docencia.mat.utfsm.cldocencia.mat.utfsm.cl/~mat011/2012-2/images/0/03/Apunte.pdfUNIVERSIDAD T ECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem atica Centro Integrado de Aprendizaje

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de MatematicaCentro Integrado de Aprendizaje de Ciencias Basicas

MATEMATICAS I

CUADERNO DEL ESTUDIANTE

1


2


1. Prologo

Este cuaderno esta destinado a las clases activas de Matematicas I, que en la practica es una de laspartes mas importante de la asignatura, cuyo proposito es orientar el aprendizaje a lo largo del curso apun-tando a identificar los conceptos claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dara al estudianteuna vision global de las herramientas entregadas en la asignatura.

El Cuaderno de trabajo, esta dividido por las actividades que se realizaran a lo largo del curso. Elnumero y tipo de actividades es variable en cada uno de ellas dependiendo del tema del mismo.

La metodologıa a seguir, consiste en que el estudiante resuelva los problemas en clases practicas y enel Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias Basicas (CIAC), en donde con la supervision de profesoresy tutores, el estudiante aplicara conceptos y metodos de los distintos contenidos ya entregados en la claseteorica y ası podra resolver los diferentes tipos problemas y aplicaciones.

Se pretende con esta metodologıa, ayudar al estudiante a seguir y entender mejor los contenidos de laasignatura, pues de esta forma se concreta lo explicado en las clases teoricas y ademas se ejercita, consiguien-do afianzar los conocimientos. La aparicion de dificultades con los ejercicios de este cuaderno es un indicadorde que no se ha alcanzado el nivel de aprendizaje esperado.

Finalmente, pretende ser una de las primeras etapas en el aprendizaje de las unidades tematicas,guiando a los estudiantes en el proceso de jerarquizacion de la informacion sobre las mismas, remarcandoconceptos y haciendo enfasis en lo mas relevantes. El Cuaderno es, no obstante, una presentacion sucinta deltema. Siempre hay informacion adicional necesaria para la comprension cabal de los contenidos, que no seincluye y que debe ser completada con la lectura del texto guıa.Se espera ir perfeccionado este Cuaderno de Estudio en todos los sentidos: edicion del texto, redaccion yniveles de dificultad.

Ivan Szanto NDepartamento de Matematica

Celin MoraCentro Integrado de Aprendizaje de Ciencias BasicasCIAC

1 Semestre 2012 3


1 Semestre 2012 4


Indice

1. Prologo 3

2. Preliminares: Problemas de Planteo 7

3. Logica Simbolica y Conjuntos 12

3.1. Logica Simbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Diferentes tipos de Teoremas y su relacion recıproca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Conjuntos y operaciones sobre ellos 26

4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Numeros Naturales: Principio de induccion matematica 33

5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3. Productorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4. Ejercicios Sumatorias y productorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6. Progresiones. 40

6.1. Ejercicios progresiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7. Teorema del Binomio 45

7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2. Ejercicios varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8. Numeros Reales, Desigualdades e Inecuaciones 68

8.1. Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.3. Cotas superiores e inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9. Ecuaciones e Inecuaciones. 70

9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.3. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

10.Plano cartesiano, rectas y conicas 89

10.1. Ejercicios: Rectas y Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11.Ejercicios 96

12.Conicas 105

12.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1 Semestre 2012 5


12.1.1. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12.1.2. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.1.3. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

12.2. Lugares Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

13.Funciones de Una Variable Real 125

13.1. Estudio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

13.2. Problemas de Modelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

13.3. Ejercicios: Funciones Polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

14.Trigonometrıa 167

14.1. Operatoria y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14.2. Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

14.3. Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

15.Numeros Complejos 189

15.1. Representacion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

16.Lımites y Continuidad 206

16.1. Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

16.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

16.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

17.La Derivada 231

17.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

17.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

17.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

18.Aplicaciones de la Derivada 260

18.1. Problemas de Razon de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

18.2. Problemas de Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

18.3. Estudio de Funciones y Trazados de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

19.Problemas varios 290

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2. Preliminares: Problemas de Planteo

Resuelva los siguientes problemas de planteo definiendo claramente las variables que utilizara en sudesarrollo.

1. A un estudiante se le pregunta su edad y el responde: ”Si se anaden 13 anos al cuadruple de mi edad,se tendrıa lo que falta para tener 98 anos”. ¿Cual es la edad del estudiante?

2. La edad de Ricardo, padre de Pablo, es el triple. La edad de Ricardo hace cuatro anos era el doble dela edad que tendra Pablo en siete anos. ¿Cual es la suma de ambas edades?

7


3. Patricio vende a Diego la tercera parte de un terreno, mas el 45 % del resto; en total vende 5700 m2.¿Cuanto mide el terreno que le queda a Patricio?.

4. En un triangulo rectangulo los catetos son entre si como 15:35 y la hipotenusa mide 65 cm. Calcular elarea del triangulo.

5. El perımetro de cierto rectangulo es de 112 cm y su diagonal mide 40 cm. Calcular el area del rectangulo.

8


6. Si cada lado de un triangulo isoceles disminuye en un 18 %, ¿en cuanto % disminuye su area?.

7. Un trazo AC ha sido dividido interiormente en el punto B de modo que AB : BC = 17 : 12. Sea M elpunto medio de BC. ¿Que tanto % de AM mide BM?.

8. Un cilindro tiene 15 cm de diametro y 80 cm de altura. Encontrar el radio de un cırculo cuya area seaigual al 50 % de la superficie total del cilindro.

9


9. Suponga que el radio basal de un cono circular recto aumenta en un 15 %, mientras que su alturadisminuye en un 20 %. ¿En cuanto % varıa la superficie basal, total y el volumen del cono?.

10. El ancho de un anillo circular mide 8 % mas que el radio de la circunferencia interior. ¿Que tanto % delarea del anillo es el area del cırculo interior si el diametro del cırculo interior es de 70 cm?.

11. Suponga que el diametro de un cırculo mide 30 % menos que el de otro cırculo concentrico. Expresar elarea del anillo en tanto % del area del cırculo interior.

10


12. El volumen de cierto cono es igual a la mitad del volumen de una esfera de 18 cm de radio. Calcular elradio basal del cono si su altura mide el 35 % del radio de la esfera.

13. Considere el rectangulo cuya base y altura estan en la proporcion b : a = 27 : 21. Si la base ”b” aumentaen 1 m y la altura ”a” en 3 m el rectangulo se transforma en un cuadrado. ¿Cuanto mide la diagonaldel rectangulo?

14. Considere el solido formado por una semiesfera en la parte superior, un cilindro en el centro y un conoen la parte inferior. El radio de la semiesfera, el cilindro y el cono es de x; y la altura del solido es de5x. Si el volumen del solido es de 254π, encuentre el valor de x.

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3. Logica Simbolica y Conjuntos

3.1. Logica Simbolica

Al anotar los razonamientos matematicos resulta razonable aplicar ciertos sımbolos economicos usadosen la logica. He aquı algunos sımbolos de los mas sencillos utilizados con mayor frecuencia.

Sean α y β ciertas declaraciones y afirmaciones o bien proposiciones es decir, oraciones narratorias,con respecto a cada una de las cuales podemos decir si es cierta o falsa.

La notacion α significa no α, es decir, negacion de la afirmacion α.

La notacion α ⇒ β significa: de la afirmacion α resulta la afirmacion β (⇒ es el sımbolo deimplicacion).

La notacion α ⇔ β significa : la afirmacion α es equivalente a la afirmacion β , es decir, de αproviene β y de β se deduce α (⇔ es el sımbolo de equivalencia).

La notacion α ∧ β significa α y β (∧ es el sımbolo de conjuncion).

La notacion α ∨ β significa α o β o ambos (∨ es el sımbolo de disyuncion).

La notacion α Y β significa α o β pero no ambos (Y es el sımbolo de disyuncion exclusiva).

La notacion∀x ∈ Xα(x)

significa: para todo elemento x ∈ X la afirmacion α(x) es verıdica (∀ es el cuantificador universal).

La notacion∃x ∈ Xα(x)

significa:existe tal elemento x ∈ X, para el cual la afirmacion α(x) es verıdica (∃ es el cuantificadorexistencial).

Si un elemento x ∈ X, para el cual la afirmacion α(x) es verıdica no solo existe, sino que es unico, sedescribe:

∃!x ∈ Xα(x).

Tablas de Verdad

p q p ∧ q p ∨ q p Y q p ⇒ q p ⇐⇒ q pV V V V F V V FV F F V V F FF V F V V V F VF F F F F V V

3.2. Diferentes tipos de Teoremas y su relacion recıproca.

Por regla general en las matematicas los teoremas se enuncian ( o pueden ser enunciados ) en la formasiguiente:Para cada elemento x del conjunto U a partir de la proposicion p(x) se deduce la proposicion q(x).Ejemplo:U = N, p(x) : x es un numero impar.Deduzca q(x) : x2 es un numero impar.Al utilizar las designaciones anteriores, cada teorema de este tipo se puede escribir como:

(∀x) (p(x) ⇒ q(x)), x ∈ U

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La proposicion p(x) se llama supuesto o hipotesis del teorema y la proposicion q(x) conclusion o tesisdel teorema.Al enunciar los teoremas se utilizan frecuentemente los terminos suficiente, necesario, nesesario ysuficiente. Vamos a aclarar el sentido de estos terminos.Si el teorema p(x) ⇒ q(x) es cierto, entonces la hipotesis del teorema p(x) se llama condicion suficientepara la conclusion de q(x) y la conclusion del teorema q(x) se denomina condicion necesaria para p(x).Ejemplo.Si un cuadrilatero es un rectangulo, sus diagonales son congruentes. Este teorema es cierto y, por lotanto, el supuesto del teorema es la condicion suficiente para la conclusion, o sea, para que las diagonalesde un cuadrilatero sean congruentes es suficiente que el cuadrilatero sea rectangulo.La conclusion de este teorema es la condicion necesaria para la hipotesis del teorema, o sea, para queun cuadrilatero sea un rectangulo, es necesario que las diagonales del cuadrilatero sean congruentes.Si es valido no solamente el teorema p(x) ⇒ q(x) si no el recıproco a este q(x) ⇒ p(x), entonces p(x)es la condicion, necesaria y suficiente para q(x), mientras q(x) es la condicion, necesaria y suficienteparap(x).Definicion.Los teoremas p(x) ⇒ q(x) y p(x) ⇒ q(x) se llaman contrarios.De las definiciones y razonamientos precedentes se desprende que para cada teorema p(x) ⇒ q(x) sepueden enunciar tres teoremas mas.El recıproco

q(x) ⇒ p(x)

El contrariop(x) ⇒ q(x)

El contrario al recıprocoq(x) ⇒ p(x).

Consideremos a continuacion el teoremaSi un cuadrilatero es un rombo, sus diagonales son mutuamente perpendiculares, ( el teorema es cierto).Entonces los tres teoremas indicados se enuncian ası.Recıproco: Si las diagonales de un cuadrilatero son mutuamente perpendiculares, este cuadrilatero esun rombo( el teorema es falso)Contrario: Si un cuadrilatero no es un rombo, sus diagonales no son perpendiculares (el teorema esfalso)Contrario al recıproco: si las diagonales de un cuadrilatero no son mutuamente perpendiculares, elcuadrilatero no es un rombo ( el teorema es cierto)En el ejemplo anterior los teoremas directo y contrario al recıproco son verdaderos y los teoremasrecıproco y contrario son falsos. Esta coincidencia no es casual. Entre estos cuatros tipos de teoremaexiste una relacion recıproca estrecha, a saber:

a.- Los teoremasp(x) ⇒ q(x), y q(x) ⇒ p(x)

es decir el directo y el contrario al recıproco, son simultaneamente verdaderos o falsos.

b.- Los teoremasq(x) ⇒ p(x), y p(x) ⇒ q(x)

o sea, el recıproco y el contrario tambien son a la vez verdaderos o falsos.De aquı se deduce que no se necesita demostrar todos los cuatros teoremas. A veces, la demos-tracion del teorema directo esta vinculada con alguna dificultad, en tales casos conviene tratar dedemostrar el teorema contrario al recıproco.

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c.- Finalmente, una tecnica de demostracion mas utilizada es por reduccion al absurdo, a saber:

(p(x) ∧ q(x)) ⇒ F (contradiccion).

3.3. Ejercicios

15. Sustituir los puntos suspensivos para las palabras es suficiente, es necesario, es necesario y suficientede modo que se obtengan las afirmaciones verdaderas.i).-Para ganar en la loterıa, ....... tener al menos un billete de loterıa.ii).-Para que la suma de dos numeros reales sea un numero racional .......... que cada sumando sea unnumero racional.iii).-Para que un triangulo sea isoceles.......... que los angulos de la base sean congruentes.

16. Determine cuales de los siguientes teoremas son mutuamente recıprocos, contrarios, contrarios a losrecıprocos y cuales de estos teoremas son verdaderos. i).- Si la suma de las cifras de un numero naturalse divide por 3, este numero tambien se divide por 3. ii).-Si cada uno de dos numeros naturales se divideexactamente por 7, su suma se divide por 7.iii).- Si ninguno de dos numeros se divide exactamente por 7, entonces su suma tampoco se divide por7.iv).- Si en un cuadrilatero se puede inscribir la circunferencia, este cuadrilatero es un rombo.v).- Si existe un numero x para el cual el polinomio x2 + px + q tome valor negativo, la ecuacioncuadratica x2 + px+ q = 0 tiene dos raıces positivas.

17. Sustituir los puntos suspensivos para las palabras es necesario y suficiente, es necesario pero no sufi-ciente, es suficiente pero no necesario de modo que se obtengan las afirmaciones verdaderas.i).-Si un polıgono es un cuadrilatero, .......la suma de sus angulos interiores es igual a 360o.ii).-Para que la ecuacion x2 − 2x+ q = 0 tenga dos raıces positivas ............ que se cumpla la condicionq > 0.

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18. Pruebe utilizando tautologias: (p ∨ r) ∧ (q ∧ r)⇐⇒ r =⇒ (p ∧ q)

Simplifique utilizando propiedades.

19. [p⇒ (q ∧ r)]⇒ (p⇒ q)

20. (p⇒ q)⇒ [(p ∧ r)⇒ (q ∧ r)]

21. [p ∨ (p ∧ q)]⇔ p

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Utilizando las tablas de verdad demuestre las Propiedades de Conmutatividad, Asociatividad, Distri-butividad y las Leyes de Morgan, es decir:

22. p ∧ q ≡ q ∧ p

23. p ∨ q ≡ q ∨ p

24. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

25. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

26. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

27. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

28. p ∧ q ≡ p ∨ q

29. p ∨ q ≡ p ∧ q

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30. Utilizando tablas de verdad demuestre las siguientes equivalencias.

31. p⇒ q ≡ p ∨ q

32. p ∧ (p ∨ q) ≡ p

33. p ∨ (p ∧ q) ≡ p

34. p ∧ (p ∨ q) ≡ p ∧ q

35. p ∨ (p ∧ q) ≡ p ∨ q

36. p⇒ q ≡ q ⇒ p

37. p⇒ q ≡ [(p ∧ q)⇒ F ]

38. [p ∧ q ⇒ r] ≡ [(p⇒ r) ∨ (q ⇒ r)]

39. [p ∨ q ⇒ r]⇔ [(p⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]

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item Demuestre que las siguientes expresiones son tautologıas.

40. p⇒ (p ∨ q)

41. (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

42. [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)

43. (p⇒ q)⇒ [(p ∨ r)⇒ (q ∨ r)]

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Simplifique las siguientes expresiones:

44. [p⇒ (q ∧ r)]⇒ (p⇒ q)

45. (p⇒ q)⇒ [(p ∧ r)⇒ (q ∧ r)]

46. [p ∨ (p ∧ q)]⇔ p

47. p⇒ [q ⇒ (p⇒ q)]

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48. Sean p y q proposiciones logicas. Se define p× q por la siguiente tabla.

p q p× qV V FV F VF V VF F V

Demuestre que se cumple que:

49. p ≡ p× p.

50. p ∨ q ≡ (p× q)× (p× q).

51. p ∧ q ≡ (p× q)× (q × q).

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52. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera, q es verdadera y r es falsa. Hallar el valor de verdadde

[(p⇒ q)⇒ (p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q)

53. Si p ∧ q ⇒ r es falsa, determinar el valor de verdad de

(p ∨ q)⇔ (r ∨ p)

54. Si la proposicion p⇒ q es falsa. Determine el valor de verdad de la proposicion

[p ∨ (q ∧ r)]⇔ [(p ∨ r) ∧ q]

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55. Encontrar el valor de verdad de la proposicion:

[(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]⇒ [q ∨ (p⇒ r)]

sabiendo que p⇒ (q ∨ r) es falsa.

56. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r si se sabe que la proposicion compuesta

[(p⇔ q)⇔ (p ∨ r)] ∧ [p⇒ (q ∧ r)]

es verdadera.

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57. Sean p, q, r y s proposiciones logicas. Se definen los conectivos y 4 de la siguiente forma:

p q ≡ p⇒ q

r 4 s ≡ r ∨ s

Encuentre el valor de verdad de la siguiente proposicion:

[p ∧ (p 4 r)] ∨ [(p 4 q) ∨ (s p)]

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58. Para cada una de las siguientes definiciones obtenga su negacion.

59. S ⊂ R es acotado si:

(∃M ∈ R+)(∀x ∈ S)(|x| ≤M).

60. Una funcion f : I ⊆ R −→ R es inyectiva en I si:

(∀x, y ∈ I)(f(x) = f(y)⇒ x = y).

61. Una funcion f : A −→ B es sobreyectiva si:

(∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f(x)).

62. Una funcion f : R −→ R es continua en x0 ∈ R si:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε).

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Dadas las siguientes funciones proposicionales

p(x) : x2 + y ≤ xy

q(x) : x+ y ≤ 1

63. Determine el valor de verdad de la proposicion (∀x ∈ N)(∃y ∈ Z)(p(x, y)⇒ q(x, y)).

64. Escriba la negacion de la proposicion anterior.

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65. Para x ∈ R considere las siguientes funciones proposicionales:

p(x) : x2 − 3x− 10 ≥ 0

q(x) : 3x+ 1 ≥ 13

Determine todos los x ∈ R de modo que la proposicion p(x) ∨ q(x) sea verdadera.

4. Conjuntos y operaciones sobre ellos

Por conjunto ya entendemos como cualquier totalidad de objetos, llamados elementos del conjunto.

Los conjuntos notables de Numeros que vamos a utilizar en cada momento son

N, Numeros Naturales.

N0, Numeros Naturales y el cero.

Z+, Numeros Enteros positivos (Igual al conjunto N ).

Z−, Numeros Enteros negativos.

Z, Numeros Enteros.

Q, Numeros Racionales.

I, Numeros Irracionales.

R, Numeros Reales.

C, Numeros Complejos.

La notacion a ∈ A significa que el objeto a es un elemento del conjunto A (pertenece al conjunto A); enel caso contrario se escribe a 6∈ A. Un conjunto que no contiene ningun elemento, se denomina vacıo yse designa por el sımbolo φ. la notacion A ⊂ B (A esta contenido en B) quiere decir que todo elementodel conjunto A es un elemento del conjunto B pero en ningun caso A es igual a B, y de esta forma elconjunto A lleva el nombre de subconjunto propio del conjunto B.Los conjuntos A y B se llaman iguales (A = B), si A ⊂ B y B ⊂ A.Nota: A ⊆ B quiere decir que todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B; en estecaso el conjunto A lleva el nombre de subconjunto del conjunto B, quedando la posibilidad de que losconjuntos A y B sean iguales. Antiguamente, se denotaba A ⊂ B, como A $ B Existen dos formaspara definir (escribir) los conjuntos.

a) El conjunto A se determina por enumeracion directa de todos sus elementos a1, a2, . . . , an, es decir,se escribe en la forma:

A = a1, a2, . . . , an.

b) El conjunto A se determina como una totalidad de aquellos, y solo de aquellos, elementos de ciertoconjunto basico T , que poseen la propiedad comun α. En este caso se emplea la designacion

A = x ∈ T | α(x)

Donde la notacion α(x) significa que el elemento x posee la propiedad α.

c) Se llama union de los conjuntos A y B al conjunto

A ∪B = x | x ∈ A o x ∈ B.

d) Se llama interseccion de los conjuntos A y B al conjunto

A ∩B = x | x ∈ A y x ∈ B.

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e) Se llama diferencia de los conjuntos A y B al conjunto

A\B = x | x ∈ A y x 6∈ B.

Si, en particular, A es un subconjunto de cierto conjunto universal T , entonces la diferencia T\Ase designa por el sımbolo A o Ac y se denomina complemento del conjunto A (hasta que se obtengael conjunto T ). Como propiedad importante se tienen la Ley de Morgan

(A ∪B)c = Ac ∩Bc

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

Un conjunto X se denomina numerable, si puede establecerse correspondencia biunıvoca entre loselementos del conjunto mencionado y los del conjunto N de todos los numeros naturales.

Observacion Importante: Todo lo que sera demostrado en esta seccion sera util cuando se debademostrar un teorema.

4.1. Ejercicios

66. Escriba la definicion de A = B, A∩B, A∪B, A−B, A ⊂ B y Ac. Luego haga un diagrama y marquelas zonas mencionadas.

27


67. Demuestre :

68. (A ∩B)c = Ac ∪Bc

69. (A ∪B)c = Ac ∩Bc

70. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

71. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

72. A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C)

73. A ⊂ B ⇔ Bc ⊂ Ac

74. A ⊂ B ⇒ A ∩B = A y A ∪B = B

28


Simplifique utilizando propiedades.

75. [A ∩ (A ∩B)c] ∪ [B ∪ (B ∩ Cc)]c ∪Bc

76. [A ∩ (A−B)] ∪B

77. [(A ∩Bc) ∩ (A−Bc)]c ∪Ac

29


78. Considere los conjuntos: A = x / 5 ≤ |x|, B = x / x2 + 6 = 7x, C = ∅, D = x / − 7 ≤ x ≤ 3 yE = R.

Determine: B ∩D, A ∩D, A ∪B, B ∪D, A ∪ E, B ∩ E, C −A y A−D.

30


79. Se entendera por |P | como el numero de elementos del conjunto P. Sean A y B conjuntos disjuntos, esdecir, conjuntos que cumplen con A ∩ B = ∅, entonces se tendra que |A ∪ B| = |A| + |B|. Demuestreque si A ∩B 6= ∅ entonces |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

Indicacion: Escriba los conjuntos A ∪B y B como union de conjuntos disjuntos.

31


80. Una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes favoritos revelo que 50 practican futbol, 79practican futbol o tenis, 68 practican futbol o handball, 68 practican tenis o handball, 35 practicanhandball, 45 practican tenis y finalmente 6 personas practican los tres deportes.

Determine:

a) Numero de personas que practican futbol.

b) Numero de personas que practican futbol y tenis.

c) Numero de personas que practican handball o tenis pero no futbol.

d) Numero de personas que a lo menos practican tres de estos deportes

e) Numero de personas que no practican tenis.

32


5. Numeros Naturales: Principio de induccion matematica

El metodo deductivo , muy usado en matematica, obedece a la siguiente idea: “ A partir de un ciertoconjuntos de axiomas aceptados sin demostracion y de reglas logicas no contradictorias , se deducenotros enunciados llamados teoremas.

Otro metodo para demostrar resultados generales que dependen en algun sentido de los numeros natu-rales es conocido con el nombre de Induccion Matematica . La dependencia de los numeros naturalessignifica: se sabe que una determinada afirmacion es verdadera para algunos casos particulares y surgela pregunta. ¿ Dicha afirmacion sigue siendo verdadera para los infinitos numeros naturales restante?.

Existen muchas afirmaciones que solo son validas para un numero finito de casos y en consecuen-cia son falsas para un numero infinitos de situaciones. Sin embargo podemos encontrar proposiciones(afirmaciones) que son verdaderas solo a partir de un cierto numero natural n0, de ser asi, la tecni-ca que se desarrollaremos se llama Induccion Incompleta. Para demostrar que una proposicionp(n) ,∀n ∈M ⊆ N, es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos delconjunto M . En el caso en que M= N, diremos que es una Induccion Completa.

Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposicion p(n),∀n ∈ M ⊆ N, es suficiente indicarun elemento particular m ∈M de manera que p(m) sea falsa.( Construccion de un contra ejemplo).

Ejemplo:(Ejemplo dado por Leonhard Euler (1707-1783)

Consideremos el polinomio cuadratico p(n) = n2 + n+ 41 y determinemos su valor para ciertos n ∈ N

n : 1 2 3 4 5 6 7 8n2 + n+ 41 : 43 47 53 61 71 83 97 113

Notese que todos los numeros que se obtienen son primos. Se podrıa esperar que este polinomio cuadrati-co continua generando numeros primos. Desafortunadamente no es asi, para n = 40, se tiene 1681 = 412,que no es un numero primo, luego la proposicion ∀n ∈ N, n2 + n+ 41, es un numero primo es falsa.

Principio de induccion Matematica.

Una proposicion p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientescondiciones :

Paso 1.- La proposicion p(n) es verdadera para n = 1 , o bien, p(1) es verdadera.

Paso 2.- Hipotesis de Induccion . Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un numero natural cales-quiera.

Paso 3.- Tesis de Induccion. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien,

p(k) verdadera ⇒ p(k + 1) verdadera.

La tecnica de Induccion Matematica consiste en los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar lavalidez de una proposicion p(n) para todos los valores naturales n, entonces es suficiente que se cumplan:Paso 1, Paso 2 y Paso 3 .

33


5.1. Ejercicios

81. Demuestre que para todo natural n se cumple

bn − an = (b− a)(bn−1 + bn−2a+ bn−3a2 + ...+ ban−1 + an−1)

82. La sucesion an se define por la relacion de recurrencia an+1 = 3an − 2an−1, a1 = 0, a2 = 1.Demuestre que para todo natural n, an = 2n−1 − 1.

83. Demuestre que cualquier suma de dinero, multiplo entero de a mil pesos, mayor o igual que 5,000 (Cincomil pesos), esta puede ser descompuesta como multiplo de billetes de cinco mil pesos y de dos mil pesos.

34


Demuestre por induccion las siguientes igualdades:

84. 1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)2

85. 12 + 22 + 32 + ....+ n2 = n(n+1)(n+2)6

86. (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) · · · (n+ n) = 2n · 1 · 3 · 5 · ·(2n− 1)

35


87. 12 − 22 + 32 − 42 + ...+ (−1)n−1n2 = (−1)n−1n(n+ 1)

2

88. (1− 14 )(1− 1

9 ) · · · (1− 1(n+1)2 ) = n+2

2n+2

89. (15 + 25 + 35 + ...+ n5) + (17 + 27 + 37 + ...+ n7) = 2(1 + 2 + 3 + ...+ n)4

36


90. Para todo natural n, demuestre que an = 22n − 1, es divisible por b = 3

91. Para todo natural n, demuestre que an = n3 + 5n, es divisible por b = 6

92. Considere la sucesion 1, 5, 85, 21845, ..., definida por

c1 = 1, c2 = c1(3c1 + 2), ...., cn+1 = cn(3cn + 2), ...

Pruebe que para todo entero n positivo, cn = 42n−1

3

37


5.2. Sumatorias

El sımbolo Σ se llama Sigma en el alfabeto griego y en Espanol corresponde a la letra S. Es naturalusar este sımbolo para referirse a la idea de Suma, o bien , Sumatoria.

Con el sımbolo Σi2, se desea indicar la suma de los terminos de la forma i2 para varios valores enterosde i. El rango para estos valores enteros se indica en la parte inferior y superior respectivamente de Σ.Por ejemplo en la forma

n∑i=1

i2 = 12 + 22 + ...+ n2

o bien, en la forma∑ni=1 i

2 = 12 + 22 + ...+ n2.

El numero de terminos que tiene una suma∑n2

j=n1h(j) , n2 ≥ n1 siempre es igual a n2 − n1 + 1.

Por otro lado las sumas no necesariamente deben comenzar desde 1 y cualquier letra como un contadorpuede ser usada.

Finalmente cualquier funcion f(i) puede ser utilizada en lugar de i2, es decir

f(2) + f(3) + f(4) + ...+ f(n) + f(n+ 1) =

n+1∑j=2

f(j)

Propiedades.

A continuacion se dan las principales propiedades de la sumatoria:

1.∑m−1k=j = m− j, m ≥ j

2.∑n+1k=0 ak = an+1 +

∑nk=0 ak

3.∑nk=1 ak + bk =

∑nk=1 ak +

∑nk=1 bk

4.∑nk=1 cak = c

∑nk=1 ak, c constante

5.∑nk=1 c = nc, c constante

6.∑nk=1 ak =

∑jk=1 ak +

∑nk=j+1 ak

7.∑nk=1 ak − ak−1 = an − a0 (Propiedad Telescopica)

8.∑mk=n ak − ak−1 = am − an−1 m ≥ n

9.∑mk=n ak−j − ak−j−1 = am−j − an−j−1 m ≥ n

10. (∑nk=1 akbk)2 ≤ (

∑nk=1 ak)2(

∑nk=1 bk)2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

5.3. Productorias.

Π es la letra “pi” mayuscula en el alfabeto griego y corresponde a la letra P del espanol. Es costumbreusar esta letra griega para designar productos.

Πnk=1f(i) = f(1) · f(2) · f(3) · · · f(n)

donde f es una cierta funcion del ındice i.

Propiedades.

1.- Πnk=1k = 1 · 2 · 3 · 4 · · · ·n = n!

2.- Πnk=1k = Πn−1

k=0(n− k) = n!

3.- Πni=1ai = Πk

i=1aiΠni=k+1ai

4.- Πni=1ai + Πn+1

i=2 ai = (a1an+1)Πni=2ai

5.- Πni=k+1ai =

Πni=1aiΠki=1ai

6.- Πni=1c = cn, c, constante

7.- Πnk=1

akak−1

= ana0

Propiedad Telescopica

38


5.4. Ejercicios Sumatorias y productorias.

Demuestre que:

93.∑nj=0 x

n−j+1yj =∑n−1k=−1 x

n−kyk+1

94.∑nk=0 ak =

∑nk=0 an−k

95.∑nk=1 f(k) =

∑n+1k=2 f(k − 1)

39


6. Progresiones.

Definicion:

Se dice que los numeros reales a1, a2, a3, ..... estan en progresion Aritmetica ( P.A) si existe un numeroreal d, llamado diferencia, tal que

∀n ∈ N : an+1 − an = d

De la definicion de P.A tenemos dos importantes resultados, a saber:

1) ∀n ∈ N : an = a1 + (n− 1)d

2) ∀n ∈ N :∑nk=1 ak = n(a1+an)

2

Si en una progresion aritmetica el primer termino es 2 y la diferencia es 3, se tiene que el segundotermino es 2 + 3 · 1, el tercer termino es 2 + 3 · 2, finalmente el n-esimo termino es 2 + 3 · (n− 1). Sideseamos sumar los n primeros terminos, podemos utilizar la siguiente tecnica:

Escribiendo la suma de los terminos en orden creciente y luego decreciente en un arreglo por filas yluego sumando tenemos

S = 2 + 5 + 8 + ...+ 3n− 4 + 3n− 1

S = 3n− 1 + 3n− 4 + ...+ 8 + 5 + 2

2S = 3n− 1 + 3n− 1 + 3n− 1 + ...,3n− 1 + 3n− 1 = n(3n− 1)

Luego, S = n(3n−1)2 .

El promedio ( o bien promedio aritmetico ) de n numeros es igual a su suma dividido por n, por ejemploel promedio de 1,3 y 7 es 11

3 , y si cada termino es remplazado por su promedio, la suma de los tresterminos permanece inalterable. Cuando tenemos una secuencia de numeros dados en P.A, el promediode todos sus terminos es igual al promedio del primer termino y el ultimo termino, que es igual altermino central cuando el numero de terminos es impar.

Por ejemplo, consideremos una progresion aritmetica con una diferencia negativa d = − 53

7

3,

2

3, −1 − 8

3, −13

3, −6 − 23

3, −28

3, −11

Su promedio es − 133 que corresponde al termino central y la suma de los nueve terminos es igual a

nueve veces su promedio, es decir 9 · (− 133 ) = −39.

Si a es el promedio de r y s, es facil ver que r, a, s son los terminos consecutivos de una progresionaritmetica. Esta es la razon que el promedio de tres numeros es llamado el medio aritmetico.

Definicion.

Se dice que los numeros reales a1, a2, a3, ..... no nulos estan en progresion Geometrica ( P.G) si existeun numero real q, llamado razon, tal que

∀n ∈ N :an+1

an= q

De la definicion de P.G tenemos dos importantes resultados, a saber:

1) ∀n ∈ N : an = a1qn−1

2) ∀n ∈ N :∑nk=1 ak = a1

qn−1q−1 , q 6= 1.

En particular si q = 1, ∀n ∈ N : an = a1. Luego∑nk=1 ak = na1.

Si | q |< 1, es facil ver que las potencias naturales de q son decrecientes y para n suficientemente grandeqn tienden a cero, luego a1 + a2 + a3 + .... = a1

1−q .

40


Consideremos una progresion geometrica de la forma

5, 5 · 22, 5 · 24, 5 · 26, 5 · 28, ......,5 · 22n

Podemos identificar que su primer termino es a0 = 5, la razon es q = 22 y el numero de terminos esn+ 1.

Ilustremos una forma simple de encontrar la suma de una P.G..

Designemos por S su suma y consideremos el siguiente arreglo

S = 5 + 5 · 22 + 5 · 24 + 5 · 26 + 5 · 28 + .....+ 5 · 22n

22S = 5 · 22 + 5 · 24 + 5 · 26 + 5 · 28 + .....+ 5 · 22n + 5 · 22(n+1)

Restando, notamos que se cancelan los terminos menos dos de ellos obteniendo 3S = 5 · 22(n+1) − 5 ,

de donde, S = 5((22)(n+1)−1)3 = 5(1−(22)(n+1))

1−22

El medio geometrico de dos numeros reales positivos a y b se define por√ab, el medio geometrico de

tres numeros reales positivos a, b, c se define por 3√abc y en general para n numeros reales positivos

a1, a2, a3, a4, ...., an el medio geometrico se define por

n√

Πni=1ai

Para que una sequencia de numeros a1, a2, a3, a4, ...., an esten en P.G, es necesario y suficiente que cadauno de sus terminos excepto el primero, sea igual en valor absoluto al medio geometrico de sus terminosadyacentes, es decir

|an+1| =√anan+2

En efecto, si a1, a2, a3, a4, ...., an estan en P.G, entonces an+1 = anq, . Luego an+2 = an+1q, de donde√anan+2 =

√an+1

q an+1q =√a2n+1 = |an+1|.

Para probar la suficiencia, consideremos |an+1| =√anan+2 , de donde, a2

n+1 = anan+2 . Luegoan+1

an= an+2

an+1.

Obteniendoa2

a1=a3

a2=a4

a3=a5

a4= ..... = q

lo que demuestra que la sequencia de numeros a1, a2, a3, a4, ...., an estan en una P.G.

Se deja como ejercicio al lector, una importante desigualdad que no es facil de demostrar, ella es:

Para a1, a2, a3, a4, ...., an numeros positivos, se cumple

(a1 + a2 + a3 + a4 + ....+ an)

n≥ n√a1 · a2 · a3 · a4 · .... · an.

41


6.1. Ejercicios progresiones.

96. Determine x de manera que 7, x, 252 sean tres terminos consecutivos de una P.G.

97. Determine x de manera que 15, x, 18 sean tres terminos consecutivos de una P.A.

98. Dada la suma Sn de los n primeros terminos de una P.A a1, a2, a3, a4, ...., an, encuentre los cuatro

primeros terminos si Sn = n2

4 − n.

42


99. Si a, b, c, d numeros que estan en P.G, demuestre que

(b− c)2 + (c− a)2 + (d− b)2 = (a− d)2

100. En un cırculo de radio R se inscribe un cuadrado, en este cuadrado un cırculo, en este otro cırculo uncuadrado y ası sucesivamente. ¿Cual es el lımite de las sumas de las areas de los cuadrados y de loscırculos?

43


101. En un cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos. ¿cuantas veces el numero original debacterias ay en el cultivo al cabo de 2 horas, suponiendo que ninguna muere?

102. De trs numeros que forman una P.G decreciente , el tercero es 12. Si 12 es reemplazado por 9, los tresnumeros forman una P.A. Encuentre los dos numeros restantes.

103. Determine una progresion geometrica decreciente e infinita, de manera que su suma sea 3, y la sumade los cubos de susu teminos sea igual a 61 5

7 .

104. Utlizando las progresiones, demuestre

xn + xn−1y + xn−2y2 + ...+ xyn−1 + yn =xn+1 − yn+1

x− y

44


7. Teorema del Binomio

Del algebra elemental, sabemos que (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2, entonces (a + b)3 =(a + b)(a + b)2 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Podemos observar que los coeficientes del binomio cubico sepueden obtener de la siguiente manera:

1 2 11 2 1

1 3 3 1

De aqui podemos tabular los coeficientes de (a + b)n, para n = 0, 1, 2, 3..., ( para el caso n = 0, serequiere que a o b, no sean nulos simultaneamente.)

El arreglo anterior es conocido como triangulo de Pascal, en honor al matematico Blaise Pascal ( 1623-1662)Definamos el coeficiente de an−kbk ( coeficiente binomial) por(nk

)= n!

(n−k)!k! , k = 0, 1, 2, 3...n con 0! = 1, n! = 1 · 2 · 3 · 4...n (lease n factorial)

Podemos notar que n! = 1 · 2 · 3 · 4... · (n− 2) · (n− 1) · n lo podemos escribir como n! = n · (n− 1) ·(n− 2) · ....,4 · 3 · 2 · 1

En general (n+ n)! 6= n! +m! por ejemplo, si n = 3 y m = 5, (3 + 5)! = 40320, y 3! + 5! = 126Similarmente debemos observar que en general (2n)! 6= 2n! y (mn)! 6= m!n!

Utilizando los coeficientes binomiales, el triangulo de Pascal quedaria:

Teorema del Binomio.

Si a, b ∈ R y n ∈ N, entonces

(a+ b)n =

n∑k=0

(nk

)an−kbk =

(n0

)an +

(n1

)an−1b+

(n2

)an−2b2 + .....+

(n

n− 1

)abn−1 +

(nn

)bn

En particular (a− b)n, lo puede considerar como (a+ (−b))n y es necesario notar por la simetriade los coeficientes que

(a+ b)n =

n∑k=0

(nk

)an−kbk =

n∑k=0

(nk

)akbn−k =

Definamos por Tj el termino j-esimo en el desarrollo de binomio (a+ b)n, entonces

Tj =

(n

j − 1

)an−(j−1)bj−1

luego por razones practicas y no equivocarse en recordar tantos indices , podemos considerar el coefi-ciente j-esimo mas uno que tiene la forma

Tj+1 =

(nj

)an−jbj

Una generalizacion natural del Teorema del Binomio, es el Teorema del Multinomio, solo daremos sudefinicion y no entraremos en mas detalles, dejamos al lector mas avezado profundizar en esta materia.

Para cualquier entero n ≥ 2 y para r ≥ 3

(x1 + x2 + x3 + .....+ xr)n =

∑n1+n2+...+nr=n

(n

n1, n2, ..., nr

)xn1

1 xn22 · · · xnrr

45


donde la suma es sobre toda secuencia de numeros enteros positivos n1, n2, ..., nr tal que n1 +n2 + ...+nr = n y (

nn1, n2, ..., nr

)=

n!

n1! · n2! · · · nr!En particular para r = 2 (

nn1, n2

)=

(n

k, n− k

)=

n!

k!(n− k)!=

(nk

)

46


7.1. Ejercicios

105. Si n > 1, demuestre que n · (n− 1)! = n!

106. Si n > 2, demuestre que (n2 − n) · (n− 2)! = n!

107. Si n ≥ k, demuestre que (n− k + 1) · n! + k · n! = (n+ 1)!

47


108. Si n > 2, demuestre que n!− (n− 1)! = (n− 1)2 · (n− 2)!

109. Determine todos los n ∈ N para los cuales (2n)! = 2 · n!

110. Determine todos los pares de enteros positivos m y n de manera que (m+ n)! = n! ·m!

48


111. Resuelva la ecuacion para n entero positivo (n+ 2)! = 90 · n!

112. Si 0 ≤ k ≤ n− 2, entonces(n+ 2k + 2

)=

(n

k + 2

)+ 2

(n

k + 1

)+

(nk

)

113. En caso de existir, obtenga el coeficiente de x7 en el desarrollo de ( 2x3 + x+ x3)8

114. Determine el coeficiente del termino independiente de x en el desarrollo de

( 3√x+

1

x)6

49


115. Si en la expansion binomial de

(√y +

14√y

)4

los primeros tres coeficientes forman una progresion aritmetica.Encuentre los terminos de la expansion en los cuales los exponentes de y sean numeros naturales.

116. Si(1 + x+ x2 + x3)5 = a0 + a1x+ a2x

2 + ....+ a15x15

determine el valor exacto de a10.

117. Determine una relacion entre a y n de modo que en el desarrollo de (1 + a)n aparezcan dos terminosconsecutivos iguales.

50


118. Escriba

6[(

n3

)+

(n2

)+

(n1

)]como un polinomio en n, y utilice el echo que

(nr

)siempre es un entero para dar una nueva

demostracion que n(n2 + 5) es multiplo de 6 para todo entero n.

119. Determine los numeros a y b, de manera que para todo natural n

n3 = 6

(n3

)+ a

(n2

)+ b

(n1

)120. Demuestre por induccion matematica que

n∑i=0

(s+ is

)=

(s+ n+ 1s+ 1

)

51


7.2. Ejercicios varios

121. Demuestre por induccion que 9n − 8n− 1 es divisible por 64.

122. Pruebe por induccion que:

1

1 · 2 · 3+

1

2 · 3 · 4+

1

3 · 4 · 5+ · · ·+ 1

n(n+ 1)(n+ 2)=

n(n+ 3)

4(n+ 1)(n+ 2)

123. Demuestre que:

1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + . . .+ n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3∀n ∈ N

124. Demuestre por induccion que:n∑k=1

(2k)3 = 2n2(n+ 1)2 ∀n ≥ 1

52


125. Demuestre por induccion que 3n + 7n − 2 es un multiplo de 8 ∀n ∈ N

126. Demuestre por induccion que:

5

1 · 21

3+

7

2 · 31

32+

9

3 · 41

33+ · · ·+ 2n+ 3

n(n+ 1)

1

3n= 1− 1

3n(n+ 1)) ∀n ∈ N

127. Conjeture una formula para la siguiente suma y luego pruebela por induccion

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n · (n+ 1)

53


128. Demuestre usando induccion:

n∑i=1

i22i = 2n+1(n2 − 2n+ 3)− 6 ∀n ∈ N

129. Demuestre usando induccion:n−1∑k=0

k3 <n4

4

130. Demostrar usando induccion:(1 +

1

1

)·(

1 +1

2

)·(

1 +1

3

)· · ·(

1 +1

n

)= n+ 1

54


131. Determine para que valores de n ∈ N es verdadera la desigualdad

2n > n2 + 4n+ 5

132. Pruebe que si senα 6= 0, entonces la identidad

cosα · cos 2α · cos 4α... cos 2nα =sen2n+1α

2n+1senα

es cierta para todo n ∈ N0.

55


133. La sucesion an se define por la relacion de recurrencia an+1 = 3an − 2an−1, a1 = 0, a2 = 1.Demuestre que para todo natural n, an = 2n−1 − 1.

134. Para todo n natural, demuestre la siguiente desigualdad

n

2< 1 +

1

2+

1

3+ ....+

1

2n − 1≤ n

56


135. Demuestre que

3 + 33 + 333 + ...+ 3... n veces ...,3 =10n+1 − 9n− 10

27

136. Demuestre que cualquier suma de dinero mayor o igual que 5,000 (Cinco mil pesos), esta puede serdescompuesta como multiplo de billetes de cinco mil pesos y de dos mil pesos.

137. Demuestre que para todo natural n ≥ 2

1√1

+1√2

+1√3

+ ....+1√n>√n

57


138. Calcule la suma:98∑j=0

arj ; a, r ∈ R

139. sean a1, a2, a3, . . . , an y b1, b2, b3, . . . , bn dos progresiones aritmeticas de diferencias d1 y d2 respec-tivamente. Si sabemos que

n∑i=1

ai = 2

n∑i=1

bi ∀n ∈ 1, 2, . . .

¿que relacion existe entre d1 y d2?

58


140. sea a1, a2, a3, . . . , an una progresion geometrica, donde ai > 0 ∀i = 1, . . . , n. Demuestre que a1 · a2 ·a3 · · · an = (mM)n/2, donde m y M son el mınimo y el maximo valor de la progresion geometrica.

141. Calcular:n∑k=1

((k − 1)3 + 3k+1 − k3

)142. Calcule el valor de:

S =

100∑k=1

k

(k + 1)!

143. Escriba en forma de sumatoria y calcule

1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1)(n+ 2)

59


144. Calcule:n∑k=2

1

k2 − 1

145. Sea x = 1n

∑nk=1 xk. Demuestre la identidad:

n∑i=1

((xi − x)2 + xi(x− 1)

)=

n∑i=1

x2i − nx

60


146. Determine K ∈ R de manera que las raıces de la ecuacion

x3 + 3x2 − 6x+K = 0

esten en una Progresion Aritmetica.


(1 + a)−k, a 6= 1

61


148. Determine las posibles soluciones para n ∈ N que satisfagan la ecuacion

1 +

n∑i=1

1

21−i = 2n2+2n−6

149. Sean u1, u2, ..., ut con un+2 = 2un+1 − un para n = 1, 2, ..., t − 2. Pruebe que estos numeros estan enuna P.A.

62


150. Sean a, b ∈ R dados. Suponga que los numeros x1, x2, ..., xn forman una P.A. tal que:

x1 + x2 + · · ·+ xn = ax2

1 + x22 + · · ·+ x2

n = b2

a) Exprese a y b en terminos de x1, n y a

b) De a) obtenga la P.A.

63


151. Calcule:n∑n=1

1

(2k − 1)(2k + 1)


k(n− k + 1)

153. Encuentre todas las P.A. de naturales x, y, z tales que x+ y + z = xyz.

64


154. Los numeros 3, 23, 59 pertenecen a cierta P.A. y se sabe que el numero de terminos comprendido entre23 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y 23. Encuentre la diferencia, el numero de terminos yla suma de todos ellos.

155. El numero de terminos de una P.A. es par, la suma de los terminos impares es 24, la de los terminospares es 30 y el ultimo termino excede al primero en 10 1

2 . Encuentre el numero de terminos de laprogresion.

156. Calcule la suma de:

a) Los 21 primeros terminos de la progresion (a+ b)/2, a, (3a− b)/2, . . .b) Lo 15 Primeros terminos de una P.A. cuyo n-esimo termino es 4n+ 1

65


157. Determine x de manera que 15, x, 18 sean tres terminos consecutivos de una P.A.

158. Dada la suma Sn de los n primeros terminos de una P.A a1, a2, a3, a4, ...., an, encuentre los cuatro

primeros terminos si Sn = n2

4 − n.

159. Si a, b, c, d numeros que estan en P.G, demuestre que

(b− c)2 + (c− a)2 + (d− b)2 = (a− d)2

160. Una bomba de vacıo extrae la cuarta parte del aire contenido en un recipiente, en cada bombeada.¿Que tanto por ciento del aire, que originalmente contenıa el recipiente, queda despues de cinco bom-beadas?.

66


161. De tres numeros que forman una P.G decreciente , el tercero es 12. Si 12 es reemplazado por 9, lostres numeros forman una P.A. Encuentre los dos numeros restantes.

162. Determine una progresion geometrica decreciente e infinita, de manera que su suma sea 3, y la sumade los cubos de sus terminos sea igual a 61 5

7 .

163. Utilizando progresiones, demuestre

xn + xn−1y + xn−2y2 + ...+ xyn−1 + yn =xn+1 − yn+1

x− y

67


8. Numeros Reales, Desigualdades e Inecuaciones

8.1. Numeros Reales

8.2. Valor Absoluto

La distancia (que es no negativa) en la recta real entre cero y el numero real a es el valor absolutode a, que se escribe |a|. En forma equivalente,

|a| =a si a ≥ 0−a si a < 0

(1)

La notacion a ≥ 0 significa que a es mayor que cero o igual a cero. La ecuacion (1) implica que |a| ≥ 0para todo numero real a y que |a| = 0 si y solo si a = 0

Las propiedades siguientes de los valores absolutos se usan con frecuencia:

|a| = | − a| =√a2 ≥ 0,

|a|2 = a2,

|ab| = |a||b|,

|ab | =|a||b| , b 6= 0

|a| < b si y solo si − b < a < b.

−|a| ≤ a ≤ |a| y

|a| > b, si y solo si a > b, o a < −b

(2)

La distancia entre los numeros reales a y b se define como d(a, b) = |a − b| como d(a, b) = d(b, a)se tiene |a − b| = |b − a|. Esta distancia es simplemente la longitud del segmento de recta de la rectareal R con extremos a y b.

Las propiedades de las desigualdades y de valores absolutos en las ecuaciones (??) a (2) implican elsiguiente e importante teorema.

Teorema. (Desigualdad del triangulo.)Para todos los numeros reales a y b,

|a+ b| ≤ |a|+ |b| (3)

Intervalos. Supongamos que S es un conjunto (coleccion o reunion ) de numeros reales. Es comundescribir S mediante la notacion

S = x : condicion

donde la ”condicion” es verdadera para todos los numeros x en S y falsa para todos los numeros xque no estan en S. Los conjuntos mas importantes de numeros reales en calculo son los intervalos. Sia < b, entonces el intervalo abierto (a, b) se define como el conjunto

(a, b) = x : a < x < b

68


de numeros reales, y el intervalo cerrado [a, b] es

[a, b] = x : a ≤ x ≤ b.

Ası, un intervalo cerrado contiene a sus extremos, mientras que un intervalos abierto no. Tambienusaremos los intervalos semiabiertos

[a, b) = x : a ≤ x < b y (a, b] = x : a < x ≤ b

Ası, el intervalo abierto (1, 3) es el conjunto de aquellos numeros reales x tales que 1 < x < 3, el intervalocerrado [−1, 2] es el conjunto de numeros reales x tales que −1 ≤ x ≤ 2 y el intervalo semiabierto [−1, 2)es el conjunto de numeros reales x tales que −1 ≤ x < 2.

Tambien existen intervalos no acotados, que tienen formas tales como

[a,∞) = x : x ≥ a,

(−∞, a] = x : x ≤ a,

(a,∞) = x : x > a y

(−∞, a) = x : x < a.

El sımbolo ∞, que denota infinito, es simplemente una convencion de notacion y no representa a unnumero real; la recta real R no tiene ”extremos en infinito”.

Un conjunto X se denomina numerable, si puede establecerse correspondencia biunıvoca entre los ele-mentos del conjunto mencionado y los del conjunto N de todos los numeros naturales.

8.3. Cotas superiores e inferiores

Sea X un conjunto arbitrario no vacıo de numeros reales. El numero M = max X se denomina elementomayor (maximal) del conjunto X, si M ∈ X y para todo x ∈ X se verifica la desigualdad x ≤ M.Analogamente se determina el concepto de elemento menor (minimal) m = mın X del conjunto X.

El conjunto X se llama acotado superiormente, si existe un numero real a de tal ındole que x ≤ a paracualquier x ∈ X. Todo numero que posee dicha propiedad lleva el nombre de cota superior del conjuntoX. Para el conjunto dado X acotado superiormente, el conjunto de todas sus cotas superiores tiene unelemento menor, que se denomina cota superior exacta del conjunto X y se designa mediante el sımbolosup X.

Analogamente se determinan los conceptos de conjunto acotado inferiormente, de cota inferior y decota inferior exacta del conjunto X; esta ultima se designa mediante el sımbolo inf X.

El conjunto X se denomina acotado, si esta acotado superior e inferiormente.

69


9. Ecuaciones e Inecuaciones.

Toda proposicion que tiene la formaf(x) = g(x)

donde f(x) y g(x) son ciertas funciones, se llama ecuacion con una incognita x (o bien con una variablex.) Analogamente Todas las proposiciones de la forma

f(x) < g(x), f(x) ≤ g(x)

donde f(x) y g(x) son ciertas funciones, se llaman inecuaciones con una incognita x (o bien con unavariable x.)En general resolver una ecuacion o una inecuacion no es simple, y para resolverlas usualmente realizamosuna serie de transformaciones que modifican el problema original en otro equivalente. Desafortunada-mente no siempre las transformaciones utilizadas son correctamente formuladas y por ello obtenemossaluciones extranas y en muchos casos la perdida de ellas. Para excluir las soluciones extranas y evitarla perdida de soluciones, debemos tener en cuenta que en cada transformacion realizada debemos incluirel posible dominio de la variable en consideracion, en otras palabras, Restriccion.

Ejemplo1.Resolver la ecuacion

4x − 2x − 2 < 0

Una primera transformacion que nos viene a nuestra mente es hacer t = 2x,entonces Restriccion:t > 0, y nuestro problema original se convierte en

t2 − t− 2 = (t− 2)(t+ 1) = 0

cuyas soluciones son t ∈ −1, 2, luego t = 2 es decir 0 < 2x = 2, y obtenemos x = 1.


log2(x+ 2)2 = 6

Restriccion: x 6= −2. Utilizando la propiedad log2(x + 2)2 = 2 log2(x + 2), estamos asumiendo quex > −2 y el problema original se transforma en log2(x + 2) = 3. Si x ∈] − 2,+∞[ la unica solucion esx = 6, sin embargo si x ∈]−∞,−2[, la ecuacion a resolver es log2(−(x+2)) = 3 y su solucion es x = −10.

Ejemplo3.Resolver la inecuacion √

|x|+ 9 < 3− x

Restriccion: 3− x > 0, en otras palabras

x ∈]−∞, 3[

Si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuacion, obtenemos x2 − 6x− |x| > 0.Si x ∈]−∞, 0], la ecuacion a resolver es x2 − 5x = x(x− 5) > 0, cuya solucion es ]−∞, 0[∪]5,+∞[, ynuestra primera solucion es x ∈]−∞, 0[. Si x ∈]0, 3[ la ecuacion a resolver es x2 − 7x = x(x− 7) > 0,luego la segunda solucion es x ∈]0, 3] ∩ ] − ∞, 0[∪]7,+∞[ = ∅. Finalmente, la solucion a nuestroproblema es x ∈]−∞, 0[∪∅ =]−∞, 0[


(x− 7)

x2 − 6x− 7< 1

Restriccion: x2 − 6x− 7 = (x+ 1)(x− 7) 6= 0. Como x 6= 7, cancelamos el factor comun y obtenemos1

x+1 − 1 < 0, luego x1+x > 0, y su solucion es x ∈]−∞,−1[∪]0,+∞[\7.

70


9.1. Ejercicios

164. Escriba, por definicion, el valor absoluto de las siguientes funciones:

165. f(x) = (x+ 5)(x2 + x+ 1)

166. f(x) = x+2x−1

167. f(x) = x3 − 8

168. f(x) = x2 − 3x− 10

169. f(x) = x2 + 4

170. f(x) = x− 7

71


Desigualdad Triangular

Sean x1, x2 son numeros reales.

171. Probar que |x1 + x2| ≤ |x1|+ |x2|.

172. Utilizando la parte a) demuestre que |x1| − |x2| ≤ |x1 − x2|.

173. Interprete geometricamente lo demostrado en los puntos anteriores.

72


Resuelva las siguientes ecuaciones en R.

174.√

2x2 + 5x− 3 = x+ 1

175. x+√

13− 4x = 4

176. x2−8x+15x−5 = 2

177.√x− 1 +

√x+ 7 = 4

178.√x− 7 +

√x+ 17 = −4

179. 133+√x

= 10x

73


Resuelva las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

180. |x− 7|+ |2x− 14|+ |3x− 21| = 5

181.|x2 − 9x+ 14|

x− 2= 1

182.|x2 − 9x+ 14|

x− 2= 3

183.(x2 − 7x)|x− 3|

3− x= 1

184. |x+ 4| = |x+ 2|

185. |x|+ |x+ 2| = 3

74


9.2. Desigualdades

186. Sean a,c ∈ R y b,d ∈ R+. Demostrar que a+cb+d esta entre el menor y el mayor de los elementos a

b y cd .

75


187. Sean a, b, c > 0. Demuestre que:

2ab

a+ b+

2ac

a+ c+

2bc

b+ c≤ a+ b+ c

Indicacion: 2aba+b ≤

a+b2

76


188. Sean a, b, c > 0. Demuestre que:

8abc ≤ (a+ b)(b+ c)(c+ a)

Indicacion: a+ b ≥ 2√ab

77


189. Sea x ≥ 0. Demuestre que:

(1 + x)n ≥ 1 + nx

Indicacion: Utilice el Teorema del Binomio

78


Si a+ b = 1 pruebe que:

190. ab ≥ 1/4

191. a2 + b2 ≥ 1/2

192. a4 + b4 ≥ 1/8

79


193. Demuestre que:

1

a+

1

b>

2

a+ b∀a, b ∈ R+

80


Demuestre las siguientes desigualdades.

194. Si a ≥ b con a > 0 ∧ b > 0 ⇒ an ≥ bn ∀ n ε N.

195. Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ am ≤ bm ∀ n = par ε N.

196. Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ am ≥ bm ∀ n = impar ε N.

Indicacion: Si le es sencillo, puede proceder por induccion.

Observacion: Estas desigualdades son muy importantes cuando se deba resolver una inecuacion.

81


9.3. Inecuaciones

197. Encuentre el conjunto de solucion de las siguientes inecuaciones.

198. 2x− 8 ≥ 18

199. x2 − 3x+ 8 ≥ 1 + 5x

200. 2x2 − 12x+ 5 ≤ x(x− 8)

201.√−x2 + 9 ≥ −5

202. x−2x2+7x+12 ≥ 0

203. 2x2+x+3x3−x > 0

82


204.(x2 + 11x+ 24)

√x− 6

(x2 + 7)(x− 1)≥ 0

205.3

x+ 4+ 12

x−5 < −1

206.

√(x− 2)4(x2 − 9)

(x− 1)(x2 + x+ 1)≤ 0

207.√

28− 4x2 < x2 + 1

83


84


208.√x+ 14 > x+ 2

209.√

2x+ 29 > x− 3

210. |x− 3| ≥ 7

211. |x− 5| ≤ −4

212. |x|+ |x− 5| < |x− 9|

213. x2−3x+2|x−1| ≤ 0

85


214. x2−|x−2|−4|x−2| > 0

215. |2x− 3|+ |6− 4x| ≤ |x2 + 2|

216.√

4− |x+ 1| ≤ 1

217. |x−1|−|x+1||x2−1| ≤ |x−1|

x+1

86


218. Considere la ecuacion cuadratica: x2 + (2k + 1) + k(k + 9) = 0. Determine k tal que la ecuacion tenga:

a) Raıces reales distintas.

b) Raıces reales iguales.

c) No tenga raıces reales.

87


219. Considere las inecuaciones x2 − 5x+ 6 ≤ 0 y |x− a| ≤ 0. ¿Que valores deben tener las constantes a y bpara que el conjunto de solucion de ambas inecuaciones sean la misma?

220. Sea f(x) = |x− 2| − |x− 6| − |x− 10|.

a) ¿Para que valores de x f(x) > 0?

b) ¿Para que valores de x f(x) < 0?

c) Encuentre las raıces de f(x).

88


10. Plano cartesiano, rectas y conicas

Formula de la distancia:Si P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2), la distancia de P1 a P2 es

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Ecuacion estandar de un circurferencia:La ecuacion estandar de un circurferencia de radio r y centro (h, k) es

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Formula de la pendiente:La pendiente m de la recta que pasa por los puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) es

m =y2 − y1

x2 − x1si x1mathdsNeqx2

m no esta definida si x1 = x2

Punto - Pendiente, ecuacion de una recta:La ecuacion de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) es

y − y1 = m(x− x1)

Pendiente- Intercepcion, ecuacion de una recta:La ecuacion de la recta con pendiente m y con b como intercepcion es

y = mx+ b

Interceptos en los ejes:La ecuacion de la recta con los interceptos (a, 0), (0, b) es

x

a+y

b= 1

Distancia de un punto p(x0, y0) a una recta L : ax+ by + c = 0

d =| ax0 + by0 + c |√

a2 + b2

Formula cuadratica:Las soluciones de la ecuacion ax2 + bx+ c = 0, amathdsNeq0, son

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

Si b2 − 4ac > 0, hay dos soluciones reales diferentes.Si b2 − 4ac = 0, hay una solucion repetida.Si b2 − 4ac < 0, hay dos soluciones complejas que no son reales.

89


10.1. Ejercicios: Rectas y Conicas

221. Dada la recta x + y − 4 = 0 encuentre la ecuacion del lugar geometrico de todos los puntos del planoque se encuentran a distancia 3 de la recta.

222. Sean A = (0, 0) y B = (3, 0). Encuentre la ecuacion del lugar geometrico de todos los puntos P = (x, y)del plano tales que: ∠PAB = 1

2∠PBA.

223. Encuentre la ecuacion de la recta L de pendiente positiva que contiene al punto (2,−12) y sabiendoademas que la suma de sus interceptos con los ejes coordenados es igual a −12.

90


224. Dados los puntos A = (3, 5), B = (1,−1), C = (9, 5), D = (−2, 6) determine:

a) la distancia del punto C a la simetral del trazo AB.

b) ∠CAD

225. Demostrar que el lugar geometrico de todos los puntos P = (x, y) tales que d(A,P ) = kd(B,P ), dondek ∈ R+−1, A = (1, 2) y B = (2, 1) es una circunferencia. demuestre que el centro de la circunferenciaobtenida esta en la recta que une el punto A con el punto B.

226. Encontrar la(s) ecuacion(es) de la recta(s) perpendicular(es) a la recta 5x− y = 1 y que forma con losejes coordenados un triangulo de area 5 unidades.

91


227. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (1, 1) es siempre igual a2√

5d, en que d es la distancia del punto movil a la recta 2x + y = 1. Hallar e identificar el lugargeometrico del punto movil.

228. Sea A = (0, 0) y B = (2, 0), vertices de un triangulo, encontrar el lugar geometrico del vertice C siAC : BC = 2 : 3.

229. Considere la parabola de ecuacion y2 = x. ¿Cual debe ser el valor de k, para que la recta tangente a la

grafica de y2 = x en (4, 2) pase por el centro de x2 + k2x2 + k4

16 + y2 − 1 = 0?.

92


230. Sea A = (4, 2), y la recta de ecuacion l : y = 1. Encuentre la ecuacion del lugar geometrico de lospuntos del plano cuya distancia al punto A es el doble de su distancia a la recta l e identifique estelugar geometrico.

231. Determine, identifique y esboce el lugar geometrico de todos los puntos del plano que estan a unadistancia de 10 unidades del origen de coordenadas.

a) Sea A(a, b) un punto cualquiera que pertenece al lugar geometrico obtenido. Encuentre la ecuacionde la recta que pasa por el punto A(a, b) y el origen de coordenadas.

b) Determine los valores de a y b tal que la recta obtenida en 1.- tenga pendiente 34 .

c) Rotando el sistema de coordenadas en un angulo de π2 en sentido antihorario, determine las nuevas

coordenadas de los puntos obtenidos en 2.-.

93


232. a) Considerese el lugar geometrico P de los puntos (x, y) tales que

y = x2 − (1 +√

2)x+√

2, x ∈ R.

Esboce el lugar geometrico P .

b) Sean A y B dos conjuntos dados por

A = x ∈ Q, x2 − (1 +√

2)x+√

2 ≤ 0, B = Q \A.

¿Que conjunto es acotado?

c) 1 ∈ A? ; 1 ∈ B? ;√

2 ∈ A? ;√

2 ∈ B?

d) Determinen (si es que existen) los numeros finitosque corresponden a :

maxA, mınA, supA, ınf A, maxB, mınB, supB, ınf B.

94


233. Encuentre el angulo entre las diagonales de un paralelogramo, construido por los dos vectores −→a =

(1, 2);−→b = (2,−1)

234. Determine el largo del segmento de la recta x− 2y − 2 = 0 que esta contenida y esta encerrada por la

elipse x2

100 + y2

25 = 1

235. Encuentre la ecuacion de una circunferencia centrada en el punto O1(−3, 1) y teniendo a 4x+3y−16 = 0como una recta tangente.

95


236. Encuentre el lugar geometrico de todos los puntos del plano cuya distancia a la recta x = 4 sea igualal doble de la distancia al punto F (1, 0).

237. Halar el lugar geometrico de todos los puntos P = (x, y) del plano cuya distancia al punto A = (a, k, 0)es k veces su distancia a la recta l de ecuacion x = a

k . Identifique el lugar geometrico segun:

a) 0 < k < 1

b) k > 1

c) k = 1

238. Dados A = (1, 3) y B = (5, 0), encuentre la ecuacion del lugar geometrico del tercer vertice C de lostriangulos de base AB y altura h = 5.

239. Considere l1 : y = ax; l2 : y = x. Encuentre el valor de a de modo que l1 y l2 formen un anguloΦ = π/4 al intersectarse.

11. Ejercicios

Ecuacion de la Recta

240. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente 2.

241. Hallar la ecuacion de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intercepcion con el eje Y es −2.

242. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos C(4, 2) y B(−5, 7).

96


243. Los vertices de un cuadrilatero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar la ecuacion de la recta desus lados.

244. Encontrar la recta que pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(−2, 2)y C(3,−4).

245. Hallar la ecuacion de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de interseccion de las rectas2x+ y − 8 = 0 y 3x− 2y + 9 = 0.

97


246. Determine el valor de las constantes A y B de modo que los puntos (−3, 1) y (1, 6) pertenezcan a larecta Ax−By + 4 = 0.

247. Halle el valor de la constante k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta4x+ 3y + 7 = 0.

248. Determine el valor de la constante k para que la recta k2x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a larecta 3x− 2y − 11 = 0.

249. Grafique que las rectas 2x− y− 1 = 0, x− 8y+ 9 = 0, 2x− y− 8 = 0 y x− 8y+ 3 = 0, y luego pruebeforman un paralelogramo.

98


Distancia de un Punto a una Recta

250. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuacion de la recta L es 4x + 3y = 12. Determinar ladistancia del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos:

251. Halle la pendiente de L.

252. Halle la ecuacion de la recta L′ que pasa por P y es perpendicular a L.

253. Determine las coordenadas del punto P ′ que es el punto de interseccion entre L y L′.

254. Calcule la distancia entre el punto P y P ′.

99


255. Hallar la distancia de la recta 4x− 5y + 10 = 0 al punto (2,−3).

256. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x− 4y + 8 = 0 y 6x− 8y + 9 = 0.

257. Hallar la ecuacion de la recta paralela a la recta 5x+ 12y = 12 que es 4 unidades distante de ella. ¿Esunica esta solucion? Justifique geometricamente.

258. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (3, 1) tal que la distancia, de esta recta, al punto(−1, 1) es 2

√2. ¿Es unica esta solucion? Justifique geometricamente.

100


Area de un Triangulo

259. Determine el area del triangulo cuyos vertices son los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C(3, 7).

260. Considere el triangulo cuyos vertices son C(−2, 1), L(4, 7) y G(6,−3).

261. Hallar la ecuacion de la recta de sus lados.

262. Determine el valor de sus alturas.

263. Determine su centro de gravedad.

264. Encuentre su area.

265. ¿Que tipo de triangulo es?

101


266. Compruebe que P (−√

3, 2), G(2√

3,−1) y M(2√

3, 5) son los vertices de un triangulo equilatero

267. Hallar el area del triangulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuacion es 5x+4y+20 = 0.

102


268. Determinar el valor de la constante k para que la recta 4x+ 5y+ k = 0 forme con los ejes coordenadosun triangulo rectangulo de area 5

2 unidades cuadradas.

269. El triangulo ABC con vertice C = (3, 4) tiene un area de 10 cm2. Los otros dos vertices estan sobre larecta L1 : x− 2y = 0. Si se sabe que L2, que pasa por C y tiene pendiente m2 = −2, es una transversalde gravedad del triangulo ABC, determine los vertices A y B.

103


270. Demuestre que el area del triangulo formado por el eje Y y las rectas y = m1x + b1 e y = m2x + b2,con m1 6= m2, viene dada por:

A =1

2

(b2 − b1)2

|m2 −m1|

104


12. Conicas

12.1. Circunferencia

Determine la ecuacion de las siguientes circunferencias:

271. Centro es el punto (2,−6) y su radio es 6.

272. El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un diametro.

273. El centro esta en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1,−1).

274. La circunferencia es tangente a la recta 3x− 4y = 32 y el centro esta en el punto (0, 7).

105


Hallar la ecuacion de las siguientes circunferencias.

275. La circunferencia pasa por los puntos (0, 0), (3, 6) y (7, 0).

276. La circunferencia pasa por los puntos (2,−2), (−1, 4) y (4, 6).

277. La circunferencia pasa por los puntos (4,−1), (0,−7) y (−2,−3).

Halle la ecuacion de la recta tangente a las siguientes circunferencia en los puntos dados.

278. x2 + y2 − 2x− 6y − 3 = 0 P0(−1, 6)

279. x2 + y2 + 2x− 2y − 39 = 0 P0(4, 5)

106


280. Demostrar que las circunferencias C1 : x2 + y2− 3x− 6y+ 10 = 0 y C2 : x2 + y2− 5 = 0 son tangentes.Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto en comun y que pasa por elpunto (7, 2). Ademas compruebe que el centro de esta circunferencia esta sobre la recta de los centrosde C1 y C2.

281. Hallar la ecuacion de la cirunferencia que para por el punto (−10,−2) y por las intersecciones de lacircunferencia x2 + y2 + 2x− 2y − 32 = 0 y la recta x− y + 4 = 0

107


282. Hallar los valores de a ε R de modo que la circunferencia de ecuacion x2 + y2 − 2ax+ a2 − 1 = 0 y larecta con interceptos en los puntos (0, 2) y (2, 0):

a) Se corten en un unico punto.

b) Se corten en dos puntos.

c) No se corten.

108


12.1.1. Parabola

Ecuacion de la Parabola

Escriba la definicion de la Parabola como un lugar geometrico y luego deduzca su ecuacion.

283. Hallar la ecuacion de las siguientes parabolas.

284. Vertice en el origen y foco en el punto (3, 0).

285. Vertice en el origen y que tiene como directriz la recta y − 5 = 0.

286. Foco en el punto (3, 4) y tiene como directriz la recta x− 1 = 0.

287. Vertice en el punto (2, 0) y foco en el origen.

109


En los siguientes ejercicios lleve la ecuacion a su forma canonica y luego determine: coordenadas delvertice y del foco, ecuaciones de la directriz y del eje, y la longitud del lado recto.

288. 4y2 − 48x− 20y = 71

289. 9x2 + 24x+ 72y + 16 = 0

290. y2 + 4x = 7

291. 4x2 + 48y + 12x = 159

292. y = ax2 + bx+ c

110


293. Hallar la ecuacion de la parabola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8,−4)y (3, 1).

294. Determine la ecuacion de la parabola cuyo vertice esta en el punto (4,−1), como eje la ecuacion y+1 = 0,y que pasa por el punto (−3, 3).

111


Ecuacion de la Recta Tangente y Normal a una Parabola

295. Considere la ecuacion de la parabola y2 = 4px. Demuestre que la ecuacion de la recta tangente a unaparabola en el punto P0(x0, y0) es: y0y = 2p(x+ x0).

Determine la ecuacion de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes parabolas:

296. y2 − 4x = 0 P0(1, 2)

297. y2 + 4x+ 2y + 9 = 0 P0(−6, 3)

298. x2 − 6x+ 5y − 11 = 0 P0(−2, 1)

112


12.1.2. Elipse

Ecuacion de la Elipse

299. Escriba la definicion de la Elipse como un lugar geometrico y luego deduzca su ecuacion.

En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los vertices y focos, la longitud de los ejesmayor y menor, y finalmente grafique.

300. 9x2 + 4y2 = 36

301. 4x2 + 9y2 = 36

302. 16x2 + 25y2 = 400

303. x2 + 3y2 = 6

113


304. Hallar la ecuacion de la elipse cuyos vertices son los puntos (4, 0) y (−4, 0), y sus focos son los puntos(3, 0) y (−3, 0).

305. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuacion sabiendoque pasa por los puntos (

√6,−1) y (2,

√2).

306. Hallar la ecuacion de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3 −√

3/2) y (−3, 3); y tienesus ejes paralelos a los ejes coordenados.

114


En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuacion a su forma canonica y luego determinar:coordenadas de los vertices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique.

307. x2 + 4y2 − 6x+ 16y + 21 = 0

308. 4x2 + 9y2 + 32x− 18y + 37 = 0

309. x2 + 4y2 − 10x− 40y + 109 = 0

310. 9x2 + 4y2 − 8y − 32 = 0

115


Ecuacion de la Recta Tangente y Normal a una Elipse

311. Considere la ecuacion de la elipse b2x2 + a2x2 = a2b2. Demuestre que la ecuacion de la recta tangentea una elipse en el punto P0(x0, y0) es: b2x0x+ a2y0y = a2b2.

Determine la ecuacion de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes elipses:

312. 2x2 + 3y2 = 5 P0(1,−1)

313. 6x2 + 2y2 = 14 P0(1, 2)

314. 3x2 + y2 = 21 P0(2, 3)

116


12.1.3. Hiperbola

Ecuacion de la Hiperbola

315. Escriba la definicion de la Hiperbola como un lugar geometrico y luego deduzca su ecuacion.

En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los focos, vertices y centro, longitudes del ladotransverso y conjugado, y finalmente grafique.

316. 9x2 − 4y2 = 36

317. 4x2 − 9y2 = 36

318. 16x2 − 25y2 = 400

319. x2 − 3y2 = 6

117


Determine la ecuacion de las siguientes hiperbolas y luego grafıquelas.

320. Focos en los puntos (−7, 3) y (−1, 3) y su longitud del lado transverso es de 4 unidades.

321. Los vertices de una hiperbola vienen dados por los puntos (2, 0) y (−2, 0), y sus focos son los puntos(3, 0) y (−3, 0).

118


Hallar la ecuacion de las siguientes hiperbolas y luego grafıquelas.

322. La hierpola pasa por el punto (3,−1), su origen esta en el centro, su eje transverso esta sobre el eje xy la ecuacion de una de sus asıtotas es 2x+ 3

√2y = 0.

323. La hierpola pasa por el punto (2, 3), su origen esta en el centro, su eje transverso esta sobre el eje y yla ecuacion de una de sus asıtotas es 2y −

√7y = 0.

119


En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuacion a su forma canonica y luego determinar:coordenadas de los vertices, focos y centro, longitudes de los ejes transverso y conjugado, ecuacion desus asıntotas y finalmente grafique.

324. x2 − 9y2 − 4x+ 36y − 41 = 0

325. x2 − 4y2 − 2x+ 1 = 0

326. 9x2 − 4y2 + 54x+ 16y + 29 = 0

327. 3x2 − y2 + 30x+ 78 = 0

120


Ecuacion de la Recta Tangente y Normal a una Hiperbola

328. Considere la ecuacion de la elipse b2x2 − a2x2 = a2b2. Demuestre que la ecuacion de la recta tangentea una elipse en el punto P0(x0, y0) es: b2x0x− a2y0y = a2b2.

Determine la ecuacion de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes hiperbolas:

329. 3x2 − y2 = 2 (1, 1)

330. x2 − 9y2 = 7 (4,−1)

331. x2 − y2 = 5 (3, 2)

121


12.2. Lugares Geometricos

332. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta x+y+1 = 0 es siempre igual a su distanciaal punto (-2,-1). Hallar la ecuacion de su lugar geometrico.

333. Hallar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de larecta x− 2 = 0 es siempre 3 unidades mayor que su distancia al punto (−1,−3).

334. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2,−2) es siempre igual a un tercio de ladistancia del punto (4,1). Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico.

122


335. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual aldoble de su distancia de la recta 3x+ 4y − 1 = 0. Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico.

336. Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que sudistancia de la recta x+ 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).

337. Haller e identificar la ecuacion del lugar geometrico del centro de una circunferencia que es siempretangente a la recta y = 1 y a la circunferencia x2 + y2 = 9.

123


338. Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que sudistancia de la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0,−2).

339. Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve tal manera que sudistancia al punto (6, 0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x− 3 = 0.

124


13. Funciones de Una Variable Real

13.1. Estudio de Funciones

Para las siguientes funciones haga un bosquejo de su grafico, estudie su paridad, determine su dominioy recorrido.

340. f(x) = 2x+ 10

341. f(x) = x|x|

342. f(x) = x2 + 5x+ 6

343. f(x) =√x

344. f(x) = 1x

345. f(x) = 1√x

125


126


346. f(x) = 1x2

347. f(x) = 2x−1

348. f(x) = x−2x

349. f(x) = 3sen(2x)

350. f(x) =√

2x− 1

351. f(x) =√x2 + 4

352. f(x) =√

5xx−1

353. f(x) = sen(x− π4 )

127


Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones. Ademas determine si son biyectivas, y encaso contrario restrinja su dominio de modo que lo sean.

354. f(x) = x2

x2−1

355. f(x) = 3√x− 1

356. f(x) = |x−2x−3 |

357. f(x) =√|x| − 1

358. f(x) =√

x2+x+1x−1+|x|

359. f(x) =√

x|x|−1

128


129


360. Para las siguientes funciones definidas en I ⊆ R −→ R desarrolle:

a) Bosquejo de su grafico.

b) Encuentre su dominio y recorrido.

c) Determine si es biyectiva.

d) En caso contrario redefina la funcion de modo que sea biyectiva y encuentre su inversa.

361. f(x) = 10x+ 5

362. f(x) = 5x+3x−4

363. f(x) = x2 + 6x− 7

364. f(x) = x2 + 4x+ 5

365. f(x) = 1x−7

366. f(x) = x+|x|2

130


131


Determine, si es que se puede, f g y g f . Luego construya su grafico y despues determine su dominioy recorrido.

367. f(x) = x2 g(x) =√x

368. f(x) = 1− x g(x) = x− x2

369. f(x) =

0 , x < 0

x , x ≥ 0g(x) =

0 , x ≤ 0

x2 , x > 0

132


370. f(x) =

3x+ 4 , 0 ≤ x ≤ 2

x+ 1 , 2 < x ≤ 4g(x) =

x2 , 2 ≤ x ≤ 5

4 , 5 < x ≤ 12

371. f(x) =

2x− 2 , − 3 ≤ x ≤ 6

10 , 6 < x ≤ 10g(x) =

x , − 10 ≤ x ≤ 7

x2 , 7 < x ≤ 15

133


Composicion de Funciones Biyectivas es Biyectiva

Considere las funciones: C(x) = x+ 1 y L(x) = x2 − 1.

372. Pruebe que C es biyectiva en R y que L es biyectiva en [0,∞[ o en ]−∞, 0]

373. ¿En que intervalo es biyectiva C L, y L C?

374. Demuestre que la composicion de funciones biyectivas es biyectiva. Especifique en que dominio.

134


Asociatividad de la Composicion de Funciones

Considere las funciones: f(x) = x2, g(x) =√x y h(x) = x+ 1.

375. Calcule (f g) h y f (g h). ¿Que puede decir de ellos?

376. Demuestre que la composicion de funciones es asociativa, es decir, demuestre que (f g)h = f (g h).Especifique en que dominio.

135


Para las siguientes funciones: grafique y determine si presenta algun tipo de paridad; determine sudominio y recorrido; ¿es biyectiva la funcion? si no lo es, encuentre un intervalo maximal de modo quelo sea; y, si es posible, determine su funcion inversa y luego grafıquela

377. f(x) = −x2 + 3x+ 10

378. f(x) = x2 + 4x+ 5

379. f(x) =5x+ 3

x− 4

380. f(x) = 2(x− 1) +4

x− 1

381. f(x) = |x− 2

x+ 7|

382. f(x) =

√4x− 2

x+ 2

383. f(x) =

√x

|x| − 1

384. f(x) = x√

1− x2

385. f(x) =

√2−

√2− x2

386. f(x) =1

3 +√x2 − 4

387. f(x) =

√x

1 +√x

388. f(x) =x√

x+ 1− 1

389. f(x) =√|x− 2|+ 2

390. f(x) =√|x2 − 8x+ 7| − 2

391. f(x) =

√x2 + x+ 1

x− 1 + |x|

136


Halle las composiciones f g y gf de las siguientes funciones, y luego indique sus dominios y recorridos.

392. f(x) = x2 g(x) =√x.

393. f(x) = 1− x g(x) = x− x2.

Encuentre f f f de las siguientes funciones.

394. f(x) =1

x

395. f(x) =1

1 + x

396. f(x) =x√

1 + x2

Para cada problema encuentre la funcion y = f(x) que satisface la condicion dada:

397. f(x+ 1) = x2 − 3x+ 2.

398. f(x+1

x) = x2 +

1

x2, x 6= 0.

399. f(1

x) = x+

√1 + x2 x > 0.

137


Sean f(x) =1

x2 + 1y g(x) =

x

1 + xfunciones. Sea

P (h) =f(x+ h)− (f g)(x+ h)

(f · g)(x+ h)− f(x+h)g(x+h)

400. Calcule A(h) en funcion de h y x.

401. Calcule A(1) y A(−1).

138


Sea U el conjunto universo. Considere la funcion que a un conjunto finito le asigna el numero deelementos.

402. Escriba esta funcion en terminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada

403. ¿Es biyectiva esta funcion?

Considere la funcion que a un elemento de los numeros reales le asigna su valor absoluto.

404. Escriba esta funcion en terminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada

405. ¿Es biyectiva esta funcion?

139


Para a, b, c, d ∈ R considere la funcion definida por:

f(x) =ax+ b

cx+ d

406. ¿Que condiciones deben satisfacer los parametros a, b, c, d ∈ R para que f tenga inversa?

407. Halle el dominio de f−1 y determine una expresion para ella.

408. Las funciones de esta forma reciben el nombre de Transformaciones de Mobius. Pruebe que lacomposicion de transformaciones de Mobius es una transformacion de Mobius.

140


409. El Seno Hiperbolico de x viene dado por senhx =ex − e−x

2y el Coseno Hiperbolico viene dado

por coshx =ex + e−x

2. Demuestre las siguientes propiedades:

410. coshx > 0 ∀x ∈ R y senhx ≥ 0 si y solo si x ≥ 0.

411. El seno hiperbolico es una funcion impar y el coseno hiperbolico es una funcion par.

412. coshx+ senhx = ex y coshx− senhx = e−x.

413. cosh2 x− senh2x = 1.

414. senh(x± y) = senhx cosh y ± coshxsenhy.

415. cosh (x± y) = coshx cosh y ± senhxsenhy.

416. Sea n ∈ N, entonces (coshx+ senhx)n = coshnx+ senhnx.

141


Una funcion f se dice convexa en I ⊆ R si

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) ∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1]

f se dice concava si −f es convexa. Muestre que las siguientes funciones son convexas en R:

417. f(x) = x

418. g(x) = |x|

419. h(x) = |x|2

420. Demuestre que las funciones lineales son convexas.

421. Sean f(x) = ax+ b y g(x) = cx+ d con a, c 6= 0. Muestre que f · g es convexa si a y c tienen el mismosigno, y si tienen el signo contrario son concavas.

142


Ejercicios Funcion Logaritmo y Exponencial

Resuelva las siguientes ecuaciones

422.4 · 9x−1 = 3 ·

√22x+1

423.

5x−1 + 5 · (1

5)x−2 = 26

424.25x − 12 · 2x − 6,25 · 0,16x = 0

425.4x + 9x = 25x

Resuelva las siguentes ecuaciones Logarıtmicas

426.log2 x(x− 1) = 1

427.log3(3x − 8) = 2− x

428.ln(x22− 6x+ 7) = ln(x− 3)

429.log2 x+ log2(x− 1) = 1

143


Determine la solucion de las siguientes ecuaciones

430.log3(2− x)− log3(2 + x)− log3 x = 1

431.2 ln(2x) = ln(x2 + 75)

432.

ln(2x) =1

4ln(x− 5)4

433.log2 x

log4(2x)=

log8(4x)

log16(8x)

434.log3 x = 1 + logx 9

435.25ln x = 5 + 4 · xln 5

436.xln(2x) = 5

437.|x− 3|(x

2−8x+15)/(x−2) = 1

144


13.2. Problemas de Modelacion

438. Encuentre el area de un rectangulo inscrito en la semielipse x2 + 4y2 = 4 con y ≥ 0, si un lado debeestar sobre el eje x.

439. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha de laton de 6m de largo y 80 cm de ancho.

440. Encuentre el volumen de un cono inscrito en una esfera de radio R.

145


441. Encuentre el volumen del siguiente solido en funcion de la variable x.

Figura 1: Cilindros

146


442. Calcule el area achurada en funcion de la variable x.

Figura 2: Area Achurada

147


443. Calcular el volumen del siguiente solido en funcion de la variable x.

Figura 3: Volumen Cono de Altura X

148


444. Expresar el area del rectangulo en funcion de la variable x.

Figura 4: Area de un Rectangulo Inscrito en un Triangulo

149


445. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determine en funciondel radio basal la cantidad de material utilizado en su fabricacion.

446. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm. Determineel volumen del cilindro en funcion de su radio sabiendo que su superficie lateral es de 15 cm2

150


447. Considere un alambre de L metros de longitud. Con un pedazo de largo x se forma un cuadrado y conel resto se forma una circunferencia. Determine, en terminos de x, la funcion que representa la sumade las areas encerradas por estas figuras. ¿Cual es el dominio de esta funcion?

448. Una ventana esta hecha de un rectangulo y un triangulo equilatero. Determine la funcion que representael area encerrada por la ventana si esta debe tener un perımetro de 10 m. ¿Cual es el dominio de estafuncion?

151


449. Optimizacion de una Funcion Cuadratica

Se optimizara una funcion cuadratica, y se utilizaran para resolver Problemas de Modelacion Matemati-ca. Considere f : I ⊆ R −→ R / x −→ f(x) = ax2 + bx + c para diferentes valores de las constantesreales a, b y c.

Definicion: Un punto x0 ε I se dice que es un punto maximo absoluto si f(x0) > f(x) ∀x ε I.De la misma manera, un punto x0 ε I se dice que es un punto mınimo absoluto si f(x0) < f(x) ∀x ε I.

Se probara que para la funcion definida anteriormente el punto x0 = −b/2a es un punto maximo omınimo absoluto, dependiendo del valor de la constante real a.

Demuestre lo que sigue:

450. Sean α y β raıces de la ecuacion cuadratica ax2 + bx+ c = 0, entonces x0 = α+β2 .

451. f(x0 ± δ) = f(x0) + aδ2

452. Si a > 0 entonces f(x0) < f(x0 ± δ), ∀δ > 0 t.q. (x0 ± δ) ε I.

Observacion: Esto es demostrar que x0 es un punto mınimo absoluto.

453. Si a < 0 entonces f(x0) > f(x0 ± δ), ∀δ > 0 t.q. (x0 ± δ) ε I.

Observacion: Esto es demostrar que x0 es un punto maximo absoluto.

152


Utilizando lo anterior resuelva los siguientes problemas de optimizacion.

454. Un rectangulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un vertice en el origen, uno en el eje xpositivo, uno en el eje y positivo y su cuarto vertice en el primer cuadrante sobre la recta 2x+ y = 100.¿Cual es el area maxima de dicho rectangulo?

455. Un hotel que cobra 80 dolares diarios por habitacion hace promociones a grupos que reserven entre30 y 60 habitaciones. Si se reservan entre 30 y 60 habitaciones el precio disminuye un dolar por cadacuarto. En estas condiciones ¿cuantas habitaciones producen el ingreso maximo?

153


13.3. Ejercicios: Funciones Polinomiales

456. Una raız es una solucion de la ecuacion polinomica P (x) = 0. Un cero es un valor de x que hace queel valor de la funcion P (X) sea igual a 0. Determine si los numeros dados son raıces de la ecuacionpolinomica P (x) = 0.

457. P (x) = x3 − x2 + 25x; − 1, 5i

458. P (x) = x4 + x3 − x2 − 2x− 2;√

2, i

154


459. Determine si los numeros dados son ceros de la funcion polinomica.

460. P (x) = x3 + 4x2 − 4x− 16; − 4, 4i

461. P (x) = x4 − x2 − 3;√

3, i

462. Cuando un polinomio se divide por otro, habra un cociente y un residuo. Cuando un residuo es cero,entonces el divisor y el cociente son factores del dividendo.por division, determine si los siguientes polinomios son factores del polinomio P (x) = x4 − 16

a) x− 2

b) x2 + 3x− 1

155


463. Toda division entre polinomios se puede expresar como P (x) = D(x) · Q(x) + R(x), donde P (x) es eldividendo, D(x) es el divisor, Q(x) es el cociente y R(x) es el residuo.Sea P (x) = x3− 2x2 + 4 y D(x) = x− 1. Encuentre P (x)÷D(x), y despues expresa el dividendo comoP (x) = D(x) ·Q(x) +R(x).

464. Sea P (x) = x5 + 2x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 3 y D(x) = x2 + 2x + 1. Encuentre P (x) ÷D(x), y despuesexpresa el dividendo como P (x) = D(x) ·Q(x) +R(x).

465. El teorema del residuo establece que para un polinomio P (x), el valor funcional P (r) es el residuo decuando se divide P (x) por x− r.Sea P (x) = −2x4 − 8x3 + 4x2 − 2x+ 1. Encuentra P (0), P (1), P (−2) y P (−4).

156


466. El teorema del factor dice que si P (r) = 0, entonces el polinomio x − r es un factor de P (x). Deeste modo, podemos utilizar la division sintetica para encontrar valores funcionales y para comprobarfactores.Factoriza el polinomio P (x), y despues resuelve la ecuacion P (x) = 0. Si:

467. P (x) = x3 − x2 − 14x+ 24

468. P (x) = x3 − 18x2 − x+ 18

157


469. Si un polinomio es de grado n, entonces se puede factorizar en exactamente n factores lineales. Unfactor puede presentarse mas de una vez. Si un factor x−r figura k veces, r es una raız de multiplicidadk. Encuentra las raıces del polinomio y la multiplicidad de cada raız, si:

470. P (x) = x2 (x− 2)3

(x+ 1)

471. P (x) =(x2 − 12x+ 11

)2

158


472. Si r es una raız del polinomio P (x), entonces x− r es un factor lineal de P (x). Encuentre un polinomiode grado 3 que tenga como raıces los numeros -1,-3,4 .

159


473. la raıces complejas se presentan en pares conjugados en los polinomios con coeficientes reales. Las raıcesirracionales se presentan por pares en los polinomios con coeficientes racionales.Encuentra un polinomio de grado mınimo con coeficientes racionales que tenga como raıces los numerosque se indican:

474. 1− i, 2 +√

3

475. 2 + 3i, −√

2

476. Para encontrar las posibles raıces racionales de anxn + an−1x

n−1 + . . . + a0, encuentre cada numeroracional de la forma c

d tal que d es un factor de an y c es un factor de a0, y despues compruebe cadauno de ellos utilizando la division sintetica.Encuentre las raıces racionales, si es que existen, de cada polinomio. De ser posible, encuentra las otrasraıces.

477. P (x) = 20x3 − 30x2 + 12x− 1

478. P (x) = 2x4 − x3 − 3x− 18

160


479. El numero posible de raıces reales positivas de un polinomio P (x) con coeficientes reales es o el mismonumero que las variaciones del signo de P (x) o un numero menor que difiere del numero de variacionesde signo en un numero entero positivo par. El numero de raıces reales negativas de un polinomio P (x)con coeficientes reales es o el numero de variaciones de signo de P (−x) o un numero menor que difieredel numero de variaciones de signo en un numero entero positivo par.Para cada polinomio, determine el numero de raıces reales positivas y negativas:

480. P (x) = 4x5 − 3x2 + x− 3

481. P (x) = 3x7 − 2x5 + 3x2 + x− 1

161


482. Para representar graficamente polinomios:

1. considere el grado del polinomio y su coeficiente principal.

2. determine si hay simetrıas.

3. utilize la division sintetica para elaborar una tabla de valores.

4. encuentre la ordenada al origen y tantas abscisas al origen como sea posible.

5. representa graficamente los puntos y unelos de manera adecuada.

Despues de trazar la grafica, puede utilizar las abscisas al origen como ayuda para aproximar raıces.Represente graficamente las siguientes funciones polinomicas y aproxime sus soluciones hasta la decimamas cercana.

483. P (x) = x3 + 3x2 − 2x− 6

484. P (x) = x3 − 2x2 − x

162


485. ¿Es x+ 1 un factor de P (x) = x3 + 6x2 + x+ 30?

486. ¿Es x− 4 un factor de x3 + 64?

487. Sea P (x) = 4x3 − 10x + 9 y D(x) = x + 2. Encuentre P (x) ÷ D(x), y despues expresa el dividendocomo P (x) = D(x) ·Q(x) +R(x).

488. Si P (x) = 2x4 − 3x3 + x2 − 3x+ 7, encuentre P (−2), P (3) y P (−4).

489. Factorize el polinomio P (x) y despues resuelve la ecuacion P (x) = 0 para P (x) = x4−x3−6x2 +4x+8.

163


490. Encuentre un polinomio de cuarto grado con coeficientes racionales que tenga como raıces los numeros3− 2i, 1 +

√5

491. Suponga que un polinomio de grado 5 con coeficientes racionales tiene como raıces los numeros 3 +√

3,1 + 2i, −1. Encuentre todas las raıces del polinomio

492. Dado que una de las raıces del polinomio x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 2 es i, encuentre todas las raıces delmismo.

493. Encuentre un polinomio de grado 5 con coeficientes reales que tenga el numero i como raız de multi-plicidad 2 y

√5 como raız de multiplicidad 1.

164


494. Encuentra las raıces racionales, si es que existen, de x3 − 7x2 + 16x − 12. Des ser posible, encuentreotras raıces.

495. Encuentre unicamente las raıces racionales de 4x5 + 16x4 + 15x3 + 8x2 − 4x− 3.

496. Para 3x9 + 2x6 + 3x3 + 2x2 + x− 1,

a) Encuentre el numero posible de raıces reales positivas.

b) Encuentre el numero posible de raıces reales negativas

497. Para 3x5 − x4 + 2x3 − 5x2 − 3x− 1,

a) Encuentre el numero posible de raıces reales positivas.

b) Encuentre el numero posible de raıces reales negativas

165


498. Represente graficamente P (x) = x3 − 2x2 + x+ 1.

499. Encuentre los ceros de P (x) = x3 − 2x2 + x+ 1. Aproxima los ceros a la decima mas cercana.

500. Factorize x6 + x4 − 4x2 − 4. (Sugerencia: Sustituye z = x2)

166


14. Trigonometrıa

14.1. Operatoria y Aplicaciones

Utilizando identidades trigonometricas encuentre el valor exacto de:

501. sen(15)

502. cos(75)

503. tan(135)

504. cos( π12 )

505. tan( 5π12 )

506. sen(255)

167


Si α esta en el segundo cuadrante, β esta en el tercer cuadrante, cosα = −4/5 y senβ = −12/13determine:

507. sen(α+ β)

508. cos(α− β)

509. tan(α+ β)

510. sen(2α)

168


Si cosα = 1/3 y α esta en el cuarto cuadrante determine:

511. sen(α/2)

512. cos(α/2)

513. tan(π − α/2)

514. sen(π/3 + α)

169


515. Sea f(x) = Asenx+B cosx. Encuentre el valor de las constantes C y δ de modo que f(x) = Csen(x+δ)

Para las siguientes funciones determine su amplitud, periodo, angulo de fase, y ademas grafique dosperiodos de la onda.

516. y = sen(2x) + cos(2x)

517. y = 12 cos(3α) +

√3

2 sen(3α)

170


518. y = 3sen(x) + 4 cosx

519. y =√

32 cosx+ sen(x+ π/3)

520. y = cos(π − 2x)−√

3 cos(2x+ π2 )

521. y = 2sen(3x) + 2√

3 cos(3x)

171


Demuestre las siguientes identidades.

522. sen(Arccosx) =√

1− x2

523. sen(Arctanx) = x√x2+1

524. cos(Arcsenx) =√

1− x2

525. tan(Arcsenx) = x√1−x2

Indicacion: Construya un triangulo adecuado y calcule las funciones trigonometricas

172


Calcule las siguientes sumas.

526. S = sen(α) + sen(α+ β) + sen(α+ 2β) + ...+ sen(α+ nβ)

527. S = cos(α) + cos(α+ β) + cos(α+ 2β) + ...+ cos(α+ nβ)

Indicacion: Forma una suma telescopica.

173


528. Altura de un Poste

Un poste y una antena se encuentran a una distancia d en un camino horizontal. Del pie del poste semide el angulo de elevacion de la antena y del pie de la antena el del poste, encontrandose que el primerangulo es el doble del segundo. Si un observador se ubica en el punto medio M del trazo que una lasbases del poste y de la antena, observa que los angulos de elevacion medidos desde M al poste y a laantena son complementarios. Calcular la altura de la antena y del poste.

174


529. Altura de una Torre

La altura H de la tora de la Figura es desconocida. Se conocen los angulos de elevacion α y β medidosdesde dos puntos α y β del suelo, separados por una distancia de L y formando con la base de la torreun angulo γ. Dado que la torre es vertical con respecto al suelo calcule H en terminos de L, α, β y γcuando α 6= β y α = β.

Figura 5: Altura de la Torre

175


530. Area de un Paralelogramo

El paralelogramo ABCD de la Figura tiene perımetro 2p y su diagonal AD mide d con angulo opuestoα (0 < α < π y p > d)

a) Si x e y son las longitudes de los trazos AB y BD, demuestre que la superficie del paralelogramoviene dada por S = xysenα.

b) Demueste que S = p2−d22 tan(α2 ).

Figura 6: Paralelogramo ABCD

176


14.2. Identidades Trigonometricas

Demuestre las siguientes identidades trigonometricas basicas.

531. sen2x+ cos2 x = 1

532. sen(2p) = 2senp cos p

533. cos(2p) = cos2 p− sen2p

534. tan(2p) = 2 tan p1−tan2 p

177


535. cos2(x2 ) = 12 + 1

2 cosx

536. sen2(x2 ) = 12 −

12 cosx

537. 2senα cosβ = sen(α+ β) + sen(α− β)

538. 2 cosα cosβ = cos(α+ β) + cos(α− β)

539. 2senαsenβ = cos(α− β)− cos(α+ β)

178


Demuestre las siguientes identidades trigonometricas.

540. tanα+ cotα = secα cscα

541. sec2 x+ csc2 x = sec2 x csc2 x

542. cos θ1−senθ −

1−senθcos θ = 2 tan θ

543. 11+senα + 1

1−senα = 2 sec2 α

179


544. (tan θ + sec θ)2 = 1+senθ1−senθ

545. csc4 θ − cot4 θ = csc2 θ(sen2θ + 2 cos2 θ)

546. sec2 x csc2 x = (tanx+ cotx)2

547. tan(x2 ) + cot(x2 ) = 2 cscx

548. sen4(x2 ) + cos4(x2 ) = 1− 12 sen2x

549. 1−tan2 ϕ1+tan2 ϕ = cos(2ϕ)

180


550.1 + senβ − cosβ

1 + senβ + cosβ= tan(

β

2)

551. (1 + tan2 x)(1− sen2x) = 1

552.tan2 α

1 + tan2 α· 1 + cot2 α

cot2 α= sen2α sec2 α

553. (1− senC + cosC)2 = 2(1− senC)(1 + cosC)

554. (sec θ + tan θ − 1)(sec θ − tan θ + 1) = 2 tan θ

181


Demuestre las siguientes identidades trigonometricas.

555.tanα− cotβ

tanβ − cotα= tanα cotβ

556. tan2 α+ sec2 β = tan2 β + sec2 α

557.tanα+ cotβ

tanβ + cotα=

tanα

tanβ

558. cotα tanβ(tanα+ cotβ) = cotα+ tanβ

559. sen2α cos2 β − cos2 αsen2β = sen2α− cos2 β

560.sen(α+ β)

cosα cosβ= tanα+ tanβ

182


561. cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 α− sen2β

562. sen(α+ β)sen(α− β) = cos2 α− cos2 β

563. sen(α+ β)sen(α− β) = sen2α− sin2β

564. cos(α+ β) + sen(α− β) = (cosα+ senα)(cosβ − senβ)

565. cos(α− β)− sen(α+ β) = (cosα− senα)(cosβ − senβ)

183


14.3. Ecuaciones Trigonometricas

Resuelva las siguientes ecuaciones trigonometricas.

566. 2sen(2x)− 1 = 0

567. 2sen2x− 1 = 0

568.√

3senx− secx cos2 x = 0

569. 3 tan3 x+ 3 tan2 x+ tanx+ 1 = 0

184


570. tan4 x− 9 = 0

571. sen3x+ cos3 x = 0

572. 3 sec2 x = 4 tan2 x

573. tan(x+ π4 ) = 1 + tanx

185


574. 2sen2x− cosx− 1 = 0

575. tan2 x+ sec2 x = 7

576. tan(x2 ) = senx

577. cot x2 + senx = 0

186


578. cos2(x2 )− sen2(x2 ) = cos2 x

579. 4 cos2(x2 )− 2 =√

3

580. 2 cos2(2x)− sen(2x)− 1 = 0

581. sen(3x) cosx− cos(3x)senx+ 1 = 0

187


582. cos(3x) cosx+ sen(3x)senx = 0

583. cos(3α) +√

3sen(3α) =√

3

584. 12 − cosx+ 1

2 tan(3x)− tan(3x) cosx = 0

585.√

22 − cosx−

√2

2 sen(2x) + sen(2x) cosx = 0

188


15. Numeros Complejos

Operatoria con Numeros Complejos

Realice las siguientes operaciones.

586. (4− 3i) + (2i− 8)

587. 3(−1 + 4i)− 2(7− i)

588. (3 + 2i)(2− i)

589.(i− 2)

2(1 + i)− 3(1− i)

189


590.2− 3i

4− i

591. (4 + i)(3 + 2i)(1− i)

592.(2 + i)(3− 2i)(1 + 2i)

(1− i)2

593. (2i− 1)2(4

1− i+ 2−i

1+i )

594.i4 + i9 + i16

2− i5 + i10 − i15

595. 3(1 + i

1− i)2 + 2( 1−i

1+i )3

190


Forma Polar de los Numeros Complejos

Exprese los siguientes numeros complejos en su forma polar, y luego ubıquelos en el plano complejo.

596. 2− 2i

597. −1 +√

3i

598. 2√

2 + 2√

2i

599. −i

600. −4

601. −2√

3− 2i

191


602.√

2i

603.

√3

2− 3i

2

604. 7

605. 1 + i

606. 3 + 3i

607. 4 + 5i

192


Forma Rectangular de los Numeros Complejos

Exprese los siguientes numeros complejos en su forma rectangular, es decir, en la forma a+ bi.

608. 7eiπ3

609. 2eiπ6

610. (5cis20)(3cis40)

611. (2cis50)6

612. (3eiπ6 )(2e

−5iπ4 )(6e

5iπ3 )

(4e2iπ3 )3

613. (8cis40)3

(2cis60)4

614. (√

3 + i)7

615. (−√

3+i)23(2−2i)12

(5−5√

3i)35

193


Calculo de Raıces

Calcule las raıces de los siguientes numeros, y luego ubıquelos en el plano complejo.

616. (2√

3− 2i)

1

2

617. (−4 + 4i)

1

5

618. (2 + 2√

3i)

1

3

619. (−16i)

1

4

194


620. 3√

8

621. 4√

16

622. (−8− 8√

3i)14

623.√

2i

195


Raıces n-esimas de la Unidad

624. Halle las raıces cubicas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Que figura seforma si une los puntos?

625. Halle las raıces quintas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Que figura seforma si une los puntos?

626. ¿Que figura esperarıa si graficara las raıces n-esimas de la unidad?

196


15.1. Representacion Geometrica

Represente geometricamente el conjunto de puntos determinados por las siguientes condiciones.

Indicacion: En algunos casos es util hacer el cambio z = x+ iy.

627. ‖z − i‖ = 2

628. ‖z + 2i‖+ ‖z − 2i‖ = 6

629. ‖z − 3‖ − ‖z + 3‖ = 4

630. z(z + 2) = 3

197


631. Imz2 = 4

632. Rez − i = 2

633. Rez2 > 1

634. Im2z −Re6z = 8

198


635. ‖z − 1 + i‖ ≤ 4

636. 1 < ‖z + i‖ ≤ 2

637. z2 + z2 = 2

638. ‖z + 2− 3i‖+ ‖z − 2 + 3i‖ < 10

199


15.2. Aplicaciones

639. Area de un Paralelogramo

Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 numeros complejos. Se define el Producto Vectorial entre z1 y z2

como:

z1 × z2 = x1y2 − y1x2

640. Utilizando que z1z2 = ‖z1‖‖z2‖eiθ, demuestre que z1 × z2 = Imz1z2 = ‖z1‖‖z2‖senθ.

641. Pruebe que el area de un paralelogramo de lados z1 y z2 es z1 × z2.

200


Suma de Senos y Cosenos

Pruebe las siguientes identidades:

642. cos θ + cos(θ + α) + ...+ cos(θ + nα) =sen 1

2 (n+1)αsen( 1

2α)cos(θ +

1

2nα).

643. senθ + sen(θ + α) + ...+ sen(θ + nα) =sen 1

2 (n+1)αsen( 1

2α)sen(θ + 1

2nα).

Indicacion: Primero demuestre los siguientes puntos:

i) Reeiθ = cos θ e Imeiθ = senθ.

ii) Si S = eiθ + ei2θ + ...+ einθ entonces S = ei(n+1)θ−1eiθ−1

.

iii) cos θ = eiθ+e−iθ

2 y que senθ = eiθ−e−iθ2i .

iv) Si z es un numero complejo y λ un numero real entonces Reλz = λ Rez.

201


Seno y Coseno de (α± β)

Dado que eiθ = cos θ + isenθ y que eiαeiβ = ei(α+β) demuestre:

644. sen(α± β) = senα cosβ ± cosαsenβ.

645. cos(α± β) = cosα cosβ ∓ senα cosβ.

202


Identidades Trigonometricas

Pruebe las siguientes identidades trigonometricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno.

646. sen3θ = 34 senθ − 1

4 sen3θ.

647. cos4 θ = 18 cos θ + 1

2 cos 2θ + 38 .

203


Sea n ≥ 2. Pruebe las siguientes identitades:

648. cos 2πn + cos 4π

n + cos 6πn + ...+ cos 2(n−1)π

n = −1.

649. sen 2πn + sen 4π

n + sen 6πn + ...+ sen 2(n−1)π

n = 0.

Indicacion: Pruebe que si z1, ..., zn son las raıces del polinomio zn − 1 = 0, entonces z1 + ...+ zn = 0.

204


Sea m ≥ 2. Pruebe la siguiente identidad:

650. sen πm · sen 2π

m · sen 3πm · ... · sen (m−1)π

m = m2m−1 .

Indicacion: Primero demuestre los siguientes puntos:

i) zm − 1 = (z − 1)(z − e 2πim )(z − e 4πi

m ) · · · (z − e2(m−1)πi

m ).

ii) 1− eiz = 1− e−iz.iii) z · z = ‖z‖2.

205


16. Lımites y Continuidad

16.1. Lımites

Calcule, si es posible, los siguientes lımites.

651. lımx→1

3√x− 1

4√x− 1

652. lımx→1x3 − 1

x2 − 1

653. lımx→5x2 − 3x− 10

25− x2

654. lımx→−11− x2

x2 + 3x+ 2

206


655. lımx→0

√1 + x−

√1− x

x

656. lımx→a

√x−√a

x− a

657. lımx→01−√

1− x2

x2

658. lımx→∞x2 − 2x+ 7

2x2 + 5x− 9

207


659. lımx→2x2 + 5

x2 − 3

660. lımx→1x

1− x

661. lımx→1(x− 1)

√2− x

x2 − 1

662. lımx→1 (1

x(x− 2)2− 1

x2 − 3x+ 2)

208


663. lımx→1xm − 1

xn − 1

664. lımx→1

m√x− 1

n√x− 1

665. lımx→∞√x4+x2

x

666. lımx→∞3·2x+3x

5x

209


667. lımx→∞√x+ a−

√x

668. lımx→32x− 6

x−√x+ 6

lımx→5x2 − |x− 5| − 25

|x− 5|

669. lımx→64

√x−8

3√x−2

210


670. lımx→0|x|x

671. lımx→−1 ( 11+x −

31+x3 )

672. lımx→a2−√x−3

x2−49

673. lımx→ax2−(a+b)x+abx2−(a+c)x+ac

211


Calcule, si esque es posible, los siguientes lımites trigonometricos.

674. lımx→π/31− 2 cosx

π − 3x

675. lımx→π/4cosx− senx

cos 2x

676. lımx→π/2 (π

2− x) tanx

677. lımx→0 cscx− cotx

212


678. lımx→0sen5x− senx

x

679. lımx→0senx+ 1− cosx

x

680. lımx→0sen(ax)

sen(bx)

681. lımx→π/4senx− cosx

1− tanx

213


682. lımx→0x− sen2x

x+ sen3x

683. lımx→0sen(xn)

senmx

684. lımx→∞ xsenn

x

685. lımx→π/3 (3π

2− 3x) tanx

214


686. lımx→∞ (sen√x+ 1− sen

√x)

687. lımx→0tan(2x)

sen(3x)

688. lımx→0sen(senx)

x

689. lımx→0 ( 1senx −

1

tanx)

215


690. lımx→0sen(a− x) + sen(a+ x)− 2sena

x2

691. lımx→04sen(5x)

3x

692. lımx→0sen2(2x)

x2

693. lımx→0senx− 2x

3x+ 4senx

216


16.2. Continuidad

694. Demuestre que los polinomios son continuos en R.

Ejemplifique:

695. Una funcion que sea discontinua en un punto.

696. Una funcion que sea discontinua en un numero finito de puntos.

697. Dos funciones discontinuas en un punto de manera que su suma sea continua en aquel punto.

Demuestre que:

698. senx y cosx con continuas en R.

699. tanx es continua en R− (2k+1)π2 , k ε Z.

Indicacion: |senx| ≤ |x| y | cosx| ≤ |x|

217


700. Determine el valor de la constante real C de modo que la siguiente funcion sea continua en x = 7.

f(x) =

2 + x2−49x−7 , x > 7

Cx2 + 5 , x ≤ 7

218


701. Explique por que la siguiente funcion no es continua en R.

f(x) =

(x− 24)sen(xπ52 ) , x = 26

1 , x 6= 26

219


702. Determine el valor de k ε R de manera que la siguiente funcion sea continua en R.

f(x) =

cos(πx2 ) , |x| ≤ 1

k|x− 1| , |x| > 1

220


703. Determine los valores de P y C de modo que la siguiente funcion sera continua en R.

f(x) =

−2senx , x ≤ −π2

P senx+ C , −π2 < x < π

2

cosx , π2 ≤ x

221


704. Encuentre el valor de la constante C de modo que la siguiente funcion sea continua en x = 0.

h(x) =

sen(Cx)

x + 2 , x ≤ 0

1−cos(√

2x)x2 , x > 0

222


705. Considere f definida por:

f(x) =

(x2 − 9)sen( 1

x−3 ) , x > 3

x− 3 , 3 > x > 0

2x3 − 3x2 − 5 , x ≤ 0

Estudiar la continuidad de f en R. Si la funcion es discontinua en algunos puntos decida si la dis-continuidad es reparable o irreparable, si es reparable redefinir f de modo que sea continua en esospuntos.

223


706. Determine los valores de las constantes reales C y L para que la siguiente funcion sea continua en x = 1.

f(x) =

C(1− x) tan(πx2 ) , 0 < x < 1

2L , x = 1

x−13√x−1

, x > 1

224


707. Determine los valores de las constantes reales P y G de modo que la siguiente funcion sea continua enx = 0.

f(x) =

(Px+G)2−G2

Px , 0 < x < 1

−14 , x = 1

cos(Px)−cos(Gx)x2 , x > 1

225


708. Considere la funcion cuyo dominio es ]− π, π[ definida por:

g(x) =

cos( x2 )+sen( x2 )

cos x , − π < x < −π2

Asenx+B , −π2 < x < π

2

(√

2−√

1+cos(x−π2 ))(x−π2 )

sen3(x−π2 ) , π2 < x < π

Determine, si es que es posuble, los valores de A y B de modo que g sea continua en −π2 y π2 .

226


16.3. Aplicaciones

La Derivada

Para la funcion f considere el siguiente operador:

D[f ] = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h

709. Sea α un numero real, y suponga que existen D[f ] y D[g]. Demuestre las siguientes propiedades:

710. D[f + g] = D[f ] +D[g]

711. D[αf ] = αD[f ]

712. D[f · g] = D[f ] · g + f ·D[g]

713. D[ fg ] = D[f ]·g−f ·D[g]g2

Calcule D[f ] para las siguientes funciones:

714. f(x) = Constante

715. f(x) = xn

716. f(x) = senx

717. f(x) = cosx

718. f(x) = tanx

719. f(x) = x2senx

720. f(x) = 7 + x3 cosx+ x

721. f(x) = senx cosx

Indicacion: Para a.4) utilice a.3) y para b.5) a b.8) utilize las propiedades.

Observacion: Los Operadores que cumplen con a.1) y a.2) se les llama Operadores Lineales.

227


722. Teorema del Acotamiento

a) Suponga que f : Ω −→ R continua de modo que existen constantes A y B tal que A ≤ f(x) ≤ Ben Ω. Si x0 ε Ω entonces A ≤ lımx→x0 f(x) ≤ B.

b) Suponga que f, g, h : Ω −→ R continuas de modo que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) en Ω. Si x0 ε Ω entonceslımx→x0

f(x) ≤ lımx→x0g(x) ≤ lımx→x0

h(x).

Utilizando los puntos anteriores calcule los siguientes lımites:

723. lımx→0 x2sen( 1

x )

724. lımx→1 (x− 1)3 cos( 1x−1 )

725. lımx→∞3x−senx

4x+5

726. lımx→∞5x+2 cos x

3x−14

228


Descomposicion en Fracciones Parciales

Sea P (x) un polinomio de cualquier grado y Q(x) un polinomio de grado m. Sean x1, ..., xm m cerosdistintos de Q(x). Ademas suponga que P (x) y Q(x) no tienen ceros en comun.

Existe un teorema que dice que toda funcion racional se puede descomponer en fracciones parciales, esdecir, en este caso en particular, que:

Existen C1, ..., Cm ε R tal que:

P (x)

Q(x)=

P (x)

(x− x1) · ... · (x− xm)=

C1

x− x1+ ...+

Cmx− xm

727. Bajo las hipotesis de este problema, encuentre las m constantes C1, ..., Cm.

Indicacion: Multiplique por (x− xi) para i = 1, ...,m y luego tome el lımite cuando x→ xi.

229


Descomponga en fracciones parciales las siguientes funciones racionales:

728. x−2x2+4x−21

729. x+3(x−6)(x+8)

730. 7(x−1)(x−3)(x−5)

731. x+7(x−1)(x+3)(x−5)

Observacion: Esta tecnica se utiliza en el Calculo de Integrales, en la resolucion de Ecuaciones Dife-renciales, en la Transformada de Laplace, etc.

Observacion: Este es un caso particular de descomposicion en fracciones parciales.

Observacion: La demostracion del teorema mencionado anteriormente es analoga al ejercicio a).

230


17. La Derivada

17.1. Operatoria

Derivadas

Calcule la primera derivada de las siguientes funciones.

732. f(x) = 3x5 − 2x4 + x2

733. f(x) = (3x2 − 1)(5 + 3x)

734. f(x) = (4− 2x)2

735. f(x) = x(x2 − 1)(x+ 1)

736. f(x) =6

x3+ 10

737. f(x) =x+ 3

x− 5

231


738. f(x) =1

x+ 1− 1

x−1

739. f(x) =2x

1 + x2

740. f(x) =1 + x− x2

1− x

741. f(x) = x√

1− x2

742. f(x) =√

1+x1−x

743. f(x) =x√

1 + x2

232


744. f(x) = xsen(2x)

745. f(x) = sen2(3x)

746. f(x) = cos(senx)

747. f(x) = sen( xx−1 )

748. f(x) =senx− x cosx

cosx+ xsenx

749. f(x) = tan(7x)

233


750. f(x) = e2x cos 5x

751. f(x) = x7x

752. f(x) = (a

b)x(

b

x)a(

x

a)b

753. f(x) = cos2 xsen2(10x) + cos2(10x)

754. f(x) =(1− x4)2/3 cos(x3)

sen(2x)

755. f(x) = x2 cos 3

√x− 2

(x+ 2)(x− 1)

234


Utilizando la definicion, calcule la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado:

756. f(x) = 3x2 + 2 en x = 3

757. f(x) = senx cosx en x = π/4

758. f(x) = x−2x en x = 4

759. f(x) =

xsen( 1

x ) , x 6= 00 , x = 0

en x = 0

235


Segunda Derivada de una Funcion definida Parametricamente

Dadas las ecuaciones parametricas x = f(t) e y = g(t) demuestre que:

d2x

dx2=

dxdt ·

d2ydt2 −

d2xdt2 ·

dydt

(dxdt )3

Indicaciones: ddx ( dydx ) = d2y

dx2 . Utilice la regla de la cadena.

236


Derivadas de Funciones definidas Parametricamente

Calcule la primera y segunda derivada de las siguientes funciones definidas parametricamente.

760. x = t+1

t, y = t− 1

t

761. x =√

2t2 + 1 , y = (2t+ 1)2

762. x = t√

2t+ 5 , y = 3√

4t

763. x =t− 1

t+ 1, y =

t+ 1

t− 1

764. x =1

t2, y =

√t2 + 12

765. x = cos t , y = sent

Indicacion: Si utiliza la formula que demostro anteriormente se confundira.

237


Derivacion Implıcita

Determinedy

dxpara los siguientes ejercicios.

766. x2 + y2 = 1

767. y2 =x− 1

x+ 1

768. x2 + xy = 2

769. x3 − xy + y3 = 1

238


770. x2 =x− yx+ y

771.1

x+

1

y= 1

772. x2/3 + y2/3 = 1

773. y2 = 1 +1

x2

239


Recta Tangente y Normal

Halle las rectas tangentes y normales en el punto P0 para las siguientes curvas. Por recta normal a unacurva en el punto P0 se entendera como la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto.

774. x2 + xy − y2 = 1, P0 = (2, 3)

775. x2 + y2 = 25, P0 = (3,−4)

240


776. x2y2 = 9 , P0 = (−1, 3)

777. x−yx−2y = 2, P0 = (3, 1)

778. y − x2 = 2x+ 4, P0 = (6, 2)

241


Funciones Trigonometricas Inversas

Encuentre la derivada de las funciones trigonometricas inversas del seno, coseno y tangente, es decir,encuentre la derivada de las siguientes funciones.

779. f(x) = Arcsenx

780. f(x) = Arccosx

781. f(x) = Arctanx

Indicacion: Recuerde que dydx ·

dxdy = 1.

242


Identidades Trigonometricas

Demuestre, utilizando la derivada, las siguientes identidades:

782. Arcsenx+ Arccosx =π

2

783. Arctanx+ Arctan(1

x) =

π

2

243


Derivadas

Determine dydx y d2y

dx2 para las siguientes funciones.

784. y = x2ex

785. y = e2x2 cos(3x) + 3sen(3x)

786. y = lnex

1 + ex

787. y =1

2(ex + e−x)

244


788. y =1

2(ex − e−x)

789. y =ex − e−x

ex − e−x

790. y = eArcsenx

791. y = (1 + 2x)e−2x

245


792. y = (9x2 − 6x+ 2)e3x

793. y = ax−1a2 eax

794. y = x2e−x2

795. e2x = sen(x+ 3y)

796. y = Arctan(ex)

797. tan y = ex + lnx

246


Determine una expresion para la derivada de orden n ( dnydxn n ε N) de las siguientes funciones.

798. y = senx

799. y = 1x

800. y = x cosx

801. y = xx+1

247


Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

802. Demuestre que la funcion f(x) = 2senx+cosx es solucion de la ecuacion diferencial ordinaria: d2ydx2 +y =

0.

803. Demuestre que la funcion f(x) = senx + (x2 + a) cosx, a constante real, es solucion de la ecuaciondiferencial: dy

dx + y tanx = secx+ 2x cosx.

804. Determine el valor de la constante M de modo que la funcion y = Mx2e2x sea solucion de la siguienteecuacion diferencial: y′′(x)− 4y′(x) + 4y(x) = 6e2x

248


805. Determine el valor de la constante G de modo que la funcion y = Ge2xsen(3x) sea solucion de la si-guiente ecuacion diferencial: y′′(x)− 4y′(x) = −13e2xsen(3x)

806. Determine el valor de la constante L de modo que la funcion y = Lxe2x sea solucion de la siguienteecuacion diferencial: y′′(x) + 4y′(x)− 11y(x) = −16e2x − 2xe2x

249


17.2. Diferenciabilidad

807. Sea f : Ω ⊆ R −→ R diferenciable. Pruebe que f es continua en Ω.

Observacion: Si la funcion no es diferenciable nada se puede decir sobre su continuidad.

808. Demuestre que los polinomios son diferenciables en R.

809. Ejemplifique:

810. Funcion que sea continua pero no diferenciable en un punto.

811. Funcion que sea continua en todo R pero no diferenciable en un numero finito de puntos.

250


Explique por que las siguientes funciones no son derivables en sus respectivos intervalos.

812. M(x) = x|x− 1| I =]0, 2[

813. C(x) = 1x I =]− 7, 3[

814. L(x) = |x|+ |x− 1|+ |x− 2| I =]− 2, 5[

815. G(x) =

x+ 1 , x < 7

2x− 6 , x ≥ 7I = R

251


816. Determine si f es diferenciable en R. Estudie la continuidad de f ′(x).

f(x) =

x2 + x− 1 , x < 1

x3 , x ≥ 1

252


817. Determine el valor de las constantes reales C y L de modo que la siguiente funcion sea diferenciable enR.

f(x) =

senx , x < π

Cx+ L , x ≥ π

253


818. Determinar el valor de las constantes reales P y G para que la siguiente funcion sea derivable en x = 1.

f(x) =

x−P1+x , x ≥ 1

Gx−x2

2 , x < 1

254


17.3. Aplicaciones

Teorema del Valor Medio

En este problema se demostrara el Teorma del Valor Medio, y luego se utilizara para demostrar otrosTeoremas.

Teorema del Valor Medio: Sea y = f(x) una funcion continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[.Entonces existe c ε (a, b) tal que: f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Indicaciones para demostrar este teorema:

a) Encuentre la ecuacion de la recta y que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

b) Considere la funcion g(x) = f(x)− x f(b)−f(a)b−a .

c) Vea si puede utilizar el Teorema de Rolle.

Utilizando el Teorema de Valor Medio demuestre los siguientes Teoremas:

819. Teorema 1:Sea f una funcion continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[ tal que f ′(x) = 0 ∀ x ε ]a, b[.Entonces f(x) ≡ constante.

820. Teorema 2: Sean f y g funciones continuas en [a, b] y diferenciables en ]a, b[ tales que f ′(x) = g′(x) ∀x ε ]a, b[. Entonces f(x)− g(x) = constante.

821. Teorema 3: Sea y = f(x) una funcion continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[.

822. Si f(x) > 0 ∀ x ε ]a, b[ entonces f es una funcion creciente en [a, b].

823. Si f(x) < 0 ∀ x ε ]a, b[ entonces f es una funcion decreciente en [a, b]

255


Funciones Lipschitz

Una funcion se dice que es de Lipschitz en un intervalo (a, b) si: Existe un K > 0 tal que |f(x)−f(y)| ≤K|x− y| ∀ x, y ε (a, b). La constante K es llamada constante de Lipschitz


824. Sea f una funcion Lipschitz en (a, b), entonces f es continua.

825. Sea f una funcion continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[ tal que |f ′(x)| ≤ K ∀ x ε ]a, b[. Entonces fes Lipschitz con constante K.

Pruebe que las siguientes funciones son Lipschitz.

826. y = senx

827. y = Arctanx

828. y =√

1 + x2

256


Derivacion Logarıtmica

Sea y = f(x). La idea es utilizar las propiedades del logaritmo:

a) lnu · v = lnu+ ln v

b) ln uv = lnu− ln v

c) lnun = n lnu

Para ayudar en el calculo de dydx .

Este metodo consiste en:

a) y = f(x)

b) ln y = ln f(x)

c) 1ydydx = d(ln f(x))

dx ⇒ dydx = y d(ln f(x))

dx

257


Utilizando el metodo descrito anteriormente calcule dydx .

829. y2 = x(x+ 1)

830. y = 3

√x+1x−1

831. y = x√x2+1

(x+1)2/3

832. y = 3

√x(x+1)(x−2)(x2+1)(2x+3)

833. y = xsenx

834. y = (senx)tan x

835. y = 2cos x

836. y = xln x

258


837. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Considere la siguiente ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes:

ad2y

dx2+ b

dy

dx+ cy = 0 (4)

La idea es encontrar una solucion general para diferentes valores de las constantes reales a, b y c.


838. Sean C1, C2 ε R. Si y1 e y2 son soluciones de (1) entonces C1y1 + C2y2 tambien lo es.

839. Si se sustiye y = eαx en (1) el problema de solucionar la ecuacion diferencial se transforma en elproblema de solucionar la ecuacion cuadratica aα2 + bα+ c = 0.

Ahora se pueden distinguir tres casos:

a) Si b2−4ac > 0 entonces y = C1eα1x+C2e

α2x es solucion de (1), y en donde α1 y α2 son solucionesde la ecuacion cuadratica.

b) Si b2 − 4ac = 0 entonces y = (C1 + xC2)eαx es solucion de (1), y en donde α es solucion demultiplicidad 2 de la ecuacion cuadratica.

c) Si b2 − 4ac < 0 la ecuacion cuadratica tendra soluciones de la forma:

α1,2 =−b±

√4ac− b2i2a

= A±Bi

entonces y = C1eAx cos(Bx) + C2e

Axsen(Bx) es solucion de (1).

Indicacion: Para el punto 3) considere que y = e(A±Bi)x = Rey±iImy, y demuestre que y1 = Reye y2 = Imy son soluciones de (1).

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

840. d2y

dx2+2

dy

dx−15y = 0

841. 3d2y

dx2−12

dy

dx+12y = 0

842. d2y

dx2−4

dy

dx+13y = 0

259


18. Aplicaciones de la Derivada

18.1. Problemas de Razon de Cambio

Rectangulo cuyas dimensiones Varıan

843. Las dimensiones de un rectangulo cambian de modo que su area permanece constante. ¿Cual es larapidez con que decrece la altura en el momento que la base y la altura son iguales y si la base crececon rapidez de 5 m/s.

260


Globo Esferico

844. De un globo esferico escapa el gas de modo que el radio disminuye a razon de 2 cm/s. ¿Con que rapidezescapa el aire y con que rapidez disminuye el diametro del globo cuando el radio mide 10 cm?

261


Movimiento de un Proyectil

845. Se dispara un proyectil directamente hacia arriba con una velocidad de 400 ft/s. Su distancia sobre elpiso al cabo de t segundos es s(t) = −16t2 + 400t.

a) Encuentre el tiempo y la velocidad con la cual el proyectil llega a tierra.

b) ¿Cual es la maxima altura alcanzada por el proyectil?

c) ¿Cual es la aceleracion a cualquier tiempo t?

262


Teleferico

846. Un teleferico T se desplaza desde la base B hasta la cima C. El angulo de elevacion de C con respectoa B es de 30. Si el teleferico se desplaza a 5 m/s. ¿Con que rapidez camia la altura de T respecto alnivel del suelo?

Figura 7: Teleferico

263


Dilatacion de una Barra de Metal

847. Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud L ysu radio R aumentan a razon de 0, 005 cm/min y 0, 002 cm/min respectivamente. ¿A que razon decuantos cm3/min aumenta el volumen de la barra en el momento que mide 40 cm de largo y 1, 5 cmde radio?

264


Perturbacion de un Estanque en Reposo

848. Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concentricas. El radior de la onda exterior crece al ritmo constante de 1 cm/s. Cuando el radio es de 4 cm ¿a que ritmo creceel area de la region perturbada?

265


Grabacion del Despegue de un Cohete

849. Una Camara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce de acuerdocon la ecuacion s = 50t2 (s en metros y t en segundos). La camara esta a 2000 m del lugar de despegue.Halle la razon de cambio del angulo de elevacion de la camara 10 s despues del despegue.

266


Excavadora

850. La tierra que vierte una excavadora al ritmo de 3 m3/min forma un cono cuyo radio es constantementeigual al doble de la altura. Encuentre la velocidad con que varıa el radio en el instante en que la alturaes de 10 m.

267


Observando un Globo

851. Un globo comienza a ascender desde un punto A verticalmente hacia arriba y a una velocidad constantede 10 m/min. A una distancia de 100 m del punto A y sobre la misma horizontal hay un observadorB.

a) ¿Como varıa la distancia s desde el globo al observador en el instante en que el globo esta a 50 mde altura?

b) ¿Como varıa el angulo de observacion θ que forma la visual del observador con respecto a lahorizontal, cuando el globo esta a 100 m de altura?

268


Distancia entre Aviones

852. En cierto instante el avion A vuela horizontalmente con una velocidad de 500 km/h, y el avion B, quese encuentra por encima de el, se mueve a una velocidad de 700 km/h siguiendo una trayectoria quecorta a la de A en un punto C que dista 4 km de B y a 2 km de A.

a) ¿A que ritmo disminuye la distancia entre A y B?

b) ¿Cual sera la mınima distancia entre ellos si prosiguen los vuelos descritos a velocidad constante?

269


Escalera Resbalandose

853. Un hombre esta pintando una pared parado en el tope de una escalera que tiene 13 unidades de longitud.En un cierto momento la escalera empieza a resbalar a razon de 6 unidades/min. ¿A que velocidaddesciende el hombre si se mantiene parado en el tope de la escalera cuando la base de la escalera esta a12 unidades de la pared?

270


Proceso Adiabatico

854. Para un proceso adiabatico (sin intercambio de calor entre el sistema y el medio) en un gas ideal rigela ecuacion: pV γ = Constante. Un gas con γ = 1, 2 esta siendo comprimido a razon de 2, 5 cm3/s.¿Con que rapidez esta variando la presion del gas en el instante en que su volumen es de 100 cm3 y supresion es de 9, 6 atm.

271


Puente Levadizo

855. El puente levadizo de la Figura esta siendo jalado desde C de modo que el cable BC desliza a razonde 4 m/min. La altura de la torre AC = 24 m y la longitud del puente AB = 12 m. ¿Con que rapidezesta subiendo el extremo B del puente cuando θ = 60.

Figura 8: Puente Levadizo

272


Distancia entre Barcos

856. Dos barcos, A y B, parten de un mismo punto O segun direcciones que forman un angulo de 120. Elbarco A navega a 20 km/h y el barco B a 30 km/h. ¿Con que rapidez esta variando la distancia entreellos en el instante en que OA = 8 km y OB = 6 km?

273


Estanque de Seccion Circular

857. El estanque de la Figura es de seccion circular (formado por un cilindro y un tronco). Este se esta lle-nando a razon de 0, 1 m3/min. ¿Cual es la velocidad con que sube el nivel del agua?

Figura 9: Estanque de Seccion Circular

274


18.2. Problemas de Optimizacion

Problemas Geometricos

858. Pruebe que entre todos los rectangulos de perımetro dado, el de area maxima es el cuadrado.

859. Encuentre las dimensiones del rectangulo de area maxima inscrito en una semicircunferencia de radior.

860. Encuentre las dimensiones del triangulo rectangulo, de hipotenusa dada, que engendre un cono devolumen maximo al girar alrededor de uno de sus catetos.

861. Demostrar que de todos los triangulos isoceles inscritos en una circunferencia de radio r, el trianguloequilatero es el de perımetro maximo.

862. Encuentre el volumen del mayor cono circular recto que se puede inscribir en una esfera de radio r.

863. Encuentre el volumen maximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en una esfera de radior.

864. Demuestre que el volumen maximo del cilindro circular recto inscrito en un cono circular recto es 4/9del volumen del cono.

Indicacion: Haga un dibujo adecuado para cada uno de los problemas.

275


Un Problema de Geometrıa Analıtica

Sea S la distancia del punto fijo P1(x1, y1) a un punto variable P (x, y) de la recta L, de ecuacionax+ by + c = 0.

Pruebe que:

a) S2 es mınimo cuando P1P es normal a L.

b) La distancia mınima es|ax1 + by1 + c|√

a2 + b2.

276


Construccion de una Caja

865. Una pieza de una hoja de metal es rectangular y mide 50 cm de ancho y 80 cm de largo. Se cortan cuadra-dos congruentes en sus cuatro esquinas. La pieza resultante de metal se dobla para formar una caja sintapas (Ver Figura). ¿Como se debe cortar de tal manera que el volumen de la caja sea lo mayor posible?

Figura 10: Caja sin Tapas

277


Un Corral Rectangular

866. Un granjero tiene 200 m de barda con las que desea construir tres lados de un corral rectangular; unapared ya existente formara el cuarto lado. ¿Que dimensiones maximizaran el area del corral?

278


Productos Enlatados en Envases Cilındricos

867. Un fabricante de productos enlatados quiere construir envases cilındricos de hojalata de un ciertovolumen V , dado. ¿Cual debe ser la relacion entre la altura y el diametro para que la cantidad dehojalata sea la mınima?

279


Construccion de un Envase con Restriccion de Costos

868. Se desea disenar un envase de lata cilındrica con radio r y altura h. La base y la lata deben hacerse decobre, con un costo de 2 centavos/pulgada2. El lado curvo se debe hacer con aluminio a un costo de1 centavo/pulgada2. Determinar las dimensiones que maximice el volumen de la lata si se cuenta con300π centavos para la construccion del envase.

280


869. Construccion de un Observatorio

Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto rematado por una boveda semiesferica,con un volumen total V . Si la construccion de de la boveda semiesferica cuesta el doble por metrocuadrado que la del muro cilındrico ¿cuales son las proporciones mas economicas que se deben emplearpara que la construccion tenga un mınimo costo?

281


Triangulo de Area Mınima

870. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 en el primer cuadrante y queforma con los ejes coordenados un triangulo de menor area posible.

282


Antenas de TV

871. Dos postes de antena de TV se encuentran en un techo, afianzados mediante alambres sujetos en unmismo punto entre los dos postes, como se indica en la Figura. ¿En donde debe ubicarse este punto demodo que se minimice la cantidad de alambre a ocupar?

Figura 11: Postes de Antena de TV

283


Cableado entre una Planta Electrica y una Fabrica

872. En la ribera de un rıo de 3 km de ancho hay una planta electrica; en la otra rivera, 4 km corrientearriba hay una fabrica. El costo de tender un cable por tierra (lınea aerea) es de 30 dolares por metro yde 50 dolares por metro si se tiende bajo el agua (vıa submarina).¿Cual es la ruta mas economica paratender el cable desde la planta electrica a la fabrica, y cual es su costo?

Figura 12: Planta Electrica y Fabrica

284


Ley de la Reflexion

873. Se utilizara el Principio de Fermat para derivar la Ley de la Reflexion de la luz. El Principio de Fermatdice:”La trayectoria que sigue un rayo de luz entre dos puntos es aquella en la que emplea un tiempomınimo en recorrerla”.

La Ley de Reflexion de la luz dice que el angulo de incidencia es igual al angulo de reflexion.

Considere la reflexion de un rayo de luz en un espejo E como la que se muestra en la Figura, la cualmuestra un rayo que va del punto A al punto B por medio de una reflexion de E en el punto P .Utilizando el Principio de Fermat determine que relacion hay entre el angulo de incidencia con el dereflexion.

Figura 13: Reflexion de un Rayo de Luz

285


Ley de la Refraccion

874. Se utilizara el Principio de Fermat para derivar la Ley de la Refraccion de la luz. El Principio de Fermatdice:”La trayectoria que sigue un rayo de luz entre dos puntos es aquella en la que emplea un tiempomınimo en recorrerla”.

Considere dos medios como en la Figura, el medio 1 en donde la velocidad de la luz es v1, y el medio2 en donde la velocidad de la luz es v2. Un rayo de luz va del punto A al punto B por medio de unarefraccion en el punto P . Utilizando el Principio de Fermat deduzca la Ley de Refraccion de Snell:

senθ1

v1=

senθ2

v2

Figura 14: Refraccion de un Rayo de Luz

286


18.3. Estudio de Funciones y Trazados de Curvas

Se entendera por estudio completo de una funcion el determinar, si es que es posible, el dominio,los ceros, la condicion de paridad, asıntotas, puntos de discontinuidad, intervalos de crecimiento y de-crecimiento, puntos crıticos, puntos de inflexion, intervalos de concavidad y convexidad, y el dibujo dela grafica de la funcion.

Haga un estudio completo de las siguientes funciones polinomicas.

875. f(x) = (x2 − 1)(x+ 2)

876. f(x) = x2 − 3x+ 2

877. f(x) = (x2 − 4)(x− 1)2

878. f(x) = x3 − x2

879. f(x) = x2 − x4

880. f(x) = (x2 − 8x+ 15)(x− 1)

881. f(x) = x4 + 1

882. f(x) = x3 − 4x+ 2

883. f(x) = −x3 + x2 − 1

884. j(x) = x4 − 4x2 − 2

287


Haga un estudio completo de las siguentes funciones.

885. f(x) = x−2x2−1

886. f(x) = x3−2xx−5

887. f(x) = x2−3x+2x2−4

888. f(x) = (x−1)(x+2)x2(x+1)

889. f(x) = 2 + 11+x2

890. f(x) = 3x2

x2−2x−3

891. f(x) = 7x+ 12x+5

892. f(x) = 2(x− 1) + 4x−1

288


893. Determine los coeficientes a, b, c y d de modo que la curva de ecuacion y = ax3 + bx2 + cx + d tengaun maximo en el punto (−1, 10) y un punto de inflexion en el punto (1,−6).

894. Determine los valores de a, b y c de manera que la funcion f(x) = ax3 + bx2 + c tenga un punto deinflexion en (1,−1) y que la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en ese punto sea igual a 2.

895. Sea f(x) = (x2 + a2)p, en donde p es un numero racional distinto de cero. Demostrar que si p < 12 , f

tiene dos puntos de inflexion, y que si p ≥ 12 , f no tiene puntos de inflexion.

289


896. Pruebe que entre todos los rectangulos de un perımetro dado, el de area maxima es el cuadrado

897. Encuentre las dimensiones del rectangulo de area maxima inscrito en una semicircunferencia.

898. Pruebe que de todos los triangulos isoceles inscritos en una circunferencia, el triangulo equilatero es elde perımetro maximo.

899. Encuentre las dimensiones del cono circular recto inscrito en una esfera cuyo volumen sea maximo.

900. Encuentre las dimensiones del cilindro inscrito en una esfera cuyo volumen sea maximo.

19. Problemas varios

901. Resuelva en R :(x2 − 2x)|x− 1|

1− x= 1

902. Determine el dominio de la funcion definida por

f(t) =1− cos2 t

sent− sen2t.

903. Determine, si existen, los maximos y mınimos locales de: f(x) = 12x

4 − 13x

3 − x2 + x+ 1

904. ¿ ¿Que valor, si existe alguno, debe asignarse a la constante b de modo que la funcion

f(x) =

1

1−x −3

1−x3 si x < 1

senbx si x ≥ 1

sea continua en R

905. Un rectangulo de perimetro P se gira en torno a uno de sus lados para generar un cilindro recto. De-termine las dimensiones de rectangulo de manera que el volumen del cilindro obtenido sea maximo.

906. Determine el angulo que forma la recta tangente a la parabola y = x2− 5x+ 7 en el punto M(2, 1)con el eje de las abscisas.

907. Demuestre por induccion :n2 ≥ 6n+ 5, ∀n ≥ n0 ∈ N

908. Determine a ∈ R+ de modo que el valor absoluto de la diferencia entre las raıces de la ecuacion:

ax2 − 2x+ a = 0 sea menor que 2

909. si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.Justifique claramente cada una de sus respuestas con un desarrollo o bien con un contra ejemplo sı co-rresponde.

i.- (∃x ∈ R+)(x2 < 1 ∧√x ≤ x2).

ii.- Si A,B ⊆ U y (A−B) ∪ (A ∩B) = B − (Ac ∩Bc) entonces #A = #B.

910. Determine la suma de todos los numeros naturales de tres cifras.

290


911. Determine, identifique y esboce el lugar geometrico de todos los puntos del plano que estan a unadistancia fija 10 del origen de coordenadas.

912. Sea A(a, b) un punto cualesquiera que pertenece al lugar geometrico obtenido . Encuentre la ecuacionde la recta que pasa por el punto A(a, b) y el origen de coordenadas.

913. Determine los valores de a y b tal que la recta obtenida tenga pendiente 34 .

914. Rotando el sistema de coordenadas en π2 , determine las nuevas coordenadas de los puntos obtenidos en

c).

915. Considerese el lugar geometrico P de los puntos (x, y) tales que

y = x2 − (1 +√

2)x+√

2, x ∈ R.

Esboce el lugar geometrico P .

916. Sean A y B dos conjuntos dados por

A = x ∈ Q, x2 − (1 +√

2)x+√

2 ≤ 0, B = Q \A.

¿Que conjunto es acotado?

917. 1 ∈ A? ; 1 ∈ B? ;√

2 ∈ A? ;√

2 ∈ B?

918. Determinen (si es que existen) los numeros finitosque corresponden a :

maxA, mınA, supA, ınf A, maxB, mınB, supB, ınf B.

919. Si la proposicion p⇒ r es verdadera, determine el valor de verdad de la proposicion compuesta :

p ∧ (q ⇒ r).

920. Dados los conjuntosA = x ∈ R / x2 − 1 = 0, y B = x ∈ R / |x| < 1.

Determine el conjunto:(A ∪B)− (A ∩B).

921. En R+, resuelva la inecuacion

1 >15

|x| − 2

922. Un estudiante de Mat021, comienza a resolver las primeras 5 tareas.En una clase, entrega a su profesor 20 problemas, quedandole por hacer menos de la mitad.Luego, a la siguiente clase entrega 8 problemas mas y le quedan mas de 10 problemas por resolver.¿Cual es el total de problemas que tenian las 5 tareas ?

923. Una persona situada en un punto A se dirige en linea recta hacia un punto C. Otra persona hace lomismo desde un punto B. Si la distancia entre A y B es de 8km, el angulo CAB es de 75o y el anguloCBA es de 45o, ¿que distancia tendra que recorrer cada persona ?

924. Encuentre la ecuacion de la recta L′ que sea paralela a las dos rectas

L1 : x+ 2y − 1 = 0, L2 : x+ 2y + 2 = 0

y que pase por el punto M ′ situado en el medio de la distancia entreL1 y L2

291


925. Determine x ∈ 1, 2, 3 tal que 1 ∪ x ⊆ 1, 2

926. Determine X ⊆ 1, ∅ tal que ∅ ∩X = X

927. Determine X ⊆ P (1) tal que #X = 2

928. Dado el conjunto A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las siguientes dos proposiciones

a p(n) : n ∈ A tal que la suma la suma∑nk=0 k 0 + 1 + 2 + 3 + 4...+ n es multiplo de 2

b q(n) : n ∈ A tal que n+2√n+1

sea un numero racional i).- ¿Para que valor (es) de n ∈ A la

propopsicion p(n) es verdadera ?ii).- ¿Para que valor (es) de n ∈ A la propopsicion q(n) es falsa ?iii).- Determine el valor de verdad de la siguiente proposicion

(∀a ∈ p(n))(∃b ∈ q(n))(a ≥ b)

929. En el plano Cartesiano XY , obtenga la ecuacion de la recta tangente a la curva

sen(x+ y) = x cos y2

en el punto P (0, 0) e interprete su resultado geometricamente

930. Dada la curva C en forma parametrica

C :

x(t) = t/(1 +

√t2 + 1)

y(t) = e−t + Arctant+ ln(1 + t) ; t ≥ 0

Calcule la derivada y′ = dydx en t = 0.

931. Determine, en caso de existir, los puntos de inflexion y el (los) maximos locales de la funcion f definidapor:

f : R → Rx → f(x) = x3 − 3x+ 2

932. Sea ABC un triangulo rectangulo con hipotenusa fija c = 10cm. Si α ( el angulo en el vertice A)esta aumentando a razon de 4π radianes/min, hallar la razon de aumento del lado a ( el lado opuestoa A) en el instante en que α = π

3 radianes.

Justificando claramente , indique cual es la respuesta correcta en cada una de las siguientes preguntas:

933. Si f es una funcion continua tal que para a ∈ Dom (f), existe f ′(a) > 0, entonces se puede concluirque:

a.- La grafica de f es concava hacia arriba en x = a.

b.- f es creciente en x = a

c.- f tiene un Maximo local en x = a.

d.- f tiene un Mınimo local en x = a.

e.- La grafica de f es concava hacia abajo en x = a.

934. Si g es una funcion tal que para a ∈ Dom (g), g′(a) esta bien definida, entonces se puede concluir que:

a.- g(x) no es continua en x = a.

292


b.- La grafica de g(x) tiene una recta tangente en x = a.

c.- g′′(a) = 0.

d.- g(x) tiene inversa g−1.

e.- g′′(a) 6= 0

935. Si p es una funcion polinomial , tal que para a ∈ Dom (p), p′(a) = 1, entonces se puede concluir que:

a.- p tiene un Maximo local en x = a.

b.- p tiene un Mınimo local en x = a.

c.- p tiene un punto de inflexion en x = a.

d.- p′′(a) = 0 .

e.- p′′(a) siempre existe.

936. Si para a ∈ Dom (f), existen f ′(a) = 0, y f ′′(a) > 0, entonces se puede concluir que:

a.- f tiene un Maximo local en x = a.

b.- f tiene un Mınimo local en x = a.

c.- f tiene un punto de inflexion en x = a.

d.- f es estrictamente creciente.

e.- f es estrictamente decreciente.

937. Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar juntas tres monedas . Si una de las monedascae cara, anotaremos 1, y si cae sello anotamos 0.Por ejemplo el sımbolo (1, 0, 1) quiere decir que la primera y la tercera moneda caen cara, y la segundasello.Encuentre el conjunto

R = (a, b, c)/a, b, c ∈ 1, 0

y determine por extension los siguientes conjuntos:

S1 : Se dan mas caras que sellos.

S2 : Se obtienen al menos dos caras.

S3 : Se obtienen el mismo resultado en las tres monedas.

938. Si los valores de verdad de las proposiciones p y q son V y F respectivamente, determine el valor de laproposicion r de manera que

(p =⇒ r) ∧ (q ∨ r) ∧ (r =⇒ (p ∨ q))

sea una tautologia.

939. Se dan dos proposiciones sobre el conjunto N de los numeros naturales que satisfacen la condicion1 ≤ n ≤ 15. Sea p(n) la proposicion : n divide a 14 y sea q(n) la proposicion : n es un numero par.

Determine el conjunto de validez de las siguientes proposiciones:

i.- p(n) =⇒ q(n)

ii.- p(n) ∧ q(n)

940. Encuentre la(s) asıntota(s) de la la funcion f(x) = x3

x2−1 .

293


941. Determine los intervalos en donde la grafica de f(x) = xe−x es Concava hacia abajo.

Sean A, B y C conjuntos.

942. Demuestre(A−B)− C = A− (B ∪ C)

943. Simplifique al maximo la expresion

(A−B) ∩ ((A ∪B)−B)c

944. Encuentre el conjunto X que satisfaga el sistema

X ∪ A = BA − B = X

945. Determine el o los puntos en el intervalo ]0, 2π[ en los que la grafica de f(θ) = 2 cos θ+ sen2θ tiene unatangente horizontal.

946. Determine la(s) ecuacion (es) de la(s) recta(s) perpendicular(es) a la recta 5x − y = 1 que forma conlos ejes coordenados un triangulo de area 5[unidades].Grafique las respuestas obtenidas.

947. Sea L una recta tangente a la curva de ecuacion√x+√y = 4, x, y ≥ 0.

Pruebe que la suma de las intersecciones de la recta L con los ejes coordenados x e y es igual constante.

948. Suponga que las aristas de un cubo se expanden a razon de 5cm por segundo.¿Cual es la razon de cambio de el area de la superficie del cubo cuando sus aristas miden 4, 5cm

949. Una pieza de hojalata de 10m. de largo por 4m. de ancho es doblada por la mitad para formar uncanaleta. Determine la capacidad ( volumen) de la canaleta en terminos del angulo θ y encuentre lasdimensiones para determinar su maxima capacidad.

950. Si y = 2 tan(v) y v = 3√x sen2(x), determine dy

dx en el punto de abscisa x = π4

951. Para la funcion f(x) = 2(x− 1) +4

x− 1

Determine, en caso de existir:

i) Intervalos de monotonıa .

ii) Puntos de inflexion .

iii) Intervalos de concavidad o convexidad.

iv) Asıntotas.

952. Considere la funcion f(x) = −x2/2 + 3x, con dominio x ∈]−∞, 3[. Demuestre que

(f−1) ′(5

2) =

1

2.

953. Sean f y g funciones diferenciables en R

tales que f(x) = g(−x2) y g(−1) = g′(−1) =1

2. Encuentre f(−1) + f ′(−1).

294


954. Para n ∈ N, encuentre la suma

n∑n=1

2n = 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2n

y pruebe su resultado utilizando el Principio de Induccion Matematica.

955. Resuelva graficamente la desigualdad

| cosx| > |senx|, x ∈ [0, π].

956. Dado z1 = 1− senα+ i cosα, con 0 < α < π2 , determine α de modo que

(Rez1)2 + (Imz1)2 =‖ z1 ‖

957. Si la diferencia entre el coeficiente binomial del tercer termino y el coeficiente binomial del segundotermino en la expansion de (x+ y)n es igual a 9, determine el valor de n ∈ N.

958. Demuestre que el area de un polıgono regular de n lados esta dado por

A =1

4s2n cot(

180o

n)

donde s es el largo de un lado.

959. Los atletas A, B, C y D ocuparon los cuatro primeros lugares en una olimpiada. Entrevistados acercade la distribucion que llegaron a la meta, ellos dieron tres respuestas

i) B fue el primero, D el segundo

ii) B fue el segundo, A el tercero

iii) C fue el segundo, A el cuarto

¿Cuales fueron los lugares de llegada, sı en cada una de las respuestas solo una afirmacion es verdadera?

960. Se dan dos proposiciones sobre el conjunto de numeros naturales N que satisfacenla condicion 3 ≤ n ≤ 12

a).- p(n) la funcion proposicional: El numero 3 es el divisor del numero nb).- q(n) la funcion proposicional: El numero n no supera a 6

Encuentre los conjuntos de validez para las siguientes proposiciones:

a) p(n) ∨ q(n)b) p(n) =⇒ q(n)

295


961. Identificando claramente la hipotesis y la tesis, determine si las siguientes enunciados son verdaderos ofalsos .Justifique cada una de su respuesta con un desarrollo o bien con un contraejemplo.

i).- Si la ecuacion x2 − 2x + q = 0 tiene sus dos raıces positivas entonces se tiene que cumplir lacondicion q > 0.ii).- Si q es un numero real no negativo entonces las dos raıces de la ecuacion x2 − 2x+ q = 0 sonpositivas.

Describa los siguientes conjuntos por extension de todos sus elementos.

962. A = X ⊆ 1, 2, 3/X ∪ 4, 5, 6 ⊂ 1, 3, 4, 5, 6

963. A = C ∈ φ, φ/C ∪ φ = φ

964. A = x ∈ Z/ 14 ≤ 2x < 5

965. Dado el conjunto X = x ∈ R /x = mn , m, n ∈ N,m < n

Demuestre, si es que existen, Sup X, e Inf X.

966. Dada la sucesion ann∈N definida por an = 6n− n2 − 5, determine en caso de existir:Max ann∈N , Minann∈N.Es la sucesion acotada superiormente, Justifique su respuesta.

967. Dada la sucesion ann∈N definida por an =√n

9+n .Determine lım

x→+∞ann∈N.

968. Represente en el plano OXY el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuacion

|x+ y|+ |x− y| = 1

969. Determine los valores de a ∈ R que satisgfagan la inecuacion

|a2 − a| < a.

970. Determine el dominio A y recorrido B de la funcion f definida por:

f : A → B

x → f(x) =|x|+ x

|x| − x

¿Es f una funcion invertible?

971. Sin utilizar su calculadora, pruebe que√2 +√

3 +√

3

√2−√

3 = 2√

2

296


972. Resuelva en R

x+ 1 >√x+ 3

973. Determine el punto sobre la funcionf(x) = x2(x− 1)

en donde la recta tangente en ese punto, tiene pendiente mınima.

974. Un globo esferico con radio inicial r = 5cm comienza a desinflarse en el instante t = 0 y su radio tsegundos mas tarde es de r = 60−t

12 .¿A que razon (cm3/seg) sale el aire del globo cuando t = 10 segundos?.

975. Determine los valores a y b ∈ R, de modo que (1, 3) sea un punto de inflexion para la funciony = ax3 + bx2.

976. Determine a ∈ R de modo que:

f(x) =

√x+ 2− 3

x− 7x 6= 7

a x = 7

sea continua en R.

¿ Es f diferenciable en R?, Justifique su respuesta.

977. Hallar la ecuacion de la parabola y = x2 + bx + c, sabiendo que la recta y = x es tangente a dichaparabola en el punto (1, 1).

978. Encuentre un punto sobre la grafica de y =x3

a+ x2; a ∈ R+en donde la recta tangente tiene pendiente

1.

979. Determine la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x4 − 3x2 +1

2x2+

1

2en el punto (1,−1)

980. La propietaria de una tienda determina que puede vender A artıculos cada dıa a B pesos cada uno ypuede vender A + C artıculos cada dıa a D pesos, donde D < B. Suponiendo que existe una relacionlineal entre el precio y las ventas ¿cuantos artıculos esperaria vender a E pesos, donde D < E < B?.

981. Si se tienen 100 metros de cerca para encerrar una region rectangular, ¿cuales son las dimensiones delrectangulo para encerrar el area maxima?. Justifique su respuesta.

982. Dadas las funciones f(x) = x2 − |x| ; g(x) = 1− x2

a) Grafique f y g indicando sus respectivos dominios y recorridos.b) Determine x ∈ R tales que f(x) > g(x).

297


983. Suponga que A y B, son conjuntos tales que

|B| = 8, |P (A)| = 32, |A ∪B| = 11.

Determine |A ∩B|

984. Determine el valor de verdad de la siguiente proposicion:

(∀x)(∃y)((x− y)2 6= x2 + y2)) x, y ∈ R

985. Determine si la siguiente proposicion es una Tautologıia:

(p =⇒ q) =⇒ ((p =⇒ q) =⇒ (p ∧ q))⇐⇒ q =⇒ p

986. Sean A y B conjuntos tales que:A ∪B = U ; A ⊂ B

Demuestre que((A ∩B)− (A ∪B))c ∪ (A−B) = B

987. Demuestre el siguiente enunciado por el metodo de demostracion que usted estime mas conveniente.

”Si n2 es un numero par, entonces n es un numero par”

988. Dado el sistema de ecuaciones formado por las rectas:

L1 : 2x + ay + b = 0L2 : x + cy + f = 0

a, b, c, f,∈ R

a) ¿Que condiciones deben satisfacer las constantes a, b, c y f para que el sistema de ecuacio-nes:i)tenga una unica solucion.ii) tenga infinitas solucionesiii) no tenga solucion.

b) Interprete geometricamente sus resultados.c) Asigne valores a las constantes a, b, c, y fpara ilustrar cada caso en la pregunta a).

989. Si f(x) = ln(x+ 1)− x2

x+2 + x− 1, x ∈ ]− 1,+∞[

a) Pruebe que f ′ > 0 en el intervalo ]− 1,+∞[.

b) ¿Cuantas soluciones puede admitir la ecuacion f(x) = 0 en el intervalo ]− 1,+∞[Justifique claramente su respuesta.

990. a) Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la parabola

P1(x) = x2 + 2x− 11

en el punto (3,4).

298


b) ¿Existe c ∈ R tal que la recta obtenida en a) sea tangente a la parabola

P2(x) = x2 − 2x+ c.

Bosqueje las graficos de P1, P2 y la recta obtenida en a).

991. Dada la funcion: f(x) =

x si x ≤ 11x si x > 1

¿Es f derivable en x = 1?. Justifique su respuesta.

992. Si u = 2 tan v y v = 3√x sen2 x

Determinedu

dx

993. Si ey + xArc sen y = cosx.

Determine, en caso de existir,dy

dxpara x = 0.

994. Determine a ∈ R de modo que:

f(x) =

x+ 1 x < 1a− x2 x > 1

2 x = 1

sea continua en R.

¿ Es posible determinardf(1)

dx= lım

x→1

f(x)− f(1)

x− 1?

Justifique su respuesta.

995. Determine en caso de existir los limites:

a) lımθ→0

1− cos θ

θ sen θ

b) lımx→0

1 +1

x√(1 +

1

x)2

996. Hallar la ecuacion de la parabola y = x2 + bx+ c, sabiendo que la recta y = 2x− 1 es tangente a dichaparabola en el punto (1, 1).

997. Determinedy

dxsi:

a) y = −x2 + ln x2

x2 − sec x2

b) y = 7x13 + 1√

x+ 4x− 8

998. Si f(x) =x

1 + x2; determine los intervalos en donde la funcion es simultaneamente : Concava hacia

arriba y Estrictamente creciente.

999. Que condiciones deben deberian satisfacer las constantes f1, f2, f3 de manera que la funcionf(x) = f1x

4 + 6f2x2 + f3; admita exactamente 2 puntos de inflexion ?.

299


1000. a) Hallar la ( las ) ecuacion (es) de la (as) asintotas de f(x) =x2 + x+ 1

x− 1.

b) Demuestre que f(x) = x5 + 2x− 3, admite exactamente una raiz real en el intervalo [0,1].

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