MATEMÁTICA - BIBLIOTECA VIRTUAL DE · PDF filemétodos y técnicas, en la propuesta de alternativas de solución a problemas de su realidad. ... Método de Cramer Polinomio al cuadrado

55

SiStemaS de ecuacioneS linealeS con treS incógnitaS. Binomio de newton y triángulo de PaScal

ObjetivosdelaUnidad:

Utilizarás los sistemas de ecuaciones lineales, aplicando susmétodosytécnicas,enlapropuestadealternativasdesoluciónaproblemasdesurealidad.

Propondrás con criticidad soluciones a diversos problemasrelacionados con el ámbito escolar y social, aplicando lapotenciaciónalgebraicaysuspropiedades.

MATEMÁTICAUnidad 4

56 matemática - noveno grado

Descripcióndelproyecto

Al finalizar, esta unidad, podrás ayudarle a una empresa que transporta paquetes de tres formas diferentes a decidir cuál es la solución a condiciones dadas.

Sistema de Ecuaciones Lineales con tres

incógnitas

Potencia entera de un polinomio

Algebraicos Por determinantes

Método de Cramer

Polinomio al cuadrado y al cubo

Desarrollo del binomio de Newton

Triángulo de Pascal

Reducción

solución

noveno grado - matemática 57

Cuarta Unidad

Motivación

Lección 1

identificarás, construirás y explicarás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales de tres incógnitas.

interpretarás, aplicarás y explicarás los métodos de solución para sistemas lineales de tres incógnitas.

resolverás problemas que conllevan sistemas de ecuaciones de tres incógnitas, con orden y perseverancia.

Indicadores de logro:

En una construcción, tres varillas cilíndricas se hallan ubicadas como te lo mostramos en la figura de la derecha. El ingeniero a cargo de la obra necesita saber cuál es el diámetro de cada una, si están ubicadas en tal forma que al medirlas se tiene que:

A = 1.250 cm, B = 1.625 cm y C = 1.875 cm.

Observa que A representa la suma de los diámetros de la varilla más pequeña con la mediana. ¿Qué representa B? ¿Puedes decir qué representa C? ¿Existirá una forma para encontrar el diámetro de cada una?

SiStemaS de ecuacioneS linealeS con treS incógnitaS método de reducción

Con los siguientes ejemplos aprenderás a resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.

Ejemplo 1

Resuelve el sistema de ecuaciones.

2x + y + z = 7 (Ec.1) x + y + 2z = 18 (Ec.2) x + 2y + z = 15 (Ec.3)

Solución:

Paso 1: Se toman dos de las tres ecuaciones.

2x + y + z = 7 (Ec. 1) x + y + 2z = 18 (Ec. 2)

Se multiplica la Ec. 2 por (−1) para eliminar la incógnita “y”.

2x + y + z = 7 (Ec. 1) –x – y – 2z = –18 (Ec.2 ) x –z = –11 (Ec. 4)

Paso 2: Ahora eliminas la misma incógnita, para el caso “y”, tomando una pareja distinta de ecuaciones.

Solucióndeecuacioneslinealescontresincógnitasporelmétododereducción

B

C

A

UNIDAD 4


De esta manera, obtienes una pareja de ecuaciones que contiene sólo dos incógnitas, la cual puedes resolver por los métodos que ya estudiaste.

Vas ahora a tomar las ecuaciones (Ec. 2) y (Ec. 3): x + y + 2z = 18 (Ec. 2) x + 2y + z = 15 (Ec. 3)

Multiplicas entonces (Ec. 2) por –2 y la sumas a (Ec.3) para eliminar “y” –2x – 2y – 4z = –36 (Ec. 2) por –2 x + 2y + z = 15 (Ec. 3) – x – 3z = –21 (Ec. 5)

Paso 3: ahora tienes dos ecuaciones con dos incógnitas x – z = –11 (Ec.4) – x – 3z = –21 (Ec.5)

Puedes observar que al sumar ambas ecuaciones se elimina la incógnita x x – z = –11 (Ec. 4) – x – 3z = –21 (Ec. 5) – 4 z = – 32 z = −

−324

z = 8

Paso 4: ahora sustituyes el valor de z en (Ec.4) x – 8 = –11 x = –11 + 8 x = −3

Para encontrar el valor de x también puedes utilizar la Ec. 5. Hazlo en tu cuaderno y verifica que x = −3.Por último, sustituyes los valores x = – 3, z = 8 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar “y”.

2(– 3) + y + 8 = 7 (Ec.1) – 6 + y + 8 = 7 y = 7 + 6 – 8 y = 5

La solución del sistema de ecuaciones es: x = –3, y = 5, z = 8Verificación:

Incógnitas 2x + y + z = 7(Ec.1) x + y + 2z = 18(Ec.2) x + 2y + z = 15(Ec. 3)x= −3y= 5z= 8

2(−3) + 5 + 8 ?= 7−6 + 5 + 8 ?= 7

7 = 7

−3 + 5 + 2(8) ?= 72 + 16 ?= 7

18 = 18

−3 + 2(5) + 8 ?= 15−3 + 10 + 8 ?= 15

15 = 15satisface satisface satisface

UNIDAD 4


Entonces:

A = 1.250 = x + yB = 1.625 = x + zC = 1.875 = y + z

Lo cual plantea el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

x + y = 1.250 (Ec.1)x + z = 1.625 (Ec.2) y + z = 1.875 (Ec.3)

Escribes las “x” debajo de las “x” y las “y” debajo de las “y” y las “z” debajo de las “z”¿Cómo resuelves el sistema de ecuaciones anterior?

Ejemplo 2

Retoma la situación inicial y considera:

Sea x = diámetro de la varilla más pequeña. y = diámetro de la varilla mediana. z = diámetro de la varilla más grande.

Solución:

Se toman dos de las tres ecuaciones.

x + y = 1.250 (Ec.1)x + z = – 1.625 (Ec.2)

Multiplicas la ecuación 2 por (−1) para eliminar la incógnita “x”

x + y = 1.250 (Ec.1)– x – z = – 1.625 (Ec.2)

y – z = –0.375 (Ec. 4)

Observa que combinando (Ec. 4) con (Ec.3) se elimina z.

y + z = 1.875 (Ec.3)

y – z = –0.375 (Ec.4)

2y = 1.500 y = 1500

2.

y = 0.750 cm

Sustituyes y = 0.750 en (Ec.3),

0.750 + z = 1.875

z = 1.875 – 0.750

z = 1.125 cm

Por último sustituyes “y” en (Ec.1) para encontrar el valor de “x”.

x + 0.750 = 1.250

x = 1.250 – 0.750

x = 0.500 cm

R: El diámetro de la varilla más pequeña es 0.500 cm, el diámetro de la varilla mediana es 0.750 cm y el diámetro de la varilla grande 1.125 cm.

UNIDAD 4


Ejemplo 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

x + 4y – z = 6 (Ec. 1)

2x + 5y – 7z = – 9 (Ec.2)

3x – 2y + z = 2 (Ec.3)

Solución:

Se toma la Ec.1 y se multiplica por (2) y la Ec. 2 se multiplica por (−1). Luego se simplifican los términos.

2x + 8y – 2z = 12 (Ec. 1)

–2x – 5y + 7z = 9 (Ec. 2)

3y + 5z = 21 (Ec. 4)

Se toman las (Ec. 3) y (Ec.1). Para eliminar “x” multiplicas (Ec. 1) por 3 y (Ec. 3) por (−1).

3x + 12y – 3z = 18 (Ec.1)

–3x + 2y – z = –2 (Ec.3)

14y – 4z = 16 (Ec. 5)

La Ec. 5 se puede obtener una ecuación equivalente.

Dividiendo los términos entre 2 asi: 7y – 2z = 8 (Ec. 5)

Se ha reducido el sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas:

3y + 5z = 21 (Ec.4) 7y – 2z = 8 (Ec.5)

Para eliminar z, multiplicas (Ec. 4) por 2 y (Ec. 5) por 5 y sumas las ecuaciones

6y + 10z = 42

35y – 10z = 40

41y = 82

y = 8241

y = 2

Sustituyes y = 2 en (Ec. 5):

7(2) – 2z = 8

14 – 2z = 8

– 2z = 8 – 14

– 2z = – 6

z = −−

=62

3

z = 3

Para encontrar z, sustituyes y = 2, z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones originales. Sustituyendo esos valores en (Ec.1) tienes:

x + 4(2) – 3 = 6

x + 8 – 3 = 6

x = 6 + 3 – 8

x = 1

Comprueba en tu cuaderno si las respuestas son las correctas.

UNIDAD 4


Ejemplo 4

Resuelve el sistema.

z – 4 + 6 195

x − = – y (Ec.1)

10 – x z−12

8 = 2y – 1 (Ec.2)

4 z + 3y = 3x – y (Ec.3)

Solución:

Comienza en la Ec. 1, encontrando una ecuación equivalente multiplicando todos los términos por 5.

5z – 4 (5) + 5 6 195

( - )x = – 5y (Ec. 1)

5z – 20 + 6x – 19 = – 5y

Simplificando términos y ordenando

6x + 5y + 5z = 39 (Ec. 1)

Encontraras la ecuación equivalente a Ec. 2, multiplicando por 8.

(8)10 – 8 128

( )x z− = (8)2y – 8(1) (Ec.2)

80 – (x – 2z) = 16y – 8

Simplificando términos y ordenando

– x – 16y + 2z = – 88 (Ec. 2)

Ordenas (Ec.3) para encontrar la ecuación equivalente

– 3x + 4y + 4z = 0 (Ec. 3)

Combinas (Ec. 1) y (Ec. 2) para eliminar “x”.

Multiplicando la Ec. 2 por 6: − x − 16y + 2z = 88(6)

− 6x − 16y + 12z = − 528

6x + 5y + 5z = 39 (Ec.1)

–6x – 96y + 12z = – 528 (Ec.2)

– 91y + 17z = – 498 (Ec. 4)

Ahora combinas (Ec. 2) y (Ec. 3), para poder eliminar “x”.

3x + 48y – 6z = 264 (Ec.2)

– 3x + 4y + 4z = 0 (Ec.3)

52y – 2z = 264

Entre 2: 26y – z = 132 (Ec.5)

Combinando (Ec. 4) y (Ec.5) y eliminando z:

– 91y + 17z = – 498 (Ec. 4)

442y – 17z = 2244 (Ec. 5)(17)

351y = 1755

y = 1755351

Sustituyes y = 5 en (Ec. 5)

26(5) – z = 132

130 – z = 132

– z = 2

Por (–1) z = – 2

Ahora sustituyes los valores y = 5, z = – 2 en cualquiera de las tres ecuaciones, por ejemplo, si lo haces en (Ec. 3) tienes:

– 3x + 4(5) + 4 (– 2) = 0

– 3x + 20 – 8 = 0

– 3x = 8 – 20

– 3x = – 12

x = −−123

Comprueba en las ecuaciones originales los valores de x = 4, y = 5, z = – 2

y = 5

z = − 2

x = 4

UNIDAD 4


Ejemplo 5

Un veterinario desea controlar la dieta de un animal, de tal manera que mensualmente consuma 60 libras de avena, 75 de maíz y 55 de soya. El veterinario cuenta con tres tipos de alimentos. Cada uno contiene cantidades de avena, maíz y soya como se indica en la tabla. ¿Cuántas libras de cada alimento debe utilizar para obtener las cantidades deseadas?

Avena Maíz Soya1 lb de mezcla A 6 onzas 5 onzas 5 onzas1 lb de mezcla B 6 onzas 6 onzas 4 onzas1 lb de mezcla C 4 onzas 7 onzas 5 onzas

Solución:

Sea x = libras de alimento mezcla A.

y = libras de alimento mezcla B.

z = libras de alimento mezcla C.

Se tiene las ecuaciones:

6x + 6y + 4z = 60(16) = 960 (onzas de avena) (Ec. 1)

5x + 6y + 7x = 75(16) = 1200 (onzas de maíz) (Ec. 2)

5x + 4y + 5z = 55(16) = 880 (onzas de soya) (Ec. 3)

De Ec. 2 y Ec. 3 eliminas “x”

5x + 6y + 7z = 1200 (Ec. 2)

− 5x − 4y − 5z = − 880 (Ec. 3 por − 1)

2y + 2z = 320

y + z = 160 (Ec. 4)

Ecuación anterior dividida por 2

De Ec. 1 y Ec. 2 eliminas “x”, multiplicas la Ec. 1 por (−5) y la Ec. 2 por (6)

− 30x − 30y − 20z = − 4800 (Ec. 2)

30x − 36y + 42z = 7200 (Ec. 3 por −1)

6y + 22z = 2400

3y + 11z = 1200 (Ec. 5)

Ecuación anterior dividida por 2.

De Ec. 4 y Ec. 5 eliminas “y”, multiplicas la Ec. 4 por (−3)

− 3y − 3z = − 480 Sustituyes z = 90 en Ec. 4

3y + 11z = 1200 y + 90 = 160

8z = 720 y = 70

z = 90

Ahora, sustituyes z = 90, y = 70 en cualquiera de las tres ecuaciones originales.

5x + 4y + 5z = 55(16) = 880 5x = 880 − 4y − 5z

Luego: 5x = 880 − 4(70) − 5(90)

5x = 880 − 280 − 450

5x = 150

x = 30

Por lo tanto se deben utilizar 30 libras de la mezcla A, 70 libras de la mezcla B y 90 de la mezcla C.

Comprueba en tu cuaderno los resultados.

UNIDAD 4


Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, eliminamos una incógnita tomando dos de las tres ecuaciones. Después eliminamos la misma incógnita tomando otro par de ecuaciones. De esta forma obtenemos una pareja de ecuaciones sólo con dos incógnitas, sistema que resuelves por cualquiera de los métodos ya estudiados.

Resumen

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

a) 3x + 2y + z = 4 (Ec.1) 2x – 3y + 2z = –7 (Ec.2) x + 4y – z = 10 (Ec.3)

b) 2x – 5y + z = –10 (Ec. 1) x + 2y + 3z = 26 (Ec. 2) –3x – 4y + 2z = 5 (Ec. 3)

2. La suma del ángulo mayor y del mediano de un triángulo es 135º, y la suma del mediano y del menor es 110º. Calcula el valor de cada uno de los tres ángulos si la suma de ellos es 180º.

3. Una fábrica de muebles elabora: mesas, sillas y mecedoras; las cuales deben de procesarse por tres máquinas: I, II y III. Una mesa requiere una hora en la máquina I, una hora en la máquina II y dos horas en la máquina III. Los requerimientos de las sillas y mecedoras se indican en la tabla. Se dispone de las máquinas I, II y III de 600, 800 y 1050 horas respectivamente. ¿Cuántas unidades de cada tipo pueden elaborarse para utilizar todas las horas disponibles de las máquinas?

Actividad 1

Otra forma:

Paso 1. Despejas “x” de la Ecuación 1.

6 6 4 96023

160 16023

x y z

x y z x y z

+ + =

+ + = → = − −

Paso 2. Sustituyes el valor de x encontrado, en la Ec. 2 y Ec. 3.

Ecuación 2

5 16023

6 7 1200

800 5103

− −

+ + =

− −

y z y z

y z ++ + =

+ =

6 7 1200

113

400 4

y z

y z (Ec ) Ecuación 3

5 16023

4 5 880

800 5103

− −

+ + =

− − +

y z y z

y z 44 5 880

53

80 5

y z

y z

+ =

− + = (Ec )

Paso 3. Eliminas “y” de la ecuación 4 y 5.

y z

y z

z z

+ =

− + =

= → = ( )

113

400

53

80

163

808016

3

= 90

z

y

=

+ =

90 4113

90 4

, :Lo sustituyes en la ecuación

( ) 000 70

90 70

1

→ =

= =

=

y

z y

x

Luego sustituyes en, :

66023

160 702390 30

− −

= − − → =

y z

x x( )

El método anterior se conoce como método por sustitución. Descríbelo con tus palabras.

Mesas Sillas Mecedoras Disponibilidad en horas

M I 1 2 2 600M II 1 3 2 800M III 2 3 5 1050

UNIDAD 4


Autocomprobación

4 Y el valor de y es:a) 3 c)2

b) – 2 d)– 3

2 Al combinar (Ec. 4) con (Ec. 3) para eliminar z resulta:a) y = – 2 c)x = 1

b) x = –1 d)y = 2

1 Al eliminar “y” de las ecuaciones (Ec. 1) y (Ec. 2) resulta la ecuación (Ec. 4) que es:a) 2x + z = 5b) 6x + 3z = 15c) 2x – z = 5d) a y b son correctas

1. d. 2. c. 3. a. 4. c. Soluciones

3 Al sustituir el valor de “x” en (Ec. 3) resulta:a) z = 3b) y = – 2c) y = 2d) z = – 3

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron resueltos por los babilonios.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una

fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero

transformándolos en una ecuación lineal. Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

TM7P156

Imágenes de culturas babilónicas (jardines colgantes), griega (el Partenón) e india (el Ta j Mahal).

Sea el sistema de ecuaciones: 3x + y = 5 (Ec.1) 2y – 3z =–5 (Ec.2) x + 2z = 7 (Ec.3)

SISTEMASDEECUACIONES


Cuarta Unidad

Motivación

interpretarás, aplicarás y explicarás los métodos de solución para sistemas lineales de tres incógnitas.


Una cafetería estudiantil tiene 24 mesas de 3 tipos unas con 4 asientos cada una, otras con 6 asientos cada una y el último tipo de 10 asientos cada una. La capacidad total de asientos es de 148. Con motivo de una reunión estudiantil especial, se emplearán la mitad de las mesas de 4 asientos, un cuarto de las mesas de 6 asientos y una tercera parte de las de 10 asientos haciendo un total de 9 mesas.¿Puedes encontrar el número de mesas de cada tipo?

SiStemaS de ecuacioneS linealeS con treS incógnitaS: método de cramer

Lección 2

resolverás problemas que conllevan sistemas de ecuaciones de tres incógnitas, con orden y perseverancia.

Para poder resolver situaciones como la anterior y muchas más, necesitas tener conocimientos que aprenderás a continuación. En la unidad 1 página 16 se te mostró cómo encontrar un determinante de tres por tres.

1 4 35 1 23 0 1

Solución:

Escribe las dos primeras columnas a la derecha del determinante.

Considera el siguiente determinante y encuentra su valor:

Multiplicas a lo largo de las diagonales. Los productos de las diagonales que están hacia la derecha se toman como positivas y los de las diagonales que van hacia la izquierda como negativos

1 1 1 4 2 3 3 5 0 3 1 3 1 2( )( )( ) + ( )( )( ) + ( )( )( )[ ] − ( )( )( ) + ( )( ))( ) + ( )( )( )[ ]0 4 5 1

[1 + 24 + o] − [9 + 0 + 20] 25 − 29 −4

Sistemadeecuacioneslinealescontresincógnitas

1 4 3 1 4

5 1 2 5 1

3 0 1 3 0

9 0 20 1 24 0( - ) ( + )

1 4 3 1 45 1 2 5 13 0 1 3 0

UNIDAD 4


Por consiguiente, el valor del determinante es: 1 4 35 1 23 0 1

4= −

La forma en que resolviste el determinante anterior te parecerá conocida, se llama la regla de Sarrus, que te sirve para encontrar el valor de un determinante de orden tres por tres.

Ejemplo 1

Utiliza la regla de Sarrus para encontrar el valor del siguiente determinante.

1 5 03 2 11 2 3

−−

Solución:

Copias de nuevo las dos primeras columnas a la derecha de la última y multiplicas a lo largo de las diagonales.

1 2 3 5 1 1 0 3 2 0 2 1 1( )( )( ) + ( ) −( )( ) + ( )( ) −( )[ ] − ( )( )( ) + ( ) −−( ) −( ) + ( )( )( )[ ]1 2 5 3 3 = 6 – 5 + 0 – (0 + 2 + 45) = 1 – 47 = –46

1 5 03 2 11 2 3

−−

= – 46

Ejemplo 2

Calcula el determinante3 2 21 4 56 1 2

−

−

Solución:

Repitiendo las dos primeras columnas para aplicar la regla de Sarrus.

Luego, el determinante es igual a

3 4 2 2 5 6 2 1 1 2 4 6 3( )( )( ) + −( )( )( ) + ( )( ) −( )[ ] − ( )( )( ) + ( ) 55 1 2 1 2( ) −( ) + −( )( )( )[ ]24 60 2 48 15 4 38 29 67− −[ ]− − −[ ]= −( ) − = − 3 2 2

1 4 56 1 2

67−

−= −

Por lo tanto el determinante es:

6 −5 00 2 45

=[24 − 60 − 2] − [48 − 15 − 4]

− 38 − 29

− 67

3 -2 2 3 -2

1 4 5 1 4

6 -1 2 6 -1

48 -15 -4

24 -60 -2

1 5 0 1 5

3 2 -1 3 2

1 -2 3 1 -2

0 2 45

6 -5 0

UNIDAD 4


Ejemplo 3

Calcula el valor del determinante 0 1 23 1 50 2 3

−

−Solución:

Utiliza la regla de Sarrus:

2 4 13 2 01 1 0

2 43 21 1

−

− −

= (0 + 0 + 12) – (0 + 0 + 9) = 3 Comprueba en tu cuaderno este resultado.

Ejemplo 4

Encuentra por la regla de Sarrus 2 4 13 2 01 1 0

−

−Solución:

= (0+ 0 + 3) – (– 2 + 0 + 0) = 5

Actividad 11. Aplica la regla de Sarrus y comprueba las siguientes igualdades.

a) − − −

−− −

1 2 35 3 21 1 3

= − 39 b) 2 3 20 2 11 4 0

−−

= − 15

2. Calcula el valor de cada determinante.

a) 2 2 11 3 31 2 3

−− − b)

2 0 13 2 13 0 4

−−

− c)

1 3 25 2 04 1 3

−−

−

d)1 0 00 1 00 0 1

e)1 1 24 3 01 1 2

−

− f)

8 1 03 2 05 4 0−

Recuerda:

La regla de Sarrus te sirve exclusivamente para encontrar el valor de un determinante de orden tres por tres.

2 4 -1 2 4

3 2 0 3 2

1 -1 0 1 -1

-2 0 0

0 0 3

UNIDAD 4


A esta forma de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales con igual número de ecuaciones que de incógnitas se le llama:

Método de Cramer.

Ejemplo 5

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas usando determinantes:

x + 2y + z = 3

2x – y – z = 4

–x – y + 2z = –5

Solución:

Primero encuentras el determinante de los coeficientes de las incógnitas siempre que el sistema esté ordenado es decir: las x debajo de las x, las y debajo de las y, y así sucesivamente.

Le llamas ∆ (delta) a este determinante y lo encuentras como tú ya sabes.

∆ =

1 2 1 1 2

2 -1 -1 2 -1

-1 -1 2 -1 -1

1 1 8

-2 2 -2= – 2 + 2 – 2 – (1 + 1 + 8) = – 2 – 10 = – 12

De manera similar calculas:

∆ x =

3 2 14 1 15 1 2

− −− −

= −24

Observa que la primera columna se ha sustituido por la columna de las constantes.

∆ y =

1 3 12 4 11 5 2

−− −

= −12

Observa que la segunda columna se ha sustituido por la columna de las constantes.

∆z =

1 2 32 1 41 1 5

−− − −

= 12

Y en este determinante ¿Qué se ha hecho?

Verifica las respuestas de los determinantes anteriores. Luego, los valores de las incógnitas los encuentras así:

xx= =∆∆

3 2 14 1 15

− −− − −

−1 2 24

122

∆= =

yy

= =

−∆∆

1 3 12 4 111 5 2 12

121

− −= −

−=

∆

zz= =∆∆

1 2 32 1 41

−− − −1 5 12

121

∆=

−= −

Por lo tanto, x = 2, y = 1, z = –1.

Verifica esta solución, sustituyendo en cada ecuación del sistema original.

Solucióndeecuacioneslinealescontresincógnitasusandodeterminantes

UNIDAD 4


Solucióndesistemasdeecuacioneslinealescontresincógnitas.MétododeCramer

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

a x b y c z1 1 1+ + = d1 (Ec.1)a x b y c z2 2 2+ + = d2 (Ec.2)a x b y c z3 3 3+ + = d3 (Ec.3)

La solución del sistema por medio del método de Cramer es:

x = ∆∆

x y = ∆∆

y z = ∆

∆z , ∆ ≠ 0

y:

∆ = a b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, ∆x =d b cd b cd b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, ∆y =a d ca d ca d c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, ∆z =a b da d da d d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

¿Por qué crees que ∆ debe ser diferente de cero? ¿Cómo se obtuvieron los determinantes ∆x, ∆y, ∆z?

Ejemplo 6

Resuelve el sistema: 2x + y = 5 +z 3x + 2z = –3 + 2y x – 3y = 3z –2

Solución:

Primero debes ordenar el sistema, como se describió anteriormente. El sistema queda así: 2x + y – z = 5 3x − 2y + 2z = –3 x – 3y – 3z = –2

Comprueba en tu cuaderno los resultados de los siguientes determinantes.

∆ =

2 1 13 2 21 3 3

−−− −

= 42 ∆y = 2 5 13 3 21 2 3

−−− −

= 84

∆x =

5 1 13 2 21 3 3

−− −− − −

= 42 ∆z = 2 1 53 2 31 3 2

− −− −

= − 42

Luego, x = ∆∆

x = =4242

1 y = ∆∆

y= =8442

2 z = ∆∆

z = = −−4242

1

Las incógnitas están ordenadas en columnas.

UNIDAD 4


Ejemplo 7

Resuelve el sistema: x + 2z = 7 3x + y = 5 2y – 3z = –5

Solución:

Si la incógnita no se encuentra en la ecuación, la escribes con cero de coeficiente y luego ordenas el sistema así:

x + 0y + 2z = 73x + y + 0z = 50x + 2y – 3z = –5

Luego:

∆ = 1 0 23 1 00 2 3

9−

= ∆y = 1 7 23 5 00 5 3

18− −

=

∆x =

7 0 25 1 05 2 3

9− −

= ∆z = 1 0 73 1 50 2 5

27−

=

Calculas x, y, z, y obtienes:

x = ∆∆

x = =99

1 y = ∆∆

y= =182

2 z = ∆∆

z = =279

3

Ejemplo 8

Resuelve la situación planteada al inicio de esta lección.

Solución:

Sea: x = número de mesas con 4 asientos. y = número de mesas con 6 asientos. z = número de mesas con 10 asientos.Interpretas los datos que te dan y construyes el sistema:

x y z Ecx y z+ + =

+ + =24 1

4 6 10 148

( . )

(( . )

( . )

Ec

x y z Ec

212

14

13

9 3+ + =

(la cafetería tiene 24 mesas)

(La capacidad total de asientos es 148)

(Se emplean 9 mesas en total)

Si multiplicas por 12 la ecuación 3 trabajarás solo con números enteros así:

12

14

13

9 6 3 4 108x y z x y z+ + = + + =Equivale a

Luego obtienes el sistema de ecuaciones lineales:

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

244 6 10 1486 3 4 108

UNIDAD 4


Ahora, utilizas el método de Cramer: ∆=

1 1 14 6 106 3 4

146

163

= (24 + 60 + 12) – (36 + 30 + 16) = 96 – 82 = 14, ∆≠ 0

∆x =

24 1 1148 6 10108 3 4

24148108

163

= (576 + 1080 + 444) – (648 + 720 + 592) = 2100 – 1960 = 140 ∆y =

1 24 14 148 106 108 4

146

24148108

= ( ) – ( ) = 112. Completa y verifica la respuesta.

∆z =

1 1 244 6 1486 3 108

146

163

= ( ) – ( ) = 84. Verifica la respuesta.

Así, x = ∆∆

x = =14014

10 y = ∆∆

y= = 811214

z = ∆∆

z = =8414

6

La cafetería tiene 10 mesas con 4 asientos, 8 mesas con 6 asientos y 6 mesas con 10 asientos.

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Cramer:

a) 3x + y – 2z = 1 b) u + 2v – 3w = –7 c) 2x + 3y = –2 2x + 3y – 2z = 2 2u – v + w = 5 5y – 2z = 4 x – 2y + 3z = –10 3u – v + 2w = 8 3z + 4x = –7

2. En la caja fuerte del abuelo hay 1,400 dólares en billetes de diez, de veinte y de cincuenta. En total son 45 billetes. El número de billetes de cincuenta es el doble de los de diez. Ayuda al abuelo a descifrar cuántos billetes hay de cada denominación.

El símbolo a b c

a b c

a b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

Resumen

Luego, se procede así:

a) Se multiplican los elementos de las tres diagonales, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, afectando a cada producto el signo más.

b) Se multiplican los elementos de las diagonales que están en sentido inverso, afectando a cada producto el signo menos.

c) La suma algebraica de los seis productos es el valor del determinante.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, aplicas el método de Cramer.

a b ca b ca b c

a ba ba b

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1

2 2

3 3

+ + +− − −

formado por nueve números ordenados en tres filas y tres columnas se llama determinante 3 × 3 o de tercer orden. Para calcular su valor se emplea la regla de Sarrus.

Éste consiste en escribir a la derecha del determinante las dos primeras columnas del mismo:

Actividad 2

UNIDAD 4


En 1829 es nombrado profesor de Matemáticas en la facultad de Ciencias de Estrasburgo de la

cual es decano entre 1839 y 1852. Durante esta época publica la mayoría de sus trabajos. Sus

trabajos tratan sobre los métodos de resolución de ecuaciones numéricas y sobre el cálculo

de variaciones. Demostró el lema fundamental del cálculo de variaciones y publicó numerosas

obras sobre la resolución de ecuaciones numéricas (1832), integrales múltiples y

determinación de órbitas de los cometas. Enunció una regla para resolver determinantes

de orden tres (regla de Sarrus).

Soluciones1. d. 2. c. 3. d. 4. b.

Autocomprobación

El valor de z es:

a) –3 c)1b) 2 d)–1

4 El valor de ∆ es:

a) 1 c)–3b) –1 d)–6

2

El determinante correspondiente a ∆ es:

a)

− −

−

3 2 14 1 16 1 2

c)

1 2 33 1 41 1 6

−

−

b)1 3 13 4 11 6 2

− d)

1 2 13 1 11 1 2

−

−

1 3 El valor del determinante correspondiente al literal c, de la pregunta 1 es:

a) 1b) –1c) –3d) –6

Dado el siguiente sistema x + 2y – z = –3 3x + y + z = 4 x – y + 2z = 6

PIERRESARRUS(1798-1861)


Cuarta Unidad

Motivación

resolverás con esmero ejercicios y problemas aplicando la potenciación en números reales con polinomios como base, y exponentes enteros.


La cantidad de tiempo (en nano segundos) necesaria para probar el “chip” de una computadora de “n” celdas está dado en ciertas condiciones por la expresión t n n= +( ) + 2 2 2

Para simplificar está expresión necesitas desarrollar la potencia n +( )2 2

…

Potencia de PolinomioS

Lección 3

Lo anterior es aplicable al cuadrado de cualquier binomio, es decir, a (a + b)2 sean cuales sean a y b.

Ejemplo 1

Desarrolla: (2a6 + 5a2b3)2

Solución:

Para el desarrollo de un binomio al cuadrado aplicamos las fórmulas mostradas al principio de esta lección.

(2a6 + 5a2b3)2 = (2a6)2 + 2(2a6) (5a2b3) + (5a2b3)2

Recuerda que para elevar un monomio a una potencia entera positiva, elevas a cada uno de los factores a dicha potencia. O sea:

(2a6)2 = 22 (a6)2

= 4a12

(5a2b3)2 = 52(a2)2 (b3)2

= 25a4 b6

Y para efectuar el producto 2(2a6) (5a2b3)2 tienes que aplicar la propiedad conmutativa y el producto de potencias de la misma base, es decir:

2(2a6) (5a2b3) = 2(2) (5) a6 a2b3

= 20 a8 b3

Luego: (2a6 + 5a2b3)2 = 4a12 + 20 a8 b3 + 25a4 b6

Polinomioelevadoalcuadrado

a

a

bb

UNIDAD 4


Ejemplo 2

Desarrolla (3a4 – 5xy5)2

Solución:

(3a4 – 5xy5)2 = (3a4)2 – 2(3a4) (5xy5) + (5xy5)2

Efectúas cada uno de los términos:

(3a4)2 = 32(a4)2 = 9a8

– 2(3a4) (5xy5) = – 2(3) (5) a4 5xy5 = – 30 a4xy5

(5xy5)2 = 52x2 (y5)2 = 25 x2y10

Luego, (3a4 – 5xy5)2 = 9a8 – 30 a4xy5 + 25 x2 y10

Ejemplo 3

Desarrolla: (3x7 y2 – 5a4 x3)2

Solución:

(3x7y2 – 5a4x3)2 = (3x7y2)2 – 2(3x7y2) (5a4x3) + (5a4x3)2

Efectúas cada uno de los términos:

(3x7y2)2 = 32 (x7y2)2 = 9 x14y4

– 2(3x7y2) (5a4x3) = – 2(3)(5) a4x7x3y2 = – 30 a4x10y2

(5a4x3)2 = 5 (a4)2 (x3)2 = 25a8x6

Luego, (3x7y2 – 5a4x3)2 = 9 x14y4 – 30 a4x10y2 + 25a8x6

Ejemplo 4

Desarrolla: (3x6 + 4x2y4)2

Solución:

(3x6 + 4x2y4)2 = (3x6)2 + 2(3x6)(4x2y4)2 + (4x2y4)2

(3x6 + 4x2y4)2 = 9x12 + 24x8y4 + 16x4y8

Ejemplo 5

Desarrolla:

( )34

23

3 4 2a ab− =

Pero: ( )3

43 2a = ( ) ( )3

4916

2 3 2 6a a=

− = − = −2

34

23

234

23

3 4 3 4 4 4( )( ) ( )( )a ab a ab a b.

( ) ( ) ( )23

23

49

4 2 2 4 2 2 8ab ab a b= =

Luego:

( − ) = − +34

23

916

49

3 4 2 6 4 4 2 8a ab a a b a b

Ejemplo 6

Desarrolla: 34

23

3 32

x y+

Solución:34

23

3 32

x y+

=

34

32

x

+ 2

34

23

3 3x y

+

23

32

y

Efectúas cada uno de los términos:34

32

x

= 34

2

= x 3 2( )

= 3

4

2

2x 3 2( ) =

916

6x

34

23

3 3x y

= 2 3 24 3

3 3( )( )( )

x y

23

32

y

= 23

2

y 3 2( )

= 2

3

2

2y 3 2( )

=

49

y6

Luego:

34

23

3 32

x y+

=

916

x6 + x3 y3 + 49

y6

UNIDAD 4


Ejemplo 7

Desarrollar: ( )5 33 2 2x y y−

Solución:

( )5 33 2x y y− = ( )5 3 2x y − 2( )5 3x y ( )3 2y +( )3 2 2y

Pero: ( ) ( ) ( )5 5 53 2 2 3 2 6x y x y xy= =

− = −2 5 3 2 3 53 2 3 2( )( ) ( )( )x y y y y x. = −6 55y x

( ) ( )3 3 92 2 2 2 2 4y y y= =Luego: ( )5 33 2 2x y y− = 5 6xy −6 55y x +9 4y

Ejemplo 8

Encuentra el desarrollo de (x + y + z)2

Solución:

Como x + y + z = (x + y) + z, el polinomio puede desarrollarse como un binomio al cuadrado, donde (x + y) se considera como uno de sus términos y, z es el otro término. Luego, por la fórmula del binomio al cuadrado,

((x + y) + z)2 = (x + y)2 + 2 (x + y) (z) + z2

Pero (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

2(x + y) (z) = 2xz + 2yz z2 = z2

Entonces: (x + y) + z)2 = x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

Ejemplo 9

Desarrolla (x + y – z)2

Solución:

(x + y – z)2 = ((x + y) – z)2 = (x + y)2 – 2(x + y) (z) + z2

Pero (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

– 2 (x + y) (z) = – 2z (x + y) = – 2xz – 2yz

z2 = z2

Luego, ((x + y) – z)2 = x2 + 2xy + y2 – 2xz – 2yz + z2 = x2 + y2 + z2 + 2xy – 2xz – 2yz

UNIDAD 4


Ejemplo 10

Desarrolla (w + x + y + z)2

Solución:

(w + x + y + z)2 = ((w + x) + (y + z))2 = (w + x)2 + 2 (w + x)(y + z) + (y + z)2

Pero:

(w + x)2 = w2 + 2wx + x2

2 (w + x) (y + z) = 2wy + 2wz + 2xy + 2xz

(y + z)2 = y2 + 2yz + z2

Luego: (w + x + y + z)2 = w2 + 2wx + x2 + 2wy + 2wz + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2

(w + x + y + z)2= w2 + x2 + y2 + z2 + 2wx + 2wy + 2wz + 2xy + 2xz + 2yz

Al observar los desarrollos anteriores, ¿qué fórmula te sugiere un polinomio al cuadrado? ¿Cómo desarrollas por simple inspección (3x + 2y – z)2? Hazlo en tu cuaderno y compara tu solución con la siguiente.

(3x + 2y – z)2 = (3x)2 + (2y)2 + z2 + 2(3x) (2y) – 2 (3x) (z) – 2 (2y)(z)

= 9x2 + 4y2 + z2 + 12xy – 6xz – 4yz

En general, el cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el doble de cada una de las combinaciones de dos en dos que pueden formarse con los términos.

Ejemplo 11

Desarrolla por simple inspección:

a) (5x3 – 7x2 + 3x)2

b) (2x + 3y – 4a + 5b)2

Solución:

a) (5x3 – 7x2 + 3x)2 = (5x3)2 + (7x2)2 + (3x)2 – 2(5x3)(7x2) + 2 (5x3)(3x) – 2(7x2)(3x)

= 25x6 + 49x4 + 9x2 – 70x5 + 30x4 – 42x3

b) (2x + 3y – 4a + 5b)2 = (2x)2 + (3y)2 + (4a)2 + 2 (2x) (3y) – 2(2x) (4a) + 2(2x)(5b)

– 2(3y) (4a) + 2(3y) (5b) – 2(4a) (5b)

(2x + 3y – 4a + 5b)2 = 4x2 + 9y2 + 16a2 + 12xy – 16ax + 20bx – 24ay + 30by – 40ab

UNIDAD 4


Actividad 11. Desarrolla por simple inspección:

a) (x + 5)2 f) (x2y3 – x5)2

b) (2x − 5)2 g) x x221

2−

c) (3x − 2)2 h) 12

34

2

a b+

d) (3a + 5b)2 i) 56

35

3 22

a ab−

e) (5x4 – 3xy3)2

2. Desarrolla por simple inspección:

a) (2a+ 3b + c)2 c) (a + 2b – c)2

b) (2a2 + 4ab – 3b2)2 d) (x2 – 3x + 5)2

Si multiplicas (a + b)2 por (a + b) obtienes (a + b)3

Es decir:

(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) (a + b)

Al efectuar este producto obtienes

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

De manera similar:

(a – b)3 = (a – b)2(a – b)

= (a2 – 2ab + b2) (a – b)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Estas dos expresiones las utilizarás para efectuar o desarrollar el cubo de un binomio.

Ejemplo 12

Desarrolla: (5x3 + 3x2y5)3

Solución:

(5x3 + 3x2y5)= (5x3)3 + 3(5x3)2 (3x2y5) + 3(5x3)(3x2y5)2 + (3x2y5)3

Efectúa cada término:

(5x3)3 = 53(x3)3 = 125 x9

3(5x3)2 (3x2y5) = 3(25x6) (3x2y5) = 3(25) (3)x6x2y5

= 225x8y5

3(5x3) (3x2y5)2 = 3(5x3) (9x4y10) 135x7y10 = 3(5) (9)x3x4y10 = 135x7y10

(3x2y5)3 = 3(x2)3 (y5)3

= + 27x6y15

Luego: (5x3 + 3x2y5)3 = 125 x9 + 225x8y5 +135x7y10 + 27x6y15

(a + b)3

(a + b)2 por (a + b)(a2 + 2ab + b2) (a + b)(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) (a + b) = a(a2 + 2ab + b2) + b (a2 + 2ab + b2) = a a b ab ba ab b3 2 2 2 2 32 2+ + + + + = a a b ab b3 2 2 33 3+ + +

Polinomioselevadosalcubo

UNIDAD 4


Ejemplo 13

Efectúa: 35

56

23

a b−

Solución:35

56

23

a b−

=

35

3

a

−3

35

56

22a b

+3

35

56

22

a b

−

56

23

b

Simplificas cada término anterior.35

3

a

=35

33

a =

27125

3a

35

56

22a b

= −3 35

56

3925

56

91

22 2

2 2

= −

−

a b

a b00

2 2a b

35

56

22

a b

=3

35

56

22 2a b

( )

=3

35

2536

4a b

=

35

2536

4

ab =

54

4ab

56

23

b

=

56

32 3

( )b = −

125216

6b

Ahora sustituyes los resultados. Luego: 35

56

23

a b−

=

27125

3a −910

2 2a b +54

4ab −125216

6b

Ejemplo 14

Desarrolla (a8 + 5a2b3)3

Solución:

(a8 + 5a2b3)3 = (a8)3 + 3(a8)2(5a2b3) + 3(a8) (5a2b3)2 + (5a2b3)3

Simplificas cada uno de los términos.

(a8)3 = a24

3(a8)2(5a2b3) = 3a16 (5a2b3) = 3(5) a16a2b3 = 15a18b3

3(a8) (5a2b3)2 = 3a8(25a4b6) = 3(25) a8a4b6 = 75 a12b6

(5a2b3)3 = 125 a6b9

Luego, (a8 + 5a2b3)3 = a24 + 15a18b3 + 75 a12b6 + 125a6b9

UNIDAD 4


En general, un polinomio al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos más el duplo de las combinaciones de dos términos que pueden formarse.

Una particularización de esta regla es: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab

En general, un polinomio al cubo es igual al cubo de cada término, más tres veces el cuadrado de cada uno por cada uno de los demás, más seis veces cada uno de los productos de tres términos que pueden formarse.

Una particularización de esta regla es: (a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 (a – b)3 = a3 – b3 – 3a2b + 3ab2

Resumen

Luego, sustituyes en:

((a + b) + c)3 = (a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3 los resultados anteriores.

(a + b + c)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3a2c + 3b2c + 6abc + 3ac2 + 3bc2 + c3

Ordenas:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc

El desarrollo anterior da la siguiente regla.

El cubo de un polinomio es igual al cubo de cada uno de sus términos, más el triple del cuadrado de cada uno por cada uno de los demás términos, más seis veces cada uno de los productos de sus términos que pueden formarse.

Nota que en el ejemplo anterior por tratarse de un trinomio, sólo existe una combinación de tres términos.

Actividad 21. Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo.

a) (2x − 3)3 = (2x)3 − 3(2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33=

b) (x + 2)3 = x3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 22 + 23 =

c) (3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 =

d) (2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 53 =

2. Efectúa los siguientes cubos.

a) (2x + 3y)3 e) (4a3 – 3ab2)3

b) (2x – 3y)3 f) (7x4 – 5x3y3)3

c) (4x – 3y2)3 g) 34

45

2 23

x y−

d) (5a2 + 6y3)3 h)

56

310

2 43

x y y−

3. Efectúa los siguientes cubos.

a) (x + y – z)3 b) (2x – 3y + z)3

Ejemplo 15

Eleva al cubo a + b + c

Solución:

(a + b + c)3 = ((a + b)+ c)3

Ahora tratas (a + b) + c como un binomio, donde (a + b) y c son sus términos. Luego, aplicando la fórmula del binomio al cubo tienes: (a + b + c)3 = ((a + b) + c)3

= (a + b)3 + 3(a + b)2 c + 3(a + b) c2 + c3

Desarrolla cada uno de los términos.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

3(a + b)2c = 3c (a + b)2 = 3c (a2 + 2ab + b2) = 3a2c+ 6abc + 3b2c = 3a2c + 3b2c + 6abc 3(a + b)c2 = 3c2 (a + b) = 3ac2 + 3bc2

c3 = c3

UNIDAD 4


Soluciones1. c. 2. c. 3. d. 4. b.

De la misma forma que el desarrollo de (a + b)2 se demuestra con áreas, puede demostrarse que

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 utilizando volúmenes, como lo muestra la figura de

la izquierda. El cubo en azul representa a3, el rojo b3. Observa

que hay tres de la forma ab2 y tres de la forma a2b

Al desarrollar (a + x + 5)2 el número de términos que se encuentran son los siguientes:

a) 4b) 6c) 10d) 8

4 El desarrollo de 34

12

32

x y+

es:

a) 64

68

14

2 3 6x xy y+ +

b) 916

34

14

2 3 9x xy y+ +

c) 916

34

14

2 3 6x xy y+ +

d) 64

234

12

14

2 3 9x xy y+

+

2

El tercer término que corresponde al desarrollo de (5x2b – 3x3)2 es:a) 6 x6 c)9x6

b) 9x3 d)– 30x5b

1Autocomprobación

3 ¿Cúal de los términos siguientes se encuentra en el desarrollo de la expresión (5a3b − 2a2c)3?a) 125a9b3 c) – 8a6c3

b) 8a6c3 d) a y c son correctos.

ELCUBODEUNBINOMIO

(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3

b

aa b ab

ba b2

a2 a2= + + +

a3

b3

ab2

a2b

b


Motivación

Cuarta Unidad

aplicarás con perseverancia el Binomio de newton para obtener la potencia de un binomio.


Después de 7 años, una inversión de $1,000 a una tasa de interés anual i, es igual a 1 000 1 7, +( )i . Si deseas determinar el desarrollo de 1 7+( )i resulta muy largo su procedimiento. En esta lección aprenderás a determinarlo directamente al igual que el de otros binomios elevados a una potencia entera no negativa.

deSarrollo del Binomio de newton

Lección 4

Acá te presentamos el desarrollo de las primeras cinco potencias del binomio a + b

(a + b)1 = a + b(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Tú puedes verificar estas respuestas multiplicando el desarrollo de cada renglón por a + b. Así obtienes el desarrollo del siguiente renglón.

El objetivo en esta lección consiste en encontrar directamente estos desarrollos, sin tener que multiplicar. Es decir: deseamos que seas capaz de desarrollar (a + b)n.

A continuación te presentamos como hacerlo.

Representa con n un entero positivo. Como se observa en los casos anteriores, cada desarrollo comienza con an y termina con bn. Además, cada desarrollo tiene n + 1 términos, todos ellos precedidos por signos positivos. Ahora veamos el caso de n = 5.

Reemplaza el primer término, a5, por a5b0 y usa a0b5 en lugar de b5.

(a + b)5 = a5b0 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + a0b5

De esta forma se aclara que (de izquierda a derecha) los exponentes de a disminuyen sucesivamente de 1 en 1, empezando con 5 para terminar con cero. Al mismo tiempo, los exponentes de b aumentan de cero a 5.

Verifica que esto se cumple también en los demás casos que te presentamos.

UNIDAD 4


Aprovechando las observaciones anteriores, debes esperar que el desarrollo de (a + b)6 tenga siete términos. Entonces, salvo por los coeficientes, desconocidos aún. Deben quedar así:

a6 + __ a5b + __ a4b2 + __ a3b3 + __ a2b4 + __ ab5 + b6

La lista de desarrollos revela que el segundo coeficiente, igual que el coeficiente del penúltimo término, es el número n. Al colocar estos coeficientes, para el caso n = 6 da:

a6 + 6a5b + __ a4b2 + __ a3b3 + __ a2b4 + 6ab5 + b6

Para obtener los demás coeficientes, volvemos al caso n = 5 y averiguamos cómo se pueden generar esos coeficientes. Observa el segundo y tercer término.

Verifica que este procedimiento da resultado para obtener el siguiente coeficiente.

Con base en estos datos, esperamos que sea posible obtener de la misma manera los coeficientes desconocidos en el caso de n = 6. Aquí te presentamos los cálculos.

Usamos 6 a 5 b + __ a4b 2 3er coeficiente = =5 62

15( )

Usamos 15 a 4 b2 + __ a3b3 4º coeficiente = =4 15

320

( )

Usamos 20 a 3 b3 + __ a2b4 5º coeficiente = =3 20

415

( )

Por último puedes escribir el siguiente desarrollo:

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

Si el 4, exponente de a en el segundo término, se multiplica por 5, el coeficiente del propio segundo término, y luego se divide entre 2, el exponente de b en el tercer término, el resultado es 10, el coeficiente del tercer término. Esto te lo representamos en el siguiente esquema.

5 a ⁴ b 10 a ⁴ b ³

2° término 3er término

5a4b1

Segundo término

Tercer término10a3b2

4(5) =10

21 + 1

UNIDAD 4


Por ejemplo con n = 6

(a – b)6 = [a + (–b)]6 = a6 + 6a5(–b) + 15a4(–b)2 + 20a3(–b)3 + 15a2(–b)4 + 6a(–b)5 + (–b)6

= a6 – 6a5b + 15a4b2 – 20a3b3 + 15a2b4 – 6ab5 + b6

Este resultado indica que el desarrollo de (a – b)n es el mismo desarrollo de (a + b)n, excepto porque los signos se van alternando, tras empezar con el signo más.

Se puede ahorrar más trabajo, observando la simetría del desarrollo de (a + b)n. Por ejemplo, cuando n = 6, los coeficientes son simétricos en relación con el término del centro.

De modo semejante, cuando n = 5, los coeficientes son simétricos respecto de los dos términos del centro. Para obtener el desarrollo de una potencia del binomio a – b, escribes: a – b = a + (– b) y sustituyes esto en la forma obtenida previamente con a + b.

Ejemplo 1

Escribe el desarrollo de (x + 2)7

Solución:

Haces que x y 2 desempeñen el papel de a y b, respectivamente, en (a + b)7

(x + 2)7 = x7 + 7x6 2 + __ x5 22 + __ x4 23 + __ x3 24 + __ x2 25 + 7x 26 + 27

Ahora, calculas los coeficientes faltantes de la manera siguiente:

3er coeficiente = 6 72( )

= 21 = 6º coeficiente (por simetría de los coeficientes)

4º coeficiente = 5 213( )

= 35 = 5º coeficiente (comprueba en tu cuaderno que son iguales)

Ya puedes ofrecer el desarrollo completo, como sigue:

(x + 2)7 = x7 + 7x6 2 + 21 x5 22 + 35 x4 23 + 35 x3 24 + 21x2 25 + 7x 26 + 27

(x + 2)7 = x7 + 14x6 + 84x5 + 280x4 + 560x3 + 672x2 + 448x + 128

Tras adquirir un poco de práctica con estos cómputos, debes estar en condiciones de escribir el desarrollo del caso general (a + b)n, donde n es cualquier entero positivo; o sea la fórmula del binomio (de Newton)

(a + b)n = an + n1

an−1b + n n( )−⋅1

1 2 an−2b2 + n n n( )( )− −

⋅ ⋅1 21 2 3

an−3b3 + . . .+ n1

abn−1 + bn

El término general o r-ésimo se puede expresar así:

n n n n rr

( )( ) ( )!

− − ⋅⋅⋅ − +1 2 1

UNIDAD 4


Segundo términoNecesitas combinar todos los términos de la forma a4b. ¿Cómo se forman esos términos, en el proceso de multiplicación que nos da el desarrollo?

Uno de estos términos se forma multiplicando las letras “a” de los primeros cuatro factores por la “b” del último factor.

(a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b)

(a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b)

Producto = a⁴b

Producto = a⁴b Puedes notar que el número de esos términos es igual al número de maneras de escoger sólo una de las letras “b” de los cinco factores. Esto se puede lograr de cinco maneras, que es posible expresar así:

5C1 o así: 51

, se obtiene el coeficiente de a4b

Ejemplo 4

Calcula el valor de 27 desarrollando (1 + 1)7

Solución:

Como cualquier potencia de 1 es igual a 1, el desarrollo de (1 + 1)7 corresponde a la suma de los coeficientes del desarrollo de (a + b)7. Por lo tanto, tienes:

27 = (1 + 1)7 = 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128

Has desarrollado la fórmula del binomio al partir de casos específicos para obtener una forma general común. No obstante, también puedes aprovechar tus conocimientos de las combinaciones para hallar esta fórmula de otra manera. Toma el desarrollo de (a + b)5, pero esta vez desde otro punto de vista:

(a + b)5 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b) 5 factores

Para desarrollar (a + b)5, considera cada término de la manera siguiente:

Primer términoMultiplicas todas las letras “a” juntas para obtener a5

Otro de estos términos se forma así:

Ejemplo 2

Usa la fórmula del binomio para escribir el desarrollo (x + 2y)4

Solución:

Emplea la fórmula con a 0 x, b = 2y, n = 4. Luego simplificas:

(x + 2y)4 = x4 + 41

x3(2y) + 4 31 2⋅⋅

x2 (2y)2 + 4 3 21 2 3⋅ ⋅⋅ ⋅

x (2y)3 + (2y)4

= x4 + 8x3y + 24x2 y2 + 32xy3 + 16y4

Ejemplo 3

Desarrolla: (x – 1)7

Solución:

Aprovecha los coeficientes hallados en el ejemplo (x + 2)7 de esta lección, con signos alternados.

(x – 1)7 = x7 – 7x6 11 + 21x5 12 – 35 x4 13 + 35x3 14 – 21x2 15 + 7x 16 – 17

= x7 – 7x6 + 21x5 – 35 x4 + 35x3 – 21x2 + 7x – 1

UNIDAD 4


Tercer término

Buscas todos los términos de la forma a3b2. El número de maneras de seleccionar dos

letras “b” de cinco términos; o sea 5C2 o también 52

Cuarto término

El número de términos de la forma a2b3 corresponde al número de maneras de elegir

tres letras “b” de cinco términos; es decir 5C3 o también 53

Quinto término

El número de maneras de escoger cuatro letras “b” de cinco términos; es 5C4 o también, 54

o sea, el coeficiente de ab4

Sexto término

Multiplicas todas las letras “b” para obtener b5

En estas condiciones, escribes el desarrollo de (a + b)5 en esta forma:

a5 + 51

a4b + 52

a3b2 + 53

a2b3 + 54

ab4 + b5

Para que esta forma resulte coherente, escribes el coeficiente a5 así: 50

y el de b5 así: 55

En cada caso, observa que 50

= 55

1

=

Se puede elaborar un argumento semejante para cada uno de los términos del desarrollo de (a + b)n. Por ejemplo, para encontrar el valor del coeficiente que tiene los factores an-rbr, necesitas calcular el número de las diferentes maneras de seleccionar r letras “b” de n términos. Esto se puede expresar así: nCr o así:

nr

Y ahora se puede generalizar todo y escribir esta segunda forma de la fórmula del binomio:

(a + b)n = n0

anb0 + n1

an−1b1 + n2

an−2b2 + . . . + nr

an−rbr + . . .

+

nn r−

a1b n−1 + nn

a0bn

Este desarrollo puede escribirse también en notación de sigma: (a + b)n =

nrr

n

=

∑0

an−rbr

Observa que los números

nr

son los coeficientes del binomio.

En la fórmula del binomio, observa que en cada término la suma de los exponentes es igual a n. Además, el término general mencionado es realmente, el término que ocupa el lugar r + 1 en el desarrollo. Estas observaciones se aplican en los ejemplos siguientes.

UNIDAD 4


Ejemplo 5

Encuentra el sexto término del desarrollo de (a + b)8

Solución:

Observa que el exponente de b en el desarrollo general corresponde siempre a una unidad menos que el número del término. Por otra parte, la suma de los exponentes de cada término debe ser igual a 8.

Entonces, el sexto término tiene la forma a3b5, y el coeficiente de este término es 85

= 56, como se muestra a continuación: 85

= 8C5 = 8!5! 3!

= 56

El sexto término es 56 a3b5

También puedes resolver este ejemplo, consultando la forma general del desarrollo y el

término del lugar r + 1, que ahí aparece. Así, para hallar el sexto término, tomas r +1 = 6

en consecuencia, r = 5, y tienes: nr

an−rbr = 85

a3b5

Ejemplo 6

Encuentra el cuarto término del desarrollo de (x – 2y)10

Solución:

Usas el término general nr

an−rbr, que corresponde al que ocupa el cuarto lugar r + 1.

Entonces:

r + 1 = 4, r = 3, n = 10 y n – r = 7. En estas condiciones, el cuarto término es: nr

x7 ( – 2y)3 = 120x7( – 8y3) = – 960x7y3, ya que:

103

103 7

10 9 8 73 2 1 7

120

= = × × ×× ×

=!! !

!( !)

UNIDAD 4


El binomio de Newton consiste en una fórmula que permite encontrar el desarrollo de (a + b)n, con n un número entero no negativo.

Dicha fórmula establece que el término general o r-ésimo del desarrollo (a + b)n es:

n n n n r

r( )( ) ( )

!− − ⋅⋅⋅ − +1 2 1

Mientras que el desarrollo del binomio (a + b)n en notación de sigma está dado por la expresión:

(a + b)n = nra b

r

nn r r

=

−∑0

Resumen

Actividad 11. Aplica la fórmula del binomio de Newton y desarrolla.

a) (x + 1)8 c) (3x – 5)5 e) (5x – y)4

b) (x – 1)8 d) (2 + k)9 f) (3x – 2y)6

2. Calcula el valor de 29 mediante el desarrollo de (1 + 1)9

3. Escribe los primeros cinco términos del desarrollo de (a + 2)12 ¿Cuáles son los últimos términos?

UNIDAD 4


1. d. 2. b. 3. c. 4. c. Soluciones

Sir Isaac Newton fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés. Describió la ley

de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que

llevan su nombre.

Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó

entonces el teorema del binomio.

El teorema del binomio fue desarrollado entre los años 1664 y 1665, al finalizarlo, Sir Isaac Newton presenta el enunciado de su teorema y lo ilustra.

Autocomprobación

El coeficiente del quinto término de (w + z)20 es igual al coeficiente del término que ocupa la posición número:a) 10b) 17c) 16d) Ninguna de las anteriores.

2

El número de términos que posee (a – 5x7)9 es:

a) 7 c) 8

b) 9 d) 10

1 3 El décimo término del desarrollo de (x – 2y)15 es:

a)1510

25 10

( )x y c) −

( )159

26 9x y

b) 159

26 9

( )x y d) −

( )1510

25 10x y

Para calcular el valor de 212, nos apoyamos en el desarrollo de:a) (1 +1)11

b) (1 +1)13

c) (1 +1)12

d) Ninguna de las anteriores.

4

TM07P180

(a + b)n =

SIRISAACNEWTON(1643-1727)


Motivación

Cuarta Unidad

A l observar los desarrollos de: x y+( ) =01

x y x y+( ) = +1 , … ¿Puedes contestar las siguientes preguntas?a) ¿Cuántos términos hay en x y+( )3

? ¿ x y+( )5?

… x y n+( )b) ¿Cómo varían las potencias de x?c) ¿Cómo varían las potencias de y?d) ¿Cuál es el primero y último término de x y+( ) ?e) ¿Cuál es la suma de los exponentes de x e y?


construirás con orden y aseo el triángulo de Pascal hasta

n = 9

deducirás, aplicarás y explicarás con seguridad la fórmula para calcular el término general del desarrollo de un binomio.

resolverás problemas utilizando la fórmula que determina el término general de un binomio con confianza.

el triángulo de PaScal

Lección 5

En base a la fila 5ª, ¿puedes escribir las filas 6ª, 7ª, 8ª y 9ª del triángulo?

Hazlo en tu cuaderno. Compara tu respuesta con el esquema de la página siguiente.

TriángulodePascal

1 4 6 4 1 + + + +

1 5 10 10 5 1

Cuarta fi la

Quinta fi la

En el siguiente esquema observa la relación que existe entre la 4ª y 5ª fila.

UNIDAD 4


Puedes observar que mediante el desarrollo del triángulo de Pascal obtienes los coeficientes de los términos que corresponden al del binomio (a + b)n.

Ejemplo 1

En base a las filas del triángulo de Pascal, encuentra el desarrollo de:

a) (x + y)7

Solución:

Los coeficientes del desarrollo de (x + y)7 se ubican en la fila 7º del triángulo:

1 7 21 35 35 21 7 1 luego, (x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7

b) (x – y)7

Solución:

Como sabes los coeficientes son los mismos que los del desarrollo (x – y)7, excepto por el signo de los términos pares, que es negativo.

Es decir: (x – y)7 = x7 – 7x6y + 21x5y2 – 35x4y3 + 35x3y4 – 21x2y5 + 7xy6 – y7

c) (2a + 3b)5

Solución:

Los coeficientes son: 1, 5, 10, 10, 5, 1, tienes: (2a + 3b)5 = (2a)5 + 5(2a)4 (3b) + 10(2a)3 (3b)2 + 10(2a)2 (3b)3 + 5 (2a)(3b)4 + (3b)5

(2a + 3b)5 = 32a5 + 5(16a4)(3b) + 10(8a3)(9b2) + 10(4a2)(27b3) + 5 (2a)(81b4) + 243b5

(2a + 3b)5 = 32a5 + 240a4b + 720a3b2 + 1080a2b3 + 810ab4 + 243b5

d) (3a3 – 2b)4

Solución:

Los coeficientes de (a – b)4 son: 1, 4, 6, 4, 1, luego,(3a3 – 2b)4 = (3a3)4 – 4(3a3)3(2b) + 6(3a3)2(2b)2 – 4 (3a3)(2b)3 + (2b)4

(3a3 – 2b)4 = 81a12 – 4(27a9)(2b) + 6(9a6)(4b2) – 4 (3a3)(8b3) + 16b4

(3a3 – 2b)4 = 81a12 – 216a9b + 216a6b2 – 96a3b3 + 16b4

1 5 10 10 5 1+ + + + +

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

UNIDAD 4


e) x y+( )6 donde x e y representan números positivos.

Solución:

Como los coeficientes de son 1, 5, 15, 20, 15, 6, 1, tienes:

x y x x y x y x y x+( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + (6 6 5 4 2 3 36 15 20 15 )) ( )2 4

y + ( )( ) + ( )65 6

x y y

= x3 + 6x2 x y( )( ) + 15x2y + 20xy x y( )( ) + 15xy2 + 6y2 x y( )( ) + y3

Actividad 11. Tomando como base el triángulo de Pascal, desarrolla:

a) (a + b)6 c)(a − 3b)7

b) (3x − 2y)6 d) (2 x + 3)6

2. El triángulo de Pascal presenta muchas propiedades matemáticas. Descubre algunas de ellas.

a) Calcula la suma de números de cada fila.

b) ¿Qué representan estos números?

¿Qué observas en los números de la diagonal que aparece señalada?

¿Y qué pasa con los números que aparecen en la otra diagonal?

TriángulodePascalynúmeroscombinatorios

Al escribir los elementos del triángulo de Pascal como números combinatorios tienes:

Recuerda que un número combinatorio se calcula mediante la fórmula:

nr

nr n r

=−!

!( )!Ejemplo 2

Calcula el valor de: 83

Solución:83

83 8 3

83 5

=−

=!! !

!! !( )

= ( )( )( )( )( )( )( )

=8 7 6 53 2 1 5

56!

!

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

10

1 10 1

2 2 20 1 2

3 3 3 3 0 1 2 3

4 4 4 4 40 1 2 3 4

5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

6 6 6 6 6 6 60 1 2 3 4 5 6........................................................

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

UNIDAD 4


Actividad2Considera los siguientes triángulos:

1. ¿Qué indican los puntos suspensivos en estos triángulos?

2. Copia en tu cuaderno el triángulo de la derecha y escribe tres filas más de él.

3. Aplica la fórmula del número combinatorio y comprueba la equivalencia entre los elementos del triángulo descrito en las dos formas.

Ejemplo 3

Desarrolla (2x + 3y)5 utilizando números combinatorios.

Solución:

(2x + 3y)5 = 50

(2x)5 + 51

(2x)4 (3y) + 52

(2x)3 (3y)2 + 53

(2x)2 (3y)3 + 54

(2x)(3y)4 + 55

(3y)5

Calculas los coeficientes:50

= 1

51

= 51 5 1

51 4

5 41 4

!!( )!

!! !

!!−

= =××

= 5

52

= 52 5 2

52 3

5 4 32 3

!!( )!

!! !

!!−

= =× ×

×= 10

53

= 53 5 3

53 2

5 4 33 2

!!( )!

!! !

!!−

= =× × = 10

54

= 54 5 4

54 1

5 44 1

!!( )!

!! !

!! !−

= =× = 5

55

= 1

Luego, (2x + 3y)5 = (2x)5 + 5(2x)4(3y) + 10(2x)3 (3y)2 + 10(2x)2(3y)3 + 5(2x)(3y)4 + (3y)5

= 32x5 + 240x4y + 720x3y2 + 1080x2y3 + 810xy4 + 243y5

10

1 10 1

2 2 20 1 2

3 3 3 30 1 2 3

4 4 4 4 40 1 2 3 4

5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

6 6 6 6 6 6 60 1 2 3 4 5 6

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1................................. .....................................

UNIDAD 4


Ejemplo 4

Encuentra sin efectuar el desarrollo el 98º término de:

ab

+

1 100

Solución:

El coeficiente del primer término es: 1000

El coeficiente del segundo término es:

1001

El coeficiente del tercer término es:

1002

El coeficiente del 98º término es:

10097

Luego, el término 50º es:

T98 = 100 1100 97

97

97

( )

−ab

T98 = −161 700 3 97, a b

Comprueba en tu cuaderno esta respuesta.

Ejemplo 5

Determina el quinto término de a b−( )9 con b ≥ 0.

Solución:

T5 = 94

a b9 4 4− ( ) ; pero b( )4

= b2, ya que b ≥ 0

T5 =

94

a b5 2

Pero

94

= 9

4 9 49 8 7 6 5

4 5!

!( )!!

! !−=

× × × × = 126

Luego: T5 = 126a5b2

Ejemplo 6

Si el segundo término del desarrollo de la potencia de un binomio es:

1211

12

11

a b

¿Cuál es el término penúltimo? ¿Y cuál es el binomio y su potencia?

Solución:

El penúltimo término será el del lugar 12, pues habrá 13 términos y es:

T12 = 1211

12

11

a b

Luego, el binomio y su potencia serán:

a b+

12

12

UNIDAD 4


Ejemplo 7

Halla el término medio del desarrollo de: 2 3 2 14−( )a b

Solución:

Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es el de lugar 8, tiene 7 términos anteriores y 7 posteriores:

T8 = 147

2 3147

2 314 7 2 7 7 2 7

( ) ( ) =

( ) ( )−

a b a b

T8 = ( ) ( )3 432 2 37 7 7 14, a b

Comprueba cada paso.

T8 = ( )( )3 432 2 187 2 23 3 14, , a a b

T8 = ( )( )3 432 2 187 8 23 14, , a b a

T8 =60046 272 23 14, a b a

Del teorema del binomio se observa que:

El k-ésimo término del desarrollo de a b n+( ) ,

con k n≤ +1 es:

nk

a bn k k

−

− −( ) −

11 1

El k-ésimo término del desarrollo de a b n−( ) ,

con k n≤ +1 es:

−( )−

− − −( ) −11

1 1 1k n k knk

a b

Ejemplo 8

Escribe el término onceavo en el desarrollo de: 2 2 2 20xy

yx

−

Solución:

Como la expresión tiene la forma a b n−( ) utilizas la fórmula del k-ésimo término:

−( )−

− − −( ) −11

1 1 1k n k knk

a b

Se pide el onceavo término por lo que k = 11. En este ejemplo se tiene que:

k = 11, k – 1 = 10, n = 20, axy

=2 2

, byx

=2

Sustituyes cada uno de estos valores en la fórmula y obtienes:

Txy

yx11

102 20 10 2 10

1 2010

2= −( )

−

Txy

yx11

10 2 10

10

20

101 2010

2=

( )

Txy

yx11

10 20

10

20

10

2010

2=

con 2010

2010 10

184 756

= =!

! !, T x y11

10 10 10184 756 2= ( ) =, 189190 144 10 10, x y

UNIDAD 4


El triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia es una figura formada por los coeficientes del desarrollo del binomio (a + b)n. Mediante él llegamos a la siguiente igualdad.

(a + b)n . = nka b

k

nn k k

=

−∑0

Resumen

Actividad 31. En el cuaderno copia y completa las siguientes filas del triángulo de Pascal

a)90

b) 113

2.Dado el binomio 2 200

xk+

encuentra sin efectuar el desarrollo:

a) el 12º término c) el último término

b) el 100º término d) el término central

3. Escribe los primeros cuatro términos de:

a) x y−( )320 b) 3 5 2 18

x y+( )

UNIDAD 4


1. d. 2. a. 3. d. 4. d. Soluciones

En la ciencia, muchas veces no aparecen los nombres de los científicos que han aportado

a la creación de inventos o leyes. Por ejemplo, las leyes de Newton fueron la conclusión de los trabajos de Galileo. Similarmente el triángulo de Pascal o de Tartaglia tiene su origen en época muy anterior al de los matemáticos. En el siglo

XII fue estudiado por el matemático y poeta persa Omar Khayyam, y en el siglo XIII por el

matemático chino Yang Hui.

Autocomprobación

El término central de x y−( )920 es:

a) −

209

911 9x y( ) c) −

2010

910 10x y( )

b) 209

911 9

x y( ) d)

2010

910 10

x y( )

4 El coeficiente del último término del desarrollo de a b+( )30 es:a) 1 c)

3130

b) 30 d) a y c son correctos

2

El quinto término del desarrollo de 2 5 2 15x y−( ) es:

a) 155

2 510 2 5

( ) ( )x y c) −

155

2 510 2 5( ) ( )x y

b) −

154

2 511 2 4( ) ( )x y d) 154

2 511 2 4

( ) ( )x y

1 3 El desarrollo que posee dos términos centrales corresponde al binomio:

a) x z−( )5 9 c) 5 2 3 17−( )k

b) x y+( )311 d) Todas las anteriores

UNPOCODEHISTORIA

Omar Khayyam


Solucionario

Lección1

Actividad 1

1.a)x = 2, y = 1, z = −4 b) x = −1, y = 3, z = 7

2. Sea x = ángulo mayor y = ángulo mediano z = ángulo menorLuego, x + y = 135 (1) y + z = 110 (2) x + y + z = 180 (3)

Combinando las ecuaciones (2) y (3) (2) por –1: – y – z = –110(3) : x + y + z = 180 x =70º

Lección2

Actividad 1

2. a) 35 b) − 10 c) −45 d) 1 e) 0 f) 0

Actividad 2

1. a) xx= = =∆∆

− −3321

117

y = ∆∆

y= − = −621

27

z = ∆∆

z = − = −6321

3

b)x = 1, y = −1, z = 2 c) x = −4, y = 2, z = 3

2. 10 billetes de $ 10, 15 billetes de $ 20, 20 billetes de $ 50

Lección3

Actividad 1

1. a) x2 + 10x + 25 b) 4x2 − 20x + 25 c) 9x2 − 12x + 4 d) 9a2 + 30ab +25b2

e) 25x8 – 30x5y3 + 9x2y6 f) x10 − 2x7y3 + x4y6 g)x4 + x3 x 2

4h) a ab b

24 2

434

916

+ + i) 2536

925

6 4 2 2 4a a b a b− +

Combinando las ecuaciones (1) y (3) (1) por –1: – x – y = –135(3) : x + y + z = 180 z = 45ºCon x e z calculas y, y = 65o

Combinando (1) y (2) (1) : 6x + 6y + 4z = 960(2) por –1: –5x – 6y – 7z = –1200 x – 3z = –240(4)Combinando las ecuaciones (1) y (3) (1) por –4: – 24x – 24y – 16z = –3840(3) por 6: 30x + 24y + 30z = 5280 6x + 14z = 1440(5)Luego, con (4) y (5) calculas x, y, z.

3. Deben producirse 100 mesas, 200 sillas y 50 mecedoras.


Solucionario

2. a) (2a)2+ (3b)2+ (c)2+ 2(2a)(3b) + 2(2a)(c)+2(3b)(c) = 4 a2 + 9b2 + c2 +12ab + 4ac + 6bc

b) 4a4 + 16a3b + 4a2b2 − 24ab3 + 9b4 c) a2 + 4ab − 2ac + 4b2 − 4bc + c2

d) (x2)2+ (3x)2+ 52 – 2(x2)(3x) + 2(x2)(5) – 2(3x)( 5) = x4 + 9x2 + 25 – 6x3 + 10x2 – 30x

Actividad 2

1.a)8x3 − 36x2 + 54x − 27 b) x3 + 6x2 + 12x + 8

c) 27x3 − 54x2 + 36x − 8 d) 8x3 + 60x2 + 150x + 125

2. a) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 b) (2x)3 – 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2 – (3y)3 = 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3

c)64x3 − 144x2y2 + 108xy4 − 27y6 d)216y9 + 540a2y6 + 450a4y3 + 125a6

e)64a9 − 144a7b2 + 108a5b4 − 27a3b6 f) 343x12 − 735x11y3 + 525x10y6 − 125x9y9

g)2764

2720

3625

64125

6 4 2 2 4 6x x y x y y− + −

h) 56

356

310

356

23

22

4 2x y x y y x y

−

+

−

310

310

42

43

y y

= 125216

58

940

271000

6 3 4 6 2 9 12x y x y x y y− + −

3. a) x3 + 3x2y − 3x2z + 3xy2 − 6xyz + 3y2z + y3 − 3y2z + 3yz2 − z3

Lección4

Actividad 1

1. d) 90

291

292

299

9 8 7 2

+

+

+ +

k k ... k9 = 512 + 2304k + 4608k2 + … + k9

2. 29 = (1 + 1)9 = 90

+ + + + ..... +91

92

93

99

= 1 + 9 + 36 + 84 +126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512

3. Los primeros cinco términos son:

a a a a12 11 10 2121

2122

123

+

+

+

. . 2 99 3 8 4 7 5124

2125

2. . .2 +

+

a a

Para conocer los últimos cinco términos, has de considerar la simetría que existe en cada fila del triángulo de Pascal.


Proyecto

Entre las aplicaciones más conocidas que tienen los sistemas de ecuaciones lineales se encuentran las que se refieren a la producción y los procesos industriales.

Considera la siguiente situación:

Una mueblería fabrica escritorios, mesas y sillas. La fabricación requiere de materia prima y de mano de obra. La mano de obra se clasifica en dos tipos: carpintería y terminaciones. La cantidad de recurso requerido para cada tipo de producto se muestra en la siguiente tabla:

Observa que un escritorio necesita 2 horas en carpintería, una mesa también 2 horas y una silla 4 horas; y hay una disponibilidad total de 52 horas. Así puedes leer cada una de las filas.

Si se utiliza toda la disponibilidad ¿cuántos escritorios mesas y sillas hay que producir?

Solucionario

Lección5

Actividad 1

a) a6 + 6 a5b +15a4b2 +20a3b3 + 15a2b4 +6ab5 +b6

b) 729x12 − 2916x10y + 4860x8y2 − 4320x6y3 + 2160x4y4 −36x2y5 + 64y6

c) a a b a b a b a b a b7 6 5 2 4 3 3 4 2 521 189 945 2835 5103 5103− + − + − + aab b6 72187−

d) 64x3 + 576x2 x +2160x2 + 4320x x + 4860x + 2916 x + 729

Actividad 3

2. d) Como 2 200

xk+

tiene 201 términos, el término central es el 101º o T101. Luego:

T101 = 200100

2 200 100

x

−

k100 = 200100

2 100

x

k100

RECURSOS ESCRITORIO MESAS SILLAS DISPONIBILIDADCARPINTERIA(horas) 2 2 4 52

TERMINACIONES(horas) 4 6 2 94MATERIALES(pulgada) 8 4 6 118


Recursos

Ángel Allen R., Álgebra intermedia. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana S.A, segunda edición, México 1992

Calter, Paul, Fundamentos de matemáticas II, Editorial McGraw Hill, México 1996

Manuel Murillo, Alberto Soto y José Anaya, Matemática básica con aplicaciones, Ediciones Universidad Estatal a Distancia, segunda reimpresión, Costa Rica 2003

Earl W. Swokowski, Algebra y Trigonometría, Grupo Editorial Iberoamérica, México 1996.

http://es.wikipedia.com

www.descartes.com

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