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Autores: Lucinda Serra, Teresa Neto, José Bessa. / Conceção e elaboração: Universidade de Aveiro. / Coordenação geral do Projeto: Isabel P. Martins e Ângelo Ferreira. / Cooperação entre o Ministério da Educação de Timor-Leste, o Instituto Português de Apoio ao Desenvolvimento, a Fundação Calouste Gulbenkian e a Universidade de Aveiro. / Financiamento do Fundo da Língua Portuguesa.
Citation preview
Repblica Democrtica de Timor-LesteMinistrio da Educao
11 | MATEM
TICA Guia do ProfessorMATEMTICA11.o ano de escolaridade
Projeto - Reestruturao Curricular do Ensino Secundrio Geral em Timor-Leste
Cooperao entre o Ministrio da Educao de Timor-Leste, o Instituto Portugus de Apoio ao Desenvolvimento, a Fundao Calouste Gulbenkian e a Universidade de AveiroFinanciamento do Fundo da Lngua Portuguesa
Guia do ProfessorMATEMTICA11.o ano de escolaridade
Os stios da Internet referidos ao longo deste livro encontram-se ativos data de publicao. Considerando a existncia de alguma volatilidade na Internet, o seu contedo e acessibilidade podero sofrer eventuais alteraes.
TtuloMatemtica - Guia do Professor
Ano de escolaridade11.o Ano
AutoresLucinda SerraTeresa NetoJos Bessa
Coordenadora de disciplinaTeresa Neto
Consultor cientfico Joo Pedro da Ponte
Colaborao das equipas tcnicas timorenses da disciplina Este guia foi elaborado com a colaborao de equipas tcnicas timorenses da disciplina, sob a superviso do Ministrio da Educao de Timor-Leste.
Design e PaginaoEsfera Crtica Unipessoal, Lda. Plural Design Unipessoal, Lda.
ISBN978 - 989 - 8547 - 53 - 8
1 Edio
Conceo e elaboraoUniversidade de Aveiro
Coordenao geral do Projeto Isabel P. Martinsngelo Ferreira
Ministrio da Educao de Timor-Leste
2013
Este guia de professor propriedade do Ministrio da Educao da Repblica Democrtica de Timor-Leste, estando proibida a sua utilizao para fins comerciais.
Impresso e Acabamento Super Xerox, Unipessoal, Lda.
Tiragem400 exemplares
ndice
3
1
2
3
Introduo
Operacionalizao do programa
Explorao das unidades temticas
1. Apresentao do guia do professor
2. Operacionalizao do programa2.1 Orientaes metodolgicas2.2 Sequncia didtica e formalizao dos conhecimentos
3. Explorao das unidades temticas3.1 Unidade temtica: Sucesses 3.2 Unidade temtica: Trigonometria3.3 Unidade temtica: Funes e limites
1011
143656
Apresentao do Guia do Professor
61. Apresentao do guia do professor
Tendo por base as linhas orientadoras do programa que acompanha o projeto de
reestruturao curricular do ensino secundrio geral de Timor Leste, este guia
surge como um complemento ao manual do aluno onde se prestam indicaes e
sugestes aos professores para uma melhor transposio para a sala de aula do que
proposto no Programa de matemtica para o 11ano.
Mais do que obter um bom desempenho em exerccios pr-definidos, ou a
memorizao de frmulas, um dos objetivos centrais do ensino da Matemtica,
no ensino secundrio, conseguir que os alunos desenvolvam uma compreenso
profunda dos conceitos. Atravs desta compreenso os alunos sero capazes de
conseguir o que se denomina como pensamento matemtico avanado.
O professor timorense encontra, neste guia, algumas indicaes concretas para
a abordagem dos contedos matemticos propostos no programa da disciplina.
Trata-se, pois, de um manual de apoio ao professor, onde se referem as finalidades
e as metas estabelecidas no programa da disciplina, abordam-se os contedos
a lecionar em cada tema ou subtema com sugestes de utilizao do manual do
aluno, atividades para motivar e envolver os alunos e orientaes metodolgicas.
Com o propsito de melhorar os recursos disponveis, incluem-se ainda algumas
propostas para trabalho de pesquisa, assim como algumas ferramentas teis
(exerccios resolvidos, indicaes metodolgicas, etc.). Algumas das tarefas
propostas no manual do aluno sero resolvidas e acompanhadas das indicaes
necessrias para uma explorao adequada e enriquecedora dos processos de
ensino e aprendizagem.
Este guia foi concebido como parte integrante de um pacote de materiais de apoio
que inclui o manual do aluno e o programa da disciplina. Mais do que consideraes
de ndole didtica, so sugeridas situaes prticas e do uso quotidiano dos alunos
para uma melhor integrao dos temas e como forma de aumentar a motivao e o
envolvimento de todos os alunos nos processos.
Na dinmica da aula, cada dade professor-aluno possui, em si, uma especificidade
muito prpria e diversificada que no pode estar sujeita a modelos de trabalho
rgidos ou a receitas, da que as atividades apresentadas neste guia devam ser
selecionadas e ajustadas a cada situao e no se limitem apresentao de
exemplos repetitivos e rotineiros.
Deste modo, as propostas includas no esto fechadas e oferecem amplas
possibilidades de adaptao: s formas de trabalho individual de cada professor; s
condies e constrangimentos em que trabalha e, s dificuldades de aprendizagem
7dos seus alunos. Cabe, pois, a cada professor decidir quais as opes metodolgicas
e quais as estratgias mais adequadas.
Posteriores revises deste guia podem ser melhoradas a partir dos resultados da
sua aplicao na prtica e das sugestes e observaes que venham a ser avanadas
pelos utilizadores para que possa constituir-se como um importante recurso que
ajude os professores timorenses a usar a sua prpria experincia e criatividade para
uma melhor formalizao dos conceitos matemticos.
Operacionalizao do ProgramaOrientaes metodolgicasSequncia didtica e formalizao dos conhecimentos
10 | Operacionalizao do programa
2. Operacionalizao do programa
As finalidades e objetivos enunciados no programa do ensino secundrio determinam que o professor, ao aplicar
este programa, contemple equilibradamente:
o desenvolvimento de atitudes;
o desenvolvimento de capacidades;
a aquisio de conhecimentos e tcnicas para a sua mobilizao.
Tendo como pressuposto ser o aluno agente da sua prpria aprendizagem, prope-se uma metodologia em que
os conceitos sejam construdos a partir da experincia de cada um e de situaes concretas e, estes, possam ser
abordados sob diferentes pontos de vista e progressivos nveis de rigor e formalizao.
Por outro lado, importa estabelecer uma maior ligao da Matemtica com a vida real, com a tecnologia e com as
questes abordadas noutras disciplinas, ajudando a enquadrar o conhecimento numa perspectiva histrico-cultural.
Neste contexto, destaca-se a importncia das tarefas a desenvolver com os alunos, as quais devero contribuir
para o desenvolvimento do pensamento cientfico, levando-os a intuir, conjeturar, experimentar, provar, avaliar
e ainda para o reforo das atitudes de autonomia e de cooperao.
Cabe ao professor, de acordo com a realidade, encontrar o equilbrio entre os trabalhos individuais e de grupo,
a realizar dentro e fora da aula com os alunos, assim como o espao para a sua interveno: dinamizando,
questionando, fazendo snteses, facultando informao, propondo a realizao de tarefas, ...
2.1. Orientaes metodolgicas
O poder e relevncia da Matemtica esto na resoluo de problemas, no raciocnio matemtico e nas formas
de comunicao que permitem a extrapolao para novas estruturas conceptuais que, ao serem exploradas,
permitem raciocinar e conjeturar sobre os problemas que modelam, independentemente, das particularidades
de cada contexto cultural.
Os modelos matemticos so formas de estudar e formalizar fenmenos do dia-a-dia. Atravs da modelao
matemtica o aluno toma mais conscincia da utilidade da matemtica para resolver e analisar problemas do
dia-a-dia.
Qualquer tema proporciona ocasies para a realizao de actividades de natureza investigativa. Este tipo de
actividades tambm favorvel ligao da matemtica com outras reas do currculo.
Destaca-se a importncia em ajudar os alunos a desenvolver determinadas competncias especficas,
contribuindo para melhorar os seus conhecimentos cientficos. Parte-se, quando possvel, de exemplos ou
situaes experimentais para que, apoiados na intuio, os alunos acedam gradualmente formalizao dos
conceitos, promovendo-se uma viso integrada da Matemtica.
O professor deve prever, desde o incio do ano, momentos para o desenvolvimento de trabalhos individuais ou
trabalhos de grupo. Prope-se que o professor valorize os conceitos matemticos informais construdos pelos
alunos atravs de suas experincias, fora do contexto da escola e de modo que a matemtica, informalmente
Sequncia didtica e formalizao dos conhecimentos | 11
construda, seja utilizada como ponto de partida para o ensino formal.
Por sua vez, desejvel a utilizao de ferramentas tecnolgicas (calculadoras ou computadores), uma vez que
estas so uma fonte importante de atividade, de investigao e de aprendizagem, alm de ajudar a preparar
melhor os alunos para uma sociedade em que os meios informticos tero um papel considervel na resoluo
de problemas e produo cientfica.
2.2. Sequncia didtica e formalizao dos conhecimentos
Para o cumprimento do programa do 11 ano est prevista uma carga horria de 4 horas semanais, distribudas
por aproximadamente 30 semanas (ano).
De modo a garantir o equilbrio entre as vrias unidades temticas, ao longo de todo o percurso curricular (3
anos) do ensino secundrio, proposto para o 11ano abordar as trs unidades temticas:
Unidade temtica 4-Sucesses;
Unidade temtica 5-Trigonometria; e,
Unidade temtica 6-Funes e Limites.
Unidade temtica Objetivos
Sucesses
Sucesses
Limites infinitos
Analisar padres e regularidades, abordando problemas histricos que ajudem a
estabelecer o conceito de sucesso, estudando particularmente sucesses limitadas
e convergentes.
Estabelecer os conceitos de progresses aritmticas e geomtricas.
Determinar a soma dos n termos de uma progresso. Estabelecer a noo intuitiva
de infinitsimo e infinitamente grande, atravs do limite de uma sucesso.
Trigonometria
Generalizao da noo
de ngulo e de arco.
Medidas
Relaes trigonomtricas
Funes circulares dire-
tas. Generalidades
Aplicar a trigonometria em situaes problemticas que envolvem tringulos.
Explorar fenmenos peridicos do mundo real utilizando as funes de seno e
coseno.
Identificar a variao e representao grfica de algumas funes trigonomtricas.
Resolver equaes trigonomtricas.
Funes e limites
Funes exponenciais e
logartmicas
Limites e continuidade
Estudar as propriedades grficas e analticas das funes de crescimento,
designadamente, funes exponenciais e logartmicas.
Definir limite de uma funo num ponto. Determinar assntotas do grfico de uma
funo.
Fazer a interpretao grfica e analtica do conceito de limite e da continuidade de
uma funo em qualquer ponto de acumulao do seu domnio.
Relacionar o conceito de continuidade com a convergncia de sucesses e funes
limitadas.
Explorao das Unidades TemticasUT1: SucessesUT2: TrigonometriaUT3: Funes e limites
Unidade Temtica 1 | Sucesses
14 | Explorao das unidades temticas
3. Explorao das unidades temticas.
3.1. Sucesses
A resoluo de problemas permite chegar ao conceito de sucesso, aceder compreenso de propriedades
importantes de sucesses particulares e especialmente teis, bem como necessidade de elaborao de
representaes formalizadas.
O estudo das sucesses permite tambm, o desenvolvimento das capacidades de comunicao (oral e escrita).
As propriedades das sucesses fortalecem e colaboram na aprendizagem e aplicao do mtodo de induo
Matemtica.
As sucesses surgem como uma forma de organizar possveis resolues para problemas que so apresentados,
com base em aspetos da realidade ou em aspetos do estudo das diversas cincias.
Subtema 1: Sucesses
Contedos Metas de aprendizagem
Definio de sucesso
Formas de definir uma sucesso
Representao grfica de uma
sucesso
Sucesses montonas
Sucesses limitadas
Progresses geomtricas
Progresses aritmticas
Mtodo de induo matemtica
O aluno:
Identifica sucesses de nmeros reais;
Reconhece a sucesso de Fibonacci;
Define sucesses de nmeros reais;
Verifica se um nmero real termo de uma sucesso;
Representa graficamente uma sucesso;
Verifica grfica e analiticamente se uma sucesso crescente ou se uma
sucesso decrescente;
Identifica sucesses montonas;
Indica os majorantes e minorantes de um conjunto de nmeros reais;
Identifica o supremo e o nfimo de um conjunto de nmeros reais;
Verifica se uma sucesso majorada e(ou) minorada grfica e
analiticamente;
Identifica se uma sucesso limitada;
Identifica se uma progresso aritmtica ou geomtrica.
O estudo das sucesses pode e deve servir para evidenciar conexes entre a matemtica e as outras disciplinas: a
introduo do conceito de sucesso e das suas propriedades pode ser feita introduzindo exemplos sugestivos que
podem versar assuntos diversos. Estes exemplos devem ainda servir para introduzir a definio por recorrncia,
para casos simples.
A escrita de expresses para os termos gerais das sucesses deve ser procurada como forma de representar as
UT1 - Sucesses | 15
situaes que se vo descrevendo. Do mesmo modo devem-se introduzir as noes de termo, de ordem, ou at
de razo.
O estudo da monotonia, minorantes, majorantes, deve ser feito medida que vo aparecendo como aspetos a
considerar durante a resoluo dos diferentes problemas. Do mesmo modo, devem ser abordadas as propriedades
de certas sucesses (progresses).
Os alunos devem procurar formas prprias de organizao e expresso para a modelao das situaes. O
professor pode explorar o uso da calculadora e deve ajudar a construir tabelas, a desenhar e a interpretar grficos.
As definies so estabelecidas em linguagem corrente. Aps cada redao em linguagem corrente deve
ser estabelecida uma redao em simbologia matemtica e devem ento ser aplicados exerccios em que as
definies simblicas sejam testadas.
No manual do aluno iniciamos o estudo das sucesses com uma sequncia de fsforos. Pretende-se que os alunos
conjeturem em torno dessa questo; elaborem planos para testar as conjeturas e comuniquem os resultados
obtidos.
O professor pode sugerir, com recurso a esta atividade a construo de outros polgonos que mantenham
determinadas regularidades e solicitar aos seus alunos que determinem um termo da sucesso.
A Sucesso de Fibonacci
A sucesso de Fibonacci, uma situao da Natureza publicada, por este matemtico, no livro Liber Abaci (sculo
XIII) A sequncia dos coelhos.
Pretende-se que os alunos identifiquem regularidades nos termos de uma sequncia (finita ou infinita) dada;
identifiquem a ordem de um termo dessa sequncia; construam o termo geral de uma sequncia infinita dada;
e, definam uma dada sucesso por recorrncia.
No problema dos coelhos, apresentado por Fibonacci no seu libro Liber Abaci, podemos evidenciar aos alunos
que estamos perante um conjunto de nmeros caracterizado por determinada lei, no nosso caso a construo
obedece seguinte relao: cada nmero, excluindo os dois primeiros, igual soma dos dois imediatamente
anteriores.
Explorando esta situao podemos verificar que estamos em presena de uma correspondncia, entre o conjunto
dos nmeros naturais e o conjunto dos nmeros de Fibonacci a que no manual chamamos f.
Assim temos que: 3)4(2)3(1)2(1)1( ==== ffff
=
853211654321
f
Observamos que estamos em presena de uma correspondncia unvoca pelo que temos uma funo de domnio
IN, ou seja uma funo de varivel natural. Uma funo de varivel natural uma aplicao cujo domnio IN ou um subconjunto de IN.
Na funo referida o conjunto de chegada um subconjunto dos naturais. H porm funes de varivel natural
cujo conjunto de chegada IR ou um subconjunto de IR, que se designam por funes reais de varivel natural.
16 | Explorao das unidades temticas
Por exemplo a funo que a cada nmero natural faz corresponder a sua raiz quadrada
g: IN nngquetalIRINg = )(:
A qualquer funo de domnio IN chamamos sucesso.
A natureza e os nmeros de Fibonacci
Os nmeros de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas situaes na natureza. O modo como as
sementes esto dispostas no centro de diversas flores um desses exemplos.
As sementes do girassol esto organizadas sem intervalos, na forma mais eficiente possvel, formando expirais
que tanto curvam para a esquerda como para a direita. O curioso que o nmero de espirais em cada direo
so (quase sempre) nmeros vizinhos na sequncia de Fibonacci. O raio destas espirais vria de espcie para
espcie de flor.
esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol podem parecer quando
aumentados. O centro marcando com um ponto preto. Podemos observar que
as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a
esquerda. Ao contar as espirais que partem da direita, a partir da borda da figura,
verificamos que so 34. Para o outro lado quantas so? Veremos que esses dois
nmeros so vizinhos na srie de Fibonacci. A razo, parece estar na forma da
distribuio tima das sementes, no importando o seu tamanho, mas sim a sua
distribuio uniforme, desde que no estejam acumuladas no centro nem
demasiado afastadas da margem.
Uma outra situao envolvendo a sucesso de Fibonacci a seguinte: Se desenharmos um retngulo cujos lados
tenham uma razo entre si igual ao Nmero de Ouro este pode ser dividido num quadrado e noutro retngulo
cuja razo entre os dois lados seja tambm igual ao nmero de ouro.
Este processo pode ser repetido indefinidamente. Se unirmos os quartos de circunferncia de todos os quadrados
vamos obter uma espiral chamada Espiral de Fibonacci.
Na natureza h espirais como este, relacionadas com o nmero de ouro, por exemplo os moluscos nuticos.
Ainda podemos utilizar a sucesso de Fibonacci para definir uma sucesso por recorrncia.
UT1 - Sucesses | 17
Na sucesso referida partimos dos dois primeiros termos e cada um dos restantes a soma dos dois imediatamente
anteriores:
A este processo em que, para encontrar os termos da sucesso, se recorre aos termos anteriores chamamos de
recorrncia.
Resoluo da Tarefa 7:
Observa que : 2232121 3
1211 +=+== uuuuu
Temos ento que a expresso geral dada por:
+=
=
21
1
11
nuu
u
nn
Nmeros Figurados
Os nmeros figurados so nmeros que podem ser representados por uma construo geomtrica de pontos
equidistantes. Se o arranjo formar um polgono regular, estes nmeros chamam-se nmeros poligonais.
Os pitagricos desejavam compreender a natureza ntima dos nmeros, pelo que construiram os nmeros
figurados que so nmeros expressos como reunio de pontos numa determinada configurao geomtrica,
isto , a quantidade de pontos representa um nmero, e estes so agrupados de formas geomtricas sugestivas.
No manual do aluno aparecem os nmeros triangulares, quadrangulares e pentagonais. Acrescentamos agora
alguns outros exemplos de nmeros figurados caso o professor considere necessrio mostrar aos seus alunos
outras construes
Nmeros Hexagonais
1 6 15 28 45
18 | Explorao das unidades temticas
Nmeros Estrelados
A estes nmeros tambm chamamos nmeros poligonais, visto que, so gerados tendo por base um polgono:
triangulares, quadrados, pentagonais, hexagonais, etc.
Podemos verificar que na seguinte expresso : ( )
21 bnnn + , e b
Quando trocamos b por 1 obtemos o termo geral dos nmeros triangulares; se trocamos por 2 obtemos o termo
geral dos nmeros quadrados, se substitumos por 3 obtemos o dos pentagonais.
Uma outra tarefa pode ser propor aos alunos que geometricamente encontrem o padro de construo para
depois formalizar algebricamente o resultado visualizado. Por exemplo:
3 x 3 + 3 3 x 4 + 4 3 x 5 + 5
O esquema anterior sugere que um nmero pentagonal se pode expressar como a soma de trs nmeros
triangulares de ordem menor e dos pontos do seu lado, nPP nn += 13
( )2
32
132 nnnnnPn
=+
=
Os esquemas seguintes mostram a relao entre os nmeros figurados dados e os nmeros triangulares:
UT1 - Sucesses | 19
O professor, caso considere pertinente, pode solicitar aos seus alunos que em cada caso encontrem a expresso
algbrica correspondente.
O seguinte exerccio pode ser usado na sala de aula como motivao para o estudo das sucesses
Seguindo a mesma lgica de construo, qual o nmero de cubos da 6., 7. e da 20. figura?
Note que desenhar a 20. figura para contar os seus cubos no vivel. O melhor ser tentar descobrir
a regra de construo.
De cada figura para a seguinte, juntam-se 6 cubos. Mas para saber o nmero de cubos da 20. figura
ter-se-ia de conhecer o da 19. e voltamos a cair num processo moroso. O nosso objetivo ser ento
determinar diretamente o nmero de cubos de qualquer figura. Observa-se que a figura de ordem n
20 | Explorao das unidades temticas
obtm-se aplicando (n-1) cubos em cada face do cubo inicial, o que se traduz na seguinte tabela :
Figura N. de cubos
1 12
345 6...
n...
Obtm-se a seguinte frmula: ( ) 56161 =+ nn , que permite calcular o nmero de cubos de qualquer figura da sequncia.
Assim, a 6., a 7. e a 20. figuras tm respetivamente:
Resoluo da Tarefa 2: No manual do aluno j temos determinado o nmero triangular 4 pelo que podemos
comear o trabalho a partir da:
De outra forma podemos usar a expresso que gera os nmeros triangulares e obtemos:
Resoluo da Tarefa 8:
a)
b) 909292 ===+= nn
nn
nun
c) . A partir da ordem 19.
Resoluo da Tarefa 12:
a1)
132
11)1(2
12
1 ++
=+
++=
+=
+ nn
nnu
nnu
n
n
UT1 - Sucesses | 21
a2) Para n>1
112
11)1(2
12
1
=
+=
+=
nn
nnu
nnu
n
n
b)
Resoluo da Tarefa 14:
a)
b) . O valor dado termo da sucesso, visto que 12 um nmero
natural, caso o valor obtido para n no seja um nmero natural o valor dado no ser termo da sucesso.
Ao longo do desenvolvimento dos trabalhos o professor poder se achar conveniente introduzir a linguagem
lgica formalizando a escrita. A ttulo de exemplo, formaliza-se o uso dos quantificadores:
Quantificador universal
Este quantificador lgico transforma uma expresso proposicional com uma varivel numa proposio, a
qual verdadeira se a expresso proposicional for universal e falsa se a expresso proposicional no for
universal, ou seja, se houver pelo menos uma substituio que conduza a uma proposio falsa.
(L-se para todos; para todo o x; todo o x; para qualquer x)
Quantificador existencial
Este quantificador lgico transforma uma expresso proposicional com uma varivel numa proposio, que
verdadeira se houver pelo menos uma substituio da varivel que conduza a uma proposio verdadeira
e que falsa caso contrrio, isto , se qualquer substituio conduzir a uma proposio falsa.
(L-se existe um x; existe algum x; existe pelo menos um x; para algum x)
Operaes com Sucesses
Podemos referir aos alunos que possvel realizar operaes com sucesses da mesma forma que realizamos
operaes com funes.
Soma
A soma de duas sucesses ainda uma sucesso cujos termos so a soma dos termos homlogos das sucesses
dadas:
22 | Explorao das unidades temticas
( ) ( ) ( )nnn Sba
11111 baSba +=
nnnnn baSba +=
Exemplo: Determina soma das sucesses de termos gerais
1321
+
=
=nnv
nnu nn
Sendo ( )nS a sucesso soma: )1(13
1321 2
++
=+
+
=nn
nnnn
nnSn
Da mesma forma se definem a diferena e o produto de duas sucesses
Quociente
No tratmos esta operao juntamente com as restantes, visto que a sua definio envolve cuidados especiais.
Com o seguinte exemplo podemos evidenciar aos nossos alunos os problemas que podem surgir ao realizar esta
operao.
Exemplo: Dadas as sucesses de termos gerais 25 =+= nbena nn , caracterizar, caso exista, a sucesso
quociente
n
n
ba .
Observe que o termo de ordem 2 no est definido.
{ }
25
2\:
+
nnn
IRINqn
Embora no se trate de uma sucesso (atendendo definio adotada), uma funo real de varivel natural.
Dir-se- que o quociente de duas sucesses , com , para todo n uma sucesso cujos termos so o quociente dos termos homlogos das dadas.
Exemplo: Dadas as sucesses de termos gerais 2
122 +
=+
=n
bn
na nn .
Calcular
a) ( )nn ba +
( )INn
nnnn
nnnba nn +
++=
++
+=+ ,
2)22(2
212
2
2
2
b) ( )nn ba
INn
nnnnba nn =+
+
= ,12
1222
c) ( ) INnn
n
n
nn
ba
n
n +
=
+
+
= ,2
21
2
2
22
UT1 - Sucesses | 23
Resoluo da Tarefa 18:
b)
A sucesso decrescente.
c)
A sucesso dada crescente
f) Como n2 sempre um nmero par ( ) 11 2 = n Logo n
f n1
=
A sucesso decrescente
Conjuntos limitados
Nos seguintes conjuntos de nmeros reais: [ ]4;0=A
=
31;B
Para [ ]4;0=A podemos afirmar que qualquer nmero superior a 4 majorante de A, analogamente verifica-se que qualquer nmero real inferior a 0 minorante de A.
Como o conjunto A tem simultaneamente pelo menos um majorante e pelo menos um minorante, diz-se que o
conjunto A limitado.
No caso do conjunto B verifica-se que 31 ou qualquer nmero superior a ele majorante de B.
A diferena do conjunto A, o conjunto B no tem qualquer minorante, pois no existe nenhum nmero real que
seja menor ou igual que qualquer elemento de B.
Assim o conjunto B no limitado.
Em geral:
Um nmero a majorante de um conjunto A, A subconjunto de IR, se:
Axxa
Um nmero b majorante de um conjunto A, A subconjunto de IR, se:
Axxb Um conjunto A qualquer diz-se limitado sempre que tenha pelo menos um majorante e pelo menos um minorante.
Sucesses limitadas
Uma sucesso diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for um conjunto limitado.
De outra forma uma sucesso diz-se limitada se o conjunto dos seus termos admite um majorante e um
minorante. Isto , existem dois nmeros a e b tais que: INnbua n
Resoluo da Tarefa 20:
21)
+
=nnaa n A sucesso dada crescente. Podemos escrever a sucesso da forma: 2
31+
=n
an
24 | Explorao das unidades temticas
O primeiro termo 0 e os termos da sucesso nunca so superiores a 1.
Temos que 10
UT1 - Sucesses | 25
302
515321
1 ==a e
O termo geral da sucesso .
Resoluo da Tarefa 27:
c) 121 =w
O termo geral da progresso aritmtica :
Soma dos n termos consecutivos de uma progresso geomtrica
No manual do aluno aparece a referncia histrica a Gauss, com ela podemos motivar os alunos no sentido de
formular conjeturas e exercitar o clculo mental.
Karl Friedrich Gauss, chamado o Prncipe das Matemticas, estava na escola quando um professor, sugeriu aos
seus alunos que adicionassem todos os nmeros do 1 ao 100.
O professor ficou surpreendido quando Gauss, que tinha 11 anos, obteve a resposta correta pouco despois de
ser formulada a pergunta.
Gauss procedeu da seguinte forma:
S=101x50=5050
Resoluo da Tarefa 29:
b) 3
1+=
nwn
Resoluo da Tarefa 30:
Podemos resolver esta tarefa de duas formas diferentes
1 Processo
importante que o professor sensibilize os seus alunos para qual a contagem que esta em causa
26 | Explorao das unidades temticas
Temos ento que :
2 Processo
Resoluo da Tarefa 31:
b ) n
nc
cn
n
n
n
=+
+
212 11 , como este quociente no uma constante a sucesso dada no uma progresso
geomtrica.
c ) 21
21
21
11 =
=
++
n
n
n
n
dd
A sucesso dada uma progresso geomtrica de razo 21 .
Monotonia de uma Progresso Geomtrica
Quanto a monotonia de uma progresso geomtrica podemos sintetizar no seguinte quadro:
Resoluo da Tarefa 32:
b ) n
nu
=
313
31
313
313
1
1 =
=
+
+n
n
n
n
uu .
Como a razo inferior a zero a progresso geomtrica no montona.
c )
=
=
3
7
1
1
nn
uu
u
UT1 - Sucesses | 27
3131 ==+
n
n
n
n
u
u
uu . Como 0
31
1 >= uer A progresso geomtrica decrescente.
Resoluo da Tarefa 33:
b ) 71 76 == beb
=
=
=
=
=
=
771
7
151
61
51
617
516
r
brbrb
rbbrbb
O termo geral dado por : 615 777
1 == nnn
n bb
Resoluo da Tarefa 35:
a ) 1 minuto 14
2 minuto 24
3 minuto 34
No 7 minuto temos 74 e no 10
b ) Observamos que : 41 =+n
n
uu
logo uma progresso geomtrica. O seu termo geral dado: nna 4=
Resoluo do Exerccio 6:
6.1. . A sucesso dada crescente.
6.2. .
Como a sucesso dada montona temos que , logo limitada.
6.3. -19 o maior dos minorantes.
6.4. Por exemplo: 7 ou 20 ou 45
Resoluo do Exerccio 15:
1213
++
=nnun
15.1.
28 | Explorao das unidades temticas
15.2. ( )( )( )1232
11213
1)1(2113
1 ++=
++
++++
=+ pppp
ppuu pp
15.3.
Como n no um nmero natural o valor dado no termo da sucesso.
Como n um nmero natural o valor dado termo da sucesso,
o termo de ordem 5.
Subtema 2: Limites infinitos
Contedos Metas de aprendizagem
Sucesses e Infinito
Infinitamente grandes
Infinitsimos
Sucesses convergentes
Noo de limite. Unicidade do
limite
Critrios de convergncia das
sucesses montonas
Estabelecer a soma de todos
os termos de uma progresso
geomtrica
A sucesso
O aluno:
Verifica grfica e analiticamente se uma sucesso um infinitamente grande;
Verifica grfica e analiticamente se uma sucesso um infinitsimo;
Verifica que o inverso de um infinitamente grande um infinitsimo e vice-
-versa;
Verifica grfica e analiticamente se um dado nmero ou no limite de uma
sucesso;
Identifica sucesses convergentes e divergentes;
Determina o limite de uma sucesso;
Utiliza adequadamente os critrios de convergncia;
Calcula a soma de todos os termos de uma progresso geomtrica;
Identifica o Nmero de Neper como o valor do limite da sucesso :
Depois de se terem introduzido as noes de sucesso como funo de varivel natural, de ordem, de termo
geral, etc. podem apresentar-se exemplos de sucesses definidas pelo seu termo geral e atravs de clculos e
representaes grficas de sequncias de termos chegar aos conceitos de infinitamente grande, infinitsimo e
de limite de uma sucesso.
Cada definio deve ser apoiada por exemplos e contra-exemplos que esclaream as ideias imediatas e corrijam
eventuais concees alternativas e erradas. As definies so estabelecidas em linguagem corrente seguindo as
concluses a tirar de cada exemplo e contra-exemplo.
UT1 - Sucesses | 29
Paradoxo do Hotel de HilbertParadoxo :
Paradoxo significa o que contrrio a opinio recebida e comum.
Em Matemtica, um paradoxo matemtico ou lgico uma contradio deduzida no seio dos sistemas
lgicos e das teorias matemticas.
Para ajudar a explicar o mistrio do infinito, Hilbert criou um exemplo de infinito conhecido como o Hotel de
Hilbert.
Este hotel hipottico tem um nmero infinito de quartos.
Um dia um novo hspede chega e fica desapontado ao ser informado de que, apesar do tamanho infinito do
hotel, todos os quartos esto ocupados. Hilbert, pensa um pouco e ento garante ao recm-chegado de que vai
encontrar um novo quarto para ele.
Ele pede a todos os hspedes que se mudem para o quarto seguinte, de modo que o hspede do quarto 1 vai
para o quarto 2, o hspede do 2 para o 3 e assim sucessivamente. Todos que estavam no hotel continuam
tendo um quarto, enquanto o recm-chegado pode agora ocupar o quarto nmero 1, que ficou vago.
Isto permite-nos refletir sobre as relaes entre infinitos, de certa forma infinito mais um igual a infinito. Do
mesmo modo, infinito menos um ainda continua sendo infinito, e, de fato, infinito menos um milho ainda infinito.
Na noite seguinte Hilbert precisa lidar comum problema ainda maior. O hotel continua cheio quando
um autocarro chega com um nmero infinito de novos hspedes. Hilbert pede a todos os seus hspedes
anteriores para que se mudem para os quartos cujos nmeros sejam o dobro do nmero do quarto
anterior. Assim o hspede do quarto 1 vai para o quarto 2, o hspede do quarto 2 para o quarto 4 e assim
sucessivamente. Todos aqueles que se encontravam no hotel continuam alojados e, no entanto um
nmero infinito de quartos, os de nmeros mpares, ficaram vagos para receber os recm-chegados.
Novamente verifica-se que o dobro do infinito ainda infinito. E a metade do infinito continua sendo infinito.
Segundo este paradoxo, um hotel com infinitos quartos pode sempre receber mais gente.
Resoluo da Tarefa 37:
Todos os termos da sucesso de ordem superior a 60 so maiores do que 2750.
Teoremas sobre infinitamente grandes
Teorema: Comparao de infinitamente grandes positivos
Se
Demonstrao
Seja L um nmero real qualquer. Como ento existe uma ordem 1p a partir da qual Lun > .
Por hiptese, nn vu , a partir de uma ordem 2p .
30 | Explorao das unidades temticas
Assim, sendo p a maior das ordens 21 pep tem-se que : ,Luv nn > logo Lvn >
Conclumos que ( )nv um infinitamente grande positivo
Exemplo:
Mostrar que a sucesso 3nbn = um infinitamente grande positivo.
Como 13 nparann
Como a sucesso dos termos naturais um infinitamente grande positivo, logo a sucesso dada um infinitamente
grande positivo.
Teorema: A soma de um infinitamente grande positivo com uma sucesso constante um infinitamente grande
positivo.
Se
Exemplo:
Mostrar que a sucesso de termo geral 32 = nan um infinitamente grande positivo.
Considerando a sucesso de termo geral 2nun = , a sucesso dada se obtm da soma da sucesso ( )nu com a sucesso constante 3=nb .
Como a sucesso ( )nu um infinitamente grande positivo, verifica-se que a sucesso dada um infinitamente grande positivo.
Teorema: O produto de um infinitamente grande positivo por uma sucesso constante positiva um infinitamente
grande positivo.
Se
Exemplo: Mostrar que a sucesso 3ncn = tende para +
A sucesso nan = um infinitamente grande positivo. Tomando a sucesso 31
=nb que uma sucesso
constante positiva. Logo a sucesso dada a multiplicao de um infinitamente grande positivo e uma sucesso
constante positiva, portanto um infinitamente grande positivo.
Teorema: Se o termo geral de uma sucesso uma exponencial de base maior do que 1, ento a sucesso um
infinitamente grande positivo.
Exemplo: Mostrar que a sucesso n
na
=
45
um infinitamente grande positivo.
O termo geral da sucesso uma exponencial de base maior que 1,
Podemos concluir que a sucesso dada
UT1 - Sucesses | 31
Infinitamente grandes de referncia
Para provar que uma sucesso um infinitamente grande podemos recorrer definio. Contudo, em geral, no
usamos este processo por ser demorado e em alguns casos envolver clculos complexos.
Em alternativa, para provar que uma dada sucesso um infinitamente grande, podemos recorrer a quatro
sucesses, chamadas infinitamente grandes de referncia.
Exemplo:
Mostrar que a sucesso de termo geral 32 += nan um infinitamente grande positivo.
Por comparao tem-se: INnnnnn >+>+ ,3232
Como , podemos concluir que
Teorema: Se ( )nv um infinitsimo e se, depois de certa ordem nn vu ento, tambm ( )nu um infinitsimo.
Demonstrao
Como 0nv , qualquer que seja positivo, possvel encontrar uma ordem 1p depois da qual
32 | Explorao das unidades temticas
Exemplo:
Considere a sucesso 12 2
=n
nun
INnn
nn
nun
=
= ,121212
Observamos que : nn
n 12 para todo n natural podemos ento concluir que e portanto 0nu
Antes de formalizar a noo de limite observemos ainda um outro exemplo:
nnun
3+= Calculando os primeiros termos:
Observamos que uma sucesso decrescente e limitada, visto que nn >+ 3 , para todo INn . Todos os
termos so superiores a 1.
n1 42 2,58 1,375
15 1,230 1,180 1,0375
Analisando a tabela e tomando em considerao que a sucesso montona tudo sugere que a sucesso tende
para 1. Por exemplo depois da ordem 15 todos os termos so valores aproximados de 1 a menos de 0,2; depois
da ordem 30, a menos de 0,1; depois da ordem 80 a menos de 0,0625
Se quisermos calcular a menor ordem depois da qual todos os termos da sucesso distam de 1 menos de 0,01
podemos resolver a seguinte inequao:
Como n s pode tomar valores naturais
Conclumos que a partir do termo de ordem 301, todos os termos da sucesso so valores aproximados de 1 a
menos de 0,01.
No entanto, este fato no garante ainda que 1 seja o limite da sucesso. Precisamos demonstrar que para
qualquer vizinhana de 1 isto se verifica.
Devemos provar que para todo 0> (o raio de uma vizinhana sempre um nmero real positivo) existe uma
ordem a partir da qual )1(Vun .
3313 >
UT1 - Sucesses | 33
Diz-se que uma sucesso ( )nu tem como limite o nmero a se e s se para cada real positivo , existe uma ordem depois da qual todos os termos da sucesso pertencem vizinhana de a.
Tambm se diz com o mesmo significado que ( )nu tende para a ou que ( )nu converge para a. Simbolicamente escreve-se:
Uma sucesso que converge para um nmero real diz-se uma sucesso convergente. Caso contrrio, d-se-lhe o
nome de divergente.
Para qualquer real positivo 0>
Existe uma ordem (um nmero natural p) .. INp
Depois da qual (para outra ordem desde que superior a p ). pn >
Todos os termos de ( )nu pertencem a ( )aV .
Implicao formal
Diz-se que nP implica formalmente nQ , e escreve-se nnn QP , se sempre que se verifica nP tambm se
verifica, nQ isto , para qualquer concretizao da varivel n obtm-se sempre uma implicao material
verdadeira, ou que significa, que o conjunto de verdade do predicado nP subconjunto do conjunto de
verdade do predicado nQ , isto , QP .
Observe que este ltimo quantificador universal n , pode ser substitudo pelo smbolo de implicao formal n .
Temos ento que:
Ou tambm :
Exemplo:
Dada a sucesso definida por n
nan 217
+
=
a ) Provar que ela converge para 21
b ) Calcular o primeiro termo que valor aproximado de 21 a menos de 0,1.
a) Precisamos mostrar que para cada real positivo, , h pelo menos uma ordem a partir da qual se tem, para
todo natural,
34 | Explorao das unidades temticas
Vemos agora que so equivalentes as condies (em p)
b ) Qualquer valor de p serve desde que p seja um nmero natural maior ou igual que . Como para
qualquer valor de existe esse nmero, est provado que a sucesso tende para 21 .
Resoluo da Tarefa 38:
a ) Para mostrar que a sucesso um infinitamente grande positivo ( ) devemos verificar que
para qualquer nmero real positivo L, existe uma ordem p, natural, a partir da qual sempre que Lupn n >> , .
Lupn n >> temos que logo para , p natural, todos os termos da sucesso so maiores do que L. A sucesso um infinitamente grande positivo.
Resoluo da Tarefa 43:
a ) n
un 27
=
35000
200027000001,0
27
>>
> nn
nn
A partir da ordem 3501.
Resoluo da Tarefa 45:
a ) 41
nun =
b ) Podemos iniciar o trabalho com a construo de uma tabela para que os n nu
1 1
2
10
alunos tenham noo do que est a acontecer com os termos da sucesso e
seguidamente formalizar a prova.
Para provar que uma sucesso um infinitsimo ( 0nu ) devemos verificar
que para todo nmero real positivo d, possvel determinar uma ordem p a partir da qual todos os termos so em mdulo menores que d.
Tomemos por exemplo 0001,0=d , temos que 40001,01
>p
Ento 4 10000>p Como
Para temos du
UT1 - Sucesses | 35
Ento a sucesso limitada 15
Unidade Temtica 2 | Trigonometria
36 | Explorao das unidades temticas
A trigonometria tem a sua origem no estudo da medio de tringulos. Resolver problemas ligados a situaes
concretas onde se apliquem mtodos trigonomtricos (problemas ligados navegao, topografia e outros.
Enquanto considerada como medida de tringulos, a trigonometria desenvolveu-se como uma Cincia
independente da noo de medida. Mais tarde ao serem estudadas as funes trigonomtricas aparecerem o
seno e o cosseno como modelos matemticos para fenmenos peridicos tais como variaes de temperatura,
de mars, entre outros fenmenos.
Subtema 1: Generalizao da noo de ngulo e de arco- Medidas
Contedos Metas de aprendizagem
Generalizao da noo de ngulo
Medida de ngulos.
Passagem de um sistema de unidades para outro
Expresso geral das medidas dos ngulos que tm o mesmo
lado origem e o mesmo lado extremidade
Generalizao da noo de arco
Medida dos arcos
Expresso geral das medidas dos arcos que tm a mesma
origem e a mesma extremidade
O aluno:
Resolve problemas de tringulos retngulos;
Converte unidades entre sistemas (sexagesimal e
circular)
Determina os ngulos compreendidos entre
determinado intervalo, sabendo uma das
determinaes (Atender a que a expresso geral
dos ngulos que tm os mesmos lados que o
ngulo + k3600); k Z
Determina a medida de um ngulo ao centro, de
um crculo de raio dado, conhecido o arco.
Referir alguns instrumentos com que se medem ngulos (O sextante, o Quadrante, o instrumento de sombras
de Pedro Nunes).
Propor uma tarefa de construo. Por exemplo, como construir um instrumento de sombras e medir a altura do
sol. Resolver exerccios e problemas envolvendo medidas de ngulos e de arcos.
Tarefa de construo: Instrumento de Sombras de Pedro Nunes
Pedro Nunes nasceu em Alccer do Sal, Portugal, a 1502 e faleceu a 1573. Construiu vrios instrumentos de
navegao tais como o Nnio (palavra que deriva de Nonius, que significa Nunes em Latim), o Instrumento
chamado Instrumento de Sombras por D. Joo de Castro, e o Anel Nutico. Este instrumento permitia determinar
a altura do Sol, a partir da qual se poderia obter a latitude. Porm, este instrumento no foi muito utilizado pelos
navegadores, uma vez que estes preferiam os que lhes forneciam, diretamente, as alturas de que necessitavam,
apesar de no serem to precisas. Apenas D. Joo de Castro, discpulo de Pedro Nunes o usou e o louvou.
Como se constri?
Material necessrio:
-Tbua plana de forma retangular;
37UT2 - Trigonometria | 37
-Tringulo retngulo issceles de madeira ou metal de diminuta espessura;
-Compasso, rgua, esquadro, transferidor, lpis, caneta e cola.
Num retngulo de madeira traam-se as suas diagonais e designa-se por O o seu ponto de interseo;
-Com centro em O desenha-se uma circunferncia de raio igual medida dos catetos do tringulo;
-Paralelamente ao lado menor traa-se o dimetro BC;
-Marca-se o ponto G que o ponto de extremo de um dos raios que perpendicular ao dimetro traado;
-Traa-se a tangente, HH, circunferncia no ponto G;
-Liga-se o tringulo issceles base de modo que o seu plano seja perpendicular ao da tbua e um dos catetos
coincida como raio OG;
-O quadrante BG deve ser graduado de 00 a
O instrumento de sombras est pronto!
Como se utiliza?
Coloca-se a tbua na posio horizontal;
Roda-se o instrumento de modo que a sombra GS1
do cateto GS da pea triangular se confunda com HH`;
Observa-se a sombra OS1 da hipotenusa OS;
Regista-se em que ponto a sombra OS1 intersetou o
quadrante.
Tarefa
1. Mede a altura do Sol e o respetivo ngulo no instrumento. Regista os dados numa tabela.
2. Consegues encontrar alguma relao entre a altura do Sol e o ngulo registado? E entre a altura do Sol e
a sombra observada?
3. Tenta explicar por que que os tringulos [SGS1] e [OGS1] so iguais.
4. Por que que o ngulo dado pela sombra da hipotenusa do tringulo no quadrante , de facto, a altura do
Sol em graus?
O tringulo [SGS1] igual ao tringulo [OGS1]
O cateto [GS1] comum aos dois tringulos. Como o tringulo [OGS] um tringulo retngulo issceles, ento a
medida do cateto [OG] igual medida do cateto [SG]. Portanto, os tringulos retngulos [SGS1] e [OGS1] tm
catetos correspondentes de igual medida, logo a medida das suas hipotenusas tambm igual. Assim se conclui
que os dois tringulos so iguais.
O ngulo dado pela sombra da hipotenusa do tringulo da pea no quadrante a altura do Sol em graus.
38 | Explorao das unidades temticas
Note-se que, como os tringulos [SGS1] e [OGS1] so iguais, ento o ngulo SS1G igual ao ngulo OS1G.
Verifica-se tambm que os raios solares formam, com a tbua, um tringulo em que um dos vrtices coincide
com o ponto S1.
Da figura vem que os tringulos so semelhantes pois tm dois ngulos em comum (os ngulos reto e o a), em
que a a altura do Sol em graus. Da igualdade dos tringulos [SGS1] e [OGS1] tem-se que a o ngulo OS1G
que lido no quadrante, ou seja, o ngulo da sombra da hipotenusa da pea triangular do instrumento.
Razes trigonomtricas dos ngulos
O teorema a seguir enunciado aplica-se na deduo do valor exato das razes trigonomtricas dos ngulos acima
referidos.
Teorema: Sendo [AB] uma corda de um arco de circunferncia de raio R e o ngulo ao centro homlogo do
arco AB. Temos que
Demonstrao:
Seja um arco de circunferncia de centro O e representemos a circunferncia num sistema de eixos ortogonais,
cuja origem coincide com o centro da circunferncia.
Por definio,
Donde,
Desta igualdade podemos escrever
Vamos, de seguida, apresentar algumas aplicaes deste teorema.
UT2 - Trigonometria | 39
APLICAES
Caso I
[AB] o lado de hexgono regular inscrito numa circunferncia de raio R.
Neste caso
e
Ento,
Mas como o lado [AB] do hexgono igual ao raio, podemos concluir que
Donde
Conhecido Calculamos o valor do
;
Caso II
[AB] o lado de um quadrado inscrito numa circunferncia.
Neste caso,
E
Ento,
Mas como o lado [AB] do hexgono igual a
R2podemos concluir que
Donde
Assim, podemos determinar o valor das outras razoes trigonomtricas.
Caso III
[AB] o lado de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia.
Nesta caso0120=
E
40 | Explorao das unidades temticas
Ento,
Mas como o lado [AB] do hexgono e igual a
R3podemos concluir que
Donde
Assim, podemos determinar o valor das outras razes trigonomtricas.
Resoluo de Tringulos
Em qualquer tringulo podemos considerar seis elementos principais (os trs lados e os trs ngulos) e outros
elementos, as alturas, as medianas, o raio do crculo inscrito, etc.
A resoluo de um tringulo consiste em determinar, a partir das medidas dos elementos conhecidos, as medidas
dos restantes elementos. Uma das aplicaes das funes trigonomtricas a resoluo de tringulos.
De seguida sero apresentados alguns teoremas que nos permitem determinar os elementos principais num
tringulo.
Teorema: Num tringulo retngulo qualquer cateto igual ao produto da hipotenusa pelo seno do ngulo
oposto, ou pelo coseno do ngulo adjacente.
Demonstrao:
Considere-se um tringulo [ABC] retngulo em A. Por definio tem-se,
acBcos;
absenB ==
Donde
BcosacasenBb
==
Atendendo a que o angulo C complementar de B, podemos concluir que
sencBcosCcossenB
==
Assim as igualdades anteriores podem escrever-se
asenCcCcosab
==
UT2 - Trigonometria | 41
Teorema dos senos: Num tringulo, constante a razo entre cada lado e o seno do ngulo oposto.
Demonstrao:
Consideremos um tringulo [ABC] e seja R o raio do circulo inscrito ao tringulo.
Nestas condies, os lados a, b e c do tringulo so cordas do crculo.
Recorrendo ao teorema 1 podemos escrever
RsenC2cRsenB2bRsenA2a
===
Sendo A, B e C ngulos inscritos, medem metade dos ngulos ao centro correspondentes aos lados a, b e c.
As igualdades anteriores podem escrever-se na forma,
R2senC
c
R2senB
b
R2senA
a
=
=
=
Pela propriedade transitiva da igualdade, podemos escrever a relao,
senCc
senBb
senAa
==
Teorema dos cosenos (Carnot): Num tringulo o quadrado de um lado igual soma dos quadrados dos outros
dois, diminuda do dobro do produto destes lados pelo coseno do ngulo por eles formado.
Demonstrao:
Seja [ABC] um tringulo obliqungulo qualquer e designemos por CM a altura do tringulo referente ao vrtice C.
Dois casos podem acontecer: ou o ponto M pertence ao lado AB ou, pelo contrrio, exterior a esse lado.
No primeiro caso, por ser a oposto a um ngulo agudo, sabe-se que o quadrado do lado oposto a um ngulo
agudo de um tringulo igual soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto de um deles
pela projeo ortogonal do outro sobre ele. Ento teremos,
42 | Explorao das unidades temticas
E como o triangulo e retngulo [CMA] deduz-se
Conclui-se que
Acos.bc2cba 222 +=
No segundo caso, por ser a oposto a um ngulo obtuso, sabe-se que o quadrado do lado oposto a um ngulo
obtuso de um tringulo igual soma dos quadrados dos outros dois mais o dobro do produto de um deles pela
projeo ortogonal do outro sobre ele.
Ento teremos,
e como agora se tem
Conclui-se que
Abc2cba 222 cos.+=
Assim, em qualquer dos casos tem-se
Abc2cba 222 cos.+=
A igualdade anterior. Pode tambm escrever-se na forma
bc2acbA
222 +=cos
Permite calcular o ngulo A de um tringulo, desde que se conheam os seus trs lados.
De seguida so apresentadas possveis resolues de algumas das tarefas, do subtema 1 da unidade temtica de
trigonometria, do manual do aluno.
Resoluo da Tarefa 1
Os lados do tringulo tm medidas, 5, 7 e 9
Aplicando o teorema de Carnot, temos
C752759 222 cos.+=
Resoluo da Tarefa 6
Sabemos que,
Designemos
UT2 - Trigonometria | 43
Podemos escrever
Subtema 2: Relaes trigonomtricas
Contedos Metas de aprendizagem
Relaes trigonomtricas fundamentais: seno, cosseno,
tangente, cotangente
Frmula fundamental da trigonometria
ngulos associados
Razes de ngulos suplementares
Razes que diferem de radianos
Razes de ngulos simtricos
Reduo ao 1 quadrante
Razes de ngulos complementares
Equaes redutveis ao tipo: sen x = k ; cos x = k; tg x = k (k
constante)
O aluno:
Determina o valor de uma funo
trigonomtrica de um ngulo, dado o valor de
outra;
Resolve equaes trigonomtricas redutveis
a equaes dos tipos: sen x = k ; cos x = k; tg x
= k, (k constante);
Determina o valor de uma relao
trigonomtrica de um ngulo, dado o valor de
outra;
Resolve equaes redutveis a equaes dos
tipos:
sen x = k ; cos x = k; tg x = k (k constante).
Dizemos que dois ngulos e so ngulos associados quando as razes trigonomtricas de um deles so, em
valor absoluto, iguais s razes trigonomtricas homnimas (com o mesmo nome) do outro. Dado um ngulo
orientado, em posio normal, e que seja do primeiro quadrante existem mais trs ngulos (em de cada um dos
restantes quadrantes) que so associados do referido ngulo.
Reduo ao 1 Quadrante
1) xsenxsen = )(
2) xcos)xcos( =
3) xsen)x(sen =+
44 | Explorao das unidades temticas
4) xcos)xcos( =+
5) xsen)x(sen =
6) xcos)xcos( =
7) xcos)x2
(sen =
8) xsen)x2
cos( =
Frmulas trigonomtricas
=+ x,1xsenxcos 22 IRysenxcosycosxsen)yx(sen +=+
xcosysenycosxsen)yx(sen =
ysenxsenycosxcos)yx(cos =+
ysenxsenycosxcos)yx(cos +=
Periocidade
1) =+ k,xsen)k2x(sen
2) =+ k,xcos)k2xcos(
3)
Equaes trigonomtricas elementares
1)
A equao axsen =a
-No tem soluo se 1>a
-Uma infinidade de solues se 1a
2)
)(2coscos +== kkyxyx
A equao axcos =
-No tem soluo se 1>a
-Uma infinidade de solues se 1a
Exemplos
1. Calcular 0105sen .
Sendo,
Deduz-se
UT2 - Trigonometria | 45
2. Calcular .
Sendo,
Deduz-se
Resoluo da Tarefa 30
a)
+
=+
=
==
=+
k,2k4
x2k4
x)4
(senxsen22xsen
02xsen.2
b)
===
=+
k,360kx0cosxcos1xcos21xcos
00
c)
d)
e)
f) +=+== k,360k190180x360k190x190sensenx 00000
g) +====+ k,360k150x150cosxcos23xcos03xcos2 000
Recorrendo ao circulo trigonomtrico,
repara que
46 | Explorao das unidades temticas
Subtema 3: Funes circulares diretas. Generalidades
Contedos Metas de aprendizagem
Funes peridicas
Funes circulares dos ngulos notveis. Uso de tabelas
Definio das funes circulares:
y = sen x, y= cos x, y= tg x e y= cotg x
Representao grfica das funes circulares
Estudo intuitivo das propriedades das funes circulares.
Variao e monotonia
Modelao e trigonometria
O aluno:
Identifica funes circulares como modelos de
fenmenos peridicos do mundo real;
Representa graficamente as funes circulares;
Conhece propriedades grficas e analticas das
funes circulares;
Utiliza as funes circulares na modelao de
situaes reais.
O estudo de funes trigonomtricas, associando a cada amplitude de ngulo um nmero real, parte integrante
do estudo das funes peridicas.
O estudo da famlia de funes permite que os alunos compreendam propriedades de classes de funes. Por
exemplo, no estudo da famlia de funes do tipo f(x)=a sen x, com a um numero real diferente de zero, os alunos devero apresentar um esboo de uma representao grfica de cada uma das seguintes funes, definidas em
IR e em que x vem expresso em radianos:
f1 (x) = sen x
f2 (x) = 3sen x
f3 (x) = sen x
f4 (x) = - sen x
f5 (x) = -2 sen x
Devero ser apresentadas as seguintes representaes grficas:
UT2 - Trigonometria | 47
Nesta altura deve ser colocada a questo:
De que forma se pode obter o grfico de cada uma das funes custa do grfico da funo f1?
Atravs destas representaes grficas, poder-se- retirar as seguintes concluses:
48 | Explorao das unidades temticas
O grfico de f2 obtm-se do grfico de f1 atravs de uma dilatao vertical segundo o fator 3. O grfico de f3 obtm-se do grfico de f1 atravs de uma contrao vertical segundo o fator 2
1.
O grfico de f4 obtm-se do grfico de f1 atravs de uma simetria em relao ao eixo Ox.
O grfico de f2 obtm-se do grfico de f1 atravs de uma dilatao vertical segundo o fator 2, sofrendo, de seguida, uma simetria relativamente ao grfico da funo f6, definida por f6(x) = 2 sen x
Perante as representaes grficas e a tabela seguinte,
Funo Contradomnio Perodo positivo mnimo (radianos)f1 [ ]1,1 2f2 [ ]3,3 2f3 [ ]5,0;5,0 2f4 [ ]1,1 2f5 [ ]2,2 2
Poder-se- retirar concluses sobre a influncia do parmetro a no grfico das funes da famlia xsena)x(f = (com a real e diferente de zero) no que diz respeito ao seu contradomnio e perodo.
Vamos relembrar a definio de perodo:
Diz-se que uma funo f peridica e tem perodo P, quando existe uma constante P0 tal que:
Ao menor valor positivo P que verifica esta condio d-se o nome de perodo positivo mnimo.
Podemos, ento, concluir que as transformaes geomtricas, anteriores, provocam uma alterao no
contradomnio de cada uma das funes, em relao ao contradomnio da funo seno, no provocando
nenhuma alterao no perodo das funes.
Exemplo:
Qual o contradomnio da funo g, definida em IR por xsen3)x(g = ?
Como a funo seno est definida em IR e contnua, sabemos que:
3senx313senx3)1(31xsen1
Assim, o contradomnio da funo o intervalo [ ]3,3 .Vimos que as transformaes geomtricas envolvidas no alteram o perodo da funo em relao funo
seno. Vamos ento verificar se 2 radianos perodo desta funo:
Pela definio de perodo,
gDx),x(gsenx3)2x(sen3)2x(g ==+=+Logo, 2 radianos perodo desta funo.
UT2 - Trigonometria | 49
Em sntese:
Se compararmos o grfico de xsena)x(f = com o grfico de xsen)x(f1 = , o grfico de xsena)x(f = pode ser obtido custa do grfico de xsen)x(f1 = atravs de transformaes geomtricas. Vejamos:
Quando |a|>1, o grfico da funo sofre uma dilatao vertical;
Quando |a|
50 | Explorao das unidades temticas
De que forma se pode obter o grfico de cada uma das funes custa do grfico da funo 1f ?
Atravs das representaes grficas, poder-se- retirar as seguintes concluses:
O grfico de 2f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas )2,0(
O grfico de 3f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas )1,0( .
Perante estas representaes grficas, poder-se- retirar concluses sobre a influncia do parmetro b, elemento
do conjunto R, no grfico das funes da famlia senxb)x(f += , no que diz respeito ao seu contradomnio e perodo.
O contradomnio da funo 2f [ ]3,1 e o perodo 2 . O contradomnio da funo 3f [ ]0,2 e o perodo 2 .Estes exemplos ajudam os alunos a identificar que estas transformaes geomtricas provocam uma alterao
no contradomnio de cada uma das funes, em relao ao contradomnio da funo seno, no provocando
nenhuma alterao no perodo das funes.
Exemplo:
Qual o contradomnio da funo h definida em R por xsen3)x(h += ?
Como a funo seno est definida em IR e contnua, sabemos que:
4xsen3231xsen331
1xsen1
++++
Assim, o contradomnio da funo o intervalo [ ]4,2
Em sntese:
Se compararmos o grfico de xsenb)x(f += com o grfico de xsen)x(f1 = o grfico de xsenb)x(f += pode
UT2 - Trigonometria | 51
ser obtido custa do grfico de xsen)x(f1 = , atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas )b,0(
Vejamos de que forma o parmetro b influencia o contradomnio da funo:
Como a funo seno est definida em IR e contnua, sabemos que,
b1xsenbb11xsen1
+++
Logo, para qualquer valor real b xsenb)x(f += assume valores que variam entre b1+ e b1+ . O perodo da funo no alterado por este parmetro.
De seguida, far-se- o estudo da famlia de funes do tipo
Para isso, os alunos devero apresentar um esboo de uma representao grfica de cada uma das seguintes
funes, definidas em IR e em que x vem expresso em radianos:
xsen)x(f1 =
)2
x(sen)x(f2
+=
)2x(sen)x(f3 +=Sero apresentadas as seguintes representaes grficas:
52 | Explorao das unidades temticas
De que forma se pode obter o grfico de cada uma das funes custa do grfico da funo 1f ?
Atravs destas representaes grficas, poder-se- retirar as seguintes concluses:
O grfico de 2f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas
)0,2
( .
O grfico de 3f obtm-se do grfico de 1f atravs de translao segundo o vetor de coordenadas )0,2( .
Perante estas representaes grficas, poder-se- retirar concluses sobre a influncia do parmetro d no grfico
das funes da famlia , no que diz respeito ao seu contradomnio e perodo.
O contradomnio da funo 2f [ ]1,1 e o perodo 2 .
O contradomnio da funo 3f [ ]1,1 e o perodo 2 .
Em sntese:
Se compararmos o grfico de )dx(sen)x(f += com o grfico de xsen)x(f = , o grfico da primeira pode ser
obtido a partir do grfico de xsen)x(f = atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas (-d, 0).
Estas transformaes geomtricas no provocam nenhuma alterao no contradomnio, nem no perodo de
cada uma das funes, em relao funo seno.
De seguida far-se- o estudo da famlia de funes do tipo , c designa um nmero real diferente
de zero.
Para isso, os alunos devero apresentar um esboo de uma representao grfica de cada uma das seguintes
funes, definidas em R e em que x vem expresso em radianos:
xsen)x(f1 =
)x2(sen)x(f2 =
)x21(sen)x(f3 =
)x(sen)x(f4 =
Os alunos devero fazer as seguintes representaes grficas:
UT2 - Trigonometria | 53De que forma se pode obter o grfico de cada uma das funes custa do grfico da funo 1f ?
Atravs destas representaes grficas, poder-se- retirar as seguintes concluses:
54 | Explorao das unidades temticas
O grfico de 2f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma contrao horizontal segundo o fator 21
.
O grfico de 3f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma dilatao horizontal segundo o fator 2.
O grfico de 4f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma contrao horizontal segundo o fator 1
, sofrendo,
de seguida, uma simetria em relao ao eixo Oy, relativamente funo 5f , definida por )x(sen)x(f5 = .
Poder-se- retirar concluses sobre a influncia do parmetro c no grfico das funes da famlia
no que diz respeito ao seu contradomnio e perodo.
O contradomnio de todas as funes [ ]1,1 . Podemos, ento, concluir que estas transformaes geomtricas no provocam uma alterao no
contradomnio de cada uma das funes, em relao ao contradomnio da funo seno.
Vamos ver qual o perodo positivo mnimo de cada uma das funes apresentadas:
No caso da funo 1f , definida por xsen)x(f1 = , o perodo positivo mnimo 2 radianos.
No caso da funo 2f , definida por )x2(sen)x(f2 = o perodo positivo mnimo radianos.
No caso da funo 3f , definida por )2x(sen)x(f3 = o perodo positivo mnimo 4 radianos.
No caso da funo 4f , definida por )x(sen)x(f4 = o perodo positivo mnimo 2 radianos.
Em sntese:
Podemos ainda perceber, se compararmos o grfico de com o grfico de xsen)x(f1 = , o
grfico de pode ser obtido custa do grfico de xsen)x(f1 = , atravs de uma contrao
horizontal (se 1>c ) ou atravs de uma dilatao horizontal (se 1
UT2 - Trigonometria | 55
O perodo positivo mnimo )radianos(4
21
2=
.
Vamos considerar a funo 4f definida por )x(sen)x(f4 = .
O perodo positivo mnimo )radianos(22 =
.
Estudo semelhante pode ser feito para a funo coseno.
Resoluo da Tarefa 4
a) O domnio e o conjunto dos nmeros reais;
Relativamente ao contradomnio, sabemos que
1xsen1 Ento
1)32x(sen1
5)32x(sen55
Donde, o contradomnio e o conjunto,
[ ]5,5
b) O perodo positivo mnimo igual a c
2, com c 0
Neste caso 21c = ,
Donde o perodo positivo mnimo toma o valor )radianos(4
21
2=
.
c) Toma valor mximo 5 e valor mnimo -5.
d) Zeros:
+=
+==+==
===
k,64kx
k,32k2xk,2k3
2xk,2k03
2x2k3
2x
0sen)32x(sen0)3
2x(sen0)3
2x(sen5
O conjunto dos zeros,
{ }+= k,64kx:xA representao grfica pedida ser feita tendo por base, as propriedades referidas nas alneas anteriores e o
grfico da funo xsen)x(f =
Unidade Temtica 3 | Funes e limites
56 | Explorao das unidades temticas
Nesta unidade temtica, os alunos alargam o seu conceito de funo real de varivel real s funes de
crescimento (exponenciais e logartmicas), tomando contacto com algumas das suas propriedades grficas e
analticas, de modo a ficarem capazes de escolher, para cada situao concreta, um modelo mais adequado.
Com a introduo ao clculo infinitesimal caracteriza-se o limite de uma sucesso natural e define-se limite de
uma funo num ponto para que o aluno possa fazer a interpretao grfica e analtica do conceito de limite e da
continuidade de uma funo em qualquer ponto de acumulao do seu domnio, alm de relacionar o conceito
de continuidade com a convergncia de sucesses e as funes limitadas.
Subtema 1: Funes exponenciais e Logartmicas.
Contedos Metas de aprendizagem
Introduo ao estudo da funo
exponencial. Propriedades
Funo exponencial de base e
Noo de logaritmo de um nmero
Propriedades operatrias dos logaritmos
Funo logartmica de base superior a
um. Propriedades
Equaes e inequaes exponenciais e
logartmicas
Aplicaes das funes exponenciais e
logartmicas
O aluno:
Reconhece as propriedades grficas e analticas das funes
exponenciais e logartmicas;
Aplica as transformaes dos grficos de funes a funes
exponenciais e logartmicas;
Aplica as propriedades operatrias dos logaritmos;
Resolve equaes exponenciais e logartmicas;
Resolve inequaes exponenciais e logartmicas;
Define a funo inversa de uma funo exponencial ou logartmica;
Resolve problemas em contexto real usando funes exponenciais
ou funes logartmicas. em pontos finitos ou infinitos.
O nmero de funes reais de varivel real, distintas, claramente ilimitado. No entanto, importa que os alunos
reconheam a sua variedade e que as consigam classificar em algumas categorias para que as possam estudar
grfica e analiticamente.
Em unidades temticas anteriores, o aluno comeou por abordar algumas das principiais funes algbricas,
designadamente:
1. Funes polinomiais de domnio IR e definidas por polinmios de grau 1, 2 e 3.
2. Funes racionais, expressas por quocientes de polinmios e cujo domnio o conjunto de nmeros reais
tais que no anulam os denominadores.
3. Funes irracionais, definidas por expresses algbricas com pelo menos um radical e cujo domnio o
conjunto de nmeros reais para os quais a expresso algbrica tem significado.
4. Funes transcendentes. As funes transcendentes que iremos estudar nesta unidade temtica so as
funes exponenciais e logartmicas.
UT3 - Funes e limites | 57
A abordagem do conceito de logaritmo deve ser iniciada numericamente com casos de potncias que os
alunos dominem com segurana, nomeadamente as de base 10. S posteriormente se deve definir a funo
logartmica como funo inversa da funo exponencial. As condies a resolver devem permitir aprofundar
o conceito de logaritmo e o domnio de propriedades da funo logartmica, nomeadamente a monotonia e
a variao de crescimento (base>1) ou, de decrescimento (base
58 | Nome da Unidade temtica
6. m
n mna a=
Seja a potncia de expoente fracionrio 1na . Dados dois nmeros naturais a e n sempre possvel obter um real
nr a= , que se designa por raiz n-sima e nica de a. Ento, segue pela propriedade 2, que 1
1( ) = = =n
nn na a a a ,
donde tem sentido escrever que 1
nna a= .
Seja a potncia de expoente real 2a . O expoente um irracional e, portanto, no se pode escrever em
forma de razo. Qual , ento, o significado de 2a ?
Lembrar aos alunos, neste caso, que todo nmero irracional pode ser aproximado, de forma arbitrria, por
nmeros racionais. Esta aproximao arbitrria a que nos referimos pode ser ilustrada por , cujas aproximaes
racionais com 1,2,3, casas decimais so, respetivamente;
Ento 2a admite as seguintes aproximaes 1 1,4 1, 41 1, 414 2 ,a a a a a a , , , , . .. , generalizando o conceito para potncias de expoente real, com a manuteno das regras operatrias elementares.
Funo exponencial
A funo exponencial e a funo logartmica so funes no algbricas (transcendentes) que se associam
modelao de fenmenos de crescimento ou decrescimento rpido, como por exemplo, na projees dos efeitos
de um terramoto, na evoluo de uma praga ou no crescimento de uma populao ou ainda, na avaliao de
investimentos e aplicaes financeiras, no clculo do processo de desintegrao radioativa, etc.
Exemplo 1: No clculo de juros compostos, se num investimento de P dlares a uma taxa de juros anual r e os
juros forem capitalizados k vezes por ano, o saldo s(t) aps t anos ser ( ) (1 ) .ktrs t P dlaresk
= + Supondo que so
aplicados 1000 dlares a uma taxa de juros anual de 6%, O saldo aps 10 anos aps capitalizao dos juros
mensalmente dado por
( ) 1200,0610 1000(1 ) 1819,4 ( ).12
s dlares= + =
Note que o saldo s(t) relativo a uma determinada quantia P, com um taxa de juros anual r e capitalizao de juros
continuamente, pode ser modelado em funo do tempo t pela exponencial natural) por ( ) rts t Pe= , em que a base a constante de Euler .
Generalizando: Uma quantidade ( )Q t que obedece ao modelo ( ) 0 ktQ t Q e= , apresenta um crescimento exponencial (se 0 e Q k so constantes positivas) ou um decrescimento exponencial (se k uma constante negativa).
Resoluo da Tarefa 9:
1. Representao grfica,
UT3 - Funes e limites | 59
2.
t
(horas)
y
(n bactrias)
0 500=500 x 20
1 1000=500 x 21
2 2000= 500 x 22
3 4000= 500 x 23
4 8000= 500 x 24
De acordo com os dados, a situao
pode ser modelada pela expresso
exponencial: 500 2 , 0ty t=
3. Segundo o modelo, para 10t = , 10500 2 512000y = =
4. Quando 128000y = . Ou seja, 500 2 128000 2 256 8t t t = = =
Equaes exponenciais
Uma equao exponencial caracteriza-se pela presena da varivel no expoente.
Exerccio resolvido: Resolver em IR cada uma das seguintes equaes:
a) 2 32 x =
b) 2 45 125 x + =
c) 13 3 4 0 x x ++ =
Em qualquer caso, utilizaremos a propriedade da injetividade da funo exponencial (se, 1 2 1 2 ento )x xa a x x= =
para a resoluo das equaes. Assim:
a) 2 32 x = . Nota que 532 2= , Logo, 52 2 x = e , ento 5x = .
b) 2 24 4 35 125 5 5x x + += = . Ento, 2 4 3x + = . Resolvendo a equao de 2 grau, obtemos 1 1x x= = .
c) 1 3 3 4 0x x ++ = . A equao equivalente a 233 4 0 (3 ) 3 4 3 0
3x x x
x+ = + = .
Usamos o artifcio de clculo que consiste na substituio 3xy= , donde 2 3 4 0y y+ = .
Resolvendo esta equao de 2 grau, temos 4 16 12 3 1
2y y y = = = . Repondo a substituio tem
3 3 3 1.x x= = Portanto as solues so 1 0x x= = .
Inequaes exponenciais:
Tal como as equaes exponenciais, uma inequao exponencial caracteriza-se pela presena da varivel no
expoente. Considere, por exemplo, a seguinte inequao: 52 2x > . Tendo o prvio conhecimento de que a funo
correspondente ( ) 2xf x = estritamente crescente, temos que o conjunto de nmeros reais x, tais que 5x> soluo da inequao.
60 | Explorao das unidades temticas
Exerccio resolvido: Resolver a inequao: 1 1 114 4 44
x x x ++ > .
Para resolver uma inequao exponencial, comeamos por reduzir os dois membros da inequao a potncias
de mesma base e de seguida, aplicar a propriedade de variao de crescimento (ou de decrescimento) da
funo exponencial. No caso do exemplo, a inequao pode ser escrita da seguinte forma: 4 11 4 4 44 4
xx x+ >
Multiplicando ambos os membros por 4, temos 4 4 4 1 6 4 11x x x+ > e colocando no 1 membro o fator
comum em evidncia, vem 4 (1 4 16) 11x + > , O que equivale a 11 4 11x > , ou seja 4 1x < ; como 04 1= ,
conclumos que a soluo da inequao 0x < .
Logaritmo de um nmero natural
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemtico escocs John Napier (1550-1617) e aperfeioado pelo
ingls Henry Briggs (1561-1630). No se sabe ao certo quanto tempo Napier trabalhou a ideia de logaritmo
antes da publicao em 1614 de um volume incluindo texto e tabelas intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis
Descriptio (Descrio da Admirvel Tabela de Logaritmos).
Definio: Dados dois nmeros reais a e b, com , 0, 1a b a> , definimos o logaritmo de a na base b como
o nmero x tal que xa b= , e o representamos por logbx a= .
O nmero b chamado a base do logaritmo, enquanto o nmero a o logaritmando.
Exemplo: Como sabemos que 24 16= , onde 4 a base, 2 o expoente e 16 a potncia, na linguagem dos
logaritmos, diremos que 2 o logaritmo de 16 na base 4.
Nestas condies, escrevemos 4log 16 2= .
Note que os logaritmos decimais (base 10) normalmente so nmeros decimais onde a parte inteira denominada
caracterstica e a parte decimal denominada mantissa.
Exemplo: Sendo log 20 1,3010= , dizemos que 1 a caracterstica e 0,3010 a mantissa. As mantissas dos
logaritmos decimais so tabeladas. Consultando uma tabela (ou tbua) de logaritmos, podemos verificar, por
exemplo, que log45 1,6532= ou concluir, pela definio de logaritmo, que =1,653210 45 .
Logaritmo Neperiano ou Natural
O sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier) tem por base a constante de Euler
que o nmero irracional . Indicamos este logaritmo pelo smbolo ln . Assim, log ln e x x= .
UT3 - Funes e limites | 61
Exemplo: ln 1e = ; ln 7 log 7e=
Da definio de logaritmo de um nmero positivo, e do que sabemos sobre potncias, decorrem de imediato as
seguintes propriedades operatrias dos logaritmos:
P1) Se > 0a , ento log 1 0a = porque 0a = 1.
Ou seja, o logaritmo da unidade em qualquer base nulo.
P2) Se > 0a , ento log 1a a = , porque =1 a a .
Ou seja, o logaritmo do valor da base sempre igual a 1.
P3) Se 0a > , ento log pa a p= , porque ,p pa a p IR= .
P4) Se , 0a x > , loga xa x= porque log , a x y x y IR= = .
P5) Logaritmo de um produto: Se , , 0a x y > , ento log ( ) log loga a ax y x y = + .
Ou seja, o logaritmo de um produto igual a soma dos logaritmos dos fatores.
log log log log x y x ya a a ax y a a x y a + = = ento, log ( ) log loga a ax y x y = + .
Exemplo: log 20 log(2 10) log 2 log10 0,3010 1 1,3010= = + = + =
P6) Logaritmo de um quociente: Se , , 0a x y > , ento log ( ) log loga a ax x yy= .
Ou seja, o logaritmo de um quociente igual diferena dos logaritmos dos fatores numerador e denominador.
loglog log
log xa x ya aya
x a ay a
= = e ento, log ( ) log loga a ax x yy= .
Exemplo:
2log0,02 log( ) log 2 log100 0,3010 2 1,6990100
= = = = .
P7) Logaritmo de uma potncia: Se , 0, a x p IR> , ento log .logpa ax p x= .
( . . ..log log log log log l g. o) .pa a a a a ap fatores p vezes
x x xx x x x p xx= = + + =
.
Note que 1 1log log ( ) .logn na a ax x xn
= =
Exemplo: 6 25 5 5 5log 25 6 log 25 6 log 5 6 2 log 5 1 2 = = = =
P8) o cologaritmo de x de base a o logaritmo do inverso multiplicativo de x, na base a.
Se , 0a x > ento, 1log log ( ) log 1 log 0 log loga a a a a ax x x xx
= = = =co .
Exemplo: colog10 log10 1.= =
P9) Mudana de base: Se , , 0a b x > ento, logloglog
ba
b
xxa
= .
Exemplo: log 16log 16 2log 4 2
= = = , 5255
log 125 3log 125 log 25 2
= =
62 | Explorao das unidades temticas
Consequncias:
1log
log=a
bb
a
logloglog
=axxa (usando a base decimal)
lnlogln
=axxa
(usando a base neperiana ou natural)
Exerccio resolvido:
Escrever a expresso 2log 3ln 2 ln 2ln 55x x ye e + + , sem usar logaritmos.
= 2lnln 2 23
xx ye e + + 2
129
x xy
= + + com 0, 0x y> > .
Funo logartmica
Tendo em conta que a funo exponencial, definida por xy a= ( 0 1)a e a> injetiva, logo, invertvel, a sua
inversa designada de funo logartmica de base a e escrevemos log yay x x a= = , onde 1}\{a IR+ .
Inversa de uma funo
Duas funes f e dizem-se inversas se verificarem as seguintes condies:
A imagem f est contida no domnio de 1f . Ou seja, 1( )Im Df Df
A imagem de 1f est contida no domnio de f . Ou seja, 1( )Im Df Df
Para qualquer 1 1 , ( )( ) ( )( ) .x Df f o f x f o f x x = =
Exemplo:
As funes definidas por ( ) f x x= e 2 ( ) g x x= so inversas uma da outra se 0x .
Observaes:
f invertvel se e somente se uma funo injetiva.
Se f invertvel ento 1 f invertvel e 1 1( )f f = .
Geometricamente, verificamos que duas funes so inversas quando
o grfico de uma o simtrico do grfico da outra, relativamente
reta de equao y x= .
UT3 - Funes e limites | 63
Mtodo algbrico para determinar 1f :
1. Escrever a equao ( )y f x= .
2. Resolver a equao em ordem a x, para obter 1 ( )x f y= .
3. Permutar x por y na equao obtida no passo anterior.
Exemplo 1: A inversa de uma funo afim (no constante) uma funo afim.
Se ( ) f x y mx b= = + , ento 1 1( ) ( )x f y y bm
= = . Permutando x com y, temos 11( ) ( )y f x x bm
= = .
Exemplo 2: Calcular a inversa de uma funo potncia de expoente natural.
Seja ( ) , .nf x x n IN= Sabemos que se n par a funo par e se n impar a funo impar. f invertvel apenas para 0x , se n par e para todo x se n impar. A funo inversa, em ambos os casos, definida por
( )1 nx f y y= = . Permutando as variveis, temos que ( )1 nf x x = .
Resoluo da Tarefa 7:
a ) 0, xe x IR , 0 1 1 0 0 1 1x x xx e e e < < < , donde . Seja a imagem da funo
dada por 1 ,xy e x Df= . Ou seja,
1 . 1 ln(1 ) 1 0 0x xy e e y x y y y = = = >
b ) 4{ : 4 - 3 >0}=] , [3
Dg x IR x= e CDg IR= . As imagens da funo so dadas por:
24 4 4 2 4log (4 3 ) 4 3 2 3 4 23 3 3 3
yy yy x x x x x x x= = < = < = < .
c ) 1{ : 1+2 >0}= ] , [2
Dh x IR x= + e CDh IR= , As imagens da funo so dadas por:
44 1 1 14 ln(1 2 ) ln(1 2 ) 4 1 2
2 2 2
yy ey x x y x e x x x
= + + = + = > = >
Resoluo da Tarefa 10:
a ) A rea da mancha de crude dada por: 0,1( ) 16 , [0,24].tA t e t=
( ) 0,1 24 224 16 176,37 A e km=
b ) 0,1( 1)
0,10,1
( 1) 16( ) 16
t
tA t e e
A t e
++= =
(constante).
c ) .
Soluo: A mancha de crude atinge a costa aproximadamente passadas 5 horas e 34 minutos do dia seguinte ao
acidente.
64 | Explorao das unidades temticas
Equaes logartmicas
Como na exponencial, utilizaremos aqui tanto a definio quanto as propriedades operacionais de logaritmos
para resolver equaes. Em alguns casos, a aplicao da definio o bastante para fornecer-nos a soluo.
Exerccio resolvido: Resolver em IR , as seguintes equaes:
a) 6log 2 2x= ;
b) log (6 5 ) 2x x = ;
c) 5 5log log (2 1) 1 x x =
Na alnea a) suficiente escrever que, por definio, . E, ento obtemos 18x = .
Na alnea b), temos que 2log (6 5 ) 2 6 5x x x x = = , donde2 5 6 0x x+ = ,cujas solues reais so 1 1 x = e
2 6x = . Atente que as solues obtidas so razes de uma equao de 2 grau, mas que aplicadas equao
logartmica devem satisfazer condio do domnio de validade, ou seja: 0 6 5 0x x> > . Por conseguinte, apenas a soluo positiva 1 1 x = serve condio de existncia da equao.
Na alnea c), as condies de existncia implicam que 0 2 1 0 x e x> > e, portanto o domnio de validade da condio 1] , [
2+ . A diferena de logaritmos de mesma base traduz a propriedade do logaritmo do quociente.
Aplicando: 5 5 5log log (2 1) 1 log 12 1xx x
x = =
. Ou seja, 5 5log log 52 1
xx
=
que equivale condio que
152 1 2
x xx
= >
. Desenvolvendo a igualdade, obtemos uma equao do primeiro grau, cuja soluo 5 9
x = .
Inequaes logartmicas
Resolver uma inequao logartmica observa os mesmos mtodos e critrios da resoluo de equaes
logartmicas. Tambm, neste caso, convm estabelecer previamente as condies de existncia ou, o domnio de
validade, da expresso.
Exerccio resolvido: Resolver em IR, as seguintes inequaes:
a) 2log 4 3x <
b) 3 9log ( 1 ) log ( 1 ) 1 x x
Na alnea a), observamos que o logaritmando deve satisfazer a condio 4 0,x > donde 0x > . Quanto resoluo
da inequao, temos que 32 2 2log 4 3 log 4 log 2x x< < .
Observe que escrevemos o segundo membro como um logaritmo na base 2. E sendo esta base maior que 1,
temos que a funo correspondente estritamente crescente e, portanto, 3 32 2log 4 log 2 4 2 0x x x< ,
cuja soluo so os valores de 2.x , donde obtemos 1x > . Resolvendo a inequao, percebemos a impossibilidade de aplicar diretamente a definio. Recorrendo, porm, s propriedades que
examinamos acima, podemos reescrever a inequao
UT3 - Funes e limites | 65
( ) ( )3 31log 1 log 1 1 2
x x
31(1 ) log ( 1) 12
x
( )31log 1 / 2
1
x
( )3log 1 2x 21 3 1x x > 10 1x x > , ento a soluo da inequao logartmica dada pelos valores de x
pertencentes ao intervalo real ] ] 1, 10 .S =Exerccio resolvido: Usando a definio e propriedades dos logaritmos, resolva cada uma das seguintes questes:
1. Se ( ) lnf x x= , determine e simplifique a expresso: ( ) ( )33 .f e f e+2. Escreva como um nico logaritmo
1ln 2 ln163
.
3. Caracterize a funo inversa da funo definida, em IR, por ( ) 3 1 2.xf x e = +
4. Determine, em IR, o domnio da funo ( ) ln(ln ))f x x= .
5. Caracterize a inversa da funo definida, em IR, por ( ) 81 (6581)xf x = .Soluo:
1. ( ) ( )1
3 33 3 3 1 10ln( ) ln( ) ln 3ln 33 3
f e f e e e e e+ = + = + = + =
2. 41 1 4 1ln 2 ln16 ln 2 ln 2 (1 ) ln 2 ln 23 3 3 3
= = =
3. [ [1 1; 2,Df IR CDf CDf Df = = = + = , porque 3 1 2, xe x > IR. Por outro lado,
Seja 3 1 3 1 13 1 ln 2 (ln 2 12 )23
x x x y x yy e y e = + = = = + .
Caracterizando a funo inversa:
[ [1 : 2,f IR + e 1 1( ) (ln 2 1)3
f x x = + .
4. { : ln 0 0}Df x IR x x= > > . Ou seja, ln 0 1x x> > .
Ento [1, [Df = + e o grfico,
5. Fazendo 8 481 (6581) 3x xy y += = e aplicando os logaritmos de base 3 a ambos os membros da igualdade,
obtemos: 33
38 4
3 log (3 )log 40 e log log 8 4
8x yy y y x x+= > = + = . Ento,
1 :f IR IR + , tal que 1 3log 4( )
8xf x = .
Resoluo da Tarefa 8:
a) 5 1 2 32e 0 5 1 2 33
x xe x x x+ + = + = + =
b) 1 3 65 5 5 1 3 62
x x x x x + += + = + =
c) x9 3 729 3 81 4x x = = =
d) 22 1 2 4 2 0 4 1 5x x x = = = , fazendo xy e= , temos que:
2 4 3 0 3 1.y y y y + = = = Ento, 3 3 3 1 1 0x x x x= = = =
66 | Explorao das unidades temticas
e) 2 2 4 312 4 8 2 2 2 2 4 33
x x x x x x x+ + = = + + = =
f) 72 3 4 6 63ln 2ln 6 0x x x x e x x e+ = = > =
g) ( )3 2 22 5 2 4 2 0 2 2 5 4 2 0x x x x x x + = + = 22 0 4 5 4 4 0 4 4 4 1 1 0x x x x x x x = + = = = = =
h)
i)
j)
k)
l)
m) ( ) 21 12 2
2log (1 ) log 2 (1 ) 2 ( 1 2)x x x x x x + + < >
3 13 3 13 ( 1 2)
2 2x x x x + < >
Resoluo da Tarefa 11:
a) As dimenses mdias, no momento em que as rvores so plantadas, corresponde ao valor do modelo para
0t = . Ou seja, altura de 5(0) 1,5 log (0 1) 1,5h = + + = (metros) e 0,08 0(0) 0,2 2 0,2d = = (metros) de dimetro.
b) 373,5 1,5 log ( 1) 1 1,333
t t= + + = + e ( ) 0,08 1,331,33 0,2 2 0,22 xd metros= .
c) 0,08 2log (2,5)0,5 0,2 2 16,52
0,08t t= =
e ( ) ( )316,52 1,5 log 16,52 1 4,11h metros= + +
Resoluo da Tarefa 12:
12.1. a) Por inverso, temos: 310 10log 3 3 log 10MM A M A A= + = = .
b) 10log 10 3 1 3 4M M= + = + = . Ou seja, uma Magnitude de 4, na escala fornecida.
c) 6 310 1000 mmA = = .
12.2. a) ( )152 (log 2.1 10 11,4 10,2 3M = . b) ( ) 0,4426,9 (log E 11,4 E 11,4 10 14,15 ergs
3= = + .
Funo Logstica
Na natureza, os crescimentos ou decrescimentos no acontecem por tempo ilimitado. No estudo da propagao
de sismos ou de epidemias, na evoluo de doenas infeciosas e vrus ou, na disseminao de boatos ou notcias
ou, na observao dos nveis de natalidade de uma populao humana, so exemplos de que nem sempre os
UT3 - Funes e limites | 67
modelos de crescimento exponencial e logartmico se ajustam adequadamente situao.
Os motivos so variados, tais como, fatores sociais, econmicos ou por insuficincia alimentar ou de espao.
Observamos que de um modo geral, a populao em estudo ten