Mat z Derivacije

8/14/2019 Mat z Derivacije

1/56

RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE

Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.

Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec

(demonstratorica iz matematike na EF).

Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).

Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).

1


2/56

DERIVACIJE

1. Ovisnost cijene p o vremenu t dana je sljedecom funkcijomp(t) = 2.45 120.06t + 2.86. Ispitajte dugorocno ponasanje cijene. (Uputa:treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost.)

Rjesenje:Napomena:

limx

ax = 0, a < 1

1, a = 1

, a > 1

limt+

2.45 (1

2)0.06t + 2.86

=

1

2

0.06+ 2.86 =

= 2.45

1

2

+ 2.86 = 2.45 0 + 2, 86 = 2.86

2. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljedecom funkcijomi(t) = 2.4e0.02t + 3.56. Ispitajte dugorocno ponasanje inflacije. (Uputa:treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost).

Rjesenje:

limt

(2.4e0.002t + 3.56) = 2.4e0.02 + 3.56 =

= 2.4e + 3.56 = 3.56

2


3/56

3. Nadite asimptote funkcije f(x) = 3x

+ x.

Rjesenje:

x = 0D = R\{0}

Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi:

limxa f(x) = limx0

3x

+ x

= 3

0+ 0 =

x = 0 okomita asimptota.

Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi:

limx

f(x) = b

limx

3x

+ x

=

3 + =

nema vodoravne asimptote.

Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi:

1. limx

f(x)

x= k

2. limx[f(x) kx]

limx

3x

+ x

x= lim

x

3+x2x

x= lim

x3 + x2

x2= LH = lim

x2x

2x= 1 = k

limx

3x

+ x 1x

= limx

3x

= 3 = 0 = l

3


4/56

y = kx + l

y = 1 x + 0y = x kosa asimptota

4


5/56

4. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = x3 + x + 215

Rjesenje:

f(x) = (x3) + (x) + (215)

f(x) = 3x31 + 1 + 0f(x) = 3x2 + 1

5. Nadi prvu derivaciju funkcije y = x2

x+1.

Rjesenje:

y =(x2)(x + 1) x2(x + 1)

(x + 1)2

y = 2x21 (x + 1) x2((x) + (1))(x + 1)2

y =2x (x + 1) x2 (1 + 0)

(x + 1)2

y =2x2 + 2x x2

(x + 1)2

y =x2 + 2x

(x + 1)2

5


6/56

6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)ex

Rjesenje:

y = (x + 1)ex + (x + 1)(ex)

y = ((x) + (1))ex + (x + 1)ex

y = (1 + 0)ex + (x + 1)ex

y = ex + (x + 1)ex

y = ex(x + 2)

6


7/56

7. Nadi prvu derivaciju funkcije y =

x3

2

3

x2 + 3 3

x

2x

Rjesenje:

y = x3

2 2x23 + 3x13 2x1y = (x

3

2) (2x 23) + (3x 13) (2x1)

y =3

2x

3

21 2 (x 23) + 3 (x13) 2 (x1)

y =3

2

x1

2

2

2

3

x2

31 + 3

1

3

x1

31

2

(

1)x11

y =3

2x

1

2 43

x1

3 + x2

3 + 2x2

7


8/56

8. Nadi prvu derivaciju funkcije y = 3x

x

Rjesenje:

y =(3x) x 3x(x)

x2

y =3xln3 x 3x 1

x2

y =3x(xln3 1)

x2

8


9/56

9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b

1xa

, b

= 0, a > 0

Rjesenje:

y = bxa

y = (bxa)

y = b(xa)

y = b(a)xa1y =

abxa1

y = ab 1xa+1

y =abxa+1

9


10/56

10. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = (1 + x2)100.

Rjesenje:

f(x) = [(1 + x2)100]

f(x) = 100(1 + x2)99(1 + x2)

f(x) = 100(1 + x2)99 2xf(x) = 200x(1 + x2)99

11. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) =

1 3x4.Rjesenje:

f(x) =1

2

1 3x4 (1 3x4)

f(x) =1

21 3x4 (

12x3)

f(x) =6x31 3x4

10


11/56

12. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 3x2

.

Rjesenje:

f(x) = 3x2

ln3 (x2)f(x) = 3x

2

ln3 2x

13. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 41x3.

Rjesenje:

f(x) = 41x3ln4 (

1 x3)

f(x) = 41x3ln4 1

2

1

x3

(1 x3)

f(x) = 41x3ln4 1

2

1 x3 (3x2)

11


12/56

14. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = e

1xx+1 .

Rjesenje:

f(x) = e

1xx+1 (

1 xx + 1

)

f(x) = e

1xx+1 1

2

1xx+1

(1 xx + 1

)

f(x) = e1x

x+1

1

2

1xx+1

(1

x)

(x + 1)

(1

x)

(x + 1)

(x + 1)2

f(x) = e

1xx+1 1

2

1xx+1

2(x + 1)2

f(x) =e

1xx+1

1xx+1

(x + 1)2

f(x) = e

1xx+1

1 x (x + 1) 32

f(x) =e

1xx+1

1 x

(x + 1)3

f(x) =e

1xx+1

1 x (x + 1) x + 1

f(x) = e

1xx+1

(x + 1) (1 x)(x + 1)f(x) =

e

1xx+1

(x + 1) 1 x2

12


13/56

15. Koristeci definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f(x) =

2x + 1 u

tocki x0 = 4.

Rjesenje:

f(x) = limh0

f(x + h) f(x)h

limh0

2(x + h) + 1 2x + 1

h

2(x + h) + 1 +

2x + 1

2(x + h) + 1 +

2x + 1

=

= limh0 2(x + h) + 1 (2x + 1)h(2x + 2h + 1 + 2x + 1) =

= limh0

2x + 2h + 1 2x 1h(

2x + 2h + 1 +

2x + 1)

=

= limh0

22x + 2h + 1 +

2x + 1

=

=2

2x + 2 0 + 1 + 2x + 1 =2

2

2x + 1=

12x + 1

f(4) =1

2 4 + 1 =1

9=

1

3

13


14/56

16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e2x.

Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uocite pravilo za racunanjeslijedecih!

Rjesenje:

y = e2x (2x) = e2x 2 = 2e2xy = (2e2x) = 2 e2x (2) = (2)2e2x = 22 e2xy = ((2)2 e2x) = (2)2 e2x (2) = (2)3 e2x

y = (2)3

e2x

(2) = (2)4

e2x

= 24

e2x

...

y(100) = 2100 e2x

14


15/56

17. Za funkciju ukupnih troskova T(Q) = ln(3Q2) odredite pripadnu funkcijugranicnih troskova.

Rjesenje:

T(Q) =1

2

ln(3Q2) (ln(3Q2)) =

=1

2ln(3Q2) 1

3Q2 (3Q2) =

=1

2

ln(3Q2) 1

3Q2 6Q =

=1

Q

ln(3Q2)

15


16/56

18. Primjenom diferencijala priblizno izracunajte 1.00110.

Rjesenje:

Trazimo ono sto lako izracunamo, a da priblizno bude jednako.

110, bazu smo promijenili, ono sto smo promijenili oznacimo s x.

x = 1

x = 0.001 = dx

x + x = 1 + 0.001 = 1.001

y = x10

y = 10x9

y(x + x) y(x) + y(x) dxy(1 + 0.001) y(1) + y(1) dxy(1.001) 110 + 10 19 0.001

y(1.001) 1.01

16


17/56

19. Izracunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) =

L, te relativnu pogresku,

ako je L = 0, L = 0.001.

Rjesenje:

Prirast funkcije:

y = y(x + x) y(x)Q = Q(L + L) Q(L)

Q = Q(9.001) Q(9)Q =

9.001

9

Q = 0.000166662

Diferencijal funkcije:

dy = y(x) dxdL = L = 0.001

dQ = Q(L) dL = 12

L dL = 1

2

9 0.001

dQ = 0.000166667

Relativna pogreska:

y dyy

100

Q dQQ

100 = 0.000166662 0.0001666670.000166662

100 = 0.003000084%

17


18/56

20. Odredite jednadzbe tangente i normale na graf funkcije f(x) = 84+x2 u tocki

s apscisom 2.

Rjesenje:

t . . . y f(x0) = f(x0)(x x0), T(x0, f(x0))n . . . y f(x0) = 1

f(x0)(x x0), T(x0, f(x0))

T(x0, f(x0))

T(2, f(2)) = T(2, 1)

f(2) =8

4 + x2=

8

4 + 4= 1

f = (8

4 + x2) =

16x(4 + x2)2

f(2) =16 2(4 + 4)

2=

12

t . . . y 1 = 12

(x 2)

y 1 = 12

x + 1

y =12

x + 2

n . . . y = 2x + 2

18


19/56

21. Izracunaj:

limx1

x 2 xx 1

Rjesenje:

limx1

x 2 xx 1

=1 2 1

1 1=

0

0

= LH =

= limx1

(x 2 x)(x 1) =

= limx1

1 122x (2 x)

1=

= limx1

1 +

1

2

2 x

=

= 1 +1

22 1= 1 +

1

2=

3

2

19


20/56

22. Odredite podrucje rasta i pada funkcije f(x) =

3x4 + 6x2

15.

Rjesenje:

D = R

f(x) = 12x3 + 12x

12x3 + 12x = 0

12x(x2

1) = 0

12x = 0 x = 0x2 1 = 0

x = 1

x = 1

, 1 -1, 0 0, 1 1, +f(x) + - + -

Npr: ako za interval < , 1 > uzmemo tocku -2, tada jef(2) = 12 (2)3 + 12 (2) = 24.

Funkcija pada na < 1, 0 >i < 1, + >, a raste na < , 1 > i < 0, 1 >.

20


21/56

23. Odredite podrucja konveksnosti i konkavnosti funkcije y = xex.

Rjesenje:

D = R

y = ex + xex = ex(1 + x)y = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)

ex(2 + x) = 0x = 2

, 2 2, +y +

Funkcija je konkavna na , a konveksna na .

21


22/56

24. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 6x4

8x3

10.

Rjesenje:

D = R

f(x) = 24x3 24x224x3 24x2 = 024x2(x 1) = 0

24x2 = 0 x = 0

x 1 = 0 x = 1

f(x) = 72x2 48xf(0) = 0

f(x) = 144x 48f(0) = 48

U x = 0 nema ekstrema.

f(1) = 72

12

48

1

f(1) = 24 > 0min(1, f(1))

f(1) = 6 14 8 13 10 = 12min(1, 12)

22


23/56

25. Izracunajte maksimum funkije dobiti ako je zadana funkcija ukupnih troskova

C(Q) = Q3 6Q2 + 140Q + 750 i funkcija ukupnih prihodaR(Q) = 7.5Q2 + 1400Q, gdje je Q kolicina proizvodnje.

Rjesenje:

D = Q [0, + >

D(Q) = R(Q) C(Q)D(Q) = 7.5Q

2

+ 1400Q (Q3

6Q2

+ 140Q + 750)D(Q) = Q3 1.5Q2 + 1260Q 750

D(Q) = 3Q2 3Q + 1260

Q1,2 =(3) (3)2 4 (3) 1260

2 (3)Q1 = 20

D(Q) = 6Q 3D(20) = 6 20 3 = 123 < 0

max(20, D(20))

D(20) = 15850

max(20, 15850)

23


24/56

26. Pronadite minimum funkcije prosjecnih troskova ako su ukupni troskovi

T(Q) = 4Q2 + 112Q + 100, gdje je Q kolicina proizvodnje.

Rjesenje:

D = Q [0, + >

A(Q) =T(Q)

Q=

4Q2 + 112Q + 100

Q

A(Q) = 4Q2

Q + 112QQ + 100Q

A(Q) = 4Q + 112 +100

Q

A(Q) = 4 100Q2

4 100Q2

= 0

Q = 5

A(Q) =200

Q3

A(5) =200

125> 0

min(5, A(5))

A(5) = 152

min(5, 152)

24


25/56

27. Zadana je funkcija prosjecnih prihoda AR(Q) =

Q+200, gdje je Q kolicina

proizvodnje.Izracunajte maksimum funkcije ukupnih prihoda.

Rjesenje:D = Q [0, + >

R(Q) = AR(Q) QR(Q) = (Q + 200) Q = Q2 + 200Q

R(Q) = 2Q + 2002Q + 200 = 0

Q = 100

R(Q) = 2 < 0R(100) = 10000

max(100, 10000)

25


26/56

28. Zadane su funkcije ukupnih prihoda i prosjecnih troskova

P(Q) = 460 3200Q , T(Q) = 2 + 100Q .Za koji opseg proizvodnje Q se ostvaruje najveca dobit i koliko ona iznosi?Koliki su tada ukupni prihodi i troskovi?

Rjesenje:

D(Q) = P(Q) T(Q)T(Q) = T(Q) Q

T(Q) = (2 + 100Q ) Q = 2Q + 100

D(Q) = 460 3200Q

(2Q + 100)

D(Q) = 360 3200Q

2Q

D(Q) =3200

Q2 2

3200

Q2 2 = 0 Q = 40

D(Q) =6400

Q3

D(40) = 0.1 < 0 max(40, D(40))D(40) = 200,max(40, 200)

P(40) = 380

T(40) = 180

26


27/56

29. Odredite domenu i tocke infleksije funkcije f(x) = 12x2 + lnx.

Rjesenje:

x > 0

D = x < 0, + >

f(x) = x +1

xf(x) = 1 1

x2

1 1x2

= 0 x1 = 1

f(x) = 2x3

f(1) = 2 13

= 2 = 0I(1, f(1))

f(1) =1

2 12 + ln1 = 1

2+ 0 =

1

2

I(1,1

2)

27


28/56

30. Zadana je funkcija troskova T(Q) = Q3

2Q, gdje je Q kolicina

proizvodnje. Izracunajte koeficijent elasticnosti troskova u odnosu na proizvod-nju na nivou proizvodnje Q=2. Interpretirajte rezultat.

Rjesenje:

ET,Q =Q

T T = Q

Q3 2Q (Q3 2Q) =

=

Q

Q3 2Q (3Q2

2) =Q

Q(Q2 2)(3Q2

2) ==

3Q2 2Q2 2

ET,Q(2) =3 22 2

22 2 = 5

Kada Q na nivou Q=2 povecamo za 1%, onda ce se T povecati za 5%.

28


29/56

31. Odredite podrucja elasticnosti i neelasticnosti funkcije potraznje

q(p) =9500

3p2 + 675

u odnosu na cijenu p.

Rjesenje:

D . . . 3p2

+ 675 = 03p2 = 675 uvijek

p 0q 0

Eq,p =p

q q = p9500

3p2+675

9500

3p2 + 675

=

6p23p2 + 675

|Eg,p

|=

|

6p2

3p2

+ 675 |=

6p2

3p2

+ 675

6p2

3p2 + 675> 1/ 3p2 + 675

6p2 > 3p2 + 675

3p2 > 675/ : 3

p2 > 225

p > 15

Pel =< 15, + >Pneel =< 0, 15 >

29


30/56

32. Ispitajte homogenost funkcije

f(x1, x2, x3) = x1 x2 lnx1+x2x2+x3 .Rjesenje:

f(x1, x2, x3) = x1 x2

lnx1 + x2x2 + x3

=

= 2x1

x3

ln(x1 + x2)

(x2 + x3)

=

= 2 x1 x3

lnx1 + x2x2 + x3

=

= 2 f(x1, x2, x3)Funkcija je homogena stupnja = 2.

30


31/56

33. Ispitajte homogenost funkcije f(x, y) =

x

y2.

Rjesenje:

f(x, y) =

x (y)2 =

x 2 y2 ==

5

2 x y2 = 52 f(x, y)

Funkcija je homogena stupnja = 52 .

31


32/56

34. Ispitajte homogenost funkcije

f(x, y) = log3x2 + 2y2

xy

Rjesenje:

f(x, y) = log3(x)2 + 2(y)2

xy

=

= log32x2 + 22y2

2xy=

= log2(3x2 + 2y2)

2xy= log

3x2 + 2y2

xy= f(x, y) =

= 0 f(x, y)

Funkcija je homogena stupnja = 0.

32


33/56

35. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.6L1

2Ct, gdje

je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t R takavda su u pitanju rastuci prinosi u proizvodnji.

Rjesenje:

Q(L, C) = 3.6(L)1

2(C)t = 3.61

2L1

2tCt =

= 1

2+t3.6L

1

2Ct = 1

2+tQ(LC)

1

2+ t > 1

t > 1 12

t >1

2

t < 12

, + >

Napomena:

> 1 prinosi su rastuci. = 1 prinosi su konstantni. < 1 prinosi su opadajuci.

33


34/56

36. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.5LtC1

4 , gdje

je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t R takavda su u pitanju opadajuci prinosi u proizvodnji.

Rjesenje:

Q(L, C) = 2.5(L)t(C)1

4 = 2.5tLt1

4C1

4 =

= t+1

42.5LtC1

4 = t+1

4Q(LC)

t + 14

< 1

t < 1 14

t

34


35/56

37. Kako se promijeni vrijednost funkcije

f(x,y,z,v) =

x

y + z + y

z + v

x + 2y + 3z + 4v

ako sve varijable istovremeno:a) povecamo 256 puta?b) smanjimo za 34.39%?

Rjesenje:a)

f(x,y,z,v) = f(x,y,z,v)

f(256x, 256y, 256z, 256v) = 256f(x,y,z,v)

f(x,y,z,v) =

x

y + z + y

z + v

x + 2y + 3z + 4v=

=xy + z + yz + v

(x + 2y + 3z + 4v) =32(xy + z + yz + v)

(x + 2y + 3z + 4v) =

= 1

4 f(x,y,z,v)

f(256x, 256y, 256z, 256v) = 2561

4f(x,y,z,v)

f(256x, 256y, 256z, 256v) = 4f(x,y,z,v)

Kada sve varijable istovremeno povecamo 256 puta tada ce se vrijednostfunkcije povecati 4 puta.

35


36/56

b)

x x 34.39100

x = x(1 0.3439) = 0.6561xf(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.6561

1

4f(x,y,z,v)

f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.9f(x,y,z,v)

Ako sve varijable istovremeno smanjimo za neki postotak p tada ce se vri-jednost funkcije smanjiti za 100(1

)%.

100(1 )% = 100(1 0.9)% = 10%

Kada sve varijable istovremeno smanjimo za 34,39% tada ce se funkcijasmanjiti za 10%.

36


37/56

38. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 3x2 + xy +

y.

Rjesenje:

fx = (3x2) + (xy) + (

y) =

= 3 (x2) + y (x) + 0 == 3 2x21 + y 1 = 6x + y

fy = (3x2) + (xy) + (

y) =

= 0 + x (y) + 12

y=

= x 1 + 12

y= x +

1

2

y

37


38/56

39. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x,y,z) = e2xz

ln(yz) + 1.

Rjesenje:

fx = e2xz (2xz) 0 + 0 =

= e2xz 2z (x) = e2xz 2z 1 = 2ze2xz

fy = 0 1yz

(yz) + 0 = 1yz

z (y) =

= 1yz

z = 1y

fz = e2xz (2xz) 1

yz (yz) + 0 =

= e2xz 2x (z) 1yz

y (z) =

= e2xz 2x 1 1yz

y 1 =

= 2xe2xz 1z

38


39/56

40. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije u(x, y) = 2xyx+y

.

Rjesenje:

ux =(2x y) (x + y) (2x y) (x + y)

(x + y)2=

=2(x + y) (2x y)

(x + y)2=

3y

(x + y)2

uy =(2x y) (x + y) (2x y) (x + y)

(x + y)2=

=1 (x + y) (2x y) 1

(x + y)2=

3x

(x + y)2

39


40/56

41. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = xy.

Rjesenje:

fx = yxy1

fy = xylnx

42. Nadi sve prve i druge parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = y22x.

Rjesenje:

zx = y2 2x

ln2zy = 2

x 2y = y 2x+1

zxx = y2 ln2 2xln2 = y2(ln2)2 2x

zxy = 2xln2 2y = y 2x+1ln2

zyx = y 2x+1ln2 1 = y 2x+1ln2zyy = 2

x+1

1 = 2x+1

40


41/56

43. Za funkciju f(x,y,z) = z

yx izracunajte d

3fdxdydz

.

Rjesenje:

fz = yx 1 = yx

fzy = xyx1

fzyx = 1 yx1 + x yx1lny 1 == yx1 + x

yx1lny = yx1(1 + xlny) = fxyz

41


42/56

44. Izracunajte koeficijente parcijalne elasticnosti funkcije f(x, y) = x y2 u

odnosu na varijable x i y te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3.

Rjesenje:

Ef,x =x

f fx = x

x y2 1

2

x y2 (1 0) =x

2(x y2)Ef,x(25, 3) =

25

2

(25

9)=

25

32

Kada x na nivou 25 (y ostaje konstantno) povecamo za 1% onda cefunkcijska vrijednost porasti za 2532%.

Ef,y =y

f fy = y

x y2

1

2

x y2 (0 2y) =

y2x y2

Ef,y(25, 3) = 9

25 9 = 9

16

Kada y na nivou 3 (x ostaje konstantno) povecamo za 1% onda ce funkcijskavrijednost pasti za 916%.

42


43/56

45. Zadana je funkcija potraznje robe A, q1(p1, p2) = 3p11 lnp2, gdje su p1

cijena robe A i p2 cijena robe B. Odredite koeficijente parcijalne i ukrsteneelasticnosti te interpretirajte dobivene rezultate.

Rjesenje:

Eg1,p1 =p1q1

q1p1 =p1

3p11 lnp2 3lnp2

p21= 1

Kada p1 povecamo za 1% (p2 ostaje konstantno) tada ce se q1 smanjiti za1%.

Eg1,p2 =p2q1

q1p2 =p2

3p11 lnp2 3p11

1

p2=

1

lnp2

Kada p2 povecamo za 1% (p1 ostaje konstantno) tada ce se q1 povecati za

1lnp2% jer je lnp2 > 0 zbog q1 > 0 pa su A i B supstituti.

43


44/56

46. Za funkciju

f(x,y,z) = 3

x4y5z2 , izracunajte xfx + yfy + zfz.

Rjesenje:

xfx + yfy + zfz = ff(x,y,z) = f(x,y,z)

f(x,y,z) =3(x)4(y)5

(z)2 =

34x45y52z2 =

39x4y52z2 =

=3

73

x4y5

z2=

7

3 f(x,y,z)

=7

3

xfx + yfy + zfz =7

3 3

x4y5

z2

44


45/56

47. Dana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.4L1

4C1

2 , gdje je L kolicina rada, a

C kolicina kapitala.Izracunajte zbroj parcijalnih elasticnosti funkcije proizvodnje u odnosu narad i kapital.

Rjesenje:

EQ,L + EQ,C =

Q(L,C) = 3.4(L)

1

4

(C)

1

2

= 3.4

1

4

L

1

4

1

2

C

1

2

=

1

4+1

23.4L1

4C1

2 = 3

4Q(L, C)

EQ,L + EQ,C =3

4

45


46/56

48. Dana je funkcija

f(x,y,z) = t+1

zx

y

1

z

1t+1

Odredite parametar t R, t = 1, tako da zbroj svih parcijalnih elasticnostidane funkcije bude jednak nuli.

Rjesenje:

Ef,y + Ef,y + Ef,z = = 0t R t.d. E f,y + Ef,y + Ef,z = 0

f(x,y,z) = f(x,y,z)

f(x,y,z) = t+1

zx

y

1

z

1t+1

=

=t+1

t+1zxy

(1)1

t+1

1

z

1

t+1

==

1

t+1 t+1

zx

y

1

t+1

1

z

1t+1

=

= 1

t+1

t+1

zx

y

1

z

1t+1

=

1

t+1f(x,y,z)

1

t + 1= 0

1 = 0

t R t.d. = 0(Ne postoji t R takav da je = 0)

46


47/56

49. Funkcija potraznje za proizvodom A homogena je stupnja 1.1, te ovisi o

cijeni proizvoda A i cijeni porizvoda B. Ako je koeficijent elasticnosti tefunkcije potraznje u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.4, izracunajtevrijednost koeficijenta elasticnosti te iste funkcije potraznje u odnosu na ci-

jenu proizvoda B, te ga interpretirajte.

Rjesenje:

= 1.1

EfA,pA = 0.4EfA,pB =?

EfA,pA + EfA,pB =

0.4 + EfA,pB = 1.1EfA,pB = 1.1 + 0.4

EfA,pB = 1.5

Kada pB povecamo za 1% (pA ostaje konstantno) tada ce se fA povecati za1.5%.

47


48/56

50. Izracunajte ekstreme funkcije

f(x, y) = x2 4x + 2y2 8y

Rjesenje:

fx = 2x 4

2x 4 = 0x = 2

fy = 4y 84y 8 = 0

y = 2

D1 = fxxfxx = 2

D1 = 2 > 0

D2 = fxxfyy f xy2fyy = 4

fxy = 0

D2

= 2

4

02

D2 = 8 > 0

D1 > 0

D2 > 0

min(2, 2, f(2, 2))

f(2, 2) = 22 4 2 + 2 22 8 2 = 12min(2, 2, 12)

48


49/56

51. Izracunajte ekstreme funkcije

f(x, y) = ex2+y24x

Rjesenje:

fx = ex2+y24x (2x 4)

ex2+y2

4x

(2x 4) = 02x 4 = 0

x = 2

fy = ex2+y24x 2y

ex2+y24x 2y = 0

2y = 0

y = 0

D1 = fxx

fxx = ex2+y24x (2x 4)2 + ex2+y24x 2

fxx = ex2+y24x (2x 4)2 + 2

fxx = 2e4

D1 = 2e4 > 0

D2 = fxxfyy f2xyfyy = e

x2+y24x 4y2 + ex2+y24x 2fyy = e

x2+y24x(4y2 + 2)fyy = 2e

4

49


50/56

fxy = (2x

4)

ex

2+y24x

2y

fxy = 0

D2 = 2e4 2e4 02 = 4e8 > 0

D1 > 0

D2 > 0

min(2, 0, e4)

50


51/56

52. Zadana je funkcija ukupnih prihoda

P(Q1, Q2) = Q21 Q22 + 18Q1 + 14Q2 5 i ukupnih troskovaT(Q1, Q2) = 8Q1 + 8Q2 za dva proizvoda. Izracunajte maksimum funkcijedobiti.

Rjesenje:

D(Q1, Q2) = P(Q1, Q2) T(Q1, Q2)D(Q1, Q2) =

Q2

1 Q2

2

+ 10Q1 + 6Q2

5

DQ1 = 2Q1 + 102Q1 + 10 = 0

Q1 = 5

DQ2 = 2Q2 + 62Q2 + 6 = 0

Q2 = 3

D1 = DQ1Q1DQ1Q1 = 2

D1 = 2 < 0

D2 = DQ1Q1DQ2Q2 D2Q1Q2DQ2Q2 = 2DQ1Q2 = 0

D2 = 2 (2) 02 = 4 > 0

D1 < 0

D2 > 0

max(5, 3, 29)

51


52/56

53. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2

xy + x2, uz uvjet x

2y = 0.

Rjesenje:

f(x, y) = x2 xy + y2x 2y = 0

x = 2y

f(y) = (2y)2 2y y + y2f(y) = 4y2 2y2 + y2

f(y) = 3y2

f(y) = 6y6y = 0

y = 0 x = 2yx = 2 0 x = 0

f(y) = 6 > 0 min(x,y,f (x, y))min(0, 0, f(0, 0))

min(0, 0, 0)

52


53/56

54. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2

xy + y2, uz uvje x + y = 1.

Rjesenje:

x + y = 1

y = 1 xf(x) = x2 x (1 x) + (1 x)2f(x) = x2 x + x2 + 1 2x + x2

f(x) = 3x2 3x + 1f(x) = 6x 3

6x 3 = 06x = 3

x =1

2 y = 1 x

y = 1 12

=1

2

f(x) = 6 > 0 min(x,y,f (x, y))min

1

2,

1

2, f

1

2,

1

2

f

1

2,

1

2

=

1

2

2 1

2 1

2+

1

2

2=

1

4

f12

,1

2 = 1

4min

1

2,

1

2,

1

4

53


54/56

55. Odredite ekstreme funkcije

f(x, y) = x4 + y4, x > 0, y > 0 uz uvjet x2 + y2 = 8.

Rjesenje:

y2 = 8 x2f(x, y) = (x2)2 + (y2)2

f(x) = (x2)2 + (8 x2)2

f(x) = x4

+ 64 16x2

+ x4

f(x) = 2x4 16x2 + 64f(x) = 8x3 32x

8x3 32x = 08x(x2 4) = 0

8x = 0

x =0

x

2

4 = 0x = 2

x = 2y =

8 x2 = 8 4 =

4 = 2

f(x) = 24x2 32f(2) = 64 > 0

min(2, 2, 32)

54


55/56

56. Dane su funkcija ukupnih troskova T(L, C) = L + C i proizvodnje

Q(L, C) = LC, gdje je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Izracunajteminimum funkcije ukupnih troskova na nivou proizvodnje Q=4.

Rjesenje:

LC = 4/2

LC = 16/ : L

C = 16L

T(L) = L +16

L= L + 16L1

T(L) = 1 16L2

1 16L2

= 0/ L2

L2

16 = 0

L2 = 16

L1 = 4

L2 = 4C =

16

4= 4

T(L) = 32L3

T(4) = 0.5 > 0

min(4, 4, 8)

55


56/56

57. Dana je funkcija ukupnih troskova T(L, C) = L2

LC + C2 i funkcija

proizvodnje Q(L, C) = LC, gdje je L rad, a C kapital. Nadite kombinacijurada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 1 ostvaruju minimalnitroskovi. Odredite minimalne troskove.

Rjesenje:

Q(L, C) = LC

LC = 1/ : LC =

1

L

T(L) = L2 L 1L

+

1

L

2= L2 1 + L2

T(L) = 2L 2L3

2L 2L3

= 0/ L3

2L

4

2 = 02L4 = 2

L = 1L 0L = 1

T(L) = 2 + 6L4

T(1) = 2 + 6

14 = 8 > 0min(1, 1, 1)

Documents

Mat z Derivacije