TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios

Ttulo Actividad:Aplicaciones de Progresin Geomtrica

Nombre Asignatura:AlgebraSiglaMAT200

Semana N:14Actividad N12LugarSala de clases

APRENDIZAJES ESPERADOS:

Aprendizaje 1Resolver problemas de fenmenos modelados con progresiones geomtricas en contextos de educacin superior, cotidianos o simulaciones de situaciones laborales.

PROGRESIN GEOMTRICARECUERDA:a) El primer trmino de la progresin es a1.b) La razn R, se puede obtener de la siguiente manera:, o , o , etc.c) El trmino de lugar n es:

d) La suma de los primeros trminos es: ; .EJEMPLO 1Cuenta la leyenda que el rey Shirham, rey de la India, estaba muy deprimido por haber perdido a su hijo en una batalla. Un sabio de su corte llamado Sissa Ben Dahir le llev el juego del ajedrez para animarlo y le ense a jugar. El rey Shirham, qued tan impresionado con el juego que se ofreci a regarle a su inventor lo que pidiera como recompensa. As, el inventor para darle una leccin de humildad, le pidi lo siguiente: un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta... y as sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad anterior hasta llegar a la ltima.a) Determine la cantidad de granos que se debieran colocar en la casilla 10.b) Cul ser la cantidad total de granos que debi recibir el sabio Sissa Ben Dahir?DESARROLLO

El primer trmino de la progresin a1, corresponde a la cantidad de granos de trigo que se deben colocar en la casilla 1 del ajedrez, y la razn R, corresponde al valor por la cual se debe ir multiplicando la cantidad de granos de trigo de la casilla anterior.

a1 = 1 R = 2

a) Determinar la cantidad de granos de trigo que se deben colocar en la casilla 10, corresponde a calcular el dcimo trmino de la progresin (a10).

Respuesta: En la casilla 10 del tablero de ajedrez, se deben colocar 512 granos de trigo.b) Determinar la cantidad total de granos que debi recibir el sabio, corresponde a calcular la suma de todos los trminos de la progresin, es decir la suma de los primeros 64 trminos de la progresin (S64), ya que el tablero de Ajedrez tiene 64 casillas.

Respuesta: El sabio debi recibir un total de granos de trigo.Ejemplo 2

En un laboratorio de inmunologa se tiene un cultivo de clulas, donde la poblacin inicial es de 2 clulas. Este cultivo se comporta de tal manera que la poblacin se triplica cada hora. Determine:

a) Cul ser la poblacin de clulas al cabo de 4 horas?

b) Cul ser la poblacin de clulas al cabo de 2 das?

DESARROLLOEl primer trmino de la progresin a1, corresponde a la poblacin inicial de clulas del cultivo, y la razn R, corresponde al valor por la cual se debe ir multiplicando la cantidad de clulas de la hora anterior.

a1 = 2 R = 3a) Determinar la poblacin de clulas al cabo de 4 horas, corresponde a calcular el quinto trmino de la progresin, ya que el segundo trmino corresponde a la poblacin de clulas al cabo de una hora.

Respuesta: Al cabo de 4 horas la poblacin de clulas ser de 162.

b) Determinar la poblacin de clulas al cabo de 2 das (48 horas), corresponde a calcular el trmino de posicin 49 de la progresin.

Respuesta: Al cabo de 2 das la poblacin de clulas ser de .I. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.1. La tasa de crecimiento de una poblacin es del 2% (2:100 = 0,02) anual. Si la poblacin actual es de 600.000 habitantes, determine: si aumenta un 0,2 entonces la poblacin el ao siguiente es del 1,02 (102:100)a) Cuntos habitantes aprox. tendr dentro de doce aos?b) Cuntos habitantes aprox. tendr dentro de veinte aos?

A0 = 600.000 r= 1,02 a1 =612000A) A12 = a1*r11 = 612000*1,0211 = 760945,0767R: a los 12 aos hay 760945 habitantes aproximadamente

b) a20= a1*r19 = 612000*1,0219 = 891568,4376

R: a los 20 aos hay 891568 habitantes aproximadamente2. Diego, decide ahorrar dinero durante un ao y medio. Si el primer mes ahorra $1.000, el segundo mes $2.000, el tercer mes $4.000, determine:a) Cunto dinero ahorra el dcimo mes?b) Cul es el ahorro total que tendr Diego?A1 = 1000 r = 2

a)a10 = a1*r9 = 1000*29 = 512000 R: el dcimo mes Diego lleva ahorrado $512.000b) s18 = 1000* (218-1) = 262.143.000 (2-1)

3. Vctor trabaja en una empresa elctrica durante ocho horas diarias. Su trabajo consiste en solucionar problemas elctricos de diferentes hogares chilenos. Si en la primera hora de trabajo se registraron 4 solicitudes, y las solicitudes registradas durante un da se cuadruplican cada hora, determine:a) Cuntas solicitudes se registran en la quinta hora de jornada laboral?b) Cuntas solicitudes registr Vctor en su da de trabajo?

A1 = 4 R= 4A) A5 = 4*44 = 1024 R: A la quinta hora ha realizado 1024 llamadas

B) S8 = 4* (48-1) = 87380 (4-1)

II. RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE PROGRESIN GEOMTRICA.4. Una poblacin de moscas, aumenta cada da a una razn constante. Se sabe que el sptimo da la poblacin es de 3.200 moscas y el dcimo da 25.600 moscas. Determine la poblacin de moscas al cuarto da.

A7 = 3200 a10 = 25600

5. La altura de un rbol de rpido crecimiento aumenta cada ao a una razn constante. Si en el segundo ao tiene una altura de 1,125 metros y el quinto ao mide exactamente 3,796875 metros. Cuntos metros de altura aproximadamente, tendr el rbol al noveno ao? (aproxime el resultado).

6. Hctor, padre de Matas, decidi ahorrar dinero desde el primer cumpleaos de su hijo. Si el primer ao ahorr $100, el segundo ao $210, el tercer ao $441 y as durante los dems cumpleaos. Cunto dinero en total tendr guardado Hctor al otro da del cumpleaos nmero 18 de Matas? ( Aproxime su resultado a un nmero entero)ANEXO DE EJERCICIOSGUIA N12

APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA

Con los siguientes ejercicios de aplicaciones de la progresin geomtrica, podrs seguir practicando, para abordar los Aprendizajes Esperados de la Gua, relacionados al clculo de trminos de una progresin o sumas de una progresin geomtrica en ejercicios aplicados.

III. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.7. En un estudio realizado a una empresa, se observ que debido a un gran virus, el primer da se infectaron cuatro computadores, el segundo da seis computadores, el tercer da nueve computadores. Si el virus se sigue propagando de igual forma, determine:a) Cul es la cantidad aproximada de computadores infectados el vigsimo da?b) Cul es aproximadamente el total de computadores infectados los 20 primeros das?8. Tamara deposita $1.500.000 en una cuenta de ahorro en el Banco Vida Segura, a una tasa de inters del 1,2% mensual. Determine:a) Al cabo de dos aos, cul es el monto aproximado que se acumul?b) Al cabo de tres aos, cul es el monto aproximado que se acumul?9. Joaqun compr en una automotora un auto cero kilmetro marca Toyota Yaris a un precio de $6.500.000. Sabiendo que al final de cada ao de uso, sufrir una depreciacin del 10% del valor que tena al principio de ese ao, determine:a) Cul ser el valor del auto al cabo de 3 aos?

b) Cul ser el valor del auto al cabo de 5 aos?IV. RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE PROGRESIN GEOMTRICA.10. Una empresa constructora tom la decisin de comprar una nueva mquina excavadora. Se calcula que al final de cada ao sufrir una depreciacin porcentual con respecto al valor del principio del ao. Si el valor de la mquina, al cabo de 4 aos es de $52.488.000 y al cabo de 7 aos es de $38.263.752. Determine el valor de la excavadora al final de 12 aos. (Aproxime su resultado a un nmero entero).11. Para construir un complejo turstico, una empresa compra un terreno de 100 hectreas, las que se pagarn en 15 abonos bajo una progresin geomtrica. Se sabe que el dcimo primer abono es de $6.246.400 y el dcimo cuarto abono es de $49.971.200. Determine el valor del terreno.12. Una empresa de publicidad ofrece para un puesto de trabajo un salario inicial, y un aumento anual en un porcentaje constante. Javier se presenta a la entrevista y el encargado del departamento de recursos humanos le explica que en el segundo ao de trabajo su sueldo ser de $463.050 y que en el cuarto ao de trabajo ser de $510.512,625. Determine el salario aproximado que Javier recibira en el dcimo ao de trabajo en la empresa.LISTA DE COTEJO GUA N12: APLICACIONES DE LA PROGRESIN GEOMTRICA

A Continuacin se te presenta una lista de actividades que debes llevar a cabo, para poder completar todos pasos del desarrollo de un ejercicio.

Esta lista, te permitir revisar si lo que ests generando como desarrollo tiene todos pasos que sern considerados en la evaluacin:

Calcula el n-simo trmino de una Progresin Geomtrica:

Identifica de la PG los valores asociados a a1 y R

Reemplaza en la frmula del n-simo trmino los datos de la PG

Obtiene el valor del n-simo trmino

Interpreta el valor del n-simo trmino de la progresin geomtrica

Redacta una respuesta escrita, que permite identificar a que corresponde el valor obtenido de la PG

Calcula el lugar de una Progresin Geomtrica dado el trmino:

Identifica del enunciado los datos relevantes

Reemplaza en la frmula del trmino de la progresin geomtrica los datos obtenidos del enunciado

Despeja la potencia que contiene a la incgnita

Resuelve la ecuacin logartmica

Obtiene el valor de n

Interpreta el valor de n de la progresin geomtrica en el contexto del problema dado.

Calcula la suma de los n-simos primeros trminos de una Progresin Geomtrica:

Identifica los datos necesarios a1 y R del enunciado

Identifica el valor de n

Reemplaza los valores en la frmula de la suma de los n primeros trminos de la progresin geomtrica

Interpreta el valor de la suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica

Redacta una respuesta escrita

Calcula un trmino de una PG, teniendo informacin de otros trminos de la misma progresin:

Identifica informacin en el enunciado de la progresin geomtrica

Reemplaza los datos obtenidos en sus respectivas formulas de la progresin geomtrica

Despeja de ambas expresiones el trmino a1

Iguala las expresiones despejadas

Calcula el valor de r

Identifica el primer trmino y la razn de la progresin geomtrica

Calcula el valor numrico del trmino pedido

Interpreta el valor del trmino de la progresin geomtrica en el contexto del ejercicio en el contexto del problema dado.

Redacta una respuesta verbal, que permita interpretar el valor de la progresin geomtrica en el contexto del ejercicio

SOLUCIONES1. a) Dentro de doce aos tendr 760.945 habitantes.b) Dentro de 20 aos tendr 891.568 habitantes.

2. a) El dcimo mes ahorra $512.000.b) El ahorro total de Diego ser de $262.143.000.3. a) Vctor en la quinta hora recibe 1.024 solicitudes.

b) Vctor recibe en el da 87.380 solicitudes.

4. La poblacin de moscas al cuarto da ser de 400 moscas.

5. Al noveno ao el rbol tendr una altura aproximada de 19,22 metros.

6. En 18 aos tendr ahorrado aproximadamente $57.352.708.7. a) El vigsimo da se infectaron aproximadamente 8.867 computadores. b) En los veinte das habr aproximadamente 26.594 computadores infectados.

8. a) Al cabo de dos aos se acumul aproximadamente $1.997.209.

b) Al cabo de tres aos se acumul aproximadamente $2.304.569.

9. a) Al cabo de 3 aos el valor del auto ser $4.738.500.b) Al cabo de 5 aos el valor del auto ser $3.838.185.

10. Al final del ao 12 la excavadora tendr un valor de $22.594.363.11. El valor del terreno es de $199.878.700.12. Al llevar 10 aos en la empresa, recibir el dcimo ao de trabajo un sueldo de $684.136.Agosto 2014 / Programa de Matemtica.1O

Agosto 2014 / Programa de Matemtica.6

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