319

mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2
Page 2: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2
Page 3: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�������

Page 4: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � �

�������

��������

���� ��� ����������

��������������� ��������������� ������������������� ����������� ���� �����

���������������������� ������� �������������������������������� �����������

�������������������������� ����������������������������������������������� ���

���� ��

� ������������������������������ �������� ���������������� �����������!

� ��������"����������� ���������� ���������������������#�$�%��%�$�#�� ���

&�� ��� � ����'���� �� ��������� ��� �� �������������� ��� ���������� &� �(�� ��������

������ ��������� ���������������"� ��������������� ����������� ����������� �

��������������������������"��������� ���������� ������ ������

���������

)������������������������� ��

������� ��������������� �������� ��������������������������

������×���→����*����� �������������∈���������� �����������������������'��

��������������������������

+�� ����������������������,���� ������� ������������������,����������-��$��.�

∪��∩�������� ����� ������"� ������������������������"� ���� ���� ��� ���������� �����-����

�� ����� �����.��

����������������� �� �������������������������������������������

�� /���������������������� ������������������������ ���������������� ���� �

��-�����������→��������

�� &���������������� ������������������������ ���������������� ���� � ���.��

��������→���.����

�� /������������������������ ��������

�����������→������

�� 0��������������������������������������� �����→� �∪���

�� ���������������������������������������������������� ���������������"����

�������→�������

Page 5: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� /����������"����������������

)����∈��1������ ��2�����∈����� ������������������ ������ ��"�������������������

������� �������������������������������������������������������

34�����5��6�7��8�����37��6�8!�$39�����%��6�#�

2���������������������∈�������������≡������������ ���:����'��� ����������;�

������������������6�7��������������������������� ����"�������������

2��������∈�����������

� ������������������������ � �������⊕�

��⊕������������������

� ���������������������������� � ������� �

��� ������������������

������� �������������������������������������������������������

+�� ���6�8�����

<�⊕�8�6�34�����8��6�#! �$5�⊕�%�6��$#������8��6�4

%�� �<�6�47�����8��6�4! �9�� ��$%��6��$3%������8��6�9

�������������� ����������)������������� ������������������ ���� ������ ���������� �(�� �,���

=�� ���� � ���������� � ��'���� ��� ���������� ������ �� ����������������� ���� ��

&����� �������������������������������"� �(�� �,��������������� �������

2�����6�>�3���

#��?���

@� ��� ��'����������������������� ���� � ���������� � ��

������ ��������

��������������� ���������������������������

� �3

�#

? ��

? �

�3

�3����

3�3����

#? �

3����

�? �

3����

�#

�#����

3�#����

#? �

#����

�? �

#����

���

? ? ? ������

�? ?

��

�����

3�����

#? �

����

�? �

����

/�� � �,���������� ������������������������������

������� �������������������������������������������������������

&�������������������������������������>3��$3�����$�@���� ������� ������� �,���

��. 3 $3 � ��

��3 3 $3 � ��

��� � �� $3 3

$� �� � 3 $3

Page 6: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � �

���� ���

�� &�� ��������������������� ����'������������������������������������ ����'����

�����������:���� ����� �� � ������� �;���+��� ����9��5���(��� �������������

������������������� ����

�� +����������������� ���������������������������� ����'����������������+��� ��

� 1v��� 2v����������������������������������� ��A

���� �������������������������������������������� ����������

�������������������������"����������������������*������ ����'�����������������

������,��������������

2�����������������������B����� 2 �$�3�� 2 �-�3��6�#�$�3�6�3�∉���B���

/��� ���,����������������������� ������

���������

)������������������������������ �������� �� ��'������������������ ��� ��

�,�������������������

�,�������� �������� ������������������� ��������������������������

����� ��������

���������∈� �������������∈� �

&����� ������� ������������������ ����,�������� ����������������� �×� �→� �

�������→�������������� ����'�����������������!"#������������ ������'�����

������� �������������������������������������������������������

�� �,������������ ����� ��� �,����������������"������� �����������"���������

���������������

�� �,����������B������� ����� ��� �,�����������"������� �����������"���������

���������������

�� �,��������$�6�>��∈���C���6�3@��� ����� ��� �,����������������"������� �

"��������������������������

&� �(����������� ���3���

#�∈�$

��������

3�.��

#�

�6� 1nz �.� 2

nz �6�3�.�3�6�3�������3�.��

#�∈�$

�� D���������6��#��∞���� ����� ��� �,�����������"������� ����'������������6�2

4

xy

x y

−+ −

&� �(�����������������∈��#��∞���� ���������$�4�E�7��������������������

&�������2

4

xy

x y

−+ −

�E�#�⇔����$�#�E�#��-�#��$�<�⇔����$�#��$�#��-�8�E�7�⇔

⇔����$�#����$�#��-�#�E�7������������∈���

Page 7: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ��������������������� ����������

�������� ��

F���'�������������������������������� ���������� �����

������������∈��������������������6������������

������� �������������������������������������������������������

�� /����������"����������� ���'�������������������� ������������������

�� /����������"����������� ��������� ���'�������������������� ��������������������

�� =�'����������� ������$∞��3�������������6�2

3

xy

x y

−− −

��� ������� ����

&� �(��������������������6�2

3

xy

x y

−− −

�����6�

22

32

33

xyz

x yxy

zx y

−− ⋅− −−− −

− −

�6

6�2 2 2 6

3 3 3 7

xyz x y z

xy yz zx x y z

− − − ++ + − − − +

!

������������6�����2

3

yz

y z

−− −

�6�

22

32

33

yzx

y zyz

xy z

−− ⋅− −

−− −− −

�6�2 2 2 6

3 3 3 7

xyz x y z

xy yz zx x y z

− − − ++ + − − − +

!

������������6�����������������������������������∈���

�� +������������ ������������ ������� ����� ����������,������������������

�#�$�9��$�3�≠�#�$��9�$�3�

���� ���

�� 2�������'������������������� ������� ������ ������������������"�����'��

���������������������������

�� +������ � ����������� ��� � ����� ������� ������������������� ������������� �������

2���������������3���

#���

9���

4�∈������������ ������'����������������������������

� ����3�����

#����

9����

4��6���

3����

#����

9�����

4�6���

3����

#������

9����

4��

�+���� �������� ������������������������� ��,����������� �����������

�� +������ � ����������� ��� � ����� ������ ���������������������������� ��� �,���������

Page 8: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�������� ��

F���'��������������������������������� ��������� �����

���������∈��������������6�������

������� �������������������������������������������������������

�� /����������"����������� ���'����������������� � ������������������

�� +������������������������� ���� � ���������"������������� ���� � ����

�� +�������������������������������� ���������������"����������������������

�� ������ � ����

���� ���

�� +������ � �������� � ��� � ����� ������ ���������������������������� ��� �,���������

�� +�� �� ��'����������������������� ������������ ���� ����� � ��� � ������ �� ��

������ ����� �,�����'�����,������������ ���� �,����"������� ��:���'���������������;�

�������

� � � � 1 � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

=�'������� ���� � �����������'������� ������ � ����

�������� ��

F���'����������������������������������������������������

�∃����∈���������∈���������������������

&����� ���������� ����∈���������� ��������!���!�%!������'���

������� �������������������������������������������������������

�� /������������������� ��� ��������7�������������� ��������������������������

�� &��������������������� ��� ��������3�������������� ��������������������������

�� ������������������������������� ��� ��������3������→����3

�����6������

�������������

�� +�������������������,���������� ������������������'����������������Δ� �Δ���6�� �&����∪����B� ����������������� ������*����� ���� ���� �������������

�∅ Δ ��� �� �Δ ∅�6� ��

Page 9: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ���

�� 2�������'��������������������������� ��� ������ ���� ������&� �(�������

�����3�����

#����������������� ���� ����� ��

'��3����

#�6��

#���

3������� ��� ��

'��3����

#�6��

3���

#������� ��� ��

2��������3�6��

#�

�� *��� ��������������������� ��� ������ ��'������������� �

'���∈����� �������� ��� ������ ��'�����������������������∈��

'��′�∈����� �������� ��� ������ ��'�����������′������������∈��

2�������'�������� ������ ��'������������� ���� ������������� ��'�����G� ������A��

�� *����� ���� ������� ������ ���������������������������� ��� �,���������

�������

+�� ����∈��7��∞����������������������6�

, 0

0, 0

ax x

x

>⎧⎨ ≤⎩

������������(��>���C���∈��7��∞�@�

(��� ����� ��� �,�������������������"������� ��������������������������������3�

������� ���� �������������������

&� �(���������������

�������6��

���������6�{ , 0

0, 0abx x

x>≤ �

2���������

��6��

��.���∈�(�

����������������������������� ��� �����(���� ����� �3��

�������������������∈��7��∞��������∈�(��� ����"�� ��

�����

��6��

�����

��6��

������ ������

��∈��7��∞���������� ������ �������

��6��

��⇔��

�����

��⇔��������

2�������� �����'��� � ������������ ���������∈��7��∞���������������3�

F,����������3����

��6��

���������∈��7��∞�!����������

3��� �������� ���� ����

������������������������(����3����6

, 0

0, 0

x x

x

>⎧⎨ ≤⎩

�� 2�����'���������������������������� ��� ��������� ��� ����� ��� �,����������

"������� ����'����� ����"�� ���∈� ��� ������� �������� ��� �������� ����'��

��������� ��+�������������� ��������,���������� �������������������������� �

�� ���"����������� ��

�������

D������� �6�

2 1

2(1 ) 2 1

x xx

x x

⎧ ⎫− −⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� ���� ��� �,���������������

#����"�������

�"����������� �������

F,������� �� )#�∈� � ��� 6� 3��� ���� )

#� �� �� ������ �� �� �� ��� "��������� ��

�������� �

Page 10: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�������� ��

)����������������������������'���������������������������������� ���� ����

*����� ����∈����� ����� �������������"������� ����'������������� ���′�∈��

�� ����"��

�����′�6��′�����6���&����� �����′�������� �����������������"������� ����'�����

������� �������������������������������������������������������

�� F���������������� ������ ����,���"������� ����������

�� H�� �������������������������� ����� ����,����"������� ��"���������

�� &������� ������������������������������������������������������������ �

���� ����,���� ���� ��� ����� ���� �� �� ,�G� ����� ���� ���� ���� ������ �� �(�

�� � ���$3��������������������

�� D� �������� �� ������� ����,����"������� ��"�������������������� ��� �����

�����'�������������� ������� ��������

�� ���� ������ �������(���� � �$3������������ �������

���� ���

�� *����� ���� ���������������'���� ������ ����,������������������������� ���

�� ����������,������������� ���� ������� ������������� ���������� ������ ����

���������

�������

+����������>�������@�������������'����������������� ���������� ������ �,���

1 � � �

� � � �

� � � �

� � � �

*����� ���� ���� ���!������������������6�����������

0��� �������� ������ ����,����������������� ������������

&����������������������� ��������� ������������� ��� ������������������� �

���� ���������� �����

���� � ������ �,����� ���������� �� �,���������'��������� ��������������A��

Page 11: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������ ��

2������� ����'���������������������������������� �������������� ��� ��

������∈����� ������ ����,����� ������� ��������� �����

���������� )����������� ���� ��

+������������������������ ����� 1a′ ���� 2a′ �/ ������� 1a′ �6 1a′ ����������3� ���� 2a′ �6� 2a′ ����������#�)������������� ��� � �����'���������������������

1a′ �6� 1a′ �����6� 1a′ �������� 2a′ ��6�� 1a′ �������� 2a′ �6����� 2a′ �6 2a′ �2������� 1a′ �6� 2a′ �

&�� ��'� ��� � ���� ����,��� � ��� ���� ������ �� ����� � ���� ������� ���� �� �� ��

��� ������ �������

������ ��

+�������������������������'������������������������ �������������� �

�� �����/ ���

�� 2������� ������ ����,����� ������� ��������′��� ������������������ ����,��

������������ ��������

,� 2��������∈����� ����� ����,������ ����������� ������ ����,���

&��������������′�6��′����′�

���������� �� 2����′������������′�6�������� �����′��� ������ ����,���

,� I��������������������′����′������������6��′�����′�������������′���������6�′�����6����/����'��,������������������′����′��6���2����������� ������ ����,��������������� ����′����′���� ���

���� ���

�� &���� ������� ����� �������� ������������� �������� ������$3������"���� ����

��� ���� ��� �� ����� $��� &�� ��� �� ����� ������� ������ ��� ��� ,�� ���� �������#� �

��� ������� ����������

�� ��$3�$3�6��!�$�$���6��!

,� ���.���$3�6��

$3�.��

$3!�$��������6��$���-��$��

�� +������ � ���,������ ������������ ���������������������� ����������� ��

2����3���

#��?���

�∈����� ����� ����,������ ����

3����

#���?����

��� ������ ����,��

�����3����

#���?����

�′�6� nx′ �� 1nx −′ ���?��� 1x′ �

�2����� �������������������

Page 12: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

������������� �����

�� )�����6��$∞��3���������������������→��������������6�2

3

xy

x y

−+ −

�����������∈���

�� 2����� ����������� ����'��������������������

,� 2��������2 2 2 6

3 3 3 7

xyz x y z

xy yz zx x y z

− − − ++ + − − − +

�J�3��������������∈��$∞��3��

���!��

�� 2����� ���������������∈����� ���������∈���

/�����������$�9�J�3�-�3�$�9�6�$3������������� ��������$�9�J�7�

/ ���������J�3�⇔����$�#�E�������$�9�⇔������������-�3�E�7�⇔����$�3����$�3��E�7�

I� �������'��� � ���� ��������� ������������$�3�J�7����$�3�J�7�

,� 2�����������∈��$∞��3���� ��������������������������������������������

����������������� ���������$∞��3���D��������������,��������

������������6�2

3

xy

x y

−+ −

�����6�

22

32

33

xyz

x yxy

zx y

− ⋅ −+ −

− + −+ −

�6�2 2 2 6

3 3 3 7

xyz x y z

xy yz zx x y z

− − − ++ + − − − +

�� +�������������������������������������'������������������ ������

������6�#���$�9��$�9��-���

�� 2� �����������∈����� ����"�� �����������6���B�3

2⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

����������� ��� �,����������

"������� ����'�����

,� +�� ����6�8�������� ���������'����� ������� ������� � ��������������� ��� �

��� �� �������� ����������� ����� ����,����

���!��

�� K �������� ����������'��������������������∈������������������∈���

������∈���⇔�������≠� 3

2�⇔�#���$�9��$�9��-���≠� 3

2�⇔�4���$�8��$�8��-�#��$�9�≠�7�⇔

⇔��#��$�9��#��$�9��-�#��$�3#�≠�7�����������≠� 32��0��� ��#��$�3#�6�7���������6�8�

,� =�'������������������ ������� ����������������6��������������������������∈���

L���������'��� � ������������,������,����������

������������6��#���$�9��$�9��-�8������6�#�#���$�9��$�9��-�8��.���$

$�9�#���$�9��$�9��-�8��$�9��-�8�6�4����$�8���$�8���$�8���-�M����M����M��$�3#�

������������6������#���$�9��$�9��-�8��6�#��#���$�9��$�9��-�8��$�9��$

$�9�#���$�9��$�9��-�8��-�8�6�4����$�8���$�8���$�8���-�M��-�M��-�M��$�3#�

�����������,����� ��'�����������'����� ������� ����

Page 13: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

+�� ���� � ��� � �������� ������������6�����������������∈���

&� �(��������������6�#���$�9��$�9��-�8�6�#���$�9��$�9��-�8

�*����������������� ����'����� ������ ����"������� ���������&����� ������������

���������������� ������ ���������(��,��� ����������� ����������������������������

�������������"�������������

2����� �������� ����������� ����� �������������� ���������� ����∈��

�� ����"�� �����������������������������������∈����3�

����������⇔�#���$�9��$�9��-�8�6���⇔���#��$�9��6�#�#��$�9��

I� �����'��� � ������������������� ���������∈��������������6�#�

F,���������#�∈������������������ � ��� � �����'��������������������������

����� ���'��� � �������3���#���������

2����� ����������������� ���∈����� ������ ����,���

H��,��������������������� ���′�∈����� ����"�� ������′�6��′�����6�#�����′�6�#�⇔�#��′�$�9��$�9�′�-�8�6�#�⇔��′�#��$�9��6�9��$�4�

2���������≠� 3

2������ �����′�6� 3 4

2 3x

x

−−

��/����3 42 3x

x

−−

�≠� 3

2��������������′�∈���

L�����������′�����6�#�

�� +���� �������N#��4O���������������������������→�������6����$�9��$�9��-�3#�

�� ��������� �������������������� ������'������������������N#��4O�

,� ��������� ������'������������� ��� ��

� �������� ������������� �������� ����,����

���!��

���)��������∈�N#��4O!�������∈�N#��4O�⇔�#�≤�������≤�4�⇔�#�≤����$�9��$�9��-�3#�≤�4�⇔⇔�#�≤����$�9����$�9��-�9�≤�4�⇔�$3�≤����$�9����$�9��≤�3 �3�

&����#�≤���≤�4�⇔�$3�≤���$�≤�3�⇔�C��$�9C�≤�3 �#�

=���������∈��#��4��⇔�C��$�9C�≤�3 �9�

+����"��������������#������9������ ���3��

,� �� �����∈�N#��4O���"���������������������������∈�N#��4O

����������⇒����$�9��$�9��-�3#�6���⇔�����$�9��6�4���$�9� �4�

I� �����'��� � ������������ ���������∈�N#��4O������ ������6�4�

F,���������4�∈�N#��4O����4����������������∈�N#��4O�

� /������������������ ����∈�N#��4O��� ����� ����,�������������� ���′�∈�N#��4O��� ����"��

�����′�6��′�����6�4��0������������′�6�4�⇔���′�$�9��$�9�′�-�3#�6�4�⇔��′���$�9��6�9��$�<�

+�� ����≠�9��,�������′�6� 3 8

3

x

x

−−

��&�����′�∈�N#��4O�⇔�#�≤� 3 8

3

x

x

−−

�≤�4�⇔

⇔�#�≤� 3 9 1

3

x

x

− +−

�≤�4�⇔�#�≤�9�-� 1

3x −�≤�4�⇔�$3�≤� 1

3x −�≤�3�⇔�

1

| 3 |x −�≤�3�⇔

⇔�C���$�9C�≥�3�⇔����$�9�≥�3������$�9�≤�$3��⇔����≥�4������≤�#��⇔���∈�>#��4@�

2�������#���#�6�4������ ����#��� ������ ����,���

���'����������� ������ ����,������ �#����4�

Page 14: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�� )����6�>3��#��9��4��%@����ϕ��������������������������������

2������������������→������� �,��� � 3 # 9 4 %

� # 9 4 % 9

P� ���� �6�>��#����

9����

4@��������

��� �����������������"��������������

�� ��������� ���� ��� ����� ��� �,������������������"������� ��ϕ�,� ������� ������������� ����������������ϕ1������ϕ1��� ��������������������ϕ���� � ���!��

�� +������������,�������� � ��� ϕ1 ��#

��9

��4

������� ��"�� �,������� �� ����#

��4

��#

��9

��9

��#

��9

��4

��4

��9

��4

��#

,� 2���������'���ϕ��� ������ ���������������� ���������'����������ϕ1��� ������� ����2������� ���� �,������������ϕ1��� ���� � �����"�� ������ϕ����� ���� � �����

*����� ���� �������'���ϕ1��� ����9���������������9��� �������� ����3

�������� �

�� �������'���ϕ��H�� �������� ������� ��� ����� ����,����"������� ��ϕ1����

9�′�6���9!����#�′�6���4!����4�′�6���#���������� �,��A�

0��������������������� ����� ����� ������ ����,���"������� ��ϕ����� ������������

�#���

�9���

�4����� ���G� ����

�/ ������������� ���� ����� ���ϕ� "�������� ��3������ ���� ����,��� � ����� �

������� ��"������������ ��

�� +����������N$3��3O�������������������

�������→�������6����$�2 2 2 2 1x y x y− − + �����������∈�N$3��3O�

�� /�� ���������������������� ������'������������������N$3��3O�

,� 2����� ���������'������� ������� ����������������� ��� ��

� ������� ������� �������� ����,���Q

���!��

�� )��������∈�N$3��3O!�������∈�N$3��3O�⇔�$3�≤����$� 2 2 2 2 1x y x y− − + �≤�3�⇔

⇔� ( 2 2 2 2 1x y x y− − + �≤����-�3�������$�3�≤� )2 2 2 2 1x y x y− − + �

L����������������������'��� �������� �������� ��

,� �������������������$1

2��

1

2����7�

1 1

2 2⎛ ⎞− ∗⎜ ⎟⎝ ⎠

���7�6��$3����7�6�7��$1

2���

10

2⎛ ⎞∗⎜ ⎟⎝ ⎠

�6�$1

2���

3

2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�6�$3

2�

0��� ������'������� ������� �����2�������3�6�3����������������∈�N$3��3O������

��3��� �������� ��� ��

Page 15: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� )�����∈�N$3��3O�������′�6�3�⇔���′�$� 2 2 2 2( ) ( ) 1x x x x′ ′⋅ − − + �6�3�⇔

⇔���′�$�3�6� 2 2 2 2( ) ( ) 1x x x x′ ′⋅ − − + �3��

2���������′�$�3�≤�7��'��� � ����3���� ��� ������ �����′�$�3�6�7���2 2 2 2( ) ( ) 1x x x x′ ′⋅ − − + �6�7��

��′�$�3�6�7�⇔���′�6�3�⇔����6�3�����′�6�3��������6�$3�����′�6�$3��+��� �����3��3������$3��$3�����������'��� � ����3���0��� ����3����$3��� ����'����

������ ������ ����,����

�� )����6�

0 0,a b

a b

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� ����������� ����������������"������������ ������������

������ ��� ���������� ����������������������� � ����������� ���� ������� ��'��

���!��

F,���������"����������� ��������� ����� ��� �,����������������

0 0 0 0 0 00

Ab c d bc bd

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�����������������∈���

)���

1 2

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������� ��� ���������� ��

/ ���

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�.�

1 2

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�6�

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����������∈���

2���

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�6�

1 2

0 0

be be

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�������1

2

be a

be b

=⎧⎨ =⎩

�����������∈����������,�����

������� ���� ������������∈���

2���

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′′⎝ ⎠

��� ���� ������ ��'�������

0 0

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′′⎝ ⎠

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�6�

0 0

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����������∈��

⇔�

e a a

e b b

′′ =⎧⎨ ′′ =⎩

���������∈���⇔��′′�6�3�

/������ �� ���� ������

0 0

1e

⎛ ⎞⎜ ⎟′′⎝ ⎠

���′�∈������ ������� ���� ������� ��'���"������������� ��

� ����������2�������'������������������������� ��� ������ ��'������������� ��

� ������������� ��'����

+�������������������'������������������������ ���� ������� ��'�������� ���� ��

������������ ��� ���������� ���� ��'����*������������������� ���� �

Page 16: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

!� �� ����'����������������� ���������� ���������������������� �Q

�� ����� ��������� ��� � ���Q

���!��

F���'������������������������������� ����� ��������� ������� �,������ �����'��

F� �,������ ������#������� ����� ���������� � ���������� ��"��

2nn �������

2����� �

2nn ���'����������������F���'����������������� ���� � �������� �,��

��'����� ������ ���������������'����������������

2����� ��������������'�������������������� � ������ ��

( 1)

2

n n

n+

�3

�#

�9

��� �

�3

R R R R

�3

R R R

R

&� �(���������� ��������� �� �,���������'���� � ���������� ������������

>�3���

#��?���

@��� �������� ��������� ������,� ������������������������ ��"�� �,���

P�������� ������������� ���-���$�3��-�?�-�3�6�( 1)

2

n n +�

I����������������� ������� ����������( 1)

2

n n +���������"��

( 1)

2

n n

n+

���'��������������

�� � ����������� ���������������������������� ��

"� +��������������������������'�������������������������� ������

�� *��� ����∈����� ����"�� ������������������∈��!

,� ������������6��������������������������∈���

2����� ���������'����� ���� � ���������� ����������������� ��� ��

���!��

&������������"��,���,������������������6�������������⇔�������6��1�������������∈�������

��'����� ���� � ����

2��������������������������6���������∈������������� �������� ��� ���+�� �

����� ��� � ���,���������������������6�������������6�������������6�������������

Page 17: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������ ����

�� /���������������� ���������������� ������� ���'���������������������������������� ��

�� )������� ���� �� ��� �� �� ��� �� �� ���� ����� "�� ���������G���� ��'��� ��

�� ������ �������������� �!����� ��������"����������� ����������������

�� ��!����� ��������'���� ���

,� )����������� ��������������� ����������"�������������������

��6�>������→��C������� ����@�

� )����������� �������������G� ����"�������������������

��6�>������→��C�����G� ���@�

�� )����������� �����������������,���������"���������������������

��6�>������→��C���������,���@�

�� �������→�������6������������-�3�����������∈��3��∞�!���6��3��∞�

�� �������→�������6������������-�#�����������∈��3��∞�!���6��3��∞�

�� +����������������������'�����������������������������6�C�C�-�C�C�$�C�CC�C����������∈���

��������

3����$#�!��$9����7!��7���#�����$3�!����������������∈��!������#����9!

���������������������E�7!����������������E�7����J�7����E�7�

�� +������������������������� ����'������������������� �������6��������������!�������������

�#��3�����7��#�!���3��9�����#��3�����7��3�!����������1

,( )

a

b a b b

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

����≠�7��������≠�7�

�� +����������>3��#��9��4@�����������'���������6������������ ����� ��"���������������

�����%������ ����� �,������ �����'�������������#���9����3!��#���9�����9���4��

�� �� )�����6���B�>7��3@�������������������→������6�1, 6 ������� ���� ����

�3����6��!��

#����6�

1

x!��

9����6�3�$��!��

4����6�

11 x−

!��%����6�

1x

x

−!��

8����6�

1x

x −�

/�� ������ �6�>�3���

#���

9���

4���

%���

8@��� ����� ��� �,�������������������"������� �

����������������������� ���� �,���������������������� �

,� )����� ������6�

0 0 1

1 0 0

0 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����������� ����>

�C��∈��1@��� ����� ��� �,�������� ���

���������9����"������� ��"����������� �������

�� /�� ���� �,���������������������������8�6�>7��3��#��9��4��%@������������������������

���"��������������8��/���������������� ���5�6�>7��3��#��9��4��%��8@������������

"���������������5�

Page 18: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

!� �� ��������� ���� �6��$#��∞���� ����� ��� �,�����������"������� ����'���⊥���⊥���6�9���-�8��������-�37�����������∈���

,� 2������������-�#���������������-�4������������-�<�E�7��������������E�$#�

"� /�� ������������6����$�M��������-�M7��� ����'������������������N<��37O�

#� +�������������� ��������'������������������������ �������������6�#���$�������-���

���������∈��������∈����2� ����������������������������������� �������������

1,

2⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ����� ��� �,�����������"������� ����

�$�+����������������� �������'���������6����$����������-�3�-���

/�� ��������B�>�@��� ����� ��� �,�����������"������� ����

������2� ������������������ �,�������� �����������"������� ��"������������������"� ��'��

,��2� ������������������ �,�������� ��"������� �������������������"� ��'��

��2���������������������� �,���������� ��������������������

���/�� ��������� ���������'���� ������ ����

�� ����������������������'��������������� ������

,� ������6�2

3

xy

x y

−− −

����'��������������� ������$∞��3�!

� ������6�������-� 3 ����'��������������� ������� 3 ��6�>����� 3 C������∈��@!

�� �⊥�������-�#�-�#��-�#)9�������� ������

9����

���/�� ��������� ���������'����������������� ��� � ����

�� ������6����$�9��$�9��������� ������!

,� "����������� �������������� �������������

2,

3

x yx y

y x

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� !

� ��⊥���6�� 21 y− �-��21 x− �������� �����N$3��3O!

�� ������6�#�-����$�#��'���$�#�

�������� ������#��∞��

���/�� ��������� ���������'���������� ��� ��

�� ������6����$�%��$�%��-�97�������� ������!

,� ������6�2 2 1x y+ − �������� �����N3��∞�!

� ��⊥���6����-����������$�3�$���������� ������!�� �����������′���′��6����′�$���′����′�-��′���������� �������×���

Page 19: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ������ ���� ����,��� � ��������� �������� ��������������� "�� ����� �� ��'������

���������������� ��

�� ,a b

a bb a

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� ��"����������� ������!��,��N<��37O!�������6����$�M��$�M��-�M7!

� ���������6�3 33 x y+ !�����N7��∞�����⊥���6� | |

2x y x y+ + −

���2�����������������'������������������>7��3��#@�"������#��� �������� ��� ��

�� ���� ���������'������� �������Q

�!�+�������������� ����'������������������������ �������������6�3 33 x y xy+ + �

�����������#����9���4�!��#���9����4������7����∈���

,��*� ����'�������� ���Q�2����� � ���Q

� /�������������� �������� ��� �Q

�"�+����������>�������@�����������'����������������������

�� �������� �,���� ��� �� ��� � �,������ ���� ��'��� �� �

����� ����� �� � ����� ���� ������ � �� �� ��� ����� ���

������ ������ ����,����

�#�+�������������������������������������'����������������������6������������

���������∈���

�� /�� ��������'����� ������� ������� � ����������������� ��� ��

,� 2� ��������������� �������� ����,����

� ���������������������!�������������������

�$�)���(�6�1

,2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠��������������������→�������6�

4 3

4( 1)

xy

x y

++ +

�����������∈�(�

�� ��������� �������� ����'������������������(�

,� ��������� ������'����� ������� ��������� � ����

� /�����'��������� ��� �Q

���+����������������������'�����������������������������6����-�#��-�#��-�3�

����������∈����2����� ���������'������� ������� ������������������� ��� ��

���2����� �����������������������→�������6�3

2 3 3 9

xy

xy x y− − +��� ����'��������������

������������7��9��

���+�������������� ��������'���������6��21 y+ �-��

21 x+ �����������∈���

��������� ������'����� ������� ������� � ��������������� ��� ����� �� ���������

�������� ����� ����,����"������� ����

���+���#�������������� ����'�������������������� ���������6����������������∈��

#����

�� ������������������!������������������6�

0 0

1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������6�

0 1

0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,� /�����'��������� ��� �Q

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Page 20: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

���+������������������,�������������������� ������������������������ �������

�� ���������������������������� �����L���������������� ��������� ������������

���)�����6�2 22 3

, , 4 3 12

x yx y x y

y x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈ − =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� �

�� /�� ���������� ����� ��� �,���������������#����"������� ��"����������� �������

,� 2� ��������������� ���� ����������� �������� ����,��������"��������������

�!�)���(�6�>�������C���∈��1����∈��@������'�������������������6���������������

� ������������� ��������'�����

�"�)����∈��1��������������6�>������C������∈����������6�3@�������� �����������6�3

���������:�������� �������"� ������;�

�� 2������������������∈��������� ���������������-�����∈���

,� /�� ��������'������������������������� ����������������������������6��������������

�� ���� � ������������ ����

� 2� ��������������� ���� ����������� �������� ����,����������'�����

�#�)�����∈��9���� ���� ���� �������,�����2�����������

9���� ��'��� ��� ���������

�����6��.��$3�.������������∈��

9����

�� /�� ��������'����� ������� ����������������� ��� ��

,� 2� ��������������� �������� ����,����

�$������ ����'���������������������� ��� ������� ���������������������������� �Q

,���� ����� �����'������������ ������� ��� � ��������������� ��� �Q

���+���1����������� ����'������������� ������

�� ��������.���������6����.���������.��������������������∈��1!

��� ������6�3��������∈��1!

��������3�6����������∈��1�

�� /�� ������<���4�6�#!�#5���4%�6�3

5�

,� /�� ���������� ��������������"�������������������������1�

���+�������������� ����'�����������������������������6��������������

�������� ������������∈���� ��������$3��∞���� ����� ��� �,�����������"������� ����

������)��� �⊂������ ��� �,����"������� �������������������� ��������8�5�∈� ��� ��

�∈� ����������������∈�����≥�97��,������������,������ ������� � �������������8���

���5��� �������� ���Q�2������9�������%��� �������� ���Q

���)����N�O�6�>������C������∈��@��2����⊂��N�O��� ������� ��� �,����������������"�������

��������������>3��$3�����$�@�⊂��������� �������

�� ������∈������∈�!�,��������∈�������∈�!����6��N�O�

1

1

1

1

1

1

Page 21: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��"� �������

/����� � "�� ��'������ �� �������� ��� ������ �,� ������ ��� ������������ ���� �� �

������ �������������������'������������������� �������������� ������������� ���������

+� ��������� �� ������ ������� � ������������ ��� ��� ��&�����������

����'�����,������� ����� � ��������'�,�����������������������"���� �� ��������

������ ����'������������������������� ������ ��������� ����

L���� ����� � �������'�,�������'����������������

� � �����'�,�������'����� ������ ������� �� ���������"���������� ���������

���� ������������������

���������

F���������������(�"������������'������������������������ �����(����������

��� � ������ ������������'����� ������� ��������������� ��� ����� �� �

������ ��������(��� ����� ����,����

2����"���������'����� ���� � ������ ���'����������� ��������� �����������

*����� ���� �������'����������������������� �������� ���� �����'�����

������� �������������������������������������������������������

�� S�����������������-�������-�������-�������-�����1��.�����1��.�����1��.�����7��∞���.��

/�� ��'������� ��� � ����

�� ���������-���� ��'����� � ���

�S=�����.���� ��'������� � ��������S=����6�>�∈�����T��� ��≠�7@�

���� ���

&���� ��� ������������� � ���������'� ���� � �������'������ �������� ��� � �������������

F������������������"����������'������������������������� ����������

���� ��������������'������������������ ������� ����������������� ��� ��

2�����'����� ������� � ������ ������������������ ��������� �

������� �������������������������������������������������������

�� ����-�������.�������.�������.�������.������.���� ����������� � ����

�� �������.���� ������������� � ��

�� �������������������≥�9��� ������������� � ���

&�������������� ������������������������ �������������� �������� ����,����+ ��

������� '���� �� �� ��� ��� ����� ���������� $� ����� "�� ���� �� �� ������ ���� ��

���� ����,����

Page 22: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

��#� �$%������������� ��������

��#��� ��������������� ���������� ����

� )����∈��1����� �

D�������>����*�C�*�∈��@�not

= x �������� ������������� ������������������

"� ��'���

P������������������� ����������������� ���� �� �������� ���������������������

��� �����������"������������

2���%��� ����� ��"��������������������� �������� �������"�������������� ������

����+���%������+��%�∈����7�≤�%�J��+����������� x �6�>����*�C�*�∈��@�6�>%���+���*�C�*�∈��@�6�>%�����C���∈��@�6� r �

2���� ˆ ˆx y= ⇔���≡����������

&� �� ����"��������������� ���������,������ �7��3��#��?���$�3�������������� ��

������������� �������������� ����������� �� �������� ������

/�� ��������� ������ � ��� 0 ��1 �� 2 ��?���1n − �

P� �����������������6�> 0 ��1 �� 2 ��?��

�1n − @�

������� �������������������������������������������������������

+�� ���6�4��������4�6�> 0 ��1�� 2 �� 3 @�����

0 �6�>7�-�4*�C�*�∈��@�6�>4*�C�*�∈��@

1 �6�>3�-�4*�C�*�∈��@

26�>#�-�4*C�*�∈��@

3 �6�>9�-�4*C�*�∈��@������������������������ ���������4�

��������������������������������������"� ��'�������������� ���������"���������

��

/� �������� ���6�4�������� 0 �"������� 8 !�������1�"����������15− ��� �

� +������������ �� ������������'������������������ �����������������

����������� � ��-����.�

2��������∈����� �����������������

ˆa b+ �6��a b⊕ ���������

ˆa b⋅ �6��a b�

����⊕����� ��� �������������� ���"���������������������������"� ��'��������

����������'�����3�3��

Page 23: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

+�� ���������������� a ���� b ����������������"� ��'��������������������� �

"�������������������-�������

��������� ����� ��� ���������������������

=�����������������"�����������������

������� �������������������������������������������������������

&���8������� 3 �-� 5 6� �3 5⊕ �6� 2 �����������9�-�%������8��6�#

3 �.� 5 6��3 5� �6� 3 �����������9�.�%������8��6�9

���� ���

2����������������� ��� "������������������������� ������ "�������������'��������

�������� �������� ��������� a ���� b ���3�∈� a ���

3�∈� b ������ 1 1

ˆ ˆˆ ˆa b a b+ = + !� 1 1ˆ ˆˆ ˆa b a b⋅ = ⋅ �

H���������� ���������������������� � �����'�,������� ������ �������������

������������������� ���� ������

�������

2����∈��1��� ���

3� ����-���� ��'����� � ������� �'������� �������������������� ����

#� ����.���� ����������� � ���

9� D������������� ������������,���������������������.�����������"������

�"����������������������� ������ � ������'������� ��%!�!���!����������,

������"���%����%�"�!%�����!����

���������� 3� L�������������� ��������� ����

�� /����������������� ������� ���

)��� a ��b �� c �∈����/ ����

ˆa b+ ��-� c �6��a b⊕ �-� c �6��( )a b c⊕ ⊕ �

(1)

=6�

�( )a b c⊕ ⊕ �6� a �⊕�� b �-� c ��6� a �-�� b �-� c ��*'��� � ����3��������������� ��� � �����'���⊕�

,� /������������������������� ���� �� 0 �ˆˆ 0a + �6�

�0a ⊕ �6� a !�ˆ ˆ0 a+ �6�

�0 a⊕ �6� a �������� ��� ���7��� ��������

�� �������'���⊕��

� F���������� � a �� ������ ����,�������� ��������������n a− ��&� �(�������

a �-��n a− �6�

�( )a n a⊕ − �6� 0 !��n a− �-� a �6��( )n a a− ⊕ �6� 0 �

�� /����������������� ���� � ���

&� �(��������ˆa b+ �6�

�a b⊕ �6��b a⊕ �6�

ˆ ˆb a+ �������� ��� ������(

� ��� � �����'���⊕��

Page 24: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

#� L������������ �"�������� ��������� ����������������

�� &����������� ������� ����

�ˆa b⋅ ��.� c �6��a b� �.� c �6��( )a b c� � �6��

�( )a b c� � �6� a �.��b c� �6

6� a .��ˆ ˆb c⋅ ��������� ��� ��������� ��� � �����'���⊗�������

,��&�������6�3����6�> 0 @���������� ���� ���� �� 0� ��2����≥�#�

������ ������1� ��� �������� ��� �����"����������ˆ1 b⋅ �6�

�1 b� �6�b !

ˆ 1b ⋅ �6��1b� �6� b ��3��� �������� ��� �����"����������������������

��&������������������� ���� � ���

ˆa b⋅ �6��a b� �6�

�b a� �6�ˆ ˆb a⋅ �

9� 2����� ������

a �∈����� ������ ����,���"������� ��"�����������������������

���������������6�3���������� �������"� ��������

2����6�3��� �����6�> 0 @������ 0 ��� ������ ����,������������� ���� 0 �

+��������������7��3��6�3��������� ����������� ��������� ��

2����≥�#������

⇒������������� a ∈������� ����,������������ ������������6�3�

2��� a ∈����� ������ ����,����� ������� �� b �∈��

��� ����"��

������ ������ ��ˆ ˆˆ 1a b⋅ = �⇔�

�ab �6�1 �⇔����≡�3��������⇔����$3�≡7��������⇔����$�3�6�+��+�∈���⇔����$�+�6�3�⇔�������6�3�

⇐��*� ����� ���� ����������6�3�⇔����� �������∈����� ����"��

3�6���������/ ��������� �����������

������6�3�⇔�3�6��������⇔����6�3�$���⇔����≡�3��������⇔�ˆˆ ˆ 1a x⋅ = �

2��� �� � ��� � �� ������ ���ˆˆ ˆ 1x a⋅ = �� ���� a � �� �� ���� ����,���

2�����������.���� �����������������

$����6�> a �∈��

�C� a ����� ����,��@��� ��'����� � ���

������� �������������������������������������������������������

����.���� ��'����� � ��!

����.������ ��'������ ��������!

$��4��6�>1 �� 3 @��������� �,���������������� �� ���

% 0 1 2 3

0 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Page 25: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��#������������ ��������� ��� �����������������

)����∈��1��K ������������

�6�3�����������������������

�*�6���

2k

n

π�-�����

2k

n

π��*�∈�>7��3��?���$�3@�

2���$�6�>�

7���

3���

#��?���

$3@������ ���ε�6��� 2

n

π�-�����

2

n

� ��

$�6�>3��ε��ε#��?��ε$3@��������������������D������

������ ��

D�������$����������"������� ��������������"��������������������������

��� � ������'����� � ������� ��%!�!��%#�#�����%�����%��!�������!��#����

���������� &����������� ����'������������������$-

)��������∈�$��� ����

�6�3���

�6�3������

�6��

�.��

�6�3���������∈�$�

�� &����������� ������� �������$������������� ���������

,� 2�������3�∈�$������ ����3��� �������� ���� �����"������������$

� F���������� �����$��� ������ ����,����&� �(��������������∈�$

��� ��

1 1n

nx x

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠�6�3������

1

x�∈�$

��0��� ������6�ε*��� ������ ����,���

���������� ����1x�6�ε�*������*�6�0, 1n − �

�� &����������� ���� � �������$����������� ���� � ���������

��#����������������������� ���� �

0����� ������������%�!��%������%����"�����'�����������,�G� ���

����>3��#��?��@�→�>3��#��?��@���≥�3�D����������� ����������'���������A������� ���������� ����������.

+��.� ������� ��'�� ��� ���������� $� ��������� ���������� ��� �� "�� ��� � ��

������������� �������

�������

D�������.����������"���������������������������������� ��������

� � ������'������� ��%!�!����%�!�#%���%�����%���������%!�!��"����%�����

�%�����

2����≥�9��� ���.��� ��'������� � ���

Page 26: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

���������� �� F��������������������� ������� �����������������������������

�� ���������������� ����

,� )�����6�

1 2 ...

1 2 ...

n

n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��F,�������������σ�6�σ�����6�σ��������������

σ�∈�.�

� F�������� ������ ������ ����,�����������������,�G� ����

0��� �����.������� ��'���

.#�6�

1 2 1 2,

1 2 2 1

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

��� �������� �'����� � ���

+�� ���≥�9���.������� ������ � ���������������� ����� � ����

��������� ��

������� �������������������������������������������������������

σ�6�1 2 3 4

2 3 4 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��τ�6�1 2 3 4

3 1 4 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��σ, τ ∈�.4�

/����σ�.�τ�6�1 2 3 4

4 2 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��τ�.�σ�6�1 2 3 4

4 4 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������σ���τ�≠�τ���σ�

��#�"���������� �������

/���� � ��(/����6�>�∈��

���C��� ��≠�7@��(/

������ ��'���"������� ��"��������

�� �������

���������

������� ��������������������������������(�⊂�(/��������"��������� ������������

�� ��������∈�(��������∈�(

�0 )�∈�(

� �����∈�(������$3�∈�(�

������� �������������������������������������������������������

(�6�>�∈�(/#����C�

�6�$3@������

��� �� ��������������� ��'�������� ����

&� �(������

�� 2�������∈�(��� �������

�6���

�.��

�6��$3�.�

$3�6����

$3��������∈�(�

,�1

2 2tI I −= �6)

#�������)

#�∈�(�

� �$3��

�6���

��

�6��6��$3�$3������

$3�∈�(�

Page 27: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��&� ����� ������������'�������

��������������������������

)����(�������'���������� ���� ���������∈�(�

/ ������������ ������������� �7����� ������������� ����� ����� ����

�7�6�������

�6�

ori

...n

x x x∗ ∗ ∗��

2����∈��1��� ������������ ������������� ���'� ����� ����

��

�6���

�$3������ ���������� ����

H���������� ��������� ����������� ��������� ������

������ ��

)����(�����'�����������∈�(��/ ���

�� �

�����

�6����

���������∈��!

,� ��

��

�6���

���������∈��!

� �

�����

�6���

����

���������∈����� �������������������� ��� ��!

�� 2���������6��������� ����������

�6��

����

������∈���

���������� �� �

�����

�6�

ori

...n

x x x∗ ∗ ∗�� ���

ori

...m

x x x∗ ∗ ∗�� �6�

ori

...n m

x x x+

∗ ∗ ∗�� �6����

�"����������∈���

2�������∈���������������������J�7����≥�7�����J�7����J�7�����≥�71�� J� 7��� 2����� ���� �'��� � ��� "�� ������ ��� ��� ����� ������ �

������ ����(��������'��/�����,�������

3� C�C�E�CC��+ ����������6�$���%������%�E�7!

�����

�����

�6����

�$3����

��%

�6����

�$3�����

����%

��6

6�N���

�$3����

O����%

�6������%

�6��%

�6����

#� C�C�J�CC������������6�$���%������%�∈��!

�����

�����

�6����

�$3����

��%

�6����

�$3����

�����%

�6

6�N���

�$3����

O�����%

�6�������%

�6���%

�6����

,� 2�������∈����� �����

��

�6�

ori

...n n n

m

x x x∗ ∗ ∗�� �6�

ori

...n m

x x x⋅

∗ ∗ ∗�� �6���

2�����J�7�����≥�7��� ����� �������������∈�����������

��

��

�6���

�$��6�N��

��

O$3�6���

�$3�6��

��

�6���$��

�6���

/����'� �� ��������� ����������≥�7���J�7������J�7���J�7���0��� ����������

�����

�6����

!���

����

�6����

Page 28: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�� 2����∈���������������� � ���� �������� ������,�����

�������

�6�

ori

( ) ( ) ... ( )n

x y x y x y∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗��

�6

6�

ori

( ... )n

x x x∗ ∗ ∗��

���

ori

( ... )n

y y y∗ ∗ ∗��

�6��

����

2����J�7���� ������������∈���

�������

�6�N��������

O$3�6�N�

�����

O$3�6�N�

�����

O$3�6���

�$3�����

�$3�6��

����

���� ���

2������������ ���������� ����������!����� ������ ������ ����������� ���������

�������3�����������"����������∈���

����� �������(���������'�������

������ ��

)����(�������'��������������∈�(��/������� ���������'������������������

������6�������⇒������������������������ ��'��

������6�������⇒���������������������������� ��

���������� )����′����� ��������!�����

��6�������6���′����������6��′�����������6��′�����������6���′����������6�������6���/����'���������� ��������'�������������������������� ��

���� ���

�� 0�'����������������� �����,�������"� �(���������!�������������� ������ �

"����%��������/� ������ ���"� ������� �������������������#���������

����� �∈��#����� �6�

1 0

0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����6�

0 0

1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��2�6�

0 0

0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�.���6� �.�2�6�7��������≠�2������������������� ���������� ���������� ����� ������ ����,���

�� &� �(��'��������������������������������������������������������������

&� �(�������������′��� ������ ����������� ��

����������⇔���������������′������⇔������′����/����'�����������⇔����������′

Page 29: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������� �����

�� )�����6�

0 0

0 0 , ,

0 0

a

b a b c

c

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� ����������� ����

������� ����� ��� �,���������������9����"������� ��"����������� ������!

,������.���� ����������� � ����������� ������� �����������,����������������Q

���!��

�� )���3�6�

1

1

1

0 0

0 0

0 0

a

b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��#�6�

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���3#�6�

1 2

1 2

1 2

0 0

0 0

0 0

a a

b b

c c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈���

,��L��������"������������������� �����������������

&����������� ������� ��������������������� ��������9����

F,���������)9�∈���������� ������� � ���� �������� ���� ��

#�.�

3�6�

3�.�

#��"����������� ���� � ���������

D� ������6�

0 0

0 0

0 0

a

b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ������ ����,������������ ��′�6�0 0

0 0

0 0

a

b

c

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎜ ⎟⎜ ⎟′⎝ ⎠

�∈��

�� ����"�� ��.�′�6�)9��0��� ���������� ���������′�6�3!���′�6�3!���′�6�3�

2�����������������′���′���′�∈������� ������������ ������� ������� �������������

>$3��3@�

2���������������������������'������������������������� ���������� � ��"�����

������� ���� �� �� ������� � ����,��� ���� ��� ���'���� ���� ������� +���� �����

��������������<������� ������ ����,�����*�������(��A

�� )���(�6��3��∞�����������6�2 2 2 2 2x y x y− − + �����������∈�(�

�� ��������� �����(������� ��'����,������

,� ������������� *nx ��� ��������������������� �������"� ���� �����������"���(�����

����� ���"����1��.���

���!��

�� ���� ����'������������������(�"� �� ����������E�3�� ���������E�3����������

��� ���,������"���� ������

������6�2 2 2 2 2x y x y− − + �6�

2 2 2 2 1 1x y x y− − − + + �6�2 2( 1)( 1) 1x y− − + �E�3�

L�������������� ������� ���!�������������∈�(�

������������6�2 2( 1)( 1) 1x y− − + �6�

2 2 2( 1)( 1) 1 1 ( 1) 1x y z⎡ ⎤− − + − − +⎣ ⎦ �6

6�2 2 2( 1)( 1)( 1) 1x y z− − − +

Page 30: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

������������6�����2 2( 1)( 1) 1y z− − + �6�

2 2 2( 1)[( 1)( 1) 1 1] 1x y z− − − + − + �6

6�2 2 2( 1)( 1)( 1) 1x y z− − − +

2���������������6������������

L�������������� ���� � ���!����������∈�(�

������6�2 2 2 2 2y x y x− − + �6�

2 2 2 2 2x y x y− − + �6�������

�� ��������� ���� �����2���������������������������������������������∈�(�

�� ��� ���� � ��� ������� �������� ����������������������

�� �� �� �� �� ⇔�2 2 2 2 2e x e x− − + � 6� �� ⇔� �

#�#� $� �

#� $� �

#� -� #� 6� �

#� ⇔

⇔��#��

#�$�3��6�#��

#�$�3�

I� �����'��� � ���� ��������� ����� ���������∈�(�����������#�6�#���������6� 2 �

��� 2 �E�3���������������� ���� �������'����� �� 2 �

L���������� �� �������� �������(��� ����� ����,����

/�� �������� ����∈�(����� ���′�∈�(��������� � ��������′�6��′�����6� 2 �

�����′�6� 2 �⇔�2 2 2 2 2x x x x′ ′⋅ − − + �6� 2 �⇔��

#�.��′#�$��#�$��′#�-�#�6�#�⇔

⇔��′#��#�$�3��6��#�⇔��′�6�2 1

x

x −��F,���������

2 1

x

x −�E�3�������′�∈�(�

2����� � ��� � ��������′�����6� 2 ���������� ������ ����,���

,� /����������6�2 2( 1) 1x − + !�����������6�

2 3( 1) 1x − + �

2����� ������������������2

* ( 1) 1n nx x= − + ��L��������A

�� +�����������(��� �������� ����'������������������������ ��������������� ������

�� *��� ����∈�(��� ����"�� ������������������∈�(�

,� ������∈�(��∃���′�∈�(��� ����"�� ��′���������2����� �������(��� ��'��

���!��

/�� ������′������������ � ��������′�6���2��������′�∈�(����������,������ ���′′�∈�(��� ����"�� ��′′����′�6���/ ��������′�6�����������′��6���′′����′����������′��6��′′�����′���������′�6���′′��������′�6��′′����′�6���/�� ��������� ���� ������������� ��

������6�������′������6�������′������6�������6���

Page 31: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ����������*����������� ���� "����������������������(� �� ���� ���� ��'���

����� �������� ���������� ����� �(����� �� ��'����� ��"!�������� �������������

��'�������!������ ������ ��'����� �� �������� ������ ����� ����,�������� ��'��

&� �� �����'�������� ��������� ��������'��������������������� ����������� �"�

���� ���������������������������������������������#�

0������"���������� � � ���� ���� ������ �

2���������������� �������� � �:���;��������� ��������� ��������� ����,����������� �

������������������������������ ����(��������� ����

�� 2����� ����������� �⊂�.�� �≠�∅��� ����� ��� �,���������.

�"������� ����������

���� ��������� ��

�� ��∈� !�,������σ�∈� ������σ$3�∈� �

���!��

)�����σ�∈� ������� ������������������������������σ�� �→� ���σ����6�σ�����2������� ��� ����� ��� �,���������.

������σ�����∈� �������σ��� ����� ������� ��

/�� ������� ����G� ����

2������� ��� ������ ����� �������� ������� ������� ����G� �����A�

&� �(���������σ��3��6��σ��#��⇔�σ����3�6�σ����

#�⇔��

3�6��

#������������������ ��'���

2����� �������������

�� +�� ��σ�∈� �����������σ��� ����G� ��������� �����∃��∈� ��� ����"�� ��σ����6�σ������σ�����6�σ�⇔��������������∈� �

,� )�������� "������� ����G� ��� � ��� ��� �σ���,������������ ����∈� ��� ���� "��

�σ����6���⇔�σ�����6���⇔���6�σ$3������σ$3

�∈� ������ ��

���)�����6�

2 2(1 )( ) *

1 2 1

a aM a a

a a

⎧ ⎫− −⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� ��/�� ����������.���� ��'�������� ����

���!��

�� ������6��#�$����#��$�3��-�#���$�3�#�6�4��$�#�$�#�

#�-���-�#�

#�$�4��-�#�6���≠�7�

0��� ����(�⊂�(/#����

�����.������6�����.����∈�(�����������A��

F,���������)#�∈�(��"��������6�3��

������$3�6��

1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈�(-

&� �(�������������.����′��6�)#�⇔������.����′��6���3��⇔�����′��6���3��⇔

⇔�����′��6���3��⇔���′�6�3�⇔��′�6� 1

a�

L�����������1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.������6�)#������������������� ���������,������������������

1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈�(�

Page 32: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�� )���(�6�

0

0 1 0 (0, )

0

a a

a

a a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈ ∞⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

����������� �����(��.���� ��'����������'�������� ����

���!��

)���(����6�

0

0 1 0

0

a a

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��(����6�

0

0 1 0

0

b b

b b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

������������(�

/����(����.�(����6�

2 0 2

0 1 0

2 0 2

ab ab

ab ab

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�6���#����∈�(�

*����� ��"����������� ��������� ������� ��������� � �����F,���������)9�∉�(�

����(����� ���������� ������� ��� ������� ��,���� � �

2���(����.�(����6�(����������(�#����6�(����⇔�#���6������� ���������E�7�⇔

��6�1

2�E�7!�(

1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�.�(����6�(1

22

a⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠�6�(���������(

1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �������� ���� ��

(����.(��′��6�( 1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�⇔�(�#��′��6�( 1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�⇔�#��′�6� 1

2�⇔��′�6� 1

4a�E�7

(�1

4a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(����6�(1

24

aa

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠�6�(

1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0��� ����(������ ������ ����,��������������� ����(1

4a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�(��.������ ��'�������� ������� ������ ������� ������������ ��������(��� ��7

�����,���������)#�∉�(��

!� ���2� ������������� ��������17 �"����

#77��.�

,� 2� ����������∈������ ������� 5 �$3�6� 5 ������≥�8�

���!��

���17 �.� a �6�1�⇔�35��≡�3������#77��⇔�35��6�3�-�#77+��+�∈���

2���� �����'��� � ����� �����6�1 200

17q+�6�

17 12 4 117q q⋅ − +

�6�3#+�$�4 1

17q −

�∈����3��

0��� ��4+�$�3�6�35*�⇔�+�6�17 1 16 1

4 4k k k+ + += �6�4*�-�

14

k +�∈����#��

0��� ��*�-�3�6�4�����∈�����������*�6�4��$�3��+�(2)

= 4�4��$�3��-���6�35��$�4�����

��

(1)

= �3#�35����4��$��4��$�3��6�#77���$�45�6�#77���$�#77�-�3%9�6�#77����$�3��-�3%9�

0��� ���� a �6��153 ������ � �1(17) 153− = �

Page 33: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

,�1ˆ ˆ(5) 5− = �⇔� 5 �.� 5 �6�1�⇔�#%�≡�3��������⇔�#%�6�3�-�+��+�∈���

+������������∈�>8��<��3#��#4@��L������������ 5 �$3�6� 5 �"���

8���

<���

3#���

#4�

���� ���

������ �������� ����������"�������������#��.�����

4��.�����

8��.�����

<��.�����

3#��.����

��#4��.������ ����������������� ����� ����,����� �����"�����

"��0���������"���3#������������� 5 ��6� 4 !�,�� 3 ��6� 8 !��� 2 ��6��10 �

���!��

�� 2������� 5 ��� ���������,���"���3#������ ���������������������������6�� 5 �$3�.� 4 �6� 8

,� 3 �.���6� 8 �⇔�9��≡�<������3#��⇔�9��6�<�-�3#*��*�∈���

I� �����'��� � ���� ��������,�������������<����� ���� �������9�

� +��������������� ��,��������������� �,���"�������������3#��,���������

����������6� 5 ������6� �11 �

���� ���

2����∈��1��"����'� ���������� a ��6�b ����∈���������∈�������� ������� ������ �������

3� 2���������6�3��� ���������������������������6�( ) 1 ˆa b− ⋅ �

#� 2���������≠�3������������6����/ ���� ������������������� ���������!��%��"��!����

,� 2�����������������n

d�6�

3��� ����������������������

�0x ��

0 1x n+ ���

0 12x n+ ��������

0 1( 1)x d n+ − �������7��� �������������������

#��)����(��.����'������'����� � ���� ����� �������������� ���� ���� � ���

�� 2����� �������������� ������������∈�(���������.���%�6��

%�.��

%!����.���

4�6��

4�.��

4���

���.���9�6��

9�.��

9��� ���'������ ���� � ���

,� 2����#�6��

8�6��������.���6��

4�.���� ����

9�6��������.���6���.���

���!��

�� ���.���%�6����.����.����.����.����.����.����.����.����.����6��

%�.��

%

���������������� ��'�������������������� ����������,�����

���.����.����.����.����.����.����.����6��4�.��

4�

0��� �����.���4�6�����

4��3�

/����'��������.���4�6��

4�.��

4�����������.���

9�6�����

9��#�

&���3��⇔����.���9�.���������6����.���

9�.����.�������������������������������,������������6���.���

,� 2�����������

���.���#�6���.���.���.���6��

4�.���.���.���6��

4�.������

�6��

%

���.���9�6����.����.����.���

#�6����.����.��

%�6���.��

8�6���.��

�6��

���.���8�6�����.���

9�#�6��

#����

&�������.���8�6�����.���

#�9�6���

%�9����

3%��2������

3%�6���

2����3%�6��

8�.��

8�.��

9�6��

9�������

9�6������������ ���.���6��

4�.�����������

Page 34: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

������������ ����

�� /�� ����"������������ ������������� ������������'����������� ���� ��������

� � �������������

�� ��6������������6�$�����������!

,� ��6�N#��∞�����������6����$�#��$�#��-�8!

� ��6�������������3���

3������

#���

#��6���

3�-��

#���

3�#��

�� /�� ���� "�� ���������� ������������� �������(� � ��'����������� �� ����������

� � ������'����+������������'������ ���� � ���

�� (�6��9��∞�����������6����$�9��$�9��-�3#!

,� (�6��7��#���������6�

2

xy

xy x y− − +!

� (�6��3��∞��B�>#@��������6�ln 1( 1) yx −− -�3!

�� (�6�>�����#��∞����

����6�#�-����$�

22)n���∈��@�������������������!

�� (�6�>������→��7��∞��C����� ���@��"�����������������!

�� (�6�>����������∈��9�C���≠�7����≠�7@!���������������′���′���′��6����′����′����′�-���′�!

'� (�6���B�>$�@!��3����

#�6��

3�.��

#�-����

3�-��

#��$�3�$��!

� (�6���B�>$#�@!�������6�����$�#��$�#��$�8�!

�� (�6����������6� 5 55 x y+ !

G� (�6�

4,

x y yx y

y x y

⎧ ⎫+⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� ������������ ������!

U� (�6�

0 0

0 1 ,

0 0 1

xe

x x y

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� ��"����������� �������

�� �������� ������ �������'������� �'���������� ���Q

�� ��6�

1,

0 1k

kD k

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ��"����������� ������!

,� ./#����6�>�∈�(/

#����C��� ��6�3@��"����������� ������!

� ��6� { }1 01( ) 0 0 0 | \20 1

x xA x x

x x

⎧ ⎫− −⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪−⎝ ⎠⎩ ⎭� ���"����������� �������

�� �� +�������������� ����'����������������������6������������������ ������������∈��

�� ����"�� ���������������'���

,� +����������(�6��$3��3������������ ����'����������������������6�1ax by

xy+

+ �

�����∈�$3��3������������ �����(������� ��'���⇔�������6�3�

Page 35: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��2� ���������α�∈ ���� ����"�� ���'��������������������������$�9��$�9��-�α����� �����������9��∞����� � ������'���

�� )����(�����'�����������∈�(��� ����"�� �������6�������

2����� ���������

����

�6��

�����

����������∈���

�� )����(�������'����� � ��������∈�(��+��(�����������'�����⊥���6���������������������∈�(�/�� �������(��⊥���� ��'����� � ���

!� ���������������� ���������+�∈�.%����6�

1 2 3 4 53 4 5 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��+�6�1 2 3 4 52 3 4 5 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���/�� �������8�6��������������

3#9���

$3��

$9<�

,����������+$3��+

%5��+

$3%�

��0���������"��.%�������������������+����������+�6�����+�

"��0���������"���<���������

�� 5 3x =� �!�,��

� �2 4x = !���3 0x =� �!����

�4 3x = �!����

� �4 4x = �

111

#��+����������������������'����������������������6������������-�#�

/�� ��������������� ��������������������������� �������� ����,����

�$��)��� ������������������P� ���)� ��6�>���� �→� �C�����G� ���@���

.� ��6�>���� �→� �C�����G� ���@��/�� �������)� ����������.� �������� ������������� � ����

+�������������� ������� �������� ����,����������������������

������������� ����"������������������ ������������6�>7��3��#��������$�3@���� � ��

������������ � ����������� ������� �������� ����,���Q

����+��������������'����������6����$��������)��� ������ ��� �,�������� ���������"������� �

��'����������∈� ������������������� ������������

�� /�� ��������∈�>7��3��#��9@�

,� &��������6�7����� ������� ������� ��'���

����)����7�∈��1����� ������������

0zM 6�>��∈���C�C�����

7C�6�C�C�-�C�

7C@�

2����� ��������0z

M ��-���� ���������������� ��'���

���)����≥�#���������� ����

��������� ������������(�6� 2

0, ,

0nx

A x y A Iy

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈ =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

��� ��'���"������� �

"����������� ���������� �������� ������'���Q

Page 36: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

����2� �����������∈����� ����"�� ���������(��6�

21 2

( ) 0 1 4

0 0 1

x ax x

A x x x

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

"��������"����������� ��������������������� � ������'����/��������∈����� ���

"�� ����������� ������� ����������$3���������'�����7�

����)�����∈�����������������6�

0

0 0 , , , 1

0

a b

x a b c ad bc

c d

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈ − =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

2� �����������∈����� ����"�� ������.���������'���

�!��+����������(�6�N7��3������� �������'������������������������ �������������6�>�����@

���� ������������������������������������ �����(������� ��'����� � ���

�"��0���������"���47������������� 3 ��6� 2 !�,�� 5 ��6� 3 !��� 6 ��6��10 �

�#��)�������∈��������������� �������������������0����������������Δ� �6����Δ��� ��������������� �����

�$��)���σ�6�1 2 3 4 5

2 5 4 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� 2� �����������∈�.%��� ����"�� �σ�����������σ�

,� 0����������������������#�6�σ!�,���#�6�σ$3

����∈�.%�

����)����(��.����'���������������� ��� ����"�� ���∉�(��P� ���(�∪�>�@�6���

2�������������6�

, ,

, sau

x y x y G

a x a y a

⋅ ∈⎧⎨ = =⎩

��������� ������������� ������������$����6�(������$������ ���������������� ����

���� ����,�������������

����)����(��.����'���������� ���� ����

2� ��������������∈�(�� ��������#�����������

<�6���

����������������������→����������6�9��$�4 z ��� ��������� �������� ��,�G� ����

,� 2� ��������������������3�����→����� ����"�� ����������6�#��$�3����3��������6���-�# z �������∈���

Page 37: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��)� *��(����+��������(���� ��������

+������������������� ������������ ������������������ ������� ���������� � ��

��'�,�������'���

�������� ��

)����(���������(′���������'������F�����������(�→�(′��������� � ������������6������������������������∈�(

������� ����&������'�����

������� �������������������������������������������������������

�� )����������7��∞��→����������6�������� ������������"� ���'���������7��∞)��.���������-��&� �(���������������=�������-��������������� � ������'��� �������

�� )�����������→����������6�0������� ������������������� �������������'������������-�

�������-��

&� �(������������3�-��

#��6�0���

3�-�0���

#�6�����

3��-�����

#���*����������"���� �����

� ����������� ��������������������

������ ��

)����(���������(′���������'������������ ������ ���������� ����′�������(�→�(′�������������'������/ ��

�� ������6��′,� ����′��6��������′��������∈�(�������′��� ������ ���������"��(������������′���� �

���� �������������"��(′�� ����

��6��������

��������∈�(�������∈���

���������� �� /����������6�����������6�����������������������������������"��'����(′�,������������6��′�

,� +�� ���������∈�(�������′�6�������6���������′��6�������������′���3��′�6�������6�����′������6�����′��������� �#�

2����3������#������������������ ���������,���������������������′�������������′�6�����′��

� +�� ���6�7��'��� � ����� ������������������6��′���� ������+�� ���E�7

����������

��6��

ori

( ... )n

x x x∗ ∗ ∗��

�6�

ori

( ) ( ) ... ( )n

f x f x f x∗ ∗ ∗��

6��������

2����J�7��������∈����������

/ �������

��6�������

��6������′����6������′����6��������′���6��������$��6����������� ���

Page 38: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

���� ���

&� �������'��������� ���������������������&���� ������� �������3������������(�→�(′�������6��′�������∈�(��� �������������'������&� �(�����������������6��′!���������������6��′����′�6��′���������������6����������������/�� ������������ �� ��� ����� ����������,�����

������ ��

)����(�������(′���������(′′�� .�� ����'������ ������ ��(�→�(′���� ��(′�→�(′′����������������'����/ ����������� �������������'�����

���������� )��������∈�(��/�������������������6�������������6������������������6

�����������������������6������������.�����������

������ ��

)����(���������(′���������'������������(�→�(′������������'�����

2������� ���������,������ �����$3��(′�→�(��� ���������������'�����

���������� +�� �������α��β�∈�4′������α���β�6������$3�α����������$3�β���66������

$3����������$3���

0��� ����$3����6���$3������$3��

�������� ��

)����(���������(′���������'�����)���������(�→�(′�������� �������&������'��������

�� ���� ��,�G� ���!

,� ���� �������������'�����

������"����� ������'��������(���������(′������� ������%������ �����(�����≈��(′�����I���������������������'���������"������������ ���!����%��"��

������������ � ������ ������������������������������������������

�� )����������7��∞��→�����������6��������� ������������������'����������7��∞���.����

����-�������������� ��,�G� ������������.����6�������-�������

�� )����������→���������6�$���� ����� ������������'���������-�������������� �

,�G� ����������������6������-������

�� )�����������→����������6��9��� ������������������'����������������������-�����

��'������� ���� �������������6�3 33 x y+ ��/��������1����6��

9�-��

9�6�������-�����������

���� ��������� ��,�G�����

Page 39: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ���

� 0���������������������:≈;�"� �������'������������ �������������� ����

�� �� ��������������(�����≈��(������'������ ��������������"�����

,� �� ������ ����������(�����≈��(′������� ����(′�����≈��(������ �� �� ����� ����������(�����≈��(V���������(′�����≈��(′′��.���� ����(�����≈��(′′��.������� ����������� ����������������� ����� ���������9����#������ ����� �� ����"�

������������������,�����

�������

������ �����'�����(���������(�6��9��∞�����������6����$�9��$�9��-�3#��� ���������

�'��������-��

*� ����������������,�����'�����(������� �������������7��∞���.������� ��������

����������7��∞���.��≈�����-�������������������� ���������������3��

&� �(�������������������7��∞��→��9��∞��� ������6���-�9���� �������� �,�G� ��������

�����.����6�������������������������A�

/��������(�����≈���7��∞���.�������7��∞���.��≈�����-��������(�����≈�����-��

� 2���'���������������������������� ����������� ���� �������������� �,����

��'����������� ��������� � �� �����'����� ����/�� ����������������������������

������ �������'���������'������������ �(��������,�G� �����������������������

"���������� �,���

�������

�����������'��������$4��.���$

4�6�>3������

#���

9@������

4��-����

4�6�> 0 ��1 �� 2 �� 3 @�

F,�������� �,�������'����

. 3 � �#

�9

- 0 1 2 3

3 3 � �#

�9 0 0 1 2 3

� � �#

�9

3 1 1 2 3 0

�#

�#

�9

3 � 2 2 3 0 1

�9

�9

3 � �# 3 3 0 1 2

0��������������� �����3���� 0 ���������1�����#���� 2 �����9���� 3 �����������������

"�� �,�����'������������

0��� �����$4��.��≈���

4��-����������������������� ��������������$

4�→��

4�

���3��6� 0 ��������6�1������#��6 2 ������9��6� 3 �

� 2��������� ��������� � ���������� ��������'�������� ������������������ ���

�� ��'����� �����������'�����!�"!�������%���

�������

S�����.9������� ������ � �����

8��-���� ���� � ���������.

9����� /� ���8

��-��

Page 40: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

� ��������

2���'������������������������������� ������������� ��������� �������������

� � ������������'�,������� ����� ���

2���'��������������������������������� ��������� ���������������������

2������ ��� ������������ �� ������ ���������'�����������������������

�� ��'��������������� ���:�����;��������������� ���/�� ���� ���� � ����

��������� �G��� ���������������� �"������ ������������ ���������� �������� ��������

������ �

������������� �����

�� D���������6���B�3

2⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

�"����������'���������6�#���$�9��$�9��-�8��� ��'��������������A�

������ ������������≈���1��.���������� ����������������� �,�������� �����������"�������

���'�����

���!��

��������� ����'���������� ���� ��#�

�� �����������������→��1�����������������6����������� ���������#��6�3������3

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

6�7�

F,��������6�#����6�$9������ ����6�#��$�9��)������� �������� �,�G� ������������� �

���������������� �������������'���������������������6�������.�������

����,���������������� ����� ��� �,����������1�"������� ��"����������� �����$3��

�� ����� ��� �,�����������"������� ����'���������������,�����������'��������

&� �(�����������������∈���$3����������6��

�$3����������

�$3��������6���

$3����������������∈��

�$3���

���������������������∈�������������.�������∈�-

+�� ����>3@����>$3��3@��� ����'������A��������� �,�������� ���������������1�"������� �

"�������������� ������

$3�>3@������

�$3�>$3��3@���� ����'������������ �,�������� �������������

��"������� ����������$3����6�

3

2

x +��������

$3�>3@��6�>#@!��

�$3�>$3��3@��6�>3��#@�

�� D�������(�6��$3��3���"����������'�����������������1���6�1x y

xy+

+ ���� ��������

� � ������'���������������

��� ��� ����� �(����� �� �� �������� �'���� ��7��∞��� .�� ��� ��� ������:������;

��6�1 1 1 1...3 5 7 2 1n

∗ ∗ ∗ ∗ − ��∈�����≥�#�

Page 41: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���!��

F�������,�G� �������� �����������$3��3��"���7��∞���� ���� ������������$3��3��→��7��∞��

������6�1

1x

x−+ ��������������*�����������6������∈��7��∞������"���$3��3����������������6�

11

yy

−+ �

2������� ��,�G� �����������$3���7��∞��→��$3��3�����

$3����6�

11x

x−+ �

L�������������� �������������'�����

����������6�

11 11

11

x yx y xyx y x y

xy

+−− ∗ +=+ ∗ ++ +

�6�1 (1 )(1 )1 (1 )(1 )

xy x y x yxy x y x y

− − + − −=+ + + + + �6������.������

�������������� ������� �������������������������������������������,� ��� ������

�������������6��������"������������������� ����������A������������������6���$3��

2����������6���1 1 1...3 5 2 1n

⎛ ⎞∗ ∗ ∗⎜ ⎟−⎝ ⎠�6���

13

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�.���

15

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�.���.���

12 1n

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠�6�

12�.�

23.�����.�

1 1nn n− = �

/��������6���$3

111 11 11

nnn n

n

− −⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ +�

������������ ����

�� ��������� ����������������→��1��������6����#π��-������#π���� �������������'�������

����-�������1��.��

�� /�� �����������������1�→��1��������6�C���C��� �������������'������� ����� ����

�� ���/�� ������������������→����������6������ �������������'�������� ����

,��)�����������→����������6�#��$�3��� �������������'�������� ���Q

�� )���.�������������������"� ��'��������� �����1 2 3

2 3

2 3 03 5 0x x xx x+ + =⎧

⎨ + =⎩�

2�����3���

#���

9�������

3��#���

9��∈�.������������

3���

#���

9��-���

3��#���

9��6���

3�-��

3���

#�-��

#���

9�-�

9��

�� /�� �������.��-���� ��'����� � ���

,� )�����������→�.��������6�����$%���9����� �������������'�������� ����

�� �� +����������(�6��#��∞����������������'���������6������#����#��-�8�

��������� ����(��� ��'����� � ���

,� ��������� ����������������→�(��������6�#�-���

��� ����������������'�������

����-������(�����

Page 42: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

���/�� ������

�� ��'���������6�1x y

xy+

+ ��� ����������(3�6��$3��3����� � ������'��!

,� ��'���������6�3 4 4 62 3 3 5xy x yxy x y

− − +− − + ��� ����������(

#�6��3��#����� � ������'��!

� �����������$3��3��→��3��#���������6�3 2

2x −

��� ������������������'�����

!��)�����6�

1 ln 0( ) 0 1 0 | (0, )

0 0

aA a a

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= ∈ + ∞⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭�

/�� ��������������� ��'����� � ������������'���� ( )(0, ),+ ∞ ⋅ �

"��+����������(�6��7��#���� ��������'����������������������6�2

xyxy x y− − + �

�� /�� �������(������� ��'����� � ���

,� /�� �����������7��#��→��7��-∞���������6�2 x

x−

��� ����������������'�����

� ��������"��'����(��

2 2 2

2 2 2

2 2 2 3 2...2 2 1 2 3 1 2 1

nn

⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ − −

� � � �

111

#� �� ��������� �������������������→����������6�������∈����� �������������'����

��� ����

,��/�� �����������������������������-���������-���� ������������ ���

�$������������� �������'���������������������-���������-���� ��������������

,��2� �����������������������'�������������-���������-��

��2������������-�� � �����-��

���)�����E�7���������������6�{ , 0

0, 0ax x

x>≤ ����(�6�>�

��C���∈��7��-∞�@����������� ����(�"������

����������������������� ���������� � ������'������������� ( )(0, ),+ ∞ ⋅ �

���+��������5��3���� ��������'������������������3����

#�6���������

3�����

3�������

3��

�#���� �

#�������

#�������������

3�-��

#���������

3�-��

#����/�� ���������7��3�������� ��'��

�� � �������������'������ ����� �������������������������������3�

Page 43: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������������������������� ��������#�$�����-��9�-�%����-�9��$�3�6�7����∈���

2������������6�>���C���∈��@���'�����������������

�����

�6��

�-�

/�� ��������������� ���������������-��

���)���(�6���B�>$�@������'�����������������3����

#�6��

3����

#�-���

3�-���

#�$�3�$���

�� ��������� �����(������� ��'����� � ���

,� ��������� ��������(�→��1��������6��������� �������������'�����

��2� ������������������ �,�������� ���8������� ���������(�"������� ����

������)���(�6��3��∞�����������6�2 2 2 2 2x y x y− − + ����������� �����(������� ��'���

,� �������� �����������∈����� ����"�� ������7��-∞��→��3��-∞���������6� mx n+ �������

��������������'����������7��∞)���������(�����

� ��������"��(��

2 2 2

2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 2...1 1 1 2 2 1 1

nn n

⋅ + ⋅ + ++ + + + + +

� � � �

����)���(�6���B�>$3@������'���������6�#���-�#��-�#��-�3�

�� /�� �������(������� ��'����,������

,� /�� ����������(�→��1�������6�#��-�#���� ����������������'����������1�'���

"����������

� ����������������---�����

�!�0���������"����1����������1������������9�6�3!������������1����������1��������� ����������

�"�2����(������� ��'����� �������������(�→�(��������6��$3��� ��� ���������������

���������'�����(������� ���,������

�#�)����∈��1���≥�#��������������1�→��1�����������������'������� ����� ������ ���

"�� �������6������������∈��1�B�$��2����� ������������-

1

1

1

orin��

Page 44: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

��,� ��������(����-���������������-�� ��������������

�������� ��

I��'����(������� ����� �&�����������������(��� ������ ��

&����� �������������������� �������������(�������� ���%��!���%!�!�!�������

�� �����⏐(⏐�I��'����������� ������ �������� ��������

������� �������������������������������������������������������

�� S�������� ����������'������� ������ ���������������A

�� S���������������������������������������� ������� ������ ����������������

�� S������� �������������������� ������������������������-

�� 2������� ��������������*p� ��.���� ��'������� �������������$�3�

�� ����-�������-�����1��.�����1

��.���� �'����������� ��

&���������'������� �� �������'������������������� ������� ������ �(�� �,���

&����� ������������ �,�����'������������������ ���������%!�!�!��

&���� ���������������� �,������������ �����������'�����%!�!���!��6����

S���� ���W����� �� �� �� '��� � �� �� ������ �� ���� ������ 4��� ������ � ����� �,��

��� �����

� � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

���� ���

+������������������������ �,�������'������� ������ �� �������� ����'����������

���� ����

&� �(������������(�6�>�3���

#��?����

@��������(��������� ����������+��������������"�� �,��

'����������������� ������.��3����.��

#��?�����.��

*����� ���������������� ��������� ���� �� ��������� � ������� �����3���

#��?����

������ ��

"� �(���� ���������

0����������� ������� �,���'�������4��-�������� ���� �,��������������

4��.�

���� ������G���

*����� ���� ���� �����

������� �������� �������������������� �����

�#�6��

#�6��

#�6��!

��.���6���.���6��!���.���6���.���6��!���.���6���.���6��

Page 45: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

- 0∧

1∧

2∧

3∧

. 0∧

1∧

2∧

3∧

0∧

0∧

1∧

2∧

3∧

0∧

0∧

0∧

0∧

0∧

1∧

1∧

2∧

3∧

0∧

1∧

0∧

1∧

2∧

3∧

2∧

2∧

3∧

0∧

1∧

2∧

0∧

2∧

0∧

2∧

3∧

3∧

0∧

1∧

2∧

3∧

0∧

3∧

2∧

1∧

X� ��"��������� � � ���"����������������,��������

������ ��

2��� �(�� .�� �� ����'��� ���� ������������ ������������ ���� ����� � ��

��� �����������(�������

�6���

���������� L��� ���� ������ ������ "� �(�� ��� ��� ������ ����� ��� '�������

�� � ���������'������������������������'�������

)���(�6�>�3���

#��?����

@��������(��/����� ��� �������������� ���

�.�3���.�

#��?����.�

��� ���� �� �����>��.�

3���.�

#��?����.�

@�6�>��

3���

#��?����

@�

2���������.�3�.��.�

#�.�?�.��.�

��6��

3.�

#�.�?�.��

�⇔

⇔��

.�3�#�.�?�.��

�6��

3.�#�.�?�.��

�⇔��

�6����"�������������������

�3.�

#�.�?�.��

����� ���

+��,������������� ��"�� ��������������� �����������

)���σ�∈�.%��

1 2 3 4 5

3 1 2 5 4

⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠���.

%��.���� ��'������� � ���

�������� ��������σ%A�6����"�������� ������ ��������������∈��1

���� ������σ��6���L�����������������������σ#

��σ9��?�����σ8

�6������8��� ���������� ����������

�������� ��������� � ��

H�������������������� �������������� ������������

�������� ��

)����(��.����'����������� ���� ������������(����≠�������������������

�� ����������������� ��������

�6���������� ��������������� �����

F������������ ����� ���������������'����3������ �����'��������� ����'����

����� ��������� � ��������� ����A�����������������������"��'����� �������� ����

�≠���������������������1�

+��������X

�����XXX(�

������� �

������ ����

⎧⎪⎨⎪⎩

Page 46: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

������� �������������������������������������������������������

�� +��� �����σ�∈�.%��������������� �����������������%�

�� &��'������1��.�������� ���������������4�

�� &��'�������W����� �� �������� ����������� ����������� ���� ������������#�

�� F���������3�"��'��������-���� �������� �"� �� ������� ������1��� ����"��

ori

1 1 ... 1 0n

+ + + =��

���� ���

�� 2��� �������3������������ �(��'������� ��������������������� ��� ������ �

0���������� ��������������� ������������������ ��� ������������������������ �

�����7��������������������������

K ������7��������������� ���������������� ������ ��'���������� ��������������� �

�� ��∅�

&��������������� � �∈�7������ �����������#����� ���� �Δ�Y�6�∅�

�� &�������'�������������� ������� ���'����������������� ���"� �� ��*

�6��

⇔����3�*

�6���

H������������ ������� � ����"��G� ����������� ����������� �������� ����

������� ������������������ �

������ ��

)����(��.����'�����∈��1����∈�(��I��� ������������������� �� ������ ��

�� F������������ ������� ���

,� �

����������*

�����⇒��T�*�

���������� ���⇒�,�

*����� ��

����!�����*�∈��1��� ����"�� ��*

����

+���� �������"�������������� ����� �������� ��+��%�∈����� ����"��

*����.�+���%��7�≤�%�<���/ ���%

����*���+

����*

���+

������������

2��������%

��������%�<���������������������������������%�6�7�

+����������*���+��������T�*�

,��⇒���

2����*

������*�∈��1�����������T�*��������≤�*�/���������� ������������������� ������������ �������

����������

�� ��������������

Page 47: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������ ��

)����(��.����'��������∈�(��������� ������������/ ���

2�����∈���������� ����

�����������������������������������6�3�

���������� +����������������6�3������� �������

��������������������������� �

��� ��������� ��������

&� �(�����������

�6���

�6���

��

�6��!����

)�����∈������ ����"�� ����

�*

����-

0��� ����*

������������������������������� �������������T��*���3�

&� �� �������6�3�������3������ ���T�*�������,��

/��������

�������������

0��������������������

���������������������� ������������6�3

2����� �����6��������� ������� ��3���

3�∈����� ����"�� ����

3����

�����3���&����

1( )nta 6�1tna �6

1 1t dna 6�1t na �6�

1( )tna 6�1te �6���

2�������������������

��� �������������T�3���������6�3�

/�������� �� �������������������������������� ��3���� ���

���������

�� )���ε�6���� 2

n

π�-������

2

n

������������������������� ������/ ���

�� �� �������� ��������������'�������1��.�

,� ������ ������������������'�������1��.���� ��������������������������ε%�����7�<�%�<������%����6�3�

����������

�� �������������������D�����������ε�6����#π�-������#π�6�3�

2���ε*�6�3��� ������ 2k

n

π�-�������

2k

n

π�6�3�⇔�

2k

n

π6�#�π����∈���

0��� ��*�6���������T�*���� �"�������� ������������ ��������#����������������� ���

,� )�������%�����ϕ�-�������ϕ���ϕ�∈�N7��#π���������� �����������"��'������1��.��

2����

�6�3�������%�6�3����ϕ�6�#�π����∈���

&����� �������6����ϕ�-�������ϕ�6���� 2l

n

π-�������

2l

n

π�6�ε��

�������� ��������9������������6�3

2��� �������"�������������� ����6�+���%��7�≤�%�<�������ε��6�ε+���%�6�ε%�D����,����������%����6�������6�3�

0��������������� ������������������'�������1����������������� ��������� ���

��������$�6�>3��ε��ε%��?��ε$3@��������� ������ �����������������������%��

�!��

Page 48: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

� ����������+ ���������� ������������� ��������� ������������

���� ���������������������� ������������������������ ������������������ ����

�ϕ������������� ���������%!���!���!��%�

2����6�1

1p�

22pα

?�k

kp�� ��������������"���� �����������������������

��� �������� �����

ϕ����6�1

11

p

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2

11

p

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠?�

11

kp

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

/��������1���������ϕ��������� ������������

2���������������6�#4��� ���'������1���������ϕ��#4��6�<������� �����������#4�

ε��ε%��ε5��ε33���ε39��ε35��ε3M���ε#9������ε�6���� 224kπ

�-�������224kπ

�� '�����������������(������)����������������������∈������������������,��

����/ �����$3�≡�3���������

����������

2����������� ������������� p∗� ��� ��'������� ������������$�3�

2����������������������,�������� ��� ������ ���������6�3������ a �∈� p∗� �

2��� �������3���������� a ���$�3

�6�1 �⇔����$�3

�≡�3������������ ���

���� ���

���H����������)���� �������'��������������� ���,�������������%�����!���!��%�

2����∈��1����∈����������6�3��� ��������≡�3�������

2����� ���������,������������� �����$�����.���� ��'���

2�������������6�3��� ��� a �∈�$�������$��

�������������ϕ���

�������� ��������3�������� a �ϕ��

�≡�3��������

����������������������� ����� �����������������

���0�� ��"�������������995����39��� ��9�

,��2������� �����������������6�3��� �������$3�

�≡�3�������#��

���!��

�� 995�6�9�.�9

98���9����9

3#�9��&������������� ����������)���� ������9

3#�≡�3������39��

��������93#�9�≡�3������39����������9�.��9

3#�9�≡�9������39�

,��2������� ��������� ���ϕ��#��6��#�1

1p

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠�6������$�3��

/������� ����������*������������������$�3�

�≡�3�������#����� ���

�� H����������)���� ���� ������������� ���� ����

+�� �������"� ��'��������� ����������������������������'��������

�≡�����������

Page 49: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������� �����

�� )����(��.����'������ �������� ���(�6�>����������@���������� �������� ���� ������

�#�6��

#�6����/�� ���� �,���'�����

���!��

H��,��� ����� � �� ��������� ��,���� ���� �,���� ��'��

����� ���� �����

H��,��������� ������� ��������������� ���������������������

=���� ��������������������� ������������������� ��

�� ��,������������!������������

=�����������������'�����������!�������!��#�6��!�������!

������!��������

���2� ���������������������� ��� 6 �"��'������47��-��

���!��

�� ����∈��1������������ �������.� 6 �6� 0 �/����� ������ �8�≡�7������47��⇔�8�6�47+�⇔�8�6�#7+-

0��� ����#7�T��������6�#7�

�� )����(��.����'����P� �����������6�������������"��'�����(��.�

���2����� ����������������6����������

,��2�������∈��1��������6�3�������������������6������������6���� ������������6��-

��2�����������6������∈��1��� �������*�∈��������������*

��6�

( , )

m

m k�

���!��

�� ����

�6���⇔�

ori

( )( )...( )n

xy xy xy��

6���⇒�������$3������⇒ ����$3�6��$3�.��$3� ⇒�����

$3�6�����

$3

⇒������

����⇒����������≤��������!������'������� ���������������≤����������,� ��������⇒�����

�6���

.���

�6����

�.���

��

����

�����

����-

)�������*

������*�∈����/ ��������*����!�������*�.���*�����⇒���*

�����⇒��9��*-

2�������������6�3�����������T�*��3�!������'����� ����T�*���#�

2����3������#�����������"������� ��������6�3��������T�*�

� )�����6�����*���F,��������� ( )m

k dx �6� ( )k

m dx �6�

k

de 6���

)�����*

��

�6����/ ����*�

�6��������������� ����T�*�����������6�*�����∈����9��

*��� ��*3�����

3�∈����� ����"�� �*���*

3����������

3��

&����� ������9����������3����*

3�-��4�

&�����*3���

3��6�3�����������4���������

3�T���������

m

d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�T���

� � � �

� � � � �

� � � � 1

� � 1 1 1

� � 1 1 �

Page 50: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

��.� /������

���������

)����(�������'������ ������ ��� �,���������"������� �����2��� �"�������

����������������� ��'����� ��� �������� ���������������(�

������� �������������������������������������������������������

�� ����-���� ���,'������'���������-��

�� ��1������� ���,'������'�������1�����

�� F����'�������� ������ ���,'������'�����(/�����

�� 2����(������� ��'���������������������� ����������� �������� ������� ��

� ����>�@���������(������� ��,'��������� ��"!��%!�!%�����%��%��������!��(��

F������ ��,'���������'���������� ��"!��%!���%��%�!�

I��� ������������������������������������������������� ����� ���������������

�����,'���

������ ��

)����(�������'������ ����,'���������(��/ ���

������������∈� ������ ��������∈� !

,����∈� ���������� �������� ���� �����'�����(�!

����� ���������∈� �������′∈� ���′����������� ���������"��(�

���������� ���0��� �����������������,'�����

,��P� �����′������� ���� �����'������ ����

/���������′�6��′�����′����′�6��′!����� �������′�6��′����′���������������������������′���,�����������′��������∈� �

��P� �����′′��������������"��'����� �����/ ����′�������������′′��������!����� ���′��������′′����������������������������������,�������′�6��′′�������′�∈� ���� ���

0��������������,'���������������� ���� �����'�����

������ ��

)����(�������'������ �⊂�(����,��������������

� ������� ���,'������'�����(���������������������

������������∈� ������ ��������∈�

,��������∈� ������ ���′∈� ���′��� ������ ���������"��(�

Page 51: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������� 2��� ������� �� �������� ��������� ��� ��� ����������� ���� � �� �

�,'����������(������� ����� �"�������� ������������������,��

������ ������������������������ �⊂�(�"��������� �����������������

������ ������ ������� ��'���

R *����� �������������� ������� ������� ������������� �������(�

R 2����� ������������ ���� �����'������(�������� � ������ ����

������ ���� ����� �� ��+�� ������ ���� �������� �����,������

����∈� ��&� �(��������������∈� !�� ��������,������� �������� ���

����"��(����������� !��′�∈� !��������������������������������′∈� �

R F���������� ������� ��� ������ ����,�������� ����������������� ���

�����(�������� ���

������������������� ��������� ��"� �(������'������ �����

������ ��

)��� �(����� ��'��� ��� �⊂�(� �� �,��������������� � ����� �� �� �,'��� ��

'�����(����������������������"�������� ��������������������∈� ������ �

�����′�∈� -

2����� ���������� �������� ����� �������#�

������������� �����

�� )���:3�6�>������→��T���,�G������ ���3��6�3@��:

3�⊂�.���������.����6�>������→���C��

,�G����@����������� ����:3��� ���,'������'������.��������

���!��

)��������∈�:3��2��������

$3��� ��,�G���������� ���������

$3��� ��,�G�����

&��������������$3��3��6�����

$3�3���6����3��6�3!����� ����������

$3�∈�:

3���� ���

���� ���

&��������� �����"����������� ��������������(�"������������'����������������� �

'������� �����(��� ���,'����������� � ���:��������;����'������� ���� ������

��������

D������� �6�

2 3| , , ,

4 5

a ba b c d

c d

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� "������������������������������� ������

�� ��'����Z� ���������� ������������ ������ ��� ���,'������'�������#������-��

&� �(����������������∈� ���6�1 1

1 1

2 3

4 5

a b

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����6�2 2

2 2

2 3

4 5

a b

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ��

$��62 2

2 2

2 3

4 5

a b

c d

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

�����������6�1 2 1 2

1 2 1 2

2( ) 3( )

4( ) 5( )

a a b b

c c d d

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∈� �

Page 52: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�� �������� ���������������∈����� ����"�� ���������.�6�>��∈���C���������-���������-��6�7@

��������,'������'���������-��

���!��

*����� ���� �����'���������-���� ��7!����� ���������� ��������3����7�∈�.�

�����7�-�������7�-���6�7�⇔������6�7�⇔��������

/���������������

�� ��6�7

3� ��6�7��&����� ��,����.�6���������.��-���� ���,'�������������

#� ��≠�7��2���������������6�7�����������������������6�7���������.�6�>*π�C�*�∈��@

������ �������� ��,'�������������-��

������≠�7�

0����������������,�������.�6�>#*πT*�∈��@�I�>#��� '�b

a�-�#*π�T�*�∈��@�

&�������6�#��� '�b

a�∈�.������.��� ����� ��� �,����

2����������∈�.�������∈������������ ������,��������"��������6�7�������������

�������6�7�

/���������'��� ��������������6�7����6�7����6�7�!����6�7����∈������6�7������6�7����∈���

���������

�� �� )����(��.����'������ ������� ����� ������ �⊂�(�� �≠�∅�

��������� ���� ��� ���,'���������(����������������� ��� ����� ��� �,��������

(�"������� ����'���

,� 2� ������������������ �,�������� ����������� ����������������1�"������� ��"���������

���!��

�� /�� ������������� ��� �,�������� ��������(��.���� ���,'������������������������ ��

R����������∈� ��������.���∈� �� ���������� ��� �,�����

R�)�����∈� ��K�������� ���������������#��?����

*

������ ������������ �

+����������������������� ������������������������� ���������������� ������� ��

�� ��������

+�������������� �������∈��1��� ����"�� ����6��

�������������� �������J��������

����������������

������������$��6������������ ���� ���

2���������.���$�$3

�6����$��

�6�������� �����$3�6��

��$���$�3�∈� ���� ���

,� )��� �6�>�3���

#��?���

@�⊂��1����� ��� �,����������1�"������� ��"���������

������������� ��� ���,'����������� �����'�������1��.��

+����������3�∈� ������������∈� ��� ����

�6�3�� �������3����������'������� ������

/����� � �����∈�$������� �⊂�$

��3��

2������� ����$������������������������ ������� ��������������3���� �

�����'��� � ��

Page 53: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

&������������������� �,�������� ���������������1�"������� ��"�����������

'������������������������ �����

�� 2����(���������(�′������� �'������������ ���� ���������� ����′����������(�→�(′�� �������������'������� ���

�� W�����6�>��∈�(���������6��′@�������(��6�>����������∈�(@��� ��,'���������'����

�(����������� ����(′����,� &��������������� ��������������������∈�(��������������� ���������∈�(′����� �

��������

���!��

���)��������∈�W������/ �����������′��6�������������′��6��′�������′��6�����′��6���������′�6��′����������′�∈�W�����

)����3���

#�∈����(���/ ������� ���

3���

#�∈�(��� ����"�� ��

3�6�����

3�!��

#�6�����

#��

/ �����3����′

#�6�����

3���������

#��′�6�����

3��������′

#��6�����

3����′

#��∈����(��

,� +������������∈�(������������!�� ����

����������� ����������������

�� ��������� ��������� � ��

/ ����������

�6�����

��6�������6��′!�����*�∈��1��� ����"�� ��������*

�6��′�0��� ������

*

��6��′�6�������2����������� ����G� ��������� �����

*

�����������T�*�

0������������������������������� ��������������� ������$3��� �������������

���� ���������������$3�������6���������������

������������ ����

�� )��������������������(�6�>�3���

#���

9���

4@�������

3���

#���

9���

4����1→��1�

��3����6��!��

#����6

1

2 �!��

9����6�$��!��

4����6�$

1

2�

/�� �������(������� ��'����,���������� ���� �,���'�����

�� +����������(�6�>#��4��8��<@�����������������������"��������������37�

��������� �����(������� ��'����� � ����/�� ���� �,���'����

�� ������ ���� �,���'�����(�6�>����������@�"����������� �����

�� � � � � � ,� � � � � �

� �

� � � � � �

� � �

� �

Page 54: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

���)����6�

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

������������ �������#��

9��

4��?

,��/�� ������(�6�>

����∈��1@��� ��'������� �

��/�� ������'����(��� �����������$4�

���2� ������������������������ ���������(�

�� )����(��.����'�����������∈�(��� ����"�� �������≠�������2����� ������������� ���������������������������� ���� �� ������� �������� ���� ���

2�������������'�������������������������� ���� ���� � ���

�� )����(�������'������%������� ��������������� ���� ��

/�� ����������������� ������� �����������������%�

2��������(�6�>�������#���

9���

4@��������∈�(������(�� ���

%��-�

!� 2� ������������������������ �����

���σ�6�1 2 3 4 5

3 4 2 5 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�"��'�����.%����!�,�� 8 �"��'�����

3#!

�� 9 �"��'������97��-�!����3�-���"����1!��

"� )�������∈�(/#�������6�

0 1

1 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����6�

1 1

1 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

��/�� ������������������4�������

�������8������������������������������� �"��(/#����

#��2� ������������ ��"����������������

���#9438����35!�,��94

58����35!���5

M7����#9�

�$��)��� �6�

0 0,a b

a b

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

� ��/�� ������ ��� ���,'������'�������#������-��

����)����∈������������������ ���������������-�/�� ���������� ���,'�����

'���������-��

����/�� �������������� >σ�∈�.8Tσ�#��6�#@��� ���,'������'������.

8�����

����2��� ��� ���,'������'������(��.�������∈�(��� ������ �������� ����

�$3� ���6�>�

$33����3�∈� @��� ���,'����������(��.��

�������2��� 3����

#��� ��,'���������'������(��.��������� �������

3�∩�

#

�� ���,'����������(��.��

,� 2����� �������4��∩�8��6�3#���

� 2����� �������$4�∩�$

8�6�$

#�

Page 55: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

111

����)����(��.����'������∈�(����4(�����6�>��∈�(�T���.�������.��@

���/�� ������4(������� ���,'���������(�

,��2� ���������4(�����"������(���(/

#����������6�

0 1

1 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����/�� ����������"� �(��'������� ����� ���������� ����������%��� ����������'����

�� ���� �������%�

�!���� /�� ������'�������W��������� �������������4��-��

,� /�� �����������'����4������� ���� �� �������������'���� ���W���������

'��������-��

�"�����2����� ����������������������,'������������'������� �����,'���

,��2��� 3��

#��� ��,'���������'������(��.���� ���

3�∪�

#��� ���,'��������

(�⇔� 3�⊂�

#����

#�⊂�

3�

��)���'��������-������,'������� �6�#7�����6��������������� ������������

2� ������������� ����"�� � �∪�6��� ���,'�������������-��

�#���������� ������������� �� ����→����������� ������� ������������� � ������������

����� �������������� ���,'������'�����,�G��������������"������� ���������������������

�$�)���(�⊂��#������(�6� 2 2, , 0

a ba b a b

b a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈ + ≠⎨ ⎬⎜ ⎟−⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� ����������� ����

�� �(��.���� ��'����,�����!

,� +�� ����������∈�������� �������'��'����������� �����'������(1������������

�� ���������� ��,'���

���)��� 3�6�>�∈��

#�������

���@���� #�6�>�∈��

#�������

�����@

������������ ���� 3����

#��� ��,'���������'�������

#�����-��

,����������� ������� ������� �∈��#�������� ���∈�

3������∈�

#��� ����"�� � ��������

���)����(�����'������ �⊂�(��,'�����������2����� �������

���������∈� ����∈�(�B� �� ������∈�(�B� �����∈�(�B� !

,��������∈�(�B� �� ����$3�∈�(�B� �

����(������� ��'�����3���#���(�→�(��� �������������'���������� �⊂�(��� ���,'����������

2����� ������������3�����6��

#�����������∈�(�B� ��� ����

�3�6��

#�

���)����(�������'������ ���������� ����∈�(��� ����"�� � ���(�B�>�@��� ���,'�����

'�����(�

���/�� �������#�6������������������ ���� �����'��������>����@��� ���,'�����

'�����(�

,��/�� ������(�� �#�

1

1

1

Page 56: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

���� �!��(����

������!

�� ��������� ������������

4 2,

8 4

x y yM x y

y x y

⎧ ⎫+⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭� �������������� � �����

�������"������� ��"����������� ��������������� ������� �����������,���Q

�� +���������������������� ����'�������������-���$����

�� 2����� ����������B�>3@������� ��'����� � ���

,� ������������ ������������ �����#����9�"��'���

� 0����������������#��������9�6�4�

�� ������'�����(������+�� �����������∈�(�������������������;�(�→�(���������6�������

�� ��������� ��������� ��,�G� ����

,� 2���:�(��6�>����|���∈�(@���������� �����:�(�������� ��'������������'�����(�����

H�����������4%������� ��

+�� ���������"� ��,�������������3�%���

������������� ����������

������"

+������������������������������������� ����'�����������#������������������1����∈���

�� /�� ��������������(�6���B�2

i⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

��� ����� ��� �,����������������"������� ����

,� /�� �������(������� ��'���

� /�� ��������������;�(�→��11�������6�#���$�3��� ����������������'���������(����

�������.��

�� 2� ������������������ �,�������� ���8������� ���������(�"������� ����'�����

H�����������4%������� ��

[���������#�!�,��9�!���#�!����#��

������������� ����������

Page 57: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������#

+������������������������������������� ����'�����������#������9���-����$�8��������∈���

�� /�� ������(�6���B�3

2

i⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

��� ����� ��� �,����������������"������� ����

,� /�� �������(������� ��'���

��/�� ��������������;�(�→��11�������6�#���$�9��� ����������������'���������(�������

��11�.��

�� ��������"��'����(�

2 2 2

2 2 2

4 2 2 2 3 3 3 2 4 2...

2 2 2 3 2

n n

i i n i

⋅ + − ⋅ + − + −∗ ∗ ∗⋅ ⋅ ⋅

H�����������4%������� ��

[���������#�!�,��9�!���#�!����#��

������������� ����������

������$

�� 2� �����������∈����� ����"�� ����B�>�@��.���������'���

�� 2� ������������������ �,�������� ���������������"������� ��"���������������%������� ��

S������������

�� ������ ���� �,����������������'������ ������G���

� � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � �

� �

� � �

H�����������97������� ��

+�� ��������������������������9���

������������� ����������

Page 58: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

����������� ��

�������

���� �������������� � ����������

������������� ���������������� � � �������� ����� ������������ �������� ������

� ����������� � �� �������� ��� ��������������� ��

� ������������� ��� ��� ���� ������ ��������������� ��� ������ � � ������ ��

� �������� �� �������� �

�� ��� � ���� � �� � � � ��� � � ������� �� ����� ����� ���� � ��� �� � ������ � �

����������� ������� ������� �� � � ����� �������� ������ � �� ������ �� �� ������� �

�!�� ����� ����������������

"��� !������ �������� �#

��������

"����� ��� ������������ �������� ��� �� �������� �$�%������ ���� �� ������� �

���� ���� % ������������������� ����� ��������� #

���� � �& ������$�� � ������������

���� � �& ��������� � �����

������� �� ���∈������ � �'���������(��������$�������

�������'���(��������$��������

)��������������� � �� � ���������������

����� ���∈�����������(������

�������� ����� ���� % ���������

*� ����������� ���� ���������$�� '������ ������ ��� ������������ ������� ������

� �����#����������� � � ������� �������������������� ��������� ��������������

������������������������������������������������������� ��� ������������ ���

� ������

+��������������� ������ � � �������������������������������������������������������$��

,�����������������$��� ���� % �������������������������������

-� � ����� ��������� ���������� �� ����.��������&����.��%��� ���� % ����������

�����������������

/�� ����������� � � ���∈��������������������� ���� �� �� �������0�

-� � ����� ��������������������'��� �� ����1�������1��%��� ���� % ����������

������������ ����������$�����

-� � � � ���� ������� ��� ������������������ ���� ������������������������

�� �������������������� ��� �������2��������� ���� ��� � � � �����������

Page 59: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������� �������������������������������������������������

�� ���������� ��

����$�����0��� ������� �������������

����$�����0��� ������� � ����������

����$�����0��� ������� � ���� ��

����$�����0��� ������� � ������� !

3� ��� � ��� � ����������� �

���� ��� � ��� � �� � � ����� �� � ���������.������ � � �������� � � �1�

�����(�40�1��156������(��76������(��76������(��7�

�� � ������∈������≥�8���� ��� ��������� � #��

������$��'�����

������$��'�����

������$��'�����

������$��'�

� ��� ����������/ ���� ��������������� ��

-� � ����� �� � ������ �������.������� � � �������� � � ������ ���

��

2 �� ���������#����������(� 4��∈��

�����9�� ���(�±�15�

���������(� 4��∈��

������9�� ���≠�.5�

���������(� 4��∈��

������9�� ���≠�.5�(� !

������

���������(� 4��∈��

������9�� ���≠�.5�(� !

������

�� ��������� ��������

"����� ��"����(�4�� #���→��� 9��������� 5����� �������� ������ �� ������� �%�

�������� �������������� �� ���� �������������� ��� ���������������������

����������������

-� � ����� �� � ����������������.������ � � �������� � � ����������������1�

��"�����(�4��#���→���9�������≠�.��������∈��5�

�� :�� ! ������������ ��� �� � ��� ����������������� � � ��

���;������ ��� ��� ��1�(�.�

�� *� ���� ��������������������� ���≥�8����������$��'�

� ������� ������ ���� �� �������������������� ���� �������� �������� ��%�

�������� ��

/;���������������$�� � ��������������������

������ � ������

)���������� ������������������� ������� �� ��� ��������$������ ������ ���� ���#

�������� ������ ��� � ������������������ ������� �

���;�� ���#

a '�� b $� c ��(� a '��( )b c+ �(�

�·( )a b c+ �(��· ·a b a c+ �(�

� �· ·a b a c+ (� a '� b $� a �'� c

<������ ����������� b �$ c ��'� a �(� b '� a �$� c �'� a

<%����� � � ����� �� � ������� 0 �� � � �������� � � � 1�

) ��� � � ���� �������#�������(�4 a �∈��

��9�������(�15�

Page 60: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � �

�� �� ���������� �� �����%�������������������������� ��3���� ����������Δ��∪�� �

�� ������������� �Δ� � ���� � ������� ����������∩� � �� ������� ��� �� ��� �

���;�� ��������� �� ����������#�Δ�$�(��#�=�$��∪��$�=�#��%�����Δ��� ������ ���� #� �#�Δ�$��Δ�%�&�#�Δ��$�Δ�%�����#��$��%�∈���<�

� #�Δ�$�&�$�Δ�#����#��$�∈���<�

� #�Δ�∅�(�#��∅� � � � � ����� ��

� #�Δ�#�(�∅����� � � � ��#� � ���� �������

�������������) ��� � � �#

� �#�∩�$��∩�%�&�#�∩��$�∩�%�����#��$��%�∈���<�

� #�∩�$�&�$�∩�#����#��$�∈���<�

� #�∩���(�#����#�∈���<����� � � � � �������� �

>����������#

#�∩��$��Δ�%��&��#�∩�$���Δ �#�∩�%�����#��$��%�∈���<�

? ����������� � ������ ������� ! �������� ����������

@�������� ��� � � ������������ �������� ���� � ��� ������ ! ������������� ��

�������AB�

�� *� ������C�D��$��'��0����������������������

�C�D�(�4������9� ���∈��5�⊂��

) �� � ��C�D� � ���������� ���������������� �������������� ��%���������� ����

����� ���� �� �� ����� ���������� ������

-� � ����� �� � ������������� !�.�(�.�$�.�'���∈��C�D

<�����������C�D��(�41��01�����0�5

-� � ��� �����������∈���C�D��������≠�.� � ���� �����������C�D��������� ��������

�������1

a bi+��������� ������C�D�������

2 2 2 2 2 2

1 a bi a b

a bi a b a b a b

−= = −+ + + + ��∈��C�D�⇔�

2 2

2 2

a

a b

b

a b

⎧ ∈⎪ +⎪⎨⎪ ∈⎪ +⎩

@�� �������#�

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

( )

a b a b

a b a b a b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ++ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E ��������2 2

1

a b+∈�������������� �

'

����'

�(�1�

<� ������������� �

2

2

1

0

a

b

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩�����

2

2

0

1

a

b

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩) ��� ��� ����∈�4�1��.�6��01��.�6��.��1�6��.��01�5�

<%����#�������∈�41��.��01�����015���������

Page 61: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ����

�� <�������� ����������� ��� ���� ������ �� � ���� ���� ����� � ���������

����� � �������������������������� � ! �������� ���� �� ������������������������

��������F.��

�� 2�� � ���������� �� ������������������$��'�� � ��� ��������������� ������

� ���� ���������������������� �� � ��'��G������������H�������� � �& ���������'�

� ������������������������������������������������������������� ������

���� ������������ ����������� ������

����������

�� �����$��'������� ���-� � ������∈������≠�.��� ���� % ����� ������ �����

��!��������� !������∈������≠�.����� ����� �������(�.�-� � ������∈������≠�.��� ���� % ����� ������ ���������"������� !���

��∈������≠�.����� ����� �������(�.�

-��� ������� ���������� ������������� � ������������ ������������� � ����������

�� ����

���� � �� ���� �������������������� ������������� �������������� �����#����������

����� ��

������� �������������������������������������������������������

�� ����� ������18��$��'��� 4 � � ���������������� ���� �� � � 4 �≠� 0 �� 4 �'� 3 �(� 0 ������ 3 �≠

0 �

����� ���� ��� ��������%�� 3 � � ���������������� ��

�� ����� ������8������$��'�������� ����(�

1 0

0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� � ���������������� ��

� ����I�������� �� � ������� ������� �������� !���������� �� �����(��(�

0 0

0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� ������� �����(�(�.8�

�� 2��� � � � � � �������� ���������������������� �#

@��� � � � ����� ���������� � ���������������� ��

���;�� ���#��������≠�.� � ���� �������%��������(�.��������01�'���������(�.� ⇔���

01�'����'���(�.�⇔�1�'���(�.�⇔���(�.�

�� -!������ � ���� ����������������������� ��

-! ��� #��� � � ���� ��� ����� �������(�.�⇒���(�.�������(�.�

Page 62: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

<� �� ! �����I��������� �������������� #

����������

:���� ������������������������������ ��� ���� % ���������������������

��C�D��$��'�� � ������� ! ������ ��� ����� ��� ���� �

:����� ��� ������� ���������� ����������������������� ������� ��������;����� ��%�

�� ����� � � �������� ���;�� ������;���� ��� ��������#������G��������H�� ������

�� ����� ���������������������� �� ��

�����������

���;����� ������$��'�������� � ��������������� �&���� � #

���*� ��������� ����������������� ��

���@����� �������� ���∈������≠�.����≠�.�⇒�������≠�.����)����� ���∈������ ����� �������(�.����������(�.�������(�.�

/������� ��� ��������;����� ���� ����� ���� �� ��� ������������������������ ����

�� ����� ��������������

<����#�� ����� ���∈������∈�����≠�.���� �#

��&���⇒������&����������������� ����� ��������������� �����

��&���⇒������(����������������� ������ ����

��������������&��������≠�.������� ����� ������������(��������� �����������������

��

) � ! ����#������ �����J��� �� 4 �'� 2 �(� 4 �'� 5 �%�� 2 �≠� 5 �

)����������� � ������������������������������ ��%�� �� ���∈�����≠�.�������#�����&������⇒���&��������������� ����� ��������������� �����

�����&������⇒���&��������������� ������ ��������≠�.����;�� ���#������&������⇒������)������&�.�⇒�����$��0����(�.�⇒���)���(�.�⇒���&��

�� ���������������� ��� ������� ��������≠�.�%���� ��������� ����������������� ��

Page 63: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ��� ��� ���� ������� ������

+��%�������������� ����������;����� ���� ����� ������� #���������������$������������

����'�������%�������� ��� ����� ������ �� ����������� �� � ������ ������

��������������� � !��� ������� ����������� ���� ��� �� ����� �� ����������� ����

�� ��� ����� ������ ������� � ���� ����������� ��� �� ��������� ! �

� �����

�� �����$��'������� ���� ��� ��<����#

�� ��'�.�(�.������������∈��

�� ������ �# �0���'���(���'��0����(�0���

�0���'��0���(���'�� ����� ������ �� ��

�� )����������$��0��������)��������#

����� �� ���∈�� ��'����)����(���'���0������ �������������� ������������

���)����'���0������ ��������� �G���� � H

�� ���;���������������������� ���� ������ � �� ���������� ������������

�� ���#

8�0��

8�(����)����������

������8�(�

8�$�8������

8����� �8���(�������

�0���

�(����)�������0�1���

��0�8�$��

��0�8�$��

��0�1�

�������

�(�0nC

�$�1nC

��0�1�'���$�

2nC

��0�1�'��

8�$�K�$�

nnC �

���∈��7

����!������ �� ����.�(������.�$�.��(�����.�$�����.��� ���� ����������������� �����������

����$������������.��� ��� ������.�(�.6�������� ��� ��.�'���(�.�

�� )���.�(�.�'���(�������0����'���(�������$��0���'����� ��� ������0���'��� �

��� �������������������������� ����0���'���(�0��������6�������� ��� �

�����'��0���(�0����

�� �������0����(���'�������)����(�������$���'��0����(�������$��0�����(����0���

�� / � ����� ����� ������� ��� ��� � �� ����� � ���� ������� ����2 L��

� ������� � ����� ������� �� �� ������ � � � �� ���� ������ ��M;�

� ! ������������

��� ����

N ���� �������������;����� ��������� ��%�������� ��� �����#

)��������� ���� �� ������������ � � � ��������1�≠�.����;�� ���#����������������������� ��1�(�.��������������∈����� ����(���'�1�(���'�.�(�.�

) ���� ����� �������(�4.5�������������� ������ ���

}}

Page 64: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

��"� ������ ��������� ��������� ����� �������������

<� ������ � � �� !��� � ����� ������� ������ ������� ���� � � � �����;����� �

��� ������������ ��� ������ ���� � � � �����;����� ����������� ��� ����� ������

� ������������ � � � �

��������

)������*�∈������(�1, n �%��*�(�1, n ����� � � � ��� ��� ����������$��'�����������

������ �����

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� ���� % ������ �� ������������ � � � ������� ��������$��'��

2������������������ ���� �������� �

� ������� �������������� ������� ���������� �������� ��$��%���������� ��'��

! ������� �� �������� ��%����� �� ���� ������������M;�#

)��� #�(�1,1,

( )ij i nj n

x ==

�%��$�(�1,1,

( )ij i nj n

y ==

�������

#���$�(�1,1,

( )ij i nj n==

α ����� �α�*�(��

�*�$��

�*� ������� ������� ������� �����

#�'�$�(� 1,1,

( )ij i nj n==

β ����� �β�*�(�

1

·n

ik kj

k

x y=

∑ � ������� ��������� ������� �����

� �������

)��������$��'�� � ������ �������������� ������������ � � � ����������������$��'�

� ������ ��� ���������������������������������������� ��������� � ��� �����+

����� ���� �� �������� ������������ ����� ��� ������� ���������������M*;��

E ��� ����� � � ����� ������� ������ � ������ ��.��(�

0 0 0

0 0 0

0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���� � � �������� � � ������ �����(

1 0 0

0 1 0

0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

}}

������.� � � � � ����� ����

�� �����������1� � � � � ���

���� ������ ���������

Page 65: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

)������≥�8���� ������������$��'�� � �� �������%���� ����������������� ����� �����

! ���������� � �#�(�

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�≠�.��%��$�&�

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�≠�.��� ���

��� �#���$�(�.�+

������ �������������������������������������������������������

+���� ����#�(�4.��15�%�������� ��������������#����#��

>����������#���Δ6�∩�� � ��� ���������

�� ������ � ���(�{ }

{ } { }0

1 0,1

⎛ ∅ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����(�{ } { }

{ }1 0

0,1

⎛ ⎞⎜ ⎟∅⎝ ⎠

��/�����������#���$�%��#�'�$

#���$�(�11 12

21 22

a a

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������

11�(�∅�Δ�415�(�415

18�(�4.5�Δ�4.5�(�∅

81�(�415��4.��15�(�4.5

88�(�4.��15�Δ�∅�(�4.��15

#�'�$�(�11 12

21 22

b b

b b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�����

�11�(��∅�∩�415� Δ��4.5�∩�4.��15��(�415�Δ�4.5�(�4.��15��G������*�0�������*H�

�18�(��∅�∩�4.5) Δ��4.5�∩�∅��(�∅�Δ�∅�(�∅��G������*�0���������**;�H�

�81�(��415�∩�415��Δ��4.��15�∩�4.��15�(�415�Δ�4.��15�(�4.5��G��������**;��0�������*H�

�88�(��415�∩�4.5��Δ��4.��15�∩�∅��(�∅�Δ�∅�(�∅��G��������**;��0���������**;�H�

:� ������� ��� ��� �����;����� ��� ������ �� � ������ ���� ��� ���� ��� ���%�

��� � � �������� �������� �������������� ���� ! ��� ������������ �� ��������

��������

)����#�(�1,1,

( )ij i nj n

x ==

��������� �#�def .

= ( )nSσ∈

ε σ∑ �'�#1σ�1��'�#8σ�8��K�#

���

��� �ε��σ��(��01���σ�����σ��(������������ ���������� ��������σ�

3� ������ ���� �� ������������ � !����� ������ � ����

Page 66: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

/�� ���� ���������� �������������� ��� ������� ������ ������� ���� � � �

����;����� ���� ��� �

� �������

"���� ��#�∈������ � ���� ������������� ������

������$��'�������%������������

� �#�∈�����

����!������

"���� ��#�∈������ � ���� ������������� !����$�∈�

�������� �����

#�'�$�&�$���#�(���

�1�

������������ � �#�� ������������������� � � ���������������� ����������

����������� �%��� � ������� �������������1������� �#

� �#�'�� �$�(�� �$�'�� �#�(�1��� ���� �#�∈�������

E �����#��� ����� ������ �#�∈������

+��%�������������M*;�������������� �� ������ ����� ����

�� +�������#�

������ ��������������������������&����� ��������������� ��#���

���� �

�� +�������#,

���I���������� ��#�� ����� ������� �� � � � �������� ��#�

� ��

���� � ����������� ������

�� ? �������� ����� ��#��#,

�(�#,

�'�#�(��� �#��'����

�� ) ��� �����#01�(��� �#�

01�'�#

7�

������� �������������������������������������������������������

�� �#�(�

ˆ ˆ1 2

ˆ ˆ3 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈��8���

18��%��$�(�

ˆ ˆ2 3

ˆ ˆ0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

/�����������#� � ���� ��������%��������������#01�

� �#�(��ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5·1 3·2 5 6 11− = − =

) �� � �� �#�(��11 �∈ ����

18��� ��� �����#� � ���� ������������� �����

8���

18��

������� ��� �� � �� ����� ��� �������� �#

#�

�(�

ˆ ˆ1 3

ˆ ˆ2 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6�#7�(�

ˆ5 2

ˆ ˆ3 1

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

6�#01�(�

�( ) 111

−�'�

ˆ5 2

ˆ ˆ3 1

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

�(��

ˆ7 2

3 11

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

) �� � �� �$�(�ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 · 2 0 ·3 2− = ������ 2 ∉ ����

18���� ��� �����$���� � ���� ����������

�� �����8���

18���� %��� �������������� �� � �� ���O

��������

���;����� ��� ������ �� � ������ ���� ��� ������ ��� ������ ����������

��������� ����� ��� ������ ����������������� �������� ����O

Page 67: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������

�� �� ��∈ �������������� ���� ������� ����� ������� ��� #

��⊥���(���������6�������(���������������0�+

/��� ���� ��������⊥����� � ��� ������������������������������.�

) �������� � � � � ���� ������ ��� ��� ������

��������

? ���������!�� � �� ��� �#

�� ����⊥�� � ������������

�� �� �� ���∈ �6������#� ���⊥����⊥���(������������⊥���(�����������������(�������������8�����

��⊥���������(���⊥������������(���⊥������������$��(�������������8

E ��������� � ��⊥� � ����������

� )�����⊥���(����������(���⊥���� ��������⊥� � ���������

� )�����⊥�θ�(���� ���������θ����(�����������θ (�)� � � � � ����� ����������� �

� ������

� ��⊥��′�(�θ�⇔������′�$��(�0��⇔��′�(�0���0�8�∈ �� � ���� ������ � � �����

�������������⊥�

E ��������� � � � � � �������������� ������� ������������⊥�

�� ������� � ������������

� ����� �� ���∈ ���� �������������(�C���������������)�D�����(

(�C������������-�)��$�D�'����$��0��(����������������������)�

������������(�����C��������������)�D�(��������C��������������)�D�(

(���������������������)�+�) ���� � �� � ����������

� � ��������� �� ���∈ � �������(���������������)��(���������������0��(�������� � ���� � ����������

� -� � ����� ���#

+�������∈ ����� ����� �������(�������&���������∈ ��)������������������� �������� � ����� �

������&���⇔���������������0��(���⇔���������������(������

) �� � ������� ����� �� ��� ����������������������������∈ ���� ��� ����

�����(�1����������(�1�0��∈ ��� � � ��� �����

�� ) ����������������� � ����� � ������������������ �������� � ��⊥�

)����� �� ���∈ ��������#�������⊥����(��������$���$���(�����������������8��0�

��������⊥���������(�C��������������)�D�⊥�C��������������)�D�(

(���������������)��$���������������)�����(

(���������������$���������������0��(�����������������8��0��

E ���������������⊥����(���������⊥���������

)����������� �� ��� ��%����������� ����!�� ��

Page 68: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

<���������� ��������� ����������������� ��� � �� ����� ����� ��� ���� ��

���;�� ���#�������(�θ�⇔���������������0��&�)�⇔���������������(�.�

(1)

⇔ ������(�.����������(�.�⇔���(�0��������(�0�����������(�θ�������(�θ� �&���� �����1���� ����� ��������� ��������$��'�� � ��� ����� ��� ���� ��

/��� ������� � � � � ���� ������ ��� ��� ����������⊥�����

��∈ �� � ���� �������⇔��∃���′�∈ ����� ����� ������′�(��′�����(��) �� � �������� � � � ����������� ��� �#

�����′�(���⇔����������′�����0��(�1�0��⇔����������′�����(�1�⇔⇔������ � ���������������1�⇔������∈�401��15�

) ��� ������� ��������⊥������� ����� � � � ���� ������� #�1�0��%��01�0��

�� 2�����.���������������������������������� ����∈���=�4.��15���� ���� � ����������

����������������������������

>������ ��������8�0���(�.��� ���������������� ! �� � ������������ ��

2������ d �������� � � �%���C d D�(�4��∈��9���(����� d �� ���∈��5�

�� /�������������C d D��$��'�� � ��� ���������

�� ) ���������������G����H��/�#��C d D�→��������/������ d ��(�8�0���

8��� ���

��� � ���∈����/��� �� ���� � #

1� /���1�'��

8��(�/��

1��'�/��

8�������

1���

8�∈��C d D�

8� -� � ������∈��C d D� � ���� ������������ �����C d D������%������������

/����∈�401��15�

P� �C 2 D��� ��������� �� � � � � ���� ������ �

��������

�� /���� �������������� ��%���������� ����� � ������� ! ������ ���� ��������

� ��C d D�

����� d ��$��′����′ d ��(�����′��$�������′�� d ∈��C d D

����� d ��'��′����′ d ��(��������′��$������′��� d ∈��C d D

����� ���� �� ��� ���� ��� ���� ������������� �� � ���� �����������������������

� ��� ���������

-� � ���� � �� ��� �� �������C d D� � � �������� ���� !� .�(� .�$� .� ' d �� ���

� � �������� � � ������������� !�1�(�1�$�.�'� d �

/�������� ���������� ���� ������� ����������������� ��

�� 2�������7�(��0�� d ∈��C d D��G��I�����H��������������

) ���/����(������7��Q�� �����������1�'��

8�7�(�

*1z �'�

*2z ��� �#

1� /��1�'��

8��(���

1�'��

8��'���

1�'��

8�7�(���

1�'��

8��'��

*1z �'�

*2z ��(�/��

1��'�/��

8��

Page 69: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

8� �� ���∈��C d D���� � � ����� �������6�� ��� !�����′�∈���C d D���� �����

��'��′�(�1��3� � ������G����H������ ��/���'��′��(�/�1��⇔ /����'�/��′��(�1�������/����∈�401��15

E �����#������/����∈�401��15��������′�(�/����'��7�%���� �#

��'��′�(�/����'���'��7�(�/���8�(�1��� ����� � ���� �����������C d D�

������������ d �∈���C d D�⇔��8�����

8��(�±�1�

P� +���������������� ��������� 2 �∈���C� 2 D�⇔�8�0�8�

8�(�±�1��1�

�1�$� 2 ��

�(����$��

�2 ���

��∈�����

��∈����� ����� ������������������������ � ���

��������������������2 L��%�������� ���� ������� �� ������

<����#��1�0� 2 ��

�(����0��

�2 ��� ���

2nx �0�

2ny '�8�(���

��$��

�2 ����

��0��

�2 ��(

�(��1�$ 2 ��

�'��1�0 2 ��

�(��1�0�8��

�(��01��

�(�±�1�2�� � � � ��� ���� �

��� �

�� � ������� ����� �� �1�� � ��� ��� � � � ������

�1�$� 2 ��

����∈����������� ������ �

��� ����

�����������>�.�� �������8�0���8�(�1�������� ������������ ������ ����� ������

�� ����������� �� ��������� ����∈���!���

���������� ���� �������C 2 D��$��'�����>�.���� ��������� �� � � � � ���� ������ �

�� �� ���C.��1D��(�4��#�C.��1D�→���9���������5�

<������������C.��1D���$��'�� � ��� ���������������������������� ��

��������

+ � ������ ����������� ���� �������� �� �� � ������%�����������������������

����� � ���� �������� ����� ��E ���� ����� ������ ���� ��� � �� � � ��� ����

�����������C.��1D������������ ��� ���������

+���� ������������ ������ ������#�C.��1D�→��#

������(�

11 2 , 0

21

0, 12

x x

x

⎧ − ≤ ≤⎪⎪⎨⎪ < ≤⎪⎩

���������(�

10, 0

21

2 1, 12

x

x x

⎧ ≤ ≤⎪⎪⎨⎪ − < ≤⎪⎩

@�� ���������������� ���������� �� �C.��1D��� ��� ������������(�.�

) �����%����∈����C.��1D���������������������� ��

Page 70: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � �

�� �� � �(� 6

3 ˆ| , , det 1ˆ ˆ4 3

a b bA a b A

b a b

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎪ ⎪= ∈ =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �

/��� ���� ����� ��'�� � ��������������������������R� ���

��������

� ���(����� 3 ��8�0� 4�8�(�8�$�8�� 3 '����$�P�8�0�S�

8�(�

8�0��

8�(�

8�0��

8�(�1 �

N� ���� �� ��� b �∈�{ }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4,5 ������ �#

� ����∈� ( ) ( ) ( ) ( ){ }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ1, 0 , 5, 0 , 2, 3 , 4, 3 ��) ��� �(�4�8�����(��05����

��(�

ˆ5 0

ˆ ˆ0 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��(�(�

ˆ ˆ1 3

ˆ ˆ0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��0�(�

ˆ5 3

ˆ ˆ0 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��<� �

�8�(�(

8�(�0

8�(��

8���(�&�(��&�0���0�&�0��&�(��(0�&�0(�&���

E ��������� ��'�� � ��������������������������R� ���

���/��� �� ��� ������ �����J���� ����

ˆ ˆ5 2 3

ˆ ˆ ˆ4 3 1

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩

��������

�� � ����������� �� � �

1�����������������

:���������� ���� �� � ���� �����������J������� 5 ��� ���� �������������������� ����� �

������ ��� ������������� ����� �%����������������������

@���� �� 5 ��(� ˆ ˆ3 2 y− �⇔�� 5 �01� 5 ���(�� 5 �

01�

ˆ ˆ3 2 y− ��⇔���(� 5 �ˆ ˆ3 4 y− ��⇔

⇔���(�ˆ ˆ3 4 y− �

)����������� �� �������������� ��� #

( ) ( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ4 3 4 3 1 5 1 5 · 1 5y y y y−

− + = ⇔ = ⇔ = = �

� ������(� 5 ������ ����(�ˆ ˆ ˆˆ3 4 · 5 1− = ��/�� ������ ����������������(�1 ����( 5 �

1��������������

-��������� ������������������� ��������� ����� ����0� 4 �%���������� 5 �

@���� ����� ���#�

ˆ ˆ ˆ2 2 0

ˆ ˆ ˆ2 3 5

x y

x y

⎧− − =⎪⎨

+ =⎪⎩�

Page 71: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<��� ���� � ����� ��������� �� ��� �%����%������ ����( 5 �

<� ������� ����� �������� �� � ����� ������������ ����(�1 �

? ������������ � �& ���1 � 5 �� � ������ ������ �������1��

��� ����

<������;���������;����� ��������������������.� �������� ������(������%����(���������

�&���� � �

)����� � � � � ����� ����������������&���⇔������(������

���������� #��������� ��� ������� ��������� ������ ���� ��������;����� �������

����������������������������� �� ������� �&���� � �

��� � ������ �� � ��������������� ����������G������������ H��N ��� �� ������

��������������� ���������������� ���������������

1�������������

�� ���(�

ˆ5 2

ˆ ˆ4 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

������ ��� ���� ������

/�� ����� ����� � �&���� ����'�

3

1

x

y

⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�1�

) �� � �� ���(�1�∈�����J���� ��� ���������� ���� � ���� ������������

8��

J��%�

� ������ ������ ������ ��������<������� ������� ��������1��������01����� �#

1 3·

1

xA

y−

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�

+���������01#

��

�(�

ˆ5 4

ˆ ˆ2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6��7�(�

ˆ ˆ3 2

ˆ ˆ4 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

6��01�(��� ���

01�'��7�(�

ˆ ˆ3 2

ˆ ˆ4 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

<����#�

x

y

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

ˆ ˆ3 2

ˆ ˆ4 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

'�

3

1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�(�

1

5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��,�������(�1 ����(� 5 �

��� ����

+������� �� ������������ ��%���� ����� ��� �������� ������ � �������� �������

��� � ���� � ������������� ����� ���� �������;����� ���� ��� �������� � ������ ��

�� ����� �����+��� ������R�� T �;+�� �����

Page 72: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

���/��� �� ���� ������ � �#�∈��8��

P���������� � ��#

8�(�

ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��������

�� �#�(�

x y

z t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �� �� ���∈ �P�

@���� ����� ���#

2 2

2 2

ˆ ˆ2 2

ˆ ˆ1 ( ) 1

ˆ ˆ1 ( ) 1

ˆ ˆ2 2

x yz x yz

xy yt y x t

zx zt z x t

zy t zy t

⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪

+ = + =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨

+ = + =⎪ ⎪⎪ ⎪+ = + =⎩ ⎩

/��� ��������� ����� ��������������� �#

�8�0��

8�(� 0 �⇔����)������������(� 0 �⇔���)���(� 0 ��1������������(� 0 ��8�

�� �� � ��P������ ����������������� ���

@�� �������� � ������ �8�� ����� � �� �� ���� ��� �� ������� � �� ���� %�� �� � ��� ��� ��

�&���� � ���� 0 �(�1 �E�� � ���������1��%��� ��������(���

+���� ��� ������� �8��%��P���� ���� ���������� ����(���%����� ����� �� ��� ���

2 2 2 2ˆ ˆ2 2

ˆ ˆ1 2

x y x y

xy xy xy

⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨+ = =⎪ ⎪⎩ ⎩

E ������������ ����(�1����(� 2 �%����( 2 ����(�1��%������� � �#�(�

ˆ ˆ1 2

ˆ ˆ2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6�#�(�

ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�� �� �����$��'������� ������ ������������ � � � ��1�≠�.��%��1�(�4��∈���9��8�(��5�

�� /��� �� ���� � ���������1� � ��������������1��� ��������������� � � � � �

�� )������ � ������������ ������� � ��������� � � � ���� ��� �����1+

�� )����1�&�������� ���� ���#

�����$���(�.������∈��6������� � ��������

��������

���/���� ���������������∈�1�������1�0���∈�1�����;�� ���#

�1�0���8�(�1�0�8��$��

8�(�1�0�8��$���(�1�0���

) ��� � � � � ����������1�� �������I������ � �&��� ����������1�0����

) ���������� ����& � ��������������� � � � � ������ ��� � �&��������� �� �

���;�� ���#��������� !�����.�∈�1���� ����� ��

.�(�1�0��

.��1������������������ �����

.�

������� �20x (��

.�0�

20x �⇔��

.�(�.�

<������1������ � ���.�(�1����������� �

Page 73: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� <� ������������#

U�1�(�4.��15������� ��������������� � �1�

U�1������ �%���� � � � � ����������� �.�%��1�

�� ��������� ��� � � � ���<�����%��1�0���∈�1��1�0���≠�.������������������ ����

�������1�0����(���)��8�(�.������� ������������������� � � � ���� ��� �����1� � �.�

�� �� )�����8�(���������∈������ � �����(�01����� ���01�

8�(��01��

� �� �������� �������� ��� ���01�8�(�01��'��01��(�1��� �����G� �� ��H��

E �����1�(�01�������1�$�1�(�.��� ���� ���������������� ������∈������� �#

������(�.�

��� <���#��� �� ���∈����) �������������(����

)����� ����� ������������8�(��������1�

������������8�(���������'���������(��

8�$������������

8�(�������$���������

+���� �������1��� ��� ����������(�.6� �&���� �����(�0�������������0����(����

�������������� ��� �����(������������

��� ����

:�� � � ����∈����������� � ���8�(�.�� ���� % � � � ������������������ ������

:���� ����� ��� �� � � � � � ��� �� � �� ���� % �������������

����������� ��

�� <��������������� ����������� ������������� ������� ��� �������������� ������

�� #

�� ����7�������� �������(�������$�8�%��������(�8����������S����J�

�� �������⊥������ �������(�������0�P6���⊥���(����0�P��$�18�

�� ��C 3 D��$��'�������������������� ��%���������� ����� � ���� �� �

�� 4���� 3 ��9� ���∈��5������������������� ��%���������� ����� � ��

� ��C�D��$��������� �������(���'���$�*����'�*����������∈���

�� �������$��'������ �������$��������(���������������%��������'��������(�������$����������

�� 1�(� | ,0

a ba b

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ������������������ ��%���������� ������� ���

&�

3| ,

a ba b

b a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ������������������ ��%���������� ������� ���

�� <��������������� � ��������������� �������������� ��� ������ �������� ������

� ������� �%���������� �

���P�6����4����� 3 9�� ���∈�8�56���� | , 3a b

a bb a

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

Page 74: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�� <��������������� � ���������� ������ ����� �������� ������ �� ������� �%����������

��� �������������� ��� ��

���3

| ,a b

a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� 6���� 0 0 / ,

0 0

a b c

b a b

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

�� <������ ��������� ��1� (� | ,0

a xa x

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� � � � �� �� ������� ��� ����� ��

������ ��%���������� ������� ���

<� ��� �������������������� �V

����� �1�(� 0 | , , ,

0 0

a b c

a d a b c d

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� ��/��� ���� ���#

�� �1��$��'�� � ��� ��� ������6

�� ����� ����1����� � � � ���� � ���� ����������� � ����� ��������� !����2�∈��7

��� ����� �#�2

�(�.P��

�� +�����������

����� ���∈�1����∈��7�

�� �� �ε�(�0� 1 3

2 2i+ �%�����ε��(�4����ε�9� ��∈��5��/��� ���� �������ε���$��'�� � ��� �

��������) �������� � � � � ���� ������ ��� ��� ������

�� <�����������C� 3 D�(�4������ 3 9�� ���∈��5� � ��� �������������������������� �

%���������� ����� � ������� ! ��) �������� � � � � ���� ������ ��� ��� ������

#� � ���� ������ ���� � ��� �������� �������(������������� �� ���∈���

) �������� �� ���∈������ ����� ��������'������� ��� ��

$� � ������� �����(�4.��1��8��K����0�15������ ����� ��� �� ������� �⊕�%���������� ��

��������/�� � ���� ���� �����⊕� ��� � � �� �� ��������) �������� � � � �

��� ������ ��� ��� ��������18��⊕�����

�%��E ���������� � � �� � ������#

���

ˆ ˆ3 9

ˆ ˆ2 8

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩��� ���∈��

186����

ˆ ˆ3 4

ˆ ˆˆ 2 3

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩��� ���∈��

1.6����

1

ˆ ˆ3 2

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩��� ���∈��

18�

Page 75: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���+���� ��������� � ����3�∈�8���

J�����(�

ˆ ˆ3 5

ˆ5 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��3�(�

ˆ ˆ3 1

ˆ ˆ1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���+�������������3���3��3��

���<�������������� � ����3�������� ������ �%�������������01��3

01�

���) ��������#�∈��8���

J����� ����� �:��?�(��

8�

�7��<��������� !������∈������ ����� ���

�&��86�������� ����3�

777

����� �� ��$������������������� ������� ��4�(�4��#� �→� �W�����������(�������$������5

� ������� ��� �� �������� ��� �⊕�%������� �����⊕�������(�������$�������%�������������(����������/��� ���� �����4��⊕����� � ��� ��

����� ���(�4��#�4.��15�→���9��������� 5��/��� ���� ��������$����� � ��� ��� �������������������

�������� ��

����� ���(�1�(�4��8�$���5�� ���∈������(�

0 1

0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

5�

/��� ���� ��������$��'�� � ��� �������������� ������ ������ �

������ ���1��$��'�����

8��$��'�������� � ��� ������� ���

1���

8������� ��� ��� �� �������� #

� ����$��� ����(������ ��������%��� ����'��� ����(������ ��������

���/��� ���� ��������$��'�� � ��� ���� ���� % ���������������������� � ����1�%���

8��

���/��� �� ���� � � � � � ���� ������ ��� �������������� ���S�%����

����� ���(�4�$�� 2 $�� 3 �$�� 6 9� �� �� ���∈��5�

/��� ���� ��������$��'�� � ��� ���������

������ ���(�

0 1

0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�%�����(�4����#�����9�#�∈�

8���5�

/��� ���� ���������$����� � ��� ������������������� ��%���������� ������� ���

�#���� /��� ���� ���� �������#�8�(�.

8���� �����������������

8��

8��

�� /��� ���� ������ ������8��

8���$������� �J� � � � ���� ������ �

�$���� �6�(� 3| ,x y

x yy x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �%�� �(�4��∈�6�5�� ���(�15�

���) �������������6�

���<���������� ����� � ������

���<���������� ������ ���S��$��

Page 76: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�%��/��� �� ��� ���� � � #

���

1

ˆ ˆ ˆ2 3 1

ˆ ˆ2 4

x y z

x y z

x y z

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

��� �� ���∈��X6����

ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ3 5

ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 9

x y z

x y z

x y z

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

�� �� ���∈��18�

����) ���������∈��J�� ������� ������ ����(�

ˆ ˆ3 1

ˆ ˆ2 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈��8��

J�� � � � � ����� ������

����� ������

����) ����������#��F�→��

F���� ����� �������$���� 4 ���(� 3 ���������∈�

F�

����/ ������ �������� ����(�

204 376 818

222 321 253

88 424 496

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

/������������� ��� ��� ����������������#

���� ��� � ����������6 ���� �� � ��������������P6

����� � ���� ������������P���6 ����� � ���� ������������

P����

�������? �������������������������(� 0 �������∈��X�

���) ��� ������������X�(�

X�$��

X������ ���∈��

X�

������ �����$��'������� ��%�� ���∈���������(�������/��� ���� ���#

����

�'���

�&���

��

������ ���∈���

����

�0���

�(���)�������0�1

�$���0�8��$�K�$��

��0�1���������∈��7�

����� �����$��'������� ��� �������%�� ���∈���

�� ����� �����1�0��� � ���� �������%���� � ���� ���������

���+����������1�0�����1�$�����

���) ��� �����������1�0��� � ���� ��������������1�0��� � ���� �������

������ �����$��'������� ���������� � ���J�(����������∈���

) ������������8�(���������∈����)���� ! ��� �� ��� ������� ��������� � �

�#���� �����$��'������� �������� �.�≠�1��<���������������������������'���� �����������������

������1�$�1�(�.�

7

Page 77: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ���� ��

��������

�� ��7��$��'������� ������ ������������ � � � �

*� �����7��$��'��� ���� % � ��"����

������∈�7����≠�.��∃���′�∈�7���� ����� ������′�(��′�'���(�1

<%����������� � ������ ������������������� ����

� � ��� ���� � ���� �������

+������7��$��'��� ���� % � �������������� ���

� � ������� ��� ���� � � � � � ������� � �

���������

������� �������������������������������������������������������

�� &��"��������� �

����$��'�������$��'�������$��'������������������� �

�� &��"���������"'����� �

E ������������∈���=�4.��15�� ���� % ���� ��� ����� ��������� � �������������

��������������������������

����� ������������ �

��� d ��(�4���� d 9� ���∈�5������ �������� ������ �� ������� �%���������� ���

������������ � ������������������������������������������� d � ���������

� � ������������������ ! ��� � ����� ���8�(����

���;�� ���#������������������������� ����������� d ���$��'�� � ��� ���������

<� ������� ����������%������ d ���$��'�� � ��� ������������� �����������

� � � �

�������#������ ���� ����� � � � ��� ���� � ���� ������#��������(����� d �� ���∈��

%����≠�.�������#

2 2 2 2 2 2

1 1·

· · ·a b d a b

dz a b d a b d a b da b d

−= = = −− − −+

∈��� d � � � ��� ����� ������ ��

��� d ��

������������#��� 2 �6������6����� 3 ������������������� ������� � ��������

��� 3 �������������� ������ 3− ��

+��

*� �

Page 78: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

���()��"��� ��"�� �������

�� �4�(� | ,u v

u vv u

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �

-� ��%��� �� ����������4����� �������� ������� ������� �%���������� �������� ��

� ��� ����8� � � � � �������� ��

E�� � ���������������� � � � ����(�

u v

v u

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�∈�4����≠�.8�� � � � � ����� ������

����� ������

���;�� ���#�� ���(�����u �$���� v �(�9�98�$�99

8�(�.�⇔�9�9�(�.�%��99�(�.�⇔���(�.�%���(�.

⇔���(�.�

E ����������≠�.�⇔�� ���≠�.�

) �� � ������ ���′�(�det det

det det

u v

A A

v u

A A

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈�4�%����′�(��′��(��8��� ���������� �

��� �������6�� ����4��$��'�� � �����

<���������������� ��� �4� � �� ��������

�� ���(�

0

0

i

i

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�%��3�(�

0 1

1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

<� �#���'�3�(�

0

0

i

i

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

6�3�����(�

0

0

i

i

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

6�� ����3�≠�3��

��� ����

-!������ ���������������� ������ V

E��������� � � � ����� %�� � � ������� ��� ��� � � � � ������� ����8���������#

9�����������������������������

�� +��������������� ���� �� ������������

)������ � ��������������������� ���������$��'�� � ������������

>����������� ���������$��'��������a � � � � � ����� ������������%�������������� ����(�1���1�

<�� �� �� ���� ��18�� $�� '�� ��� � � ���� � �� � � ����� � � � � � � ��� � ���

� ��� ������ #�� � ! �����ˆ ˆ2, 3 � ��

�����&������������ � �������������� ������� �2��1�≤�2�≤���0�1���� ����2 ����(�1��� ��

���� � �� ��� ��ˆ ˆ1,2 K��

�1p − �������� ������ �

E �������������$��'�� � �����������������������������������������������������

Page 79: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

#������$��

�� @��� ����� � ��� ����������������������� ��

����!������ ) ������������� ��� � ����������

�� ����� ����� !����� ���∈�7����≠�.����≠�.����� ����� �������(�.<����#�������(�.�⇒��

01�'������(�.�⇒���

01�'����'��(�.�⇒�1�'���(�.�⇒���(�.�

��������� �

�� "����� �� � � � ���� ��� ��� ������������� �������� ��������������� ����������

� ������

����!������ �� ��7��$��'���������%��77�(�7�=�4.5�

U )���� ���∈�77�������������∈ 77��� ���77� � ���� ��������������7������������������� ��

U �������� �� � ����������%���� � � � ����� ����1�� � � ��������

����� �������

U )������∈�77���������� � � � � ����� ������������ �������7��$��'��%�

�����01�&��

01�'���(�1�

) ����� � � � � ����� ������������������� �������������

) ��� ������ � �& ���7��7��'�� � ������

����������������,��'�� � ���������� ��� � ������������

�� @��� ��� ����������������������� ��������� � �����

����!������ 2����� ���� ����������<����������� � � � ���∈�����≠�.�� � ���� �������� ������ ������ ������ � � ����������

�#���→�����

����(������

�������� � ���I ����#������(��

����⇒������(������⇒���(����� �� �

�� ��������� ����������������� ���

) �� � ������� ���� � ��������� ���������� � �%�����I �����

<����#� !����′�∈������ ����� ���′��(�1��� ��� � � � �&���� ����

′�(�1��������� � ���� ������������ ����<����#�����������������

����(�������� ����������� � ���� �������%�

���� ����

+������� ������� ���������� ���������� � � �� � ���� �������%�

���� ����%������� ����������� �� � ���� �������

��� ����

���� ������� ������ � ����������������� � �������

@��������������� � ��� ��������$��'����� � � ���������������������� ��%����� � �����

Page 80: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � �

��"� %���!��� ������������� ��

+�� %�� ��� ������ ����������� ������� � � � �� ������� � %�� ���������� � �� ���������

��� ���� �� ��� �������� � ��� ������������� �%���������� �

����������

�� �����$��'��%����′��$��'�������� � ��/ ���� % �����������������������

��#���→��′��������� ���� #1� ����������(�������$������������ ���∈��6

8� ����������(�������'������������ ���∈��6

P� ���1���(�1

�′�

:���������� ��������� ����� ������%��� ���� % �������������

������� �������������������������������������������������������

�� ����������#���→����������(��� � ��������� ��� � �

�� ����������#���→�����������(� x � � ��������� ��� � �

�� ��������:�#��C 2 D�→���C 2 D��:������ 2 ��(��)�� 2 � � ���� ����������

�� � �

��� ����

�� ������������ ������ �������������������� ��� � ����������������� � ���������

���������) ������� �����������.���(�.

�′�%�����0����(�0��������������∈��

�� +������� �1��%��8������� �������������������� ��� � ���������%������������� ������

� � ��� ����G��������H� � � ���������� �

-� ������������� ����#���→��′��������(�.�′��������∈������� ���� ���� % ����� � ����

����������������1���(�.

�′�≠�1��

����������

�� �����$��'��%����′��$��'�������� � ��/ ���� % �� �����������������������

��;���→��′��������� ���� #1���� � ���I ����6

8���� � ��������� ��� � �

����� ���������� ������� � � ���%���′���������� �%������ ����� ��′�:������������ ��� � �� ��������� ����� ������%��� ���� % ���������������� ������

Page 81: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������� �������������������������������������������������������

����� ��� � � ���C�D��$��'��%������$��'������ ���(� | ,a b

a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �

����������#���→��C�D�����a b

b a

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

�(������������ ���∈��� � �������������� ��� � �

? �������

1���� � ���I ������� ����������

8��)����#�(�

a b

b a

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�%��$�(�

a b

b a

′ ′⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′−⎝ ⎠

�������

����������(���

( )

a a b b

b b a a

′ ′⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′− + +⎝ ⎠⎝ ⎠

�(�����′��$���������′��(���������$��′�$���′��(�������$������

����������(���

( )

aa bb ab a b

ab a b aa bb

′ ′ ′ ′⎛ ⎞− +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′− + −⎝ ⎠⎝ ⎠

�(��′)���′��$�����′��′���(

�(�����������$��′���(�������'������P� ����

8��(�1

�� ����������#��� →����������( z ��������∈��� � ������������������ ����������$��'�������

����� ��� ��%��� �������

��� ����

@������� ���I �������#���→��′���� ���� ���� % ����� � ������������������ �������

������������ ��� � ����� ���� % ������%��� ���� ���

���;�� �����/��������������1���(�1

�′�� ��′�∈��′��)������������ ����I ����� �� ��� ����� !������∈������ �����

������(��′��<����#

�′�(�������(��������1���(�������'����1

���(��′�'����1

���%�

�′�(�������(����1��'����(����1

���'�������(����1

���'��′�

E �����������1��� � � � � �������� ������ �������′��� ������1

���(�1

�′���������� ����� ! ������1��������� ���� � ������ ������� �������� ��P��

����������

�� ��7��$��'��%���7′��$��'������������������������#�7�→�7′�� ���� % ��������

�� ��"������� � ������������� � ���7�%��7′�

:���������� �������������� ������%��� ���� % ������������������������� �� ����

Page 82: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

������� �������������������������������������������������������

�����#���→����������(��� � ��������� ��������

�����#���→����������(� x � � � ��������������������0�

��� ����

�� )������#�7�→�!� � ������������ ����������������� � �%���������������������

�7��$��%���!��$���� �� �����77��'��%���!7��'��

��������������� �����.7��(�.

7′6����0����(�0��������������∈�76

���17��(�1

7′6�����01��(��������

01��������∈�77

�� @��� ��������� �������� � �������� ���I �����

���;�� ���#��� ���#�7�→�7′������������ ��������%�� ���∈�7���≠���<�����������)���≠�.��� ���������)��� � ���� �������%��� ��� !������∈�7���� �����

��)����'���(�17��) ��� �

�����)����'����(����17��⇔�����)����'�������(�1

7′�

:����� ����� �������������)����≠�.��� ���� ������0�������≠�.�������������≠��������������

���������!

�� ��7��$��'��%���7′��$��'������������������������#�7�→�7′�� ���� % �� ��������

� ������������� � ��������������� � ���7�%��7′�

����� ������������� �7�%��7′���������� ��� ���7�� �7′��:������������ ������

������� ������%��� ���� % ������������������������ �� ����

������� �������������������������������������������������������

���/������� ����������� �����$��'��%���7��$��'������ �7�(� | ,a b

a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �

����������#�7�→������

a b

b a

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

�(������������ ���∈��� � ��������������

��������� �� � #

1� �� � ���I ������ ��� ���

8� ����������(�������$�������%�����������(�������'������������ ���∈�7��� ������� ��� ������

� � ������ ! ������1�� ������������ �� ��� � ��

�� ����������#���� 2 ��→���� 2 ���������� 2 ��(��)�� 2 � � ���������������

����������� 2 ���� ����������

Page 83: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������

�� �� �7�(� | ,a b b

a b Kb a b

⎧ ⎫+⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭��<��������������� ��7����� �������� ������

� ������� �%���������� �������� ��� � ����������� ������

��������

2���1�� ����(�

a b b

b a b

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

@�� ��������1�� ����� ��� ����� �1�� ����(������������#����� �#�(�

1 1

1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

E ����������#8�(�

1 1

1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 1

1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�(�

2 0

0 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�(�8��+

� ? ����������������� ��%���������� ������� ���� �������� �� �7�

1�� ����$�1��� ����(�������#��$��������#��(���������$��������#�(�1���������������∈�7

1�� ����'�1��� ����(�������#��$��������#��(����$�8�����$���������#�(

&�1������8�� ���������∈�7

� <!�� � � �� ������ ���� ��� � �� �������� ������ �� %�� �������� ������� ��� ���

�8������������ ���� �� �� ��� �

�-� � ���� � �� � ������ ��1�.�� .��� ���� � � ���� ���� � � ������ �

1�1��.��(���

� "���� ��1�� ������ �� ��������8�0�8�

8�%�� � ���� ������������

8���������%�

������������ ������������� � �� ���#

� ��1� �����(�.�⇔�8�0�8�

8�(�.��⇔��&�.�%����(�.��� �� � � ���∈��

�1� �����

�(�

a b b

b a b

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

���1� ����7�(�

a b b

b a b

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

�1� ����01�(�

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

a b b

a b a b

b a b

a b a b

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

�∈�7

E ������������� ��1� ���� � ���� �����������7������%������������� � �� �����

����� ����� � � � � � � � � � ��� � �� � �� ������ �7�� $�� '�� ���� ��� ������ �� � ��

�7��$��'�� � �����

Page 84: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�� /��� ����� ���������������%�������������������������S� � � � �

��������

�� �7�(�4.��1��� ��5���������������� � � � �

�� @�� ��������1�$�1�≠�1��� ����1�≠�.��%��1�$�1�(�.���;�� ���#������1�$�1�≠�.�%��1�$�1�(����������������������(��1�$�1��$��1�$�1��(�1�$�1�$�1�$�1�(�.

�� �� � ���������7��$���� ������ � � � ��

����#�������(�.�⇔���'��1�$�1��(�.����������%��1�$�1��������������������� ��������6

��������� �

) ����1�$�1�(�.������� ��������������������� �� ��� ��������(�.��������(�.�

3�������������� � �� ��������I��������������� ����������� �������%��� �����

� � � � ����� ���� � ����:��������� �������� � ����������������E � � ���

��������7��$�� � ���������������������R� ���

� . 1 � �

. . 1 � �

1 1 . � �

� � � . 1

� � � 1 .

���/��� � ����� � � ��8�

-��� ���8�≠�.������������ ���

8�(�1�������

���0�1�8�(��

8�0���)���$�1�(��1�$�1��0���������(�.�$�.�(�.6

� �������0�1�(�.����������(�1����������� �

2���� ���� ���8�(����� ����

8�(��6��������

8�(���

:������������I�����������������77��'��%������������������� �7�

* 1 � � * . 1 � �

1 1 � � . . . . .

� � � 1 1 . 1 � �

� � 1 � � . � � 1

� . � 1 �

�� ���;����� ������$��'���.�≠�1���� ��������(�1�$���������� ���∈���=�4.5�

���/��� ���� ������ ���� � ��������

���/��� ���� ��������$��'�� � ������������ � � � �

��������

�� ) �� � �����$�� � ���������������� �����������(��������� ���� �� ��� �����

1�$�������(�1�$���'����������������(���'��������� ���∈���=�4.5�

���������.������������ � � � ���� ����� ���� � ��������

Page 85: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� ��� �����(������� �������������� �

������(�1�$��8�⇔��

8�0���)���$�1�(�.�⇔����0�1�

8�(�.��1�

) �� � ��� � ������1�� � � �&���� ��������)1�(�.����������(�1�

���������� ���� �� ��� �������� � � � #���(�4.��15�

�� �� ��7��$��'����������������

/��� ���� ������������ ��7��$���%���77��'�������������� �

��������

/���� ����� ��������� ��� � ����������������#��7��$��→��77��'�� � ��������������

��������

<��������.��(�1�%�� !������∈�7���� ����� �������(�0�1���������I ����� ��

<��������������� #������≠�.�������(�.��� <� �����0����(������

01�(��01�

01�(�0�1��+����� � ���I ����������������(����0����

) ��� ����(�0���� �&���� �����������(�.�⇔���1�$�1��(�.�⇔�1�$�1�(�.��� �� � ��

≠�.��<�����1�(����.��(����1�$�1��(����1��'����1��(�����1��

8������������1��

8�(�1�

� �� �������� �����1��8�(�1�⇔�����1��0�1�

8�(�.�⇔����1��0�1�(�.�⇔����1��(�1�

+����� � ���I ������� �����1��(����.���������1�(�.����������� �

�� ) ��� ��1�(�0�1��������1�$�1�(�.6������ ���������������� �������������������

.�(�1�

�� �� �� ���∈��7����<��+���) �������� �������� � ��� �������

��

���<������������ !���������� �� �����������

�+

��������

�� �� ���#����→��

����� �������������� �������

��

��������������� � ������������������������$��

E �������� 0 ��(� 0 ��>���������1��(1 ��) ��� ����

��� x ��(���� ori

1 1 ... 1x

+ + + ���

��(����1��$����1��$�K������1��(�1 �$�1 �$�K�$�1 �(� x �

@�� ����������� x �' y ��(�����xy ��(��xy �(� x �'� y �(���� x ��'���� y ��

E ������������� ����������� ����������� ���� ����

�� /���� ����� �������� !����������������#����→��

���<������� 0 ��(�0 �%���� 1��(�1 �

+��%����������� ��� ��� ������� x ��( x �

�����0 �(��� 0 ��(��� n ��(�n ��� ���� �� ����������≡�.����������������� � ��������

� ������������� ������<���

Page 86: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�� � ���� �� ��� ���� ��� �� �������� �������(�������0�1��������(�8�����)���)����$�P�

�� <������������������� � ������������������$��'�������;�����������

��#�� →����������(��������

���E ������� �������2 5

2

x +��� 2

1 7log (4 4)

2 2x+ = �

��������

�� N������ �� ����������������� ����� �������������� � �����

�-� � ����� �� � �1������ � � ����� ���� � �3

2��

)������1��(�.�%����3

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�(�1��� ����������(�8����(�8�%��������(�8��0�8

? �������������� � ����������

�� -� ������������G��������H�%������ ������ ������������������$��'��

2 52

x +�� 2

1 7log (4 4)

2 2x+ = �⇔� 2

2 5 1 7log (4 4)

2 2 2

xx f

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞∗ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�⇔

⇔���2log (4 4)2 5 7

·2 2 2

xxf f

++ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠�⇔��8���$�P��'���

8����$�1��(�X�

<���#��� ��������� ��01��.�� ������������ �������������� ��.��∞���� �������������

��(�1��� �� � �������������� ������� ��� � �������� ����� �����������������

����������������� �%��������� ����� ��

�� �� /��� �� ���� � �������� � ��� ����������$��'��

�� �� ���%������� � ���� ������ � �� ����� ����≠���

<����������� � � ����C d D��$��'��%�����C e D��$��'�������������� �

��������

�� �� ���#���→�������������� ��� � �

<� �����.��(�.�%�����1��(�1��) �� � ��� � ������������������������$���� ����

������(����������∈����������������

) �� � �����������(�������'��������� ��������������(��� � ������������������ ��� � ��

����������

�� �� ����� ����������������� !����������������� ��� �

��#���C d D�→��C e D��) ������.��(�.�%�����1��(�1�

<��������� �������������(��′��������∈���

�� �� !��� ����������������������C d D������%���������������� � ���(����� d �

���∈�������;�� ���#

������� d ��(������$����� d ��(������$�������'���� d ��(��������� d ��

Page 87: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

) ����� � �� �������� ����� d ��

�� ���� d ��(������ e ��<����#���(�������(����� d �8��(����� d ��

8�(��

8�$��

8����8��� e �

) ��������� �#�

2 2 1

2 0

m n e

mn

⎧ + =⎨ =⎩

)������(�.���������8��(����%�������� � ���� ��� ����� �� �������#

��(�1����������(������������� �

)������(�.����������(��86������� � ���� ��� ����� ���� �������∈�4.��15�

��������� �

����������� ��

�� <������ ��� �� ��� � ���� ������ � � ������� ��������� �� ����� ���� �� � � �������

��� ������� ����������������� ��� �� �������� ��� ���� �

�� �������⊥������ �������(�������0�X6���⊥���(�0����$�X��$�X��0�8.6

�� �������°������ �������(�������$�3

46���°���(�S���$�P��$�P��$�

3

26

�� �������$��'������ �� ����$��� ����(������ ��������%�

� ����'��� ����(����)��� �������������6

�� �������$��'������ �� ����$��� ����(������ ��������%��� ����'��� ����(

(����)��� ������������������� � ������� ! �6

� ���� 2 �� 3 ���$��'������ 2 �� 3 ��(�4������ 2 �$�� 3 �$�� 6 5�� �� �� ���∈���5

����������������� ��%���������� ����� � ���� �� 6

�� �7��$��'������� �7�(� | ,3

a ba b

b a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ������������������ ��%���������� ������� ���

����� ����3 7 ��(�4�����

3 7 �$���3 49 W� �� ���∈��5�

�� <������������3 7 �� � ���� ��������������������������������� ��%���������� �

��� � ���� �� �

�� <�������������������3 7 �$���

3 49 (�.�� �� ���∈�����������(���(���(�.�

�� <�������������3 7 ���$��'�� � ������������

�� <� � �%����� ������ �������3 2 ��

� ,��������� �����������3 7 ���������������8�$�

3 7 �03 49

Page 88: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

�� �� �!�(� 3

ˆˆ ˆˆ| ,ˆ ˆ

a ba b

b a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭� �

�� <���������2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0a b a+ = ⇔ = �%��

ˆ 0b =�� + � � � � ��� ������� ��!V

�� <����������!��$��'�� � ������������

�� )���� ! ��� �� ��������8X�� � � � � �

���� ������� ��������� ����� ��� �� �������� #

������(�������0�S6���⊥���(�0����0�S��0�S��$�8.6

������(�������0�F6�������(����0�F��0�F��$�XJ

���/��� ���� �����������⊥��%������°����������� � ������� �

���/��� ���� ������#���→���������(���$�P� � ������������� � ����������⊥��%������°�����

����� ���C.��1D��$��'���� ������������������� �� ���� �� �C.��1D���������������

<�����������#���C.��1D��$��'��→����$�'��������(���1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� � ��������� ��� � �

�� <�������������������#����� 3 ��→�R6������(���)�� �'������� ���(������ 3 �� ���∈��� �

���������� ����������� 3 ��%��������R�(������� ���� ! ��������1����

����� ��������� ����� ��� ����� ��<��������#

�� ��(� | ,x y

x yyd x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� � � ��� �������������������������� ��%���������� �

����� ���

�� ����������#���C d D�→���������$�� d ��(�

x y

yd x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� � ����������� ��� � �

#� <��������#

���"����� ���� � ������������������������ ��� �������(�5 55 x y+ �%����⊥���(�������

���/��� ���� ���#���#�����$��⊥��→�����$��'���������(��X� � ����������� ��������

$� � ������� ��!�(��.��∞��� ������� ������ �⊕�%��⊗��������⊕���&�������%����⊗���(������

<��������#

����!��⊕��⊗�� � ������������

�������������#�!�→����������(������ � ����������� ��������

Page 89: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

777

�%��� ������� ����� ������� ��� �� �������� #

������(�������0�86����⊗���(�8���0�S��0�S��$�1.�

/��� ���� ���#

����������⊗�� � �����������6

���������⊗��� ����$��'�������;������������� �����������(�ω������

����� ������ ��� ��∈���� ����������������#���→�����

����(�

,

0, /

ax x

x

∈⎧⎨ ∈⎩

� ��

�� <��������������� ��%������� � ������������� ������� ������� �

"�(�4���9��∈��5����������� �������������������������$��'��

�� +��������#� 5 7 401 1 1 1

2 3 200 2 3 200

f f f f f f⎛ ⎞

+ + + − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

� � 6�� 2

2

6 124 10 2

n n

n n

f f f+

+ −

° ° °�

����� ���(�41�� ����(�

a b

b a

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�9� ���∈��5�

���/��� ���� ���������� �� ������ ������ ������$��'�� � �����������

���+�����������

���� ���(�

3 1

1 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���:���� ��������������� ��������������� ����� � ������� 3 3

(3,3)

( 9,9)

x y M

x y M

+ =⎧⎨ + = −⎩

������ �6�≠�∅�%�����6�������������������������� �

<�%��������������∈����6�������������#�6�→�4.��15���

�����(�

1,

0,

x A

x A

∈⎧⎨ ∉⎩

�������������������� ���������������������

� ������� ��"6�(�4�

1��9�1�∈����6�5������� ��� ��� �� �������� �⊕�%��⊗�����#

���⊕��

(�(��

��$��

(�0�8��

��'��(�%���

��⊗��

(�(��

��'��(�

���/��� ���� �����"6��⊕��⊗�� � ��� ����������������������������.�

���/��� ���� �����"6��⊕��⊗�� � �����6���Δ��∩��

�7��)�������(�∈����6������� �� ���� �#�∈����6������������ #

������#�(�(6��������$��

#�0�8��

��'��#�(��

(�

������ /��� �� ���� ��������� � �������������$��'�

�� /��� �� ���� ��������� � �������������$��'��

�7��/��� �� ���� ��������� � �������������$��'�����#���→������������ � �

������(����������∈���

����� �����$��'������� �����.�≠�1���� �������� � ���8�(�1�������∈�<=4.5�

/��� ���� ��������$��'�� � ������������������������8���������

P�

7

Page 90: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � �

&�!��� ������ ���

���� ���

�� �� ��� ��������$��'������ ���(� | ,0

a ba b

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

� ��/��� �� ���� ������

�� � ���� ������� ��� �� �������� �������(��������0�8����⊥���(����0�8��0�8��$���

) �������� �� ���∈������ ����� ��������⊥������� �����

�� )�������;����� ������$��'���� ���P�(��

8��������∈�����������

8�(���������∈���

�� �� ��������������'����� ����� �������� � �� �������� ��� � � � ����� ����P�������

����� � ��� � � � ����� ����F�

)������#�����$��'��→����������� � �������������� ������������� �� ���� ���� ����

����1F��������������

3����� ������#�X.����� �

Y�� �#���8�����P�����8�����8���@�����#�1��

���� ���

�� � ��J�� ������� � ��������(���������������������� ���∈��

J�

) �������� �� ���∈��J���� ����� ������� � � � ��� ����

����� �!�(��0�∞��1��%��� ��� �������(�1�0��10�������1�0���

����⊥���(�������)���

���) ����������#��!�����⊥�� � �����

���<�����������������"�#�!�→����������(�����1�0���� � ����������� ��������

�� �� ��<��$��'������� ������ �<�(�4.��1�� ��5�%����#�<�→�<��������(�1�$���

���<�����������#�<�→�<� � ���I �����

���������������������� ����������1�$�1�$�1�$�1�(�.�

���) ����������������<� � ������������1�$�1�(�.�

3����� ������#�SX����� �

Y�� �#���P�����P�����P���@�����#�1��

Page 91: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� ���

�� � ���� ������� ��� �� �������� ���⊥���(��������)�1�%��������(���������������$�8�

) �������� �� ���∈���� ������� �����⊥����� � �����

�� /�������� ��� � � �C��C�D��$��'��%�����C 5 D���$��'�V

�� �� �7�(�4.��1�� ��5�⊂�����8������

.�(�

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��1�(�

ˆ ˆ1 0

ˆ ˆ0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���(�

ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�%����(�

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

) ��������������� ����7��$��'�� � ����������������� ������ �� ������� �%�

�������� �

3����� ������#�SX����� �

Y�� �#���P�����P�����P���@�����#�1��

���� ���

�� +���� ���������� ��!�⊂��8�����!�(�

0|

0 0a

a⎧ ⎫⎛ ⎞ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

� �

�� /��� ���� ���������� ������� ��%���������� ������� ����!� � ���������������

�� /��� ���� �����!��$�����������$�����

�� /��� �� ��� �����F���� ����

� �2 4

3 5

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

− =⎪⎩ �

�� /��� ���� ��������������#��8����→��

8��������

a bc d

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

�(�

ˆˆˆˆ

a b

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����∈��7�� �

�������� ��� � �

�� �� ��<��$���������� ��%���∈�<��)�����

�(�.����∈��7��� �����������1�0�� � ���� ������

%���1�0��01�(�1�$����

8�$�����$�

�01�

3����� ������#�X.����� �

Y�� �#���P�����P�����8�����1���@�����#�1��

Page 92: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��� � � � � � �

��������������� �� �� ����������� ��� ������

�������

���� ������ ��������������������

������������������ ��������������������������≠���

������������� ������ �������� ������ ��� �����≥� �

�����∈���� ������������� ���� � ��

������������ ��

������ � ���������������� ��������!�"��� ������������������� ������������� ����#

������

$��%��

�����������%

&������������ ������������∈������'�������

����

$��%��

��������%������'���

����

���%��

���������%

�� ����#

� ����� � �#���'�������������������������'��

�������∈��(

� �������#�������'��������

����

$��%����������������

�����

�����

�������≥��(

� ���������#�������'�������

����

$��%�����%������

��'������

�(��

��'��

����

�����

����

�(��

$�'��

����

$����

����

�����

$���

�(

"��!����� #

���'��

�������

����)��

���%����

��'� i j

i j k

a b+ =∑ �

*+������ ����������������"��� ���������� �!��������+�,�����+���� ����������������#

���'��

�����

��'��������>���-�.����/(��

��'� i j

i j k

a b+ =∑ �'��������>�������

������� �������������������������������������������������������

������'���0����������� ����'��

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2, 0, 1, 4, 0 �������'��ˆ ˆ ˆ ˆ3, 2, 2, 0 ������

1�����#�������'��ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3, 0 2, 1 2, 4 0, 0+ + + + �����'��

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0,2,3, 4,0 )�

������'�������

����

$��%������

���'��

����

��'� 2 3 �'�1

���'��

���

�����

����

��'� 2 2 ��� 0 3 �'� 4 �

�$�'��

���

$����

���

�����

$��

��' 2 2 ��� 0 2 ���1 3 �'� 2 �

�2�'��

���

2����

���

$����

$��

�����

2��

��' 2 0 ��� 0 2 ���1 2 �� 4 3 �'� 4

Page 93: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

����� ����������������������������������������������������������������

�3�'��

���

3����

���

2����

$��

$����

2��

�����

3��

��' 2 0 ��� 0 0 ���1 2 �� 4 2 ��� 0 3 �'� 0

�0�'��

���

0����

���

3����

$��

2����

2��

$����

3��

�����

0��

��'� 0 ��� 0 ��� 4 2 ��� 0 0 �'� 3

�4�'��

���

4����

���

0����

$��

3����

2��

2����

3��

$����

0��

�����

4��

��'

'� 0 ��� 0 ��� 0 ��� 0 ��� 0 ��� 0 ��� 0 �'� 0

�5�'����%

6 ������ ���� ���������������������������+�������� � ���

��������

7����������������������� ���������������� �+����������� ����������������� �����

����������� ������� ������������������������������� ��������� ����������� ���"�+�����

����+������ ����������������"��� �������� ���������������� �����,�������� �����������

���������� 1����,���������������������������"��� ����������� �!��������+�,�����+���

���������������+������ ��������+� ���������������������������+� �����

������������∈������'�������

����

$��%(���'���

����

����

$��%(���'���

����

����

$��%��

7��������������������������!��+�����������

8 �� �������������������������������"����� � �������#

�������

�����

��'��

������

�����

��(���'�.������$��%/������

�����������'�����������

8 1�� �!���������������������'�������

8 7������������'��������%����%��������#

������'���������������

��������

$��%�'���

����

����

$��%�'���'������

9�,� ���������� ������������������ ������ ��������� ����������+�

�� ��������

8 7����������)���'��)����)�

���)�

$��%�������)�

���������������� � ����

���������������"����� � ������������:���������#

���������'�������)�

����

�����)�

����

$����)�

$��%�'�����������%�'���

;�� � #��)�������'��(���,� ��������������������,�:� �

7����������������������������������������

8 <��� ���������������������"��� �����#

������'�������

����

$��%��������

��'� i j

i j k

a b+ =∑ �

7��������������'�� 0d ′ �� 1d ′ �� 2d ′ ��%��������#

md ′ '� kk l m

d+ =∑ ��

��' i j

k l m i j k

a b+ = + =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ���' ∑

=+=+

mlkkji

lji cba �'� i j li j l m

a b c+ + =∑ �

7����������'�������

����

$��%����������

��'� ∑

=+ kjiji cb �

Page 94: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � �

7�������������������'�� 0e′ �� 1e′ �� 2e′ ��%��������#

me′ �'� k lk l m

a e+ =∑ �'� k i j

k l m i j l

a b c+ = + =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ �' ∑=+=+ljimlk

jik cba '� ∑=++ mjik

jik cba �

7���������� md ′ �'� me′ ����∈�������������������'�����������

8 <��� ��������"��� �������������������������� �!�

8 7���������������'�����������%��������

�����'�������������

�������

$��%�'���'������

9�,� ���������� �����������%������� ������ ��������� �"��� ������

8 9��������������������������:�����������"��� ������ ���������������

����������'�������������� ��

=���>������#�����������'�������

����

$��%��������

��' ∑

=++

kjijji cba )( �

��������������'�� 0d ′ �� 1d ′ �� 2d ′ ��%������� kd ′ '� i ji j k

a b+ =∑ ��� ∑

=+ kjijica �

7���������+����������"��� ����������������:������ ���������������"�

��� � ���������������������� ���

1�� �!������������'���������������

���� ����������� �����������

�����+� �����+�������� ��� ��� "��������� "���������������� ����-+���������� �����

�������"���� �� � ��� !�:������������ � ���

&�������������������+� �� �������������������������� ������

� ���� �+� ����� ��������������%��1���#

$�'� �� �'��������������%

2�'�

$�� �'�����������������%

�'� �)�

�� �'�

pozi���� �

(0, 0, ..., 1, 0, 0, ...)

k+�����

� 7� �������� ���� ���� ������#

ϕ�#���→����ϕ����'�����������%������∈���

��������ϕ��������� ������?������������ ���=���>������#

ϕ�������'���������������%�'�����������%�������������%�'�ϕ�����ϕ��

ϕ����'��������������%�'�����������%������������%�'�ϕ����ϕ��

ϕ���'�����������%�'���

ϕ���'�ϕ���⇔������������%�'�����������%�⇔���'���

Page 95: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�!��� ����������������������������������������������������������������

1������+��+��������� ����� ���� ���ϕ�����������+������ �����+� ���������������������

���+����������� �������������

@��������������������:���������������� �����+� ����� �����������%�∈������������ �����∈���

<�������������������%�'������" ������������������ �� �

������'�������

���%���

���������%����+� ������������1�����#

���'������������%��������

���������%�����������

$��������%���%�����������������

���������%'

'������������%�����

���������%���������������%������

$�����������������������������%��

�����%��������������%���

ori

0, 0, ..., 0n

���������������%��1���:��������������#

��'�������

��� ����

$� �$����������

� �

������������������������+� ����� �����

<�������� ����� ����� ���������+��������������+� �����+�������"���������������� �

6 ������ �������

���%���

�������������!�����������+� ����� ���

<��������"��������������� �����������+� ������ ��������� ��������"����� � ���+�����A B�

7�����A B���A B���A B���A B����A B�������������� �����+� �������"����������������

������ ���������������������������+���������

7������∈��A B������'�������

� ���%����

� �

����������∈�����

��≠���������

��'���+�����������

��>����������������+�������������������(��������!��������'���

&���������������!���� �+� ����� ����������)∞�

@�� ������� ����������������!������� ��!����� �������

������������� �������������

+� ����� ���

7�������'���+� ����� ��������������� �������!����

7�������"��� ������ � ����+������+� ������������� ������ !�:�����

C�������������"������� ������+������ ���������+� ������#

7���������∈��A B�����'�������

� ���%��

� �

����'�������

� ���%�����

� �

����≤����������

������'��������

������

�����

� ���%�����

�����

���������

�����

���%����� �

�����'������

������

����

�����

��

� ��� i j

i j k

a b+ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ �

����%����

��� �

����

������ �������������������������������������������������������

���������∈��A B����'�����$ (���'�2��� �)� $��1�����#

������'������2����$���� �)� $�'�3���2 �)�

$�

������'�����2�����������$��2"��������)����$���������$ $���$���)�

2�'

��'�2���4 ��� $�)�$

2�

Page 96: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�"� � � � � � �

=��� ������ �������� �!��������+�,�����������������"��� ������+������� ���������� ��

�!��������+�,���������� �������������������������������������#

7����α�∈��������∈��A B����'�������

� ����

$

$���%����

� �

��������#

���

def.

= �α������α�

� ����α�

$

$���%����α�

������� �������������������������������������������������������

2���$���2 �)� $�'�2��$���2��2 �)�2��

$�'�4���D �)�2

$�

=����$

A B�����#� 3 ���ˆ ˆ2 4+ �'� 3 � 2 ���� 3 �� 4 �'� 6 �

���� ���

�� &� ����� ���'�������

� ���%����

� �

��+����� �������������:� ����#

��'��� �

������)��

��)��

���%����� ����

�����+��+����� ������������������ �� ��� �

�� &� ������ ��� �

��� �

������������!���!�������������������������������

�� 1��������+� ������ ������ �����������������������������������"��� ���������+����

�����+ ������������:�����������"��� ������ ����������������"��� ����� �������������

� ��+���� ���+� �������� ��������������� ��� ������� ���� ���+� �������+����������

������������������

�� @�� ������ ���������!� �������+� ������ ��������

��'�������

� �%����

� �

�������'�������

� ���%�����

� �

����������#

��'���⇔���'���������'��

��� ni ,0= �������������+� �������������!� ������������� ���

!������������ ���������������� ������������������!� ��

�� &�����������������∈��A B�����#

� !�����������≤���-���!���������!�����

: !����������≤���-���!����������!������

� ���������������������������!��������"��+������ ������+��������#

!����������'�!����������!�������

������� �������������������������������������������������������

� ��' 2 ����'�ˆ ˆ1 3+ �������∈��

4A B�

�����'� 2 �������!�����������'���<�!���������!�������'�$�

: ��'�$ (���'�����2 �������∈��A B�

�����'�$ ���4 �$�������!����������'�$�'�!����������!�������

Page 97: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

����� ����������������������������������������������������������������

���� ��� ����������! � ��������������

������������������ ����������������'�������

� �%����

� �

�∈��A B�

7����α�∈������������ ������ � �� �α�'�������

�� ���%����

���α�

�∈�������������

#��!�����!���!�����������α�

1�������� ��������� ������α�∈����� ������+� ����� ������α�����:������� ������

f #���→���� f �α�'����α����α�∈��������������������!���!��������������+� ����� �����

7����α�∈�������� ����������������α�'�����������α�������������������+� ����� �����

������ �������������������������������������������������������

������∈��0A B����'� 1+

$��+� ����������� �������������

0�

�������� f #��0�→��

0�� f � x �'�1 ��

2x ����"�∈��0������������+������:� � ��������?��������

�������+� ������ �����������+� ����� �����

��" 0 1 2 3 4

���" 1 2 0 0 2

*:���������� 2 ���� 3 ���������������� ��+� ����� �����

���� ��

7����� ������� ��������+� ������ ����,� ��������������'����������� f �'� g �

9���+�������������� ��������������������������������"����,����+������ ���������� �

������� �������������������������������������������������������

�� �������∈��4A B����'� 3 ��� 3 ��

$(���'� 0 �

" 0 1 2 3 4 5

� 0 0 0 0 0 0

9�,� ������ f �' g ��������≠���

�� �����������∈��A B��!�������!�������≤������ f �'� g �

1�����������'��� =���>�������� �������������

� �����'��

�����

� �

7��� f ���'� g �����,� ������'��

�� 7��� f ���'� g �����,� ����

�����

��'��

�����

��

9�,� ������'��

���1������+� ������ �������!�������!� ��

=�����������������+��������������������,� ��������!����� #

�����$������������+�������������������∈�$A B���� � �"����� f �'� g �

1��������'���

Page 98: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$$� � � � � � �

����� �����������

�� ��@����+� ����������!����2������� ��������������4E

:�@����+� ����������!������ ��� ��2������� ��������������4E

!�"�����

������'�������

� ����

$

$����

2

2�

� &��������� ������� ������������2�������0�+���:� �����#� 1�� 2 �� 3 �� 4 �� 5 �

&��������� � ������ ������������������4�+���:� �����#� 0 ��1 �� 2 �� 3 �� 4 �� 5 �

=������ �����#�0��4��4��4�'�0��42�

: =����������,�+����� ���"�������������������,� ��2�'������,�"�������+� ����� ����

!������������������2�

1���#�4��4��4��4�'�43�+���:� ���������� �!��������� ������� ���

�� ������'�$ $�)� ������C���������������������+� ������ ����∈��A B���� � �"����

!�������$�)���'�$�

!�"�����

7��������!���� �+� ����� ����������������,� ������!���� �+� ����� �����$������3�

9�,� ������!�������'�3�

������'�������

� ����

$

$����

2

2����

3

3���

3�≠����1�����#

��$�)���'��$

$�)� ����

$�)���

�����

� ����

$

$����

2

2����

3

3�'

'��3 3�)�3

2��0

$�)�$ �����)���

�����

� ����

$

$����

2

2����

3

3�'

'��3�)��3

3����)3�)��

2

2����0�)��

$�

$����)$�)��

� �����)��

��

&���������!���� � �����$�)������ ���$�����������������3�)��

3�'����3�)��

2�'������0�)��

$�≠���

1�����#��3�'�3(��

3�'�)�3(��

$�∈���F�.0/���

��∈�����

��∈���

�� � ���������∈��A B��!��������≤�$��!�������≤�$�������"�'����"����"�∈���

C��������������+� ������ ���������������!� ��

: 6-����������������� ����� abba ������"��������:�,����� �����:�+�� ���E

!�"�����

� ������'�������

� ����

$

$�∈��A B����'��

�����

� ����

$

$�∈��A B�

7��������'�����������������'��

�(

7��������'��������������������

$�'��

�����

$(

7������)��'����)����������)�������

$�'���

�����

$�

1�������� ���� ��������!� ��������:�������$�'��

$�����������:����������

��'��

��

: ����"�:�,��������������������� ��������9�,� ��#

abba �'��"2����"

$����"�����'���"

2��������"�"�����'��"�������"

$������)��"����

Page 99: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$#��� ����������������������������������������������������������������

&��������������� ���� �����:�+�� ����"��������:�,��"�����:������#

�"$������)��"�����'��"����

$����"�∈����"�≥�$�⇔

�"$������)��"�����'�"

$���$"��������"�∈���F�.����/�⇔

���)��"$������)���)�$"�����)���'������"�∈���F�.����/ ��

7����������� ���� ���"��:��������������������������������"������������� ���������

����������������#���'��(���'�2�

&�����!��������� � � #��!� ��������������������������)���≠����������������������!����

� ���� ���������������������� ������������� ����(���+���:� �

9�,� �����'�������!� ����������)�2"�'�����$����"�∈���F�.���$/�

9�,� �����)�2������� � � ������������!���� �G����������$������������� ����������

�� ����(��������������

9�,� ������ abba"�'�1331

"�'�"

2���2"

$���2"�����'��"����

2�

���� ��

6!� ����� �������������+��� ���������������

<����������"�������+��������������������"��+�!��� ������������

���� 1�����������-������������������������� ����� ������� � �"����

$"$���5"���$�'�α��"������"���$���β��"�������γ����"�∈���

:�@� �� ���������2

0

(2n

k

k=∑ ���5����$��H

!�"�����

G����� ��������� ���������+� ������ ��������!� �������������:�������������

27 32 2

= α⎧⎪ = α + β⎨⎪ = α + β + γ⎩

��7�������α�'�$(�β�'��(�γ�'�)�2�

1������$"$���5"���$�'�$�"�����"��$����"����)�2��������

�$�$���5����$�H�'�$�����������$�H����������H�)�2�H�'�$������$H���������H�)�2�H

7������#��2

0

(2n

k

k=∑ ��5����$�H�'�

0

2(n

k

k=∑ ��$H���

0

(n

k

k=∑ ���H�)�

0

3 !n

k

k=∑ �'

'��$�$H���2H����������H���������H��������$H�����H���$H����������H���������H�)

)�2��H����H���$H����������H�'�$�������H���$������$H����H���������H�)�2���H�)�2���H�'

'�$������$H���2�������H�)�0������ ����: ����������������

���� ��

G����� ��� ������� ��� �� :� ����� !���������� ����� �+ ���:� �� ��� "�� � ��� ���������� ����

+� ����� ����+������� ������� � �+����� ���������������������+� �������I��������J�

&��+����������-������������������(�������������+��: ��� ��+��+����

������

������

������

Page 100: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$%� � � � � � �

�� C>�� ���������� �-+�������� � ��� ������ ���������� ��� �+�� +���� ���� �� ��� ������� �

���+��������θ�≈�3°@��������� ��� �%�� ������������+�����������+�������� ����� ���

�������+�������������+�+� ������� �

%�'��� $���� ����%

��������%

��������� ��� �����+�� ���°@�

��������#�ρ��'����������������������+��� ���°@��ρθ����������������������+��� �����+�>

�������θ����α�'�0

θ

ρρ

�∈�������

C�����������������&��:�

!�"�����

α�'�0

θ

ρρ

�'�0

mVmVθ

�'�

0V

Vθ'��θ$

������� ��

%′� �'��$� ����%���7�������������� � ���%���

��� �,��,��+������ �'�θ���������%′�θ�'���

&������������$�θ�����'������������'�)$�θ �$

7����������$��:������α�'��θ$�)�$�θ$

�����������

��'�2

1− αθ

�K��������'�)$�θ�'�2( 1)α −

θ�L���

�� �����$������������+��������������+� ������ ����������∈�$A B�

� C������������������������'�������������'���������'���

: 7������≠����������������������������������

��7����α�∈�$������∈�$A B���� � �"�����α��'�����������α�'���������'���

!�"�����

� 7��������+� ������ �������� �������������>������+��������

!���������'�!����������!�������

@���!����'�)∞�������������!�������'�)∞�����!������'�)∞����������'���������'���

: �����'������⇔������)������'���⇔����������'���

1+ ���������������������)���'���������������≠��(���,� ���������

� ��������������

� ����������

� �

��1������α����'���⇔��α������α�

� ���������α�

�'��

⇔�α���'����α�

��'���������α�

��'������

7����α�≠������������!� ����� �������� �����������������'�����

��'����������

��'���������

��'����������������������!� ����� �������� ���"���>������+H�

���� ��

&����� �������������������������������#

G�� � �+� ������ ��������� ��������"���>������+���������������������!�������

9�����������������,� �����+������������� ����� ��"���� ����������,�H

Page 101: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$ ��� ����������������������������������������������������������������

����� ��������

�� C����������������������������� � �"�����������"����,��� �#

� ��'�2 2���� ��������'��

2����

$�)� �����������∈��A B(

: ����� $��� ���1 ����'��$����1

$�������� 5 � �����������∈��

5A B(

� ��'�� $���� ���$����'�2 �����������∈��A B�

�� C����������������≠��������#

� ��'�$ $���� ��������'��

2����

$���$ �����������∈��A B(

: ��'�� $���$� ����

$����'��$����2

$��������� ���$�������∈��A B�

�� C������ ��!���� �+� ����� ����������#

� ��'���$����

2�����

$���2��)�3 �����)������∈��A B(

: ��'���$�)�1

3�����

$��� 3��)� 4 ��� 2�����∈��

2A B(

� ��'���3��������

2���� ��������∈��A B(

����'��'�$�����)�2

$���� ��������∈��A B�

�� &������������� �� ������������������������#

� ��'� $��� ���$�)������'� �����������∈��A B��α '���)��(

: ��'� 4 $��� 3 ��� 3 ����'� 3 ��� 2 ��α�'� 2 �������∈��

0A B(

� ���� $��� 2 (���'�

2�)� 2 ���2���$ 2 ��α�'�) 2 �������∈��� 2 A B(

� ��'� �)������'� �)�

���

�)$��������� ������α�'���������∈��A B(

� ��'� ��������'� $�

���

$�)����

$�)$�)����)� ������α�'�)��

�� ��6-�����+� ������������������������∈�A B���� � �"����������'� 3���$� ���ME

:�6-�����+� ���������∈��A B���� � �"������3 ����$����2 �)��

$�'��

$E

�� C������ ����� ������� � ��� �

����#

� � ����3� �)��

0����'�2(

: ����� ��� $0����'�3(

� ����� $��������

2��������

3��������������

������'�2(

� 4����� ���

0�����

$���

3�����

2��� �

2�����

3��� �

$�����

0����'�0(

������ ���� �$�)�

2���)�

D����'�0�

�� 7�������������∈��5A B���� � �"�������

$�)���'�

2ˆ ˆ2 3X X+ �

�� ������∈��A B����'� 3��� �)�$��@� �� �������)������������ 2 �

�� 7����������������∈����������'� �2���� �

$�������������)���'���

���C������ ���������� ������� ���+� ����� �����∈��A B�����#

����'�� �)��2���� ����

2(

:���'�� $�)� ����

���� $��� �)�2

$��

Page 102: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$�� � � � � � �

NNN

���@� �� ����� cos9π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠���� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

9

4sinf ����������"�'�3

2�)�2 ���$�

�����7�����������+� ����� ����!���� �� ���� �����∈��A B���� � �"����

�����'�$(����$�'�2(����2�'���

: 7������∈��A B���������'�$�����$�'�2�������2�'�3��������������������������!���� �$�

���7������������������������∈��2A B������������������������������

2�'���

2����

2�

@� �� ����� $��� 2 ��� 2

2�

���� C�����������������∈��A B�+������������������"������"�)���'�$���"����"�∈���

: 6-�����+� �������(�∈��A B���� � �"����

����� (� ����$ ����(� �����'�2 $���$ ����E

���� 1�����������-������������������������� ������� � �"����

2���5

$����3 �'�� ����� ���$� ���2���α� ����� ���$���β� �������γ

���+������ $���$ �)�3�'� � �)�����α ���β�

:�@� �� ����

1

(n

k=∑ �

2���5�

$����3��H�(�

2

1

2 4!

n

k

k kk=

+ −∑ (

� @� �� ����

2

1

3 1!

n

k

k kk=

+ −∑ �

���� G����� ��������� ������� � ��� �

�"����:������:�������!� ������#

����� �

������ �

�'������ $�

������ �� ���� ( ) ( ) ( )2 2 20 1 ... nn n nC C C+ + + �

: @� �� ����( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2 ... ( 1)n nn n n nC C C C− + − + − �

���=��������������+����������!����� ������ ��0�+�������������+�����������������2� ��E

���7����������� � ������ �� �������:� �� � �� ��� � ���$A B�� ����� �$����� �� �������� ���+

�������������������

������������ ��� $���

�'�������

� ����������

$��

$���

� @� �� ����������

�����������

$��(��

��)��

�����

$�)��

2����������

$���

: @� �� ����������

2����

4����������

�DM(��

�����

3����

M����������

$���

Page 103: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$���� ����������������������������������������������������������������

��#� $��������� ���� ������

=���+��������������+���!�� �� ����������������+���� ������������ "��������������

+� ������������� ��������"���>����!��

@���������������������"�+����������������"���� ������������ ���"����!�#

7���������∈������≠������������-������������������������� ��"����!��)������ � �"����

��'��)�������≤��L�O�O�

6-����������,� �������� ������+������+� ������������� ��������"���>������+����������

���������

�����

�����$������������+�������������������∈�$A B����≠����1�������-������������������

+� ������ ��)���∈�$A B���� � �"�������'����)�������!������L�!�������

���������� ������'�!���������������'�!�������

7�����������-��������+� ������ ���)�����

7������L�����������+����� ���)�'�������'���

7������≥���������������� ��������+���������������+����

&��������'���� ����������������������

�����������

����� ����������������������+� ������ ���������+��������

&����+��������+��+������������������������+������+� ������������

!���� �����������������

1�������������������������������:� �"�����+� ��$�+����� ��

���'���)���

����

1nb−

����

���

���������!���� ������������������7������������+���,����������������

�-�����)���

��∈�$A B���� � �"������

��'����)

����

�����!�����

��L�!�������

&����������#

��'����

1nb−

���

��������'���

1nb−

���

����≠

≠����)����

��'����

1nb− ���

���)����

��

1 �!���)�'���

1nb− ���

���)��������

���������

��������)����������!�����L�!�������

7���������������������+� ������ ���)�����

7������������)′��′�∈�$A B���� � �"������������)′���′����!�����′�L�!���

�������������)���)′�'����′�������!�����′�)��L�!�������

7����)�≠�)′���������!�������)���)′�≥�!�������K�!�����′�)���������!� �������������� � ���

7����)���)′������������������,� ������′�����������������������+����P��

�)������������

Page 104: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$ � � � � � � �

�1 1(3) 2nb− −= =

���+�

1nb−

�'��2 1(3)−

�'� 4

���+�

1nb−

�+� ����

'� 4

������

���� ���

�� @����� ���������"����!��������������������������� �����+����������� !������)����

�����������* �����+�������� �

�� =������������������ � �����"����������������� �+�� ������� � ���� ������� ������:���

��� ������+������-��+ �������������������+� ����� �����+� ���� ���������:� ������

������

9��������������������+���������� ���+������+� ������������� ��������"����������� #

����-��+ ������������ �:� ��"���A B�

�� 1������� ����,� ������+� ������ �������������������������"����!��

7���-��+ ������������� ����� �������� ��0����2����+� �������������A B��������

��� ����������������������������#

0�'�2��53

���������� �"�+�������� ���0� ��2������53

��������� ����=����"��������

0�'�2������$������ ��������� �"�+�������� ���0� ��2�"����� � ��������������+������$�

@����� ����������������������"��������������+�����-��+ ���������!� ������ �����

���� ����������� ���+������+� �����������������"����,� ���:��� �������!���� ���"�+������ ��

�������������������!� ����!���� �"�+�������� ���

�� ���������∈��A B����'�3 2���2

$�)� ����������'�)$

2��� �)�$�

�������������������������������1���#

!�������'�2(�!�������'�2(����'�3(��

��'�)$(�

1nb−���

12

(����

1nb− ���

�'�312

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

2�)�2�'�)$(

���'���)��

1nb− ���

������'��3 2���2

$�)� �����)��)$�)$

2��� �)�$�'

'�3 2���2

$�)� �����)�3

2���$ �)�3�'�2

$��� �)�2�

*:����������!���� � �������������������������!���� �"�+�������� ��������'��)$�����

��

1���������� ����������������� ������)$����������� ������2 $��� �)�2�

@�������,� �"�+������������������� ���������"����!����� �� � �+���������+����� �����+������ � #

���������������������������������������������������3 2���2

$�)��� ���� �)$

2��� �)��$�←��

)$������������������������������������������)3 2�����������)�$ ����3 �)$

���'���)��)$�������������������������������Q���������2

$���� �)�2 ����� �)

�������������������� �

�� ���������∈��0A B����'�

3ˆ ˆ ˆ2 3 2X X+ + ����'�2ˆ ˆ3 2X X+ + �

1���#

��������������������������������� 2 2��� 3 $

���������� 2 3 $��� ���� 2

4 "������������������������� 2 2��� 4 $

��� 3 4

���'���)� 4 � ������������ ���Q�����) 4 $

���������� 2

Page 105: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$!��� ����������������������������������������������������������������

7��������!���� � ����������������������������!���� �"�+�������� ����� !������ ���������

�����������

�������������������������������� ) 4 $

������������ 2 ������� 3 $��� ���� 2

2 ��������������������������� ����� $��� 2 ��� 4 ������� 2

���)� 2��������������������� ����Q�����)� 2 �)� 2

7��������!���� � ����$�'��

��)� 2���������������������� �"�+�������� ����� !������ ���

"��P�����1���:���������� �ˆ ˆ4 2X + ��������� �)

ˆ ˆ2 2X − �'�ˆ ˆ3 3X + �

@� ����������+������:��������I�������,�J#

2 2�������������� 3 ���� 2 3 $

��� ���� 2

2 2��� 4 $

��� 3 4 ���� 2

���������) 4 $������������� 2 ������������ �)

���� $��� 2 ��� 4

����+������ 2 ���$

����� �

�� ���������∈��A B����'� $���� �)������'�$ �)���

$������� �)�� ���$ ����

$�)�

2i

12 ���2

4i

���� $�#��$ �'�

12

Q�����22i ��)��� ���

���� 32i X⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠#��$ �'�

34i

�22i ���

34

Q )�74

�����

%�� ������������������ ����=����,� �+������ ���"�������"�+�������� ������ ���������� ��������� ����+���� ��������+���

�������������

9���� �"�+��������+� ����� �����∈�$A B� �� ������������������∈�$�

���������� 7�����������"�+��������������������#

��'�� ������)����������!������L����������������+� ��������������

=� ������� ���� � �+������"���!� ��������������������:�����������!� �����

���+� ���������!� ����������� ����� ��+� ������ ��

�����'����)���#�)������������������������'������

�1 1(3) 2nb− −= =

���+�

1nb−

�'�� � �( 4) 2 2− ⋅ =

���+�

1nb−

�+� ����

'��2 �

������

������

������

Page 106: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$"� � � � � � �

����������������������������������������������������������������

�� 9���� �"�+�������� �����∈��5A B�����'� 2 $

��� 3 ���1 � �� �)�1 �����

���1�'� 2 �� 1���� 3 �1 ���1 �'�� 5

�� 9���� �"�+�������� �����∈��A B�����'�) 2���0

$����� �� ���$�����

���)$�'�)�)$2���0�)$

$�����'�$D�

& '�������(����������∈�$���������

� ��

�����)� ��)�

����������

����

��≠���

7����)�������������� ��������� � ��"�+�������� �������� �����������������

��'�� �������)� �)�

����)$ �)$

��������������

����������� �)

G����� ��������� ���������"���!� ��������:�����#

��)�

�'���

��)$

�'������)�

�����)�

��)2

�'������)$

�����)$

��

���'������

�����

�������������

=��+���������+�������� �� � ������ ��������� ������� ������� �����!���,����� �� � ����:

�������: �� �������������������� ����#

��

��)�

��)$

��� ��

��

� ��

��)�

��)$

��� ��

��

��)�

��)$

��� ��

��

��)�

����������������������� ��������

������:�����+����"��� ��������� ������� ����

������������

����������������������

��9���� �������'����������

��

������� �������������������������������������������������������

�� ��∈��A B����'�2 3���

2�)� ������������ ����

�3

�2

�$

��

��

��'�)� 2 � � )� � @��� �����

2 )$ $ )2 3 2 2�)�$

$���$ �)�2�

������������������2�����������)$���� �������� ����� ������3�

�� ��∈��5A B����'� 2 2

��� 3 $��� 2 ���1������� ��� 2

�2

�$

��

��

��'� 2 2 3 2 1 @��� ������ 2 $��� 2 �

2 0 2 5 ����� ������ 5 �

����������

���� ���� ����

Page 107: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#$���� ����������������������������������������������������������������

����� �����������

�� ������'� 3�)�

$��������'�

$��� �����

C������ ������������������������� �"�+�������� ����� ���������)$ ����

!�"�����

�3�)�

�$���� ���������

�$��� ����

�3���

�2����

�$���������

�$�)� ����

+����� �2�)�������

�$����

������ �2�)�

�$�)��

������Q���)�� �$���� ����

����������)�� �$�)�� ����

$

��������������Q������$� �)��$����

1���:����������� �$� ����$��������������:������� ����!� ����)$ �����

G����� ��������� �����������:������

⎩⎨⎧

=+−−=

122

2 abb

�⇔�{ 12

ba

= −= �

�� � C�������������������� �"�+�������� ��� ��

�)��� �� �

�)���������∈��N�

: C�������������������� �"�+�������� ��� �

�)��� ��

�)������K���

� C�������������������� �"�+��������+� ����� ��� 35

�)�2 0��� ���$� ��+� ����� �� �)��

$�

!�"�����

=���������� ������������������+ �������� !������ ��������!��������1+ ������������

"�+��������������������������������"���������� ���������������������������������� �

� �

�)����'�� �)��� �)�

��� �>$

��������� ���������������������������

=� ������� �+���� �

��:�����#

� �

�)���'� ��

�)���'�� �

�)���� �

�)�

���� �

�)$

��������� �

����

7���� ��

�)���'�� �

�)��� ����

��� ��)$�

��������� �

���������

7��������������� ��������

: ������������)�������≤��L����1���#

�)���'� �)�

�)���'� �)

��

�)����'� �)

�� �

�)� �

��� �

�)���'� �

� �)

�)����� �

�)���

a)

=��

� �

)��)����

�)���'�� �

�)��)���

�)���

7��������!�����

�)���'��L���'�!����������,� ���������������"�+������������������

����� ������������

�)���

� &����������� 35

�)�2 0��� ���$�'�� �)��

$��,�����!������L�$�

9�,� ���������� �����������∈����������������������������� ���� �� � ���� ������� ��

�������

1������ 35

�)�2 0��� ���$�'�� �)��

$��,����"����� �$

&������"�'����:�����������$#���)�2�������$�'����,��������������⇔�������'���

Page 108: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

##$� � � � � � �

=� �������"���$���'���)�����:�����#

35

�)�2 0��� ���$�'�� �)��

$,���� ������)���⇔

35

�)�2 0��� �����'�� �)��

$,����� ��)���⇔

� 35

�)���)�2� 0�)����� �����'�� �)��

$,����� ��)���⇔

� �)���� 34

��� 30

��������� �����)�2� ������ 3��

2���

$��� �������� �)���'

'�� �)��$,����� ��)���⇔

34

��� 30

��������� �����)�2� 3��

2���

$��� ���������'�� �)��,���� �2

=� ������� ������"���!� ��������2��:�����#

��������������������)�2�����������������������'�������⇔���'�35�)��0�����'�22

9�,� ��������'���)�22�'�)2$��������� ��'�22 �)�2$�

�� � C���������������-������������������������� ����� �������������∈������ � �"����

3�)�2

$��� �)�$�'�� �)��

3����� �)��

2����� �)��

$����� �)�������

: 7�����+������"�� ����������+ �� �������

4 2

4

3 2( 1)

X X XX

− + +−

!�"�����

� <�����,� ���+��: ������,���>������+ ������� �!���������P���� ���R������

6-��������� �����,� ����� ����������+������!�����

6!� �����������������������P��� ���

3�)�2

$��� �)�$�'�� �)��A� �)��

2����� �)��

$����� �)������B�����

7���������������������� �"�+��������+� ����� ������� �� �)��(���� �!��������������

"�+��������+� ����� �������+������,������+��� �� �)�������

*�!���,����� �� � ���� � #

�3

�2

�$

��

��

��'�� � � )2 � )$

� � )$ )� )2�'��

� $ � )��'��

� 2 �2�'��

� �3�'��

<��� �����#

� �)��3���3� �)��

2���2� �)��

$�)��� �)���)�2�'�

3�)�3

2���4

$�)�3 ������

��3� 2�)�2

$���2 �)�����2�

$�)�$ �����)�� �)���)�2�'�

3�)�2

$��� �)�$�

: 7������

4 2

4

3 2( 1)

X X XX

− + +−

'�

4 3 2

4

( 1) 4( 1) 3( 1) ( 1) 3

( 1)

X X X X

X

− + − + − − − −−

�'

'�����4

1X −���

2

3( 1)X −

�)�3

1( 1)X −

�)�4

3( 1)X −

47 ori������

Page 109: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

###��� ����������������������������������������������������������������

����� ��������

�� C������ ������ ��������� �"�+�������� ����� ����"����,��� �#

� ��'�$ 2���2

$�)� ��������'�

$�����������∈��A B(

: ��'� 3���2�

2���

$���$����(���'��

$�)������� �����������∈��A B(

� ��'�$ 3����$��� 3

2����$��)� 3

$��������'�

$��� 3 �����������∈��� 3 A B(

� ��'� 2 0��� 3 $

��� �� 2 (���'� 3 $��� ��� 1�������∈��

0A B(

� ��'� $��� 2 ��� 3 ����'� 3 ��� 2 �������∈��

��A B(

��'� ��������'�$ ���$�������∈��A B(

! ��'��(���'�2 �)�$�������∈��A B(

P���'��(���'�$ ���2�������∈��A B(

�����'�2(���'�3�������∈��A B�

�� � C����������������������∈������ � �"���������� �"�+��������+� ����� ��

���'� 3����

2������)�$�

$���0 �)�2�� ��+� ����� �����

$��� ���$���� ��� �)���

: 6-�������∈��0���� � �"���������� �"�+�������� �����'� m

2��� m ��� 2 � ��+� �����

��'� ��� 3 ���� ��� 0 E

�� 7�������������∈��A B�����!����2�������"�+������ �� $�)�2 ��������� �4 �)��0����"�+�����

�� $�)�0 ���M��������� �$ �)�5�

�� � C������ ����∈������������ 2���

$���� ������������� �$� ��"�+����������� ���$�

: C��������������������∈����

���� � �"�����+� ����� ���'� �3���� ����������������� �1

��"�+����������� �)�1��������� � 2 � ��"�+�������� ���1 �

� C�����������������∈��N���������������� �"�+��������+� ����� �����'�� �)���

�)� ���2�

�� �������������

�� 6-��������+� �������∈���2

A B������"�+������ �� $�)�1 ������������� � 2 ��� 3 ����"�+�����

�� $��� �)� 2 ������������� � 4 ��� 9 E

�� &��������∈��A B������ �"�+�������� �� �$���������������������� �"�+�������� �� �

$�)��������2 �����

C������ ������� �"�+�������� �� 3�)���

�� ������'� $0

��� $3

��������� ������C�������������������� �"�+���������� �� �#

����'� $��� �)�$( :���'�

$���$ ����(

����'� $����( ������

$��� ����(�����'�

3�

�� 7�����+������"�� ����������+ �#

3

2

12

X XX X

+ ++ −

(��:�

5 23 5( 1)( 2)

X X XX X X

+ + −− −

(����

4

2

1( 1)

X XX+ +−

(���3

25

)1(

13

+−++

X

XXX�

Page 110: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

##%� � � � � � �

�� 1 �������� ��������� �"�+�������� ����� ���� � ��������P���� ���R�����#

� ��'�$ 3���2

$��� �)��(���'� �����������∈��A B(

: ��'� 2���

$�)�$ ����(���'� �����������∈��A B(

� ��'� 2��� 2 $

���1(���'� �)� 2 �������∈��2A B�

NNN

���1 ����ba

���������������� ��"�+������� �����'�� 2����

$���� ����� ��+� ����� �$ ������������

���������∈��A B���� � �"����������'�$�����$�'�2����2�'�3�

� 1 ��������� �"�+��������+� ����� ����� �� 2�)�4

$����� �)�4�

: 7����������� �����!����� ���������+� ��������!����2����0����+��+������� �������

�������+� ����� ���'� 3���$

2����

$���� �����∈��A B��C������������������������� � ���

��"�+������ �� �)��������������� �)�0������)��������� �������������� �����

���9���� �"�+�������� �����'� 3�)�$

2���

$���� �����∈��A B� ��

$��������������������� ���

@� �� ����

1

( )n

k

g k=

∑ �

���@���+����� � ������P���� ���R������+��������"�+�����+� ����� � 2���2

$�)� ����� �

+� ����� �$ �)��E

������ �,������P���� ���R������+������"�+�������� ����� ����

� ��'� �

��� ��������'� �)��(

:���'� $�

����'� �����

���C������� ������� ���+� ����� �����∈����

A B������ 2 �

1 ��������� �"�+���������� �� �� �)� 1�

���7��������� �"�+�������� �����∈��A B� �� �$�)� ����������2 �)�$����������������� �"�+�������

������ ����� �� �$��� ����E

���������∈��A B��!��������≥�$��C������ ������� �"�+�������� ��������� ������ �

�����7�,�� �����+� ����� ���'� 0���2

2�)�

$���$���+��+����� �� ��� �����

:�@� �� ��������� �"�+�������� ����� ��� ����2�

N

N

N

Page 111: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

## ��� ����������������������������������������������������������������

��)� ��"����������������

&��������:��������� ������������,�:� ���������"���>������ ����+� ������������� �������

"���>������+��������������������

���������

�����$������������+�������������������∈�$A B�

C+��������+� ����� ���!�"�!+� ����� ���������������Q���������-�����+� �����

)�∈�$A B���� � �"��������)�����

C�������+����������������#�-!��������������������������� ��������������

��������"�� ��������+������������������� ���������#�������,�:� �������

&� ����� ��� ����������,���+������� �"���������������� ��+ ��� ����������+� ���������$A B�

6����������������������≠����������������������,���� � ��������������� �"�+�������� ����� ���

�������

������� �������������������������������������������������������

�� �����∈��A B���'� ����'�2 �����Q����7�������� �'�13

�2 ���,� ����"����������,����������Q���

�� =���2A B������� �)���Q��

�2�)������������

�2�)���'�� �)���

�$��� �����

�� =���A B��� $�)�$ ���$�Q��

3���3�

=���>�������+����"�+���������:���������� � $���$ ���$��������� ���

�� =���A B��� ����� / �� 2���2 �)�$�������������������������� �"�+�������� ��

��'� 2���2 �)�$� �� �������������)��'�)4�≠���

�� =���A B��+� ����� �2��������0�������"�����2� / �0�

*����� ������������������"�����������$������������+������������=����� � �$A B�����#

�� ��Q������ ������������ �-���(

�� 7������Q��������Q�������������Q��������,���������

�� 7������Q��������Q�������������Q������������#������������� �����#�∈�$A B�

�� 7������Q��������≠�����������!��������≤�!�������

�� 7������+����������������Q��������������� ����∈�$����≠���

�� 7������Q�������Q������������-�������∈�$����≠������� � �"������������

Page 112: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

##�� � � � � � �

&���� ��0�+��+������������������������������� �������

<�������������������+��+���������4�

7������'�������������'������+����� ������������ ���������� �����$�

7���������≠�����������������������������

���9�,� ����������

��

������������

��

��'���

7�����������������

�������+� ��������������������� ��

;��������'������≠���������������������������

���������

7����+� ������������∈�$A B����������������� #�!�"�$����� � ��������Q��������Q���

=����������,����������S���

������� �������������������������������������������������������

�� ��'�2 $����������'�

$���

13

������∈��A B(��������Q��������+���

�� ������∈��2A B����'� 2 ������'� 3 �

�� 9�������������������S�����������������������������������'���

@������������ �!���+��+������� ����������,�:� ������"��$A B����+��+������� ���� ��������

���������"����!���� ����������� ��������������,���������

���������

C+����������∈�$A B���������!�"�$�������� �+� ������ ��������∈�$A B�����

��Q��������Q���

���������

���������∈�$A B������ ������+� �������∈�$A B��������������������!�"�$��

������ �+� ������ ���������������"���+ ��������������� �

� ��Q��������Q���������������,��������

�� 7�����′Q�������′Q������������′Q���

=����������,�����������,��������������+���������,������������

=����,� �"���������'���������'����+� ����� ����������+����� ���� ����������������

&��������������������'���

Page 113: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

##���� ����������������������������������������������������������������

C�������:���������������� ������������������������������ ����������������,��������#

�����+� ����� ������� ������ ���������������������� ������������������������≠�������� ����

T����� �#������.�∈�$A B����� ������ ��������������������������������.�Q�������������Q�.�

1�������.�S���

&�������������� ��������������,����������������+� ��������������-����������������

�:��������� ��������������������"������,�:� ������

7���:���������� �!��������+� ����� ��������������� ������������������ ��������� ������

���������,���������

U�����������������������!��������-���������� ����������������,����������� ��������

+��������� ����������� �� �

����������� !"#$���$!�$%�!&'

�����$������������+�������������������∈�$A B������ ���1�������-�����������

7�����������

C�������������� ����"�+������

��������������

���!�����

��L�!������ �N

���������

$���

$��!�����

$�L�!�����

����

$���

2���

2��!�����

2�L�!�����

$

$���

2���

2���

3��!�����

3�L�!�����

2

2���

3���

3���

0��!�����

0�L�!�����

3

����������������������������������������������������������

7��������!�������K�!�������K�!�����

$�K�!�����

2�K������������?��!�� �����������

���� ��!�������

�'�)∞����������

�'������������ ����"�+�����������������

����������������������������������������������������������

�)2���

�)$��)

�)����

�)���!�����

�)��L�!�����

�)$

�)$���

�)���)

����

���!�����

��L�!�����

�)�

�)����

���)

����

������

����'�� �N

� ���� ���������� ������������������������� �+� ������ ����������

=���>������

� ������������� �����!� ���������?���"����������#

��Q�

�)���� ������!� �����(�

��Q�

�)$��+��� ������!� ������������

��Q������������!� �����

���"��� ��������Q��������+������!� ������

�� 7�����′���������� ������,���������+���������������������������������� �����!� �������N

�������"��?����������������#

���′�Q�����′�Q�

$���′Q�

2��������′�Q�

�������+��� ������!� ��������������

=����,� ������������'�����+��������+� ������ �������������� ������

Page 114: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

## � � � � � � �

��������������������������������������� ������������������������

�� C������ ����������������� �+� ������ ��������∈��0A B����'� 2 2

��� 3 $��� 3 ���1 ���

��'� 3 $��� ���1 �

1���#

2 2��� 3 $

��� 3 ���1 3 $��� ���1

2 2��� 4 $

��� 4 4 ���� 3

��Q���������) $�)�� ���1

�) $���� 3 ��� 3

�����) 4 �)� 2 �'� ��� 3

�����,��"�+��������+� ����� ���� 3 $��� ���1 � ������� ��:������� ��� 3 �

3 $��� ���1 ��� 3

3 $��� 4 3 �)� 3

��Q ���) 3 ���1

����) 3 ���1

���� 0

1���:����������� � 0 �������� !������ ����"��P����

� ���� ���������� ������ ��� 3 �������������'� ��� 3 �

��������∈��A B����'� 3�)�

2���

$��������

3

�)�

2���2

$�)�$ ���$��������'�E

!�"�����

7���������������I���������J�"���+���� !������ ����"�+�������� ����� �����+������� �!�

����������

�3

�)� �

2���2 �

$�)�$ ���$ �

3�)� �

2��� �

$

�3

�)� �

2��� �

$�

�Q �����Q�������$ �$�)�$ ���$

�����,�����"�+������ 3�)�

2���

$� ��+� ����� �$

$�)�$ ���$

&����������������� �� � �������!�������� ��������+�����"�+���������"��� ���+� ������ �

�� ����"������������������������������������:� �� ����� ������� �����������

=����,� �������������������� !������ �����$ $�)�$ ���$�#�$�'�

$�)� ����

�3�)� �

2��� �

$ �

$�)� ����

�3�)� �

2��� �

$ �

$

�Q������Q ���

1 !������ ����"��P�����������'� �$�)� �����

Page 115: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

##!��� ����������������������������������������������������������������

��������∈��A B������ �2���2 �

$��������'�$ �

$��� �)����������'�E

!�"�����

=� ��������+����3������+ ������ !������ � ���6�� ���

3 �2����$ �

$���3 $ �

$��� �)��

3 �2�����$ �

$�)�$ $ ���0

��Q �� �$�)�$ ���3

�� �$���0 �)�0

��Q ������)5 ���D

�����,�����"�+��������'�$ �$��� �)��� ��)�5 ���D�

=� �����������3D��������������#

DM �$���3D �)�3D )5 ���D

�3 �$�)��$4 )�3 �)�$0

���Q ���������50 �)�3D

���50 �)�$$0

Q ����53

1 !������ ����"��P���������� ����������������+����"�+�������� ���)5 ���D�����53��:�����

����� ����@�� ������������������������������� ����������'����+� ������ ��"����������,

�����+�����"������ ��

�� C��������������� �

�)���� �

�)���'� �

�)�����������'����������/���

!�"�����

<����������� !������ � ���6�� ���+������� ����� ����(������+��,�������������"�+������

���������"�+����������� ����"��� !������ � ���6�� ���+������+� ������ �� �

�)������ �

�)���

1����,���"���>����-����������,� ����"��+���!�� � ��������������������'�����)����

��≤��L������������ �

�)���'�� �

�)��0���

�)����!�����

�)���L���

���������I������� J#

��������)�������≤��L�� �

�)���'�� �

�)��0���

�)���

!�����

�)���L�!�����0

��'����)����

�����≤�

��L�

�)���'��

�)��0����

1rX �)���

!�����1rX �)���L�!�����

�)��

��'�

����)

$���

$����≤�

$�L�

�)���'��1rX �)���0

$���

2rX �)���

!�����2rX )���L�!�����

1rX �)��

��������������������������������������������������� ���������������������������������������������������

�)$

�'��)����)

����

�����≤�

��L�

�)�

2nrX −)���'��

1nrX −�)��0

����

nrX �)���

!�����nrX )���L�!�����

1nrX −)��

�)�

�'�����)

�����������≤�

��L�

�)�

1nrX −�)���'��

nrX )��0���

����

� !������ ����"��P��� � !������ ����"��P���

7����������'����������������

�)���� �

�)���'�nrX �)����'�

�)���

Page 116: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

##"� � � � � � �

���� ���

�� ������������������������ ��+� ����� ��� �

�)���������������� ����������� ���� �

������������ ������ ��� ������������1���6����������������������� ����������� �������

+� ������� �

�)������ �

�)���������������� ��+� ����� ���� �

�)������'��������9�!����

���1�

�∩�1��'�1

��������,� ������:������ ����+��� � ����+���!��+����

�� =��������������� �������������,� �������� ����$�

�)����$�

�)���'�$��)������������

�����������������������H�

���� ���������������������+� �������$������������+������������1�����#

�� 7���������∈�$A B������'����������������-��������#�∈�$A B���� � �"��������������#��

�� 7���������∈�$A B���������������'���⇔��∃����#�∈�$A B���� � �"����������#��'���

�� 7������������∈�$A B����� � �"�������Q����������������'�������������Q���

���������� �� ������������ ����"�+��������N�+������� ���������������

7���+��� ������!� �������������#�������'�

�)$�)�

�)��,

���

7�������+��� ������!� ���������������)�

�'��)2

�)��)$

��,�)�

��+������

" �"� ������"������*:�����

�����)$

�)���)2

�)��)$

��,�)�

�,��'�)

�)2�,

����

�)$������,

�)�,� �$

7����+���+��"���+���+������������"����������������� ����"�+��������N�

��������������������I���:������� ������J���+� ������ ����)2

�����)3

(

���(� $� ���

���

�� �������� ��� ��� ������ �-��������#�∈�$A B� ��� � � "����

������������#�����

�� G�+ �������I⇒J�������������

9���+���#����������'���������������������Q�������#����������

��������#����������:��������Q������������'���

�� 7��������������'��������$����������������#�����'�������#�∈�$A B�

1�+ � ������������:��������������#����������$��7����������Q�������

��,� �����������������:���������������������$����������Q����@���������

������ ��� �!�� ��� ��� ����,�:� ������� ������ ��� "����!�� �� ����� "�

�������������������������� ������!�����������+� �������

���������

���������∈�$A B������ ���C+��������+� ����� ���∈�$A B������������������

��� ���������� �+� ������ ��������������#

� ��Q��������Q������������� ��+ �������(

�� ����������� ���′�∈�$A B���������Q��′�������Q��′�����������Q��′�

@� ����������� ��+ ��������� �+� ������ ������������������,��A����B�������+���������,�

����������

Page 117: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

##���� ����������������������������������������������������������������

&����������������������'���������'����A����B�'��

&����������������������+��:����-�������������������+�������������������+� ������

���� ���� ������"����� �������+������� ����������� �� �

�������

���������∈�$A B����≠������≠���������'��������1������A����B��������S������

���������� 1���#���'����������'�����

���9�,� �����

����

��'����V���� �����H

7���������������'�����

���������������������� �+� ������ ����������

� 7�����'��� 1g ′ ��������������Q������� �!���Q���

�� �����′����� ���� ��+ ��������� �+� ������ ������������������′�'����$���

�′�'����$�

9�,� ����′�'�����$�����′�'���

��

$���������������

��$�'��

��

$�

7�����������Q��

��

$������

����

��'����������������

��Q��

$���������

$�'��

���

1�������′�'�����

$�'���

���

���'����

��

���'������������Q��′�

&����������������'������

�����'����

������

��'�������

���� ���

�� @�����"����,� ��� ����������������,������������ ����������� ��+ ��������������

+� �������������������:��������� ��������������������"������,�:� ������

=�������� � �A����B���+��,�������� �������+� ����������������"������,�:� �������� ���

�� ��+ � ��������������!����������

�� @� ����������� ��+ ��� �+� ������ ���+����� ��� ���+����"�+��������+������ ��� ��

���� ��������������,����������=���>����-����������,� ������������������,�����

� 3�)�

2���

$��

3�)�

2���2

$�)�$ ���$�'�

$�)� ����

1�����

A 3�)�

2���

$��

3�)�

2���2

$�)�$ ���$B�'��

3�)�

2���

$���

3�)�

2���2

$�)�$ ���$�#

#�� $�)� �����'�

$��

3�)�

2���2

$�)�$ ���$�'�

4�)�

0���2

3�)�$

2���$

$�

�� C��+����� ������������������������������������ �+� ������ ��������

$��������

�����≥�2�

���������

������

$��������

��'����

����

$��������

�)����

A�����

$��������

�B�'�AA�

����

$��������

�)�B���

�B

Page 118: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#%$� � � � � � �

����� �����������

�� C�������������� $��� ������������+� ����� �

2��$���

2��������������∈���

!�"�����

2��$

��� 2���

�����'�� 2��$

�)� $����

2����)� ����

$��� �����'

�� $�

2��)���)� �

2��)������

$��� �����

=����� 2�

�)���� �� 2�)�������

2��)���� �� 2

�)�������� 2�)���'�� �)���

$��� �����

9�,� ������� 2�

�)������� 2�

�)������������,�:� ����� $��� �����

�� ������∈������≥������2��'��

���$�

�����������

����≥���

C���������������-��������+� ��������∈��A B����!�������������������� ������� ���������

11k +����� � �"�����2

��'��

�����=��+ ����

��� � � �����

!�"�����

������������������ ������W>�������������#

����� ���

�'�0 1 2 2 1 1

1 1 1 1... k kk k k kC C X C X C X+ +

+ + + ++ + + + �

7���� ��� ��� ��� �����$��2���������������������!� ����� ���:�����������#

���������

�)��������'�1 2

1 1 2 2 1... kk k k kC S C S C S+ + ++ + + ����≥������∈���

1������ ����������� ������������������� ����3�4 !�� ��� +������ �� �� � � ���2��� ���������

+���������� ��2���2

$�������2

�)��

9���������� �� � � ���23�

9������� ����������+��������������������+���������������+����

&��������'��������2��'�����$�����������'�

( 1)2

n n +�����

��'�

( 1)2

x x +�

7����2��'��

�������� ������� ���������������

11 1+

���������� � � �����

&����+�����+��+�,���������������+�����������������≤���≤���)�������������������+��������

7����� ���� �� �����X������������2�

2��'� ( )1 1 2 1

1 1 1 2 1 11 ( 1) ( 1) ...

1k k

k k k kn n C S C S C Sk

+ −+ + + −

⎡ ⎤+ − + − − − −⎣ ⎦+ �

@�� �����+���,�������������������#

2�� '� ( ) 1 2 1

1 1 1 2 1 11 1 1 1( 1) ( 1) 1) ( ) ( ) ... ( )

1 1 1 1k k

k k k kn n C f n C f n C f nk k k k

−+ + + −

⎡ ⎤+ + − − − − −⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

'�1

1k + �������������)��A�������)�

����������)$

�������������������B�)

)�1 2

1 1 1 21 1( ) ( )

1 1k kC f n C f nk k+ +−

+ +�)�����)�

11k +

11

kkC −

+ ��)����

'

Page 119: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#%#��� ����������������������������������������������������������������

6��������� �!��

����'�

11k +� ����� A� ����

�)����� ����

�)$���������� ��������B�)

)1

1k + 1kkC + ��� �)�

11k +

21kC + �

$� �)�����)�

11k +

11

kkC −

+ ��)�

� ��

Y���������������������!���� �$���

$�����!���� �2�������

�)������!���� ������,� ������������

�������!���� ��������!���� �+���� ����������

7���������������������+���� ����������:����������1

1k + ��������� ������� ����������

���������������+� ������ �������

$�������

�)�����������,�:� ������ �����+���,��������������

+���� � ���������������� � � ��������������

����������� ����� � �������� �� �-������� ��� +������� �� �� � � ���� ��� ��� +�����

����������2����� ��������+���������+�����>����� �� ���������#�2

���2

$�������2

�)������+���2

��

������ �������������������������������������������������������

C���� �� ���23�'��

3���$

3����������

3�

23�'��

3����������

3���������+� ��������!����0������,�:� ���� � �����

���+��+��������������������3�'�

( 1)5

X X +�

2����

$���� ���� �$

7���� ��� ��� ��� �����$��2�"���$�����#

3

3 3

3 3 3

1 21 (1 )5

2 31 2 (8 4 2 )5

3 41 2 3 (27 9 3 )5

a b c

a b c

a b c

⋅⎧ = + + +⎪⎪ ⋅+ = + + +⎨⎪ ⋅⎪ + + = + + +⎩

9�,� ������������ �������������:�����#���'�32

����'�16

����'�)16

7������#

�3�'�

( 1)5

X X + 23 2 ( 1)(2 1)(3 3 1)3 1 1

2 6 6 30X X X X X

X X X+ + + −⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

7�����3���$

3����������

3�'�

2( 1)(2 1)(3 3 1)30

n n n n n+ + + −�

9��������+������� H

Page 120: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#%%� � � � � � �

�� 7������������������� ��+� ������ ������� 2�)�5

$����3 �)�M�����'�

2�)��3

$���04 �)�43

��������������������� ���������

!�"�����

9������� ���������������������� �������������� �+� ������ ���������

1+ ������ !������ � ���6�� ��

2�)��3

$���04 �)�43

2�)�5

$����3 �)M

2�)�5

$����3 �)�M �

Q����)�5 $���3$ �)�04���→���

$�)�4 ���M

2�)�5

$����3 �)�M

$�)�4 ���M

2�)�4

$���M �)��

Q������) $���4 �)�M

�������) $���4 �)�M

��������Q�������Q��������

9�,� ������� 2�)��3

$���04 �)�43��

2�)�5

$����3 �)M�'�

$�)�4 ���M�

9������� ���������������������� ��+� ����� ��� $�)�4 ���M��������3����$�

@� � � ������������� ��+� ������ ��������������:������+��"�+�������� ���������� �

$�)�4 ���M�

��'�� $�)�4 ���M� �)������'��

$�)�4 ���M� �)�M

7������������������ ��3��$������������������������� ��3��$����M�

�� ���������∈��A B����'� 3�)�$

2���2

$���$ ��������'�

3�)�2

2���3

$���2 �����

C��������������������∈������������������������!���� �$�

!�"�����

1+ ������ !������ � ���6�� ��

3�)�$

2���2

$���$ ���� �

3�)�2 �

2���3 �

$���2 ����

3�)�$

2���2

$���$ ���� �

�Q������

2�)���

$�)��� �����)��

3�)�2

2����3

$���2 �����

2�)�

$�)� �����)��

3�)��

2��)��

$���������� �)�$

Q����)$ 2��0

$����2�)������� ����

����)$ 2��$

$���$ ���$���)��

�������Q�������2 $������)������� ���$�����

Page 121: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#% ��� ����������������������������������������������������������������

@������������+ � ������"��+��� �:� ���� ���"�+���������D�

D 2�)�D

$�)�D ���D��)�D� 2

$������)������� ���$�����

D 2����2�)�2����2�

$����4��)�2� 2 ����)3�����)��

�Q������)�$���2��)�2� $����)D�)�4����2� ���D��)�D�

��������)�$���2��)�2� $����)��)�������)�3�����)�� ����$��)���)3�����)��

���������������Q�����������������������$�)�$������

$�)�������M��)�0 �)�$�

$���2���)��

$����5��)��2�

1����� !������ ����:����������"��P������ � � �����������!���� ���������������$�

&����������������� ��:������ ��� �����"�+����������:������� �����

9�,� ��#�

2 2

2 2

2 11 8 5 02 3 17 13 0

a ab b a ba ab b a b

⎧ − + − + − =⎨− + − + − =⎩

1�������� ��������� ���������:������)�$��������4��)�0��)�0�'���

Z��������!� �����������������������!���� �GG�"�����:�����

��'�0������'�������

&��������'�0��:��������'�)0������'�5�

&������������)���!�������'�)3������'�)0�

�� C��������������,��+��+������� ������������+������+� �������

� 7������Q������Q������������'�����������������Q���

: �����(������'���(������

� 7������Q��������Q�����������A����B�Q���

!�"�����

� 1������'���������'���

������

��'���

�������������Q����

���=����������'�����������Q��

��������

���'�����

�����������'������

��'�������

���7���� ������!� ����������������������O���

: ������������'���������������������������������������������� �+� ������ ����������

����������������� �������

� 6�����������Q�������������Q�����

�� �����′����� ������,���������� �+� ������ ����������������

7��������������'�����,� ������� ����������������������� !������ ��� ���6�� ������

�-��������#�∈�$A B���� � �"������������#������������

1�+ � �����"��������������:��������������#�����'�����

7�����������′�����������:�� �����!�� �� �������!� ��������������′�Q������ ������'��������1�������������

���������

�����

����

��'���

&����� ���A����B�'�����

��

7�����Q����,� �����Q��(���� �!��

��Q��������Q�� �$

7��������������

��'�����������������

����

��Q�� �2

7�����������������

��'��������������������$�����2�����������

����

��Q����������A����B�Q���

Page 122: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#%�� � � � � � �

����� ��������

�� C�����������������������������#

� ��'� �)�1 ����'� 2���

$��� �)� 3 �������∈��

0A B(

: ��'�$ ��������'�$ 2���2

$�)� �)���������∈��A B(

� ��'� $��� ��������'�

5���

4����

0�)��

$�)�� �����������∈��A B(

� ��'� �3���� �)������'� �

M�)��

$ �

$���$� �)���������∈��A B�

�� 7����������������∈����������Q���

� ��'� $�)�3����'�

0���� ����(

: ��'�$ $��� ��������'�$

3���2

2����

$�)��(

� ����� �)�$����'�� 4����� ����(

����'�$ �)�3����'� ��

���� 3���M� �

�� 7�������������∈���+����������#

� $��� ������������

��� ����(

:� $�������������

$��� ����

�)� �

�� 1 �����������������������������+������+� ������ �#

� ��'� 4�)�����'�

3���

$�����������∈��A B(

: ��'� 3���

$��� 2 ��� 2 ������'�

$��� 3 ��� 6 �������∈��

5A B(

� ��'� 2�)�

$��� �)������'�

3���

2���$

$��� �����������∈��A B(

� ��'� $���� ��������'�

$��� �����������∈��A B(

� ��'� 0�)������'�

3�)���������∈��A B(

���'��(�!�'�$ 2���2�������∈��A B�

�� ���������∈��A B����'� �)�

��� �)$

��������� ��������'� �

��� �)�

��������� �����

� @� �� ���#� ��������

: @� �� ���#�������

���@� �� ���#�� �

�)���� �)�

�)���

�� � 6-�����+� �����������������:������������ 2��� �������������������

3���

$���2 ���$E

: 7����������������∈������+������ ���������������������������� � �������� $��� ���

������������ � �������� 3����

2��� �����

�� 7����������������� �������� �������"����,��� �#

� ������'������������'�$3��(

: ������'�DM����A����B�'�5$��

Page 123: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#%���� ����������������������������������������������������������������

NNN

�� 7����������������∈�������������������� �����������������������������������#

��"2���$"

$�����"�)�$�'����"

2�)�$"

$�)�"�)�������'��(

:�"2�)�2"

$����$"����������"

2�)�$"

$�)�2"�����'���

�� � &� ������ �������∈��A B����������������������� ����!����

7�����������+� ������ ����������������!�'� �)����A����B�'� 2�)� �

: &� ������ �������∈��A B��������'� $������A����B�'�

3���2

2���2 ���$�

7�������������������������������)$�'�0������)��'�4�

� ����� ��������������,���������� �+� ������ ��������������� �2�)�$ ������������

�� ����������� ��+ �������������� $��� �

2�)�$ �����

9�,� ����������������"����"�'���

���7�����������������������A�������B�����#

������ �)��(���'�) $��������'�

2���

$�)�$(

:����� (���'� $��� ����'�

$��� �����

���@� �� ���������������� �+� ������ ��#

� 3����(�

4����( :�

4������

������(

�� 4�)����

0����( ��

0������

5�����

���7����������������+� ������������∈��A B����������������������������� � �������

$�)����� !������ � ���6�� �������2����+����� �� ����������+������ ������ �

���� 7����������������∈������ � �"������������������� �+� ������ ������� 2�)�

$�������

��'� 2��� ����������:��!���� �$�

: ���������∈��A B����'� 2���$

$����� ��������'�

2���

$����3 �����

C������������������������� � �"�����������������:���������,������������!����$�

���7�����������+� ������ �������∈��A B����+��+��������

� $���$ ���$�����

$���2 ���2��'���

�������������∈��N������+���

� C��������������� �

�)���� �

�����'���

: 7������∈���������������������

�)������

����������������$�

Page 124: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#% � � � � � � �

��,� *���������� ����

��� ����������������������� ������� ���G��������������+������"�� ���������������:� ������������� �!��������������� ��+� ������ ���

=���������������������+������,� ����

�����������(����

������∈�$A B��������$�����������������+����������������∈�$�

1����������������������+���������������������������� �)���Q���

���������� ������'�� �)���)����������!������L���

1�����#�����������������+��������⇔������'���⇔��'���⇔��"�)���Q���

)�*+,%!*-,

�� 7���������

$��%���

�����������������������������������+� �$�� ��+� ����� �����∈�$A B�

�������� �)����� �)��

$�%�� �)��

�����������

�� 7����+� ����� �������!���� �����������+� ����� ������� ��� �������������"�����+� �$�

���������� �� G����������+����

&��������'���+��+�,����������������������������� ���[\,����

&����+�����+��+�,���������������+��������)���

7������'�

1

1

( )m

ii

X a g−

=−∏ ��

7����������'�������'�

1

1

( )m

m ii

a a−

=−∏ ���

������

��)��

��≠����+��������������

��,� �����������'���

1+ �������������� ���[\,������,� ������� �)����Q���������

��'�� �)�������������∈�$A B�

9�������� �������:��������'�

1

( )m

ii

X a h=

−∏ �

�� 7���������

$��%����

��∈�$�������������������������� ��+� ����� ���"�

���+� �$�������#

��'�!��������'�!����

1

( )m

ii

X a h=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∏ �'�!���

1

( )m

ii

X a=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∏ ���!������'

'�����!������≥���

���� ��

@����������$� � �������� ���!��� �+� ����������� �������� "���>������+������ �������

�� ������������������!���� ����������+� ����� ��� �

<����������+�����>����-����������,� �������+�������������,� ����

Page 125: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#%!��� ����������������������������������������������������������������

���+� �����+����� �����������+������������������������ ���+� ������������������

�������+����� ����������� � �

������ �������������������������������������������������������

&� ����� � $�����∈��A B�������+��������������+���������+� ����������!����≥������

�A B�+�������������������������"����

1�� ����+� �����!������������ ��������"���A B����+�����������+���#

$�����'�� ������ �����

������

���+� �������∈�$A B����� ����������������������������!�� ����"��$A B�����

������Q�����,� �����S���������S���

@��� ����������#����+� ������������� �����������������������������:� ���������!��������

����,������������������ ������ �������� �����������"������,�:� �����������

&���������������+� ������������������:� ������������+��������������+���������+� ������

����������������!������������������!���� �����

���+� ��������� ������������������������������������:� �������������!���!������ �����

������� �������������������������������������������������������

�� *�����+� ��������!���� �������$A B��������������:� �

�� *�����+� ��������!����$���������!����2������������� ������������!����$������

��������:� �"��]A B�

=���>������������������ ���������:� �"��$A B������������ �+������������,������!���� �G#

� ��������≠���

1����,� ������+� ����� ����������� �+���������������#�������)�����)�

���������������

1�� � #���'� 2)��

$��� ���1 �∈��

2A B��������������:� �"���

2A B��������������!���� �2

�������������������"���2����� 0 �'�1 �����1�' 2 ����� 2 �'�1

���� ��

9�,� ���� ���������������������������"����,� �+� ������ ������!����3�������������#

&� ����� � 3�����∈��A B�����������������"���������������������:� ��=���>������#

3�����'�

3���$

$�����)�$

$�'��

$����

$�)�$

$�'

'�� $�)�

22 � ������ $���

22 �����

�� *�����+� �������������:� �"��$A B�����!������������������!� ����$��������������������

"�����+� �$���������������+������������� ���:�������+� ���� ���������� ���[\,����

�������� ���=���A B����!��� ��+� ���������������:� ��������� �����!������������ �

��� ������ $���� ��������������∈������≠�����

$�)�3���<���

Page 126: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#%"� � � � � � �

�������� ���,� ��������������������� ���� �!���������� ��������� ����������������������

���+������� ��������+�������"�� �������

�����

�����$������������+�����������

*�����+� ��������� �������������������$A B����+�����������"��������������+�����

��� ���������������:� ��"��$A B�

��=����������,���������������:����"��� ������:��������� ��������������������������������"�

������+��� ��������

������ �������������������������������������������������������

��'� 2���$

$�)� �)�$�∈��A B���������#

��'� $� ���$�)�� ���$�'�� ���$��

$�)���'�� ���$� ����� �)��

�������+������"�� ����������!���� �����������������:� ��

C�������#���'��$ ���3�� �����1 1

2 2X⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

��������������������������+������"�� ������

��������:� ��"���A B�

@� �������������+������� �� ����������������������������������������� ��������$ ���3

���1 1

2 2X − ���������������"������,�:� ��������� ���$����+������ �)���

���� ���

��6����+���:� ������� ��+� ���������������:� ��������+���"��������+�������"�� ������

�������+� ������������ ����!� ���������������"������,�:� ������

=����������,�������+��������������������?����� �+����� �����:����������������+� ����

��∈�$A B����+�������������������:� ����#

��'�1

1kp ��

22kp �%��

nknp ��������

����

$��%��

��∈�$A B��������������:� ����������������������

�����������"������,�:� ������

$�&������� �� �������������������������������������������������� ���+� ������

+ ��������� ��������+������� ���"�� ���������������:� �#

�������������������+������ � ������ ���������� ����� ��+��������������������

�������������������+������ � ������ ���������������������� ����� ��+��������������������

������ �������������������������������������������������������

��'�2� �)��$� ���$(�!�'�� �)��

2 � ���$

3�

$��� �����������∈��A B�

1������������'�� �)��$� ���$(�A����B�'�� �)��

2� ���$

3 �

$��� �����

Page 127: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#%���� ����������������������������������������������������������������

����� �����������

�� �����������∈�$A B�!�������'�!�������'������� ������ �����������������

$��%���

����

����∈�$

��� � �"�����������'����

������������� ����∈�.���$��%�������/��1�������������'���

: 7�����������+� ������ ����∈��A B����+��+�������������"���5�'�����"�������5���"��5�∈���

!�"�����

� &� ����� ���'���)�������!���� �≤������������ ��,���������������

@�� ������������������������������� ���[\,������,� ��������'�����������'��

9�,� ����������������������������+� ������������� �����!� ��������� ����������

�����+� ������ ��������!� ��

: �������"�'�5������"���!� �������������:������������'���

������������'������∈�����:������+�����������������"�'��"����"�∈���

9�,� ������+� ������ �������� ������� �����!� ��������� ���������������

&�������������'�� �

�� ����)�∈��N����$�'�.�������2��%���

)/�������+� �����

� 1����������+��������������∈�$���)

�'���

: 7�����+������"�� ���������������:� ��+� ����� ���'� )

�)� �∈�$A B

� 7�����������+������������������+����������#

���)��H�≡�)������������������� ���^� ����

!�"�����

� �$N��������!��+����)�)���� �������

9�,� �������)�)��

�'����������)

�'�������∈�$�

: *������ ��������∈�$��������������������������������+����"�� ������#

��'� � �)���� �)��2�%�� �)��

)�

� ������'�"��)��

�)��1 �∈���A B��9������� ���� ������#�1 �� 2 ��%�

�1p − �

7������'�� �)�1�� �)� 2 �%�� �)��1p − �

G����� ��������������� �:������:�����#

1 �� 2 �%��1p − �'�)��1�⇔�

�1 2 ( 1)p⋅ −� �'���1− �⇔����)��H�≡�)����������

�� 7���������∈�������������������,�������������

������0�)��

0�)��

0�'�0�����������

$���������

$

!�"�����

&�����+������-+�������������:�� �����!�������+� �������"�����������������

������∈��� �-���

*:���������������'��

0�)��

0�'������������'����)��)��

0�)��

0�'��

0�)��

0�'��

1���������� ������������� ���[\,�����+� ����� ������������,�:� �������)��������

��)��)��'�������

Page 128: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# $� � � � � � �

7���������-+���������������������������"�������+�������+���� ������ ����������

�+���������

1��������'�������0�)��

0�)��

0�'��������������������������������������+� ����

I��������J����!����$���� ����#��������'��$����

$�������

1�����������0�)��

0�)��

0�'����������A�

$����

$����B ��

7������ ���� �����������:����������������+������α��β�

��'��(���'���⇒�2��'�$�$α���β

��'�$(���'���⇒�$���'�4�0α���$�β ���

⇒�

2���� � �

5��� � �

⎧ ⎧⇒⎨ ⎨

⎩ ⎩7������#

������0�)��

0�)��

0�'���������A0��

$����

$���0��B�'�0����������

$����

$�����

�� C��������������+� ����� ���'� 4���� ��� 5 ∈��

5A B�������������:� �+��������������∈��

5�

!�"�����

7����:����������,���#

����'� 0 ��1��������'� 4��� 5 �'�

4�)� 2 �'�

4�)�� 3

$�'��

2�)� 3 ��

2��� 3 �

$���≠� 0 �

1����������������� �+����������������"���5�

����α�∈� 7∗� ��7��������� 7

∗� �������!��+����4�� ���������:������α4�'�1 �

1�����#����α�'� 0 �⇔��1 ������α��� 5 �'� 0 �⇔����α��� 6 �'� 0 �⇔����α�'�1 �⇔�α�'��)�

9�,� �������)�

���������������+�����������������

�� C������������+� ������ �������∈��A B����'� 2�)�0������'��

$���� ��������≠���

��C�����������������������������:� �"���A B�

:�1�����������-����������

��∈��A B���� � �"���������

��������

��'���

��7��������������������������� �,���������� � ��������3 3

15 25c b a+ +

�������������∈�����$����

$����

$�≠���

@�,�+������ ��#�$�)�3 35 25− �

!�"�����

� &� ����� �������!���� �2��������������������"�����+� �������������3 5 �������������� �

9�,� ���������������������:� �"���A B�

: 7�����������������������:� �"���A B����,� �����������+����������������"������,�:� ������

���!�������������,�������������� 2�)�$�

9�,� ������������'����@�� ����������������������� !������ ��� ���6�� �����������

����-�����+� ������ �������

��∈��A B���� � �"���������

��������

��'���

Page 129: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# #��� ����������������������������������������������������������������

� 7����"� ������ ����3 5 �"��� ������!� �������:�����#

��'���3 5 ���

��

3 5 �⇔���'�������3 5 ����

3 25 �����

3 5 �⇔

⇔�3 3

15 25c b a+ +

�'����

3 5

7����������� ���� ��� �������� ������� ��� ��,� ��� ����

��

3 5 � ����� �-+������ �:������

��+��������� �,����

=����,� �+������ �������� ������'�)� $�)� ���$�

1 !������ � ���6�� ���+������� ������ 2�)�0��)�

$�)� ���$�����

2�)�0�'��)�

$�)� ���$���)� �������2 �)�5 ��

)� $�)� ���$�'��2 �)�5� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

9

10

3

1X ���

52

9�$

C�������2 �)�5����������> �"� ������"���$��*:�����#

D�)� $�)� ���$�'��)2 �)����A�

2�)�0�)��)�

$�)� ���$��)� ����B���0$�⇔

⇔��)� $�)� ���$��2

$���5 �)������2 �������

2�)�0���0$�'�� �2

=� �������"���2� ����3 5 ��:�����#

�)3 25 �)�

3 5 ���$�23 25 ���5

3 5 �)�����0$�'���⇔

⇔�3 3

3 3

1 1 (3 25 7 5 1)5225 5 2

= − + −− − +

�� C�����������+����"�� �������+� ������ �����!���� �� ���� ��

2 $��� �)�1���

$��� 2 ��� 4 �∈��

0A B�

!�"�����

_����������+� ��������!���� �� ���� ���������������:� ���������������������������������

"�����+� ����+������

7���"����������������!��������-!�#�����������������!���� �� ���� ��������� �������

"��������������+�������>�$�

�"$����"����'�������≠���⇔��A"

$�������

)���"�������

)��B�'���⇔�"

$�����

)��"�������

)��'��

⇔��"�������$�)�

$�)����)�3�����$�

)$�'���⇔��"�������$�

)�$�'���

$�)�3����$�

)$�

7���#����������������������"�����+� ������������������������-�������∈��

����� � �"����

�$�)�3���'��

$��������������� ��'��

$�)�3��������+������"���

��

=����������,������ ���� �������,� �������������������!���� �� ���� ��#

"��'��)���)����$�

)����"

$�'��)��������$�

)��N

7����+� ����� ��������������� ��"���"

$�∈��

��������#

��'��� �)�"�� �)�"

$��������+�������"�� ���������������:� ���� ������

Page 130: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# %� � � � � � �

=����,� ���������#

2 $��� �)�1'� 0 ����'��

$�)�3���'���

$�)�3�� 2 ��)1�'� 2 �'�� 3

$(���'� 3 �

1����"���$

�'��ˆ ˆ1 3− ± �� 4

)��'��)1 �±� 3 �� 2 (�"

��'� 4 ��"

$�'� 6 �

1�����#� 2 $��� �)�1'� 2 � �)� 4 � �)� 6 �

$��� 2 ��� 4 �'� 0 (��'��) 2

$�)�3�� 1�� 4 �'� 3 �

=����"���0�� 3 ���������+����������������������������� ����������+� ����� ��������������:� �

���� ���

� &������������� �������� ��������"�����+� ��$� ���� � ���6����������� �:� ����������

$��'�������'�������������������������:� �

6������ �����!���� �� ���� ��������� ��������"���$������,� ���+����"���������

$ ����� � ���N�����-����� �������������!���� �� ���� ��������� �����������!�����!����

��������$��'�������≠���

=��+������ ��#�������������������������������!���� �� �GG> ��������� �����������+ �����

��,� �����"���� ������������ ������+ �-��

�������

C�������,� �����������"$�)��$�����"���$��'����"�∈���

!�"�����

�'��$�)�3���'��$�����

$�)�3�����$��'�3�

$���3������)�M��'�3�

$�)�3������'��$��)��

$�

7����"���$

�'��)��±����$�)�

�'����±����1

2a���������'�$��)��������)�$��)���

9��������"���������� �+�� ����2 Δ ������������� �������������+���������������� ��

Δ�≥������������������

2a

−± Δ�������������I�-+������J����� �������������� �������

�����������!���� �� ���� ��������� ����������� ������������������H

�� %� ������&�' �������

*���������� ������������-+��������"�� �,������P������:�� �!�����������������������,���

+�����>������������+�������� �������� ���"�� �+��+���� ��������� ������+������������

��������������+������:� ��

7������������ ��� �� ��!������ ���� "���>��� ��:� �+����"���"

���%�"

��� ��������� ��� �

�����+��,�������� �� ������������ �����"������"

��%�����"

��

������������,���� ������ �������� "���>���+�������+����� "������� ��� ����!������ ���

������:� � ����+�������������������:�����+���� ���-+�������� ��

C+�����"����������,����� �������!��� ��!����

" "�

"$

% "�

�����α�∈��"���"

������

���" ���"� ���"

$ % ���"

� ��������������αE

Page 131: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# ��� ����������������������������������������������������������������

<� ���������α�"��!����� �����+��-����,����������������������� ��������� ������

+� ������ ���������������!����

������ �������������������������������������������������������

C>����:�������-+�������� ���������� �������+���������+�����������+������������ ���:���

���+��� �������+�����������,����:� � ���

7�������8

�������� �R! D$�3� �3D�2M $22�5� 200��$ 0$0�54 54� �3MD��3

��°@ 0� 4� 5� M� D� ��� ���

C��������������� �� �,�����+����������� ���:�������+��� ��+�����������

��0�����'�2M������� �R!�

1+������������+��: ����������������������+� ���������������������������������� ��� �

�� ��"����������+������

<����-��������������+��: ����+����,� �!����� �+���������� �������,�+������ ���

8 ������∈�.���$��%���/�� �-��C����������������+� �����������!������)������ � �"����

���"��'�5

������

���"

��'����+��������������∈�.���$��%���/����≠���

1�������"���"

$��%��"

�)���"

�����%��"

����������������+�������

���7���

���'��� �)�"

�� �)�"

$�%�� �)�"

�)�� �)�"

����%�� �)�"

7������"��'�5

����,� ��#

��'��

1 2 1 1( )( )...( )( )...( )k

k k k k k k k n

yx x x x x x x x x x− +− − − − −

&���������������'�

1 2 1 1

1 2 1 1

( )( )...( )( )...( )( )( ) ... ( )( ) ... ( )

k k n

k k k k k k k n

X x X x X x X x X xx x x x x x x x x x

− +

− +

− − − − −− − − − − �5

��

8 T���!����� #������>��������� �����+ �-��"���"

$��%�"

����������������5

���5

$��%�5

��∈���

�������������������+� ��������!������)������ � �"��������"��'�5

��+�����������

��∈�.���$��%���/�

&� ����� ��������������'�������

$���%����

��

=���>������#����"��'���������%�������5

����������������'�5

��

&� ����� �����:���������������������������=���>������#

7��������-��������� ��+� ��������!�������≤���)�����������#

���"��'����"

�������∈�.���$��%���/�������� �����!� �����������������������������

������!���� ���)����9�,� ��������'���

&� ����� �������������������������������+� ����� ������ ��!�����������9�������

&��������:� � ���+������������������+� ��������!����4�����+����������

���D$�3��'�0�(�����3D�2M�'�4������$22�5��'�5������200��$�'�M������0$0�54�'�D��

���54��'����(�����3MD��3�'�����

&�������� �� � ���� ������� ��������+��!������� ���������+�����+�����

<� ����������������2M��≈�M��4���°@�

Page 132: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# �� � � � � � �

1������������,������������� ���������:� ����������� ��� ������� ��������+� ������ �

+��������������� ���������� ����� ����!������ ������+�����"���>���������� ����!�����A����B�

7���� �������������������������������� ����� �� ��������+��������!�������"�<�������"�>������������:�����������+���������� ��+������ ���-+�������� �

6-��������� �� ��� ��� �������� ���:� ���� +������ ��� ������� � ���������� ��� �� ���� � �

��!������ ����"��� ���������������������������������" ��!����

7���-��+ ���+� ����� � ��'�����40 2�)���0$MDM

$�����4�20M �)���$035M��������

+� �������������+� ����+�������� ��� �������"����:� � �$#

7�������'

��3 ��0 ��5 ��M���:� � ���+�������� ���

���DM030 ��DD53D ��DD�44 ��D52M3 � �� �������������

@������+������+��-��������πE

9��+���#�+�������π�≈����$�35��D

1+��-������� �������π��+�����-���+� �������������P����!��,����

=����P��:��+���������+� �����+�������+��-��������

2

π�+������

2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�'�������3���� �����

�������+��+������������������� �����������3�

9�,� ������+� ����� ���������+� ����������������:�������+��������� ��� ��� ��� �������

������������ � �+���������� �����+��-���������������������

����� ��������

�� C�������������������������#

����'� ��� 1�����'� 3��� 2 ���1 �������∈��

0A B(

:���'� �)�$(����'��$ 0�)�2� �)�$��������∈��A B(

����'� �)�23 �)�

22 (���'�� 0�)�04

3�)���

2���04�

$��� �)�04��������∈��A B(

����'� ����(���'��2 2����2��)�3

$�)��3��)�� ������������∈��A B�

�� C��������������������∈������ � �"���������� ��� ������� �������+�������+� ����� �����

����'�$ 2��� �)�2����'� �)����������∈��A B(

:���'� 2�)�5

2����D

2���� ��������'� �)�$�)��������∈��A B(

����'� 2�)�$

$���� ��������'� �)���)�

22 ������∈��A B�

�� C�������������������������

����'� $����(���'��

$��� ���

������

$�)� ����

��(

:���'� $��� ����(���'�� ���

�����

5(

����'� $�)� ����(���'�

4��)����� �)������∈��N(

����'�� �)�1$(����'�

�10 ���)�

�11 �����1 �������∈��

�2A B�

�� 7�����+������"�� ���������������:� ��"���A B�����+���"���A B#

�� 2���2 �)�3(�:�

3���2

$�)�3(���

3���

$����(���

3���3(��� �� ������ ���$�� ���2�)�2�

Page 133: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# ���� ����������������������������������������������������������������

�� ��1����������+� ����� � 2��� 2 $

��� 1�∈��2A B��������������:� �

:�C�����������������∈��2���� � �"�����+� ����� � 2 2

���� ���1 �∈��2A B���� �����������:� �

�� 1���������� 2��� 2 $

��� 2 �∈��2A B�������������:� ����������+������+� ����� �"�� ������

��������:� ��

�� � 1���������� 3���

2��� ���1�������������:� �"���

$A B�

: 7�����+������+� ����� � 0�����∈��

$A B�"�� ���������������:� ��

� 7�����+������"�� ���������������:� ��+� ����� � 3�����∈��

2A B�

� 7�����+������"�� ���������������:� ��+� ����� � 3���

2��� 2 $

��� ���1∈��0A B�

�����7�����-��+ �����+� ��������������

A B����!���� ���������������� �� 1�� 5 �

:�7�����-��+ �����+� ��������!���� �� ���� ��������2A B���������:� �

�� ��1����������+� ����� � $�)�2��������������:� �"���A B�����������:� �"����

22 A B�

:�7�����������+� ����� �����������!���������������A B�+�����������3 3 ���������������

���7������������������� ��+� ������ ��#

�� $��� 3 ��� 2 �∈��

2A B(�:�

$��� ���1 �∈��

5A B(���

$��� ��� 3 ∈��

5A B(

�� $��� �����∈��A B(���

$����2���� ���2��∈��A B(� �

$�)�3 �������$

22 ∈��A B�

NNN

�����7�������������∈��A B���� � �"���������������$���%��������'��3������∈��N�

:�������������∈�����∞����≠���≠���≠��������∈��A B��!��������'�4���� � �"����#

�����'����)�(������'����)�(������'����)���7�����������������"�'����)"����"�∈���

���� ������∈��A B��C������������������� �������+� ������ �� f �����+�����������������������

+� ��������������

: C�����������������∈��A B�+������������ ���2���� �'�� �)�4���� ���2�

� C�������������� ���������������������+� ������ ��

���6-������� ����� �� �����∈�∗11� �+�����������+� ����� �

������ ���9 �∈��

����������������:� E

���C����������+��������� �������� ���:���;0�)�

0�)�:

0�)�;

0�

���U�:� � �� ���������������+���������� ��� ��

�+�����-+������"����2�������+���������"��°@�

@����������� ��� ��+��� �����+�����������0�°E

���������∈��A B��!��������'������ � �"�����������������%�������∈���

C������������������∈���������∈���

����7�����������"�∈��5���� � �������"

$�)�"��� 1�'� 0 �

:�=���������� ��+����� �����������������"2�'��)1 ��

� 7����������� ( )22 13 1 7n − + � ������������� ����∈��N�

��° 2�° 4�° M�°# �����$5 ���3�22 ���4�D ��$M�D

N

N

N

N

N

Page 134: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# � � � � � � �

��-� ! � �������������� �� �� ���� ���� .

!����������/0��<��� ������ ������"������������� �����+� �������∈��A B��!�������≥��

&��,������ ������������������������� ���,� ���#

����������������������.���

*�����+� ���������������������� �����������+ ����������� �+������� ��������

���+ �-��

)�*+,%!*-/

*�����+� ��������!���� ��������� �����������+ ��������������������

=��+ ��#������"���"

$��%�"

��∈���������������� ��+� ����� �����������

��'���� �)�"

�� �)�"

$�%�� �)�"

� ��

���������� 7����������� ��������� ����,� �������������� �+���������������#�"��

1������������������ ���[\,���������� �)�"��Q����������-�������∈��A B

��� � �"�������'�� �)�"���������������!���� ���)��

7����������� ��������� ����,� ������� ������� ������+� ����� ���������

+���������������#�"$�

1�����#���'�� �)�"$����������∈��A B��!���� � ������������)$�

9�,� ��#���'�� �)�"���'�� �)�"

�� �)�"

$��

@����������+������� ��������������'�� �)�"��%�� �)�"

��)�������!����

+� ����� ���)������������������)������+� ��������������

=���������������������� �� ����������������+���������������

������ �������������������������������������������������������

��'��� �)��� �)��� �)�$� ����

������

������∈��������∈��A B

C+�����������������!�������� �������������!����!��� ������ � �������

���������������� �����

����������������������� ���������

������ �������������������������������������������������������

7������'�2� �)��$� ������������������������������� ��+ ������������ ������ ��+ ��������$�

����)������������������ ��+ ����������� ������ ��+ ����������

Page 135: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# !��� ����������������������������������������������������������������

=������������������+�����������+ �(�"�� ������������������������ ������ ��+ �������

���$��2������������+����������������+ �����: ������+ ������

9�,� ��������������∈��A B���������+� ������������������-����������� �����+ �-��"��

"$��%��"

����������������������������������� �������� ������ ���

����

$��%��

����� � �"���������

������"�������������:��������� ����������������� ������ ������:� ����#

��'�� 1 21 2( ) ( ) ... ( ) knn n

kX x X x X x− − −

@��������+����������� ������ ��+ ��������� ����������������� ��+ �E

�(�&����"�+�������������������+ �������������������������� ���[\,����

������ �������������������������������������������������������

&���������'� 2�)�2 ���$�����������������#������'��������� �)�������� ������

=�+��������� �� �)����:�����#

��'�� �)��� $�� �)�$

;������� ������+� ����� ���'� $�)� �)�$���������������#������'���

=�+��������� �� �)����:�����#

��'�� �)��� ���$�

7������������'�� �)����'�� �)��� �)��� ���$�'�� �)��$� ���$

9������������ �� �)��$������� � �� �)��

2�������������������������: ��

�(�7���"�������������������������+������������ ��������� ����� ��+ �������� ��� ����,�

�� �� � �+��,������ ��+����� ���

G��������������"��������������������#� ���������!���!��

���� ���������#��A B�→��A B��� ��������� � #

8��������∈���������������'��

8��������'�������

� ����

$

$����

� �

��������������'������$�

$ ���%�����

� ��)��

1������� �����������������������������������������������+� ������������������������������

�����

C�������:���������#

8��� �

�'�� �)�

�+��������������≥���

8���������'�������������������∈��A B�

8�������'������������∈����������∈��A B�

8��������'����������������������������∈��A B�

<��� ���������� ����������������+������ �� �

������� �������������������������������������������������������

�� 2���2 �)���'���

2�����2 �����)��'�2

$���2�� �����'�2

$���2�

�A� $������ ���$B�'���

$���� ���$����

$������ ��$�'

'�$ � ���$���� $�������'�2

$���3 ����

Page 136: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# "� � � � � � �

9��������������������+��+������� ������������������+� ��������+��+������� �����������

����� ��������+� ������ ��"��������"��� ������WG>��

6���������� �+�������������������������+� ���������������������������� ���� ��������

�����"��� �����������������'���′���������'����$

��%���������#�����

�'������)�

′�_����+����,����+������ �������+��������������� �?����+���������������+��!���� �+� ���>

�� ������+����,� �!����� ���������� ���,� ���#��������∈�����������-����������

���%���

��∈��

��� � �"����

��'�������

�� �������

$� ���

$��%����

�� ����

��

������ �������

���%���

��∈����������������������������+���������� �����������+�����

�� �������+��+����� �� ��� �)���

*:���������#

���'�����

��′�'������$�

$� ������2�

2� ���

$���3�

3� ���

2���%�����

�� ����

�)��

9�,� ����� ���������'���′��

��′′�'�$�����$��2�

2� �������2��3�

3� ����

$���%��������)��� ���

�)$�

9�,� ������$���'���′′��(����� �

$�'�

( )2

f a′′�

&���������������������������#

�2�'�

(3) ( )3!

f a���

3�'�

(4) ( )4!

f a��������

��'�

( ) ( )!

nf an

=�������� � ����������#

��'��������( )

1!X a−

����

�����

2( )2!

X a−��

�$������

3( )3!

X a−���

�2����������

( )!

nX an−

����

��

������� ���� �� ���U�` ��������,�� �������+� ����� ���������!���������+��+����� �� ���� �����

������������������� ��������������������������������������������

C�������,�� ���+� ����� ���'�$ 2���2

$��� �)����+��+����� �� ��� �)���

@� �� ����������� ������������� �� �����"�����1���#

����

�'�4 $����$� ����(���

����'��D�

���$

�'��$ ����$(����$

���'�$3�

���2

�'��$�(����2

���'��$�

9�,� ��#

��'��������1

1!X −

����

�����

2( 1)2!

X −��

�$������

3( 1)3!

X −���

�2���'

'�0���1

1!X −

���D���

2( 1)2!

X −��$3���

3( 1)3!

X −���$�

Page 137: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# ���� ����������������������������������������������������������������

�������

������∈��A B����+� ���������������������∈���

1�����#������������������� ��+ ����������� ������ ��+ ��������$�������������������

�����'����������

���'����%��������)�

���'����������

���≠���

���������� ������!���� �+� ����� �����

&����+����������������� ��+ ������������ ������ ��+ ����������

1������������ �� �)���

������� � �� �)�����

7�,�� �����+� ����� ���+��+����� �� ������:�����#

��'��������

(1) ( )1!

f a� �)�����

(2) ( )2!

f a� �)��

$���������

( 1) ( )( 1)!

kf ak

−� �)��

�)���

��

( ) ( )!

kf ak

� �)���

��������

( ) ( )!

nf an

� �)���

�'

'�� �����

( )( 1) ( )( ) ( ) ( )

( ) ... ( )! ( 1)! !

k n kk nf a X a X a

f a f ak k n

−+⎛ ⎞− −+ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

��

���������

(1) ( )1!

f a� �)�����

(2) ( )2!

f a� �)��

$���������

( 1) ( )( 1)!

kf ak

−� �)��

�)�����

7����������� �� �)���

���,� ����������� �"�+�������� ����� ��� �)���

��������������

�������

(1) ( )1!

f a� �)�����

(2) ( )2!

f a� �)��

$���������

( 1) ( )( 1)!

kf ak

−� �)��

�)��'�����$

=� �������"���$� �+���� ������:�����#

�������

(1) ( )1!

f a ����

(2) ( )2!

f a �

$���������

( 1) ( )( 1)!

kf ak

− �)�

�'���⇔

⇔������'��������

���'��������������)�

���'���

=��+ ��������:��������������� � �� �)�����

�������

( ) ( )!

kf ak

�≠����� � � ����������

��,� ������+� ����� ��>������ ��"�������������� ������,�:� ���� �)�����������������

9���+�������������������

��������������������������� ������������������������������������

������'� 3�)�$

2���$ �)��

*:���������������������������� ������C�>��!����������� ������ ��+ ��������

����

�'�3 2�)�4

$���$(���

�����'��(

���$

�'��$ $�)��$ (���

�$���'��(

���2

�'�$3 �)��$(����2

���≠��(

9�,� ������� ������������������������������������+ ��

Page 138: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�$� � � � � � �

!����������/0��1����,���"��� ������GW>�����"�������� ���������+� ����� ����

$���� ���������������� �

�� ���-����� �!����� �#�"����"

$�'�)�

b

a��"

�"$�'�

c

a�

1�������� ���������-�������� ��+� ������ �����!������+������

�������

������∈��A B����'��� �

������)��

���

���%����� ����

����

��≠������≥���

7�������"���"

$��%��"

��������������� ��+� ����� ����������#

"����"

$���%���"

��'�)�

1n

n

aa

"�"$���"

�"2���%���"

�"����"

$"2���%���"

��)�"��'�

2n

n

aa

"�"$"2���"

�"$"3��%����"

�)$"�)�"��'�)

3n

n

aa

����������������������������������������������������������������

"�"$%"

����"

�"$%"

�)�"���

���%���"��)�����

"��)����$

�����"��'��)��

�n k

n

aa

����������������������������������������������������������������

"�"$%"

��'��)�

�0

n

aa

���������� _���������'���� �)�"

�� �)�"

��%�� �)�"

��

7�� ������+������,� ����������� �������:�������� ���� ����������������

�������������%�< ��

������� �������������������������������������������������������

�� &��������'�$ 2�)�2

$�������� ���� �� ���<�a�������#

"����"

$���"

2�'�)

3

2

−�'�

3

2�

"�"$���"

�"2���"

$"2�'�

0

2�'��

"�"$"2�'�)�

12

�� &��������'�2 3����

2���$

$��� �)���������� ���� �� ���<�a�������#

"����"

$���"

2���"

3�'�)�

3

i

"�"$���"

�"2���"

�"3���"

$"2���"

$"3���"

2"3�'�

2

3

Page 139: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�#��� ����������������������������������������������������������������

"�"$"2���"

�"$"3���"

�"2"3���"

$"2"3�'�

1

3

"�"$"2"3�'�

31 i+−

���� ��

����������������� ��"���"

$��%��"

��∈����-�������������+� ������������

��∈��A B���������������������������� ��"���"

$��%��"

��

=���>�����������������#

2��'�"

����"

$���%���"

�(�2

$�'�"

�"$���"

�"2���%���"

�)�"���%��2

��'�"

�"$%"

��

����#

���� �

�)�2� �)�

���2$ �)$

�)�%����)��

2�

����� �����������

�� C�������������������� �"�+��������+� ����� �����'� 3D

��� 2$

�)�$ 0��� ���2� ��+� �����

� �)��$�

!�"�����

7�,�� ����+� ����� �����+��+����� �� ��� �)���

��'��������1

1!X −

����

�����

2( 1)2!

X −��

�������������

49( 1)49!

X −��

�3D����1�����

��'��������1

1!X −

����

������ �)��$

(2) (1)21

f⎛⎜⎝

���������

47(49)( 1)

(1)49!

Xf

⎞−⎟⎠�

@�� �������������"�+��������������������������������� �"�+�������� ����� ��� �)��$�����

�������1

1!X −

����

�������� �,���H

�� @� �� ��������� �"�+��������+� ����� �����'� 25

��� 2���2 �)�0� ��+� ����� �� �)��

$�� �

!�"�����

7�����������"�+�����������������������'��� �)��$�� �������

$���� ����

��

U��:��������������������������+������"�����������������������#

7������ ����"������:�����#

"�'���⇒������'�������������������������������������������'�)�$�

"�'���⇒������'����������������������'�)�0�

1�����������������,� �����+���������������:������:�������!� ���������#

��′�'�$� ��� ������� ���

$������� ���

$�� ���′���$� ����� �$

������� �'���"���!� ��������$��:�����#���′���'�$���������������$������'�32�

Page 140: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�%� � � � � � �

@����������+������,� ������������� ����:������

�� C���������������+� ������ ����∈��A B�����������!��������'�$���������������������,�:� ���

� �)�����

��������)������������,�:� ����� ��������

!�"�����

1����������'�� �)�����

���(���)���'�� �������

�����7�������+������������#

��′�'��������� �)���������� �)��

������′�'�� �)��

������������� �)���′�'

'�� �)����

����� ����

1�� �!�������������������!� ����������#

��′�'��������� ������

����� �������

���′�'�� ������

������������ ������′�'�� �����

��������$

7��������������� �)����

Q���′����������$���������� �����

�Q���′�7��������+� ������ ��� �)��

��

����� �����

������+�����"������ �������������#

A� �)������� ����

B�Q���′�⇔�� $�)��

�Q���′�⇔���′�'���

$�)��

����∈������≠���������������′����!���� �$��

&�������������′�'��� $�)��

�'���

0

( 1)n

k

k=−∑ k

nC � $���

�'���

0

( 1)n

k kn

k

C=

−∑ $�)$�

1������+����I����!����J�����#

��'���

0

( 1)2 2 1

knk n

k

Cn k=

−− +∑

$�)$�������

7�����������������'���������)��'����:������������� #

0

0

( 1) 12 2 1

( 1) 12 2 1

knk n

kkn

k n

k

Ca b

n k

Ca b

n k

=

=

⎧− + = −⎪ − +⎪

⎨⎪− − + =⎪ − +⎩

9�,� �����'��������'�

0

1

( 1)2 2 1

knk n

k

Cn k=

− − +∑�

�� C������� �� �,��4 4 4 41 2 3 4x x x x+ + + �������"

���"

$��"

2��"

3�������������� ��+� ����� ��

3���

2�)�2

$��� ���$�'���

!�"�����

������2��'�

kkkk xxxx 4321 +++ ���� ������+���� ��������� ������ �� ���<�a����:�����#

"����"

$���"

2�'�)�(�"

�"$���"

�"2���"

$"2�'�)2�

9�,� ��#

2��'�)��(�2

$�'��"

����"

$���"

2$�)�$�"

�"$���"

�"2���"

$"2�'���)�$�)2�'�5�

&�������� �� � ��� �� � ��������22��2

3������������������ �+�� ����"

���"

$��"

2��"

3����� ���

��������������#

4 3 21 1 13x x x+ − ���"

����$�'��

4 3 23 3 33x x x+ − ���"

2���$�'��

4 3 22 2 23x x x+ − ���"

$���$�'��

4 3 24 4 43x x x+ − ���"

3���$�'�� �����

Page 141: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#� ��� ����������������������������������������������������������������

=�+������� ��������!� ���������"���"

$��"

2�����+������"

3���:�����#

3 21 1 1

1

23 1x x xx

+ − + + �'��3 23 3 3

3

23 1x x xx

+ − + + �'��

3 22 2 2

2

23 1x x xx

+ − + + �'��3 24 4 4

4

23 1x x xx

+ − + + �'��

1��������� ��+������!� �������:���������,� ��#

22���2

$�)�22

����3���$�

1 2 3 4

1 1 1 1x x x x

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠�'�� �$

=����

1 2 3 4

1 1 1 1x x x x

+ + + �'�2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 2 3 4

12

x x x x x x x x x x x xx x x x

+ + + −=

9�������� ���$��:�����#

22���2

$�)�22

����3���$��

1

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

�'���⇔�22�'��2

$���22

��)�$�'�)5�)���)�$�'�)����

9�������� ������������������ ��+������!� �������:�����#

23���2

2�)�22

$���2

����M�'���

7�������23������ �,������ �� � �

�� C������������+� ����� ���'� 3���

2���

$��� ���������������� ��"

���"

$��"

2��"

3�

� C���������������������������� ��"��'�����

25kπ

���������2k

n

��'�1, 4 �

: C��������������,���� ���������2

5

k�����

4

5

�����

6

5

k�����

8

5

kπ�'�)��(

����������!� �����������

4

51

5

2 +−=π�

!�"�����

� 1���� 0�)���'�� �)����

3���

2���

$��� ������������������� �� ������������������ �

��������� �0�� �������������� �����������

�7���"0�'��������'�����������������������"

��'�����

0 2

5

k+ �������

0 2

5

k+ ��'�0, 4 �

: &������� ������� ���<�a����� ������� ����������"3���"

2���"

$���"�����'���������

"����"

$���"

2���"

3�'�)���⇔�����

2

5

�����

4

5

�����

6

5

�����

8

5

π��

���������2

5

�����

4

5

�����

6

5

�����

8

5

π�'�)��

Page 142: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#��� � � � � � �

G����� ������+���� ����� ���:�����#

����2

5

�����

4

5

�����

6

5

�����

8

5

π�'�)���⇔

����2

5

�����

4

5

π��������$π�)

4

5

π��������π�)

2

5

π�'�)���⇔

$�����2

5

�$�����

4

5

π�����'���⇔�$�����

2

5

�$��$����

$�2

5

π�)�������'���⇔

3����$�2

5

�$�����

2

5

π�)���'���������������!���� �� ���� ���"�����

2

5

π�

9�,� �������2

5

π�'�

1 5

4

− +������ ����� �����+�,���������������

2

5

π�∈� ⎟⎟

⎞⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

2,0 �

�� C����������������������������,� �����������"3�)�"

2���$"

$�)��"���$��'�������������+������

����������������������!� ����+������ ��� �� � ��������

!�"�����

����"���"

$��"

2��"

3�∈������������ ��+� ����� ���������"

�"$�'�"

2"3�

7����� ���� �� ���<�a������������������ �#

�"����"

$����"

2���"

3��'��

�"����"

$�"

2���"

3���"

�"$���"

2"3'�$

�"����"

$"

2"3���"

2���"

3"

�"$��'��

�"�"$���"

2"3�'�$�

7��������"2"3�'�"

�"$�����������!� ��������������"

����"

$���"

2���"

3��"

�"$�'���

7�������"�"$�'���'�"

2"3��=� �������"����+��������������:�����#

�$�'�$��⇔���'�$�������'���

7������'�������������������"3�)�"

2���$"

$�'���⇔�"

$�"

$�)�"���$�'�������

7������'�$���������"�"$�'�"

2"3�'�$��1�������� �������������"

����"

$�"

2���"

3��'�)$������

"�+���������+�������������������������������������������������������� ��"����"

$���

"2���"

3��9�,� ������������ ��:�����#

1 2

1 2

12

x xx x

+ = −⎧⎨ =⎩

�����3 4

3 4

22

x xx x

+ =⎧⎨ =⎩

�����

�� @� �� ������'����������������������������

!�"�����

����� �� �������������:�,��,��+�� � ��������� ���� ��� ���<�a���+������+� �����

��'�� ����� ����� ����� ����

&������ �����������������=���

��'� 3�����������������

2�������������������������������

$��

������������������������ ��������

Page 143: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#����� ����������������������������������������������������������������

1�����

��'������'����������������������������������������������������

��������������������������������

�� 9�,� ������������

2 2 2

3 3 3

228

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

��"��5��-�∈���

!�"�����

@� �� ���"5���"-���5-��"5-#

$�"5���"-���5-�'��"���5���-$�)��"

$���5

$���-

$�'�3�)�$�'�$�⇒�"5���"-���5-�'���

7���"2���5

2���-

2�)�2"5-�'��"���5���-��"

$���5

$���-

$�)�"5�)�"-�)�5-����������"5-�'�$�

1������

21

2

x y zxy xz yzxyz

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ =⎩

��

C������ �����������P��� ������������������!���� �� ���� ��� 2�)�$

$��� �)�$�'���

6��������������P��� �������#�� �)�$� $�����'������������������ ��

��'�$(�

$�'��(�

2�'��)���

C������ ������������������4��� ����#

�$�����)��(��$��)����(�����$��)��(�����)����$(��)�������$(��)����$����

�� ����"���"

$��"

2��"

3��������� �����������"

3���2"

2����"

$���$"�)�2��'���

���������������������!���� �+���������������� ��5����"

$����'�1, 4

!�"�����

@� �� � ����� ���2���������������������"���������� ����������

���������:���������5�'�"$����!����������-+�����������������������������������������������

"������������ �������"�"������� ���� �#

4 3 2

2

3 2 3 0x x ix x iy x

⎧ + + + − =⎨ =⎩

��

1���#��"$$���2"

$��"����"

$���$"�)�2��'���⇔�5

$���25

$��"������5���$"�)�2��'���⇔

⇔�"�25���$���5$����5�)�2��'���⇔�"�'�

2 33 2

y iy iy

− − ++

9�������� ������:�����#

5�'�

22 33 2

y iy iy

⎛ ⎞− − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

⇔�5�25���$$�'��)5

$�)��5���2�

$�⇔

⇔�53����$��)�D5

2�)��4�����25

$���$5�)�D�'���

Page 144: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#� � � � � � � �

����� ��������

�� 7�������������������∈������������������� ��$��)$������������������� ����������#

"0�)�5"

3����0"

2����"

$����"�����'����7������������� � � ������������

�� 7���������������������+� ����� ������������������������+� ����� ��������,� ��������Q��E

<���������������������������#�� �DDM

�)��� � � 0�)�

2���

$�)���

�� 7����������������� ������ ��+ ��������� ��������� �����������#

� "3���3"

2�)�$"

$�)��$"���D�'����"�'��(

: "0���"

3�)�4"

2�)��3"

$�)���"�)�2�'����"�'�)���

�� 7����������������∈������ � �"�����+� ����� � 3�)���

2���24

$���3� ���2���'��������:�

������������+ ��

�� C�������+� ����� ���'� 3���2

$���

�)��������������+������� �� ��#

�� ����(�:� �)���

�� 1 ��������� �"�+��������+� ����� �����'� 2�

�)� �3

��� $���2 �)��� �#

��� ����$(�:�� �)��

$�� �+���

�������"���"

$�∈����������� �����������"

$���"���$�'����@� �� ���#

��2 21 2x x+ (�:�

1

1

13 1xx

++

���2

2

13 1xx

++

(

��

21

12 1xx −

��

22

22 1xx −

(���

4 21 1 1

21 1

3 2

2 3

x x x

x x

+ + ++ +

���

4 22 2 2

22 2

3 2

2 3

x x x

x x

+ + ++ +

���C������ ���������� ���"���"

$��"

2�� ����������

��2"2����2��)�3"

$�)��3��)��"�����'��������������"

�"$�'���

:�"2������)� 2 "

$�)�$�'����"

����"

$�'�)���

�������"���"

$��"

2��������� �����������"

2�)��"

$���$"����'����C������ ��������#

��

1 2 3

1 1 1x x x

+ + �'��(�:�2 2 21 2 3x x x+ + �'�"

�"$"2(���

3 3 31 2 3x x x '�2"

�"$"2�

��������"���"

$��"

2��"

3��������� �����������"

3�����"

2����"

$���0�"���$3�'���

C�����������������∈���"����,��� �#

��"����"

$���"

2�'�����"

3(�:�"

����"

$�'�"

2���"

3(���

2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + �'�2��

����������������"2���"

$����"�)���'������∈���

C�������������������� � �"����2 2 21 2 3

1 1 1x x x

+ + �L�4�������"���"

$��"

2��������������� �����������

�������"���"

$��"

2��������� �����������"

2�)�"

$���"����'����@� �� ���#

��3 3 31 2 3x x x+ + (�:�

4 4 41 2 3x x x+ + (���

5 5 51 2 3x x x+ + (���

1 2 2 3 3 1

1 1 1x x x x x x

+ ++ + +

Page 145: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�!��� ����������������������������������������������������������������

����� ����"���"

$��"

2��"

3��������� �����������"

3���"

2���2"

$�)�"���$�'����@� �� ���#

��2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + (����

3 3 31 2 3x x x+ + �

44x (�����

4 4 4 41 2 3 4x x x x+ + + �

: 1�� �������������+��������������"3���"

$����"����)���'���

�������"���"

$��"

2��������� �����������"

2�)�2"

$���"���2'���

C����� ����,���������������!���� �� ����� �������������� �#

�� ��� $�� 2(� :� ��� )� ��� �� �� �(� �� 5�� '� $� )� "

��� �� '� 1, 3 (� �� 5

��'� $� ��

1

ix� �� '� 1, 3 (

��5��'�

2 3

1

x xx+

��5$�'�

1 3

2

x xx+

��52�'�

1 2

3

x xx+

(� �5��'�"

$"2(�5

$�'�"

�"2(�5

2�'�"

�"$�

NNNN

���C����������������������� ������������������������������ ����� �#

��"2�)��"

$�����

$����"�����'���������∈��(�:�"

2����"

$����"�����'�����

$�)�2��<������������∈���

���������∈��A B������������ ��"���"$��%��"

��

� C��������������

nxxxxxxxf

xf

−++

−+

−=

′ 1...

11

)(

)(

21�

: 7����"���"$��%��"

��)���������������� ���� ������������ �����������"

�)���'���

�������� �� �,��

1 2

1 1 1...1 1 1 nx x x

+ + +− − −

���C�����!��������������������������������� ������������������� ����������

"2����"

$����"�����'������ ��#

��"��+��!����������������(�:�"��+��!������!����������

���������∈��A B����'� 2����

$���� �)�������������� ��������� ���!� ���C�������������#

��|�|�'�|�|(�:�������"��+ ��������∈����������������∈���

����C�������������$"2���$�"

'

�����$���3�����"�����'���������∈���

� C�����!������������ �����"������������������+������������������

: C��������������������������� ���������� �����������+������������� � ���A���2B�

����C�������,� ���"�����+� ��� 3 #� 3 "3�)�3"2�)�4 3 "$

���3"��� 3 �'���

����C�����������������∈��A B���� � �"�������'���′��� �

����∈��N�

����9�,� �����"���� �������#

��

2 2 2 63

2

x y zxy xz yzxyz i

⎧ + + = −⎪+ + =⎨

⎪ =⎩(��:�

1 1 1 0

1 1 1 3

12

x y z

xy xz yz

xyz

⎧ + + =⎪⎪⎪

+ + = −⎨⎪⎪ =⎪⎩

���������������∈���������� � ����������������������������=�������������'��(

=���$����

$����

$�'��(�=���

2����

2����

2�'����C����������������������∈���

���7������������������������� ����� ������� ����� ���� ��"���5���-�>��(��"5���5-���-"�>�����

"5-�>�����������"�>����5�>����-�>���

Page 146: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�"� � � � � � �

��1� *������ �� �� ��������

�����������+� ����������� �����������+ ���������+� ����������� ����������� ��+��,����

�������+������ ��������"�� �!����������-����������������� ��������� ���

�������

7����α�∈��� F���������������������+� ����� �����∈��A B��������� α ��������

�������������������� �����

=��+ ������������ ��α����α ������� ��������������� ��+ ��������

���������� @����������+� ����� ���������:� �������'�������

� ���%����

� �

7������α�'�����,� ���������

����

$��%����

�α�

� ��

U������� �����?�!���"������:�����#

0 1 ... nna a a+ α + + α '���⇔ 0a ��� 1a α �����������

�� α

�'�� �$

������������������+��+������� ������?�!����������� �+�� �������∈���⇔ ka '��

7����$����������� α �����������������+� ����� ���

������������ ������ ��+ ��������� ������������1�����

���α�'��������

�α�'����%�������)��

�α�'����������

�α�≠���

@�� ����������������������������������������������� ��+� ����� �����

���� ����� ����������� �����,� ��#

��� α �'��������

� α �'����%������)�

� α �'���

7���������������

� α �≠����+���������"����,��������������,� �������>

�α �'���

����������

�α�'���

���� ��

7��� �������� ��������������� �������� ��� �����α� ����� ��������� ��� ��������� ������

� �)�α�

��� �)�α �

����� �)�"�

� �)�α �

������ �������"��������+�����������!������+� �����

������ ��������������

=����� �)�α�

� �) α �

�'�� $�)��α���α ���α α

�'�� $�)�$�9�α ���OαO

$�

1������+� ����� ����!���� �� ���� �������������� ������� �������+�������+� ����� ��

"���A B�

T����� ���������������������������:��������������������������������+������"�� ������

��+� ������ ��������� �����������+ �����������#

����������)������

���������+� ����������� ����������� ���1�����������������"����������#

��'���� �)�α�

1m�� �)α�

$

2m%�� �)�α

pm��

$����

�"����

1k��

$����

$ ����

$

2k%��

$����

� ����

lk�

�����α���α

$��%��α

��������������� ����� ��� ��+� ����� �������� �����������!���� �� ���� �������

+� ������������� ����������� �����������:� ��"���A B�� ���������������� ��

Page 147: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#����� ����������������������������������������������������������������

1�������,� ������������ �"���+ ��������"���+���� � ��������+������� ������ ���������� ��"�

����������+ ��������������+���!�� � ���� ����� �,��+�����������!������� ������ ���������� ��

������ �������������������������������������������������������

������'� ��

�)�$ 5���

3��1�����#

��'�� 3�

4�)$

2�����'�

3�

2�)��

$�

2�)��

$�'�

3� �)��

$�

2��� ����

$�

7������'� �$

������������� �������������� ��g

f����������������+����"�� ����������+ ����� � #

g

f�'�����

44

33

221

x

a

x

a

x

a

x

a+++ ���

2222

211

221

)1(1)1(1 +++

+++

++

−+

− xx

dxc

xx

dxc

x

b

x

b������

����������� �"�+�������� ����� ����

)�*+,%!*-,���,�",� ,#,!��

�� 7����+� ����� �������� ����������� ��������� ��������� ����� ������� �������+���

�� 7����+� ����� �������� ����������� �����!����������������������� �+������������������� ��

1��"��� �������������,� ����������� ��������� ����� �,�������������

=�� �!����������-���������������� ������ ��� �������+� ���������������������#

�� 7���������∈������<��������∈��A B���� � �"����������������L������������������� �+������

���������"��������� � �������

�� )�������*����

������∈��A B����"���"$��%��"

���������� ��+� ����� �������������′��1�����#������� ��������� ��

��� ��� �� �����������!� ���������� ����������������������������� ����)∞���

��"

�����

��"

$��%�

���"����

����∞��������

��)∞�����

���∞������ ����� �� �������� ��)∞�����+������ ���∞�

������ �������������������������������������������������������

��'�3 2�)��M

$���$3 �)�D(���′�'��$

$�)�24 ���$3�

9������� ��������′�����������$�

���)∞�'�−∞→x

lim ���"�'�)�∞(������'��(����$�'��)�(������∞�'� limx→∞

���"�'���∞

���������������� ����������"����:� � ��������#

" )�∞ � $ ��∞

���" ) � ) �

*:�����������������������������

9�,� ����������������������������� ��

"��∈��)∞�����"

$�∈�����$��"

2�∈��$��∞�

Page 148: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�$� � � � � � �

����� �����������

�� C�������,� �����������"3�)�5"

2���$�"

$�)�$5"����0�'���������������������������$�����

!�"�����

7����������� ����������������� �����,� ������+� ����� �����������������$�)���

����"2��"

3��� � � ��������������������+ �-��� ��+� ����� ���

7���+��������� ������� ������� ���<�a����:�����#

�$��������$�)������"2���"

3�'�5�����$�����$�)��"

2"3'��0�

����������,� ���������� �3 4

3 4

33

x xx x

+ =⎧⎨ =⎩

C� ���� ��������� ���������������� ��+� ����� ��� $�)�2 ���2#�"

2�'�

3 3

2

i−��"

3�'�

3 3

2

i+�

�� C��������������������∈�������������� ��+� ����� ��#

��'� 0�)�$

3�)�

2����

$���$� �����������������������������$�)���

!�"�����

&� ����� �����������������$���������������������+���

� �)�$����� �)�$�)���'�� �)$$�)��

$�'�

$�)�3 ���0�

=�+�������� �� $�)�3 ���0

0�)�$

3�)�

2����

$���$� ����

$�)�3 ���0

0�)�3

3���0

2

2���$

$���$ �����)�$

Q������$ 3�)�4

2����

$���$� ����

�������$ 3�)�M

2�����

$

���������Q������$ 2������)���

$���$� ����

$ 2�)�M

$�����

��Q�������)�$ $����$��)��� ����

����)�$ $�)�3���)�$ ���0���)�$

����Q���������������4���)�2 �)�0����������

G����� ����������� ��������:��������'�2����'�0�

1��������'�� $�)�3 ���0��

2���$

$���$ �����

&� ����� ���'� 2���$

$���$ ���������!������+��������� ����������� ��������������

+������������������� ��

&����"����������:����������������)��(�� ����� � � ������������������ ���� �� ���<�a��

����+����"�+�������� ����� �� �����

*:�����#�1 3

2

i− +��

1 3

2

i− −�

Page 149: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�#��� ����������������������������������������������������������������

�� � C��������������+� ����� ���'� 3���2

2���3

$���� ��������+������������������������ ����� ��

: 7�������������������∈������ � �"�����+� ����� ���'� 0���0

3�����

2����

$���� ����

�����:���������������� ����� ��

!�"�����

� 1:��������������� � ���9� ����������+ ������

������������������:������������ �#�7����"���"

$��"

2��"

3�������������� ������+ �-�

� ��+� ����� ����������������� ���� �� ���<�a����:�����#

82 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + �'���>���

8 �"��)�"

$$����"

��)�"

2$����"

��)�"

3$����"

$�)�"

2$����"

$�)�"

3$����"

2�)�"

3$�'

'�2�2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + �)�$�"

�"$���"

�"2���%���"

2"3�'�2����)�$��3�'�)�0�<���

7������������ ����� �� ������������� ������ ����,� �������� �������������:������� ��

+�,�������+����������#������������������ ���������� ��

: C����+������ ����� ������ ���������������� ������������������������:�������������"�

��� ����,�������� � ����I������������J�

C���� �� �������������������+�������������� ��+� ����� ����#

�"��)�"

$$����"

��)�"

2$���%����"

3�)�"

0$�'�3�

2 2 2 2 21 2 3 4 5x x x x x+ + + + �)

)�$�"�"$���"

�"2���%���"

3"0�'�3��0�)�$�����'����

&����������#�������������������� ���������� ������������������ ������ ���������������

"��'�"

$�'�"

2�'�"

3�'�"

0�'�)���

1��������'�� ����0�'�

0���0

3�����

2�����

$���0 �������������'�������'�0����'���

����� ��������

���C�������,� ���������� ������������������������������������#

��4"3���"

2���0$"

$���D"�)��M�'����"

��'�2�(

:�"3�)�$"

2���"�)�$�'����"

��'�

1 3

2

i−(

��$"3���4"

2���0"

$�)�$"�)�4�'����"

��'�)��)��(

��2"2����2��)�3"

$�)��3��)��"�����'����"

��'�)��

���7����������������� ����� ������������,� ������������ ��������������������

��"2���"

$����"�����'����"

��'��)�(

:�"3�)�$ 3 "$����"

$�)�4"���4�'����"

��'� 3 ���$�(

��"3����"

2���"

$����"�����'����"

��'������������������������������2�����������(

��"3�)�5"

2���$�"

$����"�����'����"

��'�����$�(

���"2�����

2"�)���

0�'����"

��'���)���

Page 150: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�%� � � � � � �

�� ������'� 0�)�2

$��������"

�����'�1, 5 ��������� ���� �����+ �-��

� @� �� �������)�(�����(�����(����$�

: @� �� ���������+������ ����������� ���

� 7�������������� ���������������� ��� ��+� ����� ���

�� ������'� 3���$

2����

$���� �����∈��A B��C�����������������������∈������ � �"����������

"�+�������� ����� �� �)������ ���)��0����)���������� ��������������+� ����� �����

�� &����,�������+� ����������� ����������� �����!���������������������#

���������� �����+ �������$���������������: ��12

���3

2

i(

:������������: �������������������+ ��������

��������������+ ����

�� 7�����+������"�� �������"���A B�+� ������ �#

�� 2��� �)�$( :�

0�)��(

�� 4����( ��

3���$

$�)�2�

�� 1 ���������� ��������� ������ ��� ��+� ������ ��

�� 2�)�2 �)�3( :�

3���2 �)�3(

�� 3���

$���5 �)��( ��

2�)�4

$��������∈���

���������������"2���"�)���'��������������� �����+ �-��"

���"$��"

2�

� 7�������������������������������!���������������� ��"��∈� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

1,2

1�

: 7��������������9��"$�'�9��"

2�∈��)

1

2��

1

4��|"

$|�'|"

2|�∈�����$�

�� 7��������������������� ���������������+���������������������� ����� ���������∈���

� "0���"

3���"

2����"�����'��(

:�$"3�)�M"

2����2"

$����"�����'��(

� "3�)�3�"

2���5�

$"$����"�����'���

���� 7�������������∈���������������������"2����2�) 3 "

$���$��$�) 3 "������'�������������

�������� ����� ��

: C�����������������������∈���������������������"0�)�5"

3����M"

2����"

$����"�����'������

�������������� ����� ��������������� �� �����2�

���C�������,� �����������"0�)�$"

3����"

2���M"

$����"���2$�'���������∈���������������������� �

������ �������� ������������ �������� ��

N

Page 151: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#� ��� ����������������������������������������������������������������

��2� *������ �� �� ����������

&� ������ �������A B����� ������� � �������� ���+������ �������� ��������� �������� �������

��� ���1���#

�����

7������∈��A B������"��'����� v ������������������ ��������������#�∈������ v �∈���F���

�������"$�'���)� v ������������������������������ �����

=��+ ������������ ��"�����"

$������� ��������������� ��+ ��������

���������� ������'�� )���)� v � �)����� v �'�� �)��$�)�#�'�

$�)�$� ����

$�)�#�∈���A B�

=�+�������"���A B���� ��+� ����� ����:������)���∈��A B���� � �"����

��'��)�����!������<�$�

�����'�� �����������∈����7������"��'������������"

������'���

7������≠����������������,� ���"��'�

b

a

−�∈�����������������

7���������'�������+�����'��������������'����)�

&������������ �"$�'���"$��)�"

$�'���

������������ ������ ��+ ��������� �����������"��

1���������"��'������

���"

��'������

�$�"

��'�����������

��)��"

��'��������

���"

��≠���

7��������+� ������ ���������������������A B���+ �������� ������������������

�����������"$�'������

���"

$�'������

�$�"

$�'������

��)��"

$�'��������

���"

$�≠���

������ �������������������������������������������������������

��'� 2�)�

$�)�3 �)�$�∈��A B������������� ������ 3 ������)� 3 �

���� ���

�� =�������������������� ����+� ����� ������:����� ��������������� �

�+� ����� � �)���)� 2 ������������������ 2 �� ����������������������)� 2 �

�� =����,� ������#�∈����#�<������,� ���� ������������������� �:� ����� ����+���!�� � ��

+����������������������������"�����������"

��'������ v− ������"

$�'���)�� v− �����#�∈����

�� 7����"��'�����# w �����#�∈����� w ∈���F������������������������+� �������

��� ��������������� �������������"$�'�����# w ���������������

������ �������������������������������������������������������

&� ����� � 2���

$�)��$ �)��$������������� ������$ 3 ����)�$ 3 ����)�����<��� �����H

Page 152: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#��� � � � � � �

����� �����������

�� C�������,� �����������"3�)�$"

2�)�2"

$�)�4"�)��M�'��������������������������������� 7 �

!�"�����

@�� ��������������+� ����� �����������������"$�'���)� 7 �

�� �������� ���� �� ���<�a����+����������+����������#�"2����"

3�'��(�"

2"3�'�2�

9�,� ���"2�'�� 3 (�"

3�'�)�� 3 �

�� � C�������������������"��5��-��4�∈������" 6 ���5 3 ���- 2 ���4�'����������

"�'�5�'�-�'�4�'���

: C������ �����+� ��������� �����!����������������� ��������������� �������������������

3 ��� 2 �

� C����������������������+� ����������� ��������������� ��������������� 3 ��� 2 �

���������������������� �� 3 �)� 2 ��)� 3 ��� 2 ��)� 3 �)� 2 �

!�"�����

� 1����5 3 ���- 2 '�)�4�)�" 6 ������������+������������� ��+�������:�����

25$���$�-

$���$ 6 5-�'�4

$���4"

$���$ 6 "�4�⇔�$ 6 ��"4�)�5-�'�25

$���$-

$�)�4

$�)�4"

$�

6�������"4�)�5-�'������� � �$ 6 ∈�����������������

1���������#�"4�'�5-����25$���$-

$�)�4

$�)�4"

$�'���⇔�25

$���$-

$�'�4

$���4"

$�⇔

25$���$-

$���$ 6 5-�'�4

$���4"

$�)��$ 6 "4�⇔��5 3 �)�- 2

$�'��4�)�" 6

$�

9�,� ��#�5 3 �)�- 2 '���4���" 6 ��$�����5 3 �)�- 2 '���4�)�" 6 ��2

7����������$���������5 3 �'�)�4����- 2 '�)�" 6 ����������"�'�5�'�-�'�4�'��

7����������2���������5 3 �'�)�" 6 ����- 2 '�)�4���������"�'�5�'�-�'�4�'�����������

: ������'�� �)� 3 �)� 2 �� �)� 3 ��� 2 �� ��� 3 �)� 2 �� ��� 3 ��� 2 �'

'�A� �) 3 $�)�$B�A� �� 3

$�)�$B�'��

$�)�$ 3 ������

$���$ 3 �����'

'�� $����

$�)�3

$��2�'�

3�)���

$�����

6���������������������� 3 ��� 2 ����������� ��������������� ��

1���������3������!���� ��������+������������� ���:�����

������'�� �2����

�$����"��������+� ��������!����2������A B������� 3 ��� 2 �'���

1�����#���� 3 ��� 2 2������ 3 ��� 2

$������ 3 ��� 2 �����'���

1�+ � �������� 3 �)� 2 �����:�����#

��0���$� 6 ������ 3 ��� 2 ���������� 3 �)� 2 �'���⇔$� 6 ���������� 3 ���������� 2 ���0������'��

9�,� ������ ����+����� ��������$��'�������'�0������'���⇔���������������'���

����-����������+� ����������!����$�������������� ��������������� �������� 3 ��� 2

����������?���� �����H�

Page 153: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#����� ����������������������������������������������������������������

� ������∈��A B����+� ��������!����>�3���������������������� 3 ��� 2 �

=�+��������� �� 3�)���

�$������:������"���A B#

��'�� �3�)�

�$����)�����������'�� �

2���� �

$���� �����

7����� 3 ��� 2 �'������������� 3 ��� 2 �'���������������� ����:����,� ��

��'���'���'���'����1���:��������'�� �3�)� �

$����)�

7�������� 3 �)� 2 ��)� 3 ��� 2 ��)� 3 �)� 2 ���������������� ��+� ����� ��

�3�)� �

$����������������������������������� ��+� ����� �����

����� ��������

�� C�������,� ���������� �����������������������������������#

��"3�)�3"

2�)�$"

$����$"���M�'��(�"

��'���)� 5 (

:�"2�)�2"

$�)�M"���$3�'��(�"

��'�$ 2 (

��3"3�)�2"

$�)�2"�)�$�'��(�"

��'�

1 3

2

−�

�� 7����������������∈�������������������� �������������������������#

��"3����"

2���$"

$����"���2�'��(�"

��'����� 2 (�:�"

2���2"

$����"����'��(�"

��'�$�)� 3 �

���7��������������+� ��������!����������������� ��������������� ����������������#

��������������+ ��$���������������: ��2�)� 2 �

:�������������+ �� 549 + ���������������: �������

�� 7����������������������∈������ � �"�������������"0�)�"

3����"

2����"

$����"�����'���������:�

�������� ������� 2 �

�� C������������������+� ��������� ���∈��A B������������������� 2 �3 2 �

�� C���������������������∈��A B�������������������3 2 ����������

2�)�$�Q���

�� ��C������������������+� ����������� ��������������� ����������������������� 5 ��� 3 �

:�C�����������������∈��A B����!������������������������������� 5 ��� 3 �

��C�������,� �����������"0�)�04"

3�)���"

2���04�"

$���"�)�04�'�����������������������

3 ��� 2 �

�� � C���������������������∈��A B����������������� 2 ���������������������������������� �

2 �)����) 2 ������) 2 �)���

: C�������,� �����������$"4�)�"

0�)�0"

3���$"

2���$�"

$�)�D"�)�D�'��������������������������

2 �����

�� C�����+� ����� ���'� �0��� �

3�����

��C������� �� �,����������������������������������2������������

:�C�������������������� ��0����

3��������∈������≥�$���������+���

Page 154: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#� � � � � � � �

���3� *������ �� �� ����������

&��,������"�����������������������+��������-���������������� ���������� ��+��������

+� ����������� ��������"����!��

�����

������∈��A B����'�������

� ���%����

� �

�����≠�����

��≠���

7����p

q������)�'��������������������������� ����+� ����� ���������������Q��

�����)�Q��

��

���������� 6�������������"�����������,� ���:��� �� ������+� �����������!����≥���

���p

q�'���⇔��

�����

p

q���%����

n

n

p

q�'���⇔

⇔���)�

������)

��)�����%����

������'���������+��� ����������������� ���

7�������������#�������)�

�����)���)$

���%�����)�)�

�'�)���)�

�'�� �$

9�,� ��������$������+����)�

(��������������)�'���������������)�

�'��(��������Q����

7����2���,� ������)�Q��������

(�����������)����

�'�����������)�Q�������������

)�*+,%!*-,

�� 9������� ��"����!��� �������+� ����������� ��������"����!���������-���������� ��+������

����,������������ ��� �:���

�� 7����+� ����� �������� ������� ����������±� �� ��� ���� ��������� ������� ��� ������

�������������"����!��

�� 6������ ��� !�:��������"�'������������∈��A B�����������+����� ����������������� ��

���������������� ��������"����!��

&������!�������������� � ������������������� ��� �������+� ����������� ��������"����!�

+����������� � #

� ���������������,�����"����!������������ ��� �:������������������������������������������

� +�������� �� � ��������� ���������������������������� ������ ����������:� ��p

q���

��Q�������)�Q��

������������������������� ����������������

������� �������������������������������������������������������

�� &������+� ����� � 2�)�

$�)�2 �)�4��������� ��"����!�����+����� ��±���±2��±4

�����,�����"����!����� ���4�

������ �������)������������������(����$�'��������$���������������

2���

$�)�2 �)�4�'�� �)�$�

$���2 ���2(�������������� �� ���

$���2 ���2�����

�� � � ������������� ��+� ����� ��(�"$��2

�'�3 3

2

− ±�

&� ����� ����������!�������������������� ��

Page 155: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�!��� ����������������������������������������������������������������

�� &������+� ����� ���'� 3�)� ���$���������� ��"����!�����+����� �#�±���±$�

�������� ������������+���������,����������� ���������������"�'����7������������������

���������"����!���7��������+� ����� ��������������������� ������� ��������������,� ��

���� ���������������������������������9�,� �����������+� ����� ����������������� ��

���������������������������� ��

�� &������+� ����� ���'�1

2

3�)�

7

2�

2���M

$�)�5 ���$����������������������� ���������

����,� ���������������� !�:����#

1

2"3�)�

7

2"2���M"

$�)�5"���$�'���⇔�"

3�)�5"

2����4"

$�)��3"���3�'������������� !�:����

��������� ��������"����!��

7���,������������ ��� �:�������#�±���±$��±3�

*:���������������$�������� ����������� �)������ �)�$������ �������

=�+������� 3�)�5

2����4

$�)��3 ���3� ��� �)��� �)�$�'�

$�)�2 ���$��:����������

$�)�3 ���$�

@� � � ���������������������������������"$�)�3"���$�'��#�"

2�3�'�$�±� 2 �

�� 6�������3"2�)�3"

$�)�"�)�2�'������������ �����"����!��+����������������� ������������,����

���2��±����±�2�������� ������������

@������������� � ���� �������������+������� ������ ��± 1

2(�± 1

4(�± 3

2(�± 3

4�� ����������

���������,�������� ������� ������������3�

7�+����������� �� ���� �������> �H������+��������3

2����� �����������#

3��27

8�)�3��

9

4�)�

3

2�)�2�'����9�,� ������

3

2���������������������� ��

@���������"�+�������+� ����� ���'�3 2�)�3

$�)� �)�2� �� �)�

3

2������������

������� ��$ �)�2(��:�������3 2�)�3

$�)� �)�2�'��$ �)�2�$

$��� ����

$"$���"����'���⇔�"

$�2�'�

1 7

4

i− ±���� � � �����������������"����

Page 156: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#�"� � � � � � �

6-������� ���������������������� ����������������������������� ��������� ������ ����������

+����� ��������� ������������ �������+� ����������� ��������"����!��

1�� � ��������������-�������������������������������#

��������

������∈��A B����p

q������������������� �����������)�∈��������)�'���

1������+��������������∈����������)�)���Q������

���������� =�+�������"���A B�+� ����� ��� �� �)�p

q��:�����#

��'�� �)�p

q�����∈�A B�⇔�)

����'��) �)��������������∈��A B ��

=��+������ ����+��������∈������������:�����#�)�

����'���)�)�������

��!� ������"�����7�������������� ���)�)������)������+�����"������ �

��,� ��������)�)����)�

�'���

&�������������)�)���Q�)�

���������+ ������)�)���Q���������������

1�����#������������������������������������ ��+������� ������ ��p

q����Q��

�����)�Q��

�����,�

��������+������ ��������:����+���������� ��������������� ������)�)��+��������������

�� �-������������������� ������

=����,� �"������������� �+����������� �,��,�����,� ������p

q������������������

=��+���������+�������������������� �� � ������� �!����'��������'�)���

������ �������������������������������������������������������

9������� ��������� ��� ��+� ����� �����'�2 2���

$���3 �)�3�����+����� �#

±���±$��±3��± 1

3(��±

3

2(�± 4

3�

1���������'�3(����)���'��)����

1 �!������'�����)�)���'�)�)��(�� �!������'�)�����:�������)�)���'�)�)�)���'�)��)�����

@���������)�)���Q�3���������� ���������2

1��

1

3

−��

1

3��

2

3��

4

3�

7��������������������1

3

−��

2

3����� ������� � �����������#������)�����������

@� ���$�+���:� ������������ ���>��������� ������H

=�������)1

3�'�)�

16

3�≠���������

2

3�'����7����

2

3���������!�������������������� ��

Page 157: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

#����� ����������������������������������������������������������������

����� ��������

�� C�������,� ���������� ������������������������������� �#

��"2���$"

$���"�)�3�'��( :�$"

3���"

2�)�"

$���"�)�2�'��(

��$"3���"�)�4�'��( ��"

2�)�2"���$�'��(

��2"2�)�"���$�'��( ���"

3����2"

2�)�3"�)���'���

�� <��� ������������������ ����������������������������� ��������� �#

��"3���"

$�)�$�'��( :�$"

2���2"

$�)�0�'��(

��"2���$"�)���'��( ��2�"

2�)�2�"

$�����"�)���'���

�� 1 ������∈���+����������������������������������"�����!��

��"2����"

$���$"�)���'��( :�"

3�)�$"

2������)��"�)���'���

�� 7�������������∈������ � �"�������������"2�)�������"���$��'��������:���� �+������

���������������� ��

�� C��������������+��������������������+������������"$�)�2������"�����'������������������

������� ��

���7��������������!� ����� �#

��"3����4"

2�)�4�"

$����4"���43�≥������"�∈���

:�"3�)�$"

2���$"

$�)�$"�����≥������"�∈���

�� 9�,� ������������ ���������� �#

�� 143 ++− xx �'�2( :�43 121 −+− xx �'�)�(

���C�������,� ���������� �����!����������#

������2"�)����$�"�)����"����)�����"�'��(

:�����"�)�����"�'�3����"����$�"(

�����3�"���0���

2�"�����"���0���

$�"����

$�"�������"����

2�"�)��$���

3�"�'��(

�� C������ ���� ��� ������+�������������!P�� ������!� ����������P�� �� ����� ���!� ������

������P�� ��:�,����!� �����"��&����������� ������� ���"�����:������� ��� ���-��E

���*�:��������� ��: ��+������������� ���������4������7��� ��������� ���������+��,����

+����������������� ������� =���������������:������ ������� ����:����������������:�,�

+�������C���������������� ��� �������������+��������4������2�

���7�������+� ����������A B���� ��"�+����������� $�)�D������ �������������������+� �����

����������������������� ��

N

N

N

Page 158: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# $� � � � � � �

����� + ���������� ������ �����

6-�����+� ���������������� �����������+ ���������������������� !�:��������-�'����������

+��� ����,� ������������+���������������-��������������� ���� ����������+�������!������

�������� ���

����������+��"�������������������������+���������������� !�:����������+��� ����,� ����

�+�������������������

���+ ������ �����C��������������� ������"

3����"

$�����'�����������������∈������≠��

@����:���������"$�'�5��:�����������������!���� �� ���� ����5

$����5�����'��������� ���� ��5

���5

$�

C� ���� �����������:�+����������� ����,� ������������ �#

"$�'�5

�(�"

$�'�5

$�

������ �������������������������������������������������������

"3���2"

$�)�3�'����������"

$�'�5�����:������5

$���25�)�3�'������������������ ��5

��'��(�5

$�'�)�3�

1�����#�"$�'��������� ���� ��"

���$�'�±���

"$�'�)�3������� ���� ��"

2��3�'�±�$��

����+ ��������C��������������� �����

�'�����������∈��N�����∈��N�

9�,� ������ ��� �� ���� ��������� "�� � ���� ��W>��� +���� �� ��������������� � !�:����� ��

���!�����������

������ �������������������������������������������������������

C�������,� �����������"2�'�)�$���$��

&�������4������ 5

���#�"�'�������(�������������������2�'�)�$���$��������� ������+���� ����� ��������!�����

�:������������� #

3 2

2 3

3 23 2a aba b b

⎧ − = −⎨ − =⎩

������������!������!���� �2

1�������������� ���:�������2�)�2��

$���2�

$��)��

2�'������"�+�����������

2��+����������

���+����� ��������#

3ab

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�)�2ab

���2

2ab

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

)���'���⇔�52���25

$�)�25�)���'������������������

a

b�'�5�

*:��������� ������������ ��5��'������5

2���25

$�)�25�)���'���5�)����5

$���35����

1������5$�2

�'�)�$�±� 3 �

Page 159: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# #��� ����������������������������������������������������������������

C������ ��>������ ��������� �

3 23 2

1

a abab

⎧ − = −⎪⎨ =⎪⎩

��

3 23 2

2 3

a abab

⎧ − = −⎪⎨ = − +⎪⎩

�����

3 23 2

2 3

a abab

⎧ − = −⎪⎨ = − −⎪⎩

C�������������������������������"� �������"��+����������,� �������������������+ ��"����

@����������

&�������4�������� 5

C������������:� ��������!����������#���'���������������������+ ���� ���� �

"��'�

n r �����2k

n

θ+ π��������

2k

n

θ+ π����'� 0, 1n −

=����,� ���������'�O�)�$���$�

�O�'�

24 4+ '� 8 �'�$ 2

��'�$ 2 �1 1

2 2i

−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�'��$ 2 �����

3

4

�������

3

4

π

9�,� ���"��'�

3 2 2 �

3 32 2

4 4cos sin3 3

k ki

π π⎛ ⎞+ π + π⎜ ⎟+⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�����∈�.������$/�

�����

"��'� 2 �����

4

������

4

π(�"

��'� 2 �����

11

12

�������

11

12

π(

"$�'� 2 �����

19

12

������

19

12

π�

�����+ ���������

C��������������� ������"$�

����"�

�����'������������∈������≠���

9�,� ������ ������ ����+������:���������"�

�'�5�������������� ���������������!���� �� ���� ��#

5$����5�����'���

������ �������������������������������������������������������

"4�)�������"

2�����'��

������"2�'�5��1���#�5

$�)�������5�����'��������� ���� ��5

��'��(�5

$�'���

9�������� ����:����������:������������� ��:�����#

"2�'���'����������������(�"

2�'���'�����

2

�������

2

π�

Page 160: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# %� � � � � � �

6����������������4��� ����#

"��'�����

23kπ

���������23kπ

����∈�.������$/

"′��'�����

22

3

kπ + π

���������

22

3

kπ + π

����∈�.������$/

�/��+ ������ �� �

������

������'�������

�"���%����

�"�

�����≠���

&� ����� ��������������������������+��������������'� 0, n ���������'��

��)���

=����������,���������� !�:��������"�'��������������������������!��

)���)������

���+� ����������!���������������+�������������������������'�"�

��

1

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������

=���>������#

"�

��

1

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�'�"� ⎛⎜⎝�

�����

���

1x

����$��

1x

���%������

1nx

⎞⎟⎠�'

'���"�

�����"�)�

���%������'��

�"�

�����)�"�)�

���%������'���

� �0 !,"/-!���,�0��!*��#,�� � ,%!0 �%,

�� 7��������������+� ���������+�������α������������������������������α1

�����������������

����������� �����

�� ���+� ���������+�������!������+����������������)���

�� @��� �"�+�������������+� ���������+���� ��"����������+� ���������+����

���������� �� 7����� ����������,� ��������������α�'������������ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α1

�'���

�� U���"���� ��������� ������"�'�)����:�����#

���)���'��)��

����)���⇔����)��'�)����)��⇔����)���'��

�������� ���������� ������� �������+������#���'�� �������

�� 9� ���������������� �������'�

�� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +1

1

X���� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

X

1���������

��'�

�)����

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

X

1�

7������������ ������� �����+� ���������+�������!������)������������

Page 161: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# ��� ����������������������������������������������������������������

�,1��2� ,��,%$�-!!�� � ,%!0 �%,

� 7�������+�������!���� ����������������������������������)��

=�+�������+� ����� �����+���� �� �������:���������+� ����������+�������!����

� ���� ��������,� �������������:�������

������ �������������������������������������������������������

"2���$"

$���$�"�����'��(�"

��'�)��

"2���$"

$���$�"�����'���"������"

$���"����

"$���"�����'���⇒�"

$��2�'�

1 3

2

i− ±�

� ,���+���������!���!���

������'�������

�"����

$"$����

�"2����

�"3

�$

7�����������≠���+�����"�+�����"���$�+����"

$��*:�����#

��"$����

�"����

$����

1

x����

���

2

1x

�'���⇔���

22

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

�����

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

����$�'��

��������:���������"��1

x�'�5(���������������#

���5

$�)�$����

�5����

2�'���⇔��

�5$����

�5�)�$�

�����

$�'�� �2

���������������������,� ���������������������+�����

6�����������������������,� ����������������2(��:�������� ���� ��5���5

$�

1+�����,� ����������� ����,� ����#�"��1x

�'�5�(�"��

1x

�'�5$�����

������ �������������������������������������������������������

"3���2"

$�)�$"

$���2"�����'���⇔�"

$���2"�)�$���

3

x���

2

1x

�'���⇔�2

2

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

��21

xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�)�$�'��

⇔��52�)�$���25�)�$�'���⇔�5

2���25�)�3�'��������������� ��5

��'��(��5

$�'�)�3�

1����� "���1

x�'���⇔�"

$�)�"�����'���⇒�"

���$�'�

1 3

2

i±�

"���1

x�'�)�3�⇔�"

$���3"�����'���⇒�"

2��3�'�)�$�±� 3 �

� ,���+����������!���!���

9��������� �����"��'�)�������+���"�+������+� ����� � �� �������:����������������

����+��������!���� �3��@������������ ��+����� ����������

������ �������������������������������������������������������

"0���2"

3���3"

2���3"

$�����'����=�+������ ��"����������P���� ���R������

"0

"3

"2

"$

" �

)�� 2 3 3 2 �

� $ $ $ � �

Page 162: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# �� � � � � � �

1����"0���2"

3���3"

2���3"

$���2"�����'��"�����"

3���$"

2���$"

$���$"����

"3���$"

2���$"

$���$"�����'����|�#�"$�

22

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

��$1

xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠���$�'����"��

1

x�'�5�

�5$�)�$���$5���$�'���⇔�5

$���$5�'���⇔��5

��'��(��5

$�'�)�$�����

���� ���

&����,� �!����� #� �� �������� ����+��������!����$�� ��� ��,� ���+���� "�+�������� ��"�

��������������������:����������"���1

x�'�5�

6����������������� ���������������!������

*�������������+��������!����$�����������,� ��������������+������� ������!� �����)���

��+���������,� ������������������"�+�������� ��:����� � �����

C���:�������������������+��������!����$������

����� ��������

�� C�������,� ���������� ��:�+������#

��"3���5"

$�)�M�'��(�:�"

3�)�0"

$���4�'��(����"�)��

3����"����

3�'�$"

$�

�� C�������,� ���������� ��:�����#

��"2�'�M(�:�"

3�'�)��(���"

0�'��(���"

4�'�)���)�� 3 �

�� C�������,� ���������� ���������#

��2"3���$"

$�)�0�'��(�:�"

M�)������$�"

3�����)���'��(

��"4���������$ 3 "

2���3���$ 3 �'��(���������"

���)�"

0�����'���

�� C�������,� ���������� ������+����#

��$"2���0"

$��0"���$�'��(�:�"

2���3"

$���3"�����'��(

��"3�)�$"

2��2"

$�)�$"�����'��( ��"

3�)�"

2�)���"

$�)�"�����'��(

��"0���2"

3�)���"

2�)���"

$���2"�����'��(� �"

0���2"

2���2"�����'���

���C�������,� ���������� �#

8x ix i

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

�'��(�:��"����3���2"

$�"����

$��$"

3�'��(����$"����

2����$"�)��

2�'���

�� &����������� ����� �� ������������ ����������������������������� ����� ��

���"2���������"

$���������"�����'��(�:�"

3�)�"

2���"

$�)�"�����'���

�� 9�,� ������������ �#

���"$�����"�)��

$�'��"

$����∈��(�:�"

3���"

2���"

$���0"���$0�'��(

��"3���3"�)���'��(���"

2�)�������"

$����$�����"�)��

$�)���'��(

��"3���3"�����'��(� �"

3�)�3"

2�)���'���

N

Page 163: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# ���� ����������������������������������������������������������������

$������������ ���

�������

�� C�����������������∈��2���� � �"�����+� ����� �$

2��������$ ���1∈��

2A B

��� �����������:� �

���7�����+������"�� ���������������:� ��+� ������ �#

�� 3���

$��� ���1∈��

$A B(

:� 3���$

2�)�

$���$ �����∈��A B�

�� 7�����-��+ �����+� ��������!���� �� ���� ��������0A B���������:� �

�� @� �� ����������������������������������� �+� ������ ��#

2���

$��� ���������

3�)�

2���$

$�)� �����

U��+���� ����#�30��������

[����#��$+(�������+(�:�$+����$+�����$+����+������ �����

�������

�� C�����������������∈��2���� � �"�����+� ����� �

2��� 2 � ��� 2 �∈��

2A B

��� �����������:� �

�� 7�����+������"�� ���������������:� ��+� ����� #

�� 3���

2���

$���1∈��

$A B(

:� 3�)�$

2�)�

$�)�$ �����∈��A B�

���7�����-��+ �����+� ��������!���� �� ���� �����������:� ������5A B�

���@� �� ����������������������������� �+� ������ ��#

2���

$�)� �)�������

3���

2�)� �)���

U��+���� ����#�30��������

[����#����$+��������+(�:�$+�����$+�����$+����+������ �����

Page 164: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

# � � � � � � �

������

���� C���������������α��β�∈������ � �"�����$ $��� �����'� � �)��α ���β

: @� �� ���

2

1

2 1lim!

n

n k

k kk→∞ =

+ +∑ �

�� � 1 ���������������� �+� ������ ��#� 2���$

$�)������

3���

2��� �)���

: 9�,� �������������"3��������"���'�"

'

���"�)���)���'�������������������������

����+����������������∈���

�� ����"���"

$��"

2�∈����������� �����������"

2���"���3�'���

� 1���������������������������!���������������� ��

: @� �� ����4 4 41 2 3x x x+ + �

U��+���� ����#�D���������

[����#��������0+(�:���0+��������0+(�:���0+�������+(�:�$+���+������ �����

������!

�� 7�����������+� ����� ���'� 3����

2����

$�����∈��A B������������������������2�������

����� �2D� ��"�+����������� �)�$�

�� &� ����� ���∈��A B���� ��"�+����������� $�)�5 ���0����������!� �������� �

7�������������#

��!��������≤�2(

:��������������������� ����� ��

�� � 7�����+������"�� �������+� ����� �"$�����

�)���

: 7���������!� ����� ��

1

2 1sin2 1 2

n

nk

k nn=

π +=+∏ (�

1

1cos2 1 2

n

nk

kn=

π =+∏

�� ��������� ��� $���

�'�������

� ����

$

$���%����

$��

$���

@� �� ���#����)��

�����

$�)�%����

$��(��

����$�

$���2�

$���%���$���

$���

U��+���� ����#�D���������

[����#����2+��������+(�:��+�������$+(�:��+�������+��* ����#��+�

Page 165: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�������

�������

Page 166: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

���������������� �

����������� ���������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������

���������� ���������������������������������������������������������

��������������������� �������� ���

���!������� ��"��������������������"������������������������#���

�������$����������������������%����������� ���&����������������������

������' �

(����' (����)

$������������������������������������������ 23

������������������������′�′��

*���������������������������������������� ���������)���!����������������+�'�

��������������,���������-������������./00 ���������������1��������) 2

3�"��������������45��'6�"������������������������1��������������������

�1��1n

����"�������

2kn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠������

2

3

kn

$���%�������&����������������

23 3

1

( 1)(2 1)16

n

k

n n nk

n n=

+ +=∑ ����������→�∞������13

7����������������������������������������������������������������������

���������������1��������������������������������������������� �������������2

����������������������������������������������������

*��������� �� ������� ��� ����� �� ����� ����������� ��� ������ ��1��� ���

��������������������

8������������������������������������������������������������������������

���������� ����������"��������������������0�����9:�������#�������;� ��1�

;� ��1�����!������������������� �������"���������9:���������� ������������

�� �����"��������'<<= �

Page 167: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

>��������������������������������������� ���2

(������������������������→������������ �!�������������� �2���→������������������

�����������������2���→��?

*���� ��������� ������ �� ����� �� ��������� ��������� ��� ������� �� ���� ��

���������

3�������2

�� ���

(����⊂�����������������2���→�������������/��������������������������

���������!�������������� �2���→���������"����2

' �������� �������@

) ′�� �+���� ������∈���

(������� ����������������������������

������� �������������������������������������������������������

� *�������������2���→������� �+��A��������������������

'2���→����

'�� �+�

4

4

x�

�������� )2���→����

)�� �+�

4

4

x�B�)�

�� (������� 2���→���� �� �+�)��������������������������������2���→������� �+�)�������

�������

(����⊂�����������������2���→�������������C���� '��

)2���→������������

����������������������������!�����������������������������"����

'�� �+�

)�� �B�������∈���

����������� '����

)����������������������������������� ���������

′�� �+���� �+� 1F ′ �� �+���� �+� 2F ′ �� ������∈�������

� '�D�

) ′�� �+� 1F ′ �� �D 2F ′ �� �+�5�������∈���

C��������!������������������������"����� '�� �D�

)�� �+��������∈���

9:�����������������1�������������������������� ��������������!����

�������������������������������������� �����

9:���������������������������������������%�����&��>����������1�����

�1���������������������������������������������������������������������� �������

������������������������������������������������������������������������

�������"����1�����������������������

Page 168: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

������

� C���� 5��������������������������2���→����������������������������

��� 5�B���������������������������������������������������

C����� ��� ����� �� ������� ������ �� ���������� ������� ������ �� ���������� �

���������C�����������������������"�����������%��������������&�"�������

%���������������&�

�� C��������������������������!�������������������������������������������

���E������"�����������������������������������

3�������1�����������!����2�������������������2��F�→������� �+��@

��������� ����2��F�→�������������� �� �+�

2

2

x������� �+�

2

2

1, 02

2, 02

xx

xx

⎧+ <⎪⎪

⎨⎪ + >⎪⎩

��������� ������F������������������������������

>������� �+� �� �+�

1, 0

2, 0

x

x

<⎧⎨ <⎩

��������������������������

>�����������������������������������������������C� ��!���������������

!�����������2

���������

7������������������������������������C� ��!�

����������� C�������������2���→�������������������������!�������������� �2���→��

������������ �����>������������������������������������ ����

���������C� ��!��$�����������������C� ��!�

������

� C�����2���→���������������������"�������� ����������������������������������

��������������

�� C���� � 2���→�������� ��������������������������������� 0��������� ���������

��������

�� C�����2���→���������������������������������������������"�������������������

���������������������C� ��!���������������������������������

Page 169: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

���������

7��������������������2���→������������ ���������������

$���������������������������"�����������

�����������������������

3�������"��������������������2

������� �����������������������������

� (��������2���→������� �+�4�6�����������������

��������0���+���������������������������

�� (������� � 2���→���� � �� � +�

, 0

1, 0

x x

x x

<⎧⎨ + ≥⎩

� ��� ������ �������� ����� ��� �� �

����������������������0��"��������������5�

�� (��������2���→������� �+�G���G���������������������������������7��������������

����������� �2���→���� �� �+�

2

2

, 02

, 02

xx

xx

⎧− <⎪⎪

⎨⎪ ≥⎪⎩

�� (��������2���→������� �+�

0, 0

1 1 1sin cos , 0

x

xx x x

≤⎧⎪⎨ − >⎪⎩

������������������

7 �����������������'2��D∞��56�→�����

)2��5��∞ �→����������������

'�� �+�5�

�)�� �+�����

1

x�D�

1

x�����

1

x�������������������������������������������

'�� �+���

)�� �+�������

1

x�

>����1���"������������������������� 2���→���������������������

�� �+�

1

2

, 0

1sin , 0

c k x

x k xx

+ <⎧⎪⎨ + ≥⎪⎩

*��������������������������� ��������������������������� �� ��������

���������

Page 170: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�5 ��0

0

limxx

→<

�� ��������'�

�5 �+�0

0

limxx

→>

� �� �+��)�������������

'�+��

)�

7 ���������( ) (0) 1

sinF x F

x x

− = ������H�5�������������������0

0

limxx

→>

���1

x����!�����

����������������� ����������� ����"��5�

�� (��������2���→������� �+�

1, 0

, 0x

xx

e x

⎧ <⎪⎨⎪ ≥⎩

���������������C� ��!��������

00

limxx

→<

��� �+�D∞�������5 �+�'���0

0

limxx

→>

��� ��$�������������������������������

��� � � �

(���2���→������⊂��������� ����������������������������I������������

���������� ���� � �� ������ ��������� ����������� �� ��������� � ��� �� ����1�

( )df x x∫ �

7������������������������������������������������������

��������

9������������������������������������������������������������������� ���

����������������2

� λ��+������λ�≠��� ��������@

� ��������������������������������������������������� 5

��������������������

������� ( )df x x∫ �+� 5�B���

Page 171: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�������

C�������������→�������������� ����������������������������������λ�∈��F�

��������������������������������������������������������������2

( )( ) ( ) d ( )d ( )df x g x x f x x g x x+ = +∫ ∫ ∫( )d ( )df x x f x xλ = λ∫ ∫

����������� -�������������������������������!����������������������� ��������

�����������"����� ������������C������� ���������λ ���������� ������

���� ������� ����������������λ �′��λ �′��λ���C�������� ��������

����������������������λ �����������������λ�

J�������������� ����������������������

( )df x x∫ �+� ������ ( )dg x x∫ �+���B���

( )( ) ( ) df x g x x+∫ �+� �����B���

( )df x xλ∫ �+�λ �����

*�������� ( )df x x∫ �B� ( )dg x x∫ �+� �B���B���B����� ��������������

�� ����������� ( )( ) ( ) df x g x x+∫ �

$��������� ����λ ( )df x x∫ �+�λ� ���� �+λ ���λ����λ�������� ( )df x xλ∫ �

������ �

�� -��������λ�≠�5������������

>��������������λ�+�5���������λ��� �+�5������∈�������������������������������

�����������������λ�

*������������������λ�+�5����������λ ( )df x x∫ �+�K5L�

>��������1��λ ( )df x x∫ �⊆� ( )df x xλ∫ �������1����������������������λ�+�5�

�� *����������������������������������������������������������������������������

�� 3������������������������������������������������������������������

���������������������������

�������������������������������������������������������������

Page 172: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

������

(��������2���→������� �+�K�L����������������������������������� �+���D�4�6

��������������4�6�+���D���� @���������������������������������"���� ��

�����������������������������������������@�1����������������4�6������

��������������

�� C������������������������������������������������� �"�������������������

��������� ������������������������

������

(��������2���→������� �+�

sin, 0

0, 0

xx

xx

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

��������������������������������� ������

�������������"������������������2���→������� �+�

sin, 0

1, 0

xx

xx

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

������������������

�� *������������������������������%�����&��������������@���������

������������ ���1������ 1������������������������������������� ����

��������������� ����������������������������������������������

�����1��� �������� �� ������� �� ���������� ������ ��� �� ��������� ��� �

������1�1�� "���������� ��� � ����� �������� ������ "�� ����� !��������� ��

"�������������������������������������������������������������������

1����������"����������!��������

Page 173: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

����������������������� �����

�2���→������� �+��

���∈��1

d1

nn xx x

n

+= +∫ �B��

�2���→������⊂��5��∞ ����� �+���

�1

d1

aa xx x

a

+= +∫ �B��

��∈���M�KD'L

�2���→������⊂������� �+�n x �

1

d1

n nn n xx x

n

+= ++∫ �

�≥�A������

�2���→������⊂�45��∞ ����� �+�n x � 1

d1

n nn n xx x

n

+= ++∫ �

�≥�)����

�2���→������� �+���

����∈��5��∞ �M�K'L dln

xx aa x

a= +∫ �

�2���→������⊂��F����� �+��1x

1x∫ ���+����G�G�B��

�2���→������⊂���M�KD����L����≠�5�

2 2

1x a−∫ ���+�

12a

��x ax a

−+ �B��

��� �+�2 2

1x a−

�2���→������� �+�2 2

1x a+

����≠�52 2

1x a+∫ ���+�

1a

����xa

�B��

�2���→������� �+������ sin∫ �����+�D������B��

�2���→������� �+������ cos∫ �����+�������B��

�2���→������⊂���M (2 1)2

k k⎧ ⎫π+ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

� �

2

1cos∫ ���+���������

��� �+�2

1cos x

Page 174: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�2���→������⊂���M�K�πG���∈��L�

2

1sin x∫ ���+�D������B��

��� �+�2

1sin x

�2���→������⊂���M (2 1)2

k k⎧ ⎫π+ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

� � tg x∫ ���+�D���G�������G�B��

��� �+�����

�2���→������⊂���M�K�πG���∈��L�

ctg x∫ ���+����G�������G�B��

��� �+������

�2���→������� �+�2 2

1

x a+����≠�5

2 2

1

x a+∫ ���+���( )2 2x x a+ + �B��

�2���→������⊂��D∞��D� �������⊂�����∞ �

2 2

1

x a−∫ ���+���2 2x x a+ − B��

��H�5����� �+��2 2

1

x a−

�2���→������⊂��D���� ����H�5�

2 2

1

a x−∫ ���+�������xa

�B����� �+�

2 2

1

a x−

������

� *��������� �������������������2���→����������������������������������������2

• -�������������������������2

� ����������������������������������������������@

������������������������������0����������������������������������

• C���������������������������������������00���������������������������������

������������������������@

• C���������������������������������������00����"��������������������������

�����������������������������������

�� C��������������������������������������C� ��!����!������������

������������������������������������������������������

Page 175: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

���� ����

������������������������������ ��������������������������� �����������

(�����������������������������������������������

C���������������� ��������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������

C�������1�������������������� ���������′�� �����������������������������������

���������������������� �

/�����������2��′�� �+��������� �������������������������������������������

������������������������"�����������������

*��������( )

( )

x t

n x t

′−

�+�������������������������� �������������� �+�D�������

J�����������������������������5��������5 �+�5���������������������

>����������������������� �+�D���B�����⇔������� �+��

D��⇔���� �+��'�D�

D�� �

(�������� �������!������������������������"����������������

>���������������������������������� ����"������������� �1�����������

���� ��������������

� 3����������� �������� � 2���→���� � �� �+�, 0

cos , 0

xe x

x x

⎧ ≤⎪⎨

>⎪⎩����������������� ��� �� �

�����������������

��!������

3���������������������������"������������+�5�

00

limxx

→<

��� ���'��0

0

limxx

→>

���� �+�'����5 �+�'��������������������������"������������+�5�

-�����������������������"�����������������������1������������������������

������������������������

(������� �2���→���� �� �+�1

2

, 0sin , 0

xe c xx c x

⎧ + ≤⎨ + >⎩

���'���

)�∈�������������������������������

�����������������

>�������������� ����������0

0

limxx

→<

��� ���0

0

limxx

→>

���� �+���5 �������'�B��'�+��

)�

>�������� �2���→���� �� �+�1

1

, 0

sin 1 , 0

xe c x

x c x

⎧ + ≤⎪⎨

+ + >⎪⎩���∈�� ����������������������

Page 176: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�� (����∈��F��3��������������������2���→������� �+�

cos , 0

0, 0

kx

xx

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

�������������������

��!������

(������������2���→������� �+�

2

sin , 0

0, 0

x kx

k xx

⎧≠⎪

⎨⎪ =⎩

������������������� ����/�������N

�′�� �+�

2sin cos , 0

0, 0

x k kx

k x xx

⎧ − ≠⎪⎨⎪ =⎩

>�����������������2���→������� �+�

2sin cos , 0

0, 0

x k kx

k x xx

⎧ − ≠⎪⎨⎪ =⎩

�����������������������

������������

(������������2���→���������������������������$�����������′����′����′���������′�*����������������������������������������������������������������������������

����

�� 3����������12

� �3 1 3xx

x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ������∈��F

B@� �

2

14 9x +∫ ������∈��@

� �2tg x∫ �������∈� 0,

2π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@�� �2

1

4 9x +∫ ������∈���

��!������

� �3 1 3 dxx x

x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ +�

3 x∫ ���B�1x∫ ���B� 3x∫ ���+�

3 443x

�B������B�3ln 3

x

�B��@

�2

1 d4 9

xx +∫ +�

2

1944

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ���+�2

2

1 14 3

2x ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ���+�14

�O�23

�����23x

�B��@

� �2tg x∫ ���+�

2(tg 1 1)x + −∫ ���+�2(tg 1)x +∫ ���D� 1∫ ���+������D���B��@

� ��2

1

4 9x +∫ ���+�

2

1924

x +∫ ���+�

22

1 12 3

2x ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ���+�12

��2 9

4x x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠�B���

Page 177: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�� (����� �∈��������P� �����2�4��� 6�→����������������������������4��� 6����������

����������4��� 6��3��������������������� 2�4��� 6�→�������������������������

��4��� 6����������������∈����� �!������'���

)�∈�4��� 6�������"������

'�P���P��

)���

��) �D� ��

' �+���

)�D��

' ������

��!������

(�� 2�4��� 6�→���������������������������4��� 6���������∈����� �

-������������������2�4��� 6�→������� �+� �� �D������ ������∈�4��� 6�

����������������������� ��������′�� �+���� �D���� ������∈�4��� 6�

>���������������������������������������′�� �P�5������∈�4���� �����′�� �H�5������∈����� 6�

$������������������������������4���� ������������������������ 6�

-��������������������������1������������������E�����@��������!���������������

�'���

)�∈�4��� 6�������"������

'�P���P��

)�������

' �+����

) �

*������� ��' �D��

'���� �+� ��

) �D��

)��� ��I��������1�����������1���

�� (���2����� �→�������������3���������������� '2������6�→������������������

���������G������6

���� )2����� �→����������������������������G

4��� ����������������

�2����� �→���� �� �+�1 1

2 2

( ) ( ), ( , )

( ) ( ), [ , )

F x F c x a c

F x F c x c b

− ∈⎧⎨ − ∈⎩

�������������������������

������������� �

��!������

(������� �������� ����������� �∪����� ���� ′�� �+���� ������∈����� �M�K�L�

-�������1 1( ) ( )( ) ( )

lim limx c x cx c x c

F x F cF x F c

x c x c→ →< <

−− =− −

�+� 1F ′ �� �+����

2 2( ) ( )( ) ( )lim limx c x cx c x c

F x F cF x F c

x c x c→ →> >

−− =− −

�+� 2F ′ �� �+���� �

*��������������� �������� �������"��������������� ������������

C����������� ��������������������������

�� � 3�������������������������2���→�������������������������

( )df ax b x+∫ +�1

a ������ �B�������� �∈� ( )df t t∫ �

�3����������1��������2�10(2 1)x +∫ ��@� sin3x∫ ��@�

42x

∫ �

��!������

� -��� ����������������� ������� ����������������������� ������ �������� ����

��� ′������ �+��������� ������∈���

Page 178: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

-���10x∫ ���+�

11

11

x�B���� sin∫ ����+�D�����B���� 2x∫ ���+�

2

ln 2

x

�B���������������

��������2

(∫ )��B�' '5

���+�12

O�

11(2 1)

11

x +�B��@ ���� sin∫ A����+�D

1

3�����A��B��@

42x

∫ ���+�Q�O�

42

ln 2

x

�B���

���� �����������

� (����� �∈���������������2���→������� �+�

, 0

, 0

a x

b x

≠⎧⎨ =⎩

3������������������������������������������������������������� �

�� 3��������������������2���→������� �+�4�)6����������������������

�� 3����������������������������������������2

� ��2���→������� �+�

1sin , 0

0, 0

x xx

x

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

@� ��2���→������� �+�

sin , 0

1, 0

x xx

x

⎧⎪ ≠⎨

=⎪⎩@

� ��2���→������� �+�

12 cos , 0

0, 0

xe x x

x

−⎧⎪ ≠⎨⎪ =⎩

�� 3�������������������������������������������2

� ��2���→������� �+�

arctg, 0

0, 0

xx

xx

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

@� ��2���→������� �+�

2ln(1 ), 0

1, 0

xx

xx

⎧ + ≠⎪⎨⎪ =⎩

@

� ��2�45��∞ �→������� �+�

1arctg , 0

1, 0

xx

x

⎧ >⎪⎨⎪ =⎩

�� 3������������������� �2���D1

3⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

�→���� �� �+�2

5x +

�O�23 (3 1)x + ����������������

���������2���D1

3⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

�→������� �+�3

1

3 1

x

x

++

Page 179: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�� 3������������������� �2���→���� �� �+�1

2 2

2arctg( 1)

2 2

xx

x x

+⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠��������������

�����������2���→������� �+�2 2( 2 2)

x

x x+ +�

�� 3����������������������� �������"������������� �2���→���

�� �+�

2 , 0

sin 2 cos3 , 0

xae x

x b x x

⎧ ≤⎪⎨

+ >⎪⎩����������������������������2���→���

�� 3����������1��������������������������2

� ���� �������)����∈��@� ���� �+���B�1x

����H�5@�� ���� �+�)�����D���������∈��@

� ���� �+�)��B��

����∈��@� ���� �+��2 2

3 2

cos sinx x− ����∈� 0,

2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@

� ���� �+�2 2

1

sin cosx x����∈� 0,

2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@�� ���� �+�3

1x

x+ ����H�5@

� ���� �+�2

1

4x −����H�)@�� ���� �+�

4

12 +x

@�E ���� �+�2

1

4x +����∈��@

R ���� �+�2

1

4x −����H�)@�� ���� �+�

2

1

4 x−����∈��D)��) �

�� -����������������������������������2

� ���� �+�����

2

x����∈� 0,

2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@� ���� �+����)�����∈� 0,4

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@�� ���� �+�AQ�

����∈��@

� ���� �+� 3 1x + ����∈��5��∞ @�� ���� �+������)��B�' ����∈� 0,4

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@

���� �+�2

1

1 (2 1)x− +����∈��D'��5 �

�3�������������2���→������� �+����Q��B���

)�B�' �������

� -������������������������

-��������� (∫ Q���A������B�)��������B�' ���

Page 180: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�3��������������������� ������������"����2

� �

2

2

1

2

x

x x

+− +∫ ����+�������

2 2x x− + �B���2

1

2x x− +∫ ��@

�xe∫ ��

)�B�A��B�= ���+��

���)�B� ����� �B��@

� �xe∫ ���������+����������B� ������ �

�B��@

� xe∫ ���������+����������B� ������ �

�B���

��3����������12

� �2sin x∫ ���B�

2cos x∫ ������∈��@� � arcsin x∫ ���B� arccos x∫ ������∈�4D'��'6@

� � arc tgx∫ ���B� arcctg x∫ ������∈��@�� � ( )2ln xe∫ ������∈���

��3��������������������2�4D'��'6�→�������� �+�

11 sin , [ 1,0)

0, 0

11 sin , (0,1]

xx

x

xx

⎧− + ∈ −⎪⎪

=⎨⎪⎪ + ∈⎩

������������������

��3��������������������2�4D'��'6�→������� �+�

2 1cos , 0

0, 0

xx

x

⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

������������������

C�����������������������������������������1������"��������������������)

������������������"������������������������������������1�����������������

�O�����������������

��(���2�4��� 6�→��������∈����� ��3���������������������������������4����6�����

4��� 6�������������������������4��� 6�

��3������� ��������������������������������2

� ��2���→������� �+�G��D�'G@� ��2���→������� �+�

2 , 0

2 , 0

x x x

x x

⎧ + <⎪⎨

≥⎪⎩@

� ��2���→������� �+�, 0

1, 0

xe x

x x

⎧ ≥⎪⎨

+ <⎪⎩@�� ��2���→������� �+�

sin , 0

cos 1, 0

x x

x x

>⎧⎨ − ≤⎩

Page 181: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

��3���������������������� �������"������������

�2���→������� �+�

2 , 2

, 2

x ax b x

bx a x

⎧ + + ≤⎪⎨

+ >⎪⎩����������������������

C��������"���������1�������������������������8�

��3��������������������� ������������"��������������2���→���

��� �+�2

, 0

, 0

xe x

ax bx c x

⎧ ≤⎪⎨

+ + >⎪⎩����������������������

C��������"���������1���������������������������

FFF

��3��������������������2���→������� �+�

1 1 1sin cos , 0

, 0

xx x xx a x

⎧ − >⎪⎨⎪ + ≤⎩

����∈������������

��������������������������

� �3��������������������2���→������� �+�

1 12 sin cos , 0

0, 0

x xx x

x

⎧ − ≠⎪⎨⎪ =⎩

�����������������

���������������

� �(������2���→�����������������C������� �≠�5������∈����������������������O����f

g�������

�����������������������������������������������������������?�$����1����!�����

��� �+�{ 1,1, \

xx

∈− ∈

� � �������� �+�

1,

1, \

x

x

− ∈⎧⎨ ∈⎩

� ��

���3��������������������2���→�������������������������������

�)�� �+�'������∈���

���(���2��5��∞ �→���������������� �������5��∞ �������"������′��) �+�

1

x������H�5�

C�����������������

Page 182: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

���3����������1���������������2

� �2 2

1

sin cosx x⋅∫ ������∈� 0,2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@� �1

sin cosx x⋅∫ ������∈� 0,2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@

� �

2

4 1

x

x −∫ �������∈��'��∞ @�� �4

2

1x −∫ �������∈��'��∞ @� �22 5x

x ⋅∫ ������∈��@

� �2cos x∫ ������∈��@�� � t∫ �

��)���������∈ 0,

2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@�� � cos∫ �����)�����A��������∈��@

���C�������������������� �����2���→�����������������5 �+�5���

�′����� �+�

1, (0, 1]

, (1, )

x

x x

∈⎧⎨ ∈ ∞⎩

���3�������������������������2���→�������������������� �2���→�����������������

!����� limx→−∞

�� �∈������ limx→∞

�� �∈���������������������∈��F�!����������������

��������∈���������"�������� �+�)�)D'

���(���2���→��������������������������������������� �2���→������������������

C�������������������� � �� �H��������∈������������������� ������������������

���3��������������������2���→��������������������������"�����������������

��� � �'�D�� �+�'������∈�������� �∈� ( )f x∫ ���

���3��������������������2���→��������������������������"������������������2

��5 �+�5���� �� ������ �������������∈���� �∈� ( )f x∫ ���

� �3�������������������������2���→���������������������������������������2���→���

���� �+������ �������������������

� �(����⊆��������������2���→���������������������

$���������������������⇔ �����������

���(����⊆��� ���������!�������������� 2��� �→������������������������������ "����

�!��+�D'

�?

Page 183: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�������������"���

�������

� 3��������������������2���→������� �+�sin , 0

1 , 0

xe x xx x

⎧ + ≥⎨ − <⎩

�����������������������

����������������������

�� 3��������������������2���→������� �+�KA��B�'L�������������������

�� 3��������������������2���→������� �+�

1 12 sin cos , 0

0, 0

x xx x

x

⎧⎪ − ≠⎨

=⎪⎩���������������

�� 3����������1�2

12 sin dcos

x x xx

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ����∈� ,4 4π π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

,��2�'��������@� ��A������)������'������A��

S����������2�Q=��������

������

� 3��������������������2���→������� �+������)�)�D��D�)55T �������������������

�� 3��������������������2���→������� �+�

12 cos sin , 0

0, 0

x x xx

x

⎧⎪ + ≠⎨

=⎪⎩����������������

�� 3��������������������2���→������� �+�

2

cos , 01 , 0

1

x x

xx

≤⎧⎪⎨ >⎪ +⎩

�����������������������

������1�����������������

�� 3����������1�3 2

2

2tg d1

x x xx

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ �� ,4 4

x π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠�

,��2��'��������@� ��A������'������)������A��

S����������2�=5��������

Page 184: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

������!

� (������������� �2���→������� �+����D�' ��

�� �� �+����D�) ��

�����

� 3������������������� ��������������������������

3����������1�( )

( )21lim

1x

F x

x→ −�

� 3����������1�( )

limxx

F x

xe→∞�

�� 3����������1����������������������� �+�3 2

1 19

xx x

+ ++

����∈��5��∞ �

��� �+�����)��B��A�

����∈���

�� 3��������������������2���→������� �+� 2

,,

x xx x

∈⎧⎨ ∉⎩

�������������������������

�� 3��������������������2���→������� �+� 2

1 , 01cos , 0

xxx x

⎧ <⎪⎨ +⎪ ≥⎩

����������������������

������1�����������������

,��2�'�������������� ��)������A������)������)��

S����������2�=5��������

������"

� (������2���→��!��������������������������������������������������� ������

��������������������$����������������������

�� 3����������1����������������������� �+��2

1 124 xx

+ ++����∈��5��∞ �

��� �+�2 4 3

1 1 , 0,2cos 3

xx x

π⎛ ⎞+ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠�

�� 3��������������������2���→������� �+�

sin , 0

2, 0

x xx

x

⎧⎪ ≠⎨

=⎪⎩������������������

�� 3��������������������2���→������� �+� 2

1 , 0

sin 1, 0

xxx x

⎧ <⎪⎨⎪ + ≥⎩

����������������������

������1�����������������

,��2�'�������������� ��)������A������)������)��

S����������2�=5��������

Page 185: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

#$%$ ���!�"��

��� � � �

(��4��� 6�����������"������������������������3�����������"�����������������

4��� 6�������������������+���5���

'�������

D'���

�����4�� 6�������"����

��+��5�P��

'�P����P��

D'�P��

�+� �

-��������� ����� ��������� ��������� 4�5���

'6�� 4�

'���

)6������ 4�

D'���

6� �

�������#�������1������Δ����������1�2�GGΔGG�

$���������������GGΔGG�+�1max

i n≤ ≤��

"����

"D' �

������� �������������������������������������������������������

� 3���������������Δ'�+�

3 71, , , 22 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠����������1�����������������4'��)6���

GGΔ'GG�+

12

�� 3���������������Δ)�+�

1 2 30, , , , 15 5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠����������1�����������������45��'6���

GGΔ'GG�+�

25

������������ ����&������� �

Page 186: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

#$'$ �"�(���������������

��� � � �

(���2�4��� 6�→�������������Δ�+���5���

'�������

D'���

�������1����������������

4��� 6�����������������������ξ'��ξ

)������ξ

�������"�������

"D'�≤�ξ

"�≤��

"��'�≤�"�≤��������

$�$�����������������������#

9��������� ( )1

n

ii

f=

ξ∑ ��"�D��

"D' ���������$����%�����������������������

������1������Δ��������������������ξ'��ξ

)������ξ

$�������������������������σΔ���ξ" �����σΔ���ξ �

������ �������������������������������������������������������

3����������������8��������������� �������� � 2� 45��'6�→���� � �� �+��)������1�����

Δ�+�1 20, , , 12 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠��������������������ξ

'�+�

13

��ξ)�+

12

��ξA�+

34

σΔ���ξ �+�

2 2 21 1 1 2 1 3 2 410 13 2 2 3 2 4 3 144

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�

������ �

>����1���"�������������������1������

�����8������σΔ���ξ" � �1����� ����

��������������������� �1���"�D��

"D'���

��"���������ξ" ���'≤�"�≤� �

C���σΔ���ξ" ����!���1������������

���� ���� ������ ������� $���������� � ���� �

Γ��+�K����� �∈��

)G���≤���≤� ��5�≤���≤���� L�

�������������!�������������������������

���������������!��������������

������������������ ����5 �� ������

� ��5 �

Page 187: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

��)������&�(����(���"(���������"���������������&

3������������� ����������� �����������1�������� ��������!������(���� ���

� ������!���������� ���

-��������������������������� ��� ���"���������������∈�4��� 6�������� �����

����������������

C������������������������������ �+������� �����������������������������

�����������������������������������ρ� ���� �

>����1���"��������������������������������������"������������2�"������

���"���������������@�������������������������������1������������������4��� 62

�+�������5���

'������

��� �

>���������������������4�"���

"B'6������������������������ξ

"����������������

��������������� ���������������������������������ξ" �"����������ξ

"������I���

������������� �����������"����"�����

"B'����������������������������������ξ

" ����

��ξ" ��

"B'�D��

" �

I���� ���!������� ��� ���������� ���� ��� ������� "��� ������� ������ ��

����1�������������ξ5 ��

'�D��

5 ����ξ

' ��

)�D��

' ��������ξ

D' ��

�D��

D' �

I������������� ��������������������!�������������1���������1���������������

����������������ξ"�����#Δ�+ ( )

1

0

n

ii

f−

=ξ∑ ��

"B'�D��

" �

�!�������������������������������

����� ������� ������� ��� ��������

��������� ����������� 0������ ��� ����

�������������������"��������������������

��������� ����1������ ������ "�� ����

������� ��� ���� ���� ������� �� "�� �

���������

3���������������������������������

����Δ ≥'

�������1��������������������"�

������������C���� ����������� ���!��

������ ( )1n n

mΔ ≥�����������#���������"�

��������������������������#��������

��������� ���

Page 188: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

��� � � �

7� ������� � 2� 4��� 6� →��� �� ������ �����������%������� ������ �������

����� ��� ������!�����������������������������2

7���������ε�H�5�!�����ηε�H�5�������"������������������1����Δ�+���5���

'�������

�������������4��� 6����GGΔGG�P�ηε�����������������������"D'

�≤�ξ"�≤��

"���'�≤�"�≤�

�����������������GσΔ���ξ �D���G�P�ε�

9������ ����� �������� ������������� �������������������� �������� ��

���������4��� 6����������1�� ( )b

a

f x∫ ���

������ �

0��������������������������������������������������������������������������

�����������������������������

��� � � �C�������������2�4��� 6�→����������� ������������������

( )a

a

f x∫ ���+�5���� ( )d ( )b a

a b

f x x f x= −∫ ∫ ���

�����*���

C�����2�4��� 6�→�������������������� �������������������������������������

��������������������

����������� *����������!���������������'�����

)�������������������������

������������������ ����������$���������������ε�H�5�!�����η��ε�H�5�

���+�'��) �������"������������������1�����+���5���

'���������

�������4��� 6

���GGΔGG�P�η��ε�����������������������

"D'�≤�ξ

"�≤��

"���'�≤�"�≤� �������

GσΔ���ξ �D����G�P�ε�����+�'��) �

/�����������η��+�����η

'�����η

)��� �1���������������������1������

����4��� 6����GGΔGG�P�ηε������������������������������������������Δ�

����GσΔ���ξ �D��'�G�P�

���GσΔ���ξ �D��)�G�P�

�����

G�'�D��

)G�P�G�

'�D�σΔ���ξ ��B�GσΔ���ξ �D��

)�G�P�

�B�2ε

�+�ε�

-���ε�H�5����������1������'�+��

)�

Page 189: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

������� �������������������������������������������������������

� (������������������2�4��� 6�→������� ��������∈����������� ������

( )b

a

f x∫ ���+��� ���� �

>�����������������������1������+���5���

'�������

�������4��� 6�������������

����������������"D'

�≤�ξ"�≤��

"���'�≤�"�≤� ������σΔ���ξ �+�

1

( )n

ii

f=

ξ∑ ��"�D��

"D'

+�����D

��5 �+��� ���� �

C����"����1���"�������+��� ���� ������GσΔ���ξ �D��G�+�5�P�ε������������ε�H�5�

*���������������� ������� ( )b

a

f x∫ ����+��� ���� �

�� (�����������C���������2�45��'6�→������������������� �+�[ ][ ]

1, 0, 1

0, 0, 1 \

x

x

⎧ ∈ ∩⎨ ∈⎩

�������

����� ����

/�����������������1�����+���5���

'�������

��������������45��'6������

i′ξ �� i′′ξ �∈�4�"D'

���"6��'�≤�"�≤��������������������������������������

"����� i′ξ ∈���� i′′ξ �∈��M�����'�≤�"�≤� �

$�������� i′ξ � +� '� ����� i′′ξ � +� 5�� �'�≤� "�≤� �� ����σΔ���ξ′ � +� '��σΔ���ξ′′ � +� 5�

*���������������������� ������������!������∈���������������������������

���������������������������� ���

7 ������������������ε�+�12

�!�������������������������1�����������"����

�������������1�����+���5���

'�������

�������45��'6�����GGΔGG�P�η����

GσΔ���ξ′ �D��G�P�12

����GσΔ���ξ′′ �D��G�P�12

*��������'�+�G'�D������G�≤�G�'�D��G�B�G�G�+�GGσΔ���ξ′ �D��G�B�GσΔ���ξ′′ �D��G�P�12

�B�12

�+�'�

(����

$�������������������������� ����

������ �

0����������������������������K5��'L�������������������������������

���������C� ��!�

*���������������������!������������������������������������������

����� ����

Page 190: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

#$+$ ���)����&�������������������� �����

�������

7��������������� �����2�4��� 6�→���������������

����������� >���������������������� ��������������������������������������

4��� 6�������1�������������ε�+�'�!�����η�H�5�������"�����GσΔ���ξ �D��G�P�'

����� �� ��� ����1������ +� ��5���

'�������

� ��� GGΔGG� P�η� ��� ����� �� ��

���������������ξ"�∈�4�

"D'���

"6��'�≤�"�≤��

-���������������1������!�����+���5���

'�������

����GGΔGG�P�η�������������

���������������������������������������4�"D'

���"6��������1�������

(����������� ������∈�4�"D'

���"6������������������������

��������������,

,i

ix i kx i k

≠⎧ξ = ⎨ =⎩�

$������ ( ) ( )1 1( ) ( )k k i i ii k

f x x x f x x x I− −≠

− + − −∑ P�'�����

��D'�P���� ����D��

�D' �B� ( )1( )i i i

i k

f x x x −≠

−∑ P���B�'�⇔�G��� G�P�α��

���� 11

1 1 ( )k i i ik k i k

I f x x xx x −

− ≠

⎛ ⎞α = + + −⎜ ⎟− ⎝ ⎠∑ ����������� ���

�������������������4�"D'

���"6��-�����������������������������

�������1���������������������������������������4��� 6�

������ �

C������������������������������������������������ ����

������ �������������������������������������������������������

(��������2�4D'��'6�→������������������ �+[ ] { }2 2

1 2 12 sin cos , 1, 1 \ 0

0, 0

x xxx x

x

⎧ − ∈ −⎪⎨⎪ =⎩

��������������������������������������� ����

>�������������������������� �������+

1

22

nπ + π���∈���� ��� ��� ����� ���5�

����� ������� limn→∞

��� �+�∞�

Page 191: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

7 ���������������� �2�4D'��'6�→���� �� �+[ ] { }2

2

1sin , 1, 1 \ 0

0, 0

x xx

x

⎧ ∈ −⎪⎨⎪ =⎩

�������������

������������$������������������!���������������������������������������

�������� ����

������������E����������������2

�������

(�����2�4��� 6�→����������������������������2

� ���������� ���@

!�����������������������⊂�4��� 6�������"�������� �+���� ������∈�4��� 6�M���

$��������������� ������4��� 6���� ( )d ( )b b

a a

f x x g x=∫ ∫ ���

�������

7���������2�4��� 6�→����������� �����������������������!�����������������

������"���������������������������1����� ( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = ���������������4��� 6

��� limn→∞

GGΔGG�+�5����������������������������� 1

n n ni i ix x− ≤ ξ ≤ ���'≤�"�≤��

���∈��

�����������8������ (nΔσ ���ξ

�∈��������������

����������� �#$%"��&"��'"(���)��*���������������������������� ����

(�� ( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = � ��� ��� �� ����1����� ��� ����������� 4��� 6� ��

limn→∞

GGΔGG�+�5������� 1,n n n

i i ix x−⎡ ⎤ξ ∈ ⎣ ⎦ ��'≤�"�≤�� ���������������

C������������������������� ���� �����!������������������������

��������� ��� ����� ���� ε� H� 5� !�����ηε� ������ "����� ����� �� ��

����1�����Δ����GGΔGG�P�ηε�����������������������������ξ"������

�����������GσΔ���ξ �D��G�P�ε�

-��� limn→∞

GGΔGG�+�5�1��������!�����nηε

∈���������"�����GGΔGG�P�ηε�����≥�nηε

����GσΔ���ξ �D��G�P�ε�����≥�nηε�������������������8������(

nΔσ ���ξ �∈��

�����������

Page 192: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�#$%"��&"��(��"$(*�)��*����������!������������������������"����

���������������������1����� ( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = ���������������4��� 6

��� limn→∞

GGΔGG�+�5����������������������������� 1

n n ni i ix x− ≤ ξ ≤ �

�'≤�"�≤�����∈�� �������������8������ (

nΔσ ���ξ �∈��������������

C����������������������������������������������!�����ε5�H�5������

"���������������η�H�5�!�����������1���� ( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = �������4��� 6

���GGΔGG�P�η����!�������������������� 1

n n ni i ix x− ≤ ξ ≤ ���'≤�"�≤��

������"�����GnΔσ ���ξ �D��G�≥�ε

5�

>�����������������1n

η = ��� �����������1���� ( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = ��

����������� 4��� 6� ���1

n nΔ < � ��� ��� �������� ������ �������

1n n ni i ix x− ≤ ξ ≤ ���'≤�"�≤��

���∈�� ��������"�����G

nΔσ ���ξ �D��G�≥�ε5�

81�������� limn→∞

GGΔGG�+�5������������������8������ (

nΔσ ���ξ ∈����

������������������������������1��

������ �

C������������ � 2� 4��� 6�→������ ����� ����������� �������� ����� ��� ���������2

( )lim , ( )db

n

nna

f f x xΔ→∞σ ξ = ∫ �����������������������������������������������1����

( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = ���� limn→∞

GGΔGG�+�5���������������������������������1�������

������������������������ !��"#��$

(���2�4��� 6�→������������������ �����������������������4��� 6��$�����

������������������ ����������������������2

( )d ( ) ( )b

a

f x x F b F a= −∫

����������� (�� ( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = �������������1�������������������4�� 6������

"����� lim 0nn→∞

Δ = �

Page 193: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

C������������;����������������������� ������������ 1,n ni ix x−⎡ ⎤⎣ ⎦ ��� ����

( )1,n n ni i ix x−ξ ∈ ������������� ( ) ( )1

n ni iF x F x −− +� ′ ( )( )1

n n ni i ix x−ξ − �

-����������� �����������������������������������

( ) ( )1n ni iF x F x −− +��′ ( )( )1

n n ni i ix x −ξ − �

$�����nΔσ ���ξ �+� ( )( )1

1

knn n ni i i

i

f x x −=

ξ −∑ �+� ( ) ( )( )11

knn ni i

i

F x F x −=

−∑ �+

�� � �D� �� �����∈���

$������ ( )d limb

na

f x x→∞

=∫ nΔσ ���ξ �+� � �D� �� �

������ �

/������������������ � �D� �� �+� ( )b

aF x �������������% �� ��������������� &�

������� �������������������������������������������������������

� 0��������������������������2�4'��)6�→������� �+�A����

22

11

3d 3x x=∫ +�A�O�)�D�A�O�'�+�A�

��

11 2

0 0

1d2 2xx x = =∫ �

��

220

0

cos d sinx x x

ππ

=∫ �+�'�

�������

C��������2�4��� 6�→�������������������������� �������α��β�∈������������������

α�B�β���������� ������� ( )( ) ( ) d ( )d ( )db b b

a a a

f x g x x f x x g x xα + β = α + β∫ ∫ ∫ �

����������� (�� ( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = �������������1������������4��� 6���� lim 0nn→∞

Δ =�(���������

��������������������� 1n n ni i ix x− ≤ ξ ≤ ���'≤�"�≤��

���∈�� �

Page 194: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

$��� ( ) ( ) ( )( )1

,n

n n ni in

i

f g f gΔ=

σ α + β ξ = α ξ + β ξ∑ ( )1n ni ix x −− �+

+� ( )( )11

nn n n

i i ii

f x x −=

α ξ −∑ �+ ( )( )11

nn n n

i i ii

g x x −=

β ξ −∑ �+

+� ( ) ( ), ,n n

n nf gΔ Δασ ξ + βσ ξ

-���������������������������� ����1������������� ( ), n

nf gΔσ α + β ξ

��������� ( )d ( )db b

a a

f x x g x xα + β∫ ∫ ��������������α�B�β���������� ���

��� ( )( ) ( ) d ( )d ( )db b b

a a a

f x g x x f x x g x xα + β = α + β∫ ∫ ∫ �

�������

C��������������2�4��� 6�→����������� ���������1�������������

( )b

a

f x∫ ���≥�5�

����������� (�� ( )0 1, ,...,n n nn kn

x x xΔ = �������������1������������4��� 6���� lim 0nn→∞

Δ =

��������������������� 1n n ni i ix x− ≤ ξ ≤ ���'≤�"�≤��

���∈�� ��-������

�� ������� ��1������ ���� ( ) ( )1

,kn

n nin

i

f fΔ=

σ ξ = ξ∑ ( )1n ni ix x −− �≥� 5� ���

( )d limb

nna

f x x Δ→∞= σ∫ ���ξ �≥�5�

�������

C���������������������2�4��� 6�→������������� ���������"�������� �≤����� �

����∈�4��� 6��������� ( )d ( )db b

a a

f x x g x x≤∫ ∫ �

����������� C�������1������������������������������������@��������������������

� �����(���������

( )( )d ( )d ( ) ( ) db b b

a a a

g x x f x x g x f x x− = −∫ ∫ ∫ �≥�5�⇒� ( )d ( )db b

a a

f x x g x x≤∫ ∫ �

Page 195: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

%���% ���

C�������������2�4��� 6�→����������� �������#�≤���� �≤�+������∈�4��� 6��������

#� ���� �≤� ( )b

a

f x∫ ���≤�+� ����

������� �������������������������������������������������������

� (���������������������������������

2

0

sin dn x x

π

∫ ����

21

0

sin dn x x

π

+∫ �

-��� 0,2

x π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦������������∈�45��'6�����������

B'��≤����

����������������

2 21

0 0

sin d sin dn nx x x x

π π

+ ≤∫ ∫ �

�� (����������������������������������������

7

4

1 33 5

xx

−≤ +∫ ���≤�'�

(��������2�4Q��T6�→������� �+�35

xx

−+ �������� ��������′�� �+�

2

8( 5)x +

�H�5�

81�������������������������������19

�+���Q �≤���� �≤���T �+�13

������∈�4Q��T6�

$����������������������������������19

�T�D�Q �≤�

7

4

1( )d3

f x x ≤∫ �T�D�Q ����������

������1���������

>�������������1���������������������������1��������������2

�������

(��������2�4��� 6�→����������� ������������������������∃ ���∈����� ������

"��������������������������4����6�������4��� 6����������� ����>���������12

( )d ( )d ( )db c b

a a c

f x x f x x f x x= +∫ ∫ ∫ �

Page 196: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

���������&�����&�#�#�$

C�����2�4��� 6�→�������������������� �������4���'6�⊂�4��� 6������������

����� �����4���'6�

�������

7��������������������2�4��� 6�→����������� ����

������ �

J�������������!�������

�����!�����������������

�����������������������2

���� ��������������

� 3��������������������2�45��)6�→������� ���G��D�'G��������� ����8�������������

������1�

2

0

( )f x∫ ���

��!������

�������� � �� �+� { 1, [0,1)1, [1, 2]

x xx x

− + ∈− ∈ �� >������� �������� �������� ��� 4'��)6���� ������

����������1������������������������������ ����

>������������G45��'6

�� �+�{ 1, [0, 1)0, 1

x xx

− + ∈= ���������������2�45��'6�→������� �+�D���B�'

������������������������ �������������� [ ]1,0|f ��������� ������

1

0

|f∫ 45�'6�� ���+�

1

0

( )g x∫ ����>��������1����������������������������������������

����� ����1����������������� �������

2

0

( )f x∫ ���+�

1

0

( 1)x− +∫ ���B�

2

1

( 1)x −∫ ���+�

12

02x x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

B�

22

12x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

�+�'�

Page 197: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

�� 3����������1���� �+�

1

2

| |x a−

−∫ ������∈���

��!������

�� C������∈��D∞��D) ������������ �+�

1

2

( )x a−

−∫ ���+�D32

�B��@

� C������∈�4D)��'6����������� �+�

2

( )a

a x−

−∫ ���B�

1

( )a

x a−∫ ���+��)�B���B�

52

@

�� C������∈��'��∞ ������������ �+�

1

2

( )a x−

−∫ ���+�A��B�32

�� $�������������������������������������� ��2

� ��2�10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������� �+�

1, 0,211 , 0, \2

x x

x x

⎧ ⎡ ⎤∈ ∩⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨ ⎡ ⎤⎪ − ∈ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

@

��2�45��'6�→������� �+[ ][ ]

, 0, 1

1 , 0, 1 \

x x

x x

⎧ ∈ ∩⎨ − ∈⎩

��

��!������

� *��������������������������� �����10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(���+��

( )0nx ��

( )1nx �������

( )nkn

x �������1�����������������10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

���� limx→∞

GGΔGG�+�5����

( )1

nix − �≤�

( )niξ ≤�

( )nix ��'�≤�"�≤��

��

( )niξ ∈������

( )1

nix − �≤�

( )niζ ≤�

( )nix ��'�≤�"�≤��

��ζ

"�∈��M��

���������������������������������������1�������

C���������������������� ����1���������������������8��������������������

������1���������������������������������������������������������

>������������σΔ����ξ �+�

1

kn

i

f=

∑ �niξ � 1

n ni ix x −− �+�

1

kn

i=∑ n

iξ � 1n ni ix x −− �→�

12

0

f∫ �� ���

��������σΔ����ζ �+�

1

kn

i

f=

∑ �niζ � 1

n ni ix x −− �+�

1

kn

i=∑ �'�D

niζ �� 1

n ni ix x −− �→�

12

0

f∫ �� ���

-���������������������������������2�10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������� �+������� �+�'�D������

����������������������� ���

Page 198: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

$������ �������������������1�������� ������������ ����� ��� ���������������

�����������������������$��2

σΔ�����ξ �+�

1

kn

i

g=

∑ �niξ � 1

n ni ix x −− �+�

1

kn

i=∑ n

iξ � 1n ni ix x −− �→

12

0

g∫ �� ���+�

1 12 2 2

00

1d2 8xx x = =∫

σΔ�����ζ �+�

1

kn

i

h=

∑ �niζ � 1

n ni ix x −− �+�

1

kn

i=∑ �'�D

niζ �� 1

n ni ix x −− �→

12

0

h∫ �� ���+�

1 12 2 2

00

3(1 )d2 8xx x x

⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ �

-��� ( ) ( )ξσξσ ,, gfnn ΔΔ = ��� ( ) ( )ζσζσ ,, hf

nn ΔΔ = ��� ����

σΔ����ξ �→�18

����σΔ����ζ �→�38

�����"���������������������8���������������������������1���������

����� ��� ����� ��� 5�� �������� � ��� �������� �� ������ �������� ��� ��

��������������������������� ����

*������������������� ������45��'6��������1�����������������������

����������������� �������������������10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

��"��������������������������� �� ����

����������������������� ������10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�������������������������������

������ �

>����������1��������������� ����������������������������� �

-�� �����?

�� � �$�����������

�≥���B�'������∈���

�$���������

12

0

1 xee

−≤ ∫ ���≤�4π

��!������

� (�����������2���→������� �+���

�D���D�'������������������� ��������′�� �+���

�D�'�

-��� � ′� ��� �������� �� �D∞�� 5 � ��� ��1������ ��5��∞ �� 1����� ��� � ��� �����

�������������D∞��5 ���������������������5��∞ ��(�������������������"�

�5�+�5

��������������5��$�������� �≥�5������∈���

Page 199: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

-����������������� ������

2xe �≥��'�B��)�⇔�

2xe−�≤�

2

11 x+

C���������������

12

0

xe−∫ ���≥�

1

2

0

11 x+∫ ���+�����

1

0x �+�

*�������������

2xe−�≥��

D'������∈�45��'6�������������

11

0

2 −− ≥∫ edxe x�

�� (���������+

1

20 1

nxx x+ +∫ ���≥�'�

� $����������� �≥�'�

���������������������@

C������������������������������������������@

� -��������� lim nn

I→∞

��!������

� -����

�≥��B'

������∈�45��'6��1��������21

nxx x+ +

�≥�

1

21

nxx x

+

+ +������������

1

2

01

nxx x+ +∫ ���≥�

1 1

2

01

nxx x

+

+ +∫ ����������≥��

B'�����≥�'�

5�≤���+�

1

2

01

nxx x+ +∫ ���≤�

1 11

00

1d1 1

nn xx x

n n

+= =+ +∫ �P�'������

5�≤�21

nxx x+ +

�≤��

������∈�45��'6�

��+�

1

2

01

nxx x+ +∫ ���+�

1 1 2

2

01

n n nx x xx x

− −+ ++ +∫ ���D�

1 1 2

2

01

n nx xx x

− −++ +∫ ����+

+�

12

0

nx −∫ ���D��D'�

D��D)

�+�

11

01

nxn

− D��D'�

D��D)

�+�1

1n − D��D'�

D��D)

��

� C������������ �����5�≤���≤�

11n + ����≥�'@�����������������%�������&�� ����

limn→∞

��+�5�

Page 200: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

���� �����������

� C�����������������1��������������������45��'6������2

� �Δ�+�1 10, , , 13 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠@� �Δ�+�

4 3 2

1 1 1 10, , , , , 122 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@

� �Δ�+�1 1 1 10, , ,..., , , 1

1 3 2n n⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

@�� ��+�1 2 2 10, , ,..., , , 1n nn n n n

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠���∈��F�

�� 3����������1������8�����������������������������1���������������������������

��������������2

� ��2�4D'��'6�→������� �+��@�Δ�+�1 31 , 0, , 1

2 4−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

��ξ�+�3 1 1, , , 14 3 2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠@

��2�45��'6�→������� �+��)@�Δ�+

1 10, , , 13 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠��ξ�+�

3 4 6, ,10 10 10

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠@

� ��2� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�→������� �+��������Δ�+� 0, , , ,

6 4 3π π π⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠

��ξ�+� 0, , ,4 3π π⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠

@

� ��2�45��)6�→������� �+�{0, [0, 1], (1, 2]x

x x∈∈ @�Δ�+

1 30, , 1, , 23 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠��ξ�+�

1 3 4, , , 24 4 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�

��2�45��'6�→������� �+�{0, [0, 1], (1, 2] \x

x x∈ ∩∈

�@�Δ�+

10, , 12

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠��ξ�+�

1 3,3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� (���∈�����≥�)��3����������1������8�����������������������������1������Δ���

�������������������������������2

� ��2�45��'6�→������� �+��)��Δ�+�

1 2 10, , ,..., , 1nn n n

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠��

1 2 10, , ,..., nn n n

−⎛ ⎞ξ = ⎜ ⎟⎝ ⎠@

��2�45��'6�→������� �+� x ��

2 2 21 2 10, , ,..., nn n n

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠�

2 2 21 2 1, ,..., , 1nn n n

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ξ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠�

� ��2�45��'6�→������� �+�

10, 0,2

11, , 12

x

x

⎧ ⎡ ⎤∈⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨ ⎛ ⎤⎪ ∈⎜ ⎥⎪ ⎝ ⎦⎩

���+�1 2 10, , ,..., , 1nn n n

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�

ξ�+�1 3 2 1, ,...,

2 2 2n

n n n−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@

Page 201: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

� �2�45��'6�→������� �+�{0, [0, 1]1, [0, 1] \

xx

∈ ∩∈�

����+�

1 2 10, , ,..., , 1nn n n

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�

ξ�+�1 3 2 1, ,...,

2 2 2n

n n n−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� 3������������������������������������� ����������������������2

� ��2�45��)6�→������� �+�[ ]( ]

1, 0, 1

2, 1, 2

x x

x x

⎧ + ∈⎨ + ∈⎩

@� ��2�4D'��'6�→������� �+�[ ]( ]

1, 1, 0

ln , 0, 1

x x

x x x

⎧ + ∈ −⎨ ∈⎩

�� 3��������������������2�4'��A6�→������� �+�( ]1 , 1, 3

12, 1

xx

x

⎧⎪ ∈−⎨=⎪⎩

������������ �����

���������4'��A6�

�� 3��������������������2�45��'6�→������� �+�

( ]ln , 0, 10, 0x x

x⎧ ∈⎨ =⎩

������������ ����8�����

��45��'6�

�� 3��������������������2�45��'6�→������� �+�( ]2 2

1 2 12 sin cos , 0, 1

0, 0

x xxx x

x

⎧ − ∈⎪⎨⎪ =⎩

������

���������������������� ����8������

�� (�������������;� ��1�9:���������������1����������������������2

� �

2

1

x∫ ��@� � ∫1

0

2x ��@�� �

4

1

1x∫ ��@�� �

2

1

1x∫ ��@� �

1

0

xe∫ ��@�� �

2

0

sin x

π

∫ ��@�� �

1

20

11 x+∫ ��@

� �

1

20

1

1 x+∫ ��@�� �

1

212

1

1 x−∫ ��@�E �

2

4

cos x

π

π∫ ��@�R

22

0

sin x

π

∫ ��@��

3

22

11x −∫ ��@��

1

0

2x∫ ��@

� �

1

20

1

4 x+∫ ��@�� �

1

20

1

4 x−∫ ��@�� �

1

0

x∫ ��@� �

3

2 32

1 1 dxx x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ @U �

4

20

1 dcos

xx

π

∫ @

� � ∫3

6

2sin1

π

π x��@�� �

3

6

tg dx x

π

π∫ @� �

3

6

ctg dx x

π

π∫ @�� �

3

22

1 d1

xx −

∫ �

Page 202: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�� C��������������������������"�����

12 25( 4)d

2

a

a

x x+

+ =∫ �

�C����������∈�4)��A6�������"����� ( )2

0

cosa

x a+∫ ���+�������

�3��������������������2�45��)6�→������� �+�[ )[ ]

0, 0, 1

1, 1, 2

x

x

⎧ ∈⎨ ∈⎩

��������� ����8�������

45��)6����

2

0

( )f x∫ ����+�'

��3��������������������2�45��π6�→������� �+�[ )[ ]

, 0, 1

sin , 1,

xe x

x x

⎧ ∈⎪⎨ ∈ π⎪⎩

��������� ����8�����

��45��π6����

0

( )f xπ

∫ ���+���B�����'�

��3��������������������2�4D'��'6�→������� �+�[ )[ ]

2 , 1, 0

, 0, 1

x x

x x

⎧ ∈ −⎪⎨ ∈⎪⎩

�������� ����8�����

��������������1�

1

1

( )df x x−∫ �

��3��������������������2�45��'6�→������� �+�[ )2 , 0, 1

10, 1x x

x

⎧ ∈⎨ =⎩

�������� ����8��������

�����������1�

1

0

( )df x x∫ �

��3��������������������2�4D'��'6�→������� �+�( ){ }

, 1, 10, 1, 1

xe x

x

⎧ ∈ −⎪⎨ ∈ −⎪⎩

�������� ����8�����

��������������1�

1

1

( )df x x−∫ �

��3�������������������� 2� 4'��)6�→���� � �� �+�4�6���� ����� ����8�������������

������1�

2

1

( )df x x∫ �

Page 203: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

��3��������������������2�45��'6�→������� �+�A�)�B�Q�

A��������� ����8�������������

������1�

1

0

( )f x∫ ���

��3��������������������2� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦→������� �+�)������D�Q��������������� ����8�����

��������������1�

2

0

( )f x

π

∫ ���

��3��������������������2�4D)��'6�→������� �+�G�G���������� ����8�������������

������1�

1

2

( )f x−∫ ���

� �3������������������� : ,2 2

f π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦�→������� �+�G�����G��������� ����8�����������

��������1�

2

2

( )f x

π

π−

∫ ���

� �3����������12

� �

3

0

1x +∫ ��@�

2

22

1

1 1x− + −∫ ��@��

12

1

min{ , }x x−∫ ���@

� ( )2

0

sin cosx xπ

+∫ ��@�

2

0

sin cosx xπ

−∫ ��@�� �[ ]

[ ]1

1 2

x x

x x−

++ +∫ ���

FFF

���(����� �∈������P� �����2�4��� 6�→����������������� ����8��������4��� 6��3�������

�����������������������������������' �⊂�4��� 6�!�����������������������ξ�∈�����'

������"�������ξ �+��ξ��������� ( )

b

a

f x∫ ���+��

�D���

���(����� �∈������P� �����2�4��� 6�→����������������� ����8��������4��� 6�������"����

��� �+�'������∈�4��� 6�∩����3���������� ( )b

a

f x∫ ���+� ����

Page 204: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

���3�����������2

� �) 2 ≤1

2

1

4 5dx x x−

+ +∫ �≤ 2 10 @� ���≤2

2

1

dxe x∫ �≤ �Q@

� ��)���D�' �≤

2

dln

e

e

x xx∫ �≤

3

2e

���D�' �

���3����������2

� �

2

1

xe∫ ����≤ ( )2

1

1

1 dx

x x++∫ @� �

1

0

ln( 1)dx x+ ≥∫1

0

d1

x xx +∫ @

� � ( )1

2

0

ln 1 dx x+∫ �≤

1

0

x∫ ����������

���3����������2

� �

1

2

dlim1

n

nn

x

x

+

→∞ +∫ �+�5@�

1

0

lim1

n

n

xx→∞ +∫ ���+�5�

���C����������������������������������2���→��������������������

1

( )n

n

f x+

∫ ���+������∈���

���C����������������������2�4��� 6�→����������������� ( )b

a

f x∫ ���H�5���������1�������

��� �H�5������∈�4��� 6?�$����1��������"������������������������ �+�)�)�D��������∈�

1 , 14

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�� 3���������������������������������������� ����������������������2

� ��2�45��'6�→������������������ �≤�����������∈��5��'6@

��2�45��'6�→������������������� �≥�1x����∈��5��'6�

� �(�������

1

0

d2 3

n

nxI xx

= +∫ �

� �$��������� ( ) 1n nI ≥

����������������������

�C�������������������������������������������

� �-��������� lim nn

I→∞

Page 205: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � "

�������������"���

�������

� 3��������������������2�4D'��'6�→������� �+�

[ ]| | [ ]x xx x

++ ��������� ������������������1

1

1

( )df x x−∫ �

�� 3�����������

12

0

1 d 1xe x e≤ ≤ −∫ �

�� (�����������2�45��'6�→������� �+�� ( ]0, 0

, 0, 1x

xe x

=⎧⎨ ∈⎩

��

� �������������������������������������@

���������������������������� ���@

� �����������1�

1

0

( )df x x∫ �

,��2�'������������@� ��A������A������A��

S����������2�=5�������

������

� 3��������������������2�4D'��A6�→������� �+�G���G�O�4�6��������� ������������������1

3

1

( )df x x−∫ �

�� 3����������� ( )1

2

0

3ln ln 1 d 04

x x x≤ − + <∫ �

�� (�����������2�45��π6�→������� �+�[ )[ ]

, 0,1

sin , 1,

xe x

x x

⎧ ∈⎪⎨ ∈ π⎪⎩

��

� �������������������������������������@

���������������������������� ���@

� �����������1�

1

0

( )df x x∫ �

,��2�'������������@� ��A������A������A��

S����������2�=5�������

Page 206: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

������!

� 3��������������������2� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�→������� �+���!�������������� ��������� ������

�����������1������������

�� C�����������������������������$��,�≥�)��$���,�+�T��������"����

2

11 d ln11

qp

pq

qx

px

−= −+∫ �

�� 3������������������� �∈ 0,2π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����-� ���������

2 2 coscos cos ln2 cos

b a aa bb

−− < < �

�� 3��������������������2�45��'6�→������� �+�( ], 0, 1

0, 0

xe xx

⎧ ∈⎨ =⎩

��������� ���������

����������������������������1������������

�� � C�����������������������������������������

��������"�����������������

����������������� ���?

,��2�'�������������� ��A������)������)������)��

S����������2�=5�������

�������"

� 3��������������������2�45��)6�→������� �+�������)���

A ��������� �����������

������1������������

�� 3�����������!�������H�5�������"�����

2

20

d 141

at tt

π= ++∫ �

�� 3����������������'�≤���≤� ���������

1 1

1

n n n nb a b an n

+ +− −< + �����∈��F�

�� 3��������������������2� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�→������� �+��

cos , 0,2

0, 0

x x

x

⎧ π⎛ ⎤∈⎪ ⎜ ⎥⎨ ⎝ ⎦⎪ =⎩

��������� ������

�������������������������������1������������

,��2�'�������������� ��A������)������)������)��

S����������2�=5�������

Page 207: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � # � � � � � � � � ! $ � � % � � � & � � & � � � � $ �

,$%$ -.�������!"��������)�������

�������������� �

C�����2�4��� 6�→��������������������������������!�������∈�4��� 6�������"����

1 ( )d ( )b

a

f x x f cb a

=− ∫ �

����������� (����������������������4��� 6�����������������"�����������������

C����������#�+[ , ]

inf ( )x a b

f x∈

����+�+�

[ , ]sup ( )

x a bf x

∈��!�����.��/�∈�4��� 6������

"�������. �+�#������/ �+�+�

*��������#�≤���� �≤�+������∈�4��� 6@�1����

#� ���� �≤� ( )b

a

f x∫ ���≤�+� ���� �������

��. �+�#�≤�1 ( )

b

a

f xb a− ∫ ���≤�+�+���/ �

-������������������4��� 6��������������C� ��!���4��� 6�������

!�������∈4��� 6�������"����� ( ) 1 ( )db

a

f c f x xb a

= − ∫ �

�����)���������������(&C�������������������������������1��������4��� 6�

!����������������∈�4��� 6�������"������� �������������

�� ������ ��� ��� ����������� �� �1�� ����� ��

"���������� �

����������������� "�(������(�����"�

������� �

!�'( �

Page 208: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

������ �

C�����2�4��� 6�→�������������������� ������

( )b

a

f x∫ ���+�� ���� ��� ����� ( )b

a

f x∫ ���+�� ���� �� �

�������!�������∈�4��� 6�������"����

( )b

a

f x∫ ���+�� ���� ��� �

�������

C�����2�4��� 6�→�����������������������������1����������4���'6�⊆�4��� 6��������

( )d ( )dd b

c a

f x x f x x≤∫ ∫ �

����������� >������������������������������ ������������1������1����

( )c

a

f c∫ ���≥�5����� ( )b

d

f x∫ ���≥5�

I�����������2

( )d ( )d ( )d ( )d ( )db c d b d

a a c d c

f x x f x x f x x f x x f x x= + + ≥∫ ∫ ∫ ∫ ∫ �

���/0

C�����2�4��� 6�→�����������������������������1����������������������!����

�5�∈����� �������"��������

5 �H�5��������

( )b

a

f x∫ ���H�5

����������� (������������������������1�����!���������������������������������

"������5�∈���⊂�4��� 6������� �H�5������∈���

(��4���'6�⊂������#�+�[ , ]

inf ( )x c d

f x∈

@������������������!������'�∈�4���'6

������"�����#�+����' ����#�H�5�

$���������������������� �����5�P�#�'�D����≤� ( ) ( )b

d

ca

f x dx f x≤∫ ∫ ���

!�'( �

Page 209: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � # � � � � � � � � ! $ � � % � � � & � � & � � � � $ �

,$'$ ������������1������&���)�����������"���� "�(����(�����"�

�������

C���� � 2� 4��� 6�→��� ����� ������� ���������� ������� �������� 2� 4��� 6�→���

( ) ( )dx

a

F x f t t= ∫ ��������������������������������1��"������������

����������� (���5�∈�4��� 6������∈�4��� 6������≠��

5�

$������ �� �D� ��5 �+� ( )d

x

a

f t t −∫ D

0

( )dx

a

f t t∫ �

$���������������������������������������4�5���6�� ������

"����5������������"�����

0

( )x

x

f t∫ ���+����� ������

5 �

C���������������������������������� ( )0

0

( ) ( )x

F x F xf c

x x− =−

���� ( )0

0 00

( ) ( )lim lim xx x x x

F x F xf c

x x→ →

− =−+����

5 ������������������������

��������������� �

*������1���"������5�+��������

5�+� ��������1�����������

$������������� �������� ������4��� 6���� �′�+��������� �����

����������������������� �� �+ ( )a

a

f t∫ ���+�5

*������������������������������������������������������������������1�

"��������������������������

�������

(���2�4��� 6�→��������������������������2�4��� 6�→������������������������

�����1��"�������������5�∈�4��� 6��$������

0

( ) ( )dx

x

g x f t t= ∫ �

Page 210: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

����������� C������������������������� ( ) ( )dx

a

F x f t t= ∫ ��������������������

��-���������������������������������������������������������

1��������!�������∈���������"����� �� �+���� �B��������∈�4��� 6�

C��������������������5 �+�5��� ��������� ��

5 �

$�������� �+� �� �D���+� �� ��� ��5 �+� ( )d

x

a

f t t −∫0

( )dx

a

f t t∫ �+�

0

( )dx

x

f t t∫ �

���� ��������������

� (���2�45��'6�→������������������������������������

1

0

( )4

xf x dx π>∫ �

3�����������!����������������∈��5��' �������"������A��� �B����� �+�'�

��!������

(����2�45��'6�→������� �+����� �D�2

11x +

��*����������������1������������������2

1

0

( )g x∫ ���H�5����������������������������!����������������∈�45��'6�"����

��� �H�5��-����������������������5 �+�D'�P�5��1��������!�������∈��5��� �⊂�45��'6

������"�������� �+�5������������ �+�2

11 c+

�� (�� �2� 4��� 6�→����� �����������������3�����������!�������∈� ���� ������� "����

( )c

a

f x∫ ���+�� ���� ��� �

��!������

-���������������� 2�4��� 6�→���� ( )( ) ( )dx

a

F x b x f t t= − ∫ ������������������� ����

-��� �� �+� � �+�5���������������8����1��������!�������∈����� �������"����

′�� �+�5��������� ���� ��� �+� ( )dc

a

f t t∫ �

Page 211: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � # � � � � � � � � ! $ � � % � � � & � � & � � � � $ �

�� 3����������1�����������������+�

1 2 2n

n

x xx

+ +∫ �����≥�'�

��!������

C��������������1�����!��������������∈�4���B�'6�������"����

( )21 2 22 d 1

nn n

nn

c cx x x n nx c

+ ++ = + −∫ ��-��� lim nn

c→∞

�+�∞��1�������� lim nn

a→∞

�+�'�

�� 3�����������

2

0

sinn x

π

∫ ���+�5�

��!������

(��ε�H�5��ε�∈��5��' �������$������

3 2 32 2

0 03 2 3

sin d sin d sin d sin dn n n nx x x x x x x x

ε π επ π−

ε π ε−

= + +∫ ∫ ∫ ∫ �

>��������5�P����

��P�'�1�����

3

0

0 sin d3

n x x

ε

ε< <∫ �

$����������������������������� ,3 2 3ε π ε⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

����������������

��� �+����������� �����!����������������� ,3 2 3

c ε π ε⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦�������"����

2 3

3

2sin d sin2 3

n nx x c

π ε−

ε

π ε⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ �

-���������������������������������������������� , ,3 2 3 2 2ε π ε π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⊂ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

������

2 3

3

sin dn x x

π ε−

ε∫ �P�

22 3π ε⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

sin2 3

n π ε⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�+�

22 3π ε⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

cos3

n εP� cos

2 3nπ ε

C���5�P����

��P�'�����

2 2

2 3 2 3

sin d d3

n x x x

π π

π ε π ε− −

ε< =∫ ∫ �

C���

3 2 32 2

0 03 2 3

2sin d sin d sin d sin d cos3 2 3

n n n n nx x x x x x x x

ε π επ π−

ε π ε−

ε π ε= + + < +∫ ∫ ∫ ∫ �

Page 212: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

C����0 cos3ε< P�'�� lim cos

3n

n→∞

ε+�5@����������!�����������ε�������"���������

�H�������� cos2 3 3

nπ ε ε< �

>��������1���5�P�

2

0

sinn x

π

∫ ���P�ε���H�ε�����������������

2

0

sin dn x x

π

∫ +5�

������ �

>��!��������������������������������������������"��������������������

������������������������������ 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦��������������1�������� �����C��?

�� (���2���→������� �+

arcsin 2sin

0

xte∫ ���

� 3��������������������������� �������5��' @

3����������1�����������������

��!������

� (���������2� 0,2π⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

→������� �+�

2sin te ��������������������������������

(����2� 0,2π⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

�→���������������������������$��������������� ������

�′�� �+�

2sin te ������∈� 0,2π⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

C��������������������������������������������������� ������45���������6�

�������∈��5��' �

-�����������;� ��1�9:������������ �+���������� �D���5 ������∈��5��' �

�′�� �+��′�������� �������� ′�+�( )

22sin arcsin

2 2

1

1 1

xx ee

x x=

− −�

�� 3�����������

2 2sin cos

0 0

arcsin d arccos d4

x x

t t t tπ+ =∫ ∫ ������∈� 0,

2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�

��!������

-�����������������2� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦→����

2 2sin cos

0 0

( ) arcsin d arccos dx x

f x t t t t= +∫ ∫ �

Page 213: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � # � � � � � � � � ! $ � � % � � � & � � & � � � � $ �

7 ������������������������ �����������������������

��� �+� ����)� �D� �5 �B������

)� �D���5 �1����2

�′��� �+�)�������������������2sin x �D�)������������������

2cos x �+

+�)�������������D�)��������������+�5

C��������������������������������

1 12 2

0 0

(arcsin arccos )d d4 2 4

f t t t tπ π π⎛ ⎞ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫

81�������� ( )4

f x π= �

�� 3����������12

� �

22

020

limsin

xt

x

e

x→

∫@� �

3 30

1 dlimln 1

x

x

tx t→∞ +∫ �

��!������

� (��������2���→����

2( ) tf x e= ��������������������������������

(�� �2���→��������������������������$������ �������� �������

2( ) tF x e′ = �

$��� ( ) ( )( )2

2 2

0 00

lim d lim 0x

t

x xe t F x F

→ →= −∫ �+�5����

2

0limsinx

x→

�+�5@��������������

�����VW������������ ( )

'2

40

20 0

d2lim lim

2sin cossin '

xt

x

x x

e txex xx→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =∫

�+�'��C���

22

020

limsin

xt

x

e

x→

∫�+�'�

-��� lim lnx

x→∞

�+�∞��������������������������������VW�����������1�"��������!����

���������������������������������������������������������������

$���������3 3

0

dlim1

x

x

t

t→∞ +∫ �����������������������������@���������������������

�������������������������������������������VW�������2

( )

3 3 3 30

3 3

1

1 1lim lim lim1 1ln

x

x x x

dt

t xx

xxx

→∞ →∞ →∞

′⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ = =

′ +

∫�+�'���������

3 30

1 dlimln 1

x

x

tx t→∞ +∫ �+�'�

Page 214: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�� (���2�4��� 6�→���������������������

3���������������������������� ( )d ( ) db b

a a

f x x f x x≤∫ ∫ �

��!������

>������������������������������1��������G��G�������������

X�������DG����G�≤���� �≤�G��� G�����∈�4��� 6@�1����

( ) d ( )d ( ) db b b

a a a

f x x f x x f x x− ≤ ≤∫ ∫ ∫ �������� ( )d ( ) db b

a a

f x x f x x≤∫ ∫ �

�� (���2�45��'6�→����������������������3����������� ( )1

0

lim n

nx f x

→∞ ∫ ���+�5�

��!������

-�����������������!�������H�5�������"�����G��� G�≤��������∈�45��'6�

$���������2�

1 1 1

0 0 0

( )d ( ) d d1

n n n kx f x x x f x x k x xn

≤ ≤ = +∫ ∫ ∫ �

�� (���2���→������������ �������������������

3������������+�5�⇔� ( )b

a

f x∫ ���+�5������� �∈������P� �

��!������

�⇐ �*����������!������5�∈�������

5 �≠�5����!���������

5 �H�5�

$������ ( ) ( )0 012

f x f x> ��-�����������������!�������� �∈�������5�∈�4��� 6�⊆�����

��� �H�12���

5 ������∈�4��� 6��������5�+ ( )

2

b

a

b af x dx −≥∫ ���5 �H�5��� ����

8�����������5 �+�5��"��������1�����5�

�⇒ �����������

Page 215: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � # � � � � � � � � ! $ � � % � � � & � � & � � � � $ �

���� �����������

� (���2�4��� 6�→��������������������������E��������4��� 6��3�����������!�������

��������������∈�4��� 6�������"����� ( )b

a

f x∫ ���+�� ���� ��� �

�� 3�������������������������2�4��� 6�→��������������������������� ( )

b

a

f x∫ ���+�5�

�������∃��5�∈����� �������"��������

5 �+�5�

�� (���2�45��'6�→�����������������������������!�����$�∈��F�������"����

�$�B�'

1

0

( )f x∫ ���+�'��3�����������!�������∈��5�' �������"�������� �+��$

�� (��������������������2�4��� 6�→��������������������� �P�������1( )d2

b

a

f x x ≥∫ � )�D��

) �

3�����������!�������∈����� �������"�������� �+���

�� (����� �∈��������P� ��������2�4��� 6�→��������������������������4��� 6�

3��������������������������������������������!�������∈4��� 6�������"����

( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( )db c b

a a c

f x g x x f a g x x f b g x x= +∫ ∫ ∫ �

�� (���2� 0,2π⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

→��5��∞ ��������������������� 0,2π⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

3������������������� �2 0,2π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

→����0

0

( )sin d

( )

( )cos d

x

x

f t t t

F x

f t t t

=∫

∫������������������

�� 3����������12

� �

2

020

sin d

lim

x

x

t t

x→

∫@� �

sin 2

0tg

2

0

d

lim

d

xt

xxt

e t

e t→π

∫@�� �

000

1lim sin dx

xx

t t tx→

>∫ �

�� 3�������������������!���������������2�45��Q6�→���

2

0

( ) d2

xt tf x tt

−= +∫ �

�� 3�������������������!���������������2���→������� �+� ( ) 22

0

3 dx

tt e t−∫ �

Page 216: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�3����������������������� ����2�45��∞ �→��������������������

���

0

( )x

f t∫ ���+����B�' ��� ������H�5�

�3����������������������� ����2���→�����������������������

��

��� �D�

0

( )x

te f t∫ ���+�)�)������∈���

FFF

��3����������12

� �

11

31

sinlim dn

n

n

x xx

+

→∞ ∫ @� �

14

5lim d

1

n

nn

xn xx

+

→∞ +∫ @�� �

3

0

lim sin dn

nx x

π

→∞ ∫ @�� �

1

2

lnlim d1

n

nn

x xx

+

→∞ +∫ �

��3�����������������2�4��� 6�→��������������������������������!�������∈����� ������

"����� ( )c

a

f x∫ ����+�� ���� ��� �

��(���2�4��� 6�→������������������������������������ ( )b

a

f x∫ ���+�5�

3�����������!�������������������������∈�4��� 6�������"����� ( )d ( )c

a

f x x c f c=∫ �

��(���2�4��� 6�→�������������������������� ������������������

1 ( )b

a

f xb a− ∫ ���+���� �+��� ��$������!������

5�∈����� �������"������′′��

5 �+�5�

��(���2��5��∞ �→����� �+�

3

42

1 d1

x

x

tt+

∫ �

� 3��������������������������� �������5��∞ �

3����������1�����������������

��3����������� ( )tg ctg

2 21 1

1d1 1

x x

e e

t tt t t

++ +∫ ∫ ���+�'������∈� 0,

2π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��3�������������������!���������������2���→������� �+� ( ) 22

0

3 dx

tt e t−∫ �

��(���2�45���6�→������������������������1�������������������������

$������������������ �� �+�

0

1 ( )x

f tx ∫ ����5�≤���≤���������������

Page 217: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � # � � � � � � � � ! $ � � % � � � & � � & � � � � $ �

�������������"���

�������

� 3�������������������!���������������2���→������� �+� ( ) 22

0

3 dx

tt e t−∫ ������∈���

�� 3����������1�

1

2

0

lim sin dx

t

xx e t t

→∞ ∫ �

�� (���2�45��'6�→������������������������������������ ( )1

0

( )d ln 1 2f x x = +∫ ��3���

�������!����������������∈��5��' �������"�����2 2( )

2 1f a

a< < + �

,��2�'������������@� ��A������A������A��

S����������2�=5�������

������

� (���2�45��'6�→������������������������������������

1

0

1( )d3

f x x =∫ �

3�����������!�������∈��5��' �������"�������� �+��)�

�� 3����������1�

sin

0tg0

0

0

tg d

lim

sin d

x

xxx

t t

t t→>

∫�

�� 3����������

2 2sin cos

0 0

arcsin d arccos d , 0,4 2

x x

t t t t xπ π⎡ ⎤+ = ∀ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ �

,��2�'������������@� ��A������A������A��

S����������2�=5�������

Page 218: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

������!

� (���2�45��'6�→������������������������������������ ( ) ( )1

0

d ln 1 2f x x = +∫ �

3�����������!����������������∈��5��' �������"�����2 2( )

2 1f a

a< < + �

�� (�����������2���→������� �+�

2

2

0

1 dx

t t+∫ �

� 3������������������� ��������

3����������1�����������������

�� 3����������1�1

20

1lim dx

t

xt t

x+

→∞ ∫ �

,��2�'�������������� ��A������A������A��

S����������2�=5�������

������"

� (���2�45���6�→���������������������������������3�������������������

�∈��5��� ����� ( ) ( )0 0

d db a

a f x x b f x x≤∫ ∫ �

�� (�����������2���→������� �+�

3

24

1 d1

x

x

tt+

∫ �

� 3������������������� ��������

3����������1�����������������

�� 3����������1�2

20

1lim sin dx

xt t t

x→∞ ∫ �

,��2�'�������������� ��A������A������A��

S����������2�=5�������

Page 219: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

2$%$ /�������������������)����)&���

�������

C�������2�4��� 6�→������������������������� �����������������������������

( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) db b

b

aa a

f x g x x f x g x f x g x x′ ′⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

����������� -�������������������������� ����1���������0����������������� ����

I�����������O�� ′�� �+��′�� �O���� �B���� �O��′�� ������∈�4��� 6����������

������������������������������������������������������′������′�$���������������;� ��1�9:����� ����2

( ) ( )( )( )db

b

aa

f g x x f g x′⋅ = ⋅∫ ���������������������������

( ) ( )( )d ( ) ( )d ( )db b b

a a a

f g x x f x g x x f x g x x′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ �

C���������������������1�����������1���

������� �������������������������������������������������������

� 3�����������

1

0

dxxe x∫ �

( )1 1 11

00 0 0

d d dx x x xxe x x e x xe e x x′ ′= = −∫ ∫ ∫ �+���D�

1

0

xe �+�������B�'�+�'

�� 3�����������

2

1

ln dx x x∫ �

22 2 2 22 2 2

1 1 1 11

1 1ln d ln d ln d 2ln 2 d2 2 2 2x x xx x x x x x x x x

x

′⎛ ⎞= = − ⋅ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

22

1

12ln 22 2

x= − ⋅ +�)����)�D�'�B�14

/���������(��("������������������������ �

Page 220: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�� /�����������

12

0

1 dx x−∫ �

(���������2�45��'6�→������� �+������������������� ����"���5�+�'����������

����������������������������������������

/���������������������1�2

-�����������������2�45��'6�→������� �+�2

0

1 dt

x x−∫ ������������������� ���

������������� ����������' �+�1

1

limtt→<

��� �

J��������������45���6�⊂�45��' ����������������2

2 2 2

200 0 0

1 d 1 d 1 d1

t t tt xx x x x x x x x xx

−′− = − = − − ⋅−

∫ ∫ ∫ �+

+�

22

2 20 0

1 11 d d1 1

t txt t x xx x

−− − +− −

∫ ∫ �+�2 2

00

1 1 d arcsint

tt t t t x− − − +∫ +

+�2 2

0

1 1 dt

t t t t− − −∫ B������@�������� ( )2 2

0

11 d 1 arcsin2

t

x t t t t− = − +∫ �

>��������� ( )12 2 2

1 10 01 1

11 d lim 1 d lim 1 arcsin2 4

t

t tt t

t t x x t t t→ →< <

π− = − = − + =∫ ∫ �

�� 3�����������

4

1

arctg dx x∫ �

>����������"����������

4 4 44

11 1 1

1 1arctg d arctg d arctg d1 2

x x x x x x x x xx x

′= = − ⋅ ⋅+∫ ∫ ∫ �

7 ������������E�����������������������������������������

�������������������������������������������������������������������

�����������������������

( ) ( ) ( )3 3 33

11 1 1

1arctg d 1 arctg d 1 arctg 11

x x x x x x x xx

′= + = + − + +∫ ∫ ∫ �O1

2 x+

+�Q����� 3 �D�)����'�D�

3 3

11

1 5d 4 23 4 62

x xx

π π π= − − =∫ D� 3 �B�'�

Page 221: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

�� /������ ������������������������

2

0

sin dnnI x x

π

= ∫ �

��+� ( )

2 2 21

0 0 0

sin d sin sin d cosn nx x x x x x

π π π

−= = −∫ ∫ ∫ ′���D'����+

+�D�������D' 2

0x

π�D� ( )

2

0

cos x

π

−∫ ��D�' ���D)

����������+

+���D'

22

0

sinn

π

−∫ ����)�����+���D�' �

22

0

sinn

π

−∫ ��'�D����)� ���+

+���D�' �

22

0

sinn

π

−∫ ����D���D' �

2

0

sinn

π

∫ ����+���D�' �D)

�D���D�' ��

>��������� 11

n nnI In −−= �

2$'$ /�������(3���&���������������&

�������

(��ϕ2�4��� 6�→�����2���→����������������������������2

� ����������������@

ϕ�������� ��������������������������4��� 6�

$����� ( )( ) ( )( )

( )d ( )d

bb

a a

f t t t f x xϕ

ϕ

′ϕ ⋅ϕ =∫ ∫ �

����������� (���������������������������������������C���� �∈� ( )f x∫ ����������

�′�� �+���� ������∈����������

( )

( )( )( ) ( )( )( )d

b

a

f x x F b F aϕ

ϕ

= ϕ − ϕ∫ ��F

(�������������������������������������������������

� ���ϕ ′��

�+� ′�ϕ�� �O�ϕ′�� �+�����ϕ �� �O�ϕ′�� ������∈�4��� 6�

$���������������;� ��1�9:����� ����2

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )(*)

' d dbb

a a

f t t t F b F a f x xϕ

ϕ

ϕ ⋅ϕ = ϕ − ϕ =∫ ∫� � � �

81��������� �������������������� ��������������������$������%����� &��'���

��������'���#

Page 222: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

������� �������������������������������������������������������

� 3�����������

4

20

cos d1 sin

x xx

π

+∫ �

��!������

*1�������������*1�������������������1�������ϕ′�� �+�������������

ϕ�� �+����������∈� 0,4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�

$������

( ) ( )2 2

cos 1 '1 sin 1

x xx x

= ϕ+ + ϕ

��-�������������������������2

1( )1

f xx

=+

����������

( )

44

2 20 0

cos 1d d1 sin 1

x x xx x

π⎛ ⎞π ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕ

=+ +∫ ∫ �+�

22 2

22 0

0

1 d arctg41

x xx

π= =+∫ �

�� 3�����������

4

1

dxe xx

∫ �

��!������

-�������� ( ) 1'2

xx

ϕ = ����∈�4'��Q6@���������� ( )x xϕ = ������������� ���

���ϕ�' �+�'��ϕ�Q �+�)������� �+���

I�������2�( ) ( )

4 4 2 2

11 1 1

d 2 d 2 d 2x

x t te x e x x e t ex

ϕ ′= ϕ = =∫ ∫ ∫ +�)��)�D�� �

�� -�������� ( )3

21

1 d1

xx x +∫ �

��!������

*��������������ϕ′�� ����������������)��

7 ����� ( )3

2 21

1 2 d2 1

x xx x +∫ ��������ϕ�� �+��

)@��������������������������2

��� �+� ( )1

1x x +���� ( ) ( )

3 9

21 1

1 1 1d2 11

xx xx x

=++∫ ∫ ��+�

9

1

1 1 1 d2 1

xx x

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ �+

+� ( )( ) 9

1

1 ln ln 12

x x− + +�1 9 1ln ln2 10 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�

Page 223: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

-����������"�������������������������������������������������������� �

������ ���?

0����������ϕ′�� ������������+�ϕ�� �

>�����������������ϕ′�� ������������������"������������ ���������������������������

��������"����

������� �������������������������������������������������������

2

31

d1

x xx+

∫ �

��!������

x ����������������2

3 12 23 3

2 2x x x

′⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠�

9�����

32x +�����������

32

x ���+����

*�������������������������� 32

1 1

2 2 2 2

x t

x t

= ⇒ =⎧⎪⎨

= ⇒ = =⎪⎩�

7 ����

2 2

3 231 12

2 1 3d3 21

1

x x xx

x

= ⋅+ ⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ���+�

2 2

21

2 13 1 t+

∫ ���+

+� ( ) 2 22

1

2 ln 13

t t+ + +�2 3 2 2ln3 1 2

++

��

15 2

0

1x x−∫ ���

��!������

9�����'�D��)�+������D)����+�������������������{ 0 1

1 0x tx t

= ⇒ == ⇒ =

( )11 1 0 1 1 3

5 2 2 2 2

0 0 1 0 0

1 1 1 1 2 11 1 2 d d d2 2 2 2 3 3

x x dx x x x t t t t t− = − − − = − = = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ �

������ �

$�����������������������ϕ′�� �������������� ������ ������������������

������������������ �������� ����

Page 224: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�������

C����ϕ2�4��� 6�→�4���'6���2�4���'6�→����������������������������2

� ����������������4���'6�

�ϕ���� �E�������ϕ����ϕD'���������� ���������������������

������ ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )1d d

bb

a a

f t t f x x xϕ

ϕ

′ϕ = ϕ∫ ∫ ��FF

����������� (������������ϕ��������������������������������ϕ�������������������

�����������ϕ���������������

(���2�4��� 6�→���������������������������ϕ�

$������ ( )( )b

a

f tϕ∫ ���+��� �D���� ��'

*������������

�����ϕD' ′�� �+��′�ϕD'

�� �O��ϕD' ′�� �+���ϕ�ϕD'

�� �O��ϕD' ′�� �������

( )( )( )

( )1

b

a

f xϕ

ϕ

′ϕ∫ ��� ����������ϕD' ��ϕ� �D������ϕD'

�ϕ�� �+��� �D���� ���)

C�����������' �����) �� ������������������������1��

�����������FF ������������������������� &��'������������'���#

>����������������������2

� ������ϕ�� �+��@���+�ϕD'�� ������������"�����������+��ϕD'

�� ′��@� �������"������������ ����������������������������������"����

������� �������������������������������������������������������

2

1

1 d1

xx+∫

��!�������4("��(3������������5�6

9����� x +���������)��������������+�)�������

1 1

2 2

x t

x t

= ⇒ =⎧⎨ = ⇒ =⎩

2 2

1 1

1 1d11

xtx

= ++∫ ∫ )����+�)

2

1

1 11 1t

t t+⎛ ⎞−⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ���+�)���D����

2

11 ))t+ +

+�)1 22 1 ln

2⎛ ⎞+− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 225: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

��!�������("��(3���������������������&�4(��)������&6

( )2 2

1 1

1 1 1d 2 d1 1 2

x x xx x x

= ⋅ ⋅+ +∫ ∫ �

*��������ϕ′�� �+ 12 x

@�ϕ�� �+� x �+���������������1

2 x���+�������

1 1

2 2

x t

x t

= ⇒ =⎧⎨ = ⇒ =⎩

2 2

1 1

1 2d d11

tx ttx

= ++∫ ∫ ��������������������1�������������

��

12

1

1 dx x−

−∫ �

��!������

/������������ ��������� ������+�������������+������������

12

12

x t

x t

π⎧ = − ⇒ = −⎪⎨ π⎪ = ⇒ =⎩

1 22 2

12

1 d 1 sinx x t

π

π− −

− = −∫ ∫ ���������+�

22

2

cos

π

π−

∫ ����+�

2

2

1 cos 22

π−

+∫ ���+

+� ( )2

2

1 1 cos 22

t

π

π−

+∫ ���

2

2

1 sin 2 12 2 2

tt

π

π−

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠π�

������ �

(���2�4D����6�→�����������������������$�����2

0

2 ( )d , dac� ���� ����

( )d

0, dac� ���� ����

aa

a

f x x ff x x

f−

⎧⎪= ⎨⎪⎩

∫∫ �

>��������������������������������� �+���D� ������∈�4D����6�

0

0

( )d ( )d ( )da a

a a

f x x f x x f x x− −

= +∫ ∫ ∫ �F

Page 226: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

>�� ����� �������� ����� ����� ��� �� ���� ���� ����ϕ�� � +� D�� ���ϕ′�� � +� D'� ��

ϕ�D� �+����ϕ�5 �+�5�

$��� ( )0 0

0 0

( )d ( ) d ( )d ( )da a

a a

f x x f t t f t t f t t−

= − − = − =∫ ∫ ∫ ∫ �

$���������������F ������

0

( )d 2 ( )da a

a

f x x f x x−

=∫ ∫ �

>����1���"������������������������� �+�D���D� ������∈�4D����6����������������� ����2

( )0 0

0 0

( )d ( ) d ( )d ( )da a

a a

f x x f t t f t t f t t−

= − − = − − = −∫ ∫ ∫ ∫ �

�����������F ������ ( )d 0a

a

f x x−

=∫ �

������� �������������������������������������������������������

1

1

2ln d 02

x xx

− =+∫ �

>�������������������� �+���22

xx

−+ ��������������

��D� �+���

12 2 2ln ln2 2 2

x x xx x x

−+ − −⎛ ⎞= = −⎜ ⎟− + +⎝ ⎠+�D��� �

�� 3�����������

3 2007 3 5

23

sin tg 1d

1

x x xx

x−

+ + ++∫ �

/������2

3 2007 3 5

23

sin tg 1

1

x x x

x−

+ + ++∫ ���+��

3 2007 3 5

23

sin tg

1

x x x

x−

+ ++∫ ���+�

3

23

11 x− +∫ ���

(���������� �+�

2007 3 5

2

sin tg

1

x x x

x

+ ++

���������������

3 2007 3 5

23

sin tg

1

x x x

x−

+ ++∫ ���+�5�

����2

3 32007 3 5

2 23 3

sin tg 1 1d d1 1

x x xx x

x x− −

+ + + =+ +∫ ∫ �+�)

3

20

11 x+∫ ���+�+�)�����

3

0x �+�)

$������������������������������� �+�2

11 x+

��������

Page 227: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

������

(���2�4��� 6�→����������������������0�������������������� ������������ ��������

����2

� ( )d ( )db b

a a

f x x f a b x x= + −∫ ∫ ���������������������������� �����

��

0 0

( )d ( )d ( )db b a b a

a

f x x f x a x f b x x− −

= + = −∫ ∫ ∫����������"�������������������������� ����

��� ( )d ( )d ,2 2

b c

a c

a b b af x x f x x c−

+ −= − =∫ ∫ �������"������������ xba −+

2

;��������!������E����������������������

������� �������������������������������������������������������

� -�������� ( )4

0

ln 1 tg dI x x

π

= +∫ ������������ �����������+�4π

�D�������������������������

��+�

0

4

ln 1 tg4

⎛ ⎞π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ �D�� �+�

4

0

1 tgln 1

1 tgxx

π

−⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ ���+�

4

0

2ln1 tg x

π

+∫ ���+

+�

4

0

ln 2dx

π

∫ �D� ( )2

0

ln 1 tg x

π

+∫ ����7 �����)��+� ( ) 40

ln 2 xπ+�

���)��������8

I π= ���)�

�� -�������� ( )( )db

a

x a b x x− −∫ ���������������������2

a bt += �D�������������

��+ ( )( )b

a

x a b x− −∫ ���+�

2

2

2 2

b a

b a

b a b ax a b x

−−

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ���+

+�

222

2

2

b a

b a

b a x

−−

−⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ���

Page 228: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

-�������������� ���������2

b a− ��+����2

b a− ��������������������������� �����

�����

12

12

b ax x

b ax x

−⎧ = ⇒ =⎪⎨ −⎪ = − ⇒ = −⎩

7 ����2

��+

2 2 2 21 12 2

1 1

d 1 d2 2 2 2 2 2

b a b a b a b a b at t x x− −

− − − − − π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ �

>���������������������������������1��������� ���������!������������

���)��(���������������������� ���������(��("�"��"�����"��

/����������������0 1 21 1 1...

2 3 1n

n n n nC C C Cn

+ + + + + ��������������������������

3������������1��������'�B��

�+�0 1 2 2 ... n nn n n nC C x C x C x+ + + + ����∈�45��'6�

7 ����� ( ) ( )1 1

0 1 2 2

0 0

1 d ... dn n n

n n n nx x C C x C x C x x+ = + + + +∫ ∫ �

(���������� �����������+�'�B������������������ �����������2

22 1 1

1 1

2 1d1 1

n nn tt t

n n

+ + −= =+ +∫ �

I�������2

( )11 2 3 1

0 1 2 2 0 1 3

0 0

... d ...2 3 1

nn n n

n n n n n n n nx x xC C x C x C x x C x C C C

n

+⎛ ⎞+ + + + = + + + +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ +

+0 1 31 1 1...

2 3 1n

n n n nC C C Cn

+ + + + + �

$�����

10 1 31 1 1 2 1...

2 3 1 1

nn

n n n nC C C Cn n

+ −+ + + + =+ + �

Page 229: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

���� ��������������

� � �(���2�4D'��'6�→���������������������

3�����������

2

0 0 0

(sin )d (sin )d (sin )d2

xf x x f x x f x x

ππ ππ= π =∫ ∫ ∫ �

�3����������1�2

0

sin5 cos

x xx

π

−∫ �

��!������

� $���

2

0 02

(sin )d (sin )d (sin )dxf x x xf x x xf x x

ππ π

π= +∫ ∫ ∫ �

-���� �����������+�π�D������∈ 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦���������������������2

( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 2 2

0 0 0

sin d sin d sin dt f t t f t t tf t t

π π π

− π − π − − = π −∫ ∫ ∫ �

��������� �������������������

*������������������������������2

2

0 02

(sin )d (sin )d (sin )dI f x x f x x f x x

ππ π

π= = +∫ ∫ ∫ �

(���������� ������������+�π�D�����������������������2

( )( )( ) ( )0 2

02 2

(sin )d sin d sin df x x f t t f t t

ππ

π π= π − − =∫ ∫ ∫

*�������

2

0

2 (sin )dI f x x

π

= ∫ �����������1��������������������

-�������������������������������2

2 2

2 2 20 0 0

sin sin sind d d5 sin 5 sin 4 cos

x x x xI x x xx x x

π ππ

= = π = π− − +∫ ∫ ∫ �

>��������������������������� ��������� ����D����������������������+������

����

00

211

1 1 1d arctg arctg2 2 2 24

tI tt −−

⎛ ⎞ π= π = π =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫ �

Page 230: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�� 3����������12

� � ( )4

0

tgd

1 tg cosx

xx x

π

+∫ @� �

2

0

sin 5cos d3sin 2cos

x xI xx x

π

−= +∫ �

��!������

� (������ ��������������������������+�������@���������������������+�2

11 t+

���

C��������5�� ���������5�����������4π

�� ���������'�

0������������ ( )( )1 1 1

00 0

1d 1 d ln 11 1

t t t t tt t

⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫ �+�'�D����)�

�(��.�� �+�A������B�)����������/�� �+�������D�=������

>���������������α��β�∈���������"�����/�� �+�α.�� �B�β.′�� ��$����2

������D�=�������+�α�A�������B�)������ �B�β�A�������D�)����� �+

+��Aα�D�)β �������B��)α�B�Aβ ������

C����"���������������5����2π

� ������������2

{ 5 2 31 3 2

− = α + β= α − β ��������������

7131713

⎧α = −⎪⎨⎪β = −⎩

*����������+�

( ) ( )( )

2

0

7 1713 13

u x u x

u x

π′− −

∫ ���+�( )( )

2 2

0 0

7 17d13 13

u xx

u x

π π′

− −∫ ∫ ���+

+�

32

0 2

7 1d13

x tt

π

− − ∫ +�D7 3ln26 2

π − �

�������������������� ��������� ����.�� �+���

�� -����������������2

2

0

1 sin1 cos

xx ex

π

++∫ ��@� �

0

| sin 5 |xπ

∫ ���

��!������

� �

2

0

1 sin1 cos

xx

π

++∫ �

���+�

2

2

20

sin cos2 2

2cos2

x x

x

π ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ��

���+�

22

2

0

1 1 tg2

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ �

���+

Page 231: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

+�

22

0

1 1 2 tg tg2 2 2

x xπ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ��

�+

2 22

0 0

1tg d 1 tg2 2 2

xx xe x

π π

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ��

���+

�integr.prin p���

2 22 2

0 0 0

1 1tg 1 tg d 1 tg2 2 2 2 2

x xx x xe e x

π ππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ �

���+�2

π

e �

/��������� ���������2�������������

5

0 0

1| sin 5 | d | sin | d5

x x t tπ π

=∫ ∫ +

+

2 3 4 5

0 2 3 4

1 | sin | d | sin | d | sin | d | sin | d | sin | d5

t t t t t t t t t tπ π π π π

π π π π

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

+�

2 3 4 5

0 2 3 4

1 sin d sin d sin d sin d sin d5

t t t t t t t t t tπ π π π π

π π π π

⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +�

105

�+�)�

�� 3����������1��������2

4 2

0

sin cos dsin cos

x xI xx x

π

= +∫ @���+

4 2

0

cos sin dsin cos

x x xx x

π

+∫ �

��!������

��������

( )4 440

0 0

sin cos sin cos 1 1 1d sin 2 cos2sin cos 2 4 4

x x x xx x x

x x

π ππ+

= = − =+∫ ∫ �

�������

( )4

0

sin cos cos sind

sin cosx x x x

xx x

π−

+∫ �

(��������� ��������� ����������B��������������� ������������D������ ���+�������

������������������ ��������)��B����

)��B�)������������+��

)�������������������

2 12

t −�

I�������2��������

22 22 2

1 1 1

1 1 1 1 1d d ln2 2 2 2 4

t tt t t tt t

⎛ ⎞− ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ �'�D����) �

$���������������������� �������+�18

�)�D����) ����������1�����������������

������+�18

���)�

Page 232: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�� (�����������2�45��'6�→������� �+�

( ]1 1, 0,1

1 , 02

x xx

x

⎧ + − ∈⎪⎨⎪ =⎩

3����������������������������������������������1�

1

0

( )df x x∫ �

��!������

J��������������0 0 0

0 0 0

1 1 1 1lim ( ) lim lim21 1x x x

x x x

xf xx x→ → →

> > >

+ −= = =+ +

����5 �+�12

�����������

�������5��'6����1��������������������������������������������������������

������������

��+�

1 1

0 0

1 1 1d d1 1

x x xx x

+ − =+ +∫ ∫ @������������������� ��������� ���

1x + +���������������)�D�'�������+�)���@�� ����

��+� ( )( )2 2 2

11 1

2 d 12 1 d 2 ln 11 1

t t t t tt t

⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫ �+�2 12 2 1 ln2

⎛ ⎞+− −⎜ ⎟⎝ ⎠

�� -���������

1

0

1 d1

xx+∫ �

��!������

/������������ ��������� ���� x �+���������������ϕ�� �+� x ���������� ����"�

�5�+�5������������������������������1�2

��+� ( )0

0

limaa

I a→>

������ ( ) ( )1 11 22 d d

11a a

xI a x x x xxx

′= ⋅ ⋅ = ++∫ ∫ +

+� ( )( )1 112 1 d 2 ln 1

1 aa

x x xx

⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ �+�)�'�D����)�D� a �B����'�B� a �

7 �������+� ( )( )0

0

lim 2 1 ln 2 ln 1aa

a a→>

− − + + �+�)�'�D����)

Page 233: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

�� � �3����������1� ( )( )1

21

1 d1 1 x

I xx e−

=+ +∫ �

�3����������1���+�( )

1

a

xa

f x

b− +∫ ������� �H�5����������������

��!������

� (������ ��������������������������������������

C���������'�� ���������'�����������'�����������'�

$��� ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1

2 221 1 1

1 1d d11 1 1 11 1

t

t t

t

eI t tt e t et

e

−− −

= − = =⎛ ⎞+ + + ++ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ���

*��������)��+� ( )( )1

21

1

1 1 xx e− + +∫ ���B� ( )( )1

21 1 1

x

x

e

x e− + +∫ ���+

+� ( )( )1

21

1

1 1

x

x

e

x e−

++ +∫ ����+�

11

2 11

1 d arctg21

x xx −

π= =+∫ ��C�����+�

0

0

( ) ( )d d

1 1

a

x xa

f x f xJ x x

b b−

= ++ +∫ ∫ �

(������ ���������������"������������������� �����( ) ( )

0

0

( )d d

1 1

a t

t ta

f t b f tt t

b b−

−− =

+ +∫ ∫ �

8������

( )0 0 0 0

( ) 1( ) ( )d d d ( )d

1 1 1

xa a a ax

x x x

f x bb f x f xJ x x x f x x

b b b

+= + = =

+ + +∫ ∫ ∫ ∫ �

�� (���2���→�����������������������������������������������3�H�5�

� 3���������������������������������������������������2

0

( )d ( )d ( )da nT T a T

a a

f x x n f x a x n f x x+ +

= + =∫ ∫ ∫ �

3���������������� �2���→�����������������������������������

0

1 1lim ( ) ( )dT

xF x f x x

x T→∞= ∫ �

� �(���������������� �������������1�0

sin d

lim

x

x

t t

x→∞

∫�

Page 234: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

��!������

� �

( )11

0

( )d ( )da k Ta nT n

ka a kT

f x x f x x+ ++ −

= +

= ∑∫ ∫ ����"�����������"�������������������������

�� �����������+�ϕ�� �+�������D��3��� ��������������������

I���������"����������

0

( )dT

f x a x+∫ ����������� ��������� ��������������

7 �����

0

( )d ( )dT a T

a

f x a x f x x+

+ =∫ ∫ �

-��� �∈� ( )df x x∫ ��!�������∈���������"����� �� �+�

0

( )x

f t∫ ���B���� �5 �����

*�������� { }x x xT T T

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦�������� { }x xx T T

T T⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

@���������������+�xT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

$���

0 0 0

( )d ( )d ( )d ( )d ( )dx nT x T x

nT nT

f t t f t t f t t n f t t f t t= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ �

>����!�����+�4�5�������"�����G��� G�≤�+����∈��������������1����

{ }( )d ( ) d d ( )x x x

nT nT nT

xf t t f t t M t M x T MTT

≤ ≤ = − =∫ ∫ ∫ �P�+3��F

0

( )d ( )d( )

lim lim

T x

nT

x x

n f t t f t tF x

x x→∞ →∞

+= =

∫ ∫

0

( )d

lim ( )d lim

x

TnT

x x

x f t tT

f t tx x→∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= +

∫∫ �+�

0

1 ( )dT

f x xT ∫ �

�������������F

( )d

lim

x

nT

x

f t t

x→∞

∫�+�5������������������������

1limx

xTx T→∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = �

� (���������� �+�G�����G������∈����������������������������������π��������

"�������������������������������������� 2

( )0

00

sin d1 1 2lim sin d cos

x

x

t t

t t tx

π π

→∞= = − =π π π

∫∫ �

Page 235: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

�� (�������

2

0

sin dnnI x x

π

= ∫ ���∈���

� 3�� �����������������������������������������≥�)�

-����������������������2

22

0

2

0

sin d

lim

sin d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞

���

22 1

0

22

0

sin d

lim

sin d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞

��!������

� 0������������������ ����2

��+

21

0

sinn

π

−∫ �����������+�D�

21

0

sinn

π

−∫ ������� ′���+

+�D ( ) 21

0sin cosn x x

π−

B���D�' �

2

0

sin

π

∫ D)�����

)�����+

+���D�' �

22

0

sinn

π

−∫ ��'�D����)� ���+���D�' ��

D)�D��

>������������� �������+ 2

1n

n In −−

���≥�)�

-��������������������������2

22

0 2

2

0

sin d12

sin d

n

n

nn

x xI nI n

x x

π

+

+= = +

�����∈�������������

22

0

2

0

sin d

lim 1

sin d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞=

C�������)B)

��≤����)B'

��≤����)������∈��������∈� 0,

2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦��� ����2

�)B)

�≤��)B'

�≤��)

�������2 2 2 1

2 2

n n

n n

I II I

+ +≤ �≤�'�����∈���

C����������%�������&�� �����

22 1

0

22

0

sin d

lim 1

sin d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞=

Page 236: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

��(���2�1 ,⎡ ⎞∞⎟⎢ π⎣ ⎠

�→������� �+�2

1

1 1cos dx

tt t

π

∫ �

� 3�����������������������@

3���������� limn→∞

�� �

��!������

� (���'�P��

)�

$���������) �D����

' �+�

2 1 2

1

2 2 21 1

1 1 1 1 1 1cos d cos d cos dx x x

x

t t tt t tt t t

π π

− =∫ ∫ ∫ �

$�������������������1��������!�������∈���'���

) �������"����

( )2

1

2 12 2

1 1 1 1cos d cosx

x

t x xt ct c

= −∫ �≥�5�

�� �+�

2

21

1 1cos dtt t

π

π

∫ �B�2

2

1 1cos dn

tt t

π

∫ �+�

2

21

1 1cos dtt t

π

π

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ �B�

1

22

1 1cos dtn x

tt t

=

π

⋅ =∫

+�

12

2

cos d cosn

x x xdx

π

ππ

−∫ ∫ �+�

12

2

1sin sin 2 sinnx xn

π

ππ− = − �

C��� limn→∞

�� �+�)�

Page 237: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

���� �����������

� 3����������1

� �

1

lne

x∫ ��@� �

22

1

lnx x∫ ��@�� �2

1

lne

x∫ ��@�� �

12

0

xx e∫ ��@� �

11

0

xxe −∫ ��@�� �

2

0

sinx x

π

∫ ��@

� �

0

cosx xπ

∫ ��@�� �

2

lnex

x∫ ��@�� �

2

0

sinxe x

π

∫ ��@�E �

42

0

tgx x

π

∫ ��@�R �2

0

cosx xπ

∫ ��@

� �

( )1

20 1

xx ex +

∫ ��@�� �

1

20

arctg1

x xx +

∫ ��@�� �

1

20

arcsin1

x

x +∫ ��@

� ( )12

0

ln 1x x x+ +∫ ��@�� � ( )32

2

ln 1x x+ −∫ ��@�U �

3

0

arctgx x∫ ��@

1 2arctg

20

11

xx x ex+ +

+∫ ��@�� � ( )2

1

lne

x x∫ ��@�� � ( )2

0

ln 1x x+∫ ��@�� �

1

0

arctg x∫ ��@

� � ( )2

0

sinx xπ

∫ ��@�: �

1 2

20 4

x

x+∫ ��@�! �

22

0

9 x−∫ ��@�1 � ( )2

1

sin lne

x

π

∫ ���

�� 3����������12

� �

1

0

xe∫ ��@� �

1

1

arcsin x−∫ ��@�� �

1

0

arcsinx x∫ ��@�� �

1

212

1 arcsin xx∫ ��@�

32

0

1 x+∫ ��@

� �

12

0

4 x−∫ ��@�� �

32

2

1x −∫ ��@�� �

1

20

arcsin1

x

x +∫ ���

�� 3������������� �∈���������"����2

� � ( )1

0

xx a e+∫ ����� @� � ( )1

2

1

xx a x b e−

+ +∫ �������

�� 3����������12

� �

2

20

sin1 cos

xx

π

+∫ ��@� �

23

6

1 tgtg

xx

π

π

+∫ ��@�� �

2

3

1sin x

π

π∫ ��@�� �

43

0

(tg tg )x x

π

+∫ ��@� �

12

0

xxe∫ ��@

� �

23

0

sin x

π

∫ ��@�� �

1

40 1

xx+∫ ��@�� �

1 2

60 1

xx+∫ ��@�� �

1

22 1

x

x

e

e

− −∫ ��@�E �

21ln

e

ex x∫ ��@

Page 238: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

R �

12

0

1x x +∫ ��@�� �

1

20 1

x

x

ee+∫ ��@�� �

4

0

cos1 sin

xx

π

+∫ ��@�� �

2cos

0

sin 2 xx

π

⋅∫ ��@�� �

2

21

2 1

1

x

x

++

∫ ��@

� � ( ) ( )2

2

0

sin 2 arctg sinx x

π

∫ ��@�U �

3

0

1cos x

π

∫ ��@� �

1

20

2 11

xx x

++ +∫ ��@�� �

6

0

sin coscos sin

x xx x

π

+−∫ ��@

� � ( )2

2

0

1 2 5x x x+ + +∫ ��@�� � ( )21

1

1 ln

e

x x+∫ ��@�� �

log2 2

0

2 cos2x x

π

∫ ��@

! �

3

2

1

1 ln

e

e x x+∫ ��@�Y �

2 2cos 2

0

sinxxe x

π

∫ ��@�1 ( )1

32 3 2

2

3 2 1 2x x x x x−

+ + + + +∫ ���

�� -�������������������������������������������� ������������������2

� �

1

01

x xx++∫ ����( )x t= @� �

1

0

11

xx

−+∫ ���

11

x tx

⎛ ⎞− =⎜ ⎟+⎝ ⎠@�� �

ln2

0

1xe −∫ ��� ( )1xe t− = @

� �

3

21

1

1x x +∫ ����

1 tx

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠@� �

2 2

41

11

xx

−+∫ ����

1x tx

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠@

� �

2 2

4 21

11

xx x

++ +∫ ����

1x tx

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠@�� � ( )

3

22

1

1 1

x x

x x

−− +∫ ����

11

x tx

⎛ ⎞− =⎜ ⎟+⎝ ⎠@

� �

12 2

0

1x x−∫ �������+����� �

�� 3����������1���������������2

� � ( )arcsin sin xπ

−π∫ ��@ � ( )

2

0

arcsin sin xπ

∫ ��@�� � ( )2

0

arccos cos xπ

∫ ���

�� 3����������12

� �

2008sinxe x

π

−π∫ ��@� � ( )

2

20102

sin

ln 1

x

x− +∫ ��@�� � ( )12

1

ln 1x x−

+ +∫ ��@

� � ( )1

2008

1

2sin ln2

xxx

−+∫ ��@� �

1 5

21

1

1

x

x−

++

∫ ��@�� �

1

21

arccos1

xx− +∫ ���

Page 239: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

&&&

�� 3����������1

� �

2

0

cossin cos

x

x

e xe x x

π

++ +∫ ��@� �

1 2

1 1x

xe− +∫ ��@�� �

2

0

sin cos2sin 3cos

x xx x

π

++∫ ��@�� �

2 2sin 3cos3cos 5sin

o

x xx x

π

−+∫ ���

�� 3����������2

� �

22 2

2

0 0

2arcsin d sin d4

x x x x

π

π+ =∫ ∫ @� �

12

1 0

ln de

xx x e+∫ ∫ �������

�3����������12

� �

( )1

20

ln 1

1

x

x

++∫ ��@� �

2

0

sinx xπ

∫ ��@�� �2

0

sin1 sin

x xx

π

+∫ ��@�� �

1

1

arctg xe−∫ ��@

1

22

2

arcsin xx∫ ��@�� �

( )2 2

0

lna a x

a x

++∫ ������H�5@�� �

4

01 sin 2

xx

π

+∫ ��@

� � 21

ln1

a

a

xx+∫ ��@�� �

2

0

11 tgn x

π

+∫ �����≥�A�

�3����������12

� �

1 2

20

arctg

1

x x

x +∫ ��@� �

12

0

arcsin x∫ ��@�� � ( )1

21

21 arcsin1

xxx−

−+∫ ��@

� �

13 2

0

1x x+∫ ��@� �

15 2

0

1x x−∫ ��@�� �2

sin

3 sin

x

x

π

−π +∫ ��@

� �

2

21

1(1 )x x+∫ ��@��

1

62

1(1 )x x

− +∫ ��@�� �

3

42

1(1 )x x−∫ ���

��3����������1��������2

���

2 2 2

0

2sin 3cossin cos

x xx x

π

++∫ ��@���+�

2 2 2

0

3sin 2cossin cos

x xx x

π

++∫ �

Page 240: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

��3������������������������������������

3

2

arctg x−∫ �������

2

3

arctg x−∫ ��?

��� (�����������2� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�→������� �+�

ln , 0,2

0, 0

x x x

x

⎧ π⎛ ⎤∈⎪ ⎜ ⎥⎨ ⎝ ⎦⎪ =⎩

��3����������������������

�����������������������1�

2

0

( )f x

π

∫ ���

(�����������2�45��'6�→������� �+�

( ) ( ]2

2

ln 1, 0, 1

1, 0

xx

xx

⎧ +⎪ ∈⎨⎪ =⎩

3����������������������������������������������1�

1

0

( )f x∫ ���

��(���2���→�����������������������������������������������3�H�5����� �∈ ( )f x∫ ���

3�����������!�������∈��5��3 �������"�����( )

limx

F xx→∞

+���� �

��3������������������������ � 2���→������ ��������������������������������

��1������3������′���������������������

( )2

20

'( )

1

T xf x

f x+∫ ���+�5�

��(���������+� ( )

12ln 2

n

n

x x+

+ −∫ �����≥�)��3����������1�

n

In

n lnlim

∞→�

��(����+�

2

0

cosn x

π

∫ �����∈���

� -����������'�����

)�

3�� �������������������������������������������≥�)�

� -���������

22

0

2

0

cos d

lim

cos d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞

����

21

0

2

0

cos d

lim

cos d

n

n

n

x x

x x

π

+

π→∞

Page 241: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

��(����+�

1

0

n xx e∫ �����∈���

� -����������5�����

'�

3�� ���������������������������������������������≥�'�

� �(����+�

4

0

tgn x

π

∫ �����∈���

� -����������5���

'�

3�� ���������������������������������������������≥�'�

� -������������������������@

� C��������� ( )2

1

1

1lim 1n

k

n k k−

→∞ =−∑ �+����)���� ( ) 1

1

1lim 12 1 4

nk

n k k−

→∞ =

π− =−∑ �

� �(����+�

1

lne

n x∫ �����∈��F�

� 3������������������ ≥'

����������������������@

3�� ���������������������������������������������≥�)@

� 3����������1� lim nn

I→∞

���3����������1�����E���������������( ) 1

0 1 3 11 1 ...2 3 1

n

nn n n nC C C C

n

+−− + − + +

���3�������������������������2�4������������6�→����������������������5���� �������

������� �B�������� �+�) �������∈�4������������6��������� ( )a x

a x

f t−

+∫ ����+) �����H�5�

���(���2�4��� 6�→�������������������������� �������������������������������������

"�������� ��′�� �+��� ��′� ��3����������� ( ) ( )b

a

f x f x′′∫ ���≤�5�

Page 242: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � �

�������������"���

�������

3����������12

1

0

d1

x

x

e xe+∫ �

�� ( )1

2

0

ln 1 1 dx x x+ +∫ �

�� ( )1

41

tgd

ln 1

xx

x− +∫ �

�� ( )1

0

sin cos 1 d .n x n x xπ

− +∫

,��2�'�������������� ��A�@����A�@����)�@����'�

S����������2�=5�������

������

3����������12

1 3

0

d1

x

x

e xe+∫

�� ( )1

2

0

ln 1 1 dx x x+ −∫ �

�� ( )1

1

2 2 sin dx x x x−

+∫ �

�� ( )1

0

cos sin 1 d .n x n x xπ

− +∫

,��2�'������������@� ��A�@����A�@����)�@����'��

S����������2�=5�������

Page 243: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � ��� � & � � � � � � $ � � � � � � � � � � � � � & �

������!

3����������12

��2

0

cos dx x xπ

∫ �

��2

0

sin d1 sin

x x xx

π

+∫ �

��

2008

sin dxe x xπ

−π∫ �

�� 3���������1����������������� ( )1

2

0

1 dn

nI x x= +∫ ���������������������

���������������������������1��������������1�����������

,��2�'�������������� ��)������'������A������A��

S����������2�=5�������

������"

3����������12

��2

0

cos d1 cos

x x xx

π

+∫ �

���

( )2 arctg1

20

1d

1

xx x ex

x

+ +

+∫

��� ( )1

20081

tgd

ln 1

xx

x− +∫ �

�� 3���������1�����������������

2

0

cos cos dnnI nx x x

π

= ∫ ���������������������

���������������������������1��������������1�����������

,��2�'�������������� ��)������'������A������A�

S����������2�=5�������

Page 244: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

���������� ��� ����� �� ������������������������������������������� ����������

������� �

��� ���������������������������

��������������� ��������������������������������������������������������

����������→����������∈�������������( )( )

g x

h x�������������� ��������������������������≤�����

�����≠� ������∈�������!

���������

"��������������������→��� ������������������#����������������#������������

���������� �$��

%��$��

&�&�$�'�$��

���

(

��������

( )n

A

x − λ����∈��)��λ�∈���*�����������∈��)����≤��(

���������

( )22

Bx C

mx nx p

+

+ +�� �������∈���� �≠� ������&�+�� ��,� ����∈-%��&.!

/���������0�������������������������������� ��������������������������������������!

� 1�#��������������#������������→���� ���������

1( )f xx

= − λ ��λ�∈���*��������

����

1 d ln ln ln lnb

b

aa

bx x b ax a

− λ= − λ = − λ − λ − =− λ − λ∫ !

2� 1�#���������������#������������→���� ���������

( )1( )

nf x

x=

− λ��λ�∈���*�����������∈�-&��3���.�

����

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 1 1 1 1d1 1

bb

n n n na

a

xn nx x b a

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅ = − −− − ⎜ ⎟− λ − λ − λ − λ⎝ ⎠

∫ !

Page 245: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 1�#���������������#������������→���� ���������

2 2

1( )f xx

=+ λ

��λ�≠� �

����2 2

1 1 1d arctg arctg arctgbb

aa

x b axx

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟λ λ λ λ λ⎝ ⎠+ λ∫ !

�� 1�#���������������#������������→���� ���������

( )22 2

1( )f xx

=+ λ

��λ�≠� ������

( ) ( )2

2 2 22 2 2 2

1 1d db b

a a

x xx x

λ=λ+ λ + λ

∫ ∫ ���

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 22 2

1 1d db b

a a

x xx xxx

+ λ −λ λ + λ+ λ

∫ ∫ ��

��2 2 2

1 1 db

a

xxλ + λ∫ �+�

2 2 2

1 1 d2

b

a

x xx

′−⎛ ⎞⎜ ⎟λ + λ⎝ ⎠∫ ��

��2 2 2

1 1 db

a

xxλ + λ∫ �$�

2

12λ

42 2

b

a

xx + λ

+�2 2 2

1 1 d2

b

a

xxλ + λ∫ ��

��2 2 2

1 1 arctg2

b

a

x xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟λ λλ + λ⎝ ⎠�

��2 2 2 2 2

1 1 arctg arctg2

b a b ab a

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ λ⎝ ⎠λ + λ + λ⎝ ⎠⎝ ⎠!

�����������

1�#��#�� ���������������������������������������������������

( ) ( )nqpxx

CxBxf

+++=

2

''�����

&�+����,� ����∈�-%��&.!

1�#��&�+����,� ��������

&�$�������� ������ ������� ��#�����#���

�&�$����������

22 2 22 4

4 4 2 4p p p q p

x px q x⎛ ⎞ −⎛ ⎞+ + + − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

��ϕ&����$�γ&�

�����ϕ��������$�2p����γ���

244

q p−�5� !

Page 246: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

6��������������������� ���������������2 ���������������������������������

������� ���

7!

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2

( )1 d 1d d arctg( )

b bb b

aa a a

x t tx xx px q x t

ϕ ϕ

ϕϕ

′ϕ= = = γ γ+ + ϕ + γ + γ∫ ∫ ∫ �

��( ) ( )1 arctg arctgb a⎛ ⎞ϕ ϕ

−⎜ ⎟⎜ ⎟γ γ γ⎝ ⎠

77!

( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 22 2 2 2 2

( )1 dd d( )

bb b

a a a

x tx xx px q x t

ϕ

ϕ

′ϕ= =+ + ϕ + γ + γ

∫ ∫ ∫ ������������������� ���

���������!

777!�1�#��������� ����������

( )22( ) xf x

x px q=

+ +��������0������������0��#�����

���&���������������� �#8��������2������

( ) ( )2 22 2

21 1( )2 2

x p pf x

x px q x px q

+= ⋅ − ⋅+ + + +

!

9��������������������2���������� ������������������!

/������� �:��2���������2��#������������&�$������������2�����

( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )2 2 22

2 d 1 1 1d db bb b

aa a a

xx p tx xt b ax tx px q

ψ ψ

ψψ

′ ⎛ ⎞ψ+ = = = − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ψ ψψ ⎝ ⎠+ +∫ ∫ ∫

������� �������������������������������������������������������

;#������#��

1

20

15 7x x+ +∫ ��!

����

1

20

15 7x x+ +∫ �����

1

20

1

5 32 4

x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ��!

<������������� �2 �������$�52��������������������������

1

2

5272

x

x

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

������

����

72

252

d34

t

t +∫ ���

72

52

2 2arctg3 3

t���

2 7 5arctg arctg3 3 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

���2 2 3arctg

393!

Page 247: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ;#������#��

( )1

220

3 d2 2

x xx x

+

+ +∫ !

����

( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 22 2 20 0 0

1 2 6 1 2 2 4d d d2 22 2 2 2 2 2

x xx x xx x x x x x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

=������������� �:��2���������2��#������������&�$�&����&�0�������������#�

�������ϕ�������&�$�%�0�������������#(��2������

����

( ) ( )55 2 2

2 2 22 222 1 1

1 d d 1 1 d2 21 1

t z ztt z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ���

1 1 1 arctg 2 arctg12 2 5

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 22 2 21 1 1 1 1

d 1 d 1 1d d d21 11 1 1

z z z zz z z zz zz z z

′+ ⎛ ⎞= − = + ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+ + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ �

��

2 22

2 211 1

1 1 1 1arctg d2 21 1

x z zz z

⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ∫ � ( )1 1 2 1arctg 2 arctg12 2 5 2

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠!

� ;#������#�� ∫ ++−1

02 1

1

xx

x��!

/��� �����

1 1 1 1

2 2 2 20 0 0 0

1 1 2 2 1 2 1 1 3d d d d2 2 21 1 1 1

x x xI x x x xx x x x x x x x

− − + −= = = ++ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ !

��������������#������ �2 �����������&�$�����%�����0�������

1:2

z x= + (��2�����

33 2

3

12112

1 1 3 d 1 3d ln2 2 3 2 2

4

zI t tt z

= − = −+

∫ ∫ �4�

32

12

2 2arctg3 3

t ��

��1 ln 32

�+�33 arctg 3 arctg

3⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ln 3 36π− !

Page 248: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

9�������#�#������ ��������#�������8���

����!"

��������������������������������������������������

<��������������→�������������������#���������( )( )

P x

Q x�������≠� ������∈�������������

������� ������������������0�������!

>�� ��������#��������������������

����� �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 231 2 4 2 21 2 3 4 1 1 2 2x a x a x a x a x p x q x p x q

β βαα α α− − − − + + + + �

���α%�$�α

&�$�α

3�$�α

��$�β

%�$�β

&����!

9������� ���� ���������0�����������

�������������$�

( ) ( )4

1 21

1

...n n

nn nn

nn n n

AA Ax ax a x aα α −

=

⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

∑ �$

$�

( )1 1 2 21 1 1 1

2 221 11 1

B x C B x C

x p x qx p x q

+ +++ ++ +

�$�

( )1 1 2 22 2 2 2

2 222 22 2

B x C B x C

x p x qx p x q

+ +++ ++ +

�������� ����������������������������������������

kjA ��

kjB � ����������������������

2ip �+���

��,� !

����������

>����������������8���������� ���������������������������������� ��#�����������

�������� ������������#�� ����

<����0��#����������� ����������������2������������������������� ����

��������������� ������������������������������������� ����

( )( ) ( ) ( )

( )P x R x

K xQ x Q x

= + !

;������������������ ������������0�������������� � ��0���������������������

�����!!!� ��������������!

1������#�����������������������������!� �����?������#�������� ������������

��������������!�

>��������������� � � ��������� ������ ��� ��!"�#�������# ��!�

Page 249: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������� �������������������������������������������������������

;#������#��

2 4 2

30

1d1

x x xx− +

+∫ !

9����

( )( )4 2 2

3 2

1 1( )1 1 1

x x x x x xf x xx x x x

+ − − + + −= = −+ + − +

���

4 2

3 3

11 1

x x x xx x

+ + −−+ +

!

1��������#������ �����

( )( )2

22

11 11 1

x x A Bx Cx x xx x x

+ − += ++ − ++ − +�����������������

�����������������2�������&�$���+�%������

&�+���$�%��$������������$�%�����������

�&�$���+�%�����������

&�$��+������������$������������∈�� ��&��

����������������� � ����

11

1

A BA B C

A C

+ =⎧⎪− + + =⎨⎪ + = −⎩

����� ������

1343

23

A

B

C

−⎧ =⎪⎪

=⎨⎪⎪ = −⎩

!

7�������#� ������ �����

( )( )2 2 24 2 2

3 20 0 0

1 1d d d1 1 1

x x x xx x x xx x x x

− + + −= −+ + − +∫ ∫ ∫ �

2 22

00

1 1 d2 3 1x x

x+ +∫ �+�

2

20

2 2 1 d3 1

x xx x

−− +∫ ��

���&�$� ( )4

2

01

1 2 1ln 1 d3 3

x tt

+ − ∫ ���&�$�1 2ln 3 ln 43 3

− �

����������� �� �:��2���������2��#������&�+�����%!

� ;#� ��������8��

( )2

21

1 d1

xx x +

∫ !

@�������������������� ����������0���������� �����������

( ) ( )2 2

111 1

A B Cx xx x x

= + +++ +

����������������������������������

%�������$�%�&�$������$�%��$��������������

&�$���&��$��������$��

Page 250: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

"2������ � ������

02 0

1

A BA B C

A

+ =⎧⎪ + + =⎨⎪ =⎩

����� ������

111

ABC

=⎧⎪ = −⎨⎪ = −⎩

!

9����

( ) ( )2 2 2 2

2 21 1 1 1

1 1 1 1d d d d11 1

x x x xx xx x x

= − −++ +∫ ∫ ∫ ∫ ��

( )( )3 2

22

2 9 2 2

1 1

x x x

x x

− − − −+ +

!

� ;#������#��

( )( )1 6 2

220

8 d1 1

x x xx x

−+ +

∫ !

/������

( )( ) ( )( )6 2 3 2

22 22 2

8 2 9 2 22 21 1 1 1

x x x x xx xx x x x

− − − − −= − + ++ + + +

�����������

( )( ) ( )3 2

2 2 22

2 9 2 2111 1 1

x x x Ax B C Dxxx x x

− − − − += + ++++ + +!

9������������������������2������

+&�3�+�A�

&�+�&��+�&�������������

&�$�&��$�%��$����

&�$�%����$�%��$�$��

&�$�%�

�����������

+&�3�+�A�

&�+�&��+�&�����������

3�$��&������������$��

&�$����$�&��$�����$���$�����$�

���������� ���2����� � �����

22 9

2 22

A CA B C D

A B CB C D

+ = −⎧⎪ + + + = −⎨ + + = −⎪

+ + = −⎩

����� ���������

72

032

72

A

B

C

D

⎧ = −⎪⎪ =⎪⎨ =⎪⎪

= −⎪⎩

!

9���

( )( )1 6

220

d1 1

x xx x+ +

∫ ��� ( )1

2

0

2 2 dx x x− +∫ �+�

1 1

20 0

7 3 1d d2 2 11

x x xxx

+ ++∫ ∫ �+

B

1

20

7 12 ( 1)x +∫ �����

13

2

0

23x x x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

�+�

1

20

7 24 1

xx +∫ ���$�

1

0

3 ln( 1)2

x + �$

1

0

7 12 1x + �

�� ( )1

2

0

4 7 ln 13 4

x− + �$�3 7ln 22 4

− ��

4

72ln

2

32ln

4

7

3

4 −+− !

Page 251: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������

��������� ������� ��������� ������ #����� ������0������ �:��2���������2��#

������� ���������������������!

������� �������������������������������������������������������

;#������#�� ( )2

21

1 d1

xx x +∫ !

2 2 2

2 2 2 2 21 1 1

1 1 2d d d2( 1) ( 1) ( 1)

x xI x x xx x x x x x

= = =+ + +∫ ∫ ∫

=���������������� �� �:��2���������2��#��&�������&����������������

( ) ( )( )3 3 3

11 1

1 1 1 1 1 1 1 3d d ln ln 1 ln2 2 1 2 2 21

I x x x xx xx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟++ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ !

� ;#������#��

2 2

4 21

1 d1

x xx x

−+ +∫ !

��������

22 2 22 2 2

4 2 22 21 1 122

1 11 11 d d d

111 11

xx x xI x x x

x x xx xxx

⎛ ⎞− −⎜ ⎟− ⎝ ⎠= = =⎛ ⎞+ + + ++ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

/������� �:��2���������2��#�1xx

+ ������2

11 d dx tx

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠�����

2 22

1 2x tx

+ = − !

9����

5 52 2

222

1 1 1 1 9d ln ln2 1 2 71

tI ttt

−= = =+−∫ !

�������� ��������������

;������

2 2

4 2 2 2 2 2 2

1 1( 2 1) ( 1)( 1) 1 1

x x Ax B Cx Dx x x x x x x x x x x

− − + += = ++ + − − + + + − + + +

9���������������������������

�&�+�%�����������

3�$��������%�����$��

&�$����$���$���%�$���$���$�$�

����������8��#� � �����

010

1

A CA B C DA B C DB D

+ =⎧⎪ + − + =⎨ + + − =⎪

+ = −⎩

���� ������

112112

A

B

C

D

=⎧⎪

= −⎪⎪⎨ = −⎪⎪ = −⎪⎩

!

Page 252: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 1

1 11 2 1 2 12 2d d d d21 1 1 1

x x x xI x x x xx x x x x x x x

− + ⎛ ⎞− += − = −⎜ ⎟− + − + − + + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ !

=������������� �2 ������&�+���$�%�������&��+�%���������0�������������#���

�&�$���$�%���&���&��$�%�������&�0�������������#�����2�����

( )3 7

3 7

1 31 3

1 1 1 1 1 9d d ln ln ln2 2 2 7

I t y t yt y

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ !

��� ���������������������������������������������

������ �������������������������������

6�������������0���� ������� #��#��������C����������������������������� �

���������������������������!

<����� �������� ��������������������#�0�� ���������� ���

>������ ����������������������� ���������#� �2 �����������#���������ϕ�������2x

��������D#��� tg2x�≠� ������∈�������!�/����������������������������

2

2 tg2tg

1 tg2

x

xx

=−

��

2

2 tg2sin

1 tg2

x

xx

=+

2

2

1 tg2cos

1 tg2

x

xx

−=

+����

21'( ) 1 tg2 2

xx ⎛ ⎞ϕ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

������ �������������������������������������������������������

@����#��

2

0

1 dsin cos 1

I xx x

π

= + +∫ !

@�� �2 ����� ������ � � �� �� ��2x 21 1 tg

2 2x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �� ��� ��� ��� D������ ����������

������������� ( )1 1

1

2 2 00 0

2 2

1 2 1d d ln 1 ln 212 1 11

1 1

I t t ttt t t

t t

⎛ ⎞= ⋅ = = + =⎜ ⎟ +− ++ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∫ ∫ !

Page 253: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

;�2 �����������#��� ����#������������������������������0��?��������#�

����������������������0� #� ?������ #�D����������������������������!

>������������������#�������� �2 ��������������!

1�#���+ �������� ������+�� �������� ���������������� �2 ����

�����ϕ�������� ��

1�#��� ������+�� ������+�� �������� ���������������� �2 ����

�����ϕ������ ����

1�#���+ ������+�� �������� �������� ���������������� �2 ����

�����ϕ���������

/������� ��������������

22

2

tgsin

1 tg

xx

x=

+��

22

1cos1 tg

xx

=+

������� �������������������������������������������������������

2 3

20

sin dcos 1

xI xx

π

=+∫ �

/������� �2 ����������ϕ�������� ����+ �����������!

( ) ( )( )22 0 12 2 2 2

2 2 2 20 0 1 0

1 cos sinsin sin 1 1d d d dcos 1 cos 1 1 1

x xx x t tI x x t tx x t t

π π− −− − −= − = − = − = −

+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ��

�� ( )1

1

2 00

21 d 2arctg 121

t t xt

π⎛ ⎞− − = − − = − +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ !

3

2

6

1 dcos sin

I xx x

π

π= ∫ !

/������� �:��2���������2��#������ ������������� ����!

( )

3 33 3 2 2

2 2 2 2 2 22 21 1

6 6 2 2

cos cos d 1 1d d dcos sin (1 sin )sin 11

x x tI x x tx x x x t tt t

π π

π π

⎛ ⎞= = = = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠−∫ ∫ ∫ ∫ �

3322

1 12 2

1 1 1 2 3 1 3 1ln 2 ln 32 1 2 2 3 1

tt t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −− = − + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠!

Page 254: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

4

0

sin dsin cos

xI xx x

π

= +∫ !

/������� �:��2���������2��#�����������������������2

dd1

txt

=+

!

14 4

20 0 0

tgsin 1d d dsin cos tg 1 1 1

xx tI x x tx x x t t

π π

= = = ⋅+ + + +∫ ∫ ∫ !

@�����#������������������������������������!

2 2

2 2 2

11 11 1 ( 1)( 1)

t A Bt C At A Bt Ct Bt Ct tt t t t

+ + + + + +⋅ = + =+ ++ + + +����������

������������&�$������������������������������2������ � �����

010

A BB CA C

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩

����� ������

12

1212

A

B

C

⎧ = −⎪⎪

=⎨⎪⎪ =⎩

!

9����� ( )1 1 1

1 1

2 2 2000 0 0

11 1 1 1 2 1 12 d d ln 1 d d

1 2 2 4 21 1 1t tI t t t t t

t t t t

− += + = − + + ++ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ��

� ( ) 1 1200

1 1 1 1 1 1ln 2 ln 1 arctg ln 2 ln 2 ln 22 4 2 2 4 8 4 8

t t π π− + + + = − + + = − + !

����������

��������� ������ ��������������� �2 ������������������������������ �����!

������� �������������������������������������������������������

4

2 20

sin 2 d4cos sin

xI xx x

π

=+∫ !

/������� �:��2���������2��#��� &���������+&�� ��� �����������������#�+ ���&���������!

���������

4 4

2 2 20 0

sin 2 sin 2d d4cos 1 cos 3cos 1

x xI x xx x x

π π

= =+ − +∫ ∫ �

��+

1 1 12 2 2

11 1

d 1 d 1 1 1 8ln ln3 1 3 1 3 3 3 5

3

t t tt t

⎛ ⎞= − = − + =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠+∫ ∫

Page 255: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����������������������

<���� �2 �����������������������������2

1d d1

x tt

=+

!

124

2 2 200

2 2

2 tg1 tg 2 1d d

tg 4 1141 tg 1 tg

x

x tI x tx t t

x x

π += = ⋅+ ++

+ +

∫ ∫ !

<��� ��������������������������������������2������

2 2 2 2

2 14 1 4 1

t At B Ct Dt t t t

+ +⋅ = ++ + + +

���������������������������2���������������������� � �����

00

4 24 0

A CB DA CB D

+ =⎧⎪ + =⎨ + =⎪

+ =⎩

����� ������

23

23

0

A

C

B D

⎧ = −⎪⎪

=⎨⎪ = =⎪⎩

!

( ) ( )1 1 1 1

2 22 2 0 0

0 0

1 2 2 1 1 8d d ln 4 ln 1 ln3 3 3 54 1

t tI t t t tt t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ !

������

2 2

80

cos sin 21 cos

x xx

π

⋅+∫ ��!

/�����D�������2�������������������#!

����

2 2

80

cos 2sin cos1 cosx x x

x

π

⋅+∫ �����&

2 3

80

cos sin1 cos

x xx

π

⋅+∫ ��!

<���� �:��2���������2��#��� ���������������+���

3��� ����������������������

1

2

01

xx

=⎧⎨ =⎩

!

����+

0

21

1 d2 1

tt+∫ ���

1

20

1 d2 1

tt+∫ ���

1

0

1 arctg2

t ���8π!

��������� #���8�������� ��C������������ ���� �2 ������������E�@���2 �����F

Page 256: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

����� ������������������������������

��� �� � ������ ���� 0������ #� �#�� ����������� ��� �������� � ����� �������

�����������������!

2

1b

a mx nx p+ +∫ �

��(

�����ϕ������& ��������� �&�$��������′���� �&�$��������≠� ������∈�������!

9������ �2 ������ �����������������������������������2

db

a

Ax B xmx nx p

++ +

∫ !

������ �������������������������������������������������������

;#������#��

1

20

3 d3 4

xI xx x

+=+ +

/������� �� �2 ���������&��$�3���������&��!

9����

5 5 5 5

2 2 2 23 3 3 3

3 31 1 3 1 d2 d d d2 2 27 7 73 33 4

2 2

tt t tI t t tt t tt t

− + ⎛ ⎞+= = = + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠− −⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

( ) 552 2

3 3

1 1 5 327 ln 7 32 4 ln2 2 3 4

t t t⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= + + + + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

!

��

( ) 2

1 db

ka

xx mx nx pα + β + +

∫ (

������ϕ������ 1xα + β ����α �≠� ��'�∈��)�� �

&�$��������≠� !

<��� ������ #� �2 ������ ��D������������������������������������!

������ �������������������������������������������������������

;#������#��

( )

1

21

1 d2 2 4

xx x x− + + +

∫ !

<��� ��� �2 �����1

2t

x= + ��

2

1 12, d dx x tt t

= − = − !

Page 257: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

"2������

113

22 2113

1 1 1d d4 2 11 1 12 2 2 4

I t tt t t

t t t

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

���0�����������������#�������C���������������!

��2 2 d

b

a

x xα −∫ ( �����α� ���� � ����α��� ��������������⊂��+α��α���α�5� !

2 2 db

a

x x− α∫ (sin

xt

α= �cos

xt

α= �����

�������⊂��+∞��α�� ���������⊂��α��∞���α�,� !

2 2 db

a

x x+ α∫ ( ������α����

����������

9�� ������������������� ���������������������#8��0��������������������

����������������#���!

��2 d

b

a

x nx p x+ +∫ (����2nx t+ = ������������

<��� ���� �2 ����������#��D����������������������������!

������� �������������������������������������������������������

� @����#��

12

0

3 2 dI x x x= − −∫ !

<��� ��� �:��2���������2��#���$�%������������

22

1

4 dI t t= −∫ !

=������������ ��� �2 ����������& ���&��&�∈ ,2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

���������&��� �����

2 2 2 22 2

66 6 6

1 cos 2 sin 24 4sin 2cos d 4 cos d 4 d 2

2 2y y

I y y y y y y y

π π π π

ππ π π

+ ⎛ ⎞= − = = = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ��

�32

3 4⎛ ⎞π −⎜ ⎟⎝ ⎠

!

Page 258: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

��� ��� ��������

;#� ��������8���

2

4 40

sin 2 dsin cos

xI xx x

π

=+∫ !

�������

/������� �2 ����� ��&�����������2�����

( ) ( )( )

1 122

2 2 2 22 20 0 0

1 d 1 dsin d22 2 1 1 1sin 1 sin

2 4

t tI x xt tx x x

π

′= = =− + ⎛ ⎞+ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ �

� ( )

1

0

11 22arctg arctg1 arctg 12 1 2

2

x − π= − − = !

� ;#� ��������8��

2

0

1 d3 2cos

xx

π

+∫ (��2��

2

0

d4 3cos

xx

π

−∫ !

�������

� <���� �2 ����� tg2x t= ������������

2

2d d1

x tt

=+

!�1�������0tg 0, tg 12 4

π= = �

����

112

20 0 0

d 2d 2 12arctg arctg3 2cos 5 5 5 5

x t tx t

π

= = =+ +∫ ∫ !

2� <���� �2 ����� tg2x t= �����2������

2 0

20 0

d 2d4 3cos 1 7

x tx t

π

=− +∫ ∫ ��� !

@���1

4 3cos x− �5� ������∈�� ��&π�����8��#�2

0

d 04 3cos

xx

π

>−∫ ������������!

G����� ��������F

1��� �2 ����� tg2x t= ���2����������&������!

@�����������������+∞���∞��������������������������2π− ���

2�������&������

�����������+�����������#����������� ��&�������������0����������#!

Page 259: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

>������#������������� tg2x������� �� �0�������������π!

>���������� �� �2 ����������� � ���������0������2����� ��������π�$�&����D�������#������ ����#������������ ��&π��0���+π��π�!

9���� ( )2

0 0 0

d d dd 2 2 lim4 3cos 4 3cos 4 3cos4 3cos

y y yxx y yy

π π π α

α→π−π α<π

= = =− + +− + π∫ ∫ ∫ ∫ !

9������ ��������#��������1

4 3cos y+ �� ����#�����+π��π�!

9��������� �:��2���������2��#� tg2y

t= ��������

tg tg2 2

20 0 0

tgd 2d 2 2 2arctg arctg4 3cos 7 7 7 7 7

y t ty t

α αα

α= = =+ +∫ ∫ !

������������

2

0

tgd 2 2 222 lim arctg 24 3cos 27 7 7 7

xx

π

α→πα<π

απ π= = ⋅ =−∫ !

� ;#� ��������8���2

0

1lim(1 )(1 )

x

px t t→∞ + +∫ ������≤��!

������

1

2 2 20 0 1

1 1 1d d d(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

t t

p p px x x

x x x x x x= +

+ + + + + +∫ ∫ ∫ !

/������� �:��2���������2��#�1 tx

= ��������

( )1 1

22 20

0 0

1 1 1d lim d(1 )(1 ) (1 )(1 )p p

x x xxx x x xα→

αα<

′⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠+ + + +∫ ∫

( )( )

1

2010

lim d1 1

p

p

x xx x

α

α→α<

=+ +∫ ����

21

lim d(1 )(1 )

t p

pt

x xx x→∞ + +∫ !

1����2

0

1lim d(1 )(1 )

t

ptx

x x→∞ + +∫ 21

1lim d(1 )(1 )

t p

pt

x xx x→∞

+=+ +∫ ��

21

1lim d1

t

tx

x→∞=

+∫ ��� lim arctg4 4t

t→∞

π π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠!

Page 260: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

��� ���� ����

;#� ��������8�����#��������������

� ( )3

2

2

1 dx x x+ −∫ (�2��

2

21

1 d4

xx− +∫ (����

1

20

1 d4

xx −∫ (

���

2

1

1 d1

xx +∫ (����

( )2

21

1 d2

xx− +

∫ (����

( )1

30

1 d1

xx +

∫ (

���

( )0

41

1 d1

xx− −

∫ (�:��

( )3

222

1 d4

xx +

∫ (����

( )1

220

1 d4

xx −

∫ (

D��

2

21

1 dxx∫ (�H��

( )1

20

1 d4

xx +

∫ (����

( )3

42

1 d1

xx −

∫ !

� ;#� ��������8��

��

1

20

1 d2 5

xx x+ +∫ (�2��

1

21

2 3 d3 3

x xx x−

++ +∫ (����

1

20

1 d1

xx x+ +∫ (

���

1

20

1 d2 3

x xx x

++ +∫ (����

1

21

1 d6 10

xx x− + +∫ (����

1

22

2 5 d5 10x x

x x−

++ +∫ !

� ;#� ��������8��

�� ( )( )1

0

1 d2 3

xx x− −∫ (�2�� ( )( )

0

1

1 d1 2

xx x− − −∫ (���� ( )

2

1

1 d1

xx x +∫ (

��� ( )( )1

2

d1 2

x xx x

− − −∫ (���� ( )( )2

3

2 d2 4x x

x x

+− −∫ (���� ( )

2

1

2 3 d2

x xx x

++∫ (

���

1

20

d3 2x x

x x+ +∫ (�:��

2

21

1 d7 12x x

x x−

+− +∫ (����

2

20

3 d4 3

x xx x

−+ +∫ !

� ;#� ��������8���

�� ( )( )( )1

0

1 d1 2 3

xx x x+ − −∫ (�2��

2

1

1 d( 1)( 2)( 3)

xx x x+ + −∫ (����

1

2

−∫ 1

( 2)( 3)x x x− − ��(

���

1

0

1 d( 1)( 2)( 3)

x xx x x

− ++ + +∫ (����

1

1

2 3 d( 2)( 3)( 4)

x xx x x

+− − −∫ (���

4

3

3 1( 1) ( 1)

xx x x

−− +∫ ��(

���

2 2

3 21

2 1 d3 2

x x xx x x

+ −+ +∫ (�:��

1 2

3 20

3 2 d6 11 6

x xx x x

−+ + +∫ !

Page 261: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ;#� ��������8��

��

1

30

1 d1

xx +∫ (�2��

3

32

1 d1

xx −∫ (����

1

20

1 d( 2)( 1)

xx x x+ − +∫ (

���

0

3 21

1 d1

xx x x− − + −∫ (����

1 2

3 22

2 3 d4 4

x xx x x

+− + −∫ !

� ;#� ��������8��

( )1

20

1 d1

xx x+∫ (�2��

( )1

20

1 d1

xx x+

∫ (����

( ) ( )0

21

d1 2

x xx x− − +

∫ !

���

3

2 22

1 d( 1)

xx x −∫ (����

( )3

222

1 d1

x xx

+

−∫ (����

3

2 22

1 d( 1)( 1)

x xx x

+− +∫ !

� ;#� ��������8��

��

1 2

20

3 d4 5

x xx x

−+ +∫ (�2��

1 4

21

d1

x xx x− − +∫ (����

1 5 4

40

d1

x x x xx− +

+∫ �(

���

1 4

30

1d1

x xx

++∫ (����

3 3 2

3 22

1d1

x x x xx x x

+ + +− + −∫ !

� ;#� ��������8��

��

2

31

d( 1)

xx x +∫ (�2��

3

21

1 d( 4)

xx x +∫ (����

1 3

40

d1

x xx +∫ (

���

( )1

220

1 d1

x xx

+

+∫ (����

2

41

1 d1

xx +∫ (����

2 2

4 21

1 d3 10 3

x xx x

++ +∫ (

���

2 4 3 2

4 21

6 3 4 1d3 10 3

x x x xx x+ + +

+ +∫ (�:��

21 2

0

2 3 d1

x x xx

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ (���

2 2

4 3 21

1 d2 2 1

x xx x x x

++ + − +∫ !

� ;#� ��������8�����#��������������������������������������

��

22

0

sin cosx x

π

∫ ��(�2��

33

0

sin cosx x

π

∫ ���(����

43

0

tg x

π

∫ ��(

���

34

0

tg dx x

π

∫ (����

25

4

ctg dx x

π

π∫ (����

2

20

sin 2 d1 sin

x xx

π

+∫ (

Page 262: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

���

2

0

1 d3 cos

xx

π

+∫ (�:��

2

0

1 d2 sin

xx

π

+∫ (����

4

20

1 d1 sin

xx

π

+∫ (

D��

2

0

1 dsin 2cos 4

xx x

π

− +∫ (�H��

3

0

sin d1 sin

x xx

π

+∫ (����

4 2

4 40

sin dsin cos

x xx x

π

+∫ (

���

6

3

1 sin d(1 sin ) sin

x xx x

π−

π−

+−∫ (����

2 2

0

1 sin cos1 sin

x xx

π

++∫ ��(����

2 2

0

1 cos sin1 cos

x xx

π

+−∫ ��(

���

3

6

1 tgsin 2

xx

π

π

+∫ ��(�I��

3

4

4

cos 2sin

xx

π

π∫ ��(����

2

20

2 tg 1

1 cos

x

x

π

++∫ ��(� ��

2

40

sin cos1 sin

x xx

π

+∫ ��(

��

4 2

0

1 sinsin 2 cos2

xx x

π

++∫ ��(����

4

4 2

6

1cos sinx x

π

π∫ ��(���

0

sin sin 2 sin3x x xπ

∫ ��(

C��3 2

0

sin cos 3x xπ

∫ ��(�J�

2

0

12 sin x

π

+∫ ��(�8��

2

0

15 4sin x

π

+∫ ��!

��;#� ��������8��

��

2

21

1

2

x

x−

++

∫ ��(�2��

2

1 1x

x+∫ ��(����

3

32

11 x+∫ ��(

���

2

11

xx +∫ ��(����

1 2

0 2x

x−∫ ��(����

2

1

4xx

+∫ ��(

��� ( )10

5

1 1x x x+ −∫ ��(�:��

1

0

1x x +∫ ��(���

1 3

30

22

x x

x x

++ +∫ ��(

D��

4

23

1

1x x +∫ ��(�H��

3

22

1

x x+∫ ��(����

2

61

1

1x x +∫ ��(

���

1

20

1

4 4x x+ +∫ ��(����

( )

1

20

1

1 1x x x+ + +∫ ��(���

12

0

2 2x x+ +∫ ��(

I��

12

0

2x x−∫ ��(����

32

2

2 3x x+ −∫ ��(���

02

1

3 2x x−

− −∫ ��!

Page 263: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�;#� ��������8���

��

2

1

cos dcos sin

x

x

e xI xe x x

−=− −∫ (

2

1

sin dcos sinx

xJ xe x x

=−∫ (

2��

2 2

0

sin dsin cos

xI xx x

π

= +∫ (

2 2

0

cos dsin cos

xJ xx x

π

= +∫ (

���

2 2

0

sin cos dsin cos

x xI xx x

π

= +∫ (

2 2

0

sin cos dsin cos

x xJ xx x

π

= +∫ !

��;#� ��������8��

( )2 7

221

1 d1

xI xx x

+=+

∫ (�

( )1 3

40

2 1d1

x xJ xx

+ −=+

∫ (

1

12

1d

xK x

x

−= ∫ (�

1

12

1 d1

xL xx

−=+∫ !

��;#� ���# � �#���������������������#����������#���������

0

cos d2 cosn

nxI xx

π

= +∫ !

Page 264: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

� ����������

�������

;#� ��������8��

( )( )2

23

d1 3

x xx x

− + +∫ !

� ;#� ��������8��

( )

34

20

1 d1 1

xx x+ +

∫ !

� ;#� ��������8��

4

0

1 sin 2 d1 sin 2

x xx

π

−+∫ !

� <��� ����∈������K K�≠�K�K!�;#� ��������8�� ( ) ( )sin sin dmx nx xπ

−π∫ !

L��������������M ������

N�����%������������(��3�(���&�(���3�(���%�!

�������

;#� ��������8��

( )2 2

21

3 2 d1

x x xx x

− ++

∫ !

� ;#� ��������8��

4

0

sin dsin cos

x xx x

π

+∫ !

� ;#� ��������8��

4

0

tg dx x

π

∫ !

� ;#� ��������8��

4

2 2 2 20

1 dsin cos

xa x b x

π

+∫ !

L��������������M ������

N�����%������������(��3�(���&�(���3�(���%�!

Page 265: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������

;#� ��������8�����������

22 2

0

cos sin 2 dx x x

π

∫ !

��

7

30

1 1 d1 1

x xx

+ ++ +∫ !

��

1 3

20

2 3 d2

x x xx x

+ +− −∫ !

�!

2 2

4 21

d3 1x x

x x+ +∫ !

L��������������M ������

N�����%������������!�!�&���!�&����3����&�!

�������

;#� ��������8������������

0

cos 2 d5 4cos

x xx

π

−∫

��

12

2 20

d

1 2 1

x

x x− + −∫

��

( )( )1 4

20

1 d1 2

x xx x

++ +∫

��

2

4 21

1 d3 1

xx x+ +∫

L��������������M ������

N�����%������������!�!�&���!�%����3���3�

Page 266: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

�#���� �����������������������

!���"���������������������#���������$�����������������

����� �������������������#���������� � ������������ �������� �������������

���#��������������2��������������������� ������O������ ������� ����������!

O����������#����

����!"

"��������������������→���� �������2��#���#�����������#��C� #�������#�������

����0�����������������������������8������

� 0 1( , ,..., )n n nkn

x x x ���������������������

��� limn→∞

KK�KK��� ����������������������������������� 1

n n ni i ix x− ≤ ξ ≤ ���%�≤���≤�'

��

��∈���������� �������O������ ( ( , ))nnfΔ ∈σ ξ �

��������������

9�����������8�������:��� ��������� ������#���#������������� ���������→���� �

�����2��#����������������������������������������� 1n n ni i ix x− ≤ ξ ≤ ���%�≤��≤�'

�����∈���

������ �������O������ ( ( , ))nnfΔ ∈σ ξ � � ������� ����� ( ) ( )

1

,n

nnk

k

b af fnΔ

=

−σ ξ = ⋅ ξ∑ � � �

������������� ( )lim , ( )dn

b

na

f f x xΔ→∞σ ξ = ∫ !

( )1

lim ( )dbn

ni

n i a

b a f f x xn→∞ =

− ξ =∑ ∫

������� �

Page 267: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������� �������������������������������������������������������

;#��##���#�1 1 1lim ...

1 2n n n n n→∞

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠������&!

/�������� ������ ����#���������#�������2��#!

1 1 1 1 1 1 1... ...1 2 1 21 1 1n n n n n n

n n n

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + = + + +⎜ ⎟+ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

!

@�� ����#�������������� ��%��→������������1

1 x+��������8�������:��� �#

0 1 21 20 ... 1n n

nx x x xn n n

⎛ ⎞Δ = = < = < = < < = =⎜ ⎟⎝ ⎠���������KKΔ

�KK���

( )1 0n

n→∞⎯⎯⎯⎯→ !

�������������������+%�

��������������������������� i i

ixn

ξ = = !

"2 ���#���#������������������������������������� ���:��� ���O������ ���#

�����������������8������Δ�������������������������ξ

( ) ( )( )11 1 1

1 1 1,1

n

n n n

i i i ii i i

i if f x xi n n i nn

Δ −= = =

−⎛ ⎞σ ξ = ξ − = − =⎜ ⎟ +⎝ ⎠+∑ ∑ ∑ !

@������������� �������2��#����8��#��#� ( )1

1

00

1lim , d ln( 1) ln 21n i

nf x x

xΔ→∞σ ξ = = + =+∫ !

� ;#������#��2

1

limn

n k

nk kn n→∞ = + +

∑ !

9��������������������#�������2��#!

221 1 1

22

1 1

11

n n n

k k k

n nn k kk kk kn n n nn nn

= = == =

⎛ ⎞+ + + ++ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ !

@�� ����#�������������� ��%��→������������1

1x +������ ��������#������������2��#!

>���������8�����1 20, , ,..., 1n

nn n n

⎛ ⎞Δ = =⎜ ⎟⎝ ⎠����������������������������

2

1 1k

k kn n

− −ξ = + ������� �������O������ ��������������������8������Δ�

Page 268: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

��� � ���������������������������� �

( ) 21 1

2

1 1 1 1 1,1 1 1

n

n n

k k

k kf fn n n k kn

nn

Δ= =

− −⎛ ⎞σ ξ = + = =⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ + +∑ ∑

1

2 12 2

1 1 1 11 11 1 1 1

n n

k kn k k n k kn nn n

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

��

12

1 1 1 1 111 2

n

kn k k n nn nn

=+ − ⋅

+ + +∑ ���

1 1 112

nx n nn

+ − ⋅+

!

@��� ( ) ( ) 11

0 0

1lim , d ln 1 ln 21nn

f x xxΔ→∞

σ ξ = = + =+∫ �������������→����&!

P������������������ � �������������#�������� �������������Q��������R!

>���� �����

1 1 12

1 1 1 1 1 11 1 1 1

n n n

k k kn k n k k n kn n n nn

= = =≤ ≤

+ + + + +∑ ∑ ∑ ���� ��#�#��� �

����� ��8#��#���������#������������������D������ �������������������

( ) 11

0 0

1 d ln 1 ln 21

x xx

= + =+∫ !

� ;#� ��������8��2

1

1lim cos cosn i j n

jin nn→∞ ≤ < ≤

∑ !

������

9��������������#�������2��#�

22

2 21 1 1

1 1cos cos cos cos2

n n

i j n k k

ji k kn n n nn n≤ < ≤ = =

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ !

9���� ( )2 2 21

2 01 1

1 1lim cos lim cos cos dn n

n nk k

k k x xn n nn→∞ →∞= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∫ �� ��

&�%����

12 2 2

21 1 0

1 1 1lim cos lim lim cos 0 cos d 0n n

n n nk k

k k x xn n n nn→∞ →∞ →∞= =

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∫ !

���������

2

21

1 sin 1lim cos cos2n i j n

jin nn→∞ ≤ < ≤

=∑ !

Page 269: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ���� ����

;#� ��������8����������#��������������

��2 2

1

n

nk

nxn k=

=+

∑ (�2��2 2

1

1

4

n

nk

xn k=

=−

∑ (����

2

21

1 n

nk

kxn kn =

= +∑ (

���

1

0

12

n

nk

nxn n k

== +∑ (����

0

sinn

nk

kxn n=

π π= ∑ (����

2

1

1 1n

nk

kxn n=

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (

���

( ) 2 21

1n

nk

x nn k n k=

=+ +

∑ (�:��

1

0

cos2 2

n

nk

kxn n

=

π π= ∑ (����

1

1

1 1n

nk

kxn n

== +∑ !

� ;#� ��������8����������#��������������

��!n

nnan

= (�2��

( )( ) ( )2 2 2 2 2 2

2

1 2 ...n

n

n n n na

n

+ + += (

���

21

1 2 3

1 2 3 ...

1 2 3 ... n n

n n

nan + + + +

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(���� 2nn

n na C= �

� ;#� ������#���#������ ��%��→�� ��∞��� �������2��#�������

( )1

0

ln d

1

limf x xn

nn k

kf en→∞ =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∏ !

� ;#� ��������8��2

1

sin 1lim

n

n k

kn

n k→∞ =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠+

∑ !

� ;#� ��������8��

1

1lim sin2 cos

n

n kn kn

→∞ =

ππ+

∑ !

� ;#� ��������8��

1

3lim

kn n

n k knn

→∞ = +∑ !

� <�������� ��%��→������������������2��#!

9�����

11

1 0

1lim ( )p pn

p pn k

k kf f xpn n

→∞ =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫ ��������≥�%!

Page 270: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

!��� %�������� �����������

����� �������������������� �������������������������������������#���

������������������� ��������������!

���������

/��� ������#�����������(��#�����#�������������������#��C� #����� ������

������#�� ����� ��� ���)�(���������� �� ���� ����� ��� ����#���� �������

��������������� ��0��(����������� ������������������#���� �����������������

���������������(!

6��#����)�(�� �������������������������

��������������������������#�������������������� �2����������������������!

���������

<��������������→��$����������������2��#!

=������

Γ����-����&��∈��

&K���≤���≤���� �≤�&�≤������.

���������*+��#�� +"�������!

����!"

<��������������→��$����������������2��#!

9����� �2�����������������������

)������ ( )

b

a

f x∫ ��!

$���%��

<��������������→������������������2��#

����������

Ω����-����&��∈��

&K���≤���≤����&�0���� ���������.!

9������������������������

)������ | ( ) |

b

a

f x∫ ��!

Page 271: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

�� � � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

$���%��

<��� ����� �� �������→��� ���#� �������

�����2��������������

Γ�������-����&��∈��

&K���≤���≤���

&�� ��0�����������������.!

9���������������������������

)��������� | ( ) ( ) |

b

a

f x g x−∫ ��!

������� �������������������������������������������������������

;#��������#����� �2������������������

����� ��%��→�������������&!

( ) ( )11 1 3

2

0 0 0

1d d3 3xS f f x x x x= = = =∫ ∫ !

� <�������� ��%��→������������1,

0, \

x

x

∈⎧⎨ ∈⎩

� �!

;#� ������#������������!

<���>��� �����#���������#������ #�0����!

@���0��������������#��������������C� #�������#���������������������������

����������� ����C���,������������������ ��8���!

;#���� ����#������� �����#���������#��������������!�@��������#� �����#

��������#�������������Γ��� ��������������� ��%��×�� ��%�!�O�8��#�)����≥�)������%!

1�����������#� ���������������#�����C� #�������#����������0�������������������#

��������������������������������������#����������!

� ;#� �����#�� ������������ ������ �� 0���

����� ��� ������� &��� �� ��� ��2��� ��

�������&����&!

/��� ��8���� � ����� 2

y xy x

=⎧⎨ =⎩

������

����������������������� ��������������

���#� ���2�� ��� �2��������������,� �� ��

��%��%�! 9����

( ) ( )11 2

3

0 0

2 2 1 1d3 2 3 2 6f

xS x x x xΓ = − = − = − =∫ !

��

, %

,%

Page 272: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

��� ��� ��������

;#� ��������8�������������������� �

0������2���&&������������������������

�&�$�&

&���&!

������

>��������������������������������

��� ���� ������ ��� ������ ���#� ���2��� ���

��8���� � �����

2

2 2 2y xx y

⎧ =⎨ + =⎩

�����2�����

��%��%�����%��+%�!

9������������ ������ �� 0���� ����� ��� ��2��#� �� ���� ������ ����#� �������

( ) 112 3

00

2 42 2 d 2 2 23 3

S x x x x I I⎛ ⎞

= − − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ !

1 1 1 122

2 2 20 0 0 0

2 12 d d 2 d d2 2 2

x xI x x x x x xx x x

− −= − = = + =− − −

∫ ∫ ∫ ∫

1 112 2

0 00

2arcsin 2 2 d2x x x x x= + − − −∫ !

1��������#�1 12 2

I π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠!

� <���������������%��&��→������������

1

(1 ) xx+ !�;#� ������#�������������������������

0������������������������C�,�����������������%�������&�� �������� #�0���� 2 ����3!

������

9����#���������������������2�������C� �������������� �∈��%��&�� ����0���

( )1

2 1

1

11 d 1c

xx xc

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ !

S����������#� ( )1 11

2 2 1 3 3c ccc< < + < < �����2������������8������#!

, %

2

Page 273: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� <��������������→�� ������������ �5� �����������

������#����2�D����#!

;#� ������#�

( )b

a

f x∫ ���$�1( )

a

c

f x−∫ ��������%�� !

������

T�������������C����#�0����������������!

9 �����)%�$�)

&������%�� !

� <��������������→�� ��������� �≥� ������������������#�� ������� �#������� ��D����#!

;#� ������#��C� #���������ε�∈��������� ����0���� ( )b

a

f t∫ ������ε�+��� �$����+�ε��!

������

@��� �� � �� ���� ��� �#���� ��� ��D����#�

���������#���� ��2�D����#!

U����#����������� ����8���#����������

)%�� ( )

b

a

f x∫ ����)&���

1( )d

c

f y−∫ �&!

1��������#� ���2 ���#��#�)%�$�)

&������%�� !��)�

@��������������������������C� #�λ�∈�� ����

����0�����1( )

d

cf y−∫ �&������%� ���

+%�λ�!

<�������+%��������������������)������ ( )b

a

f t∫ ������ε�+���� �$����+�ε��

���� ������G����������� ��������#!

� ;#� ��������8��

12

0

1 x−∫ ��!

������

V��������������������� ��%��→������������21 x− �� �

��� �������������������!

9 �������� ������������� ��� ��

1

0

( )f x∫ ����������

���������������#������ ��

2

4 4rπ π= �������

12

0

1 d4

x x π− =∫ !

Page 274: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

��� ���� ����

;#� ��������8����� �2�������������#���������������

������� ��%��→�������������3(��2������� ��&��→������������

3 x (

������� 0,4

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→���������������(�������� 0,2

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������������ ����(

��������%��&��→������������2

1

x(����������

2,

4 2

π π⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦�→����������������(

��������+&�� ��→��������������

(��:�����������&��→����������������!

� ;#� �� ������8�� ������������ ������ �� 0���� C�,�� ��� �������� ��������� �� �����

���#��������������

������ ,4 2

π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦�→������������ ����(�2������

20,

3

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→�������������� ��(

������� ,4 6

π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦�→���������������(����������+3��&��→�������������

3(

��������+ 3 ��%��→�����������������(��������� ��%��→������������+�+�!

� ;#� ��������8����������������������������#�����������:�������������

���������� ��%��→�������������&�����������

3(

2���������� ��&��→��������������+��&�����������

&(

�����������+%�� ��→������������

2

2

x����������

2

1

1x +(

����������� ��%��→��������������

�����������+�(

�����������&��M��→��������������

����������+�&!

� ;#� ��������8�����������������������2�&����&�������������&�+�&��� !

� ;#� ��������8�����������������������2�&&��������������&���&�!

� ;#� ��������8��������������������������������������������2���

&������&���&���&���1

x!

� ;#� ��������8�����������������������0������� ���� �#���#����� ����������

2

4

x�$�&

&���%����:����2�������������

2

2

x�+�&

&���%!

Page 275: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ;#� ��������8�������������������� ��0������2�������������&&���������������

�������&���&��+%!

� ;#� ��������8������ ����������

22

0

4 dx x−∫ !

!�&�"'�����������������������������������(����)���

9�����������������:�������������������������#�����������������α�&!

P������������� ��������8�-��� ����0�#���������� !

9�������������8���������������#���!

������

9���� ( )0 0 3

2 0

0 0

d d3

t t tv a t t t t

α= = α =∫ ∫ ����������8����

������������������#�������� ( )0 0

3 40

0 0

1 1d d3 12

t t

v t t t t t= α = α∫ ∫ !

� "���:�#����������������� ���#������� � ��������������#�������������� � ���

�C���8�8#����������8�������������0��������������#����������8������#�+���#���

��:�#!�9��������8���:����0�������������� ���!

������

1�#� F �� ��������C�����#���:����� rF �� ������������#������ rF F ma+ =�� ��� �

����� ( )rF um t′=��� �

�� ′������������2��������C���8��!

@���0���8����� ��� 0F =��

������ ( ) ( )um t ma mv t′ ′= =����� �

��( )

( )( )um t

v tm t

′′ = !

( )( )

1

0

01

0 1

d ln lnt

t

m t mmv u t u u

m mm t

′= = = −∫ �������

%�� ��� ���:���������������

%!

����������

/��8���:������� �� ���� ����8�������C���8�����8����!�@����� ���:���� �

���������D��#������8��� #������:�#������ ln 2v′ν = −���

!

Page 276: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

�������������

@�� ����#����������#������� ������#��������������.�⊂��� �2�������������������/!

<����/����0����������������∈�.���������/������������������������/���������

���#���������������� ����������/�������������/���.�→��!

1�#������/�� ����� �#�����#�/������/ ������∈�.�����������������������������

�����/������������ ��������������?����������0��?����������� ��0������/

���%���!

����8���0��������������� ����� �#��������� �����������8����

��������� �,��

%�,�'�,��

�����������������������������������

0 1 1 2 1, , , ,...n na b x x x x x xL L L L

−= + + + �������

1 ,k kx xL−

�� �����������������������������

/������������ ����������������������'+%

�0����������'!

1�#����������8�������� �� ��������������#������������/� �����C���8#����

����������������'+%

���'���������������� �#�/

'!

1��������������������������������/������������ ��������������������� �

���C���8#���� ( )11

n

k k kk

F x x −=

−∑ !

���������

S���������������� ������������������������ ������#�����������������������

�����/������������ ���������������������� �� ( ), db

a b aL F x x= ∫ !

� "���:�#����� #� ����������������0�� � � �2�����������������������������

/���& ��%�+�&�!�9������������������������������ #�����#����������������#

�������#����������0�#������&��� ���0�#������&���& !

������

P������������������� �� ( )0 0

20 0

0 0

1d 2 1 d 22

y y

L F y mg y y mg y y⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ !

� U����#���������� �#��������0����������� ��

������������#�"�����#�����������"������ �

�����������#���� ����������� ���#�/������'��

'�5� !

P����������������� ���������0�����

�� ��������#�����������"���� �� �

00 220

0 02 2

xxx kL kxdx k x= = =∫ !

"����

/

Page 277: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

!�*� +��������������������������

������������������8#����� ����������� ������������������������������������

����������������������������������������:�����������!

���������

/��� ������#�����������(�������������� �������� �������#��C� #����� �

�����������#��-1(�������� �����������������������#���������������������

����� ��0��(����� ��������� �����������������������#���������������������

���������������(!

���������

<��������������→��$����������!

=������

�����-����&�����∈��

3K�

2 2y z+ �≤���������≤���≤��.

��������� �#�+"���!�+���#��#��#��

*+��#�� +"+��+� !����2��3+#+"�����,��

=���������������������������� ��������� �

��������#���

����!"

<��������������→��$����������������2��#!�9��������������

�������������

ν�������π 2 ( )

b

a

f x∫ ��!

������� �������������������������������������������������������

;#������#���������� ����������8#�#�5� �

/������ �����������������+#��#��→���

��������2 2r x− �!

1�#�����#�������������������������������

0��D�����C���,�������2������� ���#�����8#�#

����������0����������C����!

Page 278: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

<��������� ����#�� ����������������2��#����������������������2���������

( )3 3

2 2 2 4d3 3

rr

r r

x rv r x x r x− −

⎛ ⎞ π= π − = π − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ !

� ;#� ���# � �#������������� ����������������!

/����������������������������������

�����+������→������������2 2b

a xa

− �������≥�

0��D�����C���,��

<������� ��������#������������2��#���

�2�������������

( )2 2 3

2 2 2 22

4d3 3

aa

a a

b b xv a x x a x aba a− −

⎛ ⎞π π⎛ ⎞= π − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ !

��� ���� ����

;#� ��������8����������������������������������������������#��������������

������� ��&��→������������&��%��&(

2������� ��π��→������������ ����(

�������� ��%��→������������3x (

�������� ��%��→������������3 4x x− (

�������� ��%��→������������31 x− (

�������1

, ee

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������������2

ln

1

x

x +!

��������%�����→������������4x!

� ;#� ��������8���������������������������������������������

����� ��π��→������������

cos , 0,2

2 1, ,2

x x

x x

⎧ π⎡ ⎤∈⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨ π⎛ ⎤⎪ − ∈ π⎜ ⎥π⎪ ⎝ ⎦⎩

!

Page 279: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ����������

�������

;#� ��������8���������������������������������������������

�����%��&��→������������( )( )1 2x x

x

− −!

� ;#� ��������8��������������������� #�0����������������%���������C�,��������2

&���&��+�������!

� ;#� ��������8��1

0 1

1limp n

iin i k

kn +→∞ = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ !

L��������������M ������

N�����%�������������!��3�!���3�!���3�!

�������

;#� ��������8���������������������������������������������

����10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→�������������� ����!

� ;#� ��������8��������������������� #�0����������������%������3��C�,��������2

&������$�%������!

� ;#� ��������8��3

1

1limn

n k

n kn n→∞ =

+∑ !

L��������������M ������

N�����%������������!��3�!���3�!���3�!

Page 280: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���� � � � � � � � � � � � � �

�������

;#� ��������8���������������������������������������������

����10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→���������������� ��!

� ;#� ��������8���������������������������� ��0�������2�������������

&�����

��&����%�

����������������%������&!

��;#� ��������8��2

1

1lim arctgn

n k

kknn→∞ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ !

L��������������M ������

N�����%������������!���3�!���3�!���3�!

�������

;#� ��������8����������������������������������������������������

����10,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�→������������4 21 x− !

� ;#� ��������8���������������������������� ��0������2������������

&&�������������&���&��+�%!

� ;#� ��������8��

2

21

3lim8 2

n

n k

kn k n kn→∞ = + −

∑ !

L��������������M ������

N�����%������������!��3�!���3�!���3�!

Page 281: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � �

������������������ ��� ����� ��

�������������������� ���

�������

�� �������������� ������

22 13 1

x xxx

⎧ ⎫+ +∈ ∈⎨ ⎬+⎩ ⎭� � �

�� ���������������������∈������ ���� n �∈������������ �������� n �∈���

�� ������∈���������������� d �∈��������������������������������������������∈���������������

���� d �������� d ���� �����������������

�� �����������������������3 2 ����

3 4 ������ ���������∈������ ���������������

�������

�� ���������� �����

3

32

11

n

k

kk=

−+∏ �

�� ����������� ���� �����3 1

2x −⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

�!�"�

�� ������#� �→����������������������� �×������������ ������������� �����$ ��������

������������$���� ��� ���������

�� ���������%��������∈��������������������������&���������������#

�'����≤�()�*'� 1 11 1a b

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠�≥�+�

��������

�� ����������������∈����������������� ��������#���→������,�'��� 2

1, 01, 0

ax xx ax x

+ ≥⎧⎨ − + <⎩

�������#

�'���-���� �)�*'�� -���� �)��'�*�-���� ��

�� ��������#� �→� �������������������������������*�-���� ������������������ ���������������� ��

*�-���� ��

�� ��������������� ��������� ����������#���→�������������������������,������',�'���.&����(�

�� ������#���→������,����'���/�

�0�1�

���������� ��������-���� ����������� -���� �������� ����

Page 282: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� ������������������������2��*������,�'���,����/'�

&�.�,/����('����&��.�(����∈�����

�� ��2 ����������

�� ����������������∈���������������� �� ��2��*�������,�'�����

&�.�,&����('�����.�(�

��∈�������������� ����������� ��33�

�� �����(�����

&������������� �������

&�.�&��.�&�����

���������� �������2���������

4 2 4 21 1 2 2

3 31 2

1 1

2 2

x x x x

x x

− + − +++ +

�� ����������������∈������������������ ������33 2 33 ( 8) 8x x+ + + ,��.�('���&����

�����*������� ����

�������

�� ����������������∈����������������,��.�('�&���&�������.�&�≤��������%���

�� ���������� ������� ��

2 2

2 2

( 1)( 1) 12( 1) ( 1) 30x y xyx y xy

⎧ + + =⎨ + + =⎩

�� 4���������������,+��.�&�����'�%������ �����&�%�+���

�� 5�����������∈����������������� ��������#���→������,�'���2

2

( 1) 6, 12 , 1

mx m x xx x m x

⎧ + − − <⎨− − + ≥⎩

���

�����������������������

��������

�� 5�����������∈���2��� ����#��'�

13 3x x= )�*'� ( )

1 122 2x x− = �

�� 5�����������∈���2��� ���������������2�����,�&�.�1�'

�� 6���� ��������� ��

3

3 26

5

( ) ( ) 6

x y x y

x y x y

⎧ + + − =⎪⎨

+ − =⎪⎩�

�� 7������������ ��,��'�≥(

�����2��������������� ������

��(���

2

1 523 n

n

xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����≥�(���(���(�

�' 7��� ������&���

/���

+���

1���

8�

*' 7�2��������������������� �� � ��3 5 ��7������������� ����2�������

�� ���������������������� ��3 5 9

Page 283: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� ���������� �����

89

1

lgk=∑ ,�$��

�'�

�� �������������������$�����������$��������$

��������$

����≥� 3

2����������%�(�

�� 4������� � ���������� � � ��/(��

�� 4����������$ lg xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����$ lgyz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����$ lg zx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠����$�$

xy�0��$�$

yz�0��$�$

zx����������%���

��������

�� ������∈�����!.("��5���������6�11

zz

−+ �����⇔�:�:���(�

�� 5�����������∈��������������� ������&�.�,��.��'����&����1���������������������������

�� 5����������(���

&��������

��∈���� �:�

(:���:�

&:���������:�

�:���(���������������

(����

&����������

����.���

�� 5���������� ��������#���→���� �2�2����������,�'�����,ε�'����������∈���� ���

ε�∈��������ε/���(�

��������

�� �'�4�������������������������������� �����������2 12

n

n

zz+

���������2 12

n

n

ziz

−�

*' 7��� ������������&�;�0����+�;�0�����8�;�0�����<�;�

�� 7��� �����

1

0

npk

k

=ε∑ �� ����ε

��� �������������������� �������� ��������������∈����������

�� ������������∈���������� �������������������������������������������������������������

5���������������&��������&��������&�������������&��������&��������&������

�� ���������∈����:�:���:�:���(��5�����������������:����:���(���� ���������0�ε��� ������0�ε&�� ����ε��������������������� �������� ��������

Page 284: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� �'��������������������

)2)(1(

1

++−+nn

nn��������

11n +�.������

12n +�

*' ���������� �����∑= +⋅+

−+n

k kk

kk

1 21

1arcsin �

�� 4������������,�,���$�& 2 ''�∈��������∈���

�� ��������������,�������',������'�≤�2

16π

������∈�=.(��(>�

�� ����� ��������#�=���(>�→�

2

, 04

⎡ ⎤π−⎢ ⎥⎣ ⎦

����������������,�����'����&�.�π�������∈� 0,

2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�

5�����������#��'���,�'���,�������'&�.������)�*'��������*�-���� ��

�������

�� 6���� ��������� �#� 2 2

2 21

x yx yx y xy

⎧ + = +⎨ + − =⎩

�� ���������� ���� ����#�8�

���&���/�

���&��(

�� ���������� ���� ����#

��$����� 2

2loga

x ���������� log nn

ax �.�

12��$

����(

��� log na x ����∈������%������≠�(�

�� ��������������� ����������∈�����������������2x x aa + −

�%�1a������∈���

�������

�� 7����� ������ ������������� ��$����� �/�������� ���� �&��� �� �/��� �� �19

�� ����������������2����� ��� ��&����������2 ������������������ � � �� 2nnA �

�� �������������������1 12n n

m mA A+ −= ���� ������������ ���2������������

�� 5������ * ������� ������!(��&��/��������"�� ����������������#

�' � ?��������������2��(�������2��&9

*' � �������� � ��������� �����(����&���������������2����������9

�' ��������*����� ��9

�' ��� ������$���������1 2

2 2 22k k k kn n n nC C C C− −

− − −= + + ������ ��������2 ��������'��*'���'�

Page 285: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� @��? �� �� ��� � � ���� �$����� ��� ���� ��� ����2����� ��2��� 2��������7��� ����

2�*�*���������������2� �� �$������ ���2�� �2������9

�� A��2������������������� �������(����������������A����� ����� ��B8���������������

5 2�� ��������2����� �� ����������� �����������2�*���������������(���

7��������2�*�*��������������� �������������*���������� ��������2 ������ ����������

2�*������������ ���9

�� �' 5���?�� ��������������������*������*���������$���������$���*����

7��������2�*�*������������2�����*��������������������*�������*������*�9

*' 7��� �����0 1 1 2 2 0...k k k kn m n m n m n mC C C C C C C C− −+ + + + �

�� ���� ���!��C���#�!(��&��/��+"�→�!(��&��/��+"����� �����"��7��������2�*�*���������������$���

�������2������� ���������� �������������������-���� �9�5��� -���� �9�5��*�-���� �9

��������

�� ���������� �����

0

rk r km n

k

C C −

=∑ �

�� ������������������������ ��� ���&�/��

+�������� �������,����������'

(��

�� 7��� ������ �� ��������������������� � � ��(BB&�

�� 7��� ������ ��2�����/������������������ � � ��,(�.� 2 '(��

�������

�� 4����������� ��,��'�≥(����� ����������� ����������2�$�����$���������������

� �������� ( )2 2 21 2 1... na a a −+ + + ( )2 2 2

2 3 ... na a a+ + + ���,�(�&����

&�/����������

�.(��'&�

�� 5���������2� ��������������� ����2�$�����$������������ ����������(�����

&�

�����������(����

(����

&����������

(������

&����

((����

(&����������

&��

�� �������������� 2 ��3 6 ��

6 54 �� �� ������������ ����2�$�����$��������

�� ��������������� ��$����������� � ��,��'�≥(�������(���(���&���&����

51na + ���

3 22n na a+ ⋅ ������≥�(�

��������

�� 5�����������∈��+�������������#

1 2 3 43 4 1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���1 2 3 44 1 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���1 2 3 42 3 4 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 286: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � �

�� 6���� ��������+��� ������

&���

1 2 3 44 3 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ����� �������D��(�D��

&�D�����D��

��

��������������σ�∈������������������σ��� ( )

1

n

i ii

a aσ=∑ �������������

�� ����� 1 2 3 4 5 6 72 3 4 1 6 7 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�∈��E��7��� ��������!��∈���:�σ�

����"�

��������

�� 6���� ����������� ����#�

1 2 32 4 53 5 3 2

x x xx x xx x x

− − −− − −− − −

�����

�� ���������� ���� ����#���

1 2 36 9 8

2 3 40 1 6

3 4 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠�

�� ����������������∈����������������2 2

2 11 1

2 2 2

a a x xx x

a x x a x

− − −− −

− − + −�����������������������

� *���� ������$�

�� ����������������$ ��������� ���

1 1 2 4 22 1 3 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟α β γ α β⎝ ⎠

��α��β��γ�∈���

��������

�� 5���������α��β��γ�∈��������������������� ��

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 11

x x x xx x x xx x x x

− + − =⎧⎪ + + α + = −⎨⎪ − + + β = γ⎩

����������2���*��

�����$ �������������� � ���������&�

�� ������������� �������2����������������� ��������� ��������������4�������������� �

��$��� 2 2 2 2

3 3 3 3

00

00

x y z tax by cz dta x b y c z d ta x b y c z d t

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨ + + + =⎪

+ + + =⎪⎩

�������� ������ ����*������

Page 287: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � �

�� ������$����������������������2���*��������������� � ��

2

3 4 04 0

( 1) (2 1) 0

x yx y

x y

− + =⎧⎪ + − αβ =⎨⎪ α + − αβ + − γ =⎩

����α��β��γ�∈���

�� ���������� ���� 2�� �������2���� � ����∈������ ������� � �#�2 ( 3) 5

( 5) 2 12

x y a zx a y zx y z a

+ + − =⎧⎪− + − + = −⎨⎪ + + =⎩

��������

�� ���������� ����� ( )43 8 2lim 1n

n n n→∞

+ − �

�� ���������� ����� ( )limn

a n a b n b c n c→∞

+ + + + + �� ������������� ���� �������

�������������������������

�� ������%�������� ������������ ��������������(

���21

n

n

x

x+����∈��F��� ��

(�����

���������� ����� lim nn

x→∞

�� ���������� �����1 3 5 ... (2 1)

lim2 4 6 ... (2 )n

nn→∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ �

��������

�� ���������� �����2

!( 2 )!lim

[( )!]

n

n

n n k

n k→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

����∈��F�

�� ������%������������������ ����������2����� ��������(

���21

n

n

x

nx+���

(��������∈��F�

�������� ��������� �$������� ����,��'�≥(����,���'�≥(���������� ���������� ������������

���� ����������������

�� ���������(���

1 1 1...2 3 n

+ + + ����≥�(����������������� ���������������� �����������������

��������������������,�'������≥�(�

�� �' 5����������������?����� ��2����� lim

lnn

n

pn n→∞

���(������������ ����� lim n k

n n

pp

+→∞

����∈��F�

*' 5����� �������� limn→∞

�:�����:���������������������� �������� limn→∞

:�����:�

Page 288: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � �

�������

�� ��������������� ������������%��������%���������������

limn→∞ ( )55 4 5 45 ( 1) 1 1ax b x bx x+ + + − + − ���&�

�� ���������∈���

�' 4���������������� ��� ������δ�%��������������������������������%��������∈�,.δ��δ'�

��' 7��� ����� limn→∞

,���������������'

1x�

�� ��������������2��������������%������%��������%����������������$���� ��� ������

��,�'��������2 1bx cx+ − ������*��������2������*������2��∞����2�������&����(���

������2����������������2��.∞����2�������.(�

�� ���������� �����

0

1limlnx

xx→∞

>

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�������

�� ������� ��������#���→������,�'���1 1sin , 0

0, 0

xx x

x

⎧⎪ ≠⎨

=⎪⎩�

�' 4���������� �����������2�2��������5�*� ��2����

*' 4���������� ��������� ������������ �����2 ��� ���������

�� ������#�=���(>�→�=���(>�∪�=&��/>���� ������������ ����������������13

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠���/���������������#

�' ��� ������� -���� �)��*'���� ��������-���� ��

�� ������#���→�,.∞��.('�∪�!�"�∪�,(��∞'����,�'����$��,�&���('�

�' ���������������������*�-���� ��

*' ����������������� ������������ ������������

�' ��������������� ��������.(������������ ��

�' 5������ ��������.(������������� �������� ����,�

�.('.(�������������� �9

�� ��������������� ��������� ������� -���� ����������� ����#�=���(>�→�,���('�

Page 289: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� ������������� ��������$���������$���� ��� ���������#���→������,�'������

����2 ��� ��������

�� �������������������∈����������������� ��������#���→������,�'���2 , 0

sin 2 cos3 , 0

xae xx b x x

⎧ ≤⎨ + >⎩���������� �*����2����

�� ������#�,���∞'�→�,(��∞'����,�'�����

����&�����

�' ��������������� �������������*�-���� ��

*' ����������������.(��������� �*����2��,(��∞'�������������� ������

�.(,�

&���8'�

�� ������#�,���∞'�→������,�'�����,(���&�'������������ �����( )

1

(3)lim

( 1)!

kn

n k

fk→∞ = −∑ �

��������

�� ������#�=����>�→������ ������������ ��2��=����>������� �*�������2 ��������������������

��������,�'�D��������′,�'�%������������������� ����������� ��2 �������������∈�,����'�

�� ���������#�=����>�→���� ������6���������������������������,�'�����,�'�������

��′,�'�,�'�≠���,�'�′,�'�����∈�,����'���� ���������������2 ���� ��2 ������∈�=����>

��������������,�'�����

�� ��������������2

2�D�����1�;�D�

22

���36π�

�� ������#�=����>�→������ ������6��������������������,�'�D���,�'�

��������������∃���∈�,����'����������������′,�'�%���

�������

�� ��������������21

xx+

�D����$��������%���

�� G��� ���� ���������� ����∈���� ��������#���→������,�'���(1 )

1

x x

x

me m e

e

−− ++

�����

��������2���9

�� ��������������2 �������������������������� ���������#���→���

��,�'���2

1, 11, | | 1

|1 ln |, 1

x xx x

x x

+ < −⎧⎪− ≤⎨

⎪ − >⎩�

�� ��������������2��� ��������∈�=���(>����������∈������≥�&������∈� 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�������������

���&��������

&������

Page 290: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� �������� ������2���*����������2��������������� ���HI��2����������� �� ������������#

limn→∞

2 2

3

2 2( 1)

x x x x

x

xe xe e ee

+ − +−

�� ��������������� � ����� ����������������� �������/���/�

&�.�B���������������∈���

�� �������2�������$������ ��������#���→������,�'���

2

21

2

, | | 11, | | 1

x

xe xx x

−⎧⎪ >⎨⎪ − ≤⎩

�� ��������������2��� ����������∈������≥�/��� ��������#���→�����

�,�'������������ ��2 ���

���������� ������∈� 0,

2π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������������ ����� limn→∞

������ lim

n→∞��,�

�'�

��������

�� ����� ��� ���������(���

12���������

1 2 1nn

− + ���������(���

12���������

1 2 nn

− �

4���������������� ���� ��� ���������������$������

�� �������� ����������2������∈�,���/'���

��(���

2 3n

n

aa

+�

�' �� �������������������$�������� � ��

*' 4���������1

1

13

n

n

aa

+

+

+− ���,./'

13

n

n

aa

+− ������� �������2������ ���

������ ����������

��

�' 7��� �����∞→n

lim ����

�� ������������∈����7��� �����∞→n

lim =���,����('�������,����&'�������,����/'>�

�� �'�7��� ����� limn→∞ 1

1 2 ... nn

α α α

α++ + +

��α�∈�����!("�

*'�5���������β�∈���2��� ��������������������������������#�∞→n

lim3

33 ...21

n

n+++�

Page 291: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � �

��������

�� 7��� �����0

lim→x 2

sinsin tg

x xx x

−⋅

�� 7�������������� ��������,�'���

1sinmx

x

+����∈��������������������������

�� �� ������������ �������� �������� ���������2 ��� ���������#

�' ��,�'���

1tg arctg , [ 1, 0)

0, 0ln , 0

x xx

xx x x

⎧ ⋅ ∈ −⎪⎨ =⎪ >⎩

������)�*'���,�'���=����>�����&�

�� ����� �������������� �������#�=���(>�→�=���(>����� -���� ���4��������������������2 ���� �

2 �������∈�=���(>����������������,�

�'����,�

�'�

��������

�� �� ��������� �*���������� �������� ������2������� �������������������

�' ��,�'���:��.�(:���:����(:)�*'���,�'��������,����&')��'���,�'�����11, ,xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�

�� 5�����������∈����������������� ��������#���→������,�'���3 2 2x mx+ + ����������� �*����2����

�� ����������������������∈����������������� ��������#���→������,�'��� 2

2sin cos , 0, 0

x x xax bx c x

+ ≥⎧⎨ + + <⎩

���������� �*��������� �����2����

�� ������#�,���∞'�→������,�'���,(����'�����

���������������������*�-���� ��������������� �����,��.('′,�'�

���������

�� 5���������2 �������������������� ���������#���→������,�'���5 2 32x x− �

�� ������� ��������#���→������,�'����.(��

�.���

�' ����������������,�'�≥��������∈���

*' ���������������� �����(

���1 nxe− +

���(�%�(�����������������$������������������������

�� 4��������������,�����'�����.�32π������∈�=π��&π>�

�� 6�2���������$������ ��������#�����!&"�→������,�'���:�:�0�1

2xe −�

Page 292: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������������ ����

���������� ����

������

�������������� �� ������ �������������������������������������

����������������� ���!��� ���!��������������������������������������� ����"�"�#������"�"����

������"�"���� ���"����"�""�#� ��� "����"�""��� ����"����"�""�

����$������2

1, 0,( ) ( )

a ab a b b b a b

⎛ ⎞⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠�

�� % � � & # ! � � & ' ( ! � � & '

� � � & ! ! � � & ' ! ! ! ! ! ! !

� � & � � � � & ' ! � ! � � & '

& � � � � & ' ! � � ! � & ! � &

& & � & � & ' ! � � ! ! !

& & ' ! � � & ! & � ! & �

' ' ! � � & ' ! ' & � �

�������$���∈����$�∞��������∈����$�∞��⇔� ���#�)��#��)��#��!�*����⇔����#����#����#�&�*�!�⇔���#������#����*�!$����+,������ ��������#���*�!$���#���*�!����� ����+,���,��������������

��-����#��.����#����#�����#� )������������#�/!��0��,�������������∈����$∞���������,��,

-����#��.���������������#� )������������#�/��*�!�⇔�����#�����������������#�&������������#�.�*�!�

����������������-������-��#�-����∈�1.$��!2�⇔���≤�����-�≤���⇔�"����-"�≤��$����� �"����-"�≤����3����"����-""����-"�≤���⇔����≤������-������-��≤���⇔�.�≤������-��#������-��#�-�≤��!�⇔������∈�1.$��!2�

�����������������*�12�⇔�&�������������#���*���⇔�����������������#�������*�!�������

�����$���∈�1 ,2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠��������,�������≥�!$����,��≥���

����������≠���⇔��������������#���#���≠���⇔���������������#���≠�!�⇔����������������≠�!�������4���� ������������,����,��������0����� ������0���������5������∈�����������

�∈��$

���∈����6���������� �������������� ������� ��������������$��� ������0������� �����

�����������7����8��,��$���∈����������0��9����

�����

�⇒���∈�:��$�!$��;��<,��������������������

�����������,�������������������������:��$�!$��;$����,�:!;$�:�;$�:!$��;$�:��$��2;��:��$�!$��;�

���7 �����������:!;������$���=�:!;$���=�:!$��;$���=�:!$��$��$����� ;����$� �$� �$� �∈���

����������������������������������������������������#���#����������������������������������

����������������������������������������������������#��������������#����������������

�������������������������������������������������2

3xy

x y−

− − �������

22

32

23

xyz

x yxy

zx y

−− ⋅− −−− −− −

������

������)�����������������������$�!��

������> �����������������8����������������������������������������������������

.�5��!������ �����������������������������������!�

Page 293: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

����?�������,�����������

! � �

! % % !

� % % ������� ������������ ��� �������������� ����������������������

� ! � � &�������� �� ��������������������������

������@��������� ���+,$������� �����+,���������������������������!�

����?�������������� ���+,��������������≠�������������������� �����+,������������������������

������� �������������������8�������������������

����������������������������

����7�� ����,���,�������∈��!$� ���A����+,���,���������3

( 3)( 3)xy

xy x y+ − − �*�!������ �

5����,�,� ��� ��+��3

( 3)( 3)xy

xy x y+ − − �B�!�⇔� ���B� ���#� ����� ������ ������

����4���$��$���∈��$��8��,�5���������������������$��$���∈����������0��9�������C��$������C��$

�����C������ ��������������C����→��$��C�����2

x xe e−−�������D���+,��

3��������������C����C���#��C����C������C������������������������C�������������!�������������

������������������������������

����?�������������� ���+,$������� �����+,$�����������������������12���

���<���������������������,������������������������∅$����������������������

����E��������������������� �������������������������������

����E������������������$�!����������������������������$���$����$���$���∈���

�����������������������������������

�����

��������������������������

���������

�����

�����

��������������������������������������������������������������������⇔����������

⇒�������(������������������������⇒�������≠�!$�������,��,���������+������,�0����� �����

0�����������������������������������������������

����4������:��$��

�$����$��

;��@��,������� ������ �� ��������F���������

���������������������

�������

2( 1)nn −����������

�$��

$������

��+��������5����,���0��� �����+��� �

2( 1)nn −�������� �� ����

�����������1zx

⎛ ⎞∗⎜ ⎟⎝ ⎠������������⇔���

1zx

⎛ ⎞∗⎜ ⎟⎝ ⎠������⇔�����

1x�����$����$���∈��%��G�� ������

���1x� ��������������

zx�

�����������������*����⇔������������#���#����������#����������*�!�⇔����#������#����#����������#

#����������*�!$����$���*�����7� ���������#������#����*�!��H�����,��,����������#����������≥�!$���$���*�����<����������!� ���������������≥�!$�����*����⇔���������!�⇔������������

���������≥�!$�����*����⇔�������

������4���� � ������ ��� ���)��#�/�$��$�������7�� ����,����������������,� �≥� !�I����,���,��� !�$��� ��$��� ��$��� �$��� &�$��� '����������+,�����5���� ����,���,

�� ��→��� �#�)����������+,���,�� �#�)���)��#�/��#�)���)���#����#�/�$���#���∈��$���∈���

���A���������������������1���� !$�������������)�/$���$�� $��&$��.$��-$��!$���$��&$��'$

�)$��/��.��J��� �������� �5�'���,���������� $�'$�)�5� �������,����������������,���

.��������������

Page 294: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

��������∈��$�������������#���∈���� ������#���∈���$����$� �∈��������������,� �∈����

���∈��$�����������������#������∈��������� �∈��������������,� �∈����������∈��$������

�����������∈���� ��∈���$����$� ��∈���� �∈�������∈��$�����������������������∈��������$�� ��∈��

�����������,� �∈���������������∈������ ��������∈�������∈���$�������∈��$����,�������

���� )

�����������∈���⇔��������������#�)�≥���⇔����������������#���≥���⇔����������������≥�!�����������������������������#�)����������������������#�)���������������������#�)�������#�)�

E��������������������������$�����∈���⇔��������������#�)�����⇔������������� ��������

H�����,�������

�����A����+,���,�� ����

����

#�∈�����

����

�⇔� ���$� ����������� ���������������� �

������� ���+,���� ����������� ����,���� ���������<���� ������������� �����+,�� ��

�����

#����

����

��� ����

�����

�⇔��

#�����

�⇔� ������� �⇔�����!$������

!�����������������������

� ��� nf ′ ����!�⇔� ��� ′���!�⇔� ′���� ���������������

�������

� �∈���

���3� ������������������� �� ������������ ���+,$�������������������������$��$�!��∈��$

�����������������$��$���������1 1, , zx y xy

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

��E��������������������������$�����≠��������������K���$�����������,��������′��� 2 izz i−+ �

D��@ �,�����$������4x y y

y x y+⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠����!$�!����������������������������$������������������

� ������������$�����

������������������������������L?��������������������������������������������������

������������������� ������ �������������������������������������!��

�����7���� ���+������������������������������������������

��$����$��$���∈����H�����,

������$��

�������J ���������������+����,������������������$�����������7���������������$

����∈����$�����+����1 1ax be ae bx

xe xe+ +=+ + $�����∈����$����⇔�������������������⇔����������������!$

����⇔���������!�⇔��������7�����������$�����∈����$�����+��������������������$�����∈����$����������,�����!$���������+��� ��������������������MMF������� ������������� ���$�� ���

���������������������9�������+���������$���$��� ���������!�����

��������������� ������ ��#�α���-�*� �⇔������ ������ ��#�α������≥�!����������α��������7�� ����,�����0��9��,�

�(��������(��

$����∈������ ���� ����,���

����

��

�8��$�����������,� ������

���������

������!

���� ��������

����

���

�����

1 2 3 4 55 4 1 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���� .

����&!����

������

�������

�����

�����������������������+�������

����� 5 ���� 3 �⇔������ 5 ����(� 3 ��� 5 (� ˆ ˆ3 7= ����� 2���� 4 �⇔���∈�: 2 $� 6 ;����� 4 ���� 3 �⇔&��≡� ��� ��.��⇔�&���� �#�.�$���∈������������� ���,��������,��,� �� �&����������������#������#��������������������� ���+,��������������������������������′������⇔

��′����������′�#�������⇔��′��������������� ����≠�����′��� 2 32

xx

−− �∈���⇔�

2 4 12

xx− +− ��

����#�1

2x − �∈���������,���������"���⇔���������±������

Page 295: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

����7��,�����������,$�������������→���������D���+,�⇔�����������D���+,��7��,�������

���,� ����5�!�������������������,������������,$���������������������������������

���������D���+����� ����5�!����

������∈�� ����������������⇔���$� ������������5���� �����������5�0���

��

����������������������≤���⇔��

���� ��≤�!�⇔���∈�1!$� 2�∩�����:!$��$��$� ;�����4����∈�"$���B�!�

�+���������∈�"�⇔���������∈�"$������

�������≤�!�⇔���∈�:!$��$��;�∩���∞$�!����∅��7���"���:!;�

����"�����!"���"�"�#�"�

!"�⇔�����λ�

!$�λ�≥�!$�

0zM ���:λ�

!�"�λ�≥�!;������������������������!�

λ�!�#�λ′�

!���!�⇔�λ′�����λ�≤�!$�λ′�≥�!��������,�λ′���!��������������������������������!�

�����

���0

0

n

n

xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������⇒��

�������

�����⇒��$���∈�# ���:�$�ε$����$�ε ��;$������ε�����

�,�,��,����� ��� ������,������������� �����������

����3+���

1 1

1 1

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2 2

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

1 2 1 1 1 2 1 22

2 1 2 1 1 2 1 2

00 0

0

a a b c a b b dx

a c c d c b d d

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

3+���� ������#��

������

����#�$

�$��� �� ��

����#��

�$����

����#��

�$������

�$���

�$�� ���

����� �

�������

�$�����

��������

�$�����

��������

>����������������⇒���∈�:!$��;�������������������������

��������,�������

������ �⇔�

1 1

1 1

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2 2

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

1 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�⇔�1 2 1 2

1 2 1 2

10

a a b cc a d c

+ =⎧⎨ + =⎩

�⇔��������

��

$�����

����

������

����+����������������

1 1

1 1

00 0

0

a bx

c d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����������

1 1

1 1

00 1 0

0

d b

c d

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

����E���������������������!����⊕��′���!�⇔�:��#��′;���!�⇔������′�∈����H�����,������′����⇔��′����������� ��������������������������������

������ˆ ˆ3 2x = �⇔������ 3 ����(� 2 ����������+���������� 3 �����+����3 �(� a ���1�⇔� ��≡����� ��&!�

⇔� ������#�&!�$���∈��������40 1

3q +

���39 1

3q q+ +

��� ��#�1

3q +

�∈���⇒�1

3q +

�����∈���

���� ������������ � �������#�����&!����� ���&!����&!�#��/���&!��������#��/��������,������ 3 �������27 ����

� �ˆ27 2 54⋅ = ����14 �

���������$�Δ������������ �����+������������������������∅$���������� ��,����������

������������Δ��������⇔���Δ����Δ��������Δ���⇔����Δ����Δ�������Δ���⇔�∅Δ������Δ��⇔�������Δ��������=����∪����=����

������4������1 2 3 4 5a b c d e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�σ�����������σ�⇔�σ�������σ�������⇔

1 2 3 4 52 5 4 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���1 2 3 4 5a b c d e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���

1 2 3 4 52 5 4 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����⇔��

1 2 3 4 5a b c d e⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠�⇔�

1 2 3 4 52 5 4 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���a b c d eb e d a c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 296: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

3����,����������

����������������,��������������������$�����'$����� $�$���&��������,�� ����

�����

1 2 3 4 51 2 3 4 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��������������'������ ������&$�$�����������

1 2 3 4 52 5 4 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�����

�������������9��������9���5����������������� �������

�����������������������,

���� ��� �,�������������� ��������$��

�$��

$��

&$��

'������������������+����,���������

����σ�

����E�������������������� � ����$��$���������������������������������������������

���������������′�����⇔��������������,��,���∈��$�� ���������

�������������⇒��

�������

��⇒��

����������

��⇒��

���

��������

��⇒��

&������

��⇒��

&��

������

&�⇒

�&���

�������

&�⇒��

&��

&�������

&�⇒��

.������

&�⇒��������

&�⇒�������

&�⇒��

&�����

7���&������

��⇒��

�����$��������

��������⇒������$�����������

����4����∈����E����������������⇔� ���& z ����������J �D�9�������������� �����

z ���&���� y �������7������5����$�����9��� z �����������17� ��#�& y ��

E����������� ��������,��������������D���+,��+������,$���������������

17� ��#�& y ��

4��%���������������%

���������#�� z �

������&���%��⇔�%����

������%

�$�%�������

����%

���������

���������������

171 ���������#�&�� z �����2�������

%�������%��⇔�%���%

�����

�����%������%

��������������

�������#����

�������������

������

��������������� ���π��������#������π������������ ���π��#������π���� ���π��#�����π�����������(�������������

��(��

�����"�

����"���"�

�"�(�"�

�"�������

���(�����

���

�� �����������������������������������������#�������

���&�!�������≠�!�����������������������������������������������������������������

������ �����

�����A����+,���,��������� ����������,����$��'�$� ��������� ���������������� �������������∈����������������������$��'����'�$� ��#� �������$��'�$� ���#���$��'�$� �����������#�������

�����E���������������$���∈�������� ��������,����������������������������D���+,�

��������������#�����

$��������������������#���

�������#���

�������#���

����#���

��������#���

���

������#���

��#�)�����#�����

��������(����������������������������→��!$�∞�$�������������������� � ��������������

�����4����2 2 2

2 2 2

2 2 2 3 2...2 2 1 2 3 1 2 1

nn

⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ − −

� � � ��������,�����α��0����������!$�∞�$�(��5���

N0�� �����O������������0����������

��

2

2 2

2 2

2

222 2 1

2 1 22 1

kk k

k kk

−⎛ ⎞ −=⎜ ⎟−⎝ ⎠−

�P�

2

2

2 22k

k−

�P�

2

2

1kk

−�P�

2

( 1)( 1)k k

k

− +�

������2 2 2 2

2

( 1)( 1) ( 1)( 1)1 3 2 4 1...22 3

n

k

k k n n nnk n=

− + − +⋅ ⋅ += ⋅ ⋅ ⋅ =∏ ��7���α������� 12

nn+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������

Page 297: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

���

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���������!����!������������������$�����∈����������������������#������$����$���∈����������#��

��#�����#��

���

���������#�����

���#�����#�����

�������������,� ���@ �,�����������$���∈����3��������������α$

��� ���������#���#�����#������������#�������#�����#�����������������'''������� �$��� �∈���

���� ��������� ������ ������ ��(������������������(�������∈����� ��+���������+�����������!����!��������������$���∈�������5����-������ ����,���,���� ���� �$� �∈����A����+,�

�,���������������1nn

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠����

1 1 1...n n n

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠�����

1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�#���

1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�#�����#���

1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠��� �(���

1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�

7��������,���1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠���

an$��� �∈��%��G��,���

1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠�∈�������

an�∈��$��� �∈��%$�� ���

����������������!�

���7��,����������$������� ����� �������������� ���������������

���H�����,������$�� ��������������������D�����

����������

�����

����� � ������������&����→��!$�∞��&��

�������

����M� � ������������������!$����→�#$���������� ��(�#�����($����������� �� ��������� ��($����(��

����������→��$����$�����

��������������C���� � ����������������,��������������������������������� ������

�,��� ������������)������������������%����0����������#)$������

���#

)����:�����$����$�����$

ε ����$�ε&����$�ε'����;$������ε���� � 26π�#����

26π�

������7�������(������������(�������������,���� ������������������ 1 x+ �������������������8��.$�������,�

�����������������0���!$�∞������� � ���������������→��!$�∞�$������������

�����������

������J�����,��&�

ori

...n

x x x� � ������ ����&����(�&����(���(�&�������&����

�������#���

��&��������

22

x −�

������,�

ori

...n

x x x� � ������ ���&�������#���

����(2 2) 2

2

nx + −����

�����#��������

����@�������� � ������������,� ���������������������� �����,�� �����0���%�5� �� ����0���%

�������������������������� ���������������� ��������� �� �����������$�� ����������

�������������������(�������⇔�����������

���(��

���⇔�����

���������

���⇔���������

����7� ����������������5�&��������$�������,��,���������&������H,�9����,���,�,���,���������&����$

����∈�# �����������,���,�,���,����ε����&��ε�$������ε�∈�#

$���� � 2

nπ�#����

2nπ�

4����∈��%=#��3�������(�ε�∈��%�=�# ��������������(�ε�∈�#

$�������,���∈�#

$�#

����������

H�����,��,�����ε����&���(�ε��⇔�������(����ε����&����(�&�ε��⇔����ε����&�ε����� ��������������&����≠�!��������

�� Q ��

��

�&

����� ( � � � $ �� � � � $

��

��

��

�&

� � � � $ � � � � $

��

��

��

�&

� � � $ � � � � $ �

�&

��

��

� � $ � � � � $ � �

�&

�&

��

��

$ $ � � � $ $ � � �

�� ( � & ) .

� & . � ) I����,���� ���+���������⊕����⊕�������⊕���⊕����

& . ) & � J �����,���� �����+�����$������������������)�

) � & ) . � �������������������������������

. ) � . &

Page 298: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���&������ ���������&�� ����

�������� ����

����&�

����������⇔���������⇔��������⇒��������$�� ���������

��4����∈������ ������ ������������������'$�������,��,��'������3������

��≠������������&

����5���������� �≠������������������$��&�≠������������������

�����������������������'$� �����'����� ��� 8 ���� ����� ��� 9 �����!$�$���#���

�≠��$������� ���� �∈��$� ������#������∞�

������

���1 0

1n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��������� ���� �∈��������

�≠����

���������,��� ��������4����������������!�����/.-���/

..�(�/

�����/

���&�(�/

��≡�/���� ��� ��≡� ��� ��� ��

�����$�σ$�τ�∈�"��+�������σ���τ�������σ�τ-������σ���������������,�σ���τ�∈�"����σ���������$

���,�σ���∈�"�

��������%�����

��%�������

��%����%

�����

���%

�%����∈��

��"�����

��%��

������

��%����∈��

��"��

�����L������������7��,��"���∈������� �������������������������������$������� i

i I

H∈�

����������������,���������������������

���4����∈�&��∩�)�$�����������������������5����)�5����&�������������������������$

���,���∈���������� ��

���4����∈�#&�∩�#

)$�������,��

&�����5��

)����$������

)����

&�(��

������(��

�����

���<�������������

# �∩�#

���#

$$������$���� $������� ��������+�������,�������� ����� �� �����

�������4������ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

δγβα

$���������⇔� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

βαα−β

��� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

βαδ−γ−

�������,�δ���α�5�γ����β$�α$�β�∈���

����4��������������� ��������'�5���������� ���� ��3������

������G��,� ���'��#�)$�!�≤�)�B�'����,��

)

����$�������,�)���!���������������+��� ���������������,��'��

�������L���������R��������� ������������������ �����$�0����������&�����5������������� ����&���1�

���7��,��8��,�0�������������������� ����&$�� �����$������������������:�$��$���$��

;�5

������ � �������&��G������� �����$�� �������������������8�����������������������$���

�������$����������� � ���������������R����

�������4������:�$��$��$��;��������������R�����"����:�$��;��"

����:�$��;$�"

��∪�"

����:�$��$��;

����������������� �������������������������,������ ���(���∉�"��∪�"

���

���<�����������,�"��⊄�"

��5�"

��⊄�"

���������,��,��8��,���∈�"

�$���∉�"

��5���∈�"

�$���∉�"

��

G��,�"��∪�"

�������������$��������∈�"

��∪�"

���7�����∈�"

��∪�"

��������,����∈�"

���������∈�"

��

7��,����∈�"��5���∈�"

�$�������,���∈�"

�$�� �������������,����∈�"

��5���∈�"

�$�������,���∈

"��� �����������5�����"

��⊂�"

������"

��⊂�"

��

���"�∪� ������������$�������� �� �����$�������,�"�⊂� ����� �⊂�"��G��,��*�⊂��*���*���

����������∈�*���*$����,������!�S$��� ����

����H�����,��,����������� �������������������������������$����,�+����→��$�+��������

7��������������+�′������������+����,��"���:+����→���"�+��������#��$���∈��;������������

�����������D���� �������0����� ������� ��������������� ��

����L����������%$�(��5���$�(�������� � ������ � �����������������������%�→��$

�� ����������� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− abba

��7� ������ ��%$� (����������������������� ���� $� ������# $

������,��,���$�(����������������������� ���� $����# ��

Page 299: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

�������4������

2

1������

(

��5�����

2

1�����

(

�$�������,����������$��(

����$��(

������

����H������������������

�����������������

������4��%�∈�"�=�:�;$���,�,���,��

��%�����

��%���J �����9����������������∈

��"�"��+��$�� �� �����������%�∈���"�"��H�����,�����%�����

���%��⇔��

��%�����

�����(��

��%���G��,

���������

������H�����,��

��%�����

��%��

����7� ��������∈�"�5���∉�"T�������,��,���≠��$�����������������∉�"�����������∈�"�$��

���∉�"�⇔

���∈���=�"��G��,���=�"���:�;$�������,��,���������⇔��

�����$�����:�$��;���������������������

7����:�$��;�∪�"������������������ �,���������������������������������������⇔�:�$

�;�⊂�"$����������"�⊂�:�$��;$����,$�����∈���=�:�;$��������H�����,�����:�$��;$����������$

�5�������≈�*��

���������

������

�����3��������������� �������������3�,�,���,���$�������������� �����+��E��������

������������������������������������&������3�,�,���,���$���������� � ������������

�������������

2

3��3�,�,���,���� �����������������������+,����,�������������

��������������������������������⇔��������������������������#���������������#����#�&��#

#�&�������#����#�)�������#�����#�.��#�&�#�.��#��&�

�������������������������#�&��#�&��#�)���������#�&��#�&��#�)�������#�����#�.��#�&��#�.��#��&�

���E+�������1�2$�#������������� �����+�5���1�2$���������� � ����������������$��������$�$

����α�#�β�$������������#��������$��$�����������������α�#����β�#���α�#��$α���������������������������1�α�#���β����α��2�����α�#����α�#���β�#��$α���E������������������������7�� ����,���� ��,�����������������������#��������$����$��$���∈��1�2�

��G��� �����������$���� ��� �����������������������������

��M�����������+� ���������� �� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

0000

000

000 yx

$��$���≠�!�

���������

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

adacba

000 $����������

�����,���≠�!$���������������+������,�����,�����!$�������� ���!

����

����� �#���

���� �#�

1nC ��#�

2nC �

����� �������

������

�5��

���!

���

εε+ε+ε+ε+=

ε+ε+ε+=

ε+ 22 )())((

1

baba

ba

baba

ba

ba���

22

)1(

baba

ba

+−ε−−+

���22 baba

ba

+−−

��

22 baba

b

+−�(�ε��������,��,�� ���������������������$�����8���������!$�������+��������

���222222 333

3

3

1

yx

y

yx

x

yx

iyx

iyx +−

+=

+−=

+� 3 �∈��1� 3 2�⇔�

22 3yx

x

+�∈���5

22 3yx

y

+�∈����������,�

2

22 3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ yx

x�#�

2

22 3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ yx

y�∈���⇔�

22 3

1

yx +�∈���⇒

����#� �

���"���⇒��

��#� �

������⇒��

������(�����!�����

Page 300: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���7���������������$�������,��������7�����������$�����∈��$�������,����������������$�����∈��$

������,������$�����!�5�����!�����

���E�����������+��������������������� $�⊕$������������������������∈��

������������

��$� �������#��������:�$�'$�/$���;�

����������� 2 $����� 3 �������$����∈�:�1 $�1���� 7 $� 3 ���� 3 $� 5 ���� 9 $� 7 ���� 5 $� 9 �;�����<�����,���� ������ 2 ����1 �������������� ����0���

��$��������������������� ����

�����������#��� 5 $�����,��� 5 �5� 5 �������+�������0���)���������#

���(�,

�������7� �����

������������

)����������,��)

&�����������5��

�∈�����

)��������� ������∈��$�������,��,

0��5�������������#$�#�$�#

$��8��,�� �������������7��#

���#�

$���*��$�#��

������

����7+� ���������� ����$��

���:!$��;�→��$��

�������{1,

0, \xx

∈∈

�������E�����������+���������������1 $������1 $������� 3 $������ 3 $������ 3 $�����

����������� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

dcb0

$������!�⇔�����$���!$��$�������!$�����$���!�⇔������!�5�$���!�����

��������$����������

�����������+������,�⇔�����������⇔��$�������1�⇔��$��������1 �⇔���$���1 �5������ 0 �������$��� 0 �5������1������������������-���

����-����∈�-�5���������1 �⇔��

��#��

����1 ��G��,����∈�: 0 $�1;$����∈�: 0 $�1;�

H�����,������1 $������!���������� 0 $���������������� �����

�����������1$����� 2 $����� 3 �

������������+������,�⇔���������������������+�������0���)�⇔�������∈�: 1$� 5 ;��G��,����

���� 3 ���� 2 �� �������������� 3 ���� 3 �5� 3 ����1 $���∈�: 1$� 3 $� 5 ;�������������������$��

� ������������������ �����

����G�� �����������+������ 4 �� ���������������

⎪⎩

⎪⎨

=+=+

=+

xxfxf

xxfxf

xxfxf

6)()2(

5)2()4(

3)4()(

3���9����������� ������ 2 �������#���� 4���#���� 2������!$���������������#���� 4���#���� 2�����!$

��������� ����9��������� ���������� ��������������� 2 ��

����������+,���,���������,$�����9���������������������0��� � �������������� A �5

��� A ���

112100010

��� 2 �≠� 0 ������ �����+������������$������ ������ �����+��������$

������,��,�������≠�!$�������������+������,�� ������� ���������+����$�������,��,������

���������+�������0���$����������������+������,�0��������� ����

��������������'����

'�#�

15C �

&��#�

25C �

�� �#�

45C ��

&�#�

55C �

'����

'�#�'�

&��#��!�

��#��!�

�� �#�'��

&�#��

'�

G��,�'�&�����

&��#��

&�����

&��#��

&��#��

&����!��'��

&���!���!�

�� ���!�

�������I������ ������������������ ����������+����9��������������

���������������#����������#�������������������������#��������������������#���(�!�(�������

Page 301: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

����?�9���������� ����������)���������G��,� ������������

)������A�������������⇔

��#�����!��������,���������!$�������� ������∈���������∈�������#���)�����#���⇔��

)�#�)�

'�#

#��'�&�#��!�

�#��'�

��#�)����!��G��,�)�

'�����

'�#��

'��#���

'�#��

'��#���

'�#��

'����!�#�!�#�!���!�

)����!������ �$��!� ���!���'�

&����&�

&�#��

&���!�#��

&����

&����

&���'�

�����

���A�������

)����

&$

���,��&����$����������

�������E8��������

�$�#$�(��

����7��,� ������ �������������#���$������������ ����$����,�����

��������� ������ �����

�������H�����,�������$����,���#�����!�

����.-

�����4��α���� 3 7 �5�β���� 3 49 ����,�,���,�α$�β�∈��$������$�����!��A����+,���,

α�#�β������∈��������αβ������ 3 37 ���/���∈��$�α ���β

���/� ���&-�

�∈����������,

�α���β��α��#�αβ�#�β�

��∈��$���������α���β�∈��������7������5�����������,�α$�β�∈���

7��,� �� ≠� !$� ������ ���� ��33 497

11

cbax ++= �� <������ �� ��,��� �,�

x

1�∈���

3 7 �

��� �������,����� ���������������9������� ������������������ �#��

�#��

��� ��������

#����#��

�����������������?�9���0��������,�� ����,��������������

3 7 $������3 49 �5

������9������� �����������

x

1�����

��#��

��#��

��������������� �����

abccba

acbabcbca

x 21497

49)(7)7(71333

32322

−++−+−+−= �������,�����������������������

�����7��,� 0ˆ ≠b $������� b �������+�������5� 22 ˆˆ ba + ��!�⇔���������#�1 ���!�⇔����

������ 2 $

�� ������������,�0��� $� 2ˆ 2 ≠x $� ����������� x �∈��

�� �����.��� ����-�� ���

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

− 5ˆ,ˆ

ˆˆˆˆ

�baabba

�������ϕ���+�→��$�ϕ��������������� � ��������� �����

���������

�����

����

4

6f ���

10

12f �������

22

1

−++nn

nnf ���

2...

10

12

4

62

2

−++

⋅⋅⋅nn

nnf �

G��,� ∏= −+

+=−+

+⋅⋅⋅n

k kk

kk

nn

nn

22

2

2

2

22...

10

12

4

6����∏

= +−+n

k kk

kk

2 )2)(1(

)1(��

��∏= −

n

k k

k

2 1�(�∏

= ++n

k k

k

2 2

1��� �(�

2

3

+n���

2

3

+n

n�����

����J ������������� � ������� ������������ ��� ����8�$������ � ����

������→��$�������$��������������

�������

�����������

���� 3 �����

����

n

i ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π

6

11sin

6

11cos ����

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+π

6

11sin

6

11cos

ni

n�

7����

����

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

ππ−

ππ

6

11cos

6

11sin

611

sin6

11cos

nn

nn

�����H�� �+,��0��� ���������������

⎩⎨⎧

+−=++=+

ivuivu

9933

33 $

�����������������������/��� �������������#��$��

�����#���$��������+��

������#���$��

������#���

Page 302: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

� �������,� ��������

�����

����� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛− 21

12$�/

�����

�����

����� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛− 12

21$��������+$��

�����

�����

��

�� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 1221

�5�/�����

�����

����� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛− 21

12�

�������E������������ �������∅$������������������������-�����,��$���∈���-�$���+��$���∩�����∅$

������������

�����∅$����,����5����������+� ���������� �

���4������ϕ����-��→�+τ$�ϕ��������������� � �����

�����Δ�������⇔���Δ����Δ��������Δ���⇔����Δ����Δ�������Δ���⇔�∅�Δ�������Δ���⇔����

������������

�����

��⇔���Δ������$���� ��,�� � ��������

�������������→������ � ������������,����!����!�����������$����������$�����∈�����������

���������$�����∈�������� ����,���,����������$�����∈��������A����+,���,������������������,� ����

��*�!�⇒������������ x ���������� x ��

��*�!��7��,���*��$������������*�!�⇒�����������*�!�⇔

��������������*�!��<���������$��,��������������,��∃����∈�����

��∈���=�����������0��9������

���≠��

��

4��)�∈��$��������B�)�B��

��������� ������������������,� ���������������������,��������

����B����)��B�����

��

⇔����ϕ�����B�)�B�����

��$����,�)�B�����

�������>�������,�������,���������������������#���������

��������#������������������������������������,��������,���������A����+,���,

������������������������������

�������������������±���� �,�� � ����������������5��������� x �

�����������⇔��

��������!�⇔�����������#������!�⇔�������������������G����������������:!$��;$

��≈���$�0������ ������������:!$��$���;$�������≈��

���������

�������

�������#�����!�⇔����±�����

�#� ���&���!�⇔��∈�:�$��&;��7��,��∈���=�:��$��;$������

����������� �����,��∈�:��$��;$��������������������������,����1$������������!�����,�����1$�����������������,��≠�±�$������������&�����&

�#��#���*�!���������������,����+��������,

�*�!�����,��∈�1��$�!�$��������#��*�!$�����&�#��#���*�!�����,��∈���∞$���2$������

&�#��#������

�#����#�������#����

�����#����#���*�!��� ��������#����!�

�����H,������������+���,��,��� �� ��������� �����������#�������$�&����

��#������$$��$��$

�$�$�∈���5����,�0��������5����������� ����������������$���.$��$����������$���������!$

����$��������!��� �����������$�$���.$�����&$������ �

���@���8��,�� �� ����%������ �������������,���������,������%�����$�%�������������

����������������'$�������$��

�����$��� ����

��������#���&�������

'�����

&�#�

14C �

�#�

24C �

��#�

34C ��#�

44C ���

'���

15C �

&�#�

25C �

���

35C �

��#�

45C ����

55C ��

� ������������� ���

14C �(���

55C ��#��

24C �(�

45C �#�

34C �(���

35C ��#�

44C �(�

25C �

������#���������!���1��#�������

��2�!�����#�

110C ������

���#�

210C ������

����#�

310C ������

�� �#�����#

#�1010C ������

���!$�� �������������

&�������,�0���� ������

210C ������

���$�

310C ������

�� �5�

410C ������

��&$

���,��04

410

13

310

22

210 CCCCCC ⋅+⋅+⋅ �

������������������ 3 ������� 3 ��#�1 ����������

�#���������

��#�������⇔���������#��������������!�⇔���������������

���������� ������� ������� �� ���������������

����� �� α���&� � α��� � ��α$������ �� 9

π��&�� �

9

� � �

9

� �

9

3�� �

2

1

3=π

Page 303: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

7����� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π

9cos ��� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π−π

9cos3

9cos4 3

�#�����

2

52

2

1 =+ ����

18cos

9

4

2cos

9

4 π=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π−π=π

� ��

18

�&� �

8

� � �

8

� ��

6

�

2

3����

2

3

9

4sin =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π

�#���

�������7��,���,����������#�������$���≠�!$����� ����������������!�

���7��,���∈�� $������������������� 0 �������&� ����� �#� ���&�#� ��&��#�& $�0��,� ���&������&

�����&����

��&��� 0 �� �&�����&��#��&��#��&���� 0 �������&���%� ��������&� �#�% ����� �#�& �#�% �

�������< �� �����������������������������������$���������,$�0������� �����$�������9��

� ����������� ��

� ������ �� ����������������,��,�����������������#�����#����������#����

�����������������,����������+�������������$�����������$�������,����#������������#

#�����#���1����#����#��2��� ���#����#����������������� ����������������,�,�� �����

��������� �#�/�

��#��&���U���1���#������#������#� ��#�α���#������#����#�β���#����#�γ2�(��U��

�����#� ��U�#�α���#���U�#�β���#���U�#�γ�U

∑=

n

kk

1

3( #/���#��&���U���∑

=

n

kk

1( #� �U��#�α ∑

=

n

kk

1( #���U�#�β ∑

=

n

kk

1( �#���U�#�γ ∑

=

n

kk

1!��

������

k

kk 422 −+���

!

)1(

k

kkk β+α+−���

)!2(

1

−k�#�

)!1( −α

k�#�

!k

β$�����≥���

∑=

−+n

k k

kk

1

2 42������#� ∑

= −

n

k k2 )!2(

1�#��α� ∑

= −

n

k k2 )!1(

1�#�β ∑

=

n

k k2 !

1��3��� �∑

=

−+n

k k

kk

1

2 12��

�� �#� ∑= −

n

k k2 )!2(

1�#��α� ∑

= −

n

k k2 )!1(

1�#�β ∑

=

n

k k2 !

1��� �#�0

���#�α�0

��������#�β�0

������→

�#���#�α��������#�β�����������α�5�β�,�������� ������� �������0 ���

!

1...

!2

1

!1

1

!0

1

n++++ $

���������������������5������������

����������#���

���#���

����10nn CC + ��#�

2nC �

��#�����#�

nnC �

���10nn CC + ��#�

2nC �

��#�����#�

nnC �

�$

� �������������

���0nC �(�

nnC #�

1nC �(�

1−nnC �#�

2nC �(�

2−nnC #�����#�

nnC �(�

0nC �����( )20

nC �#�( )21nC

#�����#�( )2nnC ������ � �������������

knn

kn CC −= ��� �������������

�0�����#���� ������

nnC2 �

������,�( )20nC �#�( )21

nC �#�����#�( )2nnC ���

nnC2 ������ � ��������������������

���#���

�����������

5�������,��� �����������

�0�������������0nC �(�

nnC ���

1nC �(�

1−nnC �#�

2nC �(�

2−nnC #

#�����#����

�nnC �(�

0nC ���

⎩⎨⎧

=− knCn

kk

k 2,)1(impar,0

2

����J ��������������!�0����������#������

��!������#������

�����#������

��(�����(����#������

��

������(�&�����⇒��������#�����&����!�⇒�����������!$�������,���� �� ��� ������$�������

��������!�#��

��#��

��#�����#��

�!!�����������

�!!$�����������

!�#��

���#�����#��

�!!��!!

�!����

��#��

��������#��

�!!�������������

�!!����

���J�����,�������$����ε�$����ε��$������ε��������,�,������ ������ ��������,�����������

!�#��

��#��

��#��

�#�����#��

�!!�

�������!�#��

�ε�#��

��#��

ε �#�����#��

�!!ε�!!

��������!�#��

��#��

�ε&�#��

ε)�#�����#��

�!!ε&!$��ε ����$�ε��#�ε�#�����!�

Page 304: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

3���9�������,���� ������

�� ����#� �� ��#� �� ����� �!�#� �

�#� �

)�#� ����#� �

�-.�������

!�#��

�#��

)�#� ����#��

�-.��

��

3

1�

�!!�#�!

�!!�#�!

�!!����

�--�

<������������!�#��

&�#��

.�#�����#��

�!!$�������,�������$�������$������$��������5�����,������������

����,�� �������

�������

������9���� 4� �#� 2��

�#� 2��#� 3 �5����������#� 4 �����9����!�5������������������

'���'��#�.����������#������/�����5�������

���� �������#�)�����'������7������������,

���!������'$���� ���� ������0�� �����0������� ��������������������� �,����������������5���

������������������������ 1)1 = $����� 2)1 = �

���@����������� ������+������ 5)1 = $���������� ���������,���� 0)1 = �

������������������������$���������&$������������$�������&�������#���

�#���

��#������$�

������,���������

2

3$�����!$�$�����

��������������#�������&�����������0�� �����������5��������������)$

���������

3

)12(

12

1)2( 2626 −−=−−

−−�

����������#����&�����������0�� ������������5�������,����������������$����������� ����

������������������#�����(�&�#������#����⇔����#�����

�&�#��

���#�����#��

��#�����

�����#�����(�&�#������#����⇔��

�&�#��

���#�����#��

��#��������#����(�&������0�� ���������������

�����������#���&�����������0��,��������������0���1�2$������$���∈��������������,�0�� ���

0���������������������������������������,���� ��,������������������+�������������

�����������#���#���&���������$��$���∈����0�� ��������ε�5�������,���ε��#�ε�#�����!�5

���������������&��

���#��

�!�#�����#����#��

�#��

��#���#���

��L���������,�,� ���������������������9��������� �����

���G��,�������,�,� ����������� �$� �������� �#���#�������

��#���������������#�&������

3�����

2

12

3

−+++

XX

XX���

2

14)1)(2(2

2

−+++−−+

XX

XXXX���������#�

2

142 −+

+XX

X��������#

)2)(1(

14

+−+XX

X��������

)2)(1(

14

+−+XX

X���

21 ++

− X

b

X

a�����

���� �

��

��

�!

2 1 2 0 11 1 2 2

������� ���)�

��#�������)���������������������� ���������

���)�

��#�������)���#���

��#�������$

0�� ����������$��$��������+$� ����������� ���)�

��#�������)��(�α�#����

�#���������������+

������ ���)�

��#�������)�����#����.��#����

�#�������$�����$��$���������������������������

��������������'��������#������!�⇔�� �������!�5�&�����#� ���!�

����J9����0��,���������&�����������

∑=

n

kkg

1)( ���∑

=−

n

kkk

1

2 )2( ��� ∑∑==

−n

k

n

kkk

11

2 2 ���

6

)12)(1( ++ nnn�����(�

2

)1( +nn�

Page 305: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

��������� �#� �

������#����������������&���)$�)�∈��������� �����0��,�������������⇔

����� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

2

1X &���)�⇔����� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

2

1X �&�#�)��7���������C�������V �����0��,���� �� ���

���������

2

1�� ���������� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

2

1X %�#�)

���������,�&���

2

1%�5�)

����)�

������ �

� ��

� ��

� �

��� ��

��

�!

� � ! ! ! ��� ! � �

� � � ��� � � �

��������� ������� ����������1������������������� 2)1 = �

����������������#�����#� �������0�� �����������#��$� ������������#������1���#���

�������#���

#��2����#����#� ���#��������⇔������#����������#���#�������#����#� ��#��$������������� ��#���

����4�������!�#��

���#�����#��

����������������������!�#��

�������#�����#��

�������

�����

!����

����

��������� �

�����������������#��

����

��������

���#�����#��

��������

����

�����������(�&���� ������������

����������

�������

����������1�&����H�����,���������������&�������������(�&�#��������&������#��'

7����������0��,�����������

��������������#���'�#�����#���

&�#�����#���

�#�����#���

��#�$���#����#����<�����0��,����������

�����#��������C�������V ���������0�� ����� �����0������������→������� ������

�������������'�#���

&�#���

�#���

��#�$�����$�0��,��������������������

'�#� �������

����������

��#���

7��+ ��,���� �����$�������,�����������������#��� 1���#���

��#�����#����#��2�#�����#���

��#

��$���#����#��������������������#�����#�$���#����#��$�����$�$$�������������������

�������

������������0��,������������&������

2

1 ab −+−��#�

2

22 −−+ babb��������,������������!�

������3+���� �����ε �#�ε�#�����!�� ��� ��#��$���∈�����������#���#��� �������!�⇔��

������!

⇔�����&��#��$���∈���

�������&�#��

��#�����

)��������������(�&��������������

&�������

&�#��

�#��

��#���#����

�����(�����&������������,���$�&���������

����$�� ��

��������������

������@�$��� �������� �#���#��������+�����

&�#��

��#� ������G��,�����

&�#���

�#���������

���#���5�������,������������!�

��������$�������!�⇒������!��$������!�$���

�$��

��������������&!!�⇔��!!�

�������&!!�⇔

��������&�⇔���

�����$��

�����&��������

���� $��

����.�����

����.$��

���� ����

�����&$��

������

���4������$��$�����$�

�$���

�$��

��������������1�$��2���$�

�����3+���$��

��#��

�����-.�5�$�

������/�!�

�-./�!�����$�����$�W��$����,�$���������$���������,�$����$����#��

����-.�5��

�����/�!���

� �����������-!�5��

����.�������������������0�������������,�$����$��������

��#��

����&$��

������ )!

���� ������������0���������������&!$��

����-������+����

��� ����������� ��� � �� ���� �� ������� �,� ��� ��� ������ ��� � ���� ����,� � �,� ������ 0�

�� ���������E��������������������,����!���H�����,��������

��������������#����

���&�����

��#���&

�$���

�$�&

��������1�$�&2�����

��#����(��

��(�&

��

H�����,����(�&

�����

��#� ��#��������#������#������ �+����

������#���5�&

������#���

������$�&$�%����������&�$�%����������$�%�����������1�$�&$�%2���11�$�&2$�%2���1����#��$

���#��

�����2�������������#�����

��#����#����

���������������������#���

��������&�(�����)���&���)

������

�������)

������

��������#�!

Page 306: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

��������F �#���

��#�������� �

�#��

��#��&����� �

�#��

��#��&��#�� �

��� ��#�����

����������� �#��

��#��&����� � �

�� �

��#�������� ��#�&

����������2����������� ��#����� 2��&�

��#���&�����������#��

���&���������#�&!���&�

���W���)�����������#�'����&�

H�����,��,���������������������,����!$����,��)�����������!�5�'����&����!�����

����E8�������� �� ���� ����5�&������������,������������,�����#����#�����

��#� ��#� ������

3+�������#� ��#� ����#� ��#���

��#����#���������&������

�������4����

����$��

�#������$$�������,��

�������$�(�$�$��

�#�����$$�$��$

�$�$

��������3��,

���$$��#�����

���$$�����$���������

����$$��#���

����$$������

��7���$$��#���

����$$������

��������$�(�&��#�����$&

�����$� ������$�W��$����,��

�����5��

�#�������������0�������������?�����

� �9�����

����$��

�#������$$�$�∈�����������$�W���������,��,�$���������$�������������������������

�������

��������������!�⇔��� �#����� ���!$� ����+,��� ������������0��,������

�#����� ��������������

��������������!��������ε�����ε�#������#�ε/�����ε�����#�ε/����ε���#�ε/����ε�#�ε���!��������α�∈���=��

��,�,��,���� �� �����&��α ��������α�

���α�#�����!$����α����α) ���#�α�������α)�

�(���#

+ ��������#�������

α1�#�α�������

αα−α+ 21���!���������

�10 ������

�10 ��!����

�!�#�1��

���10��!

�����1�������!���1���������1���10 ��!����-�������������1���������1��(�&��0��,�&�1����!$

����&�������1��������

��#� ����&�������������#�&�������

&�#� �

����&�����

��������

��#�&��������������#�����

��#�&���

������������#�����������������������&�#��

��#������

&�#���

��#������

������

��#���

�����

���

����������#�����

��#���#�����������

�������

�������

������

&�������

&�#�&����

&�#�&�

��#�&���&�

���

������#���

����&�

������

�������#�����

��#����#�������������������#������#������#� ���

��1����#� �21���#������#���;�������#� ����

��#� ��#������ �,���

��#� ��#�����/�����

������� �� �����������������,�0��� �

������1���� 2 �#���#�1��� 3 �#����� 0 ������ 0 ����� 2 ��������1����� 2 �����#�1 ��������1 ��� 0 �⇒�����1��� 2 �����,���≠� 0 �5���≠� 2 $�������� �� �����������������,�0���

$�������������������

�������1����!��� �#� 2���#� 2 �� ����#�1������

������< �� �����������������,�0����$������������0������ ������������ �����������M�

3���������,�������� ����,�0���� ����������� ��������������� �����&�#��

�#��

��#���#�1��

������#����������

��#������$���0������$�������,��5� ����������������������1�

����$��������1���$��������1���$���1 ��7��������������� ����������$���1�G�� �����0������������ �������������� 1�5������1���� ����

����'�#�1 ����'���1 ��������1���&

�#�� �#��

��#���#�1�������&�#������&

�����������������

��#�1�

�������1����#�1�����#�1�������&

�#�� �#���

��#���#�1 �����&�#��

�#�����#���

��#���#�1���

������

��#���#�1��#����

�#���#� 1��������#���#�1����

�#�1���������1������#�1��

�����������1������ 5 ���������#� 1�

����������� ���������������0���1�2��� �������������������,�0�����G����C���0��� ����

�� 3 ������������,��+9����,�,�����± 3 �����< �� �������� �����+�����������5������

������� ������� �� ����� ��� �

�������Δ��� 89 − ���1����$���� ( 3 ±1�� 2 �������� 3 ±1�( 3 ���

���� 4 $��

���� 3 �������� 3 $��������

������,����$�������������������� ����

Page 307: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

�����������&� ���)�

��#�&����������4��&����������������������������,��,��������-���������$�����∈���

�,�������������,�����&��≤�)�5�&�����������,�������������)� ���0���$���$��$���$��$�����H�����,�,�&���!$����,�&������!$�����∈���

�������4��-�*�!��������0��9�� f �����-���� f ���$�����∈��$�������,��,��������-���������$�����∈���

�,�������������,���������≥����48,���!�∈����3+�������

!��������

!�#�-��������F�#��-���������

������!�#� -�$��� �∈����H�����,��,�� �� ������5�� �� ����� �����������

!������������0���F

�����������+�� ���H�����,��,�� �� �������������������������!�$����,��������≤�!$�� ���������

���7,��+�� �������0��������������,���������� $��� ��������!����!$�������� �����������!$��� ������� ����!$�������� ������)���7��������,���� ������� ������)�$����,����������� ������)�&$&�∈��1�2��G�� �����0������������,$� ����������#� ������� ������)�&�����

�������)����#� ������� �&���#� �$���������&������&���#� ��� g ���������������� ��,���

��� ��,� ���H�����,�&������� ��������5����������� ������)�&�

���4������������������� ��,$��������,������� �� ���,������� ������,$�� ���������

����4��������!�#����#� 9 $����,�α�∈��

����+������α����α�!

�#��α�#� 9 ���1�#��α�#� 9 �����α�#��10 ����α���1 ��G�������� ∗

11� ���������������������� 1������α���� 0 �⇔��α���1 �⇔⇔�α��������35����$�������������,$������ �� ��������������������

����4��� �� ����0����������������$����������������'����

'����

'����

'�� ����+,���,����������!�

������,��� � �������������� ��� � ���������5��� � ����������H�����,��,���������������������������((��α����#����#�����#�β�����������������79���+�� ������$��$����������,��α$�β������������������� �� ���,�������� �������8���,�+ ������,�0����������������

4��,��(����,�(��#��!!!����������,

���!����!$�'��,

�� !����&$ $�,

��)!�����)$-$�,

��.!�����.$-�

������,��(�����!$!!!!�(

�#�!$!!' �(

��#�!$!! �(���!$�.&��� �� ������������ ���������

?��������H�����,�,��'!����� $�/)$�����,�'!�����!� $�/)���

��

����< �� ���������� �������������λ!�!�#�λ

����#�����#�λ

� $�������

����

!

)1)...(1(

k

kXXX +−−

�����������,�0�� �����λ $�λ

��$���$�λ

!���7� ���������!�$������$����$���� �������0����$�������,��,

λ!$�λ

�$����$�λ

�∈����7��,��*� ��+����

������

nmC $����������∈��$����,�!�≤��≤� $��

������!$

���������*��5��������

kmC $����������≤������� �0���������B�!���������Δ��� 4 ���

����3 $��

����5 �

�������

��G��,����� �� �����������������#���������������� � ����������� �,��������������IX���

��@������������,�,��,�����,���� �� ������'����

�#��

������5�����,���������

�--.�����

����′���&� ��� !�

��#�/���#�&����

���������

����)!��#�/����!$��

����$��

���� $��,�,��������,

� ������������ �

��������������#�

!1

)1()1( −f���#����#�

!2

)1()2( −f���#���

��#�

!3

)1()3( −f���#���

�#�

!4

)1()4( −f���#���

&�

�����������������#�

!1

)1()1( −f���#����#�

!2

)1()2( −f���#���

��#����#���

�(�&�

������G��,�����&�#��

��#� ��#�������

��#���#���� �������9�����

������5��������'��#������

�&�#��

��#� ��#�������

��#���#�����

�������#�'��#����������,�

21

41 xx + #� �

��#�����'�

��#���5

22

42 xx + �#� �

��#�����'�

��#���

����������� ���

3i−������

��#��

��#��

���

343 +− i$� �������

��#��

����

342 +− i$

Page 308: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������,������������� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

3

42i���#����������,��

��5��

��

������

321

111

xxx++ �����⇔��

�� �#��

�� �#��

�������

���� �⇔��������$��� ����

���23

22

21 xxx ++ ����

���� �⇔���

��#��

��#��

��������

����#��

�� �#��

�� �����

���� �⇔

������(��������⇔�

���� �����± 3 �

��������&����5�+����,��������������

��#��

��#��

�#��

&�����!��������,��

��#��

�����

�#��

&����'�

������

�#��

&��#��

�&��

��#��

������'!�⇔��

����#��

�&����!����

������

�&�����&��H�����,��

�����)�

� �&���&�����

����22

21

23

22

23

21 xxxxxx ++ �B�)

23

22

21 xxx ��

22

21

23

22

23

21 xxxxxx ++ ��

������ �#��

�� �#��

����������

���� �����

��#��

��#��

��� ������

����&�B�!�

�������21

31 xx − #��

��#�����!��

22

32 xx − #��

��#�����!��

23

33 xx − #��

�#�����!������,������,����

���0�����������,���������$��

�$��������+$��

�����������������������������,����0���������5�� ��� �

��#���#� ���!������������5

������� ��� �������

��#���������#� ���!�����������

����

1

1

1

32 3

x

x

x

xx −=

+�

��������C�����������

x

x−3������

����

�� ��

11

321 3

xx

xxx−= $���������C�����������

x

3−�

�������23

22

21 xxx ++ ���

������

��#�������

������B�!�����

23

22

21 xxx ++ ����

�������

�������

����#���

�����

���#���

����

���������

���� ���B�!�

�������4�������������������

������������

�����′�������1������

������������

��#������

�������

����

�������� ��#������

�������

������������

������

nxxxxxxxf

xf

−++

−+

−=

′ 1...

11

)(

)(

21

�����$��

�$����$��

���������,�,������ �� ����������

��

�#��

���#�����#���#����������,��

)1(

)1(

f

f ′�

����������#��

�����

��⇔��

��#��

��#��

��� �

��⇔��

�����

3

a�⇔�

3

3⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− a

�#��

2

3⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− a

�#�� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

3

a�#�����!

⇔��� ���-���#��/����!������ �����,���,�,���������� ����α$�α�$�α����7������������

IX����+�����#���#���������������#������

������$�α

� �������������,��

����

�������� ��

���,�����!$��+�������!�5��,�,����������α$�αε$�αε������,���≠�!$�����3

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛c

b����������������

������#��

�#��

�������������!�⇔�����������

����������#��

���#��

�������������!�⇔

����������������������

�������

�����!�����

������������ ����$�������,�"�

�"���"�

�"���"�

"������"�"���"�

��#��

��#��

"�����"���"���"�

����#��

�� �#��

�� "��

�� ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

321321

111

xxxxxx ����(�

321

111

xxx++ ��� 321| xxx ++ "���" 321 xxx ++ "���" a "���"�"�

���������� 321 xxx ++ �#����#��

��#��

�∈��$��������������#���∈��������5�������∈���

Page 309: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

����������#��

��#��

��������

����#��

�� �#��

�� ���

2

1142 ++ aa������,����0����������� �,

����,��� ��������������

��#���

������

��#���

�����

������������

������

��≤�������� 3,2,1 �

������,����≤��������≤���⇔���≤��

��≤� �

����J,��,���,�,������� ��������α 3 $�α�∈��$�α�����$�α���31�

������������� �����+,��������+�5� ����������������

�#��

������������

�����#��

���

����������

�� ��#� � �������

��$����$���

� �������

��� ��#� U��

��� �� U������,������,����

���� U ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

!...

!2!11

2

n

XXX n

��H�� �+,���������5� ������� �������$��������

��� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

2

1,1,1 � ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −1,

2

1,1 $� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −− 1,1,

2

1�

����7��� ����������,������������� cba ++ ����������������� cbcaba ++ $������� cba �

������,��,�:�$��$��;�5�: cba ,, ;������� ������������5�������������� ��������,

:�$��$��;���: cba ,, ;��@���������+�������b $��� �����������������"���"���"b "���"��"$�� ���������

���� �����������+������� c ���������� a $����,���∈�������

����@ �,��������������α�����������������β$�������γ�$��$��$��������� ������������( ���α(��#�β(���γ���!$����,����(����( ���α(��#�β(���γ�����α$�β$�γ�*�!$����������,����(��B�!$

������� ����(�≤�!������������$����������������,�,�������+������!�

������

���������� ����

����� �$��

���

2

1$��

&���

3

2−�����������/�#� 3 ������/ 3 $��

$&���±� 4 3 ������

���� ε ���ε��

0��,�����&�#���

�#��

��#������������

��#���#�������� �������������!$� ������$���

�����!���������������B�!$����!��*�!��������B�!�5�������*�!����������,�� �� ���������9���

�,�,��,�0������+���������$�!�$��!$����5���$������� ������������,������ �������!$���������

� �����,�,��������������������H�����,��,������������ ��,�,���������5�����������

��������������������

22

23

21

23

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− iXiX ������������

�������������������#����

���������� ���#���

������A����+,���,���������,�,��,$����������� �����������'����������������

&�#��

�#��

��#���#�����

��������������ε������ε�������ε ������ε&�����������:�����ε������ ε ������ ε ��2�������

����)�#�������

��#�����

&����

��#��������

��#�����

&�#���

��#�������

�������

��#���1��

��#���

���� �

�2�������

����&�#���

���� ����

&����

��#� �

���� ����

���

�������#� ��

�����������

��������

��#� �������

���6�������H ����

������4������������→��$���������� �#�����������������������,� ���$������������������ �� �����

����������������� �� ����������������� ��,�,��,�����,�������,�,������������,�

A����+,���,��� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

2

1(������B�!�����4���

�������������

��������������

��#��

��#��

���!$��������

�,������

2

1��$�������∈� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

4

1,

2

1$�"�

�"����"�

"�����

�� ���

1

1

x�∈���$����

Page 310: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

������25

22

21 ... xxx +++ ��������������B�!�����

24

23

22

21 xxxx +++ ��� ����

�����

����#���

�����

���#

#�����#��� ����

&���� � ( )2

423

22

21 xxxx +++ ������

����#�����#��

�&����-���� ����&�B�!�

��������������

����#���

�����

���#���

����

������!�⇒��

�����

�����

���

2

33 +−�

���∑=

n

iix

1

2��� ����∑

=

5

1iix �����0�� ������

'��� ��+���∑

=

n

iix

1

2�����∑

=

4

1iix �#�&���!�⇔�∑

=−

4

1

2)1(i

ix ���!

⇒�������

�����

����

&������

��������� �&���� ���������

��'��� �$�"�

�"���������,��

��∈��$��������

�����������

�����������������

�,�,����������$� 2x $��

$� 3x ��7���

�$� 2x $��

$� 3x �(��

����� �$�������,��

��������������������

���#�������#����#�����

��#����#�&���7��������,��������������$����&$�&�����$����$�#��)���.�

����$����������

�������

������������#� 5 ���

��#��

��������

������&���

��#��

��#��

�#��

&���&���

�#��

&�������

���� �&���.$��

�&������

�������������� 2 $��

��#��

��������

����������0��,����� �� ��������

�������#��$��������������

�,����!�����������$���

����������������� �#�� 2 ������� ���� 2 �

������

2)52(549 +=+ �����#� 5 �

��������� 5 ��������#� 5 ��������#�����������#���

��

��E��������������,�,��������5�� 2 �

�������3 22 + �⇔����� 2 �

�����⇒��

��� �

� 2�#� ��#������ 2 �����⇒

� �#�)�������� 2 � �

��#����⇒���

�#�)������

������ �

��#���

��⇒����

�������� �������#���

��#�������$��$��$���∈������� 3 2 ����!�⇒��

3 4 �#��3 2 �#����!�⇒�������������!�

�����< �� ����������5��,�,����� 35 − $�� 35 − $�� 35 + �

���< �� ����������5����,����� 5 ����$�� 5 �#��$�� 5 �����

���< �� ����������5��,�,����� 23 − $�� 23 + $�� 23 − �

��������ε����ε'�#�ε&�#�����ε��#�ε�#�����!�����J �� ����������'�#��

&�#�������

��#���#����(�&$

&�∈��1�2$�����&���� ��H�����,� '�#� &�#������ ��#� �#���&� ��� ��#� �#���≠����������

�����7��,�������������,�,������ ����$����������������0����$����������������+� �����&�

����������

1

2 24

−−−

x

xxx�∈���⇒���

�#��

��#���#���∈��$�������������"��

⇒�������∈�:��$��$���$��;�����

��7��,����� ��,�,��,���� ��,$������������0�����,�

7������,����������

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈α−α

α−α=∈ �� ,2

3

mm �

��H,�,����������+� ������������$���$��$�����I����,������9���

������&�#��)�

���)!�

��#��)��#�)&����������

���

��#��!��#��)��≥�!�� ����+,���,�������

�,�,��,�����,�������&�����

�#���

�������#�������

�������#�����

��#����≥�!�

Page 311: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

�����@ �,��3 4 x− ����$� 1+x �������+����������� $�����,����0�������5����&��������

��#�������$������

�#��

���'����� ��������������

⎩⎨⎧

=+=+

53

33 baba

$��� ��������� �����5F��0�� ���

0������������ ����� �#�� �����

����'$� ������ ������������������������������� ������

0������� ����������������

�����E��������+�������� ���&��������� �

��������������������!�⇔

���� ���&���������������

����������#���

�����!���&��

��#����

���#������������!�

� �,���������($��&( �#��(

��#��(�������!��(���

2

1��,�,��,�����

���0��,�������� ��������������&� ����⇔����������

xtg 21

4

+�

� �,��������(���(������(��#������&$�����

���0��,�������� �&����

&��#�'�

��#�'�

���#�����������!��� �,��������(���,��,��� ���

0����������������(&�#�'(

�#�'(

��#�(��������!�

�����3����������

4

32x��G�,�������3���

3

22 x

a − ��I ����,������

3

1�(�

4

32x(

3

22 x

a − ��

��222 3

12

1xax − ��7�� ����,���,�,����≤�,�� 2 �$�+ ��������8����� �������������� 2 �

��� 4������������,�������������������∈��!$� !���+ �����������������)!�������(��

�)!�������(���≤��)!!!��⇔��

���)!�

��#�-!!����&!!!�≤�!�⇔�������!�

������&!��≤�!���,��,���

��8����� ����������������!�

��� ��� ����������� ����������,�

q

p�������,�,��,������$��������������,�,��,$�������� �������W��

5�� �������W����������,� �������±��� ��#�����±�$�������,�)����!�����)����±���� ���������

�������

��������������

��#�/����.���!$��

�����$��

�����.���

������⇒��

�$����±���������.�⇒��

$&���±� 8 �

�����

24

13

1⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

x

x

x

x�#�����!��� �,��

21

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

x

x�����������������#���

����������

�⇒

3

2

2⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+

ix

ix��������

��������� �π�#����π�

������������������#���������!��Δ�������&���≥�!�������#�

x

1�������

����������������!���������,

��,��,�,�����������������9�����∞$���2�∪�1�$�∞��

������E���������������� �,���&�����

�#���������

�������#�����!�����G��,���������

�� ������

���#�

2

25

x�#� ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

xx

5�#�����!��� �,����#�

x

5�����⇒��

�����!�#���#�����!�����

���G��,������������

��#�

2

1

x���'��#�

x

5�#�����!���

��#�

2

1

x���' ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

xx

1�#�����!��� �,������

x

1����

⇒����#�����'��#�����!�

Page 312: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���<�+�������������������������������� ������������ ������0����

���#����#��

������������

����

��������!���������#����������

2

)1(21 22 +±+−− xxx�

�����������������#��

��#���⇔��������������������������

��#�������

������⇔���������#��������

⇔������������#�����!����������

&�#�&��������!�⇔��

&�#���

��#�������

����&��#���⇔���

��#���

������������

⇔����#�����± 2 ����������������E��������������,�,����+��������,�,��� �����������

���������

�������

��7��,�������������������� ������,$���������������+���7��,������������������+�$

����������<�7��$����M������������+��$������'������������<�7������������������� ������

��������������� �����,�����������M����+′��������+′���������������������� ( )2

22xF x x= + �#���

�� ( ) Cxx

xF ++= ln2

2

�����+���������������� ����#������� ( ) 2ln 2

xxF x e= + �#���

���+������ ������������#�������+�����������������#������ ( ) 33 22 33 2

F x x x= + �#���

C�� ( ) 1 2ln4 2

xF xx

−= + �#����� ( ) 1 arctg2 2

xF x = �#���D� ( ) ( )2ln 4F x x x= + + �#���

Y�� ( ) ( )2ln 4F x x x= + − � #� ��� �� ( ) arcsin2xF x = #���� �� �� ( ) 2sin

2xF x = #� ��

�� ( ) 1 ln cos 22

F x x= − �#������� ( )43

4ln 3

x

F x = �#������� ( ) ( )32 3 19

F x x= + �#���

�� ( ) ( )1 ln sin 2 12

F x x= + �#������� ( ) ( )1 arcsin 2 12

F x x= + �#���

�������������13$�����

23������������$�����&�����

1 1,2 2

a b= = − ������������12�

�������������4���2

x�J����

2x�J�����

3

3x���J�

�������������� ��������������������������+��5��������������������+��

����������������������,��������������� �����������������������+��5������������

����������+��

������� ( )2

2

, 12

1 , 12

xx c xF x

x x c x

⎧ − + <⎪= ⎨

⎪ − + + ≥⎩

����� ( )3 2

2

, 03 2

, 0

x x c xF xx c x

⎧⎪ + + <= ⎨⎪ + ≥⎩

��� ( ) 2

, 0

1 , 02

xe c xF x x x c x

⎧ + ≥⎪= ⎨+ + + <⎪⎩

�� �� ( ) { cos , 0sin 1 , 0

x c xF x

x x c x− + >= − − + ≤ �

Page 313: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���I��� �8������� ������� ( )2 1sin , 0

, 0

x c xF x xc x

⎧⎪ + ≠= ⎨=⎪⎩

����� � ����+,� �� ��� �$� �� ���

��� �����,�����������MM���������������<�7�����������$������������������������� 2 ��#���

�����������������#�������������#�������1 1 1ln arctg4 1 2

x xx

− ++ �#������1 1 1ln arctg4 1 2

x xx

− −+ �#���

���(2 5)

ln(2 5)

x

�#�������sin 2

2 4x x+ �#�������������#����C�

1 sin 2 sin 4 sin 64 2 4 6

x x x x⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠�#���

��� ( ) , 01, 0x

x xf x

e x≤⎧= ⎨ − >⎩

��������� �����,��������&������+�������� �

������� �����,��������&������+�������

������ ( )

xkF x Ce= �

���G�������������

� �������+�����

�′������������������ �����,��������&�������+����

���������

�������

�����12�����

12�����

12����

1n������

112

�����71

300����� ( )2 3

24π + �����

53�����

12�

����

2

2

2 3 16

n nn

− +����

( )2

2

2 1

3

n

n

−���!����������� �����,�����������M�

��4���������,���,����!���������,���,����4���������,���,�5��,�,�<�7�

�����32���

13�����)���������������������������

4π��C���������

3π��D��

212

− ��Y��4π�����

1 3ln2 2

��1

ln 2�����

1 5ln2

+�� ��

6���

23�����

72

17��S��������

2 33

���� ln 3 ���� ln 3 ��+��3 2 2ln2 3++

����4����������� ������������������M������4����������� ������������������M�

����4����������� ������������������M��56������4����������� ������������������M��

13�

����4����������� ������������������M��1ee

− �����������������������52������

����������������1 2 1ln2 2 1

−+

�����23�����.��"�� 4 2 �����

22ln3�

���J �����,�����5�������+������������+������1�$��2����� ������������������ �$���

�������� ��� ������� �����������ξ$�� ���� ����� �� �+���� 0�� +�� � ����� ������� ���� ������������� ���,��5��������������H��������� ���������� ���+���$������ �

������� ��� ������� ����������� 5� ������� �� ����� ( )11

k

n

k kk

e x xξ−

=

−∑ � 5� ��� ��� ���,

Page 314: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

( )db

a

f x x∫ ������ �����,��������&��1�$��2�→��$������������������������������ ����,�5����

�������,��6�����������H��������� �����������$��+���$�5�������� ������������

��������������������5���������� ������������$�����5�������������5����,�

��� ��� �� ������,� ��� ���� � �����9��� �������� ��� ������� ����������� ����������

������� ����� �����5���������&������������4 � ����������*� ( )b

a

f x∫ ���B���������

������������ �������,��,����

�B����#�����#��

$�����∈���$��������� �������� �����

��B����#��������#��������������� ����,���,� ( )ln 11

xxx

+ > +��� �����,��������

�������� ( )ln 11

xxx

+ − +5�0��������� � � �������D�� �������+����M�

������

1 11

2

1 10 ln ln1

n nn

nn n

dx ndx xx nx

+ ++ +≤ ≤ = =

+∫ ∫ �→�!�

���

11 1 1

00 0

101 1 1

n nnx xdx x dx

x n n

+≤ ≤ = =+ + +∫ ∫ �→�!�

��� ( ) 12

f x x= − �����@������,��������4��������,�����

������7��

1

2 3 2 3

n nx xx x

+≤+ + $�������,��

�≤��

#������ 1

1 32 2n nI In −= − �����!�

���������

�������

��7���� �������������5�����D���+���������������,��� �������������

�� ( ) ( )( )1 1 1

0 0 0

1d d d1

p pf x x x x f x x xp

= = ⇔ −+∫ ∫ ∫ #!�5�������������������,�� �������

������������ �� ��������

���� ( ) ( )( )d d d 0b b b

a a a

f x x x x f x x x≥ ⇔ − ≥∫ ∫ ∫ ����9����� �������

������������ ������� �� �������� 5� �������8��������������,����∈� 1�$��2� ������� 0��9�

( )( )b

a

f x x−∫ ������������������≥�!�5�������� ����,�⇒��8������������!�∈���$���$���0������

!����!'

��4�� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d db x b

a a x

h x f x g x x f a g x x f b g x x= − −∫ ∫ ∫ $������������������� ����,�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d db b

a a

h a f x g x x f b g x x= −∫ ∫ �5� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d db b

a a

h b f x g x x f a g x x= −∫ ∫ �

Page 315: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

<�������9����,�������������,� �����+���������≤�������≤�������5�����&����≥�!��+��������&���

≤������&����≤������&����5���9���� ������������,�����,���������+���%���%����≤�!$����,�8��,���∈�1�$��2$����0��%������!�����������,��ZV ���������!�������������7 �,����������

�8�����!�5������ 3± ������������������#����#����������������&��

���#����#���

����������,��� �������������5��� ���������O���5����[�����������������!�����!�

����������,��� ��������������5����� �����,��������&����� ( )x

a

f x∫ �����������������

����������,�����������H ����������� ( ) ( )1 dx

a

g x f t tx

= ∫ �

�����������,��� ������������5��� ����� �,� ���� �������H ����������������,��� ����

�����������,�����8�����,�������+�� ������������� �����������7���+,��5� �����

���+�������,�����$��+,��5�� �����,���,����+���������� ��+,�

���������

�������

�����������

32 19

e +�������������������������������������� 1

2π − ��C��

21 ln 22

−����

2 12

+�

D��

22ln4 2 32π π+ − ��Y����π����� 2

2e −

�������������!�����

( )3 3 ln 3 10

2

+ +�

���������!$�����������������$��������������4π− ������� ����� ln 3 �����

2

1�����

12

e −�����

23�

��8π��C��

12π

���������������

2π��D�������Y�� ( )1 8 1

3− ��������������

4���

2ln 12

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠�

���1

ln 2�� �� ( ) 2 52 5 2 ln

1 2+− ++

�����4�������������$���$���$����!�

����������������,�,� ������� �� �����������,�������� ��5�������+���

���� ����������������������+���

( ) ( )2

0

1 1sin cos cos sin2 2

sin cos sin cos

x x

x x

e x x e x x

e x x e x x

π+ + + −

++ + + +∫ ����

2

0

1 12 2

x

π

+ �����

�#�����#� 20

cos )x�

21 1ln .2 2 2

eπ⎛ ⎞

π +⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�����C���������+�����,����(�5�����,���������� �����,������������,��13�

���������������C����������+�����,��������(������,���� ��������������,���

�������� ������,�����,�,� �������� ln 28π

�������� 2 2 1ln2 2 1

π +−

�����2π�

Page 316: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ( )2 ln 2 12 4π π− + + + ���������� ������,�����������������������C���������

+�����,������(��C������������C����������+�����,�1xt

= ��!�

������ln 2

8 2π − ����

14����������� 4 2 1 2 2 1

5 3− −− �����

8105

�����ln 92

����1 8ln2 5

C��

6

7

1 2 1ln6 2

+���

4 4

4 4

3 (2 1)1 ln4 (3 1)2

−−

���������� � ��5����8���� �+���&��5��� �������������

�����′��������� ��,�5�����,������������C����������+�����,������-��('

�������������$��

����

4��� �

���� ������

��������������������������

������!��������������

������ �

���������� 0 1

2, ln4 2

I Iπ= = − ����1

1nI n= − ���

�������!�

������� #�

���� ��� ( )

1

ln 1e

x −∫ ��

����5�������� #�

�≤�� 5��

�≥�!������

������ �

�������!�

�������������,��������+�����1!$��2����������� ( ) 0 1 2 21 ...n n n

n n n nx C C x C x C x+ = + + + + �

����M����,�������,��� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2d d

b bb

aa a

f x f x x f x f x f x x′′ ′ ′= −∫ ∫ �

���������

�������

�����476

����1arctg

4 2π + �����

1 1ln4 3

�����3ln2�����

34�����

38����

724

C��1 3 1 1 3arctg4 2 4 8 4 13

⎛ ⎞π ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠��D��

12��Y��

120

�����724

��������1 1arctg2 4 2

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�������� �

���3

���� ln 2 ���������&����������������&�������4ln3���

4ln3�����

4ln3�����

9ln8�

���63ln7������&�����

1 32ln2 3

���� �����#����� ��C�-��������'����'���� ���'���'��� �

�����14

− ��� ����9 3ln 3 ln 220 5

− + �����3 1 1ln 2 ln3 ln52 2 3

− − ����16ln9

���-����#����� ���11ln 52

�����'���������'���5 3ln 2 ln 32 2

− ��C����� �#��)����

������1 ln 2 33 6

π+ �����1 1 13 3 7 5ln 2 ln arctg arctg3 6 7 3 3 3

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

�����1 3 5ln7 2 37 3

π+ �

���1 ln 24 8

π− − �����5 3 1 5 1 1ln ln arctg2 2 4 8 4 4 2

π⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠�

Page 317: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

��

� � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������,�������5���������������������

���($�

2 4ln3 3

�������������,������5��������

���������� ��� �� ($�

1 45ln8 13

�� ���1 ln 24

�� ��� ��� �����

( ) ( )1 1

2 22 20 0

1d d1 1

x x xx x

++ +

∫ ∫ �

1 1ln 22 8 4

π+ + ����$���5���������������������1x tx

+ = �5�1x yx

− = ��C�253

��������������������1x tx

− = �������� �����(������ ������(����� ( )4 4

3

0 0

tg tg d tg dx x x x x

π π

+ −∫ ∫ �

��� ( ) ( )3 3 3

4 2 2

0 0 0

tg tg d tg 1 d dx x x x x x

π π π

+ − + +∫ ∫ ∫ �������� ���������#��������(�����

2x���(�

C����� �����������(��D��5�Y������ ������������(��������� �������������(�� ��� �����(�

��������(��S���������(����������(�������

�����(����������(����������(��+����������� ��,

�� ������0�����,��8������ � ������ ���������������������������5�������5���������� ��,��� �����

0�����,���K��

2

0

1 1lim d lim d2 sin 2 sin

x xx x

α π

α→π α→παα<π α>π

++ +∫ ∫ ���������������2x���(��������� �K��

�������

2 2

2 21 1

1d d2 2

x x xx x− −

++ +∫ ∫ ����� x ���(�����

3 x ���(�����1

xx + ���(����� 2 x− ���(�

��� 4x + ���(���� 1x − ���(��C�� 1x + ���(���3 2x + #���D��������,�������5������

�������������#�����(�Y�

12

x + #������������,������

�5������������������

���(�����.��#�����(�

����#�����1t�� ��5�S����#�����(������������(�������#�������

���������������,�����5�5����5'����

21 cos 2 sin 2ln 1 ;2 2 cos1 sin1

eI⎛ ⎞− −= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

21 cos 2 sin 2ln 12 cos1 sin1

eJe

⎛ ⎞− −= −⎜ ⎟− −⎝ ⎠����

2 2 11 ln ;4 2 1

I += − +−

�2 2 11 ln

4 2 1J += +

−�

�������5���14�'

����<������5���������������������#�����(�������� ������������������� x ���(���������.

������������������������(�

���� �#�&�

���#��

�����!�

Page 318: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

� � � � � � � � � � � � � � � � �

���������

�������

�����

1

20

1 d1

xx+∫ �����

1

20

1 d4

xx−∫ �����

1 2

0

d1x x

x+∫ �����

1

0

1 d1 2

xx+∫ ����

0

sin dx xπ

∫ ����

12

0

1 dx x+∫ ����

( )

1

20

1 d1 1

xx x+ +∫ ��C��

1

0

cos d2 2

x xπ π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ����

1

0

1 dx x+∫ �

���\��0��9������ �������,����

1

00

lim ln dx x

eα→α> α

∫����

( )1

2

0

ln 1 dx x

e−∫

������

1

00

lim ln dx x x

eα→α> α

∫�����

( )1

0

ln 1 dx x

e+∫

���2

1 1 1

sin 1 sin 1 sin 1

1

n n n

k k k

k k kn n n

n nn k= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠≤ ≤+ +∑ ∑ ∑ �5�����,����������N���5����[�

���

1 1

sin1 1lim sin lim2 cos 2 cos

n n

n nk k

nn k n k

n n n→∞ →∞

= =

ππ π=π π π+ +∑ ∑ ��

��

1 0

1 1lim d2 cos2 cos

n

nk

xn k x

n

π

→∞=

π =π ++∑ ∫ �

���

1 1 1 12

1 3 3 1 3 1 311 1

k k kn n n n kn n n

n

k k k kn k n k nn

n n n= = = =

≤ = ≤+ + +

∑ ∑ ∑ ∑ �5�����,����������N���5����[�

�������

�����14�����

32 43

������� 2 �����������12�������

32

�������������C���

��

����22

2− �����

322

− �����2 2ln

3�����

654�����

3 ln 24 3π π− + �����

e

11− �

������1

12�����

8(2 2 1)3

−�����

14 6π − �������#�

1e����������

'����

��#�

1173

�����

2

9����

3

1�

��� 2ln �����9

16���%����������������,����������������������������A�5����,��$����,��π�

�������

�����43

���2

�����4���

20π

�����3�������

23524π

���π�

Page 319: mate 12-01...ˆ ˙ ˆ # ˙ ˙ˆ ) ∈ 1 ˝ ˘ D > * C*∈ @ not = xˆ P ˆ " ˘ 2 % " ˇ + aˆ bˆ " ˇ ˘ = " ˘ & 8ˆ ˚ 3ˆ - 5ˆ 6 35⊕ 6 ˆ2

10

lice

Manual pentru clasa a 10-aMATEMATICA

EUGEN RADU

OVIDIU ªONTEA

TRUNCHI COMUN

Aprobat

MEC 2004