Mat1_2parc-podsjetnik_11-12

5/12/2018 Mat1_2parc-podsjetnik_11-12 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat12parc-podsjetnik11-12 1/7

Podsjetnik za uµcenje (Mat.1 - 2. parcijalni ispit):

1. Što je funkcija? Navedi sve nazive vezane uz taj pojam! Kakve su to realne funkcijerealne varijable?De…niraj ove skupove: slika funkcije i graf funkcije! To su podskupovi - kojih skupova?

2. Kada su dvije funkcije jednake? Da li su jednake funkcije:

a) f (x) =x3

x; g (x) = x2 i h (x) =

p x4

?

b) f : Df ! R; f (x) = ln x; pri µcemu je Df R prirodna domena funkcije f

i g : N ! R; g (n) = ln n ?

Objasni! Skiciraj grafove svih tih funkcija!

3. De…niraj pojmove: restrikcija (suµzenje) funkcije i ekstenzija (proširenje) funkcije!Navedi primjer i objasni te pojmove na primjerima iz prethodnog pitanja!

4. Kompozicija funkcija - de…niraj taj pojam! Da li je ona uvijek de…nirana, za bilo kojedvije funkcije?Koje svojstvo ima kompozicija funkcija? Funkciju

' (x) =

r 1

lnsin x

napiši u obliku kompozicije (osnovnih) elementarnih funkcija te odredi njenu prirodnudomenu!

5. De…niraj pojmove: bijekcija, identiteta (funkcija) i inverzna funkcija! (De…nicija 5.5,Primjer 1., Teorem 5.6 i Napomena 1.) U kakvom su odnosu grafovi funkcije i njojinverzne funkcije (skica)?Navedi primjere! (Osnovne elementarne funkcije i inverzne funkcije odgovarajucih re-strikcija tih funkcija [ukoliko nisu injekcije]. Skiciraj i pripadne grafove!)

6. Koji su sve naµcini zadavanja realne funkcije realne varijable? Objasni to kroz primjere!

7. De…niraj pojmove implicitno zadane funkcije i parametarski zadane funkcije!

8. De…niraj pojmove: ome†ena i neome†ena funkcija te navedi primjere i skiciraj grafove!Kakve su s obzirom na te pojmove sve osnovne elementarne funkcije - redom?

9. De…niraj pojmove vezane uz monotonost funkcije, navedi primjere i skiciraj grafove!Kakve su s obzirom na te pojmove sve osnovne elementarne funkcije - redom?Odnos monotonosti i injektivnosti funkcije? Obrazloµzi!

10. De…niraj pojmove vezane uz parnost funkcija (parne i neparne funkcije)! Kakvi sugrafovi tih funkcija? Koje od osnovnih elementarnih funkcija imaju ta svojstva?

1



11. De…niraj pojam periodiµcke funkcije, pojam perioda i osnovnog perioda! Kakvi sugrafovi tih funkcija?Me†u osnovnim elementarnim funkcijama - koje su periodiµcke i koji su njihovi osnovniperiodi?Odredi osnovni period (obvezan izvod), nultoµcke i sliku funkcije

f (x) = 3sin

2x

3

te skiciraj njen graf! Kakav je graf te funkcije u odnosu na graf funkcije

g (x) = 3sin2x ?

A kakav je graf funkcije g u odnosu na graf sinusoide y = sin x. Skiciraj sve tetransformacije grafa!

12. Nabroji osnovne elementarne funkcije (njihova pravila i domene) i skiciraj nijihovegrafove!Posebno de…niraj:

eksponencijalnu i logaritamsku funkciju (odredi me†usobnu vezu tih funkcija, njihovedomene, slike, monotonost i skiciraj grafove)

trigonometrijske funkcije preko trigonometrijske kruµznice te inverzne funkcije odgo-varajucih restrikcija tih funkcija! (Skiciraj sve grafove!)

13. Skiciraj graf funkcije:

f (x) = ln (2 x) pomocu transformacija grafa osnovne funkcije (ln x)!Provjeri taj graf odre†ivanjem domene zadane funkcije, asimptote i sjecišta toggrafa s koordinatnim osima!

g (x) = tg 3x pomocu transformacija grafa osnovne funkcije (tg x)!Odredi domenu te funkcije i osnovni period! Kakva je ta funkcija s obzirom namonotonost?

kako se opcenito dobiju grafovi funkcija:

f (x) ; f (x) ; f (x) + c; f (x c) ; f (ax) ; Af (x) i jf (x)j

iz grafa funkcije f (x) (za c;a;A 2 Rn f0g) ?

14. Kakve su to elementarne funkcije (kako se konstruiraju i od µcega) i nabroji (4) osnovneklase elementarnih funkcija?

15. De…niraj polinom n-tog stupnja nad R i sve pojmove vezane za tu funkciju (i posebnenazive u ovisnosti o stupnju polinoma)!Što je nula polinoma i koliko ih taj polinom ima nad C? Koje svojstvo imajukompleksne nule polinoma?Kako se provodi postupak faktorizacije polinoma pn (x) i kako glasi njegova faktori-zacija nad C; a kako nad R?

2



16. Kakav je to normiran polinom? Kako glasi teorem koji olakšava nalaµzenje cjelobrojnihnula nekog polinoma?Koliko kompleksnih, a koliko realnih nula ima polinom

p (x) = x4 3x3 + 4x2 12x ?

Faktoriziraj taj polinom nad R; pa nad C !

17. Racionalne funkcije - de…nicija, domena, pojam prave i neprave racionalne funkcije?

Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke (u vjeµzbama). Objasni kroz primjere!

18. Algebarske funkcije - kakve su to funkcije? Navedi primjere!Kakve su to iracionalne funkcije? Navedi primjere!

19. Kakve su to transcendentne funkcije? Nabroji ih!

20. De…niraj hiperbolne funkcije: navedi njihova pravila, domene, kodomene i skicirajgrafove!

21. Area funkcije - koje su to funkcije? De…niraj ih tj. izvedi njihova pravila, odredidomene i kodomene te skiciraj njihove grafove!

22. De…niraj pojam graniµcne vrijednosti ili limesa funkcije f u toµcki x0 (preko " i ) inacrtaj sliku!Kakva mora biti toµcka x0 - da bismo mogli traµziti limes funkcije u toj toµcki?Moµze li funkcija imati više limesa u nekoj toµcki x0 ?Koja su svojstva limesa funkcija? (Teorem 5.14.)

23. Kako glasi "Teorem o uklještenju" za funkcije (Teorem 5.15.)? Izraµcunaj limes:

limx!1

x2 + x + 1

x3cos x !

24. µCemu je jednak limx!0

sin xx

?

25. Kako se izvodi rezultat u prethodnom pitanju?

26. Kako de…niramo limese slijeva i zdesna (preko " i )? Nacrtaj sliku!Kakav je odnos svih tih limesa (tj. kad postoji limes)? Odredi:

limx!0

xp x2

!

27. De…niraj pojmove: neprekidnosti funkcije u toµcki, na skupu i opcenito neprekidnefunkcije!

Koja su svojstva neprekidnih funkcija? Kakve su elementarne funkcije što se tiµceneprekidnosti?Ispitaj neprekidnost funkcije

f (x) =

8><>:

arcsin x; x 2 [1; 1i

2 (x 1)2 ; x 1

!

3



28. Kada funkcija ima prekid u toµcki i koje su vrste prekida? Objasni sve sluµcajeve iskiciraj!

29. Kad je kompozicija dviju funkcija neprekidna u toµcki? Odnos limesa i neprekidnefunkcije?

30. Navedi teorem koji govori o svojstvima neprekidne funkcije na segmentu i posljedicutog teorema! (Teorem 5.22 i Posljedica.)

Dakle, za neprekidnu funkciju, što je slika segmenta? Kakve vrijednosti ona poprimana tom segmentu?Kako pribliµzno traµzimo nultoµcke neprekidne funkcije? (Posljedica).

31. Što je asimptota funkcije i koje sve vrste asimptota postoje? Gdje traµzimo pojedineasimptote - u kojima sluµcajevima i kako ih odre†ujemo?Mogu li za neku funkciju postojati sve 3 vrste asimptota? Objasni!Koje sve osnovne elementarne funkcije imaju asimptote i koje su jednadµzbe tihasimptota?Odredi asimptote funkcija:

a) f (x) = x 3x2 1

b) g (x) = e1

x x

Ako postoji asimptotska toµcka za neku od navedenih funkcija - izraµcunaj pod kojim sekutem graf "zabija" u tu asimptotsku toµcku (tj. "konvergira" toj asimptotskoj toµcki)!

32. De…niraj derivaciju funkcije f u toµcki x0 i navedi njenu geometrijsku interpretaciju!Nacrtaj sliku!Što je sa derivacijom funkcije u izoliranoj toµcki domene?Kako glase jednadµzba tangente i normale u nekoj toµcki (x0; f (x0)) grafa funkcije f ?Nacrtaj sliku!Kad kaµzemo da je funkcija derivabilna, a kad da je glatka?

33. Izvedi (po de…niciji) derivacije funkcija:

a) f (x) = ax; b) g (x) = xn; n 2 N; c) h (x) = cos x:

34. Odnos derivabilnosti i neprekidnosti funkcije? (Teorem 6.2 i dokaz!) Da li vrijediobrat tvrdnje tog teorema? Objasni to na primjeru!

35. De…niraj pojmove: derivacija slijeva u toµcki i derivacija zdesna u toµcki! Poveµzi tepojmove s pojmom derivabilnosti funkcije u nekoj toµcki! Navedi primjer i sve toobjasni na primjeru! Što su to lijeva i desna tangenta u nekoj toµcki grafa i navedinjihove jednadµzbe!

36. Pravila deriviranja: zbroja, razlike, produkta, kvocjenta te linearne kombinacije dvijufunkcija!( - Dokaµzi ta pravila!)

4



Deriviraj sljedece funkcije (i maksimalno pojednostavni dobiveni izraz kad god je tomoguce):

a) f (x) = sin3 (5x)cos2x

3

; b) g (x) = arcsin

xp 1 + x2

; c) h (x) = ln

p x2 + a2

p x2 + a2

Napomena: rješenja nekih zadataka dana su na vjeµzbama (25 zadataka sa derivacijamai rješenjima).

37. Navedi teoreme o derivaciji kompozicije i derivaciji inverzne funkcije!

38. Izvedi izraze za derivacije funkcija (pomocu formule za derivaciju inverznih funkcija):

a) f (x) = loga x; b) g (x) = arccos x; c) h (x) = arctg x:

39. Kako deriviramo funkcije implicitno zadane izrazom F (x; y) = 0? Odredi y0 zadanihfunkcija:

a)y

x

+ arctgx

y

= 2; b) 23p

x2 + 3

p y2 = 4; c) y = 1 +2

x 1

x

:

40. De…niraj pojam diferencijala funkcije f u toµcki x0!Što on predstavlja i koje je njegovo geometrijsko znaµcenje? Nacrtaj sliku!Koja je veza prirasta funkcije i diferencijala te funkcije i gdje to primjenjujemo? Pokaµzito na primjeru!Koja su svojstva diferencijala (diferencijal zbroja, razlike, produkta, kvocjenta telinearne kombinacije dviju funkcija)?

41. Kako se raµcunaju derivacije i diferencijali: drugog, treceg i opcenito ntog reda nekefunkcije?

Odredi y00

za funkciju y iz zadatka 39 a) !42. Kako se raµcunaju derivacije prvog i drugog reda parametarski zadanih funkcija?

43. Izvedi izraz za trecu derivaciju parametarski zadane funkcije!

44. Navedi osnovne teoreme diferencijalnog raµcuna: Fermatov, Rolleov i Lagrangeov! Navedigeometrijske interpretacije (nacrtaj slike i objasni)!

45. Dokaµzi teoreme iz prethodnog pitanja!

46. Navedi sve neodre†ene oblike i Teorem - L’Hôpitalovo pravilo!

Na koje se od navedenih oblika primjenjuje taj teorem, a kako se rješavaju ostalineodre†eni oblici?Izraµcunaj limese

a) limx!1

1 +

2

x 1

x

b) limx!0+

1

x

tg x

Koji neodre†ene oblike dobivamo?

5



47. Veza monotonosti i derivacije funkcije? Geometrijska interpretacija?Kakve su funkcije g i h iz zadatka 36 b ) i c ) što se tiµce monotonosti? Imaju li tefunkcije lokalnih ekstrema? Odredite intervale na kojima je funkcija f padajuca:

f (x) = x ex2

2 !

48. De…niraj pojmove: lokalni ekstrem, stacionarna toµcka i kritiµcna toµcka! Nacrtaj skice!

Kakva je to kritiµcna toµcka koja nije stacionarna? Što ona geometrijski predstavlja?Navedi nuµzan uvjet za lokalni ekstrem! Je li to i dovoljan uvjet? Objasni primjerom!

49. Navedi sve dovoljne uvjete za lokalni ekstrem koje smo na predavanjima naveli!(Teoremi: 6.13, 6.14 i dijelom 6.21.)Ima li funkcija f iz 47: zadatka ekstrema? Ako ima ekstrema - navedi ih!

50. Globalni ekstremi - de…nicija, gdje ih traµzimo i za koju vrstu funkcija?

51. Koje su vrste zakrivljenosti grafa funkcije? De…niraj te pojmove i geometrijski ihinterpretiraj pomocu tetiva i tangenti! Nacrtaj slike!Na primjerima osnovnih elementarnih funkcija odredi vrstu zakrivljenosti njihovihgrafova!Veza zakrivljenosti grafa funkcije f i njene druge derivacije f 00 (x) (Teorem 6.17)?Odredi intervale zakrivljenosti grafa funkcije iz 47. pitanja.

52. De…niraj pojam in‡eksije funkcije u toµcki!Navedi teoreme koji daju nuµzan uvjet i dovoljne uvjete za postojanje in‡eksije!(Teoremi: 6.19, 6.20 i 6.21.)Nuµzan uvjet za postojanje in‡eksije - je li to i dovoljan uvjet? Objasni primjerom!Ima li funkcija

f (x) = x +1

x2

toµcaka in‡eksije? Objasni! Kakva je zakrivljenost tog grafa?

53. Skiciraj dio grafa (neprekidne) funkcije f za koju vrijedi:

f (3) = 0; f 0 (3) = 2

3; f

00

(3) = 4 !

54. De…niraj pojam niza, navedi sve nazive i oznake vezane uz taj pojam!De…niraj pojmove: stacionaran niz i (strogo) monoton niz. Navedi primjere takvihnizova!

55. De…niraj graniµcnu vrijednost ili limes niza (preko " i n0 i nacrtaj sliku)!Kad kaµzemo da je niz konvergentan, a kad da je divergentan?Koliko limesa moµze imati niz? Objasni zašto!

limn!1

cos(1)n n

2=?

6



56. Gomilište niza - objasni taj pojam (nije nuµzno strogo ga de…nirati - vec samo prekosvojstva okolina nekog gomilišta)!Što su to limes inferior i limes superior niza?Odnos gomilišta i limesa? Koliko gomilišta moµze imati niz?

57. Geometrijski niz - kakav je to niz? Navedi primjer! Kakvo svojstvo ima taj niz(vezano uz naziv)?Kad taj niz konvergira, a kad divergira? Objasni sve sluµcajeve i navedi primjer za

svaki sluµcaj!

58. Aritmetiµcki niz - kakav je to niz? Navedi primjer! Kakvo svojstvo ima taj niz (vezanouz naziv)?Da li je to konvergentan ili divergentan niz? µCemu moµze biti jednak lim

n!1an ako je

(an) aritmetiµcki niz?

59. Navedi teoreme koji daju nuµzan uvjet i dovoljne uvjete za konvergenciju niza!Kakav je svaki konvergentan niz? (Nuµzan uvjet.) Navedi primjer niza koji pokazujeda to nije i dovoljan uvjet!Kakvi nizovi sigurno konvergiraju? (Dovoljan uvjet.) Navedi primjere koji to ilustri-raju!

60. Kakav je niz zadan opcim µclanom an =

1 + 1

n

ns obzirom na monotonost i ome†enost?

Da li je konvergentan? Ako postoji - koliki mu je limes?µCemu je jednak

limn!1

n

p a ; za a > 0 ?

Kako se to pokaµze? Objasni detaljno postupak!

61. Koja su svojstva limesa nizova (Teorem 7.15)? Kako glasi Teorem o uklještenju zanizove ("sendviµc")?

limn!1

p n p

n 2

sin n! =?

7

Documents

Mat1_2parc-podsjetnik_11-12