1 / 15

Matemaatiline modelleerimine

Sissejuhatus Otsuste vastuvõtmiseks on kaks põhimõtteliselt erinevat teed:

1. juhuslik valik (kull/kiri, nn KATSE-EKSITUSE meetod);

2. argumenteeritud valik.

Paljudesse olukordadesse (sotsiaalsete, bioloogiliste, keemia, füüsika, majanduse ja ökoloogiliste

probleemide lahendamiseks) esimene valik, nn katse eksituse meetod ei sobi, sest võib viia katastroofini

või võtab liiga palju aega. Lihtsam on eksperimenteerida mudelitega. Seega me valime teise tee. Selleks

on vaja maailma asjadest aru saada, meid huvitavaid protsesse mõista, nende arengut ette näha ja seda

oskuslikult kasutada.

Def: Mudel on meie arusaam sellest, kuidas miski toimub (kuidas mingid protsessid toimuvad).

Mudelid võimaldavad mõista reaalelu probleeme imiteerides tegelikke protsesse lihtsustatult. Tegelikult

tuleb ülesannete lahendamisel alati eelistada täpseid lahendeid, kuid kahjuks see enamasti ei õnnestu,

seda eriti loodusteaduslike ja üldse rakenduslike protsesside uurimisel.

Def: Modelleerimine on teadus mudelite koostamisest ja analüüsist.

Täiendades: matemaatiline mudel on mudel, mis on koostatud kasutades matemaatilisi

kontseptsioone (nagu funktsioonid, võrrandid, võrratused jm).

Modelleerimist kasutatakse kõikidel elualadel: bioloogias, arstiteaduses, majandusteaduses, ökoloogias

jm, enamasti märkamatult kasutame seda ka igapäevaelus. Modelleerimise erinevus puhtast

matemaatikast – erinevad inimesed mõistavad samu protsesse erinevalt (näiteks erinevad börsimaaklerid

aktsiaturgude käitumist), pole olemas analüütilist lõplikku lahendit, lahend pole ühene.

Töö käigus leitakse ligikaudne lahend, mudelit täiustatakse/parandatakse ja mängitakse kõik jälle läbi.

Modelleerimist võib võrrelda ka teksülesande lahendamisega. Tekstülesande lahendamise esimese etapis

tuleb erineval kujul antud andmetest selekteerida vajalikud, koostada nende vahelised seosed, sama

modelleerimisel.

1. Mudelite tüübid, mudeli põhikomponendid, mõisteid Tüüpideks jaotatakse mudeleid mitmeti, kuid kirjeldatava protsessi järgi on kaht põhilist tüüpi mudeleid:

1. Mingit nähtust antud ajahetkel kirjeldav mudel (nn STAATILINE mudel);

2. Protsessi mudel kirjeldab muutusi reaalses või simuleeritud ajas (nn DÜNAAMILINE mudel).

Esimese tüübi näiteks on busside sõiduplaan, Eesti kaart jne, neid mudeleid läheb vaja antud olukorras

mingi otsuse vastuvõtmiseks (näiteks: milline jalgratas osta). Teise tüübi näiteks on migratsioon,

populatsioon, reostus, aktsiahind, seda tüüpi mudelite eesmärgiks on välja tuua mitmeid erinevaid

tulevikke dünaamilistele protsessidele.

Modelleerimise etapid:

2 / 15

Kui esimene ring on läbitud, võrreldakse mudeli tulemust reaalsusega, täiendatakse/ korrigeeritakse

mudelit ja minnakse uuele ringile.

Mudeli koostamise põhimõtted:

1. fikseerime protsessi võtmeelemendid ja vaatlustulemused;

2. määrame põhimuutujad abstraktse versiooni koostamiseks;

3. määrame seosed põhimuutujate vahel;

4 käivitame mudeli.

Vaatleme tulemusi.

Modelleerimine on lõputu protsess, me võrdleme saadud tulemusi tegelikkusega, parandame ja

täiendame mudelit, käivitame uuesti jne. Kui mudel on simuleeritud arvutiga, siis on iga mudeli element

määratud algtingimustega ja arvuti leiab vastuseid probleemidele vastavalt elementide vahel määratud

seostele.

2. Modelleerimise printsiibid Mudeli koostamine on mõistlik jagada järgmisteks osadeks:

1. Probleemi püstitamine, mudeli eesmärgid. Suurem süsteem tuleb jagada alammudeliteks.

2. Määrame põhimuutujad, märgiühikud; tuleb hoida lihtsust (põhimuutujaid mõõdukalt).

3. Valime juhtimismuutujad; tulebhoia lihtsust (arvesta ainult peamisi arenguid).

4. Määrame juhtimismuutujate parameetrid (ühikutega).

5. Hindame mudelit võimalike vastuolude mõttes. Vajadusel kasutame lisakitsendusi.

6. Määrame mudeli tööaja ja ajasammu.

7. Käivitame mudeli, testime ajasammu – muudame viimast senikaua 2 korda väiksemaks kuni

tulemused ei erine oluliselt.

8. Varieerime parameetreid ekstreemsete väärtusteni, täiustame mudelit.

9. Võimalusel võrdleme tulemust eksperimendiga.

10. Muudame parameetreid ja ka mudelit, et saada suuremat kompleksust ja vähendada erinevusi

eksperimentaalsete tulemustega.

Püstitame uued küsimused/ probleemid, kordame 1.-10.

Modelleerimisel on 3 põhilist kasutusala:

1. Hea mudel lubab varieerida komponente ja näha selle mõju ülejäänud süsteemile.

2. Hea mudel lubab ennustada dünaamilise süsteemi (protsessi) tulevikku.

3. Hea mudel stimuleerib järgmisi küsimusi süsteemi käitumise kohta ja avastatud printsiipide

rakendatavusest teiste süsteemide modelleerimisel.

3. Modelleerimine Stella abil Mudeli elementide põhitüübid:

1. Põhimuutujad (energia, populatsioon, hind, temperatuur ...); (STOCK)

2. Juhtimised – elemendid, mis kirjeldavad põhimuutujate muutumist. Kui mudel töötab ajas, siis nad

muudavad põhimuutujaid iga ajasammu järel. (FLOW)

3. Juhtimismuutujad (CONVERTER)

4. Viitmuutujad (ACTION CONNECTOR)

Märkused mudeli koostamise kohta:

Kui mõne muutuja aken ei näe välja nagu harjunud olete vaadake, kas vasakul servas on gloobusega

nupp ja vajutage seda.

Kui mudelis on kasvõi üksainus “?” (viitab veale) ei saa seda käivitada, tuleb viga parandada. Ka peale

välise vea kõrvaldamist tuleb korraks veel mudelisse sisse minna ja OK väljuda (näiteks oli kasutamata

viit).

3 / 15

Enne, kui saate anda graafilist seost peate märkima argumendi. Andes graafilist seost, järgige

tähelepanelikult nii argumendi kui muutuja skaalat. Kui graafiliselt seoselt tagasi võrrandile või

väärtusele minna tuleb graafik kustutada.

Mitte unustada simulatsiooni aega ja ajasammu vastavusse viia (Run - Specs).

4. Mudelite tüübid 1. Mõjutuse (stiimuli) – vastavuse mudel (stimulus-response model). Siin on näiteks populatsiooni

juurdekasvu arvutamine sõltumatu põhimuutujatest.

2. Iseendale viitav mudel (self-referencing model). Näiteks populatsiooni tase mõjutab oma kasvu

määra.

3. Eesmärki otsiv mudel (goal seeking model). Näiteks on lõpppopulatsioon üheselt määratud eesmärk,

mida otsime.

4. Eesmärki seadev mudel (goal setting model). Näiteks püütakse määrata populatsiooni tihedust

välismõjude korral. Keerukaim 4-st.

5. Ajasammu valik ja selle mõju tulemustele

Ajasammu (DT) saab määrata aknast, mis avaneb Run Run Specs, jälgime ka numbrilise

integreerimismeetodi valikut – seekord võtame “Euler”.

1. AINE KONTSENTRATSIOONI LAGUNEMISE MUDEL:

KONTSENTRATSIOON = 100 (algkontsentratsioon)

LAGUNEMISKIIRUS = 0.1733 (st ühes ajaühikus laguneb 17,33 % ainest)

LAGUNEMINE= LAGUNEMISKIIRUS * KONTSENTRATSIOON

Run Specs

Simulatsiooni pikkus To = 24.

Joonisele 0.00 täpsus

4 / 15

Runge-Kutta 4.j Euleri meetod: DT=1, Konts=1.04

DT=0.5, KONTS=1.562 DT=0.01, Konts= 1.56

2. KEHA JAHTUMISE MUDEL:

Eset jahutatakse keskkonnas, mis on piisavalt suur. Sobiv temperatuur on eseme lõpptemperatuur.

Kasutatakse Newtoni jahtumisseadust.

Temperatuur = 37 (keha algtemperatuur

kraadides, mida jahutab ümbritseva

keskkonna temperatuur kuni 10 kraadini C)

Lõpptemperatuur = 10

Jahtumise konstant = 0.06

Jahtumise määr = jahtumise konstant * (temperatuur-lõpptemperatuur)

6. STELLA poolt kasutatavad numbrilised meetodid Meie poolt koostatud mudeli realiseerib STELLA diferentsiaalvõrrandeina, mida omakorda integreerib

(lahendab) numbriliselt st leiab otsitava funktsiooni väärtused teatud punktides.. Selleks on valida kolm

meetodit:

Euleri meetod,

Runge-Kutta 2. järku meetod,

Runge-Kutta 4. järku meetod.

7. Juhuslikkus modelleerimisel Tihti ei saa me mingit protsessi täpselt määrata, sisse jääb teatav juhuslikkus – mingi juhuslik element

võib määrata süsteemi käitumise suuna.

Funktsioon RANDOM(0,1) väljastab juhusliku arvu arvude 0 ja 1 vahel.

Funktsioone IF, THEN, ELSE, AND, OR, NOT kasutatakse avaldiste moodustamiseks, mille

väärtused sõltuvad sellest, kas antud tingimus osutub tõeseks või on väär (TRUE, FALSE).

Mitme tingimuse jaoks kasutada ümarsulge

näiteks: IF (x>0 ) AND (y<0) THEN 1 ELSE 0 Kasutame ainult Euler„i meetodit

7.1 Mündi viskamise mudel Viskame näiteks 2000 korda münti. Modelleerime selle arvutil, kasutades juhuslike arvude generaatorit

– igal viskel genereerime juhusliku arvu vahemikus (0;1), kui see on <0.5, siis loeme viske kirjaks, kui

>0.5 kulliks. Põhimuutuja loendab, mitu korda esineb kiri rohkem, kui kull. Ajasamm DT = 1,

simulatsiooni aeg 2000.

5 / 15

LOENDUS = 0 {Kirjade arv kokku}

MUUT = KAS_KIRI-KAS_KULL {Vahe}

VISE = RANDOM(0,1)

KAS_KIRI = IF VISE < 0.5 THEN 1 ELSE 0

KAS_KULL = IF VISE > 0.5 THEN 1 ELSE 0

Ülesanne 1.

Koostada kulli ja kirja viskamise mudel, kus

kull ja kiri on eraldi põhimuutujad

kumb visati, oleneb juhusliku suuruse väärtusest

Leida kui suur on kirjade ja kullide osakaal kõigi visete tulemuste hulgast.

Teha graafik ja tabel

8. Positiivse ja negatiivse tagasimõju mudelid Tagasimõju protsess: süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise komponendi

muutuse, mis omakorda muudab esialgset komponenti. Jaotatakse:

Negatiivne tagasimõju - süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise (teiste)

komponendi muutuse, mis omakorda neutraliseerib esimese komponendi muutuse. Negatiivne

tagasimõju on hea, viib süsteemi tasakaalu.

Positiivne tagasimõju - süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise (teiste)

komponendi muutuse, mis omakorda võimendab esialgset komponendi muutust. Positiivne tagasimõju

on halb, see viib süsteemi tasakaalust välja.

Tavaliselt omab süsteem mõlemat tüüpi tagasimõjusid.

Koostame mudelid, kus vastavalt juhusliku suuruse väärtustele lisatakse erinevate reeglite järgi

anumasse palle. Eesmärk on koostada ja mõista seaduspära, millal ilmneb positiivne ja millal negatiivne

tagasimõju. Mudelid teeme kahe eri värvi palliga (neg tagasimõju korral tõenäosused ½ ja ½).

3. Positiivse tagasimõju mudel:

JS = RANDOM(0,1)

ROHELISED = 1

LISA_ROH = IF JS<ROH_OSA THEN 1 ELSE 0

KOLLASED = 1

LISA_KOLL = 1-LISA_ROH

KOKKU = KOLLASED+ROHELISED

KOLL_OSA = KOLLASED/KOKKU

ROH_OSA = ROHELISED/KOKKU

Üks värv hakkab domineerima

6 / 15

Mudeli tundlikkuse uurimine muutes

parameetrite väärtusi

Run, Sensi Spects

ROHELISED, KOLLASED

20 Runs

Võrreldavad väärtused: 1 kuni 1

Graph

Run, S-Run

Igal käivitusel samadel algandmetel tulemused

Erinevad. Väärtused 10 mõlemale

4. Negatiivse tagasimõju mudelis lisatakse vastavat värvi pall juurde, kui tema osakaal on väiksem

juhusliku suuruse väärtusest.

LISA_ROH = IF JS > ROH_OSA THEN 1 ELSE 0

9. Määratud integraal, tuletised ja viivitused

9.1 Määratud integraal

Stella INTEGREERIB diferentsiaalvõrrandeid. Integraali leidmine aja järgi tähendab et põhimuutuja

kasvab koos ajaga. Juhtimine, mis muudab põhimuutujat, on ajafunktsioon.

Rajad paneme paika Run Specs simulatsiooniajaga.

5. MÄÄRATUD INTEGRAALI LEIDMISE MUDEL

INTEGRAAL = 0

FUNKTSIOON = COS(T)

T = TIME

Rajad 0 ja 1.57

DT=0.01 meetod RK2

7 / 15

Ülesanne 2.

Leida järgmise määratud integraali arvuline väärtus

9.2 Tuletise leidmine Kasutame Stella funktsiooni DERIVN(<SISEND>,< JÄRK>)

Funktsioon DERIVN arvutab n-järku (JÄRK) tuletise aja järgi antud funktsioonist (SISEND). SISEND

võib olla konstant ja muutuja, JÄRK peab olema positiivne täisarv

dx/dt = (x(t) - x(t-dt))/dt

t on simulatsiooni jooksev aeg, samm on DT

Näited:

DERIVN(1,0) =1 (0-järku tuletis)

DERIVN(1,1) = 0 (1.-järku tuletis)

DERIVN(SINWAVE(1,1),3) 3. järku tuletis siinuslainest perioodiga 1 ja amplituudiga 1.

Tuletise leidmise teine võimalus on lahutada funktsiooni väärtus antud ajahetkel, väärtusest eelmisel

ajahetkel ja see jagada DT-ga

DELAY(<SISEND>,<KESTVUS>[,<ALGVÄÄRTUS>])

Funktsioon DELAY tagastab funktsiooni SISEND eelmised väärtused KESTVUSE ajahetkedel ja

ALGVÄÄRTUSE viivituse algusajaks. Kui algväärtust ei sisestata, võetakse SISEND funktsiooni

väärtus algväärtuseks. Muutujana antud KESTVUS fikseerib selle muutuja väärtuse viivituse kestvuse

ajaks DT. DT on ajasamm mudeli arvutuste tegemiseks. DT väärtused antakse menüü Run osas Run

Specs. Tema väärtust saab kasutada DELAY funktsioonis kestvuse määramiseks

Näide:

Viivitus = DELAY(INTEGRAAL,DT)

Annab viivituse väärtuseks integraali väärtuse ajahetkel DT (eelmisel sammul)

Tuletist kasutame optimiseerimisülesannete lahendamisel, et leida maksimumi või miinimumi antud

funktsioonile.

Ekstreemumi tingimus on tuletise võrdumine 0-ga. Näiteks firma kasumi maksimiseerimine

6.Tuletise leidmise mudel viivitusega Avaldame integraali funktsiooni avaldisest tuletise funktsooni DELAY kaudu ja tuletist DERIVN

kasutades. Leiame ka arvutusvea

INTEGRAAL = 0

FUNKTSIOON = T^2

FUNKTSIOON_DERIVN = DERIVN(INTEGRAAL,1)

T = time

VIIVITUS = DELAY(INTEGRAAL,DT)

TULETIS_INTEGRAALI_KAUDU=(INTEGRAAL-VIIVITUS) /DT

VIGA = IF TIME>0 THEN

(TULETIS_INTEGRAALI_KAUDU-FUNKTSIOON)/FUNKTSIOON

ELSE 0

Run Specs 0..12 DT = 0.1

dtt

1

1

2

8 / 15

10. Rööv- ja saaklooma mudelid

10.1 Kaht populatsiooni sisaldav mudel Röövlooma populatsioon ja saaklooma populatsioon. Olgu saaklooma surma ainsaks põhjuseks

ärasöömine röövlooma poolt.

Tarbimine = MIN(saakloomade arv; kiskjate arv tarbimine), see on ka ühtlasi saakloomade suremus

ja suregu kõik kiskjad, kes oma toidunormi (tarbimise määr) kätte ei saa.

KISKJAD = 900 {loomi}

K_SYNNID = K_SYNDIVUS*(KISKJAD-K_SURMAD) {loomi ajaühikus}

K_SURMAD = 0.1*KISKJAD+ 0.9*(KISKJAD-TARBIMINE/TARBIMISMÄÄR)

{normaalne suremus+ alatarbinud kiskjad}

SAAKLOOMAD = 9000 {loomi}

S_SYNNID = (SAAKLOOMAD-S_SURMAD)*S_SYNDIVUS*(1-

SAAKLOOMAD/MAX_SAAKLOOMADE_ARV) {loomi ajaühikus}

S_SURMAD = TARBIMINE {loomi ajaühikus}

K_SYNDIVUS = 0.2

MAX_SAAKLOOMADE_ARV = 90000 {loomi}

S_SYNDIVUS = 2

TARBIMINE = MIN(SAAKLOOMAD,TARBIMISMÄÄR*KISKJAD) {loomi ajaühikus}

TARBIMISMÄÄR = 1 {saakloomi ajaühikus kiskjate kohta}

11. Füüsika mudelid

11.1 Raske keha langemine raskusjõu mõjul Vaatame liikumist ühe telje sihis (vertikaalsihis), esialgu jätame õhutakistuse arvestamata.

Kiirendus muudab otseselt kiirust. Hetke kiirendus ajasamm = kiiruse muut antud aja jooksul.

Analoogiliselt kiirus muudab asukoha koordinaati. Hetke kiirus ajasamm = koordinaadi muut.

Jagades neid võrrandeid ajasammu ehk aja muuduga saame

t

vlim)t(aja

t

xlim)t(v

0t0t. Siit saame võrrandid avjavx .

Ehk kiirus on koordinaadi tuletis aja järgi ja kiirendus võrdub kiiruse tuletisega aja järgi. t

0

0 adtv)t(v

Lihtsamal juhul, kui kiirendus on konstantne v(t) = v0 + at. Siit integreerides

2

at +t v + x = x(t)

2

00 .

9 / 15

7. Keha allaviskamise mudel mingilt kõrguselt KÕRGUS = 20

Vy = VERTIKAALKIIRUS

VERTIKAALKIIRUS = 15

KIIRENDUS = -9.8 { raskuskiirendus }

KAS_MAAS = IF KÕRGUS<=0 THEN PAUSE ELSE 0

Lubada ka neg väärtusi kõrgusel ja vert.kiirusel (vaja NON_NEGATIVE märkeruut märkimata jätta)

Takistusjõu lisamine kiirendusele : -g-Takistustegur*Vy/Mass

Funktsioon PAUSE

Mudeli käivitamise Run menüüst järel antud funktsiooni kasutamisel töö peatatakse ja minnakse Run -

Pause olekusse. Edasise mudeli käivitamise jaoks vaja valida Run Resume

Kasutatakse koos IF tingimusega, mis annab tingimuse mudeli töö peatamiseks.

12. Diferentsiaalvõrrandite ja DV süsteemide lahendamine

12.1 Mittelineaarsed mudelid ja kaos

Mõiste kaos pärineb Vana-Kreeka mütoloogiast, kus tähendas tühjust enne maailma loomist.

Meil on kaos määramatuse (korralageduse) sünonüüm. Ühest teaduslikku definitsiooni kaosel ei olegi.

Ü. Lepiku ja J. Engelbrecht "Kaoseraamat" annab vastuseks: "Ebaregulaarne liikumine, mis on tingitud

süsteemi mittelineaarsest iseloomust. Kaootilise liikumise korral ei taga igakülgne determineeritus

mudelis ennustatavust lahendis."

Kaos ökoloogias – Verhulsti mudel

Lihtsaim mudel populatsiooni arvukuse kirjeldamiseks on antud juba 1845. a Verhulst'i poolt

)x-(1xr=x nn 1+n Seda valemit nimetatakse ka logistiliseks võrrandiks. Siin nx on arvukus hetkel

T ja 1+nx arvukus hetkel T+DT. Kasutatakse taandatud populatsiooni, jagatakse maksimaalse

populatsiooniga, ehk x on nn dimensioonita suurus (antud juhul dimensioonita populatsioon) lõigus 0-st

1-ni. Meetodiks Euleri meetod, samm DT = 1. Simulatsiooni pikkus algul 50 või 100. Andes ette x0 ja r

saame arvutada populatsiooni igal järgneval ajahetkel.

Kui r on küllalt väike sureb populatsioon välja (ehk koondub 0).

Kui r on pisut suurem, aga < 3, siis toimub koondumine nullist erineva populatsiooni arvu juures.

Kui aga 3 < r < 3.45, siis toimub võnkumine kahe tasakaalupunkti vahel – punktis r = 3 toimus

bifurkatsioon. Väärtuse r = 3.45 juures toimub järgmine bifurkatsioon, periood pikeneb jälle 2 korda ja

nüüd toimub võnkumine 4 väärtuse vahel. Järgnevad bifurkatsioonid toimuvad r3 = 3.54 ja r4 = 3.56, r >

3.57 korral muutub protsess kaootiliseks.

10 / 15

POP = 0.1

MUUT = (R-1)*POP-R*POP^2

R = 3.55

Muudame R väärtusi

R<1, R<3, R=3, R=3.45, R=3.54, R=3.56, R>3.57

Lorenzi kaose mudel Kaose isaks peetakse Edward Lorenz‟it. Tegeles konvektsiooni uurimisega, katses soojendati õhukest

vedelikukihti altpoolt. Kindla temperatuuri juures algas vedeliku konvektiivne liikumine ja tekkisid

keerised. Diferentsiaalvõrrandite süsteem on komplitseeritud.

Lorenz lihtsustas DVS, et saada numbrilisi tulemusi.

X = 1

X_DOT = P*(Y-X)

Y = 1

Y_DOT = (R-Z)*X-Y

Z = 0

Z_DOT = X*Y - B*Z

13. Jõe reostuse mudel Ühes kindlas kohas satub jõkke saasteainete hulk. Uurime reostuse kontsentratsiooni ajas ja erinevates

ruumipunktides (jõeosades) üheaegselt

Jõgi on jaotatud 6 erinevaks osaks:

Põhimuutujad ONE, TWO, THREE, FOUR, FIVE, SIX kirjeldavad reostust igas jõe lõigus,

algväärtused kõigil 0

40 , 34 , 28 , 22 , 16 R

3

8 B

10 P

11 / 15

Juhtimine F0 = PULSE(100, DT, 1000)

Juhtimised F1 – F6: F1=ONE/T1 jne

Kontsentratsioon = saasteainete hulk /vee hulk vastaval lõigul CONC1 = ONE/ V1 jne

Veehulgad igal lõigul määratakse vooluseadusega

Q1=1 (m3/min) lõigul ONE, TWO, ülejäänutel Q2 = 1.6 m3/min

Vee asumise aeg antud lõigus Ti =RUUMALAi /Qi

14. Keemia mudeleid matemaatilises modelleerimises

14.1 Lämmastikdioksiidi jagunemine lämmastikoksiidiks ja hapnikuks

Atmosfäär koosneb erievatest kihtidest mis erinevad keemilise koostise, temperatuuri ja rõhu poolest.

Troposfääri, kõige sisemise kihi 99% ruumalast moodustab puhas kuiv õhk jagunedes kahe gaasi vahel:

78% lämmastikku ja 21% hapnikku. Järelejäävast õhust moodustab vähem kui 1% argoon ja umbes

0.035% süsinikdioksiid. Seal on ka veeauru, mille hulk moodustab alates 0.01% ruumalast polaaralade

kohal kuni 5% niiske troopika kohal. Stratosfäär on teine atmosfääri kiht, mis ulatub 10 – 50 km

kauguseni maapinnast. See koosneb gaasilise osooni (O3) väikestest kogustest, mis filtreerib umbes 99%

sissetulevast kahjulikust ultraviolettkiirgusest. Osooni poolt päikesekiirguse filtreerimine stratosfääris

kaitseb meid päikesepõletuste, nahavähi, silmavähi ja silmakae eest. Päikesevalgus aitab kaasa

fotokeemilise sudu tekkimisele, vallandades NO2 jagunemise. Lihtsustalt toimub see järgmiselt:

päikesevalgus põhjustab lämmastikdioksiidi NO2 jagunemist lämmastikoksiidiks NO ja üheaatomiliseks

hapnikuks O. See aatom ühinedes hapnikuaatomiga O2 saab kuju O3.

NO2=NO+O; O+O2= O3

Selle keemilise reaktsiooni Stella mudel sisaldab algkogust NO2, mis kahaneb reaktsiooni tulemusel,

mille kiirus sõltub NO2 kontsentratsioonist ja etteantud kiiruse konstandist. Lisame põhimuutujateks

veel O2 ja NO sama kiirusekonstandiga, mis sõltuvad konkreetsete ühendite summast, mis on saadaval

12 / 15

põhimuutujas NO2. Teine keemiline protsess, mis on seotud esimesega, sisaldab osooni tekkimist

üheaatomilisest hapnikust, mis saadakse NO2 lagunemise tulemusena ja O2 ühinemisel troposfääris.

Koostame mudeli selle reaktsiooni esimesest osast: NO2 = NO + O. See ülesanne annab keemilise

kineetika põhiidee, mida nim massitoimeseaduseks. See on empiiriline reegel, mis ütleb, et reaktsiooni

kiirus on võrdeline esialgsete ainehulkade kontsentratsiooniga. Kahe erineva kontsentratsiooniga R1 ja R2

reageeriva aine korral saame tulemuseks kontsentratsiooni P, mis massitoimeseaduse kohaselt on

2R1RkP , kus k on reaktsiooni kiiruse konstant. Me kasutame seda seadust lihtsustatud kujul.

Mudelis kasutame hüpoteetilisi andmeid. Proovime erinevaid reaktsioonikiiruse konstandi väärtuseid.

Antud mudelis hüpoteetilise reaktsiooni kiiruse konstandiga ei saa me kindlat tulemust tegelikule

lämmastikdioksiidi lagunemisele troposfääris. Tuleks leida reaalsed andmed keemia või

keskkonnakeemia õpikutest, mis võimaldaks paremini määrata kiirust NO2 lagunemiseks päikesekiirguse

toimel. Seejärel tuleks arvestada ka hooajalist muutumist, arvestades suvekuudel, kui päikesekiirgus on

suurem, ka aine suuremat lagunemist.

NO2_KONTS = 2 {moole kuupmeetri kohta}

VÄHENDAN_NO2_KONTS = REAKTSIOONI_KIIRUS {moole kuupmeeter sekundi kohta}

KIIRUSE_KONST =0.1 {1/sekund}

REAKTSIOONI_KIIRUS = KIIRUSE_KONST*NO2_KONTS

O_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta }

SUURENEMINE_O_KONTS = O_HULK_NO2_KOHTA*REAKTSIOONI_KIIRUS

{moole kuupmeeter sekundi kohta }

O_HULK_NO2_KOHTA = 1 {mitu mooli O tekib ühest moolist NO2; reaktsiooni omadus }

NO_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta }

SUURENDAN__NO_KONTS = REAKTSIOONI_KIIRUS*NO_HULK_NO2_KOHTA

{moole kuupmeeter sekundi kohta }

NO_HULK_NO2_KOHTA = 1 {mitu mooli NO tekib ühest moolist NO2 }

Run Specs Time = 0..40 DT = 1, Euler

8.2. Stratosfääris oleva osooni kahanemine

Statosfääris olev osoon kaitseb elu Maal kahjuliku UV-kiirguse eest. Kui osoonitase langeb ainult 10%,

selle tulemusena on päikesekiirgus 20% tugevam. Statosfääri osooni kahanemine on algselt põhjustatud

klorofluorosüsiniku (CFCl) kuhjumisest ja vähesel määral lämmastikoksiidide (NO) tõttu. Selliste

reaktsioonide tulemus on osooni lagunemine stratosfääris. Tulemuseks on ahelreaktsioon, mis vähendab

osooni.

13 / 15

Samm Reaktsioon Tulemus

A O + O2 → O3

B CFCl3 → CFCl2 + Cl

C Cl + O3 → ClO + O2

D ClO + O → Cl + O2

See protsess on katalüütiline, kuna kloor, mis reageerib sammul C, ei kao reakstsiooni tulemusena, vaid

tekib uuesti sammus D, nii saab protsessi korrata lõpmatult. Need ained jäävad atmosfääri, kuni nad

lõplikult hävivad, tavaliselt läheb selleks aasta või kaks, selle aja jooksul kloori aatom hävitab umbes

100000 osooni molekuli.

Mudel kirjeldab osooni vähenemise katalüütilist protsessi CFC mõjul. Reaktsioonikonstantidele

on antud oletatavad väärtused, mida saab mudeli tundlikkuse analüüsis muuta. Mudelisse võib

integreerida ka vaba hapniku aatomi koos sammuga A. Tüüpiliselt on samm A aeglasem ülejäänutest.

Tuleks leida selline reaktsiooni kiiruse konstant, mis väldiks osooni kahanemist antud mudelis. Samuti ei

vaadelda mudelis CFCl2 eraldi muutujana, kuna see ei osale reaktsioonides, mis huvitavad meid antud

mudelis. Mudeli puuduseks on reaktsioonide jätkumine kuni kogu osoon on kadunud. Mudeli

realistlikumaks muutmiseks on vaja lisada eemaldamisprotsess.

Run Specs Time 0.. 1000 DT=1 Euler

CFCL3_KONTS = 2 {moole kuupmeetri kohta}

VÄHENEV_CFCL3 = REAKTS_KIIRUS1 {moole kuupmeetris ajaühiku kohta; I järku reakts}

REAKTS_KIIRUS1 = KIIRUSE_KONST_1*CFCL3_KONTS {1/Time * moole/kuupmeetris}

KIIRUSE_KONST_1 = 0.01 {1/Time

CL_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta}

SUURENEV__CL__SAMM_C = REAKTS_KIIRUS1*CL_HULK_CFCL3_KOHTA

{ moole kuupmeetris ajaühiku kohta }

SUURENEV_CL__SAMM_B = CL_HULK_CLO_KOHTA*VÄHENEV_CLO

VÄHENEV_CL = REAKTS_KIIRUS_2

CL_HULK_CFCL3_KOHTA = 1 {toodetud NO moolides lagundatud NO2 moolide kohta}

CL_HULK_CLO_KOHTA = 1

14 / 15

KIIRUSE_KONST_2 = 0.1

REAKTS_KIIRUS_2 = KIIRUSE_KONST_2*CL_KONTS {1/Time*moole/kuupmeetris }

CLO_KONTS = 0

SUURENEV_CLO = REAKTS_KIIRUS_2

VÄHENEV_CLO = REAKTS_KIIRUS_3

KIIRUSE_KONST_3 = 0.05

REAKTS_KIIRUS_3 = KIIRUSE_KONST_3*CLO_KONTS {1/Time*moole/kuupmeetris}

O3_KONTS = 100

VÄHENEV_O3 = O_HULK_O3_JAG_CLO_KOHTA*REAKTS_KIIRUS_2

O_HULK_O3_JAG_CLO_KOHTA = 1

9. Chance-Clelandi mudel ensüümi substraadi koostoime jaoks

Modelleerime keemilise reaktsiooni ensüümiga E, mis käitub katalüsaatorina. E konstsentratsioon on

põhimuutujaks, mis aegajalt on hõivatud vahepealse aine C tootmisega. Lõpuks ensüüm vabaneb

muutumatus vormis, kui aine P, mis on saadud ainest C. Teine aine, mis on protsessis aktiivne, on

substrant S, mis muudetakse aineks P. Olgu S dekstroos ja P fruktoos, siis ensüüm E lukustub

mehaaniliselt substraadi molekuli, murrab ennast uude molekuli, fruktoosi, ning vabaneb jälle peale

keemilist reaktsiooni (Spain 1982).

Lihtsustades tähistame reaktsiooni kiiruse konstandid K1, K2 ja K3. Reaktsiooni põhivõrrand on

järgmine:

E + S – K1 → ← K2 – C – K3 → E + P

See on mudel, kus vaadeldakse kõiki aineid, mis osalevad keemilises reaktsioonis kui aine

kontsentratsioone. Põhioletus selles mudelis on see, et kontsentratsioonide korrutis on võrdeline

reaktsiooni kiirusega, vastavalt massitoimeseadusele.

DVS mis kirjeldab reaktsiooni kiirust, ehk juhtimisi, on järgnev:

C3Kdt

dP

dt

dC

dt

dE

C)3K2K(ES1Kdt

dC

C2KES1Kdt

dS

Mudelis lahendatakse DVS, kirjeldades 4 põhimuutujat, mis muutuvad vastavalt keemiliste võrranditele.

15 / 15

E_KONTS = 10 {moole m3 kohta}

E_KIIRUS=K1*S_KONTS*E_KONTS-(K2+K3)*C_KONTS {moole m3 kohta ajaühikus }

K1 = 0.005 {1/ajaühik}

K2 = 0.005 {1/ ajaühik }

K3 = 0.1 {1/ ajaühik }

C_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta}

C_KIIRUS = K1*S_KONTS*E_KONTS-(K2+K3)*C_KONTS {moole kuupmeetri kohta ajaühikus }

P_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta}

P_KIIRUS = K3*C_KONTS {Michaelis-Menten‟i ensüümi mudel; moole kuupmeetri kohta ajaühikus}

S_KONTS = 100 {moole kuupmeetri kohta}

S_KIIRUS = K1*S_KONTS*E_KONTS-K2*C_KONTS {moole kuupmeetri kohta ajaühikus}