lon TUDOR

algeItIgG0mGttiG

clasa a Ull-a[anGa I

Edilia aY-a, revizuitH

matG 2000 - iniliGlG

Cuprins

TBsrn oe sveruARE TNTTTALA .....................5

ALGEBRA

Ceprrorur L NuuBnB naTIoNALELeclia l Mullimea numerelor ralionale. Reprezentarea numerelor rationale pe

axa numerelor. Opusul unui numlr ralional. Modulul unui numlrra!iona1........ .............................8

Lec$a2. Compararea numerelor rafonale....... .......... 13

Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare.. ......... 16

Lec(ia 3. Adunarea numerelor ralionale. Proprietilile adunIrii........................... 18

Leclia 4. Scdderea numerelor ra!ionale....... ...............22Leclia 5. inmullirea numerelor rafonale. Proprietifle inmulririi........................25Lectia 6. Puterea cu exponent natural a unui numdr rational........ .......................29Lec!ia7. impS4irea numerelor ralionale ...................33Leclia 8. Ordinea efectulrii operaliilor.... ..................37SdneverificdmcunoStinlele:testedeevaluare....... .........................41Leclia 9. Ecualii cu coeficienli numere ra!ionale....... .....................42Lecfia 10. Probleme care se rczolvd cu ajutorul ecualiilor ..............-46Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evqluare.. ......-.-49Aplicdm ce am tnvdlat .......50

Captrorur II. NurraBns RERTE,

Leclia 11. R[ddcina pdtratd a unui numdr natural pitrat perfect. R[ddcina pitratda unui numlr ralional pozitiv scris sub formd de fraclie ordinar[...........52

Lectia 12. Extragerea rdddcinii pdhate dintr-un num[r natural pdtrat perfect .......55Lecfia 13. Numere iralionale. Mullimea numerelor reale......................................59Lecfia 14. Valoarea absolutd a unui numEr real............... .................61Leclia 15. Axa numerelor reale. Aproximiri. Rotunjiri...... ..............64Leclia 16. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical...66Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare.. .........69

Lec\ia lT.Adunarea gi sc[derea numerelor reale de forma aJE ;

a,b e Q, b>0............ ...........70

Leclia 18. lnmulflrea numerelor reale de forma oJi ; o,b = Q, b> O .................74

Leclia 19. Puterea cu exponent natural a numerelor re ale de forma ali ;

a,b e Q,b>0............ ...........77

Lec[ia20.impErlireanumerelorrealedeforma oJb;o,b e Q,D>0.................80

Lecfa 2L. Ralionalizarea numitorilor de forma o,,l b ; o,b . Q, a + 0, b > 0.

Ordinea efectulrii opera1iilor.... ..................83Leclia22. Media aritmeticd gi media geometricd a doud numere reale pozitive ...86Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare.. .........89Aplicdm ce am tnvdqat .......91

GEOMETRIECaprrorur I. PernurerBnw

Leclia 1. Patrulaterul convex ..................92Leclia2. Paralelogramul................... ...........................95Leclia3. Dreptunghiul .......98Leclia4. Rombul .............101Leclia 5. Pitatul........ ......103Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare.. ....... 106

Leclia6. Trapezul. Trapezul isoscel ..... 108

LecfaT. Linia mijlocie in triunghi .......112Leclia 8. Linia mijlocie a traperuIui................... ....... I 15

Leclia 9. Aria triunghiului ................... ...................... I 18

Leclia 10. Aria patrulateru1ui............. ........................ 121

Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare.. .......124Aplicdm ce am fnvdyat .....126

C,cplroruI- II. AsBuANanBe rRruNGHruRrLoRLeclia 11. Raportul a doud segmente. Segmente propor[ionale ...... 128

Leclia 12. Centrul de greutate al triunghiului................... .............. 130

Lectia 13. Teorema lui Thales ..............132Leclia 14. Reciproca teoremei lui Thales .................. 136

Sdneverificdm cunoStinlele: teste de evaluare.. .......139Leclia 15. Triunghiuri asemenea ..........141Leclia 16. Teorema fundamental[ a asem6n[rii. ........144Lec\ia17.Criteriideaseminareatriunghiurilor................. ...........147SdneverificdmcanoStinfele: testedeevaluare.. ....... 151

Aplicdm ce am tnvdlat ..... 153

INorcelu grnAsruNsuru ....157

ALGEBRACapitolul I

NunnnnE RATIONALE

@ Competenfe specifice:

O ldentificarea caracteristicilor numerelor rafionale gi a formelor de scriere a acestora

in contexte variateO Aplicarea regulilor de calcul cu numere rafionale, a estimirilor 9i a aproximdrilorpentru rezolvarea unor ecuatiiO Utilizarea proprietitilor operatiilor in efectuarea calculelor cu numere rationale

O Caracterizarea mullimilor de numere gi a relatiilor dintre acestea, utilizind limbajul

logicii matematice gi teoria multimilorO Determinarea regulilor eficiente de calculin efectuarea operatiilor cu numere

ra[ionaleO lnterpretarea matematici a unor probleme practice prin utilizarea operatiilor cu

numere rationale 9i a ordinii efectuirii operafiilor

Lecfia L. Mulfimea numerelor rafionale.Reprezentarea numerelor rafionale pe axanumerelor. Opusul unui num6.r rafional.Modulul unui numer rational

oIl{H(,ovtoUrcir.,t(,Eql

o

=

@l Ce trebuie sd 5timDefinifie: Orice pereche de numere naturale (a, b), a * 0, b + 0, scrisd sub

forma 9 este un numlr rafional pozitiv.b

Orice frac{ie echivalentl cu fraclia ! repreznti"acelaqi numlr rafional pozitiv.,bMulfimea numerelor ra{ionale pozitive se noteazd cu Q*.

Definifie: Dacd, I @ e N*, b € N*) este un numir ralional pozitiv,'ba^,

numirul -: il vom numi numlr rafional negativ.b

Mulfimea numerelor rafionale negative se noteazd cu Q-.

Reuniunea mullimilor Q-, {0} $i Q+ se nume$te mulfimea numerelor

rafionale gi se noteazi cu Q.in concluzie: Q : Q- u {0} u Q*. Agadar:

Delinifie: O pereche de numere intregi (a, b), b I 0, scrisl sub forma $ seb

numeqte numir rafional.

Observa{ii:. intre mul,timile N, Z gi Q au loc incluziunile: NcZcQ.o Orice numlr rafional poate fi reprezentat printr-o fracfie ordinari sau

printr-o fracfie zecimald finitd sau infiniti periodicd (simpl[ sau mixti).

Axa numerelor este o dreapti pe care am fixat un punct O, numit origine,un sens pozitiv (de la origine spre dreapta), un sens negativ (de la originespre st0nga) qi o unitate de misuri.

O A(a) +

Oricirui numlr ra{ional a ii corespunde pe axa numerelor un punct l,notat cu A(a), care se numegte imaginea numirului a. Numlrul rational a se

numegte abscisa punctului l.Defini(ie: Dou[ numere ralionale se numesc opuse dac[ sunt abscisele a

doui puncte distincte de pe axa numerelor, egal depirtate de origine.

Observafie: Opusul lui 0 este 0.

J JExemple: opusul numlrului !

""t" _-1;; I opusul numdrului -: este :5' ' 8 8

Definifie: Distan{a, mlsurati pe axa numerelor, tntre origine gi punctul a

cdrui abscisi este numdrul rational.r se numeqte modulul lui x gi se noteaz[ lxl.

lxl: oA

Exemple:lsl 8l21 2

l;l=;;l-rll=11Propriettrfile modulului1. lrl > 0, oricare ar fi x e Q.

3. lxl = l-xl, oricare ar fi re Q .

2. lxl = 0, dac[ 9i numai daci r = 0.

lx. dacdx>-04.lxl=4 'rr

[-x,dac[x<0

oIHl{oovlc,Uxi.9trEq)

o

=9

Itr gtim sE r6spundem?

Propozilia ,,Pe axa numerelor, dou[ frac{ii echivalente au aceeagi imagine."este

@| 56 rezolvdm ?mpreun6

1. Transformafi in fraclii ordinare ireductibile urm[toarele frac1ii zecimale:a) t,2; b) 4,(6); c) 2,8(3).

solutie: a\l-2:nQ -a ' b)4.(6) : 49" :42 =14 ,' 10 s' 9 3 3'c)2,8(3): r83-8 =r75(s =21=179090662. Se consider[ numIrul rational *: 9 .,6

a) Reprezentali pe axa numerelor opusul num[rului rafional x.b) Reprezenta{i pe axa numerelor modulul numdrului ra{ional x.c) Reprezentali sub formi de fracfie zecimaldnumirul rafional x.

Solulie: ?r) Opusul numsrului ! este -9; U) l9l = 96 6"161 6

AOBt96

_196

c) Dupi efectuarea imparlirii 19 : 6, rezrltd "d

y :3, 1(6).6 "'3. Determina[i a 9l-a zecimalil a numdrului ralional a : 1,25(37).Solulie: Deoarece zecimalele 2 qi 5 nu sunt cuprinse in perioad[, inseamnlcd 9l - 2 : 89 de zecimale vor fi scrise cu ajutorul cifrelor 3 gi 7 din perioa-d6. Deoarece restul impdrlirii 89 : 2 este egal cu l,renrlticda9L-azecimald,a numdrului a este 3.

'i El 56 exers6m singurio

(, _ ^--_-i----__ -- lZ, 5, 6, 1l

, g , 45 ) __-_*_-"i- _-_

= mentele mulfimilor:

lO a)E: {x eAlrestefracliepozitiv5}; b)f, : {x eAlxestefraclienegativd}.

oI

Hl{

(,(,v,c,U

2' Statitili valoarea de adevdr a urm[toarelor propozi;ii. Opusul num[ruluirational:

,13 2 - 1 7 5a) | este:-; b) -t este -; c) e

3' S..i"1i opusele urmltoarelor numere rafionale:

n,1' o>1, .r -i' o -+ .) i*, D -#; sr -f, ,ht #4' Scrieli sub formi zecimaldurmitoarele fraclii ordinare:

s ..8 5este - -: d) - este --6' '5 8

. 813a) _.' t0'.53

e) _.' 100'

. 111t) rff'

a) 6,5;e) 1,125;

a) 0,(3);e) 4,(18);

a) 0,1(3);e) 14,8(3);

at !:'10

n1'' 100'

^ 507t) -l

' l0''

,-#,209

s) rd ;

_. 4ld) .-".--:' t0''- 8031h) --'--:-' 10"

? .4ttc) _i_ : d) _.-, 10, -, 100

,

_ 1239 2lq)

-:

h)"' 1000' ' 1000

5'Transformali urmitoarele fraclii ordinare in fraclii zecimale;

. 2s37 9u) ,d ; b) -*;

6* Transforma{i urmltoarele fraclii ordinare in fraclii zecimale:

,t' b) + ' qZ; a) *; "l #, , ?, ,) *, h) so1

/ S"ri.1i sub formi zecimaLdurm[toarele fracfii ordinare:

,T' u)?, q+ o+ ")#, D#' r>fi' h)*8* Scrieli sub forml de fraclii ordinare ireductibile:

b)0,24;0 0,016;

b) o,(6);f) 0,(36);

b) 0,1(6);f) 1,02(7);

c) 7,(3);g) 1,(03);

c) 1,2(6);

s) 0,24(54\;

d) 5,(6);h)2,(s4).

d) 2,2(3);h) 0,2(387).

c) 17,5; d) 5,04;g) 0,0048; h) 0,0375.

oIHl{oov,oUxi.9+oEq)+q,

=

y' S..i.1i sub form[ de frac{ii ordinare ireductibile:

10' Scrieli sub form[ de fraclii ordinare ireductibile:

11

11* Reprezentali pe axa numerelor urmitoarele numere rationale:

12' Stabilili valoarea de adevir a propoziliilor:

13711a) --'2' 2'4' 4'. 18 919 13

c) -- -. -:' 6' 2'3'6'

,l+l:*,,

l-?l =;,

_ 5 7 25 16b) :,-,,- , ,'3 6' 6'3_.5 t6 27 9d) -. --'5' 5'10'2

, l-il:-+,. lrql te

"tlvl:*;

, l-*l::,,lil: -i

13' Determinali valoarea absoluti a urmltoarelor numere rafionale:

ul7: b) -q: .) -1, al l: "l a, 72 2s

h) !1.'6 3 s s ls u-tr;qJ-G' ss

1C* Calculali:

,l;l.ljl,,

l'?1.l-:l '

,ljl.l-il,, l'*l-l*l'

, l;l-l-il',

l-*1.l,*l15** Determinafi a 75-azecimali a urmdtoarelor numere ra{ionale:

a) 17,(2); b) a0,(5); c) l,(24); d) 5,(75);e) 802,(107); 0 300,2(58); g) 10,1(203); h) r,73(425).

@ Putem moi mult!

16** Determinafi numErul natural fr , a +0, care indeplinegte condilia:

q=*,uA.o_

17** Determinafi cifrele nenule a, b gic pentru "*, 4 =13,a(b) .

c

(,IHl{

c,ovt(,\)rci().F(,Eq)

c,

=12