

260. Determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo (se existem) de f(x) = arctgx +1

x+ 1. Diga se a funcao possui maximo e mınimo.

Exercıcios

261. Determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo (se existem) de f(x) = |x2− 4|5/3.

Diga se a funcao possui maximo e mınimo.

Test a multipla escolha:

262. Dada uma funcao f : R\{0} → R, condicao suficiente para que f seja in-

versıvel e que seja

a) contınua em todo o domınio. b) Derivavel com derivada positiva.

c) Estritamente crescente. d) Estritamente crescente em (−∞, 0) e

em (0,+∞), separadamente.

e) Estritamente crescente em (−∞, 0) e

Estritamente decrescente em (0,+∞).

f) Nenhuma das respostas acima e cor-

reta.

263. Seja f : [a, b]→ R derivavel em x0 ∈ [a, b]. Se x0 e ponto de maximo relativo,

entao f ′(x0) = 0. Este enunciado assemelha ao teorema de Fermat, mas escrito

assim e falso. Qual hipotese devemos adicionar para que seja verdadeiro?

a) x0 ∈ (a, b). b) f derivavel em [a, b] (nao so em x0).

c) f derivavel [a, b] com derivada

contınua.

d) nenhuma das resposta acima e cor-

reta.

264. Seja f definida em [−1, 1]. Diga qual das condicao seguintes e suficiente para

que a equacao f(x) = 0 tenha solucao:

a) f contınua e f(−1) < f(1). b) f derivavel e f(−1) < f(1).

c) f(−1) < 0 e f(1) > 0. d) f contınua, crescente e f(−1) < f(1).

e) nenhuma das condicoes anteriores

garante a existencia da solucao de f(x) =

0.

Diga se as funcoes seguintes sao inversıveis em um oportuno intervalo do tipo (x0−δ, x0+δ);

em caso afirmativo, determine, se existe, a derivada da funcao inversa

265.

{f(x) = x3 + tgx

x0 = 0 y0 = 0266.

{f(x) = x3 + x5

x0 = 0 y0 = 0

267.

{f(x) = 2x+ |x|x0 = 0 y0 = 0

268.

{f(x) = signx

√|x|

x0 = 0 y0 = 0

Problemas de otimizacao

269. Imagine que o desenho a esquerda represente uma praia. Em B temos o nosso

guarda-sol. Queremos ir ao bar que esta em C. No ponto O comeca uma calcada

de madeira que chega ate o bar, e onde imos mais rapidamente do que na areia.

34

Suponhamos que a velocidade na areia seja 1 metro ao segundo, enquanto na calcada

2m/sec. Suponhamos que os segmentos OB e OC sejam perpendiculares. Alem

disso, a calcada tem 10 metros de comprimento, enquanto OB e 15 m. Partindo

de B, determine em qual ponto della calcada precisa entrar (continuando dalı ate

o bar) para render mınimo o tempo para chegar ao bar.

270. Olhando o desenho a direita, entre todos os segmentos verticais entre as

parabolas de equacoes 2y = 4−x2, onde y ≥ 0, e 3y = x2−x−6, determine aquele

de comprimento maximo.

B. O.

C.

-

6

Outros exercıcios

Guidorizzi, p. 255, n. 10, 11a, 13, 14, 16, 17, 18, 19;

Stewart, p. 287, n. 47, 48, 55, 58; p. 295, n. 15, 17, 23, 26, 33, 34, 35, 36

Quarta-feira, 4 maio 2011

Exercıcio: aproximacao numerica do maximo de uma funcao derivavel em [a, b], usando o Teorema de

Lagrange.

Teorema de De l’Hopital. (sem demonstracao.) Seja I intervalo de R, c um elemento de I ou um

extremo de I ou ±∞. Sejam f, g : I \ {c} → R derivaveis em todo x 6= c. Sejam g(x) e g′(x) nao nulas

em I \ {c}. Suponhamos que o limite limx→c

f(x)

g(x)seja em uma forma indeterminada 0/0 ou ±∞/±∞. Se

limx→c

f ′(x)

g′(x)= l, onde l e real ou ±∞, entao, lim

x→c

f(x)

g(x)= l.

Exercıcio 271. Estude, usando o teorema de De l’Hopital, o limites seguintes:

limx→0

x− senx

x3, lim

x→0

arctgx

x, lim

x→+∞

arctgx− π2

1x2

, limx→1

x4 + 2x3 − 4x+ 1

x3 + x2 − 5x+ 3, lim

x→+∞x(

arctgx− π

2

).

Observacao: se a forma indeterminada do limite limx→c

f(x)

g(x)nao e verificada, o teorema de De l’Hopital

nao pode ser usado. Por exemplo, limx→0x

x+ 1= 0, mais o limite da fracao das derivadas e 1. O

problema e de fato que o limite inicial nao e em uma forma indeterminada.

Sexta-feira, 6 maio 2011

Introducao basica a teoria da integracao.

35

Dado um intervalo [a, b] definimos particao de [a, b] um conjunto finito P de pontos di [a, b], P =

{x0, x1, ..., xn}, tal que a = x0 < x1 < ... < xn = b.

Consideramos aqui, dado n ∈ N , n ≥ 1, a (unica) particao Pn de [a, b] em n intervalos de medida

igual, (b − a)/n. Alem disso, dados n e a particao relativa Pn, consideramos o conjunto {c1, c2, ..., cn},onde cj =

xj + xj−12

e o ponto medio do intervalo [xj−1, xj ], j = 1, ..., n.

Consideramos uma funcao contınua f : [a, b]→ R. A cada particao Pn corresponde o numero

Sf (n) =

n∑k=1

f(ck)(xk − xk−1).

Definicao de integral de f em [a, b]. Sendo f contınua, pode ser provado (nao fazemos) que o

limite seguinte existe e e finito:

limn→+∞

Sf (n) = I.

Tal numero l se chama integral de f em [a, b], e f e dita ser integravel em [a, b].

A integral de f em [a, b] e denotada pelo sımbolo∫ b

a

f(x) dx.

O resultado seguinte e intuitivo (nao damos a prova).

Proposicao Se uma funcao f : [a, b] → R e integravel, entao e integravel em cada intervalo [c, d]

contido em [a, b].

Algumas propriedades basicas da integral.

Seja f : [a, b]→ R, contınua.

1)∫ aaf(x) dx = 0, porque o intevalo e degenerado.

2) Se f(x) > 0 para todo x, entao∫ baf(x) dx > 0, enquanto

∫ baf(x) dx < 0 se f(x) < 0 para todo x.

3) Dadas f, g : [a, b] → R, contınuas, se f(x) ≤ g(x) para todo x, entao∫ baf(x) dx ≤

∫ bag(x) dx. Em

particular, se m = min f e M = max f , temos

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M(b− a).

Concluimos com uma convencao:∫ abf(x) dx = −

∫ baf(x) dx. Trata-se de uma definicao e permite de

considerar integrais onde a ordem dos extremos e inversa.

Teorema da media integral. (com demonstracao feita na sala de aula que nao sera cobrada nas

provas) Seja f : [a, b]→ R contınua. Entao existe c ∈ [a, b] tal que∫ b

a

f(x) dx = (b− a) f(c).

Teorema fundamental do calculo integral. (com demonstracao feita na sala de aula que nao sera

cobrada nas provas) Sejam I intervalo de R e f : I → R contınua. Dado a ∈ I, e definida a funcao

integral de f :

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt.

36

Entao, F e derivavel em cada ponto de I e vale a formula F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

* * *

Introducao a funcao logaritmo. Definimos

log x =

∫ x

1

1

tdt.

As propriedades seguintes, vistas em sala de aula, podem ser verificadas como exercıcio:

(1) O domınio e (0,+∞).

(2) log 1 = 0, log x > 0 se x > 1; log x < 0, se 0 < x < 1.

(3) log x e derivavel (pelo TFC), D log x = 1/x. Portanto log e crescente (com derivada positiva e

decrescente).

(4) log(xy) = log x+ log y, para cada x, y > 0.

(5) log (xr) = r log x, para cada x > 0, r ∈ Q.


Usando a (5) anterior, podemos provar (faca como exercıcio) que

limx→+∞

log x = +∞, limx→0+

log x = −∞.

Portanto, sendo log uma funcao contınua, pelos teorema dos valores intermediarios, temos Im log = R.

Entao 1 ∈ Im log e chamamos e aquele (unico) numero tal que log e = 1.

Podemos provar (exercıcio) que 2 < e < 4.

Chamamos expx a funcao inversa do logaritmo, chamada funcao exponencial. Usando as propriedades

do logaritmo, podemos provar que (faca como exercıcio)

(1) O domınio e R e a imagem (0,+∞).

(2) exp e derivavel em cada x e D expx = expx.

(3) exp e estritamente crescente e a derivada e, tambem, estritamente crescente.

(4) limx→+∞

expx = +∞, e limx→−∞

expx = 0.

(5) exp 0 = 1, exp 1 = e, expx > 1 se x > 0; expx < 1, se x < 0.

(6) exp r = er para cada x > 0, r ∈ Q.

A ultima formula acima nao faz sentido no caso do expoente irracional x, nao sendo definido ex.

Porem, usando a funcao exp, podemos definir

ex = expx se x e irracional.

Finalmente, por meio do logaritmo, conseguimos uma definicao da potencia com expoente real, por

enquanto limitada a base e. Queremos definir todas as outra potencias 2π, 4, 56√2, etc.

Podemos provar que ex+y = ex · ey, para cada x ∈ R (nao so racional).

Exercıcio 272. (feito em sala de aula). Estude a equacao1

4x4 − 2

3x3 − 5

2x2 + 6x + 2 = 0, dando

informacoes sobre o numero e a posicao das solucoes.

Exercıcio 273. Consegue o tubo de cumprimento 4 metros passar atraves do canto?

37

6?

-�

1m

2m


Na aula passada conseguimos definir a potencia ex, quando x e irracional, como o valor expx, ou seja,

a inversa do logaritmo, calculada em x. Agora queremos definir todas as outras potencias ax, com a > 0,

a 6= 1. (Se a < 0, tal definicao encontra obstaculos impossıveis de resolver, e, se a = 1, 1x pode ser

definida trivialmente igual a 1)

Dado a > 0, a 6= 1, se x > 0, definimos loga x =log x

log a. O domınio de loga e (0,+∞), como para log.

D loga =1

x log a.

Caso a > 1. Temos

limx→+∞

loga x = +∞, limx→0+

loga x = −∞.

loga e crescente (tendo a derivada positiva) com derivada positiva crescente.

Caso 0 < a < 1. Temos

limx→+∞

loga x = −∞, limx→0+

loga x = +∞.

loga e decrescente (tendo a derivada negativa) com derivada negativa crescente.

Para cada a, a imagem de loga e R.

Exercıcio 274. Pode-se provar para loga, as propriedades algebricas analogas aquelas de log

(1) loga(x+ y) = loga x+ loga y, para cada x, y > 0.

(2) loga (xr) = r loga x, para cada x > 0, r ∈ Q.

38

-

6 y = loga x, a > 1

y = loga x, a < 1

Para cada a > 0, a 6= 1, loga x e inversıvel (como ja visto). Analogamente ao caso da funcao exponencial

com base e, chamamos expa x a funcao inversa do logaritmo em base a. Usando as propriedades do loga,

podemos provar que (faca como exercıcio)

(1) O domınio e R e a imagem (0,+∞).

(2) expa e derivavel em cada x e D expa x = expx · loga x.

(3) Se a > 1, expa e estritamente crescente e a derivada e, tambem, estritamente crescente.

(4) Se a > 1, limx→+∞

expa x = +∞, e limx→−∞

expa x = 0.

(5) Se 0 < a < 1, expa e estritamente decrescente e a derivada e, negativa e estritamente crescente.

(6) Se 0 < a < 1, limx→+∞

expa x = 0, e limx→−∞

expa x = +∞.

(7) expa 0 = 1, expa 1 = a.

(8) expa r = ar para cada x > 0, r ∈ Q.

A ultima formula acima nao faz sentido no caso do expoente irracional x, nao sendo definido ax.

Porem, usando a funcao expa, podemos definir

ax = expa x se x e irracional.

Finalmente, como no caso da base e, por meio do logaritmo, conseguimos uma definicao da potencia com

expoente real, para cada a > 0, a 6= 1.

Se a base e 1, podemos definir, trivialmente, 1x = 1, para cada x real.

-

6

y = ax, a > 1 y = ax, a < 1

Propriedades finais (prove como exrcıcio:)

(1) ax+y = ax + ay para cada x, y real (nao so racional).

(2) logb ax = x logb a.

39


Conseguimos definir ab para cada a > 0, b ∈ R. Portanto fica bem definida a funcao xα, x > 0.

Observacao: o domınio e (0,+∞) no caso generico α real. Sabemos perfeitamente que, se α e, por

exemplo, inteiro positivo, o domınio e R. E assim, tratamos os outros casos particulares.

Escrevendo xα = elog(xα) = eα log x, podemos provar que xα e derivavel e Dxα = αxα−1.

Se α > 1 xα e crescente com derivada crescente.

Se 0 < α < 1 xα e crescente com derivada decrescente.

Se α < 0 xα e decrescente.

-

6

y = xα, α > 1-

6 y = xα, 0 < α < 1

-

6

y = xα, α < 0

Limites importantes. Prove como exercıcio

limx→+∞

(loga x)b

xα= 0, para cada a > 1, b > 0, α > 0 (prove, pelo menos no caso a = e, b = α = 1).

limx→0+

xα loga x = 0, para cada a > 1, α > 0 (prove, pelo menos no caso a = e, α = 1).

limx→+∞

xα

ax= 0, para cada a > 1, α > 0 (prove, pelo menos no caso a = e, α = 1).

limx→±∞

(1 +

1

x

)x= e.

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ea, ∀a ∈ R.

limx→0

log (1 + x)

x= 1.

40

limx→0

ex − 1

x= 1.

limx→0

xx = 1.

Exercıcios:

275. Diga se as funcoes seguintes sao pares ou impares.

x log cosx2x + 2−3

3

x

2x − 1log

1− x1 + x

276. Prove que, para cada a > 0, b, c ∈ R, temos(ab)c

= abc (dica: prove que f(x) =(ab)x − abx e

constante)

277. Calcule (usando qualquer metodo conhecido) os limites seguintes.

1) limx→0

senx log x 2) limx→+∞

(x3 + 3x)2−x 3) limx→1+

(log x)sign (1−x) 4) limx→0

log(1 + senx)

x cosx

5) limx→0

ex − 1− xx2

6) limx→+∞

x log1 + x

x7) lim

x→0

log cosx

x28) lim

x→+∞

log(1 + x)− xx2

9) limx→0

(1 + x2)1/x 10) limx→0

logsenx

xx2

11) limx→1−

√1− x2

arccosx12) lim

x→+∞

x− cosx

x+ sen 2x

278. Calcule as derivadas das funcoes seguintes:

1) xx, 2) log | log senx|, 3) log(x+√

1 + x2), 4) sen (arccosx), 4) (x+ arctgx)x

279. Determine os pontos de maximo e mınimo relativo e absoluto, se existem, das funcoes seguintes

nos conjuntos indicados ao lado.

1) x log x, [1/2, 2]; 2) ex/x, [1/2, 2]; 3) 3 log(1 + x2) + x3, [−2, 0];

4) arctgx log(1 + x2), [0, 1]; 5) e2x + 3ex − 2x, [−1, 0]; 6) |x| senx+ cosx, [−π, π];

7) xne−1, (n > 0) [0,+∞); 8) x log x+ 3x, [0, 5]; 9) 3 log senx− 2 senx, 0, (π/2].


Segunda prova, P2.


Seja I intervalo e f : I → R derivavel. Dado x0 ∈ I, se f ′ e derivavel em x0, chamamos o valor

Df ′(x0) de segunda derivada de f em x0. O sımbolo sera f ′′(x0).

Se f ′′(x) existe para todo x e e derivavel, a sua derivada sera a terceira derivada f ′′′(x) de f . E

podemos continuar, se f possui outras derivadas, f (4), f (5), ... f (n), ...

A segunda derivada e util para procurar pontos de maximo ou mınimo relativo.

Teorema. (com prova do caso (1) feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos

exercıcios das provas) Seja f : I → R derivavel e seja x0 ponto crıtico interno. Entao:

(1) se f ′′(x0) existe e e positiva, entao, x0 e ponto de mınimo relativo;

(2) se f ′′(x0) existe e e negativa, entao, x0 e ponto de maximo relativo.

41

Exercıcio 280. Prove o item 2.

Exercıcio 281. Estude os pontos de maximo ou mınimo relativo de x2 log x.

Exercıcio 282. Define o prolongamento contınuo em zero da funcao acima e estude os pontos de

maximo ou mınimo relativo da nova funcao.

Exercıcio 283. Se f ′′(x0) = 0, nada podemos dizer. Veja o que acontece com as funcoes x3, x4,

−x4.

Uma generalizacao do teorema acima e dada pelo resultado seguinte.

Teorema. (sem prova) Seja f : I → R derivavel e seja x0 dado. Seja n inteiro positivo tal que

f ′(x0) = f ′′(x0) = ... = f (n−1)(x0) = 0 e f (n)(x0) 6= 0. Entao:

(1) se n e par e f (n)(x0) > 0, entao, x0 e ponto de mınimo relativo;

(2) se n e par e f (n)(x0) < 0, entao, x0 e ponto de maximo relativo;

(3) se n e impar e f (n)(x0) > 0, entao, f (n−1) e crescente em um oportuno intervalo (x0 − δ, x0 + δ);

(4) se n e impar e f (n)(x0) < 0, entao, f (n−1) e decrescente em um oportuno intervalo (x0−δ, x0+δ).

Exercıcio 284. Compare o teorema acima con as funcoes x5, x4, −x4, x2 senx2, x2 sen 2x.

Definicao.Seja f : I → R uma funcao dada. A funcao e dita convexa se, para cada x1, x2 ∈ I

(x1 < x2), o grafico de f esta abaixo da reta secante por (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), para cada x ∈ [x1, x2].

Em formulas:

f(x) ≤ f(x1) +f(x2)− f(x1)

x2 − x1(x− x1), ∀x1 ≤ x ≤ x2, x1 < x2.

f e dita concava se, para cada x1, x2 ∈ I (x1 < x2), o grafico de f esta acima da reta secante por

(x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), para cada x ∈ [x1, x2]. Em formulas:

f(x) ≥ f(x1) +f(x2)− f(x1)

x2 − x1(x− x1), ∀x1 ≤ x ≤ x2, x1 < x2.

funcao convexa a esquerda e concava a direita

-

6

��

x1 x2

f(x1)

f(x2)

-

6

HHHHHH

HHHHHHH

x1 x2

f(x1)

f(x2)

42

o ponto c e dito de inflexao e a reta r e tangente ao grafico em (c, f(c)).

-

6

c

r

@@@

@@@@

Exercıcio 285. Determine os intervalos de convexidade e concavidade de x2ex. Procure os pontos

de maximo ou mınimo relativo. Desenhe o grafico.

Exercıcio 286. Calcule a segunda e terceira derivada das funcoes seguintes:

1) x2, 2) senx2, 3) 6/ log x, 4)√

1 + x, 5) x2 senx, 6) log senx,

7) log(x+ x2), 8) x/ log x, 9) ex cosx.

Exercıcio 287. Diga se zero e ponto de maximo ou mınimo relativo para as funcoes seguintes:

1) x sen 2x, 2) x4ex, 3) x3 log(1− x), 4)1− x4

1 + x2

Exercıcio 288. Determine os intervalos de convexidade e concavidade para as funcoes seguintes:

1) x3 − 3x2, 2) x4 − 2x2 + 1, 3) x log x, 4) (x2 + x)e−x, 5) 1/(x2 + 3)


(Este teorema foi apresentado na aula do 18 de maio)

Teorema (com prova do caso (1) feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exercıcios

das provas) Seja f : I → R uma funcao dada que possui segunda derivada. Entao:

(1) se f ′′(x) ≥ 0, para cada x ∈ I, entao f e convexa;

(2) se f ′′(x) ≤ 0, para cada x ∈ I, entao f e concava.

Exercıcio 289. Prove o caso 2.

O recıproco do teorema e verdadeiro.

Teorema (sem prova) Seja f : I → R uma funcao dada que possui segunda derivada. Entao:

(1) se f e convexa, entao f ′′(x) ≥ 0, para cada x ∈ I;

(2) se f e concava, entao f(x) ≤ 0, para cada x ∈ I.

Um outro resultado interessante e o seguinte que damos sem prova.

Teorema (sem prova) Seja f : I → R derivavel. Entao,

(1) f e convexa se e somente se f(x) ≥ f(x1) + f ′(x1)(x− x1), para cada x, x1 ∈ I;

(2) f e concava se e somente se f(x) ≤ f(x1) + f ′(x1)(x− x1), para cada x, x1 ∈ I.

43

Definicao de assıntota Seja f : I\{x0} → R dada (ou seja, f pode ou nao ser definida em x0). Se

pelo menos um dos quatro limites seguintes,

limx→x+

0

f(x) = +∞, limx→x+

0

f(x) = −∞, limx→x−0

f(x) = +∞, limx→x−0

f(x) = −∞,

e verificado, entao, a reta de equacao x = x0 se chama assınota vertical de f .

Se I = (a,+∞) e limx→+∞ f(x) = c ∈ R, entao a reta de equacao y = c se chama assınota horizontal

de f .

Se I = (−∞, b) e limx→−∞ f(x) = c ∈ R, entao a reta de equacao y = c se chama assınota horizontal

de f .

Enfim, uma reta de equacao y = mx+ q se chama assınota oblıqua se

limx→+∞

f(x)−mx− q = 0, ou limx→−∞

f(x)−mx− q = 0.

Exercıcio 290. Desenhe o grafico das funcoes seguintes (pelo menos alguns dos itens seguintes):

1) 2x2 + 3x2 − 1, 2) xe−x, 3) (4x+ 3)e1/x, 4)√x2 + x− x, 5)

1− xx2 + 1

,

6)x+ 3

x2 − 5, 7)

√x+ 1−

√x, 8) (x2 + 2x)ex, 9)

ex + 1

ex − 1, 10) − log senx,

11)

√x3

x+ 3, 12)

x− 1

x3, 13) xe−xx− 1, 14) x2 log(|x| − 1), 15) log(1− 2 sen 2x)


Definicao Dada f : I → R, I intervalo, uma funcao G : I → R e dita primitiva de f se

G′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Gracas ao teorema fundamental do calculo integral e facil provar que se se f : I → R e contınua, entao

possui pelo menos uma primitiva. De fato, cada funcao integral

F (x) =

∫ x

c

f(t) dt

(para cada escolha c ∈ I) e uma primitiva de f .

Se uma funcao f admite uma primitiva G, entao admite infinitas, sendo uma primitiva de f cada

funcao do tipo H(x) = G(x) + k, onde k e uma constante. Temos outras primitivas? nao, se o domınio e

um intervalo

Teorema (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas). Se G(x) e

L(x) sao duas primitivas de f , entao, G− L e constante.

O sımbolo ∫f(x) dx.

denota o conjunto de todas as primitivas de f (como nas maioria dos livros), ou, um pouco mais simples-

mente, uma qualquer primitiva de f . Este sımbolo e chamado tambem integral indefinida de f .

44

Cuidado: o sımbolo ∫ b

a

f(x) dx.

denota a integral definida de f . Que e toda outra coisa: e um numero, enquanto a integral indefinida e

uma funcao.

Algumas tecnicas para procurar as primitivas.

1. Primitivas de funcoes racionais.

Seja f(x) =P (x)

Q(x). Procuramos ∫

P (x)

Q(x)dx

onde P e Q sao polinomios. Se o grau de P e ≥ do grau de Q, fazemos a divisao obtendo

f(x) = P (x) +R(x)

Q(x).

O problema e agora ∫R(x)

Q(x)dx.

Entao, voltando a ∫P (x)

Q(x)dx

suponhamos que o grau de P seja < do grau de Q.

Exemplo ∫2x+ 1

x2 + x− 2dx.

O denominador possui duas raizes reais 1 e −2. Escrevemos

2x+ 1

x2 + x− 2=

A

x− 1+

B

x+ 2, (1)

onde A e B sao constantes que queremos determinar para verificar a igualdade acima, para cada x. Temos

2x+ 1

x2 + x− 2=A(x+ 2) +B(x− 1)

(x− 1)(x+ 2)=

(A+B)x+ 2A−B(x− 1)(x+ 2)

.

Ou seja, (A+B)x = 2x e 2A−B = 1. Portanto A e B devem solucionar o sistema{A+B = 2

2A−B = 1

as solucoes sao A = 1 e B = 1. Obtemos

2x+ 1

x2 + x− 2=

1

x− 1+

1

x+ 2,

enfim, ∫2x+ 1

x2 + x− 2dx = log |x− 1|+ log |x+ 2|+ c.

45

No problema ∫x− 2

(x+ 3)2dx.

o denominador possui raiz dupla, −3. Entao, usamos a formula

x− 2

(x+ 3)2=

A

(x+ 3)2+

B

x+ 3

onde A e B sao constantes incognitas. Temos

x− 2

(x+ 3)2=A+B(x+ 3)

(x+ 3)2.

Isso implica B = 1 e A+ 3B = −2, ou seja A = −5. Portanto

x− 2

(x+ 3)2= − 5

(x+ 3)2+

1

x+ 3

enfim ∫x− 2

(x+ 3)2dx =

5

x+ 3+ log |x+ 3|+ c.

Seja o problema ∫1

x2 + x+ 2dx.

Procuramos uma primitiva da forma arctg (f(x)). Para este fim escrevemos o denominador como

x2 + x+ 2 = (x+ a)2 + b. Procuramos a. O termo de grau 1 de (x+ a)2 + b e obviamente 2ax; portanto

deve ser 2ax = x, ou seja a = 1/2. entao, b = 7/4.

Agora precisamos do denominador na forma (αx+ β)2 + 1. No nosso caso

1

x2 + x+ 2=

4

7

1(2√7x+

1√7

)2

+ 1

.

Obtemos portanto ∫1

x2 + x+ 2dx =

2√7

arctg

(2√7x+

1√7

).

em conclusao: ∫3x− 2

x2 + x+ 2dx =

3

2

∫2x+ 1

x2 + x+ 2dx− 7

2

∫1

x2 + x+ 2dx =

3

2log(x2 + x+ 2

)−√

7 arctg

(2√7x+

1√7

)+ c.

Exercıcios 291. Determine as primitivas seguintes

∫1

(x+ 1)(x− 2)dx,

∫1

x2 + x+ 1dx,

∫1

x(x+ 2)dx,

∫x+ 3

x+ 3x2dx,

∫1− x

(1 + x)(1 + 3x)dx,

e seguintes (um pouco mais difıceis)

∫1

x(x+ 1)2dx,

∫x− 3

x(x2 − 2x+ 1)dx,

∫1

(x2 + 1)(x2 − 1)dx,

∫x2 + 1

(x+ 1)2(1− x)dx,

∫1

x(x2 + 1)dx.

46

Outros exercıcios

Para cada das funcoes seguintes determine os conjuntos onde sao convexas e concavas e

os pontos de inflexao (se existem).

292. x 293. |x|

294. senhx 295. coshx

296. x3 + x2 297. | log x|

298. log x2 299. e√|x|

300. 3x3 − x2 + 2x 301.1

x2 + 1

Calcule o limites seguintes usando os teoremas de de l’Hopital

302. limx→1

x2 + x− 2

2x2 − 5

3x− 1

3

303. limx→−2

x2 +3

2x− 1

x2 + 3x+ 2 + cosπx

4

304. limx→+∞

√x(

arctgx− π

2

)305. lim

x→+∞

log x

x

306. limx→0

ex − cosx

x307. lim

x→+∞

ex − 1

2x

308. limx→1

log x

x− 1309. lim

x→+∞

ex

x2

310. limx→0

x log x 311. limx→1

√1− x2

arcsenx− π

2

312. limx→3

3x2 − 7x− 6

x2 − 5x+ 6313. lim

x→1

√1− x

arccosx

Exercıcios: Desenhe o grafico das funcoes seguintes:

314.x+ 1

x− 1315.

x2 + 3x− 1

x+ 2

316. |x+ 1|+ |x− 1| 317.2

3x3 − 1

6x2 − 1

3x+ 1

318.x√

1 + x2319. e|x

2−1|

320.√|x2 − 2x| 321. arctg (x− 1)2

322.2|x| − x2 − x

x+ 1323. f(x) =

x

x+ 2x > 0

0 x = 0x

x− 2x < 0

47

324.

√x3

x− 1, (nao estude a segunda

derivada, porque difıcil)

325. 2x log |x| − x2

326.

1

2− ex

√e2x − 7ex + 10

, (nao estude a se-

gunda derivada, porque difıcil)

327. (difıcil)

(1− 1

x

)x

328.ex + 1

x+ 1329. x− log x− x

x− 1

330.x+ 1

xlog|x| 331. x log x

332. f(x) =

√x cosx 0 < x ≤ π

20 x ≤ 0

333. e−|x|√x2 − 4x+ 3

334. x(x+ log x2) 335. 4x− 3x2 − 2

|x|

336. f(x) =

|x− 2| x ∈ [0, 4]

tgx x ∈ (4, 5], x 6= 3

2π

337. f(x) =

−arctg√

1− x2 x ∈ (−1, 1)

2 sen1

x2x ∈ [1,+∞)

48

Graficos das funcoes dos exercıcios 314–337

314.

-

6

1−1

x = 1

y = 1

315.

-

6

��x = −2 y = x + 1

316.

-

6

AAAAA

��

AAAAA

��

2

−1 1

317.

-

6

−1/3 1/2

318.

-

6

y = 1

y = −1

319.

-

6

−1 1

1

49

320.

-

6

@@

@@

��y = x− 1

1 2

y = −x + 1

321.

-

6

1

y = π/2

322.

-

6

@@

@@

@@@

√2−1

x = −1

y = −x− 2

y = −x + 2

323.

-

6

y = 1

323.

-

6

@@

@@@

��

1 3/2

y = x + 1/2

y = −x− 12

325.

-

6

c 1

50

326.

-

6

x =

log 1/2

y = 12√

10

x =

y = −1

log 2x = log 5

327.

-

6

y = 1/e

1

1

328.

-

6

c−1

329.

-

6

1c

330.

-

6

1−1c

331.

-

6

1e

1

51

332.

-

6

c π/2

333.

-

6

31 5+√

52

333.

-

6

c d−1

335. -6

c 1

336.

-

6

4

x =3π

2

5

337.

-

6

−1 1


2. Integracao por partes. E uma tecnica usada para procurar primitivas de funcoes escritas,

geralmente, como produto de funcoes. E uma consequencia da formula da derivacao do produto.

52

Consideramos duas funcoes f(x) e g(x) derivavelem um intervalo. Temos:

D(f(x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

entao

f(x)g(x) =

∫f ′(x)g(x)dx+

∫f(x)g′(x) dx.

Se, portanto, queremos resolver∫h(x)k(x)dx, podemos procurar uma primitiva de h(x) ou de k(x), por

exemplo H(x) primitiva de h(x), e depois escrever∫h(x)k(x) dx = H(x)k(x)−

∫H(x)k′(x) dx.

A escolha se procurar primeiro a primitiva h ou de k e em funcao de obter contas mais simples.

Exercıcios 338. Calcule as primitvas seguintes:

∫log x dx,

∫(x+ 1)ex dx,

∫arctgx dx,

∫arcsenx dx,

∫cos2 x dx,

∫ √1− x2 dx,

∫x log x dx,

∫x2e−x dx,

∫x senx dx,

∫(x3 + 1) log x dx,

∫2xarctgx dx,

∫ex cosx dx,

∫2x log(x+ 1) dx,

∫2xarcsenx dx,

∫sen 2x dx,


3. Integracao por substituicao e de derivadas de funcoes compostas. E um metodo nao facil,

que se usa para algum tipo de funcoes.

Em geral: se temos ∫f(x) dx,

e se f(x) e a derivada de uma funcao composta, a integral acima pode ser simples.

Exemplos: ∫g′(x)

g(x)dx = log |g(x)|∫

gα(x) g′(x) dx =gα+1(x)

α+ 1, se α 6= −1∫

g′(x)

1 + g2(x)dx = arctg g(x)

Exercıcios 339. Calcule as integrais indefinidas seguintes∫sen 5x cosx dx

∫tgx dx

∫ex sen ex dx

∫xex

2

dx

∫ex

1 + e2xdx∫

senx

2 + cosx, dx

∫log x

xdx

∫sen 2x(1 + cos2 x) dx

∫1

x log xdx

∫x

1 + x4dx

53

As vezes, esta derivacao de funcao composta e ”escondida” e precisa una troca de variavel. Neste caso,

cada exercıcio tem uma sua vida independente e e difıcil construir uma teoria geral. Vamos ver alguns

exemplos.

Seja f(x) contınua em um intervalo I (ou em um conjunto um pouco mais geral, como a uniao de

intervalos).

Seja F (x) uma primitiva di f(x). Consideramos uma funcao derivavel φ(u), tal que a composicao

G(u) = F (φ(u)) faca sentido. Entao G e derivavel e G′(u) = F ′(φ(u))φ′(u).

Se φ e invers’ivel, denotamos por ψ a inversa. Obtemos F (x) = G(ψ(x)) para todo x ∈ I. Resumindo:

se procurar

F (x) =

∫f(x) dx

e difıcil, podemos tentar uma troca de variavel u = ψ(x) (ou seja u(x)). Em seguida, tentamos resolver∫f(φ(u))φ′(u) du.

Se este exercıcio e possıvel, obtemos G(u) e entao F (x) = G(ψ(x)).

Exemplo ∫1

1 +√

1 + xdx

A nova varavel pode ser u =√

1 + x. Ou seja, ψ(x) = u(x) =√

1 + x. Portanto, x = x(u) = φ(u) =

u2 − 1. Enfrentamos ∫f(φ(u))φ′(u) du =

∫2u

1 + udu

Este segundo integral e facil. ∫2u

1 + udu = 2u− 2 log |u+ 1|.

Voltando a varavel x, temos G(u) = 2u− 2 log |u+ 1| = F (x(u)). Portanto F (x) = G(u(x)) = 2√

1 + x−2 log(1 +

√1 + x) (porque aqui nao temos o valor absoluto?).

Exemplo ∫1

1 +√

1 + x2dx

Aqui a substituicao u =√

1 + x2, que parece a mais logıca, da problemas. De fato chegamos a integral∫u(1 + u)√u2 − 1

du

que nao tem nenhma vantagem respeito a acima. E melhor escolher u + x =√

1 + x2. Continue o

exercıcio.

Exemplo. Razoes de polinomios trigonometricos. Sejam∫1

senxdx e

∫1

cosxdx.

A substituicao e x = φ(t) = 2arctg t, cuja inversa e t = ψ(x) = tgx

2. Temos

senx = sen (x/2 + x/2) = 2 sen (x/2) cos(x/2) = 2tg (x/2) cos2(x/2) = 2tg (x/2)(1 + tg 2(x/2))

54

(lembre a derivada da tangente). Portanto

senx =2t

1 + t2, cosx =

1− t2

1 + t2, φ′(t) =

2

1 + t2.

Enfim, ∫1 + t2

2t

2

1 + t2dt =

∫1

tdt = log |t|+ c.

Voltando a varavel x, ∫1

senxdx = log

∣∣∣tg x2

∣∣∣Exercıcios 340. Calcule as integrais indefinidas seguintes:

∫senx

2 + cosxdx

∫x√

1− x4dx

∫log x

xdx

∫x

1 + x4dx

∫ex

1 + exdx

∫log x+ log2 x

xdx

∫cos log x

xdx

∫log x

x(1 + logx)dx

∫senx cosx

1 + cos4 xdx

∫1

x log xdx

∫x√

1 + x2dx

∫1√

1− 4x2dx

∫x+ 2√1− x2

dx

∫extg ex dx

∫sen 3x dx

∫1√

1 + x2dx

∫1√1√xdx

∫ √1 + x2 dx

∫senx

1− senxdx

∫1− x2√1 + x2

dx


Equacoes diferenciais ordinarias

Trate-se de equacoes onde as incognitas sao funcoes (e nao numeros como estamos mais acostumados

nas equacoes algebricas) e onde aparecem tambem as derivadas das funcoes incognitas ate uma certa

ordem.

Por exemplo

y′ = y (2)

possui infinitas solucoes, isto as funcoes do tipo y(t) = aet, definidas em R, para cada valor do parametro

a real.

Temos usada a palavra ”solucao”. Que significa solucao? Uma funcao e chamada solucao se verifica a

igualdade acima para cada t no seu domınio.

A equacao acima e dita de primeira ordem porque a primeira derivada e a derivada de ordem maxima

que aparece na equacao.

Equacoes diferenciais com varaveis separaveis

Em geral pode ser muito difıcil resolver uma equacao diferencial ordinaria. Um tipo que sabemos

resolver sao as equacoes diferenciais com varaveis separaveis. Sao de primeira ordem e da forma

y′(t) = a(t)f(y(t))

55

onde a e f sao funcoes dadas (que podem ter domınios diferentes). Se supomos f(x) 6= 0, e se imaginamos

que uma funcao y seja solucao (uma funcao y que ainda nao conhecemos e que queremos descobrir), a

igualdade acima e equivalente ay′(t)

f(y(t))= a(t)

para cada t que pertence ao domınio da solucao. Portanto as primitivas sao iguais, a menos de constantes:∫y′(t)

f(y(t))dt =

∫a(t) dt (∗)

Vamos agora abordar o seguinte exercıcio: ∫1

f(x)dx

Se encontramos uma primitiva G(x) de 1/f(x), pela regra de derivacao de funcoes compostas temos

DG(y(t)) =y′(t)

f(y(t)). Se, agora, A(t) e uma primitiva de a(t), a igualdade (*) fica

G(y(t)) = A(t) + k,

ou seja y verifica a condicao acima. Que e ainda uma condicao implıcita. Se G e inversıvel, temos

y(t) = G−1(A(t) + k), que representa as infinitas solucoes, dependendo de k, com relativo domınio, que

pode nao ser o mesmo para todas solucoes.

Quarta-feira, 1 junho 2011

Exemplo

y′ = cos ty2 + 1

2y(1)

E uma equacao de primeira ordem, com varaveis separaveis. f(x) =x2 + 1

2x. Se y(t) e solucao temos

y′(t)2y(t)

1 + y2(t)= cos t

e, integrando, ∫y′(t)

2y(t)

1 + y2(t)dt =

∫cos t dt.

Sabendo que ∫2x

1 + x2dx = log(1 + x2),

podemos dizer que as solucoes de (1) verificam a condicao log(1 + y2(t)) = sen t+ k. Portanto, fazendo

a exponencial e a raiz, temos infinitas solucoes da (1):

y(t) =√e sen t+k − 1, e y(t) = −

√e sen t+k − 1

Sendo k real e ek positivo, as formulas acima podem ser escritas como

y(t) =√ce sen t − 1, e y(t) = −

√ce sen t − 1

onde c e um parametro positivo.

56

Porque as funcoes acimas sao solucoes? Vamos fazer a derivada (escolhemos so aquelas com ”+” em

frente da raiz):

Dy(t) = D√ce sen t − 1 =

1

2√ce sen t − 1

· ce sen t · cos t.

Agora, y2(t) + 1 = (√ce sen t − 1)2 + 1 = ce sen t. Portanto

cos ty2(t) + 1

2y(t)= cos t

ce sen t

2√ce sen t − 1

,

que e igual a y′(t). Isto significa que y(t) e solucao. (A mesma coisa acontece pegando o sinal ”−√...”)

Concluimos acertando o domınio das solucoes. Como sen t ∈ [−1, 1], entao, e sen t ∈ [1/e, e], e ce sen t ∈[c/e, ce]. Portanto, lembrando que c e positivo (senao a raiz nao e definida para nenhum valor de t), se

c > e a solucao e definida em R.

Se 1/e < c ≤ e, entao ce sen t − 1 > 0 se e somente se e sen t > 1/c, ou seja, se e somente se sen t >

log(1/c); neste caso, limitando o estudo a (−π/2, π/2), a desigualdade acima e verificada se e somente

se arcsen log(1/c) < t < π/2. Portanto a solucao, dado c entre 1/e e e, e definida nos conjuntos do tipo

(arcsen log(1/c) + n2π, π − arcsen log(1/c) + n2π), com n inteiro relativo.

Se c ≤ 1/e, entao ce sen t − 1 ≤ 0 para cada t real, e, neste caso, a solucao nao e definida.

Equacoes diferenciais lineares de primeira ordem

Sao equacoes da forma

y′ = a(t)y + b(t) (1)

, onde a e b sao funcoes dadas e definidas em determinados intervalos (que podem nao coincidir).

Para resolver a (1) a primeira coisa e abordar a equacao

y′ = a(t)y (1h),

que chamamos homogenea associada. A funcao nula e solucao de (1h), definida no mesmo domınio de a.

Se y(t) 6= 0, a (1h) equivalente a

y′/y = a(t).

Integrando e denotando por A(t) uma primitiva de a(t), temos que as solucoes de (1h) verificam∫y′(t)

y(t)dt = A(t) + k

onde k e uma constante real. Portanto

log |y(t)| = A(t) + k,

ou seja

|y(t)| = eA(t)+k = ceA(t)

onde c e uma constante positiva. Portanto, as solucoes sao as funcoes da forma

y(t) = ceA(t),

onde agora, eliminando o modulo, c pode ser uma qualquer constante real (o caso c = 0 representa a

solucao nula, que foi a primeira encontrada).

Para estudar a equacao completa (2h) procuramos uma solucao do tipo y(t) = c(t)eA(t), onde c(t) e

uma funcao a ser determinada. Se y(t) = c(t)eA(t) for solucao, temos que y′(t) = c′(t)eA(t) + c(t)eA(t)a(t)

deve ser igual a a(t)y(t)+b(t), ou seja deve ser c′(t) = e−A(t)b(t). Enfim, todas as solucoes sao as infinitas

57

funcoes da forma y(t) =∫e−A(t)b(t) dt · eA(t) onde

∫e−A(t)b(t) dt e uma qualquer primitiva de e−A(t)b(t).

O domınio e o domınios intersecao dos domınio de a e b.

Exercıcio 341. Determine a famılia das solucoes das equacoes seguintes (determinando, inclusive,

os domınios das solucoes):

y′ = e−y y′ = ty2 y′ =y + 1

t+ 1y′ = t/y

y′ =y

2t+ t2 y′ = ytg t+ cos t y′ + 2y cos t = sen 2t y′ =

y

t+ 2+

1

4ty′ =

1√4t

+ 1

Sexta-feira, 3 junho 2011

Exercıcios feitos em sala de aula:

342. Estude, desenhando o grafico, a funcao f(x) = xe−x.

343. Determine as integrais indefinidas

∫x− 3

x(x2 − 2x+ 1)dx,

∫1√

x+ 3√xdx

Exercıcio sugerido: 344. . Estude, desenhando o grafico, a funcao f(x) =√x

∣∣∣∣1 +1

log x

∣∣∣∣.Segunda-feira, 6 junho 2011

OS NUMEROS DOS GRAFICOS DAS PAGINAS 48/51 SAO AGORA CORRETOS.

Introducao a formula de Taylor.

Seja f : I → R uma funcao derivavel e seja x0 ∈ I fixado. Sejam as duas funcoes

T (x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0), e S(x) = f(x)− f(x0)−m(x− x0), m 6= f ′(x0).

De fato, S(x) representa uma famılia de funcoes, variando m em R. O grafico de T representa a reta

tangente ao grafico de f em (x0, f(x0)), enquanto os graficos das S representam, para cada m, as retas

secantes ao grafico de f em (x0, f(x0)) (exceto so a secante vertical).

T (x) e S(x) aproximam f em x0, onde ”aproximar em x0” significa que

limx→x0

f(x)− T (x) = 0 e limx→x0

f(x)− S(x) = 0.

(Verifique os limites acima como exercıcio, usando o fato que f e contınua sendo derivavel)

A aproximacao dada por T e melhor do que todas as aproximacoes dadas pelas S(x), porque

limx→x0

f(x)− T (x)

x− x0= 0 enquanto lim

x→x0

f(x)− S(x)

x− x0= f ′(x0)−m 6= 0.

(Verifique os limites acima como exercıcio). Dizemos que f(x)−T (x) (o resto, ou erro, da aproximacao

por T ) tende para zero ”mais rapidamente” do que x − x0, enquanto f(x) − S(x) (o resto, ou erro, da

aproximacao por S) tende para zero ”com a mesma velocidade” do que x− x0.

Se f possui derivada segunda em I, podemos usar polinomios de grau 2 para obter aproximacoes

melhores, estendendo o argumento acima.

Procuramos um polinomio T2(x) = a0 +a1(x−x0) +a2(x−x0)2 tal que, analogamente ao caso linear,

58

limx→x0

f(x)−(a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2

)(x− x0)2

= limx→x0

f(x)− T2(x)

(x− x0)2= 0.

E imediato ver (verifique os detalhes) que o limite acima e verificado se e somente se

limx→x0

f(x)− a0 − a1(x− x0)

(x− x0)2= a2 (∗).

Sendof(x)− a0 − a1(x− x0)

(x− x0)2=f(x)− a0 − a1(x− x0)

x− x0· 1

x− x0,

ou seja,f(x)− a0 − a1(x− x0)

(x− x0)2· (x− x0) =

f(x)− a0 − a1(x− x0)

x− x0,

se existe a2 tal que (*) e verificado, entao, pelo produto dos limites, temos

limx→x0

f(x)− a0 − a1(x− x0)

x− x0= 0.

Do resultado visto no caso linear, temos como consequencia o fato que a0 = f(x0) e a1 = f ′(x0) (os

unicos dois valores que permitem o limite acima).

Agora precisa descobrir a2. O limite

limx→x0

f(x)−(f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + a2(x− x0)2

)(x− x0)2

se apresenta em uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar o teorema de de l’Hopital.

f ′(x)− f ′(x0)− 2a2(x− x0))

2(x− x0)=f ′(x)− f ′(x0)

2(x− x0)− a2.

Portanto

limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

2(x− x0)− a2 = 0

se e somente se a2 =1

2f ′′(x0).

Qual pode ser a conclusao deste raciocınio? podemos dizer que, se f possui segunda derivada, existe e

e unico um polinomio de grau ≤ 2, T2(x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+ 12f′′(x0)(x−x0)2, tal que, escrevendo

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1

2f ′′(x0)(x− x0)2 + r(x),

isto e

f(x) = funcao aproximante + funcao resto,

o resto tenda para zero mais rapidamente do que (x− x0)2, ou seja

limx→x0

f(x)− T2(x)

(x− x0)2= 0.

Em particular, a aproximacao dada por T2 e melhor daquela dada por T (x) (a reta tangente), por causa

do fato que f(x)− T (x) tende para zero mais rapidamente ”so” do que x− x0.

Observe que T2(x) pode ser de grau 1 (portanto igual a T ); se f ′′(x0) = 0.

Continuando assim, podemos estender a qualidade da aproximacao na medida em que f possua

derivadas de ordem superior. O resultado geral e o seguinte, que damos sem prova.

59

Teorema de Taylor. Seja f : I → R uma funcao derivavel ate a ordem n. Seja x0 ∈ I fixado. O

polinomio de grau ≤ n

Tn(x, x0) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1

2f ′′(x0)(x− x0)2 + ...+

1

n!f (n)(x0)(x− x0)n

se chama polinomio de Taylor de f de ordem n e centro x0. Chamando a funcao definida como

Rn(x, x0) = f(x)− Tn(x, x0)

resto n-esimo (de f com centro x0), temos

1) limx→x0

Rn(x, x0)

(x− x0)n= 0;

1b) o polinomio de Taylor (de ordem n e centro x0) e o unico polinomio de grau ≤ n que verifca o

limite acima;

2) se f possui derivada de ordem n+ 1, para cada x ∈ I existe c entre x0 e x tal que

f(x) = Tn(x, x0) +f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1;

A formula acima se chama formula de Taylor de f de ordem n, centro x0 e resto em forma de

Lagrange;

3) se f possui derivada de ordem n+ 1, para cada x ∈ I temos

f(x) = Tn(x, x0) +1

n!

∫ x

x0

f (n+1)(t) (x− t)n dt.

A formula acima se chama formula de Taylor de f de ordem n, centro x0 e resto em forma integral.

Quarta-feira, 8 junho 2011

Aprximacao de e. A formula de Taylor de ex de ordem n e centro 0 e

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+ ...+

xn

n!+Rn(x, 0) =

n∑k=0

xk

k!+Rn(x, 0), ∀x ∈ R,

onde, como tivemos visto, Rn(x, 0) verifica o limite

limx→0

Rn(x, 0)

xn= 0.

Em forma de Lagrange o resto e, dado x, Rn(x, 0) =ec

(n+ 1)!xn+1, onde c e um oportuno valor entre 0

e x. Sendo ex uma funcao crescente e lembrando que e < 4, se x = 1, temos∣∣∣∣∣e−n∑k=0

1

k!

∣∣∣∣∣ ≤ ec

(n+ 1)!<

4

(n+ 1)!.

Se, por exemplo, n = 7 (ou n ≥ 7), temos 8! = 40320 e portanto R7(1, 0) < 10−4. Assim,

a =

7∑k=0

1

k!

aproxima e com um erro menor de 10−4. O valor a acima tem os primeiros 4 digitos decimais depois da

virgola iguais aqueles de e.

Exercıcio 345. Determine os primeiros 4 digitos decimais de e.

60

e e irracional. O exercıcio acima mostra que e fica entre 2, 7 e 2, 8, mas ainda nao sabemos se racional

ou nao. Provamos aqui que nao e. Dado n, temos∣∣∣∣∣e−n∑k=0

1

k!

∣∣∣∣∣ < 4

(n+ 1)!

Suponhamos que e seja racional, igual a p/q, p, q inteiros positivos. Seja n multiplo de q e maior de 4.

Multiplicando os dois lados da desigualdade acima por n!,∣∣∣∣∣n!p

q− n!

n∑k=0

1

k!

∣∣∣∣∣ < 4

n+ 1

O membro esquerdo e inteiro, sendo diferenca de inteiros, enquanto4

n+ 1< 1. Absurdo. Portanto e e

irracional.

Vamos agora procurar as formulas de Taylor de algumas funcoes elementares, de ordem n e centro zero

(as formulas centradas em zero sao chamadas tambem de Mac Laurin). Escrevemos, o rest ona forma

generica Rn(x, 0).

ex = 1 + x+x2

2!+ ...+

xn

n!+Rn(x, 0).

senx = x− x3

3!+x5

5!+ ...+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+R2n+1(x, 0).

(Verifique a formula acima como exercıcio) A formula acima e de ordem 2n+ 1 sendo assim o grau do

polinomio. De fato, como o termo de grau 2n + 2 e zero (so temos expoentes impares), T2n+2 = T2n+1.

E portanto R2n+2(x, 0) = R2n+1(x, 0). Portanto o polinomio de Taylor de grau 2n+ 1 e de ordem 2n+ 2

e podemos escrever. senx = x− x3

3!+x5

5!+ ...+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+R2n+2(x, 0).

Analogamente temos a formula seguite do cosseno (verifique como exercıcio, provando que o resto pode

ser escrito como R2n+1(x, 0), nao so como R2n(x, 0) ):

cosx = 1− x2

2!+x4

4!+ ...+ (−1)n

x2n

(2n)!+R2n+1(x, 0).

Exercıcio 346. Determine a formula de Taylor de f(x) = 3x4 − x3 + 2x− 1, com centro em zero e

ordem 5.

Exercıcio 347. Determine a formula de Taylor de ex, com centro em 1 e ordem 3, as formulas de

Taylor de senx e cosx, com centro em π e ordem 5.

Seja a funcao f(x) =1

1− xdefinida em (−∞, 1). Pegamos so este intervalo e nao todo o domınio

possıvel, sendo este o intervalo que contem zero. Temos f (n)(x) =n!

(1− x)n+1(verifique como exercıcio).

Portanto a formula de Taylor de f de ordem n e centro 0 e

1

1− x=

n∑k=0

xk +Rn(x, 0).

61

Por outro lado, sabemos que, para cada x ∈ R (nao so x < 1),

n∑k=0

xk · (1− x) = 1− xn+1

(verifique como exercıcio). A formula acima e simplesmente algebrica. Nada tem a ver com Taylor. Se

x 6= 1, podemos escrevern∑k=0

xk =1− xn+1

1− x

e, finalmente,

1

1− x=

1− xn+1

1− x+xn+1

1− xou, igualmente,

1

1− x=

n∑k=0

xk +xn+1

1− x(∗).

(Tambem as formulas acima sao simplesmente algebricas). Voltando a teoria de Taylor, temos uma

forma explicita do resto enesimo

Rn(x, 0) =xn+1

1− x.

Sendo a formula (*) correta para cada x 6= 1, substutindo x por −x, temos

1

1 + x=

n∑k=0

(−1)kxk + (−1)n+1 xn+1

1 + x(∗∗).

(verifique). A formula acima e a formula de Taylor (de ordem n e centro zero) de1

1 + x? A resposta e

sim, porque

limx→0

(−1)n+1 xn+1

1− xxn

= 0

(verifique). Ou seja, pela unicidade do polinomio de Taylor, se dada f(x), escrevo f(x) = P (x) + S(x),

onde P e um polinomio de grau ≤ n; se

limx→0

S(x)

xn= 0

entao, pela unicidade da formula de Taylor S(x) e necessariamente o resto de Taylor e P e necessariamente

o polinomio de Taylor.

Exercıcio 348. Calcule a derivada quinta em zero de 3x5 + x3, de1

1 + xe de senx, usando as

formulas de Taylor.

Sexta-feira, 10 junho 2011

A partir da formula (*) da aula passada, podemos escrever, colocando x2 no lugar de x,

1

1− x2=

n∑k=0

x2k +x2n+2

1− x2(∗ ∗ ∗).

62

E a formula de Taylor de ordem 2n de1

1− x2? Como nos outros casos, a unica coisa a ser feita e

provar quex2n+21

1− x2e o resto de ordem 2n. E facil provar que

limx→0

x2n+2

1− x2x2n

= 0

(verifique). Portantox2n+2

1− x2e o resto de ordem 2n de Taylor de

1

1− x2. Na verdade,

limx→0

x2n+2

1− x2x2n+1

= 0

(verifique). Ou seja, a formula (***) e a formula de Taylor de ordem 2n+ 1, nao so 2n (coisa que pode,

por outro lado, ser observada pelo fato que as potencias do polinomio sao de grau par).

Continuando assim (verifique todos os detalhes como exercıcio),

1

1 + x2=

n∑k=0

(−1)kx2k + (−1)n+1 x2n+2

1 + x2(∗ ∗ ∗∗)

e a formula de Taylor de ordem 2n+ 1 (centro zero) de1

1 + x2.

Pegamos agora as primitivas que valem zero em x = 0 das funcoes da formula (*). Entao,

− log(1− x) =

n+1∑k=1

xk

k+

∫xn+1

1− xdx (1).

Chamo g(x) =∫ xn+1

1− xdx, que e a primitiva tal que g(0) = 0. A (1) e a formula de Taylor de ordem

n+ 1 de − log(1− x)? Devemos calcular

limx→0

g(x)

xn+1= limx→0

∫ xn+1

1− xdx

xn+1.

Sendo g contınua, derivavel, e g(0) = 0, o limite e uma forma indeterminada e podemos aplicar de

l’Hopital:

g′(x)

D(xn+1)=

xn+1

1− x(n+ 1)xn

.

Portanto (verifique os detalhes) temos

limx→0

g(x)

xn+1= 0

e a (1) e formula de Taylor de − log(1−x), com centro zero e ordem n+1. Porque acima e − log(1−x)

e nao − log |1− x|? Porque interessa o comportamento do resto perto de 0, portanto o intervalo (−∞, 1)

onde o argumento do logaritmo e positivo e alı nao serve o modulo.

349. Verifique como exercıcio que

63

log(1 + x) =

n+1∑k=1

(−1)k+1xk

k+

∫(−1)n+1 x

n+1

1 + xdx (2)

e que a (2) e formula de Taylor de log(1 + x), com centro zero e ordem n+ 1.


log1 + x

1− x= log(x+ 1)− log(x− 1) = 2

(n∑k=0

x2k+1

2k + 1

)+R2n+2(x, 0)

e formula de Taylor com centro zero e ordem 2n+ 2 de log1 + x

1− x.


arctgx =

n∑k=0

(−1)k+1 x2k+1

2k + 1+R2n+2(x, 0)

e a (1) e formula de Taylor de arctgx, com centro zero e ordem 2n+ 2.

Exercıcios 352. Usando as tecnicas vistas em sala de aula, determine as formulas de Taylor de

centro zero e ordem 4 e 5 de

sen 2x, sen 3x, 1− cos2 x, ex senx

Exercıcio 353. Calcule as primeiras 6 cifras decimais de e, sen 1 e cos 1.

Exercıcio 354. Calcule as primeiras 2 cifras decimais de log 2.

Exercıcio 355. Determine a formula de Taylor de log x de ordem 3 e centro em e.

Segunda-feira, 13 junho 2011

Exercıcio 356. Feito em sala de aula Calcule a formula de Taylor de ordem 4 e centro zero de

log(1 + senx).

Definicao de o pequeno. Dado x0 ∈ R e duas funcoes f, g definidas em um intervalo I, x0 ∈ I, (f, g

podem nao ser definidas em x0), dizemos que f e um o pequeno de g, para x que tende para x0, se

limx→x0

f(x)

g(x)= 0.

O sımbolo e f(x) = o(g(x)) per x→ x0.

Exercıcio 357. Prove as formulas seguintes (onde temos x→ 0):

o(xm) + o(xm) = o(xm), o(xm)− o(xm) = o(xm), o(xm) · o(xn) = o(xm+n)

o(xm) + o(xn) = o(xs), onde s = min{m,n}, xno(xm) = o(xm+n).

Prove tambem as seguintes:

358. o(x2) + o(x) = o(x) 359. o(x3) + o(x2 + x4) = o(x2)

360. o(x2) senx = o(x3) 361. o(x4) o(x) = o(x5)

64

362. (o(x2))3 = o(x6) 363. o(x) o( senx) = o(x2)

364. o(x2) cosx = o(x2) 365. o( sen 2x) = o(x2)

366. o(x+ o(x)) = o(x) 367. o

((x+

1

2x2 + o(x2)

)2)

= o(x2)

368. o((x+ o(x2)

)3)= o(x3) 369.

(1− x+ o(x2)

)3= 1− 3x+ 3x2 +

o(x2)

Exercıcios 370. Calcule os limites seguintes

limx→0

x− senx

x3, lim

x→0

x(ex − 1)

1− cosx, lim

x→0

xtgx

log(1− x2), lim

x→0

x− senx

x2 + senx2, lim

x→0

x2 − senx2

(1− cosx) log(1 + x2),

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MAT 111 - C alculo Diferencial e Integral I - 1 semestre ...pluigi/registro-MAT111-11.pdf · Sexta feira 4 mar˘co 2011 Representa˘c~ao dos numeros reais atrav ... racionais e in