MAT 111 - C alculo Diferencial e Integral I - 1 semestre ...pluigi/registro-MAT111-18.pdf · inteiros relativos, Q dos numeros racionais e R dos numeros reais. De ni˘c~ao (intuitiva)

MAT 111 - Calculo Diferencial e Integral I - 1◦ semestre de 2018

Registro das aulas e exercıcios sugeridos - Atualizado 26.6.2018

1. Segunda-feira, 5 de marco de 2018

Apresentacao do curso. Veja-se o arquivo relativo as informacoes do curso na minha pagina web

www.ime.usp.br/∼pluigi

***

Os principais sistemas numericos usados no curso: o conjunto N dos numeros naturais, Z dos numeros

inteiros relativos, Q dos numeros racionais e R dos numeros reais.

Definicao (intuitiva) de numero real: um numero real e um alinhamento decimal, limitado ou nao,

periodico ou nao, com sinal.

Vamos dar como conhecidas as operacoes algebicas de soma e produto, as propriedades delas, a relacao

de ordem e o axioma de continuidade. A parte seguinte em azul e um aprofundamento desses conceitos. O

leitor interessado pode continuar a leitura, mas essa parte nao sera cobrada.

Em R sao definidas duas operacoes, soma e produto e uma relacao de ordem, que verificam as propriedades

seguintes:

S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b ∈ R, a+ b = b+ a;

S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c ∈ R, (a+ b) + c = a+ (b+ c);

S3) Existencia do elemento neutro da soma: ∀a ∈ R, a+ 0 = a e 0 e dito elemento neutro da soma;

S4) Existencia do oposto: ∀a ∈ R existe um elemento de R, −a, dito oposto de a, tal que a+ (−a) = 0

(a+ (−a) = 0 pode ser escrito simplesmente a− a = 0).

Analogamente temos propriedade do produto:

P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b ∈ R, ab = ba;

P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c ∈ R, (ab)c = a(bc);

P3) Existencia do elemento neutro do produto: ∀a ∈ R, a · 1 = a e 1 e dito elemento neutro do produto;

P4) Existencia do inverso: ∀a ∈ R, a 6= 0, existe um elemento de R, 1/a, tal que a · 1/a = 1.

A propriedade distributiva liga soma e produto:

SP) ∀a, b, c ∈ R, (a+ b)c = ac+ bc.

As duas propriedade seguintes ligam a soma e o produto ao ordenamento:

OS) ∀a, b, c ∈ R, se a ≤ b, entao a+ c ≤ b+ c;

OP) ∀a, b, c ∈ R, con c > 0, se a ≤ b, entao ac ≤ bc.A relacao de ordem verifica tambem as propriedades transitiva e anti-simetrica.

Todas essas propriedades podem ser demonstradas a partir de uma definicao mais rigorosa, e nao somente

intuitiva, do conjunto R dos numeros reais. A questao e delicada. No sec. XIX, diante de um grande

desenvolvimento da Matematica, foi percebido que era necessaria uma abordagem rigorosa e nao intuitiva

aos numeros reais. Varios matematicos se ocuparam disso. Entre eles. G. Peano, G. Cantor, R. Dedekind.

Tente dar uma olhada (por exemplo nas paginas wikipedia) a esses personagens.1

2

De um jeito diferente, mas equivalente, foi dada uma definicao axiomatica do conjunto dos numeros

reais: R e um conjunto abstrato com duas operacoes, soma e produto, e uma relacao de ordem tais que

as 11 propriedades acima sao verificadas, assim como uma outra propriedade, o axioma de continuidade,

que veremos a seguir. Desse jeito as propriedades acima nao precisam ser demonstradas, mas se tornam

axiomas, fatos que fondam o nascimento de R. Todas as outras propriedades algebricas de R podem ser

provadas unicamente usando as 11 propriedades acima.

O exercıcio seguinte pode parecer bizarro. Os itens devem ser provados usando unicament as 11 pro-

priedades acima.

Exercıcio 1. Provar, usando as primeiras 11 propriedades dos numeros reais, as propriedades seguintes:

1) ∀a ∈ R, a · 0 = 0;

2) ∀a ∈ R, a > 0⇒ −a < 0;

3) ∀a, b ∈ R, se a > 0 e b < 0, entao ab < 0;

4) ∀a, b, c ∈ R, se c < 0, se a ≤ b, entao ac ≥ bc;5) ∀a, b,∈ R, com a > 0, b > 0, a ≤ b se e somente se a2 ≤ b2.6) ∀a, b,∈ R, com a > 0, b > 0, a ≤ b se e somente se 1/a ≥ 1/b.

Em outras palavras, os exercıcios anteriores precisam de uma abordagem a qual o aluno nao esta acos-

tumado. Por exemplo: parece obvio que, dado um numero a ∈ R, temos a · 0 = 0. Porque precisa ser

demonstrado? Porque neste caso o esforco e aquele de “esquecer” aquilo que conhecemos sobre os numeros.

Eles sao, neste exercıcio, simplesmente e unicamente um conjunto que verifica as propriedades listadas acima.

Portanto a demonstracao de que a · 0 = 0 deve se basear no uso de algumas das propriedades acima e nada

mais.

Se o aluno encontra dificuldade nestes exercıcios acima, nao deve ficar preocupado. O objetivo e ver a

logica que fica atras desta construcao.

O conceito de conjunto sera pensado como conceito primitivo, ou seja, colecao de objetos. Nao iremos

aprofundar a teoria dos conjuntos.

Exercıcio 2. Prove as propriedades distributivas: dados tres conjuntos A, B e C,

1) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),

2) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C),

e as Leis de De Morgan: dados tres conjuntos A, B e C contidos num conjunto U ,

3) CU (A ∪B) = CUA ∩ CUB,

4) CU (A ∩B) = CUA ∪ CUB.

Exercıcios: escreva a uniao e a intersecao de A e B. Diga se vale A ⊆ B ou B ⊆ A. Determine A\Be B\A. Lembro que o conjunto A\B e definido como o conjunto dos elementos que pertencem a A e nao

pertencem a B

3. A = (0, 1), B = [0, 1] 4. A = (−∞, 0), B = [−1, 5]

5. A =

{2n

2n+ 1, n ∈ N

}, B =

{n

n+ 1, n ∈ N

}6. A = (0, 2) ∪ (3, 4), B = [2, 3] 7. A = (−3, 0], B = [−2, 2)

3

2. Quarta-feira, 7 de marco de 2018

Seja agora E um subconjunto de R. Um numero real M e dito majorante de E se x ≤ M para todo

x ∈ E. Um numero real m e dito minorante de E se x ≥ m para todo x ∈ E.

Um conjunto E e dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto e dito

limitado inferiormente se admite pelo menos um minorante. E dito limitado se e limitado superiormente e

inferiormente.

Se E e limitado superiormente definimos supremo de E, supE, o mınimo dos majorantes; se E e limitado

inferiormente definimos ınfimo de E, inf E, o maximo dos minorantes. Se E e ilimitado superiormente

escrevemos supE = +∞, se E e ilimitado inferiormente escrevemos inf E = −∞.

O maximo de um conjunto E e o elemento maior, se existe, enquanto o mınimo e o elemento menor, se

existe.

Um conjunto e dito finito se possui um numero finito de elementos.

Propriedade (ou axioma) de continuidade: um conjunto de numeros reais, limitado superiormente

(inferiormente) admite supremo (ınfimo) em R.

A demonstracao, nao trivial, da propriedade acima nao e um objetivo do nosso curso.

Q nao verifica a propriedade de continuidade. Prove este fato como exercıcio. E uma consequencia do

fato de que, por exemplo, nao existe nenhum racional cujo quadrado seja 2.

Exercıcios: Determine o supremo e o ınfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o maximo e o mınimo

8. (2, 3) 9. [0,+∞)

10. [−5, 1) ∪ (1, 4] 11. (0, 3] ∪ [3, 5]

12.

{1− 1

n, n ≥ 1

}∪{

1 +1

n, n ≥ 1

} 13.⋃n≥2

(− 1

2n, 1− 1

n

]

14. {x ∈ Q : x2 < 2} 15.

{2n

n2 + 1, n ∈ N

}

Definicao de raiz n-esima. Dados um numero inteiro n ≥ 1 e um numero real nao negativo x, a raiz

enesima de x, em sımbolos n√x, e o numero nao negativo y tal que yn = x.

Exercıcio 16. Prove que, dado x > 0, a raiz quadrada de x e unica (sugestao: usar a propriedade que

liga o ordenamento e o produto).

Dado un numero real a, definimos modulo (ou valor absoluto) de a numero nao negativo

|a| =

{a se a ≥ 0

−a se a < 0.

Exercıcio 17. Prove as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b ∈ R,

|a+ b| ≤ |a|+ |b|, |a− b| ≥ |a| − |b|.

4

Exercıcio: Escrever a uniao e a intersecao dos seguintes pares de conjuntos A e B. Dizer se vale a relacao

A ⊆ B ou B ⊆ A. Determinar enfim A\B e B\A.

18. A = {x ∈ R :√x2 − 4 ≥ 0}, B = {x ∈ R : x2 − 4 ≥ 0}

Resolver as inequacoes seguintes.

19. x2 − 2x− 1 ≤ 0 20. 3x2 − x+ 2 > 0

21.x− 2

x+ 1>

1

x− 122.

x2 + x− 1

x2 − 2x+ 1≤ 1

2

23. x4 − 3

4x2 >

1

424. x2 ≤ 1

25.2

x+ 3 <

4

x− 1 26.

3

x2+ 1 ≤ x2 − 1

27.√x− 1 < x− 3 28.

√x2 + 2x− 1 > 3− x

29.√x− 1 <

√x 30. |x2 − 4x− 5| > −x

31.√−x < 5 + x 32. | − 6x+ 3| > −x+ 2

Exercıcio 33. Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A ⊆ B. Prove que supA ≤ supB e

inf A ≥ inf B.

Exercıcio 34. Seja A =⋃n≥2

An, onde, para cada n, An =

(− 1

2n, 1− 1

n

]. Determine supremo, ınfimo,

maximo e mınimo (se existem)

Dados a e b reais, definicao de intervalo de extremos a e b:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

O primeiro e dito fechado, o quarto e dito aberto. Intervalos ilimitados:

[a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a,+∞) = {x ∈ R : a < x},

(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.

3. Sexta-feira, 9 de marco de 2018

Definicao de funcao. Dados A e B conjuntos quaisquer, uma funcao f : A → B e una lei que a cada

elemento de A associa um e so um elemento de B.

A se chama domınio da funcao, B e dito contradomınio. O conjunto dos valores atingidos por f se chama

imagem de f , Im (f) ou f(A), ou seja:

Im (f) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f(x) = y}.

Im (f) e um subconjunto do contradomınio (pode ser igual).

5

A funcao e dita injetora se, para todos a, b ∈ A, tais que a 6= b, temos f(a) 6= f(b). E dita sobrejetora se

Im (f) = B. Se f e injetora e sobrejetora e chamada bijetora (ou correspondencia biunıvoca).

Definicao. Dado um subconjunto E de R, uma funcao real e uma funcao f : E → R.

Exemplos.

(1) f : R→ R, f(x) = x.

(2) f : R→ R, definida por f(x) =√x, nao e uma funcao. De fato, para cada x < 0,

√x nao existe.

(3) Pelo contrario, e bem definida a funcao f : [0,+∞)→ R, f(x) =√x.

(4) f : R→ R, f(x) = x2. Im (f) = [0,+∞).

(5) f : [0, 1]→ R, f(x) = x2. O domınio e a imagem desta funcao sao diferentes dos aqueles do exemplo

anterior. Se duas funcoes tem domınios diferentes sao duas funcoes, ainda se possuem a mesma lei.

(6) f : R→ R, f(x) =

{1/x se x 6= 0

0 se x = 0.

(7) f : [0, 4]→ R, f(x) =

{x+ 3 se 0 ≤ x ≤ 3

x2 − 5 se 3 < x ≤ 4.

E dito grafico de f o subconjunto de R2

G(f) = {(x, y) ∈ R2 tal que x ∈ E, y = f(x)}.

A funcao√x, assim como n

√x, e definida, lembre-se, gracas ao teorema de existencia da raiz quadrada,

mais em geral n-esima, que vamos aqui lembrar. A prova sera dada em seguida, precisando do conceito de

funcao contınua.

Teorema. (Existencia e unicidade da raiz n-esima. A demonstracao e adiada.) Dado x ≥ 0 e dado

n ∈ N, n ≥ 1, existe e e unico o numero positivo y tal que yn = x. y se chama raiz enesima de x.

Lembre que a prova da unicidade e facil e pode ser feita como exercıcio.

Exercıcios: dadas as funcoes seguintes, calcule a imagem dos conjuntos indicados ao lado

35. x3 + 2, (−1, 1) 36. x+ 3, [0, 5]

37. 2|x|, (−1, 3) 38. x2 + |x|, (−3, 2)

39. [x− 2]2, (−2, 2] 40. (difıcil) x(x−[x]), (−1,+∞)

No exercıcio acima [x− 2] e a parte inteira de x− 2. A parte inteira de um numero real x, denotada pelo

sımbolo [x], e o maior inteiro que nao ultrapassa x. Por exemplo: [1] = 1, [9/4] = 2, [−1/2] = −1, etc.

Exercıcio 41. Uma funcao f : R → R e chamada par se f(x) = f(−x), para todo x. E chamada impar

se f(x) = −f(−x), para todo x. Prove que x2 + 1 e par e quex3 − xx2 + 1

e impar.

Sejam A, B dois conjuntos, e f : A→ B uma funcao dada. Dado um subconjunto C de B, e dito imagem

inversa de C o conjunto {x ∈ A : f(x) ∈ C}.

6

Dada f : E → R e dado um suconjunto B de E, a funcao g : B → R, definida por g(x) = f(x) para todo

x ∈ B e dita restricao de f em B, o sımbolo e f |B.

Se f : A→ B e injetora, definimos a funcao inversa de f como a funcao g : Im f → A que associa a cada

y ∈ Im f o unico x ∈ A tal que f(x) = y. Neste caso f e tambem chamada inversıvel e a funcao inversa e

denotada, em geral, por f−1.

Observacao: cuidado em nao fazer confusao entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre e um

conjunto e a funcao inversa, quando existe, que e uma funcao. A notacao nao ajuda, sendo f−1 o mesmo

sımbolo para os dois conceitos.

Uma funcao f : E → R e dita monotona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada x1, x2 em

E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≤ f(x2) (resp. f(x1) < f(x2)).

Uma funcao f : E → R e dita monotona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada x1,

x2 em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≥ f(x2) (resp. f(x1) > f(x2)).

Exercıcio 42. Estudar a monotonia das funcoes seguintes:

(1) f : R→ R, f(x) = x2,

(2) f : [2, 6]→ R, f(x) = x4,

(3) f : [0,+∞)→ R, f(x) =√x,

(4) f : (−∞,−2), f(x) =√−x,

(5) f [−5,−4] ∪ [1, 2], f(x) = 1/x.

Exercıcio 43. Desenhar os graficos das funcoes acima.

Exercıcio 44. Provar que a soma e de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente. E o produto?

Exercıcios: dadas as funcoes seguintes, calcule a imagem inversa dos conjuntos indicados ao

lado

45. 2− x, (−10, 3] 46. x2 − x+ 3, (0, 5)

47.x

x− 2, R 48.

√|x− 1|, [0, 1]

49. [1 + x2], (1, 4) 50. sign (x2 − 2), (1/2, 2)

Determine, para cada funcao seguinte, o maior domınio onde e inversıvel.

51. f(x) =

{x+ 2 se 0 < x < 1

x+ 1 se 2 < x < 352. f(x) =

{x2 se − 1 < x ≤ 0

x− 1 se 1 ≤ x < 2

Exercıcio 53. Prove que uma funcao estritamente crescente ou decrescente e inversıvel. Se f : A→ Re inversıvel, necessariamente e estritamente monotona? Procure exemplos.

Exercıcio 54. A funcao f : R→ R, definida como f(x) = x2 e inversıvel?

Exercıcio 55. A funcao f : R→ R, definida como f(x) = x3 e inversıvel?

7

Exercıcio 56. A funcao f : [−3,−2] ∪ [0, 1]→ R, definida como f(x) = x2 e inversıvel?

Exercıcio 57. A funcao f : R→ R, definida como f(x) =√|x| e inversıvel?

Exercıcio 58. A funcao f : [0,+∞)→ R, definida como f(x) =√x3 + x4 + 2 e inversıvel?


As funcoes trigonometricas. Seja a circunferencia C do plano cartesiano, com centro na origem e raio

1, dita circunferencia trigonometrica. Observando a figura, A e o ponto de coordenadas (1, 0) enquanto P

e um ponto qualquer em C. Movendo-se P sobre a circunferencia, o arco de extremos A e P no sentido

anti-horario tem um comprimento entre 0 e 2π.

-

6

��

��

AO

P

Chamo x este comprimento, portanto x ∈ [0, 2π]. Definimos o seno de x, senx, como a ordenada de P ,

e o cosseno de x, cosx, como a abscissa di P .

O domınio pode ser estendido de [0, 2π] a R.

Portanto, as funcoes senx e cosx sao definidas em R com imagem igual ao intervalo [−1, 1]; sao periodicas

com perıodo 2π.

Consequencia imediata do teorema de Pitagora: sen 2x+ cos2 x = 1 para todo x ∈ R.

As formulas algebricas das funcoes trigonometricas podem ser provadas usando a ferramenta classica da

geometria euclidiana. Vamos lembrar algumas delas, sem prova.

Dados x, y ∈ R,

adicao:

sen (x+ y) = senx cos y + sen y cosx, cos(x+ y) = cosx cos y − senx sen y;

prostaferese

senx− sen y = 2 cosx+ y

2sen

x− y2

, cosx− cos y = −2 senx+ y

2sen

x− y2

.

Exercıcio 59. Determine sen 2x e cos 2x em funcao de senx e cosx (formulas de duplicacao). Determine

senx

2e cos

x

2em funcao de senx e cosx (formulas de divisao).

8

Uma outra funcao trigonometrica e a tangente:

tgx =senx

cosx,

definida quando o coseno nao e nulo; portanto o domınio e o conjunto{x ∈ R : x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z

}.

Exercıcio 60. Provar que a tangente e periodica com perıodo π. Dica: use as formulas de duplicacao.

A funcoes trigonometricas nao sao invertıveis (porque sao periodicas). Porem, observamos que senx e

estritamente crescente em [−π/2, π/2]. Entao, a restricao de senx a [−π/2, π/2] e invertıvel. A sua funcao

inversa se chama arcoseno, arcsen : [−1, 1]→ R com imagem igual a [−π/2, π/2].

Analogamente, cosx e invertıvel em [0, π]. A sua funcao inversa se chama arcocosseno, arccos : [−1, 1]→R, com imagem [0, π].

A tangente e invertıvel em (−π/2, π/2). A sua funcao inversa se chama arcotangente, arctg : R → R, e

tem imagem (−π/2, π/2).

grafici di f(x) = senx e f(x) = cosx.

-

6

y = senx

-

6

y = cosx

grafico di f(x) = tgx.

-

6

y = tgx

graficos de f(x) = arcsenx, f(x) = arccosx e f(x) = arctgx.

-

6

-

6

-

6

Exercıcio 61. Desenhe o grafico de f(x) = [2x+ 1] (parte inteira).

9

Exercıcio (difıcil) 62. Desenhe o grafico de f(x) = 1 + 2

[x

1 + x2

](parte inteira).

Exercıcios. Diga se as funcoes seguintes sao periodicas. Se sim, encontre o perıodo.

63. x cosx, 64. 6 sen 2x,

65. 1 + tgx, 66. sen (x2),

67. 4, 68. [x],

69. cos 4x, 70. sen (3x).

Exercıcios. Diga se as funcoes seguintes sao pares ou impares.

71. x2 + 1, 72.senx

x,

73.x3 − xx2 + 1

, 74. [x],

75. senx2, 76. cos 3x.

Uma outra famılia de funcoes sao as potencias com expoente racional. Se n e inteiro, n ≥ 1, sabemos que

existe e e unica a raiz n-esima de x (veja-se o teorema da pagina 5). Portanto e definida a funcao n√x. Se

n e par, o domınio e [0,+∞), se n e impar, o domınio e R. A raiz n√x pode ser denotada pelo sımbolo x

1n .

Dado um racional positivo qualquer, m/n, onde m e n sao primos ente si, e definida a funcao xm/n = n√xm,

cujo domınio e [0,+∞) se n e par, enquanto e R se n e impar.

Dado um racional negativo, m/n, onde m,n ∈ Z sao primos ente si, e definida a funcao xm/n =1

x−m/n,

cujo domınio e (0,+∞) se n e par, enquanto e R\{0} se n e impar.

Exercıcio 77. Escreva em detalhes o processo resumido acima. Ou seja, a construcao das potencias com

expoente racional a partir das potencias com expoente inteiro e positivo.


Exercıcio 78. Determine para quais valores do expoente r racional a funcao xr pode ser definida em tudo

R.

Exercıcio 79. Dado a < 0, a gente poderia definir a0 = 1. O leitor explique quais problemas provocaria

uma definicao deste tipo.

Exercıcio 80. seja a positivo, real, fixado e diferente de 1. Considere a funcao f(r) = ar, definida em Q.

Prove que

(1) f e estritamente crescente se a > 1;

(2) f e estritamente decrescente se a < 1.

10

Agora, por meio do exercıcio acima, podemos finalmente dar a definicao das potencias com expoente real

(de fato, irracional, porque se o expoente for racional, acabamos de fazer a construcao). Ou seja podemos

definir 2π, por exemplo. O metodo e o seguinte. Sejam a > 0 e b ∈ R, fixados. Suponhamos primeiramente

que a seja maior de 1. Definimos

ab = sup{ar : r ∈ Q e r ≤ b}.

Se for 0 < a < 1, definimos analogamente

ab = inf{ar : r ∈ Q e r ≥ b}.

Exercıcio 81. O leitor analise esta definicao, conforme foi feito na aula.

Podemos provar, mas e um exercıcio longo e cansativo, que as potencias com expoente real verificam as

classicas propriedades das potencias, que daqui para frente serao normalmente usadas quando for necessario.

Sejam duas funcoes f : A→ R e g : B → R, tais que Im f ⊆ B. Definimos funcao composta g◦f : A→ R,

a funcao

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Analogamente, se Im g ⊆ A, definimos f ◦ g : A→ R como (f ◦ g)(x) = f(g(x)).

Escreva as composicoes f ◦ g e g ◦ f das funcoes seguintes, determinando os domınios das

funcoes obtidas

82. f(x) = x+ x3, g(x) = 3− x 83. f(x) = x2, g(x) =√x

84. f(x) =x+ 1

x− 1, g(x) = 2− x2 85. f(x) =

1

x2, g(x) = (

√x)2

86. f(x) =1 + x

x, g(x) = 2− x 87. f(x) = 2x, g(x) = 3x− 1

Escreva as funcoes seguintes como composicao de funcoes. (As composicoes obtidas podem

nao ser as unicas possıveis.)

88.x2√x2 − 1

89. x4

Uma funcao e dita limitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela e limitada (superiormente,

inferiormente). Neste caso o supremo (ınfimo) de f , sup f (inf f) e, por definicao, o supremo (ınfimo) de

Im f .


Introducao ao conceito de limite de uma funcao.

Primeiro tipo de limite.

11

Definicao 1. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I (as duas condicoes nao sao necessari-

amente alternativas). Seja f : I → R uma funcao dada. O numero real l e dito limite de f(x) para x que

tende para x, em sımbolos escreve-se

limx→x

f(x) = l,

se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f(x) − l| < ε para cada x ∈ I, tal que 0 < |x − x| < δ e tal que

x 6= x.

Exemplo na sala de aula: podemos provar, usando a definicao acima, que

limx→0

x2 = 0.

Exercıcios: prove, usando a definicao de limite, que os limites seguintes sao corretos. Os exercıcios seguintes

sao muitos. Faca somente um ou dois.

90. limx→3

x = 3 91. limx→0

(x2 − 1) = −1

92. limx→0

1

xnao existe 93. lim

x→1x3 = 1

94. limx→0|x| = 0 95. lim

x→2[x] nao existe

96. limx→−1−

[x] = −2 97. limx→0

x2/|x| = 0

Segundo tipo de limite.

Definicao 2. Seja f : (a,+∞) → R uma funcao dada. O numero real l e dito limite de f(x) para x que

tende para +∞, em sımbolos escreve-se

limx→+∞

f(x) = l,

se, para cada ε > 0, esiste r ∈ R tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.

Exercıcio 98. Escreva a definicao acima no caso analogo onde x tende para −∞

Exercıcio 99. Prove, usando a definicao acima, que limx→+∞ 1/x = 0.


Terceiro tipo de limite.

Definicao 3. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I que pode ou nao pertencer a I. Seja

f : I → R uma funcao dada. Dizemos que +∞ e o limite de f(x) para x que tende para x, em sımbolos

escreve-se

limx→x

f(x) = +∞,

se, para cada m ∈ R, esiste δ > 0 tal que f(x) > m para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.

12

Exercıcio 100. Escreva a definicao acima no caso analogo onde o limite e −∞.

Exercıcios: prove, usando a definicao de limite, que os limites seguintes sao corretos.

101. limx→0

1

x2= +∞ 102. lim

x→+∞

1

x2= 0

Exercıcios. Escreva as funcoes seguintes como soma de uma funcao par e de uma impar.

103. x2 − x+ 3 104.x− 1

x2 + 1

105. sen 2x+ cosx

2− x 106. f(x)

No ultimo exercıcio (que e difıcil) f(x) e uma funcao qualquer. Pede-se que f seja escrita como g + h

onde g e par e h e impar e as duas funcoes sao obtidas atraves de operacoes algebricas oportunas sobre f .

Em sala de aula nao foi considerado um quarto tipo (o seguinte) de limite, que se torna facil a luz dos

tres primeiros e que o leitor pode entender sem dificuldade.

Definicao 4. Seja f : (a,+∞) → R uma funcao dada. Dizemos que +∞ e o limite de f(x) para x que

tende para +∞, em sımbolos escreve-se

limx→+∞

f(x) = +∞,

se, para cada m ∈ R, esiste r ∈ R tal que f(x) > m para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.

Exercıcio 107. Escreva a definicao acima nos casos analogos onde x tende para −∞ e o limite e −∞(quantos sao os casos?)

Exercıcios: prove, usando a definicao de limite, que os limites seguintes sao corretos.

108. limx→0

1

x4= +∞ 109. lim

x→+∞x = +∞

110. limx→−∞

x2 = +∞ 111. limx→+∞

x

x+ 1= 1

Teorema 5 (Algebra dos limites - formas finitas - (sem prova)). Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou seja

x um extremo de I que pode ou nao pertencer ao intervalo. Sejam f, g : I → R duas funcoes dadas. Sejam

dados os limites

limx→x

f(x) = l ∈ R, e limx→x

g(x) = m ∈ R.

Entao,

(1) limx→x(f(x) + g(x)) = l +m (soma);

(2) limx→x(f(x)− g(x)) = l −m (diferenca);

(3) limx→x(f(x) · g(x)) = l ·m (produto);

(4) limx→x(f(x)/g(x)) = l/m, se m 6= 0 (quociente).

13

Os limites limx→x

x = x e, dada uma constante real a, limx→x

a = a podem ser provados so usando a definicao.

A partir dos dois resultados, todos os limites de polinomios e funcoes racionais (razoes de polinomios), se

sao das formas finitas acima, podem ser obtidos usando a algebra dos limites.

Um outra lista de limites que vamos dar sem prova e a seguinte:

seja α ∈ R fixado e a funcao xα definida in (0,+∞). Entao:

limx→x

xα = xα;

limx→+∞

xα = +∞, se α > 0; limx→+∞

xα = 0, se α < 0;

Observacao: o leitor pode observar facilmente que, no caso que α ∈ Z, os limites acima podem ser

deduzidos sabendo que limx→x

x = x e usando a algebra dos limites no caso do produto. Se o expoente nao for

inteiro precisa usar a definicao para provar os limites acima.

Exercıcio 112. Nos casos particulares em que o expoente seja de formas oportunas, o domınio da funcao

xα pode nao ser limitado ao intervalo (0,+∞). Analize os varios casos e determine as varias extensoes

possıveis do domınio.

Outros limites que vamos dar sem prova sao os seguintes:

limx→x

xx = ax;

limx→−∞

ax = 0, se a > 1; limx→−∞

ax = +∞, se 0 < a < 1;

limx→+∞

ax = +∞, se a > 1; limx→+∞

ax = 0, se 0 < a < 1;

Exercıcio 113. O teorema da Algebra dos limites pode ser escrito facilmente para funcoes f e g nos casos

em que queremos estudar limx→+∞ f(x) e limx→+∞ f(g) (e analogamente quando x → −∞). O leitor

escreva os enunciados correspondentes.


Teorema 6 (Algebra dos limites – Formas infinitas resolvıveis que podem ser resovidas). (Sem prova) Seja

I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R duas funcoes dadas; ou sejam

f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Temos os casos seguintes:

1) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = +∞;

2) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = −∞;

3) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = +∞, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = +∞;

4) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = −∞, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = −∞;

14

Produto: limx→x(ou x→±∞)

(f(x) · g(x)) = +∞ nos casos seguintes:

5a) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

5b) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m < 0;

5c) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = +∞;

5d) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = −∞;

limx→x(ou x→±∞)

(f(x) · g(x)) = −∞ nos casos seguintes:

6a) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

6b) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

6c) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = −∞;

Quociente: limx→x(ou x→±∞)

(f(x)/g(x)) = +∞ nos casos seguintes:

7a) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

7b) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m < 0;

7c) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞ ou l > 0, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = 0, e g(x) > 0 em um intervalo (x−δ, x+δ) e x 6= x;

7d) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞ ou l < 0, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = 0, e g(x) < 0 em um intervalo (x−δ, x+δ) e x 6= x;

limx→x(ou x→±∞)

(f(x)/g(x)) = −∞ nos casos seguintes:

7a) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

7b) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m < 0;

7c) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞ ou l < 0, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = 0, e g(x) > 0 em um intervalo (x−δ, x+δ) e x 6= x;

15

7d) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞ ou l > 0, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = 0, e g(x) < 0 em um intervalo (x−δ, x+δ) e x 6= x;

Os casos acima representam as formas resolvıveis porque conseguimos estabelecer uma regra geral. Os

casos abaixo sao as assim chamadas formas indeterminadas. Nao temos de fato a possibilidade de escrever

uma algebra dos limites para as formas seguintes. A existencia e o valor dos limites nos casos seguintes

depende do exercıcio:

+∞−∞, 0 · (±∞), ±∞/±∞, 0/0.


Vamos apresentar agora outros limites importantes, sem demonstracao.

Dado a ∈ R, a > 0, a 6= 1, dado x > 0, ha limx→x

loga x = loga x, para cada a > 0, a 6= 1 x > 0;

limx→+∞

loga x = +∞, se a > 1; limx→+∞

loga x = −∞, se 0 < a < 1;

limx→0

loga x = −∞, se a > 1; limx→0

loga x = +∞, se 0 < a < 1;

Exercıcios: calcule os limites seguintes (se existem)

114. limx→0

x

x+ 1115. lim

x→1

x2 + 1

x− 1

116. limx→0

x3 + x+ 3

4x2 − 2x+ 1117. lim

x→+∞

2x+ x2

2x2 + x− 1

118. limx→0

(x− 1)√x2 + 1

119. limx→−1+

x2 + 1

x− 1120. lim

x→−∞

[x]− x2

121. limx→+∞

x3 + 3x− 2

x2 − 2x+ 1122. lim

x→0

x2 + x− 4

2x2

123. limx→2

x2 + x− 5

x2 − 4x+ 4

124. limx→+∞

√x2 + 1− x 125. lim

x→+∞

√x2 + 1− 2x

126. limx→−∞

√x2 + 1− x 127. lim

x→+∞

x3 − 1

x2 − 1

128. limx→+∞

(√x− 4−

√x+ 5) 129. lim

x→−∞(√x2 − x−

√3− x)

Exercıcio 130. Prove a formula seguinte: (xn− 1) = (xn−1 + xn−2 + ...+ x+ 1)(x− 1), onde n e inteiro

positivo fixado. Procure uma formula analoga para a fatoracao de xn + 1

16

10. Segunda-feira, 2 de abril de 2018

Exercıcio 131. Aqui em seguida questoes de varia natureza.

1. Estude a inequacao√x− 1 < x− 3.

2. Prove que a soma de dois numeros racionais e racional. Prove que a soma de um numero racional e

um numero irracional e irracional.

Em geral: uma propriedade P e chamada aditiva se, toda vez que duas entidades a e b verificam P,

tambem a soma a+ b verifica P. O leitor escreva algumas propriedades aditivas que encontrou no curso ate

agora.

3. Prove que [x] + [y] ≤ [x+ y] para todo x, y ∈ R ([x] denota a parte inteira de x).

4. Determine a imagem do intervalo (−1, 1) atraves da funcao x3 + 2. Para abordar o exercıcio uma

tecnica possıvel e a seguinte: use a propriedade do ordenamento dos numeros reais segundo a qual ac ≤ bc

se a ≤ b e c > 0. Use para provar que x3 (e consequentemente x3 + 2) e uma funcao crescente.

5. Determine a imagem do intervalo (−2, 1] atraves da funcao [x−2]2 (de novo [·] denota a parte inteira).

6. Determine a imagem inversa de (0, 5) atraves da funcao x2 − x+ 3.

7. Escreva f(x) =x− 1

x2 + 1como soma de uma funcao par e de uma impar.

8. Desenhe o grafico da funcao f(x) = max{x, x2} e da funcao g(x) = max{|x|, x2}.

9. Calcule o domınio de arccosx

x+ 1.

Teorema 7 (Confronto dos limites – com prova do primeiro resultado feita na sala de aula e

que pode ser cobrada nos exercıcios das provas).

Primeiro resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Ou, seja I um intervalo nao limitado. Sejam

f, g, h : I → R funcoes dadas. Suponhamos que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para cada x. Sejam dados os limites

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l, e limx→x

(ou x→±∞)

h(x) = l, onde l ∈ R.

Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = l.

Exercıcio 132. Prove o resultado acima nos tres casos enunciados.

Segundo resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Ou, seja I um intervalo nao limitado. Sejam

f, g : I → R funcoes dadas. Suponhamos que f(x) ≤ g(x) para cada x. Se

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞.

17

entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = +∞.

Se, por outro lado

limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = −∞.

entao,

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞.

Exercıcio 133. Prove o teorema em todos seus casos.

Exercıcio 134. Prove, usando a definicao, que limx→0 |x| = 0.

Exercıcio 135. Prove, usando a definicao, que limx→+∞ n√x = +∞, para cada n ≥ 1, n ∈ N.

Exercıcio 136. (dıficil) Prove, usando a definicao, que limx→+∞ senx nao pode ser zero.

Exercıcio 137. Usando o comportamento de senx, tente entender (e desenhar o grafico) o comportamente

de sen (1/x) quando, em particular, x e proximo de zero.

Aplicando o teorema do confronto podemos resolver o exercıcio seguinte.

Exercıcio 138. Prove que limx→+∞( senx+ x) = +∞.

Exercıcio 139. Prove que limx→0 senx = 0.

Exercıcio 140. limx→+∞senx

x= 0.

Exercıcio 141. Prove que, se limx→c f(x) = 0 e g(x) e limitada, entao limx→c(f(x) · g(x)) = 0.

11. Quarta-feira, 4 de abril de 2018

Teorema 8 (limite de funcoes compostas – sem prova). Seja f(x) dada e suponhamos que exista o limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.

Seja g(x) uma outra funcao dada e suponhamos que exista o limite

limx→l

g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.

Suponhamos que a composicao g(f(x)) seja bem definida e que, se l ∈ R, f(x) 6= l para x 6= x e x proximo

de x. Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(f(x)) = m.

18

Observacao: parece estranha a hipotese f(x) 6= l para x 6= x e x proximo de x. Todavia, se nao for

verificada a condicao, o limite da composicao pode nao ser m, como no caso seguinte:

f(x) = 0,∀x ∈ R, g(x) =

{0 se x 6= 0

1 se x = 0.

E facil ver que limx→0 g(f(x)) = 1, enquanto limx→0 g(x) = 0.

Uma condicao que pode substituir a condicao acima e g(l) = m, se m e l for reais. Esta condicao sera

encontrada no caso das funcoes contınuas.

Exercıcio 142. Prove que limx→0 cosx = 1. Use o limite analogo sobre o seno e o teorema anterior.

Pode ser provado (nao iremos dar os detalhes) que para todos x ∈ R ha limx→x senx = senx e

limx→x cosx = cosx.

O limite seguinte e muito importante e pode ser provado pelo teorema do confronto. O leitor faca o

exercıcio seguinte usando tambem a construcaogeometrica vista em sala de aula.

Exercıcio 143. limx→0senx

x= 1.


144. limx→0

(x− 1)√x2 + 1 145. lim

x→+∞( senx+ x)

146. limx→1

x2 + 1

x− 1147. lim

x→−∞([x] + x)

148. limx→0

x2 + 1

x− 1149. lim

x→2x(x+ 2)(x− 3)

150. limx→1

x3 − 1

x2 − 1151. lim

x→0

3√

1 + x− 3√

1− xx

152. limx→0

√2 + x−

√2

x153. lim

x→0

1

x

(3x− 2

2x+ 3− 3x+ 2

2x− 3

)154. lim

x→0

1− cosx

x senx155. lim

x→π

1 + cosx

π − x

156. limx→0

1

1− cosx157. lim

x→02/|x|

158. limx→+∞

x2 + 3

4x2 + x159. lim

x→+∞

3− x3 − x1− 2x2

160. limx→+∞

(x2

x+ 1− x)

161. limx→+∞

x2 + senx

2x+ x2 + 3

162. limx→+∞

√1 + x2 +

√x√

x− x163. lim

x→−∞x(√

1 + x4 − x2)

Exercıcio 164. Calcule os limites seguintes, explicando, nos detalhes, como devem ser usados os ultimos

teoremas encontrados.

limx→+∞√x2 + 1, limx→0

senx2

x2, limx→0

sen 2x

3x, limx→0

1− cos√x

x.

19

Vamos agora lebrar um conceito ja encontrado

Definicao 9 (limites direito e esquerdo). Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma

funcao dada. Denotamos por

g : (x, b)→ R, g(x) = f(x)

a restricao de f a (x, b). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e o limite direito de f(x) para x que tende para x,

em sımbolos e

limx→x+

f(x) = l,

se

limx→x

g(x) = l.

Analogamente, denotamos por

h : (a, x)→ R, h(x) = f(x)

a restricao de f a (a, x). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e o limite esquerdo de f(x) para x que tende para

x, em sımbolos e

limx→x−

f(x) = l,

se

limx→x

h(x) = l.

Teorema 10 (sem prova). Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma funcao dada.

Entao,

limx→x

f(x) = l se e somente se limx→x+

f(x) = l = limx→x−

f(x).

Teorema 11 (conservacao do sinal – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas).

Sejam dados uma funcao f real definida em um intervalo I e um ponto x ∈ I ou extremo de I. Seja

limx→x

f(x) = l > 0.

Entao existe δ > 0 tal que f(x) > 0 para cada x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ I e x 6= x.

Obviamente o teorema vale no caso de limite negativo.


165. limx→0

(x− 1)√x2 + 1 166. lim

x→+∞( senx+ x)

167. limx→1

x2 + 1

x− 1168. lim

x→−∞([x] + x)

169. limx→0

x2 + 1

x3170. lim

x→2x(x+ 2)(x− 3)

171. limx→1

x3 − 1

x2 − 1172. lim

x→0

3√

1 + x− 3√

1− xx

173. limx→0

√2 + x−

√2

x174. lim

x→0

1

x

(3x− 2

2x+ 3− 3x+ 2

2x− 3

)

20

175. limx→0

1− cosx

x senx176. lim

x→π

1 + cosx

π − x

177. limx→0

1

1− cosx178. lim

x→02/|x|

179. limx→+∞

x2 + 3

4x2 + x180. lim

x→+∞

3− x3 − x1− 2x2

181. limx→+∞

(x2

x+ 1− x)

182. limx→+∞

x2 + senx

2x+ x2 + 3

183. limx→+∞

√1 + x2 +

√x√

x− x184. lim

x→−∞x(√

1 + x4 − x2)

Exercıcio 185. aplique o teorema dos limites de funcoes compostas para calcular o limite

limx→π

1 + cosx

π − x

Exercıcio: calcule, se existem, os limites seguintes:

186. limx→+∞

senx+ x 187. limx→−∞

[x]− x2

188. limx→+∞

senx√x+ cosx

189. limx→−∞

√x2 − 2x+ x

190. Diga qual e, entre as seguintes, a definicao correta do limite limx→4

f(x) =

7.

a) Para cada λ e µ positivos, se |x−4| < µ e x 6= 4 entao, |f(x)− 7| < λ.

b) Para cada λ > 0 e para cada µ >

0, se |x−4| < µ entao, |f(x)−7| < λ.

c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e

existe x tal que |x− 4| < λ e |f(x)−7| < µ.

d) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal

que se |x − 4| < λ e x 6= λ entao,

|f(x)− 7| < µ.

e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal

que se |x − 4| < λ e x 6= 4 entao

|f(x)− 7| < µ.

f) Nenhuma das respostas acima e

correta.

191. Suponhamos que

limx→+∞

f(x) = −∞.

Diga qual, entre as afirmacoes seguintes, e correta .

a) Se x > 0 entao f(x) < 0. b) Existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para

cada x > ε.

c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal

que para x > η temos f(x) > ε > 0.

d) Nenhuma das respostas acima e

correta.

21

192. Consideramos a proposicao seguinte: dadas f e g definidas em um

intervalo I, seja x0 ∈ I fixado. Suponhamos que f(x) ≥ g(x) para cada x e

que limx→x0

f(x) = 0. Entao, limx→x0

g(x) = 0. A proposicao e:

a) Verdadeira se colocamos a hipotese

suplementar g(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

b) Verdadeira se colocamos a

hipotese suplementar g(x) ≥ 0,

∀x ∈ I.

c) Verdadeira sem necessidade de

outras hipoteses suplementares.

d) Verdadeira se colocamos a

hipotese suplementar f(x0) =

g(x0) = 0.

e) Falsa, tambem colocando as

hipoteses suplementares acima.

193. Dada f : R→ R, suponhamos que limx→+∞

f(x) = −∞. Entao:

a) f e decrescente. b) limx→+∞

f(x2) = +∞.

c) ∀m ≥ 0, temos f(x) ≤ 0 se x ≥ m. d) ∀m ≥ 0 e ∀k ≥ 0 f(x) ≤ k se

x ≥ m.

e) limx→−∞

f(x) = +∞ f) Nenhuma das respostas acima e

correta.

194. Dada f : N → N, f(x) = x+ 1 diga quais (podem ser mais que uma)

das afirmacoes sao corretas.

a) f e injetora. b) f e sobrejetora.

c) f e limitada inferiormente. d) A notacao f(x) = x + 1 non faz

sentido porque o domınio e N e a

variavel a ser usada deve ser deno-

tada por n.

Exercıcio 195. Procure uma f : R → R que nao seja crescente, mas que

verifique limx→+∞

f(x) = +∞. Esta funcao deve ser definitivamente crescente?

Isto e, existe r tal que f e crescente em (r,+∞)?

12. Sexta-feira, 6 de abril de 2018 e 13. Segunda-feira, 9 de abril de 2018

Exercıcios em sala de aula. Preparacao para prova P1.


Prova P1

15. Sexta-feira, 13 de abril de 2018

22

Introducao as funcoes contınuas

Definicao 12. Sejam I intervalo de R, f : I → R uma funcao dada e x ∈ I dado. f e dita contınua em x

se limx→x

f(x) = f(x).

Em outras palavras, f e dita contınua em x se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈(x− δ, x+ δ) ∩ I temos f(x) ∈ (f(x)− ε, f(x) + ε).

f e dita contınua em I (ou, simplesmente, contınua) se e contınua em todos os pontos de I.

O conceito de continuidade de uma funcao e pontual. Ou seja, dizemos que uma funcao e contınua

em um ponto. Outros conceitos, ja encontrados, sao so globais: invertibilidade, limitacao de uma funcao,

monotonia. Nao faz sentido, por exemplo, dizer que uma funcao e limitada (ou inversıvel, ou crescente) em

um ponto.

Exemplos: diretamente da definicao e dos resultados sobre os limites vistos nas aulas anteriores segue

que sao contınuas as funcoes seguintes: os polinomios P (x), as funcoes racionais P (x)/Q(x) nos pontos x

tais que Q(x) 6= 0, f(x) = xα (e portanto, em particular, f(x) = n√x), as funcoes trigonometricas, as funcoes

exponenciais e os logaritmos.

Iremos ver em seguida uma outra prova do fato que n√x e contınua.

Definicao 13. Dada f : I → R e dado x ∈ I, se f nao for contınua em x, dizemos que f e descontınua em

x ∈ I e que x e um ponto de descontinuidade.

Portanto nao faz sentido dizer que x e um ponto de descontinuidade para f se x nao pertence ao domınio

da funcao.

Exercıcio 196. Determine em quais pontos sao contınuas as funcoes seguintes (determine, inclusive, os

pontos de descontinuidade):

f(x) = 1/x, f(x) =

{1/x se x 6= 0

0 se x = 0.g(x) =

{−x2 + 1 se x ≥ 2

1− 2x se x < 3.f(x) =

senx

x

g(x) =

{cosx se x > π

−1 se x < π.f(x) =

{x+ 3 se x > 1

2− x2 se x < 1.g(x) =

x2 se x > 1

1 se x = 1

x2 se x < 1.

Exercıcio 197. Determine em quais pontos sao contınuas a funcao sinal, a funcao parte inteira e a funcao

de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade).

Teorema 14 (Algebra das funcoes contınuas – sem prova). Sejam f, g : I → R contınuas em um ponto

x ∈ I. Entao, sao contınuas em x: f + g, f − g, f · g, f/g se x 6= 0.

Exercıcio 198. De a prova da continuidade da soma no teorema anterior, usando com cuidado ε e δ.

Teorema 15 (Continuidade das funcoes compostas – sem prova). Seja f : I → R contınua em x ∈ I. Seja

J um intervalo que contem Im f e seja g : J → R contınua em y = f(x). Entao, g ◦ f e contınua em x.

23

Exercıcio 199. Determine em quais pontos sao contınuas as funcoes seguintes (determine, inclusive, os

pontos de descontinuidade):

f(x) =

{x/|x| se x 6= 0

0 se x = 0.f(x) =

x+ 2

|x|+ 1se x ≥ 0

2− x se x < 0.

f(x) =

{sen (1/x) se x 6= 0

0 se x = 0.

f(x) =

x+ |x|x2

se x 6= 0

0 se x = 0.f(x) = [x]2 − x2

Exercıcio 200. (muito muito dıficil) Seja f : (0, 1]→ R definida como

f(x) =

{1/n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m ≤ n)

0 se x e irracional.

Prove que f e contınua nos pontos irracionais de (0, 1] e discontınua nos

racionais.

Exercıcio 201. Determine as solucoes dex2 − 2x

|x− 1|≥ 1. Em seguida, determine a imagem da funcao

f(x) =x2 − 2x

x− 1, definida em [0,+∞).

Exercıcio 202. Determine o domınio de√

2 senx+ 1. A funcao e crescente? responda usando a definicao

de funcao crescente.

Exercıcio 203. Calcule, se existem, os limites seguintes: limx→0

√x+ 1 + x2 − 1

x, limx→0

(√x+ 1 + x2 − 1√

x· sen

1

x

)

Exercıcio 204. Determine n ∈ N tal que o limite seguinte seja finito e nao nulo: limx→0

sennx(√

1 + x2 − 1)

x3 + x4.

Teorema 16 (da conservacao do sinal para as funcoes contınuas – com prova feita na sala de aula e que

pode ser cobrada nos exercıcios das provas). Sejam I intervalo e f : I → R contınua em x ∈ I. Suponhamos

f(x) 6= 0. Entao existe δ > 0 tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(x) para todo x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ I.

Exercıcio 205. De a demonstracao do teorema anterior.

Vamos colocar aqui um limite fundamental que foi apresentado em uma das aulas anteriores e foi dado

sem demonstracao.

limx→+∞

(1 +

1

x

)x= e, e lim

x→−∞

(1 +

1

x

)x= e.

Como dito, nao foi dada (nao sendo simples) a demonstracao dos dois limites acima. Pegando o primeiro

dos dois, de fato se prova que f(x) =

(1 +

1

x

)xe estritamente crescente e limitada e portanto converge,

quando x → +∞, a um numero positivo real. Este numero e chamado e e essa e uma possıvel definicao

24

de e. Sendo f(1) = 2, segue imediatamente que e > 2. Com outras tecnicas de calculo pode se provar que

e < 3. Tambem pode ser provado que e e irracional.

Se x for negativo, f(x) e definida quando x < −1 porque a base da potencia tem que ser positiva. E,

curiosamente, o limite quando x→ −∞ existe e e o mesmo valor e.

Em sala de aula foram provados os limites seguintes, como consequencia direta dos limites acima. Coloco

eles aqui como exercıcio junto com outros limites.

Exercıcio Calcule os limites seguintes.

206. limx→+∞

log

(1 +

1

x

)x207. lim

x→0

log(1 + x)

x

208. limx→0

ex − 1

x209. lim

x→0

log cosx

x2

210. limx→+∞

(1 +

a

x

)x211. lim

x→+∞

(1 +

1

x2

)xCalcule como depende de a ∈ R o valor do limite do exercıcio 210.

16. Segunda-feira, 16 de abril de 2018

Teorema 17 (do anulamento para as funcoes contınuas – com prova feita na sala de aula e que pode ser

cobrada nos exercıcios das provas). Seja f : [a, b] → R contınua (em todo o domınio). Seja f(a)f(b) < 0.

Entao, existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Exercıcio 212. De a demonstracao do teorema acima.

Uma consequencia do teorema do anulamento e o resultado seguinte.

Teorema 18 (dos valores intermediarios para as funcoes contınuas – com prova feita na sala de aula e que

pode ser cobrada nos exercıcios das provas). Seja I intervalo (qualquer) e f : I → R contınua. Entao, f

atinge todos os valores entre inf f e sup f

Lembramos que inf f e sup f sao, respectivamente, o ınfimo e o supremo de Im f . O teorema diz que o

intervalo aberto (inf f, sup f) e contido em Im f . Nao podemos saber, em geral, se [inf f, sup f ] = Im f (ou

um dos extremos pertence a imagem), porque nao sabemos a priori se f possui maximo ou mınimo.

Uma consequencia (corolario) imediato do teorema e que, dada uma funcao contınua definida em um

intervalo, a imagem e um intervalo.

Atencao ao fato que se o domınio nao e um intervalo, a imagem nao necessariamente e um intervalo.

Exercıcio 213. De a demonstracao do teorema dos valores intermediarios.

Uma aplicacao importante do teorema dos valores intermediarios e a existencia da raiz quadrada de um

numero positivo qualquer. Para prova-lo, aplique o teorema a funcao x2 definida em (0,+∞) (lembrando a

definicao correta de raiz quadrada).

25

Uma outra aplicacao e a existencia de, pelo menos, uma solucao real de qualquer equacao polinomial

de grau impar. Devido ao fato que, se P (x) e um polinomio de grau impar, limx→+∞ P (x) = +∞ se o

coeficiente da potencia de grau maximo e positivo (−∞, se negativo) e limx→−∞ P (x) = −∞ (+∞, se

aquele coeficiente e negativo).

Podemos construir algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um numero positivo, como para aprox-

imar as solucoes reais de equacoes polinomiais ou de equacoes mais complicadas (ex. x tgx = p, onde p e

dado).

Exercıcios:

214. Construa algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um numero positivo e para determinar

uma solucao (aproximada) de uma equacao polinomial de grau impar (escolha o polinomio e o erro na

aproximacao)

215. Prove que a equacao x3 + x = a possui uma e so uma solucao real para cada a ∈ R dado.

216. Seja f : R → R contınua. Suponhamos que x − 5 < f(x) < x + 1 para cada x ∈ R. Prove que a

equacao f(x) = 0 possui pelo menos uma solucao.

217. Procure Im f , onde f e a funcao do exercıcio acima.

218. Prove que a equacao x8 + 5x5 − 6x4 + 2x3 + 3x− 1 = 0 possui pelo menos uma solucao real.

* * *

E interessante a relacao entre continuidade e invertibilidade de uma funcao. E importante lembrar (ou

observar, se nao lembra) que e obvio que uma funcao estritamente monotona e inversıvel. O vice-versa e

falso.

Exercıcio 219. Consideramos as funcoes seguintes:

f(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

x− 1 se x ∈ [2, 3]g(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

3− x se x ∈ [1, 2]h(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

5− x se x ∈ [2, 3]

Desenhe o grafico de f , g e h. Determine se sao contınuas, inversıveis, monotonas, e se o domınio e um

intervalo. Se sao inversıveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se sao contınuas, monotonas,

e se o domınio e um intervalo.

Em particular, a funcao f do exercıcio e contınua e inversıvel, mas a inversa e descontınua. A h e contınua

e inversıvel, mas nao e monotona. Esta falta de propriedade acontece porque o domınio nao e um intervalo.

Teorema (monotonia de uma funcao inversıvel). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R contınua

e inversıvel. Entao e monotona.

O resultado mais importante e o seguinte (cuja prova e baseada no teorema acima)

Teorema (continuidade da funcao inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R contınua e

inversıvel. Entao a funcao inversa f−1 e contınua.

26

A continuidade da funcao n√x, definida em [0,+∞) se n e par, e em R se n e impar, e uma consequencia

do teorema acima, embora temos provado (no capıtulo sobre os limites) que limx→x√x =

√x (aula 25

marco).

Sao contınuas as funcoes trigonometricas inversas: arcsen, arccos e arctg .


Concluımos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso. Lembre

que, dada f : A→ R, onde A e um conjunto qualquer, o maximo de f e definido como o maximo da imagem

de f , se existe. Enquanto o mınimo de f e definido como o mınimo da imagem de f (se existe).

Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma funcao f : [a, b]→ R contınua possui maximo e mınimo.

Exercıcios:

220. Seja f : [0, 1] → R, f(x) = x − [x] ([x] e a parte inteira de x). Prove que f nao possui maximo.

Qual hipotese do Teorema de Weierstrass nao e respeitada?

221. Seja f : [0, 1) → R, f(x) = x. Prove que f nao possui maximo. Qual hipotese do Teorema de

Weierstrass nao e respeitada?

222. Seja f : [0,+∞) → R, f(x) = x. Prove que f nao possui maximo. Qual hipotese do Teorema de

Weierstrass nao e respeitada?

223. Procure exmplos de funcoes que nao respeitam algumas das hipoteses do Teorema de Weierstrass,

mas que possuem maximo e mınimo.

* * *

Introduzimos agora a nocao de funcao derivavel e de derivada de uma funcao.

Seja I um intervalo de R, f : I → R uma funcao dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equacoes

y = f(x0) + m(x − x0) representam as retas secantes ao grafico de f no ponto (x0, f(x0)) (so excluindo a

reta vertical que tem equacao x = x0).

Seja agora x ∈ I e o correspondente ponto no grafico de f , (x, f(x)). A razao

f(x)− f(x0)

x− x0se chama razao incremental de f , relativa a x0 e x e e o coeficiente angular da reta secante ao grafico de f

por (x0, f(x0)) e (x, f(x)). Se existe o limite desta razao quando x → x0, este limite da, intuitivamente, o

coeficiente angular de uma “reta posicao limite” das secantes (quando x→ x0).

Definicao 19. Se existe e e finito o limite

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= l.

entao dizemos que f e derivavel em x0 e o numero l se chama derivada de f em x0.

27

A derivada de f em x0 (se existe) e denotada, normalmente, por um dos sımbolos seguintes:

f ′(x0),df

dx(x0), Df(x0), Df(x)|x=x0 .

O primeiro e aquele mais comun.

Uma outra forma de escrever a razao incremental e portanto o limite acima e obtida pondo x− x0 = h.

Temosf(x0 + h)− f(x0)

he lim

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

A nocao de derivada e pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma funcao em um ponto.

Dada f : I → R, se f e derivavel em todos os pontos de I, dizemos que f e derivavel e fica bem definida

uma nova funcao, a derivada de f , x 7→ f ′(x), definida em I.

Se f e derivavel x0, a reta de equacao y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) e definida reta tangente ao grafico de f

no ponto (x0, f(x0)).

Atencao: a precedente e a verdadeira definicao de reta tangente; outras possıveis definicoes, como “a

reta que encosta o grafico so em um ponto”, sao corretas so em casos muito particulares, por exemplo a

circunferencia.

Reta secante e reta tangente em (x0, f(x0)).

-

6

x1 x0-

6HHHH

HHHHHHHH

x0

Exercıcio 224. Na parabola de equacao y = x2 procure um ponto onde a reta tangente a parabola forma

um angulo de π/4 com o eixo x.

Exercıcio 225. Um corpo cai de uma altura de 15 mt, sujeto so a forca peso (desconsiderando o atrito

do ar). A funcao espaco dependendo do tempo e s(t) =1

2gt2, onde g e a constante gravitacional terrestre,

e vale cerca 9, 8 mt/sec2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo.

Derivadas de duas funcoes elementares.

FUNCAO f(x) DERIVADA f ′(x)

c (funcao constante) 0

x 1

Exercıcio 226. Prove os resultados da tabela acima.

Exercıcio 227. Dados os graficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os graficos das derivadas.

28

-

6

c a

-

6

a b

-

6

c da

-

6

c d

Exercıcio 228. Calcule, usando a definicao, a derivadas das funcoes seguintes: 3x− 2, x2−x, x7 + 1,√x.

Exercıcio 229. Prove que |x| nao e derivavel em zero enquanto |x|3 e derivavel em zero. Calcule a

derivada de |x| e de |x|3 (nos pontos onde as funcoes sao derivaveis).

Exercıcio 230. Seja f(x) = x3. Calcule f ′(0), f ′(−2), f(1/2).

Exercıcio 231. Prove que a derivada de uma funcao par e uma funcao impar. Lembre que uma funcao

f : R→ R e dita par se f(x) = f(−x) para todo x e e dita impar se f(x) = −f(−x) para todo x.

18. Sexta-feira, 20 de abril de 2018

Outras funcoes derivaveis na tabela seguinte:


xn (n ∈ N , n ≥ 1) nxn−1

senx cosx

cosx − senx

ex ex

Exercıcio 232. Prove os resultados da tabela acima (como feito em sala de aula).

29

Exercıcio 233. Prove, usando unicamente a definicao de derivada, que√x nao e derivavel em zero.

Proposicao 20 (Algebra das derivadas - a ideia da prova foi dada em sala de aula). Sejam f, g : I → Rduas funcoes derivaveis em um ponto x0 ∈ I. Entao sao derivaveis em x0 as funcoes f ± g, f · g, 1/g e f/g

(nestes ultimos dois casos se g(x0) 6= 0) e temos as formulas:

(1) (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),

(2) (f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0),

(3) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0),

(4) (1/g)′(x0) = − g′(x0)

(g(x0))2,

(5) (f/g)′(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g

′(x0)

(g(x0))2

Como exemplo, se n e inteiro positivo e x 6= 0, D1

xn= −n 1

xn+1

Do item (5) segue que a tangente e derivavel: D tgx =1

cos2 x= 1 + tg 2x.

Proposicao 21 (Derivada da funcao composta – ideia da prova feita na sala de aula). Sejam dadas duas

funcoes f : I → R e g : J → R, tais que Im (f) ⊆ J . Sejam f derivavel em um ponto x0 ∈ I e g derivavel

em y0 = f(x0). Entao g ◦ f e derivavel em x0 e (g ◦ f)′(x0) = g′(y0)f′(x0).

Exercıcio 234. Calcule as derivadas de sen 2x e cosx2.

19. Segunda-feira, 23 de abril de 2018 e 20. Quarta-feira, 25 de abril de 2018

Proposicao (ideia da prova feita na sala de aula; nao sera cobrada nas provas) (Derivada da funcao

inversa) Seja I intervalo, f : I → R inversıvel e g : Im (f) → R a funcao inversa de f . Se f e derivavel em

um ponto x0 e f ′(x0) 6= 0, entao, g e derivavel em y0 = f(x0) e temos g′(y0) = 1/f ′(x0).

Como aplicacao dos ultimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas


n√x (= x1/n)

1

nx1/n−1 (veja-se a analogia com as outras formulas)

xm/n (m,n inteiros)m

nxm/n−1 (veja-se a analogia com as outras formulas)

arcsenx1√

1− x2

arccosx − 1√1− x2

arctgx1

1 + x2

30

log x1

x

xa a xa−1

ax ax log a

Exercıcio 235. Prove as formulas acima.

Exercıcio 236. Calcule em particular a derivada de 2x. Sugestao: qualquer numero positivo a pode ser

escrito como a = elog a.

Exercıcio 237. Calcule as derivadas das funcoes seguintes: a)x2 − 1

x(x+ 2), b) senx arccosx, c)

√1 + x2,

d) arcsenx− senx, e) x√

1 + x2, f) arctg

√1− x1 + x

, g) arctg (2x− x2) h) log 3√x2 + 1 i) e senx.

Exercıcio 238. Encontre um ponto P na hiperbole de equacao y =1

1 + xtal que a tangente por P

encontre a origem do plano.

Exercıcio 239. Calcule a area do triangulo formado pelos eixos do plano e pela tangente a curva y = senx

no ponto

(3π

4,

1√2

)Exercıcio 240. Encontre a equacoes das tangentes a parabola y = x2 − 4x+ 3 que passam pela origem.

Exercıcio 241. Calcule a area do triangulo que tem como vertices os pontos comuns das parabolas y = x2

e y = x− x2 e o ponto de intersecao entre o eixo das abscissas e a tangente a parabola 2y = x2 em (−2, 2).

Exercıcios. Determine em quais pontos sao derivaveis as funcoes seguintes e calcule as derivadas.

242. signx · x2 243.1

tgx

244.√|x| 245. f(x) =

x2 − 1 x ≥ 1

x x < 1

246. sen |x| 247. [x]

Exercıcios. Calcule as derivadas das funcoes seguintes.

248. x sen 2x 249. cos( senx)

250.x2 + 2

x3 − 3x251. cos

(x− 1

x+ 2

)252. arctg

√x 253.

√arctgx

254.senx2

tg (x+ 2)255.

√x+

13√x4 + 1

Exercıcios. Escreva a equacao da reta tangente ao grafico em (x0, f(x0)) das funcoes seguintes.

256. x3 + 2x+ 3, x0 = −1/2 tgx2, x =√π

31

Exercıcios. Diga em quais pontos as funcoes seguintes sao derivaveis e calcule a derivada (nos pontos onde

existe). Depois, diga se as derivadas sao contınuas.

257. f(x) =

x2 cos1

xx 6= 0

0 x = 0258. f(x) =

{e−

1x2 x > 0

0 x ≤ 0

259. f(x) =

x sen1

xx 6= 0

0 x = 0260. f(x) =

{(x− 1)2 − 1 x > 0

senx x ≤ 0

261. f(x) =

2x

x2 + 2x > 0

0 x = 0x

−x2 − 3x < 0

262. f(x) =

{x2 + 1 x > 0

senx x < 0

Maximos e mınimos, absolutos e relativos

Definicao 22. Seja A um subconjunto de R e f : A→ R uma funcao.

a) O maximo absoluto de f e o maximo (se existe) da imagem de f . O mınimo absoluto de f e o

mınimo (se existe) da imagem de f .

b) Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de maximo absoluto se f(x0) e o maximo absoluto de f . Um ponto

x0 ∈ A e dito ponto de mınimo absoluto se f(x0) e o mınimo absoluto de f .

c) Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de maximo relativo se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que

f(x) ≤ f(x0), para cada x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ). Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de mınimo relativo

se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que f(x) ≥ f(x0), para cada x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ).

Exercıcio 263. Seja a funcao f(x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o maximo

e o mınimo de f (porque existem?) e os pontos de maximo e mınimo relativos.

Exercıcio 264. Seja a funcao f(x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o maximo

e o mınimo de f (porque existem?) e os pontos de maximo e mınimo relativos.

Exercıcio 265. Determine, justificando a resposta, os pontos de maximo e mınimo absoluto de senx.

Exercıcio 266. Determine, justificando a resposta, os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo de

f(x) =

x2 se − 1 ≤ x < 0

2 se x = 0

3− x se 0 < x ≤ 3

.

As definicoes acima envolvem funcoes quaisquer, ou seja, que podem nao ser contınuas nem derivaveis.

Contudo, se a funcao estudada e derivavel, a sua derivada nos da informacoes sobre os maximos e os mınimos.

Teorema 23 (de Fermat - sem prova). (Condicao necessaria para a existencia dos pontos de maximo ou

de mınimo relativo.) Seja I intervalo de R e f : I → R uma funcao dada. Seja x0 um ponto interno de I

(ou seja um ponto que pertence a I, mas nao e extremo) e seja tambem um ponto de maximo ou de mınimo

relativo de f . Suponhamos que f seja derivavel em x0. Entao, f ′(x0) = 0.

32

Dada uma funcao f : I → R, um ponto x0 tal que f ′(0) = 0 se chama ponto crıtico ou ponto estacionario.

Exemplo: f(x) = x2, x ∈ R. Todos os pontos do domınio sao internos e f e derivavel. Sabemos que x = 0

e ponto de maximo absoluto (e portanto relativo) de f . O teorema de Fermat nos diz que f ′(0) = 0, coisa

que pode ser calculada facilmente.

O vice-versa do teorema nao vale. Dada uma funcao f , se f ′(x0) = 0, nao sabemos se x0 e ponto de

maximo ou mınimo relativo. x = 0 e ponto crıtico de f(x) = x3, mas nao e ponto de maximo nem de

mınimo relativo.

O teorema de Fermat e usado so para estudar pontos internos ao domınio. Se, por exemplo, consideramos

f(x) = x, x ∈ [0, 1], sabemos que 0 e ponto de mınimo e 1 e ponto de maximo. Porem, f ′(x) = 1, para

todo x. Neste caso os pontos de maximo e de mınimo sao os extremos do domınio; o teorema de Fermat

nao pode ser aplicado.

21. Sexta-feira, 27 de abril de 2018 e 22. Quarta-feira, 2 de maio de 2018

A seguinte e uma versao do Teorema de Fermat que e equivalente e de fato mais utilizada nas aplicacoes.

Teorema 24 (de Fermat – versao equivalente – sem prova). Seja I intervalo de R e f : I → R uma funcao

dada. Seja x0 um ponto interno de I (ou seja um ponto que pertence a I, mas nao e extremo) e seja tambem

um ponto de maximo ou de mınimo relativo de f . Suponhamos que f seja derivavel em x0 e que f ′(x0) 6= 0.

Entao, x0 nao e um ponto nem de maximo nem de mınimo relativo.

Observacao 25. Resumindo, os ponto de maximo ou de mınimo relativo de uma funcao f : I → R, devem

ser procurados entre:

(1) os pontos internos do domınio onde f e derivavel e a derivada e zero;

(2) os pontos onde f nao e derivavel;

(3) os extremos de I.

Exemplo: f(x) = x3/3−x2/2−3; a funcao e definida em R, que e aberto (todos os pontos sao interiores),

e derivavel em R a derivada se anula em 0 e 1. Este dois pontos sao candidatos a ser pontos de maximo ou

de mınimo relativo, mas ainda nao temos condicoes suficientes para dizer se de fato sao.

Exercıcio 267. (exercıcio util): analise a observacao acima. Procure exemplos de funcoes onde pontos

de maximo ou mınimo sao pontos crıticos internos, outros exemplos de funcoes onde pontos de maximo ou

mınimo sao pontos extremos do domınio onde a funcao e derivavel mas a derivada nao e zero, e exemplos

de funcoes onde pontos de maximo ou mınimo sao pontos onde a derivada nao existe.

Exercıcio 268. Seja f : [a, b]→ R derivavel. Prove (pelo menos) uma das relacoes seguintes:

(1) se f ′(a) > 0, entao a e ponto de mınimo relativo;

(2) se f ′(a) < 0, entao a e ponto de maximo relativo;

(3) se f ′(b) > 0, entao a e ponto de maximo relativo;

(4) se f ′(b) < 0, entao a e ponto de mınimo relativo.

33

Como o teorema de Fermat da uma condicao necessaria para a existencia dos pontos de maximo ou de

mınimo relativo de uma funcao, as relacoes deste exercıcio fornece uma condicao suficiente.

Exercıcio 269. Entre todos os numeros nao negativos x e y, tais que x + y = 1, determine aqueles tais

que o produto xy e maximo.

Exercıcio 270. Entre todos os numeros nao negativos x e y, tais que x2 + y2 = 1, determine aqueles tais

que a soma x+ y e maxima.

Exercıcio 271. Entre todos os retangulos inscritos em uma circunferencia, determine aquele de perımetro

maximo.

Exercıcios. Determine os pontos crıticos das funcoes seguintes, nos domınios associados. Mais em geral,

determine os pontos candidatos a serem pontos de maximo ou mınimo relativo. Enfim, diga quais funcoes

possuem maximo ou mınimo absolutos.

272. senx− cosx, [0, 2π] 273.x

1 + x2, [−2, 3]

274. x(x− 2)2, [0, 3] 275. senx+ | cosx|, [0, π]

276. x2 +2

x, (0,+∞) 277.

x

1 + x2, R

278. x− arctgx, R 279.x2

1 + x2, R

280. x log x, (0,+∞) 281. log x− 3arctgx, (0,+∞).

Exercıcio 282. Divida 8 em duas partes tais que seja mınima a soma dos cubos delas.

Exercıcio 283. Seja V o volume de um prisma reto, cuja base e um triangulo equilatero. Determine o

lado do triangulos tal que a area total seja mınima.

Exercıcio 284. Entre todos os cilindros inscritos na esfera de raio 1 determine:

a) aquele de area lateral maxima;

b) aquele de area total maxima.

Exercıcio 285. Entre todos os cones inscritos na esfera de raio 1 determine:

a) aquele de volume maximo;

b) aquele de area lateral maxima;

c) aquele de area total maxima.

Exemplo. Consideramos f(x) =x4

4− 5

9x3− x

2

3+1. A funcao e contınua, porem esta definida em R, que

nao e limitado. Portanto nao podemos aplicar o Teorema de Weierstrass, ou seja, nao sabemos, a priori,

se f possui maximo e mınimo. Podemos ver que limx→±∞

f(x) = +∞ (prove como exercıcio). Portanto f nao

possui maximo absoluto. Por outro lado, possui mınimo absoluto. Para prova-lo, vamos utilizar o limite

acima na maneira seguinte.

Primeiramente pegamos, a caso, um valor do domınio, por exemplo x = 0. Temos f(0) = 1. Portanto o

mınimo absoluto, se existir, sera ≤ 1. Seja M = 2. Pela definicao de limite e pelo fato de que limx→±∞

f(x) =

+∞, existem a e b reais, a < 0 < b, tais que f(x) ≥ 2 se x ≤ a e se x ≥ 2. Portanto, o mınimo absoluto, se

34

existir, sera atingido no intervalo [a, b]. Neste intervalo podemos aplicar o Teorema de Weierstrass e dizer

que possui mınimo m a funcao f restrita ao intervalo [a, b]. Por outro lado, sendo m ≤ 1 e sendo f(x) ≥ 2

se x ≤ a e se x ≥ 2, o valor m se torna necessariamente mınimo de f em todo o domınio R.

Exercıcio 286. Estude a demonstracao acima para entender os passos e os detalhes.

Voltando a funcao, a derivada e f ′(x) = x3 − 5x2/3− 2x/3 = x(x+ 1/3)(x− 2). Como f e derivavel em

R e o domınio nao tem pontos extremos, os uunicos candidatos a serem de maximo ou mınimo relativo (e

mınimo absoluto, que sabemos existir) sao os pontos crıticos de f , 0, −1/3, 2. O problema e que nao temos

ferramentas para prosseguir a investigacao. As ferramentas sao fornhecidas por um teorema, o Teorema

valor medio (ou de Lagrange), que e um dos mais importantes do curso. Iremos ver esse teorema em breve.

Exercıcio 287. No desenho seguinte temos

duas torres de altura a e b, respectivamente,

e distancia d. Um passaro voa da cima da

primeira torre, encosta o chao em P a vai

para cima da segunda torre. Determine P

tal que o caminho percorrido seja mınimo. O

exercıcio da a possibilidade de obter a lei de

reflexao da luz e a lei dos senos de Snell sobre

a refracao.

C

A

D

B

P

\\\\\\��

288. Entre todos os retangulos de perımetro fixado determine aquele de

area maxima. Existe aquele de area mınima?

289. Entre todos os retangulos de area fixada determine aquele de perımetro

mınimo. Existe aquele de perımetro maximo?

290. Seja dado um triangulo retangulo T . Denotamos por a e b as medidas

dos catetos. Seja dada a definicao seguinte: um retangulo e dito inscrito em

T se dois dos seus lados estao sobre os catetos do triangulo e um dos seus

vertices h esta na ipotenusa. Determine, entre todos os retangulos inscritos

em T , aquele de area maxima.

291. Seja dado um retangulo de papelao, cujos lados medem h e b re-

spectivamente. Queremos construir uma caixa cortando, nos cantos, quatro

quadrados de lado l e levantandos os pedacos que sobram.Si vuole costru-

ire una scatola ritagliando agli angoli quattro quadrati dello stesso lato e

sollevando i lembi eccedenti.Determine l tal que o volume seja maximo.

Resposta: l =b+ h−

√b2 + h2 − bh6

.

bh

l 6

?

-�

35

292. Queremos produzir latas de bebida gastando a menor quantidade

possıvel de alumınio. Supondo que uma lata de bebida seja um cilindro

circular reto, com a capacidade de V dada (por exemplo 350 ml), determine

o raio da base e a altura que rendem a area total mınima.

Resposta: r = 3

√V

2π

293. Entre todas as piramides retas de base quadrada e de area total fixada

determine aquela de volume maximo.

294. Determine em quais pontos a funcao seguinte e derivavel e calcule a derivada:

f(x) =

x2 + x se x > 0

0 se x = 0

senx se x < 0

295. No desenho abaixo o arco acima do retangulo e a semicircunferencia de diametro igual a base do

retangulo. Entre todas as figuras de perımetro fixado P , determine a medida dos lados que rendem a area

maxima.

296. Imagine que o desenho a esquerda represente uma praia. Em B temos

o nosso guarda-sol. Queremos ir ao bar que esta em C. No ponto O comeca

uma calcada de madeira que chega ate o bar, e onde imos mais rapidamente

do que na areia.

Suponhamos que a velocidade na areia seja 1 metro ao segundo, enquanto

na calcada 2m/sec. Suponhamos que os segmentos OB e OC sejam perpen-

diculares. Alem disso, a calcada tem 10 metros de comprimento, enquanto

OB e 15 m. Partindo de B, determine em qual ponto della calcada precisa

entrar (continuando dalı ate o bar) para render mınimo o tempo para chegar

ao bar.

297. Olhando o desenho a direita, entre todos os segmentos verticais entre

as parabolas de equacoes 2y = 4 − x2, onde y ≥ 0, e 3y = x2 − x − 6,

determine aquele de comprimento maximo.

36

B. O.

C.

-

6

Teorema 26 (do valor medio ou de Lagrange – sem prova). Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em

[a, b] e derivavel em (a, b). Entao, existe um ponto c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a)

b− a= f ′(c).

Caso particular e o seguinte teorema.

Teorema 27 (de Rolle – sem prova). Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e derivavel em

(a, b). Suponhamos f(a) = f(b). Entao, existe um ponto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Seja f : I → R uma funcao derivavel em x interior de I (ou seja x nao e extremo de I) e tal que f ′(x) = 0.

Para ver se x e ponto de maximo ou de mınimo relativo usamos os teoremas seguintes, estritamente ligados

ao teorema de Lagrange.

23. Sexta-feira, 4 de maio de 2018 e 24. Segunda-feira, 7 de maio de 2018

A conexao entre o Teorema de Lagrange e o estudo dos pontos de maximo o de mınimo relativo de uma

funcao e dada pelos teoremas seguintes que chamamos de toremas de monotonia.

Teorema 28 (Primeiro teorema de monotonia de uma funcao – ideia da prova em sala de aula). Seja I um

intervalo e f : I → R uma funcao derivavel em todos os pontos de I. Entao:

a) f e crescente se e somente se f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I;

b) f e decrescente se e somente se f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I.

Observacao: em sala de aula foi passado o teorema com a hipotese: f contınua em I derivavel em todos

os pontos internos de I. De fato, gracas tb as observacoes de alguns alunos, podemos dizer que este tipo de

hipotese nao e necessaria.

Se a funcao nao e definida em um intervalo, mas num conjunto E diferente as implicacoes

f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ E =⇒ f e crescente,

f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ E =⇒ f e decrescente

sao falsas. A funcao 1/x e definida em R\{0} (que nao e um intervalo!) possui derivada negativa para

todo x 6= 0, mas nao e decrescente (e decrescente nos dois intervalos (−∞, 0) e (0,+∞), separadamente)

(Sempre se E nao e um intervalo, as implicacoes

37

f e crescente =⇒ f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ E,

f e decrescente =⇒ f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ Econtinuam valendo.)

Observacao: a implicacao ⇐= do primeiro teorema de monotonia pode ser provada em uma versao um

pouco mais geral (e mais util nas aplicacoes):

a) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) ≥ 0 nos pontos internos de I,

entao f e crescente em todo I.

b) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) ≤ 0 nos pontos internos de I,

entao f e decrescente em todo I.

Em outras palavras, se temos f : [a, b] → R contınua em [a, b]; para dizer que f e crescente em [a, b] e

suficiente provar que f ′(x) ≥ 0 em (a, b).

Teorema 29 (Segundo teorema de monotonia). a) Se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos

internos de I e f ′(x) > 0 nos pontos internos de I, entao f e estritamente crescente em todo I.

b) Se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) < 0 nos pontos internos de

I, entao f e estritamente decrescente em todo I.

O vice-versa do teorema nao vale, no sentido que existem funcoes estritamente crescentes tais que a

derivada pode nao ser > 0 em todos os pontos (porem deve ser ≥ 0 em todos os pontos, pelo primeiro

teorema de monotonia).

Um exemplo e dado pela funcao x3 que e estritamente crescente em R, mas a derivada e nula em zero.

Exercıcios: determine os pontos de maximo e mınimo relativo, se existem, das funcoes seguintes.

298. 2x3 − 9x2 + 12x− 1 299. x3 + x2 + x+ 1

300. x3 − x4 x(x− 1)2

301.x2√x2 − 1

302.x4√

1− x2

Exercıcios: determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo, se existem, das funcoes

seguintes, nos conjuntos indicados ao lado. Determine tambem o maximo e o mınimo absoluto, se existem.

303. x3 + x2, [0,+∞) 304. | senx|,[−π

2,π

2

)305.

log |x|x

, [−3, 0) 306. x2, (0, 1)

307. [x], [0, 2] 308. senx− x cosx, R

309. x2, (0, 1) 310. cos2 x2, [−√π,√π]

311. f(x) =

{|x− 2| x ∈ [0, 4]

log x x ∈ (4, 5]312. cos2 x2, [−

√π,√π]

38

Exercıcios: De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes das equacoes seguintes:

313. x log x = −1

4314. x3 − 3x2 + 8x = 0

315. −1

3x3 − 3

4x2 + x+ 2 = 0 316. x3 − 3x2 + 8x = 0

317. −1

3x3 − 3

4x2 + x+ 2 = 0 318. x2 − log(|x|+ 1) = 0

319. x4 − 6x2 + 4 = 0 320. x4 − 2x3 + x2 + 1 = 0

321. x3 + x2 − k+ 1 = 0, variando k

em R322. x3 − 2x2 + k − 1 = 0, variando

k em R

323. Determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo (se existem) de f(x) = arctgx+1

x+ 1.

Diga se a funcao possui maximo e mınimo.

Exercıcios

324. Determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo (se existem) de f(x) = |x2 − 4|5/3.Diga se a funcao possui maximo e mınimo.

Test a multipla escolha:

325. Dada uma funcao f : R\{0} → R, condicao suficiente para que f seja

inversıvel e que seja

a) contınua em todo o domınio. b) Derivavel com derivada positiva.

c) Estritamente crescente. d) Estritamente crescente em

(−∞, 0) e em (0,+∞), separada-

mente.

e) Estritamente crescente em

(−∞, 0) e Estritamente decrescente

em (0,+∞).

f) Nenhuma das respostas acima e

correta.

326. Seja f : [a, b] → R derivavel em x0 ∈ [a, b]. Se x0 e ponto de maximo

relativo, entao f ′(x0) = 0. Este enunciado assemelha ao teorema de Fermat,

mas escrito assim e falso. Qual hipotese devemos adicionar para que seja

verdadeiro?

a) x0 ∈ (a, b). b) f derivavel em [a, b] (nao so em

x0).

c) f derivavel [a, b] com derivada

contınua.

d) nenhuma das resposta acima e

correta.

327. Seja f definida em [−1, 1]. Diga qual das condicao seguintes e suficiente

para que a equacao f(x) = 0 tenha solucao:

39

a) f contınua e f(−1) < f(1). b) f derivavel e f(−1) < f(1).

c) f(−1) < 0 e f(1) > 0. d) f contınua, crescente e f(−1) <

f(1).

e) nenhuma das condicoes anteriores

garante a existencia da solucao de

f(x) = 0.

Diga se as funcoes seguintes sao inversıveis em um oportuno intervalo do tipo (x0− δ, x0 + δ);

em caso afirmativo, determine, se existe, a derivada da funcao inversa

328.

{f(x) = x3 + tgx

x0 = 0 y0 = 0329.

{f(x) = x3 + x5

x0 = 0 y0 = 0

330.

{f(x) = 2x+ |x|x0 = 0 y0 = 0

331.

{f(x) = signx

√|x|

x0 = 0 y0 = 0

25. Quarta-feira, 9 de maio de 2018

Sabemos que a derivada de uma funcao constante e nula em todos os pontos. Pelo teorema de Lagrange

podemos provar o vice-versa, se a funcao e definida em um intervalo.

Teorema 30 (Terceiro teorema de monotonia – ideia da prova em sala de aula). Seja f : I → R (onde I e

um intervalo), derivavel e tal que f ′(x) = 0 para todo x ∈ I. Entao f e constante.

Como ja dito, se o domınio nao e um intervalo, o teorema e falso.

f(x) =

{1 se x ∈ (0, 1)

2 se x ∈ (1, 2)

e definida em um conjunto, (0, 1)∪ (1, 2), que nao e um intervalo, e derivavel com derivada nula em todos

os pontos, mas nao e constante.

Teorema 31 (de De l’Hopital – somente a ideia da prova em sala de aula). Seja I intervalo de R, c um

elemento de I ou um extremo de I ou ±∞. Sejam f, g : I \ {c} → R derivaveis em todo x 6= c. Sejam g(x)

e g′(x) nao nulas em I \ {c}. Suponhamos que o limite limx→c

f(x)

g(x)seja em uma forma indeterminada 0/0 ou

±∞/±∞. Se limx→c

f ′(x)

g′(x)= l, onde l e real ou ±∞, entao, lim

x→c

f(x)

g(x)= l.

40

Exercıcio 332. Estude, usando o teorema de De l’Hopital, o limites seguintes:

limx→0

x− senx

x3, lim

x→0

arctgx

x, lim

x→+∞

arctgx− π2

1x2

, limx→1

x4 + 2x3 − 4x+ 1

x3 + x2 − 5x+ 3, lim

x→+∞x(

arctgx− π

2

).

Exercıcio 333. Estude, usando o teorema de De l’Hopital, o limites seguintes:

limx→0

x log x, limx→+∞

(log x)α

xβ, α, β > 0, lim

x→+∞

xα

ax, α > 0, a > 1.

Observacao: se a forma indeterminada do limite limx→c

f(x)

g(x)nao e verificada, o teorema de De l’Hopital nao

pode ser usado. Por exemplo, limx→0x

x+ 1= 0, mais o limite da fracao das derivadas e 1. O problema e

de fato que o limite inicial nao se apresenta em uma forma indeterminada.

26. Sexta-feira, 11 de maio de 2018

Excercıcios em sala de aula para preparacao da prova P2.

Exercıcio 334.

1. Escreva a derivada da funcao f(x) = cos(log(x2 + x)).

2. Calcule a derivada de f(x) =

x2 + x se x > 0

0 se x = 0

senx se x < 0

3. Calcule a derivada de f(x) =

x2 cos1

xse x 6= 0

0 se x = 0

4. Escreva a equacao da reta tangente a funcao f(x) = arctgx no ponto (1, f(1).

Exercıcio 335. Consideramos a funcao f(x) = x4 + tgx+ 1. Prove que existe um intervalo de tipo (−a, a)

(onde a e um oportuno numero positivo) tal que f e inversıvel em (−a, a). Calcule, em seguida, D(f−1)(1).

A ideia do exercıcio e a seguinte: f e derivavel em todo o domınio e f ′(x) = 4x3 + 1 + tg 2x. Se x > 0,

f ′(x) e obviamente positiva, mas se x < 0, nao podemos dize-lo. Por outro lado f ′(0) = 1. Pelo teorema da

conservacao do sinal das funcoes contınuas e observando que f ′(x) e contınua, podemos dizer que existe um

intervalo (−a, a) onde f ′(x) mantem o sinal positivo. Portanto, usando o segundo teorema de monotonia

(aula do 24 de abril), podemos dizer que f e estritamente crescente em (−a, a) e portanto inversıvel.

Observamos que f(0) = 1. Portanto, podemos dizer que D(f−1)(1) =1

f ′(0)=

1

1= 1.

Exercıcio 336. Calcule o limite

limx→0

log(1 + senx)

x cosx


limx→0

x− senx

x3

41

Neste exercıcio precisa aplicar mais vezes o teorema de De L’Hopital. Porem, o limite limx→0senx

xnao

pode ser abordado pelo teorema de De L’Hopital porque o conhecimento da derivada do seno requer o

conhecimento do limite. Ou seja, caimos num cırculo vicioso.

Exercıcio 338. Pela mesma razao, nao podemos aplicar o teorema de De L’Hopital para calcular os

limites

limx→0

ex − 1

xe lim

x→0

log(x+ 1)

x.

Explique os detalhes.


limx→1

1

x− 2 + x

sen 2(πx)


limx→+∞

log(1 + e2x)

x


limx→+∞

log x

x

Exercıcio 342. Calcule o limite (generalizando o caso acima)

limx→+∞

(log x)b

xa

onde a > 0, b > 0.


limx→+∞

log x

x


limx→+∞

x

ex

Exercıcio 345. Calcule o limite (generalizando o caso acima)

limx→+∞

xb

ax

onde a > 1, b > 0.


limx→+∞

x(

arctgx− π

2

)Exercıcio 347. Calcule o limite

limx→0

x log x


limx→0

xx

Este limite se apresenta em uma forma nova para o curso que estamos estudando, a forma 00. Que e

indeterminada. Por outro lado observe que valem as igualdades xx = elog xx

= ex log x. Agora, usando o

limite anterior e o limite para composicao, podemos resolver o exercıcio.

42


limx→+∞

x+ senx2

x2 + 1Este limite pode ser abordado pelo teorema do confronto e vale 0. Se tentarmos aplicar o teorema de De

L’Hopital, vemos que o limite da fracao das derivadas nao existe. Este fato nao esta em contradicao com o

teorema de De L’Hopital. O teorema, de fato, diz que se

limx→x

f ′(x)

g′(x)

existe e vale l, onde l pode ser um numero ou ±∞, entao

limx→x

f(x)

g(x)= l.

Porem, se o limite

limx→x

f ′(x)

g′(x)

nao existe, tudo pode acontecer sobre

limx→x

f(x)

g(x),

porque neste caso o teorema nao diz nada.

Exercıcio 350. Calcule os limites seguintes:

limx→0

ex − 1− xx2

limx→+∞

x log1 + x

xlimx→0

log cosx

x2lim

x→π/4

senx− cosx

sen 4x

limx→−∞

log(3 + senx)

xlimx→0+

cosx

xlimx→1−

√1− x2

arccosx

Exercıcio 351. Diga para quais valores reais a temos limx→+∞(√

4x2 + x− 2x− a) = −1/2.

Exercıcio 352. exercıcio importante e nao facil. Seja f : I = (−a, a) → R uma funcao onde a e um

numero positivo fixado. Suponha que f seja derivavel para todo x ∈ I. Suponhamos tambem que f ′ seja

derivavel em todo x ∈ I e chamamos derivada segunda a funcao (f ′)′, seja a derivada de f ′. O sımbolo e f ′′.

Por exemplo, se f(x) = senx, f ′′(x) = − senx, se f(x) = x3 + 2x4, f ′(x) = 3x2 + 8x3 e f ′′(x) = 6x+ 24x2.

E assim por diante.

Suponhamos que a generica funcao f : I = (−a, a) → R possua derivada terceira para todo x ∈ I e

suponhamos que f ′′′(x) seja contınua para todo x. Seja f ′′′(0) = 5. O que podemos dizer sobre x = 0 em

relacao a f? E ponto de mınimo relativo? de maximo? Nenhuma das duas coisas? f pode ser inversıvel em

uma vizinhanca de 0?

Exercıcio 353. Estude as funcoes seguintes. Em particular, determine: 1. o domınio, 2. os limites

interessantes, 3. (se possıvel) as regioes do domınio onde a funcao e positiva, negativa e os pontos onde se

anula, 3. os pontos de maximo ou mınimo absoluto, 4. os pontos de maximo ou mınimo relativo. 5. desenhe

um grafico aproximado da funcao.

imporante: para descobrir se um ponto crıtico e de maximo ou mınimo relativo, determine o crescimento

ou decrescimento da funcao em base a primeira derivada; ou seja nao use a segunda derivada, na P2 nao sera

permitido.

43

a. 2x3 + 3x2 − 2 b. xe−x c. (4x+ 3)e1/x

d.√x2 + x− x e.

1− xx2 + 1

f. − log( senx)

27. Segunda-feira, 14 de maio de 2018

Excercıcios em sala de aula para preparacao da prova P2.

28. Quarta-feira, 16 de maio de 2018

Prova P2.

29. Sexta-feira, 18 de maio de 2018

Seja I intervalo e f : I → R derivavel. Dado x0 ∈ I, se f ′ e derivavel em x0, chamamos o valor Df ′(x0) de

segunda derivada de f em x0. O sımbolo sera f ′′(x0). Se f ′′(x) existe para todo x e tal funcao e derivavel, a

sua derivada sera a terceira derivada f ′′′(x) de f . E podemos continuar: se f possui outras derivadas, f (4),

f (5), ... f (n), ...

A segunda derivada e util para procurar pontos de maximo ou mınimo relativo como o teorema seguinte

explica.

Teorema 32 (sem prova). Sejam I intervalo, f : I → R derivavel e seja x0 ponto crıtico interno. Entao:

(1) se f ′′(x0) existe e e positiva, entao, x0 e ponto de mınimo relativo;

(2) se f ′′(x0) existe e e negativa, entao, x0 e ponto de maximo relativo.

No teorema e dito claramente, mas vale a pena repetir, que o valor de f ′′(x0) serve unicamente se x0 e

ponto crıtico.

Exercıcio 354. Tente dar a ideia da demonstracao e um dos dois itens do teorema.

Exercıcio 355. Estude os pontos de maximo ou mınimo relativo de x2 log x.

Exercıcio 356. Define o prolongamento contınuo em zero da funcao acima e estude os pontos de maximo

ou mınimo relativo da nova funcao.

Exercıcio 357. Se f ′′(x0) = 0, nada podemos dizer. Veja o que acontece com as funcoes x3, x4, −x4.

Uma generalizacao do teorema acima e dada pelo resultado seguinte, que nao foi visto em sala de aula

mas que pode se tornar util.

Teorema 33. Seja f : I → R derivavel e seja x0 dado. Seja n inteiro positivo tal que f ′(x0) = f ′′(x0) =

... = f (n−1)(x0) = 0 e f (n)(x0) 6= 0. Entao:

(1) se n e par e f (n)(x0) > 0, entao, x0 e ponto de mınimo relativo;

(2) se n e par e f (n)(x0) < 0, entao, x0 e ponto de maximo relativo;

(3) se n e impar e f (n)(x0) > 0, entao, f (n−1) e crescente em um oportuno intervalo (x0 − δ, x0 + δ);

44

(4) se n e impar e f (n)(x0) < 0, entao, f (n−1) e decrescente em um oportuno intervalo (x0 − δ, x0 + δ).

Exercıcio 358. Compare o teorema acima con as funcoes x5, x4, −x4, x2 senx2, x2 sen 2x.

Definicao 34 (concavidade/convexidade). Seja f : I → R uma funcao dada. A funcao e dita convexa se,

para cada x1, x2 ∈ I (x1 < x2), o grafico de f esta abaixo da reta secante por (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), para

cada x ∈ [x1, x2]. Em formulas:

f(x) ≤ f(x1) +f(x2)− f(x1)

x2 − x1(x− x1), ∀x1 ≤ x ≤ x2, x1 < x2.

f e dita concava se, para cada x1, x2 ∈ I (x1 < x2), o grafico de f esta acima da reta secante por (x1, f(x1))

e (x2, f(x2)), para cada x ∈ [x1, x2]. Em formulas:

f(x) ≥ f(x1) +f(x2)− f(x1)

x2 − x1(x− x1), ∀x1 ≤ x ≤ x2, x1 < x2.

funcao convexa a esquerda e concava a direita

-

6

��

x1 x2

f(x1)

f(x2)

-

6

HHHHHH

HHHHHHH

x1 x2

f(x1)

f(x2)

o ponto c e dito de inflexao e a reta r e tangente ao grafico em (c, f(c)).

-

6

c

r

@@@

@@@@

O ponto c do grafico acima e chamado ponto de inflexao porque f troca de concavidade/convexidade de

um intervalo de tipo [a, c] para um intervalo de tipo [c, d]

Exercıcio 359. Determine os intervalos de convexidade e concavidade de x2ex. Procure os pontos de

maximo ou mınimo relativo. Desenhe o grafico.

Exercıcio 360. Calcule a segunda e terceira derivada das funcoes seguintes:

1) x2, 2) senx2, 3) 6/ log x, 4)√

1 + x, 5) x2 senx, 6) log senx,

7) log(x+ x2), 8) x/ log x, 9) ex cosx.

45

Exercıcio 361. Diga se zero e ponto de maximo ou mınimo relativo para as funcoes seguintes:

1) x sen 2x, 2) x4ex, 3) x3 log(1− x), 4)1− x4

1 + x2

Teorema 35 (sem prova). Sejam I intervalo e f : I → R uma funcao dada que possui segunda derivada.

Entao:

(1) se f ′′(x) ≥ 0, para cada x ∈ I, entao f e convexa;

(2) se f ′′(x) ≤ 0, para cada x ∈ I, entao f e concava.

Exercıcio 362. Tente formular a ideia da demonstracao do teorema anterior.

O recıproco do teorema e verdadeiro.

Teorema 36 (sem prova). Sejam I intervalo e f : I → R uma funcao dada que possui segunda derivada.

Entao:

(1) se f e convexa, entao f ′′(x) ≥ 0, para cada x ∈ I;

(2) se f e concava, entao f(x) ≤ 0, para cada x ∈ I.

Exercıcio 363. Determine os intervalos de convexidade e concavidade para as funcoes seguintes:

1) x3 − 3x2, 2) x4 − 2x2 + 1, 3) x log x, 4) (x2 + x)e−x, 5) 1/(x2 + 3)

Um outro resultado interessante e o seguinte que damos sem prova.

Teorema 37 (sem prova). Seja f : I → R derivavel. Entao,

(1) f e convexa se e somente se f(x) ≥ f(x1) + f ′(x1)(x− x1), para cada x, x1 ∈ I;

(2) f e concava se e somente se f(x) ≤ f(x1) + f ′(x1)(x− x1), para cada x, x1 ∈ I.

Exercıcio 364. Tente representar com um desenho (um grafico) a situacao mostrada pelo resultado anterior.

30. Segunda-feira, 21 de maio de 2018, 31. Quarta-feira, 23 de maio de 2018 e 32. Sexta-

feira, 25 de maio de 2018

A formula de Taylor

A formula de Taylor, ou mais em geral e corretamente poderıamos dizer “as formulas de Taylor”, e

um conjunto de resultados sobre aproximacao de funcoes por meio de polinomios, desenvolvida por muitos

matematicos, entre outros Newton, Bernoulli, Euler e os britanicos B. Taylor (1685-1713) e C. Mac Laurin

(1698-1746).

Para introduzir as formulas de Taylor voltamos ao problema da determinacao e da definicao da reta

tangente ao grafico de uma funcao. Sejam I um intervalo e f : I → R uma funcao derivavel e seja x0 ∈ Ifixado. Sejam as duas funcoes

T (x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0) e S(x) = f(x)− f(x0)−m(x− x0),

46

onde m 6= f ′(x0) e fixado. De fato, S(x) representa nao uma unica funcao, mas uma famılia de funcoes,

variando m em R. O grafico de T representa a reta tangente ao grafico de f em (x0, f(x0)), enquanto os

graficos das funcoes de tipo S(x) representam, para cada m, as retas secantes ao grafico de f em (x0, f(x0))

(exceto so a secante vertical que nao pode ser representada por uma funcao de tipo S(x) como acima).

Lembramos que a reta que e grafico de T (x) e definida como reta tangente ao grafico de f no ponto

(x0, f(x0)). Ou seja, na Analise Matematica nao existe uma nocao anterior de reta tangente (por exemplo

uma nocao geometrica).

T (x) e S(x) aproximam f em x0, onde ”aproximar em x0” significa que

limx→x0

f(x)− T (x) = 0 e limx→x0

f(x)− S(x) = 0.

Exercıcio 365. Verifique os limites acima, sabendo que f e contınua (sendo por hipotese derivavel).

A aproximacao dada por T e considerada ”melhor” a respeito de todas as aproximacoes dadas pelas S(x),

porque

limx→x0

f(x)− T (x)

x− x0= 0 enquanto lim

x→x0

f(x)− S(x)

x− x0= f ′(x0)−m 6= 0.

Exercıcio 366. Verifique os limites acima.

Dizemos que f(x)− T (x) (tal diferenca chamada resto, ou erro, da aproximacao por T ) tende para zero

”mais rapidamente” do que x−x0, enquanto f(x)−S(x) (o resto, ou erro, da aproximacao por S) tende para

zero ”com a mesma velocidade” do que x−x0. Este conceito de “melhor aproximacao” e de fato complicado

a ser entendido. Tentamos explica-lo da forma seguinte: os dois limites acima sao respectivamente zero

o primeiro e nao zero o primeiro. Significa que dado x proximo de x0, os dois limites acima dizem que

f(x)− T (x) e menor do que f(x)− S(x).

Se f possui derivada segunda em I, podemos usar polinomios de grau 2 para obter aproximacoes ainda

melhores, estendendo o argumento acima.

Procuramos um polinomio T2(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 tal que, analogamente ao caso linear,

limx→x0

f(x)−(a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2

)(x− x0)2

= limx→x0

f(x)− T2(x)

(x− x0)2= 0.

E imediato ver (verifique os detalhes) que o limite acima e verificado se e somente se

limx→x0

f(x)− a0 − a1(x− x0)(x− x0)2

= a2 (∗).

Sendof(x)− a0 − a1(x− x0)

(x− x0)2=f(x)− a0 − a1(x− x0)

x− x0· 1

x− x0,

ou seja,f(x)− a0 − a1(x− x0)

(x− x0)2· (x− x0) =

f(x)− a0 − a1(x− x0)x− x0

,

se existe a2 tal que a igualdade (∗) e verificada, entao, pelo produto dos limites, temos

limx→x0

f(x)− a0 − a1(x− x0)x− x0

= 0.

47

Do resultado visto no caso linear, temos como consequencia o fato de que a0 = f(x0) e a1 = f ′(x0) (os

unicos dois valores que permitem o limite acima).

Agora precisa descobrir a2. O limite

limx→x0

f(x)−(f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + a2(x− x0)2

)(x− x0)2

se apresenta em uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar o teorema de de l’Hopital.

f ′(x)− f ′(x0)− 2a2(x− x0))2(x− x0)

=f ′(x)− f ′(x0)

2(x− x0)− a2.

Portanto

limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)2(x− x0)

− a2 = 0

se e somente se a2 =1

2f ′′(x0).

Qual pode ser a conclusao deste raciocınio? podemos dizer que, se f possui segunda derivada, existe e e

unico um polinomio de grau ≤ 2, T2(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + 12f′′(x0)(x− x0)2, tal que, escrevendo

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1

2f ′′(x0)(x− x0)2 + r(x),

isto e

f(x) = funcao polinomial + funcao resto,

o resto tende para zero mais rapidamente do que (x− x0)2, ou seja

limx→x0

f(x)− T2(x)

(x− x0)2= 0.

Em particular, a aproximacao dada por T2 e melhor daquela dada por T (x) (a reta tangente), por causa

do fato que f(x)− T (x) tende para zero mais rapidamente ”so” do que x− x0.Observe que T2(x) pode ser de grau 1 (portanto igual a T ); isso acontece se f ′′(x0) = 0.

Vamos resumir o resultado obtido, comecando pela definicao seguinte.

Definicao 38. Sejam I um intervalo e f : I → R uma funcao derivavel ate a ordem n. Seja x0 ∈ I fixado.

O polinomio de grau ≤ n

Pn(x, x0) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1

2f ′′(x0)(x− x0)2 + ...+

1

n!f (n)(x0)(x− x0)n

se chama polinomio de Taylor de f de ordem n e centro x0. A funcao Rn(x, x0), definida como

Rn(x, x0) = f(x)− Pn(x, x0),

se chama resto de Taylor de f de ordem n e centro x0.

A definicao acima e ... somente uma definicao. O resto e simplesmente a diferenca entre a funcao f

e um conveniente polinomio. Agora, aquilo que e importante e determinar algumas informacoes sobre o

comportamento do resto. O que os dois teoremas seguintes apresentam (nao damos a demonstracao).

48

Teorema 39 (Formula de Taylor com resto em forma de Peano). Sejam I um intervalo e f : I → R uma

funcao que possui derivadas ate a ordem n. Seja x0 ∈ I fixado. Denotando por Pn(x, x0) polinomio de

Taylor de f de ordem n e centro x0 e por Rn(x, x0) o resto Rn(x, x0) = f(x)− Pn(x, x0), temos

limx→x0

f(x)− Pn(x, x0)

(x− x0)n= lim

x→x0

Rn(x, x0)

(x− x0)n= 0. (♦)

Alem disso, se Q(x) e um polinomio de grau ≤ n tal que

limx→x0

f(x)−Q(x)

(x− x0)n= 0,

entao Q(x) = Pn(x, x0).

A formula acima se chama formula de Taylor de f de ordem n, centro x0 e resto em forma de Peano.

Teorema 40 (formula de Taylor com resto em forma de Lagrange). Sejam I um intervalo e f : I → R uma

funcao derivadas ate a ordem n+ 1. Seja x0 ∈ I fixado. Entao, para cada x ∈ I existe c entre x0 e x tal

que

f(x) = Pn(x, x0) +1

(n+ 1)!f (n+1)(c) (x− x0)n+1.

A formula acima se chama formula de Taylor de f de ordem n, centro x0 e resto em forma de Lagrange.

A forma de Lagrange no desenvolvimento de Taylor de uma funcao tem varias aplicacoes. Aqui mostramos

duas sobre o numero e.

Exemplo 41. Aproximacao de e. A funcao ex possui derivadas de qualquer ordem. Para cada n ∈ Na derivada n-esima e Dn(ex) = ex. Que em x = 0 vale 1. Portanto, dado n ∈ N qualquer, o polinomio de

Taylor de ex de ordem n e centro 0 e

Pn(x, 0) = 1 + x+x2

2+x3

6+ ...+

xn

n!=

n∑k=0

xk

k!

A formula de Taylor de ex de ordem n e centro 0 com resto em forma de Lagrange e

ex =n∑k=0

xk

k!+

ec

(n+ 1)!xn+1 ∀x ∈ R,

onde c e um oportuno valor entre 0 e x. Sendo ex uma funcao crescente e lembrando que e < 3 (como foi

dito e nao provado em sala de aula), se fixamos x = 1, temos∣∣∣∣∣e−n∑k=0

1

k!

∣∣∣∣∣ =ed

(n+ 1)!<

4

(n+ 1)!.

onde d e oportuno entre zero e 1. De fato, na formula acima o valor absoluto nao e necessario, porque

e−∑n

k=0

1

k!e positivo. Isso porque

ec

(n+ 1)!> 0 qualquer seja c.

Se, por exemplo, n = 7 (ou n ≥ 7), temos 8! = 40320 e portanto R7(1, 0) < 10−4. Assim,

a =

7∑k=0

1

k!

49

aproxima e com um erro menor de 10−4. O valor a acima, que e um numero decimal limitado, tem os

primeiros 4 digitos decimais depois da virgola iguais aqueles de e.

Exercıcio 367. Faca nos detalhes as contas do exemplo acima e calcule a.

Exemplo 42. Irracionalidade de e. Provamos, por contradicao que e e irracional. Suponhamos que e

seja irracional, igual a p/q, onde p, q sao inteiros, positivos e primos entre si. Seja n suficientemente grande

para que n/q seja inteiro e 4/(n + 1) < 1. Da formula de Taylor de ex, de ordem n e centro em zero, com

resto em forma de Lagrange, posto x = 1

e−n∑k=0

1

k!=

ed

(n+ 1)!

(onde d e oportuno entre zero e 1), temos temos

n!e− n!n∑k=0

1

k!

ed

n+ 1<

4

n+ 1.

Pela escolha de n observe que o membro esquerdo da formula acima e inteiro, que se torna menor de

4/(n+ 1) < 1. Absurdo. Portanto, chegamos a conclusao de que e deve ser necessariamente irracional.

Observacao 43. O teorema 39 fala da ”qualidade” da aproximacao do polinomio de Taylor; e diz isso em

termos de limites. Podemos voltar a introducao a formula de Taylor e perceber agora que estavamos falando

da reta tangente como melhor aproximante (local, ou seja, perto de x0) de ordem 1, e a oportuna parabola

como aproximante de ordem 2. Vimos como a funcao cujo grafico e reta tangente e a unica funcao linear

que verifica aquele limite. O teorema estende as ordens superiores tal formula de Taylor com resto em forma

de Peano de ordem 1 e 2.

Observacao 44. Vamos destacar de novo que o polinomio de Taylor (de ordem n e centro x0) e o unico

polinomio de grau ≤ n que verifca o limite no teorema 39. Este fato e crucial.

As formulas seguintes sao centradas em zero.

ex = 1 + x+x2

2!+ ...+

xn

n!+Rn(x, 0),

senx = x− x3

3!+x5

5!+ ...+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+R2n+1(x, 0),

cosx = 1− x2

2!+x4

4!+ ...+ (−1)n

x2n

(2n)!+R2n(x, 0),

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ ...+ (−1)n−1

xn

n+Rn(x, 0),

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 + ...+

α(α− 1)...(α− n+ 1)

n!xn +Rn(x, 0),

1

1− x= 1 + x+ x2 + ...+ xn +Rn(x, 0),

50

1

1 + x= 1− x+ x2 + ...+ (−1)nxn +Rn(x, 0).

Exercıcio 368. Determine a formula de Taylor de ordem 4 e centro em zero das funcoes seguintes. Deter-

mine, a partir das formulas, a primeira e terceira derivada em zero.

369. x2ex 370. e senx

371. x3 − 3x2 + 2x+ 1 372. ex2

373. senx2√

1 + x 374. (log(1 + x))2

375. cosx arctgx 376. e( senx)2

Sugestao para o primeiro exercıcio. A formula ex = 1 +x+x2

2!+ ...+

xn

n!+Rn(x, 0), e uma igualdade que

vale para todo x real. Portanto x2ex = x2 + x3 +x4

2!+ ...+

xn+2

n!+ x2Rn(x, 0).

Essa e a formula de Taylor de x2ex? Em princıpio poderia ser porque e a soma de um polinomio + um

resto. So que nao temos certeza porque nao foi feita nenhuma derivada de x2ex e portanto nao sabemos se

x2 + x3 +x4

2!+ ...+

xn+2

n!e o polinomio de Taylor de uma certa ordem, nem fica claro de qual ordem.

Se eu consigo provar que limx→0(x2Rn(x, 0)/xn+2) = 0, Entao este e um resto de ordem n+ 2. Agora, se

torna crucial o fato de que somente o polinomio de Taylor de ordem n + 2 permite que o resto verifique o

limite acima. Ou seja, se o limite e correto, o polinomio e necessariamente o polinomio de Taylor de ordem

n+ 2.

As formulas seguintes sao centradas em zero.

ex = 1 + x+x2

2!+ ...+

xn

n!+Rn(x, 0),

senx = x− x3

3!+x5

5!+ ...+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+R2n+1(x, 0),

cosx = 1− x2

2!+x4

4!+ ...+ (−1)n

x2n

(2n)!+R2n(x, 0),

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ ...+ (−1)n−1

xn

n+Rn(x, 0),

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 + ...+

α(α− 1)...(α− n+ 1)

n!xn +Rn(x, 0),

1

1− x= 1 + x+ x2 + ...+ xn +Rn(x, 0),

1

1 + x= 1− x+ x2 + ...+ (−1)nxn +Rn(x, 0).

Exercıcios. Calcule os seguintes limites usando a formula de Taylor.

377. limx→0

x− senx

x2378. lim

x→0

cosx− 1

x3

51

379. limx→0

√1 + x2 − 1

sen 2x380. lim

x→0

1−√

1− x22x2

381. limx→0+

e senx − 1

x2382. lim

x→0

tg (2x4)

x2 log (1 + x2)

383. limx→0+

elog(x+1) − 1

(log(1 + x))2384. lim

x→0

x arctgx

1− cos( senx)

385. limx→π

| cosx| − 1

x sen 2x386. lim

x→1

(x− 1)(π

4− arctgx

)(

1− senπx

2

)x2

387. limx→0

cosx2 − 1

x sen 2x388. lim

x→0

√1 + tgx−

√1 + senx

x2

389. limx→+∞

(x3 + 1)(e1/x2 − 1) 390. lim

x→−∞x arctg

1

1 + 2x

Os exercıcios deste ultimo grupo nao serao cobrados na P3 devido ao fato de que nao foram suficientemente

explicados em sala de aula. Qual e a ideia para aborda-los? Pegamos por exemplo um limite do tipo

limx→0

1− cos2 x

x senx2

Usando a formula de Taylor de seno e cosseno, temos

1− cos2 x

x2 senx2=

1−(

1− x2

2+R3(x, 0)

)2

x2 (x2 + S2(x2, 0))=

x4

2+R6(x, 0)

x4 + S6(x, 0)

onde os ultimos dois restos acima sao de ordem 6 ou seja verificam:

limx→0

R6(x, 0)

x6= lim

x→0

S6(x, 0)

x6= 0 (∗)

(verifique come exercıcio as propriedades de convergencia a zero dos resto acima). Temos

x4

2+R6(x, 0)

x4 + S6(x, 0)=x4

x4

1

2+S6(x, 0)

x4

1 +S6(x, 0)

x4

.

Obviamente vale

limx→0

R6(x, 0)

x4= lim

x→0

S6(x, 0)

x4= 0

devido aos limites (∗) acima, e portanto o limite inicial vale 1/2.

33. Sexta-feira, 15 de junho de 2018 (manha), 34. Sexta-feira, 15 de junho de 2018 (tarde)

e 35. Segunda-feira, 18 de junho de 2018

52

Definicao 45. Dada f : I → R, I intervalo, uma funcao G : I → R e dita primitiva de f se

G′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Se uma funcao f admite uma primitiva G, entao admite infinitas, sendo uma primitiva de f cada funcao do

tipo H(x) = G(x) + k, onde k e uma constante. Temos outras primitivas? nao, se o domınio e um intervalo

como o seguinte teorema apresenta. A demonstracao e facil e e uma consequencia direta do teorema do

valor medio (de Lagrange)

Teorema 46. Se G(x) e L(x) sao duas primitivas de f , entao, G− L e constante.

O sımbolo ∫f(x) dx.

denota o conjunto de todas as primitivas de f (como nas maioria dos livros), ou, um pouco mais simples-

mente, uma qualquer primitiva de f . Este sımbolo e chamado tambem integral indefinida de f .

O conceito de primitiva, as vezes, pode ser considerado para funcoes naodefinidas em intervalos. Por

exemplo, log |x| e uma primitiva de 1/x (tambem no intervalo (−∞, o)). Verifique como exercıcio. Podemos

portanto escrever ∫1

xdx = log |x|.

Podemos tambem escrever ∫1

xdx = log |x|+ c.

determinando assim infinitas primitivas de 1/x mas nao todas.

Exercıcio 391. Porque nao sao todas? Prove isso observando que o domınio de 1/x nao e um intervalo.

Algumas tecnicas para procurar as primitivas.

1. Primitivas de funcoes racionais.

Seja f(x) =P (x)

Q(x). Procuramos ∫

P (x)

Q(x)dx

onde P e Q sao polinomios. Se o grau de P e ≥ do grau de Q, fazemos a divisao obtendo

f(x) = P (x) +R(x)

Q(x).

O problema e agora ∫R(x)

Q(x)dx.

Entao, voltando a ∫P (x)

Q(x)dx

53

suponhamos que o grau de P seja < do grau de Q.

Exemplo ∫2x+ 1

x2 + x− 2dx.

O denominador possui duas raizes reais 1 e −2. Escrevemos

2x+ 1

x2 + x− 2=

A

x− 1+

B

x+ 2, (1)

onde A e B sao constantes que queremos determinar para verificar a igualdade acima, para cada x. Temos

2x+ 1

x2 + x− 2=A(x+ 2) +B(x− 1)

(x− 1)(x+ 2)=

(A+B)x+ 2A−B(x− 1)(x+ 2)

.

Ou seja, (A+B)x = 2x e 2A−B = 1. Portanto A e B devem solucionar o sistema{A+B = 2

2A−B = 1

as solucoes sao A = 1 e B = 1. Obtemos

2x+ 1

x2 + x− 2=

1

x− 1+

1

x+ 2,

enfim, ∫2x+ 1

x2 + x− 2dx = log |x− 1|+ log |x+ 2|+ c.

No problema ∫x− 2

(x+ 3)2dx.

o denominador possui raiz dupla, −3. Entao, usamos a formula

x− 2

(x+ 3)2=

A

(x+ 3)2+

B

x+ 3

onde A e B sao constantes incognitas. Temos

x− 2

(x+ 3)2=A+B(x+ 3)

(x+ 3)2.

Isso implica B = 1 e A+ 3B = −2, ou seja A = −5. Portanto

x− 2

(x+ 3)2= − 5

(x+ 3)2+

1

x+ 3

enfim ∫x− 2

(x+ 3)2dx =

5

x+ 3+ log |x+ 3|+ c.

Seja o problema ∫1

x2 + x+ 2dx.

Procuramos uma primitiva da forma arctg (f(x)). Para este fim escrevemos o denominador como x2 +

x + 2 = (x + a)2 + b. Procuramos a. O termo de grau 1 de (x + a)2 + b e obviamente 2ax; portanto deve

ser 2ax = x, ou seja a = 1/2. entao, b = 7/4.

54

Agora precisamos do denominador na forma (αx+ β)2 + 1. No nosso caso

1

x2 + x+ 2=

4

7

1(2√7x+

1√7

)2

+ 1

.

Obtemos portanto ∫1

x2 + x+ 2dx =

2√7

arctg

(2√7x+

1√7

).

em conclusao: ∫3x− 2

x2 + x+ 2dx =

3

2

∫2x+ 1

x2 + x+ 2dx− 7

2

∫1

x2 + x+ 2dx =

3

2log(x2 + x+ 2

)−√

7 arctg

(2√7x+

1√7

)+ c.

Exercıcios 392. Determine as primitivas seguintes

∫1

(x+ 1)(x− 2)dx,

∫1

x2 + x+ 1dx,

∫1

x(x+ 2)dx,

∫x+ 3

x+ 3x2dx,

∫1− x

(1 + x)(1 + 3x)dx,

e seguintes (um pouco mais difıceis)

∫1

x(x+ 1)2dx,

∫x− 3

x(x2 − 2x+ 1)dx,

∫1

(x2 + 1)(x2 − 1)dx,

∫x2 + 1

(x+ 1)2(1− x)dx,

∫1

x(x2 + 1)dx.

2. Integracao por partes. E uma tecnica usada para procurar primitivas de funcoes escritas, geral-

mente, como produto de funcoes. E uma consequencia da formula da derivacao do produto.

Consideramos duas funcoes f(x) e g(x) derivavelem um intervalo. Temos:

D(f(x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

entao

f(x)g(x) =

∫f ′(x)g(x)dx+

∫f(x)g′(x) dx.

Se, portanto, queremos resolver∫h(x)k(x)dx, podemos procurar uma primitiva de h(x) ou de k(x), por

exemplo H(x) primitiva de h(x), e depois escrever∫h(x)k(x) dx = H(x)k(x)−

∫H(x)k′(x) dx.

A escolha se procurar primeiro a primitiva h ou de k e em funcao de obter contas mais simples.

Exercıcios 393. Calcule as primitvas seguintes:

∫log x dx,

∫(x+ 1)ex dx,

∫arctgx dx,

∫arcsenx dx,

∫cos2 x dx,

∫ √1− x2 dx,

∫x log x dx,

∫x2e−x dx,

∫x senx dx,

∫(x3 + 1) log x dx,

55

∫2xarctgx dx,

∫ex cosx dx,

∫2x log(x+ 1) dx,

∫2xarcsenx dx,

∫sen 2x dx,

3. Integracao por substituicao e de derivadas de funcoes compostas. E um metodo nao facil,

que se usa para alguns tipos de funcoes. Em geral, dada∫f(x) dx,

se f(x) se apresenta como a derivada de uma funcao composta, a integral acima pode ser simples.

Exemplos: ∫g′(x)

g(x)dx = log |g(x)|∫

gα(x) g′(x) dx =gα+1(x)

α+ 1, se α 6= −1∫

g′(x)

1 + g2(x)dx = arctg g(x)

Exercıcios 394. Calcule as integrais indefinidas seguintes∫sen 5x cosx dx

∫tgx dx

∫ex sen ex dx

∫xex

2dx

∫ex

1 + e2xdx∫

senx

2 + cosx, dx

∫log x

xdx

∫sen 2x(1 + cos2 x) dx

∫1

x log xdx

∫x

1 + x4dx

As vezes, esta derivacao de funcao composta e ”escondida” e precisa una troca de variavel. Neste caso,

cada exercıcio tem uma sua vida independente e e difıcil construir uma teoria geral. Vamos ver alguns

exemplos.

Seja f(x) contınua em um intervalo I (ou em um conjunto um pouco mais geral, como a uniao de

intervalos).

Seja F (x) uma primitiva di f(x). Consideramos uma funcao derivavel φ(u), tal que a composicao G(u) =

F (φ(u)) faca sentido. Entao G e derivavel e G′(u) = F ′(φ(u))φ′(u).

Se φ e invers’ivel, denotamos por ψ a inversa. Obtemos F (x) = G(ψ(x)) para todo x ∈ I. Resumindo:

se procurar

F (x) =

∫f(x) dx

e difıcil, podemos tentar uma troca de variavel u = ψ(x) (ou seja u(x)). Em seguida, tentamos resolver∫f(φ(u))φ′(u) du.

Se este exercıcio e possıvel, obtemos G(u) e entao F (x) = G(ψ(x)).

Exemplo ∫1

1 +√

1 + xdx

56

A nova varavel pode ser u =√

1 + x. Ou seja, ψ(x) = u(x) =√

1 + x. Portanto, x = x(u) = φ(u) = u2−1.

Enfrentamos ∫f(φ(u))φ′(u) du =

∫2u

1 + udu

Este segundo integral e facil. ∫2u

1 + udu = 2u− 2 log |u+ 1|.

Voltando a varavel x, temos G(u) = 2u − 2 log |u + 1| = F (x(u)). Portanto F (x) = G(u(x)) = 2√

1 + x −2 log(1 +

√1 + x) (porque aqui nao temos o valor absoluto?).

Exemplo (nao visto em sala de aula, mas que pode ser util)∫1

1 +√

1 + x2dx

Aqui a substituicao u =√

1 + x2, que parece a mais logıca, da problemas. De fato chegamos a integral∫u(1 + u)√u2 − 1

du

que nao tem nenhma vantagem respeito a acima. E melhor escolher u+ x =√

1 + x2. Continue o exercıcio.

Exemplo. Razoes de polinomios trigonometricos. Sejam∫1

senxdx e

∫1

cosxdx.

A substituicao e x = φ(t) = 2arctg t, cuja inversa e t = ψ(x) = tgx

2. Temos

senx = sen (x/2 + x/2) = 2 sen (x/2) cos(x/2) = 2tg (x/2) cos2(x/2) = 2tg (x/2)(1 + tg 2(x/2))

(lembre a derivada da tangente). Portanto

senx =2t

1 + t2, cosx =

1− t2

1 + t2, φ′(t) =

2

1 + t2.

Enfim, ∫1 + t2

2t

2

1 + t2dt =

∫1

tdt = log |t|+ c.

Voltando a varavel x, ∫1

senxdx = log

∣∣∣tg x2

∣∣∣Exercıcios 395. Calcule as integrais indefinidas seguintes:

∫senx

2 + cosxdx

∫x√

1− x4dx

∫log x

xdx

∫x

1 + x4dx

∫ex

1 + exdx

∫log x+ log2 x

xdx

∫cos log x

xdx

∫log x

x(1 + log x)dx

∫senx cosx

1 + cos4 xdx

∫1

x log xdx

∫x√

1 + x2dx

∫1√

1− 4x2dx

∫x+ 2√1− x2

dx

∫extg ex dx

∫sen 3x dx

57

∫1√

1 + x2dx

∫1√1√xdx

∫ √1 + x2 dx

∫senx

1− senxdx

∫1− x2√1 + x2

dx

Outros exercıcios com respostas.

Exercıcio 396. Calcule as primitivas seguintes e verifique o resultado obtido fazendo a derivada da funcao

primitiva. ∫x log x dx

∫x2e−x dx

∫x senx dx∫

(x3 + 1) log x dx

∫2xarctgx dx

∫ex cosx dx∫

2x log(x+ 1) dx

∫2xarcsenx dx

Respostas:x2

2log

(x− 1

2

), −(x2 + 2x + 2)e−x, senx − x cosx,

(x4

4+ x

)log x − x4

16−

x, (x2 + 1)arctgx− x, ex

2( senx+ cosx), (x2− 1) log(x+ 1)− x

2

2+ x,

(x2 − 1

2

)arcsenx+

1

2x√

1− x2

Exercıcio 397. Calcule as primitivas seguintes e verifique o resultado obtido fazendo a derivada da funcao

primitiva. ∫t

1 + tdt

∫x

1 + x2dx

∫x2 + x

1 + x2dx

∫1√

1− 4x2dx

∫x cosx2 sen 2x2 dx

∫x log x+ 1

x2dx

∫cosxe2 senx dx

∫ex

1 + 2e2xdx

∫2x+ 1

x2 + x+ 3dx

∫x√

1 + x2dx

∫sen 3x dx

∫xe−x

2dx

Respostas: t−log |1+t|, 1

2log(1+x2), x+

1

2log(1+x2)−arctgx,

1

2arcsen 2x,

1

6sen 3x2,

1

2log2 x−1

x,

1

2e2 senx,

1√2

arctg (√

2ex), log(x2+x+3),√

1 + x2,1

3cos3 x−cosx, −1

2e−x

2.

36. Quarta-feira, 20 de junho de 2018 e 37. Sexta-feira, 22 de junho de 2018

Equacoes diferenciais ordinarias

Trate-se de equacoes onde as incognitas sao funcoes (e nao numeros como estamos mais acostumados nas

equacoes algebricas) e onde aparecem tambem as derivadas das funcoes incognitas ate uma certa ordem.

Por exemplo, o que significa o problema

cos(y′ + y) = t? (2)

58

Significa procurar uma funcao f(t), definida em um intervalo I (a ser determinado) que verifique a igualdade

cos(f ′(t) + f(t)) = t para todo x ∈ I.

A equacao (2) poderia ser chamada “equacao funcional” porque a incognita e uma funcao. Se usa o termo

equacao diferencial para destacar o fato de que estao presentes as derivadas.

Determinar uma solucao de (2) acima e praticamente impossıvel. Isso acontece com a grande maioria das

equacoes diferencias. Somente grupos extremamente particulares de equacoes permitem encontrar solucoes

eplicitas.

A equacao

y′ = y (3)

e bem mais simples. Possui infinitas solucoes, isto e as funcoes do tipo y(t) = aet, definidas em R, para cada

valor do parametro a real.

Temos usada a palavra ”solucao”. Que significa solucao? Uma funcao e chamada solucao se verifica a

igualdade acima para cada t no seu domınio.

A equacao acima e dita de primeira ordem porque a primeira derivada e a derivada de ordem maxima

que aparece na equacao.

Equacoes diferenciais lineares

Sao do tipo

u(n) + an−1(t)un−1 + ... + a1(t)u

′ + a0(t)u = f(t),

onde as funcoes ai(t) com i = 0, ..., n − 1 e a f(t) sao contınuas e definidas em um intervalo I. A equacao

acima e de ordem n, devido a maior derivada que aparece. Se f e a funcao nula, a equacao acima e dita

homogenea. Se uma equacao linear for de primeira ordem, temos um metodo geral de resolucao. Se for de

ordem maior, temos um metodo geral quando os coeficientes (as funcoes ai) sao constantes.

Equacoes diferenciais lineares de primeira ordem

Sao equacoes da forma

y′ = a(t)y + b(t) (1)

, onde a e b sao funcoes dadas e definidas em um intervalo.

Para resolver a (1) a primeira coisa e abordar a equacao

y′ = a(t)y (1h),

que chamamos homogenea associada. A funcao nula e solucao de (1h), definida no mesmo domınio de a. Se

y(t) 6= 0, a (1h) equivalente a

y′/y = a(t).

Integrando e denotando por A(t) uma primitiva de a(t), temos que as solucoes de (1h) verificam∫y′(t)

y(t)dt = A(t) + k

59

onde k e uma constante real. Portanto

log |y(t)| = A(t) + k,

ou seja

|y(t)| = eA(t)+k = ceA(t)

onde c e uma constante positiva. Portanto, as solucoes sao as funcoes da forma

y(t) = ceA(t),

onde agora, eliminando o modulo, c pode ser uma qualquer constante real (o caso c = 0 representa a solucao

nula, que foi a primeira encontrada).

Para estudar a equacao completa (2h) procuramos uma solucao do tipo y(t) = c(t)eA(t), onde c(t) e uma

funcao a ser determinada. Se y(t) = c(t)eA(t) for solucao, temos que y′(t) = c′(t)eA(t) + c(t)eA(t)a(t) deve ser

igual a a(t)y(t) + b(t), ou seja deve ser c′(t) = e−A(t)b(t). Enfim, todas as solucoes sao as infinitas funcoes

da forma y(t) =∫e−A(t)b(t) dt · eA(t) onde

∫e−A(t)b(t) dt e uma qualquer primitiva de e−A(t)b(t). O domınio

e o domınios intersecao dos domınio de a e b.

Exercıcio 398. Determine a famılia das solucoes das equacoes seguintes (determinando, inclusive, os

domınios das solucoes):

y′ = e−y y′ = ty2 y′ =y + 1

t+ 1y′ = t/y y′ =

y

2t+ t2

y′ = ytg t+ cos t y′ + 2y cos t = sen 2t y′ =y

t+ 2+

1

4ty′ =

1√4t

+ 1

Equacoes diferenciais lineares de segunda ordem, ou maior, com coeficientes constantes

As equacoes de ordem maior do que 1 sao bem mais complicadas, mesmo lineares. Metodos completos para

aborda-las sao dados unicamente no caso de coeficientes constantes. Comecamos estudando uma equacao

de segunda ordem homogenea:

u′′ + bu′ + cu = 0. (4)

Nao temos resultados gerais da teoria que dizem se a equacao acima possui solucoes (ou seja: tais resul-

tados existem, mas nos nao conhecemos). Podemos observar que pode ser logico procurar possıves solucoes

entre as funcoes exponenciais ou trigonometricas. Porque? porque as funcoes exponenciais e trigonometricas

“nao variam muito” (entre aspas) quando sao derivadas. Por exemplo et e solucao de u′′−u = 0. E tambem

solucao de 2u′′−u′−u = 0. A derivada de uma exponencial continua sendo uma exponencial com o mesmo

expoente. Por outro lado, cosx e senx sao solucoes da equacao do oscilador harmonico u′′ + u = 0 (como

visto em sala de aula).

Portanto, voltamos a uma equacao mais geral como a equacao (4) e tentamos encontrar uma solucoes do

tipo v(t) = eat, definida em R, onde a e uma constante real a ser determinada. v(t) e solucao de (4) se e

somente se

v′′(t) + bv(t) + cv(t) = 0 ∀t ∈ R,

ou seja, se e somente se

a2eat + b aeat + ceat = 0 ∀t ∈ R.

60

A igualdade anterior pode facilmente ser reescrita como

(a2 + b a+ c)eat = 0 ∀t ∈ R,

e sera claramente verificada se e somente se a2+b a+c = 0 (nao e tao importante o fato de que a exponencial

nunca se anula, quanto o fato de que as igualdades anterior centradas devem valer para todo t real; por isso

o coeficiente deve ser necessariamente zero).

A igualdade a2 + b a+ c = 0 significa, em outras palavras, que a e solucao da equacao algebrica de grau 2

λ2 + b λ+ c = 0. (5)

A equacao anterior se chama equacao caraterıstica associada a (4). O argumento anterior e de fato a

demonstracao do resultado seguinte.

Proposicao 47. Considere uma equacao homogenea de segunda ordem u′′ + bu′ + cu = 0. Se λ1 ∈ R e

solucao da equacao caraterıstica associada λ2 + b λ+ c = 0, entao v(t) = eλ1t, definida em tudo R, e solucao

da equacao diferencial u′′ + bu′ + cu = 0. Mais precisamente, todas as infinitas funcoes do tipo c1eλ1t, onde

c1 e uma constante real, sao solucoes da equacao diferencial u′′ + bu′ + cu = 0.

Exercıcio 399. Desenvolva novamente o argumento e prove a proposicao acima.

Vamos agora aprofundar o estudo. Considaramos uma equacao como a (4) e consideramos a equacao

caraterıstica associada (5). Suponhamos que a (5) possua duas raizes reais e distintas, λ1 6= λ2. Pegando o

argumento anterior, e facil mostrar que a (4) possui infinitas solucoes do tipo

u(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t.

Exercıcio 400. Prove esse resultado.

Problema: existem solucoes de (4) de forma diferente? A resposta e nao. Em sala de aula esse fato foi

demonstrado. Ou seja, foi provado o seguinte teorema.

Teorema 48 (Caso 1: duas raizes reais e distintas da equacao caraterıstica associada). Considere uma

equacao diferencial do tipo (4). Suponha que a equacao caraterıstica associada possua duas raizes reais e

distintas λ1 6= λ2. Entao, a (4) possui uma famılia infinita de solucoes da forma

u(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t, c1, c2 ∈ R, t ∈ R.

Alem disso, a (4) nao possui nenhuma solucao que nao seja da forma anterior.

Exercıcio 401. De a demonstracao do teorema como foi feito em sala de aula (tal demonstracao pode ser

encontrada no livro do Guidorizzi, vol. 2).

Os dois proximos teoremas (que foram explicados mas nao completamente demonstrados em sala de aula)

consideram os casos em que a equacao caraterıstica associada possui: a.) uma unica raiz real, b.) duas

raizes complexas conjugadas.

61

Teorema 49 (Caso 2: uma unica raiz real da equacao caraterıstica associada). Considere uma equacao

diferencial do tipo (4). Suponha que a equacao caraterıstica associada possua uma unica raiz real λ1. Entao,

a (4) possui uma famılia infinita de solucoes da forma

u(t) = c1eλ1t + c2te

λ1t, c1, c2 ∈ R, t ∈ R.


Teorema 50 (Caso 3: duas raizes complexas conjugadas da equacao caraterıstica associada). Considere

uma equacao diferencial do tipo (4). Suponha que a equacao caraterıstica associada possua duas raizes

complexas conjugadas α± iβ. Entao, a (4) possui uma famılia infinita de solucoes da forma

u(t) = eαt(c1 cos(βt) + c2 sen (βt)) c1, c2 ∈ R, t ∈ R.


Exercıcio 402. Prove a parte “facil” dos dois teoremas anteriores, ou seja, prove o seguinte: no caso em

que equacao caraterıstica associada possua uma unica raiz real λ1, prove que todas as funcoes do tipo

u(t) = c1eλ1t + c2te

λ1t, c1, c2 ∈ R, t ∈ R.

sao solucoes da (4).

Tambem prove que, no caso em que equacao caraterıstica associada possua duas raizes complexas conju-

gadas α± iβ, prove que todas as funcoes do tipo

u(t) = eαt(c1 cos(βt) + c2 sen (βt)) c1, c2 ∈ R, t ∈ R.

sao solucoes da (4).

Problemas de Cauchy

Um problema de Cauchy e uma equacao diferencial acompanhada da uma condicao inicial. No caso de

uma equacao de primeira ordem, um problema de Cauchy se apresenta geralmente na forma seguinte{u′ = f(t, u)

u(t0) = u0,(6)

onde f(x, y) e uma funcao definida em um subconjunto E de R2 com valores em R e t0, u0 sao dois numeros

reais dados. Assim, uma solucao do problema sera uma funcao u : I → R, definida em um conveniente

intervalo I, tal que u′(t) = f(t, u(t)) para todo t ∈ I e tal que u(t0) = u0.

No caso de uma equacao de segunda ordem, um problema de Cauchy se apresenta geralmente na forma

seguinte u′′ = f(t, u, u′)

u(t0) = u0,

u′(t0) = u1,

(7)

onde a interpetacao do problema acima e analoga aquela do problema (6).

Exercıcio 403. Defina o conceito de solucao para o problema (7).

62

Exercıcio 404. Considere o problema de Cauchy seguinte (ligado a equacao do oscilador harmonico):u′′ + u = 0

u(0) = 0,

u′(0) = 0.

(8)

Prove que o problema acima possui somente uma solucao e que tal solucao e a funcao identicamente nula.

Sugestao: suponha que uma dada funcao v seja solucao. Multiplica os termos da igualdade v′′ + v = 0 por

v′(t) e observe que o produto obtido e a derivada de uma conveniente funcao. Daı para frente, pode concluir

que v deve ser a funcao nula.

Exercıcio 405. Determine a solucao geral das equacoes seguintes:

u′′ − 3u′ = 0, u′′ − u′ − 2u = 0, u′′ + 2u′ − 3u = 0, u′′ + u = 0,

u′′′ − u′ = 0, u′′ + 4u = 0, u(5) − u(4) + u′′′ − u′′ + u′ − u = 0.

Respostas:

c1 + c2e3t, c1e

−t + c2e2t, c1e

t + c2e−3t, c1 sen t+ c2 cos t,

c1 + c2et + c3e

−t, c1 sen 2t+ c2 cos 2t,

c1et + et/2

(c2 cos(

√3t/2) + c3 sen (

√3t/2)

)+ e−t/2

(c4 cos(

√3t/2) + c5 sen (

√3t/2)

).

38. Segunda-feira, 25 de junho de 2018

Vamos ver agora algumas tecnicas para abordar equacoes de segunda ordem, com coeficientes constantes

e nao homogeneas. Temos uma regra geral que vamos resumir no teorema seguinte.

Teorema 51. Considere uma equacao

u′′ + bu′ + cu = f(t), (9)

onde f e uma funcao contınua definida em um intervalo I. Suponhamos ter determinado

(1) a solucao geral da homogenea associada c1g1(t) + c2g2(t) onde g1 e g2 sao obtida de acordo com os

casos apresentados nos teoremas 48, 49 e 50.

(2) uma solucao particular h : I → R da equacao (9).

Entao, todas as solucoes da (9) sao as funcoes

u(t) = h(t) + c1g1(t) + c2g2(t).

63

Exercıcio 406. Prove o teorema acima.

A tecnica do teorema acima e sim geral, mas ate um certo ponto. Porque para determinar uma solucao

particular da equacao completa muitas vezes aplicamos metodos eurısticos (ou seja, baseados na observacao

e na imaginacao e nao na aplicacao de uma formula consolidada)

Vamos ver alguns exemplos.

Exemplo 52. No problema seguinte suponha a > 0:

u′′ − au = 1 + t2 (10)

Observamos que a solucao geral da equacao homogenea associada e c1e√at + c2e

−√at. Procuramos agora

uma solucao particular de (11) do tipo h(t) = A+Bt+ Ct2. Substituindo h na (11), temos

A = −(2 + a)/a2, B = 0, C = −1/a.

A solucao geral da (11) e a famılia de funcoes

u(t) = −2 + a

a2− t2

a+ c1e

√at + c2e

−√at

onde c1 e c2 sao parametros reais.

Exemplo 53. Seja:

u′′ + u′ = t (11)

A solucao geral da equacao homogenea associada e c1 + c2e−t. Procuramos uma solucao do tipo h(t) =

Bt+Ct2. Observe que o termo A e necessariamente nulo - e portanto inutil - devido ao fato que na equacao

aparecem u′′ e u′. Analogamente, observe que a forma h(t) = Bt nao seria suficiente.

Substituindo h na (11), temos

B = −1/4, C = 1/4.


u(t) = − t4

+t2

4+ c1 + c2e

−t


Exemplo 54. Seja:

u′′ + 2u′ + 3u = 2e3t. (12)

A solucao geral da equacao homogenea associada e e−t(c1 cos(

√2t) + c2 sen (

√2t)). Procuramos uma solucao

particular da equacao completa do tipo h(t) = Ae3t. Substituindo h na (12), temos

A = 1/9.


u(t) =1

9e3t + e−t

(c1 cos(

√2t) + c2 sen (

√2t))


64

Exemplo 55. Seja:

u′′ + u′ − 2u = et. (13)

A solucao geral da equacao homogenea associada e c1et + c2e

−2t. Diversamente do exercıcio anterior,

observe que a funcao candidata naturalmente Aet nao pode funcionar, porque as Aet sao todas solucoes

da homogenea associada. Precisamos variar (mas nao muito). Procuramos uma solucao do tipo h(t) =

(At2 + Bt)et. Observe que mesmo escolhas do tipo Atet ou (At + B)et nao funcionam (Exercıcio 407.

verifique diretamente e tente explicar porque). Substituindo h na (11), temos

A = 0, B = 1/3.


u(t) =tet

3+ c1e

t + c2e−2t


Exercıcio 408. Resolvam os problemas de Cauchy seguintes:u′′ + 3u′ − 4u = 0

u(0) = 1

u′(0) = 2

u′′ + 3u′ + 4u = 0

u(0) = 0

u′(0) = 1

u′′ + 13u′ − 1044u = 0

u(0) = 0

u′(0) = 0

Porque no terceiro problema nao precisa perder muito tempo em contas?

Exercıcio 409. Determine a solucao geral da equacao u′′ + 3u′ + 2u = 2 sen (4t).

Exercıcio 410. Determine a solucao geral da equacao u′′ + 4u = sen (2t). Observe que se manifesta uma

dificuldade parecida aquela do exemplo 55.

Documents

MAT 111 - C alculo Diferencial e Integral I - 1 semestre ...pluigi/registro-MAT111-18.pdf · inteiros relativos, Q dos numeros racionais e R dos numeros reais. De ni˘c~ao (intuitiva)