MATEMÁTICA · IUPFA - CURSO DE INGRESO INTENSIVO 2019 - MATEMÁTICA- Página 7 de 41 14 35 ... 15 15.1 15.4 35 15 2 15 7 15 41 53 . 15 15.4 15.1 53 15 5 15 17 15 La mecánica para

MATEMÁTICA

CURSO DE INGRESO INTENSIVO

Autora: Vanesa Viña

2019

IUPFA - CURSO DE INGRESO INTENSIVO 2019 - MATEMÁTICA- Página 2 de 41

Instituto Universitario de la Policía Federal Argentina

Curso de Ingreso Intensivo

Programa de la asignatura: MATEMÁTICA

Para las Carreras: LIC. EN CRIMINALÍSTICA, LIC. EN ACCIDENTOLOGÍA Y PREVENCIÓN VIAL, LIC. EN GESTIÓN DE SINIESTROS LIC. EN SEGURIDAD EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIONES, TEC. UNIV. EN BALÍSTICA Y ARMAS PORTÁTILES, PERITO EN PAPILOSCOPÍA Y CALÍGRAFO PÚBLICO NACIONAL.

Ciclo Lectivo 2019

Fundamentación:

¿Qué es lo que realmente necesita saber un estudiante para aprender cálculo? Esta

pregunta se la formuló el profesor emérito de matemáticas canadiense James Stewart. Y dio

una tentativa de respuesta: un estudiante no sólo necesita habilidades técnicas; sino

también una clara comprensión de los conceptos –en otras palabras, comprender lo que

realmente significan las matemáticas.

Galileo Galilei mencionó allá por fines del 1500 que las matemáticas son el lenguaje

en que se ha escrito el universo. Un lenguaje por demás útil al querer modelar situaciones

vinculadas -dentro de este universo cercano- a siniestros, accidentes, crímenes, cuestiones

de seguridad, comunicaciones y a dilucidar problemas de la escritura.

Para ello es necesario comprender y no sólo memorizar todas las reglas o hechos

que encuentre. Las matemáticas son un arte de resolución de problemas y no simplemente

una recolección de hechos, como quizás parezca…

Para dominar los temas deberá resolver problemas y ejercicios. Muchos… J. Stewart

decía: haga tantos ejercicios como pueda. Le sugerimos escribir su solución paso a paso de

manera lógica. Intente comprenderlos con claridad. Pregunte por sus aplicaciones.

Relaciónelo con lo que aprenda de su profesor/a. Una vez que haya hecho esto varias

veces, empezará a entender lo que realmente significan las matemáticas: una poderosa

herramienta, un lenguaje con el que modelar el mundo que nos rodea.

Si sus respuestas difieren de algunas de las respuestas dadas, no suponga de

inmediato que se ha equivocado. Quizás hay un cálculo que relacione las respuestas,

haciendo a ambas correctas. Las matemáticas son uno de los mejores ámbitos para

aprender del error.

Este Curso de Ingreso Intensivo tiene como objetivo fortalecer los conocimientos de

Matemática adquiridos en la escuela secundaria, según sus distintas modalidades.

Es un curso para reforzar la base matemática, adquirir competencias que

anteriormente no se hayan conseguido o que se hayan olvidado y se necesiten recordar. Y


de esta manera lograr una base más sólida con la que poder asimilar mejor los contenidos

trabajados en las asignaturas de su carrera

En términos metodológicos, se organiza cada uno de los 2 (DOS) bloques de 4

(CUATRO) horas como una unidad teórico – práctica que permita un abordaje gradual de los

contenidos de la asignatura. Se plantearán actividades donde los alumnos puedan: discutir,

escribir, leer y escuchar ideas; buscar, analizar y comunicar datos; analizar y buscar

soluciones a dilemas matemáticos; analizar, hipotetizar y resolver situaciones problemáticas

y ejercicios.

Contenidos:

UNIDAD I: Números Reales.

- Conjuntos que integran los Números Reales (Naturales, Enteros, Racionales,

Irracionales)

- Números Racionales: Expresiones decimales: Exactas, Periódicas Puras y

Periódicas Mixtas (pasaje de fracción a decimal). Operaciones básicas en

Racionales: Suma, Resta, Multiplicación y División (reglas de signos y

propiedades). Potencia y Radicación en Racionales (regla de signos y

propiedades). Operaciones complejas: Paréntesis, Corchetes y Llaves

(propiedad distributiva y regla de signos)

UNIDAD II: Ecuaciones.

- Ecuación de Primer Grado

- Ecuación de Segundo Grado

- Sistema de Ecuaciones Lineales: Métodos de resolución (Sustitución e Igualación)

UNIDAD III: Números Irracionales.

- Simplificación de radicales

- Extracción de factores fuera del radical

- Operaciones básicas en Irracionales (Suma, Resta, Multiplicación y División)

UNIDAD IV: Expresiones Algebraicas.

- Factoreo de Polinomios: 5 casos (Factor Común, Factor Común en Grupos, Binomio

Cuadrado Perfecto, Trinomio Cubo Perfecto, Diferencia de Cuadrados)

UNIDAD V: Número Real – Intervalos y Conjuntos.

- Conjuntos: Definición. Gráfico. Inclusión e Intersección. Unión

- Intervalos. Clasificación: Abierto, Cerrado, Finito e Infitnito

- Módulo, valor absoluto. Propiedades


UNIDAD VI: Funciones.

- Ejes Cartesianos

- Estudio de Funciones: Dominio e Imagen

- Tipo de funciones: Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

- Función Inversa

- Función Lineal

- Presentación de funciones principales (Constante, Hiperbólica, Exponencial,

Identidad, Logaritmo, Cuadrática)

UNIDAD VII: Logaritmo.

- Propiedades

- Cambio de base

Cronograma:

CLASE UNIDAD BIBLIOGRAFIA/OTROS

1 Números Reales

El presente Cuadernillo teórico - práctico.

2 Ecuaciones

3 Números Irracionales

4 Expresiones Algebraicas

5 Número Real – Intervalos y Conjuntos

6 Funciones

7 Logaritmos

8 Clase de repaso previo a la evaluación escrita

Evaluación individual escrita


UNIDAD Nro I: Números Reales

Números

Naturales

Los Números Naturales son aquellos

números “exactos” y además son sólo

positivos.

Pueden incluir o no al Cero.

1;2;3;4;5;6;7;8;9;...

Números

Enteros

Los Números Enteros es una ampliación del

conjunto anterior ya que comprende también

los números “exactos” negativos.

9; 7; 4; 2; 1;0;2;3;6;8;9;

Números

Racionales

Los Números Racionales se forman de una

“parte entera” y una “parte no entera” a la

que se llama fracción o decimal. Los

números Racionales son todos aquellos

números con o sin “parte no entera”,

siempre y cuando se puedan expresar como

una fracción.

3 1 1 7 13; ; 2; ;0; ; ;1;2 ;4;

4 2 4 8 2

Números

Irracionales

Los Números Irracionales se conforman por

números con infinitos decimales no

periódicos y NO se los puede expresar como

fracción.

32; ; 5;

Números

Reales

Los Números Reales incluyen TODOS los

conjuntos mencionados anteriormente.

3 1 1 73; ; 2; 2; ;0; ; ;1; 2;

4 2 4 8

12 ; ;4;

2

Todos estos conjuntos pueden ser representados sobre una recta numérica.

Números Racionales

Expresiones Decimales:

Exactas: número finito de cifras decimales 0,55; 11,6; 2,5; 0,0001;

Periódicas

Puras: a continuación de la coma presenta una o varias

cifras decimales que se repiten periódicamente

(período)

0,5;12,1;3,9;...

Impuras o Mixtas: entre la coma y el período presenta

una o varias cifras que no se repiten (constituyen el

anteperíodo)

0, 25;1,125;9,541;


Pasaje de Expresiones Decimales a Fracciones:

Expresiones Decimales Exactas

1,5 15

10

12,15 1215

100

Expresiones Decimales Periódicas Puras

0,5 5

9

0,33 33 1

99 3

Expresiones Decimales Periódicas Mixtas

0,314 314 3 311

990 990

1,157 1157 11 1146 573

990 990 495

Operaciones básicas en Racionales:

Suma y Resta

1° Averiguar el Mínimo Común Múltiplo (MCM), ese será el denominador.

2° Para el numerador dividimos el MCM por el denominador de cada término y lo

multiplicamos por su numerador.

Numerador: se coloca la expresión decimal

sin la coma. Denominador: se coloca un “1”

por la parte entera y un “0” por cada parte

decimal.

Numerador: se coloca la expresión decimal

sin la coma. Denominador: se coloca un “9”

por cada cifra dentro del período

Numerador: se genera una resta entre la expresión decimal sin la coma y el anteperíodo (si

posee parte entera, esta también se resta). Denominador: se coloca un “9” por cada cifra

dentro del período y un “0” por cada cifra del anteperíodo (siempre hablando de cifras

decimales).


1 4

3 5

... ...

15

15.1 15.4

3 5

15

5 12

15

7

15

4 1

5 3

... ...

15

15.4 15.1

5 3

15

12 5

15

17

15

La mecánica para sumar y restar fracciones es la misma, lo que cambia es el signo.

Multiplicación y División

La multiplicación es directa (numerador con numerador y denominador con denominador)

7 5.

2 3

7.5

2.3

35

6

La División es “cruzada” o una multiplicación indirecta

6 7:

5 11

6.11

5.7

66

35

6 11.

5 7

6.11

5.7

66

35

- Regla de Signos

Al multiplicar o dividir números positivos y negativos se debe recordar:

+ Por o dividido + Es +

+ Por o dividido - Es -

- Por o dividido - Es +

- Por o dividido + Es -

Potencia

Cuando un número racional es elevado a una potencia, esta potencia afecta tanto al numerador

como el denominador.

2

3

7

2

2

3

7

9

49


31

2

3

3

1

2

1

8

Lo mismo pasa con la radicación de números racionales.

25

9

25

9

5

3

31

27

3

3

1

27

1

3

- Propiedades

Distributiva 2 2 2. .a b a b

2 2 2: :a b a b

Producto de potencias de igual base 2 3 2 (2 3 2). .a a a a

Cociente de potencias de igual base 3 2 (3 2):a a a

Potencia de potencia 3

2 (2.3)a a

- Potenciación: Regla de Signos

Base Exponente Potencia

positiva par positiva

positiva impar positiva

negativa par positiva

negativa impar negativa


Radicación

- Propiedades

Distributiva . .a b a b : :a b a b

Raíz de raíz (3.2)3 a a

- Radicación: Regla de Signos

Operaciones complejas en Racionales: paréntesis, corchetes y llaves

Separación en términos

La separación en términos está dada por los signo “+” y “-”

Luego se resuelve término por término:

Índice Radicando Raíz

impar positivo un solo resultado (positivo)

impar negativo un solo resultado (negativo)

par positivo

dos resultados de igual valor y

diferente signo (positivo y

negativo)

par negativo no tiene solución en Números

Reales


Por último, se puede trabajar de dos maneras diferentes:

Sumar y restar según el orden

Agrupando positivos y negativos

Paréntesis, corchetes y llaves: regla se signos

Por lo general, se “sacan” primero los paréntesis, luego corchetes y por último llaves. Para

ello se debe tener en cuenta:

Si delante se encuentra un signo “+”, los signos se mantienen.

Si delante se encuentra un signo “ - ”, los signos se invierten.

De esta manera podemos ver el siguiente ejercicio:

Donde primero “sacamos los paréntesis”:

Luego “sacamos los corchetes”:

Y “sacamos las llaves”:

Por último se resuelven los cálculos agrupando positivos y negativos:

O bien puede escribirse así:

Obteniendo:


Nota: Otra manera de hacer estos cálculos, es ir resolviendo las operaciones dentro de los

paréntesis, y lo mismo con corchetes y llaves.

o Propiedad Distributiva

Dentro de operaciones complejas con “paréntesis, corchetes y llaves” podemos encontrarnos

una multiplicación delante o detrás de los mismos.

En este caso se aplica la “Propiedad Distributiva”, multiplicando cada término dentro del paréntesis, de la siguiente manera:

UNIDAD Nro I: EJERCITACIÓN

1) Resolver y clasificar según el conjunto numérico al que pertenecen:

a. 3.3 ( 4).5 2 : ( 2)

b. 3.( 2) ( 12) : 3 4.0

c. 10 2 (4 2) : 2 8

d. 2 32 8 : ( 2)

e. 3 2 2 0 210 6 ( 28) . 9 4

f. 2 3

0,75 0,3 23 4

g.

2 1

33 27 1 3

: .( 5)2 8 2 4

h.

13

2 3 3 42 : 64 .

4 27

2) Calcular el valor de las potencias:


a.

1

31

8

b.

1

24

25

c.

3

21

4

d. 2

38

3) Pasar de decimal a fracción:

a. 5,75

b. 8,042

c. 64,3

d. 28,03

e. 0,76

f. 41,4

UNIDAD Nro II: Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas

miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o “datos”,

desconocidos o “incógnitas”, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Ecuaciones de Primer Grado

Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita está elevada a la

potencia 1, es decir que su exponente es 1 (x¹ = x). De esta manera, al resolver la ecuación

obtendremos un solo resultado.

La manera de resolver una ecuación de primer grado es despejar. Despejar significa “dejar a

la X sola” de un lado del igual y “pasar” todo dato para el otro lado.

Si dentro de la ecuación hubiera dos o más términos que incluyeran “X”, primero se deben

unificar en uno solo. Lo mismo ocurre con los “datos” (si hubiera operaciones disponibles

siempre es recomendable realizarlas primero).

o Reglas básicas para pasar términos.

- Lo que está sumando pasa restando


- Lo que está restando pasa sumando

- Lo que está multiplicando pasa dividiendo

- Lo que está dividiendo pasa multiplicando

- Las potencias pasan como raíces

- Las raíces pasan como potencias

Nota: es importante en las ecuaciones recordar la “separación en términos” y el respetar el uso

de “paréntesis, corchetes y llaves”.

Ya teniendo esto en cuenta, se procede a resolver la ecuación:

Separando en términos

Resolviendo las operaciones posibles

Unificando datos e incógnitas

Y despejando según corresponda

Para así, lograr el resultado

Ecuaciones de Segundo Grado

Se dice que una ecuación algebraica es de segundo grado cuando la incógnita está elevada a la

potencia 2, es decir que su exponente es 2 (x²). De esta manera, al resolver la ecuación

obtendremos dos resultados.

A diferencia de la Ecuación de Primer Grado, sólo despejando no obtendremos los resultados.

La manera de resolver este tipo de ecuación es “agrupar” los datos y cada incógnita por su

grado (X¹ y X² de forma separada). Una vez logrado esto, se debe “igualar” a cero, para

obtener:


Siendo “a”, “b” y “c” los números que acompañarán dichos términos.

Por último, para obtener los valores de X1 y X2 se debe aplicar la siguiente fórmula:

Utilizaremos el siguiente ejemplo:

De esta manera determinamos que: a= -2 b = 14 c = -24

Reemplazamos en la fórmula:

Y resolvemos

Sistema de Ecuaciones

Se denomina así a un conjunto de una o más Ecuaciones. Una característica es que poseen la

misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas.

Para poder resolver el sistema existen cinco métodos de resolución, nosotros utilizaremos solo

dos: Sustitución e Igualación.


Método de Sustitución

- “Despejar” una incógnita (X óY) en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos).

- Sustituir la incógnita dentro de la otra ecuación.

- Resolver la ecuación de primer grado obtenida.

- Reemplazar el valor obtenido en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos).

A modo de Ejemplo:

Despejamos “x” en la primera ecuación

Sustituimos la “x” en la segunda ecuación

Resolvemos

7 35. 9

2 2y y

35 159

2 2y y

35 159

2 2y y

17 17

2 2y

1y

Reemplazamos el valor obtenido de “y” en la segunda ecuación

Método de Igualación

- “Despejar” una incógnita (X óY) en las DOS ecuaciones.

- Igualar las dos incógnitas despejadas.

- Resolver la ecuación de primer grado obtenida.

- Reemplazar el valor obtenido en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos).

A modo de Ejemplo:


Despejamos “y” en ambas ecuaciones

Igualamos las incógnitas

Resolvemos

Reemplazamos el valor obtenido de “x” en la primera ecuación

UNIDAD Nro II: EJERCITACIÓN

1) Ecuaciones de Primer Grado. Hallar el valor de la incógnita:

a. 2 3 2

5 2 7x

b. 3.(2 1) 5 : ( 5) 22x x

c. 1 1

53 3

x

d. 4 6.( 2) 4.( 2)x x x

2) Ecuaciones de Segundo Grado. Hallar el valor de las incógnitas:

a. 2 5 6 0x x

b. 2x x

c. 24 12 9 9x x

d. 6 . 6 8 1 4x x x

3) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de

Sustitución:

a. 2 5 9

4 2

x y

x y

b.

4 3 10

7 2 3

x y

x y


Igualación:


a. 4 6

6 3 0

x y

x y

b.

5 2 11

2 5 13

x y

x y

UNIDAD Nro III: Números Irracionales

El conjunto de números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas, siendo

esto un gran inconveniente para poder operar. Sin embargo, existe la opción de trabajar con

los radicales utilizando las propiedades de la potenciación y de la radicación.

Simplificación de radicales

Los índices de las raíces se pueden simplificar con los exponentes de los radicandos, siempre

y cuando sean divisibles por el mismo número.

Extracción de factores fuera del radical

Para extraer factores de la raíz se debe “dividir” el exponente del radicando por el índice de la

raíz, de la siguiente manera:

Operaciones básicas en Irracionales (Suma, Resta, Multiplicación y

División)

Suma y Resta

Para sumar o restar radicales, éstos deben ser semejantes (mismo índice y radicando)

2 5 5 5 3 5 2 5 3 5 4 5

o Multiplicación y División

Cuando los radicales tienen el mismo índice se procede a multiplicar o dividir solo sus

radicandos.

33 8. 2 3 8.2 3 16


9 54 4.a a 9 54 .a a 44 a a

En caso de no poseer el mismo índice se debe calcular el mínimo común índice entre ambos

radicales.

Una vez obtenido el mínimo común índice, se procede a dividirlo por los índices de los

radicales originales y ese valor multiplicarlo por la potencia de cada uno de sus radicandos.

UNIDAD Nro III: EJERCITACIÓN

1) Simplificar radicales:

a. 9

116

b. 6 425

9x y

c. 15 10

1520

32x y

z

d. 4 16 1220 x y z

2) Extraer factores fuera de las raíces:

a. 4 225b m

b. 3 4 6 532a b c c.

11 10 6

32

512z y x

x


UNIDAD Nro. IV: Expresiones Algebraicas

Llamamos así a toda expresión en la que se incluyen y combinan de cualquier forma:

Operaciones matemáticas, números y variables o partes literales. Ejemplos: 2x + 1 5 (x + 3) +

3²

Monomio: Es una expresión algebraica “entera” que consta de UN solo término (mono: uno;

nomio: término). Ejemplos: x² 6 -3m³n

Polinomio: Son sumatorias indefinidas de al menos un monomio (sumas y restas).

Cantidad de términos de un polinomio:

P(x) X + 3 P (x) es un polinomio de 2 términos o monomios. Se lo llama Binomio

Q(x) 4x³ - 5x² + x – 3 Q(x) es un polinomio de 4 términos o monomios. Se lo llama

Cuatrinomio.

Grado de un polinomio y polinomios incompletos: el grado de un polinomio de una variable

es el exponente más alto al que está elevada la variable. Un polinomio está incompleto cuando

no están todos los exponentes (desde el 0 hasta el más alto).

P(x) X – 5 Grado 1 Completo

Q(x) x³ + 4 Grado 3 Incompleto

S(x) 5x³ - 3x² + x + 9 Grado 3 Completo

Factoreo de Polinomios: 5 Casos

Factorizar un polinomio significa expresar al polinomio como el PRODUCTO de dos o varios

monomios, binomios, trinomios, etc.

¿Cómo factorizar un polinomio? Hay SEIS maneras básicas de factorizar un polinomio. En

esta guía sólo trabajaremos las siguientes cinco:

1° Caso: Factor Común

Debe haber “algo” en común en TODOS los términos del polinomio. Este “algo” en común

puede ser un dato (número) o variable (letra).

P(x)= 16x³ + 8x² - 2x +4 Cada término del polinomio tiene en común un dato (múltiplos

de 2)


P(x)= 2 . (8x³ + 4x² - 1 + 2) De esta manera queda el polinomio factorizado.

Q(x)= 3x³ + x² - x Cada término del polinomio tiene en común una variable (letra

“x”)

Q(x)= x . (3x² + x – 1) De esta manera queda el polinomio factorizado.

Nota: tendremos casos donde el factor común esté dado por variables y datos en conjunto.

2° Caso: Factor Común en Grupos

Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener un número par de términos

(con un mínimo de 4 términos).

El método es similar al 1° Caso, en verdad es como separar el polinomio en dos partes y luego

aplicar en cada una de ellas el factor común. Para “partir” el polinomio en dos se debe tener

en cuenta que en cada parte se debe poder aplicar factor común.

Por último, se deben “unir” estas dos partes, para ello se vuelve a realizar Factor Común.

3° Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto

En primer lugar se debe recordar la fórmula del Cuadrado de un Binomio:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

Este caso de factorización consiste en asegurar que un polinomio de 3 términos sea

equivalente a un binomio elevado al cuadrado, y luego escribir el polinomio como un

Binomio al Cuadrado.

Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener tres términos (ni más ni

menos). Y dos de esos términos deben ser el cuadrado de “algo”.


Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo:

√ √

3x 5 bases del Binomio (“a” y “b”)

Habiendo corroborado esos dos términos, nos queda un tercero. Volviendo a la fórmula,

podemos ver que dicho término se da de la multiplicación de las bases:

2.a.b 2.3x.5 30x

Al verificarse, entonces decimos que:

R(X)= 9x² + 30x + 25 = (3x + 5)²

4° Caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto

En primer lugar se debe recordar la fórmula del Cubo de un Binomio:

(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² +b³

Este caso consiste en asegurar que un polinomio de 4 términos sea equivalente a un binomio

elevado al cubo, y luego escribir el polinomio como un Binomio al Cubo.

Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener cuatro términos (ni más ni

menos). Y dos de esos términos deben ser el cubo de “algo”.

Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo:

³√ ³√

x 2 bases del Binomio (“a” y “b”)

Habiendo corroborado esos dos términos, nos quedan dos más. Volviendo a la fórmula,

podemos ver que dichos términos se dan de la multiplicación de las bases:

3.a².b 3.x².2 6x²

3.a.b² 3.x.2² 12x

Al verificarse, entonces decimos que:

Q(x)= x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³


5° Caso: Diferencia de Cuadrados

Este caso es el más fácil de reconocer, ya que las condiciones son que el polinomio tenga dos

términos, que cada término esté elevado al cuadrado; y que ambos términos estén separados

por una resta.

Para resolver este tipo de casos se debe encontrar las bases de cada término. Luego se debe

escribir el polinomio como la suma de las bases, multiplicado por la resta de las mismas.

Bases: √4x² = 2x √9 = 3

UNIDAD Nro IV: EJERCITACIÓN

1) Factor Común. Resolver:

a. 4 212 8 4x x

b. 3 25 3 7x x x

c. 2 3 2 414 16 4m n mn n

d. 3 3 2 48 5x y x y

2) Factor común en grupos. Resolver:

a. 2 2 2 2a x b x a b

b. 2 27 7x xy xz y z

c. 6 4 22 2x x x

d. 6 4 23 6 4 8x x x

3) Trinomio, cuadrado perfecto: Resolver

a. 24 4 1x x

b. 29 24 16x x

c. 24 12 9x x

d. 10 52 1x x

4) Cuatrinomio, cubo perfecto: Resolver

a. 3 23 3 1x x x

b. 3 227 54 36 8x x x

c. 3 29 27 27x x x

d. 3 26 12 8x x x

5) 5° Caso de Factoreo: Resolver

a. 2 4x

b. 416 m

c. 464 1x

d. 2 24a b


6) Factorear los siguientes polinomios aplicando el caso que corresponda:

a. 2 23 6 5 10ax ay x y

b. 4 1a

c. 2 2 49 12 4m mn n

d. 2 4 2 32 4 6ab b a b

e. 3 2 2 4 6125 225 135 27m m n mn n

UNIDAD Nro V: Número Real

Conjuntos Numéricos

Conjunto: es una agrupación de objetos; personas; animales; o, en el caso de Matemática;

números que comparten una propiedad en común. Existen dos maneras de definir un

conjunto:

- Por extensión: Nombrando, uno por uno, a todos los elementos del conjunto.

- Por comprensión: Diciendo las propiedades, “pautas” o “condiciones” que deben cumplir

dichos elementos.

Entonces, si tenemos un conjunto formado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Y

llamamos a este conjunto “A”. Se define:

- Por extensión: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

- Por comprensión: A = {x/x Є N, x < 10}

Para entender qué significan estos símbolos, debemos tener en cuenta el siguiente cuadro:

/x x : “Todos los valores de x tal que…” : Unión

N: Es el “Conjunto de los números naturales” : Intersección

: “Pertenece a…” : “Está incluido en …”

: “Es mayor que…” : “Es menor que…”

: “Es mayor o igual que …” : “Es menor o igual que …”

: y : o

Para graficar un conjunto la manera más utilizada es el Diagrama de Venn. Se dibuja una

curva cerrada con los números dentro, cada número acompañado de un pequeño punto.


Inclusión e Intersección de Conjuntos

Entre dos o más conjuntos se puede dar que compartan algunos o todos los números, a esto lo

llamamos inclusión e intersección de conjuntos, diferenciándolos de la siguiente forma:

- Inclusión: , donde el conjunto B está incluido dentro del conjunto A

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

B = {1; 2; 3}

- Intersección: , donde el conjunto B y el conjunto A compartan números. En otras

palabras, que se dé la condición: = {x/x ЄA ˄ xЄB}

-

A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}

B = {5; 6; 7; 8; 9}

= {5; 6}

Unión de Conjuntos

La unión de conjuntos es el resultado de “juntar” dos o más conjuntos. Por ejemplo:

, donde:

A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}

B = {5; 6; 7; 8; 9}

= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}


Intervalos

Los intervalos numéricos están dados por inecuaciones. donde se utilizan los siguientes

símbolos mencionados anteriormente:

Existen tres maneras de mostrar un intervalo:

- Gráfico: se dibuja una recta numérica y se delimita el intervalo

- Lenguaje simbólico: utilizando los símbolos < > ≤ ≥

-2 < x < 1

- Intervalo: Utilizando paréntesis () o corchetes [] según corresponda

(-2 ; 1)

Nota: Debemos tener en cuenta que para los signos “> <” corresponde utilizar los paréntesis ()

ya que no se “incluye” al número; mientras que para “≥ ≤”corresponden los corchetes [] ya

que el número se encuentra “incluido” dentro del intervalo.

De esta manera podemos mencionar la clasificación de intervalos en:

o Abierto: valores de los extremos no están incluidos dentro del intervalo.

o Cerrado: valores de los extremos están incluidos dentro del intervalo.

o Semi-abierto: un valor de los extremos está incluido dentro del intervalo y el otro no.


o Finito: intervalos con principio y fin.

o Infinito: intervalos donde solo se conoce el principio o el fin.

Módulo, valor absoluto.

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener

en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). De esta manera podemos decir:

x si x ≥ 0

|x| =

-x si x < 0

A modo de ejemplo podemos dar: |3| = 3 | -3| = - (-3) = 3

o Propiedades

- |x| ≤ k - k ≤ x ≤ k |x| ≤ 3 -3 ≤ x ≤ 3

- |x| ≥ k x ≥ k y x ≤ -k |x| ≥ 5 x ≥ 5 y x ≤ -5

UNIDAD Nro V: EJERCITACIÓN

1) Representar los siguientes intervalos en la recta numérica.

a. (-1;5) (3;10) =

b. (-5;8) [3;9] =

c. (-8;0] (3;12]

d. (3;6) [5;20)

e. [-6;2) [0;+ )

f. (7;25] [-1;10)


2) Demostrar los intervalos del punto 1) en lenguaje simbólico.

3) Clasificarlos.

UNIDAD Nro VI: Funciones

Ejes Cartesianos

Par de rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en un punto 0 de ambas rectas. Este

punto se llama “de origen” y se simboliza con el “0”.

La recta horizontal se llama “eje x” mientras que la vertical, “eje y”. Los ejes dividen el plano

en cuatro partes o “cuadrantes”.

Si queremos graficar un punto P en el plano cartesiano, debemos tener en cuenta que dicho

punto es un par ordenado, donde la primera parte corresponde al “eje x” y la segunda al “eje

y”.

P= (2 ; -3) P= (-5 ; 6)


Estudio de Funciones

Teniendo dos conjuntos A y B, distintos de cero y donde para cada elemento x Є A existe un

único elemento de y Є B, podemos decir que f(x) = y; donde f(x) es “función”.

Definición de función

“f” es una función de A en B si, y sólo si, es un subconjunto de A X B

que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:

,3 / ( )a A b B a b f (existencia)

( ) ( )a b f A a c f b c (unicidad)

Presentación de funciones principales


Función Lineal:

f(x) = y = mx + b

Ejemplo: y = 2x - 1

Función Exponencial:

Cuadrática f(x) = y = ax² + bx + c

Ejemplos: y = x² + 2 ; y = x² ; y = x² + 2x -1

Cúbica f(x)= y = x³

Función Racional:

f(x) = y = n/x

ejemplo: y = 1/x ; y = 2 / (x + 3)


Función Radical:

Cuadrada f(x) = y = √x

Ejemplos: y = √x ; y = √(2 – x)

Cúbica f(x) = y = ³√x

Ejemplos: y = ³√x ; y = ³√(x + 2)

Función Logarítmica:

f(x) = y = log x

Ejemplo: y = log x

Función Exponencial:

f(x) = y = n ᵡ

Ejemplo: y = 2ᵡ

Función Módulo:

f(x) = y = |x|

Ejemplo: y = |x|


Dominio e Imagen

o Dominio: El conjunto de los valores de x del conjunto A para los que corresponde algún

valor de y del conjunto B se llama dominio de la función.

o Codominio: El conjunto de los valores del conjunto B (que provienen o no de algún

valor x) que puede o no pertenecer al dominio de la función. En el caso que pertenezca al

dominio de la función se lo llama imagen de la función.

No siempre el Dominio de una función son todos los Reales.

No siempre la imagen f (x) = Codominio

Por tal motivo, debe definirse previamente el Dominio y el Codiminio para luego evaluar

cómo se comporta una función (o relación)

f(x) = y = x Dom f(x)= R Codominio= Im(fx)

Nota: no todas las funciones tienen Dominio e Imagen en todos los Reales, existen

excepciones (funciones racionales, funciones radicales (índice par), funciones logarítmicas,

entre otras).

Funciones Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

o Función Inyectiva: Una función f(x) es inyectiva siempre que y Є A y ≠ ;

dando así f( ) ≠ f( ). Por lo tanto, si en un gráfico trazamos una línea horizontal y el

mismo se corta en dos puntos, la función no es inyectiva.

o Función Sobreyectiva: Una función f(x) es sobreyectiva si toda y Є B tiene al menos

un elemento x del conjunto A. En otras palabras, cuando el Codominio = Im f(x). Si

todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio, entonces la

función es sobreyectiva.


o Función Biyectiva: Una función f(x) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la

vez.

Función Inversa

Toda función biyectiva tiene función inversa.

Si tomamos, por ejemplo la siguiente función: f(x) = y = 2x – 3

Su tabla de valores será Mientras que la función inversa tiene los valores

invertidos

La fórmula de la función inversa se obtiene despejando la variable “x”.

y = 2x – 3 y + 3 = 2x - (y + 3) : 2 = x

X Y

2 1

1 -1

0 -3

-1 -5

-2 -7

X Y

1 2

-1 1

-3 0

-5 -1

-7 -2


Una vez despejada “x” pasamos a renombrar las variables (la “x” pasa a llamarse “y” y

viceversa).

y = (x + 3) : 2 f ˉ¹(x) = y = (x + 3) : 2

Al reemplazar los valores de “x” por la tabla verificamos que coinciden, por lo tanto es la

función inversa.

Al graficarse veremos como se cortan en algún punto ambas funciones.

Función Lineal

f(x) = mx + b

Toda función lineal tiene como gráfica una recta.

“m” indica la pendiente y “b” la ordenada al origen.

Ejemplo: f(x) = y = 2x +3

Para poder graficar una función lineal se debe colocar primero la ordenada al origen (sobre el

eje y) y luego desplazarse tantos espacios como indique la pendiente, teniendo en cuenta:

m = 2/1 el numerador “2” indica desplazamiento vertical (+ hacia arriba y – hacia

abajo)

el denominador “1” indica desplazamiento horizontal (siempre hacia la

derecha)


Otra manera de graficar es realizando una tabla de valores y luego graficarlos.

Para calcular una función f(x) que pasa por dos puntos P1 y P2 se utiliza la siguiente fórmula:

Donde P1 ( ; ) y P2 ( ; )

Entonces si tenemos que calcular la función f(x) que pasa por los puntos P1= (1;4) y P2= (-

5;0)

X Y

1 5

0 3

-1 1


Primero se debe reemplazar los valores de los puntos dados en la fórmula:

Y luego resolver despejando “y” de manera que quede la función f(x) = y = mx + b

-6 (y – 4) = -4 (x – 1)

-6y + 24 = -4x + 4

-6y = -4x + 4 – 24

y = (-4x – 20) : (-6)

y = 4/6x + 20/6 y = 2/3x + 10/3

UNIDAD Nro VI: EJERCITACIÓN

1) Graficar los siguientes puntos en el mismo par de ejes cartesianos (x;y):

a. (-2;5)

b. (2;-3)

c. (-1;-4)

d. (2;3)

2) Graficar las siguientes funciones:

a. ( ) 2xf x

b. 2

( ) 2xf x

c. ( ) 2x

xf

d. ( )

1

4xf

x

e. 3 2

( )xf x

f. ( )xf x

g. ( ) | |xf x

h. 2

( ) 2xf x

i. ( )

1

2x

xf

j. 3

( )xf x

3) Determinar Dominio e Imagen de las funciones del punto 2).

4) Clasificar las funciones del punto 2) en Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.


5) Encontrar la función inversa de las funciones del punto 2) (en el caso de no ser

Biyectivas, acotar dominio e imagen). Graficar las funciones inversas que sean Biyectivas.

6) Función lineal: Determinar la recta que pasa por los siguientes puntos:

a. 1 (1;4)P 2 ( 5;0)P

b. 1 (4;0)P 2 (6; 8)P

c. 1 (4;2)P 2 ( 1;3)P

d. 1 (3;5)P 2 (2;8)P

7) Graficar las siguientes funciones y determine pendiente y ordenada:

a. ( ) 2 1xf x

b. ( )

13

2xf x

c. ( ) 3 1xf x

d. ( )

21

3xf x

UNIDAD Nro VII: Logaritmos

Se llama logaritmo en base “b” de un número positivo “a”, a aquel valor “c” que hay que

exponenciar “b” para que nos devuelva el valor “a”.

Así es como ya que

Propiedades de los logaritmos

o El logaritmo de un producto: es la suma de los logaritmos

log (5.2) = log 5 + log 2

o El logaritmo de un cociente: es la resta de los logaritmos

log (5/2) = log 5 – log 2

o El logaritmo de una potencia: la potencia pasa a multiplicar como constante al logaritmo

log 10³ = 3. log 10


En este caso debemos recordar que la radicación es una forma indirecta de la potencia

ya que √x = x¹ʹ². Entonces

log √2 = log 2¹ʹ² = 1/2 . log 2

Cambio de base

Si quiero pasar un logaritmo de una base a otra, genero una división entre el logaritmo original (con

la nueva base “c”) y un segundo logaritmo donde coloco la base anterior.

UNIDAD Nro VII: EJERCITACIÓN

1) Aplicando propiedades, resolver:

a. 5 5log 45 log 9

b. 2 4

1 1log

8 2 .8

c. 32log 9

d. 43

9log

1 81

2) Reducir a un solo logaritmo aplicando propiedades

a. 10 10 10

12log 4 2log 5 log 16

2

b. 10 10 10 10 10

1log 7 log 3log log 5 log

2a b c

c. 2 2 2

1 1log log log

3 2a b c

d. 3 3 3 3

1log 5 3log log 4 log

2x y

3) Utilizando cambio de base, resolver los siguientes ejercicios sabiendo que: log 2 3

a. 2log 10

b. 1

5

log 32

c. 5log 2 1


1) APÉNDICE: GUÍA ADICIONAL

Unidad Nro I

1) Resolver:

a. 3 1 5 2 3 1 1

4 .5 . . . 44 2 8 15 2 2 2

b.

31 1

2 1 3 1: 8 : : 2 1

3 2 4 2

2) Calcular el valor de las potencias:

a.

5

31

2

b.

1

264

81

c.

3

29

4

d. 2

327

3) Pasar de decimal a fracción:

a. 6,05

b. 3,018

c. 2,5

d. 1,21

Unidad Nro II

1) Ecuaciones de Primer Grado. Hallar el valor de la incógnita:

a. 24 30 6 12 81 9 54x x x b.

3 63 1 9

2

xx

2) Ecuaciones de Segundo Grado. Hallar el valor de las incógnitas:

a. 2 2 1 0x x b. 2 21 1

5 62 2

x x x x x


Sustitución:

a. 4 3 1

8 3 2,5

x y

x y

b.

3 3 3

3 3 1

y x

x y


Igualación:


a. 4 3 0

6 2 5

x y

y x

b.

2 7

7 2 3

x y

x y

Unidad Nro III

1) Simplificar radicales y extraer factores fuera de las raíces cuando sea posible:

a. 2 475a b

b. 6 84 32x y c.

3

34

81

16

ba c

x

d. 3 516a x

Unidad Nro IV

1) Factor Común. Resolver:

a. 3 2 2 355 10

2x y x y xy b. 5 3 228 7

15 15m n m n

2) Factor común en grupos. Resolver:

a. 2 5 2 5ax ay a bx by b b. 16 8 2amx amy x y

3) Trinomio, cuadrado perfecto: Resolver

a. 2 24 4a ab b b. 29 24 16x x

4) Cuatrinomio, cubo perfecto: Resolver

a. 3 26 12 8x x x b. 3 23 3 1x x x

5) 5° Caso de Factoreo: Resolver

a. 2 49m n b. 481 16x

6) Factorear los siguientes polinomios aplicando el caso que corresponda:

a. 3 2 2 39 27 27a a c ac c

b. 2 3 3 2 21 5 7

3 9 12ab c b c a b

c. 2 393 9

4p p p

d. 6 4 28 60 150 125x x x

Unidad Nro V

1) Representar los siguientes intervalos en la recta numérica.

a. (-1;5) (3;10) =

b. (-5;8) [3;9] =

c. (-8;0] (3;12]

d. (3;6) [5;20)


e. [-6;2) [0;+ ) f. (7;25] [-1;10)

2) Demostrar los intervalos del punto 1) en lenguaje simbólico.

3) Clasificarlos.

Unidad Nro VI

1) Graficar los siguientes puntos en el mismo par de ejes cartesianos (x;y):

a. (6;-3)

b. (5;-2)

c. (-1;0)

d. (2;-4)

2) Graficar las siguientes funciones:

a. ( )

2

3x

xf

b. ( ) 2 1xf x

c. ( ) 3x

xf

d. ( )

1

4xf

x

e. ( )

2

1xf

x

f. 2

( ) 2xf x

g. 2

( ) 3xf x

h. 3

( )

1

2xf x

3) Determinar Dominio e Imagen de las funciones del punto 2).

4) Clasificar las funciones del punto 2) en Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.

5) Encontrar la función inversa de las funciones del punto 2) (en el caso de no ser

Biyectivas, acotar dominio e imagen). Graficar las funciones inversas que sean Biyectivas.

6) Función lineal: Determinar la recta que pasa por los siguientes puntos:

a. 1 (4;1)P 2 ( 5;2)P

b. 1 (4;0)P 2 (3; 4)P

c. 1 (2;1)P 2 (1; 3)P

d. 1 (3;3)P 2 (2;6)P

7) Graficar las siguientes funciones y determine pendiente y ordenada:

a. ( ) 2 1xf x

b. ( )

25

3xf x

c. ( ) 5 3xf x

d. ( )

11

4xf x


Unidad Nro VII

1) Aplicando propiedades, resolver:

a. 2

10 4

100.log

a

b

b.

2

loga

x

y

2) Reducir a un solo logaritmo aplicando propiedades

a. 10 10 10 10

13log 2 log 5 log log 4

25

b. 2 2log 30 log 15

c. 3 3log 5 log 6

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MATEMÁTICA · IUPFA - CURSO DE INGRESO INTENSIVO 2019 - MATEMÁTICA- Página 7 de 41 14 35 ... 15 15.1 15.4 35 15 2 15 7 15 41 53 . 15 15.4 15.1 53 15 5 15 17 15 La mecánica para