Mate.info.Ro.3410 Axi 55probleme Rezolvate

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC

Matematic

PROBLEME Din 12 beioare sunt compuse 5 ptrate. nlbeioare astfel, nct s rmn numai doudimensiuni diferite.

nscriei n cerculeele de pe desen numere de la 1 pnla 7 astfel nct, pe fiecare dreapt suma numerelor segal cu 15. (soluia problemei nu este unic

Desenai acest plic fr a ridica creionul de pe hrtie (fntrerupere).

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR.55 35

Matematic de vacan Gheorghe Crciun

TIATI C trate. nlturai 2

numai dou ptrate de ... Numele continentului Europa provine din cuvntul fenician ereb, adic apus de soare . Ciocul unei ciocnitoare lovete un arbore cu viteza de 20 Km/h?

numere de la 1 pn suma numerelor s fie

ia problemei nu este unic)

Cu o lungime total de aproximativ 2.850 kilometri, Dunrea este al doilea fluviu ca lungime din Europa (dup Volga, Rusia, 3.690 km) i al 29-lea din lume? Avnd n vedere c Volga strbate doar Rusia, ara nemembr UE, Dunrea este cel mai lung fluviu din Uniunea European.

eionul de pe hrtie (fr

... Fr scurgere n Oceanul Planetar, Marea Caspic este i cel mai mare lac al planetei (371800 km).

... Parisul a devenit capital a Franei nc din anul 1000. El este situat pe rul Sena, pe locul vechii aezri Luteia

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR.55

36

PROBLEME TIAI C Supuii unui sultan, gndindu-se c nu s-o prinde nimeni, au nlocuit unul din sacii de galbeni luai drept bir din s zicem Moldova, cu unul de bani fali. S zicem c sunt zece saci cu totul. E de la sine neles c se tie ct cntrete o moned adevrat; s spunem 10 grame. tiindu-se c banii fali sunt cu 1 gram mai uori dect cei adevrai, care este metoda prin care i poi da seama din care sac s-a furat, folosindu-te de o singur cntrire?

Dup ce i-a scrntit piciorul la 65 de ani, Grigore Moisil a afirmat: "tiam c la vrsta mea te scrnteti la cap, nu la picior."

... Vaticanul este cel mai mic stat de pe Glob (0,44 kmp) de fapt el este un cartier din nord-vestul Romei.

Trei colege, Maria, Olivia i Iulia, doresc s stea cte dou n banc. n cte moduri se pot aeza?

n vrst de 33 de ani, orice fiin a trit doar un miliard de secunde.

PARADOXUL FRIZERULUI (PARADOX = SITUAIE IMPOSIBIL, CONTRADICTORIE) - ntr-un sat, exist un frizer care-i rade pe toi locuitorii satului care nu se rad singuri. ntrebare: El poate s se rad pe el nsui? Dac se rade, nseamn c el este un locuitor care se rade singur, deci frizerul nu are voie s-l rad, deci nu se rade. Dar dac nu se rade, atunci el este un locuitor care nu se rade singur, deci frizerul trebuie s-l rad. Aadar, frizerul nostru se rade singur i, totodat, nu se rade singur ceea ce este imposibil!

... Pentru a obine un gram de venin sunt necesare peste 10 000 de albine. ... Cel mai mic mamifer din lume este oarecele cu bot ascuit. ... Girafa nu are corzi vocale i nu scoate nici un sunet. ... Cea mai mic pasre din lume este zna bondarilor cu 1,6g greutate. ... Cele mai lente psri sunt vrbiile.

- i-am citit lucrarea de control. Foarte bun, dar e identic cu a colegului tu de banc. Ce concluzie s trag de aici? ntreb profesorul.

- C i lucrarea lui este foarte bun.

n cte moduri pot fi aezate trei plrii de culori diferite pe trei cuiere?

... Deschis publicului n 1793, Muzeul Louvre a fost construit timp de peste 600 ani i adpostete peste 200000 colecii de art


37

A

B

Schimbai poziia unui singur beior, astfel nct egalitile s devin adevrate: a) VI V = I + I b) II = II - I c) V V = II d) III II = IV e) X X = XIX f) VI IV = L g) XI + I = X h) L II = LI i) XXXIX = XXXVIII - II

Marele scriitor irlandez George Bernard Shaw a fost invitat ca punct de atracie la masa unor aristocrai. Amfitrioana, cunoscut pentru inteligena sa cam ubred, fcu imprudena s-l ntrebe: - Spunei-mi, v rog, am auzit c petele regenereaz materia cenuie. Ce pete m sftuii s consum ? - Balena ! - rspunse prompt Shaw.

O furnic pleac din punctul A. Pentru a ajunge n vrful B va merge doar pe laturile ptrelelor din desenul alturat care au lungimea de 2 cm. Care este lungimea celui mai scurt drum posibil?

Atunci cnd clipim, pleoapa nu numai c apar ochiul, dar l i cur, asemenea tergtoarelor de parbriz, de praf i impuritile care pot vtma i mbolnavi ochiul.

O lege a statului Iowa cere pompierilor ca nainte de a pleca la stingerea unui incendiu s fac un antrenament de cinsprezece minute.

Proprietarul unui depozit de vinuri a lsat prin testament celor trei feciori ai si 21 de butoaie de aceiai capacitate, dintre care 7 erau pline cu vin, 7 erau pe jumtate pline, iar 7 erau goale. Se cere s se mpart aceast avere la cei trei fii, astfel nct fiecare s primeasc aceiai cantitate de vin i acelai numr de butoaie (7), fr s folosim vreo metod de msurare. Problema are mai multe soluii. Gsii una!

Zonele polare sunt acoperite de zpezi i gheuri venice. Locuitorii de la poli (eschimoii) s-au adaptat condiiilor oferite de mediile n care traiesc, locuiesc n case de ghea numite iglu, se hrnesc cu carne i grsime de urs, foc i pete, pe care le vneaz, i


38

confecioneaz mbrcmintea din blnurile animalelor vnate i se deplaseaz cu ajutorul sniilor trase de cini sau reni.

ntr-o cuc se afl iepuri de cas i prepelie, n total 100 picioare i 36 capete. Ci iepuri i cte prepelie sunt?

... Ochiul unui om poate distinge peste 150 de nuane de culori.

Construii o fraz n limba romn, de minim 10 cuvinte, n care toate cuvintele s nceap cu aceeai liter. De exemplu, fraza urmtoare are 14 cuvinte, toate ncepnd cu litera f: "Floarea, fata fostului funcionar Fane Frunzvede fierbe fasole fr foc fiindc focul face fum."

... Pasarea colibri este o adevrat bijuterie a naturii datorit penajului ei deosebit de frumos? Triete n diferite zone, din Alaska pn n ara de Foc i de la coastele oceanului pn la nlimile Anzilor.

Extras din legile elevului 1. Elevul nu copiaz niciodat, consult. 2. Elevul nu chiulete, este solicitat n alte pri. 3. Elevul nu rmne corigent, este lsat corigent. 4. Elevul nu fumeaz, se stimuleaz. 5. Elevul nu ntrzie niciodat, el este reinut. 6. Elevul nu citete reviste n timpul orelor, se informeaz. 7. Elevul nu distruge coala, o redecoreaz. 8. Elevul nu arunc cu creta, studiaz legea gravitaiei. 9. Elevul nu rde n ore, e fericit.

O florreas i vinde florile dup o regul bizar. Un crin cost 8 lei, n timp ce o dalie cost 10 lei. O frezie cost 12 lei, iar o tuberoz 16 lei. Urmnd aceeai logic, ct cost un trandafir ?

... n fiecare diminea cluii de mare au un randez-vous, atunci ei ncep un dans graios, care se repet zilnic, timp de o via?

ntr-un acvariu erau 15 peti, unii mari i alii mici. Fiecare pete mare nghite cte 2 peti mici astfel nct toi petii mici sunt nghiii. Ci peti mari sunt n acvariu?

... Un fir de pianjen care ar nconjura globul ar cntri cca 300g.

Profesorul Baltazar povestete prietenilor si: Iat ce mi s-a ntmplat n 1932. Atunci aveam exact atia ani ci exprimau ultimele dou cifre ale anului meu de natere. I-am mprtit aceasta bunicului meu, care m-a uimit c i cu vrsta lui s-a ntmplat exact acelai lucru, adic i el avea atunci atia ani ci exprim ultimele dou cifre ale anului naterii sale. Ci ani avea fiecare dintre noi n 1932?

... Liliacul vampir are aria de rspndire din Mexic pn n Paraguay. Se hrnete cu sngele unor animale. Atac noaptea victimele, animale sau oameni, provocndu-le rni. Acioneaz att de repede nct omul adesea nici nu


39

sesizeaz momentul mucturii. Stomacul i dentiia lor sunt adaptate acestui mod de a se hrni, incisivii i caninii i permit s fac o gaur mic n pielea victimei prin care suge sngele.

Gsii un numr de cinci cifre, cu proprietatea ca fiecare cifr a numrului s fie mai mare dect suma cifrelor din dreapta lui.

Atunci cnd sunt ncolite, unele oprle i pot pierde o bucat din coad, aceasta crescnd la loc dup cteva luni de zile.

Cnd face ciorb, Veronica pune cte 4 boabe de mazre pentru fiecare bob de fasole. n total a pus 15 de boabe. Cte din ele sunt de mazre?

Ariciul hiberneaz, adic doarme n vizuina lui din octombrie pn n aprilie.

Un zidar are 8 crmizi. apte din ele au aceiai greutate, iar una este puin mai grea dect celelalte. Zidarul dispune de o balan.

Poate el depista crmida mai grea, folosind numaidou cntriri ? Cum ?

Petii buzai triesc n mrile nordice? Femela i las ouale n apa, iar masculul le adpostete n gur. Aici, ele se transform n petiori care ies din gura tatlui pentru scurt timp, s mnnce, apoi se ntorc la adapost. n aceast perioad petele nu se hrnete.

Un grup de 100 de turiti au plecat la nceputul verii n strintate. Zece dintre acetia nu tiau nici limba francez, nici limba englez. 75 tiau limba francez, iar 83 tiau limba englez. Ci turiti tiau ambele limbi?

Toate plantele, care astzi transform grdinile noastre i peisajele de la ar sau facparte din hrana noastr s-au dezvoltat din plante care triau n oceane,


40

PROBLEME REZOLVATE Gheorghe Crciun

CLASA a V-a 1 Un numr natural este ,,prieten cu 2014 dac restul i ctul mpririi lui 2014 la acesta

sunt egale. Ci ,,prieteni are 2014? Gheorghe Crciun, O.L.M Prahova Rezolvare Observm c 2014 1 2 19 53= Avem 2014 ,r i r r i= + < adic 2014=r(i+1) Pentru r=1 obinem i=2013 Pentru r=2 obinem i=1006 Pentru r=19 obinem i=105 Pentru r=38 obinem i=52 Restul valorilor lui r (19,53,106,2014)nu convin deoarece nu este ndeplinit i condiia r


41

1

2 2

3 3

4 4

5 5

U(1991 ) 1U(1992 ) U(2 ) 4U(1993 ) U(3 ) 7U(1994 ) U(4 ) 6U(1995 ) U(5 ) 5

=

= =

= =

= =

= =

Obinem U(A)=U(1+4+7+6+5)=U(23)=3 A nu este ptrat perfect.

5 Determinai cifrele a si b astfel nct 16 2a bab + += O.L.M. 2010, Olt, Dan Coma

Soluie: Deoarece 6ab este un numr de trei cifre rezult a+b+1{7, 8, 9 }.Cum ( ) 6=abcu i

( )42 6ku = rezult c a+b+1=8 sau a+b=7. Deci 2a+b+1=28 =256, a=2 i b=5. 6 Artai c dublul sumei numerelor naturale, care mprite la 2015 dau ctul egal cu

restul, nu este ptrat perfect. O.L.M. Ialomia,2015

Soluie. Conform teoremei mpririi cu rest: Nr,2015r,rq2015a


42

1.

CLASA a VI-a

Se consider numerele naturale = + 1 + 2 + 8 i = 6, unde este un numr natural oarecare. a) Artai c numrul 36 se poate scrie ca sum de trei cuburi perfecte. b) Determinai restul mpririi lui la 3. c) Artai c numrul se poate scrie ca sum de trei cuburi perfecte.

O.L.M.Alba,2015

Soluie. a) 36 = 1 + 2 + 3 b) + 1 + 2 3 deci = 2 c) = 3 + 2,

= 6 = 61 + 2 + 3 = 6 + 2 6 + 3 6 3. Pe o dreapt a se consider punctele Ao,A1,A2,..A2015 astfel nct

AoA1=A1A2,,AoA2=A2A3,AoA3=A3A4,..AoA2014=A2014A2015 tiind c A2014A2015=22014 cm, calculai A0A1, A2005A2015 i determinai cel mai mic numr natural k asa nct A0Ak > 1 km.

O.L.M.Ialomia,2015 Soluie. Noteaza : 2 3 20140 1 0 2 0 3 0 4 0 20152 , 2 , 2 ,....... 2A A x A A x A A x A A x A A x= = = = =

2013 20142014 2015 0 2015 : 2 2 2 2A A A A x x= = = Obtine:

2015 2005 20050 1 2005 2015 0 2015 0 20052 ; 2 2 1023 2 ( )A A cm A A A A A A cm= = = =

Din 5 5 5 5 11 5 12

0 10 2 10 2 5 ; 2 5 2 min( 5) 12 17k kkA A si k k> > > < < = = 4. S se determine a,b N ,a


43

6. Dou unghiuri complementare au o latur comun i bisectoarele lor determin un unghi de 25. Se accept c una din laturile celor dou unghiuri aparine interiorului unghiului format de cele dou bisectoare.

a) Demonstrai c cele dou unghiuri nu pot fi adiacente. b) Determinai msurile celor dou unghiuri.

Rezolvare a) Dac sunt adiacente, atunci = 45. Contradicie cu ipoteza.

b) Folosind notaiile de pe figur i ipoteza avem: " $ = 25; 2" + 2$ = 90 () = 70 i )+ = 20

CLASA a VII-a

1. Fie E un punct pe latura AB a ptratului ABCD i {M} = AC DE. Dac BF DE, F DE iar {O} = AC BD, s se demonstreze c OBM OFM iar BE este bisectoarea unghiului FBM.

Eugeniu Blju, Bacu

Soluie

Deoarece M (AC), MO este mediatoarea segmentului BD aadar MBD este isoscel, de undeMDB MBD (1) Pe de alt parte FO este median n triunghiul dreptunghic FBD, prin urmare [FO] [DO] adic FOD este isoscel, de unde: OFD ODF (2) Din (1) i (2) se obine c OBM OFM. DAE ~ BFE (DAE BFE (90) , DEA BEF (op. vf.) de unde se obine c ADE FBE (3) Dar AMD AMB ([AM] [AM], MAD MAB, [DA] [BA]) aadarADM ABM (4) Din (3) i (4) se obine c FBE ABM ceea ce demonstreaz c BE este bisectoarea unghiului FBM.


44

2. Fie M mijlocul laturii AB in ptratul ABCD. Perpendiculara n M pe MC intersecteaz latura AD n N. S se calculeze valoarea raportului

NDAN

.

Eugeniu Blju, Bacu

Soluie:

Deoarece m(NMC) = 90 se obine c:m(AMN) + m(BMC = 90 1 Dar mBMC + mBCM = 90 2 Din 1 i 2 rezult c AMN BCM. Triunghiurile AMN i BCM sunt asemenea NAM MBC 90, AMN BCM prin urmare vom avea

BCAM

MBAN

= i cum 21

=

BCAM M este mijlocul laturii

AB se obine c 21

=

MBAN . Deoarece MB =

2AD , nlocuind n relaia de mai sus se

gsete c 41

=

ADAN i folosind proporii derivate, se gsete

31

=

NDAN

3. S se determine numerele naturale prime diferite a, b, c cu proprietatea

156cba 3c1b2a =++ +++ . Petre Nchil

Rezolvare . 2aa + N dac a este par; fiind prim, rezult a=2; 424 = 1bb + + 3cc + = 152; b+1 i c+3 pare b i c impare, prime.

Dac b=3; 934 = , 3cc + = 143; nu este putere.

Dac b=5; 12556 = 3cc + = 27; cc+3 = 36 c = 3, prim.

Dac b=7; 15677 48 >= . R: a = 2, b = 5, c = 3.

4. n triunghiul dreptunghic ABC, cu 090)A(m = , punctul P(AB), PDBC, D(BC) i punctul M(DC). Demonstrai c APD este asemenea cu CMP dac i numai dac MP i AC sunt paralele.

Gheorghe Bumbcea 10 MP || AC i AC AB MP || AB


45

BDP ~ MPB MPDP

BMBP

= (2). MP || AC CMAP

BMBP

= (3). Din (2) i (3):

CMMP

APDP

CMAP

MPDP

== (4). Din (1) i (4): APD ~ CMP. 20 APD ~ CPM


46

4.

5.

S se afle x,y R astfel nct: 22222222 )6()8()6()8( yxyxyxyx +++++++ =20

Gh.Craciun, Ploieti

Rezolvare Fie P(x,y) un punct n planul dreptunghiului OABC unde A(0,6), B(8,6), C(8,0).Evident PO+PB OB cu egalitate dac P [AB]. PA+PC AC cu egalitate dac P [AC]. Dar PO+PB= 2222 )6()8( yxyx +++ Iar PA+PC= 2222 )6()8( yxyx +++ AC=OB=10 deci

22222222 )6()8()6()8( yxyxyxyx +++++++ 10+10 Avem egalitate dac P BOAC adic P(4,3) rezult soluia este x=4 i y=3.

Fie f:RR, f(x) = 23

x 2 i g:(10, 10)R, g(x) = ax + 3 unde aR\

23

.

a) Demonstrai c xf(x) + f(0)f(1) f

914

, pentru orice xR.

b) Artai c dac graficele celor dou funcii au un punct comun, atunci: 1

2a31

Documents

Mate.info.Ro.3410 Axi 55probleme Rezolvate