7/25/2019 MAT VR (1)

1/36

LISTEK 1

1. Defniraj osnovni izrek o deljenju.Katero stevilo pri deljenju z 12 da kolicnik 4 z ostankom 2 (podobno besedilo)Zapisi minimalno in maksimalno stevilo, ki pri deljenju z 12 da kolicnik 4

2. eometrijska defnicija !iperboleZapis !iperbole, kjer sta osi na koordinatnima osema in skica te !iperboleZapis !iperbole s srediscem v "(p,#)Zapis sredisca, a in b !iperbole$ 4%&2 '1% *+&2 2-. kaj je kompozitum /unkcij0/$ 3 $ 3 (skica preslikav)5aloa$ /(%)-%6(%&2) (%)-2% 5apisi$ / o , o /, o

1) 7snovni izrek o deljenju naravni! stevil se lasi$ 8ezultat deljenjakatereakoli naravnea stevila a z naravnim stevilom b la!ko zapisemo kota-k9b'o kjer za o (ostanek) velja o:b.;ri deljenju 12 da kolicnik 4 in ostanek 2 stevilo

7/25/2019 MAT VR (1)

2/36

7/25/2019 MAT VR (1)

3/36

LISTEK 2

7/25/2019 MAT VR (1)

4/36

LISTEK 3

1. Kdaj sta kota skladna0 KakAna sta kota, ki imata vzporedne ali pravokotnekrake0 5arisan je paraleloram in nekaj trikotnikov v njemB iz njea odCitaA katerikraki kotov so vzporedni, kateri pravokotni.2. Kaj je niCla polinoma oziroma /unkcije (enkratne, veCkratne-. ;ovej osnovni

izrek alebre. Koliko niCel ima polinom nte stopnje. ;odan polinomB izraCunajnjeove niCle in jim doloCi stopnjo.. Defniraj arcsin, napiAi defnicijsko obmoCje in zaloo vrednosti. 5ariAi njeovra/. zraCunaj arcsin(162) in arcsin(64)

1) Za primerjanje kotov po velikosti najprej s toim premikom preslikamoenea na druea, tako da se vr!a kotov in eden izmed krakov prekrivata.e se tudi drui krak popolnoma prekrije, potem sta kota enako velika -skladna.

(Konveksna) kota, ki imata paroma vzporedne krake, sta skladna ali pasuplementarna.Ee sta pri tem oba para krakov usmerjena v isto smer, stakota skladna.Ee sta pri tem oba para krakov usmerjena v nasprotno smer,sta kota skladna.Ee je en par krakov usmerjen v isto smer, drui par pa vnasprotno, sta kota suplementarna. (Konveksna) kota, ki imata paroma

pravokotne krake, sta skladna ali pa suplementarna.Ee leFi vr! enea kotav notranjosti druea, sta kota suplementarna.Ee leFi vr! enea kota zunajdruea, sta kota skladna.

2) 5icla polinoma6/unkcije je element defnicijskea obmocja, katereapreslikava z dano /unkcijo je element v zaloi vrednosti. 7snovni izrekalebre se lasi$ Gsak nekonstanten polinom ima v kompleksnem vsaj enoniclo. e upostevamo se osnovni izrek o deljenju polinomov iz tea sledi,da ima polinom nte stopnje najvec n kompleksi! nicel, pri cemer so

nekatere la!ko dvojne, trojne itd. ?o pomeni da se v nicelnem zapisu/unkcije pojavijo veckrat.

) arcsin je inverzna /unkcija sinusne /unkcije, kateri smo omejilidefnicijsko obmocje od Hpi62 do 'pi62. ?ako je defnicijsko obmocje arcsinenako zaloi vrednosti sin, torej od 1 do 1 vkljucno in zaloa vrednostienaka omejenemu de/.obmocju sin, od Hpi62 do 'pi62. rcsin(162)-pi6arcsin(64) ne re brez kalkulatorja (ni lepa stevilka)

7/25/2019 MAT VR (1)

5/36

LISTEK 4

1. Kaj je prazna mnoFica0 Kaj je univerzalna mnoFica0 Kaj je komplementmnoFice0 Kaj je razlika dve! mnoFic0 5aloa$ maA dani dve mnoFici in moraA zapisati, (komplement) 6 3 ( se

pravi, komplement brez 3)2. 7piAite pokonCni kroFni stoFec. 5avedite /ormuli za povrAino in prostornino. Kajveste o preseki! stoFca z ravnino, ki je vzporedna osnovni ploskvi0 Kaj je presektakea stoFca z ravnino, ki vsebuje os stoFca0 5aloa$ maA stoFec, ki a na polovici viAine vodoravno presekaA0 G kakAnemrazmerju sta ploACini osnovni! ploskev0

. 000

1) ;razna mnozica je mnozica ki ne vsebuje nobenea elementa. Iniverzalnamnozica je mnozica vse! elementov, ki ji! preucujemo. Komplement mnozice jemnozica ki vsebuje vse elemente univerzalne mnozice, ki ji! ne vsebuje mnozica. 8azlika dve! mnozic je mnozica, ki vsebuje vse elemente, ki ji! prva mnozicavsebuje, drua pa ne.

2) ;okoncni krozni stozec je telo, katerea osnovna ploskev je kro, vr! lezi nad

srediscem tea kroa, plast pa je krozni izsek. ;-pi9r&2 ' pi9r9s G-16 9 pi 9r&2 9 v;resek stozca z ravnino, ki je vzporedna osnovni ploskvi je vedno kro. ;resek zravnino, ki vsebuje os stozca a ni vzporedna osnovni ploskvi je elipsa.e stozec na polovici visine presekas s ploskvijo, ki je vzporedna osnovni ploskvi

je razmerje osnovni! ploskev 1$4.

7/25/2019 MAT VR (1)

6/36

LISTEK 5

1. Kaj je izjava0 Kaj je neacija izjave0 Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav05ariAite pravilnostne tabele za neacijo, konjunkcijo in disjunkcijo.(naloe se ne spomnim, moral si doloCiti loiCno vrednost sestavljene izjave.

8eAitev je 5 nepravilna)2. Defnirajte linearno kombinacijo vektorjev. Kdaj so vektorji v ravnini (vprostoru) linearno neodvisni0 Kaj je baza ravnine (prostora)0 5a koliko naCinovla!ko izrazimo vektor kot linearno kombinacijo dani! bazni! vektojev v ravnini (vprostoru)0(naloa s kocko. ?oCka J je razpolavljala stranico 3, toCka 5 pa jerazpolavljala 000)

. 000

1) zjava je smiseln povedni stavek, kateremu la!ko dolocimo loicnovrednost (pravilen ali napacen) 5eacija izjave je nova izjava, ki je pravilnace je zacetna izjava napacna in obratno. Konjunkcija izjav je nova izjava, ki

je pravilna le, ce sta obe izjavi pravilni. Disjunkcija izjav je izjava, ki jepravilna, ko je vsaj ena izmed izjav pravilna.

2) inearna kombinacija vektorjev je vsak izraz, ki se a da zapisati kotvsoto vektorjev pomnozeni! s poljubnimi realnimi stevili. Gektorji solinearno neodvisni takrat, kadar enea ne moremo zapisati z linearnokombinacijo drui!. G ravnini sta tako neodvisna katerakoli dvanevzporedna vektorja, v prostoru pa katerikoli trije nekomplanarni vektorji.Gektorska baza je skupina vektorjev, za katero velja da so med sebojneodvisni in da se da z njimi izraziti vse ostale vektorje v okvirupreucevane mnozice. Gektor la!ko izrazimo enolicno kot linearnokombinacijo bazni! vektorjev.

7/25/2019 MAT VR (1)

7/36

LISTEK 61. 8azloFite pojme$ razmerje, osnova, deleF, relativni deleF in odstotek.57L$ rtikel je zniFan za 1

7/25/2019 MAT VR (1)

8/36

LISTEK 7

1. 5ajveCji skupni delitelj in najmanjAi skupni veCkratnik defnicija. Kdaj sta dveAtevili tuji0 Kako doloCimo najveCji skupni delitelj in najmanjAi veCkratnik0;oiACi oboje za Atevili =4 in 2N.

2. Kako doloCimo koordinate teFiACa v trikotniku iz podani! oljiAC0 zpelji zvektorji.. rctan defnicija, defnicijsko obmoCje in zaloa vrednosti, nariAi. DoloCiarctan1 in tan(arctan(pi64))

1) 5ajvecji skupni delitelj dve! stevil je najvecje stevilo, ki deli tako prvokot druo stevilo. 5ajmanjsi skupni veckratnik dve! stevil je najmanjse

stevilo, ki a delita tako prvo kot druo stevilo. "tevili sta si tuji, ce je njunnajvecji skupni delitelj 1.Za dolocitev D in v stevili razstavimo na pra/aktorje. D dolocimo tako, dapri vsakem pra/aktorju upostevamo najmanjso potenco, ki nastopa vrazcepu, v pa tako, da upostevamo najvecjo potenco, ki nastopa v razcepustevil.

D(=4, 2N)- v(=4, 2N)-N=

2)rt=

1

3

(r a+rb+rc)

) arctan je inverzna /unkcija tanensa z omejenim defnicijskimobmocjem od Hpi62 do pi62 nevkljucno. Defnicijsko obmocje je tako od H do' neskoncno, zaloa vrednosti pa od Hpi62 do pi62 nevkljucno. rctan(1)-pi64 tan(arctan(pi64))-pi64

7/25/2019 MAT VR (1)

9/36

LISTEK 8

1. ;ovej in izpelji pravila za raCunanje s potencami naravne stopnje.(en la!ek

primer z uporabo te! pravil)2. Leometrijska defnicija parabole. ZapiAi enaCbo, oriACe in premico vodnicoZapiAi enaCbo parabole s temenom ?(p,k)5ariAi parabolo +&2-%', zapiAi enaCbo vodnice in oriACa. 8azlika med variacijami brez ponavljanja in kombinacijami. povej povezavomed tema dvema.;rimer$ a) koliko 4 mestni! Atevil la!ko zapiAeA s At. 1 2 4 < N Ce se Atevke nesmejo ponavljatib) koliko podmoFic zs 4 elementi la!ko narediA iz te! At0

1) a&n 9 a&-a&(n'm) in (a&n)&m-a&(n9m)

2) ;arabola je mnozica tock, za katere je razdalja do dolocene tocke (ki aimenujemo orisce) in dolocene premice (premice vodnice) enaka.+&2-2p% L(,p62) %-p62 +-a(%p)&2 ' k

) Gariacije brez ponavljanja so razporeditve n elementov na r prosti!mest. e nas pri tem ne zanima vrstni red elementov dobimo kombinacije.;rimer$ a)=4 b)

7/25/2019 MAT VR (1)

10/36

LISTEK 9

1. 7pisite pravokotni koordinatni sistem v ravnini, izpeljite /ormulo za racunanjerazdalje med dvema tockama. 57L$ izracunaj razdaljo med tocko in abscisnoosjo in med dvema podanima tockama.

2. Defnirajte potencno /unkcijo z naravnim eksponentom. ;okazite katerepotencne /unkcije so li!e oz.sode, ter z odvodom poiscite intervale narascanja inpadanja za te /unkcije. 57L$ s pomocjo odvoda /unkcije /(%) - %&4 poiscitekje narasca in pada.

. Kaj je okolica tocke na stevilski premici0 5apisite pooj, da stevilo , lezi v eokolici. 57L$ ali stevili 2,1 in 1,** lezita v okolici 000.

1) Koordinatni sistem v ravnini je sestavljen iz dve! med seboj pravokotni!premic (abscise in ordinate), ki jima priredimo realna stevila. e pri temuporabljamo isto dolzinsko enoto, tak sistem imenujemo standardni. Zaza!tevano izpeljavo /ormule uporabi pitaorov izrek.

2) ;otencna /unkcija z naravnim eksponentom je /unkcija, katere predpisla!ko zapisemo kot %&n, kjer je n poljubno naravno stevilo. "ode potencne/unkcije so tiste s sodim n, li!e pa tiste z li!im n (dokaz je trivialen). i!e

/unkcije narascajo na celem defnicijskem obmocju, sode pa padajo na %:in narascajo na %.

) 7kolica tocke a na stevilski premici je interval (ae, a'e) e naj stevilo blezi v e okolici stevila a, mora veljati (ae):b:(a'e).

7/25/2019 MAT VR (1)

11/36

LISTEK 10

1. Kdaj sta si trikotnika podobna0 5aAtejte nekaj izrekov o podobni! trikotniki!.5aloa$ a-cm, c-

7/25/2019 MAT VR (1)

12/36

LISTEK 11

1. Kaj je trikotnik0 Kdaj so tri Atevila dolFine stranic trikotnika0 KakAen je odnosmed stranicami in njim nasprotnimi koti0 5aloa$ ali trikotnik obstaja0a) a-4cm, b-cm, c-*cmb) a-

7/25/2019 MAT VR (1)

13/36

LISTEK 121.8azcepite izraz a&n R b&n in se prepriCajte o pravilnosti tea razcepa.;rimer$ 8azCleni (%&< H 2)2. ;ovejte eometrijsko defnicijo elipse in zapiAite enaCbo elipse, katere osi leFitana koordinatni! ose!. "kicirajte to elipso. ZapiAite enaCbo elipse, ki ima srediACe

v toCki "(p,#) in osi vzporedni s koordinatnima osema.;rimer$ 5ariAite elipso$ 4(%1)na2 '*(+'2)na2 - . 5ariAite ra/ /unkcije /(%) - sin%. Za katere a element 8 premica +-a seka ra//unkcije /(%)-sin%0 ZapiAite preseCiACa.;rimer$ ZapiAite toCke, kjer +-162 seka /(%)-sin%.

1) a&n H b&n - (a R b)(a&nR1 ' a&nR2 9 b ' a&nR 9 b&2 ' S S S 'b&nR1);rimer$ (%&< H 2)-(%2)(%&4'2%&'4%&2'=%'1)

2) Tlipsa je mnozica tock, za katere velja, da je sestevek razdalj do dve!izbrani! tock (kateri imenujemo orisci) konstanten.

x2

a2+y

2

b2=1

(xp)2

a2 +(yq)

2

b2 =1

) Za vse a, za katere velja 1:a:1;resecisca- (arcsin(a)'2k9pi) in (piarcsin(a)'2k9pi)B k jeelement Z;rimer$ (pi6 '2k9pi) in (

7/25/2019 MAT VR (1)

14/36

LISTEK 131) Defniraj kroFnico. KakAne medsebojne lee dve! kroFnic poznamo0 5apiAizvezo med polmeroma kroFnic in razdalje med njunima srediACema ce se dotikatav eni tocki od zunaj. (000);rimer$ KakAna je medsebojna lea kroFnic K1 in K2 z d("1,"2)-4 in r1- r2-20

2) 5apiAi lastnosti potenCne /unkcije (za sode in li!e eksponente posebej).;rimer$ Za n-2 in n- nariAi ra/e /unkcij in napiAi vse njune lastnosti.) Defniraj poojno verjetnost. Kaj so neodvisni doodki0 Kako raCunamo produktverjetnosti dve! neodvisni! doodkov0;rimer$ mamo posodo z 4 modrimi in < belimi krolicami. 5ajprej vleCemo eno innato druo krolico. KakAna je verjetnost, da je prva krolica bela in druamodra, Ce$a) prvo krolico nato vrnemo v posodob) krolice ne vrnemo

1) Kroznica je mnozica tock, za katere velja, da je nji!ova razdalja do izbranetocke (sredisca) konstantna. Dve kroznici se la!ko dotikata od zunaj ali od znotrajv eni sami tocki, la!ko imata isto sredisce (sta koncentricni), la!ko imata skupnevse tocke (sta skladni), la!ko se sekata (imata skupni dve tocki), la!ko nimatanobene skupne tocke, pri cemer la!ko ena kroznica lezi v drui ali pa izven nje.

8- r1'r2 ;rimer$ Kroznici se dotikata v eni tocki od znotraj.

2) %&2n (sodi eksponenti)potencna /unkcija pada pri neativni! vrednosti! % innarasca pri pozitivni!. ma teme pri %- in je pozitivna na celem defnicijskemobmocju. Uunkcija je soda.%&(2n'1) (li!i eksponenti) potencna dunkcija narasca na celem defnicijskemobmocju. ma prevoj pri %- in je neativna pri neativni! in pozitivna pripozitivni! vrednosti! %. Uunkcija je li!a.

) ;oojna verjetnost doodka b pri pooju a je verjetnost da se zodi doodek b,ce vemo, da se je doodek a zodil. Gerjetnost je razlicna od verjetnosti doodkab le ce sta a in b odvisna. Dva doodka sta neodvisna ce en ne vpliva nadruea, torej se verjetnost enea ne spremeni, ne lede na to kaj se zodi z

druim. Gerjetnost da se zodita dva neodvisna doodka je enaka produktuverjetnosti da se zodi vsak izmed dve! posebej. ;imer$ a)26=1

b)

7/25/2019 MAT VR (1)

15/36

LISTEK 14

1. 7predeli kot med premicama med ravnino in premico med ravninama, kdaj staravnini med seboj pravokotni05aloa$ nariAi pravilno tristrano piramido z osvovnico a, stranico s in viAino v in

oznaCi kot med stranico s in osovnico a, med osnovno ploskvijo in stranico s inmed osnovno in stransko ploskvijo2. 7piAi kvadratno /unkcijo defnicijsko obmoCje, zapiAi v vse! oblika! ' pojasnikva kera Crka pomen5aloa /unkcijo U-2(V'1)(V) (usaj pomoje) zapiAi Ae v drui! dve! oblika!. 7piAi bernullijevo zaporedje ' ena simpl naloa z bernullijom Wink emoticon

1) 8avnini sta med seboj pravokotni ce sta normali na ravnini med sebojpravokotni.

2) Kvadratna /unkcija$ defnicijsko obmocje- 8, oblike zapisa$ eksplicitna, nicelna,temenska;rimer$ 5icelna$ /(%)- 2(V'1)(V) Tksplicitna$ /(%)-2%&24% ?emenska$/(%)-2(%1)&2 14

) 3enoullijevo zaporedje neodvisni! poskusov je zaporedje poskusov pri kateremse la!ko pri vsaki ponovitvi poskusa zodi le dolocen doodek ali njeovnasprotni doodek. Gerjetnost, da se nek doodek z verjetnostjo p v nti!

ponovitva! poskusa zodi natanko k krat je enaka$

P(n , p , k )=(nk)pk(1p)nk

7/25/2019 MAT VR (1)

16/36

LISTEK 15

1.obravnavaj linearno enaCbo a%'b- pa trije preprosti primeri za reAit2. povej /ormulo za ploACino kvadrata, pravokotnika, enakostraniCnea inpravokotnea trikotnika

. nariAi ra/ cos%, za kateri a premica +-a seka ta ra/ ' napiAi sploAnapreseCiACa

1) %-b6a

2) "k-a&2 "p-ab "e.t.- 2

2 a&2 "p.t.-k19k262

) 1:a:1 ( arccos ( a ))+2k k je element Z

7/25/2019 MAT VR (1)

17/36

LISTEK 16

1. DokaFi, da sta diaonali v rombu pravokotni.2. Defniraj skalarni produkt in povej njeove lastnosti. 5aloa$ dolFina vektorjeva,b,c je 4, kot med a in b je stopinj, med a in c * stopinj. zraCunaj$ a9(b'c).

. 8azloFi vpeljavo nove spremenljivke na primeru$ xe(x

2)dx

2) "kalarni produkt vektorjev -(a,b,c) in 3-(d,e,/) je defniran kot93-ad'be'c/-@@@3@9cos(f) kjer je f kot med vektorjema. astnosti$asociativnost, nekomutativnost, skalarni produkt pravokotni! vektorjev je enak

nic.

) Gpreljemo novo spremenljivko t-%&2, tako je dt-2%d% in dobimo interal

1

2 etdt

7/25/2019 MAT VR (1)

18/36

LISTEK 17

1. 7predelite pojem inverzne /unkcije. Kdaj inverzna /unkcija obstaja0 5aveditevsaj dva primera inverzni! /unkcij.'podani sta dve /unkciji /(%) in (%) (k sta mim rede inverzni), zraCunat morAkompozitum P/ pa /P

2. 7piAite piramido. 7piAite piramido, ki je$a) pokonCna b) enakoroba c) nstrana d) pravilna5avedite /ormuli za povrAino in prostornino pravilne piramide."kicirajte pravilno tristrano enakorobo piramido, navedite /ormuli za povrAino inprostornino.. Kaj je limita zaporedja0 5avedite pravila za raCunanje z limitami konverentni!zaporedij.'zraCunat si mou

1) Za inverzno /unkcijo neke /unkcije velja$ /1(/(%))-%. nverzno /unkcijo la!kodefniramo na obmocji! kjer je /unkcija injektivna. ;rimera$ arcsin(%) , arctan!(%)7ba kompozituma podani! inverzni! /unkcij imata kot rezulat ( o /)(%)-(/ o )(%)-%

2) ;iramida je polieder omejen z osnovno ploskvijo in plascem. 7snovna ploskevje poljuben veckotnik, plasc pa je sestavljen in trikotnikov, ki povezujejo osnovnoploskev s tocko, ki jo imenujemo vr!. a) ;iramida je pokoncna ce stoji spodnje

krajisce visine v srediscu osnovne ploskve. b) Tnakoroba piramida ima vserobove enako dole. c) nstrana piramida ima za osnovno ploskev nkotnik.d) pravilna nstrana piramida ima za osnovno ploskev pravilen n

kotnik in vse stranske robove enako dole.;- 7'pl G-16 979v

) e ima zaporedje eno samo stekalisce in je to stekalisce pravo, a imenujemolimita zaporedja. imita vsote je enaka vsoti limit, limita produkta je enakaproduktu limit, limita kolicnika je enako kolicniku limit, ce delitelj ni enak nic.

7/25/2019 MAT VR (1)

19/36

LISTEK 18

1. Tvklidov izrek...a izpeles, pa narisat pravokotni trikotnik pa visino pa dokazatda so trikotniki ki nastanejo podobni, naloa z evklidovim a1-2, b1-4,izracunaj obse.

2. bsolutna vrednost kompleksnea stevila pa lastnosti pa naloa za resit. ?anes narisat pa presecisce z +-a pa dve enacbi z tanensom. tan%-1,tan%-4

1)Tvklidov izrek v pravokotnem trikotniku c9ca-a&2 in c9cb-b&2izpeljes s podobnostjo

;odobnost pokazes z ujemanjem kotov.

2) bsolutna vrednost kompleksnea stevila je oddaljenost od iz!odiscakompleksne raznine, torej pitaorov z realno in imainarno komponento.astnosti$ trikotniska neenakost (absolutna vrednost vsote je vedno manjsa alienaka vsoti absolutni! vrednosti), je vedno realna in pozitivna.

) ;resecisce$ (arctan(a)'k9pi,)B k je element Z

7/25/2019 MAT VR (1)

20/36

LISTEK 19

1. "rediscni in obodni kot$ defnicija in razlika.;ovej in dokazi ?alesov izrek. mamo pravokotni trikotnik s !ipotenuzo dolzine 1.Koliksna je la!ko visina na !ipotenuzo0

2. Kako se mnozi vektor s skalarjem0 Kaksne so lastnosti tea produkta0 Kaj sokolinearni vektorji0. Kaj je interacija po deli! (per partes)0 ;rimer$ 000

1) "rediscni kot nad lokom 3 je kot, ki ima vr! v srediscu kroznice, krakapa potekata skozi krajisci loka. 7bodni kot loka 3 ima vr! v dopolnilnemloku , njeova kraka pa potekata skozi krajisci loka 3. "rediscni kot je

vedno dvakrat vecji od obodnea.?alesov izrek$ kot, ki ima vr! na kroznici, kraka pa potekata skozi krajiscipremera meri * stopinj (pi62). Dokaz$ "rediscni kot je 1= stopinj, saj jepremer daljica skozi sredisce in ker je srediscni kot vedno dvakrat manjsiod obodnea mora meriti * stopinj.Za visino na !ipotenuzo velja$ :v:-