Matemática 2

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SEE-AC Coordenao de Ensino Mdio MAT Matemtica 165

*MDULO 1*

Geometria

Avano lento e gradual

A geometria uma das reas mais antigas no campo

da matemtica: sua origem remonta a muitos sculos

antes de Cristo. Os historiadores dizem que ela surgiu no

Egito. Quando o rio Nilo enchia, na vazante, e apagava

as delimitaes dos terrenos dos egpcios, era preciso

recorrer aos conhecimentos geomtricos para recalcular

e redistribuir tudo. Para calcular a forma da Terra e a

distncia dos planetas e das estrelas, era a geometria

que socorria os estudiosos.

Na histria da matemtica, os gregos da Antiguidade

se destacam por ter inventado a maneira como a

matemtica moderna levada a cabo: por meio de

axiomas, provas, teoremas, mais provas, mais teoremas,

e assim por diante, escreve o fsico e estatstico norte-

-americano Leonard Mlodinow. Diversos dos grandes

formuladores das teorias da probabilidade, cujo trabalho

apresentado no livro O Andar do Bbado, de Mlodinow, comearam a carreira como gemetras (especialista em

geometria).

A humanidade passou quase 2.000 anos para

transformar esses entes geomtricos em frmulas

matemticas, o que s foi possvel em meados de 1600,

com o amadurecimento da lgebra. Com isso, tornou-se

possvel descrever e efetuar clculos das formas planas,

como quadrados, tringulos e crculos por meio de

smbolos matemticos como as letras que utilizamos hoje

em dia.

Os gregos, gnios da geometria, criaram um

pequeno conjunto de axiomas, verdades matemticas

aceitas sem contestao, e avanaram a partir da,

provando muitos teoremas elegantes que detalhavam as

propriedades das retas, planos, tringulos e outras

formas geomtricas, diz Mlodinow. A partir desse conhecimento, conseguiram discernir, por exemplo, que

a Terra tem a forma de uma esfera e chegaram at a

calcular seu raio.

Plato, um dos patriarcas da filosofia, criou a

Academia. Ali, durante 15 anos, seus pupilos

comeavam estudando a matemtica e a geometria para,

ao final, estudar a arte de esgrimir argumentos, a

dialtica. Na poca, estava sendo desenvolvido o estudo

dos tomos, mas ainda se acreditava que o mundo era

feito de apenas quatro elementos terra, fogo, ar e gua.

Plato props que os tomos desses elementos tinham a

forma de slidos especficos: tetraedros (4 faces) para o

fogo, hexaedros (6 faces) para a terra, octaedros (8

faces) para o ar e dodecaedros (12 faces) para a gua.

Para Teeteto, colaborador de Plato, o universo estaria

envolvido por um gigantesco icosaedro (20 faces). Tanto

os slidos geomtricos quanto as figuras planas seriam

formados por elementos ainda mais primitivos, como o

ponto, a reta e o plano.

Euclides sintetizou grande parte dos conhecimentos

geomtricos em seus 13 livros, chamados de Elementos,

elaborados por volta do terceiro sculo antes de Cristo.

Seus textos utilizam axiomas, ou seja, afirmaes que

no exigem provas para que se considerem verdadeiras.

Todas as proposies e os teoremas so provados com

as definies j demonstradas anteriormente. O ponto, a

reta e o plano so os elementos que constituem o incio

da construo do sistema axiomtico de Euclides, da

serem considerados conceitos geomtricos primitivos. No

sculo XVII, o francs Ren Descartes sofisticou a noo

de ponto ao propor, no plano cartesiano, o ponto como

um par ordenado de coordenadas (x, y), dando incio

geometria analtica.

Foi a partir dessas ideias bsicas, inicialmente no

muito mais sofisticadas do que o que se aprende hoje

nos ensinos fundamental e mdio, que comearam a se

desenvolver a arquitetura, o planejamento urbano, a

astronomia e vrias outras cincias.

REPRODUO

Diagramas do livro Elementos, do matemtico grego Euclides

A geometria uma das reas mais antigas da

matemtica. Durante sculos foi considerada uma

espcie de rainha dessa cincia por ter utilidade

eminentemente prtica, como para medir terrenos,

alturas e distncias.

O ponto, a reta e o plano so os conceitos

geomtricos primitivos. Essas e outras noes

fundamentais da geometria foram sintetizadas pelo

matemtico Euclides, no terceiro sculo antes de

Cristo, por meio de axiomas verdades matemticas

aceitas sem contestao.

A geometria analtica, disciplina que une geometria e

lgebra, teve forte influncia do francs Ren

Descartes, que props localizar pontos no plano

usando um sistema de coordenadas e, a partir

disso, calcular suas distncias e outras relaes. No

plano bidimensional , podemos representar

figuras planas; usando um sistema de trs eixos

, podemos representar objetos tridimensionais

e localizar pontos no espao.

O sistema de coordenadas geogrficas foi muito til

para o desenvolvimento de aparelhos de localizao,

como o GPS (Global Positioning System), que vem

se tornando cada vez mais popular com as

tecnologias de comunicao mvel.

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********** ATIVIDADES 1 **********

Texto para as questes 1 e 2.

Por todos os lados

As formas esto nos objetos domsticos mais simples, assim como nas sofisticadas animaes em 3D

Formas e medidas nos cercam por toda parte.

Lidamos com elas para decorar o quarto, atravessar a

rua ou at mesmo organizar a comida no prato. Em

particular, os produtores de desenhos animados

trabalham muito bem com elas.

Em Up Altas Aventuras, da produtora Pixar, o

vendedor de bales aposentado Carl Fredricksen

fascinado por voar desde a infncia e sonha em um dia

explorar o Paraso das Cachoeiras, desbravado por seu

heri Charles Muntz. O filme ganhou em 2010 o Oscar de

melhor animao e o de melhor trilha sonora.

DIVULGAO

Sem a matemtica, no teramos esses ambientes e personagens visualmente ricos, disse o cientista da computao Tony DeRose, da Pixar, a produtora do filme Up

Durante toda a vida, Fredricksen cercou-se de objetos

geomtricos, desde os bales com que trabalhava e

que ajudaram sua casa a levantar voo at um pequeno

distintivo feito com uma tampinha de refrigerante, que

ganhou de presente de sua falecida mulher, Ellie.

Muitas dessas formas podem ser matematizadas ou

seja, transformadas em sentenas matemticas para que

os computadores grficos das produtoras consigam

transformar essas sentenas em desenhos. Sem a

matemtica, no teramos esses ambientes e

personagens visualmente ricos, disse o cientista da

computao Tony DeRose, da Pixar, revista Science

Daily.

Para dar vida a filmes como Up, a Pixar criou um

software especial, chamado RenderMan. O programa

identifica as formas geomtricas de cada imagem e as

processa para transform-las em um tipo de desenho

que d sensao de profundidade, como se v na vida

real.

Em 2007, a produtora dispunha de 100

supercomputadores para dar animao s imagens.

Transformar matematicamente cada segundo de

animao ou 24 imagens toma seis dias em um computador. Na cena do desenho animado desta pgina,

h vrios elementos grficos que podem ser

representados por uma equao. Repare, por exemplo,

na corda que prende o menino Russell corda puxada

por Fredricksen. A corda esticada tem a forma de uma

reta, que pode ser representada pela equao

. J o nariz de Fredricksen poderia ter seu

volume calculado pela frmula , pois

semelhante a uma esfera. Com a ajuda da computao

grfica, essas frmulas viram desenhos que divertem

multides de espectadores.

O software RenderMan identifica e depois modela cada uma das formas geomtricas em imagens, e as transforma para que ganhem sensao de profundidade

Superinteressante, So Paulo, dez. 2010.

.1. (AED-SP)

O que significa matematizar uma forma?

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.2. (AED-SP)

Qual a funo do software RenderMan?

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.3. (UNESP)

Considere as seguintes proposies:

todo quadrado um losango;

todo quadrado um retngulo;

todo retngulo um paralelogramo;

todo tringulo equiltero issceles.

Pode-se afirmar:

(A) s uma verdadeira.

(B) todas so verdadeiras.

(C) s uma falsa.

(D) duas so verdadeiras e duas so falsas.

(E) todas so falsas.

.4. (UNESP)

Se um plano e uma reta no perpendicular a ,

ento:

(A) no existe um plano passando por perpendicular a

.

(B) existem, no mnimo, dois planos passando por e

perpendiculares a .

(C) existe um e s um plano passando por e

perpendicular a .

(D) existe uma infinidade de planos passando por e

perpendiculares a .

(E) todo plano passando por no perpendicular a .

.5. (FATEC-SP, adaptada)

A reta um dos conceitos primitivos da geometria. A

partir desses conceitos, pode-se construir todos os outros

elementos da geometria.

correto afirmar que:

(A) por trs pontos no colineares passa uma nica reta.

(B) quando traamos uma reta, sabemos onde ela inicia

e onde ela termina.

(C) por um nico ponto passa uma nica reta.

(D) por dois pontos passam duas retas distintas.

(E) entre dois pontos distintos de uma reta existem

infinitos pontos.

.6. (FUVEST-SP)

Os entes geomtricos esto em tudo que nos cerca. Da

talvez a origem da famosa frase atribuda a Pitgoras:

Tudo so nmeros. Se pensarmos em uma avenida, em

uma rua, no pneu de um carro e no telhado de uma casa,

estamos nos referindo nessa ordem, abstratamente, aos

conceitos matemticos de:

(A) retas paralelas, reta, circunferncia e tringulo.

(B) retas concorrentes, ponto, crculo e quadrado.

(C) retas paralelas, ponto, circunferncia e tringulo.

(D) retas concorrentes, reta, circunferncia e tringulo.

(E) retas paralelas, reta, crculo e quadrado.

.7. (ENEM-MEC)

Assim como na relao entre o perfil de um corte de um

torno e a pea torneada, slidos de revoluo resultam

da rotao de figuras planas em torno de um eixo.

Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada,

obtm-se os slidos de revoluo que esto na coluna da

direita.

A correspondncia correta entre as figuras planas e os

slidos de revoluo obtidos :

(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. (D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.

(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. (E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.

(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.

Texto para as questes 8 e 9.

A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma

cidade, no qual esto identificadas a catedral, a prefeitura

e a Cmara dos Vereadores. Observe que o

quadriculado no representa os quarteires da cidade,

servindo apenas para a localizao dos pontos e retas no

plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil

formada pelos pontos equidistantes da catedral e da

prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (no

mostrada no mapa) formada pelos pontos equidistantes

da prefeitura e da Cmara dos Vereadores.

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.8. (UNICAMP-SP, adaptada)

Com base nas informaes mencionadas, se a delegacia

da cidade se situa na Av. Juscelino Kubitschek e o

ponto mais prximo entre a prefeitura e esta avenida, as

coordenadas em que se localizaria a delegacia no mapa

esto enunciadas no item:

(A) (2, 4).

(B) (4, 2).

(C) (3, 4).

(D) (4, 3).

(E) (2, 2).

.9. (UNICAMP-SP, adaptada)

Seguindo a forma de determinao dos lugares

apresentada pelo mapa anterior, podemos determinar os

lugares da catedral, prefeitura e cmara,

respectivamente, por meio das coordenadas:

(A) (2, 1); (1, 2); (5, 3).

(B) (1, 2); (3, 1); (5, 2).

(C) (1, 1); (1, 3); (3, 5).

(D) (1, 1); (3, 1); (3, 5).

(E) (1, 1); (3, 1); (5, 3).

.10. (ENEM-MEC)

A figura a seguir a representao de uma regio por

meio de curvas de nvel, que so curvas fechadas

representando a altitude da regio, com relao ao nvel

do mar. As coordenadas esto expressas em graus de

acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude,

no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada

direita est associada altitude da regio.

Um pequeno helicptero usado para reconhecimento

sobrevoa a regio a partir do ponto X = (20; 60). O

helicptero segue o percurso:

0,8 L 0,5 N 0,2 O 0,1 S 0,4 N 0,3 L.

Ao final, desce verticalmente at pousar no solo.

De acordo com as orientaes, o helicptero pousou em

um local cuja altitude

(A) menor ou igual a 200 m.

(B) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.

(C) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.

(D) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.

(E) maior que 800 m.

********** ATIVIDADES 2 **********

C1 Construir significados para os nmeros naturais, inteiros, racionais e reais.

H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representaes dos nmeros e operaes naturais, inteiros, racionais ou reais.

.11. (ENEM-MEC)

Em Alexandria viveu Diofante, entre os anos 325 e

409, e a pequena parte de sua obra que chegou at

nossos dias revela a mais antiga prtica de abreviaes

na Matemtica.

Na histria da lgebra, no perodo anterior a Diofante,

expresses so apresentadas s com palavras, inclusive

os nmeros. Com Diofante, surge a lgebra, na qual

algumas expresses so escritas e outras abreviadas.

Adaptado de GUELLI, Oscar. Uma aventura do

pensamento. Sexta srie. Editora tica.

Na linguagem de Diofante, por exemplo, u 3 significa 3

unidades, M significa menos e, quando no h nenhum

sinal, significa uma adio.

As frases abaixo esto escritas em smbolos de Diofante.

x u 3 igual a u 6

M u 7 igual a u 10

Em smbolos atuais, as frases podem ser escritas,

respectivamente, por

(A) x + 3 = 6 e x 7 = 10

(B) 3x = 6 e x 7 = 10

(C) x + 3 = 6 e 7x 10 = 0

(D) 3 x = 6 e 7x = 10

(E) 3 x = 6 e x 7 = 10

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*Anotaes*

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H2 Identificar padres numricos ou princpios de contagem.

.12. (ENEM-MEC)

Os sistemas de escrita numrica mais antigos que se

conhecem so os dos egpcios e dos babilnios, que

datam aproximadamente do ano 3500 a.C. Os egpcios

usavam um sistema de agrupamento simples, com base

10.

Texto: Valria Ostete Jammis, Luchetta, 21/10/2000.

Cajou, Florian. A history of Mathematical Notations,

Dover Publications INC, New York, 1993.

Para eles, um trao vertical valia 1; o nmero 10 era

representado por um osso de calcanhar invertido; o 100,

por um lao; e o 1000, por uma flor de ltus. Outros

nmeros eram escritos com a combinao desses

smbolos.

Os nmeros abaixo esto escritos em smbolos egpcios.

Em smbolos atuais, os nmeros podem ser escritos,

respectivamente, por

(A) 2223 e 1222.

(B) 1222 e 6322.

(C) 2236 e 1122.

(D) 2336 e 1222.

(E) 1336 e 1122.

H3 Resolver situao-problema envolvendo conhecimentos numricos.

.13. (ENEM-MEC)

As distncias entre as estrelas, os planetas e os satlites

so muito grandes. Como o quilmetro no uma

unidade adequada para medir essas distncias, criou-se

a unidade ano-luz. O ano-luz a distncia que a luz

percorre em um ano. Considerando que a luz se desloca

no vcuo a cerca de 300 mil quilmetros por segundo, o

ano-luz equivale a aproximadamente 9 trilhes e 500

bilhes de quilmetros.

Usando potncias de base 10, podemos escrever:

(A) 1 ano-luz = 95 x 109 km

(B) 1 ano-luz = 95 x 1010 km

(C) 1 ano-luz = 95 x 1011 km

(D) 1 ano-luz = 95 x 1012 km

(E) 1 ano-luz = 95 x 108 km

H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numrico na construo de argumentos sobre afirmaes quantitativas.

.14. (ENEM-MEC)

Em certo pas, o presidente eleito permanece no cargo

por 5 anos, enquanto um prefeito eleito para um

mandato de 4 anos. No ano de 1998, houve eleies

tanto para presidente quanto para prefeitos.

As eleies para presidente e para prefeitos nesse pas

voltaro a ocorrer no mesmo ano em

(A) 2008.

(B) 2014.

(C) 2018.

(D) 2020.

(E) 2028.

H5 Avaliar propostas de interveno na realidade utilizando conhecimentos numricos.

.15. (ENEM-MEC)

O prefeito de uma cidade de porte mdio dispe do

nmero de habitantes de cada bairro e do nmero de

bitos do primeiro semestre de 2002:

Bairro Populao N. de bitos

Vista Alegre 6.230 341

Pitombo 34.591 83

Vila do Bento 10.100 41

Jardim das Rosas 6.900 131

Considerando o ndice de mortalidade (razo entre o

nmero de bitos e o de habitantes), o prefeito deveria

empregar a maior parte da verba no(s) bairro(s)

(A) Pitombo.

(B) Vila do Bento.

(C) Vista Alegre.

(D) Jardim das Rosas.

(E) Pitombo e Vila do Bento, pois o ndice o mesmo.

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*MDULO 2*

Matemtica financeira Juros

Uma s canetada

A questo dos juros atinge as mais diversas e

surpreendentes esferas da vida prtica, social e

espiritual, a comear pelo processo de envelhecimento a

que nossos corpos esto inescapavelmente sujeitos,

escreveu o economista Eduardo Gianetti da Fonseca no

livro O Valor do Amanh (Companhia das Letras, 2005).

Segundo ele, o deterioramento da sade na velhice o

juro que se paga pela longevidade. Paga-se no futuro o

que se aproveita no presente.

O conceito de juros quase to antigo quanto o uso

da moeda. Eles so a remunerao pelo capital ou

seja, a forma de recompensar quem emprestou por

esperar pela devoluo do dinheiro. Estamos pagando

para a pessoa (ou o banco) no gastar o dinheiro com

outra coisa.

O tamanho dos juros, porm, expressa tambm o

medo que o emprestador tem de no ser pago. Em

contextos em que h receio pelo cumprimento dos

pagamentos, portanto, os juros sobem dessa forma, o

lucro maior nos emprstimos compensa os possveis

calotes que parte dos clientes, j se espera, deve dar. E

tambm, infelizmente, as pessoas que pagam em dia

acabam pagando mais caro por causa das que do

calote.

H basicamente dois tipos de juro que so

usualmente cobrados pelo mercado. O primeiro o juro

simples, cujo aumento percentual incide somente sobre o

capital, isto , o valor inicial da transao seja

emprstimo, compra ou renda. O segundo conhecido

como juro composto, pois seu aumento percentual incide

sobre o agregado do capital e de juros anteriores ao

perodo. Isto , um juro que incide pelo juro j cobrado

da o infame efeito bola de neve, que estudaremos a

seguir. Neste mdulo, veremos como voc pode resolver

problemas que envolvam os juros simples.

Os juros simples so a maneira mais fcil de calcular

juros. Aqui, eles incidem sobre o capital principal. No

so comumente usados nas finanas profissionais,

porque os perodos de emprstimo geralmente ocorrem

em vrios meses e anos, mas so importantes para

compreender o conceito de juros.

Acompanhe um caso hipottico. Uma pessoa tem

uma aplicao inicial (representada por , de capital),

uma taxa de juros ( , de interesse, nome dos juros em

ingls e espanhol, geralmente representado em forma

decimal) e um perodo ( , de tempo em meses, ou anos,

ou dias, dependendo do contrato assinado). A frmula :

Se ela tomou emprestados R$ 1.000,00, a uma taxa

de juros de 5% ao ms (ou 0,05, na forma decimal), para

pagar aps dez meses, o clculo do quanto vai pagar de

juros fica assim:

Podemos unir essas duas equaes em uma s. Com

ela, todos os problemas que envolvam os juros simples

podem ser resolvidos (a letra significa montante):

Fatorando essa expresso, podemos simplific-la e

chegarmos frmula final dos juros:

DEDOC / RUBENS CHAVES

Fila em banco: juros so to antigos quanto o uso da moeda

Porcentagem uma ferramenta importante para

comparar grandezas diferentes. Ela pode ser

calculada como uma proporo, multiplicando-se

depois por 100 e inserindo o smbolo %.

Determinar o valor que sofre uma transformao

percentual fundamental. Um aumento de 10% num

salrio de 1.000 reais significa um acrscimo de 100

reais ao contracheque. Posteriormente, um desconto

de 10% no salrio resultante, de 1.100 reais, significa

um corte de 110 reais. Embora seja a mesma

porcentagem, o tamanho do corte diferente.

Somar porcentagens de todos os subgrupos dentro

de um grupo resulta sempre em 100%. As

porcentagens podem passar de 100 se cada um dos

indivduos puder fazer mais de uma escolha.

Multiplicar e dividir porcentagens um risco. Use a

regra de trs para saber quanto uma porcentagem

de um subgrupo significa dentro do grupo.

Inflao o fenmeno em que a correo monetria

corri o valor do dinheiro. No Brasil, esse processo

se acelerou nas dcadas de 1980 e 1990.

Juros so a remunerao do capital ou seja, o que

se paga pelo direito de usar dinheiro alheio.

Expressam a incerteza no recebimento.

Juros simples so os juros aplicados apenas sobre o

capital. Para calcular, use a frmula

J=Cit, em que o capital, a taxa e o tempo

ou prazo.

Montante o capital somado de juros, ou o tamanho

da dvida depois de remunerado o capital.

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Juros compostos, usados pelos bancos, acumulam

juros sobre juros. Para calcular o montante, use a

frmula , em que o capital, a

taxa e o tempo ou prazo considerado.

Pesquisas eleitorais usam porcentagens para

mostrar a proporo dos eleitores que pretendem

votar em cada candidato. Para decidir a eleio,

porm, contam apenas os votos vlidos.

Ponto percentual o conceito usado para dizer que

algum tinha 10% de inteno de voto e caiu para

5% das intenes ou seja, perdeu 5 pontos

percentuais, e no 5% das intenes que tinha.

Novamente, uma questo de qual a base a que

nos referimos.

********** ATIVIDADES 1 **********

Texto para as questes de 1 a 3.

Para que serve o Copom

Como as taxas de juros so usadas pelas autoridades monetrias para controlar a inflao e regular a economia

De tempos em tempos, voc ouve no noticirio que o

governo aumentou os juros em meio ponto ou baixou

os juros em 0,75 ponto. Voc sabe o que isso significa?

Essa medida parte da poltica econmica definida pelo

Banco Central e decidida nas reunies do Comit de

Poltica Monetria (Copom).

Criado em 1996, nos mesmos modelos dos comits

monetrios dos bancos centrais norte-americano e

europeus, o Copom tem como objetivo criar diretrizes

transparentes para a poltica monetria brasileira e definir

a taxa de juros, visando a controlar a inflao. A taxa

bsica de juros, a Selic, define o valor dos juros de

emprstimos baseados em ttulos pblicos, que os

bancos fazem uns com os outros. Assim, a taxa acaba

sendo um fator importante no custo do dinheiro e

influencia os juros que os bancos cobraro de seus

clientes.

A taxa Selic fixada na reunio do Copom e vigora

at a reunio seguinte. O Copom formado pela diretoria

colegiada, o presidente e vrias autoridades do Banco

Central, que, por sua vez, subordinado ao Ministrio da

Fazenda.

Desde 1999, o Copom estabelece metas de inflao

para o pas, uma das principais diretrizes da poltica

monetria atual. Para definir a taxa bsica de juros, o

comit faz uma anlise da conjuntura econmica atual,

levando em considerao fatores como inflao do ms

anterior, economia internacional, finanas pblicas,

balanos de pagamentos, mercado monetrio,

perspectivas da inflao, expectativas para variveis

macroeconmicas entre outros. Levando tudo isso em

conta, a flutuao da taxa de juros visa, principalmente, a

controlar a inflao. E como isso funciona? Quando a

taxa Selic reduzida, fica mais fcil fazer emprstimos,

as pessoas passam a comprar mais e os preos tendem

a subir, elevando assim a inflao. Por outro lado,

quando a taxa de juros sobe, o consumo diminui,

derrubando tambm os preos e mantendo a inflao

controlada. A taxa de juros alta cria vantagens e

desvantagens. Para os investidores especulativos

estrangeiros que investem em ttulos brasileiros, juros

altos representam mais lucro assim, mais dlares so

injetados no mercado interno brasileiro, mantendo a

cotao da moeda nacional controlada. O cmbio

tambm interfere nos preos que chegam ao consumidor,

mais um fator de controle da inflao.

No entanto, se a taxa de juros permanece alta por

muito tempo, as pessoas passam a comprar menos e as

indstrias diminuem a produo, o que acaba

provocando desemprego. Por isso existe tanta presso

para a queda nos juros, para dar nimo ao setor

produtivo, que passa a contratar mais, impulsionando

assim toda a economia.

Em 2011, na primeira reunio do Copom durante o

governo de Dilma Rousseff, realizada em janeiro, o

comit decidiu elevar a taxa Selic de 10,75% para

11,25% ao ano. Com isso, Alexandre Tombini, o novo

presidente do Banco Central, que assumiu o cargo no

incio deste ano, manteve a tradio de elevar os juros na

sua primeira reunio no comando da instituio. A ltima

vez que um presidente do Banco Central assumiu o

cargo e no elevou a taxa bsica de juros foi em 1997,

na gesto de Gustavo Franco.

Veja, 9/3/2011.

.1. (AED-SP)

Como a taxa Selic influencia os juros dos bancos?

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.2. (AED-SP)

Como o aumento de juros controla a inflao?

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.3. (AED-SP)

Qual o perigo de juros muito altos?

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.4. (FUVEST-SP)

H um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00.

Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e

R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o

dinheiro, aps um ano, acrescido de 5% e 4% de juros,

respectivamente.

A casa se valorizou 3% durante esse perodo de um ano.

Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o

combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de:

(A) R$ 400,00.

(B) R$ 500,00.

(C) R$ 600,00.

(D) R$ 700,00.

(E) R$ 800,00.

.5. (ENEM-MEC)

Joo deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao

cheque especial de seu banco e cinco parcelas de

R$ 80,00 referentes ao carto de crdito. O gerente do

banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no

cheque especial, caso Joo quitasse essa dvida

imediatamente ou, na mesma condio, isto , quitao

imediata, com 25% de desconto na dvida do carto.

Joo tambm poderia renegociar suas dvidas em 18

parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses

termos, Jos, amigo de Joo, ofereceu-lhe emprestar o

dinheiro que julgasse necessrio pelo tempo de 18

meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A opo que d a Joo o menor gasto seria

(A) renegociar suas dvidas com o banco.

(B) pegar emprestado de Jos o dinheiro referente

quitao das duas dvidas.

(C) recusar o emprstimo de Jos e pagar todas as

parcelas pendentes nos devidos prazos.

(D) pegar emprestado de Jos o dinheiro referente

quitao do cheque especial e pagar as parcelas do

carto de crdito.

(E) pegar emprestado de Jos o dinheiro referente

quitao do carto de crdito e pagar as parcelas do

cheque especial.

.6. (INEP-MEC)

Um capital de R$ 30.000,00 foi dividido em duas

aplicaes: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros

anuais; a outra, aplicao de risco, pagou uma taxa de

12% de juros anuais. Ao trmino de um ano, observou-se

que os lucros obtidos em ambas as aplicaes foram

iguais. Assim sendo, a diferena dos capitais aplicados

foi de:

(A) R$ 8.000,00.

(B) R$ 4.000,00.

(C) R$ 6.000,00.

(D) R$ 10.000,00.

(E) R$ 12.000,00.

.7. (PUC-PR)

Vidal fez um emprstimo de certo valor, para ser quitado

ao final de quatro meses, em parcela nica. A taxa de

juros negociada com o gerente do banco foi de 5% ao

ms. Exatamente um ms depois, sua namorada

Madalena emprestou, do mesmo banco, um valor para

ser pago ao final de trs meses, tambm em parcela

nica, ou seja, ambos os emprstimos vencem no

mesmo dia. Sabe-se que o valor emprestado por Vidal

superior a dois salrios mnimos. (Considerar juros

simples.).

Considerando o que foi exposto, assinale a alternativa

correta.

(A) Se o casal emprestou valores iguais, ainda que

Madalena pague uma taxa de juros 30% maior do

que a taxa devida por Vidal, seu saldo devedor ser

menor do que o do seu namorado.

(B) Se Madalena emprestou um valor 10% superior

quele emprestado por Vidal, a uma taxa de 3% ao

ms, seu saldo devedor no vencimento ser igual ao

de Vidal.

(C) Suponha que eles emprestaram valores iguais. Para

que o saldo devedor de ambos coincida, a taxa de

juros paga por Madalena dever ser 40% superior

taxa paga por Vidal.

(D) Se Madalena emprestou 10% a menos que Vidal, a

uma taxa de juros equivalente ao dobro daquela

devida por ele, eles tero saldos devedores iguais na

data de vencimento.

(E) Sem conhecer o valor absoluto de cada emprstimo,

ou o valor exato de um salrio mnimo, impossvel

fazer qualquer avaliao.

.8. (INEP-MEC)

O Sr. Silva planejou passar, com sua famlia, as festas

natalinas no Pantanal de Mato Grosso em uma pousada

que cobra uma diria de R$ 450,00, incluindo as

refeies e os passeios tursticos. Fez uma reserva por 7

dias, devendo efetuar o pagamento antecipado no dia 4

de dezembro de 2003. Visando no sobrecarregar o

oramento do ms de dezembro, decidiu poupar de duas

maneiras:

1. - Depositar R$ 2.000,00, no dia 3 de janeiro de 2003,

em uma aplicao especial com taxa de juro composto

de 1,5% ao ms, a serem resgatados somente em 3 de

dezembro de 2003.

2. - Acumular bnus pelas compras efetuadas no carto

de crdito, podendo resgat-los em 3 de dezembro de

2003, na forma de duas dirias.

A partir dessas informaes, possvel afirmar que o

montante reservado pelo Sr. Silva com essas maneiras

de poupar ser:

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(A) suficiente para pagar a reserva, mas no lhe sobrar

para gastos extras.

(B) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobraro

R$ 225,00 para gastos extras.

(C) insuficiente e ainda lhe faltaro R$ 110,00.

(D) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobraro

R$ 110,00 para gastos extras.

(E) insuficiente e lhe faltaro R$ 225,00.

Admita (1,015)11 = 1,18.

.9. (UNESP)

Alfredo costuma aplicar seu dinheiro em um fundo de

investimento que lhe rende juro composto. Se ele planeja

resgatar um montante de R$ 13.100,00 daqui a 3 anos,

qual o valor do depsito inicial, se a taxa de juros for

igual a 10% ao ano?

(A) R$ 8.100,00. (D) R$ 10.000,00.

(B) R$ 9.000,00. (E) R$ 10.100,00.

(C) R$ 9.100,00.

********** ATIVIDADES 2 **********

C4 Construir noes de variao de grandezas para a compreenso da realidade e a soluo de problemas do cotidiano.

H15

Identificar a relao de dependncia entre grandezas.

.10. (ENEM-MEC)

Um grupo de artesos resolveu criar uma cooperativa

para, entre outras coisas, realizar bazares itinerantes e

vender seu produto diretamente ao consumidor. Cada

associado doa 14% do valor de suas vendas para o

fundo da cooperativa. Se a cooperativa possui gastos

mensais de, no mnimo, R$ 749,00, deve ser feito um

esforo conjunto dos associados para venderem por ms

um total de, pelo menos,

(A) R$ 10.486,00. (D) R$ 1.048,60.

(B) R$ 8.709,30. (E) R$ 8.538,60.

(C) R$ 5.350,00.

H16 Resolver situao-problema envolvendo a variao de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

.11. (ENEM-MEC)

A escolha do presidente de uma associao de bairro foi

feita atravs de uma eleio, na qual votaram 200

moradores.

Aps apurao de 180 dos 200 votos, o resultado da

eleio era o seguinte:

Candidato I 47 votos

Candidato II 72 votos

Candidato III 61 votos

A partir dos dados, pode-se concluir que

(A) o vencedor da eleio certamente ser o candidato

II.

(B) dependendo dos votos que ainda no foram

apurados, o candidato I poder ser o vencedor da

eleio.

(C) o vencedor da eleio poder ser o candidato II ou o

candidato III.

(D) como existem votos ainda no apurados, qualquer

um dos trs candidatos poder ganhar a eleio.

(E) o vencedor da eleio certamente ser o candidato

III.

H17 Analisar informaes envolvendo a variao de grandezas como recurso para a construo de argumentao.

.12. (ENEM-MEC)

Ao cobrir um jogo de basquete entre os times Azulo e

Verdo, um reprter anotou os pontos feitos pelos dois

jogadores que marcaram mais pontos nos dois times.

AZULO VERDO

Joo 30 Sivuca 18

Pedroca 20 Antony 36

Esse reprter considerou que o rendimento de um

jogador durante um jogo medido pela razo entre o

nmero de pontos que faz e o total de pontos feitos pelo

seu time. O Azulo ganhou do Verdo por 80 a 72.

O reprter publicou corretamente que, naquela partida,

em relao ao rendimento,

(A) Joo foi o melhor de todos.

(B) Antony foi o pior de todos.

(C) Sivuca e Pedroca foram iguais.

(D) Joo e Antony foram iguais.

(E) Sivuca e Pedroca foram os melhores entre os quatro.

H18 Avaliar propostas de interveno na realidade envolvendo variao de grandezas.

.13. (ENEM-MEC)

Uma empresa decidiu doar livros e cadernos aos alunos

carentes de uma escola da sua vizinhana. Recebero

os materiais escolares apenas os alunos que tenham

menos de 10 faltas no ano e cujas famlias tenham renda

de at 3 salrios mnimos. Sabe-se que:

a escola possui 1.000 alunos;

350 alunos tm menos de 10 faltas no ano;

700 alunos pertencem a famlias com renda de at 3

salrios mnimos;

200 alunos no pertencem a nenhum dos grupos

acima, ou seja, tm 10 ou mais faltas no ano e

pertencem a famlias com renda superior a 3 salrios

mnimos.

A empresa deve enviar o material escolar para

(A) 250 alunos. (D) 550 alunos.

(B) 300 alunos. (E) 600 alunos.

(C) 400 alunos.

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*MDULO 3*

Funes

A importncia do estudo de funes no especfica

da Matemtica, fazendo parte tambm do universo de

outras cincias, como a Fsica e a Qumica. Quando

lemos um jornal ou uma revista, muitas vezes nos

deparamos com um grfico, que nada mais que uma

relao entre duas grandezas representada

geometricamente.

Sistema de coordenadas

O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas

formado por dois eixos, (eixo das abscissas) e

(eixo das ordenadas), perpendiculares entre si no ponto

(origem).

Para localizar um ponto no plano, traamos por as

perpendiculares a e , obtendo nos eixos as

coordenadas de , que so dois nmeros chamados de

abscissa e ordenada do ponto , respectivamente.

Se a abscissa de e a ordenada de , o par

ordenado ( ) representa . Indicamos:

O conceito de funo

Dados dois conjuntos no vazios, e , chama-se

relao de em qualquer conjunto de pares

ordenados ( , ) com e .

Sejam e conjuntos no vazios. Uma relao de

em funo se, e somente se, qualquer

elemento de estiver associado, atravs de , a um

nico elemento de . Para indicar que uma

funo de em , adotamos a notao:

Domnio, contradomnio e conjunto imagem

Dada uma funo :

O domnio da funo o conjunto .

O contradomnio da funo o conjunto .

O conjunto imagem da funo o conjunto formado

pelos elementos de que tm correspondente em ,

ou seja: .

Imagem de pela funo

Se ( ) pertence a uma funo , dizemos que a

imagem de pela funo . Indicamos esse fato por:

Grfico de uma funo

O grfico de uma funo a reunio de todos os

pontos ( ) do plano cartesiano que pertencem

funo.

Raiz de uma funo

Chama-se raiz (ou zero) de uma funo real de

varivel real, , todo nmero do domnio de

tal que .

Graficamente, a raiz de uma funo a abscissa do

ponto em que o grfico cruza o eixo .

Estudo do sinal de uma funo

Uma funo positiva para um elemento de seu

domnio se, e somente se, .

Uma funo negativa para um elemento de seu

domnio se, e somente se, .

Uma funo se anula para um elemento de seu

domnio se, e somente se, . Nesse caso,

raiz da funo.

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Variao de uma funo

Uma funo crescente em um subconjunto do

domnio de se, e somente se, para quaisquer

nmeros e de , tivermos:

Uma funo decrescente em um subconjunto

do domnio de se, e somente se, para quaisquer

nmeros e de , tivermos:

Uma funo constante em um subconjunto do

domnio de se, e somente se, para qualquer

nmero de , tivermos:

, sendo uma constante real

Funo par e funo mpar

Uma funo de domnio par se, e somente se:

, para qualquer

Assim, as partes do grfico de para e para

so simtricas em relao ao eixo .

Uma funo de domnio mpar se, e somente

se:

, para qualquer

Assim, as partes do grfico de para e para

so simtricas em relao origem do

sistema de eixos.

Funo injetora, sobrejetora e bijetora

Uma funo injetora se, e somente se,

para quaisquer e do domnio de , for

obedecida a condio:

Ou seja, injetora se no existirem elementos

distintos do domnio de com a mesma imagem.

Uma funo sobrejetora se, e somente se,

para todo elemento do conjunto existir no

conjunto tal que . Ou seja, sobrejetora

se o seu contradomnio coincidir com o seu conjunto

imagem.

Uma funo bijetora se, e somente se,

injetora e sobrejetora.

Funo composta

Sejam , e conjuntos no vazios e sejam as

funes e . A funo composta de

com a funo tal que:

Funo inversa

A inversa de uma funo bijetora a funo

tal que:

para quaisquer e , com e .

Se uma funo admite inversa, dizemos que ela

invertvel.

Obteno da funo inversa

Se uma funo real de varivel real

invertvel, sua inversa obtida do seguinte modo:

I. Trocamos por e por , obtendo .

II. Isolamos a varivel , aps a mudana de

variveis efetuada em , obtendo .

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*********** ATIVIDADES ***********

.1. (INEP-MEC)

Considere as sentenas abaixo, relativas funo

, definida no intervalo e representada,

graficamente, na figura.

I. Se , ento .

II. .

III. A imagem de o intervalo .

correto afirmar que:

(A) Apenas III verdadeira.

(B) Apenas I e II so verdadeiras.

(C) Apenas I e III so verdadeiras.

(D) Apenas II e III so verdadeiras.

(E) Todas as sentenas so verdadeiras.

.2. (VUNESP)

Numa fazenda havia 20% de rea de floresta. Para

aumentar essa rea, o dono da fazenda decidiu iniciar

um processo de reflorestamento. No planejamento do

reflorestamento, foi elaborado um grfico fornecendo a

previso da porcentagem de rea de floresta na fazenda

a cada ano, num perodo de dez anos.

Esse grfico foi modelado pela funo ,

que fornece a porcentagem de rea de floresta na

fazenda a cada ano , onde , e so constantes

reais. Com base no grfico, determine as constantes ,

e e reescreva a funo com as constantes

determinadas.

.3. (INEP-MEC)

O tringulo retngulo , regio cinza na figura abaixo,

tem rea igual a .

Ento, o valor de :

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

.4. (UFSCar-SP)

A figura representa, em sistemas coordenados com a

mesma escala, os grficos das funes reais e , com

e .

Sabendo que a regio poligonal demarca um trapzio

de rea igual a , o nmero real :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.5. (UNIFOR-CE)

O conjunto imagem da funo real de varivel real dada

por :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

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.6. (INEP-MEC)

Uma forma experimental de insulina est sendo injetada

a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O

organismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga

presente no corpo. O grfico que melhor representa a

quantidade da droga no organismo como funo do

tempo , em um perodo de 24 horas, :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.7. (INEP-MEC)

Sendo e nmeros reais positivos, sabe-se que a

funo , definida para , assume seu

valor mnimo quando .

Um grupo de amigos alugou por R$ 6.000,00 um salo

para fazer uma festa. Este valor ser dividido por todos

que estiverem presentes na festa. Como o dia do

aniversrio de Jos Carlos, um dos integrantes deste

grupo, coincide com o dia da festa, ele decidiu que a

comida ser por conta dele. A empresa que prestar este

servio ir lhe cobrar R$ 15,00 por pessoa presente na

festa. Ento, o nmero de integrantes do grupo de

amigos que minimiza o gasto de Jos Carlos somando o

custo total da comida com a parte dele no aluguel do

salo de:

(A) 5 pessoas

(B) 10 pessoas

(C) 15 pessoas

(D) 20 pessoas

(E) 25 pessoas

.8. (FGV-SP)

Sejam e duas funes de em tais que

e . Ento, o grfico cartesiano da funo

:

(A) Passa pela origem.

(B) Corta o eixo no ponto .

(C) Corta o eixo no ponto .

(D) Tem declividade positiva.

(E) Passa pelo ponto .

.9. (INSPER-SP)

Suponha que os trs grficos abaixo estejam na mesma

escala, em que a distncia entre duas marcas

consecutivas sobre os eixos seja igual a . Se , e

so as funes nestes trs grficos, respectivamente,

ento igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.10. (MACKENZIE-SP)

Dada a funo , se

e assim por diante, ento o

valor de :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.11. (UFMA)

Sendo uma funo par e uma funo mpar, e

sabendo-se que e , pode-se

concluir que igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

________________________________________________ *Anotaes*

MAT Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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.12. (FGV-SP)

A figura indica o grfico da funo , de domnio ,

no plano cartesiano ortogonal.

O nmero de solues da equao :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.13. (INEP-MEC)

As funes e , ambas de domnio , esto

representadas graficamente abaixo. O nmero de

elementos do conjunto soluo da equao

:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.14. (UNIFESP)

Seja uma funo crescente e sobrejetora, onde

o conjunto dos nmeros inteiros. Sabendo-se que

, uma das possibilidades para :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.15. (INEP-MEC)

Considere a funo mpar real de varivel real definida

no intervalo , cujo grfico est desenhado na figura

abaixo.

Assinale a alternativa que corresponde ao grfico da

funo , em que a inversa da funo .

(A)

(B)

(C)

(D)

.16. (UFT-TO)

Seja definida por

. Ento a funo inversa :

(A) (C)

(B) (D)

MAT Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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.17. (UFT-TO)

Cada um dos grficos abaixo representa uma funo

tal que ; . Qual deles

representa uma funo bijetora no seu domnio?

(A)

(B)

(C)

(D)

.18. (ITA-SP)

Sejam , tais que par e mpar. Das

seguintes afirmaes:

I. mpar.

II. par.

III. mpar.

(so) verdadeira(s):

(A) Apenas I. (D) Apenas I e II.

(B) Apenas II. (E) Todas.

(C) Apenas III.

________________________________________________ *Anotaes*

MAT Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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*MDULO 4*

Funo afim

Algumas funes relacionam duas grandezas em que

a variao de uma proporcional variao da outra.

Quando isso ocorre, dizemos que a funo afim.

A funo afim

Funo afim ou funo polinomial do 1. grau toda

funo do tipo:

O grfico de toda funo afim uma reta. Para

constru-Io, basta representar dois pontos distintos

da funo no plano cartesiano e traar a reta que

passa por eles.

Pontos de interseco do grfico da funo afim com os eixos coordenados

O grfico da funo afim intercepta o eixo no

ponto .

O grfico da funo afim intercepta o eixo no

ponto .

Funo linear

Toda funo da forma , com ,

chamada funo linear.

O grfico de uma funo linear uma reta

que passa pela origem do sistema de coordenadas.

Em toda funo linear , os valores

correspondentes das variveis e so diretamente

proporcionais.

Anlise da funo afim

Taxa de variao

A taxa de variao da funo afim a

constante , no nula, obtida da seguinte maneira:

Se duas funes afins tm a mesma taxa de

variao, ento as retas que as representam so

paralelas.

Crescimento e decrescimento

Dada a funo , temos:

Estudo do sinal da funo afim

Inequao-produto e Inequao-quociente

Para resolver inequaes-produto ou inequaes-

-quociente, estudamos o sinal de cada funo e

construmos um quadro de sinais, no qual os sinais da

ltima linha so obtidos pela regra de sinais da

multiplicao ou da diviso.

________________________________________________ *Anotaes*

MAT Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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*********** ATIVIDADES ***********

.1. (MACKENZIE-SP)

Os grficos das funes e definem,

com os eixos, no primeiro quadrante, um quadriltero de

rea:

(A) 12

(B) 16

(C) 10

(D) 8

(E) 14

.2. (UDESC)

Sabemos que a receita total de certo produto

produzido por uma famlia de agricultores dada pela

funo , em que a quantidade de

unidades do produto. Determine a funo do primeiro

grau, custo total deste produto; sabendo que,

quando a quantidade do produto de 3 unidades, o custo

total de R$ 4,00; e que, quando a quantidade do

produto de 4 unidades, a receita total igual ao custo

total. Faa o esboo do grfico das funes e

.

.3. (ENEM-MEC)

Muitos brasileiros sonham com empregos formais. Na

falta destes, cada vez mais as pessoas precisam buscar

formas alternativas de conseguir uma renda. Para isso,

uma famlia decidiu montar uma malharia. O grfico

abaixo mostra o custo mensal de produo dessa

empresa.

Sabendo que as peas so vendidas por R$ 19,50 e que

a famlia almeja um lucro mensal de R$ 4.200,00, o

nmero de peas produzidas e vendidas, para atingir

esse fim, dever ser

(A) 215.

(B) 400.

(C) 467.

(D) 525.

(E) 494.

(Nota: Admita que o custo para peas

produzidas uma funo afim.)

.4. (MACKENZIE-SP)

A figura mostra os esboos dos grficos das funes

e , que fornecem os preos que as copiadoras,

e , cobram para fazer cpias de uma folha. Para

fazer cpias, a copiadora cobra:

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

(E) .

.5. (UNIR-RO)

Duas empresas ( e ), locadoras de veculos de

passeio, apresentaram o valor da locao de um mesmo

carro pelos grficos abaixo.

Considere o valor pago, em real, pela locao desse

veculo e a quantidade de quilmetros rodados. A partir

dessas informaes, correto afirmar:

(A) A empresa cobra 0,50 centavos por quilmetro

rodado acrescidos de uma taxa fixa de 50 reais.

(B) A empresa cobra somente a quilometragem

rodada.

(C) Para rodar 400 km, o valor cobrado pela empresa

igual ao cobrado pela .

(D) Para rodar uma distncia de 300 km mais

vantajoso alugar o carro da empresa .

(E) Para rodar uma distncia de 500 km mais

vantajoso alugar o carro da empresa .

________________________________________________ *Anotaes*

MAT Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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.6. (UFSCar-SP)

O grfico esboado representa a massa mdia, em

quilograma, de um animal de determinada espcie em

funo do tempo de vida, em ms.

Para o grfico um segmento de reta.

a) Determine a expresso da funo cujo grfico esse

segmento de reta e calcule a massa mdia do animal

com meses de vida.

b) Para meses, a expresso da funo que

representa a massa mdia do animal, em

quilogramas, . Determine o

intervalo de tempo para o qual .

.7. (PUC-SP)

Quantos nmeros inteiros e estritamente positivos

satisfazem a sentena ?

(A) dezesseis

(B) quinze

(C) quatorze

(D) treze

(E) menos de treze

.8. (UNESP)

Um laboratrio farmacutico tem dois depsitos, e .

Para atender a uma encomenda, deve enviar caixas

iguais contendo um determinado medicamento drogaria

e caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento

drogaria . Os gastos com transporte, por cada caixa

de medicamento, de cada depsito para cada uma das

drogarias, esto indicados na tabela.

A

B

D1 R$ 10,00 R$ 14,00

D2 R$ 12,00 R$ 15,00

Seja a quantidade de caixas do medicamento, do

depsito , que dever ser enviada drogaria e a

quantidade de caixas do mesmo depsito que dever ser

enviada drogaria .

a) Expressar:

em funo de , o gasto com transporte para

enviar os medicamentos drogaria ;

em funo de , o gasto com transporte para

enviar os medicamentos drogaria ;

em funo de e , o gasto total para atender

as duas drogarias.

b) Sabe-se que no depsito existem exatamente 40

caixas do medicamento solicitado e que o gasto total

para se atender a encomenda dever ser de

R$ 890,00, que o gasto mnimo nas condies

dadas. Com base nisso, determine, separadamente,

as quantidades de caixas de medicamentos que

sairo de cada depsito, e , para cada drogaria,

e , e os gastos e .

.9. (UNICAMP-SP)

Na dcada de 1960, com a reduo do nmero de

baleias de grande porte, como a baleia-azul, as baleias

minke antrticas passaram a ser o alvo preferencial dos

navios baleeiros que navegam no hemisfrio sul. O

grfico abaixo mostra o nmero acumulado aproximado

de baleias minke antrticas capturadas por barcos

japoneses, soviticos/russos e brasileiros, entre o final de

1965 e o final de 2005.

Obs.: 41.840 Japo; 34.200 URSS/Rssia; 13.500 Brasil.

MAT Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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a) A seguir, trace a curva que fornece o nmero

aproximado de baleias caadas anualmente por

barcos soviticos/russos entre o final de 1965 e o

final de 2005. Indique tambm os valores numricos

associados s letras e para que seja possvel

identificar a escala adotada para o eixo vertical.

b) Calcule o nmero aproximado de baleias caadas

pelo grupo de pases indicado no grfico entre o final

de 1965 e o final de 1990.

.10. (PUC-SP)

Uma pesquisa foi realizada com estudantes do ensino

mdio para saber em qual rea eles pretendem estudar

na Universidade. Os resultados foram os seguintes:

40% pretendem estudar na rea de humanas;

30% querem estudar na rea de tecnologia;

20% optaram por exatas; e

10% no pretendem prosseguir estudando.

Relativamente aos resultados da pesquisa, os que tm

inteno de estudar na rea de exatas representam,

aproximadamente, quanto por cento do universo dos que

pretendem prosseguir estudando?

(A) 22,2%

(B) 20%

(C) 20,5%

(D) 25%

(E) 10%

.11. (PUC-SP)

O Sr. Afonso realizou uma reforma em sua casa e o

entulho produzido foi retirado por uma empresa, que

utilizou caixas coletoras com igual capacidade e deu um

desconto de R$ 10,00 pela retirada de cada caixa de lixo,

a partir da terceira.

Sabendo-se que nessa limpeza foram utilizadas 10

caixas coletoras e que o preo pago pelo servio foi R$

670,00, o valor que essa empresa cobra pela utilizao

de uma caixa coletora igual a:

(A) R$ 70,00.

(B) R$ 65,00.

(C) R$ 75,00.

(D) R$ 55,00.

(E) R$ 85,00.

.12. (UNESP)

Uma empresa de terraplanagem, comprometida com a

causa ambiental, usa 10% de borracha de pneus velhos

na produo de cada metro cbico de asfalto. O material

de um pneu aro 15, triturado, equivale, em mdia, a

0,012 m3. Se, em mdia, um pneu aro 13 fornece o

equivalente a 79% do material de um pneu aro 15, a

mdia de pneus aro 13 que essa empresa usa para

asfaltar 7 km de uma estrada, cobrindo-os com uma

camada de 12 m de largura e 7 cm de espessura, mais

prxima de:

(A) 19.600.

(B) 62.025.

(C) 70.000.

(D) 37.500.

(E) 27.600.

.13. (UNIR-RO)

Simplificando a expresso , obtemos o

valor:

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

(E) .

.14. (UNIR-RO)

Dois nmeros e que satisfazem a equao

so:

(A) e um inteiro menor que .

(B) um inteiro quadrado perfeito e .

(C) e .

(D) e um nmero racional.

(E) e um nmero inteiro negativo.

________________________________________________ *Anotaes*

MAT Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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.15. (ENEM-MEC)

No monte de Cerro Armazones, no deserto de

Atacama, no Chile, car o maior telescpio da superfcie

terrestre, o Telescpio Europeu Extremamente Grande

(E-ELT). O E-ELT ter um espelho primrio de 42 m de

dimetro, o maior olho do mundo voltado para o cu.

Disponvel em: http://www.estadao.com.br,

27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora

fez uma suposio de que o dimetro do olho humano

mede aproximadamente 2,1 cm.

Qual a razo entre o dimetro aproximado do olho

humano, suposto pela professora, e o dimetro do

espelho primrio do telescpio citado?

(A) 1 : 20

(B) 1 : 100

(C) 1 : 200

(D) 1 : 1.000

(E) 1 : 2.000

.16. (ENEM-MEC)

Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de

desmatamento, conforme o grco, da chamada

Amaznia Legal, integrada por nove estados.

Disponvel em: www.folhaonline.com.br, 30 abr. 2010 (adaptado).

Considerando-se que at 2009 o desmatamento cresceu

10,5% em relao aos dados de 2004, o desmatamento

mdio por estado em 2009 est entre

(A) 100 km2 e 900 km2.

(B) 1.000 km2 e 2.700 km2.

(C) 2.800 km2 e 3.200 km2.

(D) 3.300 km2 e 4.000 km2.

(E) 4.100 km2 e 5.800 km2.

.17. (ENEM-MEC)

A classificao de um pas no quadro de medalhas nos

Jogos Olmpicos depende do nmero de medalhas de

ouro que obteve na competio, tendo como critrios de

desempate o nmero de medalhas de prata seguido do

nmero de medalhas de bronze conquistados. Nas

Olimpadas de 2004, o Brasil foi o dcimo sexto colocado

no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de

ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de

medalhas reproduzida a seguir.

Disponvel em: http://www.quadroademedalhas.com.br,


Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de

prata e 10 de bronze, sem alterao no nmero de

medalhas dos demais pases mostrados no quadro, qual

teria sido a classicao brasileira no quadro de

medalhas das Olimpadas de 2004?

(A) 13.

(B) 12.

(C) 11.

(D) 10.

(E) 9.

.18. (ENEM-MEC)

Os dados do grco foram coletados por meio da

Pesquisa Nacional por Amostra de Domiclios.

Fonte: IBGE. Disponvel em: http://www.ibge.gov.br,


Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram

entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuam

telefone mvel celular?

(A) 5.513

(B) 6.556

(C) 7.450

(D) 8.344

(E) 9.536

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Matemática 2