Matematica completa

HINO NACIONAL

Letra: Joaquim Osório Duque Estrada Música: Francisco Manuel da Silva

Ouviram do Ipiranga as margens plácidas De um povo heroico o brado retumbante, E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos,Brilhou no céu da Pátria nesse instante.

Se o penhor dessa igualdade Conseguimos conquistar com braço forte, Em teu seio, ó Liberdade, Desafia o nosso peito a própria morte!

Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívido De amor e de esperança à terra desce, Se em teu formoso céu, risonho e límpido, A imagem do Cruzeiro resplandece.

Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza.

Terra adorada,Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada!

Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

9 7 8 8 5 3 2 2 8 4 9 2 1

ISBN 978-85-322-8492-1

MATEMÁTICACOMPLETA

componente curricular:

MATEMÁTICA

ensino médio

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Deitado eternamente em berço esplêndido, Ao som do mar e à luz do céu profundo, Fulguras, ó Brasil, florão da América, Iluminado ao sol do Novo Mundo!

Do que a terra mais garrida Teus risonhos, lindos campos têm mais flores; “Nossos bosques têm mais vida”, “Nossa vida” no teu seio “mais amores”.

Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Brasil, de amor eterno seja símbolo O lábaro que ostentas estrelado, E diga o verde-louro desta flâmula - Paz no futuro e glória no passado.

Mas, se ergues da justiça a clava forte, Verás que um filho teu não foge à luta, Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada,Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada!

Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

Manual

do

professor

componente curricular:

MATEMÁTICA

José Ruy Giovanni Jr.Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo – USP.Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental edo Ensino Médio desde 1985.

José Roberto BonjornoBacharel e licenciado em Física pela Pontifícia UniversidadeCatólica de São Paulo – PUC-SP. Professor de Matemáticae Física em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médiodesde 1973.

Paulo Roberto Câmara de SousaMestre em Educação pela Universidade Federal da Paraíba – UFPB. Especialização em Educação Matemática pela UniversidadeFederal Rural de Pernambuco – UFRPE. Licenciado emMatemática pela Universidade Federal de Pernambuco – UFPE. Professor de Matemática do Ensino Fundamental e do EnsinoMédio desde 1974. Professor de programas de formação continuada e pós-graduação desde 1990.

23a ediçãoSão Paulo, 2013

ENSINO MÉDIO

MATEMÁTICACOMPLETA

MANUAL DOPROFESSOR

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Giovanni Júnior, José RuyMatemática completa : 2o ano / José RuyGiovanni Jr., José Roberto Bonjorno, PauloRoberto Câmara de Sousa . -- 3. ed. --São Paulo : FTD, 2013.

Componente curricular: MatemáticaISBN 978-85-322-8491-4 (aluno)ISBN 978-85-322-8492-1 (professor)

1. Matemática (Ensino médio) I. Bonjorno, José Roberto. II. Sousa, Paulo Roberto Câmara de. III. Título.

13-03934 CDD-510.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino médio 510.7

Diretora editorialSilmara Sapiense VespasianoEditoraJuliane Matsubara BarrosoEditora adjuntaFlávia Renata P. de Almeida FugitaEditores assistentesDario Martins de OliveiraKátia TakahashiAssistentes de produçãoAna Paula IazzettoLilia PiresAssistente editorialGislene Aparecida BeneditoSupervisora de preparação e revisão de textosSandra Lia FarahPreparadoresAmanda Lenharo di SantisJosé Alessandre da Silva NetoRevisoresCarina de LucaDaniella Haidar PacificoDesirée Araújo S. AguiarFrancisca M. Lourenço Giseli Aparecida GobboJúlia Siqueira e Mello Juliana Cristine Folli SimõesJuliana Rochetto CostaLilian Vismari Carvalho Maiara Andréa AlvesPedro Henrique FandiOperadora de editoração eletrônicaGislene Aparecida BeneditoCoordenador de produção editorialCaio Leandro RiosEditor de arte Fabiano dos Santos MarianoProjeto gráfico e capaFabiano dos Santos MarianoIlustrações que acompanham o projetoEditoria de ArteFotos da capaHaveseen/Shutterstock/Glow ImagesFilip Fuxa/Shutterstock/Glow ImagesChistian Delbert/Shutterstock/Glow ImagesIconografiaSupervisoraCélia RosaPesquisador(es)Dulce PlaçaEliana AlmeidaNelson Molinari Jr.Editoração eletrônica DiagramaçãoSetup BureauTratamento de imagensAna Isabela Pithan MaraschinEziquiel RachettiVânia Aparecida Maia de OliveiraGerente executivo do parque gráficoReginaldo Soares Damasceno

Matemática CompletaCopyright © José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno e Paulo Roberto Câmara de Sousa, 2013

Todos os direitos reservados àEditora FTD S.A.

Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SPCEP 01326-010 – Tel. (0-XX-11) 3598-6000

Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970Internet: www.ftd.com.br

E-mail: [email protected]

Esta coleção do Ensino Médio tem como objetivo auxiliar e estimular você

a compreender a Matemática e sua presença dinâmica no dia a dia.

Após cada conceito, na intenção de ampliar, aprofundar e integrar os

conhecimentos adquiridos, os volumes destacam exemplos que analisam

a resolução de atividades e oferecem vasta gama de exercícios, nos quais

você pode priorizar a compreensão e aplicação do conteúdo abordado.

Paralelamente aos contextos matemáticos específi cos, a coleção propõe

a leitura e interpretação de textos que buscam aguçar sua curiosidade

e levá-lo(a) a refl etir sobre a realidade socioeconômica atual e seu

comprometimento em relação à cidadania e à sustentabilidade ambiental.

Além de primordiais para o prosseguimento educacional nesse período,

esses aspectos também são fundamentais para a formação humana

contemporânea.

Os Autores

Apresentação

60 Capítulo 2 Matrizes

Conteúdos apresentados neste

capítulo:

· Conceito de matriz

· Matriz quadrada

· Igualdade de matrizes

· Adição e subtração de matrizes

· Multiplicação de um número

real por uma matriz

· Multiplicação de matrizes

· Inversa de uma matriz

1 Conceito de matriz

Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos.

Nas matrizes, cada número é chamado elemento da matriz. As filas ho-rizontais são denominadas linhas e as filas verticais são chamadas colunas.

Observe a matriz a seguir:

10 8 9

4 5 6

5 7 10

12 11 6

10 8 9

4 5 6

5 7 10

12

ou

111 6

Nesse exemplo, a matriz tem 4 linhas e 3 colunas. Dizemos que essa é uma matriz do tipo 4 � 3 (4 linhas e 3 colunas). Lê-se: quatro por três.

Vejamos outros exemplos:

2 3 1

7 6 8

matriz 2 � 3

45

1 2� �

matriz 1 � 3

Essa matriz tem uma só linha. Dizemos que é uma matriz linha.

17

matriz 2 � 1

Essa matriz tem uma só coluna. Dizemos que é uma matriz coluna.

0 0

0 0

0 0

matriz 3 � 2

Como todos os elementos dessa matriz são iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula.

Em geral, indicamos a matriz nula por 0, sem mencionarmos o tipo da matriz. Numa matriz, cada número ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna, nessa ordem.

Representação genéricaDe modo geral, uma matriz A de m linhas e n colunas (m � n), ou seja, uma matriz Am × n, é indicada assim:

�

…

…

…

� � � � �…

×A

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

m n

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

com m, n � N*

Em uma matriz A, a32 representa o elemento da 3a linha e da 2a coluna, enquanto a23 representa o ele-mento da 2a linha e da 3a coluna.

Abreviadamente, a matriz genérica A pode ser representada assim:

A m � n � [aij]m � n ou A m � n � (aij)m � n

Nessa expressão, i assume valores no conjunto {1, 2, 3, ..., m} e j assume valores no conjunto {1, 2, 3, ..., n}.

1a coluna2a coluna3a coluna

10 8 9

4 5 6

5 7 10

12 11 6

1a linha

2a linha

3a linha

4a linha

270 Capítulo 8 Noções de Estatística

Observação: Uma amostra para representar bem uma população, deve propiciar semelhança com aquilo que distingue a população a ser observada, isto é, deve ter “a cara da população”. Para estudar o aproveita-mento do aprendizado dos alunos do Ensino Médio de uma cidade, por exemplo, convém entrevistar não ape-nas os alunos do 3o ano ou não somente os alunos de uma única escola dessa cidade, ou seja, é necessário diversificar a composição da amostra.

Estabelecendo conexões

Inferência e publicidade

Inferir significa deduzir por meio de raciocínio, delimitar com base em conclusão ou consequência. Em Estatística, inferência é um ramo que estuda técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, de informações e conclusões que são elaboradas com base na análise de subconjuntos, geralmente de tamanho muito menor. Empre-gando a linguagem vista neste capítulo, podemos dizer que a inferência estatística visa estudar a população com base na amostra.

Essa ideia ocorre no dia a dia, por exemplo, quando se experimenta uma pequena quantidade de um alimento para verificar se ele está ou não totalmente quente, ou então quando o vendedor oferece uma laranja ao comprador para que ele decida se vai ou não comprar.

É evidente que tal analogia transmite uma visão simplista de infe-rência. Há outros exemplos de aplicação, bem mais complexos, como a inferência usada nas pesquisas para o mercado publicitário ou nas pesquisas eleitorais.

No Brasil, as pesquisas eleitorais, em geral, são feitas por empresas ligadas à Associação Brasileira de Empresas de Pesquisa (Abep) e, além de registradas em órgãos governamentais, precisam informar, entre outras coisas, as técnicas e os controles de qualidade realizados.

Em uma pesquisa, um aspecto importante refere-se à coleta da amostra. Na escolha de uma amostra, é necessária uma quantidade de informações que, de acordo com as técnicas desenvolvidas, determina-rão o quanto a inferência pode vir a se concretizar, ou seja, qual é a margem de confiança da pesquisa.

Para um alto grau de confiança, as amostras devem ser rigorosamente representativas da po-pulação em estudo, selecionadas por meio de critérios estatísticos – quotas proporcionais de sexo, idade, grau de instrução e setor de dependência econômica, por exemplo – e com base nas fontes oficiais de dados do país, como o Tribunal Regional Eleitoral (TRE), o Tribunal Superior Eleitoral (TSE) e o já citado IBGE.

Fontes de pesquisa: MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. de. Noções de probabilidade e estatística. Edusp: São Paulo, 2013; ABEP.Disponível em: <www.abep.org/novo/>. Acesso em: 4 fev. 2013.

A Câmara Internacional de Comércio (ICC, na sigla em inglês) e a Sociedade Europeia para Pesquisa de Opinião e Mercado (Esomar, na sigla em inglês), criaram o Código Internacional ICC/Esomar. Consulte-o no site <http://ler.vc/fymrqp> e responda:

a) Quais são os direitos de uma pessoa entrevistada em uma pesquisa de mercado? b) Que providência um pesquisador deve tomar para entrevistar uma criança ou um menor de idade?

Atividade FAÇA NO

CADERNO

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Trigonometria no ciclo Capítulo 1 9 8 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo

Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.

Quase três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos pela água dos mares e oceanos.

A força gravitacional entre a Lua e a Terra provoca nessa massa um mo-vimento que altera o nível da água no litoral ao longo do dia. Esse fenômeno é chamado de maré. Na maré alta, a água avança sobre o litoral. Na maré baixa, ela recua. Esse ciclo se repete a cada seis horas, aproximadamente.

Esse fenômeno periódico pode ser modelado por uma função trigonomé-trica. Neste capítulo, você vai estudar conteúdos relacionados à Trigonome-tria, entre eles as funções seno, cosse-no e tangente.

Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.

AQUI TEM MATEMÁTICA

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CAPÍTULO

1Trigonometria no ciclo

Ícone calculadoraOs exercícios com este ícone trabalham o uso da calcu-ladora para resolver a atividade.

Ícone DesafioOs exercícios com este ícone apresentam uma ampliação da análise e aplicação do conteúdo estudado.

Conteúdos apresentados neste capítuloNo início de cada ca-pítulo, é apresenta-da uma relação dos conteúdos que serão trabalhados.

Abertura de capítuloApresenta um tema relacionado ao conteú-do matemático que será desenvolvido no capítulo. Este tema vol-tará a ser abordado naseção Retomando e pesquisando.

Estabelecendo conexõesEste boxe apresenta textos que exploram a relação entre a Mate-mática e outras áreas, ou entre conceitos da própria Matemática.

Conheça o seu livro

Tecnologia

Probabilidade Capítulo 6 185

Acompanhe como usar uma planilha eletrônica para resolver problemas de Probabilidade. Siga o roteiro:

Abra uma planilha no Libre Office e nomeie-a de Probabilidade.

Em Inserir Função, a categoria Estatística possui uma fórmula que permite simular um grande nú-mero de lançamento de moedas ou dados. Trata-se da função: DISTRBINOM (distribuição binomial).

A sintaxe dessa função é: DISTRBINOM:

X: número de sucessos em uma série de tentativas.

Tentativas: o número total de tentativas.

PS: a probabilidade de sucesso em uma tentativa.

Acumulado: A�0 calcula a probabilidade individual e A � 1 calcula a probabilidade acumulada. No nosso caso, utilizaremos para essa variável lógica A � 0.

Construa uma tabela na planilha com os campos: X: sucessos; Tentativas; PS e Probabilidade.

Vamos supor que estamos lançando uma moeda 4 vezes e desejamos saber qual a probabilidade de obtermos, nesses lançamentos, 3 “caras”. Utilizando a planilha, basta preenchermos a tabela com os valores 3, 4, e 0,5 e colocarmos o cursor na célula referente ao cálculo da probabilidade.

Acionamos a fórmula DISTRBINOM e completamos com os valores:

X � 3; Tentativas � 4; PS � 0,5 e A � 0

Ao acionarmos o OK, obteremos a solução do problema: 0,25 ou 14

Utilize a planilha do Libre Office para resolver os itens a seguir: a) Ao lançarmos uma moeda 10 vezes qual a probabilidade de que em 7 desses lançamentos apareçam a face “cara” voltada para cima?

b) Nessa mesma situação, encontre a probabilidade de aparecerem pelo menos 4 “caras”.

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AtividadeFAÇA NO

CADERNO

Funções logarítmicas Capítulo 8 295 294 Capítulo 8 Funções logarítmicas

LEITURA E COMPREENSÃO

Noções de Estatística Capítulo 8 295 294 Capítulo 8 Noções de Estatística

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Segundo a organização não governamental SOS Mata Atlântica, somados todos os fragmentos de floresta nativa acima de 3 hectares, temos atualmente 11% da mata atlântica que existia originalmente. (Fonte de pesquisa: <http://www.sosma.org.br/nossa-causa/a-mata-atlantica/>. Acesso em: 3 maio 2013.)

Segundo a pesquisa, os moradores também se preocupam com a poluição de rios e cachoeiras (33%), mares e praias (28%), queimadas (28%), construções irregulares (22%), invasão de áreas prote-gidas (21%), falta de educação ambiental (13%), caça ilegal (12%), poluição do ar (12%) e pesca ilegal (10%).

O zelo pela preservação ambiental em Ilhabela também é revelado por outros dados da pesquisa. Cerca de 6 a cada 10 moradores é favorável à limitação da entrada de veículos em Ilhabela, número similar ao dos ilhabelenses que aprovam a cobrança da taxa de preservação am-biental na saída de veículos do município.

Sobre a pesquisa: O Ibope Inteligên-cia realizou 406 entrevistas domiciliares no município, entre 11 e 15 de agosto deste ano [2012]. O percentual de erro é de 5 pontos percentuais sobre os re-sultados da amostra. O objetivo foi medir e acompanhar a evolução de indicadores de aspectos relacionados à cidade para auxiliar nas discussões de políticas pú-blicas e programas de Governo voltados para Ilhabela.

Fonte: IBOPE. Cresce a preocupação com o desmatamento em Ilhabela, 4 set. 2012. Disponível em: <http://www.ibope.com.br/pt-br/noticias/Pagi-nas/Cresce-a-preocupacao-com-o-desmatamento-em-Ilhabela-no-litoral-norte-paulista.aspx>. Acesso em: 7 fev. 2013.

Interpretando o texto FAÇA NO

CADERNO

1. A reportagem trata de um dos poucos lugares do Brasil que preserva a Mata Atlântica. Que lugar é esse?

2. Segundo a pesquisa do Ibope Inteligência, qual foi o índice percentual de aumento, de 2010 para 2012, no número de pessoas que considerava o desmatamento como um dos problemas ambientais mais sérios da ilha?

3. Qual foi a amostra da pesquisa do Ibope tratada na reportagem?

4. O percentual de erro é de 5 pontos percentuais sobre os resultados da amostra. O que isso significa?

5. Em que período as entrevistas da pesquisa foram realizadas?

6. Qual o objetivo da pesquisa?

Joel

Silv

a/Fo

lhap

ress

Em nosso cotidiano, usamos a Estatística para estabelecer os índices de inflação ou de emprego e desemprego, por exemplo. E você sabe definir o que é Estatística?

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a Estatística é uma ciência que cuida da coleta de dados, que são organizados, analisados e então utilizados para determinado objetivo. No caso do IBGE, a principal importância da Estatística é informar sobre a realidade do Brasil por meio de números.

Além disso, os conceitos estatísticos podem também ser aplicados em outras ciências. Na Medicina, por exemplo, a estatística serve para saber se um novo tratamento é eficaz para determinada doença.

Fonte de pesquisa: IBGE 7 a 12. O que é estatística?Disponível em: <http://7a12.ibge.gov.br/sobre-o-ibge/o-que-e-estatistica>. Acesso em: 7 fev. 2 013.

Veja a seguir uma reportagem que utiliza dados estatísticos.

Cresce a preocupação com o desmatamento em IlhabelaPoluição de rios, cachoeiras, mares e

praias também aparecem como sérios pro-blemas da cidade.

Ilhabela, no litoral norte de São Paulo, é um dos poucos lugares do país que preservam a Mata Atlântica brasileira, hoje reduzida a 22% da sua cobertura original, de acordo com dados do Ministério do Meio Ambiente.

No arquipélago paulista, a preocupação dos moradores com o desmatamento vem aumentando nos últimos anos. Segundo a pesquisa do [Instituto Brasileiro de Opinião Pública e Estatística] Ibope Inteligência, em 2010, 24% da população considerava o desmatamento como um dos problemas ambientais mais sérios da ilha, percentual que subiu para 38% em 2012.

TecnologiaNeste boxe são trabalhadas atividades que utilizam algum recurso tecnológico, como calculadora ou softwares ma-temáticos.

Leitura e compreensãoEm alguns capítulos, esta seção apresenta um texto relacionado aos conteúdos desen-volvidos, acompanhado de questões que traba-lham a compreensão desse texto.Em outros, traz uma questão seguida de um encaminhamento que objetiva desenvolver habilidades e compe-tências cognitivas.

56 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo

RETOMANDO E PESQUISANDO

Na seção Aqui tem matemática, na abertura deste capítulo, você viu que existe um deslocamento das águas do oceano, gerando as marés. Observe nas imagens a seguir a mesma paisagem em dois momentos distintos.

1. Nas imagens acima, você deve ter observado que o nível da água em relação ao litoral nesse local não é o mesmo nos dois momentos em que as fotografias foram tiradas. Isso ocorre devido ao movimento das marés.

Acesse o site <http://www.climatempo.com.br/tabua-de-mares/> (acesso em: 27 maio 2013) e veja a tábua de marés para pelo menos três dias quaisquer na cidade de Paraty, Rio de Janeiro, e responda: qual é o intervalo de tempo entre duas marés altas? E entre duas marés baixas?

2. Suponha que, em determinado período, a altura da maré em Paraty seja dada, aproximadamente, pela

função h(t) � 0,705 � sen tπ6

� 0,415, em que h é a altura e t é a hora do dia, com 0 � t � 24. Con-

sidere ainda que a altura máxima atingida seja 1,12 m, e a mínima, 0,29 m. Responda:

a) Qual é a amplitude da maré?

b) Em que hora do dia a maré atinge altura máxima?

Saco do Mamanguá, maré baixa.

Paraty, RJ, 2007.


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Ver Orientações para o Professor.

Retomando e pesquisandoApresenta textos e atividades acom-panhados de indicações de sites, revistas ou livros em que são en-contradas informações sobre o tema abordado na abertura do capítulo, proporcionando uma oportunidade de se pesquisar algum assunto re-lacionado a esse tema.

Os ícones abaixo indicam pontos onde você encontra material complementar no livro digital. Clique em cada um deles para ter acesso.

Vídeo/áudio

Texto

Objetos educacionais

Imagens enriquecidas

Professor, você encontrará mais informações sobre esse material nas Orientações do livro digital para o Professor.

Sumário

4 Adição e subtração de matrizes ................................. 66 Exercícios ................................................................. 68 5 Multiplicação de um número real por uma matriz ...... 68 Exercícios ................................................................. 69 6 Multiplicação de matrizes .......................................... 70 Exercícios ................................................................. 74 Tecnologia ................................................................ 76 7 Inversa de uma matriz................................................ 77 Exercícios ................................................................. 78 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................. 79 LEITURA E COMPREENSÃO ........................................ 80

Capítulo 3 • Determinantes 1 Introdução ................................................................ 84 2 Determinantes de matrizes quadradas de ordens 1 e 2 ...................................... 85 Exercícios ................................................................. 86 Estabelecendo conexões .......................................... 87 3 Determinante de uma matriz de 3a ordem - Regra de Sarrus ..................................................... 87 Exercícios ................................................................. 89 4 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 .... 90 Exercícios ................................................................. 92 Estabelecendo conexões .......................................... 93 Tecnologia ................................................................ 94 5 Propriedades e teoremas .......................................... 95 Exercícios .......................................................100, 102 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................102 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................103

Capítulo 4 • Sistemas lineares 1 Equação linear .......................................................106 Exercícios ...............................................................107 2 Sistemas lineares ...................................................108 Exercícios ...............................................................110 Estabelecendo conexões ........................................111 3 Classificação de um sistema linear .........................112 Exercícios ...............................................................113 4 Matrizes associadas a um sistema linear ................114 Exercícios ...............................................................115 Tecnologia ..............................................................116 5 Resolução de um sistema linear por escalonamento ...117 Exercícios ...............................................................122 6 Discussão sobre um sistema linear .........................122 Exercícios ...............................................................124 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................124 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................125

Capítulo 1 • Trigonometria no ciclo 1 Circunferência: arco, ângulo central .......................... 10 2 Unidades de medida de arcos e ângulos .................. 11 Exercícios ................................................................. 14 3 Circunferência trigonométrica ................................... 15 Exercícios ................................................................. 18 4 Seno e cosseno de um arco ...................................... 18 Exercícios ................................................................. 23 Estabelecendo conexões .......................................... 23 Exercícios ................................................................. 28 Tecnologia ................................................................ 30 5 Tangente de um arco ................................................. 30 Exercícios ................................................................. 34 6 Equações trigonométricas ......................................... 35 Exercícios ................................................................. 38 7 Cotangente de um arco ............................................. 38 Exercícios ................................................................. 40 8 Secante e cossecante de um arco ............................. 40 Exercícios ................................................................. 41 9 Relação trigonométrica fundamental ......................... 42 Exercícios ................................................................. 43 10 Propriedades dos arcos complementares ................. 43 Exercícios ................................................................. 44 11 Equações trigonométricas que envolvem artifícios ..... 45 Exercícios ................................................................. 46 12 Fórmulas da adição de arcos .................................... 46 Exercícios ................................................................. 48 13 Fórmulas da multiplicação de arcos ......................... 49 Exercícios ................................................................. 51 14 Identidades trigonométricas ...................................... 52 Exercícios ................................................................. 53 15 Inequação trigonométrica .......................................... 54 Exercícios ................................................................. 55 Estabelecendo conexões .......................................... 55 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................. 56 LEITURA E COMPREENSÃO ........................................ 57

Capítulo 2 • Matrizes 1 Conceito de matriz .................................................... 60 2 Matriz quadrada ....................................................... 61 Exercícios ................................................................. 62 3 Igualdade de matrizes .............................................. 63 Exercícios ................................................................. 65 Estabelecendo conexões .......................................... 65

Capítulo 5 • Análise combinatória 1 Problemas que envolvem contagem ........................128

Exercícios ...............................................................130

2 Princípio multiplicativo ............................................131

Exercícios ...............................................................133

Estabelecendo conexões ........................................134

3 Fatorial ...................................................................135

Exercícios ...............................................................136

4 Arranjo simples ......................................................137

5 Permutação simples ................................................140

Exercícios ...............................................................142

6 Permutação com elementos repetidos .....................142

Exercícios ...............................................................144

7 Combinação simples ...............................................144

Exercícios ...............................................................148

8 Número binomial .....................................................149

Exercícios ...............................................................152


9 Fórmula do binômio de Newton ...............................153

Exercícios ...............................................................154

Tecnologia ..............................................................155

10 Termo geral do binômio de Newton ..........................156

Exercícios ...............................................................157

RETOMANDO E PESQUISANDO ................................157

LEITURA E COMPREENSÃO ......................................158

Capítulo 6 • Probabilidade 1 Experimentos aleatórios ..........................................162

Exercícios ...............................................................165

2 Probabilidade .................................................166, 170


3 Probabilidade da união de dois eventos ....................173

Exercícios ...............................................................174

4 Probabilidade condicional ......................................176

Exercícios ...............................................................179

5 Eventos independentes ...........................................180

Exercícios ...............................................................183

Tecnologia ..............................................................185

6 Experimentos não equiprováveis .............................186

Exercícios ...............................................................186

RETOMANDO E PESQUISANDO ................................187

LEITURA E COMPREENSÃO ......................................188

Capítulo 7 • Geometria 1 Geometria no plano e no espaço .............................192 Exercícios ..............................196, 198, 202, 205, 208 2 Tópicos de Geometria plana ...................................209 Exercícios .......................................................211, 214 3 Poliedros ................................................................216 Exercícios .......................................................219, 220 4 Prismas ..................................................................220 Exercícios .............................................. 223, 226, 228 Estabelecendo conexões ........................................230 Exercícios ...............................................................231 Tecnologia ..............................................................233 5 Pirâmides ...............................................................234 Exercícios ..............................237, 239, 241, 244, 245 6 Cilindros .................................................................246 Exercícios .......................................................248, 249 7 Cones .....................................................................251 Exercícios .............................................. 254, 256, 259 8 Esferas ...................................................................260 Exercícios .......................................................261, 263 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................264 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................265

Capítulo 8 • Noções de Estatística 1 Estatística: introdução ............................................268 Estabelecendo conexões ........................................270 2 Frequências ............................................................271 Exercícios ...............................................................273 3 Representação gráfica da distribuição de frequências . ..274 Exercícios ...............................................................277 4 Distribuição de frequências com dados agrupados ..279 Exercícios ...............................................................281 5 Medidas de tendência central .................................282 Exercícios .......................................................284, 288 6 Desvio médio .........................................................288 Exercícios ...............................................................291 7 Variância e desvio padrão ........................................291 Exercícios ...............................................................293 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................293 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................294

Sugestões para pesquisa e leitura ............................296 Lista de siglas ............................................................298 Respostas ...................................................................299 Referências bibliográficas ...........................................304

8 Capítulo 1 l Trigonometria no ciclo


CAPÍTULO

1Trigonometria no ciclo

Trigonometria no ciclo l Capítulo 1 9

Quase três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos pela água dos mares e oceanos.

A força gravitacional entre a Lua e a Terra provoca nessa massa um mo-vimento que altera o nível da água no litoral ao longo do dia. Esse fenômeno é chamado de maré. Na maré alta, a água avança sobre o litoral. Na maré baixa, ela recua. Esse ciclo se repete a cada seis horas, aproximadamente.

Esse fenômeno periódico pode ser modelado por uma função trigonomé-trica. Neste capítulo, você vai estudar conteúdos relacionados à Trigonome-tria, entre eles as funções seno, cosse-no e tangente.

Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.

AQUI TEM MATEMÁTICA

Foto

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abio

Co

lom

bin

i

Trigonometria no ciclo


Conteúdos apresentados neste

capítulo:

· Circunferência: arco, ângulo

central

· Unidades de medida de arcos

e ângulos

· Circunferência trigonométrica

· Seno e cosseno de um arco

· Tangente de um arco

· Equações trigonométricas

· Cotangente de um arco

· Secante e cossecante de um

arco

· Relação trigonométrica fun-

damental

· Propriedades dos arcos com-

plementares

· Equações trigonométricas que

envolvem artifícios

· Fórmulas da adição de arcos

· Fórmulas da multiplicação de

arcos

· Identidades trigonométricas

· Inequações trigonométricas

1 Circunferência: arco,ângulo central

Arco de circunferência e ângulo central

Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

Os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos.

Neste livro, desde que não haja indicação explícita em contrário, convencionamos indicar os arcos menores de uma circunferência apenas pelos extremos.

Aextremidade

B

arco AB

extremidade

A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente, isto é, o ângulo que tem vértice no centro da circunferência e cujos lados passam pelos extremos do arco.

A medida do arco AB� é �.

Representa-se por med (AB�).

Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento (me-dida linear) desse arco. Os arcos AB� e CD� possuem a mesma medida �, porém não têm o mesmo comprimento.

A

B

αO

C

D

αO

A

B

A circunferência e suas partes são utilizadas em muitas situações cotidianas, em plantações e em construções.

Jam

es L

. Am

os/C

orbi

s/La

tinst

ock

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


2 Unidades de medida de arcos e ângulosPara expressar a medida de arcos e ângulos, utilizamos o grau e o radiano.

Grau

Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes é um arco de

1o (lê-se um grau).

Então, observamos que a circunferência possui 360.

arco de 90° arco de 360°arco de 270°arco de 180°

Assim, o ângulo AOB� e o arco AB� da figura medem, cada um, 50.

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.

�� Um minuto é igual a 160

do grau.

�� Um segundo é igual a 160

do minuto.

Usamos os símbolos:

Grau Minuto Segundo

°

Por exemplo, se a medida de um arco é 50 graus, 15 minutos e 27 segundos, indicamos: 50 15 27.

Radiano

Quando o comprimento de um arco é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém,

dizemos que esse arco mede 1 radiano (indicamos 1 rad).

Na figura:

�� comprimento do arco AB� : r

�� medida do arco AB� : 1 rad

Escrevemos: med (AB� ) 5 1 rad

Para determinar a medida a de um arco qualquer PQ� em radiano, basta fazermos a proporção:

med (PQ)medida do arco de 1 volta

�5 Vcomprimento de PQ

comprimento da circunferência

� a V aπ π2 2 r r5 5, ,

90100120

140

3040

5060

7080

180

210

240

160

270300

3300

20360 0

10

1º

10

B

50o arco de 50o

A

O

arco decomprimento r

AO

B

1 rad

r

r

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


Em geral, para determinar a medida a de um arco PQ� em radiano, basta dividirmos a medida do compri-

mento do arco () pela medida do raio da circunferência que o contém (r ):

a ( )5 5 ,�PQmed r

Por exemplo, a medida de um arco PQ� de comprimento 8 cm, contido numa circunferência de raio igual

a 4 cm, é 2 rad, pois:

med (PQ� ) 5 ,r

5 8 cm4 cm 5 2 rad

Como o comprimento da circunferência mede C 5 2pr, a medida, em radiano, da circunferência toda é:

a π πCr

2 rr 25 5 5

arco de p radarco de 2p rad arco de π2

rad arco de π32 rad

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

Comparando as medidas desses arcos em grau e em

radiano, obtemos:

Unidade Amplitude

grau 0° 90° 180° 270° 360°

radiano 0 rad π2

rad p rad π32

rad 2p rad

Comprimento de um arco

Para determinar o comprimento do arco AB� correspondente a um ângulo central de medida a, em grau

ou em radiano, podemos então estabelecer a seguinte regra de três simples e direta:

�� 360° ou 2p rad (volta completa) corresponde a 2pr;

�� a corresponde ao comprimento .

Ângulo Comprimento360° 2 p r

a (em graus) ,

ou Ângulo Comprimento2p rad 2 p r

a (em rad) ,

A unidade de medida usada para obter o comprimento do arco é a mesma que se usa para obter o

comprimento do raio.

Observe a seguir alguns exemplos de situações envolvendo arcos e ângulos da circunferência.

90°2

rad5π

270° 32

rad�π

360 2 rado � π180° rad� π 0

A

B

α ºO

r

r


1. Eratóstenes, matemático e astrônomo grego que viveu no século III a.C., foi o primeiro a medir com certa precisão a circunferência terrestre e, portanto, determinar a medida do raio da Terra. No processo utilizado, ele teve de medir o ângulo formado entre duas cidades no Egito, Alexandria e Siena, obtendo 7 12, como mostra a figura abaixo. Escreva essa medida em grau, utilizando a notação decimal, e em radiano.

Siena

7° 12δ

Alexandriaarco da circunferência

da Terra

Resolução

Para escrever 12 em grau, aplicamos uma regra de três:

minuto grau

60 1

12 x

x 5 ? 5 51260 1 1

5 0,2

Portanto, 7° 12 equivale à soma 7° 1 0,2°, isto é, a 7,2°.

Agora, também com uma regra de três, vamos estabelecer a relação entre grau e radiano:

grau radiano

180 p7,2 x

V V5 5 51807,2 x 25 x x 25

π π π

Portanto, 7° 12 equivale a 25 radπ .

Exemplos

2. Expresse 6 rad em grau.π

Resolução

Estabelecemos a seguinte regra de três:

grau radiano

180 p

x 6π

180x

6

180x

6 6 x 1806 30V V5 5 5 5 5π

πππ

Logo, 6 radπ equivale a 30°.

3. As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâ-metro.

Alb

erto

De

Ste

fano

60 cm

a) Qual é o comprimento aproximado da circunfe-rência dessa roda? b) Aproximadamente quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2 m?Use o valor aproximado 3,14 para p.

Resolução

a) A medida do raio é igual à metade da medida do diâmetro.

Logo: r 5 30 cm

Assim, o comprimento da circunferência da roda é:

C 5 2pr V C 2 · 3,14 · 30 5 188,4

Portanto, a circunferência dessa roda mede apro-ximadamente 188,4 cm.b) Como 188,4 cm 5 1,884 m, a cada volta da roda a bicicleta percorre 1,884 m.

Para percorrer 94,2 m, o número de voltas será dado pelo quociente:

94,2 : 1,884 5 50

Portanto, ela dará 50 voltas.

Edi

toria

de

Art

e


FAÇA NO

CADERNOExercícios

4. Determine, em grau e em radiano, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h20min.

Resolução

Vamos considerar:

a a medida do ângulo pedido;

x a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 20 min, a partir das 8h.

1211

10

9

8

76 5

4

3

2

1

30º12

11

10

9

8

76 5

4

3

2

1

x

30º

120º

O mostrador do relógio é dividido em 12 arcos iguais. Por isso, o arco compreendido entre dois

números consecutivos mede 360°12

, ou seja, 30 .°Assim, a 5 x 1 120.

Como a cada 60 minutos o ponteiro das horas

percorre 30, temos:

tempo (min) ângulo (grau)

60 30

20 x

Assim, obtemos:

V V5 5 56020

30x 3 30

x x 10 (medida em grau)

a 5 x 1 120 ä a 5 10 1 120 ä a 5 130

Em radiano:

grau radiano

180130

130180

1318a

a______ π______

⇒ π π5?

5

O menor ângulo formado pelos ponteiros de um

relógio às 8h20 mede 130 ou 1318

π rad.

1. (Inatel-MG) Qual é o comprimento de um arco de 60, em uma circunferência que tem 90 cm de raio?

2. Quanto mede em graus, aproximadamente, um arco de 1 rad?

Considere p 5 3,14. 57° 19' 29''

3. A figura a seguir representa a planta do terraço de um apartamento. Qual o perímetro do piso desse terraço?

Considere p 5 3,14. 30,56 m

5 m 4 m4 m

4 m 4 m

4. (Enem-MEC) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Consideran-do o raio da Terra igual a 6 370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente:

a) 16 horas

b) 20 horas

c) 25 horas

d) 32 horas

e) 36 horas

30 p cm

X

5. (Mack-SP) A figura representa uma pista não oficial de atletismo, com 4 raias para corridas, cujas curvas são determinadas por semicircunferências. Cada raia tem largura igual a 2 m e os atletas devem percorrer 300 m sobre as linhas, conforme as setas indicam na figura.

k

r r

d

posições departida

para corridas de300 m

sentido das corridas

d d

linha de chegadapara corridasde 300 m

Sendo r 5 10 m e adotando p 5 3, o valor dek 1 d é:

a) 248 m

b) 247 m

c) 245 m

d) 244 m

e) 240 m

6. (Enem-MEC) Calcule o menor ângulo entre os pon-teiros de um relógio que marca 12 horas e 20 minutos.

a) 120

b) 110

c) 100

d) 130

e) 115

X

X

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

Trigonometria no ciclo Capítulo 1 15

7. (Unimep-SP) Das 16h30min, até às 17h10min, o ponteiro das horas de um relógio percorre um arco de: a) 24�

b) 40�

c) 20�

d) 18�

e) Nenhuma das alternativas anteriores

8. (Vunesp-SP) Em um jogo ele-trônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.

A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é:

a) π � 1

b) π � 1

c) 2π � 1

d) 2π e) 2π � 1

9. (UFG-GO) Deseja-se marcas nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura a seguir, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem.

X

1 rad1 cm

X

Considerando-se que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo �, em graus, será igual a:

A

linha de origemB

α

a) 30

b) 36

c) 45

d) 60

e) 72

10. Qual o comprimento da chapa metálica necessá-ria para confeccionar a peça de fixação, em forma de U, mostrada na figura? As medidas indicadas estão em centímetro. Considere π � 3,14. 61,4 cm

Ale

xand

re A

rgoz

ino

Net

o

10

15

X

3 Circunferência trigonométrica

Arco orientado

A figura mostra que o percurso de A para B pode ser feito no sentido anti-

-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio), seguindo o arco

alaranjados AB� , ou no sentido horário, seguindo o arco verde AB� .

Estabelecendo como positivo o sentido anti-horário e como negativo o

sentido horário, temos:

O A

B

med ( AB� ) � π2 rad

Edi

toria

de

Art

e

O

B

A

med ( AB� ) � �π32 rad

B

AO

Edi

toria

de

Art

e

Edi

toria

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Art

e

Edi

toria

de

Art

e

Edi

toria

de

Art

e


Circunferência trigonométricaVamos fixar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais uÔv no plano.

A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário (r 5 1) e cujo sentido positivo

é anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.

Sobre essa circunferência, vamos marcar os arcos trigonométri-

cos que têm:

�� origem no ponto A (1, 0);

�� medidas algébricas positivas, se marcados no sentido anti-

-horário, e negativas, se marcados no sentido horário.

Os eixos do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais

dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes, chamadas

quadrantes, numeradas a partir do ponto A, no sentido anti-horário.

Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário (r 5 1), a

medida de qualquer arco, em radiano, é numericamente igual ao com-

primento desse arco:

a 5 5 5, , ,r 1

Logo, no lugar de 2π rad, escrevemos apenas

2π ; em vez de

2 32π rad, escrevemos 2 3

2π e etc.

Além da origem A, cada arco trigonométrico tem como extremidade

um único ponto na circunferência. Assim, é comum indicarmos o arco

apenas por esse ponto, isto é, a cada número real x podemos associar

um único ponto na circunferência. Esse ponto é chamado imagem de

x no ciclo.

É como se enrolássemos a reta numérica na circunferência trigonométrica, com a parte associada aos

números positivos “enrolada” no sentido anti-horário, e com a parte associada aos números negativos “enro-

lada” no sentido horário. Em ambos os casos, a origem a reta coincide com o ponto A.

Para obter a imagem P de 34π , partimos de A e caminhamos 3

4π

na circunferência, no sentido anti-horário.

A imagem Q de 256π é obtida caminhando 5

6π no sentido horário na circunferência, a partir de A.

Arcos côngruosSeja P um ponto da circunferência trigonométrica. É fácil verificarmos que, com origem em A e extremidade

em P, há uma infinidade de arcos. Para isso, basta fazermos o percurso num sentido ou noutro e dar mais ou menos voltas completas na circunferência.

Vamos considerar, por exemplo, o arco AP� de 3π rad.

A(1, 0)O u

v

r 5 1

1

2

90° rad

π rad2π rad

rad

180°

360°

270°

III IV

II IA

v

u0°

π2

3π2

π4

(45 )o

P

Q

π2

(90 )o

π6

(30 )o

32

(270 )oπ

p (180o) 0 (0o)

A

34π

π65

2

u

v

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


Exemplos

Existem infinitos arcos com extremidade P, côngruos a 3π rad. Veja o quadro:

3 30 2( )π π π

3 30 2( )π π π

73

1π π π3

25 1 ?

53 3

1 2( )π π π52 2 ?

( )π π π133 3

2 25 1 ?11

3 32 2( )π π π52 2 ?

193 3

3 2( )π π π5 1 ?17

33 2( )π π π

32 5 2 ?

A A

Os arcos que têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras são chamados de arcos côngruos.

De modo geral:

�� se um arco mede a graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:a 1 k ? 360°, com k Z

�� se um arco mede a radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:a 1 2kp, com k Z

�� chama-se primeira determinação positiva de um arco a medida do arco côngruo a ele, tal que:

0 < , 360° ou 0 < , 2p rad

P

A

v

uO

π3

rad

1. Um móvel percorreu um arco de 1 690° na circunferência trigonométrica, partindo do ponto A. Quantas voltas completas esse móvel deu, e em qual quadrante parou?

Resolução1690 360

250 4

1 690° 5 250° 1 4 ? 360° (expressão geral)

número de voltas completas

o arco de 1 690° tem a mesma ex-tremidade que o arco de 250°

O móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário e, como 180° , 250° , 270°, o móvel parou no 3o quadrante.

2. Calcule a 1a determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 1 940°.

Resolução1 940 360

140 5

1 940° 5 140° 1 5 ? 360° (expressão geral)

número de voltas completas

1a determinação positiva

A 1a determinação positiva é 140° e a expressão geral é a 5 140° 1 k ? 360°, com k Z.

Edi

toria

de

Art

e


FAÇA NO

CADERNOExercícios

11. Determine o quadrante em que está a extremidade dos seguintes arcos:

a) 21 640° b) 2 630° c) 24874

π rad

12. Determine quantas voltas completas um móvel dá e em que quadrante ele para se, partindo da origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de:

a) 1 810°

b) 254 radπ

c) 21 200º

d) 2 350°

e) 316 radπ

f) 17

8 radπ

2o quadrante 2o quadrante4o quadrante

12. a) 5 voltas: 1o quadrante b) 3 voltas: 1o quadrante c) 3 voltas: 3o quadrante

d) 6 voltas: 3o quadrantee) 2 voltas: 3o quadrantef) 1 volta: 1o quadrante

13. Os polígonos regulares das figuras estão inscritos nas circunferências trigonométricas. Determine em grau e em radiano as primeiras determinações positi-vas dos arcos cujas extremidades são vértices de cada polígono:

a) M

Q

N

P

60º

b) B

E

OC A

D F

Respostas no fi nal do livro.

4 Seno e cosseno de um arcoConsideremos no ciclo trigonométrico o ponto M, que é a imagem de um número real x, conforme indica

a figura.

Consideremos também o arco AM,� que corresponde ao ângulo central de medida x. Seja OM o raio do ciclo, M’ e M” as projeções ortogonais do ponto M nos eixos u e v, respectivamente.

Do triângulo retângulo OM”M, temos:

senx M”MOM

OM’ OM’ senx OM’5 51

5 5Æ

cosx OM”OM

OM” OM cosx OM”5 5 5 51

” Æ

Definimos:

• Seno de x é a ordenada do ponto M.

• Cosseno de x é abscissa do ponto M.

O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos cossenos. Daí, se M é um ponto do ciclo trigonomé-trico, podemos escrever: M (cos x, sen x).

Essas novas definições têm a vantagem de não ficarem restritas aos ângulos agudos do triângulo re-tângulo, como nas definições anteriores. Agora, podemos falar em seno e cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida.

�� No 1o quadrante (I), o seno é positivo e o cos-seno é positivo.

AO

sen x

cos x M”

M’

v

M

u

�� No 2o quadrante (II), o seno é positivo e o cosseno é negativo.

M

AO

sen x

cos x M”

M’

v

u

M

AOx

M’

M” u

r1

5

v

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


�� No 3o quadrante (III), o seno é negativo e o cosseno é negativo.

M

AO

sen x

cos x M”

M’

v

u

�� No 4o quadrante (IV), o seno é negativo e o cosseno é positivo.

M

AO

M’

M”

sen x

cos x

v

u

Valores notáveis de sen x e cos xVamos destacar os valores do seno e do cosseno para

os arcos com extremidade nos eixos v (dos senos) e u (dos cossenos), e também para os arcos do 1o quadrante cujos senos e cossenos já havíamos calculado na Trigonometria nos triângulos, do volume 1.

Arco

0°

(0)

30°

6( )π

45°

4( )π60°

3( )π90°

2( )π180°

(p)

270°

32( )π

360°

(2p)

sen 012

22

32

1 0 21 0

cos 1 32

22

12

0 21 0 1

Redução ao primeiro quadranteUsando a simetria, podemos relacionar o seno e o cosseno de um arco de qualquer quadrante com os

valores do seno e do cosseno de um arco do 1o quadrante. Desse modo, fazemos uma redução ao 1o quadrante.

Redução do segundo quadrante para o primeiro quadranteObserve, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados.

Grau Radiano

180 x2o

cos

sen

x

sen

π x2 x

cos

sen (180° 2 x) 5 sen x sen (p 2 x) 5 sen x

cos (180° 2 x) 5 2cos x cos (p 2 x) 5 2cos x

cos

sen

O1

1

�1

�1

322

212

12 2

23

2

60º3π

45º4π

30º6π

90º2π

0° (0)

360°(2p)

180°

270º 32π

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

p


Note que os arcos de medidas x e (180° 2 x) ou x e (p 2 x) são arcos suplementares e que suas extre-midades são pontos simétricos em relação ao eixo dos senos.

Dois arcos suplementares têm: senos iguais

cossenos simétricos

Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadranteObserve, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados.

Grau Radiano

180 x1o

cos

sen

x

π x1

cos

sen

x

sen (180° 1 x) 5 2sen x sen (p 1 x) 5 2sen x

cos (180° 1 x) 5 2cos x cos (p 1 x) 5 2cos x

Note que as extremidades desses arcos são pontos simétricos em relação à origem do sistema de eixos.

Os arcos de medidas x e (180° 1 x) ou x e (p 1 x) têm: senos simétricos

cossenos simétricos

Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante

Observe, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados.

Grau Radiano

360 x2o

cos

sen

x

2 x2π

cos

sen

x

sen (360° 2 x) 5 2sen x sen (2p 2 x) 5 2sen x

cos (360° 2 x) 5 cos x cos (2p 2 x) 5 cos x

Os arcos de medidas x e (360° 2 x) ou x e (2p 2 x) são arcos replementares e suas extremidades são pontos simétricos em relação ao eixo dos cossenos.

Dois arcos replementares têm: senos simétricos

cossenos iguais

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


Das figuras também obtemos:

�� (360° 2 x) e 2x são medidas de arcos côngruos.

�� sen (360° 2 x) 5 sen (2x) 5 2sen x

�� cos (360° 2 x) 5 cos (2x) 5 cos x

Com base no que foi visto, podemos construir o quadro a seguir, que indica os valores do seno e do cosseno de arcos recorrentes em nosso estudo.

90°

(0,�1)

60°

45°

30°

330°

360°

0°

315°300°

270°240°

225°

210°

180°

150°

135°

120°

π3

π2

π4

π6

11π6

7π45π

3

3π2

4π3

5π4

7π6

5π6

3π4

2π3

(0,1)

(�1, 0) (1, 0)

12

2

, 3

2

, 2

22

12

, 23

12

, 23

�

2

, 2

22

� 2

, 2

22

��

2

, 2

22

�

12

2

, 3

�

�12

2

, 3

2

, 3

��12

12

, 23

��

12

, 23

�

y

π 2 π x

£ (em grau) (em radiano) sen £ cos £

0° 0 0 1

30°π6

12

32

45°π4

22

22

60°π3

32

12

90°π2 1 0

120° π23

32

212

135°π34

22

2 22

150° π56

12

2 32

180° p 0 21

£ (em grau) (£ em radiano) sen £ cos £

210°π76 21

22 3

2

225°π54 2 2

22 2

2

240°π43

2 32

212

270°π32 21 0

300°π53

2 32

12

315°π74

2 22

22

330°π11

6 212

32

360° 2p 0 1

Edi

toria

de

Art

e


1. A quantidade de energia consumida por uma cidade varia com as horas do dia. Os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar essa necessidade de energia pela função:

P(t) � 40 � 20 cos 12 t 4�( )π π

em que t é a hora do dia e P a quantidade de ener-

gia, em MW.

Em qual horário o consumo de energia é maior

nessa cidade, às 6h ou às 15h? Use 2 1,4�( )Resolução

Convém lembrar que MW (megawatt) equivale a 106 watts, unidade da grandeza física potência no Sistema Internacional de Unidades.

Para t � 6 (6h), temos:

,

P 6 40 20cos 12 6 4

40 20cos 4 40 20 22

40 20 1 42

( )( ) π π

π

� � � � �

� � � � � �

� � �

P(6) � 26 MW

Para t � 15 (15h), temos:

P 15 40 20cos 12 15 440 20cos 40 20 1 60

( )( )( )

π π

π

� � � � �

� � � � � � �

P(15) � 60 MW

O consumo de energia é maior às 15h.

2. Calcule os valores de sen 210° e cos 210°.

Resolução

210º

cos

sen

30º12

�3

2

�12

32

Reduzindo esse arco ao 1o quadrante, temos:

sen210º sen30º 12��

cos210º cos30º 32��

3. Calcule o valor da expressão

E sen1830º cos13

sen163

.ππ�

�

Resolução

Vamos calcular a 1a determinação positiva de cada arco:

•1830º 360º

30º 5

1830º 30º 5 360º

sen1830º sen30º 12

� � �

� �

V

• 13π � π � 12π � π � 6 � 2πcos 13π � cos π � �1

• 163

123

43 4 4

343 2 2π π π π π π π� � � � � � �

sen163 sen 4

3π π� (3o quadrante)

Reduzindo do 3o para o 1o quadrante:

cos

sen

4π3

π3

43 3π π π� � e sen sen4

3 33

2π π��

Então: E �

12

1

32

123

2

13

33

�

��

�

��

4. Simplifique a expressão

A � sen (900° � x) � cos (1 980° � x) � sen(1 440° � x).

Resolução

Sabemos que:

900° � 180° � 2 � 360°

1 980° � 180° � 5 � 360°

1 440° � 0 � 4 � 360°

Logo:

sen (900° � x) � sen (180° � x) � sen x

cos (1 980° � x) � cos (180° � x) � �cos x

sen (1 440° � x) � sen (�x) � �sen x

Substituindo na expressão, temos:

A � sen x � cos x � sen x ⇒ A � �cos x

Exemplos

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte



FAÇA NO

CADERNOExercícios

14. Sendo A cos sen5 156

134

π π

e

B 5 (sen 675° 2 cos 1 200°), qual a relação de ordem

que podemos estabelecer entre A e B? A , B

15. (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto, é dada por ,f x 100 0 5x 3 sen x

6( ) π5 1 1 ? , em quex 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 correspon-de a fevereiro de 2011 e assim por diante.

A previsão de vendas (em toneladas) para o pri-meiro trimestre de 2011 é:

(Use a aproximação decimal 3 1,75 .)

a) 308,55

b) 309,05

c) 309,55

d) 310,05

e) 310,55

16. Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram que a população P de animais de certa espécie presente na reserva variava durante o ano segundo a fórmula

P(t) 5 500 2 150 cos t 23

1( )π

X

em que t é o tempo medido em meses e t 51 corres-ponde ao mês de janeiro. a) Qual seria a população de animais dessa espécie na

reserva no mês de novembro? 425

b) E no mês de junho? 575

17. (Acafe-SC) Analise o ciclo trigonométrico a se-guir e determine o perímetro do retângulo MNPQ, em unidades de comprimento.

A alternativa correta é:

a) 1 32

1

b) 1 2 31

c) 1 31

d) 2 31

e) 2 1 31( )18. (Fuvest-SP) Qual dos números é maior? Justifique.

a) sen 830° ou sen 1 195° sen 830º

b) cos (2535°) ou cos 190° cos 190º

M60°

cos x1�1

sen x

N

Q

O

PX

O menor caminho

Imagine duas cidades sobre um mesmo paralelo, por exemplo, Budapeste e Quebec, que se localizam aproximadamente a 45° N e 19° L e a 45° N e 73° O, respectivamente.

S

P

�O

BQ

O’

N

Suponha que você vai viajar de avião de Quebec para Budapeste.

Intuitivamente, pode parecer que seu avião percorrerá a menor trajetória se sobrevoar na mesma direção do paralelo. No entanto, isso é um engano. Veja o porquê.

A distância entre dois pontos, Q e B, é o menor comprimento das trajetórias que ligam Q e B.

Em uma superfície plana, a distância de Q a B é o comprimento do segmento de reta QB . Em uma superfície esférica, é o comprimento do menor arco QB� contido na circunferência máxima por Q e B, que é a circunferência contida no plano que passa pelo centro da esfera.

Yoko

Azi

z/A

ge F

otos

tock

/Eas

ypix

Chr

is C

head

le/A

ge F

otos

tock

/Eas

ypix


Cidade de Quebec, capital da Província de Quebec, Canadá.

Budapeste é a maior cidade e também capital da Hungria.

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

A representação é apenas um esquema.


Então, o menor percurso de Quebec a Budapeste é pela circunferência máxima, que passa por essas cidades e tem o raio de mesmo comprimento que o raio da Terra, aproximadamente 6 380 km.

�� Cálculo do comprimento , do arco QB� do percurso sobre o paralelo. Observe a figura da página anterior.

Sabendo que o ângulo de deslocamento QÔ’B mede 92° (73° 1 19°), podemos obter o raio O’B desse paralelo.

O ângulo £ e o ângulo �O’BO são alternos internos, logo têm a mesma medida. Como o triângulo O’BO é retângulo em O’, tem-se que θcos O’B

OB5 , ou O’B 5 OB cos £. Substituindo OB 5 OP por 6 380 km e £ por 45°, temos BO’ 4 511 km.

Agora basta fazermos uma regra de três:

, 92 2 3 14 4511360 72405

? ? ? ,, 2p ? B0

92° 360°

Portanto, a trajetória sobre o paralelo entre cidades é de aproximadamente 7 240 km.

Já por uma circunferência máxima, segundo informação obtida em <www.timeanddate.com> (acesso em: 24 set. 2012), a distância percorrida é de aproximadamente 6 428 km.

A diferença de 812 km (7 240 – 6 428) equivale a uma economia de aproximadamente 54 minutos em um voo cuja velocidade é de 900 km/h.

Gráfico das funções seno e cossenoPara estudar a função seno, dada pela lei y 5 sen x, e a função cosseno, dada pela lei y 5 cos x, ambas

definidas para todo x R, vamos variar x no intervalo [0, 2p].

y 5 sen xVerifique, na tabela da página 21, os valores de sen x que aparecem no gráfico.

0 π2π

1

�1

y

x

p 2= π

322

2 12

212

22

22

32

π6

π4

π3

π2

π23

π34

π76

π56

π54

π43

π53

π74

π116

π32

O gráfico da função seno é chamado senoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão).

�� O domínio da função y 5 sen x é o conjunto dos números reais, isto é: D(f) 5 R

�� A imagem da função y 5 sen x é o intervalo [21, 11], isto é: 21 < sen x < 1

�� Toda vez que adicionamos 2p a determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor. Como 2p é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y 5 sen x é p 5 2p.

Edi

toria

de

Art

e

circunferência máxima

paraleloQ B

O

�

Edi

toria

de

Art

e


Essa conclusão pode ser obtida, também, com base no ciclo trigonométrico em que marcamos o arco x.

sen x 5 OM”

sen (x 1 2p) 5 OM”

sen (x 1 4p) 5 OM”

A A

sen (x 1 2kp) 5 OM”, k Z

Quando adicionamos 2 kp, com k R, ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a

função seno é periódica:

sen x 5 sen (x 1 2kp), k Z

De modo geral, o período de uma função do tipo y 5 a 1 b sen (kx), com a R, b R e k R, é dado

por:

5p 2kπ

y 5 cos xVerifique, na tabela da página 21, os valores de cos x que aparecem no gráfico.

0π

2π

1

�1

y

x

p 2= π

π2

32ππ

6π4

π3

322

212

212

22

2

23

2

π23

π34

π76

π56

π54

π43

π53

π74

π116

O gráfico da função cosseno é chamado cossenoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão).

�� O domínio da função y 5 cos x é o conjunto dos números reais, isto é: D(f) 5 R

�� A imagem da função y 5 cos x é o intervalo [21, 11], isto é: 21 < cos x < 1

�� O período da função y 5 cos x é igual a 2p.

Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico, em que marcamos o arco x.

Quando adicionamos 2kp, com k R, ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica:

cos x 5 cos (x 1 2kp), k Z

De modo geral, o período de uma função do tipo y 5 a 1 b cos (kx), com a R, b R e k R, é

dado por:

5p 2kπ

M

O

M”

x

sen

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


ParidadeQuando uma função f é tal que f(x) f(x), para todo x do seu

domínio, dizemos que f é uma função ímpar.

�� Como sen (2x) 5 2sen x, para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.

sen (2x) 5 2sen x

O seno é uma função ímpar.

Quando uma função f é tal que f(x) f(x), para todo xdo seu domínio, dizemos que f é uma função par.

�� Como cos (2x) 5 cos x, para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.

cos (2x) 5 cos x

O cosseno é uma função par.

sen x

sen

x

sen (�x)�x

x

�x cos

1. Em certas espécies em perfeito equilíbrio eco-lógico, a variação no tamanho de sua população é periódica. Esse período depende de condições ambientais, como a quantidade de predadores e a quantidade de alimento disponível, entre outros fatores. Em uma ilha, a população P de certa espécie animal é dada pela função:

P t 500 100 cos t35 1 ( )( ) π

em que t corresponde aos meses do ano (t 5 1 correspondendo a janeiro). a) Em que meses do ano essa população é mínima?

b) Esboce o gráfico da função 5y 100cos t3( )π ,

dando o período dessa função.

c) Esboce o gráfico de P em função de t para a população dessa espécie animal, dando o intervalo de variação dessa população no ano.

Resolução

a) Como sabemos que a função cosseno varia entre 21 e 1, a população P será mínima quando

cos t3( )π for mínimo, ou seja: cos t

3 152( )π .

Observando o ciclo trigonométrico, vemos que

os valores que possuem cosseno igual a 21 são:

p, 3p (p 1 2p), 5p (p 1 4p), 7p, ...

cos t3 1 t

3 t 352 5 5( )π π πX V

(mês de março)

cos t3 1 t

3 3 t 952 5 5( )π π πX V

(mês de setembro)

52 5 5X Vcos t3 1 t

3 5 t 15( )π π π

(não serve, pois 1 < t < 12)

• 5 5 1 ??

5 1

1 5 2 5

t 3 P 3 500 100 cos 33 500

100 cos 500 100 400

( )( ) π

π• 5 5 1 ?

?5 1

1 5 2 5

t 9 P 9 500 100 cos 93 500

100 cos3 500 100 400

( )( ) π

π

Então, essa população é mínima nos meses de março

(3) e setembro (9), com 400 habitantes.

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

Exemplos


b) Construindo a tabela da função y 100 cos t35 ( )π , temos:

tt

3π

cost

3π

y =100 cost

3π

0 0 1 100

1π3

12 50

2π23

212 250

3 p 21 2100

4π43

212 250

5π53

12 50

6 2p 1 100

c) A função P(t) 5 500 1 100cos t3( )π tem o gráfico parecido com o gráfico de y 5 100cos t

3( )π , mas

deslocando cada ponto 500 unidades “para cima”, isto é, no sentido positivo do eixo dos y.

t 5 3 ≤ y 5 2100 ≤ P 5 400

t 5 6 ≤ y 5 100 ≤ P 5 600

0 2

100200300400500600

y

4 6 8 10 t

A variação da população corresponde à imagem da função P, ou seja:

Im 5 [400, 600]

A população dessa espécie varia entre 400 e 600 animais.

2. Determine k para que exista o arco que satisfaz a igualdade sen x 5 2k 2 5.

Resolução

Sabemos que 21 < sen x < 1. Substituindo sen x por 2k 2 5, temos:

(II) (I) 2k 2 5 < 1 (II) 2k 2 5 > 2121 < 2k 2 5 < 1 2k < 6 2k > 4

(I) k < 3 k > 2

Na reta real:

(I)

(II)

(I) (II)5

2

2 3

3

2 k 3<<

S 5 {k R | 2 < k < 3}

100

y

50

1

2

5 6 8 10 t

43

250

2100

p 2

O período da função é p 6.

5 5 ? 52

3

3 6ππ

ππ

5

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


3. Que valores de x podem pertencer ao domínio da função dada pela lei y sen x 45 2( )π , no universo

0 x 4 2< 2 ,π π.

Resolução

Para que exista a raiz, devemos ter: sen x 4 02 >( )π

Fazendo-se z x 45 2 π , vem: sen z > 0

No ciclo, temos:

(II)

Agora, substituímos z por x 42 π : 0 x 4< 2 <π π

(I)

(I) x 42 π π (II) x 4 02 >π

x 54< π x 4> π

Na reta real:

(I)

(II)

(I) (II)5

π54

π4

π4

π54

5 < <{ }π πD(f) x | 4 x 54R

sen

0

z

0 � z � π

π

FAÇA NO

CADERNOExercícios

19. (FGV-SP) Um supermercado, que fica aberto24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica

f(x) 5 900 2 800 sen x12?( )π

em que f(x) é o número de clientes e x, a hora da ob-servação (x é um inteiro tal que 0 < x < 24).

Utilizando essa função, a estimativa da diferen-ça entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a:

a) 600

b) 800

c) 900

d) 1 500

e) 1 600

20. Construa os gráficos das funções cujas leis são y 5 2 sen x e y 5 2 1 sen x, dando o domínio, a imagem e o período de cada uma. Em seguida, compare esses gráficos com o gráfico de y 5 sen x.

X

Resposta no final do livro.

21. (UFV-MG) Para a existência da expressão

senx

522 13

, os valores de x estão compreendidos

no intervalo:

a) 21 < x , 1

b) 21 , x < 0

c) 2 < ,1 13

x

d) 21 < x < 2

22. (USF-SP) As funções trigonométricas e seus gráfi-cos formam o tópico de maior aplicabilidade da trigono-metria em vários campos da ciência. Uma das aplicações dessas funções é na medicina; no monitoramento da frequência cardíaca. A frequência cardíaca do ser hu-mano varia ao longo do dia e o número de batimentos cardíacos em um período de tempo, geralmente medido em bpm (batimentos cardíacos por minuto), pode ser representado por meio de uma função periódica.

A função y 5 12 sen (15t 2 135°) 1 62 relaciona o número y de batimentos por minuto de um deter-minado paciente em observação e o tempo t de horas decorridas após a meia-noite.

Determine a frequência cardíaca desse paciente às 7h da noite e o horário em que ele apresentará o número máximo de batimentos cardíacos por minuto.

X

68 bpm e 15h

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


23. (Unifesp-SP) Na procura de uma função y 5 f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma

f t A B sen 90 t 1055 1 2( )( ) π

com o argumento t medido em radianos.

a) Encontre os valores de A e B para que a função f sa-tisfaça as condições dadas.

b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio.

24. Calcule os valores reais de m, de modo que:

a) sen x 5 2m 2 1

b) cos x 5 m2 1 2m 1 1

25. (UFPE/UFRPE) A ilustração abaixo representa parte do gráfico de uma função

f(x) 5 a 1 b ? cos xc( )π

com período 8, sendo a, b e c números reais. O gráfico da função passa pelos pontos (0, 12) e (4, 2).

Calcule a, b e c e indique abc10

.

10

12

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6 7 8 x

y

26. (UFPA) Segundo reportagem da revista Veja de 26/7/06, uma onda gigante atingiu a Ilha de Java, na Indonésia. Autoridades locais contaram mais de 500 mortos e 38 000 desabrigados. A reportagem mostra como se originam e quais as causas de formação desses fenômenos da natureza. O formato dessas ondas gigantes pode ser registrado e representado matematicamente, por meio de funções, conforme gráfico abaixo. A função f

que melhor representa esse gráfico para π π88

x 9< < , é:

A 5 12 e B 5 2,4 ou A 5 12 e B 5 22,4.

15

{m R | 0 < m < 1}

{m R | 22 < m < 0}

• a 5 7; b 5 5; c 5 4; abc10

145

y

x0

2

�2

�8

9�8

a) f(x) 2 sen x8

5 ? 2 π

b) f(x) 2 sen x4

5 ? 22 π

c) f(x) 2 cos x4

5 ? 22 π

d) f(x) 2 cos x8

5 ? 2 π

e) f(x) 2 sen x8

5 ? 2 π

27. Seja a função real de variável definida por f(x) 5 3 1 2 sen x.

a) Qual a imagem de f ? [1, 5]

b) A função f é par ou ímpar? Justifique.

28. (UFPR) O período da função f: R → R, definida

por f(x) 5 sen 2x 41( )π é:

a) 2π

b) p

c) 4π

d) 2p

e) 8π

29. (UFES) O período e a imagem da função f(x) 5

5 5 2 3 cos x 22π

, x R, são, respectivamente:

a) 2p e [21, 1]

b) 2p e [2, 8]

c) 2p2 e [2, 8]

d) 2p e [23, 3]

e) 2p2 e [23, 3]

X

Resposta no final do livro.

X

X

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


5 Tangente de um arcoDado um número real x, considere a circunferência trigonomé-

trica da figura ao lado e o arco AM� de medida x.

O eixo paralelo ao eixo das ordenadas, orientado no mesmo sen-tido deste, e com origem ao ponto A, é chamado eixo das tangentes.

Definimos como tangente do arco AM� a ordenada do ponto T, intersecção da reta OM

� �� com o eixo das tangentes.

tg x 5 AT

Observações:

�� Essa definição contempla a que temos para o triângulo retângulo:

tg xmedida do cateto oposto

medida do cateto adjac5

eenteATOA

AT1

AT5 5 5 , com x 2 k k ., 1 Zπ π

M

AO

v

M’’

M’ ux

T

Eixo dastangentes

O Winplot já traz programado gráficos de várias funções importantes de Matemática. Este é o caso das funções trigonométricas.

Acompanhe a seguir como usar o Winplot para construir o gráfico da função f(x) 5 2 1 3 sen x.

Siga o roteiro:

�� Abra o Winplot, clique o botão janela e nela clique o botão 2-dim.�� Na janela que se abre, usada para construir gráficos em um plano cartesiano, acione a opção 1.Explícita do menu Equação que aparece na parte superior da janela. �� Em seguida, na janela que irá aparecer, digite a fórmula que representa a função f. Atenção, o Winplot lê a função seno quando escrita “sin”. A variável ou a expressão sujeita à função seno deve vir entre parênteses. �� Na mesma seção, selecione, em ocultar/mostrar tudo, a opção equação.

Você vai obter o gráfico apresentado ao lado.

Use o Winplot para construir o gráfico das funções trigonométricas dadas a seguir. Em cada item, atribua ao parâmetro a os valores 0,5, 1 e 2, e analise o comportamento do gráfico:

a) f(x) 5 a sen (x) b) g(x) 5 a 1 sen(x) c) h(x) 5 sen (ax)

Atividade FAÇA NO

CADERNO

Tecnologia

Edi

toria

de

Art

e


Win

plot


Essa definição preserva a relação entre tangente, seno e cosseno.

Nos triângulos retângulos OM’M e OAT, temos:

�� OM’M OAT OM’OA

M’MATV

cos x1

senxtg x tg x cos x 1 senx tg x

senxcos x� � � � �V V

Portanto, �tg x senxcos x , com cos x � 0, isto é, �π πx 2 k k .,� � Z

Quando a reta OT� ��

coincide com o eixo u, temos x � kπ, com k � Z e tg x � 0.

Quando a reta OT� ��

coincide com o eixo v, temos x 2 k k� � � Zπ π , e não existe tg x.

No 1o quadrante, como vimos na ilustração da página anterior, a tangente é positiva.

No 2o quadrante, a tangente é negativa.

M

AO

tg x � 0

T

No 3o quadrante, a tangente é positiva.

M

AO

tg x � 0

T

No 4o quadrante, a tangente é negativa.

M

AO

tg x� 0

T

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


90°60°

45°

30°

0°

270°

360°

π

x

1

y

tg

2π

300°240°

225°

210°

180°

150°

135°120°

π3 π

4π6

33

3

�1

π

330°

315°11π6

7π45π

3

4π3 3π

2

5π4

7π6

5π6

3π4

2π3

33

�

� 3

Observe alguns valores da tangente de arcos notáveis na circunferência trigonométrica.

�� tg 0° 5 tg 180° 5 0 (ou tg 0 5 tg p 5 0)

�� tg90º e tg270º ou tg 2 e tg 32

( )∃ ∃ ∃ ∃

��

��

��

Usando a simetria, podemos relacionar a tangente de um arco de qualquer quadrante com valores da tangente de um arco do 1o quadrante. Assim, efetuamos uma redução ao 1o quadrante.

�� Redução do 2o quadrante para o 1o quadrante:

Grau Radiano

tg (180° 2 x) 5 2tg x tg (p 2 x) 5 2tg x


Grau Radiano

tg (180° 1 x) 5 tg x tg (p 1 x) 5 tg x


Grau Radiano

tg (360° 2 x) 5 2tg x tg (2p 2 x) 5 2tg x

E obtemos a tabela com os valores das tangentes dos arcos recorrentes em nosso estudo:

£ (em grau)

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

£ (em radiano)

0 π6

π4

π3

π2

π23

π34

π56

p π76

π54

π43

π32

π53

π74

π116

2p

tg £ 0 33

1 3 E 2 3 21 23

30 3

31 3 E 2 3 21 2 3

30

Já vistos nos triângulos retângulos.

tg ° tg

tg ° tg

tg ° tg

603

3

454

1

306

33

5 5

5 5

5 5

π

π

π

Edi

toria

de

Art

e


Gráfico da função tangente Para estudar a função tangente, dada pela lei y 5 tg x, com x k k 1π π

2, Z , vamos atribuir a x valores

no intervalo [0, 2p] e obter no plano cartesiano os pontos da tabela anterior. Depois, traçamos linhas que passam por esses pontos.

0 π 2 π

y

x

p= π

3

13

3

23

321

2 3

π23

π34

π56

π76

π54

π43

π53

π74

π116

O gráfico da função tangente é chamado tangentoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão).

�� O domínio da função y 5 tg x é: 5 1 Z{ }π πD(f) x x 2 k k| ,R

�� Os “ramos” do gráfico nunca tocam as retas perpendiculares ao eixo x pelos pontos em que x 2 k , k .5 1 Zπ π

�� A imagem da função y 5 tg x é o intervalo (2`, 1`).

�� O período da função y 5 tg x é p 5 p.

Essa afirmação pode ser concluída com base no ciclo trigonométrico, em que destacamos o arco x.

tg x 5 AT

tg (x 1 p) 5 AT

tg (x 1 2p) 5 AT

A

tg (x 1 kp) 5 AT, k Z

A tangente é uma função ímpar

Como tg (2x) 5 2tg x, para todo número real x 2 k 1π π (k Z), dizemos que a função tangente é ímpar.

tg (2x) 5 2tg x

tg

M

A

T

x 0 π xO

tg

x�x A

T1

T2

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte


FAÇA NO

CADERNOExercícios

1. Determine o valor de: tg 1845º

tg 253π

Resolução

1845º 360º

45º 5 1845º 45º 5 360º5 1 ?V 1a determinação positiva

Então: tg 1 845° 5 tg 45° 5 125

3 324

3 3 8 3 4 25 1 5 1 ?π π π π + π = π π

Então: tg 253 tg 3 35 5π π

Portanto, tg1845º

tg 253

13

335 5π .

2. Que valores de x podem pertencer ao domínio da função dada pela lei y tg 2x 25 2( )π? E qual é o pe-

ríodo dessa função?

Resolução

• A condição de existência é: 2x 2 2 k2 1π π π

2x 2 2 k 2x k x 2k2 , k 1 1 1 1 π π π π π ⇒ π πV Z

• Sabemos que a função tangente é periódica de período p 5 p. Devemos verificar o que ocorre com o arco

2x 22( )π quando varia de 0 a p.

2x 2 0 2x 2 x 42 5 5 5π π πV V

2x 2 2x 232 x 3

4 p 34 4

24 22 5 5 1 5 5 5 2 5 5

π π π π π π π π π πV V

5 1 5 Z{ }π π π,Portanto, D(f) x |x 2k2 k e p 2 .R .

30. Determine o valor de tg 374π . 1

31. Determine os valores que x pode ter para pertencer ao domínio das seguintes funções:

a) y 5 tg (x 1 60º) {x 7 R | x 30º 1 k ? 180º ? k 7 R}

b) y tg x 25 2( )π {x 7 R | x p 1 kp ? 180º ? k 7 Z}

32. (Unicentro-PR) Sendo 270° , x , y , 360°, assinale a alternativa correta:

a) sen x sen y

b) cos x cos y

c) tg x tg y

d) cos y 2 sen x 0

e) sen x ? cos y 0

33. (Furb-SC) Denomina-se ciclo trigonométrico uma circunferên-cia de raio unitário, sobre a qual marcamos um ponto A (origem) e colocamos um sentido positivo de percurso (anti-horário).

Os eixos x e y dividem o ciclo trigonométrico em quatro partes que denominamos quadrantes.

Os quadrantes em que estão os ângulos a, e , tais que sen a 0 e cos a , 0, cos 0 e tg 0, sen , 0 e tg , 0, são, respectivamente: a) 4o, 2o, 1o

b) 2o, 4o, 1o

c) 2o, 1o, 3o

d) 2o, 1o, 4o

e) 1o, 2o, 3o

X

X

x

�

A

2° Q 1° Q

3° Q 4° Q

y

Edi

toria

de

Art

e

Exemplos


6 Equações trigonométricasÉ denominada equação trigonométrica toda equação em que a incógnita ou as expressões contendo a

incógnita aparecem como se fossem variáveis de funções trigonométricas. Por exemplo:

�� sen x 1252

�� cos x 34

341 52

�� tg2 x 1 tg x 5 0

Os valores da incógnita que satisfazem à equação dada, caso existam, constituem a solução da equação trigonométrica.

Vamos, inicialmente, analisar equações do tipo: sen x 5 m, cos x 5 n e tg x 5 t.

1. Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios varia periodicamente em função do tempo. Suponha que determinado rio tenha sua profundidade determinada pela

função d t) sen t( ( )5 2 136

4 8π

, em que d é sua

profundidade em metro e t é a hora do dia (sendot 5 0 à meia-noite e t medido na forma 24 h).

Qual o horário em que esse rio atinge 6,5 m de profundidade?

Resolução

d 5 6,5 ä 36

4 8 656

4sen t , sen t6,π π( ) ( )2 1 5 2

V 555 83

sen t 12

252V π

64( )2

Como sen 6

125π , analisando o ciclo trigonométrico temos:

sen 76

12

e sen 116

12

π π5 2 5 2

sen

π π π6

761 5 π π π2 6

1162 5

212

Exemplos

p6 E

dito

ria d

e A

rte

Dig

ital V

isio

n/G

etty

Imag

es

Na praia, no final da tarde, é possível perceber que o nível da água sobe, indicando a maré alta.


Precisamos descobrir o valor de t (0 < t < 24) que satisfaz às equações I e II:

I. sen t senπ π6

4 76

2 5( )

6 t 4 76 2k2 5 1( )π π π

p(t 2 4) 5 7p 1 12kp p(t 2 4) 5 p(7 1 12k) t 2 4 5 7 1 12k t 5 11 1 12k Para k 5 0 temos t 5 11 Para k 5 1 temos t 5 11 1 12 5 23 Para k 5 2 temos t 5 11 1 24 5 35 (não serve)

Para k 5 21 temos t 5 11 2 12 5 21 (não serve)

II. sen t senπ π6

4 116

2 5( )

6 t 4 116 2k2 5 1( )π π π

p(t 2 4) 5 11p 1 12kp p(t 2 4) 5 p(11 1 12k) t 2 4 5 11 1 12k t 5 15 1 12k Para k 5 0 temos t 5 15 Para k 5 1 temos t 5 27 (não serve)

Para k 5 21 temos t 5 15 5 12 5 3 Para k 5 22 temos t 5 15 2 24 5 29 (não serve)

Levando-se em conta que 0 < t < 24, a equação

sen tπ6

4 12

2( )

52 tem como soluções os nú-

meros 3, 11, 15, 23, ou seja, o rio atinge a profun-

didade de 6,5 m às 3h, 11h, 15h e 23h.

2. Resolva a equação cos x 325 .

Resolução

Inicialmente, marcamos no eixo dos cossenos o

valor 32

.

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

cosO 32

Em seguida, traçamos pelo ponto 32 , 0( ) uma

reta vertical.

cosO 32

Por último, os valores de x, soluções da equação, são as medidas dos arcos cujas extremidades são os pontos de intersecção da reta paralela ao eixo das ordenadas com a circunferência trigo-nométrica.

cosO

π6

32

π π π116 2 65 2

No 1o quadrante, o valor é 6π ; no 4o quadrante, o

valor é 2p 2 61165π π .

Como não está especificado o conjunto universo (ou seja, o conjunto dos possíveis valores x), de-vemos considerar o maior conjunto possível, no caso, x [ R.

A função cosseno é periódica, de período 2p, e a solução da equação no conjunto R é:

S 6 2k 116 2k k5 1 1 Z{ }π π π π, ,

3. Resolva a equação 2 sen2 x 2 5 sen x 1 3 5 0.

Resolução

Fazendo sen x 5 y, temos:

2 sen2 x 2 5 sen x 1 3 5 0 ä 2y2 2 5y 1 3 5 0


Resolvendo a equação, obtemos:

2 5 3 05 25 24

42y y y2 1 5

V V52

ä y1

554

V

ä y’ 32

y” 1

5

5

Voltando à substituição:

sen x 5 y ä

ä sen x 5 32

ou sen x 5 1

Resolvendo as equações trigonométricas, temos:

sen x 5 32

(não tem solução, pois 21 < sen x < 1)

sen x sen x sen

x k

5 5

5 1

12

22

V V

V

π

π π

Logo,

S x |x k k5 5 1 R π π2

2 , .Z{ }4. Resolva a equação tg x 52 3

3. Considere

0 < x , 2p.

Resolução

Inicialmente, vamos marcar no eixo das tangentes

o valor da ordenada 2 33

.

23

3

O

tg

Em seguida, vamos unir esse ponto de ordenada

2 33

com o ponto O, até obter um diâmetro na

circunferência.

23

3O

tg

Por último os valores de x, soluções da equação, são as medidas dos arcos cujas extremidades são os pontos extremos desse diâmetro.

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

O

tg

56π

π6

23

3

116π

No 1o quadrante, a medida do arco cuja tangente vale

33

é π6

. Nesse exemplo, a tangente é negativa e os

arcos que satisfazem à equação têm extremidades no

2o e no 4o quadrantes.

No 2o quadrante:

ππ π π π6

66

56

2 52

5

No 4o quadrante:

26

126

116

ππ π π π

2 52

5

Logo, S56

,11

65

π π{ } .


FAÇA NO

CADERNO

34. Resolva as seguintes equações, sendo 0 � x � 2π.

a) sen x � 22

b) cos x 32��

35. Resolva as seguintes equações trigonométricas:

a) tg 3x � 1 b) tg (2x � π) � �1

36. Resolva a equação 2 cos2 x � 1 � 0 no intervalo0 � x � 2π. S

4, 3

4, 5

4, 7

4�

π π π π

37. Determine o conjunto verdade das seguintes equações: Respostas no fi nal do livro.

a) 2 sen x � 1 � 0

b) 2 sen 2x � 1

c) cos 3x � �1

d) 4�sen x � 12

{ }π π,4

34 { }π π,5

676

38. Determine o conjunto solução da equação

tg x 3 tg x2 � . � � � �� Z{ }π π πS x | x k ou x k k3

R

39. Um gerador de corrente elétrica produz uma

corrente dada pela equação I � 40 sen (120πt),

em que t é o tempo em segundo e I é a corrente em

ampere. Determine o mínimo valor positivo de t, de

que I � 20 amperes. Dê a resposta com quatro casas

decimais. tmin � 0,0014 s

40. (PUC-RJ) Para quantos valores de x entre 0 e 2π

temos sen x � 2 cos x? �

π π0 .Para dois valores, um entre e2

, outro entre e2

7 Cotangente de um arcoConsidere o ciclo trigonométrico da figura e o arco AM� de medida x, qualquer. Seja C o ponto de inter-

secção da reta OM� ��

com o eixo das cotangentes.

A

B C

eixo dascotangentes

M

M’’

M’O

x

Definimos como cotangente do arco AM� a medida algébrica do segmento BC , e indicamos cotg x � BC, isto é, a cotg x é a

abscissa do ponto C.

Duas relações importantesObserve os triângulos retângulos OM’M e OCB: �OM’M � �CBO

OM’BC

MM’OB�

Por construção, OM” � M’M; então:

OM’BC

OM”OB

cos xBC

senx1 BC

cos xsenx� �=V V

Portanto, cotg x � cos xsenx , sendo sen x � 0, isto é, x � kπ, k � �.

Exercícios35

. a)

��

��

�Z

{}

ππ

Sx

|xk

k,12

3R

35. b) � � �� Z{ }π πS x | x k k,38 2

R


�� Podemos escrever também:

cotg xsenxcosx

, x k kcotg x 1tg x

= 12

V 5 π , Z

Sinais da cotangenteVeja os sinais de cotg x em cada quadrante:

CB { }C B { CB }C B

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

1o quadrante 3o quadrante2o quadrante 4o quadrante

1. Calcule o valor de cotg 1 620°

Resolução

No ciclo: 1 620° 5 180° 1 4 ? 360°

1 620° 360°

144° 5

180°

cotg 1 620°5 cotg 180° 5 1tg180º (não existe pois tg 180° 5 0)

2. Qual o período da função y 5 cotg x?

Resolução

cotg x 5 BC

cotg (x 1 p) 5 BC

cotg (x 1 2p) 5 BC

cotg (x 1 kp) 5 BC, k ZLogo, o período de y 5 cotg x é igual a p.

3. Quais são os valores de x que pertencem ao domínio da função dada pela lei y cotg x 4 ?5 1( )π

Resolução

A condição de existência é: x 4 k1 π π . Daí: x 4 k x 4 k1 2 1π π π πV

5 2 1 Z{ }π π,D(f) x |x 4 k kR

1 620°

cotgB

C

M

O

cotgB

xx � π

Exemplos


FAÇA NO

CADERNO

44. Determine o período das seguintes funções:

a) y � cotg 2x 7�( )π π2

b) y � cotg 52x π2

5

45. Calcule os valores de m, de modo que a expres-

são 2 4m3

� represente a cotangente de um ângulo do

terceiro quadrante. m | m� R ��12

41. Determine o valor de:

a) cotg 135° �1

b) cotg 990° 0

c) cotg (�1 410°) 3

d) cotg174π 1

42. Determine o valor de cotg 3 6 12 ...� � �( )π π π

43. Quais são os valores de x que pertencem ao do-mínio das funções:

a) y � cotg (x � 30°) b) y � cotg x 2�( )π

42. 23

33

πcotg ��

{x 7 R | x � 30º � k � 180º, k 7 Z}

43. b) � �� Z{ }π πx | x k , k2

R

8 Secante e cossecante de um arcoConsidere o ciclo trigonométrico da figura, sendo x a medida de

um arco AM� .

Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto M,interceptamos o eixo dos cossenos no ponto S e o eixo dos senosno ponto D.

Da figura, definimos:

A secante do arco AM� :

sec x � OS

A cossecante do arco AM� :

cossec x � OD

Observe duas relações trigonométricas importantes deduzidas com base na semelhança dos triângulos retângulos:

�π π

OMS e OM’M:OSOM

OMOM’ OS 1

cos x ou sec x 1cos x , x 2 k , k� � � � �V Z

�π

OMD e OM”M:ODOM

OMOM” OD 1

sen x ou cossec x 1sen x , x k k,� � � �V Z

De acordo com essas relações, podemos estabelecer o quadro:

y � sec x y � cossec x

Domínio � �� R Z{ }π πx |x 2 k , k x � R | x � kπ, k � Z

Imagem sec x � �1 ou sec x � 1 cossec x � �1 ou cossec x � 1

A

M

SM’

x

M’’

D

sen

O cos

Edi

toria

de

Art

e

Exercícios


1. Calcule o valor do cossec (21 035°).

Resolução

1035º

315º

360º

2

1 035° 5 315° 1 2 ? 360°

21 035 5 2315° 1 2 ? (2360°)

Como 2315° 5 45° 2 360°, temos:

cossec (21 035°) 5 cossec 45° 5 1sen 45º

12

2

22

25 5 5

Logo, cossec (21 035°) 5 2 .

2. Que valores de x podem pertencer ao domínio da função dada pela lei y 5 sec x 22( )π ?

Resolução

A condição de existência é:

x 2 2 k2 1π π π x 2 2 k x k k π π π π + π, 1 1 V V Z

Logo, o domínio da função é: D(f) 5 {x R | x � p 1kp, k Z}

3. Resolva a equação sec x 5 22.

Resolução

Como sec x 1cos x5 , temos: 1

cos x 2 2cos x 1 cos x 1252 2 5 52V V

Devemos resolver a equação equivalente cos x 5212

.

Pela figura, temos:

cos x cos 23 ou cos x cos 4

35 5π π

Daí: x 23 2k ou x 4

3 2k5 1 5 1π π π π

Portanto, S x |x 23 2k ou x 4

3 2k , k5 5 1 5 1 Z{ }π π π πR

Edi

toria

de

Art

e

O

A

FAÇA NO

CADERNO

46. Calcule o valor de:

a) sec 540° 21

b) sec (21 410°) 2 3

3

c) cossec 315°2 2

d) cossec 94π 2

47. (UFSC) Qual o valor numérico da expressão

ycos 4x 2tg x

2 sen2x

cotg x cossec x sec8x , para x 251 2

? 15

( ) π ? 3

48. Que valores de x podem pertencer ao domínio da

função dada pela lei: y sec x 85 1( )π

49. Calcule m, de modo que:

a) sec 2m 1m e 2

32a 5

2 π π

,a m | 0 m R , <13

b) ,cossec m 4m 1e 0 22a 5 1 1 α π

1 Z{ }π πx | x k , k38

R

{m 7 R| m < 24 ou m > 0}

π23

π3

212

1 5π π π3

43

Exemplos

Exercícios


9 Relação trigonométrica fundamentalConsideremos o ciclo trigonométrico da figura.

No triângulo retângulo OM’M, pelo teorema de Pitágoras, temos:

(MM’)2 � (OM’)2 � (OM)2

(sen x)2 � (cos x)2 � 12

ou, ainda:sen2 x � cos2 x � 1

Essa relação, denominada relação trigonométrica fundamental, é válida para todos os valores de x, inclusive para aqueles em que o ponto M pertence a um dos eixos.

A

M

M’ OM � 1OM’ � cos xOM’’ � MM’ � sen x

x

M’’

O

Edi

toria

de

Art

e

1. Dados cos x �� 33

, com 2 x� �π π, calcular tg x.

Resolução

Para calcular tg x, devemos conhecer o valor de sen x e, para isso, usamos a relação sen2 x � cos2 x � 1:

sen x 33 1 sen x 3

9 1 sen x 63

22

2� � � � � � �( ) V V

Como 2 x� �π π (x � 2o quadrante, em que sen x é positivo), temos: sen x � 6

3Vamos calcular tg x, usando a relação �tg x sen x

cos x , temos:

tgx � ��

� � � � � � �

63

33

63

33

63

2

Portanto, tg x .�� 2

2. Simplifique a expressão tg cotgsec cotg .

� � ��

Resolução

tg cotgsec cotg

sencos

cossen

cosco

� ��

�

��

��

��

� �

1 sssen

sen coscos sen

sen

cos sen��

�

��

�

��

2 2

1

1

��

�

�1sen

� � �sec cossen

cos sec11

1��

��

��

A expressão dada é equivalente a sec �.

3. Se cos x 14� , calcule o valor de A, sabendo que: A cossec x sec x

cotg x 1��

Resolução

A cossec x sec xcotg x 1

1sen x

1cos x

cos xsen x 1

cos x sen xsen x cos xcos x sen x

sen x

cos x sen xsen x cos x

sen xcos x sen x

1cos x�

��

��

��

��

��

��

��

�

Substituindo cos x por 14

, temos: A 114

4� �

Exemplos


FAÇA NO

CADERNO

50. Sendo sen x 35 e x 3

2� � �π π , calcule:

a) cos x �45

b) tg x 34

c) sec x �54

d) cotg x 43

51. Dado cos x 14 e 2 x�� π π , calcule os va-

lores de sen x e tg x.

52. (UEPB) Dado sen x � 0,6, onde x é um ân-gulo agudo de um triângulo retângulo, o valor decotg x � cossec x é igual a:

a) 1

b) 53

c) 209

d) 35

e) 109

sen x15

4; tg x� �� 15

X

53. (PUC-SP) Sendo cos x 1m� e sen x

m 1m�

�,

determine m. {�1, 2}

54. (UEMA) Sendo x um arco do 2o quadrante e sabendo-se que cos x 1

2�� , calcule o valor de

ytg x cot g x

sen x�� . 4

3�

55. Sendo sen x 23� , com 0 � x � 2

π, calcule o

valor da expressão ytg x sen x cos x

sec x.�

� � y 8

27�

56. (Uneb-BA) Considerando-se sen � � cos � �

cos m, m 0� � � � e sen cos n4 ,� � � � pode-se afirmar

que o valor de 2m � n é igual a:

a) 2

b) 1

c) 0

d) �2

e) �3

X

10 Propriedades dos arcos complementaresConsideremos no ciclo trigonométrico dois arcos cujas medidas

são x e 2 x�( )π .

Verificamos que:

Esses arcos são complementares, pois x � 2 x 2� �( )π π

cos x � OM1, sen x � OM2

cos2 x OP , sen 2 x OP1 2� � � �( ) ( )π π

Considerando os triângulos OM1M e OP2P, temos:

OM OP (r 1)

M OM P OP (x)

OM M OP P (reto)1 2

1 2

��

��

V � �OM M OP P1 2�

Temos, ainda: PP OP e MM OM2 1 1 2� � .

Podemos, então, concluir:

O seno do complementar de um arco é igual ao cosseno desse arco.

( )πOP OM sen 2 x cos x2 1 � �� V

Edi

toria

de

Art

e

O M1

xP1

M2

P2

P

M

π2

� x

Exercícios


�� O cosseno do complementar de um arco é igual ao seno desse arco.

( )πOP PP MM OM OP OM cos 2 x sen x1 2 1 2 1 2 2 5 V V

Assim, também obtemos:

tg 2 xsen 2 x

cos 2 x

cos xsenx cotg x2 5

2

25 5( ) ( )

( )π

π

π

cotg 2 xcos 2 x

sen 2 x

senxcos x tg x2 5

2

25 5( ) ( )

( )π

π

π

sec 2 x 1

cos 2 x

1senx cossec x2 5

25 5( ) ( )

ππ

cossec 2 x 1

sen 2 x

1cos x sec x2 5

25 5( ) ( )

ππ

Simplifique a expressão:

ysen 2 x cossec 2 x

cos 2 x tg 2 x5

2 ? 2

2 ? 2

( ) ( )( ) ( )

π π

π π

Resolução

52 ? 2

2 ? 25

??

5?

?5

?5y

sen 2 x cossec 2 x

cos 2 x tg 2 x

cos x sec xsen x cotg x

cos x sec x

sen x cos xsen x

cos x sec xcos x sec x

( ) ( )( ) ( )

π π

π π

FAÇA NO

CADERNO

57. Simplifique a expressão:

ycos 2 a sen 2 a

sen 2 a cotg 2 a5

2 ? 2

2 ? 2

( ) ( )( ) ( )

π π

π π cossec a

58. (UMC-SP) Baseando-se no círculo trigonométrico apresentado na figura a seguir, pode-se afirmar que o

valor da expressão 2

12

cos 2 x

sen xcos x

sen 2 x

( )( )

π

π é:

a) 1

b) 2

c) sen x

d) cos x

e) sen 2 x2( )π

59. Sabendo-se que sen x 5 23

, calcule:

a) sen (p 2 x) 223

b) sen (p 1 x) 23

c) cos ( )π2 x2 2

23

Ox

M

A0,6

Edi

toria

de

Art

e

X

Exemplo

Exercícios


11 Equações trigonométricas queenvolvem artifícios

Há equações trigonométricas em que iniciamos sua resolução por meio de algumas transformações, aplicando as propriedades e soluções já vistas, tornando-as equações mais simples de resolver, como nos exemplos a seguir.

1. (Udesc-SC) Um topógrafo em uma atividade de medição de superfície de terra chegou à equação 2 sen2 x 11 5 cos x 5 4. O topógrafo solicitou ajuda a um zootecnista para encontrar os possíveis ângulos x. Supondo que você seja esse zootecnista, encontre o conjunto solução desta equação.

Resolução

Inicialmente, vamos encontrar uma equação equivalente de 2o grau em cos x, substituindo sen2 x por(1 2 cos2 x).

2 sen2 x 1 5 cos x 5 4 V 2 · (1 2 cos2x) 1 5 cos x 2 4 5 0

2 2 2 cos2 x 1 5 cos x 2 4 5 0

2 cos2 x 2 5 cos x 1 2 5 0

Em seguida, vamos fazer cos x 5 y. Assim temos:

2 cos2 x 2 5 cos x 1 2 5 0 ä 2y2 2 5y 1 2 5 0 ä y’ 5 12 e y’’ 5 2

Por último, voltando à substituição de y por cos x, temos:

5

5 2

5 5 1 5 1 Z

cos x 12

cos x 2 esta equação não é válida, pois 1 cos x 1

S x |x 3 2 k ou x 53 2 k , kR{ }

( )

π π π πDe cos x 5

12 , verificamos na figura que o conjunto solução é dado por:

5

5 2

5 5 1 5 1 Z

cos x 12

cos x 2 esta equação não é válida, pois 1 cos x 1

S x |x 3 2 k ou x 53 2 k , kR{ }

( )

π π π π

2. Resolva a equação sen 3x 5 cos x.

Resolução

Sabendo que cos x sen 2 x5 2( )π , vamos encontrar uma equação equi-

valente que contém apenas uma função trigonométrica de x:

sen 3x cosx sen 3x sen 2 x5 5 2( )πX

Resolvendo a equação sen 3x sen 2 x5 2( )π , temos:

5 2 1 5 1 5 13x 2 x 2k 4x 2 2k x 8 k 2 ouVπ π π π ⇒ π π

5 2 2 1 5 1 5 13x 2 x 2k 2x 2 2k x 4 k( )π π π ⇒ π π ⇒ π π

S x |x 8 k 2 ou x 4 k k5 5 1 5 1 Z{ }π π π π,R

x

cos

sen

p 2 x

Exemplos

cos

π3

� 60°

π3

5π3

� 300°�2π �

12 Ilu

stra

ções

: Edi

toria

de

Art

e


FAÇA NO

CADERNO

60. (Faap-SP) Resolva, no intervalo 0 < x , 2p, a equação: 1 2 sen x 1 cos2 x 5 0 { }π

2

61. (UFC-CE) Encontre as soluções da equação:

9 2 2 cos2 x 5 15 sen x, no intervalo 2 , 22 π π

.

62. (Cefet-MG) Resolva a equação:

cos2 (3x) 1 2 sen2 (3x) 5 2

63. (Fuvest-SP) Determine as soluções da equação (2 cos2 x 1 3 sen x) (cos2 x 2 sen2 x) 5 0 que estão no intervalo [0, 2p].

64. (Mack-SP) A equação 1 1 tg2 x 5 cos x tem uma solução pertencente ao intervalo:

5πx6

62.

62

32

23

{}

ππ

ππ

x|x

kou

xk

k,5

15

1R

Z63. 7

611

6 434

54

74

π π π π π πx ou x ou x ou x ou x ou x5 5 5 5 5 5

a) 4 , 34

π π

d) 3

4 ,π π

b) 32π π

e) 32 , 7

4π π

c) 74 , 9

4π π

65. Sabendo que x [0, 2p], resolva a equação

cos 3x 5 sen x. Faça sen x cos 2 x5 2( )π .

66. (Ufop-MG) Resolva a equação:

3 tg2 x 1 5 5 7

cos x , x 0 2 π

, . { }π3

X { }π π π π π π, , , , 38

,8

58

98

138

78

12 Fórmulas da adição de arcosCálculo de sen (a 1 b) e cos (a 1 b)

Sejam a e b dois arcos positivos, do 1o quadrante, cuja soma pertence também ao 1o quadrante, ou seja:

0 a 2, , π 0 b 2, , π

0 a b 2, 1 , π

No ciclo trigonométrico ao lado, destacamos:

�� os arcos a 5 AM e b 5 MD;

�� a 5 d (ângulos agudos e lados perpendiculares);

�� PS 5 QR e SR 5 PQ (lados opostos de um retângulo).

Com base nessa figura, vamos calcular sen (a 1 b) e cos (a 1 b) em função dos valores do seno e do cosseno dos arcos a e b.

sen (a b)No triângulo retângulo OPD: sen (a 1 b) 5 PD 5 PS 1 SD sen (a 1 b) 5 QR 1 SD (I)

No triângulo retângulo OQR: senaQROR5 V QR 5 OR ? sen a (II)

No triângulo retângulo DRS: send DSDR5 V SD 5 DR ? cos d V SD 5 DR ? cos a (III)

Substituindo (II) e (III) em (I), temos: sen (a 1 b) 5 OR ? sen a 1 DR ? cos a (IV)

No triângulo retângulo ORD: OR 5 cos b e DR 5 sen b

Desse modo, a igualdade (IV) pode ser escrita:

sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a

cos (a b)Usando um procedimento análogo, podemos demonstrar a seguinte fórmula para o cosseno da soma de

dois arcos a e b, nas condições estabelecidas:

cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b

O P Q

RS

D

M

A

ba

bd

a

B

Edi

toria

de

Art

e

Exercícios


Essas duas fórmulas foram demonstradas para arcos a e b do 1o quadrante, cuja soma (a 1 b) também pertence ao 1o quadrante. Entretanto, assim como as fórmulas a seguir, elas se verificam para quaisquer que sejam a e b, pois são fórmulas que permitem determinar o seno e o cosseno da soma de dois arcos, a e b, quando são conhecidos os valores do seno e do cosseno desses arcos.

sen (a b)Observe que: (a 2 b) 5 [a 1 (2b)]

sen (2b) 5 2sen b (seno é uma função ímpar)cos (2b) 5 cos b (cosseno é uma função par)

Da fórmula da soma, temos: sen (a 2 b) 5 sen [a 1 (2b)] 5 sen a ? cos (2b) 1 sen (2b) ? cos a

Então: sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a

cos (a b)Da fórmula da soma, temos: cos (a 2 b) 5 cos [a 1 (2b)] 5 cos a ? cos (2b) 2 sen a ? sen (2b)

Então: cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b

Cálculo de tg (a b) e tg (a b)As relações a seguir são válidas para os valores de a, b e a 1 b que pertencem ao domínio da função

tangente, ou seja:

a 2 k , b 2 k (a b) 2 k , com k 1 1 1 1 Zπ π π π π π,

tg (a b)Sabemos que: tg (a 1 b) 5

sen(a b)cos(a b)

11

Vamos, então, desenvolver o segundo membro: tg (a b)sena cosb senb cosacosa cosb sena senb1 5

? 1 ?? 2 ?

Dividindo o numerador e o denominador do segundo membro por cos a ? cos b, com cos a ? cos b � 0, temos:

tg (a b)

sena cosbcosa cosb

senb cosacosa cosb

cosa cosbcosa cosb

sena senbcosa cosb

senacosa

senbcosb

1senacosa

senbcosb

1 5

??

1??

??

2??

1

2 ?V

Como senacosa tga e

senbcosb tgb5 5 , temos: tg (a b)

tg a tgb1 tga tgb1 5

12 ?

tg (a b)Lembrem-se de que tg (2b) 5 2tg b, pois a tangente é uma função ímpar.

tg (a b) tg [a ( b)]tg a tg ( b)

1 tga tg ( b)2 5 1 2 51 2

2 ? 2

Assim, temos: tg(a b)tga tgb

1 tg a tgb2

2

1 ?5

Essa relação é válida para os valores de a, b e a 2 b que pertencem ao domínio da função tangente, como já vimos anteriormente.

Essas duas fórmulas permitem determinar, respectivamente, a tangente da soma e da diferença de dois arcos, a e b, quando são conhecidos os valores das tangentes desses arcos.


1. Calcule o sen 105°

Resolução

Vamos tentar escrever 105° como a soma de ângulos cujos senos e cossenos são conhecidos. Assim:

sen 105° 5 sen (45° 1 60°)

Aplicando a fórmula do seno de uma soma, temos:

sen (45° 1 60°) 5 sen 45° ? cos 60° 1 sen 60° ? cos 45°

Vsen 45º 60º 22

12

32

22 sen 45º 60º 2

46

42 6

41 5 ? 1 ? 1 5 1 51) )( (

Então: sen º1052 6

45

1

2. Calcule o cos 15°.

Resolução

Vamos tentar escrever 15° como a diferença de ângulos cujos senos e cossenos são conhecidos. Assim:

cos 15° 5 cos (45° 2 30°)

Aplicando a fórmula do cosseno da diferença, temos:

cos (45° 2 30°) 5 cos 45° ? cos 30° 1 sen 45° ? sen 30°

cos º º cos º º45 30 22

32

22

12

45 30 64

24

2 ? 1 ? 2 5 1( ) ( )5 V 556 2

41

Então: cos º156 2

45

1

FAÇA NO

CADERNO

67. Resolva o sistema:

sen x sen y 1

x y2

com x, y 0 2

1 5

1 5 [ ]

π π, ,

68. Calcule a tg 165º. 2 12 3

69. (EsPCEx-SP) O valor da expressão

cos15º cos 75ºsen15º

sen º sen ºcos15º

11

115 75 é igual a:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

70. (FGV-SP) O muro de uma barragem tem a

forma da figura a seguir. De um lado, uma rampa de

100 m de comprimento fazendo ângulo de 20° com

o plano horizontal. Do outro lado, uma rampa de

comprimento x fazendo ângulo de 40° com o plano

horizontal.

5π

π

S , , ,02 2

0

X

20°

100 m x

40°

Dados: I. sen 20° 5 0,342, cos 20° 5 0,940 e

tg 20° 5 0,364II. sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos aO valor de x é aproximadamente:

a) 53 m b) 57 m c) 61 m d) 65 m e) 70 m

71. (UFSC) Sejam a e b os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AN e AM na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura 2, a seguir. Determine o valor de y 5 15x4, sabendo quea 1 b 5 2

π ? 60

x

Figura 2Figura 1

AM

N

P QO

OA � 1χ

PN � QMχ χ

OP � OQ

X

Exemplos

Exercícios

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria

de A

rte


72. (Fuvest-SP) Sejam x e y dois números reais, com

0 , x , 2π e 2

π , y , p, satisfazendo sen y 5 45

e

11 sen x1 5 cos (y 2 x) 5 3.

Nessas condições, determine:

a) cos y 235

b) sen 2x 120169

73. (UFPel-RS) São cada vez mais frequentes cons-truções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos.

A criatividade na montagem de balanços, escor-regadores e gangorras de madeira vem proporcionando uma opção de lazer para as crianças.

A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada excelente atividade física.

A

BC

Alb

erto

De

Ste

fano

Considerando os textos, a distância AB e AC igual a 2,0 m, o ângulo �BAC igual a 75° e seus conhe-cimentos, determine:

a) a distância de B até C. 2,4 m

b) a altura do triângulo ABC, relativa ao lado BC . 1,6 m

74. (UFPR) Considere x, y 0, 2π

tais que

sen x 5 35

e sen y 5 45

.

a) Calcule os valores de cos x e cos y. cosx e cosy5 545

35

b) Calcule os valores de sen (x 1 y). 1

75. (IMT-SP) Resolva a equação

sen x 4 cos x 46

22 2 5( ) ( )π π , para 0 , x , 2p.

76. Calcule:

a) tg 15° 2 32

b) tg 4 31( )π π2 22 3

77. Calcule tg x, sabendo quetg (x 1 30°) 1 tg (60° 2 x) 5 2. 2 32

78. (PUC-SP) Se tg (x 1 y) 5 33 e tg x 5 3, calcule tg y.

79. (AFA-SP) Um aro circular de arame tem 5 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 24 cm. O valor do seno do ângulo central (agudo), que o arco formado pelo arame determina na polia, é:

a) 6 242

b) 6 21

c) 6 241

d) 6 221

{ }π π, 233

310

X

13 Fórmulas da multiplicação de arcosEste item trata da aplicação das fórmulas da adição (a 1 b) de dois arcos. Nelas, faremos b 5 a, obtendo

as fórmulas para o arco 2a.

sen 2aSabemos que: sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a

Fazendo b 5 a, temos: sen (a 1 a) 5 sen a ? cos a 1 sen a ? cos a

Então: sen 2a 5 2 ? sen a ? cos a

cos 2aSabemos que: cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b

Fazendo b 5 a, temos: cos (a 1 a) 5 cos a ? cos a 2 sen a ? sen a

Então: cos 2a 5 cos2 a 2 sen2a


tg 2aSabemos que: tg (a 1 b) 5

tg a tg b1 tg a tg b

12 ?

Fazendo b 5 a, temos: tg (a 1 a) 5 tg a tg atg a tg a

1

2 ?1

Então: tg 2a

2 tg a1 tg a25

2

Essas fórmulas são chamadas de fórmulas do arco duplo.

1. Determine as medidas dos ângulos e do lado AB de um triângulo ABC, em que AC 5 1, BC 5 3e a medida do ângulo �A é o dobro da medida do ângulo B�.

Resolução

Consideremos: med �B( ) 5 x e med �A( ) 5 2x

Usando a Lei dos Senos, temos:

5 53sen2x

1sen x sen2x 3sen xV

2 ? sen x ? cos x 5 3 ? sen x

2 ? sen x ? cos x 32 ? sen x 5 0

? 2 5sen x 2 cos x 3 0( )( )Então, obtemos: sen x 5 0 V x 5 0° ou x 5 180°

(nenhuma dessas soluções satisfaz, pois não haveria triângulo) ou

? 2 5 52 cos x 3 0 cos x 32V Vx 5 30° ou x 5 330° (não satisfaz)

Logo, a única solução válida é: x 5 30°

Assim, temos: med �B( ) 5 30° e med �A( ) 5 60°

Para calcular med �C( ) , temos:

med �A( ) 1 med �B( ) 1 med �C( ) 5 180° V 30° 1 60° 1 med �C( ) 5 180°

med �C( ) 5 90°

Logo, o triângulo ABC é triângulo retângulo.

Cálculo de c (aplicando o teorema de Pitágoras): c c2 22

1 3 4 25 1 5 5( ) V

Portanto, med �A( ) 5 60°, med �B( ) 5 30°, med �C( ) 5 90° e c 5 2.

2. Conhecendo-se, sen a 45 , 0 a 2 ,5 , , π calcule:

a) sen 2a b) cos 2a c) tg 2a

Resolução

a) 1 5 1 5sen a cos a 1 1625 cos a 12 2 2V

cos a 925 cosa 3

5 0 a 22 5 5 , ,( )πV

5 ? 5 ? ? 5sen2a 2sena cosa sen2a 2 45

35 sen2a 24

25V V

A2x

C

Bx

c � ?

b � 15a 3

Edi

toria

de

Art

e

Exemplos


b) cos2a 5 cos2a 2 sen2a V cos2a 5 35

45

2 2

2) )( (5 2 5 2cos2a 9

251625 cos2a 7

25V

c) tga sen acosa

4535

435 5 5

52

5?

25

25 2tg2a

2 tga1 tg a

tg2a2 4

31 16

9

837

9

tg2a 2472 V V

3. Resolva a equação sen 2x 2 sen x 5 0.

Resolução

Vamos substituir, na equação dada, sen 2x por 2 ? sen x ? cos x:

sen 2x 2 sen x 5 0 V 2 ? sen x ? cos x 2 sen x 5 0

sen x (2 cos x 2 1) 5 0

Então, obtemos:

sen x 5 0 V x 5 kp, k Z, ou

2 cos x 21 5 0 V 2 cos x 5 1 V cos x 5 12

De acordo com a figura ao lado, temos:

x 5 3π

1 2kp ou x 5 53π

1 2kp, k Z

S x |x k ou x 3 2k ou x 53 2k , k5 5 5 1 5 1 Z{ }π π π π πR

A

O

π3

12

53π

Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

FAÇA NO

CADERNO

80. Considere o ângulo segundo o qual um obser-vador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema.

100 m

4x2xx

160 m

torre

observador

A altura da torre, em metro, equivale a:

a) 96 b) 98 c) 100 d) 102

81. (UFPB) Sabendo que cotg x 5 12 , o valor da tg 2x

é igual a:

a) 122

b) 45

c) 43

d) 21

e) 2 43

X

X

82. (IESP-PB) A soma de todas as soluções reais da equação sen 2x 5 cos x no intervalo [0, 2p] é:

a) p b) 2p

c) 3p d) 4p

e) 5p

83. Sabendo que cos x 5 12 e cos y 5 3

2 com

0 x 2 e 0 y 2, , , ,π π , calcule cos (x 1 2y).

84. (Uni-Rio-RJ) Considerando o corpo humano como uma partícula, o salto em distância por seres humanos pode ser modelado como o movimento de um projétil onde a amplitude A do salto, em metro, é função da ve-locidade V0 no início do salto, em metro por segundo, e

do ângulo £ de saída da seguinte forma: AVg sen2 .0

2

5 θ

A figura a seguir faz uma representação do salto e das variáveis do modelo.

X

212

Exercícios


Considerando g 5 10 ms2

e sabendo que um

atleta realizou um salto com velocidade V0 5 10 ms2

e

ângulo £ tal que cos £ 5 1213

, determine a amplitude desse salto. 7

85. (Ufop-MG) Resolva a equação trigonométrica sen x 1 sen 2x 5 0, para x [2p, p]. S 0, 2

3, , 4

35 { }π π π

14 Identidades trigonométricas

Consideremos uma igualdade da forma f(x) 5 g(x), na qual f(x) e g(x) são funções trigonométricas.

Se essa igualdade é válida para qualquer valor real de x para os quais os valores das funções f e g exis-

tem, dizemos que f(x) 5 g(x) é uma identidade trigonométrica.

Observe:

�� A igualdade cos2 x 5 1 2 sen2 x é válida para qualquer x real.

Logo, é uma identidade trigonométrica.

�� A igualdade cotg x 1tg x

5 é válida para todo x k2� π, k Z.

Logo, é uma identidade trigonométrica.

Para provar uma identidade trigonométrica, podemos empregar qualquer uma das relações trigonomé-

tricas já estudadas nesta unidade (e que são, também, identidades) e escolher um dos seguintes processos

de demonstração:

1o processo: Partimos de um membro de identidade (geralmente o mais complicado) e chegamos ao

outro membro.

2o processo: Transformamos o 1o membro f(x) de em uma função h(x) e, separadamente, transformamos

o 2o membro g(x) também na função h(x), levando em consideração a propriedade:

f(x) 5 h(x)

g(x) 5 h(x) V f(x) 5 g(x)

86. (Vunesp-SP) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo a, conforme a figura.

36 m

xα

a) Admitindo-se que sen a 5 35

, calcule a distância x.

b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo a passou exatamente para 2a, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol.

x 5 48 m

x’ 5 10,5 m

Edi

toria

de

Art

e

ww

w.d

emot

u.or

g/pu

bs/B

rPt0

2.pd

f


FAÇA NO

CADERNO

1. Demonstre a identidade (1 1 cotg2 x) ? (1 2 cos2 x) 5 1.

Resolução

Vamos reescrever a expressão do 1o membro utilizando apenas as funções sen x e cos x. Depois, aplicaremos a relação sen2 x 1 cos2 x 5 1 para chegar ao 2o membro:

1 2 5 1 2 5

51

5 ? 5

1 cotg x 1 cos x 1 cos xsen x

1 cos x

sen x cos xsen x

1 cos x 1sen x

sen x 1

2 22

22

2 2

22

22

( ) ( ) ( )

( )

−

Assim, fica demonstrada a identidade (1 1 cotg2 x) ? (1 2 cos2 x) 5 1

2. Demonstre a identidade tg x 1 cotg x 5 tg x ? cossec 2 x.

Resolução

Considerando f(x) 5 tg x 1 cotg x e g(x) 5 tg x ? cossec 2 x, vamos expressar essas funções em sen x e cos x.

5 1 5 1 51?

5?

f(x) tg x cotg x sen xcos x

cos xsen x

sen x cos xcos x sen x

1cos x sen x

2 2

5 ? 5 ? 5?

g(x) tg x cos sec x sen xcos x

1sen x

1cos x sen x

22

Como f(x) 5 g(x), está demonstrada a identidade.

3. Demonstre a identidade: 1

5 2sen x

1 cos x 1 cos x2

Resolução

sen xcos x

cos xcos x

co2

f(x)

2

111

1

15

21

5� ��

1 ss x cos x

cos xcos x

g(x)

( )( )1

11

2

15 2� ��

Como f(x) 5 g(x), está demonstrada a identidade.

87. Demonstre que: Respostas no final do livro.

a) 1 5cos xsec x

sen xcos sec x 1

b) 2

25

sec a cos acos sec a sen a tg a3

88. Demonstre que: Respostas no final do livro.

a) cos x · (1 2 tg x) 1 sen x · (1 2 cotg x) 5 0

b) 21

52cos x sen x

1 tg x1 tg x

sec x

2 2

2

89. Prove que: Respostas no final do livro.

a) cos (60° 2 x) 1 cos (60° 1 x) 5 cos x

b) 12

512

sen 45° xsen 45° x

1 tg x1 tg x

( )( )

90. (Esal-MG) Uma expressão equivalente para

1 1cos x tg x

sen x2 222

??( ) ( ) ( )

é:

a) sec2 (x)

b) sen2 (x)

c) 2cos2 (x)

d) 2

e) 22X

Exemplos

Exercícios


15 Inequação trigonométricaToda inequação envolvendo uma função trigonométrica com arco desconhecido denomina-se inequação

trigonométrica.

Assim, são inequações trigonométricas:

sen x � 12

cos x � 32

2 sen2 x � sen x � 0 tg x � 1

Os valores de x que satisfazem a inequação formam o conjunto solução da inequação.

1. Volte à situação do problema da profundidade de um rio, exemplo 1 do item 6, que pode ser calculada com base em funções trigonométricas.

• Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios varia periodicamen-te em função do tempo. Suponha que determinado rio tenha sua profundidade indicada pela função

d(t) � 3 sen π6

4 8t −( )

� , em que d é sua profundidade em metro e t é a hora do dia (sendo t � 0 à

meia-noite e t medido na forma 24 h).Em quais períodos do dia a profundidade desse rio é maior que 9,5 m?

Resolução

Para resolver esse problema, fazemos:

d � 9,5 V 3 sen π6

4t −( )

� 8 � 9,5 V sen t 9,5 8

3t 1π π

64

64−( )

−( )

� � �V22

Use o ciclo trigonométrico e lembre-se de que sen � �6 sen 56

12

π π .

Assim, os valores desejados estão entre 6 e 56

π π (no quadrante).

Então: sen t6

2k6

t 4 5π π π π π6

4 12

−( )

( )� � � � �V66

2k� π

12k6

t 46

5 12k6

� � � � �( )π π π π π

1 � 12k � t � 4 � 5 � 12k

5 � 12k � t � 9 � 12k

Para k � 0 ä 5 � t � 9 ä entre 5 h e 9 h. Para k � 1 ä 17 � t � 21 ä entre 17 h e 21 h.

Note que k não pode assumir valores negativos ou maiores que 1, pois 0 � t � 24. Portanto, os períodos em que a profundidade do rio é maior que 9,5 m são entre 5h e 9h e entre 17h e 21h.

2. Resolva a inequação cos x � 22

, com 0 � x � 2π.

Resolução

Um bom caminho para a resolução dessa inequação é marcar, no ciclo tri-

gonométrico, as extremidades dos arcos cujo cosseno é 22

. Em seguida,

destacar os arcos que têm cosseno menor que 22

.

Observando a figura, concluímos que: cos x 22 4 x 7

4� � �π πV

Portanto, S x | 4 x 74� � ��{ }π πR

cos

sen

π

5π6

π61

2 Ilust

raçõ

es: E

dito

ria d

e A

rte

O0π

π2 π

4

π32

π74

22

Exemplos



FAÇA NO

CADERNO

91. Resolva as seguintes inequações trigonométricas, no intervalo 0 < x < 2p: Respostas nos final do livro.

a) 2 sen x > 21

b) >cos x 12

c) ,sen x 12

d) cos x 22

92. (Fuvest-SP) Determine os valores de x no intervalo ]0, 2p[ para os quais > ? 1cos x 3 sen x 3.

93. (Unicamp-SP) Ache os valores de x, com 0 < x << 360°, tais que 2 cos2 x 1 5 sen x 2 4 > 0.

π πx 11

632

x |30° x 150° { }R

94. (Ufla-MG) Os valores de x com 0 < x < 2p que satis-

fazem à desigualdade 2 2 sen x 12 sen x 2 0( )( ) são:

a) 0 < x < 2π

b) 2π

< x < p

c) 6π

< x < 56π

d) 4π

< x < 64π

e) p < x < 32π

95. Resolva a inequação 2 cos2 x 1 3 cos x 1 1 0,

sendo x [0, 2p[. < , , ,{ }π π πx | 0 x ou x23

43

2R

X

O triângulo esférico

Até agora estudamos os triângulos que são construídos sobre o plano. No entanto, podemos construí--los, também, sobre uma superfície esférica.

Para construirmos esse triângulo, chamado de esférico, é necessário que se unam arcos de circunferências máximas, isto é, arcos de circunferências que tenham o mesmo raio que a esfera. Essas circunferências são obtidas da intersecção da superfície de uma esfera de centro O e um plano que contenha O.

Utilizando o globo terrestre para melhor visualizar um triângulo esférico, imagine a linha do equador limitada por dois meridianos, o primeiro de longitude 0° e o segundo de longitude 90° leste. Essas linhas delimitam dois triângulos esféricos, um em cada hemisfério. Veja um deles na figura abaixo.

Ao observar esses triângulos, notamos que cada um de seus ân-gulos mede 90°. É isso mesmo, um triângulo cuja soma das medidas dos ângulos internos não é 180°! No caso específico desse exemplo, a soma da medida dos ângulos internos é 270°.

Vale destacar que ao valor que excede a soma de 180° – no caso do exemplo, 90° – é dado o nome de excesso esférico. Além disso, supondo que S é a soma das me-didas dos ângulos internos de um triângulo esférico, podemos dizer que180° , S , 540°.

Exercícios

N80º80º

70º60º

50º

40º

30º

20º

10º

O 0º

70º

50º60º

40º30º

20º

10º

30º 15º0º

60º 45º90º 75º

0º E

S

Linha doEquador



RETOMANDO E PESQUISANDO

Na seção Aqui tem matemática, na abertura deste capítulo, você viu que existe um deslocamento das águas do oceano, gerando as marés. Observe nas imagens a seguir a mesma paisagem em dois momentos distintos.

1. Nas imagens acima, você deve ter observado que o nível da água em relação ao litoral nesse local não é o mesmo nos dois momentos em que as fotografias foram tiradas. Isso ocorre devido ao movimento das marés.

Acesse o site <http://www.climatempo.com.br/tabua-de-mares/> (acesso em: 27 maio 2013) e veja a tábua de marés para pelo menos três dias quaisquer na cidade de Paraty, Rio de Janeiro, e responda: qual é o intervalo de tempo entre duas marés altas? E entre duas marés baixas?

2. Suponha que, em determinado período, a altura da maré em Paraty seja dada, aproximadamente, pela

função h(t) � 0,705 � sen tπ6

� 0,415, em que h é a altura e t é a hora do dia, com 0 � t � 24. Con-

sidere ainda que a altura máxima atingida seja 1,12 m, e a mínima, 0,29 m. Responda:

a) Qual é a amplitude da maré?

b) Em que hora do dia a maré atinge altura máxima?

Saco do Mamanguá, maré baixa.

Paraty, RJ, 2007.


Foto

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abio

Col

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Funções logarítmicas l Capítulo 8 57

LEITURA E COMPREENSÃO


O texto abaixo retrata a importância do matemático e astrônomo Regiomontanus, e seus estudos de trigonometria aplicados em diversas ciências, dentre as quais a Astronomia.

Regiomontanus e a TrigonometriaA cidade de Köningsberg, na

Prússia (atual Rússia), é conhecida na Matemática devido ao famoso problema das pontes, resolvido pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) [...]. Outro acontecimento importante que marca a vida da cidade, cujo nome significa Montanha do Rei, é o fato de ela ter sido o local de nascimento de Juhann Müller (1436-1476), um dos maiores matemáticos do século XV, mais conhecido como Regiomontanus, uma latinização do nome de sua cidade natal.

Regiomontanus realizou diversos estudos nas áreas de Astronomia, Geometria e Trigonometria. Em seu livro mais famoso, De Triangulus Omnimodes, escrito em 1464 e impresso apenas em 1533, Regiomontanus apresenta uma visão moderna da Trigonometria com dados tabelados de várias fun-ções trigonométricas. É curioso notar que, mesmo tendo sido escrito antes do conceito de notação decimal, as tabelas trigonométricas contidas no livro não apresentam frações devido à utilização de um círculo de raio 100 000 000 de unidades, o que produzia apenas valores inteiros para as aproxi-mações utilizadas.

A importância dos conhecimentos em Astronomia de Regiomontanus fez com que ele fosse convidado pelo Papa Sixto IV para trabalhar na confecção de um calendário mais acurado do que o que vinha sendo usado pela Igreja. Após a realização do trabalho, a gratidão do Papa foi tal que rapida-mente o astrônomo se tornou seu principal conselheiro. Depois de um ano em Roma, Regiomontanus faleceu, tendo sido anunciada como causa da morte o flagelo de uma peste. Existem especulações que ele tenha sido envenenado por alguma pessoa descontente com a alta influência de um “não italiano” sobre o Papa e a Igreja romana. Alguns historiadores especulam ainda que, se não tivesse falecido tão cedo, talvez tivesse condições de realizar uma moderna compreensão do Sistema Solar, como feita por Copérnico 100 anos depois.

Fonte: MELLO, José Luiz Pastore. Regiomontanus e a Trigonometria. Revista do Professor de Matemática – RPM, São Paulo, v. 55, p. 29-30, 2004.

1. Com base na leitura do texto, escreva os dois acontecimentos que marcam a história da cidade deKöningsberg?

2. Os conhecimentos de Astronomia levaram Regiomontanus a realizar um trabalho para o Papa Sixto IV. Que trabalho foi esse?

3. Qual tema foi abordado por Regiomontanus no livro De Triangulus Omnimodes?

4. Regiomontanus viveu apenas 40 anos. O que o texto nos conta sobre a causa de sua morte?

5. Especula-se que Regiomontanus poderia ter avançado em relação ao Sistema Solar. Quem foi o respon-sável por essas descobertas e em que ano?

FAÇA NO

CADERNOInterpretação e resolução da questão Ver Orientações para o Professor.

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