Matem aticas del Grado en Biolog a - UAH...Ecuaciones aut onomas no lineales de primer orden: clasi ca-ci on de puntos jos y gr a cos de tela de arana.~ . . . . . . . .86 viii INDICE

Matematicas del Grado en Biologıa

Juan Ruiz Alvarez Marcos Marva Ruiz

10 de diciembre de 2014

ii

Indice general

1. Funciones lineales, polinomicas y racionales. 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Funciones lineales y sus graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Definicion de funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. Propiedas de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3. Interpretacion de la pendiente de una recta . . . . . . 4

1.3. Funciones polinomicas y racionales . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Definicion de funcion polinomica . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Polinomio interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. Polinomio interpolador de Lagrange . . . . . . . . . . 9

1.4.2. Comentarios sobre raıces de polinomios . . . . . . . . 9

1.5. Definicion de funcion racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Funciones potenciales y exponenciales 13

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Funciones potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1. Alometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

iii

iv INDICE GENERAL

2.3. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1. Propiedades de funciones exponenciales . . . . . . . . 16

2.3.2. Funcion de exponencial de base e . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5. Funciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1. Propiedades de logaritmos: . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.2. Relacion entre las funciones exponenciales y logarıtmicas 18

2.5.3. Relacion entre logaritmos y funciones potenciales endistintas bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6. Escala Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6.1. Tipos de representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6.2. Transformacion en funciones lineales . . . . . . . . . . 21

2.6.3. Representacion de funciones exponenciales en escalasemilogarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.4. Representacion de funciones potenciales en escala log-log o logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Funciones trigonometricas y oscilaciones 25

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Funciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2. Funcion sin(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.3. Funcion cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Funcion tg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4. Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

INDICE GENERAL v

3.5. Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Sucesiones y ecuaciones en diferencias. 37

4.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1. Notacion explıcita y recursiva . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Comportamiento a largo plazo de una sucesion: Lımite . . . . 39

4.2.1. Lımite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Ecuaciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1. Puntos fijos de ecuaciones recursivas . . . . . . . . . . 40

4.4. Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Lımites y continuidad 43

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2. Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.1. Recordatorio sobre lımites . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3. Propiedades de los lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4.1. Continuidad por la derecha y por la izquierda . . . . . 48

5.5. Operaciones con funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . 48

5.6. Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.7. Teorema del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.8. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6. Derivacion 51

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

vi INDICE GENERAL

6.2. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2.1. Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3. Tasas de cambio: Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.1. Velocidad Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.2. Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.4. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.5. Derivacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.6. Tasas de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7. Valores extremos 57

7.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2. Teorema de los valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3.1. Pasos para encontrar extremos locales . . . . . . . . . 59

7.4. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.5. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.6. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.6.1. Puntos crıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8. Aproximacion polinomica 63

8.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2.1. Polinomio de Taylor en x = 0: Serie de McLaurin . . . 64

8.2.2. Polinomio de Taylor en el punto x = a . . . . . . . . . 65

INDICE GENERAL vii

8.3. Metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9. Integracion 67

9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.2. Primitivas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.2.1. Pequena coleccion de primitivas . . . . . . . . . . . . . 69

9.3. Problema del area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.4. Integrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.4.1. Interpretacion geometrica de las integrales definidas . 70

9.4.2. Propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . . . 70

9.5. Teorema fundamental del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.6. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.7. Aplicaciones de la integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.7.1. Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.7.2. Cambio acumulativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.7.3. Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.Ecuaciones en diferencias 75

10.1. Introduccion: un ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10.2. Ecuaciones lineales y afines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.2.1. Ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

10.2.2. Ecuaciones afines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10.3. Ecuaciones autonomas no lineales de primer orden: clasifica-cion de puntos fijos y graficos de tela de arana. . . . . . . . . 86

viii INDICE GENERAL

10.3.1. Comportamiento cualitativo de una ecuacion: puntosfijos y comportamiento asintotico. . . . . . . . . . . . 87

11.Ecuaciones diferenciales 95


11.2. Ecuaciones diferenciales y sus soluciones: forma estandar deuna ecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11.3. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.4. Solucion de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.4.1. Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . 98

11.4.2. Definicion de solucion general y solucion particular . . 99

11.5. Solucion de una ecuacion con segundo miembro dependientesolo de t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.6. Ecuaciones autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11.7. Metodos graficos para analizar el comportamiento a largo pla-zo y la estabilidad de las soluciones de una ecuacion diferencial102

11.7.1. Campos de pendientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.7.2. Metodo de las isoclinas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.8. Un metodo numerico para encontrar la solucion de una ecua-cion diferencial de primer orden en un punto: el metodo deEuler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11.9. Metodos analıticos para estudiar el comportamiento a largoplazo y la estabilidad de las soluciones de una ecuacion dife-rencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.9.1. Equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.9.2. Estabilidad: Lineas de fase . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.9.3. Clasificacion de puntos de equilibrio . . . . . . . . . . 108

INDICE GENERAL ix

11.9.4. Teorema de linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

11.10.Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

11.10.1.Resolucion de ecuaciones diferenciales lineales . . . . . 110

11.10.2.Aplicacion: Modelo de un compartimento . . . . . . . 112

12.Funciones de varias variables 115


12.2. Funciones reales de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.3. Propiedades y representacion grafica . . . . . . . . . . . . . . 118

12.4. Grafica de una funcion de dos variables . . . . . . . . . . . . 119

12.4.1. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

12.4.2. Superficies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12.5. Lımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12.6. Derivadas parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

12.7. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

12.7.1. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . 128

12.7.2. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

12.8. Calculo de extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

12.9. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

12.9.1. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

x INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Funciones lineales,polinomicas y racionales.

1

2CAPITULO 1. FUNCIONES LINEALES, POLINOMICAS Y RACIONALES.

1.1. Introduccion

En este tema se introducira el concepto de funcion y sus propiedades. Asıcomo diversos tipos de funciones relevantes en el campo de la Biologıa.

1.2. Funciones lineales y sus graficas

1.2.1. Definicion de funcion

Definicion: Una funcion f es una regla que asigna a cada elemento x delconjunto A exactamente un elemento y del conjunto B. El elemento y sedenomina imagen (o valor) de x mediante f , y se indica como f(x). Elconjunto A se denomina dominio de f , el conjunto B se denominacodominio de f y el conjunto f(A) recorrido de f .

Para definir una funcion se emplea la notacion:

f : A → B

x → f(x)

Es frecuente llamar a x variable independiente y a y variable dependiente.

1.2.2. Propiedas de las funciones

Igualdad

Dos funciones f y g son iguales si y solo si

1. f y g estan definidas en el mismo dominio y

2. f(x) = g(x) para todos los elmentos x del dominio.

Paridad

Una funcion f : A→ B se dice que es

1.2. FUNCIONES LINEALES Y SUS GRAFICAS 3

1. par si f(x) = f(−x) para todo x ∈ A.

2. impar si f(x) = −f(−x) para todo x ∈ A.

Funcion compuesta

Definicion: La funcion compuesta f ◦ g (tambien llamada composicion def y g), se define como:

(f ◦ g)(x) = f [g(x)]

Para todo x perteneciente al dominio de g para el que g(x) pertenezca aldominio de f .

Funcion lineal

Definicion: Una funcion lineal es del tipo:

f(x) = m · x+ c

1. Su nombre proviene del hecho de que su grafica es una linea recta.

2. La pendiente m representa la relacion constante entre el incrementode las x y de las y.

3. Si unicamente conocemos dos pares de datos, tan solo podemosestablecer una relacion lineal entre dichas variables.

Ejemplo: Si unicamente disponemos de 2 pares de datos, tan solopodemos establecer una relacion lineal entre x e y:

x a0 a1

y b0 b1

y = b0 +b1 − b0a1 − a0

· (x− a0)


Ejemplo: ¿Mantienen los datos x e y mostrados en la siguiente tabla unarelacion lineal?:

x -2 -1 0 1 2

y -3 -1 1 3 5

(Ayuda: prueba a sustituir los valores de x en la siguiente funciony = 1 + 2 · x).

1.2.3. Interpretacion de la pendiente de una recta

La pendiente es igual a la tangente del angulo que forma la recta con el ejex.

m =∆x

∆y=

sin(α)

cos(α)

1.3. Funciones polinomicas y racionales

1.3.1. Definicion de funcion polinomica

Las funciones polinomicas son las funciones elementales mas simples.

Definicion:Una funcion polinomica es una funcion de la forma

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n

donde n es un entero no negativo y a0, a1, ..., an son constantes (reales yan 6= 0). El coeficiente an se denomina primer coeficiente y el valor de nes el grado de la funcion polinomica. El mayor dominio posible de f es R

Funciones cuadraticas

Son del tipo y = ax2 + bx+ c. Las graficas de este tipo de funciones sonparabolas .

1.3. FUNCIONES POLINOMICAS Y RACIONALES 5

Si disponemos de 3 datos, haciendo uso de ellos, podemos ajustar unarelacion de segundo grado. Si consideramos los datos mostrados en lasiguiente tabla:

x -1 1 5

y 0 -6 6

Podemos sustituir los valores de x y de y en la expresion y = ax2 + bx+ c,obteniendo el sistema de ecuaciones siguiente:

0 = a− b+ c−6 = a+ b+ c6 = 25a+ 5b+ c

Resolviendo el sistema matricial (por ejemplo usando el metodo de Gauss) 1 −1 11 1 125 5 1

· a

bc

=

06−6

Obtenemos que a = −1, b = 3, c = 4 y, por tanto:

y = −x2 + 3x+ 4

Ahora podrıamos preguntarnos en que casos unos cuantos pares de datosquedan ajustados por una relacion cuadratica. Para responder a estapregunta, podemos hacer uso de las diferencias de primer orden y desegundo orden. Las diferencias de primer orden se definen como ladiferencia entre dos datos consecutivos. Las solemos representar por ∆y o∆x, donde ∆y = y1 − y0 y ∆x = x1 − x0 que es igual a h si los datos estanequiespaciados. Las diferencias de segundo orden se definen como ladiferencia de dos diferencias de primer orden consecutivas,∆2y = ∆y1 −∆y0.

Si los datos mantienen una relacion cuadratica, las diferencias de segundoorden de las ordenadas (y), suponiendo las abscisas (x) equidistantes,deben ser constantes:

En la tabla vemos que los datos son equidistantes.


x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

y 0.8 0.705 0.620 0.545 0.480 0.425

∆x - 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

∆y - -0.095 -0.085 -0.075 -0.065 -0.055

∆2y - - 0.01 0.01 0.01 0.01

Ahora estamos en disposicion de mostrar una formula que nos proporcioneuna expresion cuadratica para datos que mantengan una relacioncuadratica y que sean equidistantes. Siendo la distancia entre las abscisas hy y0,∆y0,∆

2y0 los numeros que aparecen en primer lugar en cada fila de latabla anterior, la formula de la funcion cuadratica se puede escribir como:

y = y0 +x− x0

h∆y0 +

(x− x1)(x− x0)

2h2∆2y0

Y para nuestro ejemplo:

y = 0,8 +x

0,1(−0,095) +

(x− 0,1)x

0,020,01

Que simplificando resulta en,

y = 0,8− 0,95x− 0,05x+ 0,5x2 = 0,5x2 − x+ 0,8

Polinomios de grado n

Las funciones polinomicas o polinomios son funciones del tipo:

y = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n =n∑i=0

aixi

y por lo tanto engloban a las funciones estudiadas en apartados anteriores(lineales y cuadraticas).

Si disponemos de n+ 1 pares de datos (x, y), podemos ajustar una relacionde grado ≤ n. Consideremos el ejemplo mostrado en la siguiente tabla:

Vemos que disponemos de 4 pares de datos (x, y). Con estos datos,podemos ajustar un polinomio que pase por cada uno de los puntosmostrados y que como maximo tenga grado 3.

1.3. FUNCIONES POLINOMICAS Y RACIONALES 7

x -2 2 3 5

y -6 6 24 120

Si planteamos un sistema de ecuaciones para un polinomio del tipoy = ax3 + bx2 + cx+ d, vemos que tenemos 4 incognitas, que es el maximonumero de incognitas que podemos resolver disponiendo de 4 pares dedatos. El sistema que obtenemos es:

−6 = a · (−2)3 + b · (−2)2 + c · (−2) + d6 = a · (2)3 + b · (2)2 + c · (2) + d24 = a · (3)3 + b · (3)2 + c · (3) + d120 = a · (5)3 + b · (5)2 + c · (5) + d

Resolviendo este sistema obtenemos:

y = x3 − x

Ahora puedes reflexionar acerca de si una formula del tipo:

y = y0+x− x0

h∆y0+

(x− x1)(x− x0)

2h2∆2y0+

(x− x2)(x− x1)(x− x0)

6h3∆3y0

Serıa aplicable en el caso anterior. (Pista: ¿Son los datos equidistantes?)

¿Cuando un conjunto de pares de datos (x, y) quedan ajustadospor una relacion polinomica de grado n?

Podemos considerar que un grupo de pares de datos (x, y) mantienen unarelacion polinomica de grado n cuando las diferencias de orden n de lasordenadas (y), suponiendo las abscisas (x) equidistantes, son constantes.


Con la notacion seguida en apartados anteriores, es cierta la formula:

y = y0 +x− x0

h∆y0 +

(x− x1)(x− x0)

2h2∆2y0

+(x− x2)(x− x1)(x− x0)

6h3∆3y0 + ...

+(x− xn−1)(x− xn−2)...(x− x0)

n!hn∆ny0

Ejemplo: Consideremos el ejemplo mostrado en la siguiente tabla:

x -2 -1 0 1 2 3 4

y -30 -10 -2 0 2 10 30

∆x - 1 1 1 1 1 1

∆y - 20 8 2 2 8 20

∆2y - - -12 -6 0 6 12

∆3y - - - 6 6 6 6

Queremos econtrar la expresion de un polinomio de grado n ≤ 6 que pasepor todos los puntos de la tabla. Para ello, vemos que los datos de la tablaestan equiespaciados en el eje x. Por lo tanto, podemos usar directamentela formula mostrada en (1.1):

y = −30 + 20(x+ 2)− 12

2(x+ 1)(x+ 2) +

6

6x(x+ 1)(x+ 2)→

y = −30 + 20x+ 40− 6x2 − 18x− 12 + x3 + 3x2 + 2x→

y = x3 − 3x2 + 4x− 2

1.4. Polinomio interpolador

Cuando buscamos un polinomio de grado ≤ n que ajuste n+ 1 pares dedatos (x, y), el polinomio que cumple estas restricciones es el denominadopolinomio interpolador. Cuando solo disponemos de 2 pares de datos(x0, y0) y (x1, y1), al proceso de encontrar un dato nuevo que se encuentreen el intervalo (x0, x1) se le denomina interpolacion lineal (comoexplicaremos a continuacion, en el caso de querer encontrar un dato que

1.4. POLINOMIO INTERPOLADOR 9

caiga fuera del intervalo (x0, x1), dicho proceso se denominarıaextrapolacion). Si tenemos 3 pares de datos, interpolacion cuadratica,etc...

La extrapolacion consiste en utilizar el polinomio interpolador parapredecir valores de y fuera del dominio encerrado por las abscisas (x)mayor y menor del conjunto de datos.

1.4.1. Polinomio interpolador de Lagrange

En general, podemos expresar el polinomio interpolador de Lagrange quepasa por n puntos del tipo (xn, yn) como:

f(x) =(x− x1) · (x− x2) · ... · (x− xn)

(x0 − x1) · (x0 − x2) · ... · (x0 − xn)· y0

+(x− x0) · (x− x2) · ... · (x− xn)

(x1 − x0) · (x1 − x2) · ... · (x1 − xn)· y1

+(x− x0) · (x− x1) · (x− x3) · ... · (x− xn)

(x2 − x0) · (x2 − x1) · (x2 − x3) · ... · (x2 − xn)· y2 + ...

+(x− x1) · ... · (x− xn−1)

(xn − x1) · (xn − x2) · ... · (xn − xn−1)· yn

Vemos que el polinomio interpolador de Lagrange asegura de una formasencilla que dicho polinomio pase por todos los puntos (xn, yn)seleccionados. (Si no ves por que este polinomio pasa por todos los puntosseleccionados, trata de sustituir el valor x = x0 en el polinomiointerpolador, es decir, obten f(x0). Veras que los coeficientes queacompanan a y0, y1, ..., yn estan escogidos de forma que sean cero exceptoen x0, x1, ..., xn respectivamente).

1.4.2. Comentarios sobre raıces de polinomios

Metodo de la bisectriz para aproximar raıces

Este metod es uno de los mas sencillos para encontrar las raıces de unafuncion. En primer lugar encontramos dos valores de x ,a y b, para los que


la funcion tiene diferente signo, es decir, y(a) · y(b) < 0. Una vez hechoesto, seguimos los siguientes pasos:

1. Se calcula el punto medio m del intervalo [a, b]. A continuiacion seevalua f(m). Si este valor es igual a cero, ya hemos encontrado laraız buscada.

2. En caso contrario, comprobamos si f(m) tiene signo contrariocomparado con f(a) o f(b).

3. Escojemos en que intervalo [a,m] o [m, b] hay un cambio de signo.

4. Con este nuevo intervalo continuamos aplicando este algoritmosucesivamente encerrando la solucion en un intervalo cada vez maspequeno, hasta alcanzar la precision deseada.

Ejemplo: Encontrar una raız del polinomio 2x3 − 4x2 + 1 = 0, con doscifras decimales. Las raıces de este polinomio son 3, puesto que el polinomioes de grado 3 (este dato no es necesario para resolver el problema):

x1 ≈ −0,451605

x2 ≈ 0,596968

x3 ≈ 1,85463

Si damos valores a x espaciados por una distancia h0 = 1, obtenemos lasiguiente tabla:

x -1 0 1 2

y -5 1 -1 1

Observandola, vemos que encontraremos soluciones en los intervalos(−1, 0), (0, 1) y (1, 2). Tratemos de refinar ahora la solucion que seencuentra en el intervalo (1, 2). Calculamos el punto medio de esteintervalo m1 = 1,5. El valor de f en ese punto es f(m1) = −5

4 , que esnegativo, luego podemos continuar con el proceso escogiendo el intervalo[1,5, 2], ya que la funcion en x = 2 es positiva. Ahora calculamos el puntomedio de este intervalo m2 = 1,75. En este punto f(m2) = −17

32 , que esnegativo, luego escogemos el intervalo [1,75, 2]. Ahora calculamos el punto

1.5. DEFINICION DE FUNCION RACIONAL 11

medio de este intervalo m3 = 1,875 y calculamos el valor de la funcion enese punto f(m3) = 31

256 , que es positivo, luego escogemos el intervalo[1,750, 1,875]. El punto medio es m4 = 1,8125 y f(m4) = −0,2319, que esnegativo, luego escogemos el intervalo [1,8125, 1,875], cuyo punto medio esm5 = 1,8438. El valor de la funcion en este punto es f(m5) = −0,0623, quees negativo, luego escogemos el intervalo [1,8438, 1,875]. El punto medio deeste intervalo es m6 = 1,8594 y f(m6) = 0,0278, que es positivo, luegoescogemos el intervalo [1,8438, 1,8594]. El punto medio de este intervalo esm7 = 1,8516 y f(m7) = −0,0176, que es negativo, luego escogemos elintervalo [1,8516, 1,8594]. Puesto que tenemos 2 cifras decimales igual,podemos decir que esas dos cifras son exactas.

1.5. Definicion de funcion racional

Definicion:

Una funcion racional se define como el cociente entre dos funcionespolinomicas p(x) y q(x):

f(x) =p(x)

q(x)

para q(x) 6= 0.

Ejemplo: La funcion y = 1x es una funcion racional.

Ejemplo: En general, y = ax+bcx+d es una funcion racional. Si verifica que∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣ 6= 0

Entonces la funcion representa una hiperbola equilatera.

Ejemplo: La velocidad V(cm/seg) con la que los musculos de una rana sepueden contraer bajo el estımulo de una carga positiva C (Coulombios), seha comprobado que obedece a la ley empırica

V = 0,95

(70− CC + 12

)


Representar la velocidad en funcion de la carga.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

30

35

40

Carga (Coulombios)

Ve

locid

ad

(m

/s)

Figura 1.1: Representacion de la velocidad de respuesta de los musculos dela rana en funcion de la carga aplicada.

Capıtulo 2

Funciones potenciales yexponenciales

13

14 CAPITULO 2. FUNCIONES POTENCIALES Y EXPONENCIALES

2.1. Introduccion

En este tema se estudiaran las funciones potenciales y exponenciales,directamente relacionadas con la modelizacion matematica de procesosnaturales. Tambien estudiaremos la escala logarıtmica, puesto que dicharepresentacion es ampliamente utilizada tanto en biologıa como en otroscampos de la ciencia. Finalmente estudiaremos las funciones inversas.

2.2. Funciones potenciales

Definicion de funcion potencial: Una funcion potencial f es de laforma:

f(x) = xr,

Siendo r un numero real.

Si r pertenece a los numeros enteros, r ∈ Z, las funciones potencialesestan perfectamente definidas (excepto cuando x = 0 y r < 0).

Si r pertenece a los racionales, r ∈ Q, r = mn , entonces la funcion es

una raız: f(x) = xr = xm/n = n√xm,

Analizando los comentarios anteriores, podemos ver facilmente que lasfunciones potenciales siempre estan definidas si x > 0.

Ejemplos: Dos ejemplos de funciones potenciales son los siguientes:

y = x1/3, x ∈ R

y = x5/2, x ≥ 0

2.2.1. Alometrıa

Definicion: Las funciones potenciales aparecen frecuentemente en lasrelaciones de escala entre variables biologicas. Son relaciones del tipo:

y ∝ xr

2.3. FUNCIONES EXPONENCIALES 15

(que quiere decir y es proporcional a xr). En la relacion anterior, r es unnumero real distinto de 0.

La ecuacion anterior se puede expresar en forma de igualdad si seintroduce una constante de proporcionalidad:

y = kxr

La busqueda de estas relaciones es el objetivo de la alometrıa.

Ejemplo: Ejemplo tıpico de funcion potencial son las alometrıas entre lostamanos de las diferentes partes del cuerpo de un ser vivo: El tamano de lacornamenta de un reno crece con la edad. Durante los primeros 5 anossegun c(t) = 53,2e0,17t y la altura del hombro como h(t) = 88,5e0,1t.Establecer una relacion entre el crecimiento del hombro y el crecimiento dela cornamenta. Solucion: Para establecer una relacion entre el crecimientodel hombro, y de la cornamenta del reno, podemos despejar la variable t deuna de las dos ecuaciones que nos proporcionan, por ejemplo delcrecimiento del hombro,

t =1

0,1ln

(h

88,5

).

Una vez hecho esto, podemos sustituir t en la ecuacion del crecimiento dela cornamenta y simplificar usando las propiedades que conocemos sobrefunciones logarıtmicas y exponenciales,

c = 53,2e0,170,1

ln(

h88,5

)= 53,2

(h

88,5

)0,17/0,1

= 0,026h1,7.

La relacion obtenida se denomina Alometrıa.

2.3. Funciones exponenciales

Definicion: Una funcion f se denomina funcion exponencial de base a si,

f(x) = ax

Siendo a una constante positiva distinta de 1. El dominio mas grandeposible de f es R. La forma de la funcion exponencial depende de la basea. El crecimiento exponencial se produce siempre que a > 1 y eldecrecimiento exponencial cuando 0 < a < 1. No hay que olvidar quea0 = 1 y que a1/k = k

√a.


2.3.1. Propiedades de funciones exponenciales

Las principales propiedades de las funciones exponenciales se presentan acontinuacion:

Producto de funciones exponenciales. El resultado de multiplicar dosfunciones exponenciales con la misma base sera otra funcionexponencial con la misma base y con exponente la suma de losexponentes,

aras = ar+s.

Division de funciones exponenciales. El resultado de dividir dosfunciones exponenciales con la misma base sera otra funcionexponencial con la misma base y con exponente la diferencia de losexponentes,

ar

as= ar−s.

Un exponente negativo equivale a realizar la inversa de la funcionexponencial

a−r =1

ar.

Potencia de una funcion exponencial. El resultado de elevar unafuncion exponencial a una potencia sera otra funcion exponencial conla misma base y con exponente el producto de los exponentes,

(ar)s = ars.

2.3.2. Funcion de exponencial de base e

El numero e se denomina base exponencial natural. Es la base de loslogaritmos naturales o neperianos. Se define como el lımite de la sucesion:

lımx→∞

(1 +

1

x

)x= e

La funcion exponencial de base e, se puede expresar de dos formasequivalentes:

exp(x) = ex

2.4. FUNCIONES INVERSAS 17

2.4. Funciones inversas

Definicion: Sea f : A→ B una funcion inyectiva (es decir, que para cadavalor de x tan solo hay un valor de f(x) y viveversa) con recorrido f(A).La funcion inversa f−1 tiene como dominio f(A) y como recorrido A, y sedefine por

f−1(y) = x⇔ y = f(x)

Para ∀y ∈ f(A).

Ejemplo La funcion inversa del cos(x) en un periodo, x ∈ [0, 2π) es elarcos(x). Puedes reflexionar acerca de por que hemos definido esta funcionen un periodo. Pista: ¿Es la funcion cos(x) inyectiva en todo su dominio?.

Ejemplo La funcion inversa del ln(x) es la funcion exponencial de base e,ex.

2.5. Funciones logarıtmicas

Definicion: La inversa de f(x) = ax se denomina logaritmo en base a yse escribe como f−1(x) = loga(x)

El dominio de f(x) = ax es el conjunto de los numeros reales R y surecorrido es el conjunto de los numeros reales positivos R+. Como elrecorrido de f es el dominio de f−1, se obtiene que el dominio delf−1(x) = loga(x) es el conjunto de los numeros reales positivos R+.

Es importante recordar que el logaritmos solo esta definido para x > 0. Ellogaritmo satisface las siguientes propiedades:

2.5.1. Propiedades de logaritmos:

Logaritmo del producto,

loga(st) = loga(s) + loga(t),

independientemente de si s y t son variables o constantes.


Logaritmo del cociente,

loga

(st

)= loga(s)− loga(t),


Logaritmo de una potencia,

loga(sr) = r loga(s),


2.5.2. Relacion entre las funciones exponenciales ylogarıtmicas

Recordemos la relacion entre la funcion logaritmo y la exponencial:

La composicion de una funcion exponencial de base a y de unafuncion logaritmo de base a, es la identidad,

aloga(x) = x,∀x > 0

La composicion de una funcion logarıtmica de base a y de unafuncion potencial de base a, es la identidad,

loga(ax) = x,∀x ∈ R

2.5.3. Relacion entre logaritmos y funciones potenciales endistintas bases

Cualquier funcion exponencial de base a se puede expresar como unafuncion exponencial de base e. Ası mismo, cualquier logaritmo en base a sepuede escribir en funcion del logaritmo natural. Las dos igualdadessiguientes indican como:

ax = eln(ax) = exln(a)

2.6. ESCALA LOGARITMICA 19

loga(x) = ln(x)ln(a) . Esta igualdad se puede probar muy facilmente,

asumiendo que x = ac. Aplicando ahora el logaritmo neperiano a x,

ln(x) = ln(ac) = c · ln(a).

Entonces, es directo ver que ln(x)ln(a) = c = loga(a

c) = loga(x)

Ejemplo: Trata de probar las dos relaciones anteriores. (Pista: para elprimer caso, trat de expresar exp(xln(a)) como la potencia de unapotencia. Para el segundo caso, puedes suponer que x = ab y ver queresultado obtenemos al aplicar el logaritmo en base a o en base e ycompararlos).

Ejemplo: Supongamos que un cierto tipo de celula se divide en dos cadamedia hora. Suponiendo que la poblacion inicial es P0 y que no existenmuertes, tenemos:

t(horas) 0 1/2 1 3/2 2 5/2 3

P (individuos) P0 2P0 4P0 8P0 16P0 32P0 64P0

Establecer una relacion potencial para el crecimiento de la poblacion deeste tipo de celulas.

Solucion: La relacion que debemos establecer (segun especifica elenunciado) es potencial. Vemos que para t = 0,5 la poblacion se hadoblado, para t = 1 se ha multiplicado por 4 y ası sucesivamente. Vemosque el factor P0 aparece sin modificar en todas las columnas de la tabla.Por tanto, no forma parte de la base de la funcion potencial y es un merofactor multiplicativo. El enunciado nos dice que la poblacion se dobla cadaunidad de tiempo (cada media hora), luego la base de la funcionexponencial ha de ser 2. Aparte de esto, para t = 0,5, el resultado es elproducto de la base y P0, luego el exponente ha de ir multiplicado por 2.La unica funcion potencial que cumple esta secuencia de crecimiento esP (t) = P0 · 22t.

2.6. Escala Logarıtmica

Existen magnitudes cuyo valor en ordenadas (eje y) varıa recorriendovarios ordenes de magnitud para una variacion pequena de las abscisas (eje


x). En estos casos, cuando queremos hacer una representacion grafica dedicha magnitud, podemos usar la escala logarıtmica. En este tipo derepresentaciones, normalmente se usan logaritmos decimales. En este casoestamos usando una escala en la que las potencias de 10 para el eje de las xo para el eje las y (o para ambas) son equidistantes. En la literatura sobrebiologıa se utiliza x y no log(x) para etiquetar los numeros en la escalalogarıtmica. Tambien podemos representar f(x) en escala logarıtmica tantopara el eje x como para el eje y . Este tipo de representacion se denominalog-log. Si solo el eje x o el eje y esta representado en escala logarıtmica,entonces la representacion se llama semilogarıtmica en x o en y.

Ejemplo: Representar la funcion exponencial f(x) = 20,1x en escala linealy logarıtmica.

Solucion: En la figura 2.6, se representa la funcion del enunciado en escalalineal. Es conveniente observar que la funcion varıa de 0 a 14 · 1029 paravalores de x de 0 a 1000.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

2

4

6

8

10

12

14x 10

29

x (escala lineal)

f(x)

(esca

la lin

ea

l)

Figura 2.1: Representacion de la funcion f(x) = 20,1x en escala lineal tantopara el eje x como para el eje y.

En la figura 2.2 se representa la misma funcion en escala logarıtmica, tantopara el eje x tanto para el eje y. Vemos que este tipo de representacionpermite realizar una mejor observacion de la variacion de la funcion en elintervalo seleccionado.


100

101

102

103

100

105

1010

1015

1020

1025

1030

1035

x (escala logaritmica)

f(x)

(escala

logaritm

ica)

Figura 2.2: Representacion de la funcion f(x) = 20,1x en escala logarıtmicatanto para el eje x como para el eje y.

2.6.1. Tipos de representaciones

Podemos clasificar las representaciones en tres tipos diferentes, segun a queeje aplicamos la representacion logarıtmica:

Escala lineal, donde no se aplica la representacion logarıtmica aninguno de los ejes.

Escala log-log, donde aplicamos la representacion logarıtmica a losdos ejes.

Escala log-lineal o semilogarıtmica, donde aplicamos la representacionlogarıtmica a uno de los dos ejes, (generalmente se aplica al eje x).

2.6.2. Transformacion en funciones lineales

Si partimos de una funcion exponencial o potencial, la representacion enescala logarıtmica (log-log) o semilogarıtmica, puede proporcionarnos unaherramienta muy conveniente para el analisis del crecimiento de este tipode funciones.

Ejemplo: Supongamos que queremos representar la funcion f(x) = 20,1x,mostrada en escala lineal en la figura 2.6. Si en lugar de representar lafuncion f(x), representamos la funcion log(f(x)), aplicando las


propiedades de los logaritmos a dicha funcion obtenemos,

log(f(x)) = log(20,1x) = 0,1 · xlog(2) = 0,03 · x.

Es decir, que si representamos el log(f(x)) en funcion de x, larepresentacion de esta funcion serıa una recta, tal y como se muestra en lafigura 2.3. Si en lugar de representar el log(f(x)), modificamos el espaciadodel eje x de forma logarıtmica, obtendrıamos la representacion mostrada enla figura 2.4. Es importante que nos fijemos en que, en esta ultima figura,en el eje y ahora aparecen potencias de 10 en cada uno de los ticks del eje.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

10

20

30

40

50

60

70

x (escala lineal)

log(f

(x))

Figura 2.3: Representacion de la funcion log(f(x)) = log(20,1x) = 0,03 ·x enescala lineal tanto para el eje x como para el eje y.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

0

105

1010

1015

1020

1025

1030

1035

x (escala lineal)

f(x)

(esca

la lo

ga

ritm

ica

)

Figura 2.4: Representacion de la funcion f(x) = 20,1x en escala logarıtmicapara el eje y (o en escala semilogarıtmica en y).


Ejemplo: La representacion de la funcion y = log(f(x)) = 1,5 + 0,5xaparece la figura 2.5 en escala lineal. Econtrar la funcion f(x) yrepresentarla.

Solucion: Sabiendo que la funcion exponencial de base 10, es la inversa dela funcion logaritmo decimal, podemos decir que,

y = log(f(x)) = 1,5 + 0,5x→ 10log(f(x)) = f(x) = 101,5+0,5x = 101,5 · (100,5)x

≈ 31,62 · 3,162x

Con lo que podemos decir que la funcion f(x) es exponencial.

Figura 2.5: Representacion de la funcion y = log(f(x)) = 1,5 + 0,5x

2.6.3. Representacion de funciones exponenciales en escalasemilogarıtmica

Si partimos de una funcion exponencial f(x) = b · ax y la representamos enun grafico semilogarıtmico en y, representarıamos:

y = log(f(x)) = log(b · ax)→ y = log(b) + log(a)x

Con lo que obtendrıamos una funcion lineal en x. Esto quiere decir que sirepresentamos la funcion f(x) = b · ax en escala semilogarıtmica en y,obtendrıamos una recta. Tambien obtendrıamos una recta si representamosel log(y) en funcion de x, tal y como hemos visto en ejemplos anteriores.


2.6.4. Representacion de funciones potenciales en escalalog-log o logarıtmica

Si partimos de una funcion potencial f(x) = b · xa, aplicando unatransformacion logarıtmica, obtendrıamos:

y = log(f(x)) = log(b · xa)→ y = log(b) + a · log(x)

Por lo tanto, si representamos esta funcion en un grafico logarıtmico olog-log, obtendrıamos una recta. Del mismo modo, si representamos ellog(y) en funcion del log(x), tambien obtendrıamos una recta, tal y comose ha visto en ejemplos anteriores.

Capıtulo 3

Funciones trigonometricas yoscilaciones

25

26CAPITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y OSCILACIONES

3.1. Introduccion

En este tema se introducira el concepto de funcion trigonometrica.Veremos las representaciones graficas de este tipo de funciones ası comosus propiedades. Tambien analizaremos distintos procesos naturalesmodelados mediante funciones trigonometricas.

3.2. Funciones periodicas

Definicion: Se dice que una funcion f(x) es periodica si existe unaconstante positiva T y un numero entero k tal que:

f(x± k · T ) = f(x)

Para ∀x ∈ dom(f). Si T es el numero mas pequeno que cumple estapropiedad se denomina periodo de f(x).

3.2.1. Funciones trigonometricas

Las funciones trigonometricas son ejemplos de funciones periodicas. Lasfunciones trigonometricas mas habituales son las siguientes:

sin(x), cos(x) y tg(x) = sin(x)cos(x) .

cosec(x) = 1sin(x) , sec(x) = 1

cos(x) , cotg(x) = cos(x)sin(x) .

Tambien son importantes las funciones inversas, arcsin(x),arccos(x), arctg(x).

Ası mismo, tambien es importante conocer las funciones hiperbolicas(sinh(x), cosh(x), ...).

En este curso, estudiaremos principalmente: sin(x), cos(x), tg(x).

3.2. FUNCIONES PERIODICAS 27

3.2.2. Funcion sin(x)

La funcion sin(α), donde α esta representado en la figura 3.1, se definecomo el cociente entre el cateto a y la hipotenusa h, es decir sin(α) = a

h .

αa

b

h

Figura 3.1: Triangulo rectangulo.

En general, la expresion de una funcion Seno, vendra dada por:f(x) = A sin(ωx+ φ0) Donde:

A es la amplitud.

φ0 es la fase inicial.

El periodo es T = 2πω .

La frecuencia angular es ω = 2πT .

A pesar de que hemos escrito f(x) con una fase unicial φ0, podemosinterpretar esta fase inicial de otra manera. Para ello, podemos expresarf(x) como sigue,

f(x) = A sin(ω(x+ φ0ω )) = A sin(ω(x+ x0))

Vemos que, en este caso, el argumento de la funcion sin, es ω(x+ x0). paraesta funcion, cuando x toma valores, vemos que el argumento del sinsiempre se vera aumentado en una cantidad ωxo, si la comparamos con lafuncion sin(x). Para que el argumento del sin(ω(x+ x0)) sea cero, esnecesario que x tomo el valor −x0, luego podemos concluir que al sustituirx por x+ x0, hemos desplazado la senal a la izquierda. La figura 3.3,muestra la representacion de la funciones sin(ω(x+ x0)), sin(ω(x− x0)) ysin(ω(x− x0)) (en dichas graficas aparecen representadas en funcion de φ,¿es esto un error?. Si reflexionas sobre ello, veras que si ω es la frecuenciaangular y se expresa en rads/s y x es el tiempo y se expresa en s, suproducto dara como resultado rads, que es una medida de angulo. Para


encontrar una equivalencia entre las dos representaciones, podemos decirque φ = ω · (x± x0)). Es posible desplazar cualquier funcion periodicausando esta tecnica.

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

φ

sin

(φ)

Figura 3.2: Representacion de la funcion sin(φ) en el intervalo −π/2 < φ <π/2.

3.2.3. Funcion cos(x)

La funcion cos(α), donde α esta representado en la figura 3.1, se definecomo el cociente entre el cateto b y la hipotenusa h, es decir cos(α) = b

h

En general, la expresion de una funcion Coseno, vendra dada por:f(x) = A cos(ωx+ φ0) Donde:

A es la amplitud.



3.2. FUNCIONES PERIODICAS 29

−2pi −3pi/2 −pi −pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

φ

f(φ)

sin(φ)

sin(φ−π/2)

sin(φ+π/2)

Figura 3.3: Representacion de las funciones sin(φ), sin(φ−π/2) y sin(φ+π/2)



Al igual que en el caso de la funcion sin(ωx+ φ0), podemos desplazar lasenal hacia la derecha o la izquierda, sin mas que sustituir x por x+ x0 opor x− x0 respectivamente. La figura 3.5, muestra la representacion de lafunciones cos(ω(x+ x0)), cos(ω(x− x0)) y cos(ω(x− x0)). (En este casopodemos hacer el mismo comentario acerca de las representaciones.Podemos asumir que φ = ω · (x± x0))

Figura 3.4: Representacion de la cos(φ) en el intervalo −π/2 < φ < π/2.

3.3. Funcion tg(x)

La funcion tg(α), donde α esta representado en la figura 3.1, se definecomo el cociente entre el cateto a y el cateto b, es decir tg(α) = a

b

En general, la expresion de una funcion Tangente, vendra dada por:f(x) = A cos(ωx+φ0)

sin(ωx+φ0) = A tg(ωx+ φ0) Donde:

A es la amplitud.

3.3. FUNCION TG(X) 31

−2pi −3pi/2 −pi −pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

φ

f(φ)

cos(φ)

cos(φ−π/2)

cos(φ+π/2)

Figura 3.5: Representacion de las funciones cos(φ), cos(φ − π/2) y cos(φ +π/2)





En la figura 3.6, podemos ver la representacion de la funcion tg(φ) en elintervalo −π/2 < t < π/2 (un periodo).

Figura 3.6: Representacion de la tan(φ) en el intervalo −π/2 < φ < π/2.

3.4. Formula de Euler

Leonard Euler fue el primero en proponer la igualdadeiφ = cos(φ) + i sin(φ), donde i es la unidad imaginaria. A traves de estaformula podemos encontrar las relaciones trigonometricas que conocemos.Como ejemplo, demostremos la formulacos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b). Para empezar, de la formula de

3.4. FORMULA DE EULER 33

Euler, sabemos que cos(φ) = eiφ+e−iφ

2 , por lo tanto,

cos(a+ b) =ei(a+b) + e−i(a+b)

2=eiaeib + e−iae−ib

2=

Se puede verificar facilmente que esta expresion es equivalente a

=eia + e−ia

2

eib + e−ib

2− eia − e−ia

2i

eib − e−ib

2i= cos(a+ b)

De la misma manera, podemos probar que,

cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

sin(a− b) = sin(a) cos(b)− cos(a) sin(b)

Ademas, tambien nos sera muy util conocer la formula fundamental de latrigonometrıa:

cos2(a) + sin2(a) = 1.

Usando la formula de Euler es inmediato probar esta igualdad.

Usando estas igualdades, es facil llegar a expresiones del tipo:

cos(2a) = cos2(a) + sin( a)

sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

Ejercicio: Tratar de demostrar las igualdades anteriores. Solucion Esteejercicio puede resolverse sin mas que sustituir a = b en las formulas decos(a+ b) y sin(a+ b).

Ejercicio: Encontrar las expresiones decos(ωt+ π/2), cos(ωt− π/2), sin(ωt+ π/2), sin(ωt− π/2). Solucion:Utilizando las formulas del coseno de la suma y la diferencia, es muy facilprobar que:

cos(ωt+ π/2) = − sin(ωt)


cos(ωt− π/2) = sin(ωt)

sin(ωt− π/2) = − cos(ωt)

sin(ωt+ π/2) = cos(ωt)

3.5. Oscilaciones

En general, las oscilaciones se expresan en funcion del sin(x) o del cos(x)como, f(x) = A cos(ωt+ φ0) + C o f(x) = A sin(ωt+ φ0) + C Puesto quedichas oscilaciones se componen de una funcion seno o coseno mas unaconstante, los parametros seran los mismos que se han descrito conanterioridad:

A es la amplitud (diferencia entre el maximo y la media).

φ0 es la fase inicial (si es una funcion cos(t) es el tiempo del primermaximo, si es una funcion sin(t), sera el tiempo del primer mınimo).

El periodo es T = 2πk (tiempo entre maximos).

C es el valor medio de la funcion.


Ejemplo La poblacion de pequenos pajaros dentro de cierto area, se hadescubierto que varıa entre 1000 y 1500 individuos a lo largo del ano. Elmınimo ocurre el 31 de Marzo. El maximo, 6 meses despues. Sabiendo quela poblacion puede expresarse matematicamente como una funciontrigonometrica, encontrar dicha expresion. Solucion Sabemos que lafuncion poblacion de pajaros en un ano, p(t), es periodica con periodoT = 12meses. Podemos expresar p(t) como una funcion seno o cosenodesplazadas. Si la tratamos de expresar mediante una funcion seno,sabemos que el primer mınimo del seno se produce para un valor de suargumento igual a φ = 3π/2 o φ = −π/2. Por lo tanto, podemos decir quepara t = 3 meses, debemos tener que el argumento del sin(phi) es igual aφ = −π/2 o φ = 3π/2. Si ω = 2π/12, puesto que T = 12meses, la funciontendra el siguiente aspecto,

p(t) = A sin

(2π

12(t− t0)

)

3.5. OSCILACIONES 35

para obtener φ = −π/2 (por ejemplo) en t = 3 meses, simplementesustituimos y despejamos,

2π

12(3− t0) =

−π2

Despejando obtenemos que t0 = 0, luego la fase inicial es 0 yp(t) = C +A sin

(2π12 t). Solo nos queda calcular la amplitud A y el valor

medio C. Podemos calcular ambos datos a partir del dato de variacion dela poblacion entre 1000 y 1500 individuos a lo largo del ano. Segun estedato, la amplitud valdra A = 1500−1000

2 = 250 y el valor medioC = 1500+1000

2 1250. De este modo, la funcion que buscamos es,

p(t) = 1250 + 250 sin(π

6t)


Capıtulo 4

Sucesiones y ecuaciones endiferencias.

37

38 CAPITULO 4. SUCESIONES Y ECUACIONES EN DIFERENCIAS.

4.1. Sucesiones

Definicion de sucesion Una funcion f(x) con dominio los numerosnaturales dom(f) = N y recorrido los reales im(f) = R:

f : N → Rn → f(n),

se denomina sucesion. Se utilizara tambien la notacion an = f(n) paradenotar el termino n o termino general de la sucesion y escribiremos {an}para indicar la sucesion completa. Se pueden enumerar los valores de lasucesion en orden creciente del ındice n:

a1, a2, a3, ..., an

Ejemplos de sucesiones:

La sucesion an = (−1)n, n = 0, 1, 2, 3, ... toma los valores:

1,−1, 1,−1, 1,−1, ...

La sucesion an = n2, n = 0, 1, 2, 3, ... toma los valores:

0, 1, 4, 9, 16, ...

Comentario: Cuando se observan varios terminos de una sucesion, esposible escribir el termino general an.

4.1.1. Notacion explıcita y recursiva

En general se pueden usar dos notaciones diferentes para sucesiones:

Explıcita, en la forma:

an = f(n), n = 0, 1, 2, ...

4.2. COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO DE UNA SUCESION: LIMITE39

Recursiva, en la forma:

an+1 = f(an), n = 0, 1, 2, ...

Donde f(an) es una funcion de an. Si el valor de an+1 solo dependedel valor una unidad de tiempo atras, en este caso an, la ecuacionrecursiva se llama ecuacion recursiva de primer orden. (Sidependiera de an y an−1 se llamarıa ecuacion recursiva de 2o

orden). Con el fin de especificar el valor de los terminos sucesivos deuna ecuacion recursiva, es necesario conocer un termino inicial a0 sin = 0 o a1 si n = 1.

4.2. Comportamiento a largo plazo de unasucesion: Lımite

En esta seccion estudiaremos cual es el comportamiento a largo plazo dealgunas sucesiones. Para ello haremos uso de los lımites.

4.2.1. Lımite de una sucesion

Llamamos lımite de una sucesion al valor de dicha sucesion cuando ntiende a infinito. Ejemplo: Encontrar los lımites de las siguientessucesiones cuando n→∞

an = (−1)n, n = 0, 1, 2, 3, ... En este caso, vemos que la funcion tomaalternativamente valores iguales a 1 y a −1. Es, por tanto, una serieoscilante, con lo que no tiene lımite cuando n→∞.

an = 2n, n = 0, 1, 2, 3, ... En este caso vemos que cuando n→∞,an →∞.

an = n+1n , n = 0, 1, 2, 3, .... Si obtenemos el lımite del termino general,

obtenemos,

lımn→∞

an = lımn→∞

n+ 1

n= 1.


4.3. Ecuaciones recursivas

Si expresamos an como una ecuacion recursiva, nos podrıamos plantearcomo calcular su lımite. Veamos un primer ejemplo:

Ejemplo: Calcule an con n = 1, 2, ..., 5, cuando an viene dado por laecuacion recursiva,

an+1 =1

4an +

3

4

con a0 = 2.

Para calcular el lımite de esta sucesion podrıamos obtener los sucesivosterminos de la misma:

1. a1 = 14a0 + 3

4 = 54 = 1,25.

2. a2 = 14a1 + 3

4 = 1716 = 1,0625.

3. a3 = 6564 =≈ 1,0156.

4. a4 = 257256 =≈ 1,0039.

5. Por lo tanto, observando la sucesion anterior podemos concluir que eltermino general de la sucesion es an = 4n+1

4n .

4.3.1. Puntos fijos de ecuaciones recursivas

Definicion de punto fijo: Un punto fijo es un punto tal que si a0 es igualal punto fijo, entonces todos los valores sucesivos de an son iguales alpunto fijo.

Ejemplo: Encontrar un punto fijo para las ecuaciones recursivasan+1 = 1

4an + 34 y an+1 = 3

an.

Solucion: Para encontrar un punto fijo x, sabemos que si an = x, entoncesan+1 = x. Por lo tanto, para encontrar los puntos fijos de la ecuacionrecursiva an+1 = 1

4an + 34 , hacemos an = an+1 = x y tratamos de resolver

la ecuacion resultante:

x =x

4+

3

4,

4.4. ECUACIONES EN DIFERENCIAS 41

de esta ecuacion obtenemos que el unico punto fijo de la ecuacion es 1.Para la segunda ecuacion recursiva propuesta, podemos proceder de lamisma manera. Si an = an+1 = x obtenemos,

x =3

x,

de donde obtenemos x = ±√

3, con lo que para la ecuacion recursivaan+1 = 1

4an + 34 hay dos puntos fijos en

√3 y −

√3.

Comentario: Un punto fijo es solo un candidato al lımite de la sucesion.Dependiendo del valor inicial, la sucesion an puede converger o no. Si sesabe que la sucesion converge, su lımite debe ser uno de los puntos fijos.

4.4. Ecuaciones en diferencias

Como se menciono anteriormente, una ecuacion recursiva de la formaNt+1 = f(Nt), se denomina recursiva de primer orden, ya que para obtenerel valor Nt+1, es necesario conocer el valor en el instante de tiempoanterior Nt. Las ecuaciones recursivas se suelen llamar tambienecuaciones en diferencias. Este nombre proviene de escribir la ecuacionen la forma Nt+1 −Nt = g(Nt).

Al estudiar modelos de crecimiento poblacional se utilizan ecuaciones endiferencias y frecuentemente el interes se encuentra en el comportamientode la poblacion a largo plazo (tamano final constante, oscilacionpredecible, fluctuacion aleatoria, etc). En temas posteriores avanzaremosen el conocimiento de este tipo de ecuaciones.


Capıtulo 5

Lımites y continuidad

43

44 CAPITULO 5. LIMITES Y CONTINUIDAD

5.1. Introduccion

En este tema hablaremos sobre los conceptos de lımite y continuidad deuna funcion. Dichos conceptos seran muy importantes en temasposteriores, sobre todo cuando estudiemos derivabilidad de funciones, yaque lımites y continuidad estan directamente relacionados con el conceptode derivada y de derivabilidad. En la ultima parte del tema tambienharemos un pequeno repaso de resolucion de inecuaciones.

5.2. Lımites

5.2.1. Recordatorio sobre lımites

Definicion informal: El lımite de f(x) cuando x tiende a c, es igual a L,significa que f(x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L,siempre que x este suficientemente cerca de c (pero no sea igual a c). Estose indica como:

lımx→c

f(x) = L

o f(x)→ L cuando x→ c.

Si lımx→c f(x) = L y L es un numero finito, se dice que el lımite existe yque f(x) converge a L. Si el lımite no existe, se dice que f(x) divergecuando x→ c. Conviene aclarar que x siempre sera cercano a c pero nuncaigual. Por lo tanto, no vale unicamente con sustituir x por c. De hecho,muchas veces el valor de f(c) es irrelevante para calcular lımx→c f(x). Enotros casos, dicho valor c sı es relevante ya que nos proporcionara pistasacerca de como resolver dicho lımite. Veremos ejemplos en los que f(c) noesta definida.

Cuando calculamos el lımite lımx→c f(x), podemos hacerlo por la derecha opor la izquierda. Utilizaremos la notacion siguiente:

Lımite por la derecha: lımx→c+ f(x) cuando x se acerca a c por laderecha.

Lımite por la izquierda: lımx→c− f(x) cuando x se acerca a c por laizquierda.

5.2. LIMITES 45

Para que el lımite de una funcion exista, ambos lımites laterales debenexistir y deben ser iguales.

Ejemplo: Calcular los siguientes lımites:

lımx→2 x2

lımx→3x2−9x−3

lımx→0|x|x

lımx→01x2

lımx→0 sin(πx

)Solucion:

Para calcular el primer lımite, puesto que la funcion x2 no presentaninguna discontinuidad en 2, el lımite sera,

lımx→2

x2 = 4.

La funcion x2−9x−3 tiene un cero en el denominador en x = 3, por lo

tanto, para resolver este lımite podemos tratar de simplificar dichaexpresion,

lımx→3

x2 − 9

x− 3= lım

x→3

(x− 3)(x+ 3)

x− 3= lım

x→3(x+ 3) = 6

Para resolver este lımite, es conveniente expresar la funcion |x| como

|x| ={−x x < 0x x ≥ 0

(5.1)

Es simple ver que en x = 0 la funcion |x|x presenta unaindeterminacion. Podemos intentar simplificar dicho lımite, pero paraello debemos hacer uso de la forma explıcita de la funcion |x|, ya queesta tiene distinta definicion para x < 0 y x ≥ 0. En este caso,podemos calcular los lımites laterales de dicha funcion:

lımx→0−

|x|x

= lımx→0−

−xx

= lımx→0−

−1 = −1.


Ahora podemos calcular el lımite por la derecha:

lımx→0+

|x|x

= lımx→0+

x

x= lım

x→0−1 = 1.

Vemos que ambos lımites laterales son diferentes, con lo que podemosconcluir que el lımx→0

|x|x no existe.

El lımx→01x2

tiende a infinito en el punto x = 0.

El calculo de el lımx→0 sin(πx

)es un poco mas sutil. Sabemos que

sin(ωt) es una funcion que invariablemente toma valorespertenecientes al intervalo [−1, 1] (o lo que es lo mismo, su imagen esIm(sin(x)) = [−1, 1]). Por lo tanto, el lımx→0 sin

(πx

)pertenecera a

dicho intervalo, pero esta indeterminado. Luego estelımite no existe.

5.3. Propiedades de los lımites

Sea a una constante y supongamos que lımx→c f(x) y lımx→c g(x) existen.Se cumplen entonces las siguientes reglas:

lımx→c af(x) = a lımx→c f(x).

lımx→c [f(x) + g(x)] = lımx→c f(x) + lımx→c g(x).

lımx→c [f(x) · g(x)] = lımx→c f(x) · lımx→c g(x).

lımx→cf(x)g(x) = lımx→c f(x)

lımx→c g(x) , suponiendo que lımx→c g(x) 6= 0.

La primera y la segunda propiedad pueden expresarse mas comodamente apartir de la expresionlımx→c(af(x) + bg(x)) = a lımx→c f(x) + b lımx→c f(x). Podemos concluirque la operacion lımx→c f(x) es una operacion lineal.

Ademas de las propiedades anteriores, si f(x) es un polinomio, entonces sulımite sera el valor de dicho polimimio en c:

lımx→c

f(x) = f(c)

5.4. CONTINUIDAD 47

Si f(x) es una funcion racional, es decir, un funcion del tipo:

f(x) =p(x)

q(x)

siendo p(x) y q(x) polinomios y q(c) 6= 0, entonces el lımite cuando xtiende a c sera el valor de dicha funcin en c:

lımx→c

f(x) = lımx→c

p(x)

q(x)=p(c)

q(c)= f(c)

5.4. Continuidad

Definicion: De manera informal, podemos decir que una funcion escontinua en todo su dominio si podemos recorrer todos los puntos de sugrafica sin levantar el la‘piz del papel. Como tan solo en unas pocasocasiones podremos observar todo el dominio de una funcion, podemoshacer uso de la definicion de continuidad de una funcion en un intervalo,que es equivalente a la anterior. De manera informal, podemos decir queuna funcion es continua en un intervalo abierto (a, b) (por intervaloabierto (a, b) entendemos aquel que no incluye los extremos a y b) sipodemos recorrer todos los puntos de su grafica sin levantar el la‘piz delpapel en dicho intervalo.

Para comprobar si una funcion es continua en un punto x = c, es necesarioverificar que dicha funcion cumple las tres condiciones siguientes en dichopunto:

f(x) esta definida en x = c.

Existe el lımite lımx→c f(x). Para ello sera necesario verificar que loslımites laterales lımx→c− f(x) y lımx→c+ f(x) existen y son iguales.

lımx→c f(x) es igual a f(c).

Si falla alguna de las tres condiciones, diremos que la funcion no escontinua o es discontinua en x = c.


5.4.1. Continuidad por la derecha y por la izquierda

La continuidad lateral esta directamente relacionada con los lımiteslaterales de la funcion en c.

Definicion: Se dice que una funcion es continua por la derecha en x = c si

lımx→c+

f(x) = f(c)

. y continua por la izquierda en x = c si

lımx→c−

f(x) = f(c)

.

5.5. Operaciones con funciones continuas

Sea a una constante y sean las funciones f y g continuas en x = c.Entonces las funciones siguientes son continuas en x = c:

a · f(x)

f(x) + g(x)

f(x) · g(x).

f(x)g(x) con tal de que g(c) 6= 0. En el caso de que g(x) se anule en algunpunto, habra que examinar cada caso particular para determinar si esposible simplificar la expresion f(x)

g(x) y determinar si es continua o no.

Teorema: Si g(x) es continua en x = c con g(c) = L y f(x) es continua enx = L, entonces la composicion de funciones (f ◦ g)(c) es continua enx = c. En particular, podemos decir que:

lımx→0

(f ◦ g)(x) = lımx→c

f [g(x)] = f [g(c)] = f(L)

5.6. TEOREMA DEL SANDWICH 49

5.6. Teorema del Sandwich

Teorema: Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),∀x en un intervalo abierto que contengaa c (excepto probablemente en c) y

lımx→c

f(x) = lımx→c

h(x) = L

entonces

lımx→c

g(x) = L

5.7. Teorema del valor intermedio

Teorema Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si L esun numero real tal que f(a) < L < f(b) o f(b) < L < f(a), existe al menosun numero c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = L.

5.8. Inecuaciones

Esta seccion se limita unicamente a un repaso sobre el concepto deinecuacion que el alumno debe conocer de bachiller. Procedamos a repasardicho concepto con un ejemplo Ejemplo: Resolver la inecuacion:

xx− 2

(x− 4)(x+ 1)> 0

Solucion: Para resolver esta inecuacion es neceario analizar el signo decada uno de los componentes de la funcion racional anterior. Esta tarea esfacil si nos servimos de una tabla:

La solucion de esta inecuacion seran los puntos del dominio de f(x) paralos cuales la imagen es mayor que cero. Estos puntos sonx ∈ {(−∞,−1) ∪ (0, 2) ∪ (4,+∞)}


x < −1 −1 ≤ x < 0 0 ≤ x < 2 2 ≤ x < 4 x ≥ 4

x - - + + +

(x+1) - + + + +

(x-2) - - - + +

(x-4) - - - - +

Capıtulo 6

Derivacion

51

52 CAPITULO 6. DERIVACION

6.1. Introduccion

Definicion informal de derivada: El calculo diferencial esta basado enla nocion de tasa o ındice de cambio. Este concepto aparece implıcitamenteen palabras como tasa de crecimiento (o velocidad de crecimiento),crecimiento relativo, velocidad, aceleracion o pendiente de una curva.

Como ejemplo, podrıamos hablar del numero de individuos de unapoblacion que cambia con el tiempo. El numero de individuos en funciondel tiempo vendrıa dado por la tasa de crecimiento o velocidad decrecimiento.

6.2. Derivada

Definicion: La derivadad de una funcion f(x) en el punto x, que sedenota como f ′(x) = df

dx , es

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h,

suponiendo que el lımite existe.

La notacion dfdx se debe a Leibniz y se denomina Notacion de Leibniz.

Si el lımite existe, se dice que f es derivable en x.

Para que el lımite exista, es necesario que los dos lımites laterales existan.El cociente,

∆f

∆x=f(x+ h)− f(x)

h,

se denomina cociente de diferencias o cociente incremental.

6.2.1. Recta tangente

Definicion: Si la derivada de una funcion f existe en x = c, entonces larecta tangente en x = c es la recta que pasa por el punto (c, f(c)), conpendiente:

f ′(c) = lımh→0

f(c+ h)− f(c)

h

6.3. TASAS DE CAMBIO: VELOCIDAD 53

Conociendo la derivada de f en un punto c (que es la pendiente de la rectatangente en ese punto) y las coordenadas del punto (c, f(c)), es posibleescribir la ecuacion punto-pendiente de la recta:

y − f(c) = f ′(c) · (x− c)

6.3. Tasas de cambio: Velocidad

En esta seccion trataremos sobre tasas de cambio y su relacion con lavelocidad media y la velocidad instantanea.

6.3.1. Velocidad Media

El cociente incremental:

∆f

∆t=f(t+ h)− f(t)

h

Puede interpretarse como la velocidad media de variacion de una funcionen el intervalo (t, t+ h) o como la tasa de variacion de la funcion en elmismo intervalo.

6.3.2. Velocidad instantanea

El lımite del cociente incremental cuando h→ 0:

lım∆t→0

∆f

∆t= lım

h→0

f(t+ h)− f(t)

h

Puede interpretarse como la velocidad instantanea de variacion de unafuncion en el intervalo (t, t+ h).

6.4. Regla de la cadena

Si g es derivable en x y f es derivable en y = g(x), entonces la funcioncompuesta (f ◦ g)(x) = f [g(x)] es derivable en x, y su derivada se expresa


como:(f ◦ g)′(x) = f ′[g(x)]g′(x)

6.5. Derivacion implıcita

No siempre es posible o conveniente expresar y(x) explıcitamente comofuncion de x. Por ejemplo, tratemos de encontrar la derivada y(x)′ de lafuncion dada de forma implıcita por la ecuacion:

xy + sin(y) = tg(x)

En esta ecuacion no se podemos expresar en forma explıcita y comofuncion de x, a pesar de que la misma implique esta relacion. La derivacionimplıcita nos permite calcular dy

dx en tales situaciones. En general, si w esfuncion de y, como y es funcion de x, se tiene

dw

dx=dw

dy

dy

dx

Ejemplo: Intentar econtrar la derivada dwdx si w = y2.

Solucion: Utilizando la derivacion implıcita, obtenemos:

dw

dx=∂w

∂y

∂y

∂x= 2y

∂y

∂x

6.6. Tasas de cambio relacionadas

Como a menudo es sencillo escribir relaciones entre variables,aprovechando la derivacion implıcita, se pueden encontrar relaciones entrelas tasas de cambio de estas variables sin necesidad de obtener expresionesexplıcitas de cada una respecto de cualquiera de las otras.

Ejemplo: En el instante t una celula esferica tiene un radio r(t). Si elvolumen V crece a una velocidad constante p, encontrar las tasas decrecimiento de r y de la superficie S en terminos de p y r, ası como larelacion entre dichas tasas de crecimiento sin necesidad de encontrar unarelacion entre S y V .

6.6. TASAS DE CAMBIO RELACIONADAS 55

Solucion: Segun el enunciado, p = dVdt = d

dt(4/3πr3) = 4πr2 dr

dt . Despejando

ahora drdt obtenemos,

dr

dt=

p

4πr2.

Si ahora obtenemos la derivada de la superficie en funcion del tiempo,

dS

dt=

d

dt(4πr2) = 8πr

dr

dt.

Sustituyendo ahora drdt = p

4πr2, obtenemos,

dS

dt= 8πr

p

4πr2=

2p

r=

2

r

dV

dt=

2

r4πr2dr

dt= 8πr

dr

dt.


Capıtulo 7

Valores extremos

57

58 CAPITULO 7. VALORES EXTREMOS

7.1. Introduccion

Introduccion El objetivo principal de este tema es presentar como puedeayudar el calculo diferencial a entender el comportamiento de las funciones.En concreto, se analizara como la interpretacion geometrica de derivadapuede ayudarnos a encontrar los maximos y mınimos de una funcion.

7.2. Teorema de los valores extremos

Si reflexionamos acerca de los valores extremos de una funcion f(x),podemos llegar a las siguientes conclusiones:

Sea f una funcion definida en un conjunto D que contiene al numero c.Entonces:

f tiene un maximo global (o absoluto) en x = c si

f(c) ≥ f(x),∀x ∈ D

f tiene un mınimo global (o absoluto) en x = c si

f(c) ≤ f(x),∀x ∈ D

Ahora podemos enunciar el teorema que analiza el comportamiento de unafuncion en un intervalo [a, b].

Teorema de los valores extremos: Si f es continua en un intervalocerrado [a, b], −∞ < a < b <∞, entonces f tiene un maximo global y unmınimo global en [a, b].

Ejemplo: Solucion:

7.3. Extremos locales

Pasemos ahora a definir los conceptos de maximo y mınimo local.

7.4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 59

Definicion: Una funcion f definida en un conjunto D tiene un maximolocal (o relativo) en un punto c si existe un δ > 0 tal que

f(c) ≥ f(x)∀x ∈ (c− δ, c+ δ) ∩D.

Una funcion f definida en un conjunto D tiene un mınimo local (orelativo) en un punto c si existe un δ > 0 tal que

f(c) ≤ f(x)∀x ∈ (c− δ, c+ δ) ∩D.

Ejemplo: Solucion:

El Teorema de Fermat nos habla sobre el comportamiento de la derivadaen los extremos de una funcion continua f en puntos interiores al intervalo(a, b).

Teorema de Fermat: Si f tiene un extremo local en un punto interior cy f ′(c) existe, entonces f ′(c) = 0.

Ejemplo: Solucion:

7.3.1. Pasos para encontrar extremos locales

1. Encontrar f ′(x) = 0.

2. No suponer que los puntos donde f ′(x) = 0 son extremos locales: sonsolo candidatos.

3. Comprobar los puntos donde la derivada no esta definida.

4. Comprobar los extremos del dominio.

Ejemplo: Solucion:

7.4. Teorema del valor medio

Teorema del valor medio Si f es una funcion continua en el intervalocerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), existe al menos un


numero c ∈ (a, b), tal que:

f(b)− f(a)

b− a= f ′(c)

Ejemplo: Solucion:

7.5. Teorema de Rolle

Teorema de rolle: Si f es una funcion continua en el intervalo cerrado[a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b), entonces existeun numero c ∈ (a, b), tal que f ′(c) = 0.

Ejemplo: Solucion:

7.6. Optimizacion

Los conceptos analizados con anterioridad pueden utilizarse con el fin deoptimizar un problema determinado. Dichos problemas de optimizacionconsisten en encontrar un valor de la variable independiente (x) quemaximice o minimice una cierta funcion.

Ejemplo: Solucion:

7.6.1. Puntos crıticos

Los puntos donde la primera derivada es igual a cero se denominanpuntos crıticos. Para buscar puntos crıticos seguimos los siguientes pasos

1. Obtenes los puntos donde f ′(c) = 0.

2. Obtener los puntos c donde f ′(c) no existe.

3. Obtener los extremos del dominio de f .

7.6. OPTIMIZACION 61

Puntos crıticos: Una funcion continua tiene un mınimo local en c si lafuncion es decreciente a la izquierda de c y creciente a la derecha de c. Unafuncion tiene un maximo local en c si la funcion es creciente a la izquierdade c y decreciente a la derecha de c.

Ejemplo: Solucion:


Capıtulo 8

Aproximacion polinomica

63

64 CAPITULO 8. APROXIMACION POLINOMICA

8.1. Introduccion

El objetivo principal de este tema es el de presentar como aproximar unafuncion a partir de sus derivadas. El Teorema de Taylor nos proporciona labase teorica necesaria para llevar a cabo esta tarea.

Asumiendo que y = f(x) es derivable una vez en el punto x = a, entoncespodemos expresar la aproximacion lineal de dicha funcion en el puntox = a, o lo que es lo mismo, la recta tangente a la funcion f(x) en el puntox = a, sera:

L(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)

Si ahora asumimos que y = f(x) es derivable dos veces en x = a, entoncesen lugar de aproximar f(x) por una recta, la podemos aproximar medianteuna parabola. La aproximacion cuadratica de f en x = a sera:

L(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f ′′(a)(x− a)2

2!

8.2. Polinomio de Taylor

Los polinomios son funciones relativamente simples, continuas y derivablesen todo R. Por ello es a menudo conveniente ser capaz de aproximarfunciones complicadas con polinomios que tengan caracterısiticas similaresa la funcion dada.

8.2.1. Polinomio de Taylor en x = 0: Serie de McLaurin

El polinomio de Taylor de grado n en x = 0 para la funcion f(x) seexpresa como

Pn(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 +

f (4)(0)

4!x4 + ...+

f (n)(0)

n!xn.

A traves de dicho polinomio, podemos expresar una aproximacion de lafuncion f(x) hasta orden n, si la funcion es derivable n veces, en unentorno del punto x = 0.

8.2. POLINOMIO DE TAYLOR 65

8.2.2. Polinomio de Taylor en el punto x = a

Si queremos obtener una aproximacion de orden n de la funcion f(x) en unentorno del punto x = a, podemos usar la expresion:

Pn(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+

f ′′′(a)

3!(x−a)3+

f (4)(a)

4!(x−a)4+...+

f (n)(a)

n!(x−a)n.

Dicha expresion recibe el nombre de Desarrollo en Serie de Taylor de lafuncion f(x) cerca del punto x = a.

Ejemplo: Obtener una aproximacion de la solucion de la ecuacionsin(x) = cos(x) utilizando el desarrollo en serie de taylor. Solucion: Eldesarrollo en serie de taylor de primer orden de la funcion sin(x) alrededordel punto x = 0 es:

sin(x) ≈ sin(0) + cos(0) · (x− 0) = x

El desarrollo en serie de taylor de primer orden de la funcion cos(x)alrededor del punto x = 0 es:

cos(x) ≈ cos(0)− sin(0) · (x− 0) = 1

Igualando ambas expresiones, obtenemos que x = 1. El valor de lasfunciones cos(x) y sin(x) es: cos(1) = 0,5403..., sin(1) = 0,8414.... Ahorapodemos usar el punto x = 1 para desarrollar las funciones anteriores ytratar de obtener una aproximacion mejor:

sin(x) ≈ sin(1) + cos(1) · (x− 1) ≈ 0,84 + 0,54 · (x− 1) = 0,30 + 0,54x

y

cos(x) ≈ cos(1)− sin(1) · (x− 1) = 0,54− 0,84 · (x− 1) = 1,38− 0,84x

Igualando ambas expresiones obtenemos que 0,30 + 0,54x = 1,38− 0,84x.Despejando x, obtenemos que x = 0,782. La verdadera solucion es

x =√

22 = 0,7071.... Vemos que aplicando este proceso podemos

aproximarnos cada vez mas a la solucion.

66 CAPITULO 8. APROXIMACION POLINOMICA

8.3. Metodo de Newton-Raphson

El metodo de Newton-Raphson se utiliza para calcular numericamentelas raices de una funcion, dada una aproximacion inicial x0.

Supongamos que queremos calcular la solucion de f(x) = 0, dada unaaproximacion inicial x0. Partiendo del desarrollo de Taylor de f hastaorden 2 en x = 0:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

Sustituyendo ahora f(x) = 0 y x = x0 y despejando:

0 = f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0)→ x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0)

Podemos ahora expresar la ecuacion anterior como una ecuacion recursiva:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

Que nos permite determinar cuando dos valores sucesivos son iguales hastala precision requerida.

Analizando la ecuacion anterior, podemos ver que pueden surgir problemassi f ′ es muy pequena o si dos soluciones estan muy proximas.

Capıtulo 9

Integracion

67

68 CAPITULO 9. INTEGRACION

9.1. Introduccion

El objetivo principal de este tema es el de presentar la operacion deintegracion, su interpretacion geometrica y sus aplicaciones.

En temas anteriores hemos estudiado expresiones del tipo:

dy

dx= f(x)

Este tipo de expresiones se denominan ecuaciones diferenciales. Pararesolver este tipo de ecuaciones, es necesario encontrar funciones y quecumplan que y′ = f(x). Si es posible encontrar dicha funcion y, entoncesexiste una familia completa de funciones con esta propiedad. Todas ellasestaran relacionadas por una traslacion vertical. Para obtener dichafuncion y es necesario llevar a cabo una operacion de integracion:

y =

∫f(x)dx+ C

Para seleccionar una de estas funciones, sera necesario especificar unacondicion inicial, que consiste en un punto (x0, y0) de la grafica de lafuncion. Esta funcion seleccionada, se denominara solucion delproblema de valor inicial, y nos permitira despejar la constante C de laecuacion anterior. Si sabemos que y = y0 cuando x = x0, entonces

sabremos que C = y0 −∫f(x)dx

∣∣∣x=x0

.

9.2. Primitivas de funciones

Definicion: Una funcion F se denomina primitiva de f en un intervalo lsi F ′(x) = f(x) para ∀x ∈ l.

Corolario: Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en elintervalo abierto (a, b), con f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f(x) esconstante en [a, b].

Corolario: Si F (x) y G(x) son primitivas de la funcion continua f(x) enun intervalo I, entonces existe una constante C, tal que

G(x) = F (x) + C, ∀x ∈ I

9.3. PROBLEMA DEL AREA 69

9.2.1. Pequena coleccion de primitivas

Las principales primitivas que manejaremos durante el curso viene recogidaen la siguiente tabla:

Funcion Primitiva

kf(x) kF (x)f(x) + g(x) F (x) +G(x)xn, n 6= −1 1

n−1xn+1

1x ln|x|eax eax

sin(ax) − 1a cos(ax)

cos(ax) 1a sin(ax)

9.3. Problema del area

Definicion de suma finita: Sean a1, a2, ..., an numeros reales y n unnumero entero positivo. Entonces podemos expresar la suma de todos estosnumeros mediante la siguiente expresion:

n∑k=1

ak = a1 + a2 + ...+ an

Dicha suma de numeros presentara las siguientes propiedades:

1. Regla del valor constante:∑n

k=1 1 = n.

2. Regla de la constante multiplicativa:∑n

k=1 c · ak = c ·∑n

k=1 ak,siendo c una constante que no depende de k.

3. Regla de la suma:∑n

k=1(ak + bk) =∑n

k=1 bk +∑n

k=1 ak

Ejercicio: Tratar de demostrar las propiedades anteriores.


9.4. Integrales de Riemann

Definicion: Sea P = [x0, x1, x2, ..., xn], n = 1, 2, 3, ... una secuencia departiciones de [a, b] con ||P || → 0. Sea ∆xk = xk − xk−1 y ck ∈ [xk−1, xk].Definimos la integral indefinida de f entre a y b como,∫ b

af(x)dx = lım

||P ||→0

n∑k=1

f(ck)∆xk,

si el lımite existe, en cuyo caso se dice que f es integrable (en el sentido deRiemann), en el intervalo [a, b].

Teorema: Todas las funciones continuas son integrables en el sentido deRiemann. Es decir, si f(x) es continua en [a, b], entonces∫ b

af(x)dx

existe.

9.4.1. Interpretacion geometrica de las integrales definidas

Si reflexionamos acerca de la interpretacion geometrica de la integraldefinida, podemos realizar las siguientes observaciones:

Si f es integrable en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ ba f(x)dx = el area de la region entre la grafica de f y el eje x desdea hasta b.

Si f es integrable en [a, b], entonces∫ ba f(x)dx = [area por encima del

eje x]-[area por debajo del eje x].

9.4.2. Propiedades de la integral de Riemann

Si asumimos que f es integrable en el intervalo [a, b]. Entonces,

∫ aa f(x)dx = 0 y

9.5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO 71

∫ ab f(x)dx = −

∫ ba f(x)dx

Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a, b]

Si k es una constante, entonces∫ b

akf(x)dx = k

∫ b

af(x)dx

∫ ba [f(x) + g(x)]dx =

∫ ba f(x)dx+

∫ ba g(x)dx

Si f es integrable en un intervalo que contiene los tres numeros a, b yc, entonces ∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx

Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a, b]

Si f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ ba f(x)dx ≥ 0.

Si f(x) ≤ g(x) en [a, b], entonces∫ ba f(x)dx ≤

∫ ba g(x)dx.

Si m ≤ f(x) ≤M en [a, b], entonces

m(b− a) ≤∫ b

af(x)dx ≤M(b− a)

9.5. Teorema fundamental del Calculo

Teorema: Si f es continua en el intervalo [a, b], entonces la funcion Fdefinida como

F (x) =

∫ x

af(u)du, a ≤ x ≤ b

Es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y se cumple que

d

dxF (x) = f(x)


9.6. Regla de Barrow

Supongamos que f es una funcion continua en el intervalo [a, b], entonces∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a)

Siendo F (x) una primitiva de f(x), es decir F ′(x) = f(x).

Regla de Leibniz: Si g(x) y h(x) son funciones derivables y f(u) escontinua, con u entre g(x) y h(x), entonces

d

dx

∫ h(x)

g(x)f(u)du = f [h(x)]h′(x)− f [g(x)]g′(x)

9.7. Aplicaciones de la integracion

9.7.1. Calculo de areas

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a, b] conf(x) > g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces el area de la region comprendida entrelas curvas y = f(x) e y = g(x) desde a hasta b es igual a

Area=∫ ba [f(x)− g(x)]dx

9.7.2. Cambio acumulativo

Consideremos una poblacion cuya dinamica de credimiento viene dada porel problema de valor inicial

dN

dt= f(t), con N(0) = N0,

de donde podemos decir que

N(t) =

∫ t

0f(u)du+ C.

9.7. APLICACIONES DE LA INTEGRACION 73

Resolviendo el problema de valor inicial, obtenemos

N(t)−N(0) =

∫ t

0

dN

dudu,

que podemos interpretar como el cambio acumulativo o neto deltamano de la poblacion entre 0 y t.

9.7.3. Valor Medio

Supongamos que f(x) es una funcion continua en el intervalo [a, b]. Elvalor medio de f en el intervalo [a, b] es

VM(f) =1

b− a

∫ b

af(x)dx

Teorema del Valor medio para integrales definidas: Sea f(x) unafuncion continua en el intervalo [a, b]. Existe un numero c ∈ [a, b], tal que

f(c)(b− a) =

∫ b

af(x)dx


Capıtulo 10

Ecuaciones en diferencias

75

76 CAPITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS

10.1. Introduccion: un ejemplo.

Vamos a empezar con un ejemplo sencillo pero que contiene losingredientes esenciales de este tema. Recomendamos no avanzar en elcapıtulo hasta tener bien claro este ejemplo, al que haremos referencia a lolargo de las siguientes paginas.

Ejemplo Un paciente recien ingresado en un hospital recibe una dosis de 2miligramos de antibiotico cada 8 horas. Entre toma y toma, su organismoes capaz de eliminar un tercio de la cantidad de antibiotico que habıa en sucuerpo. Suponemos que al ingresar no habıa nada de antibiotico en sucuerpo.

1. Vamos a describir la cantidad de antibiotico (en mg) que hayen el cuerpo del paciente justo despues de ingerir cada nueva dosis.Llamaremos xk a los mg de antibiotico tras la dosis numero k. Vamosa calcular dicha cantidad para las primeras dosis:

Inicialmente no hay antibiotico en su cuerpo, de modo quepodemos poner x0 = 0.

Tras la primera dosis tiene exactamente 2 mg. Es decir, x1 = 2.

Tras la segunda dosis,en su organismo hay dos tercios de los 2mg que tenıa (ha eliminado un tercio) mas lo que acaba deingerir, es decir,

x2 =2

32 + 2 =

7

3

o, lo que es lo mismo,

x2 =2

3x1 + 2.

Tras la tercera dosis, de nuevo tendran dos tercios de lo quetenıa (ha eliminado un tercio) mas lo que acaba de ingerir, esdecir,

x3 =2

3· 7

3+ 2 =

23

9,

que escribimos como

x3 =2

3x2 + 2.

10.1. INTRODUCCION: UN EJEMPLO. 77

Fıjate en que podrıamos seguir ası indefinidamente, y en quepodemos escribir, en general,

xn+1 =2

3xn + 2. (10.1)

Ası, conocida la cantidad inicial (mg) de antibiotico, (cero si nohabıa tomado nada antes de ingresar, o la que fuera, en caso dehaberse medicado antes), podemos determinar como evoluciona lacantidad de antibiotico en sangre. Este tipo de expresion (10.1) seconoce como ecuacion recursiva o ecuacion en diferencias. Ademas,para averiguar la cantidad de antibiotico en sangre lo que se hace esaplicar la misma regla (multiplicar la cantidad actual por 2/3 ysumar 2) todo el tiempo: por eso se llama tambin proceso iterativo.

Ası, iterando, una vez conocida la cantidad inicial podemosdeterminar la cantidad de medicamento que hay en el organismo encualquier momento. Este metodo tiene el inconveniente de paradeterminar cuanto medicamento habra dentro de, por ejemplo, 3 dıas(24 periodos de 8 horas, es decir, calcular x24), necesitamos conocerx1, x2,· · · , x23.

2. A continuacion, vamos a proporcionar un metodo grafico que permitehacerse una idea de la evolucion de xn sin necesidad de calcular cadatermino. Este procedimiento es importante y lo usaremos masadelante para abordar problemas mas complejos. De momento, nospermitira responder cuestiones como ¿Se estabiliza la cantidad deantibiotico en sangre? ¿aumentara peligrosamente? ¿sera suficiente?

La solucion est en los llamados diagramas de tela de arana.

a) En unos ejes coordenados, trazar las rectas y = x e y =2

3x+ 2.

b) Elegir un valor x0 que representa la cantidad inicial deantibiotico presente en el organismo. En el ejemplo x0 = 0, perono hay problemaen suponer que x0 6= 0. Nos ayudaremos de lasdos rectas para ”dibujar” los sucesivos valores que toma xn apartir de x0.


y = x

y = 23x + 2

x0

2

Es decir,vamos a representar sucesivamente x1 = f(x0),x2 = f(x1), . . .

c) A continuacion, calculamos x1 = f(x0). Si usamos la grafica de

la recta y =2

3x+ 2, es sencillo localizar en el eje vertical el valor

x1

y = x

y = 23x + 2

x0

f (x0) = x1

2

d) Este paso es crucial. Vamos a localizar x1 en el eje de abcisas:traza un segmento horizontal que pasa por (0, x1) y llega hastala recta y = x. Ese punto tiene coordenadas (x1, x1).

10.1. INTRODUCCION: UN EJEMPLO. 79

y = x

y = 23x + 2

x0

f (x0) = x1

x1

2

(x1, x1)

Si trazamos un segmento vertical desde el punto (x1, x1) hastael eje hortizontal localizamos x1.

e) Igual que con x1, se hay que situar x2 = f(x1) en el eje vertical

usando la grafica de y =2

3x+ 2

y = x

y = 23x + 2

x0

f (x0) = x1

x1

f (x1) = x2

2

f ) Para situar x2 en el eje horizontal, traza un segmento horizontaldesde (0, x2) hasta la recta y = x. . . y continua con el procesocomo en los pasos anteriores para determinar graficamente x3 (ysucesivos)


y = x

y = 23x + 2

x0

f (x0) = x1

x1

f (x1) = x2

x2

f (x2) = x3

2

Si has entendido el procedimiento, parece claro que xn tiende a

aproximarse al punto de corte de las rectas y = x e y =2

3x+ 2. Ese

es un punto especial, llamado punto de equilibrio de la ecuacion.Enseguida veremos porque: ese punto cumple que

x =2

3x+ 2,

y la solucion de esta ecuacion es x∗ = 6. Supongamos que x1 = 6.

Resulta que x2 = f(x1) =2

36 + 2 = 6, pero entonces

x3 = f(x2) =2

36 + 2 = 6, y ası sucesivamente. Por eso se llama

tambien punto fijo del sistema. En el contexto del problema, 6 es uneuilibrio porque cada 8 horas el organismo elimina 1/3 de esos 6 mg(es decir, elimina 2 mg y quendan 4), de modo que al ingerir la dosisde 2 mg vuelve a haber 6. Y ası indefinidamente.

Vamos a poner nombre a los conceptos que surgido hasta ahora. Estaformalizacion sera util cuando trabajemos con relaciones mas complicadasque una recta.

Definicion Sea f : R→ R una funcion continua.

Un ecuacion en diferencias autonoma de primer orden es unaecuacion de la forma

xn+1 = f(xn) con valor inicial x0 (10.2)

10.2. ECUACIONES LINEALES Y AFINES. 81

Su solucion es la sucesion de numeros en la que cada termino es laimagen mediante f del termino anterior, de decir,

x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1), · · · , xn = f(xn−1), · · ·

.

Una solucion de equilibrio o punto fijo es una valor x tal que

x = f(x)

Para cada eleccion particular del primer termino de x0 (condicioninicial) tenemos una solucion particular.

La solucion general es el conjunto de todas las solucionesparticulares y constituye una familia de sucesiones que depende deun parametro (la condicion inicial a0).

Ejemplo: La siguiente es una ecuacion en diferencias autonoma no lineal

xn+1 = x2n − 2

sus puntos de equilibrio son las soluciones de la ecuacion

x = x2 − 2

que equivale a resolver x2 − x− 2 = 0 y cuyas soluciones son x = −1, 2.Esos son los equilibrios o puntos fijos. Puedes comprobarlo; por ejemplo,para x0 = 2 tenemos que

x1 = x20 − 2 = 22 − 2 = 2 = x0,

y ası sucesivamente.

Los ejemplos de solucion particular y general apareceran un poco masadelante.

10.2. Ecuaciones lineales y afines.

La definicion (10.2) admite que f sea cualquier funcion; en el ejemplointroductorio hemos empleado la funcion mas sencilla: una recta. Vamos acompletar el estudio de este caso que, aunque sencillo, es muy importante.Diremos que la ecuacion en diferencias es


una ecuacion lineal si f(x) = rx, r ∈ R.

una ecuacion afın si f(x) = rx+ g, r, g ∈ R.

una ecuacion no lineal en el resto de los casos.

En esta seccion nos ocuparemos de las dos primeras. En concreto, veremos

como calcular su solucion general.

como determinar el comportamiento de las suluciones para valores den muy grandes.

10.2.1. Ecuaciones lineales.

Como hemos dicho, se trata de ecuaciones de la forma

xn+1 = rxn con r ∈ R. (10.3)

Vamos a calcular los primeros terminos a partir del valor inicial x0:tenemos

x1 = rx0,x2 = rx1 = r2x0,· · · · · · · · ·xn = rxn−1 = · · · = rnx0,· · · · · · · · ·

y ası sucesivamente, de donde tenemos que la solucion general de (10.3) es

xn = rnx0 con x0 ∈ R.

Sus soluciones particulares son las que se obtienen para cada valorconcreto de x0.Ademas, si nos preguntamos por el comportamiento a largo plazo de lassoluciones de estas ecuaciones, tenemosProposicion: Dada la ecuacion en diferencias

xn+1 = rxn, con valor inicial x0

se cumple:


|r| < 1⇒ lımn→∞

rnx0 = 0.

|r| > 1⇒ lımn→∞

|rnx0| =∞.

r = −1⇒ (−1)nx0 = x0,−x0, · · · x0 es un 2-ciclo.

r = 1, entonces todas las soluciones son equilibrios.

10.2.2. Ecuaciones afines.

Ahora analizamos el compartamiento de las soluciones de ecuaciones de laforma

xn+1 = rxn + g con r, s ∈ R. (10.4)

de nuevo podemos determinar los primeros elementos de la solucion apartir del valor inicial x0:

x1 = rx0 + g,x2 = rx1 + g = r(rx0 + g) + g = r2x0 + rg + gx3 = rx2 + g = r3x0 + r2g + rg + g· · ·xn = rxn−1 + g = rnx0 + rn−1g + rn−2g + · · ·+ rg + g,

(10.5)

¿ves la tendencia? el ultimo termino xn lo podemos escribir, de formaabreviada, como

xn = rnx0 +n−1∑k=0

rkg (10.6)

la expresion∑n

k=0 es la forma sintetica de indicar que debemos considerarlos valores de rks para k = 0, 1, 2, · · · , n− 1 y sumarlos todos. Es decir, esla forma compacta de expresar xn tal y como aparece en (10.5). Sinembargo, independientemente de como lo expresemos, presenta elinconveniente de que para conocer el valor del termino, digamos, 45necesitamos conocer el valor de todos terminos anteriores.Afortunadamente, en el caso de las ecuaciones afines esto tiene solucion.Proposicion: Dada la ecuacion en diferencias

xn+1 = rxn + g, con valor inicial x0

se cumple:

xn = x0rn + g

1− rn

1− r(10.7)


Demostracion: Hemos visto en (10.5) que

xn = rnx0 + rn−1g + rn−1g + · · ·+ rg + g

podemos sacar factor comun g y tenemos

xn = rnx0 + g(rn−1 + rn−1 + · · ·+ r + 1

)(10.8)

Vamos a concentrarnos en la suma de los terminos que hay entreparentesis. La multiplicamos por (1− r)(rn−1 + rn−1 + · · ·+ r + 1

)(1−r) = rn−1+rn−1+· · ·+r+1−rn−rn−1−· · ·−r2−r

podemos cancelar los sumandos que tienen la misma potencia pero signocontrario

rn−1 + rn−1 + · · ·+ r + 1− rn − rn−1 − · · · − r2 − r = 1− rn

Resumiendo, tenemos(rn−1 + rn−1 + · · ·+ r + 1

)(1− r) = 1− rn

de donde podemos despejar

rn−1 + rn−1 + · · ·+ r + 1 =1− rn

1− r

Si sustuimos esta expresion en (10.8) tenemos (10.7). �Ası, hemos conseguido una expresion para la solucion xn de la ecuacionafın homogenea (10.4) que depende de n, y no del valor anterior de dichasolucion. Es decir, no necesitamos conocer xn−1 para calcular xn. Sicalculamos el lımite cuando n tiende a infinito conoceremos elcomportamiento a largo plazo (asintotico) de la solucion. Es, en ciertosentido, equivalente a dibujar su diagrama de tela de arana. Veamos unpar de ejemplos antes de seguir adelante.Ejemplo: Continuando con el ejemplo inicial,

xn+1 =2

3xn + 2

tenemos, usando la formula (10.7)

xn = 0 ·(

2

3

)n+ 2

1−(

23

)n1− 2

3

= 6

(1−

(2

3

)n)


Ya sabemos que el punto fijo de este sistema es x∗ = 6 y, al calcular

lımn→∞

xn = lımn→∞

6

(1−

(2

3

)n)= 6

tenemos analıticamente el mismo resultado que obtuvimos con el diagramade tela de arana: que la solucion tiende a 6 mg de antibiotico.Ejemplo: Considera ahora

xn+1 = 3xn − 2 con x0 = 5

gracias a la formula (10.7)

xn = 5 · 3n + (−2)1− 3n

1− 3= 5 · 3n + (1− 3n) = 1 + 4 · 3n

Podemos calcular su punto de equilibrio resolviendo

x = 3x− 2⇔ x∗ = 1

Sin embargo, ahora

lımn→∞

xn = lımn→∞

1 + 4 · 3n = +∞

Es decir, la solucion tiende a alejarse del punto de equilibrio.Proposicion: Dadas la ecuacion en diferencias

xn+1 = rxn + g, con valor inicial x0

y su solucion xn (que se escribe como (10.7) se cumple:

1. Si |r| < 1 entonces lımn→∞

xn = g1

1− r2. Si r = 1 entonces lım

n→∞xn = (signo de g)∞

3. Si r > 1 entonces lımn→∞

xn = +∞

4. Si r < −1 entonces no existe lımn→∞

xn

5. Si r = −1 entonces xn = −r + g, r + g, −r + g, · · ·

Demostracion: Basta considerar la expresion (10.7) para la solucion deuna ecuacion afın homogenea y calcular su lımite para los distintos valoresde r. �


Ecuaciones afines no homogeneas.

Supongamos que el termino independiente en la ecuacion (10.4) dependede n. Si vamos al ejemplo inicial, serıa el caso en el que la dosis dependedel tiempo (periodo de 8 horas). Una ecuacion afın no homogenea es de laforma

xn+1 = rxn + g(n). (10.9)

donde g(n) depende de n (y por eso se dice que la ecuacion es nohomogenea).

Si seguimos el razonamiento que nos llevo a (10.6), tenemos que en estecaso la solucion general viene dada por

xn = rnx0 +n−1∑k=0

rkg(k) (10.10)

10.3. Ecuaciones autonomas no lineales deprimer orden: clasificacion de puntos fijos ygraficos de tela de arana.

Nos ocuparemos ahora de ecuaciones como las de (10.1) en las que f puedeser cualquier funcion. La definicion de punto de equilibrio es la misma.Hemos visto que un punto de equilibrio puede atraer a las soluciones(como en el ejemplo introductorio) o no (como en el ejemplo).

Con las ecuaciones lineales y afines fuimos capaces de calcular su soluciongeneral en funcion de n y, usando lımites, determinar como se compartabaa largo plazo la solucion. Esto es de interes, por ejemplo, para enfermoscronicos que se medican de por vida.

Sin embargo, este procedimiento no es posible para casi todas lasecuaciones que no son lineales. Es decir, Cuando iterar una funcion mascomplicada que una recta da lugar a situaciones mas complejas. Porejemplo, veremos que hay puntos de equilibrio que no son ni (totalmente)estables ni (totalmente) inestables. Estos equilibrios tienen su lectura enterminos ecologicos, como el conocido efecto Allee.

Ahora nos ocuparemos de proporcionar un criterio analıtico (basado en

10.3. ECUACIONES AUTONOMAS NO LINEALES DE PRIMER ORDEN: CLASIFICACION DE PUNTOS FIJOS Y GRAFICOS DE TELA DE ARANA.87

calculos) para determinar la estabilidad de los puntos de equilibrio. Y paraello nos inspiraremos en lo que sabemos sobre las ecuaciones en diferenciasafines autonomas.

10.3.1. Comportamiento cualitativo de una ecuacion:puntos fijos y comportamiento asintotico.

Las ecuaciones en diferencias se utilizan con frecuencia para modelarfenomenos naturales (como en el ejemplo inicial). La Naturaleza escompleja y, aunque los modelos simplifican la realidad, en muchasocasiones son difıciles de analizar. Como hemos dicho, en general, la unicaposibilidad para resolver una ecuacion en diferencias es, a partir del valorinicial, iterar la funcion que la define.

En este caso, un aspecto de interes es conocer el comportamientocualitativo del sistema. En el ejemplo introductorio y con ayuda deldiagrama de tela de arana, es facil convencerse de que

1. la ecuacion tiene un unico punto de equilibrio (que podemos calcularexplıcitamente).

2. independientemente de la cantidad inicial de antibiotico que hubieraen el organismo, esta tiende a largo plazo (asintoticamente) a lacantidad de equilibrio.

Estos son, en esencia, los ingredientes de un estudio cualitativo del sistema.Vamos a poner apellidos a los puntos fijos de una ecuacion. Estanomenclatura se usa tambien con las ecuaciones diferenciales. Los puntosde equilibrio que atraen o que repelen a las soluciones se llaman,respectivemente, sumidero (equilibrio estable) o fuente (equilibrioinestables). La idea que hay detras es que si la condicion inicial esta”cerca” del equilibrio, la solucion correspondiente tiende a dicho equilibrio(sumidero) o se aleja de el (fuente). A continuacion tienes las definicionesformales:

Definicion 1. (Clasificacion de puntos fijos I). Sea x∗ un punto fijo de

xn+1 = f(xn) (10.11)

Decimos que


x∗ es un sumidero o equilibrio estable si existe δ > 0 tal que|x0 − x∗| < δ implica

lımn→∞

xn = x∗.

x∗ es una fuente o equilibrio inestable si existe δ > 0 tal que|x0 − x∗| < δ implica

lımn→∞

|xn − x∗| > ε, para cierto 0 < ε.

La estabilidad de un equilibrio de una ecuacion autonoma general puedeconocerse, en primera instancia, analizando el diagrama de tela de arana.La forma de producirlo es analoga al caso de la recta. En la siguiente figuraaparece en diagrama asociado a la ecuacion en diferencias

xn+1 =(xn)2 + 1

2.

Sin embargo, hay otro metodo que no depende de hacer una representaciongrafica. Ya sabemos como trabajar en caso de que f sea una recta. Ytambien sabemos como aproximar una funcion derivable en un puntomediante su recta tangente.

Las siguientes figuras son un grafico de lamisma funcion en la que hacemoszoom sobre el punto de equilibrio. Fıjate que, cerca (muy cerca) delequilibrio, la grafica de la funcion parece una recta.


Esto sugiere que, efectivamente, al menos para valores iniciales al punto deequilibrio las cosas van a funcionar de lamismaformaal iterar f(x) que aliterar su recta tangente al punto de equilibrio, cuya ecuacion es

y(x)− f(x∗) = f ′(x∗)(x− x∗)⇔ y(x) = f ′(x∗)x+ x∗(1− f ′(x∗)). (10.12)

Decir que la recta tangente (10.12) aproxima a f cerca de x∗ significa

x ≈ x∗ ⇒ f(x) ≈ f ′(x∗)x+ x∗(1− f ′(x∗)).

Por tanto,

xn+1 = f(xn) ≈ f ′(x∗)xn + x∗(1− f ′(x∗))← recta afın.

Cerca de un equilibrio, podemos estudiar la evolucion de lassoluciones de una ecuacion no lineal a traves de su linealizacion.

Conocemos criterios de estabilidad sencillos para ecuaciones afines.

Conviene tener en mente lo siguiente. Cuando la ecuacion en diferencias esafın, xn+1 = rxn + g,resulta que f(x) = rx+ g y que f ′(x) = r. Cuando|r| < 1 sabemos que el equilibrio de a ecuaciones un sumidero y, por


contra, si |r| > 1 tenemos un sumidero. Ademas,en el caso de una ecuacionno lineal, aproximamos la funcion por su recta tangente en el punto deequilibrio. Por eso el siguiente criterio para el caso general no deberıaresultar soprendente Teorema(Clasificacion de puntos fijos I). Considerala ecuacion xn+1 = f(xn) y su solucion de equilibrio x∗. Entonces:

si |f ′(x∗)| < 1⇒ x∗ es un sumidero.

si |f ′(x∗)| > 1⇒ x∗ es una fuente.

si |f ′(x∗)| = 1 ?? no podemos afirmar nada.

Ejemplo: Calcula los puntos de equilibrio y su estabilidad de la siguienteecuacion en diferencias autonoma no lineal

xn+1 =2xn

1 + xn

sus puntos de equilibrio son las soluciones de la ecuacion

x =2x

1 + x

que equivale a resolver x(1 + x) = 2x, es decir x2 − x = 0 y cuyassoluciones son x = 0, 1. Esos son los equilibrios o puntos fijos. Paradeterminar su estabilidad necesitamos conocer el valor de la derivada de

f(x) =2x

1 + xen cada uno de ellos. Como

f ′(x) =2

(1 + x)2

tenemos

1. f ′(0) = 2 > 1 por tanto el equilibrio x∗ = 0 es inestable, es unafuente.

2. |f ′(1)| = 1

2< 1 por tanto el equilibrio x∗ = 1 es nestable, es un

sumidero.

A continuacion se incluye tambien el diagrama de tema de arana


Nos vamos a detener en un ejemplo relacionado con el caso |f ′(x∗)| = 1.Ejemplo: Fıjate en los diagramas de tela de arana de la ecuacion endiferencias

xn+1 =(xn)2 + 1

2.

Cuando la condicion inicial la tomamos a la izquierda del equilibrio (peromayor que cero) la solucion tiende al equilibrio. Por contra, cuando lacondicion inicial esta a la derecha del equilibrio la solucion se aleja de el.

Este es un ejemplo de equilibrio que no es ni estable ni inestable, sinosemiestable por la izquierda.


Conviene llamar la atencion sobre algunos hechos relacionados con las

derivadas primera y segunda de f(x) =x2 + 1

2:

La curva y =x2 + 1

2es tangente a la recta y = x en el punto de

equilibrio x∗ (¿puedes calcular su valor?). Eso quiere decir que laderivada de f ese punto vale 1. Ademas, para valores de x algomenores que x∗ la derivada de f(x) es menor que 1 y para valores dex mayores que x∗ la derivada de f(x) es mayor que 1. Por eso esestable por la izquierda de x∗ e inestable por su derecha.

Lo anterior esta relacionado con el hecho de que f(x) es convexa. Yla curvatura de una funcion se estudiacon el signo de su segundaderivada.

Con estas ideas frescas en la cabeza, podemos pasar a formalizar losconceptosque acaban de aparecer.

Definicion: (Clasificacion de puntos fijos II). Sea x∗ un punto fijo dexn+1 = f(xn). Decimos que

x∗ es un semiestable por la izquierda si existe δ > 0 tal que

• x0 ∈ (x∗ − δ, x∗) implica lımn→∞ xn = x∗.

• x0 ∈ (x∗, x∗ + δ) implica lımn→∞ xn 6= x∗.

x∗ es un semiestable por la derecha si existe δ > 0 tal que

• x0 ∈ (x∗ − δ, x∗) implica lımn→∞ xn 6= x∗.

• x0 ∈ (x∗, x∗ + δ) implica lımn→∞ xn = x∗.

Observacion:

si f ′′(x∗) < 0⇒ f es concava y f ′ decrece cerca de x∗.

si f ′′(x∗) > 0⇒ f es convexa y f ′ crece cerca de x∗.

Ejemplo: Podemos comprobar, para la ecuacion del ejemplo anterior

xn+1 =x2n + 1

2que


1. Sus puntos de equilibrio son las soluciones de

x =x2 + 1

2

es decir, hay que resolver 2x = x2 + 1⇔ x2 − 2x+ 1 = 0⇔ x = 1.

2. Si f(x) =x2 + 1

2, entonces f ′(x) = x y se cumple que f ′(1) = 1, es

decir, el primer criterio no permite decidir sobresu estabilidad.

3. Como f ′′(x) = 1 > 0, resulta que f(x) esconvexa y el segundo criteriode estabilidad dice que el equilibrio es semiestable por la izquierda.Esto es algo que habıamos comprobado usando el diagrama de telade araa en un ejemplo anterior.


Capıtulo 11

Ecuaciones diferenciales

95

96 CAPITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES


En el modelo mas simple de crecimiento de poblaciones, la velocidad decrecimiento en cualquier instante es proporcional al tamno de la poblacionen dicho instante. Si N(t) es el tamano de la poblacion en el instantet, t ≥ 0, entonces podemos expresar matematicamente esta relacion como

dN

dt= rN(t), t ≥ 0

Como mencionamos en temas anteriores, este tipo de ecuaciones sedenominan ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones aparecenfrecuentemente en el modelado de procesos biologicos.

En este tema consideraremos ecuaciones del tipo

dy

dx= f(x)g(y)

Esta ecuacion diferencial es de primer orden, ya que solo aparece unaderivada. Mas especıficamente, este tipo de ecuaciones se denomina devariables separadas, por motivos que veremos mas adelante.Normalmente, este tipo de ecuaciones se dividen en dos tipos:

dy

dx= f(x),

dy

dx= f(y)

Las segundas se usan frecuentemente en modelos biologicos.

11.2. Ecuaciones diferenciales y sus soluciones:forma estandar de una ecuacion

La forma estandar de una ecuacion diferencial de primer orden viene dadapor la expresion:

dy

dt= f(t, y)

11.3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL 97

La solucion de una ecuacion diferencial sera una funcion que sustituida enla variable dependiente, satisface la igualdad para todos los valores de lavariable independiente.

11.3. Problema de valor inicial

Tal y como se menciono en temas anteriores, un problema de valor inicialviene dado por una ecuacion diferencial y un valor inicial para la variabledependiente. Por ejemplo, si la variable dependiente y depende de lavariable independiente t, el valor inicial y(t0) estara dado en t = t0:

dy

dt= f(t, y)

y(t0) = y0

Ejemplo: Resolver el siguiente problema de valor inicial.

y′ = t3 − 2 sin(t)

y(0) = 3

Solucion: y(t) = t4

4 + 2 cos(t) + c

11.4. Solucion de ecuaciones diferenciales

Volvamos al modelo de crecimiento de la introduccion:

dN

dt= rN(t), t ≥ 0

Una posible solucion de esta ecuacion es:

N(t) = N0ert, t ≥ 0


Para comprobarlo, podemos derivar N(t):

dN

dt= rN0e

rt = rN(t), t ≥ 0

Vemos que en cualquier punto (t,N(t)) de la grafica de N(t), la pendientees igual a rN(t).

Una ecuacion de primer orden indica el comportamiento de la derivada dela funcion. Por lo tanto, para encontrar la solucion de dicha ecuacion,tendremos que integrar una vez ambos miembros de la ecuacion. Como nosiempre es posible integrar una funcion, no siempre es posible obteneranalıticamente en forma explıcita la solucion de una ecuacion diferencial.

11.4.1. Ecuaciones de variables separadas

Comentaremos ahora un metodo general para resolver ecuaciones de laforma

dy

dx= f(x)g(y)

1. Dividimos ambos miembros por g(y) (suponiendo que g(y) 6= 0):

1

g(y)

dy

dx= f(x)

2. Separamos las variables de forma que cada una quede en un miembrode la ecuacion. Para ello tratamos dx y dy como si fueran variablesnormales. Una vez hecho esto, integramos :∫

1

g(y)dy =

∫f(x)dx

Ejemplos de ecuaciones de variables separables

dydt = f(t)

dydt = f(y) (Ecuacion autonoma).

dydt = t+1

ty+t

11.5. SOLUCION DE UNA ECUACION CON SEGUNDO MIEMBRO DEPENDIENTE SOLO DE T99

Ejemplo de ecuacion no separable:

dydt = xy + 1

11.4.2. Definicion de solucion general y solucion particular

Solucion general: Es la solucion de la ecuacion diferencial cuando no nosproporcionan un valor inicial con el que despejar las constantes deintegracion.

dy

dt= f(t), y(t) =

∫f(t)dt+ C

Solucion particular: Es la solucion proporcionada al resolver delproblema de valor inicial y, por tanto, en dicha solucion no apareceninguna constante.

dy

dt= f(t) (11.1)

y(t0) = y0 (11.2)

y(t) =

∫ t

t0

f(t)dt+ y0 (11.3)

Ejemplo: Resolver la ecuacion diferencial de variables separadas,

dy

dt= 1− t+ e−t, y(0) = 1

11.5. Solucion de una ecuacion con segundomiembro dependiente solo de t

En muchas aplicaciones, la variable independiente representa el tiempo. Sila velocidad de variacion de una funcion depende solo del tiempo, laecuacion diferencial resultante se denomina ecuacion diferencialpuramente temporal. Dicha ecuacion es de la forma,

dy

dt= f(t), t ∈ I


Siendo I el intervalo (t0, t) y t el tiempo. Segun se vio en temas anteriores,la solucion de la ecuacion diferencial anterior se puede expresar como,

y(t)− y(t0) =

∫ t

t0

f(u)du→ y(t) =

∫ x

t0

f(u)du+ y(t0)

Ejemplo: Suponga que el volumen V (t) de una celula en el instante tvarıa de acuerdo con

dV

dt= sin(t), con V (0) = 3.

Calcule V (t).

11.6. Ecuaciones autonomas

Muchas de las ecuaciones que modelan situaciones biologicas son de laforma,

dy

dx= g(y)

Donde el miembro derecho no depende explıcitamente de x. Estasecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales autonomas.

Podemos resolverlas por separacion de variables:

∫dy

g(y)=

∫dx

Estudiaremos dos casos:

1. Casos en los que el segundo miembro de la ecuacion toma la formag(y) = k(y − a). Ejemplo de este caso es el modelo Maltusiano decrecimento poblacional dN

dt = rN(t). Es importante notar que en estemodelo la velocidad de crecimiento de la poblacion es directamenteproporcional al numero de individuos de dicha poblacion. Representael crecimiento tıpico de una poblacion sin depredadores naturales.

11.6. ECUACIONES AUTONOMAS 101

Para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo, podemos operarpara separar las variables en cada miembro de la ecuacion e integrar:

dy

dx= k(y − a)→

∫dy

y − a=

∫kdx→ y = Cekx + a

Si conocemos un punto (x0, y0) de la solucion, entonces podemosdespejar C.

Para obtener este resultado, hemos dividido por (y − a). Esto solo sepuede hacer si y 6= a. Si y = a, entonces dy

dx = 0 y la funcionconstante y = a es la solucion.

2. Casos en los que el segundo miembro de la ecuacion toma la formag(y) = k(y − a)(y − b). Ejemplo de este caso es la ecuacion logısticadNdt = rN(1− N

k ), con N(0) = N0. Vemos que en este caso lavelocidad de crecimiento poblacional tambien es directamenteproporcional al numero de individuos de dicha poblacion, pero estalimitada por un termino que representa los recursos del ecosistemadonde la poblacion esta creciendo. Vemos que la velocidad decrecimiento disminuye al aumentar la poblacion (debido al termino(1− N

k )) hasta llegar a ser cero cuando N = k. En ese punto, elcrecimiento de la poblacion se estanca al estar limitada por losrecursos naturales existentes en el medio.

Para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo, tambien debemosoperar para separar las variables en cada miembro de la ecuacion eintegrar. Sin embargo la integracion no sera tan sencilla como en elcaso anterior. Al separar las variables obtenemos lo siguiente:

dy

dx= k(y − a)(y − b)→

∫dy

(y − a)(y − b)=

∫kdx

Aquı se presentan dos posibilidades

a) Si a = b, ∫dy

(y − a)2=

∫kdx

En este caso, la integral es facilmente resoluble. El resultado es− 1

(y−a) = kx, de donde podemos despejar el valor y = − 1kx + a


b) Si a 6= b, descomponemos en fraciones simples:

∫dy

(y − a)(y − b)=

∫(

A

(y − a)+

B

(y − b))dy =

∫kdx

En este caso, tendremos que despejar los valores de A y B.Sabemos que igualando los denominadores obtenemosA(y − b) +B(y − a) = 1. De esta expresion podemos obtener unsitema de dos ecuaciones ecuaciones con dos incognitas que, unavez resuelto, proporciona los valores A = 1

a−b y B = 1b−a . Por lo

tanto, la ecuacion diferencial queda,

1

a− b

∫1

y − ady +

1

b− a

∫1

y − bdy = kx,

que integrando resulta,

1

a− bln(y − a)− 1

a− bln(y − b) = kx.

Despejando el valor de y, obtenemos,

ln

(y − ay − b

)=

kx

a− b→ y − a

y − b= e

kxa−b → y =

a− bekxa−b

1− ekxa−b

.

11.7. Metodos graficos para analizar elcomportamiento a largo plazo y laestabilidad de las soluciones de unaecuacion diferencial

Desafortunadamente, muchas veces es imposible obtener una solucionexplıcita a una ecuacion diferencial. Es decir, es imposible obtener unaformula que relacione x e y. A pesar de esto, podemos llegar a conocermucho acerca de la solucion mediante metodos graficos y mediantemetodos numericos.

11.7. METODOS GRAFICOS PARA ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO Y LA ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL103

11.7.1. Campos de pendientes.

Tal y como su nombre indica, los campos de pendientes nos muestran elvalor de las pendientes de las rectas tangentes a la solucion de unaecuacion diferencial. Para cada valor de (x, y), obtendrıamos el valor deuna pendiente. Este metodo nos permite encontrar las soluciones de unaecuacion diferencial de forma grafica. Para ello, para cada valor de (x, y)representamos el valor de la pendiente a traves de un pequeno segmento.Para hacer esta repreentacion, tan solo tenemos que darnos cuenta de quela ecuacion diferencial nos proporciona el valor de la derivada de y en cadapunto del plano XY . Dicha derivada es, precisamente, la pendiente de larecta tangente a la solucion en cada punto. El campo de pendientesrepresenta todos los posibles valores de la solucion general en el plano XY .Para seleccionar la solucion particular, tendremos que examinar la soluciongeneral cerca del valor inicial proporcionado.

Ejemplo: El campo de pendientes de la funcion

y′ = x+ y,

esta representado en la figura 11.1 con el valor inicial y(0) = 1 marcado enrojo.

11.7.2. Metodo de las isoclinas.

Una isoclina es una linea que une los puntos con igual pendiente de unafuncion. De esta manera, el metodo de las isoclinas nos permite encontrargraficamente las posibles soluciones de una ecuacion diferencial. Sirepresentamos el campo de pendientes de una ecuacion diferencial es muyfacil representar las isoclinas, sin mas que unir los puntos del espacio quepresentan igual pendiente de la recta tangente a la solucion.

Ejemplo: Las isoclinas de la funcion

y′ = x+ y,

estan representadas en la figura 11.2.


Figura 11.1: Campo de pendientes de la funcion y′ = x + y, con el valorinicial y(0) = 1 marcado en rojo.

11.7. METODOS GRAFICOS PARA ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO Y LA ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL105

Figura 11.2: Isoclinas de la funcion y′ = x+ y.


11.8. Un metodo numerico para encontrar lasolucion de una ecuacion diferencial deprimer orden en un punto: el metodo deEuler.

La idea basica de este metodo es que los campos de pendientes puedenusarse para encontrar aproximaciones numericas de las soluciones deecuaciones diferenciales en un punto determinado del espacio. Por lotanto, podemos decir que el metodo de Euler es un metodo numerico pararesolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Se basa en ladiscretizacion de la derivada a traves del desarrollo en Serie de Taylor:

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0) · (x− x0)→ f ′(x0) ≈ f(x)− f(x0)

x− x0=y − y0

x− x0

Una vez obtenida una aproximacion de la derivada cerca del punto x0,podemos sustituir dicha expresion en la ecuacion diferencial que queremosresolver. Si esta ecuacion tiene, por ejemplo, la expresion:

dy

dx= g(x, y)

Sustituimos dydx por su valor discretizado:

y − y0

x− x0= g(x, y)→ yn+1 − yn

xn+1 − xn= g(x, y)→ yn+1 = yn + ∆x · g(xn, yn)

De esta forma, podemos obtener el valor de y para cualquier valor de x,siempre y cuando dispongamos de un valor inicial que sustituir en laecuacion recursiva anterior.

Ejemplo: Utiliza el metodo de Euler para aproximar el problema de valorinicial

dy

dx= x− y2,

con y(1) = 0, en x = 1,2. Para ello utiliza ∆x = 0,1.

11.9. METODOS ANALITICOS PARA ESTUDIAR EL COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO Y LA ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL107

11.9. Metodos analıticos para estudiar elcomportamiento a largo plazo y laestabilidad de las soluciones de unaecuacion diferencial

En secciones anteriores hemos estudiado las ecuaciones auonomas. Estasecuaciones tienen un miembro derecho que solo depende de la variable y.Un ejemplo era la ecuacion del modelo logıstico,

dN

dt= rN

(1− N

K

),

con una condicion inicial N(0) = N0. En esta ecuacion, si N = K o siN = 0, entonces dN

dt = 0, lo que implica que N(t) = cte.

Las soluciones constantes forman una clase especial de soluciones de lasecuaciones autonomas que se denominan puntos de equilibrio osimplemente equilibrios.

11.9.1. Equilibrios

Si consideramos ecuaciones autonomas de la forma

dy

dx= g(y),

los puntos de equilibrio nos proporcionan informacion acerca delcomportamiento a largo plazo de la solucion de una ecuacion diferencialautonoma.

Si y0 satisface la ecuacion g(y0) = 0, entonces y0 es un equilibrio de

dy

dx= g(y)

11.9.2. Estabilidad: Lineas de fase

(Analizar diagramas comentados en clase)


11.9.3. Clasificacion de puntos de equilibrio

Podemos clasificar los puntos de equilibrio de la siguiente manera:

y0 es un sumidero si cualquier solucion con y0 suficientementeproximo a y0 tiende hacia el cuando t aumenta.

y0 es una fuente si cualquier solucion con y0 suficientementeproximo a y0 se aleja de el cuando t aumenta.

Si un punto de equilibrio no es ni un sumidero ni una fuente, sedenomina nodo. Los nodos se pueden clasificar en semiestables ala derecha o semiestables a la izquierda.

11.9.4. Teorema de linealizacion

Supongamos que y0 es un punto de equilibrio de la ecuacion diferencialdydt = f(y) donde f es una funcion diferenciable continuamente. Entonces,

Si f ′(y0) < 0, entonces y0 es un sumidero.

Si f ′(y0) > 0, entonces y0 es una fuente.

Si f ′(y0) = 0 o si f ′(y0) no existe, entonces necesitamos informacionadicional para determinar el tipo de y0

11.10. Ecuaciones diferenciales lineales

En temas anteriores hemos estudiado tecnicas para encontrar solucionesexplıcitas de ecuaciones diferenciales de variables separadas. Aunquemuchos problemas interesantes conducen a ecuaciones de tipo diferencial,la mayor parte de ellas no pueden separarse. En este tema estudiaremosuno de los procedimientos usuales para resolver ecuaciones diferencialeslineales. De forma general, estas ecuaciones seran del tipo:

dy

dt= g(t) · y + r(t)

11.10. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 109

Podemos ver que el miembro derecho de esta ecuacion se corresponde conla ecuacion de una recta en funcion de y. Es decir, una ecuacion diferencialde primer orden es lineal si puede escribirse en la forma,

dy

dt= g(t) · y + r(t)

donde g(t) y r(t) son funciones arbitrarias que dependen de t.

Un ejemplo puede ser,dy

dt= t2 · y + cos(t)

Donde g(t) = t2 y r(t) = cos(t).

A veces es necesario alguna operacion previa para determinar si unaecuacion es de tipo lineal. Por ejemplo,

ty + 2 =dy

dt− 3y

puede reescribirse como,

dy

dt= (t+ 3)y + 2.

Algunas ecuaciones caen en varias categorıas simultaneamente. Porejemplo,

dy

dt= −2y + 8

es lineal con g(t) = −2, r(t) = 8. La ecuacion tambien es separable por seruna ecuacion autonoma.

La palabra lineal en el nombre de la ecuacion se refiere al hecho de que lavariable dependiente y aparece en la ecuacion elevada solo a la primerapotencia. La ecuacion

dy

dt= y2


No es lineal ya que no puede ser reescrita en la forma dydt = g(t) · y + r(t).

Otros ejemplos de ecuaciones lineales son,

dP

dt= e2tP − sin(t),

dw

dt= sin(t) · w.

Un ejemplo de ecuacion no lineal es,

dz

dt= t sin(z).

11.10.1. Resolucion de ecuaciones diferenciales lineales

Para resolver una ecuacion diferencial lineal sera necesario encontrar unfactor integrante. Para ello la reescribimos primero como

dy(t)

dt+ a(t) · y(t) = r(t),

donde a(t) = −g(t). Esto se parece a la derivada de un producto, que tienela forma

d(g(x) · h(x))

dx=dg(x)

dx· h(x) + g(x) · dh(x)

dx.

Para tener la derivada de un producto, podemos multiplicar toda laecuacion diferencial por la funcion µ(t),

µ(t)dy(t)

dt+ µ(t)a(t)y(t) = µ(t)r(t)

Aplicando la regla del producto para la derivada, enunciada anteriormente,obtenemos,

d(µ(t) · y(t))

dt=dµ(t)

dty(t) + µ(t)

dy(t)

dt

Ahora debemos preguntarnos como encontrar µ(t). Para encontrarlodisponemos de dos condiciones:

d(µ(t) · y(t))

dt=dµ(t)

dty(t) + µ(t)

dy(t)

dt


d(µ(t) · y(t))

dt= µ(t)

dy(t)

dt+ µ(t)y(t)a(t)

Puesto que queremos que µ(t) satisfaga ambas condiciones, hacemos

µ(t)dy(t)

dt+dµ(t)

dty(t) = µ(t)

dy

dt+ µ(t)y(t)a(t)

Cancelando el primer termino, que aparece en ambos miembros,obtenemos:

dµ(t)

dty(t) = µ(t)y(t)a(t),

que es otra ecuacion diferencial de variables separadas y cuya solucion es,

µ(t) = e∫adt,

donde hemos elegido como constante de integracion 0, de forma arbitraria.

Una vez que conocemos µ(t), podemos reescribir la ecuacion inicial

µ(t)dy

dt+ µ(t)a(t)y(t) = µ(t)r(t)

como,

d(µ(t) · y(t))

dt= µ(t)r(t).

Integrando ahora ambos miembros de la ecuacion, obtemos que

µ(t) · y(t) =

∫µ(t)r(t)dt

y, por tanto

y(t) =1

µ(t)

∫µ(t)r(t)dt.


Siguiendo esta estrategia hemos encontrado una funcion µ(t), denominadafactor de integracion o factor integrante que nos permite obtener unasolucion para la ecuacion diferencial inicial. El motivo es que simultiplicamos la ecuacion original por este factor, podemos resolverla porintegracion.

Atendiendo a las indicaciones dadas con anterioridad, para calcular lasolucion explıcita de una ecuacion lineal del tipo,

dy

dt+ a(t)y = r(t),

procedemos segun los siguientes pasos:

1. Calculamos el factor de integracion

µ(t) = e∫a(t)dt.

2. Multiplicamos ambos miembros de la ecuacion diferencial lineal pordicho factor de integracion.

3. Procedemos a su integracion.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacion diferencial

dy

dt+

2

ty = t− 1

11.10.2. Aplicacion: Modelo de un compartimento

Ejemplo de modelo de un compartimento:

Supongamos un estanque que inicialmente tiene un volumen inicial v0. Enel instante inicial t = 0 el agua del estanque esta limpia. El estanque tiene2 corrientes de entrada que fluyen hacia el, la A y la B. Una terceracorriente C, fluye fuera del estanque. Supongamos que de la corriente Afluye un volumen VA por dıa hacia el estanque. De la corriente B fluye unvolumen VB por dıa hacia el estanque. A traves de la corriente C sedesaloja el agua que entra traves de A y B, de forma que el volumen deagua que hay en el estanque es siempre constante. El agua aportada por la


corriente A esta contaminada. El contaminante tiene una concentracion enel agua de CA . Asumimos que la concentracion de contaminante en cadainstante de tiempo es constante dentro del estanque (el agua esta bienmezclada con el contaminante). Aparte de esto, un dıa empieza a arrojarseal estanque un volumen Vt de tierra, que va reduciendo el volumen delestanque dıa a dıa. Para que el estanque no se desborde, se ajusta elvolumen que sale por C a VC . ¿Cual es la cantidad de contaminante quehay en el interior del estanque en un instante t?


Capıtulo 12

Funciones de varias variables

115

116 CAPITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES


Hasta ahora hemos manejado unicamente funciones de una unica variableindependiente:

y = f(x)

Sin embargo, enmuchas ocasiones el comportamiento de una variabledepende de mas de dos o mas variables. Un ejemplo geometrico es el delvolumen de un cilindro circular recto, que depende de su radio r y de sualtura h como sigue

V (r, h) = πr2h,

que es una funcion de 2 variables. O el volumen de un solido rectangular,que es una funcion de 3 variables

V (l, w, h) = lwh.

La notacion para las funciones de 2 o mas variables es similar a la utilizadapara una variable. Por ejemplo,

z = f(x, y) = x2 + xy,

indica que la variable z depende de las variables independientes x e y, yque esa dependencia esta descrita por la funcion f . La situacion es analogapara funciones de 3 variables

w = f(x, y, z) = x+ 2y − 3z

y ası sucesivamente.

Nos centraremos en el estudio de algunos aspectos de las funciones de dosvariables independientes.

12.2. Funciones reales de dos variables

Las funciones de una variable estan definidas en intervalos que son, grossomodo, tramos de la recta real. Considerar dos variables independientes x ey nos lleva a trabajar en el plano real. Nos referimos al conjunto de pares

12.2. FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES 117

de numeros (x, y) en los que tanto x como y son numeros reales.Escribiremos

(x, y) ∈ R2

para referirnos a cada uno de los puntos del plano.

Definicion: Sea D un conjunto de puntos del plano. Entonces

Si a cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un unico numeroreal f(x, y), se dice que f es funcion de x e y.

El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto devalores de f(x, y) es el recorrido de f .

Para la funcion z = f(x, y), llamamos variables independientes ax e y, y variable dependiente a z.

Definiciones analogas se aplican a funciones de 3, 4 o, en general, nvariables. Los dominios estaran constituidos por conjuntos de valores(x1, x2, · · · , xn), con cada xi ∈ R.

Ejemplo: dominio de varias funciones

el dominio de la funcion

f(x, y) = x2 + y2

es R2, ya que dados x e y reales sus cuadrados estan definidos ypodemos sumarlos.

Sin embargo, el dominio de la funcion,

f(x, y) = ln(xy)

es x · y ∈ R+, ya que el argumento del logaritmo debe serestrıctamente positivo. Esto incluye las regiones del plano en las quetanto x como y son, simultaneamente, positivos o negativos.


Ejemplo: El dominio de f(x, y) =√

16− x2 − y2 es el conjunto de puntoslos que el radicando es no nulo, es decir, que la funcion esta definida en laregion

A ={

(x, y) ∈ R2; 16 ≥ x2 + y2}

Por otro lado, el recorrido de esta funcion es [0, 4], ya que cuando x e y sontales que 16− x2 − y2 = 0 la funcion vale 0, cuando x = y = 0 la funcionvale

√16 = 4. Ademas, para cualquier valor z0 entre 0 y 4 existen puntos

(x, y) tales que f(x, y) = z0. Veamos esta ultima afirmacin; recuerda que z0

es cualquier numero entre 0 y 4, es decir, que lo podemos suponer conocido:

f(x, y) = z0 ⇔√

16− x2 − y2 = z0 ⇔ 16−x2−y2 = z20 ⇔ 16−z2

0 = x2+y2.

Y resulta que la igualdad de mas a la derecha describe a los puntos de lacircumferencia de radio

√16− z2

0 , que esta en el conjunto A.

12.3. Propiedades y representacion grafica

Las funciones de varias variables se pueden combinar igual que las de unavariable; formalmente, las podemos sumar (restar), multiplicar o dividir:

Suma o diferencia:

(f ± g)(x, y) = f(x, y)± g(x, y)

Producto:

(f · g)(x, y) = f(x, y) · g(x, y)

Cociente:f

g(x, y) =

f(x, y)

g(x, y), g(x, y) 6= 0

Sin embargo, no es posible formar la composicion de funciones de variasvariables. Por ejemplo, consideremos las funciones de dos variables

z1 = f(x, y) = x+ 3y z2 = g(x, y) = x2 − cos(x+ y).

Ante la idea de componerlas, digamos, de aplicar g al resultado de aplicarf al par de puntos (x, y), de inmediato encontramosuna dificultad

12.4. GRAFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES 119

insalvable: una vezque tenemos z1 = f(x, y), ¿donde sustituimos z1 en g,enla primera o en la segunda variable?

Sin embargo, si g es una funcion de una sola variable, puede formarse lafuncion compuesta

(g ◦ h)(x, y) = g(h(x, y))

puesto que el resultado de aplicar f es un numero real y esta g precisa deun unico argumento.

12.4. Grafica de una funcion de dos variables

Al igual que ocurrıa con las funciones de una variable, podemos aprendermucho sobre una funcion de dos variables dibujando su grafica. Conayudade los ordenadores, representar una funcion es una tarea sencilla.Definicion La grafica de una funcion de 2 variables es el conjunto depuntos (x, y, z) que satisfacen z = f(x, y), con (x, y) en el dominio de f .Puede interpretarse geometricamente como una superficie en el espacio.

Ejemplo: ¿Cual es el recorrido de f(x, y) =√

16− 4x2 − y2? Describir lagrafica de f .

12.4.1. Curvas de nivel

Otra forma de visualizar una funcion de 2 variables consiste en utilizar lascurvas de nivel o lıneas de contorno, a lo largo de las cuales el valorde f(x, y) es constante. Una curva de nivel es una curva en el plano OXYsobre la que la funcin toma un valor constante.

Seguro que una busqueda (de imagenes) rapida en Google u otro buscadordel termino curva de nivel.Ejemplos de curvas de nivel conocidas, son las isobaras que marcanpuntos de presion constante, o las isotermas, que marcan puntos detemperatura constante. Los mapas de contorno suelen utilizarse pararepresentar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivelcorrespondiendo a lıneas de altura constante sobre el nivel del mar. Losmapas de este tipo se llaman mapas topograficos. Un mapa de contornopermite interpretar la variacion de z respecto de x e y gracias al espaciado


entre las curvas de nivel. Una separacion grande entre las curvas significaque z varıa lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quierendecir que z cambia muy deprisa.

Ejemplo: Dibujar un mapa de contorno para la superficief(x, y) =

√64− x2 − y2, utilizando curvas de nivel f(x, y) = c.

12.4.2. Superficies de nivel

Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se anade unadimension. Si f es una funcion de 3 variables y c una constante, la graficade la ecuacion f(x, y, z) = c es una superficie de nivel de la funcion f .Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la funcion

f(x, y, z) = 4x2 + y2 + z2

Se trata de las superficies de la forma f(z, y, z) = k, con k in constantearbitraria (positiva). Por ejemplo, para k = 1 tenemos

f(x, y, z) = 4x2 + y2 + z2 = 1⇔ ±√

1− 4x2 − y2 = z

12.5. Lımites y continuidad

Al igual que para funciones de una variable, para funciones de variasvariables es necesario estudiar conceptos tales como el de lımite ocontinuidad.

Como ya hemos comentado, las funciones de varias variables permitenexpresar, a traves de una formula, una variable (dependiente) en funcionde otras (independientes). Por ejemplo, la conocida expresion

PV = nRT

permite, para un gas perfecto, relacionar la presion P a la que esta, elvolumen V que ocupa y la temperatura T a la que se encuentra (n es elnumero de moles y R es la constante universal de los gases (su valor varıaen funcion de las unidades en las que se expresa.). Podemos expresar elvolumen como funcion de la presion y la temperatura

V (P, T ) = nRT

P

12.5. LIMITES Y CONTINUIDAD 121

Ası, nos preguntamos, para una temperatura concreta T0, que sucede siaumenta mucho la presion, es decir,

lımP→∞

V (T0, P )

o de que forma deben aumentar presion y temperatura para que elvolumen no varie.

La definicion de continuidad en un punto para funciones de varias variableses analoga a la de funciones de una variable: se trata de que el valor delafuncion de dicho punto coincida con el lımite de la funcion en ese punto.Sin embargo, probar rigurosamente que una funcion devarias variables escontinua puedeser una tarea bien compleja, y no vamos a entrar en ella. Elmotivo es elsiguiente: para funciones de una variable, a cada punto de larecta, esencialmente, solo nos podemos aproximar o por su izquierda o porsu derecha (lo que en su momento llamamos lımites laterales). Perocuandoentran en uego varias variables, a cada punto nos podemos acercarpor muchos caminos distintos. Y esto complica enormemente las cosas.

Aunque no entremos a fondo en la cuestion, tenemos la siguiente

Definicion intuitiva de lımite en 2 variables. Decimos que una funcion dedos variables f(x, y) tiene lımite L en un punto (x0, y0), si la funcion tiendea L sea cual sea la direccion que tomemos al aproximarnos a (x0, y0).

Ejemplo: Calcular el lımite,

lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2,

a traves de las trayectorias (x, 0) e (0, y).

Cuando nos aproximamos por puntos que estan en el eje OXtenemos que hacer y = 0 y tenemos

lım(x,0)→(0,0)

x2

x2= 1.

Cuando nos aproximamos por puntos que estan en el eje OY lo quehacemos es poner x = 0 y tenemos

lım(0,y)→(0,0)

−y2

y2= −1.


12.6. Derivadas parciales.

Vamos a considerar la funcion f(x, y) = 15− x2

9− y2

4cuya grafica, cuando

−7 ≤ x ≤ 7, −5 ≤ y ≤ 5 aparece a continuacion:

Supongamos que la variable y es constante y vale y = −4. Entonces la

funcion f pasa a ser f(x,−4) = 15− x2

9− (−4)2

4= 11− x2

9, es decir, una

funcion de una variable. La hemos representado, en trazo marron junto conf(x, y) en la siguiente figura

Podemos, por ejemplo, calcular la tasa de variacion de z = f(x,−4) mediade f cuando x pasa de valer x0 a valer x1 e y = −4

f(x1,−4)− f(x0,−4)

x1 − x0

12.6. DERIVADAS PARCIALES. 123

Figura 12.1: Superficie z = f(x, y), curva z = f(x,−4).

Tambien podemos calcular la tasa de variacion instantanea en x = x∗cuando y es constante (y = −4). Y la calculamos de la misma manera quelo hicimos para funcionesde una unica variable:

lımx→x∗

f(x,−4)− f(x∗,−4)

x− x∗= lım

∆x→0

f(x∗ + ∆x,−4)− f(x∗,−4)

∆T

Este ejemplo justifica la siguiente definicion general:Definicion Sea f : A ⊂ R2 → R una funcion y (x0, y0) ∈ A. Si existen loslımites

∂f(x0, y0)

∂x:= lım

x→x0

f(x, y0)− f(x0, y0)

x− x0= lım

∆x→0

f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)

∆x

∂f(x0, y0)

∂y:= lım

y→y0

f(x0, y)− f(x0, y0)

y − y0= lım

∆y→0

f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)

∆y

se dice que f admite derivadas parciales respecto de x e y en el punto(x0, y0).


Esta definicion significa que para calcular fx debemos considerar y comoconstante y derivar respecto a x. Analogamente, para calcular fy debemosconsiderar x como constante y derivar respecto a y.

Para la derivada parcial respecto de x se emplean, por ejemplo, lasnotaciones

∂f

∂x(x0, y0) =

∂f

∂x

∣∣∣∣(x0,y0)

= fx(x0, y0) = Dxf(x0, y0)

y analogamente para las derivadas respecto de la variable y.

Interpretacion geometrica

Si y = y0, entonces z = f(x, y0) es la curva de interseccion de la superficiez = f(x, y) con el plano y = y0 . Por tanto, fx(x0, y0) es la pendiente de larecta tangente a esa curva en el punto (x0, y0, f(x0, y0)).

Volvamos al ejemplo que traıamos, con z = f(x, y) = 15− x2

9− y2

4e

y = −4. Vamos a calcular la recta tangente a z = f(x, y) en el punto

(2,−4) paralela al eje OY . Ha quedado claro que f(x,−4) = 11− x2

9es

una funcion de una variable; la recta tangente a su grafica (la curvamarron de la figura 12.1) en el punto (x, z) = (2, 11− 4/9) esz = 11− 4/9− 2x

9 (x− 2), y esta representada en la siguiente figura (hayque anadir la condicion y = −4)

Analogamente, si x = x0, z = f(x0, y) es la curva de interseccion de lasuperficie z = f(x, y) con el plano x = x0. Por tanto, fy(x0, y0) es lapendiente de esa curva en el punto (x0, y0, f(x0, y0)). Por lo tanto,fx(x0, y0) y fy(x0, y0) nos proporcionan las pendientes de la superficie enlas direcciones x e y.

Hasta el momento, hemos representado habitualmente la superficies en elespacio mediante ecuaciones de la forma z = f(x, y), que representa laecuacion de una superficie S. A partir de ahora, conviene recurrir a unarepresentacion mas general de la forma

F (x, y, z) = 0.

12.6. DERIVADAS PARCIALES. 125

Figura 12.2: Superficie z = f(x, y) y recta tangente (en negro) a la curvaz = f(x,−4) en x = 2

Una superficie dada por z = f(x, y), podemos convertirla a la formageneral, sin mas que definir F como

F (x, y, z) = f(x, y)− z.

Introduccion Puesto que F (x, y)− z = 0, podemos considerar S como lasuperficie de nivel de F dada por

F (x, y, z) = 0,

que es una ecuacion alternativa de la superficie S.Ejemplo: Describir la superficie de nivel F (x, y, z) = 0 para la funcionF (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4


12.7. Gradiente

El vector gradiente

Podemos agrupar las dos (en el caso de una funcion de dos variables)derivadas parciales de la funcion f en el punto (x0, y0) en un vector,conocido como gradiente

∇f(x0, y0) := (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) .

Tambien se usa la notacion gradf(x, y). Observa que el gradiente es unvector del plano (tiene dos componentes), no del espacio.

Aunque no lo demostraremos, se puede probar que el vector gradiente esperpendicular a las curvas de nivel.El vector gradiente indica la direccion de maxima variacion de la funcion

en cualquier punto. Por ejemplo, retomemos la funcion P (T, V ) = nRT

Vque describe la presion que ejercen n model de un gas ideal confinado enun volumen V a temperatura T . Parece claro que tanto aumentar latemperatura como disminuir el volumen del recipiente hacen crecer lapresion. Pero, para una temperatura y volumen dados, ¿en que proporciondebo hacerlos variar (conjuntamente) para observar na variacion en lapresion lo mas brusca posible? Esa pregunta la podemos responder con elgradiente

∇P (T, V ) = (PT (T, V ), PV (T, V )) =

(nR

V,−nRTV 2

).

En concreto, el cociente entre las dos componentes del vector gradientenRV

−nRTV 2

= −V 3

T dos dice en qu proporcion hay que aumentar temperatura y

volumen para que la variacion en la presion sea maxima (lo mas rpidaposible).En realidad el gradiente se puede calcular de una funcion de cualquiernumero de variables, siempre y cuando existan las derivadas parciales. Elparticular, existe el el gradiente ∇F de F (x, y, z) que tambien esperpendicular (normal) a las superficies de nivel.Es necesario darse cuenta de que ∇f(x, y) es un vector en el plano y∇F (x, y, z) es un vector en el espacio. El vector gradiente marcara ladireccion de maxima variacion de la funcion en cualquier punto.

12.7. GRADIENTE 127

Ejemplo: Hallar las derivadas parciales y el gradiente de

f(x, y) = 3x− x2y2 + 2x3y

Tenemos

fx(x, y) = 3−2xy2+6xy fy(x, y) = −2x2y+2x3 ∇f(x, y) = (3−2xy2+6x, −2x2y+2x3)

Plano tangente

De hecho podemos utilizar ∇F para calcular la ecuacion del planotangente a la superficie definida por F (x, y, z) = 0 en el punto (x0, y0, z0).Definicion del plano tangente. Sea F diferenciable en un puntoP (x0, y0, z0) de la superficie S dada por F (x, y, z) = 0, con∇F (x0, y0, z0) 6= 0:

El plano que pasa por P es normal a ∇F (x0, y0, z0) se llama planotangente a S en P .

La recta que pasa por P con la direccion ∇F (x0, y0, z0) se llamarecta normal a S en P .

Ecuacion del plano tangente Si F es diferenciable en (x0, y0, z0), unaecuacion del plano tangente a la superficie dada por F (x, y, z) = 0 en(x0, y0, z0) es

Fx(x0, y0, z0)(x− x0) + Fy(x0, y0, z0)(y − y0) + Fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0

Puesto que

F (x, y, z) = f(x, y)− z,

entonces

Fx(x0, y0, z0)(x− x0) + Fy(x0, y0, z0)(y − y0)− (z − z0) = 0


Derivadas direccionales

Definicion Sea f : A ⊂ R2 → R una funcion y (x0, y0) ∈ A. Sea~v = (v1, v2) un vector no nulo de R2. La derivada en la direccion de ~v es, siexiste, el lımite

lımh→0

f(x0 + hv1, y0 + hv2)− f(x0, y0)

h

Si ‖~v‖ = 1 (se dice que el vector es unitario, su longitud es 1) el lımiteanterior se llama derivada direccional de f en (x0, y0) en la direccion de~v y se denota por D~vf(x0, y0). Por si acaso, si un vector v tienecomponentes v = (v1, v2), su modulo ‖v‖ vale

‖v‖ =√v2

1 + v22

Ademas, para cualquier vector v no nulo de componentes v = (v1, v2), elvector (

v1

‖v‖,v2

‖v‖

)tiene la misma direccion y sentido que v, pero longitud 1.

Calcular la derivada segun la definicion puede resultar engorroso.Afortunadamente, el siguiente resultado relaciona el calculo de la derivadadireccional (un lımite) con el gradiente y el producto escalar:Proposicion Sea f : A ⊂ R2 → R una funcion y (x0, y0) ∈ A. Sean~v = (v1, v2) un vector no nulo de R2, ∇f(x0, y0) el gradiente de f en(x0, y0) y D~vf(x0, y0) la derivada direccional de f en (x0, y0) segun ~v.Entonces

D~vf(x0, y0) = 〈∇f(x0, y0), (v1, v2)〉

Ejemplo: Para un gas ideal, la presion en funcion del volumen viene dada

P (T, V ) = nRT

Vpara un numero de moles n. Calcular la derivada

direccional segun ~v = (4, 5) P (T, V ) en el punto T = 3, V = 10.

12.7.1. Derivadas parciales de orden superior

Al igual que las funciones de una variable, la funcin derivada parcial es asu vez susceptible de ser derivada de nuevo respecto de cualquiera de lasvariables independientes:

12.7. GRADIENTE 129

Derivada parcial segunda respecto a x:

∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2= fxx

Derivada parcial segunda respecto a y

∂

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2= fyy

Derivada parcial cruzada o mixta

∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y= fyx

Derivada parcial cruzada o mixta

∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x= fxy

Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Se verifica lo siguiente: si f es una funcion de x e y, con fxy, fy,x continuasen un entorno de (x0, y0), entonces,

fxy(x, y) = fyx(x, y),

en ese entorno.

Ejemplo: Calcular todas las derivadas parciales de segundo orden de

1. f(x, y) = 3xy2 − 2y + 5x2y2

fx(x, y) = 3y2 + 10xy2, fy(x, y) = 6xy + 10x2y,

fxx(x, y) = 10y2, fxy(x, y) = 6y+ 20xy, fyy(x, y) = 6x+ 10x2

2. g(x, y, z) = yex + xln(z)

Ejemplo: El area de un paralelogramo de lados adyacentes a y b, conangulo α entre ellos, viene dada por A = ab sin(α):


Calcular el ritmo de cambio de A respecto de a para a = 10, b = 20,y α = π

6 .

Calcular el ritmo de cambio de A respecto de α para a = 10, b = 20,y α = π

6 .

12.7.2. La regla de la cadena

Proposicion Sea f : A ⊂ R2 → R una funcion de las variables (x, y) ∈ Atal que existen sus derivadas parciales. Supongamos ademas que x e ydependen a su vez de la variable t de modo que x(t) e y(t) son tambienderivables. Entonces

1. La funcion f es una funcion de una sola variable (t).

2.d f(t)

d t=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt

12.8. Calculo de extremos relativos

La nocion de extremo relativo se extiende a funciones de varias variablessin problemas (ver figura 12.3).

Figura 12.3: Funcion con dos maximos y dos mınimos relativos. De ellos,uno es maximo absoluto y otro un mınimo tambin absoluto

12.8. CALCULO DE EXTREMOS RELATIVOS 131

La idea intuitiva para, por ejemplo, un maximo relativo, es que la funciontoma en ese punto un valor mas grande en el los puntos que hay alrededor.Esto se formaliza en la siguiente definicion.Definicion Sea f : A ⊆ R2 → R una funcion y sea (x0, y0) ∈ A.

Decimos que (x0, y0) es un maximo relativo de f si exite ε > 0 tal quef(x0, y0) ≥ f(x, y) para todo x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) e y ∈ (y0ε, y0 + ε).

Decimos que (x0, y0) es un mınimo relativo de f si exite ε > 0 tal quef(x0, y0) ≤ f(x, y) para todo x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) e y ∈ (y0ε, y0 + ε).

En los puntos del dominio de f en los que exista un extremo relativo elplano tangente (si existe) a la superficie definida por f debe ser paralelo alplano 0XY , es decir, es de la forma z = z0. Si f tiene derivadas parcialescontinua la ecuacion del plano tangente a f en (x0, y0) es

fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)− (z − z0) = 0

por lo tanto, si existen las derivadas parciales de f y son continuas, escondicion necesaria para la existencia de extremos relativo quefx(x0, y0) = 0 = fy(x0, y0).Definicion Llamaremos puntos crıticos de f a los puntos (x0, y0) tales que

1. o bien fx(x0, y0) = 0 = fy(x0, y0).

2. o bien no existen una de las derivadas fx(x0, y0), fy(x0, y0).

Ahora que sabemos que puntos del dominio de f son susceptibles de serextremo relativo (es decir, los puntos crıticos), necesitamos clasificarlos:Proposicion (Clasificacion de puntos crıticos). Sea f : A ⊆ R2 → Runa funcion con derivadas segundas continuas y sea (x0, y0) ∈ A un puntoen el que fx(x0, y0) = 0 = fy(x0, y0). Definimos ademas la cantidad

D := fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)− (fxy(x0, y0))2 =

∣∣∣∣ fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)fyx(x0, y0) fyy(x0, y0)

∣∣∣∣(recordar que fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). Entonces:

Si D > 0 y fxx(x0, y0) > 0, (x0, y0) es un mınimo relativo.


Si D > 0 y fxx(x0, y0) < 0, (x0, y0) es un maximo relativo.

Si D < 0, (x0, y0) es un punto de silla.

Si D = 0, no podemos afirmar nada,

Teorema (Teorema de los valores extremos). Sea f una funcion continuade dos variables x e y, definida en una region cerrada y acotada R delplano xy.

Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor mınimo.

Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor maximo.

12.9. Linealizacion

Sea F diferenciable en un punto P (x0, y0, z0) de la superficie S dada porF (x, y, z) = 0, con ∇F (x0, y0, z0) 6= 0. Podemos hacer una aproximacionlineal de la superficie S cerca del punto (x0, y0, z0) mediante la expresion

F (x, y, z) = F (x0, y0, z0) +∇F (x0, y0, z0)(x− x0, y − y0, z − z0).

Considerando de nuevo que F (x, y, z) = f(x, y)− z, esta expresion setransforma en:

F (x, y, z) = f(x0, y0)− z0 + (fx(x0, y0), fy(x0, y0),−1)

· (x− x0, y − y0, z − z0)

12.9.1. Optimizacion

Optimizacion Una de las posibles aplicaciones de la teorıa de extremospara funciones de varias variables es la optimizacion. Como ejemploveremos el metodo de los mınimos cuadrados.

Ejemplo Una caja rectangular se encuentra apoyada sobre el plano XY ,con un vertice en el origen y el vertice opuesto en el plano

6x+ 4y + 3z = 24.

Calcular el maximo volmen posible de esa caja.

12.9. LINEALIZACION 133

Aplicacion: metodo de Mınimos cuadrados

Regresion mediante el metodo de Mınimos cuadrados En todas lasaplicaciones cientıficas donde se toman medidas es necesario estimar elerror de medida y comparar los resultados obtenidos con el modelo teoricodel proceso fısico o biologico. Para ello se utiliza el metodo de regresionpor mınimos cuadrados. A traves de dicho metodo se trata deencontrar un modelo de funcion que minimice el error cuadratico medio detodos los datos. Dicho error tiene la expresion:

E =n∑i=1

(f(x)− yi)2

y representa la suma de todos los errores cuadraticos medidos con respectoa la funcion teorica f(x).

El caso mas simple es el de un modelo lineal. En este caso, buscamosencontrar la expresion de una recta de regresion que minimice el errorcuadratico anterior. Dicha recta viene dada por la expresion f(x) = ax+ b,donde

a =n∑n

i xiyi −∑n

i=1 xi∑n

i=1 yi

n∑n

i=1 x2i − (

∑ni=1 xi)

2

y

b =1

n

(n∑i=1

yi − an∑i=1

xi

)

Dichas expresiones proceden de minimizar el error cuadratico medioE =

∑ni=1 (f(x)− yi)2 =

∑ni=1 (axi + b− yi)2 ajustando a y b y teniendo

en cuenta que f(x) = ax+ b. Es decir∂E∂a = 0

∂E∂b = 0

El resultado es:

∂E∂a =

∑ni=1 2xi (axi + b− yi)2

= 2a∑n

i=1 ax2i + 2b

∑ni=1 xi − 2

∑ni=1 xiyi = 0

∂E∂b =

∑ni=1 2 (axi + b− yi) = 2a

∑ni=1 xi + 2nb− 2

∑ni=1 yi = 0


Regresion mediante el metodo de Mınimos cuadrados

Si los valores de x estan simetricamente distribuidos respecto al eje y,entonces

∑xi = 0 y obtenemos las formulas anteriores

a =n∑n

i xiyi −∑n

i=1 xi∑n

i=1 yi

n∑n

i=1 x2i − (

∑ni=1 xi)

2

y

b =1

n

(n∑i=1

yi − an∑i=1

xi

)

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Matem aticas del Grado en Biolog a - UAH...Ecuaciones aut onomas no lineales de primer orden: clasi ca-ci on de puntos jos y gr a cos de tela de arana.~ . . . . . . . .86 viii INDICE