1

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI..............................................................................1 BAB 8. GERAK ROTASI ..........................................................2

8.1 Besaran-Besaran Sudut..............................................2 8.2 Persamaan-persamaan Kinematika............................2 8.3 Gerakan Menggelinding..............................................4 8.4 Torsi ............................................................................4 8.5 Dinamika Rotasi, Inersia Rotasi ..................................5 8.6 Energi Kinetik Gerak Rotasi........................................6 8.7 Momentum Sudut........................................................7 8.8 Quis 8..........................................................................8

BAB 8. GERAK ROTASI

8.1 Besaran-Besaran Sudut

Dalam gerak putar, terdapat sejumlah besaran fisik yang serupa dengan besaran fisik yang terlibat dalam gerak linier. Namun semua besaran gerak putar tersebut bersifat menyudut anguler. Sebagai contoh, jika dalam gerak linier terdapat lintasan gerak, S, maka dalam gerak putar terdapat intasan yang berupa sudut, θ . Sudut ini menggambarkan besarnya lintasan yang telah ditempuh oleh

partikel atau sistem partikel yang ber-gerak putar. Demikian pula dengan besaran kecepatan. Jika dalam gerak linier terdapat kecepatan (linier), maka dalam gerak putar terdapat kecepatan, yakni kecepatan sudut. Selanjutnya, dalam gerak linier terdapat percepatan, maka demikian juga dalam gerak putar juga terdapat besaran percepatan sudut.

8.2 Persamaan-persamaan Kinematika

Hubungan matematik dalam kedau kelompok besaran tersebut juga memiliki persamaan, yang dapat dilihat dalam hubungan-hubungan berikut. Pertama, persamaan kecepatan dalam gerak linier dinyatakan oleh

dSvdt

= (5.1)

Dalam gerak putar persamaan untuk kecepatan sudut adalah

ddtθω = (5.2)

Demikian pula, jika dalam gerak linier persamaan untuk percepatan linier (tangensial) adalah

2

2dv d Sadt dt

= = (5.3)

maka persamaan untuk percepatan sudut diberikan oleh persamaan yang serupa, yaitu

2

2

2d ddt dtω θα = = (5.4)

Selain adanya persamaan bentuk rumusan, sebagai dijelaskan di atas, antara besaran-besaran pada gerak linier dan gerak putar terdapat hubungan, yang dapat dijelaskan melalui persamaan-persamaan di bawah ini. Pertama, asal mula hubungan tersebut adalah hubungan matematik dari lintasan linier (tangensial) S yang berupa busur, dengan lintasan sudut, yang diberikan oleh

S rθ= (5.5)

Dari persamaan (5.1), (5.2),dan mengingat hubungan-hubungan (5.3), (5.4), dan hubungan (5.5), maka dapat diperoleh hubungan-hubungan lain berikut.

v rω= (5.6)

dan

a rα= (5.7)

Keserupaan rumusan dan hubungan antar besaran, seperti dicontohkan di atas, terjadi secara luas antara kedua kelompok besaran. Tabel berikut memberikan kesamaan dan hubungan yang dimaksud.

Besaran Gerak Linier Satuan (mks)

Gerak Putar, dan Hub.nya dengan Gerak Putar

Satuan (mks)

Perpindahan S m θ rad, oKecepatan /v dS dt= m/s /d dtω θ=

/v rω = rad/s

Percepatan 2/ /a dv dt d S dt= = 2 2 m/s2 2/ /d dt d dtα ω θ= = /a rα =

rad/s2

Massa m kg I (momen inersia) kg m2

Gaya F m a= N Iτ α= (momen gaya) = ×τ r F

N m

Usaha W = ⋅F S J W = ⋅τ θ J Daya /P W t= = ⋅F v watt /P W t= = ⋅τ ω watt Momentum p mv= kg m/s L Iω=

=L r ×p N m

Impuls tF kg m/s tτ kg m2/s

3

Persamaan Gerak Linier JenisGerak Persamaan Gerak Putar JenisGerak S v t= GLB tθ ω= GMB

0v v a t= + GLBB 0 a tω ω= + GMBB

2 20 2v v a= + S GLBB 2 2

0 2ω ω α= + θ GMBB

210 2S v t a t S= + + 0 GLBB 21

0 2t t 0θ ω α θ= + + GMBB

8.3 Gerakan Menggelinding

Gerakan menggelinding sebuah bola atau roda banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari: sebuah bola menggelinding melintasi lantai, atau roda dan ban mobil atau sepeda berputar sepanjang jalan. Gerak menggelinding tanpa selip dapat dianalisa langsung karena hanya bergantung pada gedekan statik antara benda yang menggelinding dan lantai. Gesekan bersifat statik karena titik kontak benda yang menggelindig dengan lantai berada dalam keadaan diam pada setiap saat. Bergulir tanpa selip melibatkan rotasi dan translasi, dengan hubungan antara laju linier v sumbu roda

dan kecepatan sudut ω dari roda atau bola yang menggelinding dinyatakan sebagai: v = rω.

8.4 Torsi

Pada benda yang mengalami gerak linier, percepatan timbul oleh karena adanya gaya yang bekerja pada benda. Dalam gerak putar hal yang serupa juga terjadi. Percepatan anguler pada benda yang bergerak putar timbul karena pada benda tersebut bekerja besaran momen gaya (torsi). Momen gaya sendiri sesungguhnya muncul karena ada gaya yang bekerja pada sistem lengan yang mempengaruhi gerak putar benda.

Jika pada suatu benda yang berputar terhadap suatu sumbu putar, terdapat gaya yang bekerja pada lengan gaya yang berhubungan dengan benda tersebut, maka momen gaya yang timbul diberikan oleh persamaan vektor berikut.

ˆsinrF θ τ= × =τ r F (5.8)

4

Gambar 5.1 Representasi gerak putar

Arah dari vektor momen gaya diberikan oleh vektor satuannya,, τ̂ , yaitu keluar bidang kertas,

menuju ke pembaca, karena merupakan hasil kali silang antara dan F. r

8.5 Dinamika Rotasi, Inersia Rotasi

Momen gaya dari sistem partikel adalah jumlah dari momen gaya yang bekerja pada masing-masing partikel. Atau, secara matematik dapat dinyatakan oleh persamaan

2i i i

im rτ τ= =∑ ∑ α (5.9)

Persamaan (5.9) untuk momen gaya di atas dapat ditulis secara lebih kompak dan serupa dengan rumusan untuk gaya dalam bentuk

Iτ α= (5.10)

dengan

2i i

iI m r= ∑ (5.11)

I biasanya disebut dengan momen inersia.

Momen inersia untuk sistem yang malar (continuous), dapat dihitung dengan integral, untuk menggantikan tanda jumlahan pada persamaan (5.11). Persamaan untuk menghitung momen inersia sistem malar adalah

2I r dm= ∫ (5.12)

5

Perlu diperhatikan bahwa, meskipun dimensi dan satuan dari besaran momen gaya sama dengan dimensi dan satuan dari energi (yakni N m, atau dyne cm, dan sebagainya), namun kedua besaran adalah dua besaran yang berbeda. Besaran momen gaya hanya muncul dalam gerak lengkung (termasuk gerak putar), dan tidak dalam gerak jenis lain, sedangkan besaran energi adalah besaran y ada pada jenis gerak yang menapun.

8.6 Energi Kinetik Gerak Rotasi

Setelah melihat banyak kesamaan antara besaran-besaran dalam gerak linier dan gerak putar, maka kini menjadi lebih mudah untuk merumuskan berbagai besaran fisik yang berkaitan dengan gerak putar. Sebagai contoh, besaran energi kinteik untuk gerak putar dapat diturnkan dengan mudah, dengan beranalogi dengan rumusan pada gerak linier. Jika pada gerak linier rumusan energi

kinetik itu adalah 212K mv= , maka pada gerak putar, persamaan untuk energi kinetik partikel atau

sistem adalah

212

K Iω= (5.13)

Contoh: Suatu silinder pejal bergerak mendatar di atas lantai karena sesuatu gaya yang bekerja padanya. Tentukan, mana yang lebih cepat di antara dua keadaan: (i) jika silinder bergerak dengan hanya menggeser tanpa menggelinding, dan (ii) silinder bergerak menggelinding Penyelesaian: Jika dimisalkan energi yang dipunyai oleh silinder akibat gaya yang bekerja padanya adalah X, maka pada kasus (i) seluruh energi akan berubah menjadi energi kinetik, yaitu memenuhi persamaan

212

mv X= atau 2Xvm

=

Sedangkan pada kasus kedua, silinder akan memiliki dua macam energi kinetik, yaitu energi kinetik geser (translation), dan energi kinetik putar (rotation). Oleh karenanya, berlaku persamaan

2 21 12 2

mv I Xω+ =

6

Karena hubungan persamaan (5.6) dan harga 21/ 2I mr= untuk silinder, maka persamaan di atas

dapat dituliskan sebagai 2 2 21 1 1( )( / )2 2 2

mv mr v r X+ =

Atau 23 34 4

K mv= = X , sehingga 43Xvm

=

Dengan demikian, silinder bergerak secara lebih cepat pada kasus pertama daripada pada kasus kedua

8.7 Momentum Sudut

Momentum sudut adalah salah satu besaran paling penting dalam masalah yang menyangkut

gerak putar. Adapun perumusan momentum sudut dalam gerak putar dapat dilakukan

dengan mengacu pada rumusan kesetaraan antara gerak linier dan gerak putar, sebagai telah

disajikan dalam tabel di atas.

Dalam gerak linier, definisi momenstum adalah

v (5.14) m=p

Mengikuti analogi sebagai yang telah dijelaskan di atas, maka untuk gerak putar akan didapatkan hubungan untuk momentum sudut L

L Iω= (5.15)

Atau

I=L ω (5.16)

Jika dinyatakan ke dalam besaran-besaran linier (tangensial) gerak, maka hubungan dalam persamaan (5.16) dapat dituliskan lagi, secara vektor maupun nilai skalarnya, sebagai

ˆsinmvr Lθ= × =L r p (5.17)

dan

sinL mv r θ= (5.18)

θ Pada persamaan (5.17) dan persamaan (5.18) merupakan sudut antara dan momentum

linier p .

r

Jika pada gerak linier terdapat hubungan yang menggambarkan Hukum III Newton

7

ddt

=p F

maka, demikian pula, pada gerak putar terdapat hubungan yang serupa itu, yang juga merupakan penjelmaan dari Hukum III Newton pada gerak putar. Hubungan tersebut adalah

ddt

=L τ (5.19)

Menyimak persamaan (5.19), yang merupakan Hukum III Newton pada gerak putar, maka persamaan ini dapat diungkapkan kembali dengan kata-kata: “Jika momen gaya total yang bekerja

pada suatu system yg bergerak putar sama dengan nol, maka sistem bergerak putar dengan

momentum sudut yang tetap”.

8.8 Quis 8

1. Dua bola pejal menggelinding ke bawah (dari keadaan diam) bidang miring pada saat yang sama. Bola 1 memiliki radius massa 2 kali dari bola 2. Bola manakah yang lebih cepat sampai di kaki bidang miring?

2. Seseorang memberikan gaya 65 N di ujung pintu yang lebarnya 95 cm. Berapa besar torsi jika gaya yang diberikan (a) tegak lurus terhadap pintu; (b) membentuk sudut 45º terhadap bagian depan pintu!

3. Tentukan momentum sudut Bumi di sekitar sumbu rotasinya dengan menganggap Bumi sebagai bola serbasama!

8